2013年_2018高考文科数学真题汇编_平面向量高考题老师版

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2013年高考试题+模拟新题分类汇编专题F平面向量文科)教师版

F 单元平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算1．F1[2013·江苏卷] 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．1.12 [解析] 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12－23AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线，所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12. 2．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 2．解：(1)由cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35，得cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.又0<A<π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝b sin B，所以，sin B ＝bsin A a ＝22.由题知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22. 3．F1[2013·四川卷] 如图1－6，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________.3．2 [解析] 根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.4．F1和F3[2013·重庆卷] 在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3，1)，OB →＝(－2，k)，则实数k ＝________．4．4 [解析] 因为AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)，且OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算5．F2[2013·北京卷] 已知点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)．若平面区域D 由所有满足AP →＝λAB →＋μAC →(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为________．5．3 [解析] 设P(x ，y)，∴AP →＝(x －1，y ＋1)，AB →＝(2，1)，AC →＝(1，2)．∵AP →＝λAB →＋μAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2λ＋μ，y ＋1＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧3λ＝2x －y －3，－3μ＝x －2y －3.又1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧6≤2x －y≤9，0≤x －2y≤3，此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，由于A(3，0)，B(5，1)，所以|AB|＝（5－3）2＋（1－0）2＝5，点B(5，1)到直线x －2y ＝0的距离d ＝35，∴其面积S ＝5×35＝3. 6．F2[2013·湖南卷] 已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( ) A.2－1 B. 2 C .2＋1 D.2＋26．C [解析] 由题可知a·b ＝0，则a ⊥b ，又|a|＝|b|＝1，且|c －a －b|＝1，不妨令c ＝(x ，y)，a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1.又|c|＝x 2＋y 2，故根据几何关系可知|c|max ＝12＋12＋1＝1＋2，选C.7．F2[2013·天津卷] 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．7.12 [解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解之得|AB →|＝12或0(舍去)． 8．F2，F3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 中点，则AE →·BD →＝________．8．2 [解析] 如图建立平面直角坐标系，则AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)，所以AE →·BD →＝2.9．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．9．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4，4])．设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 20.由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×2 8⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0|＝2（4－x 20）x 20＝2－（x 20－2）2＋4.当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.F3 平面向量的数量积及应用10．F3、H8[2013·全国卷] 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 10．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，与抛物线方程联立得y 2－8ty －16＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8t ，x 1＋x 2＝t(y 1＋y 2)＋4＝8t 2＋4，x 1x 2＝t 2y 1y 2＋2t(y 1＋y 2)＋4＝－16t 2＋16t 2＋4＝4.MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝4＋16t 2＋8＋4－16－16t ＋4＝16t 2－16t ＋4＝4(2t －1)2＝0，解得t ＝12，所以k ＝1t＝2. 11．F3[2013·陕西卷] 已知向量a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．011．C [解析] 因为a ∥b ，且a ＝(1，m)，b ＝(m ，2)，可得1m ＝m 2，解得m ＝2或－ 2. 12．F3[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t)，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．12．5 [解析] 由题意得AB →＝OB →－OA →＝(3，2－t)，又∵∠ABO ＝90°，∴OB →·AB →＝2×3＋2(2－t)＝0，解得t ＝5.13．F3[2013·辽宁卷] 已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋b －a 3－1a＝0 13．C [解析] 由题意知当三角形ABC 为直角三角形时，分为两类，∠OAB ，∠OBA 分别为直角，当∠OAB 为直角时b ＝a 3，当∠OBA 为直角时，OB →·AB →＝0，则(a ，a 3)·(a ，a 3－b)＝0，所以b －a 3－1a＝0，所以(b －a 3)b －a 3－1a＝0，故选C. 14．F3[2013·湖北卷] 已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A.3 22 B.3 152 C ．－3 22 D ．－3 15214．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22. 15．F3[2013·全国卷] 已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－115．B [解析] (m ＋n)⊥(m －＋n)·(m －n)＝2＝n 2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.16．F3[2013·安徽卷] 若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________．16．－13[解析] 设|b|＝1，则|a|＝3，|a ＋2b|＝3，两端平方得a 2＋4a·b ＋4b 2＝9，即9＋12cos 〈a ，b 〉＋4＝9，解得cos 〈a ，b 〉＝－13. 17．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b . (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 17．解： f(x)＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x)＝3cos xsin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.(1)f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f(0)＝－12，当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴f(x)的最小值为－12.因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12. 18．F3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．18．2 [解析] b·c ＝b·[ta ＋(1－t)b]＝ta·b ＋(1－t)b 2＝12t ＋(1－t)＝1－12t ＝0，即t ＝2. F4 单元综合19．F4[2013·福建卷] 在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．1019．C [解析] ∵AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC →⊥BD →，面积S ＝12|AC →|·|BD →|＝12×12＋22×（－4）2＋22＝5， 20．F4[2013·广东卷] 设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc . 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．420．B [解析] ①作OA →＝a ，OB →＝b ，如图(1)，连接AB ，只要c＝BA →即可，故①对；②是对的，因为b 和c 不共线，所以可以作为一组基底来表示平面内任一向量；③是错的，如图(2)，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝μc ，则|OC →|＝μ，即点C 的轨迹是圆(去掉和a 共线的两个点)，过点A 作OB 的平行线，则可能与圆无交点，即可能无法将a 沿OB →，OC →方向分解；④不一定对，如图(3)，作OA →＝a ，OB →＝λb ，OC →＝μc ，则点B ，C 的轨迹是圆(去掉和a 共线的两个点)，但不一定有a ＝λb ＋μc.综上，选B.21．F4[2013·浙江卷] 设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x||b|的最大值等于________．21．2 |x||b|＝|x|2|b|2＝x 2x 2e 21＋2xye 1·e 2＋y 2e 22＝x 2x 2＋2xy×32＋y 2＝11＋3y x ＋y x 2＝1y x ＋322＋1422．[2013·延安期末] 已知点M(5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2，0)B ．(－3，6)C ．(6，2)D ．(－2，0) 22．A [解析] MN →＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3，6)．设N(x ，y)，则MN →＝(x －5，y －(－6))＝(－3，6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －5＝－3，y ＋6＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，选A.23．[2013·襄阳一检] 如图K17－1所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →，则OP →等于( ) A.13OA →－43OB → B.13OA →＋43OB → C ．－13OA →＋43OB → D ．－13OA →－43OB → 23．C [解析] OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →，选C. 24．[2013·武汉部分学校联考] 已知两点A(1，0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ等于( )A ．－1B ．2C ．1D ．－224．C [解析] 由题可设OC →＝(x ，－3x)，所以⎩⎨⎧x ＝－2＋λ，－3x ＝0＋3λ，解得λ＝1.故选C. 25．[2013·衡阳期末] 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1，1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，则四边形ABCD 的面积为________．25.3 [解析] 由AB →＝DC →＝(1，1)，可知四边形ABCD 为平行四边形，且|AB →|＝|DC →|＝ 2.因为1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|BD →，所以平行四边形ABCD 的对角线BD 平分∠ABC ，四边形为菱形，其边长为2，且对角线BD 是边长3倍，即BD ＝3×2＝ 6.设AC 与BD 相交于E ，则CE 2＝(2)2－⎝⎛⎭⎫622＝12，即CE ＝22.所以三角形BCD 的面积为12×6×22＝32，所以四边形ABCD 的面积为2×32＝ 3. 26．[2013·上饶月考] 已知平面向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，若(a －m b )⊥a ，则实数m 的值为( ) A ．1 B.32C ．2D ．3 26．D [解析] 因为()a －mb ⊥a ，所以(a －mb)·a ＝0，即|a|2－ma·b ＝0，所以|a|2－m|a||b|cos 60°＝0，解得m ＝327．[2013·三门峡一练] 在平面直角坐标系中，若定点A(1，2)与动点P(x ，y)满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是( )A ．x －2y ＋5＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．x ＋2y ＋5＝0D ．x －2y －5＝027．C [解析] 由题意知－5＝OP →·OA →|OA →|＝x ＋2y 5，所以点P 的轨迹方程是x ＋2y ＋5＝0，故选C.。

2013高考数学试题分类汇编：专题08 平面向量(解析版)

专题08 平面向量一、选择题：1. (山东省济南市2013年1月高三上学期期末理10)非零向量,a b 使得||||||a b a b +=-成立的一个充分非必要条件是A. //a bB. 20a b +=C. ||||a ba b =D. a b =2．(山东省德州市2013年1月高三上学期期末校际联考理11)若12,e e是平面内夹角为60的两个单位向量，则向量12122,32a e e b e e =+=-+的夹角为（）A ．30B ．60C ．90D ．1203. (山东省烟台市2013年1月高三上学期期末理6)在△ABC 中，AB=3,AC=2,1,2BD BC =uu u r uu u r则AD BD ⋅uuu r uu u r的值为A.52-B.52C.54-D.54【答案】C【解析】因为1,2BD BC =uu u r uu u r 所以点D 是BC 的中点，则1()2AD AB AC =+，11()22BD BC AC AB ==- ，所以11()()22AD BD AB AC AC AB ⋅=+⋅-2222115()(23)444AC AB =-=-=- ，选C.4. （山东省济宁市2013届高三1月份期末测试理8）已知点P 是ABC ∆所在平面内一点，则PA PB PC AB ++=是点P 在线段AC 上的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（山东省诸城市2013届高三12月月考理）已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b不共线，且存在m ，n∈R 使c ma nb =+ 成立，若a 、b 、c的终点共线，则必有A ．m+n=0B ．m －n= 1C ．m+n =1D ．m+ n=－16. （山东省诸城市2013届高三12月月考理）若向量(1,2),(4,)a x b y =-= 相互垂直，则93x y +的最小值为 A ．6B ．23C ．32D ．127.（山东省青岛一中2013届高三1月调研理）已知两点(1,0),3),A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且120=∠AOC ，设2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R则等于A ．1-B ．２C ．1D ．2-8.（山东省诸城市2013届高三12月月考理）已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈。

