22.2.4一元二次方程根的判别式
华师大版初中数学九年级上册22.2.4 一元二次方程根的判别式
华师大版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！华师大初中数学和你一起共同进步学业有成！4.一元二次方程根的判别式1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点) 2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力． 一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x ＋＝0； 14(3)x 2－x ＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac <0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x 2＋3x －4＝0，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x 2－x ＋＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝14.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程1414有两个相等的实数根．(3)x 2－x ＋1＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝1.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根． 方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b 2－4ac 的值的符号来判断方程根的情况．当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a <2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a －1不为0.即4－4(a －1)＞0且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.选C. 方法总结：若方程有实数根，则b 2－4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题． 【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根． 解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a ，b ，c 是三角形三条边的长可知a ，b ，c都是正数．由三角形的三边关系可知a ＋b >c ，a ＋c >b ，b ＋c >a . 证明：∵b 为三角形一边的长，∴b ≠0，∴b 2≠0，∴b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0是关于x 的一元二次方程．∴Δ＝(b 2＋c 2－a2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2＋2bc )(b 2＋c 2－a 2－2bc )＝[(b ＋c )2－a 2][(b －c )2－a 2]＝(b ＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c是三角形三条边的长，∴a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a ＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a ＋c)<0，∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号．【类型四】利用根的判别式解决存在性问题是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．解：不存在，理由如下：假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解得m<.∵m为非负整数，∴m＝0.14而当m＝0时，原方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面．三、板书设计本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
22.2.4公式法
例2：一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（ A） A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根； C.无实数根； D.无法确定。 [解析]∵a=1,b=1,c=-2,∴△=b2-4ac=12-4 ×1 × （-2）=1+8=9>0, ∴方程有两个不相等的实数根，故选A
判断下列各方程根的情况
在实数范围内，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根由其系数a,b,c确定， 它的根的情况由△=b2-4ac确定。 （1）当△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的 实数根； （2）当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实 数根； （3）当△=b2-4ac<0时，方程没有实数根。
命题点2：不解方程判断方程根的情况
b b2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
一元二次方程根的判别式
在推导一元二次方程的求根公式过程中，当 2 2 b b 4 ac 2 的两边才 b 4ac 0 时， (x ) 2
2a 4a
2
能直接开平方，这里的式子 b 4ac 叫做一 2 ax bx c 0(a 0) 的根的判 元二次方程 2 别式，用“△”表示，即 b 4ac
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
7 121 7 11 x , 21 2
∴x1=9, x2= -2.
b b2 4αc x 2α
例 2 解方程：
x 3 2 3x
2
解：化简为一般式：x2
2 3x 3 0
∴ a=1, b= 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
22.2.4一元二次方程根的判别式课件华东师大版数学九年级上册
C．无实数根
D．只有一个实数根
4.不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2 + 3x − 4 = 0； （2）x2 − x + 1 = 0；
4
解：（1）a = 2，b = 3，c = −4，
∴ Δ = b2 − 4ac = 32 − 4×2×(−4) = 41＞0.
∴ 方程有两个不等的实数根．
情境导入
知识讲解
随堂小测
当堂检测
课堂小结
1.理解一元二次方程根的判别式的作用.（难点） 2.会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根及两 个根是否相等.（重点） 3.能灵活运用一元二次方程根的判别式进行相关的计算与证 明.（难点）
复
习
回
顾
一元二次方程的求根公式是什么？
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，它的根是： x b b2 4ac（b2 4ac 0）. 2a
4 (3)原方程可变形为4y2+7y+4=0.因为Δ=(7)2-4×4×4=49-64=-15<0，所以方
程没有实数根.
不解方程，判断下列方程的根的情况．
(1) - 1 x2 x 1;
4
(2) x2
2x 1 .
3
解：(1)原方程化为 1 x2 x 1 0,
4
Δ
(2)原方程化为 x2 2x 1 0,
解：(1)∵关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(－2)2－4(k－1)＞0，解得k＜2. (2)把x＝k＋1代入方程，得(k＋1)2－2(k＋1)＋k－1＝4， 整理，得k2＋k－6＝0，解得k1＝2，k2＝－3. ∵k＜2，∴k的值为－3.
一元二次方程根的判别式知识点
一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（Δ=b24ac）3、一元二次方程根的判别式的多种应用：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
二、例1、判断下列方程根的情况三、2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、?已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、?证明方程根的性质。
例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
四、?判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
五、?判定二次三项式为完全平方式。
例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。
六、?利用判别式构造一元二次方程。
例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、?限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
22.2一元二次方程根的判别式
2 2 x 2 ( a 2 ) x a 16 0 例4.已知关于x 的方程
的一次项系数是正数，且有两个实数根，求a 的整 数值。
解：由已知得：
2 a 2) 0 （ 2 2 2(a 2) 4(a 16) 0
解这个不等式组得：
2
a 0, 4a 0
2
反过来，对于方程
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
如果方程有两个不等的实数根，那么
b 4ac 0;
2
2
如果方程有两个相等的实数根，那么
b 4ac 0;
如果方程没有实数根，那么
b 4ac 0.
