第1课时 数 列
高考数学一轮复习第6章数列第1课时数列的基本概念课件理
∴an＝32＋·3nb－1
（n≥2）， （n＝1）.
【答案】 (1)an＝4n－5 (2)当 b＝－1 时，an＝2·3n－1；当 b≠
－1 时，an＝32＋·3nb－1
（n≥2）， （n＝1）.
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★状元笔记★ 已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1求a1的值； (2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式； (3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段 表示an； (4)写出an的完整表达式．
5．(2018·沧州七校联考)设函数{an}通项为an＝
2
＋cos
nπ 3
(n∈N*)，又k∈N*，则( )
A．ak＝ak＋3 C．ak＝ak＋5
B．ak＝ak＋4 D．ak＝ak＋6
答案 D
12/11/2021
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6．观察下列各图，并阅读图形下面的文字．像这样，10 条 直线相交，交点的个数最多是( )
a10－a9＝9. 累加得 a10－a2＝2＋3＋…＋9，∴a10＝1＋2＋3＋…＋9＝45.
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12/11/2021
授人以渔
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12/11/2021
题型一 归纳通项公式 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，… (2)0.8，0.88，0.888，… (3)1，0，13，0，15，0，17，0，… (4)32，1，170，197，…
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【解析】 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各
项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝
4.3.1等比数列的概念(第1课时等比数列的概念及通项公式)课件高二上学期数学人教A版选择性
1 = 3,
1 = 6,
解(1)设{an}的公比为 q,则
3 解得
1 所以{an}的通项公式为
4
1 = 8 ,
= 2,
an=6×
1 -1
.
2
(2)由a2=4,q=2,得a1=2,所以2×2n-1=128,解得n=7.
(3)设{an}的公比为 q.
的 公比
,公比通常用字母q表示(显然q≠0).
名师点睛
对等比数列定义的理解
(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等
比数列的基本特征).
(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠
倒.
(4)等比数列中的任何一项均不能为零.
a1qn-1
.
名师点睛
已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的
三个,可以求得第四个量.
思考辨析
已知等比数列{an}的通项公式an=2×3n,那么这个数列的首项和公比分别
为多少?
提示 首项a1=6,公比q=3.
自主诊断
[人教B版教材习题]已知{an}为等比数列,填写下表.
1 + 1 4 = 18,
(方法 1)由已知,得
1 2 + 1 5 = 9,
1 = 32,
1
6
解得
故 a7=a1q =32×
1
2
= ,
6
2
(方法 2)因为 a3+a6=q(a2+a5),所以
人教版二年级上册数学(新插图) 第1课时 简单的排列 教学课件
R·二年级上册
21 12
数学王国的大密门码打是开 了由，1和一2起组进成去的看。看吧。
森林王国选国王啦，要答对下面的题才可以！
用1、2和3组成两位数，每个两位数的十位 数和个位数不能一样，能组成几个两位数？
是6个才对，
有3个，国王 一定是我！
国王是我！
和 ，谁才能当上国王？
【教材P97 例1】
用1、2和3组成两位数，每个两位数的十位 数和个位数不能一样，能组成几个两位数？
想一想 题目要求的是什么？该怎么做呢？
我我摆用得卡有片点摆乱一。摆。
123
能组成 6 个两位数。
我按发规现律1写和就2可不以会组 成乱不了同，的看两我位的数！。
能组成 6 个两位数。
怎样做才能不重不漏？
有序 思考
巩固练习
一、在下面三张卡片中任选两张组成的两位数，并在数位表 中一一列举出来。
26
28
6
62
68
82
86
巩固练习
28
4
20
82
80
巩固练习
三、林林帮妈妈把盐、糖、鸡精三种调料倒进调 味盒的格子里，一个格子里倒一种ຫໍສະໝຸດ 不重复，共 有（ 6 ）中不同的倒法。
巩固练习
四、你能用 0 、 3 、 6 这三张数字组成（4 ）个 不同的两位数，其中最大的数是（ 63 ），最小
①②
①②
②① 答：2名同学两种坐法。
No Image
①②③
①②③ ①③② ②①③ ②③① ③①② ③②①
答：3名同学有6种坐法。
1
2
3.从下面3本书中选2本，送给小丽、小清各1本，
高中数学选择性必修二 4 1第1课时数列的概念与简单表示
(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.
