中位线经典习题及答案
中位线练习题
中位线练习题随着统计学的发展，中位线作为一种重要的统计量，被广泛应用于各个领域。
中位线既是一种描述数据分布趋势的统计指标，也能够帮助我们分析异常值对数据的影响。
为了提高对中位线的理解和应用，以下是一些中位线的练习题，帮助读者深入了解和掌握中位线的计算和应用。
练习题一：某村庄的人口数量为1000人，按年龄排序后，得到如下数据：10, 12, 15, 20, 20, 21, 21, 22, 23, 24, 25, 25, 26, 27, 28, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95请计算这个村庄人口的中位数。
解答：根据数据的个数可知，总人口数量为1000人，所以中位数对应的是第500个数据。
排序后，第500个数据为35，故该村庄的人口中位数为35人。
练习题二：某城市一所小学的学生身高数据如下：115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210请计算这所小学学生的身高中位数，并分析该城市小学学生身高的分布情况。
解答：根据数据的个数可知，总学生人数为20人，所以中位数对应的是第10个数据。
排序后，第10个数据为160，故该所小学学生的身高中位数为160cm。
通过观察数据可以发现，该城市小学学生的身高大致呈正态分布，身高的变化相对较为平缓。
大部分学生身高在140cm到180cm之间，身高波动较小。
练习题三：一份毕业班学生的考试成绩排序如下：60, 65, 70, 75, 80, 85, 85, 90, 90, 95, 95, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100请计算该班级学生的成绩中位数，并分析该班级学生的成绩分布情况。
中位线习题及答案
1．如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD,AC⊥AB,E为BC的中点，∠EDA=60°，求证：AD=DE2．如图，在△ABC中，AD⊥CB、BE⊥AC，且相交于O点,N、M是CO、AB的中点，连接MN、ED，求证：MN是ED的中垂线证明：连接ME、MD、NE、ND(注：DE与MN交于P点)因AD⊥CB、BE⊥AC ，可得EM为直角△AEB斜边AB上的中线，EM=1/2 AB；MD为直角△ADB斜边AB上的中线，MD=1/2 AB∴EM=MDNE为直角△CEO斜边CO上的中线，NE=1/2 CO ND为直角△CDO斜边CO上的中线，ND=1/2 CO ∴NE=ND又MN=MN∴△MEN≌△MDN所以∠EMN=≌∠DMN又ME=MD，MP=MP∴△EMP≌△DMP∴EP=DP∠EPM = ∠DPM = 180°÷2 = 90°即：MN是ED的中垂线3、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点求证：MN⊥DE∵BD，CE为△ABC的两条高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90°，在Rt△BEC中，M为斜边BC的中点，∴EM=2分之一的BC，同理在Rt△BDC中，M为斜边BC的中点，可得DM=2分之一BC（不知可是这图？= =格式出了一点问题。
）∴EM=DM，∴M在线段ED的垂直平分线上，又N为ED的中点，∴N也在线段ED的垂直平分线上，∴MN垂直平分ED．M C4、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。
MN、AC的位置关系如何？证明你的猜想。
DAB5、已知梯形ABCD中，∠B+∠C＝90o，EF是两底中点的连线，试说明BC－AD ＝2EF解:作EM//AB,EN//CD,又AD//BC,则四边形AEMB,CDEN是平行四边形,AE=BM,ED=CN,∠EMN=∠B，∠ENM=角∠C∠B+∠C=90°，则△MEN是直角三角形。
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)三角形中位线专项训练(30道)(解析版)1. 题目解析三角形中位线是指连接一个三角形的两个非邻边中点的线段。
在这个专项训练中，我们将解答30道关于三角形中位线的问题，并提供详细的解析，帮助你更好地理解和掌握相关概念和解题方法。
2. 题目设置2.1 第一类题目：中位线长度计算2.1.1 题目1：已知一个三角形的三边长度分别为a, b, c，求其中位线长度。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(c²+a²-0.5b²)/(2c)。
2.1.2 题目2：已知一个等边三角形的边长为a，求其中位线长度。
解析：等边三角形中位线长等于边长的一半，即中位线长度为a/2。
2.1.3 题目3：已知一个等腰三角形的底边长度为a，腰长为b，求其中位线长度。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(a²+b²)/(2a)。
2.2 第二类题目：中位线位置关系2.2.1 题目4：在一个等边三角形中，证明中位线与底边垂直且分割底边的比例为2:1。
解析：根据等边三角形的性质，中位线和底边垂直。
利用中位线定义和几何性质，可以证明中位线分割底边的比例为2:1。
2.2.2 题目5：已知在一个等腰三角形中，中位线长为x，底边长为y，求腰长。
解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。
利用平行四边形的性质，可以得到腰长为2x-y。
2.2.3 题目6：已知在一个一般三角形中，中位线等分了三角形的面积，证明这个三角形是等腰三角形。
解析：假设中位线等分了三角形的面积，利用三角形面积公式可以得到一个关于中位线和底边的方程。
通过求解这个方程，可以证明这个三角形是等腰三角形。
3. 题目变体上述题目只是针对三角形中位线的一部分问题进行了训练和解析。
中位线经典题型解析
《中位线》专题练习参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．4考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．解答：解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．2．（2009•绍兴）如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°考点：三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）．专题：操作型．分析：由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位线定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，进一步可得∠APD=∠CDE．解答：解：∵△PED是△CED翻折变换来的，∴△PED≌△CED，∴∠CDE=∠EDP=48°，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠APD=∠CDE=48°，故选B．点评：本题考查三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．3．（2010•威海）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．B C=2BE B．∠A=∠EDA C．B C=2AD D．B D⊥AC考点：三角形中位线定理．分析：根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC 且BC=2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB=∠DBE=∠BDE，所以BE=DE=AE，所以AB=2DE，所以AB=BC，即可得出B、D选项正确．解答：解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE∥BC且BC=2DE，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBE=∠BDE，∴BE=DE=AE，∴AB=2DE，BC=2DE=2BE，故A正确；∴AB=BC，∴∠A=∠C=∠EDA，故B正确；C、∵AE=DE，与AD不一定相等，故本选项不一定成立；D、∵AB=BC，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，故本选项正确．故选C．点评：本题利用三角形的中位线定理、角平分线的性质和平行线的性质推出等角，得到等腰三角形是解题的关键．4．如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE=（）A．3cm B．5cm C．2.5cm D．1.5cm考点：三角形中位线定理．分析：延长CD交AB于F点．根据AD平分∠BAC，且AD⊥CD，证明△ACD≌△AFD，得D是CF的中点；又E为BC中点，所以DE是△BCF的中位线，利用中位线定理求解．解答：解：延长CD交AB于F点．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠CAD；∵AD⊥CD，∴∠ADF=∠ADC；又AD=AD，∴△ACD≌△AFD，∴CD=DF，AF=AC=5cm．∵E为BC中点，BF=AB﹣AF=8﹣5=3，∴DE=BF=1.5（cm）．故选D．点评：此题关键是作辅助线构造全等三角形，证明D是CF的中点，从而证明DE是三角形的中位线，运用中位线定理求解．5．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质．分析：过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DG∥BF，又D为BC中点可得出：△CDG∽△CBF，即：==，CG=FC=FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，所以AF=FG=GC，即：==．解答：解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：∵D为BC中点，DG∥BF∴∠CGD=∠CFB又∵∠C=∠C∴△CDG∽△CBF∴==，即：CG=CF=FG又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF同理可得：△AEF∽△ADG∴==，即：AF=AG=FG∴AF=FG=GC∴===1：2故选：D．点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．二．解答题（共3小题）6．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=66°，求∠FEG的度数．考点：三角形中位线定理．分析：根据中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．解答：解：∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，又∵AD=BC，∴GF=GE，∠FGC=∠DAC=20°，∠AGE=∠ACB=66°，∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+（180°﹣66°）=134°，∴∠FEG=（180°﹣∠FGE）=23°．点评：主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，题目的难度不大．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．求证：四边形ABFC是平行四边形．考点：等腰梯形的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：根据等腰梯形性质求出∠ABC=∠DCB，根据DE⊥BC，DE=EF，得出△DFC是等腰三角形，推出∠ABC=∠DCB=∠FCE，AB=CD=CF，推出AB∥CF，根据平行四边形的判定定理推出即可．解答：证明：等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠ABC=∠DCB，∵DE⊥BC，DE=EF，∴△DFC是等腰三角形，∴∠DCB=∠FCE，DC=CF，∴∠ABC=∠FCE，∴AB∥CF，∵AB=CD=CF，∴四边形ABFC是平行四边形．点评：本题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的应用，关键是推出AB=CF，AB∥CF，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，难度适中．8．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．解答：（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．。
三角形的中位线基础题30道选择题附详细答案
9.5 三角形的中位线基础题汇编〔1〕一．选择题〔共30小题〕1．〔2014•河北〕如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．假设DE=2，则BC=〔〕A．2 B．3 C．4 D．52．〔2014•北海〕如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为〔〕A．8 B．9 C．10 D．113．〔2014•泸州〕如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为〔〕A．30°B．60°C．120°D．150°4．〔2014•宜昌〕如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过以下方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的选项是〔〕A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：25．〔2014•牡丹江一模〕如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C在弦AB上，且AC=6，过点C作CD⊥AB 交OB于点D，则CD的长为〔〕A．1 B．2 C．1.5 D．2.56．〔2014•永春县校级质检〕梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，MN是梯形的中位线，则MN的长是〔〕A．1 B．2 C．3 D．47．〔2013•怀化〕如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB 的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是〔〕A．18米B．24米C．28米D．30米8．〔2013•昆明〕如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为〔〕A．50°B．60°C．70°D．80°9．〔2013•河池〕一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是〔〕A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm10．〔2013•铜仁市〕已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为〔〕A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm11．〔2013•西宁〕如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为〔〕A．2 B．4 C．6 D．812．〔2013•巴中〕如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC 的值是〔〕A．9 B．10.5 C．12 D．1513．〔2013•大庆〕已知梯形的面积一定，它的高为h，中位线的长为x，则h与x的函数关系大致是〔〕A．B．C．D．14．〔2013•德庆县二模〕已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则△DEF的周长为〔〕A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm15．〔2013•潮安县模拟〕如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为〔〕A．4 B．3 C． D．216．〔2013•南岗区三模〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是CB中点，P、N分别在AC、AB上，假设△APN的面积与△ANM的面积相等，则AP长为〔〕A．3 B．2 C．D．217．〔2012•台州〕如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，假设△DEF的周长为10，则△ABC的周长为〔〕A．5 B．10 C．20 D．4018．〔2012•聊城〕如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则以下结论不正确的选项是〔〕A．BC=2DE B．△ADE∽△ABC C．=D．S△ABC=3S△ADE19．〔2012•佛山〕依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形〔可认为是一般四边形的性质〕，则这个图形一定是〔〕A．平行四边形B．矩形 C．菱形 D．梯形20．〔2012•湖州〕△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15cm，则△ABC的周长为〔〕A．60cm B．45cm C．30cm D．cm21．〔2012•朝阳〕如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E=30°，∠1=110°，则∠2的度数为〔〕A．80°B．90°C．100°D．110°22．〔2012•南平〕一个三角形的周长是36，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是〔〕A．6 B．12 C．18 D．3623．〔2012•邵阳〕如下列图，在△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，边BC、CA、AB的中点分别是D、E、F，则四边形AFDE是〔〕A．菱形 B．正方形C．矩形 D．梯形24．〔2012•德城区三模〕如图，在△ABC中，BC=6，M、N分别是AB、AC的中点，则MN等于〔〕A．6 B．3 C．D．925．〔2012•黄埔区一模〕如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的周长为〔〕A．8 B．10 C．12 D．1426．〔2012•长宁区一模〕如图，假设DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为〔〕A．1 B．2 C．D．27．〔2012•盐田区二模〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC边的中点，OE=1．那么AB=〔〕A．B．1 C．2 D．428．〔2012•金华模拟〕等腰梯形的腰长为10cm，周长为44cm，则它的中位线长为〔〕cm．A．34 B．17 C．12 D．2429．〔2011•黔南州〕如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是〔〕A．7+B．10 C．4+2D．1230．〔2011•义乌市〕如图，DE是△ABC的中位线，假设BC的长为3cm，则DE的长是〔〕A．2cm B．1.5cm C．1.2cm D．1cm9.5 三角形的中位线基础题汇编〔1〕参考答案与试题解析一．选择题〔共30小题〕1．〔2014•河北〕如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．假设DE=2，则BC=〔〕A．2B．3C．4D．5考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC=2DE．解答：解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×2=4．故选：C．点评：此题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．2．〔2014•北海〕如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为〔〕A．8B．9C．10 D．11考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC=2DE．解答：解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=2×5=10．故选：C．点评：此题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．3．〔2014•泸州〕如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为〔〕A．30°B．60°C．120°D．150°考点：三角形中位线定理；平行线的性质；等边三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等边三角形的性质，可得∠C的度数，根据三角形中位线的性质，可得DE与BC的关系，根据平行线的性质，可得答案．解答：解：由等边△ABC得∠C=60°，由三角形中位线的性质得DE∥BC，∴∠DEC=180°﹣∠C=180°﹣60°=120°，故选：C．点评：此题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．4．〔2014•宜昌〕如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过以下方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的选项是〔〕A．A B=24m B．M N∥AB C．△CMN∽△CAB D．C M：MA=1：2考点：三角形中位线定理；相似三角形的应用．专题：几何图形问题．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再根据相似三角形的判定解答．解答：解：∵M、N分别是AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描述错误的选项是D选项．故选：D．点评：此题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．5．〔2014•牡丹江一模〕如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C在弦AB上，且AC=6，过点C作CD⊥AB交OB 于点D，则CD的长为〔〕A．1B．2C．1.5 D．2.5考点：三角形中位线定理；勾股定理；垂径定理．分析：首先利用垂径定理得出EA=BE=4，再利用勾股定理得出BO的长，进而求出且CD是△BEO的中位线，则CD=EO进而求出即可．解答：解：过点O作OE⊥AB于点E，∵OE⊥AB，∴AE=BE=AB=4，∵BO=5，∴EO==3，∵AC=6，∴BC=EC=2，∵CD⊥BE，OE⊥AB，∴CD∥EO，且CD是△BEO的中位线，∴CD=EO=1.5．故选：C．点评：此题主要考查了三角形中位线定理以及垂径定理和勾股定理等知识，得出CD是△BEO的中位线是解题关键．6．〔2014•永春县校级质检〕梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，MN是梯形的中位线，则MN的长是〔〕A．1B．2C．3D．4考点：梯形中位线定理．分析：根据梯形的中位线长等于两底和的一半，进行计算．解答：解：∵梯形的两底长分别为3和5，∴这个梯形的中位线长为=4．故选D．点评：考查了梯形中位线定理，此题属基此题目，只要熟知梯形的中位线定理即可解答．7．〔2013•怀化〕如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是〔〕A．18米B．24米C．28米D．30米考点：三角形中位线定理．分析：根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．解答：解：∵D、E是OA、OB的中点，即CD是△OAB的中位线，∴DE=AB，∴AB=2CD=2×14=28m．故选C．点评：此题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．8．〔2013•昆明〕如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为〔〕A．50°B．60°C．70°D．80°考点：三角形中位线定理；平行线的性质；三角形内角和定理．分析：在△ADE中利用内角和定理求出∠AED，然后判断DE∥BC，利用平行线的性质可得出∠C．解答：解：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C=∠AED=70°．故选C．点评：此题考查了三角形的中位线定理，解答此题的关键是掌握三角形中位线定理的内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．9．〔2013•河池〕一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是〔〕A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm考点：三角形中位线定理．分析：由三角形的中位线定理可知，以三角形三边中点为顶点的三角形的周长是原三角形周长的一半．解答：解：如图，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE=BC，DF=AC，EF=AB，∵原三角形的周长为36cm，则新三角形的周长为=18〔cm〕．故选C．点评：此题考查三角形的中位线，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．10．〔2013•铜仁市〕已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为〔〕A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm考点：三角形中位线定理．分析：由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．解答：解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE=AC，DF=BC，EF=AB，∴△DEF的周长=DE+DF+EF=〔AC+BC+AB〕=6cm，故选D．点评：解决此题的关键是利用中点定义和中位线定理得到新三角形各边长与原三角形各边长的数量关系．11．〔2013•西宁〕如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为〔〕A．2B．4C．6D．8考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质．分析：根据三角形中位线定理进行计算．解答：解：∵等边三角形的边长为4，∴等边三角形的中位线长是：×4=2．故选A．点评：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．12．〔2013•巴中〕如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是〔〕A．9B．10.5 C．12 D．15考点：梯形中位线定理．分析：根据梯形的中位线等于两底和的一半解答．解答：解：∵E和F分别是AB和CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=〔AD+BC〕，∵EF=6，∴AD+BC=6×2=12．故选C．点评：此题主要考查了梯形的中位线定理，熟记梯形的中位线平行于两底边并且等于两底边和的一半是解题的关键．13．〔2013•大庆〕已知梯形的面积一定，它的高为h，中位线的长为x，则h与x的函数关系大致是〔〕A．B．C．D．考点：梯形中位线定理；反比例函数的图象；反比例函数的应用．分析：根据梯形的中位线定理和梯形的面积的计算方法确定两个变量之间的函数关系，然后判断其图象即可．解答：解：梯形的面积=×梯形上、下底之和×高，符合k=hx，故h=〔x＞0，h＞0〕所以是反比例函数．故选D．点评：此题考查了反比例函数的图象及反比例函数的应用，解题的关键是根据实际问题列出函数关系式．14．〔2013•德庆县二模〕已知△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，D，E，F分别为△ABC各边的中点，则△DEF 的周长为〔〕A．3cm B．6cm C．12cm D．24cm考点：三角形中位线定理．分析：利用三角形中位线定理可知，中点三角形的周长等于原三角形周长的一半，即可求．解答：解：∵△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，∵D，E，F分别为△ABC各边的中点，∴△DEF的各边长分别为△ABC的三边长的一半，∴△DEF 的周长为〔3+4+5〕=6cm．故选B．点评：此题比较简单，考查的是三角形中位线定理的性质，属简单题目．15．〔2013•潮安县模拟〕如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为〔〕A．4B．3C．D．2考点：三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．分析：先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可．解答：解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB=4，又∵DE是中位线，∴DE=BC=2．故选D．点评：此题考查了三角形的中位线定理，解答此题的关键是掌握含30°角的直角三角形的性质及三角形的中位线定理．