高二数学基本初等函数的导数公式综合测试题2

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-12学年高中数学122基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习新人教A版选修2-2

-12学年高中数学122基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习新人教A版选修2-2高中数学中的基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

对于这些函数，我们可以利用导数公式和导数运算法则求出它们的导数。

一、常数函数的导数公式和导数运算法则：常数函数的导数恒为零，即对于常数c，有f(x)=c，f’(x)=0。

导数运算法则：常数函数与其他函数进行加减乘除运算时，可以直接将常数提到导数的外面。

二、幂函数的导数公式和导数运算法则：幂函数的导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，f’(x)=n*x^(n-1)。

导数运算法则：1.对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，可以将n视为常数，然后按照常数倍法则进行求导。

2.若幂函数中的指数为常数，则其导数也是幂函数。

三、指数函数的导数公式和导数运算法则：指数函数的导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，f’(x)=a^x*lna。

导数运算法则：1.对于指数函数f(x)=a^x，可以将指数函数转化为自然指数函数进行求导。

2.若指数函数中的底数为常数，则其导数是指数函数乘以底数的自然对数。

四、对数函数的导数公式和导数运算法则：对数函数的导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，f’(x)=1/(x*lna)。

导数运算法则：1. 对于对数函数f(x)=log_a(x)，可以将对数函数转化为自然对数函数进行求导。

2.若对数函数中的底数为常数，则其导数是常数除以自变量的乘积再乘以底数的自然对数的相反数。

五、三角函数的导数公式和导数运算法则：1. sin函数的导数公式：(sinx)’=cosx。

2. cos函数的导数公式：(cosx)’=-sinx。

3. tan函数的导数公式：(tanx)’=sec^2(x)。

4. cot函数的导数公式：(cotx)’=-csc^2(x)。

人教版高二数学《基本初等函数的导数题目》练习

5.2.1 基本初等函数的导＝x3 的切线的斜率等于 3，则切线有( )
A．1 条 B．2 条 C．3 条
D．不确定
2．曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( )
1
A．1
B．2
C．e
D.
e
3．曲线 y＝sin x 在 x＝0 处的切线的倾斜角是( )
1
3
11．(多选)在曲线 f(x)＝上切线的倾斜角为 π 的点的坐标为( )
x
4
A．(1,1)
B．(－1，－1)
( ) 1
C. ，2 2
( )1
D. 2， 2
12．设曲线 y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则 x1·x2·…·xn 的值为( )
1 A.
π
π
π
π
A.
B.
C.
D.
2
3
6
4
4．质点沿直线运动的路程 s 与时间 t 的关系是 s＝5 t，则质点在 t＝4 时的速度为( )
1 A.
25 23
1 B.
105 23
2 C. 5 23
5
1 D. 5 23
10
1 5．直线 y＝ x＋b 是曲线 y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数 b 的值为( )
[C 级拓展探究]
15．求证：双曲线 xy＝a2 上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
9．求下列函数的导数． (1)y＝2；(2)y＝4 x3；(3)y＝10x；
x (4)y＝2cos2 －1.
2 10．已知 P(－1,1)，Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点． (1)求过点 P，Q 的曲线 y＝x2 的切线方程； (2)求与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程．

高二数学导数计算试题答案及解析

高二数学导数计算试题答案及解析1.已知函数，则它的导函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，【考点】复合函数的导数.2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）=2xf′（2）+x3，则f′（2）等于（）. A．﹣8B．﹣12C．8D．12【答案】B.【解析】，；令，则，得.【考点】导数的计算.3.已知函数（1）若在上是增函数，求的取值范围；（2）若在处取得极值，且时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）(－∞，－1)∪(2，＋∞)．【解析】解题思路：（1）利用“若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立”求解；（2）先根据在处取得极值求得值，再将恒成立问题转化为求，解关于的不等式即可.规律总结：若函数在某区间上单调递增，则在该区间恒成立；“若函数在某区间上单调递减，则在该区间恒成立；求函数最值的步骤：①求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值.试题解析:（1）因在上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．＝，∴b≥.设g(x)＝x－3x2，当x＝时，g(x)max（2）由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可因f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－.∵f(1)＝－＋c，f(－)＝＋c，f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，∴f(x)＝f(2)＝2＋c，max∴2＋c＜c 2，解得c＞2，或c＜－1，所以c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).【考点】1.函数的单调性；2.函数的极值、最值；3.不等式恒成立问题.4.记，，…，．若，则的值为 .【答案】【解析】由f（x）=xcosx，得f（1）（x）=cosx﹣xsinx，f（2）（x）=﹣sinx﹣sinx﹣xcosx=﹣2sinx﹣xcosx，f（3）（x）=﹣2cosx﹣cosx+xsinx=﹣3cosx+xsinx，f（4）（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f（5）（x）=4cosx+cosx﹣xsinx=5cosx﹣xsinx，…，则f（0）+f（1）（0）+f（2）+…+f（2013）（0）=0+1+0﹣3+0+5+0﹣…+2013=（1﹣3）+（5﹣7）+…+（2009﹣2011）+2013=﹣2×503+2013=1007，故答案为：1007．【考点】导数的运算．5.为实数，(1)求导数；(2)若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值.【答案】⑴ (2) 最大值为最小值为【解析】⑴将括号打开函数变成多项式函数来求导数;也可利用积的导数法则来求解;(2)由结合(1)的结果可求出a值，从而获得的具体解析式，进而获得导数，令其等于零，求得其可能极值，并求出端点的函数值，比较其大小就可求出在[－2，2] 上的最大值和最小值.试题解析：⑴由原式得∴⑵由得,此时有.由得或x="-1" ,又所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为【考点】1.函数求导;2.函数的最值.6.已知函数在上不单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以或，或，故选A.【考点】函数的单调性与导数.7.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以当时，解得，所以。