(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是an=n2.
(+1)
.
2
1
an= .
(7)数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是 an=
1 1 1
2 3 4
(8)数列 1, , , ,…的一个通项公式是
4.1
数列的概念
第1课时
数列的概念与简单表示
课标阐释
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.(逻辑
推理)
2.掌握数列的分类.(数学抽象)
3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的
方法.(逻辑推理)
4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据
数列的前几项写出数列的一个通项公式.(数学
运算)
思维脉络
名师点析(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的
有限子集){1,2,…,n}为定义域的函数表达式.
(2)并不是所有的数列都有通项公式.
(3)同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列
-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ
数列的概念与表示
数列的定义
数列的表示
数列的分类
数列的函数特征
数列的通项公式
激趣诱思
知识点拨
古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长;辍学如磨刀之石,不
见其损,日有所亏.”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日
的高度值按日期排在一起,可组成一个数列.同样,对“磨刀之石”用
高中数学：第2章 数列 §2.1-第1课时
第二章 数列§2.1 数列的概念与简单表示法第1课时 数列的概念与通项公式1.下列说法中正确的是A.数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B.数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列C.数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D.数列0，2，4，6，…可记为{2n }解析 {1，3，5，7}是一个集合，故选项A 错；数虽相同，但顺序不同，不是相同的数列，故选项B 错；数列0，2，4，6，…可记为{2n －2}，故选项D 错，故选C. ★答案★ C2.已知数列{a n }为1，0，1，0，…，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的有 (1)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]；(2)a n ＝sin 2n π2；(3)a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)；(4)a n ＝1－cos n π2；(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n 为奇数），0（n 为偶数）.A.1个B.2个C.3个D.4个解析 对于(3)，将n ＝3代入，则a 3＝3≠1，易知(3)不是通项公式.根据三角中的半角公式可知(2)和(4)实质是一样的，都可作为数列{a n }的一个通项公式.数列1，0，1，0，…的通项公式可猜想为a n ＝12＋12×(－1)n ＋1，即为(1)的形式.(5)是分段表示的，也为数列的一个通项公式.故选D.★答案★ D3.在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于 A.11B.12C.13D.14解析 观察数列可知，后一项是前两项的和， 故x ＝5＋8＝13. ★答案★ C4.数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________.解析 ∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，∴a n ＝3n －2， ∴a 26＝3×26－2＝76＝219. ★答案★ 2195.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项.解析 令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项.★答案★ 4[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.下列有四个结论，其中叙述正确的有①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；③数列若用图象表示，它是一群孤立的点；④每个数列都有通项公式.A.①②B.②③C.③④D.①④解析数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确.★答案★ B2.数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是A.a n＝n－2n B.a n＝n－1nC.a n＝n－1n＋1D.a n＝n－2n＋2解析已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n＝n－1n＋1.★答案★ C3.已知数列12，23，34，…，nn＋1，则0.96是该数列的A.第20项B.第22项C.第24项D.第26项解析由nn＋1＝0.96，解得n＝24.★答案★ C4.已知数列{a n}的通项公式a n＝nn＋1，则a n·a n＋1·a n＋2等于A.n n ＋2B.n n ＋3C.n ＋1n ＋2D.n ＋1n ＋3解析 a n ·a n ＋1·a n ＋2＝n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3.故选B. ★答案★ B5.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是 A.15 B.5C.6D.log 23＋log 31325解析 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132 ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5. ★答案★ B6.(能力提升)图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为 A.3n －1B.3nC.3n ＋1D.3(n ＋1)解析 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根).★答案★ C二、填空题(每小题5分，共15分)7.在数列－1，0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项.解析 令n －2n 2＝0.08，解得n ＝10⎝⎛⎭⎫n ＝52舍去，即为第10项. ★答案★ 108.若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n ，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________.解析 根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项. 因为a n ＝3－2n ，所以a 2n ＝3－22n ＝3－4n ， a 2a 3＝3－223－23＝15. ★答案★ 3－4n159.(能力提升)如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.解析 因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，所以a n ＝n . ★答案★n三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，13，…； (2)53，( )，1715，2624，3735，…； (3)2，1，( )，12，…；(4)32，94，( )，6516，…. 