16．〔2013•南岗区三模〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是CB中点，P、N分别在AC、AB上，假设△APN的面积与△ANM的面积相等，则AP长为〔〕A．3B．2C．D．2考点：三角形中位线定理；平行线之间的距离．分析：如图，过点P作PG⊥AB于G，过点M作MH⊥AB于H．则PG∥MH．易推知四边形PGHM是矩形，根据矩形的性质判定PM是△ABC的中位线，则点P是AC的中点．易求AP=2．解答：解：如图，过点P作PG⊥AB于G，过点M作MH⊥AB于H．则PG∥MH．∵△APN的面积与△ANM的面积相等，∴×AN•PG=AN•MH，∴PG=MH，∴四边形PGHM是矩形，∴PM∥AB．∵M是CB中点，∴PM是△ABC的中位线，∴AP=AC=×4=2．故选：B．点评：此题考查了三角形中位线定理和平行线之间的距离．根据题意作出辅助线是解题的难点．17．〔2012•台州〕如图，点D、E、F分别为△ABC三边的中点，假设△DEF的周长为10，则△ABC的周长为〔〕A．5B．10 C．20 D．40考点：三角形中位线定理．专题：数形结合．分析：根据中位线定理可得BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，继而结合△DEF的周长为10，可得出△ABC的周长．解答：解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，∴BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，故△ABC的周长=AB+BC+AC=2〔DF+FE+DE〕=20．故选C．点评：此题考查了三角形的中位线定理，解答此题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，难度一般．18．〔2012•聊城〕如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则以下结论不正确的选项是〔〕A．B C=2DE B．△ADE∽△ABC C．D．S△ABC=3S△ADE=考点：三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：根据三角形的中位线定理得出DE是△ABC的中位线，再由中位线的性质得出△ADE∽△ABC，进而可得出结论．解答：解：∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴BC=2DE，故A正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B正确；∴=，故C正确；∵DE是△ABC的中位线，∴AD：BC=1：2，∴S△ABC=4S△ADE故D错误．故选D．点评：此题考查的是相似三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，熟记以上知识是解答此题的关键．19．〔2012•佛山〕依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形〔可认为是一般四边形的性质〕，则这个图形一定是〔〕A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形考点：三角形中位线定理；平行四边形的判定．分析：首先根据题意画出图形，再连接AC，根据三角形的中位线得到HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC，可以推出EF=GH，EF∥GH，根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出即可．解答：解：这个图形一定是平行四边形，理由是：根据题意画出图形，如右图所示：连接AC，∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=AC，EF∥AC，EF=AC，∴EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形．故选：A．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，三角形的中位线，解决问题的关键是正确画出图形，证明EF=GH和EF∥GH．20．〔2012•湖州〕△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15cm，则△ABC的周长为〔〕A．60cm B．45cm C．30cm D．cm考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线平行且等于底边的一半，又相似三角形的周长的比等于相似比，问题可求．解答：解：∵△ABC三条中位线围成的三角形与△ABC相似，∴相似比是，∵△ABC中的三条中位线围成的三角形周长是15cm，∴△ABC的周长为30cm，故选C．点评：此题主要考查三角形的中位线定理．要熟记相似三角形的周长比、高、中线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．21．〔2012•朝阳〕如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E=30°，∠1=110°，则∠2的度数为〔〕A．80°B．90°C．100°D．110°考点：三角形中位线定理；平行线的性质．分析：根据三角形中位线性质和平行线的性质以及三角形外角性质解答即可．解答：解：∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是三角形EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2=∠ECD，∵∠1=110°，∠E=30°，∴∠ECD=80°，∴∠2=80°．故选A．点评：此题考查了三角形中位线性质定理和平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是熟记各种定理的内容．22．〔2012•南平〕一个三角形的周长是36，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是〔〕A．6B．12 C．18 D．36考点：三角形中位线定理．分析：首先根据题意画出图形，由三角形的中位线定理可知：DE=BC，DF=AC，EF=AB，则以三角形三边中点为顶点的三角形的周长是原三角形周长的一半．解答：解：根据题意，画出图形如图示，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE=BC，DF=AC，EF=AB，∵AB+CB+AC=36，∴DE+DF+FE=36÷2=18．故选C．点评：此题主要考查了三角形的中位线，中位线是三角形中的一条重要线段，解决问题的关键是熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．23．〔2012•邵阳〕如下列图，在△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，边BC、CA、AB的中点分别是D、E、F，则四边形AFDE是〔〕A．菱形B．正方形C．矩形D．梯形考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质；菱形的判定．专题：压轴题．分析：首先根据三角形中位线定理证得四边形AFDE是平行四边形，然后由等腰三角形的性质证得该平行四边形的邻边相等．解答：解：∵边BC、CA的中点分别是D、E，∴线段DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，DE∥AC．同理，DF=AC，DF∥AC．又AB=AC，∠A＜90°，∴DE∥AF，DF∥AE，DE=DF，∴四边形AFDE是菱形．故选A．点评：此题考查了菱形的判定、等腰三角形的性质以及三角形中位线定理．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．24．〔2012•德城区三模〕如图，在△ABC中，BC=6，M、N分别是AB、AC的中点，则MN等于〔〕A．6B．3C．D．9考点：三角形中位线定理．分析：利用三角形的中位线定理，知MN是BC的一半，可求出MN的长．解答：解：∵△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∵BC=6cm，∴MN=BC=3，故选B．点评：此题考查了三角形中位线的性质，此题考查了中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半．25．〔2012•黄埔区一模〕如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的周长为〔〕A．8B．10 C．12 D．14考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质．分析：利用三角形中位线的性质可以推知AD=BD=AB、AE=CE=AC、DE=BC；然后由等边三角形的性质和四边形的周长公式可以求得四边形BCED的周长．解答：解：∵边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，∴AD=BD=AB=2、AE=CE=AC=2、DE=BC=2；∴四边形BCED的周长为：BD+DE+EC+BC=2+2+2+4=10；故选B．点评：此题主要考查了三角形中位线定理、等边三角形的性质．解答此题的关键是正确理解三角形中位线的定义与定理．26．〔2012•长宁区一模〕如图，假设DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为〔〕A．1B．2C．D．考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线定理，DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，得DE=，AD=，AE=而解得．解答：解：∵DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，∴DE=，AD=，AE=∴△ADE的周长为．故选C．点评：根据三角形的中位线定理，得三角形ADE的边长是三角形ABC边长的．此题主要是根据三角形的中位线定理进行分析计算．27．〔2012•盐田区二模〕如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC边的中点，OE=1．那么AB=〔〕A．B．1C．2D．4考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．分析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC；再根据点E是BC的中点，得出OE是△ABC的中位线，由OE=1，即可求得AB=2．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC；又∵点E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，则根据三角形的中位线定理可得：AB=2OE=2×1=2．故选C．点评：此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．28．〔2012•金华模拟〕等腰梯形的腰长为10cm，周长为44cm，则它的中位线长为〔〕cm．A．34 B．17 C．12 D．24考点：梯形中位线定理；等腰梯形的性质．分析：等腰梯形的周长等于四边之和，那么据此可求上下底之和，而梯形中位线等于上下底和的一半，又可求中位线．解答：解：∵上底+下底+两腰=周长，∴〔上底+下底〕+2×10=44，∴上底+下底=24，∴中位线=×24=12．故选C．点评：此题利用了梯形的周长公式以及梯形中位线定理．解题的关键是牢记中位线与两底的数量关系．29．〔2011•黔南州〕如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是〔〕A．7+B．10 C．4+2D．12考点：三角形中位线定理．分析：根据等腰三角形三线合一的性质，先求出BE，再利用中位线定理求出DE即可．解答：解：∵在△ABC中，AB=AC=6，AE平分∠BAC，∴BE=CE=BC=4，又∵D是AB中点，∴BD=AB=3，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC=3，∴△BDE的周长为BD+DE+BE=3+3+4=10．故选：B．点评：此题主要考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的性质：是三线合一，是中学阶段的常规题．30．〔2011•义乌市〕如图，DE是△ABC的中位线，假设BC的长为3cm，则DE的长是〔〕A．2cm B．1.5cm C．1.2cm D．1cm考点：三角形中位线定理．分析：三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；此题利用定理计算即可．解答：解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵BC的长为3cm，∴DE=1.5．故选B．点评：此题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．。
完整版三角形的中位线经典练习题及其答案
八年级三角形的中位线练习题及其答案1 •连结三角形2 •三角形的中位线于第三边，并且等于3 •一个三角形的中位线有__________ 条.4. 如图△ ABC中，D E分别是ABAC的中点，则线段CD>^ ABC的_______ ,线段。
丘是厶ABC ___________5、如图，D E、F分别是△ ABC各边的中点（1）如果EF= 4cm,那么BC= cm 如果AB= 10cm,那么DF= __________________________ cm（2） ________________________________ 中线AD与中位线EF的关系是____________________________6 .如图1所示，EF是厶ABC的中位线，若BC=8cm贝UEF=_________________________________________________cm7 .三角形的三边长分别是3cm 5cm, 6cm,则连结三边中点所围成的三角形的周长是 __________________ cm.8.在Rt △ ABC中，/ C=90°, AC=?5 ?BC=?12, ?则连结两条直角边中点的线段长为 ____________ .9 .若三角形的三条中位线长分别为2cm, 3cm, 4cm,则原三角形的周长为（）A . 4.5cmB . 18cmC . 9cmD . 36cm10. 如图2所示，A, B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A, B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A, B的点C,找到AC, BC的中点D, E,并且测出DE 的长为10m,则A, B间的距离为（）A . 15mB . 25mC . 30mD . 20m11. 已知△ ABC的周长为1,连结△ ABC的三边中点构成第二个三角形，？再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是( )A 1 1 1 1A、 B C D、2008 2009 20082 2009212.如图3所示，已知四边形ABCD R, P分别是DC BC上的点，E,F分别是AP, RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A .线段EF的长逐渐增大B .线段EF的长逐渐减少C .线段EF的长不变D .线段EF的长不能确定13.如图4,在厶ABC中, E, D, F分别是AB, BC CA的中点，AB=6, AC=4,则四边形AEDF?勺周长是（）A . 10B . 20C . 30D . 40A__________ D的线段叫做三角形的中位线.14. 如图所示，口ABCD的对角线AC, BD相交于点O, AE=EB求证：OE// BC.15. 已知矩形ABCD中，AB=4cm, AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H 分别是AB、AP、DP、DC的中点.求证：EF+GH=5cm；16 .如图所示，在△ ABC中，点D在BC上且CD=CA CF平分/ ACB AE=EB求证:EF=1BD.217.如图所示，已知在口ABCD中, E, F分别是AD, BC的中点，求证：MN/ BC.18.已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、arc CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.19.如图，点E, F, G, H分别是CD, BC, AB , DA的中点。
三角形中位线专项训练(30道)(解析版)
专题9.7 三角形中位线专项训练（30道）【苏科版】1．（2021秋•淅川县期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2B．5C．7D．9【分析】根据三角形的中位线定理得出EF=12DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF=12DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB=√AD2+BD2=√52+122=13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．2．（2021秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝CB＝6，BD⊥AC于点D，F在BC上且BF＝2，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝DC，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵CB＝6，BF＝2，∴FC＝6﹣2＝4，∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AE＝EF，∴DE是△AFC的中位线，∴DE=12FC=12×4＝2，故选：B．3．（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF【分析】取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD，BC和EF的关系．【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG=12BC，GF=12AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即12BC+12AD＞EF，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．4．（2021秋•荆门期末）如图，△ABC 的周长为20，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC ＝8，则MN 的长度为（ ）A ．32B ．2C ．52 D ．3【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理得到CD ＝CA ，AM ＝MD ，求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：在△BNA 和△BNE 中，{∠NBA =∠NBE BN =BN ∠BNA =∠BNE，∴△BNA ≌△BNE （ASA ）∴BE ＝BA ，AN ＝NE ，同理，CD ＝CA ，AM ＝MD ，∴DE ＝BE +CD ﹣BC ＝BA +CA ﹣BC ＝20﹣8﹣8＝4，∵AN ＝NE ，AM ＝MD ，∴MN =12DE ＝2，故选：B ．5．（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＞AB ＞4，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BD ＝4，CE ＝3，取DE 、BC 的中点M 、N ，线段MN 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【分析】如图，作CH ∥AB ，连接DN ，延长DN 交CH 于H ，连接EH ，首先证明CH ＝BD ，∠ECH ＝90°，解直角三角形求出EH ，利用三角形中位线定理即可解决问题．【解答】解：作CH ∥AB ，连接DN 并延长交CH 于H ，连接EH ，∵BD ∥CH ，∴∠B ＝∠NCH ，∠ECH +∠A ＝180°，∵∠A ＝90°，∴∠ECH ＝∠A ＝90°，在△DNB 和△HNC 中，{∠B =∠NCH BN =CN ∠DNB =∠HNC，∴△DNB ≌△HNC （ASA ），∴CH ＝BD ＝4，DN ＝NH ，在Rt △CEH 中，CH ＝4，CE ＝3，∴EH =√CH 2+CE 2=√42+32=5，∵DM ＝ME ，DN ＝NH ，∴MN =12EH ＝2.5，故选：A ．6．（2021•丹东模拟）如图，在△ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF ⊥CD 交CD延长线于点F ，AC ＝7，BC ＝4，则EF 的长为（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3【分析】延长AF 、BC 交于点G ，证明△ACF ≌△GCF ，根据全等三角形的性质得到CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，求出BG ，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：延长AF 、BC 交于点G ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠ACF ＝∠BCF ，在△ACF 和△GCF 中，{∠ACF =∠GCF CF =CF ∠AFC =∠GFC =90°，∴△ACF ≌△GCF （ASA ），∴CG ＝AC ＝7，AF ＝FG ，∴BG ＝CG ﹣CB ＝3，∵AE ＝EB ，AF ＝FG ，∴EF =12BG ＝1.5，故选：A ．7．（2021•碑林区校级模拟）如图，AD 为△ABC 的角平分线，BE ⊥AD 于E ，F 为BC 中点，连接EF ，若∠BAC ＝80°，∠EBD ＝20°，则∠EFD ＝（ ）A ．26°B ．28°C ．30°D ．32°【分析】延长BE 交AC 于G ，证△ABE ≌△AGE （ASA ），得BE ＝GE ，再由三角形中位线定理得EF ∥GC ，则∠EFD ＝∠C ，然后求出∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝70°，即可解决问题．【解答】解：延长BE 交AC 于G ，如图所示：∵AD 平分∠BAC ，∠BAC ＝80°，∴∠BAE ＝∠GAE =12∠BAC ＝40°，∵BE ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠GEA ＝90°，∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AGE （ASA ），∴BE ＝GE ，∵F 为BC 的中点，∴EF 是△BCG 的中位线，∴EF ∥GC ，∴∠EFD ＝∠C ，∵∠BEA ＝90°，∴∠ABE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣40°＝50°，∴∠ABC ＝∠ABE +∠EBD ＝50°+20°＝70°，∴∠EFD ＝∠C ＝180°﹣∠BAC ﹣∠ABC ＝180°﹣80°﹣70°＝30°，故选：C ．8．（2021秋•广饶县期末）如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若AC ＝4，则AF ＝（ ）A ．85 B ．43 C ．1 D ．23 【分析】取EF 的中点H ，连接DH ，根据三角形中位线定理得到DH =12FC ，DH ∥AC ，证明△AEF ≌△DEH ，根据全等三角形的性质得到AF ＝DH ，计算即可．【解答】解：取EF 的中点H ，连接DH ， ∵BD ＝DC ，BH ＝HF ，∴DH =12FC ，DH ∥AC ，∴∠HDE ＝∠F AE ，在△AEF 和△DEH 中，{∠AEF =∠DEH AE =DE ∠EAF =∠EDH，∴△AEF ≌△DEH （ASA ）， ∴AF ＝DH ，∴AF =12FC ， ∵AC ＝4，∴AF =43，故选：B ．9．（2021春•平邑县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．12【分析】证明△AFG ≌△AFC ，得到GF ＝FC ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠GAF ＝∠CAF ，∵CG ⊥AD ，∴∠AFG ＝∠AFC ＝90°，在△AFG 和△AFC 中，{∠AFG =∠AFC AF =AF ∠FAG =∠FAC，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴GF＝FC，AG＝AC＝6，∴GB＝AB﹣AG＝2，∵GF＝FC，BE＝EC，∴EF=12GB＝1，故选：A．10．（2021春•宽城县期末）如图，E，F是四边形ABCD两边AB，CD的中点，G，H是对角线AC，BD的中点，若EH＝6，则以下结论不正确的是（）A．BC＝12B．GF＝6C．AD＝12D．EH∥GF【分析】先判定EH为△ABD的中位线，GF为△ADC的中位线，然后根据三角形中位线性质对各选项进行判断．【解答】解：∵点E为AB的中点，点H为BD的中点，∴EH为△ABD的中位线，∴EH=12AD，EH∥AD，∵点F为CD的中点，点G为AC的中点，∴GF为△ADC的中位线，∴GF=12AD，GF∥AD，∴GF＝EH＝6，AD＝2EH＝12，EH∥GF，所以A选项符合题意，B选项、C选项和D 选项不符合题意．故选：A．二．填空题（共10小题）11．（2021秋•莱阳市期末）如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF＝4，AD＝7，则BC的长为22．【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DBF ＝∠FBC ，根据等腰三角形的判定定理得到DF ＝BD ＝7，计算即可．【解答】解：∵D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE =12BC ，BD ＝AD ＝7，∴∠DFB ＝∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DFB ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠FBC ，∴DF ＝BD ＝7，∴DE ＝DF +EF ＝11，∴BC ＝2DE ＝22，故答案为：22．12．（2021秋•让胡路区校级期末）如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为 16 ．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是 27﹣n ．【分析】根据E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，可以判断EF 、FG 、EG 为三角形中位线，利用中位线定理求出EF 、FG 、EG 与BC 、AB 、CA 的长度关系即可求得△EFG 的周长是△ABC 周长的一半，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，以此类推，可以求得第n 个三角形的周长．【解答】解：∵如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点， ∴EF 、FG 、EG 为三角形中位线，∴EF =12BC ，EG =12AC ，FG =12AB ，∴EF +FG +EG =12（BC +AC +AB ），即△EFG 的周长是△ABC 周长的一半．同理，△A ′B ′C ′的周长是△EFG 的周长的一半，即△A ′B ′C ′的周长为14×64＝16．以此类推，第n 个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（12）n ﹣1＝27﹣n故答案是：27﹣n ．13．（2021春•安徽月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠DAB ＝50°，∠CBA ＝70°，P 、M 、N 分别是AB 、AC 、BD 的中点，若BC ＝6，则△PMN 的周长是 9 ．【分析】根据三角形中位线定理得到PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，根据等边三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：∵P 、M 分别是AB 、AC 的中点，∴PM ∥BC ，PM =12BC ＝3，∴∠APM ＝∠CBA ＝70°，同理可得：PN ∥AD ，PN =12AD ＝3，∴∠BPN ＝∠DAB ＝50°，∴PM ＝PN ＝3，∠MPN ＝180°﹣50°﹣70°＝60°，∴△PMN 为等边三角形，∴△PMN 的周长为9，故答案为：9．14．（2021秋•长春期中）如图所示，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，DC ＝AC ＝10，且AD BD =32，作∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ，CF ＝8，E 是AB 的中点，连接EF ，则EF 的长为 4 ．