(完整版)全国卷高考题汇编—平面向量

2011年——2016年高考题专题汇编专题3 平面向量1、（16年全国1 文）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = .2、（16年全国1 理）设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .3、（16年全国2 文）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.4、（16年全国2 理）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）85、（16年全国3 文）已知向量BA →=（12，2），BC →=（2，12），则∠ABC = （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°6、（16年全国3 理）已知向量1(,)22BA = ,31(),22BC = 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)12007、（15年新课标2 文）向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．-1B ．0C ．1D ．38、（15年新课标2理）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．9、（15年新课标1文）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC =（-4，-3），则向量BC =（A ）（-7，-4）（B ）（7,4）（C ）（-1,4）（D ）（1，4） 10、（15年新课标1理）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =-11、（14年新课标3 文）已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．212、（14年新课标3 理）若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（）A ．2BC ．1 D13、（14年新课标2 文）设向量a ,b 满足a ·b=（A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 514、（14年新课标2 理）设向量a,b 满足|a+b |=|a -b ，则a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 515、（14年新课标1文）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. ADB.AD 21 C. BC 21 D. BC16、（14年新课标1理）已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 .17、（13全国2 文理）已知正方形ABCD 的边长为2, E 为CD 的中点,，则 =_______.18、（12全国2 文）已知向量a ,b 夹角为45° ，且|a |=1，|2a －b |=10，则|b |=19、（11全国2 文）若向量a,b 满足1||||1,2a b a b ==⋅=-,则2a b +=A B CD 20、（11全国2 理）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2BCD ．1。

十年高考数学真题分类汇编专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理(解析版)

专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理十年大数据*全景展示平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件主要考查平面向量的线性运算及向量共线的充要条件平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件考点47平面向量的概念与线性运算1．（2014新课标I ，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. BC B ． 12AD C ． AD D ． 12BC 【答案】C【解析】=+FC EB 11()()22CB AB BC AC +++=1()2AB AC +=AD ，故选C ． 2．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e eD ．12(2,3),(2,3)=-=-e e【答案】B【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立．考点48平面向量基本定理及其应用1．（2020江苏13）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是．【答案】185【解析】由向量系数33()22m m +-=为常数，结合等和线性质可知321PAPD =，故263PD PA ==，3AD PA PD AC =-==，故C CDA ∠=∠，故2CAD C π∠=-．在ABC ∆中，3cos 5AC C BC ==；在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin CD ADCAD C=∠，即sin(2)sin 23182cos 23sin sin 55C C CD AD AD C AD C C π-=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=．2．（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB = ) A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=- 11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选A ．3．（2015新课标Ⅰ，理7）设D 为?ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 4．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数和，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使λμ=+a b c ； ④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题．综上，本题选B ．5．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m n += ．λμμλλμa μλb =+λμλμ+≥b c a【答案】3【解析】由可得72sin 10α=，，由OC =m OA +n OB 得22OC OA mOA nOB OA OC OB mOB OA nOB⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩，即2cos cos(45)2cos 45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，两式相加得，2(cos cos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++，所以22222cos 2cos 4510231cos(45)227221102102m n αα⨯+⨯++===+++⨯-⨯，所以． 6．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则= ．【答案】4【解析】如图建立坐标系，则()1,1a =-，()6,2b =，()1,3c =-．由c a b λμ=+，可得12,2λμ=-=-，∴4λμ=7．(2015北京)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN x AB y AC =+，则x =tan 7α=2cos 10α=3m n +=λμ；y = ．【答案】12 16【解析】由1111()3232MN MC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-1126AB AC =- =x AB y AC +．所以12x，16y ．考点49平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件1．（2019•新课标Ⅱ，文3）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||(a b -= ) AB ．2C ．D ．50【答案】A【解析】(2,3)a =，(3,2)b =，∴(2a b -=，3)(3-，2)(1=-，1)，2||(1)a b ∴-=-故选A ． 2．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】，所以，这样同方向的单位向量是． 3．（2011广东）已知向量a =（1，2），b =（1，0），c =（3，4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．（2018•新课标Ⅲ，理13）已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(1,)c λ=．若//(2)c a b +，则λ= ．【答案】12【解析】向量(1,2)a =，(2,2)b =-，∴2(4,2)a b +=，(1,)c λ=，//(2)c a b +，∴142λ=，解得12λ=．5．(2016新课标，文13) 已知向量a =(m ，4)，b =(3，−2)，且a ∥b ，则m =___________．【答案】6-3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3,4)AB =-||5AB =134(,)555AB =-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．6．（2015•新课标Ⅱ，理13）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ= ．【答案】12【解析】向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，(2)2a b t a b ta tb λ∴+=+=+， ∴12t tλ=⎧⎨=⎩，解得实数12λ=．7．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___．【答案】－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-8．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．【解析】∵||1=a ，∴可令(cos ,sin )θθ=a ，∵0λ+=a b ，∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩，即2cos 1sin θλθλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得25λ=得||λ=9．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．【答案】12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cosθθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=．。

【十年高考】24-2013年高考数学真题分类汇编(教师自己整理)：平面向量

平面向量一、选择填空题1.（江苏2003年5分）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P AB ACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的【】A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 。

【考点】向量的线性运算性质及几何意义。

【分析】∵AB AB、AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，∴AB ACAB AC +的方向与∠BAC 的角平分线一致。

再由()AB ACOP OA AB ACλ=++可得到()AB AC OP OA AB AC λ-=+ ，即()AB ACAP AB ACλ=+可得答案：向量AP 的方向与∠BAC的角平分线一致。

∴一定通过△ABC 的内心。

故选B 。

2.（江苏2004年4分）平面向量b a ,中，已知a =(4，－3)，b =1，且b a ⋅=5，则向量b = ▲ . 【答案】43, 53⎛⎫- ⎪⎝⎭。

【考点】平面向量数量积的运算。

【分析】∵a =(4，－3)，∴5a =。

又∵b =1，b a ⋅=5，∴5cos , 151a b a b a b ⋅===⨯⋅。

∴, a b 同向。

∴()1143 4, 3, 5553b a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭ 。

3.（江苏2005年4分）在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则OA (OB OC )⋅+的最小值是 ▲ 【答案】－2。

【考点】向量与解析几何的综合应用。

【分析】如图，由向量的运算法则，得OA (OB OC)2OA OM 2OA OM ⋅+=⋅⋅=-⋅。

设OA x = ，则由AM=2得，OM 2x =-。

则()()22OA (OB OC)2224212x x x x x ⋅+=--=-=-- 。

∴当x =1时，OA (OB OC)⋅+有最小值－2。

4.（江苏2006年5分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ||MP |MN NP 0⋅+⋅=，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为【】（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 【答案】B 。

2013年高考真题分类汇编：考点19平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算Word版解析

考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1.（2013·辽宁高考文科·Ｔ3）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ3）相同已知点(1,3),(4,1)A B -,则与向量AB 同方向的单位向量为（） 3443.(,).(,)55553443.(,).(,)5555A B C D ----【解题指南】利用向量的坐标运算和单位向量的定义求解.【解析】选A. 由点(1,3),(4,1)A B -得向量2(3,4),35AB AB =-==，则与向量AB 同方向的单位向量为(3,4)34(,).555AB AB-==- 2. （2013·广东高考文科·Ｔ10）设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：（） ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解题指南】本题考查平面向量的加减运算、平面向量基本定理、平面向量的几何意义等知识，可逐一检验.【解析】选B.利用向量加法的三角形法则，易得①是真命题；利用平面向量的基本定理，易得②是真命题；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是假命题；由向量加法的三角形法则（不共线两边的和大于第三边），即=++>λμλμb c a ，而给定的λ和μ不一定满足此条件，所以④是假命题.3.（2013·湖北高考文科·Ｔ7）与（2013·湖北高考理科·Ｔ6）相同已知点A （－1，1）、B （1,2）、C （－2,1）、D （3,4），则向量在方向上的投影为（） A.223 B. 2153 C. －223 D.－ 2153 【解题指南】考查了投影与数量积的关系。

2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第5章平面向量

A. 4，6
B. 19-1， 19+1
C. 2 3，2 7
D. 7-1， 7+1
4. （ 2014 陕西文 18 ）（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，已知点 A 1,1 , B 2,3 , C 3,2 ，点 P x, y 在 △ ABC 三边围成的区域（含边界）上，且
uuur 2.（ 2016 四川文 9 ）已知正 △ ABC 的边长为 2 3 ，平面 ABC 内的动点 P ， M 满足 AP 1 ，
uuur uuru uuur 2
PM MC ，则 BM 的最大值是（
）.
43
A.
4
49
B.
4
37 6 3
C.
4
37 2 33
D.
4
2. B 解析正三角形 ABC 的对称中心为 O ，易得
方向上的投影为（
）.
32
A．
2
3 15
B．
2
32
C．
2
3 15
D．
2
1.分析首先求出 AB, CD 的坐标，然后根据投影的定义进行计算 .
解析由已知得 AB 2,1 , CD 5,5 ，因此 AB 在 CD 方向上的投影为
AB CD 15 3 2
.故选 A.
CD 5 2 2
在平面内任意一点，则 OA OB OC OD 等于（
）.
A.OM
B. 2 OM
C. 3OM
D. 4OM
4（. 2014 新课标Ⅰ文 6）设 D, E, F 分别为B FC
（）.