同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案

同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案1.函数$y=x^2$在点$x=1$处的导数是2.2.函数$f(x)=(2x+1)^2(4x-2x+1)$的导数是$24x^2-1$。

3.函数$f(x)=(x+2a)(x-a)^2$的导数为$f'(x)=2(x^2-a^2)+2(x-a)\cdot 2x=2(3x^2-2ax-a^2)$。

4.函数$f(x)=1+\sin x$，其导函数为$f'(x)=\cos x$，则$f'(\pi/3)=1/2$。

5.已知函数$f(x)=3x^2$，则$f'(3)=18$。

6.函数$f(x)=(2e^x)+\sin x$的导数是$f'(x)=2e^x+\cos x$。

7.已知$f(x)=\sin x+\cos x+\pi/2$，则$f'(\pi/2)=-1$。

8.已知函数$f(x)=2\sin x+\cos x$，则$f'(\pi)=-2$。

9.已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2$，则$f(x)=\frac{1}{2}x^2+C$，其中$C$为常数。

10.某物体的瞬时速度为0时，$t=2$。

11.已知函数$f(x)=ax^2+b$的图像开口向下，$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=4$，则$a=-2$。

12.已知函数$f(x)=x^4+ax^2-bx$，且$f'(-1)=-13$，$f'(-1)=-27$，则$a+b=-18$。

13.已知函数$f(x)=x\sin x+\cos x$，则$f'(\frac{\pi}{2})=-1$。

14.函数$f(x)=x\mathrm{e}^x$的导函数为$f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x$，所以$f'(x)>0$的解集为$(0,+\infty)$。

人教版数学高二作业基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)(2)

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝cos x1－x 的导数是( )． A.－sin x ＋x sin x(1－x )2 B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2 D.cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是() A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.4．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.答案 1解析 f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c 的值．解因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.因为y′＝2ax＋b，所以曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a＋2b＋c＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝3，b＝－11，c＝9.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础过关1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．已知直线y ＝x ＋b 是曲线y ＝f (x )＝ln x 的切线，则b 的值等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．e答案 A解析设切点的坐标为(x 0，y 0)，y ＝f (x )＝ln x 在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)＝1x 0，所以1x 0＝1，所以x 0＝1，y 0＝0. 又因为(x 0，y 0)在直线y ＝x ＋b 上，故0＝1＋b ，所以b ＝－1.3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2B.12C ．－12D ．－2 答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8)D ．(－12，－18) 答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 ∵f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∴f ′(x )＝8x ＋4a ，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.7．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2s 时的瞬时速度为________．答案 0.4m/s解析 ∵s ＝t 2－2t ＋1，∴s ′＝2t －2，∴v ＝s ′(1.2)＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．二、能力提升8．当函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0＝( ) A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2答案 B解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 9．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝____. 答案 6解析 ∵f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－2f ′(－1)·x ＋1，将x ＝－1代入上式得f ′(－1)＝1＋2f ′(－1)＋1， ∴f ′(－1)＝－2，再令x ＝1，得f ′(1)＝6.10．求曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为____．答案 x ＋2y －3－π6＝0解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴y ′|x ＝π6＝－sin π6＝－12， ∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6，即x ＋2y －3－π6＝0. 11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12．已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3， ∴切线方程为y ＝(3x 20－3)x ＋16，又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x 20－1)x 0＋16，即x 30－3x 0＝3(x 20－1)x 0＋16，解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.三、探究与拓展13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①，②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

人教A版高中数学选修2-2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习习题(含答案解析)