【分析】根据等腰三角形的性质得到F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，根据勾股定理得到DF =√CD 2−CF 2=6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：∵DC ＝AC ＝10，∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，∴F 为AD 的中点，CF ⊥AD ，∴∠CFD ＝90°，∵DC ＝10，CF ＝8，∴DF =√CD 2−CF 2=6，∴AD ＝2DF ＝12，∵AD BD =32，∴BD ＝8，∵点E 是AB 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF =12BD ＝4，故答案为：4．15．（2021•商丘四模）如图，四边形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、BC 的中点，延长FE交CD 延长线于点G ，交BA 延长线于点H ，若∠BHF 与∠CGF 互余，AB ＝4，CD ＝6，则EF 的长为 √13 ．【分析】根据三角形的中位线定理和勾股定理解答即可．【解答】解：连接BD ，取BD 的中点M ，连接EM ，FM ，∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，M 为BD 的中点，∴EM ，MF 分别为△ADB 、△BCD 的中位线，∴EM ∥AB ，MF ∥DC ，EM =12AB ＝2，MF =12DC ＝3，∵MF ∥DC ，∴∠FGC ＝∠EFM ，∵EM ∥AB ，∴∠FEM ＝∠FHB ，∵∠BHF 与∠CGF 互余，∴∠CGF +∠BHF ＝∠EFM +∠FEM ＝90°，∴∠EMF ＝180°﹣∠EFM ﹣∠FEM ＝90°，∴△EMF 是直角三角形，∴EF=√EM2+FM2=√22+32=√13，故答案为：√13．16．（2021•香坊区校级开学）如图，在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上一点，连接DE，BH⊥AC于H，若2∠ADE＝90°﹣∠HBC，AD：BC＝4：3，CD＝2，则BC的长为6．【分析】如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，由等腰三角形的性质可得∠ADE ＝∠N，可证DE∥BN，由三角形中位线定理可得AD＝DN，即可求解．【解答】解：如图，延长AC至N，使CN＝BC，连接BN，∵2∠ADE＝90°﹣∠HBC，∠BCA＝90°﹣∠HBC，∴∠BCA＝2∠ADE，∵CN＝BC，∴∠N＝∠CBN，∴∠BCA＝∠N+∠CBN＝2∠N，∴∠ADE＝∠N，∴DE∥BN，又∵E是AB的中点，∴DE是△ABN的中位线，∴AD＝DN，∵AD：BC＝4：3，∴设AD＝DN＝4x，BC＝CN＝3x，∴CD＝DN﹣CN＝x＝2，∴BC＝6，故答案为6．17．（2021春•牡丹区期末）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝13，AC＝8，则DF的长为 2.5．【分析】延长CF交AB于点G，判断出AF垂直平分CG，得到AC＝AG，根据三角形中位线定理解答．【解答】解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∴AF垂直平分CG，∴AC＝AG，GF＝CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=12BG=12（AB﹣AG）=12（AB﹣AC）＝2.5，故答案为：2.5．18．（2021春•洛阳期末）如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB＝10cm，DE＝2cm，则AC的长为6cm．【分析】延长AC 、BE 交于点F ，证明△AEB ≌△AEF ，根据全等三角形的性质得到AF ＝AB ＝10cm ，BE ＝EF ，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长AC 、BE 交于点F ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE ，在△AEB 和△AEF 中，{∠BAE =∠FAE AE =AE ∠AEB =∠AEF =90°，∴△AEB ≌△AEF （ASA ），∴AF ＝AB ＝10（cm ），BE ＝EF ，∵BD ＝DC ，DE ＝2cm ，∴CF ＝2DE ＝4（cm ），∴AC ＝AF ﹣CF ＝6（cm ），故答案为：6．19．（2021春•盐湖区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，若∠MPN ＝130°，则∠NMP 的度数为 25° ．【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN 的度数．【解答】解：在四边形ABCD 中，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，∴PN ，PM 分别是△CDB 与△DAB 的中位线，∴PM =12AB ，PN =12DC ，PM ∥AB ，PN ∥DC ，∵AB ＝CD ， ∴PM ＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形，∵∠MPN＝130°，∴∠PMN=180°−130°2=25°．故答案为：25°．20．（2021春•虹口区校级期末）如图，在△ABC中，BM、CN平分∠ABC和∠ACB的外角，AM⊥BM于M，AN⊥CN于N，AB＝10，BC＝13，AC＝6，则MN＝ 4.5．【分析】延长AM交BC于点G，根据BM为∠ABC的平分线，AM⊥BM得出∠BAM＝∠G，故△ABG为等腰三角形，所以AM＝GM．同理AN＝DN，根据三角形中位线定理即可求得MN．【解答】解：延长AM交BC于点G，延长AN交BC延长线于点D，∵BM为∠ABC的平分线，∴∠CBM＝∠ABM，∵BM⊥AG，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∠MGB+∠CBM＝90°，∴∠BAM＝∠MGB，∴△ABG为等腰三角形，∴AM＝GM．BG＝AB＝10，同理AN＝DN，CD＝AC＝6，∴MN为△ADG的中位线，∴MN=12DG=12（BC﹣BG+CD）=12（BC﹣AB+AC）=12（13﹣10+6）＝4.5．故答案为：4.5．三．解答题（共10小题）21．（2019春•岐山县期末）△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．【分析】连接DE，FG，由BD与CE为中位线，利用中位线定理得到ED与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC的一半，等量代换得到ED与FG平行且相等，进而得到四边形EFGD为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证．【解答】证明：连接DE，FG，∵BD，CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，同理：FG∥BC，FG=12BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．22．（2021秋•桓台县期末）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．【分析】（1）取BD的中点P，利用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理来求EF的长度；（2）如图，取BD的中点P，连接EP、FP．用三角形中位线定理可以求得EP、FP的长度，然后利用勾股定理即可得到结论．【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ＝3，PF ∥CD 且PF =12CD ＝4．又∵∠ABD ＝30°，∠BDC ＝120°，∴∠EPD ＝∠ABD ＝30°，∠DPF ＝180°﹣∠BDC ＝60°，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝90°，在直角△EPF 中，由勾股定理得到：EF =√EP 2+PF 2=√32+42=5，即EF ＝5；（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP 、FP ．∵E ，F 分别是AD 、BC 的中点，∴PE ∥AB ，且PE =12AB ，PF ∥CD 且PF =12CD ．∴∠EPD ＝∠ABD ，∠BPF ＝∠BDC ，∴∠DPF ＝180°﹣∠BPF ＝180°﹣∠BDC ，∵∠BDC ﹣∠ABD ＝90°，∴∠BDC ＝90°+∠ABD ，∴∠EPF ＝∠EPD +∠DPF ＝∠ABD +180°﹣∠BDC ＝∠ABD +180°﹣（90°+∠ABD ）＝90°，∴PE 2+PF 2＝（12AB ）2+（12CD ）2＝EF 2，∴AB 2+CD 2＝4EF 2．23．（2021秋•莱州市期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG ＝OH ．【分析】取BC 边的中点M ，连接EM ，FM ，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF 是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF ＝∠MFE ，然后根据平行线的性质证得∠OGH ＝∠OHG ，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF=12BD，同理：ME∥AC，ME=12AC，∵AC＝BD∴ME＝MF∴∠MEF＝∠MFE，∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH，同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG∴OG＝OH．24．（2021春•抚州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．（1）求证：CE＝DE；（2）若点F为BC的中点，求EF的长．【分析】（1）根据ASA证明△AEC和△AED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵CE⊥AE，∴∠AEC ＝∠AED ＝90°，在△AEC 和△AED 中，{∠CAE =∠DAE AE =AE ∠AEC =∠AED，∴△AEC ≌△AED （ASA ），∴CE ＝DE ；（2）在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10，∵△AEC ≌△AED ，∴AD ＝AC ＝6，∴BD ＝AB ﹣AD ＝4，∵点E 为CD 中点，点F 为BC 中点，∴EF =12BD =2．25．（2021春•秦都区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，连接BE 、DE ，∠ADE ＝∠AED ，点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点．求证：FG ＝FH ．【分析】根据等腰三角形的判定定理得到AD ＝AE ，根据线段的和差得到BD ＝CE ，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】证明：∵∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE ，∵AB ＝AC ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，即BD ＝CE ，∵点F 、G 、H 分别为BE 、DE 、BC 的中点，∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△BCE 的中位线，∴FG =12BD ，FH =12CE ，∴FG ＝FH ．26．（2021春•泰兴市月考）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别是BC 、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME＝∠CNE．【分析】连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形的中位线的性质得到FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，根据平行线的性质得到∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，根据等腰三角形的性质得到∠HFE＝∠HEF，等量代换即可得到结论．【解答】证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴FH∥BM，FH=12AB，EH∥CN，EH=12CD，∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，∵AB＝CD，∴FH＝EH，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE．27．（2021春•沈北新区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=12CF．【分析】过D 作DG ∥AC ，可证明△AEF ≌△DEG ，可得AF ＝DG ，由三角形中位线定理可得DG =12CF ，可证得结论．【解答】证明：如图，过D 作DG ∥AC ，则∠EAF ＝∠EDG ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 中点， ∴G 为BF 中点，∴DG =12CF ，∵E 为AD 中点，∴AE ＝DE ，在△AEF 和△DEG 中，{∠EAF =∠EDG AE =DE ∠AEF =∠DEG，∴△AEF ≌△DEG （ASA ）， ∴DG ＝AF ，∴AF =12CF ．28．（2021春•莆田期末）如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC＝BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F ．你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？【分析】此题要构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明．【解答】解：相等．理由如下：取AD 的中点G ，连接MG ，NG ，∵G 、N 分别为AD 、CD 的中点， ∴GN 是△ACD 的中位线，∴GN =12AC ，同理可得，GM=12BD，∵AC＝BD，∴GN＝GM=12AC=12BD．∴∠GMN＝∠GNM，又∵MG∥OE，NG∥OF，∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，∴OE＝OF．29．（2021春•城固县期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，E，F为AB、CD 的中点，连接EF交BD、AC于P、Q，取BC中点G，连EG、FG，求证：OP＝OQ．【分析】根据三角形中位线定理得到EG=12AC，EG∥AC，FG=12BD，FG∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质和判定定理证明结论．【解答】证明：∵E，G为AB、BC中点，∴EG=12AC，EG∥AC，∴∠FEG＝∠OQP，同理，FG=12BD，FG∥BD，∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ．30．（2021春•三水区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【分析】（1）由中点性质及AB＝AC，得到BD＝EC，再由中位线性质证明FG∥BD，GF=12BD，FH∥EC，FH=12EC，从而得到FG＝FH；（2）由（1）FG∥BD，FH∥EC，再由∠A＝90°，可证FG⊥FH；（3）由（1）FG∥BD，∠A＝80°，可求得∠FKC，再由FH∥EC，可求得∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF=12 BDFH∥EC，FH=12 EC∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°。
三角形的中位线基础题30道解答题讲解
9.5 三角形的中位线基础题汇编（3）BCBC=3DE=6中点重合）EF=EF=CE=，求BCD=EM=（9.5 三角形的中位线基础题汇编（3）参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．四边形EGFH是平行四边形吗？请证明你的结论．2．请写出“如图，在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=BC”的逆命题．判断逆命题的真假，并说明你的理由？BC3．在四边形ABCD中，BD、AC相交于点O，AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，分别交AC、BD 于点M、N．判断△MON的形状，并说明理由．EG=4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E、F、G分别是BC、AC、AB的中点，若AB=BC=3DE=6，求四边形DEFG的周长．BC=3DE=6BC=3DE=6EF=×BC=×，AB=×=GF+DG+DE+EF=+3+2+3=．5．如图，在△ABC中（AB≠AC），M为BC的中点，AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，求证：ME=MF．MF=ME=GBME=6．△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，直线BE交AC于F，求证：AC=3AF．7．如图，已知△XYZ中，MY=NZ，A、B分别是YN、MZ的中点，延长AB、BA分别交XZ、XY于点D、C，求证：XC=XD．BE=NZ BE=MY8．如图，AB为⊙O的一条弦，CD为直径（C不与A、B及中点重合），作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，问CE﹣DF的值是否变化？为什么？9．△ABC中，D为CB的延长线上一点，BE是∠ABD的角平分线，AE⊥BE，F是AC的中点，试说明：EF∥BC，且EF=（AB+BC）．EF=10．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接FE并延长，分别交CD的延长线于点M、N，∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．GE=GF=CDAB GF=CD11．已知，如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB边上的中线，求证：CE=2CD．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，AC=AD，DE⊥CD交BC于点E，AF平分∠BAC交BC于F点．（1）求证：AF∥DE；（2）当AC=6，AB=10时，求BE的长．==，，BE=13．在四边形ABCD中，AB∥CD，E、F是AD、BC中点．求证：EF=（AB+CD），EF∥CD．EF=DM=14．如图，已知△ABC中，点D是BA上一点，BD=AC，E，F分别是BC，DA的中点，EF和CA的延长线相交于点G．求证：AG=AF．15．如图，AD是△ABC的中线，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，求证：EG与DF互相平分．ACED=16．已知：如图，点B是AD的中点，点E是AB的中点，AB=AC 求证：CE=CD．ACBE=CDCE=17．在△ABC中，AD⊥BC于D点，BE为中线，且∠CBE=30°．求证：AD=BE．EF=EF=EF=18．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，AB=6，AC=8，DF=5，求AE的长．BC=519．已知如图，△ABC中，AD为BC的中线，E为AD的中点，延长CE交AB于点F，求的值．（用多种方法解答）；或过BF=DM==20．在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC且tan∠BCD=，求tanA的值．BCD=，设，即BCD==ABBE=CE=AC．21．已知在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN，求证：MN∥AC．22．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD延长线于E，M是BC中点．求证：EM=（AB﹣AC）．CF=CF23．如图，在△ABC中，若∠B=2∠C，AD⊥BC，E为BC边中点，求证：AB=2DE．24．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN=∠PNM．PM=PN=ADBC PN=AD25．如图，△ABC中，BM平分∠ABC，AM⊥BM，垂足M点，点N为AC的中点，AB=10，BC=6，求MN长度．MN=26．已知：△ABC，用刻度尺量出△ABC的各边的长度，并取各边的中点，画出△ABC的三条中线，你发现了什么？27．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足为E，F是BC中点，探究BD与EF的关系．并说明理由．EF=28．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB．求证：OE∥BC．29．△ABC中，AD是∠BAC的平分线，G是BC的中点，过G作直线FG平行于AD，分别交AB和CA的延长线于点E和点F，求证：BE=CF=（AB+AC）．BF=CE=30．如图，在△ABC中，AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，已知BC=8，则DG+EH+FI的长是多少？BCBC BCDG+EH+FI=BC+BC=。
初二数学三角形中位线练习题(含答案)
初二数学三角形中位线练习题一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若18DE m=，则线段AB的长度是()A．9m B．12m C．8m D．10m2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是()A．16B．12C．8D．43．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度() A．保持不变B．逐渐变小C．先变大，再变小D．逐渐变大4．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD BC=，∠的度数是()∠=︒，则EFPEPF136A．68︒B．34︒C．22︒D．44︒5．如图，D是ABC⊥，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、AC的中点．若∆内一点，BD CDCD=，则四边形EFGH的周长是()BD=，6AD=，810A．24B．20C．12D．10第3题图第4题图第5题图二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是．7．如图，在Rt ABCABC∠=︒，点D、E、F分别是AB、AC，∆中，90BE=，则DF=．BC边上的中点，连结BE，DF，已知58．如图，在四边形ABCD中，220∠+∠=︒，E、F分别是AC、ADC BCDBD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= ︒．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = ．10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 ．第8题图 第9题图 第10题图三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．13．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，且AC BD =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG OH =．答案与解析一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A 、B 两地之间的距离，在线段AB 的同侧取一点C ，连结CA 并延长至点D ，连结CB 并延长至点E ，使得A 、B 分别是CD 、CE 的中点，若18DE m =，则线段AB 的长度是( )A ．9mB ．12mC ．8mD ．10m【分析】根据三角形的中位线定理解答即可． 【解答】解：A 、B 分别是CD 、CE 的中点， ∴AB 是△CDE 的中位线，192AB DE m ∴==， 故选：A ．2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是( ) A ．16 B ．12 C ．8 D ．4【分析】由中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可得出其周长等于原三角形周长的一半．【解答】解：三角形的周长是16，∴它的三条中位线围成的三角形的周长是11682⨯=． 故选：C ．3．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大 【分析】连接AQ ，根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：如图所示，连接AQ ， 点Q 是边BC 上的定点， AQ ∴的大小不变，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点， ∴EF 是△APQ 的中位线， 12EF AQ ∴=， ∴线段EF 的长度保持不变，故选：A ．4．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是( )A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒【分析】根据三角形中位线定理得到12PE AD =，12PF BC =，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：P 是BD 的中点，E 是AB 的中点， ∴EP 是△BCD 的中位线， 12PE AD ∴=， 同理，12PF BC =， AD BC =， PE PF ∴=，1(180)222EFP EPF ∴∠=⨯︒-∠=︒，故选：C ． 5．如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是( )A ．24B ．20C ．12D ．10【分析】利用勾股定理列式求出BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出12EH FG BC ==，12EF GH AD ==，然后代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：BD CD ⊥，8BD =，6CD =，22228610BC BD CD ∴=+=+，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，12EH FG BC ∴==，12EF GH AD ==，∴四边形EFGH 的周长EH GH FG EF AD BC =+++=+， 又10AD =，∴四边形EFGH 的周长101020=+=， 故选：B ．二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是 13或12 ． 【分析】根据勾股定理求出AB ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：分两种情况讨论：①当24是直角边时，由勾股定理得，斜边2222241026AB AC BC =+=+=，M 、N 分别为CA 、CB 的中点， ∴MN 是△ABC 的中位线，1132MN AB ∴==，②当24是斜边时，1122MN AB ==，故答案为：13或12．7．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC ，BC 边上的中点，连结BE ，DF ，已知5BE =，则DF = 5 ．【分析】已知BE 是Rt ABC ∆斜边AC 的中线，那么12BE AC =；DF 是ABC ∆的中位线，则12DF AC =，则5DF BE ==． 【解答】解：ABC ∆是直角三角形，BE 是斜边的中线， 12BE AC ∴=， 又DF 是ABC ∆的中位线，12DF AC ∴=， 5DF BE ∴==． 故答案为5．8．如图，在四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= 40 ︒．【分析】依据四边形内角和即可得到140BAD ABC ∠+∠=︒，再根据三角形中位线定理即可得到BPF BAD ∠=∠，APE ABC ∠=∠，进而得出140APE BPF ∠+∠=︒，即可得到EPF ∠的度数． 【解答】解：四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒， 360220140BAD ABC ∴∠+∠=︒-︒=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点， PE ∴是ABC ∆的中位线，PF 是ABD ∆的中位线， //PE BC ∴，//PF AD ，BPF BAD ∴∠=∠，APE ABC ∠=∠，140APE BPF BAD ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18014040EPF ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：40．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = 3 ．【分析】连接CF 并延长交AB 于G ，证明FDC FBG ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6BG DC ==，CF FG =，求出AG ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：连接CF 并延长交AB 于G ， //AB CD ，FDC FBG ∴∠=∠， 在FDC ∆和FBG ∆中， FDC FBG FD FBDFC BFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FDC FBG ASA ∴∆≅∆ 6BG DC ∴==，CF FG =， 1266AG AB BG ∴=-=-=， CE EA =，CF FG =， ∴EF 是△ACG 的中位线， 132EF AG ∴==， 故答案为：3． 10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 1 ．【分析】延长CM 交AB 于H ，证明AMH AMC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6AH AC ==，CM MH =，根据三角形中位线定理解答． 【解答】解：延长CM 交AB 于H ， 在AMH ∆和AMC ∆中， 90MAH MAC AM AMAMH AMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()AMH AMC ASA ∴∆≅∆6AH AC ∴==，CM MH =， 2BH AB AH ∴=-=， CM MH =，CN BN =， ∴MN 是△BCH 的中位线， 112MN BH ∴==， 故答案为：1． 三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F 是AD 中点，再根据三角形的中位线定理可得12EF BD =．【解答】证明：CD CA =，CF 平分ACB ∠， F ∴是AD 中点， AE EB =， E ∴是AB 中点，EF ∴是ABD ∆的中位线， 12EF BD ∴=． 12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．【分析】根据三角形中位线定理得到12DE BC =，//DE BC ，12FGT BC =，//FG BC ，得到DE FG =，//DE FG ，根据平行四边形的判定定理证明结论． 【解答】解：四边形DEGF 是平行四边形， 理由：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，12DE BC ∴=，//DE BC ， F 、G 是OB ，OC 的中点， ∴FG 是△BCO 的中位线，12FG BC ∴=，//FG BC ，DE FG ∴=，//DE FG∴四边形DEGF 是平行四边形．13．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC BD=，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG OH=．【分析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得EMF∆是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得MEF MFE∠=∠，然后根据平行线的性质证得OGH OHG∠=∠，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，M、F分别是BC、CD的中点，∴MF是△BCD的中位线，//MF BD ∴，12MF BD=，同理：//ME AC，12ME AC=，AC BD=ME MF∴=MEF MFE∴∠=∠，//MF BD，MFE OGH∴∠=∠，同理，MEF OHG∠=∠，OGH OHG∴∠=∠OG OH∴=．。