2013年高考数学试题集(7)平面向量

2013年高考数学试题集(7)平面向量将2013年的全国及各省市的高考试题按高考考查知识点分类，有利于广大教师备课和学生系统复习，如有不足和遗漏之处请各位同仁批评指证。

1.（安徽理科第13题、文科14题）已知向量,a b 满足()()a b a b +2⋅-=-6，且1a =，2b =，则a 与b 的夹角为 .解：由向量等式得：6222-=-⋅+b b a a ，又12=a ，42=b 代入可得1=⋅b a所以，21||||),cos(=⋅=b a b a b a ，故a 与b 的夹角为3π2.（北京理科第10题）已知向量)1,3(=a ，)1,0(-=b ，)3,(k c =.若b a 2-与c 共线，则=k ___________________。

解：)3,3(2=-b a ，又b a 2-与c 共线，从而求得1=k3.（北京文科11）已知向量(3,1),(01),(,3)a b c k ==-=。

若2a b -与c 共线，则k = .答案：14.（福建理科第10题）已知函数x e x f x+=)(，对于曲线)(x f y =上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④ 解：设这三个点的坐标分别是))(,(),,(),,(321332211x x x y x C y x B y x A <<，2312x x x x -=-，),(),,(23232121y y x x BC y y x x BA --=--=，由于x e x f x+=)(为R上的增函数，所以，0<⋅BC BA ，故B ∠为钝角，所以①成立，②不成立，若为等腰三角形，只有可能是||||BC BA =，此时有2312y y y y -=-，即23131222x x x x x ee e e+>+=，与2312x x x x -=-矛盾，故④正确选B 。

2013年-2018高考文科数学真题汇编-圆锥曲线老师版

3、（2016 年全国 I 卷）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ B ）
（A）13（B）12（C）23（D）34
4、（2016 年全国 II 卷）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= k （k>0）与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，则 x

b b 32 2a a

6 a
5b a
32 6
K AB

b a
∴ KMN
K AB

5b2 a2
1∴MN⊥AB
18.（2015
年福建文）已知椭圆
E
:
x2 a2

y2 b2
1(a b 0) 的右焦点为 F
．短轴的一个端点为 M
，直线
.
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.
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， △F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
解析：（1）设 x, y ．由题意， F2 c,0 ， c 1 b2 ， y2 b2 c2 1 b4 ，
因为 F1 是等边三角形，所以 2c 3 y ，即 4 1 b2 3b4 ，解得 b2 2 ．
l : 3x 4 y 0交椭圆 E 于 A, B 两点．若 AF BF 4 ，点 M 到直线 l 的距离不小于 4 ，则椭圆 E 的离 5
心率的取值范围是（ A ）
A． (0, 3 ] 2
B． (0, 3] C．[ 3 ,1) D．[ 3 ,1)
4
2
4
1
19.（2015 年新课标 2 文）已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 y 1 x ,则该双曲线的标准方程 2