2
方程 ax bx c 0(a 0)的根的判别式 :
3.不解方程，判别关于 x 的方程
2 2
a x ax 1 0 a 0 的根的情况.
(a) 4a (1) 5a , 且a 0
2 2 2
解：
5a 0,即 0
2
所以，原方程有两个不相等的实数根。
例2 已知关于x 的一元二次方程
(m 1) x 2mx (m 2) 0
m 2,即m的取值范围是m 2
m 1 0 m 1 即： (2) 由已知得： 4m 8 0 m 2
得 m＞2，∴m 的取值范围是m＞2
注：一元二次方程的条件是二次项系数不为零.在 这个条件下再看根的条件。
例3.求证：当a和c 的符号相反时，一元二次方程
2
b 4ac
2
0 有两个不等实根 0 有两个相等实根 0 没有实根
(课件7)22.2一元二次方程根的判别式
4m 4m 1 4m 16m 16 20m 15 （1）要使方程有两个不等实根，只需 3 即 m 20m 15 0
4
所以当m>3/4时，方程Байду номын сангаас两个不等的实根。
2 2m1 x m 22 0 例2 已知关于的方程，x
解：原方程可化为： m2 y2 4mny n2 0 4
b2 4ac 4mn 44m2n2
2
16m2n2 16m2n2
0
所以此方程有两个相等的实数根。
不解方程，判断方程根的情况时： 1.先计算判别式的值； 2.再确定判别式的取值范围，从而判断方程根 的情况，（要注意二次项系数不为0）.
系数不为0”.
动手试一试吧！
若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n=____.
1.(2004年· 西宁市)若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0 有实数根，则m的取值范围是 (D ) A.m＜1 B. m＜1且m≠0 C.m≤1 D. m≤1且m≠0 2.(2004年· 昆明)已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0 有实数根，则k的取值范围是 ( A) A.k≤1 B.k≥1 C.k<1 D.k>1 3.(2004年· 桂林市)如果方程组 y 2 数解，那么m的值为 A. -3/8 B.3/8 C. -1
ax 2 b c x 2 ( b c ) 2 a
2 2 2
有两个等根，试判断△ABC的形状. 解：利用Δ ＝0，得出a=b=c. ∴△ABC为等边三角形.
【例5】 已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7m)x+3+n=0有两个不相等的实数解，x2+(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求 m、n的值. 解：∵方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根， ∴(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n. 又方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根， 方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根， ∴(7-m)2-4(3+n)＞0，(m-4)2-4(n+1)＜0. 把4n=m2+8m-8代入上两式得 ∵m为整数∴m=2，从而n=3.
22.2.4一元二次方程根的判别式
a、b、c 的值.
的值，确定 的符号.
3、判别根的情况，得出结论.
练习
(1)不解方程，判别关于 的方程 x
. x 2 2kx 的根的情况 k 0
2 2
分析：a 1 b 2 2k
ck 2 2 解： 2 2k 4 1 k
2
系数含有 字母的方 程
8k 4k 4k
22.2.4 一元二次方程根的判别式
用公式法求下列方程的根:
用公式法解 一元二次方程 的一般步骤:
1)2 x 2 x 2 0
1 2 2) x x 1 0 4
确定a , b , c 的值
4ac 2)计算 b 2 的值
b 2 4ac 0
b b 2 4ac x 2a
已知a,b,c是ABC的三边,判 断cx2 +2 a-b x+c=0方程的根的 情况.
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
作业：课时优化
解：当方程时一元二次方程时：
△=(-6)2-4k ≥ 0 且k≠0 ∴k≤9 且 k≠0 当方程时一元一次方程时： k= 0 方程-6x+1=0也有实根
综上:k ≤9 方程有实根
(5) 若关于x的方程 （1-2k)x2- 2 k+1 x=1有两个不等
实根,求k的取值范围？
例3.求证：不论m取何值，关于x的一元二次 方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的 实数根.