三角形的中位线 专题练习题 含答案
三角形的中位线专题练习题1．如图，为测量池塘边A，B两点间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB 的中点分别是点D，E，且DE＝14米，则A，B间的距离是()A．18米B．24米C．28米D．30米2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C 的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()A．1 B．2 C. 3 D．1＋ 34．如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为____．5．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16 cm，则△DOE的周长是____cm.6．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．(1)若DE＝10 cm，则AB＝____cm；(2)中线AD与中位线EF有什么特殊关系？证明你的猜想．7．我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH的形状是___________；(2)请证明你的结论．8．如图，四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是()A．15°B．20°C．25°D．30°9．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是()A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关10．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若DE＝2，则EB＝____．11．如图，△ABC 的周长是1，连接△ABC 三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，第2017个三角形的周长为________．12．如图，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．13．如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3.(1)求证：BN ＝DN ；(2)求△ABC 的周长．14．如图，在▱ABCD 中，AE ＝BF ，AF ，BE 相交于点G ，CE ，DF 相交于点H.求证：GH ∥BC且GH ＝12BC.15．如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE相交于点G.求证：GF ＝GC.方法技能：1．三角形有三条中位线，每条中位线都与第三边有相应的位置关系和数量关系，位置关系可证明两直线平行，数量关系可证明线段相等或倍分关系．2．三角形的三条中位线将原三角形分为四个全等的小三角形，每个小三角形的周长都等于原三角形周长的一半．3．当题目中有中点时，特别是有两个中点且都在一个三角形中，可直接利用三角形中位线定理．易错提示：对三角形中位线的意义理解不透彻而出错答案：1. C2. C3. A4. 55. 86. (1) 20(2) 解：AD与EF互相平分．证明：∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，∴DE∥AB，DE＝12AB，AF＝12AB，∴DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴AD与EF互相平分7. (1) 平行四边形(2) 解：连接AC，由三角形中位线性质得，EF∥AC且EF＝12AC，GH∥AC且GH＝12AC，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形8. D9. C10. 211.1 2201612. 解：连接BD，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝12BD，EH∥BD，同理可证FG＝12BD，FG∥BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH是平行四边形13. 解：(1)∵AN平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°，又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)，∴BN＝DN(2)∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，∵DN＝BN，点M是BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD＝2MN＝6，∴△ABC的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝4114. 解：连接EF，证四边形ABEF，EFCD分别为平行四边形，从而得G是BE的中点，H是EC的中点，∴GH是△EBC的中位线，∴GH∥BC且GH＝12BC15. 解：取BE的中点H，连接FH，CH，∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线，∴FH∥AB且FH＝12AB.在▱ABCD中，AB∥DC，AB＝DC，∴FH∥EC，又∵点E是DC的中点，∴EC＝12DC＝12AB，∴FH＝EC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF＝GC。
中位线习题及答案
1．如图，在四边形ABCD中，BD⊥CD,AC⊥AB,E为BC的中点，∠EDA=60°，求证：AD=DE2．如图，在△ABC中，AD⊥CB、BE⊥AC，且相交于O点,N、M是CO、AB的中点，连接MN、ED，求证：MN是ED的中垂线3、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点求证：MN⊥DENMEDCA4、如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90o，点M、N分别是BD、AC的中点。
MN、AC的位置关系如何证明你的猜想。
NMDCBA5.已知：点B、C分别在射线OA、OD上，AB=CD，△PAB的面积等于△PCD的面积。
求证：OP平分∠AOD。
6、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．7、如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B ，C ，G 在同一直线上，点M 是AE 的中点．（1）探究线段MD ，MF 的位置及数量关系，并证明．（2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D ，C ，G 三点在一条直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．8.已知：在ABC ∆中，AC BC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且BC AD =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论BNE AMF ∠=∠（不需证明）． （2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系请分别写出猜想，并任选一种情况证明．分析：取AC 的中点H ，连接HE 、HF ，当点D 旋转到图2中的位置时，由F 为DC 的中点，E 为AB 的中点，根据三角形中位线的性质得到FH ∥AD ，且FH=1/2AD ；HE ∥BC ，且HE=1/2BC ，得到∠HFE=∠AMF ，∠HEF=∠ENB ，HE=HF ，则∠HEF=∠HFE ，所以∠AMF=∠BNE ；当点D 旋转到图3中的位置时，同理可证得∠AMF=∠BNE ． 解：取AC 的中点H ，连接HE 、HF ，如图，当点D 旋转到图2中的位置时，∵F 为DC 的中点，E 为AB 的中点，∴FH ∥AD ，且FH=1/2AD ；HE ∥BC ，且HE=1/2BC ，∴∠HFE=∠AMF ，∠HEF=∠ENB ，HE=HF ， ∴∠HEF=∠HFE ，∴∠AMF=∠BNE ；当点D 旋转到图3中的位置时，用同样的方法可证明∠HFE=∠AME ，∠HEF=∠BNE ，而∠HFE=∠HEF ，∴∠AME=∠BNE ，而∠AMF+∠AME=180°，∴∠AMF+∠BNE=180°．故答案为：∠AMF=∠BNE 或∠AMF+∠BNE=18010、如图1，在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ，则∠B M E =∠C N E （不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ，根据三角形中位线定理，证明HE =HF ，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠B M E =∠图2 图3图1 H MF C D MN F A C D M N FA B C D (N)C N E．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△O MN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△AB C中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EF C=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=AB/ 2 ，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，同理PF=CD / 2 ，PF∥CD，∴∠PFE=∠CME，又PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN为等腰三角形．（2）判断出△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=1/2AB，同理，HE∥CD，HE=1/2CD，∵AB=CD∴HF=HE，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF是等边三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF是等边三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．。
中位线练习题及答案
DCBAE F 中位线练习题1.如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点.（1）线段AD 叫做△ABC 的 ，线段DE 叫做△ABC 的 ，DE 与AB 的位置和数量关系是 _________ ;（2）图中全等三角形有 _________________ ; （3）图中平行四边形有 ___________ . 2. 三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 .3. 如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8cm ，AC 与BD 交于O ，M 、N 分别为OA 、OD 的中点. 求证：四边形BCNM 是等腰梯形.4. 已知：如图，矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AD 的中点.求证：四边形EFGH 是菱形.5、如图，要测出池塘的宽度AB ，小强在池塘边上取一个能直接到达A 、B 的点C ，量的AC=20cm ，BC=25cm ，又取AC 的中点D ，BC 的中点E ，量得DE=12cm ，求池塘宽AB ，为多少？HG D CBA E F6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 的中点，EF ∥AB 交BC 于F ，若EF=3，求AB 的长.●拓展提高1、如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点，G 为AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，则PQ ∶BE ＝ .2、如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，又AB ＝DC ，下列结论：①EFGH 为矩形；②FH 平分EG 于T ；③EG ⊥FH ；④HF 平分∠EHG.其中正确的是（ ）A 、①和②B 、②和③C 、①②④D 、②③④3、如图，已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2008个三角形的周长为（ ）A 、20071B 、20081C 、200721 D 、2008214、如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，AH 是BC 边上的高．(1)试判断四边形DHEF是什么样的四边形，并证明之；(2)①当AB、AC之间满足什么关系时，四边形DHCF是平行四边形?并请证明之；②四边形DHCF能否为矩形或菱形?(直接写出结论．不要证明)5、如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论.第4题图第5题图6、如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点. 求证：EF＞)(21CDAB.●体验中考1、(2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：（）A．0个B．1个C．2个D．3个1题图 2题图2、（2009年湖南怀化）如图1，、分别是、的中点，则（ ）A ． 1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ． 2∶3 3、(2009年抚顺市)如图所示，已知点E F 、分别是ABC △中AC AB 、边的中点，BE CF 、相交于点G ，2FG =，则CF 的长为（ ） A ．4 B ．4.5 C ．5 D ．6 4、（2009年莆田）如图，A B 、两处被池塘隔开，为了测量A B 、两处的距离，在AB 外选一适当的点C ，连接AC BC 、，并分别取线段AC BC 、的中点E F 、，测得EF =20m ，则AB =__________m ．参考答案： 随堂检测：1、（1）中线，中位线，DE ∥AB ，DE=21AB.（2）△AEF ≌△DEF ≌△FBD ≌△EDC. （3）AFDE ，FBDE ，FDCE. 2、 133、证MN ∥BC 且MN≠BC.4、证明：连结AC 、BD.D E AB AC :ADE ABC S S =△△ AFECBG∵AE=BE ，BF=CF ，∴EF ∥AC ，EF=21AC. 同理CH ∥AC ，CH=21AC ，∴EF AC ，∴四边形EFGH 是平行四边形.∵AE=BE ，AH=DH ，∴EH=21BD.又∵AC=BD ，∴EF=EH ，∴四边形EFGH 是菱形. 5、解：∵点D 是AC 的中点，点E 是BC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线∴DE =21AB又∵DE=12cm ∴AB=24cm6.解：过D 作DG ∥AB 交BC 于G ，∵AD ∥BC ，AB ∥DG ， ∴四边形ABGD 是平行四边形，∴AB=DG. ∵EF ∥AB ，∴EF ∥DG ，∵DE=CE ，∴GF=CF.∴EF 是△CDG 的中位线，∴EF=21DG.∴DG=2EF=6，即AB=6.点拨：此题目在考察三角形中位线的同时考察了平行四边形的判定问题，解题时注意条件的转化.拓展提高： 1、 1∶4 2、D3、C4、(1)点拨：等腰梯形，易证得DF∥BC，∴四边形DHEF是梯形．再证得DH=12AB=EF，∴四边形DHEF是等腰梯形． (2)①AB=AC，证明略②四边形DHCF不可能是矩形，但可能是菱形5、最多有三个6、作AD的中点G,连接EG,FG,因为E,F分别为四边形ABCD的对角线BD、AC的中点体验中考：1、D2、C3、D4、40。
中考数学总复习《三角形中位线定理》练习题(含答案)
三角形中位线定理一 、选择题1.如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤二 、填空题2.如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为_________．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是__________________．3.已知如图，四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，E F 、分别是AC BD 、的中点，如果2612AC BF ==，，则EF = ．4.如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ⊥于E ，M 为BC 的中点，14cm AB =，10cm AC =，则ME 的长为 ．A BD F ECFEDCB A5.已知：如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E 点，若AB ＝5，AC ＝7，则ED= ．三 、解答题6.已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点．求证：四边形DEFG 是平行四边形．7.已知：如图，AD BC ⊥于D 点，2B C ∠=∠，CE EB =，求证：2AB DE =．8.已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ．M ED CBAE D C BA9.已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．10.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，FE的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF ＝∠BGF ．11.已知：如图，在□ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G ．求证：GF ＝GC ．12.如图在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且BD ＝CE ，M 、N 分别是BE 、CD 的中点．过MN 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ，线段AP 、AQ 相等吗?为什么?HGF EDC BA三角形中位线定理答案解析一 、选择题1.B ；连结BD ，取BD 的中点P ，连结FP EP ，，由三角形的中位线可知选B二 、填空题2.16；11642n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭3.54.2；延长CE 交AB 于点N ．利用中位线的性质和直角三角形斜边中线可得()14102cm 2-=．5.1；延长BE 交AC 于点G ，故2GC ED =，1ED =三 、解答题6.∵12ED BC ED BC =∥，，12FG BC FG BC =∥，，∴ED FG ED FG =，∥ 7.取AB 边中点F ，连接EF ，DF ，∵DF BF B FDB =∠=∠，， ∴2FDB C ∠=∠，∴AC EF ∥，∴ACE FEB ∠=∠，∴2FDB FEB ∠=∠,故2DE DF AB DE ==， 【解析】利用斜边中线与三角形中位线8.∵ABF CEF ≌△△，BF CF =，12OF AB =9.连接BD ，通过中位线就能证明四边形EFGH 是平行四边形10.∵取AC 中点P ，连接EP FP 、，故1122EP AD PF BC AD BC EP FP ====，，，，EP AH ∥，∴∠AHF =PEF ∠，PF BH ∥，PFH BGF ∠=∠∴∠AHF ＝∠BGFC E FPD B AE NM D C B A11.∵取BE 中点P ，连接FP ，12PF AB PF AB =∥，，故四边形EFPC 为平行四边形，故GF ＝GC12.取BC 中点F ，连接MF NF 、，得到NF AB MF AC ∥，∥又12MF EC =、12NF BD =，∴APN FNP FMQ AQP ∠=∠∠=∠，，AP AQ = PHGF ED CB A。
中位线习题及答案
2 .如图，在△ ABC 中, ADI CB BE L AC ,且相交于 O 点,N 、M 是CO AB 的中点，连接MN ED,求证：MN 是ED 的中垂线3、如图所示，BD CE 是三角形ABC 的两条高，M N 分别是BC DE 的中点 求证：MN L DE1.如图，在四边形ABCD 中,证：AD=DE4、如图，四边形ABCD中，/ DAB M DCB=9Q点M N分别是BD AC的中点MN AC的位置关系如何证明你的猜想。
A B5. 已知：点B、C分别在射线OA 0D上，AB=CD^ PAB的面积等于△ PCD的面积。
求证：0P平分/ AOD6 如图，在厶ABC 中」，/ ABC=60°, AD CE 分别平分/ BAC / ACB,求证: AC=AE+CD7、如图1 在正方形ABCD 和正方形CGE (CG>BQ 中，点B , C, G 在同一直线 上，点M 是AE 的中点.(1) 探究线段MD MF 勺位置及数量关系，并证明.(2) 若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D, C, G 三点在一条直线 上，如图2,其他条件不变，则(1)中得到的两个结论是否发生变化写出你的 猜想并加以证明.(3) 将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 勺对角线CE 恰 好与正方形ABCD 勺边BC 在同一条直线上，如图3,其他条件不变，则(1)中 得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明.AD BC ，连结DC .过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、 BC 分别相交于点M 、N.8.已知：在 ABC 中，BC AC ，动点D 绕 ABC 的顶点A 逆时针旋转，且 EM（1）如图1,当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的 中点H ，连结HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMF BNE （不需证明）.（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时， AMF 与BNE 有何数量关系请分 别写出猜想，并任选一种情况证明.分析：取AC 的中点H,连接HE HF,当点D 旋转到图2中的位置时，由F 为DC 的中点，E 为AB 的中点，根据三角形中位线的性质得到 FH// AD 且FH=1/2ADHE// BC ，且 HE=1/2BC 得至U/ HFE 玄 AMF / HEF 玄 ENB HE=H F 贝U/ HEF 玄 HFE 所以/ AMF / BNE 当点D 旋转到图3中的位置时，同理可证得/ AMF / BNE 解：取AC 的中点H,连接HE HF,如图，当点D 旋转到图2中的位置时，••• F 为DC 的中点，E 为AB 的中点，•••/ HEF / HFE•••/ AMF / BNE 当点D 旋转到图3中的位置时，用同样的方法可证明/ HFE /AME / HEF / BNE 而/ HFE / HEF•••/ AME / BNE 而/ AMF / AME=180 , /•/ AMF / BNE=180 .故答案为：/ AMF / BNE 或/AMF / BNE=18010、如图1,在四边形 ABCD 中 , AB=CD E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接 EF 并延长,分别 与BA 、CD 的延长线交 于点M N,则/ BME=/ CNE （不需证 明）. （温馨提示：在图1中，连接BD 取BD 的中点H,连接HE HF ,根据三角形 中位线定理，证明HE=HF,从而/仁/ 2,再利用平行线性质，可证得/ BME=/MB DB••• FH// AD,且 FH=1/2AD HE// BC ,且 HE=1/2BC•••/ HFE / AMFCNE.)问题一：如图2,在四边形ADBC中，_|AB与CD相交于点O, AB=CD, E、F分别是BC AD的中点，连接EF，分别交DC AB于点M N,判断A OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3,在厶ABC中，AO AB, D点在AC上, AB=CD E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G若/ EFC=60°,连接GD判断△ AGD勺形状并证明.图 1 H 2 S 3解：(1)取AC中点P,连接PF, PE,可知PE=AB/ 2 , PE// AB•••/ PEF=/ ANF同理PF=CD / 2 ,PF/ CD•••/ PFE=/ CME又PE=PF•••/ PFE=/ PEF,•••/ OMN/ONM•••△ OM为等腰三角形.(2)判断出△ AGD是直角三角形.证明：如图连接BD,取BD的中点H ,连接HF、HE,••• F是AD的中点，••• HF/ AB, HF=1/2AB同理,HE// CD HE=1/2CD••• AB=CD. HF=HEv/ EFC=60 , •••/ HEF=60 , /•/ HEF/ HFE=60 ,•••△ EHF是等边三角形，•••/ 3=/ EFC/ AFG=60 , •••△ AGF是等边三角形. vAF=FD•GF=FD•/ FGD/ FDG=30•/ AGD=90即厶AGD是直角三角形.。
三角形的中位线基础题30道填空题附详细答案