20132018全国高考III卷文科数学真题汇总

2013-2018年近六年高考真题梳理（文科数学）一、集合与简易逻辑、推理与证明全国1卷1.【2017，1】已知集合{}2A x x =<，{}320B x x =->，则（）A ．3{|}2AB x x =< B ． A B =∅C ．3{|}2A B x x =< D ． A B =R2.【2016，1】设集合{}1,3,5,7A =，{}25B x x =≤≤，则AB =（）A ．{}1,3B ．{}3,5C ．{}5,7D ．{}1,73.【2015，1】已知集合A={x |x=3n +2, n ∈N}，B={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为( ) DA ．5B ．4C ．3D ．24.【2014，1】已知集合{|13}M x x =-<<，{|21}N x x =-<<，则MB =（）A ． (2,1)-B ． (1,1)-C ． (1,3)D ． )3,2(-5.【2013，1】已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )．A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}6.【2014，14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为______7. 【2018，1】已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，，答案：A 解析：略A 解：∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B 城市，乙说：我没去过C 城市，∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B ，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为A ．答案：A 解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}．解：取M ， N 中共同的元素的集合是(-1,1)，故选B解： A ∩B={8,14}，故选D ．解析：把问题切换成离散集运算，{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B ⊆，所以{}3,5A B =．故选B ．解：由320x ->得32x <，所以3{|}2A B x x =<，故选A ．全国2卷1.（2017·1）设集合{}{}123234A B ==，，，，，，则=A B （）A. {}123,4，，B. {}123，，C. {}234，，D. {}134，，2.（2016·1）已知集合A ={1，2，3}，B ={x | x 2 < 9}，则（）A ．{-2,-1,0,1,2,3}B ．{-2,-1,0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2}3.（2015·1）已知集合，，则A ∪B=（）A.B.C.D.4.（2014·1）已知集合A ={-2, 0, 2}，B ={x |x 2-x -2=0}，则A B =（）A ．ΦB ．{2}C ．{0}D ． {-2}5.（2013·1）已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N =（）A ．{-2, -2, 0, 1}B ．{-3, -2, -1, 0}C ．{-2, -1, 0}D ．{-3, -2, -1}6.（2017·9）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2 位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（） A. 乙可以知道两人的成绩 B. 丁可能知道两人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩D. 乙、丁可以知道自己的成绩7.（2014·3）函数f (x )在x = x 0处导数存在，若p ：f ′(x 0) = 0：q ：x = x 0是f (x )的极值点，则（） A ． p 是q 的充分必要条件 B ． p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ． p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件8.（2016·16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________AB =}21|{<<-=x x A }30|{<<=x x B )3,1(-)0,1(-)2,0()3,2(答案：1和3 解析：由题意可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.答案： C 解析：若0()0'=f x ，则0x 不一定是极值点，所以命题不是的充分条件；若0x 是极值点，则0()0f x '=，命题p 是q 的必要条件. 故选C .答案 D 解析：由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D.答案：C 解析：因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，所以MN {2,1,0}=--，故选C.答案：B 解析：把M ={0, 1, 2}中的数，代入等式，经检验x = 2满足. 所以选B. 答案：A 解析：因为A ={x |-1<x <2}，B ={x |0<x <3}，所以A ∪B ={x |-1<x <3}，故选A. 答案： D 解析：由29x <得，33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，所以{1,2}A B =，故选D. 答案：A 解析：由题意{1,2,3,4}AB =，故选A .9．（2018·2）已知集合，，则 A. B.C.D.二、复数及其运算1.【2017，3】下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A ．2(1)i i + B ．2(1)i i - C ．2(1)i + D ．(1)i i +2.【2016，2】设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（）A ．3-B ．2-C ．2D ．33.【2015，3】已知复数z 满足(z -1)i =1+i ，则z=( ) A ．-2-i B ．-2+i C ．2-i D ．2+i4.【2014，3】3．设11z i i=++，则|z |=( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．25.【2013，2】212i 1i +(-)＝( )A ．11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2-6．【2018，2】设1i2i 1iz -=++，则z =( )A ．0B ．12C ．1D ．2全国2卷1.（2017·2）(1)(2)i i ++=（）A. 1i -B. 13i +C. 3i +D. 33i +2.（2016·2）设复数z 满足，则=（）A ． B ． C ． D ．{}1,3,5,7A ={}2,3,4,5B =A B ={}3{}5{}3,5{}1,2,3,4,5,7i 3i z +=-z 12i -+12i -32i +32i -答案：C 解析：由3z i i +=-得，32z i =-，故3+2z i =，故选C.答案：B 解析：由题意(1+i )(2+i )=2+3i +i 2=1+3i ，故选B .选C ．解析：1z 22,|z|=11ii i i i i-=+=-+=+故解析：选B ．212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.解：选B ．22111112,()()1222222i i z i i z i -=+=+=+∴=+=+，故选B ．解：选C ． z=11112iz i i i+=+=-+=-．解析：选A ．由题意()()()()12i i 221i a a a ++=-++，故221a a -=+，解得3a =-．解：22(1)121210i i i i +=++=+-=，故选C答案：C 解析：略3.（2015·2）若为实数，且，则（）A. -4 B. -3 C. 3 D. 44.（2014·2）131ii+=-（）A ．1+2i B ．-1+2i C ．1-2iD ．-1-2i5.（2013·2）21i=+（）A ．22B ．2C ．2D ．16．（2018·1）A ．B ．C ．D ．三、平面向量全国1卷1.【2015，2】2．全已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( )A ．(-7,-4)B ．(7,4)C ．(-1,4)D ．(1,4)2.【2014，6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+FC EB ( )A ．ADB ．AD 21 C ．BC 21D ．BC3. 【2017，13】已知向量，，若向量与垂直，则．4.【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ．5.【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______．a i iai+=++312=a ()i 23i +=32i -32i +32i --32i -+()1,2a =-(),1b m =a b +a m =解析：23-．由题意()210x x ⋅=++=a b ，解得23x =-．故填23-．【解析】由题得(1,3)a b m +=-，因为()0a b a +⋅=，所以(1)230m --+⨯=，解得7m =；解：+EB FC EC CB FB BC +=++=111()222AC AB AB AC AD +=+=,故选A解：(3,1),AB BC AC AB =∴=-=(-7,-4)，故选A答案：D 解析：2(23)2332i i i i i +=+=-+答案：C 解析：22(1)2(1)11(1)(1)2i i i i i i --===-+-+，所以221i =+，故选C. 答案：B 解析：13(13)(1)2412.122i i i ii i +++-+===-+- 故选B. 答案：D 解析：由题意可得2(1)(3)244ai i i i a +=++=+⇒=，故选D.6．【2018，7】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC +全国2卷1.（2017·4）设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则（）A ．a ⊥b B . =a bC. a ∥bD. >a b2.（2015·4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（）A. -1 B. 0 C. 1 D. 23.（2014·4）设向量b a ,满足10||=+b a ，6||=-b a ，则=⋅b a （）A ．1 B ．2 C ．3 D ．54.（2016·13）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.5.（2013·14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=_______.6．（2018·4）已知向量，满足，，则A ．4B ．3C ．2D ．0ab ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b 答案：B 解析：因为22213a a b -⋅=+=答案：2解析：在正方形中，12AE AD DC =+，BD BA AD AD DC =+=-，所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=.(2)⋅-=a a b 答案：-6解析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．答案：A 解析：2222||10210.||62 6.a b a b a b a b a b a b +=++⋅=-=∴+-⋅=，，两式相减，则1a b ⋅=答案：C 解析：由题意可得a 2=2，a ·b =-3，所以(2a +b )·a =2a 2+a ·b =4-3=1.答案：A 解析：由||||a b a b +=-平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+,即0ab =,则a b ⊥,故选A答案A 解析：1131()2444EB EA AB DA AB AB AC AB AB AC =+=+=-++=-解析：2． ∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=． ∴b ·c ＝[ta ＋(1－t )b ]·b ＝0，即ta ·b ＋(1－t )b 2＝0．∴12t ＋1－t ＝0． ∴t ＝2．四、不等式全国1卷1.【2017，7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．32.【2014，11】设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z=x+ay 的最小值为7，则a= ( )A ．-5B ．3C ．-5或3D ．5或-33.【2016，16】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1．5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0．5kg ，乙材料0．3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元．B 解：联立x+y=a 与x-y =-1解得交点M 11(,)22a a -+，z 取得最值11722a a a -++⨯=，解之得a =-5或a =3．但a =-5时，z 取得最大值，舍去，所以a =3，故选B ．【答案】D 【解法】目标函数z x y =+经过(3,0)A 时最大，故max 303z =+=，故选D ．4.【2015,15】15．若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为．5.【2013，14】设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z ＝2x －y 的最大值为______．6.【2018，14】若x y ，满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，，，则32z x y =+的最大值为________．答案：3 解析：画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3．解：作出可行域四边形ABC ，如图．画出直线l 0：3x +y =0，平移l 0到l ，当l 经过点A 时z 最大，联立x+y -2=0与x -2y +2=0解得交点A (1,1)，所以 z max =4．解析：216000．设生产产品A ，B 的件数分别为,x y ，获得利润为z 元，则,x y 满足约束条件为：,1.50.51500.39053600x y x y x y x y ∈⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪+⎩N，目标函数为()210090030073z x y x y =+=+，画出满足不等式组的可行域，如图所示．联立536000.390x y x y +=⎧⎨+=⎩，得60100x y =⎧⎨=⎩，即()60,100A ．移动目标函数73900z y x =-+，可得到当其经过点()60,100A 时，z 有最大值216000．故填216000．10020030060,100()xy O全国2卷1.（2017·7）设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+ 的最小值是（）A. -15B. -9C. 1D. 92.（2014·9）设x ，y 满足的约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A.8B.7C.2D.1答案：B 解析：当经过点A 由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得32x y =⎧⎨=⎩，即A (3，2)，此时z 的最大值为z =3+2×2=7答案： A 解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (-6，-3)处取得最小值12315z =--=- .故选A.【答案】6 【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.3.（2013·3）设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）A.-7B.-6C.-5D.-34.（2016·14）若x ，y 满足约束条件，则z =x -2y 的最小值为__________5.（2015·14）若、满足约束条件，则的最大值为 .6.（2018·14）若满足约束条件则的最大值为__________．x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥--≤-+01201205y x y x y x y x z +=2,x y 250,230,50,x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤z x y =+【答案】9 【解析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.答案：8解析：不等式表示的可行域是以(1, 1)，(2, 3)，(3, 2)为顶点的三角形区域，z = 2x + y 的最大值必在顶点处取得，经验算，当x =3，y =2时，z max =8. 答案：-5解析：由1=03=0x y x -+⎧⎨-⎩得=3=4x y ⎧⎨⎩，将点A (3，4)代入z =x -2y 得最小值为-5.答案：B 解析：由约束条件作出可行域如图所示，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B 处，Z 取最小值，代入直线z =2x -3y 得32346z =⨯-⨯=-，故选B.五、程序框图全国1卷1.【2017，10】如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A.1000A >和1n n =+B.1000A >和2n n =+C.1000A ≤和1n n =+D.1000A ≤和2n n =+2017.10图 2016.10图 2015.9图2.【2016，10】执行如图所示的程序框图，如果输入的0,1,x y ==1n =，则输出,x y 的值满足（） A ．2y x = B ．3y x = C ．4y x = D ．5y x =否是n=n +1结束输出x,y x 2+y 2≥36？x =x+n-12，y=ny输入x,y,n 开始【答案】D 【解法】解法一：因为要在321000n n A =->时输出n ，且框图中在“否”时输出，所以中应填入1000A ≤，又要求n 为偶数，且n 的初始值为0，所以中应填入2n n =+，故选D.3.【2015,9】9．执行右面的程序框图，如果输入的t =0.01，则输出的n=( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．84.【2014，9】9．执行下面的程序框图，若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．1585.【2013，7】执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2] B ．C ．[－4,3]D ．[－2,5]全国2卷答案：A 解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.∵该函数的对称轴为t ＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s max ＝4，s min ＝3.∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A. 解：运行程序M,a,b,n 依次为33(,2,,2)22;838(,,,3)323;15815(,,,4)838；输出158M =.故选D.解：运行程序，S,m,n 依次是(11,,124)，(11,,248)， (11,3816,)，(11,,41632)，(11,,53264)，(11,,664128)，(11,,7128256)，故选C C 解析将程序框图所执行的程序分步计算如表所示.故输出32x =，6y =，满足4y x =．故选C ．步骤 n xy2236x y +≥?第一次 11否第二次212 2否第三次 3326是1.（2017·10）执行右面的程序框图，如果输入的a = -1，则输出的S = （）A. 2B. 3C. 4D. 5（2017·10）（2016·9）（2015·8）2.（2016·9）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入 x =2,n =2,a 分别输入为2，2，5，则输出的s =（）A ．7B ．12C ．17D ．343.（2015·8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为14、18，则输出的a =（） A. 0 B. 2 C. 4 D. 144.（2014·8）执行右面的程序框图，如果如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（）A ．4B ．5C ．6D ．7（2014·8）D 解析：输入的x ，t 均为2．12≤是，1221M =⋅=，235S =+=，112k =+=；22≤是2222M =⋅=，2+5=72+1=3S k ==，，32≤，否，程序结束，输出7S =．（2015·8）B 解析：输出的a 是18，14的最大公约数2.【答案：C 】解析：第一次运算，a =2，s =2，n =2，k =1，不满足k >n ；第二次运算，a =2，s =2×2+2=6，k =2，不满足k >n ；第三次运算，a =5，s =2×2+5=17，k =3，满足k >n ，输出s =17，故选C ．开始,x n输入00k s ==，a输入s s x a=⋅+1k k =+k n>s输出结束否是（2017·10）B 解析：阅读流程图，初始化数值a = -1，k = 1，S = 0；循环结果执行如下：第一次：S = 0-1 = -1，a = 1，k = 2；第二次：S = -1+2 = 1，a = -1，k = 3；第三次：S = 1-3 = -2，a = 1，k = 4；第四次：S = -2+4 = 2，a = -1，k = 5；第五次：S = 2-5= -3，a = 1，k = 6；第六次：S = -3 +6= 3，a = -1，k = 7；结束循环，输出S = 3，故选B .（2014·8）（2013·7）（2018·8 ）5.（2013·7）执行右面的程序框图，如果输入的N =4，那么输出的S =（）A ．1111234+++ B ．1111232432+++⨯⨯⨯ C ．111112345++++D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯6.（2018·8）为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入 A ． B ． C ．D ．结束输出S 1M =，3S =开始输入x ，t1k =k t ≤M M x k=S M S =+1k k =+是否开始0,0N T ==S N T =-S 输出1i =100i <1N N i=+11T T i =++结束是否11111123499100S =-+-++-1i i =+2i i =+3i i =+4i i =+【答案】B【解析】根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.（2013·7）B 解析：第一次循环，1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=；第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环，1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯此时满足条件输出1111223234S =+++⨯⨯⨯，故选B.六、函数及其性质全国1卷1.【2017，8】函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为（）2.【2017，9】已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（）A ．()f x 在()0,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于点()1,0对称3.【2016，8】若0a b >>，01c <<，则（）A ．log log a b c c <B ．log log c c a b <C ．cca b < D ．abc c >【解析】（法一）函数的定义域为，，设，为增函数，当时，为增函数，为增函数，当时，为减函数，为减函数．排除A,B ，因为是二次函数，图像关于直线对称，故，所以，()y f x =的图像关于直线1x =对称，故选 C ；（法二），当时，，为增函数．当时，，为减函数，故排除A,B ．故选 C ；【解法】选C 由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，排除A ．．)2,0()2(ln )2ln(ln )(x x x x x f -=-+=2)1(2)2()(22+--=+-=-=x x x x x x t )(t f )1,0(∈x )(x t ∴)(x f )2,1(∈x )(x t ∴)(x f )(x t 1=x )2()(x t x t -=)2()(x f x f -=)2(22211)(x x x x x x f --=--=')1,0(∈x 0)(>'x f )(x f )2,1(∈x 0)(<'x f )(x f4.【2016，9】函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．5.【2015,10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且f (a )=-3，则f (6-a )=( )A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-6.