证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）
=m2+14m+49-36m+108 =m2-22m+157 =（m-11）2+36 ∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0
华东师大版九年级数学上册22.2.4一元二次方程根的判别式
华东师大版九年级数学上册22.2.4一元二次方程根的判别式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．因为关于x 的一元二次方程220x x =＋＋中，a = ________，b = ________，c = ________，故∆=____________＝________，所以方程的根的情况是______________． 2．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+c=0（c 是常数）没有实根，那么c 的取值范围是 ．二、单选题3．一元二次方程4x 2﹣2x+14=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断 4．若关于 x 的方程 x 2+mx+1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可以是（ ） A ．0 B ．﹣1 C ．2 D ．﹣3 5．若关于x 的不等式12a x -<的解集为1x <，则关于x 的一元二次方程210x ax =＋＋根的情况是( ) A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定6．若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根，则一次函数 y kx b =+的图象可能是:A ．B ．C ．D ．7．关于x 的一元二次方程()200ax bx c a =≠＋＋，给出下列说法：①若0a c =＋，则方程必有两个实数根；②若0a b c =＋＋，则方程必有两个实数根；③若23b a c =＋，则方程有两个不相等的实数根；④若250b ac <－，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、解答题8．不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：(1)21683x x =-＋; (2)29610x x =＋＋；(3)2()3150x x =－－; (4)()2346x x x =＋＋.9．已知关于x 的方程x 2+mx+m-2=0.(1)若此方程的一个根为1,求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.10．已知a b c ，，为三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程2()2(0)b c x a b x b a -+-+-=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状，并说明理由．参考答案1．1 1 2 21412⨯⨯－ －7 没有实数根【解析】【分析】根据一元二次方程的一般形式直接填空即可．根据判别式△=b 2-4ac 进行计算即可解得．【详解】解：关于x 的一元二次方程220x x =＋＋中，二次项系数a =1，一次项系数b =1，常数项c =2，故24b ac ∆=-=21412⨯⨯－=-7，因为0∆＜，所以方程没有实数根.故答案为：1；1；2；21412⨯⨯－；-7；没有实数根.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根的判别式△=b 2-4ac ．也考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的定义．一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c =0（a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意a ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2．c ＞9【分析】根据关于x 的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（-6）2-4c ＜0，再解不等式即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+c=0（c 是常数）没有实根，∴△=（-6）2-4c ＜0，即36-4c ＜0，解得：c ＞9．故答案为c ＞9．3．B【详解】试题解析：在方程4x 2﹣2x+ =0中，△=（﹣2）2﹣4×4×14 =0， ∴一元二次方程4x 2﹣2x+14=0有两个相等的实数根． 故选B ．考点：根的判别式．4．D【解析】试题解析：∵a=1，b=m ，c=1，∴△=b 2﹣4ac=m 2﹣4×1×1=m 2﹣4，∵关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，∴m 2﹣4＞0，则m 的值可以是：﹣3，故选D ．考点：根的判别式．5．C【解析】试题解析：解不等式12a x -<得x ＜12a +，而不等式12a x -<的解集为x ＜1，所以12a +=1，解得a =0，又因为△=24a -=﹣4，所以关于x 的一元二次方程210x ax ++=没有实数根．故选C ．点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根与△=24b ac -有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．6．B【详解】由方程2210x x kb ++=-有两个不相等的实数根,可得()4410kb =-+＞，解得0kb ＜，即k b 、异号，当00k b ＞，＜时，一次函数y kx b =+的图象过一三四象限，当00k b ＜，＞时，一次函数y kx b =+的图象过一二四象限，故答案选B.7．A【解析】【分析】利用c =-a 可判断△=b 2+4a 2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c =-（a +b ）得到△=b 2-4ac =（2a +b ）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b =2a +3c 得到△=4（a +c ）2+5c 2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b 2-5ac ＜0，不能判断△=b 2-4ac =b 2-5ac +ac 与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断．【详解】解：①当a +c =0，即c =-a ，则△=b 2-4ac =b 2+4a 2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①正确；②当a +b +c =0，即c =-（a +b ），则△=b 2-4ac =b 2+4a （a +b ）=（2a +b ）2≥0，方程必有两个实数根，所以②正确；③当b =2a +3c ，则△=b 2-4ac =（2a +3c ）2-4ac =4（a +c ）2+5c 2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③正确；④当b 2-5ac ＜0，△=b 2-4ac =b 2-5ac +ac 可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④错误．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．8．（1）此方程没有实数根；（2）此方程有两个相等的实数根；（3）此方程有两个不相等的实数根；（4）此方程有两个不相等的实数根．【解析】【分析】（2）直接计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况；（1）、（3）、（4）先把方程整理为一般式，再计算根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：(1)将一元二次方程化为一般形式，得216830x x =＋＋.∵1683a b c ===，，，∴△=246441631280b ac =-⨯⨯=-<-，∴此方程没有实数根．(2)∵961a b c ===，，，∴△=2436360b ac =-=-，∴此方程有两个相等的实数根．(3)将一元二次方程化为一般形式，得23530x x -=-.∵353a b c ==-=-，，，∴△=224543325366()(1)0b ac =⨯⨯==>－－－－＋，∴此方程有两个不相等的实数根．(4)将一元二次方程化为一般形式，得2260x x =－－.∵216a b c ==-=-，，，∴△=22414264)()9(0b ac =⨯⨯-=-->-，∴此方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 9．（1）12；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． （1）直接把x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0求出m 的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0，得：1+m+m ﹣2=0，解得：m=12； （2）∵△=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4＞0，∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．考点：根的判别式；一元二次方程的解．10．等腰三角形.【解析】【分析】由方程有两个相等的实数根可得其判别式等于0，整理可求得a 、b 、c 的关系，则可判断三角形的形状．【详解】解：这个三角形是等腰三角形．理由：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴2[()](24)()0a b b c b a ----=，0b c -≠，∴222()20a ab b b bc ab ac +-+--=-，∴20a ab bc ac +-=-，从而(()0)a a b c a b ---=，∴()0()a b a c --=，∴0a b -=或0a c -=，∴a b =或a c =，∴这个三角形是等腰三角形．【点睛】本题主要考查根的判别式，由根的情况求得判别式为0，从而求得a 、b 、c 的关系是解题的关键．。
复习2：一元二次方程根的判别式
4、若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等实数根，
则m的取值范围是
()
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
5、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则 k= .