解析 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓912 812 712 ( ) 512 412于是括号内填612，而分子恰为10减序号，故括号内填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差.故括号内填108， 通项公式为a n ＝（n ＋1）2＋1（n ＋1）2－1.(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以括号内应填318，数列的通项公式为a n ＝n ＋12n .11.(12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2 017；(3)2 018是否为数列{a n }中的项？解析 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2. (2)a 2 017＝4×2 017－2＝8 066.(3)令2 018＝4n －2，解得n ＝505∈N *， ∴2 018是数列{a n }的第505项.12.(12分)(能力提升)数列{a n }中，a n ＝n 2n 2＋1.(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内； (3)区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列的项？若有，有几项？ 解析 (1)a 7＝7272＋1＝4950.(2)证明 ∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1，∴0<a n <1，故数列的各项都在区间(0，1)内.(3)因为13<n 2n 2＋1<23，所以12<n 2<2，又n ∈N *，所以n ＝1，即在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有且只有一项a 1.。
人教B版高中数学选择性必修第三册精品课件 复习课 第1课时 数列
1-q
1-q
(1)通项公式的推广:an= amqn-m (n,m∈N+).
(2)若 s+t=p+q=2k(s,t,p,q,k∈N+),则 asat= apaq =2 .
等比数列
的常用性
质
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则
{λan},
1
2
,{
},{a
nbn},
式
上述关系式为这个数列的一个通项公式
如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项
数列的递推公
以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数
式
列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)
一般地,给定数列{an},称Sn= a1+a2+a3+…+an 为数列{an}
的前n项和.由数列的前n项和为Sn,求其通项公式
设等差数列{an}的公差为d,其前n项和
n(a 1 +a n )
n(n-1)
2
2
Sn=
或 Sn=na1+
d
(1)通项公式的推广:an= am+(n-m)d (n,m∈N+).
(2)若数列{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则
ak+al=am+an.
(3)若数列{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差
【例 3】 已知数列{an}满足
解:在
1
1 +1
an+1= an+
两边分别乘以
3
2
n
第1课时 数列的概念及通项公式
《第1课时数列的概念及通项公式》一、学习目标1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．二、导学指导与检测课前预习课本（1-3）页知识点一数列及其有关概念1．一般地，我们把按照排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第个位置上的数叫做这个数列的第项，用a n表示．其中第1项也叫做．2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{ }．思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？知识点二数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列知识点三函数与数列的关系数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为a n＝f(n)．课前预习课本（4-5）页知识点四数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列常数列各项都的数列知识点五通项公式1．如果数列{a n}的第n项a n与它的之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的．2．通项公式就是数列的，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．思考既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？1．1,1,1,1是一个数列．()2．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．()3．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．()4．a n与{a n}表达不同的含义．()课内探究一、数列的有关概念和分类例1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；(4)13，19，127，181，…；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….反思感悟(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)－1，12，－13，14；(2)12，2，92，8；(3)0,1,0,1；(4)9,99,999,9 999.三、数列通项公式的简单应用三、巩固诊断1．(多选)下列说法正确的是()A．数列可以用图象来表示B．数列的通项公式不唯一C．数列中的项不能相等D．数列可以用一群孤立的点表示2．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是()A．a n＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B．a n＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C．a n＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D．a n＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*3．数列23，45，67，89，…的第10项是()A.1617 B.1819 C.2021 D.22234．设a n＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋1n2(n∈N*)，则a2等于()A.14 B.12＋13 C.12＋13＋14 D.12＋13＋14＋155．323是数列{n(n＋2)}的第________项．6．若数列{a n}的通项公式是a n＝3－2n，n∈N*则a2n＝________；a2a3＝________.7．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2 020－3n，则使a n>0成立的正整数n的最大值为________．8.写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，85，－157，249，….9.在数列{a n}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a2 020；(3)2 020是否为数列{a n}中的项？四、堂清、日清记录今日之事今日毕日积月累成大器。
人教版(2024数学七年级上册3.1 第1课时 字母表示数
书写规范 ①在含有字母的式子中如果出现乘号，通常 将数放在字母前面，乘号写作“ ·”或省略不写．
背景：某品牌苹果采摘机器人可以 1 s 完成 5 m2
范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采
摘，它的一个机械手 8 s 可以采摘一个苹果.