【2015，12】设函数y =f (x )的图像与y =2x+a 的图像关于直线y =-x 对称，且f (-2)+f (-4)=1，则a =( ) CA ．-1B ．1C ．2D ．47.【2014，5】设函数()f x ,()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.()()f x g x 是偶函数B.()()f x g x 是奇函数C.()()f x g x 是奇函数D.()()f x g x 是奇函数8.【2013，9】函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )-221Oxy-221Oxy -221Oxy -221Oxy 解：设F (x )=f (x )|g (x )|，依题可得F (-x )=-F (x )，∴ F (x )为奇函数，故选C 解：设f (-2)=m ，f (-4)=n ，则m +n=1，依题点(-2，m )与点(-4，n )关于直线y =-x 对称点为(-m ，2)与点(-n ，4)在函数y =2x+a 的图像上，∴2=2-m+a ，4=2-n+a ，∴-m+a =1，-n+a =2，∴2a =3+m +n =4，∴a =2，故选C解：∵f (a )=-3，∴当a≤1时，f (a )=2a -1-2=-3，则2a -1=-1，无解．当a>1时，f (a )=-log 2(a +1) =-3，则a +1=8，解得a =7，∴f (6-a )=f (-1)= 2-2-2=74-，故选A ．解析:选 D. 设()22e xf x x =-，由()()228e 0,1f =-∈，可排除A （小于0），B （从趋势上超过1）；又()0,2x ∈时,()4e x f x x '=-,()()()014e 0f f ''⋅=--<，所以()f x 在()0,1上不是单调函数,排除C ．故选D ．8．B 解析由01c <<可知log c y x =是减函数，又0a b >>，所以log log c c a b <．故选B ．评注:作为选择题，本题也可以用特殊值代入验证，如取4a =，2b =，12c =，可快速得到答案．另外，对于A ，lg log lg a c c a =，lg log lg b cc b=，因为01c <<，所以lg 0c <．又0a b >>，所以lg lg a b >，但正负性无法确定，所以A 无法判断．对于C ，D ，可分别利用幂函数、指数函数的单调性判断其错误．*9.【2013，12】已知函数f (x )＝22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]10．【2018，12】设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，11．【2018，13】已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．【答案】D 【解析】首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.观察图像可知会有，解得，所以满足的x 的取值范围是，故选D.解析：选D ．可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ；当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0．∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2．∴a ∈[－2,0]．解析：选C. 由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A ．当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1．令f ′(x )＝0，得2π3x =．故极值点为2π3x =，可排除D.全国2卷1.（2017·8）函数2()ln(28)f x x x=--的单调递增区间是（）A. (-∞，-2)B. (-∞，-1)C. (1，+∞)D. (4，+∞)2.（2016·10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是（）A．y=x B．y=lg x C．y=2x D．*3.（2016·12）已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为11(,)x y，22(,)x y，…，(,)m mx y，则1miix==∑（）A．0 B．m C．2m D．4m4.（2015·11）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（）A．B．C．D．*5.（2015·12）设函数21()ln(1)1f x|x|x=+-+，则使得()(21)f x f x>-成立的x的取值范围是（）A.1(,1)3B.1(,)(1,)3-∞+∞ C.11(,)33- D.11(,)(,)33-∞-+∞1yx=（2015·11）B】解析：∵()222fπ=，()514fπ=+，∴()()24f fππ<，由此可排除C，D，当34xππ≤≤时，1()tancosf x xx=-+，可排除A.（2016·12）B解析：因为2()|23|y f x y x x==--，都关于1x=对称，所以它们交点也关于1x=对称，当m为偶数时，其和为22mm⨯=，当m为奇数时，其和为1212mm-⨯+=，因此选B.（2016·10）D解析：lg10xy x==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D满足，故选D．（2017·8）D解析：函数有意义，则x2-2x-8>0，解得x<-2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则可得函数的单调增区间为(4，+∞)，故选D.【答案】-7 【解析】根据题意有，可得，所以，故答案是.6.（2014·11）若函数f (x ) = kx -ln x 在区间(1，+∞)单调递增，则k 的取值范围是（） 6.A ．(],2-∞- B ．(],1-∞- C ．[)2,+∞ D ．[)1,+∞7.（2013·8）设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>8.（2017·14）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0)，∈-∞x 时，32()=2+f x x x ，则(2)f =9.（2015·13）已知函数f (x ) = ax 3-2x 的图象过点(-1, 4)，则a = .*10.（2015·16）已知曲线在点(1, 1)处的切线与曲线相切，则 .11.（2014·15）偶函数y = f (x )的图象关于直线x = 2对称，f (3) = 3，则f (-1) = ______.12．（2018·3）函数的图像大致为x x y ln +=1)2(2+++=x a ax y =a ()2e exxf x x --=（2014·15）3解析：∵()f x 为偶函数，∴(1)(1)f f -=，∵()f x 的图像关于2x =对称，∴(1)(3)3f f ==，∴(1)3f -=. 解析：曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y =2x -1，与y = ax 2+(a +2)x +1联立得ax 2+ax +2=0，显然a ≠0，所以由△=a 2-8a =0，得a =8 .（2015·13）-2解析：.（2017·14）12解析：(2)(2)[2(8)4]12f f =--=-⨯-+=()1242f a a -=-+=⇒=-（2013·8）D 解析：因为321log 21log 3=<，521log 21log 5=<，又2log 31>，所以c 最大. 又221log 3log 5<<，所以2211log 3log 5>，即a b >，所以c a b >>，故选D. 【答案：D 】解析：∵函数()f x 在区间（1，+∞）单调递增，∴当x ＞1时，()0f x '≥恒成立，1()ln ()0f x kx x f x k x '=-∴=-≥，∴11k x≥>，故选D. （2015·12）A 解析：()f x 是偶函数，且在[0, +∞)是增函数，所以()(21)(||)(|21|)f x f x f x f x >-⇔>- 1|||21|13x x x ⇔>-⇔<<.13．（2018·12）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A ．B ．0C ．2D ．50七、函数与导数全国1卷*1.【2016，12】若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[]1,1- B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2【2018，6】设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =()f x (,)-∞+∞(1)(1)f x f x -=+(1)2f =(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=50-【答案】C 【解析】因为f(x)是定义域为),(+∞-∞的奇函数，且，所以)1()1(--=+x f x f ，所以)1()1()3(-=+-=+x f x f x f ，所以T=4, 因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】B 【解析】为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C ；因此选B.(1)(1)f x f x -=+ 解析：选C ．问题转化为()21cos 2cos 03f x x a x '=-+≥对x ∈R 恒成立，故()2212cos 1cos 03x a x --+≥，即245cos cos 033a x x -+≥恒成立．令cos x t =，得245033t at -++≥对[]1,1t ∈-恒成立．解答题(15-18年)3.【2017，21】已知函数()()2xxf x eea a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；*（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【解析】（1）()()()()2222'=--=+-xx x x f x e ae a e a e a①当0>a 时，20+>x e a ，令()0'>f x ，即0->x e a ，解得ln >x a ，令()0'<f x ，即0-<x e a ，解得ln <x a ，所以当0>a ，()f x 在()ln ,+∞a 上递增，在(),ln -∞a 上递减． ②当0=a 时，()()220'=>xf x e ， ()f x 在R 上递增．③当0<a 时，0->x e a ，令()0'>f x ⇒20+>x e a ⇒2>-xa e ⇒ln 2⎛⎫>- ⎪⎝⎭a x ，令()0'<f x ⇒20+<x e a ⇒2<-xa e ⇒ln 2⎛⎫<- ⎪⎝⎭a x ，所以当0<a 时，()f x 在ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递增，在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递减．综上所述：当0>a ，()f x 在(),ln -∞a 上递减，在()ln ,+∞a 上递增；当0=a 时， ()f x 在R 上递增；当0<a 时，()f x 在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递减，在ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上递增．【答案】D 【解析】利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程:因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.4.【2016，21】已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；*（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．（2）由（1）得当0a时，()()()ln ln 2min ln ln ==--a a f x f a e e a a a 2ln 0=-≥a a ，∴ln 0≤a ，得01<≤a ．当0=a 时，()()20=>xf x e 满足条件．当0<a 时，()ln ln 222minln ln 22⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a a a f x f e ea a 223ln 042⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭a a a ， ∴3ln 24⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭a ⇒342-≤a e ⇒342≥-a e ，又因为0<a ，所以3420-≤<e a ．综上所述，a 的取值范围是342,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．5.【2015，21】设函数()2e ln x f x a x =-．则，所以有两个零点. (ii)设a =0，则所以有一个零点. (iii)设a <0，若，则由(I)知，在单调递增. 又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点. 综上，a 的取值范围为.解析：(I)(i)设，则当时，；当时，. 所以在单调递减，在单调递增. (ii)设，由得x=1或x=ln(-2a). ① 若，则，所以在单调递增. ② ②若，则ln(-2a)<1,故当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减. ③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.(II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增. 又，取b 满足b <0且， ()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭()f x ()()2xf x x e =-()f x 2ea ≥-()f x ()1,+∞1x ≤()f x ()f x 2ea <-()f x ()()1,ln 2a -()()ln 2,a -+∞1x ≤()f x ()f x ()0,+∞()()()()()'12112.xxf x x e a x x e a =-+-=-+0a ≥(),1x ∈-∞()'0f x <()1,x ∈+∞()'0f x >(),1-∞()1,+∞0a <()'0f x =2e a =-()()()'1xf x x e e =--()f x (),-∞+∞2ea >-()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞()'0f x >()()ln 2,1x a ∈-()'0f x <()f x ()()(),ln 2,1,a -∞-+∞()()ln 2,1a -2ea <-()21ln a ->()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞()'0f x >()()1,ln 2x a ∈-()'0f x <()f x ()()(),1,ln 2,a -∞-+∞()()1,ln 2a -0a >()f x (),1-∞()1,+∞()()12f e f a =-=，ln 22b a <（1）讨论()f x 的导函数()f x '零点的个数;（2）求证：当0a >时，()22ln f x a a a≥+．6．【2018，21】已知函数()e ln 1xf x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．全国2卷1.（2014·11）若函数f (x ) = kx -ln x 在区间(1，+∞)单调递增，则k 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞（2014·11）D 解析：∵函数()f x 在区间（1，+∞）单调递增，∴当x ＞1时，()0f x '≥恒成立，1()ln ()0f x kx x f x k x '=-∴=-≥，∴11k x≥>，故选D. 解：（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x．由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ．从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1e x x --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x'=-．当0<x <1时，g ′（x ）<0；当x >1时，g ′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1ea ≥时，()0f x ≥． (Ⅱ) 设f '(x )的唯一零点为k ，由(Ⅰ)知(0, k )上，f '(x )<0，f (x )单调递减；在(k ,+∞)上，f '(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )取最小值f (k )．所以f (x )≥f (k )= e 2k -a ln k ，又f '(k )= 2e 2k a k -=0，所以e 2k =2ak，22ln ln k k a =-，所以f (k )=2(ln 2)2ln 2ln 2222a a a a a k ka a a a k a k --=++≥+，所以f (x )≥22ln a a a+．解：(Ⅰ) f '(x )=2e 2x ax-， x >0 (1)若a ≤0时，f '(x )>0在(0,+∞)恒成立，所以f '(x )没有零点；(2)若a >0时，f '(x )单调递增．当x →0, f '(x ) →-∞；当x →+ ∞,f '(x ) →+∞，所以f '(x ) 存在一个零点．2.（2013·11）已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（）A ．0x R ∃∈，0()0f x =B ．函数()y f x =的图象是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=*3.（2013·12）若存在正数x 使2()1x x a -<成立，则a 的取值范围是（）A ．(,)-∞+∞B ．(2,)-+∞C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞4.（2015·16）已知曲线在点(1, 1)处的切线与曲线相切，则 .5.【2017，14】曲线21y x x=+在()1,2处的切线方程为．6．【2018，13】曲线在点处的切线方程为__________．解答题（节选15-18年）5.（2017·21）设函数f (x ) = (1-x 2)e x .（1）讨论f (x )的单调性； *（2）当x ≥0时，f (x )≤ax +1，求a 的取值范围.x x y ln +=1)2(2+++=x a ax y =a 2ln y x =(1,0)【答案】y =2x –2【解析】由，得，则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【解】1y x =+．求导得212y x x'=-，故切线的斜率1|1x k y ='==，所以切线方程为21y x -=-，即1y x =+．（2015·16）8解析：曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y =2x -1，与y = ax 2+(a +2)x +1联立得ax 2+ax +2=0，显然a ≠0，所以由△=a 2-8a =0，得a =8 . （2013·12）D 解析：因为20x >，所以由2()1xx a -<得122x x x a --<=，在坐标系中，作出函数(),()2x f x x a g x -=-=的图象，当0x >时，()21x g x -=<，所以如果存在0x >，使2()1x x a -<，则有1a -<，即1a >-，故选D.（2013·11）C 解析：若0c =则有(0)0f =，所以A 正确. 由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为（0,0），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确. 由三次函数的图象可知，若0x 是f (x )的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间（-∞,0x ）单调递减是错误的，D 正确. 故选C.6.（2016·20）已知函数.（Ⅰ）当a =4时，求曲线y =f (x )在(1，f (1))处的切线方程； *（Ⅱ）若当x ∈(1,+∞)时，f (x )>0，求的取值范围.7.（2015·21）已知函数f (x ) = ln x +a (1- x ).（Ⅰ）讨论f (x )的单调性；*（Ⅱ）当f (x )有最大值，且最大值大于2a -2时，求a 的取值范围.()(1)ln (1)f x x x a x =+--a （2016·20）（I ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 当4=a 时， ()(1)ln 4(1)f x x x x =+--，1()ln 3f x x x'=+-，(1)2,(1)0.'=-=f f 曲线()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-=（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x 令(1)()ln 1-=-+a x g x x x ，则222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ，（i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，222(1)1210+-+≥-+>x a x x x故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ；（ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得22121(1)1,1(1)1=----=-+--x a a x a a ，由21>x 和121=x x 得11<x ，故当2(1,)∈x x 时，()0'<g x ，()g x 在2(1,)∈x x 单调递减，因此()0<g x .综上，a 的取值范围是(],2.-∞（2017·21）解析：∵2()=(12)x f x x x e '--，令()=0f x '得12x =--，12x =-+，当(12)，x ∈-∞--时，()<0f x '；当(1212)，x ∈---+时，()>0f x '；当(12+)，x ∈-+∞时，()<0f x '；所以f (x )在(12)，-∞--，(12+)，-+∞上单调递减，在(1212)，---+上单调递增. （2）∵()=(1)(1)x f x x x e +-，当a ≥1时，设函数()=(1)x h x x e -，()=0(0)x h x xe x <>'-，因此()h x 在[0+)，∞单调递减，而(0)1=h ，故()1h x ≤，所以()=(1)()1h x x f x x +⋅≤+ 1ax ≤+；当0<a<1时，设函数g()=1x x e x --，g ()=10(0)xx e x '->>，所以g()x 在[0+)，∞在单调递增，而g(0)=0，故1x e x ≥+.当0<x<1时，2()=(1)(1)f x x x -+，221((1)(1)1)ax x a x x x x --=----+，取05412a x --=，则0(01)，x ∈，2000(1)(1)0x x ax -+=-，故00()>+1f x ax ；当a ≤0时，取0512x -=，20000()>(1)(11)1f a x x x x +>-=+；综上所述，a 的取值范围是[1+)，∞.21．（2018.21）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．八、三角函数与解三角形全国1卷1.【2017，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，c=2，()()32113f x x a x x =-++3a =()f x ()f x （1）当a =3时，f （x ）=，f ′（x ）=．令f ′（x ）=0解得x =或x =．当x ∈（–∞，）∪（，+∞）时，f ′（x ）>0；当x ∈（，）时，f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，），（，+∞）单调递增，在（，）单调递减．（2）由于，所以等价于．设=，则g ′（x ）=≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=，f （3a +1）=，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．（2015·21）解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为1(0,),()f x a x'+∞=-，若0,a ≤则()0,f x '>所以()(0,)f x +∞在单调递增.若0a >，则当1(0,)x a ∈时，()0,f x '>当1(,)x a∈+∞时，()0,f x '< 所以()f x 在1(0,)a 单调递增，在1(,)a+∞单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a ≤时，()(0,)f x +∞在无最大值；当0a >时，()f x 在1x a=取得最大值，最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a =+-=-+-.因此1()22f a a>- 等价于ln 10a a +-<. 令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞单调递增，(1)0g =.于是，当01a <<时()0g a <；当1a >时，()0g a >. 因此，a 的取值范围是(0,1). 3213333x x x ---263x x --323-323+323-323+323-323+323-323+323-323+210x x ++>()0f x =32301x a x x -=++()g x 3231x a x x -++2222(23)(1)x x x x x ++++22111626()0366a a a -+-=---<103>。