6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
则x1+x2=
；x1x2= ；
2、方程2x2-kx-6=0的一个根是2，则k=
；
另一个根为（ ）
3、以2，-3为根的一元二次方程是
；
4、已知a、b是方程x2+x-1=0的两实根，则
a2+2a+b=
拓展已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，
求 ab ba
思维训练. 1、在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
3、一元二次方程的根与系数的关系：注意:此关系是在( )条件下存 在的。若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2= ；x1x2= ；
4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程是——————
➢ 课时训练（一）
Hale Waihona Puke 1、下列一元一次方程中，有实数根的是（ ）
A
.x2-x+1=0
➢ 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
一元二次方程5
22.2.4一元二次方程根的判别式与根与系数的关系一、自主学习1．课标定位（1）、知道一元二次方程根的判别式。
（2）、一元二次方程根的三种情况与判别式的关系。
（3）、 掌握一元二次方程根与系数的关系，并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。
2.知识再现（1）、对于一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax当042>-=∆ac b 时，方程____________________________；当042=-=∆ac b 时，方程____________________________；当042<-=∆ac b 时，方程____________________________。
同样的：当方程有两个不相等的实数根时，________________；当方程有两个相等的实数根时，__________________；当方程没有实数根时，__________________________。
（2）、对于一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax ，当042>-=∆ac b 时，根据求根公式得x 1= ,x 2= .所以x 1+x 2= ,x 1x 2= .3.探究质疑（1）、如何利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况？都是有哪几种情况？（2）、在用一元二次方程的根与系数的关系时，判别式b 2-4ac 需满足什么条件？（3）、我的问题：二、强化拓展A 级1、关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。
2、设1x 、2x 是方程0242=+-x x 的两根，则①2111x x +＝ ；②21x x - ＝ ；③)1)(1(21++x x ＝ 。
3、反比例函数xk y =的图象经过点P （a 、b ），其中a 、b 是一元二次方程042=++kx x 的两根，那么点P 的坐标是 。
4、关于x 的一元二次方程032)1(2=+++x x m（1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根。
22.2.4 一元二次方程根的判别式-2021-2022学年九年级数学上(华师大版)
22.2.4一元二次方程根的判别式基础知识1.一元二次方程根的判别式△=b 2-4ac 叫做一元二次方程02=++c bx ax （c b a a 、、,0≠是常数）的根的判别式。
2、△>0⇔有两个不相等的实数根; △=0⇔有两个相等的实数根; △<0⇔没有实数根; △≥0⇔有实数根.【提醒】应用根的判别式时,其前提条件为二次系数不为0.不解方程，判断方程根的情况时，须做到：(1)明确方程是常数系数方程还是字母系数；(2)确定二次方程中的a ，b ，c ；(3)求出b 2－4ac 的值，利用判别式的性质进行判断． 例题例1．已知：关于x 的方程2230x kx k ++-=．（1）试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根： （2）若5k =，请解此方程． 【答案】见解析；（2）x 1＝12-，x 2=-2【分析】（1）由△=k 2-4×2（k -3）=k 2-8k +24=（k -4）2+8＞0可得结论； （2）将k =5代入方程得2x 2+5x +2=0，利用配方法解方程即可． 【详解】解：（1）∵△=k 2-4×2（k -3）=k 2-8k +24=（k -4）2+8＞0， ∴无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k =5时，原方程为：2x 2+5x +2=0， ∴（2x +1）（x +2）=0， ∴x 1=12-，x 2=-2．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；也考查了配方法．例2．关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．【答案】（1）98m ≤且0m ≠；（2）11x =，22x =【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式列不等式组求解即可； （2）根据（1）得到m 的值，求出方程的解． 【详解】解：（1）∵2=(3)42m ∆--⨯=98m -，依题意，得0980m m ≠⎧⎨-≥⎩，解得98m ≤且0m ≠． （2）∵m 为正整数， ∴1m =．∴原方程为2320x x -+=． 解得11x =，22x =．【点睛】此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握本章知识并应用解决问题是解题的关键． 练习1．下列一元二次方程中,没有实数根的是（ ） A ．2210x x -+= B ．2210x x -+= C ．2210x x --=D ．220x x -=2．已知关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．13a >-B ．13a <-C ．13a >-且0a ≠D ．13a ≥-且0a ≠3．如果关于x 的一元二次方程()222110k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k ≥-且0k ≠4．一元二次方程4x 2＋1＝﹣4x 的根的情况是（ ） A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根5．