9.5 三角形的中位线基础题汇编（2）一．填空题（共30小题）1．（2014•鞍山）如图，H是△ABC的边BC的中点，AG平分∠BAC，点D是AC上一点，且AG⊥BD于点G．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC的周长为的周长为 _________ ．2．（2014•海门市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=52°，点D，E分别是AB，AC的中点．若点F在线段DE上，且∠AFC=90°，则∠FAE的度数为的度数为 _________ °．3．（2014•昆明模拟）如图，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MM=20m，那么A，B两点间的距离是两点间的距离是 _________ ．4．（2014•秦淮区一模）如图，在△ABC中，AB=AC=13，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点．已知B_________ ．的坐标为（﹣1，0），C（9，0），则点F的坐标为5．（2014•兴化市二模）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C= _________ ．度． 6．（2013•漳州）如图，△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，∠B=70°，则∠ADE= _________ 度．7．（2013•澄海区模拟）如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点M、N，经量得MN=24米，则AB= _________ 米．米．8．（2013•滨湖区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AC、AB的中点，DE=3，CE=5，则AC= _________ ．9．（2013•丰南区二模）如图，DE是△ABC的中位线，△ADE的面积=2，则四边形BCED的面积= _________ ．10．（2012•盐城）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°．先将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为_________ ．的度数为如图，△ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三阜新）11．（2012•阜新）个三角形的周长为_________ ． 角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n个三角形的周长为12．（2012•德阳）如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，连接DE，若DE=5，则BC= _________ ．13．（2012•大东区二模）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，若DE 的长是3，则BC 的长是的长是 _________ ．14．（2012•义乌市模拟）如图，DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm ，则BC= _________ cm ．15．（2011•沙坪坝区模拟）如图，DE 是△ABC 的中位线，△ABC 的周长为8，则△ADE 的周长是的周长是 _________ ．16．（2011•路南区一模）在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，若BC=3，则DE 的长是的长是 _________ ． 17．（2009•来宾）已知AB 、CD 分别是梯形ABCD 的上、下底，且AB=8，CD=12，EF 是梯形的中位线，则EF= _________ ．18．（2008•房山区一模）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，AB=4，AC=6，DE=2.4，则△ABC 的周长是的周长是 _________ ．19．（2008•安溪县校级质检）梯形的上底、下底长分别是3cm 、7cm ，则它的中位线长为则它的中位线长为 _________ cm ． 20．（2007•静安区二模）在⊙O 中，AB 是直径，弦AC 的弦心距为3，那么BC 的长为的长为 _________ ．21．（2005•遵义）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF=5cm ，高AH=4cm ，则S 梯形ABCD = _________cm 2．22．如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 边的中点，E 是AB 延长线上一点，且BE=AB ，则CD ：CE= _________ ．23．在△ABC中，∠BAC的角平分线AN⊥BN，M是BC的中点，已知AB=10，AC=22，则MN= _________ ．24．如图，M、P分别为△ABC的边AB、AC上的点，且AM=BM，AP=2CP，BP与CM相交于N．已知PN=1，则PB的长为的长为 _________ ．25．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G分别是AB、OC、OD的中点，OA=AD，OB=BC，CD=AB，则∠FEG的角度是的角度是 _________ ．26．如图，△ABC中，D、F在AB上，且AD=BF，DE∥BC交AC于E，FG∥BC交AC于G．求证：DE+FG=BC．27．（2011•南充自主招生）如图△ABC中，AC＞AB，AB=4，AC=x，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，点E的函数关系式为_________ ．是BC的中点，DE=y，则y关于x的函数关系式为28．（2011•鼓楼区校级自主招生）如图，△ABC的三边长分别为3、5、6，BD与CE都是△ABC的外角平_________ ．的长等于分线，M、N是直线BC上两点，且AM⊥BD于D，AN⊥CE于E，则DE的长等于29．（2014•安阳校级模拟）如图，DE是△ABC的中位线，DE=2cm，AB+AC=12cm，则梯形DBCE的周长为 _________ cm．30．（2011•常州校级模拟）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，_________ ．的面积之比为若BC=6，则DF的长是_________ ，△EDC与△ABC的面积之比为的长是9.5 三角形的中位线基础题汇编（2）参考答案与试题解析一．填空题（共30小题） 1．（2014•鞍山）如图，H 是△ABC 的边BC 的中点，AG 平分∠BAC ，点D 是AC 上一点，且AG ⊥BD 于点G ．已知AB=12，BC=15，GH=5，则△ABC 的周长为的周长为 49 ．考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析： 判断出△ABD 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得BG=DG ，然后求出GH 是△BCD 的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2GH ，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．义列式计算即可得解．解答： 解：∵AG 平分∠BAC ，AG ⊥BD ， ∴△ABD 是等腰三角形，是等腰三角形， ∴AB=AD ，BG=DG ， 又∵H 是△ABC 的边BC 的中点，的中点，∴出GH 是△BCD 的中位线，的中位线，∴CD=2GH=2×5=10， ∴△ABC 的周长=12+15+（12+10）=49． 故答案为：49．点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟记性质与定理并准确识图是解题的关键．定理并准确识图是解题的关键．2．（2014•海门市模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB=52°，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若点F 在线段DE 上，且∠AFC=90°，则∠FAE 的度数为的度数为 64 °．考点： 三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析： 由点D ，E 分别是AB ，AC 的中点可EF 是三角形ABC 的中位线，所以EF ∥BC ，再有平行线的性质和在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半的性质可证明三角形EFC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出∠ECF 的度数，进而求出∠FAE 的度数．的度数． 解答： 解：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，的中点， ∴EF 是三角形ABC 的中位线，的中位线，∴EF ∥BC ， ∴∠EFC=∠ECF ， ∵∠AFC=90°，E 分AC 的中点，的中点，∴EF=AC ，AE=CE ， ∴EF=CE ， ∴∠EFC=∠ECF ， ∴∠ECF=∠EFC=∠ACB=26°， ∴∠FAE 的度数为90°﹣26°=64°， 故答案为64°．点评： 本题考查了三角形的中位线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质以及三角形的内角和定理的运用，题目的难度不大．角形的内角和定理的运用，题目的难度不大．3．（2014•昆明模拟）如图，A ，B 两点被池塘隔开，在A ，B 外选一点C ，连接AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M ，N ，如果测得MM=20m ，那么A ，B 两点间的距离是两点间的距离是 40m ．考点： 三角形中位线定理． 专题： 应用题．应用题． 分析： 三角形的中位线等于第三边的一半，那么第三边应等于中位线长的2倍．倍．解答： 解：∵M ，N 分别是AC ，BC 的中点，的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，的中位线， ∴MN=AB ， ∴AB=2MN=2×20=40（m ）． 故答案为40m ．点评： 本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质，熟记性质是应用性质解决实际问题的关键． 4．（2014•秦淮区一模）如图，在△ABC 中，AB=AC=13，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点．已知B （﹣1，0），C （9，0），则点F 的坐标为的坐标为 （4，6） ．考点： 三角形中位线定理；坐标与图形性质．分析： 如图，延长AF 交BC 于点G ．易证DF 是△ABG 的中位线，由三角形中位线定理可以求得点F 的坐标．的坐标．解答： 解：如图，如图，延长AF 交BC 于点G ．∵B （﹣1，0），C （9，0）， ∴BC=10． ∵AB=AC=13，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，的中点， ∴AG ⊥BC ，则BG=CG=5． ∴G （4，0）∴在直角△ABG 中，由勾股定理得中，由勾股定理得 AG===12．则F （4，6）．故答案是：（4，6）．点评： 本题考查了三角形中位线定理和坐标与图形性质．利用勾股定理求得AG 的长度是解题的关键．的长度是解题的关键． 5．（2014•兴化市二模）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C= 70° ．考点： 三角形中位线定理；三角形内角和定理．分析： 首先，利用三角形内角和定理求得∠AED=70°；然后根据三角形中位线定理推知DE ∥BC ，∠C=∠AED ． 解答： 解：如图，∵在△AED 中，∠A=50°，∠ADE=60°， ∴∠AED=70°． 又∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，的中位线， ∴DE ∥BC ， ∴∠C=∠AED=70°． 故答案是：70°．点评： 本题考查了三角形中位线定理和三角形内角和定理．解题时，要挖掘出隐含在题干中的已知条件：三角形内角和是180度．度．6．（2013•漳州）如图，△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∠B=70°，则∠ADE= 70 度．度．考点： 三角形中位线定理；平行线的性质．分析： 由题意可知DE 是三角形的中位线，所以DE ∥BC ，由平行线的性质即可求出∠ADE 的度数．的度数．解答： 解：∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，的中点， ∴DE 是三角形的中位线，是三角形的中位线， ∴DE ∥BC ， ∴∠ADE=∠B=70°， 故答案为70．点评： 本题考查了三角形中位线的性质以及平行线的性质．本题考查了三角形中位线的性质以及平行线的性质．7．（2013•澄海区模拟）如图，平地上A 、B 两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C ，并分别找到AC 和BC 的中点M 、N ，经量得MN=24米，则AB= 48 米．米．考点： 三角形中位线定理． 专题： 应用题．应用题． 分析： 根据三角形中位线的定义推知MN 是三角形ABC 的中位线，然后利用三角形中位线定理求得AB 的长度即可．可．解答： 解：∵点M 、N 是分别是AC 和BC 的中点，的中点，∴MN 是△ABC 的中位线，MN=24米，米，∴MN=AB=24米，米，∴AB=48米．米． 故答案是：48．点评： 此题考查的是三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．8．（2013•滨湖区二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，DE=3，CE=5，则AC= 8 ．考点： 三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析： 首先判断DE 是△ABC 的中位线得出BC=2DE=6，再由CE 是斜边中线，可得出AB=2CE=10，在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC 的长度．的长度．解答： 解：∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点，的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，的中位线， ∴BC=2DE=6， ∵∠ACB=90°，CE 是斜边AB 上的中线，上的中线， ∴AB=2CE=10， 在Rt △ABC 中，AC==8．故答案为：8．点评： 本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理，解答本题的关键是根据中位线的性质，及直角三角形斜边中线等于斜边一半的知识求出BC ，AB 的长度．的长度．9．（2013•丰南区二模）如图，DE 是△ABC 的中位线，△ADE 的面积=2，则四边形BCED 的面积= 6 ．考点： 三角形中位线定理． 分析：利用三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质得出=，进而求出即可．，进而求出即可．解答： 解：∵DE 是△ABC 的中位线，的中位线，∴DE BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴=，∵△ADE 的面积=2， ∴S △ABC =8，则四边形BCED 的面积=6． 故答案为：6．点评：此题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，得出=是解题关键．是解题关键．10．（2012•盐城）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，∠B=50°．先将△ADE 沿DE 折叠，点A 落在三角形所在平面内的点为A 1，则∠BDA 1的度数为的度数为 80° ．考点： 三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）．分析： 由折叠的性质可知AD=A 1D ，根据中位线的性质得DE ∥BC ；然后由两直线平行，同位角相等推知∠ADE=∠B=50°；最后由折叠的性质知∠ADE=∠A 1DE ，所以∠BDA 1=180°﹣2∠B=80°．解答： 解：∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，的中点， ∴DE ∥BC ， ∴∠ADE=∠B=50°（两直线平行，同位角相等）；又∵∠ADE=∠A 1DE ， ∴∠A 1DA=2∠B ， ∴∠BDA 1=180°﹣2∠B=80°； 故答案是：80°．点评： 本题考查了三角形中位线定理、本题考查了三角形中位线定理、翻折变换翻折变换翻折变换（折叠问题）（折叠问题）．折叠的性质：折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠是一种对称变换，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 11．（2012•阜新）阜新）如图，△ABC 的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，…，则第n 个三角形的周长为个三角形的周长为 26﹣n．考点： 三角形中位线定理．专题： 规律型．规律型． 分析： 根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解．根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解． 解答： 解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，那么第二个三角形的周长=△ABC 的周长×=32×， 第三个三角形的周长为=△ABC 的周长××=32×（）2， …第n 个三角形的周长=32×（）n ﹣1=26﹣n，故答案为：26﹣n．点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第n 个三角形的周长与第一个三角形的周长的关系．第一个三角形的周长的关系．12．（2012•德阳）如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，连接DE ，若DE=5，则BC= 10 ．考点： 三角形中位线定理． 分析： 根据三角形的中位线定理得到BC=2DE ，代入DE 的长即可求出BC ．解答： 解：∵点D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，的中点，∴DE ∥BC ，DE=BC ， ∵DE=5， ∴BC=10． 故答案为：10．点评： 本题主要考查了三角形的中位线定理，能熟练地运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键．13．（2012•大东区二模）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，若DE 的长是3，则BC 的长是的长是 6 ．考点： 三角形中位线定理． 分析： 根据三角形的中位线定理得到BC=2DE ，代入DE 的长即可求出BC ．解答： 解：∵D ，E 分别是边AB 、AC 的中点，的中点，∴BC=2DE ， ∵DE=3， ∴BC=6． 故答案为：6．点评： 本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能熟练地运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键．的关键．14．（2012•义乌市模拟）如图，DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm ，则BC= 4 cm ．考点： 三角形中位线定理．分析： 根据三角形中位线定理即可求得BC 的长．的长．解答： 解：∵DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm ， ∴DE=×BC=2cm ， ∴BC=4cm ． 故答案为：4．点评： 此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 15．（2011•沙坪坝区模拟）如图，DE 是△ABC 的中位线，△ABC 的周长为8，则△ADE 的周长是的周长是 4 ．考点： 三角形中位线定理． 分析：根据三角形中位线的性质知AD=AB 、AE=AC 、DE=BC ；然后由三角形的周长公式可以求得△ADE 的周长．周长．解答： 解：∵DE 是△ABC 的中位线，的中位线，∴点D 、E 分别是线段AB 、AC 的中点，DE=BC ， ∴AD=AB 、AE=AC ；又∵△ABC 的周长为8， ∴△ADE 的周长是：（AB+BC+AC ）=×8=4； 故答案是：4．点评： 本题考查了三角形中位线定理．解得该题的关键是正确理解三角形中位线的定义．16．（2011•路南区一模）在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，若BC=3，则DE 的长是的长是 ．考点： 三角形中位线定理． 分析： 直接根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得到答案．解答： 解：∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，的中点，∴DE=AB ， ∵AB=3， ∴DE=， 故答案为：．点评： 此题主要考查了三角形中位线定理，关键是熟练掌握定理内容．此题主要考查了三角形中位线定理，关键是熟练掌握定理内容．17．（2009•来宾）已知AB 、CD 分别是梯形ABCD 的上、下底，且AB=8，CD=12，EF 是梯形的中位线，则EF= 10 ．考点： 梯形中位线定理． 分析： 根据梯形的中位线长等于两底和的一半，进行计算．根据梯形的中位线长等于两底和的一半，进行计算． 解答： 解：由梯形中位线的性质，可知解：由梯形中位线的性质，可知EF=（AD+CD ）=（8+12）=10．点评： 本题考查的是梯形中位线的性质，属最基本的概念题目．本题考查的是梯形中位线的性质，属最基本的概念题目．18．（2008•房山区一模）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，AB=4，AC=6，DE=2.4，则△ABC 的周长是的周长是 14.8 ．考点： 三角形中位线定理．分析： 首先根据三角形的中位线定理即可求得BC 的长，然后即可求得周长．的长，然后即可求得周长．解答： 解：∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，边的中点， ∴BC=2DE=4.8，∴△ABC 的周长是：AB+AC+BC=4+6+4.8=14.8． 故答案为：14.8．点评： 本题主要考查了三角形的中位线定理，是一个基础题．本题主要考查了三角形的中位线定理，是一个基础题． 19．（2008•安溪县校级质检）梯形的上底、下底长分别是3cm 、7cm ，则它的中位线长为，则它的中位线长为 5 cm ．考点： 梯形中位线定理． 专题： 计算题．计算题． 分析： 根据梯形中位线的性质：平行于上、下两底且等于上下两底和的一半．根据梯形中位线的性质：平行于上、下两底且等于上下两底和的一半． 解答： 解：∵梯形的上底、下底长分别是3cm 、7cm ，∴中位线长为：（3+7）=5cm ． 故答案为：5cm ．点评： 本题考查了梯形的中位线定理：平行于上、下两底且等于上下两底和的一半． 20．（2007•静安区二模）在⊙O 中，AB 是直径，弦AC 的弦心距为3，那么BC 的长为的长为 6 ．考点： 三角形中位线定理；垂径定理；圆周角定理． 分析：首先根据题意画出图形，再证明OF ∥BC ，又因为AO=OB ，可得OF 是△ABC 的中位线，从而得到OF=BC ，即可得到答案．即可得到答案．解答： 解：∵AB 是直径，是直径， ∴∠C=90°， ∵OF ⊥AC ， ∴∠AFO=90°， ∴OF ∥BC ， ∵O 为圆心，为圆心， ∴AO=OB ， ∴OF=BC ， ∵OF=3， ∴BC=6． 故答案为：6．点评： 此题主要考查了三角形的中位线定理与圆周角定理，证出OF 是△ABC 的中位线是解题的关键．的中位线是解题的关键． 21．（2005•遵义）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，中位线EF=5cm ，高AH=4cm ，则S 梯形ABCD = 20 cm 2．考点： 梯形中位线定理．分析： 此题只需根据梯形的中位线定理进行计算．梯形的面积等于梯形的中位线长×梯形的高．梯形的高． 解答： 解：∵梯形的面积=梯形的中位线长×高，高，∴梯形的面积=4×5=20． 故答案为：20．点评： 此题主要考查学生对梯形的中位线定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题．此题主要考查学生对梯形的中位线定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题．22．如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 边的中点，E 是AB 延长线上一点，且BE=AB ，则CD ：CE= 1：2 ．考点： 三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．分析： 取AC 的中点F ，连接BF ，求出AE=AF ，利用“边角边”证明△ABF 和△ACE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE ，再判断出BF 是△ACD 的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明．边的一半证明．解答： 证明：如图，取AC 的中点F ，连接BF ，∵∠ACB=∠ABC ， ∴AB=AC ， ∵E 是AB 的中点，的中点，∴AE=AF=AB ， 在△ABF 和△ACE 中，中，，∴△ABF ≌△ACE （SAS ）， ∴BF=CE ， ∵BD=AC ， ∴BD=AB ， ∴BF 是△ACD 的中位线，的中位线， ∴BF=CD ， ∴CE=CD ． ∴CD ：CE=1：2． 点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等角对等边的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．23．在△ABC 中，∠BAC 的角平分线AN ⊥BN ，M 是BC 的中点，已知AB=10，AC=22，则MN= 6 ．考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析： 延长线段BN，交AC于E，利用已知易证△ABN≌△AEN，所以BN=EN，从而证得MN是△BCE的中位线，所以求出EC，再运用中位线定理求MN．解答： 解：延长线段BN，交AC于E．∵AN平分∠BAC，∴∠BAN=∠EAN．∵在△ABN与△AEN中，，∴△ABN≌△AEN（ASA）．∴AE=AB=10，BN=NE．的中点，又∵M是△ABC的边BC的中点，故MN=EC=（AC﹣AE）=（22﹣10）=6．故答案是：6．点评： 本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质．本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质．即可：作出辅助线NE即可：的长；（1）构造出全等三角形（△ABN≌△AEN），从而求出CE的长；是中位线，从而轻松解决问题．（2）证明MN是中位线，从而轻松解决问题．24．如图，M、P分别为△ABC的边AB、AC上的点，且AM=BM，AP=2CP，BP与CM相交于N．已知PN=1，则PB的长为4 ．的长为考点： 三角形中位线定理．分析： 取AP中点D，连接MD，根据已知条件易证DM是△ABP的中位线，所以DM∥BP；BP=2DM，进而可得PN是△CDM的中位线，所以DM=2PN=2，由此可得：BP=2DM=2×2=4．解答： 解：如图所示，取AP中点D，连接MD，∵AP=2CP，∴AD=DP=CP，∵AM=BM，∴DM是△ABP的中位线，的中位线，∴DM∥BP；BP=2DM，∴PN是△CDM的中位线，的中位线，∴DM=2PN=2，∴BP=2DM=2×2=4，故答案为：4．点评： 本题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．25．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G分别是AB、OC、OD的中点，OA=AD，OB=BC，CD=AB，则∠FEG的角度是的角度是 120° ．考点： 三角形中位线定理．分析：连接AG，BF，GF，作EH⊥GF于H，可得GE=FE=AB，结合三角形中位线定理可得GF=CD=AB，在Rt△GHE中利用三角函数可求得∠EGH，从而可得到∠FEG．解答： 解：连接AG，BF，GF，作EH⊥GF于H，的中点，∵G、F是OD、OC的中点，∴GF=CD=AB，∵AO=AD，BO=BC，∴AG⊥BD，BF⊥AC，∵E是AB的中点，的中点，∴EG=FG=AB，∴GH=HF=AB，∴sin∠GEH=∠FEH==，∴∠GEH=∠FEH=60°，∴∠FEG=120°，故答案为：120°．点评： 本题主要考查等腰三角形的判定和性质及三角形中位线定理，通过构造等腰三角形和条件找到GF和AB之间的关系，在Rt△GEF中利用三角函数求得∠EGH和∠EFH是解题的关键．是解题的关键．26．如图，△ABC中，D、F在AB上，且AD=BF，DE∥BC交AC于E，FG∥BC交AC于G．求证：DE+FG=BC．考点： 梯形中位线定理；三角形中位线定理．证明题．专题： 证明题．分析：连接DF与EG的中点M、N，根据三角形的中位线定理，可得出MN=BC，根据梯形的中位线定理可得出MN=（DE+FG），从而证得结论；，从而证得结论；解答： 解：取AB，AC的中点M，N，连接MN，∴MN=BC，∵AD=BF，∴MN是梯形的中位线，是梯形的中位线，∴MN=（DE+FG），∴DE+FG=BC．点评： 本题考查了三角形的中位线定理和梯形的中位线定理，熟练掌握和运用定理是本题的关键．