(2) 该机器人识别 n m2 范围内的苹果需要多少秒?
工作时间 = 工作量÷工作效率
总结 用字母表示数后，同一个代数式可以表示不
同实际问题中的数量或数量关系.
典例精析
例2 说出下列代数式的意义：
c
(1) 2a＋3； (2) 2(a＋3)； (3) ab ； (4) x2＋2x＋8. 解：(1) 2a＋3 的意义是 a 的 2 倍与 3 的和；
(2) 2(a＋3) 的意义是 a 与 3 的和的 2 倍； (3) c 的意义是 c 除以 a，b 的积的商；
1 103600 1 3600 4500 3600
8
m
m
用字母表示 数量关系
合作探究
用含有字母的式子表示数量和数量关系的问题. (1) 一条河的水流速度是 2.5 km/h. 船在静水中的速度是 v km/h，用式子表示船在这条河中顺水行驶的速度；
分析：行船问题 顺水时 船的速度＝船在静水中的速度＋水流速度 逆水时 船的速度＝船在静水中的速度－水流速度
n 用字母表
5
示数
书写规范
②除法运算写成分数形式，即除号改为分数线.
(3) 若该机器人搭载了 10 个机械手，它与采摘工人同 时工作 1 h，假设工人 m s 可以采摘一个苹果，则机 器人可比工人多采摘多少个苹果?
分析：机器人多采摘苹果个数
＝ 机器人采摘的苹果个数 一 工人采摘的苹果个数
数列(第1课时)(教学课件)高二数学同步备课系列(人教A版2019选修第二册)
课本练习
1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象:
(1) 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列;
(2) 当自变量x依次取1, 2, 3, ‧‧‧时，函数f(x) =2x +1的值构成的数列;
2， n为奇数
(3) 数列的通项公式为an
.
n 1，n为偶数
1 1 1 1 1 1 1 1 1
f(1)， f(2) , ···, f(n), ···就是数列{an}. 另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n)
(n∈N*)有意义，那么f(1)， f(2) , ···, f(n), ···构成了一个数列{f(n)}.
与函数类似，我们可以定义数列的单调性：
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增
2.由数列的一个通项公式
写出数列的前几项
典例
例1 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，
并画出它们的图象.
n2 n
( n 1)
(1) an
； (2) an cos
.
2
2
解：(1) a1 1,a2 3,a3 6,a4 10.
(2) a1 1,a2 0,a3 1,a4 1.
1
1
1
1
记第个数为 ，那么1＝ − 2 ，2＝ 4，3＝ − 8，4＝ 16，….这里， 中
1
的反映了− 2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……的顺序排列时的确定位
1
1
1
置，即1＝ − 2是排在第1位的数，2＝ 4是排在第2位的数，3＝ − 8是排在第
3位的数，…，它们之间不能交换位置.
注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121.
第一章 数列§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和 北师大版 必修五.