2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题05 平面向量

【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题05 平面向量一．基础题1.【安徽省2013届高三开年第一考】已知向量,a b ，且||1a = ，||2b = ，则|2|b a -的取值范围是（）A ．[1,3]B ．[2,4]C ．[3,5]D ．[4,6] 【答案】C【解析】|2|b a -==[3,5]∈，选C2.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥a b ，则cos 2θ等于（）A.1-B.0 C .12D.23.【广州市2013届高三年级1月调研测试】设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知向量i=(l,0)，j= (0,1),则与垂直的向量是A i —2jB 2i-jC 2i+j D. i+2j 【答案】A【解析】∵0i j ∙= ∴22(2)(2)220i j i j i j +∙-=-= ∴(2)(2)i j i j +⊥-5.【惠州市2013届高三第三次调研考试】已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则+p q的值为（）A．．5 D ．13 【答案】B【解析】26304(23)(46)(23)x x p q ⨯+=⇒=-⇒+=-+-=-=，，，B ．6.【北京市东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测】若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】已知•=﹣12，||=4，和的夹角为135°，则||为（）．，，向量与垂直，则实数λ的值为（）﹣【解析】∵已知，，向量与∴（）•（．112直线l 2过点（﹣1，1）且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为（）10.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为．学年河南省中原名的正方形的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则的最大值是（）．﹣（（故，即∴•=1+sin212.【山东省泰安市2013届高三上学期期末考试】设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=，若a b ⊥ ，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于A.13-B.13C.3-D.316.【广东省华附、省实、广雅、深中2013届高三上学期期末四校联考】已知21e e ，是夹角为060的两个单位向量，且向量212e e a +=___________。