27．（2011•南充自主招生）如图△ABC中，AC＞AB，AB=4，AC=x，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，点E是BC的y=x﹣2 ．中点，DE=y，则y关于x的函数关系式为的函数关系式为考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析： 作辅助线BF（延长BD，交AC于F）构造等腰三角形ABF；根据等腰三角形的性质：顶角角平分线、底边上的高与中线重合的性质证明D点是边BF的中点；再在三角形BFC中根据三角形中位线定理求得x与y的关系．的关系．解答： 解：延长BD，交AC于F．∵BD⊥AD，∴AD⊥BF；又∵AD 平分∠BAF ， ∴AB=AF=4，BD=DF ， ∴D 为BF 的中点；的中点； 又∵E 为BC 的中点，的中点，∴DE=CF=（x ﹣4）=y ， 即y=x ﹣2． 故答案是：y=x ﹣2．点评： 本题主要考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．28．（2011•鼓楼区校级自主招生）如图，△ABC 的三边长分别为3、5、6，BD 与CE 都是△ABC 的外角平分线，M 、N 是直线BC 上两点，且AM ⊥BD 于D ，AN ⊥CE 于E ，则DE 的长等于的长等于 7 ．考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析： 由AM ⊥BD ，∠ABD=∠MBD ，得到∠BAD=∠BMD ，进一步推出MB=AB ，AF=MF ，同理CN=AC ，AE=NE ，即可得出答案．即可得出答案．解答： 解：∵BD 是△ABC 的外角平分线，的外角平分线， ∴∠ABD=∠MBD ； 又∵AM ⊥BD ， ∴∠BAD=∠BMD （等量代换）， ∴MB=AB （等角对等边），∴AD=MD （等腰三角形“三线合一”），同理：CE=AC ，AE=NE ， ∴DE 是△AMN 的中位线，的中位线， ∴FG=MN =（MB+BC+CN ） =（AB+BC+AC ） =×（3+5+6） =7．故答案是：7．点评： 本题主要考查了三角形的中位线定理，本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，等腰三角形的性质和判定等知识点，等腰三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键证得解此题的关键证得DE 是△AMN 的中位线．的中位线．29．（2014•安阳校级模拟）如图，DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm ，AB+AC=12cm ，则梯形DBCE 的周长为的周长为 12 cm ．考点： 三角形中位线定理． 分析： 由中位线定理易得BC 应为DE 的2倍，根据线段中点定义可得BD+CE 长，也就求得所求梯形的周长．长，也就求得所求梯形的周长．解答： 解：∵DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm ， ∴BC=2DE=2×2=4cm ． ∵DE 是△ABC 的中位线，的中位线，∴BD=AB ，CE=AC ，∴梯形DBCE 的周长为BD+CE+DE+BC=（AB+AC ）+（BD+CE ）=×12+6=12cm ．故答案为12．点评： 本题考查了三角形中位线的性质及线段中点定义，三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用．边形方面起着非常重要作用．30．（2011•常州校级模拟）如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC=6，则DF 的长是的长是 3 ，△EDC 与△ABC 的面积之比为的面积之比为 ．考点： 三角形中位线定理．分析： 首先根据条件D 、E 分别是BC 、AC 的中点可得DE ∥AB ，再求出∠BFD=∠DBF ，根据等角对等边可得到DB=DF ，再证明△ABC ∽△EDC ，可得到对应变成比例，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得到答案． 解答： 解：∵△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，的中点，∴DE ∥AB ，BD=BC=3， ∴∠ABF=∠BFD ， ∵BF 平分∠ABC ， ∴∠FBC=∠ABF ， ∴∠BFD=∠DBF ， ∴DB=DF=3， ∵DE ∥AB ， ∴△ABC ∽△EDC ， ∵，∴△EDC 与△ABC 的面积之比为：．故答案为：3，．点评： 此题主要考查了三角形的中位线定理的应用与相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明DE∥AB，可得到△ABC∽△EDC，∠ABF=∠BFD．。
三角形的中位线基础题30道解答题
9.5 三角形的中位线基础题汇编（3）BCBC=3DE=6中点重合）EF=EF=CE=，求BCD=EM=（9.5 三角形的中位线基础题汇编（3）参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．四边形EGFH是平行四边形吗？请证明你的结论．2．请写出“如图，在△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则DE=BC”的逆命题．判断逆命题的真假，并说明你的理由？BC3．在四边形ABCD中，BD、AC相交于点O，AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，连接EF，分别交AC、BD 于点M、N．判断△MON的形状，并说明理由．EG=4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E、F、G分别是BC、AC、AB的中点，若AB=BC=3DE=6，求四边形DEFG的周长．BC=3DE=6BC=3DE=6EF=×BC=×，AB=×=GF+DG+DE+EF=+3+2+3=．5．如图，在△ABC中（AB≠AC），M为BC的中点，AD平分∠BAC交BC于D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，求证：ME=MF．MF=ME=GBME=6．△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，直线BE交AC于F，求证：AC=3AF．7．如图，已知△XYZ中，MY=NZ，A、B分别是YN、MZ的中点，延长AB、BA分别交XZ、XY于点D、C，求证：XC=XD．BE=NZ BE=MY8．如图，AB为⊙O的一条弦，CD为直径（C不与A、B及中点重合），作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，问CE﹣DF的值是否变化？为什么？9．△ABC中，D为CB的延长线上一点，BE是∠ABD的角平分线，AE⊥BE，F是AC的中点，试说明：EF∥BC，且EF=（AB+BC）．EF=10．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接FE并延长，分别交CD的延长线于点M、N，∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．GE=GF=CDAB GF=CD11．已知，如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB边上的中线，求证：CE=2CD．12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，AC=AD，DE⊥CD交BC于点E，AF平分∠BAC交BC于F点．（1）求证：AF∥DE；（2）当AC=6，AB=10时，求BE的长．==，，BE=13．在四边形ABCD中，AB∥CD，E、F是AD、BC中点．求证：EF=（AB+CD），EF∥CD．EF=DM=14．如图，已知△ABC中，点D是BA上一点，BD=AC，E，F分别是BC，DA的中点，EF和CA的延长线相交于点G．求证：AG=AF．15．如图，AD是△ABC的中线，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，求证：EG与DF互相平分．ACED=16．已知：如图，点B是AD的中点，点E是AB的中点，AB=AC 求证：CE=CD．ACBE=CDCE=17．在△ABC中，AD⊥BC于D点，BE为中线，且∠CBE=30°．求证：AD=BE．EF=EF=EF=18．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，AB=6，AC=8，DF=5，求AE的长．BC=519．已知如图，△ABC中，AD为BC的中线，E为AD的中点，延长CE交AB于点F，求的值．（用多种方法解答）；或过BF=DM==20．在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC且tan∠BCD=，求tanA的值．BCD=，设，即BCD==ABBE=CE=AC．21．已知在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN，求证：MN∥AC．22．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD延长线于E，M是BC中点．求证：EM=（AB﹣AC）．CF=CF23．如图，在△ABC中，若∠B=2∠C，AD⊥BC，E为BC边中点，求证：AB=2DE．24．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN=∠PNM．PM=PN=ADBC PN=AD25．如图，△ABC中，BM平分∠ABC，AM⊥BM，垂足M点，点N为AC的中点，AB=10，BC=6，求MN长度．MN=26．已知：△ABC，用刻度尺量出△ABC的各边的长度，并取各边的中点，画出△ABC的三条中线，你发现了什么？27．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD，垂足为E，F是BC中点，探究BD与EF的关系．并说明理由．EF=28．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB．求证：OE∥BC．29．△ABC中，AD是∠BAC的平分线，G是BC的中点，过G作直线FG平行于AD，分别交AB和CA的延长线于点E和点F，求证：BE=CF=（AB+AC）．BF=CE=30．如图，在△ABC中，AD=DE=EF=FB，AG=GH=HI=IC，已知BC=8，则DG+EH+FI的长是多少？BCBC BCDG+EH+FI=BC+BC=。
中位线练习题
中位线同步练习一、选择题1、在▱ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（）A、2B、3C、4D、52、△ABC中，AH⊥BC于H，E，D，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形EDHF是（）A、一般梯形B、等腰梯形C、直角梯形D、直角等腰梯形3、△ABC中，AB=AC ， AD平分∠BAC ，DE∥AC交AB于E ，则S△EBD：S△ABC=（）A、1：2B、1：4C、1：3D、2：34、如果△ABC的两边长分别为3和5，那么连结△ABC三边中点D、E、F所得的△DEF的周长可能是（）A、3B、4C、5D、65、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、以上都不对6、在平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、O、F分别是AB、BD、BC的中点，且OE＝3，OF＝2，则平行四边形ABCD的周长为( )A、10B、12C、15D、207、小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH 地上种小草，则这块草地的形状是( )A、平行四边形B、矩形C、正方形D、菱形8、四边形ABCD ，AD∥BC，AB⊥BC ， AD=1，AB=2，B C=3，P为AB边上的一动点，以PD ， PC为边作平行四边形PCQD ，则对角线PQ的长的最小值是（）A、3B、4C、5D、69、跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（）A、25cmB、50cmC、75cmD、100cm10、菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）A、 B、4 C、7 D、1411、梯形ABCD中，AD∥BC ， E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于G、H ，若AD=6，BC=10，则GH的长为（）A、5B、4C、3D、212、在梯形ABCD中，AD∥BC ， E、F分别是AB、CD的中点，则下列结论：①EF∥AD；②S△ABO=S△DCO；③△OGH是等腰三角形；④BG=DG；⑤EG=HF ．其中正确的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个二、填空题13、已知梯形的上底长为a ，中位线长为m ，那么这个梯形的下底长为________.14、在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=10，则DE=________ ．15、平行四边形ABCD中，∠ABD=30°，AB=4，AE⊥BD，CF⊥BD，且，E，F恰好是BD的三等分点，又M、N分别是AB，CD的中点，那么四边形MENF的面积是________．16、梯形ABCD中，AD∥BC ，∠B=30°，∠C=60°，E、F、M、N分别为AB、CD、BC、DA的中点，若BC=7，MN=3，则EF为______4_____.17、已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC ， AB=CD=4，MN是梯形ABCD的中位线，且MN=6，则梯形ABCD的周长是___20______.18，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是________．19、△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F ， AB=5，AC=2，则DF的长为________.三、综合题20、在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是△ABC角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F ，交AB于G ，连接EF ，求线段EF的长．21、如图，在△ABC中，若∠B=2∠C ，AD⊥BC ， E为BC边中点，求证：AB=2DE ．22、如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF=DE，连接BF(1)求证：BF=DC；(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．23、如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC ，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E ．证：四边形DGFE是平行四边形答案解析部分一、选择题1、【答案】C2、【答案】B3、【答案】B4、【答案】D5、【答案】A6、【答案】D7、【答案】C8、【答案】B9、【答案】D 10、【答案】C11、【答案】B 12、【答案】D二、填空题13、【答案】2m-a 14、【答案】5 15、【答案】 16、【答案】4 17、【答案】2018、或． 19、三、综合题20、【答案】解答：在△AGF和△ACF中，∠GAF＝∠CAFAF＝AF∠AFG＝∠AFC∴△AGF≌△ACF ，∴AG=AC=3，GF=CF ，则BG=AB-AG=4-3=1 ．又∵BE=CE ，∴EF是△BCG的中位线，∴EF= BG= ．21、【答案】证明：取AC中点F ，连接EF ， DF ，则EF为中位线，且EF‖AB、∠FEC=∠B=2∠C ，在直角三角形ACD中，F是斜边AC的中点，∴DF=CF ，∴∠DEF=∠C ，即有2∠FDC=∠FEC ，∴∠EFC=∠FDC+∠DFE ，∴2∠DFE=∠FEC=2∠FDC ，∴DE=EF ，∴AB=2DE ．22、【答案】（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：EF∥BC且EF= BC ，证明：如图，延长EF到D ，使FD=EF ，∵点F是AC的中点，∴AF=CF ，在△AEF和△CDF中，AF＝FC∠AFE＝∠CFDEF＝FD∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AE=CD ，∠D=∠AEF ，∴AB∥CD ，∵点E是AB的中点，∴AE=BE ，∴BE=CD ，∴BE CD ，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC ， DE=BC ，∴DE∥BC且EF= BC.（2）证明：连接AF并延长，交BC延长线于点M ，∵AD∥BC ，∴∠D=∠FCM ，∵F是CD中点，∴DF=CF ，在△ADF和△MCF中，∠D＝∠FCMDF＝CF∠AFD＝∠MFC∴△ADF≌△MCF（ASA），∴AF=FM ， AD=CM ，∴EF是△ABM的中位线，∴EF∥BC∥AD ， EF=BM= （AD+BC）．23、【答案】证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC ，且DE= BC ，同理，GF∥BC ，且GF= BC ，∴DE∥GF且DE=GF ，四边形DGFE是平行四边形．。
7、三角形的中位线 - 答案
三角形的中位线(一)三角形中位线的概念（1）如图,(1)在△ABC中,请你画出AB边上的中线CD;(2)对于△ABC来说,中线CD是由怎样的两点连接而成的?答:______________________________________________(3)若E为△ABC边上的一点,连接DE,当E运动到AC边中点时,线段DE称为△ABC的中位线。
(二)三角形中位线定理1.已知;如图,△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,则DE是△ABC的中位线BC称为第三边(1)猜想DE与BC在位置和数量上各有什么关系?(2)证明你的猜想.(3)用语言叙述三角形中位线定理:三角形的中位线__________第三边,且等于第三边的__________.2.有一位同学用下列方法证明了三角形中位线定理,(大致思路是构造平行四边形BCGD),请你完成证明.证明:延长DE至G,使EG=DE,连接CG题型一:中位线-求线段的长度、角度1．如图所示，菱形中ABCD ，对角线相交于点O ，H 为边AD 上的中点，菱形的周长为36，则OH 长等于（）A．4.5B．5C．6D．9【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，且周长为36，∴3649AB =÷=，又∵O 为BD 中点，H 为AD 的中点，∴OH 为ABD △的中位线，∴1 4.52OH AB ==，故选：A．2．如图，EF 是ABC 的中位线，BD 平分ABC ∠交EF 于点D ，若3AE =，1DF =，则边BC 的长为()A．7B．8C．9D．10【答案】B 【详解】解：EF 是ABC 的中位线，3AE =，∴EF BC ∥，2BC EF =，3BE AE ==，EDB DBC ∴∠=∠，BD 平分EBC ∠，EBD DBC ∴∠=∠，EDB EBD ∴∠=∠，3ED BE ∴==，1DF = ，314EF ED DF ∴=+=+=，8BC ∴=，故选：B．3.“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 的点B '处，折痕AD 交BC 点D ，第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若14BC =，MP MN +=．【答案】7【详解】解：把图补全如图所示：由折叠得：AM MD =，MN AD ⊥，AD BC ⊥，GN BC ∴∥，AG BG ∴=，∴GN 是ABC 的中位线，1114722GN BC ∴==⨯=，PM GM = ，7MP MN GM MN GN ∴+=+==，故答案为：7．4．如图，在ABC 中，52ACB ∠=︒，点D，E 分别是AB ，AC 的中点，若点F 在线段DE 上，且90AFC ∠=︒，则FAE ∠的度数为（）A．52︒B．68︒C．64︒D．69︒【答案】C 【详解】解：∵点D，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE BC ∥，AE CE =，∴52AED ACB ==︒∠∠，∵90AFC ∠=︒，AE CE =，∴AFC △是直角三角形，∴AE EF =，∴180180526422AEF FAE EFA ︒-∠︒-︒∠=∠===︒，故C 正确．故选：C．5．如图，四边形ABCD 中，AD BC =，E，F，G 分别是AB，DC，AC 的中点．若64ACB ∠=︒，22∠=︒DAC ，则EFG ∠的度数为．【答案】21︒【详解】解：∵F 、G 分别是CD 、AC 的中点，∴FG AD ∥，12FG AD =，∴22FGC DAC ∠=∠=︒，∵E 、G 分别是AB 、AC 的中点，∴GE BC ，12GE BC =，∴64AGE ACB ∠=∠=︒，∴180116EGC ACB ∠=︒-∠=︒，∴22116138EGF ∠=︒+︒=︒，∵AD BC =，∴GF GE =，∴()1180138212EFG ∠=⨯︒-︒=︒；故答案为：21︒．题型二：中位线-求几何图形面积1．如图ABC 中，E，F 分别是AB ，AC 的中点，过F 作FG AB ∥交BC 于点G，若EF FG =，且 2.5EF =，4AC =，则阴影部分的面积为．【详解】解：如图，连接BF ，E，F 分别是AB ，AC 的中点， 2.5EF =，∴=25BC EF =，FG AB ∥，F 是AC 的中点，∴=2AB FG ，G 是BC 的中点，EF FG =，∴BA BC =，F 是AC 的中点，∴BF AC ⊥，122AF AC ==，∴22225221BF AB AF =-=-=，∴14212212ABC S =⨯⨯= ， E，F 分别是AB ，AC 的中点，∴1212ABC S S == 阴影面积，故答案为：21．2．如图，在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC 的中点，F 是BC 边上的一个动点，连接DE，EF，FD．若△ABC 的面积为18cm 2，则△DEF 的面积是cm 2【答案】4.5【详解】解：连接BE，∵点E 是AC 的中点，△ABC 的面积的为18cm 2，∴△AEB 的面积12=⨯△ABC 的面积＝9（cm 2），∵点D 是AB 的中点，∴△DEB 的面积12=⨯△AEB 的面积＝4.5（cm 2），∵D，E 分别是AB，AC 的中点，∴DE BC，∴△DEF 的面积＝△DEB 的面积＝4.5（cm 2），故答案为：4.5．3．ABC 中，点D、E、F 分别为边BC CA AB 、、的中点，作DEF ．若ABC 的面积是12，则DEF 的面积是（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【详解】解：过A 作AH⊥BC 于H，取BH 中点为G，连结DG，EM⊥DF 于M，∵D 、F 分别是ABC 的AB 、AC 边的中点，∴12DF BC =，DF∥BC，∵D、G 为AB、BH 中点，∴DG∥AH，且DG=12AH ，∵AH⊥BC∴DG⊥BC，∵DF∥BC，EM⊥DF∴DG⊥DF，∴DG=ME=12AH ∵S △ABC=1122BC AH ⋅=∴111111132222424DEF ABC S DF EM BC AH BC AH S ∆⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯=⨯⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△．故选择B．4．如图，在ABC 中，90A ∠=︒，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E，作BC 的垂线交BC 于点F，若AB CE ，且DFE △的面积为2，则BC 的长为（）A．B．5C．D．【答案】D 【详解】解：过A 作AH⊥BC 于H，∵D 是AB 的中点，∴AD=BD，∵DE BC ∥，∴AE=CE，DE=12BC，∵DF⊥BC，∴DF AH ∥，AD=BD，∴BF=HF，DF⊥DE，∴DF=12AH，∵△DFE 的面积为2cm 2，∴12DE•DF=2，∴DE•DF=4，∴BC•AH=2DE•2DF=4×4=16，∴AB•AC=16，∵AB=CE，∴AB=AE=CE=12AC，∴AB•2AB=16，（负值舍去），，=（cm），故选：D．5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=，E、F 分别是AD、CD 的中点，连接BE、BF、EF，若四边形ABCD 的面积为20，则△BEF 的面积为（）A．2B．94C．5D．9【答案】D 【详解】如图，连接AC，过点B 作EF 的垂线交AC 于G 点，交EF 于H 点，∵E、F 分别是AD、CD 的中点∴EF//AC，△ACD 中，AC 边上的高为2GH∴BG⊥AC在Rt△ABC中，AB＝BC＝∵△ABC 为等腰三角形∴△ABG 和△BCG 为等腰直角三角形∴AG＝BG＝12AC=4(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)∵S △ABC＝12·AB·BC=12ABCD 的面积为20∴S △ACD＝20－16＝4，∴16===424ABC ACD S BG S GH ，∴1=8GH BG =12，∴BH＝BG+GH＝92，又∵11==×8=422EF AC ，∴S △BEF ＝119··=×4×=9222EF BH ．故选：D．6．如图，DE 是ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G，若CEF △的面积为212cm ，则DGF S 的值为2cm．【答案】4【详解】解：取CG 的中点，∵点H 是CG 的中点，DE 是ABC 的中位线，∴EH AD ∥，GH CH =，∴GDF HEF ∠=∠，∵F 是DE 的中点，DF EF =，在DFG 和EFH △中，∵GFD HFE DF EF GDF HEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(SAS)DFG EFH ≌，∴FG FH =，EFH DGF S S = ，∵GH CH =，∴3FC FH =，∵CEF △的面积为212cm ，∴21124cm 3EFH S =⨯= ，∴2=4cm DGF S ，故答案为：4．题型三：中点四边形1．若顺次连接四边形ABCD 各边中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD 必定是（）A．菱形B．对角线相互垂直的四边形C．正方形D．对角线相等的四边形【答案】D【详解】解：连接BD 、AC 交于点O ，四边形EFGH 是菱形，∴EF FG GH HE ===，点E 、F 分别是AD 、AB 的中点，EF ∴是三角形ABD 的中位线，12EF BD ∴=，EF BD ∥，同理，12EH AC =，∥EH AC ，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 必定是对角线相等的四边形．故选：D．2．已知四边形ABCD 为菱形，点E、F、G、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，依次连接E、F、G、H 得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 为（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形【答案】C【详解】连接AC BD 、交于O ，∵点E、F、G、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，∴1122HG EF BD FG EH AC ====，，FG AC ∥，EF BD ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵四边形ABCD 为菱形，∴90AOB ∠=︒，∴90AOB BPF GFE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFGH 为矩形，故选：C．3．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B 【详解】解：顺次连接菱形ABCD 各边中点所得四边形必定是：矩形，理由如下：（如图）根据中位线定理可得：12GF BD =且GF BD ∥，12EH BD =且EH BD ∥，EF AC ∥，∴EH FG =，EH FG ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，则EF FG ⊥，∴四边形EFGH 是矩形．故选：B．4．顺次连接等腰梯形（等腰梯形的两条对角线相等）各边中点所得的四边形是（）．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C 【详解】解：如图所示，ABCD 是等腰梯形，E，F，G，H 是四边形ABCD 四边的中点，连接AC ，BD ，∵E，F，G，H 是四边形ABCD 四边的中点，∴HE AC ∥，12HE AC =，GF AC ∥，12GF AC =，同理：12EF BD =，∴HE GF =且HE GF ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形．∵等腰梯形的两条对角线相等，即AC BD =，∴EH EF =，∴四边形EFGH 是菱形．故选：C．5．如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB BC CD DA ，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH ．若要使四边形EFGH 是矩形，则原四边形ABCD 必须满足条件（）．A．AB AD=B．AB AD ⊥C．AC BD =D．AC BD⊥【答案】D 【详解】如图，连接AC BD ，，∵E，F，G，H 分别是AB BC CD DA ，，，的中点，∴EF AC HG ，EH BD FG ∴四边形EFGH 为平行四边形，∴当EFGH 有一个角为直角时，即证明四边形EFGH 是矩形．∵当AC BD ⊥时，EF FG ⊥，∴当AC BD ⊥时，四边形EFGH 是矩形．故选D．6．如图，在四边形ABCD 中，E、F 分别是AD 、BC 的中点，G、H 分别是BD 、AC 的中点，依次连接E、G、F、H 得到四边形EGFH ，要使四边形EGFH 是菱形，可添如条件．【答案】AB CD =（答案不唯一）【详解】解：∵E、F 分别是AD 、BC 的中点，G、H 分别是BD 、AC 的中点，∴11,22FH GE AB GF EH CD ====，∵四边相等的四边形是菱形，∴当AB CD =时，FH GE GF EH ===，此时四边形EGFH 是菱形；∴可添加的条件为：AB CD =；故答案为：AB CD =（答案不唯一）．题型四：与的中位线有关的证明1．如图在ABC 中，AB BC =，D、E、F 分别是BC 、AC 、AB 边上的中点．求证：四边形BDEF 是菱形．【答案】见解析【详解】证明： D、E、F BC 、AC 、AB 边上的中点111,,222BD DC BC AE EC AC AF BF AB ∴======且得到DE ，EF 是ABC 的中位线，∴DE AB ∥，FE BC ∥且11,22DE AB EF BC ==EF BD∴=∴四边形BDEF 是平行四边形AB BC= ∴BF BD=∴四边形BDEF 是菱形．2．已知：如图，在四边形ABCD 中，,AB AD CB CD ==，点M，N，P，Q 分别是,,,AB BC CD DA 的中点．求证：四边形MNPQ 是矩形．【答案】见解析【详解】证明：设AC 与BD 交于点O，AC 与QM 交于点F，BD 与PQ 交于点E，∵AB AD =，CB CD =，∴点A 与点C 都在BD 的垂直平分线上，∴AC 是BD 的垂直平分线，即AC BD ⊥，∴90AOD ∠=︒，∵点M，N，N，P，Q 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴MQ BD ∥，PQ AC ∥，∴四边形OEQF 是平行四边形，又90AOD ∠=︒，∴四边形OEQF 是矩形，∴90MQP AOD ∠=∠=︒，同理：90QMN MNP ∠=∠=︒，∴四边形MNPQ 是矩形．3．已知：如图，在ABC 中，中线BE ，CF 交于点O，G，H 分别是OB ，OC 的中点，连接GH EF FG EH ，，，．求证：FG EH ∥．【答案】∵在ABC 中，中线BE ，CF 交于点O，∴EF 是ABC 的中位线，∴12EF BC EF BC =∥，，∵G，H 分别是OB ，OC 的中点，∴GH 是OBC △的中位线，∴12GH BC GH BC =∥，，∴EF GH EF GH =∥，，∴四边形EFGH 是平行四边形，∴FG EH ∥．4．在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD 的四边中点依次连接起来，得到的四边形EFGH 是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：如图①，连接AC ．∵E，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，12EF AC =．∵G，H 分别是CD ，AD 的中点，∴GH AC ∥，12GH AC =．∴EF GH ∥，EF GH =．∴四边形EFGH 是平行四边形．(1)若只改变图①中四边形ABCD 的形状（如图②），连接AC ，BD ，则四边形EFGH 还是平行四边形吗？请说明理由（参考小敏思考问题的方法解决）．(2)如图②，在（1）的条件下：①当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？写出结论并证明．②当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形？直接写出结论．【答案】(1)是，见解析(2)①AC BD =，见解析；②AC BD⊥【详解】（1）四边形EFGH 是平行四边形，理由如下：∴EF AC ∥，12EF AC =，同理，HG AC ∥，12GH AC =，∴EF HG ∥，EF HG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）①当AC BD =时，四边形EFGH 是菱形，由（1）知四边形EFGH 是平行四边形，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴12EF AC =，∵G ，F 分别是CD ，BC 的中点，∴12GF BD =，∴当AC BD =时，EF FG =，∴平行四边形EFGH 是菱形；②当AC BD ⊥时，四边形EFGH 是矩形，由（1）知四边形EFGH 是平行四边形，∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，∵G ，F 分别是CD ，BC 的中点，∴GF BD ∥，∴当AC BD ⊥时，EF FG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形；5．如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O，E，F 分别是AB 、CD 的中点，且AC BD =．求证：OM ON =．【答案】如图所示，取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，G 、F 分别为AD 、CD 的中点，GF ∴是ACD ∆的中位线，12GF AC ∴=，同理可得，12GE BD =，AC BD = ，1122GF GE AC BD ∴===．GFN GEM ∴∠=∠，又EG OM ∥，FG ON ∥，OMN GEM GFN ONM ∴∠=∠=∠=∠，OM ON ∴=．6．（1）回归课本请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．（2）回顾证法证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．已知：在ABC 中，点,D E 分别是,AB AC 的中点．求证：________________．证明：过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．（3）实践应用如图3，点B 和点C 被池塘隔开，在BC 外选一点A ，连接,AB AC ，分别取,AB AC 的中点,D E ，测得DE 的长度为9米，则,B C两点间的距离为________________．【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）DE BC ∥，12DE BC =；详见解析；（3）18米【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）求证：DE BC ∥，12DE BC =．证明：∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，∴BD AD =，=AE CE ，过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．∴ADE F ∠=∠，在ADE V 和CFE 中，ADE F AED CEF AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE CFE ∴≌△△．AD CF ∴=，12DE EF DF ==．CF BD ∴∥，CF BD =．∴四边形DBCF 是平行四边形，∥DF BC ∴，DF BC =，又12DE DF = ，∴DE BC ∥，12DE BC =．故答案为：DE BC ∥，12DE BC =；（3）∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，9DE =米，∴12DE BC =，即：218BC DE ==米故答案为：18米．题型五：构造三角形的中位线1．如图，在ABC 中，CE 是中线，CD 是角平分线，AF CD ⊥交CD 延长线于点F，若8AC =，5BC =，则EF 的长为．【答案】1.5【详解】解：如图，延长AF ，交于点G，∵CD 是ABC 的角平分线，∴ACF GCF ∠=∠，∵AF CD ⊥，∴90AFC GFC ∠=∠=︒，在ACF △和GCF 中，ACF GCF CF CF AFC GFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)ACF GCF ≌ ，∴8CG AC AF FG ===，，∴853BG CG CB =-=-=，∵AE EB AF FG ==，，∴EF 为ABG 的中位线，∴1 1.52EF BG ==，故答案为：1.5．2．如图，AD 是ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，若6AC =，则AF =（）A．3B．2C．43D．94【答案】B 【详解】解：取BF 的中点H，连接DH ，∵BD DC BH HF ==，，∴12DH FC =，DH AC ∥，∴HDE FAE ∠=∠，在AEF △和DEH △中，AEF DEH AE DE EAF EDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AEF DEH ASA ≌△△，∴AF DH =，∴12AF FC =，∵6AC =，∴123AF AC ==，故选：B．3．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，M、N 分别是AB AC 、的中点，延长BC 至点D，使12CD BC =．连接DM DN MN 、、．若6AB =，则DN 的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C 【详解】解：如图：连接CM∵M，N 分别是AB AC 、的中点，∴MN 是ABC 的中位线，∴12MN BC MN BC =，∥，∵12CD BC =，∴CD MN =，∵MN BC ∥，∴四边形NDCM 为平行四边形，∴DN CM =，∵90ACB ∠=︒，M 是AB 的中点，∴116322CM AB ==⨯=，∴3DN =．故选：C．4．如图，AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，BD AD ⊥于D ，E 为BC 中点，5DE =，3AC =，则AB 长为（）A．8.5B．8C．7.5D．7【答案】D 【详解】解：延长BD ，CA 交于点F，，∵AD 为ABC 中BAC ∠的外角平分线，∴FAD BAD ∠=∠，∵BD AD ⊥，∴90ADF ADB ∠=∠=︒，在ABD △和AFD △中，FAD BAD AD AD ADF ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABD AFD △≌△，∴AB AF =，BD DF =，又E 为BC 中点，5DE =，∴210CF DE ==，又3AC =，∴7AF CF AC AB =-==．故选：D．5．如图，在ABC 中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC的中点．(1)如图1，BE 的延长线与AC 边相交于点D，求证：1()2EF AC AB =-；(2)如图2，请直接写出线段AB 、AC 、EF 的数量关系：．【答案】(1)见详解(2)1()2EF AB AC =-【详解】（1）证明：如图1中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，∴,90BAE DAE AEB AED ∠=∠∠=∠=︒，∵AE AE =，∴()ASA BAE DAE ≌，∴AB AD =，即ABD △是等腰三角形，∵BE AE ⊥，BE DE ∴=，BF FC = ，111()()222EF DC AC AD AC AB ==-=-∴．（2）解：结论：1()2EF AB AC =-，理由：如图2中，延长AC 交BE 的延长线于P ．AE BP ⊥ ，90AEP AEB ∠=∠=︒∴，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90PAE APE ∠+∠=︒，BAE PAE ∠=∠∵，ABE APE ∠=∠∴，AB AP =∴，AE BP ⊥ ，E ∴为BP 的中点，BE PE =∴，点F 为BC 的中点，BF FC =∴，111()()222EF PC AP AC AB AC ∴==-=-；故答案为1()2EF AB AC =-．6．已知：如图①所示，BD、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G．连结FG，延长AF、AG，与直线BC 相交，易证FG=12（AB+BC+AC）．（1）BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线（如图②）；（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线（如图③），则在图②、图③两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．【答案】（1）1()2FG AB AC BC =+-；（2）1()2FG BC AC AB =+-【详解】解：（1）图②结论为：1()2FG AB AC BC =+-证明：分别延长AG 、AF 交BC 于H 、K，在BAF ∆和BKF ∆中，ABD FBK BF BF BFA BFK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAF BKF ASA ∴∆≅∆，AF KF ∴=，AB KB=同理可证，AG HG =，AC HC =12FG HK ∴=又∵HK BK BH =-，BH=BC-CH=BC-AC，1()2FG AB AC BC ∴=+-（2）图3的结论为1()2FG BC AC AB =+-．证明：分别延长AF 、AG 交BC 或延长线于K 、H ,在BAF ∆和BKF ∆中，ABD DBK BF BF BFA BFK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAF BKF ASA ∴∆≅∆，AF KF ∴=，AB KB=同理可证，AG HG =，AC HC =，12FG KH ∴=又KH BC BK HC BC AC AB =-+=+- ．1()2FG BC AC AB ∴=+-．题型六：最值问题1．在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，分别在AD 、BD 上取点P、Q （端点除外），连接PQ ，E、F 分别为AP 、PQ 的中点，连接EF，在P、Q 的运动过程中，线段EF 的最小值为（）A． 1.2B． 1.5D．2【答案】A 【详解】解：连接AQ ，∵E、F 分别为AP 、PQ 的中点，∴12EF AQ =，根据点到直线的距离可得当AQ BD ⊥时，AQ 最小，EF 也最小，∵矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，∴5BD ==，∵1122ABD S AB AD BD AQ =⋅=⋅ ，∴1134522AQ ⨯⨯=⨯⨯，∴125AQ =，∴min 1126255EF =⨯=，故选A．2．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点N 是BC 边上一点，点M 为AB 边上的动点，点D、E 分别为CN，MN 的中点，则DE 的最小值是（）A．2B．125C．3D．245【答案】B 【详解】解：连接CM ，∵点D、E 分别为CN，MN 的中点，∴12DE CM =，∴当CM AB ⊥时，CM 最小，即DE 最小，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，∴10AB ===，∴CM 的最小值为245AC BC AB ⋅=，∴DE 的最小值为11225CM =，故选：B．3．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，BC =分别是边CD BC ，上的动点，连接AE 和EF ，G，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为（）B．2C．3D．1【答案】B 【详解】连接AF ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC ==，∵G，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是AEF △的中位线，∴12GH AF =，当AF BC ⊥时，AF 最小，GH 得到最小值，则90AFB ∠=︒，∵45B ∠=︒，∴ABF △是等腰直角三角形，∴22AF AB ==⨯，∴GH GH 故选：B．4．如图，矩形ABCD 的边24AB BC ==，，E 是AD 上一点，1DE =，F 是BC 上一动点，M、N 分别是AE EF 、的中点，则MN EN ＋的最小值是．【答案】52【详解】解：2AB = ，4BC =，1DE =，4AD BC ∴==，413AE AD DE =-=-=，延长AB 到A '，使2A B AB '==，连接A F '，则4AA '=，A F AF ¢=，当A '、F 、E 在同一直线上时，A F FE '+最小，最小值为A E '．在Rt AA E ' 中，5A E ==='，即AF FE +最小为5，N Q 、M 分别是EF 、AE 的中点，12NE EF =，=12NM AF ，MN EN ＋的最小值为15522⨯=．故答案为：52.题型七：找规律的问题1．如图所示，已知ABC 的面积为1，连接ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，L ，依此类推，第2013个三角形的面积为（）A．12011B．12012C．201114D．201214【答案】D【详解】解：如图：过点A 作AG DE ⊥于G，交BC 于H，则AG GH =，D 、E、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，DE ∴、EF 、DF 分别为ABC 的中位线，12DE BC ∴=，12DF AC =，12EF AB =，12GH AH =，12ABC S BC AH =⋅ ，12DEF S DE GH =⋅ ，1144DEF ABC S S ∴== ，同理：第三个三角形的面积=21144DEF S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，第四个三角形的面积14=第三个三角形面积314⎛⎫= ⎪⎝⎭，……，∴第2013个三角形的面积为201214，故选：D．2．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边的中点E，作ED AB ∥交AC 于点D，EF AC ∥交AB 于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作1S 取BE 边的中点1E ，作11E D FB 交EF 于1D ，11E F EF ∥交BF 于点1F ，得到四边形111E D FF ，它的面积记作2S ，…照此规律作下去，则2022S 的值为．【详解】∵E 是BC 中点，ED AB ∥，EF AC ∥，∴ED、EF 是△ABC 的中位线，∴ED=EF=AD=AF=12AB =12，∴四边形EDAF 是菱形，∵△ABC 是等边三角形，∴△ABC∴菱形EDAF 的高为1224⨯=，∴S 1=124⨯=8=32，同理，四边形111E D FF 也是菱形，FF 1=12BF =14，菱形111E D FF 的高为12，∴S 2=14，S 3=18……S n =212n +，∴20222202212S ⨯+==404523．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AB＝12，AC＝20．以OB 和OC 为邻边作第一个平行四边形1OBB C ，对角线BC 与1OB 相交于点1A ；再以11A B 和1A C 为邻边作第二个平行四边形111A B C C ，对角线1A 与1B C 相交于点1O ；再以11O B 和11O C 为邻边作第三个平行四边形1121O B B C …依此类推．记第一个平行四边形1OBB C 的面积为1S ，第二个平行四边形111A B C C 的面积为2S ，第三个平行四边形1121O B B C 的面积为3S …则2020S 是（）A．2020962B．20201922C．20191922D．2021962【答案】B【详解】解：∵四边形ABCD 矩形，∴∠ABC＝90°，OB＝OC，=＝16，∴矩形ABCD 的面积＝12×16＝192；∵四边形1OBB C 是平行四边形，OB＝OC，∴四边形1OBB C 是菱形，∴118BA CA ==，∴1OA 是△ABC 的中位线，∴1OA ＝12AB＝6，∴11212OB OA ==，∴平行四边形四边形1OBB C 的面积＝12×12×16＝12⨯192；根据题意得：四边形111A B C C 是矩形，∴第2个平行四边形111A B C C 的面积111AC A B =´＝8×6＝48＝212⎛⎫⎪⎝⎭×192；同理：第3个平行四边形12OB B C 的面积＝12×8×6＝24＝312⎛⎫⎪⎝⎭×192；．．．，∴第n 个平行四边形的面积是12n⎛⎫⎪⎝⎭×192，则2020S 是202012⎛⎫⎪⎝⎭×192＝20201922，故选：B．课后练习1．如图，已知四边形ABCD ，R，P 分别是DC BC ，上点，E，F 分别是AP RP ，的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF 的长逐渐增大B．线段EF 的长逐渐减少C．线段EF 的长不变D．线段EF 的长不能确定【答案】C【详解】解：如下图，连接AR ，E F 、分别是AP RP 、的中点，EF ∴为APR △的中位线，12EF AR ∴=，为定值，∴线段EF 的长不改变，故选：C．2．如图，在四边形ABCD 中，=AD BC ，E、F、G 分别是CD AB AC 、、的中点，若2080DAC ACB ∠︒∠︒=，=，则FEG ∠=．【答案】30︒【详解】解：∵AD BC =，E，F，G 分别是CD AB AC ，，的中点，∴GE 是ACD 的中位线，GF 是ACB △的中位线，11,,22GE AD GF BC ∴==,,,GF BC GE AD ∥∥80,20AGF ACB EGC DAC ︒︒∴∠=∠=∠=∠=,又AD BC = ,EFG FEG ∴∠=∠,()2018080120FGE FGC EGC ︒︒︒︒∠=∠+∠=+-= ,()1180302FEG FGE ︒︒∴∠=-∠=.故答案为：30︒．3．如图，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．要使四边形EFGH 是正方形，BD 、AC 应满足的条件是．【答案】AC BD =且AC BD⊥【详解】应满足的条件是：AC BD =且AC BD ⊥，理由：E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在ADC △中，HG 是ADC △的中位线，HG AC ∴∥，12HG AC =，同理EF AC ∥，12EF AC =，同理，12EH BD =，则HG EF ∥且HG EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC BD = ，EF EH ∴=，∴四边形EFGH 为菱形，AC BD ^ ，EF AC ∥，EF BD ∴⊥，EH BD ∥ ，90FEH ∴∠=︒，∴菱形EFGH 为正方形，故答案为：AC BD =且AC BD ⊥．4．如图，在ABC 中，D ，E ，F ，G 分别是BC ，AC ，DC ，AB 四条边的中点，连接AD ，DE ，EF ，DG ，若ABC 的面积为16，则CEF △和ADG △的面积之和为．【答案】6【详解】解： 点D 是BC 的中点，ABC 的面积为16，182ABD ADC ABC S S S ∴=== ， 点G 是AB 的中点，142ADG ABD S S ∴== ， 点E 是AC 的中点，142EDC ADC S S ∴== ， 点F 是CD 的中点，122EFC EDC S S ∴== ，CEF ∴ 和ADG △的面积之和为6，故答案为：6．4．如图，在ABC 中，E 是AC 的中点，D 在AB 上且2AD BD =，连接BE ，CD 相交于点F ，则BCFADFES S =四边形△．【答案】35【详解】解：取CD 中点G ，则EG 是ACD 中位线，∴1,2EG AD EG AD =∥，2AD BD = ，12BD AD EG ∴==,DFB EFG BDF EGF∠=∠∠=∠ ∴BDF EGF ≌，∴132DF FG CG BF EF CF DF ===∴=，，，设1BDF S ∆=，则3BCF CEF AEF S S S ∆∆∆===，2ADF S ∆=，∴35BCFADFE S S ∆=四边形，故答案为35．5．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，E、F 分别是边,CD BC 上的动点，连接AE EF 、，G、H 分别为AE EF 、的中点，连接GH ．若GH 的最小值为3，则BC 的长为．【答案】【详解】解：连接AF ，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH AF ∥，且12GH AF =，要使GH 最小，只要AF 最小，当AF BC ⊥时，AF 最小，∵GH 的最小值为3，∴6AF =，∵45B ∠=︒，∴45BAF ∠=︒，∴6BF AF ==，∴AB ==∵四边形ABCD 是菱形，∴BC AB ==故答案为：6．如图，在ABC 中，AE 平分BAC ∠，D 是BC 的中点AE BE ⊥，5AB =，3AC =，则DE 的长为（）A．1B．32C．2D．52【答案】A【详解】延长AC 交BE 的延长线于点F ，如图，AE BE ⊥ ，90AEB AEF ∴∠=∠=︒，AE 平分BAC ∠，BAE FAE ∴∠=∠，ABE AFE ∴∠=∠，ABF ∴ 是等腰三角形，5AF AB ∴==，点E 是BF 的中点，532CF AF AC ∴=-=-=，DE 是BCF △的中位线，112DE CF ∴==．故选：A．7．如图，ABC 中，9cm,5cm AB AC ==，点E 是BC 的中点，若AD 平分,BAC CD AD ∠⊥，求线段DE 的长．【答案】2cm【详解】解：出如图，延长CD 交AB 于F ，由题意知，FAD CAD ∠=∠，90ADF ADC ∠=∠=︒，在ADF △和ADC △中，∵FAD CAD AD AD ADF ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ADF ADC △≌△，∴DF CD =，5AF AC ==，∴D 是CF 的中点，4BF AB AF =-=，又∵E 是BC 的中点，∴DE 是BCF △的中位线，∴122DE BF ==，∴DE 的长为2cm．8．如图，ABC 的周长为64，E ．F ．G 分别为AB ．AC ．BC 的中点，A '．B '．C '分别为EF ．EG ．GF 的中点，A B C ''' 的周长为16．如果ABC ．EFG ．A B C ''' 分别为第1个．第2个．第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是．【答案】11642n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】根据三角形中位线定理分别求出第2个三角形的周长、第3个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，EF ∴、EG 、FG 都是ABC 的中位线，12EF BC ∴=，12EG AC =，12FG AB =，EFG ∴△的周长=164643222⨯==，即第2个三角形的周长是32，同理可得，第3个三角形的周长是211646416222⨯⨯==，⋯⋯，则第n 个三角形的周长是7116422n n --=⨯，故答案为：11642n -⨯9．如图，ABC 中，中线,BD CE 相交于O．F、G 分别为,BO CO 的中点．(1)求证：四边形EFGD (2)若ABC 的面积为12，求四边形EFGD 的面积．【答案】(1)见解析(2)4【详解】（1）证明：∵,BD CE 是ABC 的中线，F、G 分别为,BO CO 的中点，∴,ED FG 分别是,ABC OBC 的中位线，∴1,2ED BC ED BC = ，1,2FG BC FG BC =∥，∴,ED FG ED FG = ，∴四边形EFGD 是平行四边形；（2）解：∵,ED BD 分别是,ABD ABC 的中位线，又∵ABC 的面积为12，∴111123244BDE ABD ABC S S S ===⨯= ，∵四边形EFGD 是平行四边形，中线,BD CE 相交于O，F 为BO 的中点，∴O 为DF 的中点，∴113133EBF EFO EOD BDE S S S S ====⨯= ，1GOF GDO EFO EDO S S S S ==== ,∴44EFGD EFO S S == ，∴四边形EFGD 的面积为4．10．如图，四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 上的一点，连接EB 并延长，使BF BE =，连接EC 并延长，使CG CE =，连接FG ．H 为FG 的中点，连接DH ．(1)求证：四边形AFHD 为平行四边形；(2)若CB CE =，80BAE ∠=︒，30DCE ∠=︒，求CBE ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)65︒【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，BAE BCD ∠=∠，∵BF BE =，CG CE =，∴BC 是EFG 的中位线，∴BC FG ∥，12BC FG =，∵H 为FG 的中点，∴12FH FG =，∴BC FH ∥，BC FH =，∴AD FH ∥，AD FH =，∴四边形AFHD 是平行四边形；（2）解：∵80BAE ∠=︒，∴80BCD ∠=︒，∵30DCE ∠=︒，∴803050BCE ∠︒=︒=-，∵CB CE =，∴()118050652CBE CEB ︒∠=∠=︒-︒=．11．如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O．2BD AD =，E，F，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点．(1)求证：BE AC ⊥；(2)若2EF =，求EG 的长．【答案】(1)见解析(2)2EG =【详解】（1）解： 四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，2BD BO =．由已知2BD AD =，BO BC ∴=．又E 是OC 中点，BE AC ∴⊥．（2）由（1）BE AC ⊥，又G 是AB 中点，EG ∴是Rt ABE 斜边上的中线．EG ∴=12AB又EF 是OCD 的中位线，EF ∴=12CD ．又AB CD =，2EG EF ∴==．12．如图，四边形ABCD 中，点E、F、G、H 分别为AB BC CD DA 、、、的中点，(1)求证：中点四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足,,PA PB PC PD APB CPD ==∠=∠，点E、F、G、H 分别为AB BC CD DA 、、、的中点，猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．【答案】（1）证明：如图1中，连接BD ，∵点E、H 分别为边AB AD 、的中点，∴1,2EH BD EH BD =∥,∵点F、G、分别为BC CD 、的中点，∴1,2FG BD FG BD =∥，∴EH FG EH FG =、∥，∴中点四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：四边形EFGH 是菱形，理由如下：如图2，连接AC BD 、，。