选修2-2 1.2.2 第1课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°.2．设f (x )＝13x 2－1x x ，则f ′(1)等于( ) A ．－16B.56 C ．－76D.76[答案] B3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.4．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193 B.163 C.103 D.133 [答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163. ∴选B.5．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －2 [答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.7．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C [解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22. 9．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] D [解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数 [答案] B[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数．二、填空题11．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________. [答案] 0 －1[解析] f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ －b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1a ＝0. 12．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． [答案] (－1,3) [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.13．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率为______． [答案] －32 [解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 14．已知函数f (x )＝ax ＋b e x图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3，∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x. [解析] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4 ＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x ； (4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. 16．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.① 对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.18．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1若想对任意x 方程都成立，则需 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。

高中数学选择性必修二 5 2 1基本初等函数的导数(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

5.2.1基本初等函数的导数要点一几个常用函数的导数要点二【重点小结】(1)几个基本初等函数导数公式的特点①正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”． ②指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数． ③对数函数的导数等于x 与底数的自然对数乘积的倒数． (2)函数与其导函数奇偶性的关系 ①常数的导数是0.②奇函数的导函数为偶函数． ③偶函数的导函数为奇函数．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2.( ) (2)(log 3x )′＝13ln x.( )(3)⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ′＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x .( ) (4)若y ＝e 3，则y ′＝e 3.( ) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×2．(多选题)下列导数运算正确的是( )A ．(ln x )′＝xB ．(a x )′＝xa x －1C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－5x －6 【答案】CD【解析】由导数公式得C 、D 正确．3．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x ＋y －2＝0 【答案】C【解析】y ′|x ＝0＝e x |x ＝0＝1，即切线斜率为1，又切点为A (0,1)，故切线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0. 4．函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 【答案】1【解析】f ′(x )＝cos x ，所以f ′(6π)＝1.题型一利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y ＝x －3； (2)y ＝3x ；(3)y ＝ x x x ； (4)y ＝log 5x ；(5)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ；(6)y ＝sin π6；(7)y ＝ln x ； (8)y ＝e x .【解析】(1)y ′＝－3x －4；(2)y ′＝3x ln 3；(3)y ＝x ·x ·x 12＝xx 32＝x ·x 34＝x 78，∴y ′＝78x1-8；(4)y ′＝1x ln 5；(5)y ＝sin x ，y ′＝cos x ；(6)y ′＝0；(7)y ′＝1x；(8)y ′＝e x .不能用基本初等函数公式直接求导的，应先化为基本初等函数再求导．【方法归纳】求简单函数的导数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．【跟踪训练1】求下列函数的导数：(1)y ＝lg x ； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (3)y ＝x x ；(4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1. 【解析】(1)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10. (2)y ′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (3)y ′＝(x x )′＝(x32)′＝32x12＝32x ； (4)∵y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .题型二利用导数公式求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程．【解析】∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e ，即切线斜率为1e .∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.【变式探究】本例中的曲线不变，求过点(0,0)的切线方程．【解析】因为点(0,0)不在曲线上，所以设切点Q (a ，b )．则切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝1a，又k ＝b －0a －0＝b a，且b ＝ln a∴a ＝e ，b ＝1，∴切线方程为x －e y ＝0. 