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的 和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并 使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成 等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会 从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认 识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教 学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的 思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美
人教版高一数学 数列第一课时
人教版高一数学数列第一课时
第三章数列（第一课时）
人教版全日制普通高中教科书（必修）数学第一册
教学目标
【探究性学习目标】
探究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。
目的在于培养学生的创新精神和创造能力。
它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过程。
从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成，教师不可代替，但作为组织者，可提供必要指导。
【学科知识目标】
通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式。
进一步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．形成知识网络，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。
加强知识间的鉴别与联系。
【能力目标】
在解决问题的过程中，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力和实践能力。
【德育目标】
通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．增强爱国情感、环保意识，激发学生为国富民强而勤奋学习的精神。
【情感目标】。
高中数学第四章数列1第1课时数列的概念与简单表示法课件新人教A版选择性必修2
若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 【解析】选A.an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0， 所以an＋1>an，即{an}是递增数列．
D．摆动数列
【补偿训练】已知下列数列：
(1)0，0，0，0，0，0；
(2)0，－1，2，－3，4，－5，…；
2．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式． (2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论． 【解析】(1)因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， 所以有2log2an－2－log2an＝－2n， 即an－a1n ＝－2n， 所以an2 ＋2nan－1＝0， 解得an＝－n± n2＋1 .
【解析】由数列中项的多少可知(1)是有穷数列，(2)(3)(4)(5)是无穷数列，根据数 列单调性的定义知(3)是递增数列，(4)是递减数列，(1)是常数列，(2)(5)是摆动数 列． 答案：(1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
探究点二 用观察法求数列的通项公式
A．1，13 ，312 ，313 ，…
B．sin
π 13
，sin
2π 13
，sin
3π 13
，sin
4π 13
，…
C．－1，－12 ，－13 ，－14 ，…
D．1，2，3，4，…，30
【思维导引】(1)根据数列的定义去判断． (2)根据无穷数列和递增数列的定义逐一判断四个选项，即可得正确答案．
【解析】(1)选C.A中的{1，2，3，5，7}表示集合而不是数列，故A错，B中的两 个数列是不同的两个数列，因为1，0，－1，－2这四个数的顺序不一样，故B错 误，数列0，2，4，6，8，…，可记为{2(n－1)}，而不是{2n}，故D错．
第1课时 数列的概念及通项公式选择性必修第二册
它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做 摆动数列 .
新知探索
数列的通项公式
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与
它的序号n之间的对应关系可以
用一个式子来表示,那么这个式
子叫做这个数列的通项公式.
点睛：(1)数列的通项公式实际上是一
个以正整数集N*( 或它的有限子集
{1,2,…,n}为定义域的函数表达式.
(2)并不是所有的数列都有通项公式.
(3)同一数列的通项公式,其表达形式
可以是不唯一的,例如数列
-1,1,-1,1,-1,1,…的通项公式可以写成
an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等.
典例精析
题型一：数列的分类
上升(下降)趋势，即数列递增(减).
典例精析
题型二：归纳通项公式
例2
写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1 1
1
(1)1，－ ， ，－ ；
2 3
4
解
1
9
(2) ，2， ，8；
2
2
(1)这个数列的前4项的绝对值都是 (2)数列的项，有的是分数，
序号的倒数，并且奇数项为正，
偶数项为负，
新知探索
数列的定义
观察下列示例，回答后面问题．
1 1 1 1 1
(1)正整数 1,2,3,4,5,6 的倒数依次是 1， ， ， ， ， .
2 3 4 5 6
(2)－2 的 1 次幂，2 次幂，3 次幂，4 次幂依次是－2,4，－8,16.
(3)人们在 1740 年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔 83 年
2.1.1 数列的概念与简单表示法
奇数项都为负，且分子都是1，偶数项都为正，且分子
都是3，分母依次是1，2，3，4，…正负号可以用
(-1)n调整.
an
3
n
1 (n n (n
2k 1)， 2k)，其中k
N
. *
由于1=2-1，3=2+1，所以数列的通项公式可合写成
an= (1)n 2 (1)n .
2.(1)这个数列各项的整数部分分别为1，2，3，4，
…，恰好是序号n；分数部分分别为 1，2，3，4，…，与序
2345
号n的关系是
n
n
1
，所以这个数列的一个通项公式是an=
n n n2 2n . n 1 n 1
(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的
正奇数；考虑(-1)n具有转换符号的作用，所以数列的一
5，那么可以叫做数列的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.按照数列定义得出四种形式均为数列.