2018年数学(文科)高考题分类真题与模拟题平面向量

F 单元平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算7.F1[2018·全国卷Ⅰ] 在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A . 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B . 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C . 34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D . 14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 7.A [解析] 如图,EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A .8.F1、F3[2018·天津卷]在如图1-2的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )图1-2A .-15B . -9C . -6D . 08.C [解析] 连接MN ,由BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得MN ∥BC ,且BC=3MN ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=3×(1×2×cos 120°-12)=-6.故选C .F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 13.F2[2018·全国卷Ⅲ] 已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ),若c ∥(2a+b ),则λ= . 13.12[解析] 2a+b=(4,2),由c ∥(2a+b )可得14=λ2,即λ=12.20.H8,F2[2018·全国卷Ⅲ] 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24+y 23=1交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M (1,m )(m>0). (1)证明:k<-12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,证明:2|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 20.证明:(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减,并由y 1-y2x 1-x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23·k=0.由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ,于是k=-34m.由题设得0<m<32,故k<-12. (2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0).由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m<0.又点P 在C 上,所以m=34,从而P (1,-32),|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=32. 于是|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-1)2+y 12=√(x 1-1)2+3(1-x 124)=2-x12.同理|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-x22. 所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4-12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 12.F2,F4[2018·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 12.3 [解析] 因为点A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,所以可设A (a ,2a )(a>0),则AB 的中点为Ca+52,a ,圆C 的方程为(x-5)(x-a )+y (y-2a )=0.由{(x -5)(x -a)+y(y -2a)=0,y =2x,得D (1,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-a ,-2a ),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =-a -32,2-a ,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以(5-a )·-a -32+(-2a )(2-a )=0,解得a=3或a=-1.又a>0,所以a=3,则点A 的横坐标为3.F3 平面向量的数量积及应用4.F3[2018·全国卷Ⅱ] 已知向量a ,b 满足|a|=1,a ·b=-1,则a ·(2a-b )= ( ) A . 4 B . 3C . 2D . 04.B [解析] a ·(2a-b )=2a 2-a ·b=2-(-1)=3,故选B .9.F3[2018·北京卷] 设向量a=(1,0),b=(-1,m ).若a ⊥(ma-b ),则m= .9.-1 [解析] ∵a=(1,0),b=(-1,m ),∴ma-b=(m+1,-m ),又∵a ⊥(ma-b ),∴a ·(ma-b )=m+1=0,即m=-1.8.F1、F3[2018·天津卷]在如图1-2的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( )图1-2A . -15B . -9C . -6D . 08.C [解析] 连接MN ,由BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得MN ∥BC ,且BC=3MN ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=3×(1×2×cos 120°-12)=-6.故选C .F4 单元综合 9.F4[2018·浙江卷] 已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2-4e ·b+3=0,则|a-b|的最小值是 ( ) A . √3-1 B . √3+1 C . 2 D . 2-√39.A [解析] 建立平面直角坐标系,设e=(1,0),向量a 与e 的夹角为π3,则向量a 的终点在射线y=√3x (x>0)上.设向量b=(x ,y ),则x 2+y 2-4x+3=0,即(x-2)2+y 2=1,则|a-b|表示圆上任意一点P 到射线y=√3x (x>0)上任意一点A 的距离,显然当A ,P ,C 三点在同一条直线上,即AC 垂直于射线y=√3x (x>0)时,|a-b|取得最小值,最小值为|AC|-1=√3-1,故选A .12.F2,F4[2018·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点A 的横坐标为 . 12.3 [解析] 因为点A 为直线l :y=2x 上在第一象限内的点,所以可设A (a ,2a )(a>0),则AB 的中点为Ca+52,a ,圆C 的方程为(x-5)(x-a )+y (y-2a )=0.由{(x -5)(x -a)+y(y -2a)=0,y =2x,得D (1,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-a ,-2a ),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =-a -32,2-a ,又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以(5-a )·-a -32+(-2a )(2-a )=0,解得a=3或a=-1.又a>0,所以a=3,则点A 的横坐标为3.1.[2018·莱芜期末] 在平行四边形ABCD 中,∠A=60°,AB=2,AD=1,若M ,N 分别是边BC ,CD 上的点(包括端点),且满足|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )A .[1,3]B .[1,5]C .[2,4]D .[2,5] 1.D[解析] 设|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ,λ∈[0,1],则AM ⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗ )=(AB⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗ )·[AD ⃗⃗⃗ +(1-λ)AB ⃗⃗⃗ ]=(1-λ)AB ⃗⃗⃗ 2+λAD⃗⃗⃗ 2+(1+λ-λ2)AB ⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗ =4(1-λ)+λ+12(1+λ-λ2)×2×1=-λ2-2λ+5∈[2,5],故选D .2.[2018·衡阳八中月考] 设向量a=(1,cos θ)与向量b=(-1,2cos θ)垂直,则sin (5π2+2θ)=( )A . √22B . 1C . 0D . -1 2.C[解析] ∵a ⊥b ,∴-1+2cos 2θ=0,即cos 2θ=12,则sin(5π2+2θ)=cos2θ=2cos 2θ-1=2×12-1=0,故选C . 3.[2018·广元期末] 在△ABC 中,AB=2AC=6,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,若点P 是△ABC 所在平面内一点,则当PA ⃗⃗⃗⃗ 2+PB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗ 2取得最小值时,AP ⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ = . 3.-9 [解析] ∵BA⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗ 2,∴BA ⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗ 2=BA ⃗⃗⃗ ·(BC ⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗ )=BA ⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗ =0,∴BA ⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗ .以A 为坐标原点,AB ,AC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则B (6,0),C (0,3).设P (x ,y ),则PA ⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗ 2+PC⃗⃗⃗ 2=x 2+y 2+(x-6)2+y 2+x 2+(y-3)2=3x 2-12x+3y 2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10],∴当x=2,y=1时,PA⃗⃗⃗ 2+PB⃗⃗⃗ 2+PC⃗⃗⃗ 2取得最小值,此时AP⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗ =(2,1)·(-6,3)=-9.。

(word完整版)[精选+详解2013届高三数学名校试题汇编(第1期)专题05平面向量,推荐文档

专题05 平面向量一．基础题1.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且20OA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r r ，||||OA AB =u u u r u u u r，则CA CB ⋅u u u r u u u r 的值是（）A. 3B.2C.1D. 02.【湖北省黄冈中学2013届高三十月月考】如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是（）A ．1213PP PP ⋅u u u u r u u u u rB ．1214PP PP ⋅u u u u r u u u u rC ．5121P P P P ⋅D ．1216PP PP ⋅u u u u r u u u u r3.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试】已知非零向量a r 、b r ，满足a b ⊥r r，则函数2()()f x ax b =+r r (R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 奇函数D. 偶函数4.【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试】已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则A ．2AO OD =u u u r u u u rB ．AO OD =u u u r u u u rC ．3AO OD =u u u r u u u r D ．2AO OD =u u u r u u u r【答案】B【解析】因为D 为BC 边中点，所以由20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得22OB OC OA AO +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r，即22OD AO =u u u r u u u r ,所以AO OD =u u u r u u u r，选B.5.【2013届安徽省示范高中高三9月模底考试】已知｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，向量a 与b 的夹角为23π，c ＝a ＋2b ，则｜c ｜＝（） A 、13 B 、21 C 、23 D 、326.【2012-2013杭州地区七校联考数学（理）】△ABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC边的中点，BF 交CE 于点G ，若AG xAE y AF =+u u u r u u u r u u u r，则x y +等于（）A.32B.43C.1D.237.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】已知a r 、b r均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b +r r 等于A.7B.10C.13D.48.【2012-2013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测】已知平面向量11(,)a x y =r，22(,)b x y =r ，若||2a =r ，||3b =r ，6a b •=-r r ，则1122x yx y ++的值是（）A．23B．23-C．56D．56-【答案】B【解析】由已知，向量11(,)a x y=r，22(,)b x y=r反向，则320a b+=r r，则11223(,)2(,)(0,0)x y x y+=，得1223x x=-，1223y y=-，故112223x yx y+=-+9.【2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试】已知(1,2),(4,2),a b=-=r r则2ar与()a b-r r的夹角为θ，则cosθ=．10.【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】若||2a=r，||2b=r，且()a b a-⊥r r r，则ar与br的夹角是 ________ .11.【2012—2013北京市朝阳区高三期中考试数学（理）】在ABC∆中，若4BA BC⋅=u u u r u u u r，ABC∆的面积为2，则角B=.二．能力题1．【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6下列向量的数量积中最大的是A.1213PP PP ⋅u u u u r u u u u rB.1214PP PP ⋅u u u u r u u u u rC.1215PP PP ⋅u u u u r u u u u rD.1216PP PP ⋅u u u u r u u u u r2.【河北省唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试】己知△ABC 的外心、重心、垂心分别为O ，G ，H ，若OH OG λ=u u u r u u u r，则λ=（A ）13 （B ）12（C ）3 （D ）23.【湖北省武汉市2013届高三11月调研测试】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则（1）DE CB u u u r u u u rg的值为 . （2）DE DC u u u r u u u rg 的最大值为 .4.【浙江省温州八校2013届高三9月期初联考】．已知B A ,是圆C (C 为圆心）上的两点，||2AB =u u u r,则AB AC ⋅u u u r u u u r = ▲5.【湖北省黄冈中学2013届高三十月月考】已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB AE λ=u u u r u u u r (0)λ>，(0)AC AF μμ=>u u u r u u u r ，则14λμ+的最小值是．DCB A2-2-1O xy6.【2012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】若非零向量,a b r r满足||||2||a b a b b +=-=r r r r r，则a b +r r 与a b -r r 的夹角是A ．3πB ．2πC ．23π D ．56π7.【2013届河北省重点中学联合考试】已知向量m u r ，n r 的夹角为6π，且｜m u r ｜＝3，｜n r ｜＝2，在△ABC 中，AB u u u r ＝m u r ＋n r ，AC u u u r ＝m u r －3n r ，D 为BC 中点，则｜AD u u u r｜＝A 、1B 、2C 、3D 、48.【江西省2013届百所重点高中阶段性诊断考试】已知向量a ，b 是互相垂直的单位向量，且||13c =r ，3,c a •=r r 4,c b •=r r，则对任意的实数12,t t ，12||c t a t b --r r r的最小值为A.5B. 7C. 12D. 139.【山西大学附属中学2013届高三10月月考】在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若CB CA CD DB AD λ+==31,2，则λ=( )A ．32B ．31 C ．31- D ．32-1FEBACD三．拔高题1.【湖北省黄冈中学2013届高三11月月考】已知O 为平面上的一个定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的三个动点，点P 满足条件2OB OC OP +=u u u r u u u r u u u r (),(0,)||cos ||cos AB ACAB B AC Cλλ++∈+∞u u u r u u u ru u u r u u u r ，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心【答案】C【解析】设线段BC 的中点为D ，则2OB OC OD +=u u u r u u u ru u u r ，∴2OB OC OP +=u u u r u u u r u u u r ()||cos ||cos AB ACAB B AC C λ++u u u r u u u r u u u r u u u r ()||cos ||cos AB ACOD AB B AC C λ=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，∴()||cos ||cos AB ACOP OD DP AB B AC C λ-=+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴()()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC AB BC AC BCDP BC BC AB B AC C AB B AC C λλ⋅⋅⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ||||cos()||||cos ()(||||)0||cos ||cos AB BC B AC BC CBC BC AB B AC C πλλ-=+=-+=u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，∴DP BC ⊥，即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上，即动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的外心，选C.2.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】如图,在四边形ABCD 中,4||||||=++DC BD AB ,0=•=•DC BD BD AB ,4||||||||=•+•DC BD BD AB ,则AC DC AB •+)(的值A ．2B ．22C ．4D ．24 【答案】C【解析】⎪⎩⎪⎨⎧=•+•=++.4||||||||,4||||||DC BD BD AB DC BD AB解方程组,得2||=BD ,2||||=+DC AB ．又∵0=•=•DC BD BD AB , ∴AB 与DC 共线且方向相同．∴2||||||=+=+DC AB DC AB ．又∵0=+++CA DC BD AB , ∴DC BD AB AC ++=．∴)()()(DC BD AB DC AB AC DC AB ++•+=•+BD DC AB DC AB •+++=)()(2BD DC BD AB DC AB •+•++=2||=22+0+0=4．3.【湖北省黄冈中学2013届高三11月月考】（本小题满分12分）已知ABC ∆的两边长分别为25AB =，39AC =，且O 为ABC ∆外接圆的圆心．（注：39313=⨯，65513=⨯）（1）若外接圆O 的半径为652，且角B 为钝角，求BC 边的长；（2）求AO BC ⋅u u u r u u u r的值．4.[湖北省武汉市四校2013届高三10月联考] 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==r r且ar 与br 满足关系式：||3||(0)ka b a kb k +=->r r r r.（1）用k 表示a b ⋅r r；（2）证明：a r 与b r不垂直；（3）当a r 与b r的夹角为60︒时，求k 的值.解：（1）||3||,||||1ka b a kb a b +=-==r r r r r rQ22()3()ka b a kb ∴+=-r r r r22222223(2)k a b ka b a k b ka b ∴++⋅=+-⋅r r r r r r r r即2822ka b k ⋅=+r r故21(1)(0)4a b k k k⋅=+>r r……（4分）5.[湖北省武汉市四校2013届高三10月联考]（本小题满分14分）已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r满足1(1ln )0x OA y x OB OC ax--+-+=u u u r u u u r u u u r r ，（O 不在直线l 上0a >）（1）求()y f x =的表达式；（2）若函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，求a 的范围；（3）当1a =时，求证：1111ln ...234n n>>+++对2n ≥的正整数n 成立.6.【四川省成都石室中学2013届高三9月月考】已知向量(23sin ,2)4x m =u r ，2(cos ,cos )44x x n =r ．函数()f x m n =⋅u r r ． (I)若1()2f x =，求cos()3x π+的值； (II)在ABC V 中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围．7.【河北省邯郸一中2013届高三上学期期中考试】（本小题满分12分）已知2(cos ,cos ),(cos 3)a x x b x x ωωωω==r r(其中01ω<<)，函数f (x )＝a r ·b r ，若直线3x π=是函数()f x 图象的一条对称轴， (1)试求ω的值；(2)先列表再作出函数f (x )在区间[,]ππ-上的图象.8.【浙江省嘉兴一中2013届高三10月月考】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A c B b+=．（1）求角A ；（2）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n |的最小值．9. 【浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期初考试】(本小题14分)已知向量a ＝(1sin x ，－1sin x)，b ＝(2，cos2x )． (1)若x ∈(0，π2]，试判断a 与b 能否平行？ (2)若x ∈(0，π3]，求函数f (x )＝a ·b 的最小值．10.【浙江省嘉兴市嘉兴一中2013届高三一模】已知1(sin,)2m A=u r与(3,sin3cos)n A A=+r共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.11.【四川省成都市2013届高三摸底考试】（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos 23cos 3,f x x x x x R =+-∈（I ）化简函数f （x ）的解析式，并求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，若()1,2f A AB AC =⋅=u u u r u u u r ，求△ABC 的面积．12.【四川省绵阳市三台县芦溪中学2012级高三上期第二次测试】（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量),cos ,(cos ),,(B A n b a m == )sin 2,2sin22(A C B p +=，若m ∥.3||,=p n （Ⅰ）求角A 、B 、C 的值；（Ⅱ）若]2,0[π∈x ，求函数x B x A x f cos cos sin sin )(+=的最大值与最小值．13.【河南省新乡许昌平顶山三市2013届高三第一次科研考试】试题在平面直角坐标系xoy 中，点()0,1P -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴非负半轴上，点M 满足：2,0AM AB PA AM =⋅=uuu r uu u r uu r uuu r（Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 上一点，直线l 过点Q 且与曲线C 在点Q 处的切线垂直，l 与C 的另一个交点为R ，若以线段QR 为直径的圆经巡原点，求直线l 的方程 14.【四川省自贡市高2013届高三一诊试题（2013自贡一诊）】已知函数. (I )求函数f (x)的周期和最小值；(II)在锐角ΔABC 中，若,求ΔABC 的面积.15.【四川省绵阳市2013届高三第一次诊断性考试】设向量，函数，. (I )求函数f(x))的最小正周期及对称轴方程； (I I )当时，求函数f(x)的值域.．（Ⅱ）当x ∈[0，2π]时，即0≤x ≤2π，可得6π≤2x+6π≤76π， ∴ 当2x+6π=2π，即x=6π时，f (x)取得最大值f (6π)=2；当2x+6π=76π，即x=2π时，f (x)取得最小值f (2π)=-1．即f (x) 的值域为[-1，2]．……………………………………………………12分16.【湖北省孝感高中2013届高三9月调研考试】已知两向量的坐标分别为(sin(),1),(3,sin())2a b πθθπ=+-=+r r ，若5,,66ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦a b ⊥r r 且，求θ的值.。