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2014年4月王强的初中数学组卷2014年4月王强的初中数学组卷一．选择题（共10小题）1．（2013•铜仁地区）已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm2．（2013•怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（）A．18米B．24米C．28米D．30米3．（2012•泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4B．3C．2D．14．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．45．（1997•海南）用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EFC．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF6．用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°“时，应先假设（）A．∠B＞45°，∠C≤45°B．∠B≤45°，∠C＞45°C．∠B＞45°，∠C＞45°D．∠B≤45°，∠C≤45°7．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（）A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交8．能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是（）A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=159．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．面积相等的两个三角形一定全等C．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”D．反比例函数y=中函数值y随自变量x的增大一定而减小10．下列命题宜用反证法证明的是（）A．等腰三角形两腰上的高相等B．有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行D．全等三角形的面积相等二．填空题（共4小题）11．（2013•烟台）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为_________．12．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为_________．13．（2012•枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为_________．14．（2011•柳州）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离_________米．三．解答题（共16小题）15．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．16．（2012•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）求EF的长．17．（2005•乌鲁木齐）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．18．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．19．（2013•镇江）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．20．（2013•梧州）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．21．（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．22．（2011•天水）已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．23．（2010•东莞）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．24．（2006•镇江）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．25．（2006•湛江）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论．26．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．27．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．28．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．29．（2013•南充）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD 于F．求证：OE=OF．30．（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．2014年4月王强的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013•铜仁地区）已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm考点：三角形中位线定理．分析：由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．解答：解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE=AC，DF=BC，EF=AB，∴△DEF的周长=DE+DF+EF=（AC+BC+AB）=6cm，故选D．点评：解决本题的关键是利用中点定义和中位线定理得到新三角形各边长与原三角形各边长的数量关系．2．（2013•怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（）A．18米B．24米C．28米D．30米考点：三角形中位线定理．分析：根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．解答：解：∵D、E是OA、OB的中点，即CD是△OAB的中位线，∴DE=AB，∴AB=2CD=2×14=28m．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．3．（2012•泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4B．3C．2D．1考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：连接DE并延长交AB于H，由已知条件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得DE=HE，进而得到EF是三角形DHB的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF的长．解答：解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE（AAS），∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=BH，∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，∴EF=1．故选D．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线的判定和性质，解题的关键是连接DE和AB相交构造全等三角形，题目设计新颖．4．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．4考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．解答：解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．5．（1997•海南）用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EFC．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF考点：反证法．分析：根据要证CD∥EF，直接假设CD不平行于EF即可得出．解答：解：∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．∴证明的第一步应是：从结论反面出发，假设CD不平行于EF．故选：B．点评：此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．6．用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°“时，应先假设（）A．∠B＞45°，∠C≤45°B．∠B≤45°，∠C＞45°C．∠B＞45°，∠C＞45°D．∠B≤45°，∠C≤45°考点：反证法．分析：用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．解答：解：用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°”时，应先假设∠B＞45°，∠C＞45°．故选：C．点评：此题主要考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键．7．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（）A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交考点：反证法．分析：根据反证法的步骤，直接得出即可．解答：解：∵用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，∴第一步应假设：若a⊥c，b⊥c，则a、b相交．故选：D．点评：此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．8．能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是（）A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=15考点：反证法．分析：根据x=3时，（x﹣3）2=0，得出能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是：x=3．解答：解：∵x=3时，（x﹣3）2=0，∴能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是：x=3．故选：B．点评：本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题是假命题只要找到一个反例即可．9．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．面积相等的两个三角形一定全等C．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”D．反比例函数y=中函数值y随自变量x的增大一定而减小考点：反证法；反比例函数的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质．分析：分别根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质和反证法的证明第一步以及反比例函数的增减性得出即可．解答：解：A、等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线、高线互相重合，故此选项错误；B、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项错误；C、用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”，此选项正确；D、反比例函数y=中，每个象限内，函数值y随自变量x的增大一定而减小，故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了反证法、反比例函数性质、等腰三角形的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．10．下列命题宜用反证法证明的是（）A．等腰三角形两腰上的高相等B．有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行D．全等三角形的面积相等考点：反证法．分析：利用直接证明的方法不易证明的结论，可以考虑利用反证法证明，据此即可判断．解答：解：A、利用三角形的面积公式比较容易证明，故选项错误；B、利用等边三角形的判定定理即可直接证明，故选项错误；C、正确；D、根据全等的定义可以直接证明，故选项错误．故选C．点评：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法应用的条件，直接证明的方法不易证明的结论，可以考虑利用反证法证明．二．填空题（共4小题）11．（2013•烟台）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为15．考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD 的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．解答：解：∵▱ABCD的周长为36，∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=BD=6．又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，∴OE=BC，∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．故答案是：15．点评：本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．12．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，从而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，点F是CG中点，判断出DF是△CBG的中位线，继而可得出答案．解答：解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，∵，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴AC=AG，GF=CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=．故答案为：．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，同学们要注意培养自己的敏感性，一般出现即是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．13．（2012•枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．专题：压轴题．分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长解答：解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，∴DF=AB=2.5，∵DE为△ABC的中位线，∴DE=BC=4，∴EF=DE﹣DF=1.5，故答案为1.5．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14．（2011•柳州）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离46米．考点：三角形中位线定理．专题：计算题；压轴题．分析：根据E、F分别是线段AB、BC中点，利用三角形中位线定理，即可求出AC的长．解答：解：∵E、F分别是线段AB、BC中点，∴FE是三角形ABC的中位线，∴FE=AC，∴AC=2FE=23×2=46米．故答案为46．点评：此题考查学生对三角形中位线定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握三角形中位线定理，为进一步学习奠定基础．三．解答题（共16小题）15．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．解答：（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．16．（2012•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）求EF的长．考点：三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．分析：（1）由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求∠A的度数；（2）由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC，则BC=4cm．然后根据三角形中位线定理求得EF=BC．解答：解：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=90°﹣∠B=30°，即∠A的度数是30°；（2）∵由（1）知，∠A=30°．∴在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm，∴BC=AB=4cm．又E、F分别为边AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=2cm．点评：本题考查了三角形中位线定理、含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．（2005•乌鲁木齐）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：根据DE是三角形的中位线得到DE∥BC，根据CE是直角三角形斜边上的中线得到CE=AE，得∠A=∠ACE∵∠CDF=∠A∴∠CDF=∠ACE∴DF∥CE．再根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形而得证．解答：证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE为△ACB的中位线．∴DE∥BC．∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线，∴CE=AB=AE．∴∠A=∠ACE．又∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ACE．∴DF∥CE．又∵DE∥BC，∴四边形DECF为平行四边形．点评：本题利用了：①三角形中位线的性质．②直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半．③等边对等角．④平行四边形的性质和判定．⑤内错角相等，两直线平行．18．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题；证明题．分析：（1）过点D作DF∥AB，构造三角形全等，可证得△CDF为等边三角形，得到DF=BE，可由AAS证得△DFP≌△EBP⇒DP=EP；（2）若D为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，有BF=BC=a，点P是BF的中点，得到BP=BF=a．解答：（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质求解．19．（2013•镇江）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABE≌△DCF；（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得∠AEB=∠DFC，则∠AEF=∠DFE，所以根据平行线的判定可以证得AE∥DF．由全等三角形的对应边相等证得AE=DF，则易证得结论．解答：证明：（1）如图，∵AB∥CD，∴∠B=∠C．∵在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）；（2）如图，连接AF、DE．由（1）知，△ABE≌△DCF，∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEF=∠DFE，∴AE∥DF，∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．在证明（2）题时，利用了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理．20．（2013•梧州）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形．解答：证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△AEB与△DFC中，，∴△AEB≌△DFC（ASA），∴BE=CF．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CF．∴四边形BECF是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．21．（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．解答：证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．点评：此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．22．（2011•天水）已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD=CB，∠DAF=∠BCE，可证出AD∥CB，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．解答：解：结论：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB，又∵AF=CE DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB．23．（2010•东莞）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题；压轴题．分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．解答：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=CB，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；（2）由（1）知道AC=EF，而△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，而EF⊥AB，∴EF∥AD，∴四边形ADFE是平行四边形．点评：此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．24．（2006•镇江）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证．解答：证明：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO．∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△CDO．∴AB=CD，又∵AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形．点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．25．（2006•湛江）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论．考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．专题：压轴题；探究型．分析：四边形EFGH是平行四边形，连接AC，根据中位线定理，可证得EF∥AC，且EF=AC．GH∥AC，且GH=AC，∴EF GH．∴四边形EFGH是平行四边形．解答：解：四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC，如图．∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=AC．同理：GH∥AC，且GH=AC，∴EF GH．∴四边形EFGH是平行四边形．点评：此题主要考查平行四边形的判定，综合运用了中位线定理，作辅助线是关键．26．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．考点：反证法．专题：证明题．分析：当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．解答：证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．点评：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．27．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．考点：反证法．分析：首先假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，利用多项式乘以多项式得出（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，进而得出矛盾，则原命题正确．解答：证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，（n、p为整数），则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，∵无论n、p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾，所以假设不成立，∴这两个整数中至少一个是偶数．点评：此题主要考查了反证法的证明以及多项式乘以多项式以及数的奇偶性，熟练掌握反证法证明步骤是解题关键．28．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．考点：反证法．分析：（1）真命题，不管底角还是顶角为60°，都可推出等腰三角形的每个角都为60°（2）假命题，举一个反例即可．解答：解：（1）真命题，（2）假命题．假设原命题为真命题，那么在△ABC中，∠A=20°，∠B=30°，∠C=130°，则△ABC就应该是锐角三角形；而实际上△ABC就应该是钝角三角形，所以假设错误，所以原命题为假命题．点评：本题考查了命题的判断，可反证法来证明．29．（2013•南充）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD 于F．求证：OE=OF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，又由∠AOE=∠COF，易证得△OAE≌△OCF，则可得OE=OF．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠OAE=∠OCF，∵在△OAE和△OCF中，，∴△OAE≌△OCF（ASA），∴OE=OF．点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．30．（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．。