关于x 的一元二次方程()2220x p x p -++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根6．一元二次方程2414x x +=的根的情况是______．7．如果关于x 的一元二次方程()21230k x kx k -+++=有实数根，则k 的取值范围是______________．8．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，则n 的值为______．9．已知m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程2620x x k -++=的两个根，则k 的值等于______________．10．若关于x 的方程221(56)(3)04m m x m x -+--+=无解，则m 的取值范围是______． 11．已知关于x 的一元二次方程210x x m -+-=有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个实数根．12．已知关于x 的一元二次方程0222=++-k x x ． （1）若6k =-，求此方程的解；（2）若该方程无实数根，求k 的取值范围．13．已知：关于x 的一元二次方程2(1)210(1)m x mx m m --++=>． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数．14．已知关于x 的方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x ＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m 2+12m +2021的值．15．已知正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程202m x mx的两个实数根．（1）求m 的值； （2）求正方形的面积．参考答案1．A 【分析】根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=- 逐个求解即可． 【详解】A ､224(1)42170b ac ∆=-=--⨯⨯=-<,没有实数根,故A 正确;B ､224(2)4110b ac ∆=-=--⨯⨯=,有两个相等的实数根,故B 不正确;C ､224(1)42(1)90b ac ∆=-=--⨯⨯-=>,有两个不相等的实数根,故C 不正确;D ､224(2)41040b ac ∆=-=--⨯⨯=>,有两个不相等的实数根,故D 不正确． 故选:A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-,解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况． 2．C 【分析】根据一元二次方程解的情况利用根的判别式可求出a 的取值范围，同时必须考虑0a ≠的情况． 【详解】解：关于x 的方程2230ax x +-= 有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，即224(3)0a -⨯⨯->， 解得：13a >-，又a 是二次项系数，0a ∴≠，综上：a 的取值范围为：13a >-且0a ≠，故选：C ． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况运用根的判别式求参，熟知（1）240b ac ->，方程有两个不相等的实数根；（2）24=0b ac -，方程有两个相等的实数根；（3）24＜0b ac ，方程无根，是解题关键．3．B 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b 2-4ac ＞0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围． 【详解】解：关于x 的一元二次方程()222110k x k x -++=有两个不相等的实数根，∴△＞0，△=b 2-4ac =（2k +1）2-4k 2=4k +1＞0．又∵方程是一元二次方程， ∴k ≠0，∴k ＞14-且k ≠0．故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 4．C 【分析】把方程化为一般形式，计算其判别式，即可求得答案． 【详解】解：方程4x 2+1=-4x 化为一般形式为4x 2+4x +1=0， ∴Δ=42-4×4×1=0， ∴该方程有两个相等的实数根， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 5．C 【分析】先计算根的判别式得到△＝[﹣（p +2）]2﹣4×2p ＝（p ﹣2）2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况．【详解】解：△＝[﹣（p +2）]2﹣4×2p ＝（p ﹣2）2， ∵（p ﹣2）2≥0， 即△≥0，∴方程有两个实数根． 故选：C ． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 6．有两个相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程2414x x +=可得：24410x x -+=， ∴24164410b ac ∆=-=-⨯⨯=，∴一元二次方程2414x x +=的根的情况是有两个相等的实数根； 故答案为：有两个相等的实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7．32k ≤且1k ≠ 【分析】当0≥时，一元二次方程有实数根，结合二次项系数不为0，列出不等式求解即可． 【详解】由题意得2(2)4(1)(3)010k k k k ⎧--+≥⎨-≠⎩，解得32k ≤且1k ≠， 故填：32k ≤且1k ≠． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数取值范围，熟记0≥时，一元二次方程有实数根是解题的关键，注意一元二次方程的二次项系数不等于0． 8．8或9 【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于x 的方程260x x n -+=的一个根， 因此有24640-⨯+=n ， 解得8n =，则方程为2680x x -+=，解得另一个根为2x =，此时等腰三角形的三边长分别为2,4,4，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于x 的方程260x x n -+=有两个相等的实数根，因此，根的判别式3640n ∆=-=， 解得9n =，则方程为2690x x -+=，解得方程的根为123x x ==，此时等腰三角形的三边长分别为3,3,4，满足三角形的三边关系定理； 综上，n 的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 9．