[精选+详解届高三数学名校试题汇编(第1期)专题05平面向量(word版可编辑修改)

7.【2013
届河北省重点中学联合考试】已知向量
m
，
n
的夹角为
,且｜
m
|＝
3 ，| n ｜＝2,
6
在△ABC 中， AB ＝ m ＋ n , AC ＝ m －3 n ，D 为 BC 中点,则| AD ｜＝
A、1 B、2 C、3 D、4
8.【江西省 2013 届百所重点高中阶段性诊断考试】
[精选+详解 2013 届高三数学名校试题汇编(第 1 期)专题 05 平面向量(word 版可编辑修改)
校名师俱乐部高三第二次调研考试】若非零向量 a,b 满足| a b || a b | 2 | b | ，则 a b 与 a b 的
夹角是
A． B．
3
2
C． 2 3
D． 5 6
OA
(
y
1
（2）求 AO BC 的值．
4.［湖北省武汉市四校 2013 届高三 10 月联考]
已知向量 a (cos ,sin ), b (cos , sin ) 且 a 与 b 满足关系式: | ka b | 3 | a kb | (k 0) 。
（1)用 k 表示 a b ；
（2)证明: a 与 b 不垂直;
C。 P1P2 P1P5
B。 P1P2 P1P4
D。 P1P2 P1P6
市 2012—2013 学年度高三年级摸底考试】
己知△ABC 的外心、重心、垂心分别为 O，G，H，若 OH OG ，则 =
（A） 1 （B） 1 （C）3 （D）2
3
2
2。【河北省唐山 Nhomakorabea4k[精选+详解 2013 届高三数学名校试题汇编(第 1 期)专题 05 平面向量(word 版可编辑修改)

研究院[全国]2018高考真题理分类汇编——三角函数与平面向量教师版.docx

2018高考真题分类汇编——三角函数与平面向量1.（2018北京·理）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件1.B2.（2018北京·理）设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 2.233.（2018全国I·理）在中，为边上的中线，为的中点，则（） A ．B ．C ．D ．3.A4.（2018全国II·理）已知向量，满足，，则（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．04.B5.（2018全国II·理）在中，，，，则（） A ．BCD ．5.A6.（2018全国II·理）若在是减函数，则的最大值是（） A ． B ．C ．D ．6.AABC △AD BC E AD EB =u u u r3144AB AC -u u ur u u u r 1344AB AC -u u u r u u u r 3144AB AC +u u u r u u u r 1344AB AC +u u ur u u u r a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ABC △cos 2C =1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π7.（2018全国II·理）已知，，则__________． 7.8.（2018全国III·理）若，则（） A ．B ．C ．D ．8.B9.（2018全国III·理）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（）A ．B ．C ．D ．9.C10.（2018全国III·理）已知向量，，．若，则________．10.11．（2018全国III·理）函数在的零点个数为________．11.312.（2018江苏）已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．12.π6-13.（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为 ▲ ．13.43sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=12-1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=12()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，14.（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ． 14.-315.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（） A1BC ．2D ．215.A16.（2018浙江）在⊥ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ，b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．17.（2018天津·理）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（） (A)在区间35[,]44ππ上单调递增(B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减 17.A18.（2018天津·理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uurAE BE 的最小值为（）(A)2116(B)32(C)2516(D) 318.A19.（2018上海）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （2，0），E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为．19.-320.（2018北京·理）（本小题满分13分）在⊥ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（1）求⊥A ；（2）求AC 边上的高．20.【解析】（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B ．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A ，∴sin A ． ∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A 11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7=，∴AC ．21.（2018全国I·理）（本小题满分12分）在平面四边形中，，，，. （1）求；（2）若，求.21.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由题设知，，所以.由题设知，，所以. （2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得 . 所以.22.（2018江苏）（本小题共14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 22.【解析】（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．又因为，因此．因为，所以，因此，．ABCD 90ADC ∠=o45A ∠=o2AB =5BD =cos ADB ∠DC =BC ABD △sin sin BD ABA ADB=∠∠52sin 45sin ADB=︒∠sin 5ADB ∠=90ADB ∠<︒cos ADB ∠==cos sin 5BDC ADB ∠=∠=BCD △2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=5BC =4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+23.（2018浙江）（本小题13分）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值；（2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 23.【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.24.（2018天津·理）（本小题共13分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值. 24.【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由 πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b ．由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a <c ，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos2sin A B A B A B -=-=1127-=25.（2018上海）（本小题14分）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．25.【解析】（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+）+1=1﹣，∴sin（2x+）=﹣，∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=或x=﹣或x=﹣.。