【方法归纳】(1)求过点P 的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的；(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．【跟踪训练2】已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 垂直的曲线y ＝x 2的切线方程．【解析】∵y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|0x x ＝＝2x 0，又∵直线PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线垂直于直线PQ ，∴2x 0＝－1，即x 0＝－12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫－12，14.∴所求的切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0.易错辨析混淆幂函数与指数函数求导公式致错【例3】曲线f (x )＝2x 在点(0,1)处的切线方程为________．【答案】y ＝x ln 2＋1【解析】∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝2x ln 2，∴f ′(0)＝ln 2 故所求切线方程为y －1＝(x －0)ln 2 即y ＝x ln 2＋1. 【易错警示】 1.出错原因记错导数公式(a x )′＝a x ln a ，与幂函数y ＝x α的求导公式混淆. 2.纠错心得利用导数公式求导时，应先弄清是指数函数，还是幂函数.一、单选题1．若函数5()(2cos )sin 2f x a x x x =-+（其中a 为参数）在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】先求解函数的导数，再根据函数的单调性建立不等式，将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的值. 【解析】根据题意，()22259cos 2sin 2cos cos 4cos 22f x a x x x a x x '=+-+=-+()f x 在R 上单调递增 ()0f x ∴'≥ 在R 上恒成立令cos x t =，[]1,1t ∈-，则 ()f x '可写为 ()[]294,1,12g t at t t =-+∈-根据题意()g t 在[]1,1-上的最小值非负()()1010g g ⎧-≥⎪∴⎨≥⎪⎩解得 1122a -≤≤，所以选项B 正确故选：B.2．已知函数()tan f x x =，则4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭等于（）A ．12 BC ．1D ．2【答案】D 【分析】先对函数求导，然后求出4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭即可【解析】由()sin tan cos x f x x x ==，得2222cos sin 1()cos cos x x f x x x+=='，所以2124cos4f ππ⎛⎫=='= ⎪⎝⎭，故选：D3．已知函数()()2e e ln ex f x f x '=⋅⋅-（e是自然对数的底数），则()e f 等于（） A ．e 1- B ．21e-C ．1D ．11e-【答案】C 【分析】利用导数的运算可得出关于()e f '的方程，求出()e f '的值，可得出函数()f x 的解析式，进而可求得()e f 的值. 【解析】因为()()2e e ln e xf x f x '=⋅⋅-，则()()2e e 1e f f x x ''=-，所以，()()1e 2e e f f ''=-，所以，()1e e f '=，故()2ln exf x x =-，因此，()e 2lne 11f =-=. 故选：C.4．函数()ln 25y x x =+的导数为（）A ．()2ln 25y x x '=+B ．25xy x '=+ C ．()ln 2525xy x x '=+++ D ．()2ln 2525xy x x '=+++ 【答案】D 【分析】利用复合函数的求导法则，乘法公式的求导法则及基本初等函数的导数公式对函数()ln 25y x x =+求导即可. 【解析】因为()ln 25y x x =+，所以()()()ln 25ln 25ln 25y x x x x x x ''⎡''=+=⎤⎡+++⎤⎣⎦⎣⎦()()()12ln 2525ln 252525xx x x x x x =++⋅⋅+=++++'. 故选：D.5．若()e ln2xf x x =，则()f x '等于（）A ．e e ln 22xx x x+B ．e ln 2xx x -C ．e e ln 2xxx x+D ．12e x x⋅【答案】C 【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；【解析】解：()()()ee ln 2e ln 2e ln 2xxx x f x x x x x'''=⋅+⋅=+.故选：C. 6．函数()1f x x=在2x =和3x =处的导数的大小关系是（） A ．()()23f f ''< B ．()()23f f ''> C ．()()23f f ''= D ．不能确定【答案】A 【分析】求出函数导数即可比较. 【解析】 ()1f x x =，()21f x x '∴=-，所以()()112,349f f ''=-=-，即()()23f f ''<.故选：A.7．给出下列命题：①ln 2y =，则12y ；②21y x=，则3227x y ==-'；③2x y =，则2ln 2x y '=；④2log y x =，则1ln 2y x '=.其中正确命题的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可【解析】①中ln 2y =为常数函数，故0y '=，故①错误；对于②，∵32y x '=-，∵3227x y ==-'，故②正确；显然③④正确. 故选：C.8．下列导数运算正确的是（） A ．()121x x-'=B ．11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．()cos sin x x '=D ．()1ln 1x x x'+=+【答案】D 【分析】利用求导公式和法则逐个分析判断即可【解析】因为()121x x -'=-，11ln 222x x'⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()cos sin x x '=-，()1ln 1x x x '+=+，所以选项A ，B ，C 均不正确，选项D 正确，故选：D.二、多选题9．（多选）以下运算正确的是（）A ．211x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()sin cos x x '=C ．()22ln 2x x '=D ．()1lg ln10x x =-' 【答案】BC 【分析】利用基本初等函数的导数公式，依次计算判断即可【解析】对于A ，因为1211()x x x -'⎛⎫'==- ⎪⎝⎭，所以A 不正确；对于B ，因为()sin cos x x '=，所以B 正确；对于C ，因为()22ln 2x x '=，所以C 正确；对于D ，因为()1lg ln10x x '=，所以D 不正确. 故选：BC.10．下列求导运算不正确的是（） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭C ．()555log x x x '=D ．()2cos 2sin x x x x '=-【答案】ACD 【分析】利用基本初等函数的导数公式和运算法则求解. 【解析】2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错误； 2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确； ()55ln 5xx'=，故C 错误；()22cos 2cos sin xx x x x x '=-，故D 错误．故选：ACD11．下列各式正确的是（） A ．sin cos 33ππ'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()cos sin x x '=C ．()sin cos x x '=D ．'⎛ ⎝【答案】CD 【分析】直接根据导数的运算公式计算即可. 【解析】对于A ，sin 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故错误；对于B ，()cos sin x x '=-，故错误；对于C ，()sin cos x x '=，故正确；对于D ，'⎛=⎝ 故选：CD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。