6或7． 【分析】当m ＝4或n ＝4时，即x ＝4，代入方程即可得到结论，当m ＝n 时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k +2）＝0，解方程即可得到结论． 【详解】解：∵m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当m ＝4或n ＝4时，即x ＝4， ∴方程为42﹣6×4+k +2＝0， 解得：k ＝6，此时该方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝4，x 2＝2，此时三角形的三边为4，4，2，符合题意； 当m ＝n 时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k +2）＝0， 解得：k ＝7，此时该方程为x 2﹣6x +9＝0， 解得：x 1＝x 2＝3，此时三角形的三边为3，3，4，符合题意， 综上所述，k 的值等于6或7， 故答案为：6或7． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确的理解题意是解题的关键． 10．3m ≥ 【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：①2560m m -+=时，有(3)0m --=此时方程无解，可求出m 的值；②2560m m -+≠时，由根的判别式∆<0，即可求出m 的取值范围． 【详解】 解：根据题意，∵关于x 的方程221(56)(3)04m m x m x -+--+=无解， ①当2560m m -+=时，则原方程是一元一次方程，即1(3)04m x --+=； 则有：2560(3)0m m m ⎧-+=⎨--=⎩，解得：3m =；②当2560m m -+≠时，则原方程为一元二次方程， ∴3m ≠，2m ≠，∴221[(3)]4(56)04m m m ∆=---⨯-+⨯<，解得：3m >；综合上述，m 的取值范围是3m ≥； 故答案为：3m ≥．【点睛】本题考查了方程无解问题，根的判别式求参数的取值范围，以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握方程无解问题，注意运用分类讨论的思想进行解题． 11．（1）54m ≤；（2）1m =，0x = 【分析】（1）根据判别式的意义得到△2(1)4(1)0m =--->，然后解不等式即可；（2）先根据方程的解的定义把1x =代入原方程求出m 的值，则可确定原方程变为20x x -=，然后利用因式分解法解方程得到方程的另一根．【详解】解：（1）根据题意得△2(1)4(1)0m =---≥， 解得54m ≤； （2）把1x =代入原方程得10m -=， 解得1m =，∴原方程变为20x x -=解方程得10x =，21x =， ∴方程的另一个根为0x =．【点睛】本题考查了一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根的判别式△=-24b ac ：当△0>，方程有两个不相等的实数根；当△0=，方程有两个相等的实数根；当△0<，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．12．（1）121,1x x ==；（2）1k >- 【分析】（1）把6k =-代入方程得2240x x --=，然后求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：（1）把6k =-代入方程得2240x x --=， ∴2215x x -+=，即()215x -=，解得：121,1x x = （2）∵该方程无实数根，∴()244420b ac k ∆=-=-+<，解得：1k >-．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解题的关键．13．（1）见解析；（2）m =2或m =3【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；（2）利用公式法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m 的值．【详解】解：（1）∵△=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，m -1≠0，∴x =()2221m m ±-，∴()1221212111m m x m m m ++===+---，()221221m x m -==-， ∵方程的两个实数根都为正整数，且m ＞1， ∴21m -是正整数， ∴m =2或m =3．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．（1）见详解；（2）2030【分析】（1）根据a ＝1，b ＝-2m ，c ＝m 2−1，求出△＝b 2−4ac 的值，进而作出判断； （2）把x ＝2代入方程列出m 的一元二次方程，再整体代入求值，即可．【详解】（1）证明：∵a ＝1，b ＝-2m ，c ＝m 2−1，∴△＝b 2−4ac ＝（-2m ）2−4（m 2−1）×1＝4＞0， ∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x ＝2是该方程的一个根，∴22﹣2×2m +m 2﹣1＝0，即： m 2-4m =-3， ∴﹣3m 2+12m +2021=-3 (m 2-4m )+2021=9+2021=2030．【点睛】本题主要考查了根的判别式以及代数式求值，解答本题的关键是掌握根的判别式与根个数的关系以及整体代入思想方法，此题难度不大．15．（1）2；（2）12．【分析】（1）先根据正方形的性质可得AC BD =，再利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）先解一元二次方程可得1AC BD ==，再利用正方形的面积公式即可得．【详解】解：（1）在正方形ABCD 中，AC BD =，由题意得：关于x 的方程202m xmx 的根的判别式等于0，即220m m -=，解得122,0m m ==，0AC BD =>， 20m ∴=舍去，故m 的值为2；（2）由（1）得：方程为2210x x -+=，解得121x x ==，1AC BD ∴==，则正方形的面积为11111222AC BD ⋅=⨯⨯=． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的几何应用、正方形的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 根的判别式》公开课课件_19
①本节课你学到了那些知识？ ②本节课你还有什么疑问?
作业：
课本第53面第1，2 ，3，5题
有两个相等的实数根，且 a ，b，c
满足 b 3a 2c。试判断ABC的
形状。
解 原方程有两个相等的实数根
a 41 1 (2b c) 0 4
a 2b c 0 b 3a 2c
a 2 (3a 2c) c 0 a 6a 4c c 0 5a 5c 0 a c 又 b 3a 2c c a b c
一元二次方程的根 的判别式
利用公式法解下列方程
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
想一想
对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
解：原方程可变形为 25y2 20 y 4 0
（ 20）2 4 25 4 0 原方程有两个相等的实数根。
3 2x2 3x 1 0
解： （ 3）2 4 21 5＜0
原方程没有实数根。
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2x2 5x 4 0 2 7t2 5t 2 0 3 x(x 1) 3 43y2 25 10 3y
2.在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 （ A ） A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
人教版数学九年级上册22.2.4《一元二次方程解法》(公式法1)说课稿
人教版数学九年级上册22.2.4《一元二次方程解法》（公式法1）说课稿一. 教材分析《一元二次方程解法》是人教版数学九年级上册第22.2.4节的内容，属于初中数学的代数部分。
本节内容是在学生已经掌握了方程的解法、一元二次方程的定义和性质等知识的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是一元二次方程的公式法求解，是解决一元二次方程问题的重要方法之一。
教材通过具体的例子引导学生掌握公式法的步骤和应用，培养学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元二次方程的概念和性质有一定的了解。
但是，学生对于公式法的理解和运用可能还存在一些困难。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习需求，针对学生的实际情况进行教学设计和调整。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握一元二次方程的公式法，能够熟练运用公式法求解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索一元二次方程的解法，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的公式法及其应用。
2.教学难点：理解一元二次方程的公式法，能够灵活运用公式法解决实际问题。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学，使教学内容更加直观和生动。
六.说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.讲解新课：介绍一元二次方程的公式法，通过具体的例子解释公式法的步骤和应用。
3.实践操作：学生分组进行练习，运用公式法求解一元二次方程，教师巡回指导。
4.总结提升：引导学生总结公式法的解题步骤和注意事项，归纳一元二次方程的解法。
根的判别式教案 (2)
一元二次方程根的判别式内江市东兴区顺河镇中心学校 王友胜教学内容：义务教育教科书数学九年级上华东师大版第31—32页， 22.2.4 一元二次方程根的判别式教学目标：1.知识与能力： 理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；2.过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。
3.情感态度与价值观：通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度。
教学重点与难点：1．教学重点：会用判别式判定根的情况。
2．教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.3．解决办法：（1）求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定a 、b 、c 。
（2）利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况（共三种）：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根。
教学工具：使用课件，电子白板。
教学方法：讲授法，探究。
教学过程：一、知识回顾：1.一元二次方程的求根公式是什么？一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，它的根是：2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 242b b ac x a -±-=用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定a 、b 、c 的值，再求出b 2-4ac 的值，当b 2-4ac ≥0的前提下，再代入公式求解。
3.用公式法求下列方程的根:二、推导得出根的判别式情况：如何把一元二次方程()200ax bx c a ++=≠写成()2x h k +=的形式？解：当24b a c -＜0时，方程的右边是一个负数，因为在实数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况？是 的值。
022)12=--x x 0141)22=+-x x 01323)32=+-x x 01)42=++x x 20b c x x a a ++=2b c x x a a +=-22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭04,02>∴≠a a 当24b ac -＞0时，方程的右边是一个正数，方程有两个不相等的实数根： 221244;;22b b ac b b ac x x a a -+----==当24b ac -=0时，方程的右边是0，方程有两个相等的实数根： 12;2b x x a ==-ac b 42-222(0244)b ac b x a a a ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭-)0(02≠=++a c bx ax我们把“ ” 叫做一元二次方程 的根的判别式，用符号“ ”来表示。
九年级数学上第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法4一元二次方程根的判别式课华东师大
(3)4x－x2＝x2＋2; 方程整理为x2－2x＋1＝0，∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根．
(4)3x－1＝2x2.
方程整理为2x2－3x＋1＝0，∵Δ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．
9．【中考·陇南】关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两 个实数根，则k的取值范围是( C )
A．k≤－4 B．k＜－4 C．k≤4 D．k＜4
10．【2020·攀枝花】若关于x的方程x2－x－m＝0没有实数
1．已知关于x的方程x2＋mx－1＝0的根的判别式的值为5， 则m的值为( D )
A．±3 B．3 C．1 D．±1
2．【2021·长春师大附中新城校区期末】一元二次方程x2 －x－3＝0根的判别式的值是___1_3____．
3．已知关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＝1－2m，其 根的判别式的值为4，求m的值．
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
4．一元二次方程根的判别式
提示：点击 进入习题
新知笔记 1 b2－4ac；一般形式 2 (1)> (2)＝ (3)<
1D 2 13 3 见习题
4C
5A
答案显示
6B 7C 8 见习题 9C 10 A
11 1
16 B
答案显示
12 见习题 17 4
13 D
(2)若a、b、c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根 ，求证：△ABC为等边三角形． ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0. ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴a＝b≠0，b＝c≠0，a＝c≠0， ∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．
人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》说课稿
人教版数学九年级上册22.2.4《根与系数关系》说课稿一. 教材分析《根与系数关系》是人教版数学九年级上册第22章的一节内容。
本节课主要介绍了二次方程的根与系数之间的关系。
通过本节课的学习，学生能够理解二次方程的根与系数之间的内在联系，掌握求解二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。
教材中通过实例引导学生探究二次方程的根与系数之间的关系，并通过练习题巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次方程的基本概念和解法，对二次方程有一定的认识。
但是，学生可能对根与系数之间的关系理解不够深入，需要通过实例和练习来进一步巩固。
此外，学生可能对数学符号和表达式的理解还不够熟练，需要教师在教学中进行引导和帮助。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次方程的根与系数之间的关系，掌握求解二次方程的方法，并能够运用根与系数的关系解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究二次方程的根与系数之间的关系，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：理解和运用二次方程的根与系数之间的关系解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和练习题进行教学。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题引入二次方程的根与系数之间的关系，激发学生的兴趣和好奇心。
2.探究：引导学生通过观察和分析实例，发现二次方程的根与系数之间的关系，并总结出规律。
3.讲解：教师对二次方程的根与系数之间的关系进行解释和讲解，引导学生理解和掌握。
4.练习：学生进行练习题，巩固对二次方程的根与系数之间关系的理解和运用。
5.应用：学生分组讨论和解决实际问题，运用二次方程的根与系数之间的关系进行分析和解答。
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当 b 2 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
b 实数根： x1 x2 ; 2a 2
当 b 4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况
b 2 4ac
反过来，对于方程 ax bx c 0 a 0 ，
2 b b 4ac (a 0) x 2 2a 4a
2
a 0, 4a 2 0 b 4ac 当 b 2 4ac ＞0 时， 方程的右边是一个正数， 方程有两个不
2
b b2 4ac b b2 4ac 相等的实数根： x1 ; x2 ; 2a 2a
2 ax 即一元二次方程 bx c 0 a 0 ，
当 ＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当=0 时，方程有两个相等的实数根； 当 ＜0 时，方程没有实数根。
反之，同样成立！
练一练
练习：按要求完成下列表格：
方程
2 y2 2 4 y
Δ的值
2( x 2 1) x 0 2 x 2 3x 1 0
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0
∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注意二 对吗？ 次项系 数
2 已知：关于 x 的一元二次方程 mx 3(m 1) x 2m 3 0
(m为实数)
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根； （3）若 m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求 m 的 值.