高二函数求导纯计算练习题

高二函数求导纯计算练习题1.函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求其导数 f'(x)。

解：将函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 分别对 x 的次数进行降幂处理，得到：f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 = 1x^3 - 3x^2 + 2x^1 + 1x^0对于每一项，应用求导法则进行计算：1x^3 的导数为 3x^2- 3x^2 的导数为 -6x^12x^1 的导数为 21x^0 的导数为 0因此，函数 f(x) 的导数 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

2.函数g(x) = √(3x^2 + 4x - 1)，求其导数 g'(x)。

解：首先，将函数g(x) = √(3x^2 + 4x - 1) 写成指数形式：g(x) = (3x^2 + 4x - 1)^(1/2)然后，对指数形式的函数应用链式法则，即先求内函数的导数，再将导数乘以外函数的导数。

对于内函数 u(x) = 3x^2 + 4x - 1，其导数 u'(x) = 6x + 4。

对于外函数 v(x) = u(x)^(1/2)，其导数 v'(x) = (1/2) * u(x)^(-1/2) *u'(x)。

将内函数的导数 u'(x) 替换进去，得到 v'(x) = (1/2) * (3x^2 + 4x -1)^(-1/2) * (6x + 4)。

因此，函数 g(x) 的导数 g'(x) = (1/2) * (3x^2 + 4x - 1)^(-1/2) * (6x + 4)。

3.函数 h(x) = e^x + ln(x)，求其导数 h'(x)。

解：首先，对于函数 h(x) = e^x + ln(x)，每一部分分别应用指数函数与对数函数的求导法则进行计算。

对于 e^x，其导数为 e^x。

对于 ln(x)，其导数为 1/x。

人教版数学高二A版选修2-2学业分层测评基本初等函数的导数公式及导数的运算

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝u n，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2 C．y＝t n，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1 【答案】 A2．若f(x)＝1－x2sin x，则f(x)的导数是()A.－2x sin x－(1－x2)cos xsin2xB.－2x sin x＋(1－x2)cos xsin2xC.－2x sin x＋(1－x2)sin xD.－2x sin x－(1－x2)sin x【解析】f′(x)＝(1－x2)′sin x－(1－x)2·(sin x)′sin2x ＝－2x sin x－(1－x)2cos xsin2x.【答案】 A3．函数y＝x ln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－x2x＋5B．ln(2x＋5)＋2x2x＋5C．2x ln(2x＋5) D.x2x＋5【解析】y′＝[x ln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x·12x＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5.【答案】 B 4．(2016·宁波高二检测)函数f (x )＝x ＋x ln x 在(1,1)处的切线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x －y ＋1＝0 【解析】 ∵f ′(x )＝(x ＋x ln x )′＝1＋x ′ln x ＋x (ln x )′＝1＋ln x ＋1＝2＋ln x ，∴f ′(1)＝2＋ln 1＝2，∴函数f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】 B5．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( )A ．－2sin 2x ＋cos x 2x B ．2 sin 2x ＋cos x 2x C ．－2sin 2x ＋sin x 2x D ．2sin 2x －cos x 2x【解析】 y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′＝－2sin 2x ＋12·1xcos x ＝－2sin 2x ＋cos x 2x. 【答案】 A二、填空题6．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________. 【导学号：60030014】【解析】设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e.∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)．【答案】 (e ，e)7．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2＝－1，∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.【答案】－ 28．(2016·广州高二检测)若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________.【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ， ∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′＝2 sin 2x .【答案】 2sin 2x三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．【解】 (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x )＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x1－2x 2.(2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.10．求曲线y ＝2sin 2x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线方程．【解】因为y ′＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ，所以y ′|x ＝π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝ 3.所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即3x －y ＋12－3π6＝0.[能力提升]1．(2016·长沙高二检测)函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是() A ．2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos 2x －sin 2xC ．sin 2x ＋cos 2xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4【解析】 ∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，故选A.【答案】 A2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】因为y ＝4e x ＋1，所以y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 D3．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为_________________________．【解析】因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.【答案】 5x ＋y －3＝04．已知函数f (x )＝x 3＋1(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围. 【导学号：60030015】【解】 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线， ∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，∴a ≠－12.∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.。

人教新课标版数学高二-人教数学选修2-2练习 .1基本初等函数的导数公式

选修2-2 第一章 1.2 1.2.2 第1课时一、选择题1．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线x ＋4y －8＝0的斜率k ＝－14，∴直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A ．193B ．163C ．103D ．133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.3．(2014·山师附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( )A ． 2B ．－ 2C ．0D ．22[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n的值为( )A ．1nB ．1n ＋1C ．n n ＋1D ．1[答案] B[解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n ，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.则x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.5．(2014·合肥一六八高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.6．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒[答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.二、填空题7．过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程为________． [答案] 2x －3y －2π3＋32＝0[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线斜率是 y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0. [点评] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y ′是否为零，当y ′＝0时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．8．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x ，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．9．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1， ∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2，y 0＝1.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x .(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.一、选择题11．(2014·长春市期末调研)已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A ．－e B ．e C ．－1eD ．1e[答案] D[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e.12．(2014·山师附中高二期中)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2[答案] C[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.13．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．π2B ．0C．钝角D．锐角[答案] C[解析]y′|x＝4＝(e x sin x＋e x cos x)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝2e4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N，则f2013(x)等于()A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x[答案] C[解析]f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，∴4为最小正周期，∴f2013(x)＝f1(x)＝cos x.故选C.二、填空题15．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________.[答案]212[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)...(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)...(0－a8)]′.0＝a1a2 (8)因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.16．(2014·宁夏三市联考)经过点P(2,1)且与曲线f(x)＝x3－2x2＋1相切的直线l的方程是________．[答案]4x－y－7＝0或y＝1[解析]设切点为(x0，x30－2x20＋1)，由k＝f′(x0)＝3x20－4x0，可得切线方程为y －(x 30－2x 20＋1)＝(3x 20－4x 0)(x －x 0)，代入点P (2,1)解得：x 0＝0或x 0＝2. 当x 0＝0时切线方程为y ＝1；当x 0＝2时切线方程为4x －y －7＝0.综上得直线l 的方程是：4x －y －7＝0或y ＝1. 三、解答题17．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为 k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0. 若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．18．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数的解析式．[分析] f (x )在点M 处切线方程为x ＋2y ＋5＝0有两层含义，(一)是点M 在f (x )的图象上，且在直线x ＋2y ＋5＝0上，(二)是f ′(－1)＝－12.[解析] 由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2， ∴－a －61＋b＝－2，(1) 又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，∴f ′(－1)＝－12，∵f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab(x 2＋b )2，∴－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，(2)由(1)(2)解得，a ＝2，b ＝3.(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)． ∴所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。

人教版数学高二A版选修2-2练习 1.2.3基本初等函数的导数及导数的运算法则(二)

第一章导数及其应用1.2 导数的计算1.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）A 级基础巩固一、选择题1．若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．sin αB ．cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α 解析：由f (x )＝sin π3－cos x ，得f ′(x )＝sin x ，所以f ′(α)＝sin α.答案：A2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.103D.133解析：因为f (x )＝3ax 2＋18x ＋6，所以由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163. 答案：B3．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2，8)，则点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解析：切线的斜率即为求y ＝4x 在x ＝2处的值．答案：C4．下列函数中，导函数是奇函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝e xC ．y ＝ln xD ．y ＝cos x －12解析：由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，所以A 错；由y ＝e x 得，y ′＝e x 为非奇非偶函数，所以B 错；C 中y ＝ln x 的定义域为{x |x ＞0}，所以C 错；D 中y ＝cos x －12，y ′＝－sin x 为奇函数，所以选D.答案：D5．设曲线y ＝ax －ln (x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：令f (x )＝ax －ln (x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1. 所以f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.答案：D二、填空题6．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝____．解析：f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x＝1，即2x 2－x －1＝0.解得x ＝－12或x ＝1，又x ＞0，所以x ＝1. 答案：17．设曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________．解析：令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线的斜率为 f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.答案：28．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1，2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是__________________．解析：由题意可知，f ′(－1)＝－3，所以a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，所以－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52， b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 答案：f (x )＝－52x －12e x ＋1 三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝x e x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝2x x 2＋1； (4)y ＝x sin x －2cos x. 解：(1)y ′＝x ′·e x ＋x ·(e x )′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x .(2)因为(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6.所以y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x x 2＋1′＝（2x ）′（x 2＋1）－2x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝ 2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝2－2x 2（x 2＋1）2. (4)y ′＝(x sin x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x . 10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)．即7x ＋y －3＝0.B 级能力提升1．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为() A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1，0)解析：由f(x)＝x2－2x－4ln x得f′(x)＝2x－2－4x＞0，整理得（x＋1）（x－2）x＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又因为f(x)的定义域为{x|x＞0}，所以选项C正确．答案：C2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．解析：因为f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2，所以f′(x)＝2x＋2f′(1)＝2x－4，所以f′(0)＝－4.答案：－43．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．解：因为f(x)的图象过点P(0，1)，所以e＝1.又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.所以b＝0，d＝0.所以f(x)＝ax4＋cx2＋1.因为函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，所以切点为(1，－1)．所以a ＋c ＋1＝－1. 因为f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，所以4a ＋2c ＝1，所以a ＝52，c ＝－92. 所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。