2 2
2
∵ k2
0,4k 0，即 0,
2
方程有两个实数根.
问题2：根据方程根的情况判断参数 取值范围。 (1)k为何值时,关于x的方程 2x2-(4k+1)x+2k2 –1 =0有实根？ 解：△=(4k+1)2-8(2k2 –1) 准确找到a,b,c
求△ =8k+9 若方程有实根，则△≥ 0根据题意列不 等式（方程） ∴8k+9 ≥ 0
2
对于一元二次方程 吗？
一定有解 ax bx c 0(a 0)
2
温故而知新
2
2 ax bx c 0( a 0 b 一元二次方程 , 4ac 0 )
的求根公式是
b b 4ac x 2a
2
如何把一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 写 成 x h 2 k 的形式？
a、b、c 的值.情况，得出结论.
练习：不解方程，判别关于 x 的方程
x 2 2kx k 0的根的情况.
2 2
分析：a 1 b 2 2k
ck 2 2 解： 2 2k 4 1 k
2
系数含有 字母的方 程
8k 4k 4k
∴
3m 3 m 3 2m 3 3 x1 2 2m m m
x2
3m 3 m 3 1 2m
∴无论 m 为何值，方程总有一个固定的根是 1。
（3）∵ m 为整数，且方程的两个根均为正整数
3 ∴ x1 2 m 必为整数
∴ m 1 或 m 3 当 m 1 时 ， x1 1 ；当 m 1 时， x1 5 ； 当 m 3 时， x1 1 ； 当 m 3 时， x1 3 . ∴
2
如果方程有两个不相等的实数根，那么 b
2 2
4ac 0;
如果方程有两个相等的实数根，那么
如果方程没有实数根，那么
2
b 4ac 0;
b 4ac 0.
我们把 b 4ac 叫做一元二次方程
2
ax2 bx c 0(a 0)
的根的判别式，用符号“ ”来表示.
0 0
有两个相等 的实数根
15 0
没有实数根
17 0
有两个不相 等的实数根
根的情况
让我们一起学习例题
例: 不解方程，判别下列方程根的情况.
(1)5 x 3 x 2 0
2
( 2) 25 y 4 20 y
2
(3) 2 x
2
3x 1 0
一 般 步 骤 ：
1、化为一般式，确定 2、计算
m 1
或 m 3
今天的收获：
我 体 会 到 了 ……
我 掌 握 了 ……
我 学 会 了 ……
做一做
P36
习题22.2 第 7、 8、 9题
（1）解：
b 4ac 3(m 1) 4m(2m 3) (m 3) 2
2 2
∵方程有两个不相等的实数根，
2 ( m 3) 0 且 m 0 ∴
∴ m 3且 m 0 ∴ m 的取值范围是 m 3 且 m 0
b b2 4ac 3(m 1) (m 3) （2）证明：由求根公式 x 2a 2m
ax 2 bx c 0
b c x x 0 a a b c 2 x x a a
2
配方 法
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
2 b b 4ac x 2 2 a 4 a
2
∴k≥-9/8
求出参数范围
(2) m为何值时,关于x的方程
4x2-mx =2x+1-m有两个相等实根？
解：方程整理为：
若方程有两个相等实根，则△= 0 m2-12m+20=0 ∴m1=2 m2=10
4x2-(m+2)x+m-1=0 ∴ △=(m+2)2-16(m –1) =m2-12m+20
(3) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
22.2.4 一元二次方程根的判别式
比一比，谁算快又准！
用适当方法解下列方程: （ 1） 4 x 2 9 0 （3） xx 5 6 0 （2） x 2 6 x 9
2 3 x （ 4） 4 x 2 0
你会解下列方程？ （ 1） x 9 0
2
（ 2） x 4 x 9 0