高二数学人教A版习题练习3-2-1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式Word版含答案

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二十几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式【基础全面练】 (20分钟 35分) 1．(2021·嘉峪关高二检测)有下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4 ′＝cos π4 ；③若y ＝1x 2 ，则y′|x ＝3＝－227 ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x . 其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】选C.因为(cos x)′＝－sin x ，所以①错误；因为sin π4 ＝22 ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫22 ′＝0，所以②错误；因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ′＝(x －2)′＝－2x －3，所以y′|x ＝3＝－227 ，所以③正确；因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝(－x 12-)′＝12 3-2x ＝12x x，所以④正确．2．曲线y ＝1x 在点P 处的切线的斜率为－4，则点P 的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2【解析】选B.y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2 ，由－1x 2 ＝－4，解得x ＝±12 .所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 .3．已知f(x)＝x a ，若f′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5【解析】选A.f′(x)＝ax a －1，f′(－1)＝a(－1)a －1＝－4. 当a ＝4时，a －1＝3，则f′(－1)＝－4成立．当a ＝－4时，f′(－1)＝4，与题意不符．同理，a ＝5和－5时，与题意也不符．4．已知函数f(x)＝sin x 的导函数为f′(x)，则f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝________．【解析】由f(x)＝sin x ，得f′(x)＝cos x ，所以f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝cos π2 ＝0.答案：05．曲线y ＝cos x 在点x ＝π2 处的切线方程为________.【解析】因为cos π2 ＝0，即求曲线y ＝cos x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 处的切线方程，y′＝－sin x ，当x ＝π2 时，y′＝－1.所以切线方程为y ＝－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2 ，即x ＋y －π2 ＝0. 答案：x ＋y －π2 ＝0 6．求下列函数的导数：(1)y ＝10. (2)y ＝x 10. (3)y ＝3x 2 . 【解析】(1)y′＝10′＝0. (2)y′＝(x 10)′＝10x 10－1＝10x 9.(3)y′＝23(x )′＝23 x 213－＝23 x 13-.【综合突破练】 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1．如果一个物体的运动方程为s ()t ＝t 3()t>0 ，其中s 的单位是千米，t 的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是( ) A ．12千米/小时 B ．24千米/小时C．48千米/小时D．64千米/小时【解析】选C.由v＝s′()t＝3t2，则当t＝4时，v＝48.2．已知函数f(x)＝e x(e是自然对数的底数)，则函数f(x)的导函数f′(x)的大致图象为()【解析】选A.因为f(x)＝e x，所以f′(x)＝e x，所以f′(x)的大致图象为A.3．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n＝()A．1 B．3 C．2 D．4【解析】选B.y′＝nx n－1，因为y′⎪⎪x＝2＝12，所以n·2n－1＝12.检验知n＝3时成立．4．若曲线y＝x 在点P(a， a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是()A．4B．－4C．2D．－2【解析】选A.y′＝12x ，y′|x＝a＝12x|x＝a＝12a，所以切线方程为y－ a ＝12a(x－a).令x＝0，得y＝a2，令y＝0，得x＝－a.由题意知S ＝12 ×a×a2 ＝2，解得a ＝4.5．若幂函数f(x)＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 ，则它在点A 处的切线方程是( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝0【解析】选C.因为函数f(x)＝mx α为幂函数，所以m ＝1.又幂函数f(x)＝x α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 ，所以α＝12 ，所以f(x)＝12x ，f′(x)＝12x，f′⎝ ⎛⎭⎪⎫14 ＝1，所以f(x)的图象在点A 处的切线方程为y －12 ＝x －14 ，即4x －4y ＋1＝0.二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知f(x)＝x 3，g(x)＝e x ，则f′(g′(－1))＝________．【解析】因为f(x)＝x 3，g(x)＝e x ，所以f′(x)＝3x 2，g′(x)＝ e x，所以g′(－1)＝1e ，故f′(g′(－1))＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝3e 2 . 答案：3e 27．函数f(x)＝cos 2x 2 －sin 2x 2 的图象上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是________．【解析】因为f(x)＝cos 2x 2 －sin 2x2 ＝cos x ，所以f′(x)＝－sin x ．设P(x 0，y 0)是函数f(x)的图象上任意一点，则点P 处的切线的斜率k ＝f′(x 0)＝－sin x 0∈[－1，1].设切线的倾斜角为θ，则－1≤tan θ≤1, 于是θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π . 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【补偿训练】曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， 32 处的切线方程为__________.【解析】因为y′＝(cos x)′＝－sin x ，所以y′⎪⎪⎪x ＝π6＝－sin π6 ＝－12 ，所以在点A 处的切线方程为y －32 ＝－12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6 ，即x ＋2y －3 －π6 ＝0. 答案：x ＋2y －3 －π6 ＝08．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f′0(x)，f 2(x)＝f′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f′n (x)，n ∈N ，则f2 020(x)等于__________．【解析】因为f0(x)＝sin x，所以f1(x)＝f′0(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f′1(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f′3(x)＝(－cos x)′＝sin x，所以4为最小正周期，所以f2 020(x)＝f0(x)＝sin x.答案：sin x三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列函数的导数．(1)y＝2sin x2cosx2.(2)y＝3x.(3)y＝log5x.【解析】(1)因为y＝2sin x2cos x2＝sin x，所以y′＝(sin x)′＝cos x.(2)y′＝(3x)′＝3x ln 3.(3)y′＝(log5x)′＝1x ln 5.10．已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．【解析】不存在．理由如下：由于y1＝sin x，y2＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x 0，y 0)，所以两条曲线在P(x 0，y 0)处切线的斜率分别为k 1＝y′1| 0x x ＝＝cos x 0，k 2＝ y′2|x x ＝＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．【创新迁移练】1．已知(cf(x))′＝cf′(x)，其中c 为常数．若f(x)＝ln 5log 5x ，则曲线f(x)在A(1，0)处的切线方程为________．【解析】由已知得f′(x)＝ln 51x ln 5 ＝1x ，所以f′(1)＝1，在A 点处的切线方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝02．设点P 是曲线y ＝e x 上的任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【解析】根据题意，设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点P(x 0，y 0)，该切点即为到直线y ＝x 距离最近的点，如图所示．则曲线y＝e x在点P(x0，y0)处的切线的斜率为1，即y′＝1.因为y′＝(e x)′＝e x，x x0=所以0x e＝1，得x0＝0，代入y＝e x，得y0＝1，即P(0，1).利用点到直线的距离公式得点P到直线y＝x＝222.关闭Word文档返回原板块。

人教新课标版数学高二-人教数学选修2-2练习 .1基本初等函数的导数公式(备选)

选修2-2 第一章 1.2 1.2.2 第1课时1．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A ．π22B ．π2C ．2π2D ．12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22. 2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝4x －5C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝－3x ＋2 [答案] D[解析] y ′＝3x 2－6x ，∵(1，－1)在曲线y ＝x 3－3x 2＋1上，且k ＝y ′|x ＝1＝－3，从而切线方程为y ＋1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2，故选D.3．(2014·秦安县西川中学高二期中)函数f (x )＝－x 3＋3x 的单调增区间为( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，0)[答案] C[解析] f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x ＋1)(x －1)，由f ′(x )>0得－1<x <1，故选C.4．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1 [解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3，∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1.5．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．[答案]2x－y＋1＝0[解析]∵点(1,3)在曲线y＝x3－x＋3上，y′＝3x2－1，∴曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线的斜率为y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.。

高二数学导数相关练习题

高二数学导数相关练习题1. 设函数f(x)=2x^3+3x^2-12x+1，求f'(x)。

解：对于多项式函数f(x)，求导数的方法是对每一项分别求导，然后将各项的导数相加。

f'(x) = (2x^3)' + (3x^2)' + (-12x)' + (1)'首先，求导数x^n的规律为：(x^n)' = nx^(n-1)。

根据此规律，我们可以得到：(2x^3)' = 2 * 3x^(3-1) = 6x^2(3x^2)' = 3 * 2x^(2-1) = 6x(-12x)' = -12(1)' = 0（常数项的导数为0）将上述结果相加后，得到f'(x)的表达式为：f'(x) = 6x^2 + 6x - 122. 已知函数y = e^(2x)，求y'(x)。

解：对于指数函数y = e^x，求导数的方法是用自然对数e为底，对指数求导。

y'(x) = (e^(2x))'根据链式法则，对于复合函数e^(2x)，求导数的方法是先对指数求导，再将指数的导数与e的导数相乘。

因此，(e^(2x))' = 2e^(2x)将上述结果代入原式，得到y'(x)的表达式为：y'(x) = 2e^(2x)3. 已知函数f(x) = ln(x^2 + 1)，求f'(x)。

解：对于自然对数函数f(x) = ln(x)，求导数的方法是使用倒数法则。

根据倒数法则，ln(x)' = 1/x。

在此题中，需要使用链式法则对复合函数x^2 + 1求导。

因此，f'(x) = (ln(x^2 + 1))'根据链式法则，(ln(x^2 + 1))' = (1/(x^2 + 1)) * (x^2 + 1)'求导得到：(x^2 + 1)' = 2x将上述结果代入原式，得到f'(x)的表达式为：f'(x) = (2x)/(x^2 + 1)4. 已知函数y = sin(x)，求y'(x)。