3.已知数列 3， 5 ， 7 ， 9 ， a b ，…，根据前三项给
2 4 6 a b 10
出的规律，则实数对(a，b)可能是( )
A.(19，3) C.( 19，3 )
22
B.(19，-3) D.( 19， 3 )
个通项公式为an=(-1)n(2n-1).
(3)数列1，0，1，0，…的通项公式为 (1)n1 1，数列
2
0，1，0，1…的通项公式为 (1)n 1 ，因此数列a，0，
2
a，0…的通项公式为 (1)n1 1a ，数列0，b，0，b，…
2
的通项公式为 (1)n 1b ，所以数列a，b，a，b，a，b，
数列的概念(第一课时)课件高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
叫做递减数列。
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
数列是特殊的函数
新知讲解
（1）按照数列定义判断，1,3,5,7是一个数列，7,5,3,1也是一个
数列，这两个数列是不是同一个数列？为什么？
（2)1,1,1,1,1，…是不是一个数列？为什么？
常数列
问题5 请同学们结合数列的定义，回答上面的问题；
实例一：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数： 165
162
158
153
, , , , , , , , ,
145
, , , , , , ,
138
128
120
问题1 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
、
、− 、 ...，数列的通项公式吗？
= −
通项公式为数列的函数解析式 , 根据通项公式可以写出数列各项
例题讲解
例1 根据下列数列{ }的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们
的图象.
+
；
(1) =
(2) =
−
.
(1)当通项公式中的n=1，2，3，4，5
从第1天到第15天每天月亮可见部分的数∶5，10，20，40，80，
96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
问题2 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
记第天月亮可见部分的数为，那么s1=5，s2=10，…，s15=240。
所以，不能交换位置，并且具有确定的顺序。
是连续变化的,
而数列是自变量为离散的
2021_2022学年新教材高中数学第4章数列4.1第1课时数列的概念及简单表示法课件苏教版选择性必
表示方法
(1)通项公式(解析法)；(2)_列__表__法_；(3)图__象__法__
2．数列的通项公式 an＝f(n)与函数解析式 y＝f(x)有什么异 同？
[提示] 如图，数列可以看成以正整数集 N*(或 它的有限子集{1，2，…，k})为定义域的函数，an ＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所 对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的 n 必须是从 1 开始且连续的正整数，函数的定义域 可以是任意非空数集．
[解] (1)各项加 1 后，变为 10，100，1 000，10 000，…，新数 列的通项公式为 10n，可得原数列的一个通项公式为 an＝10n－1．
(2)数列各项的绝对值为 1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数， 其通项公式为 2n－1，考虑到(－1)n＋1 具有转换正、负号的作用，所 以数列的一个通项公式为 an＝(－1)n＋1(2n－1)．
所以 20 是该数列的第 10 项．
2．(变条件，变结论)若将例题中的“an＝3n2－28n”变为“an＝
n2＋2n－5”，试判断数列{an}的单调性． [解] ∵an＝n2＋2n－5， ∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5) ＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3． ∵n∈N*，∴2n＋3>0， ∴an＋1>an． ∴数列{an}是递增数列．
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对 n 进行取值，然后 代入通项公式，相当于函数中已知函数解析式和自变量的值求函数 值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是由通项公式等于 这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数 列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是 N*(或它的有限子集{1，2，3，…，k})这一约束条件．
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第五章
数列
栏目导引
【变式训练】 2.由下列数列{an}的关系求数列{an}的通项公式， (1)a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)； (2)已知数列{an}前n项和为Sn，且Sn＝2·5n－2.
解析： (1)由题意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…， a3－a2＝3，a2－a1＝2. 将上述各式累加得，an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2，即 n(n＋1) an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝ 2 ， n(n＋1) 故 a n＝ . 2
1 1 1 1 解析： 由 a1＝ ，an＋1＝ 得 a 2＝ ＝2，a3＝ ＝－1， 2 1－an 1－a1 1－a2 1 1 1 1 a 4＝ ＝ ，a ＝ ＝2，…，于是 a3n＋1＝2，a3n＋2＝2，a3n＋3＝－1， 1－a3 2 5 1－a4 1 因此 a2 011＝a3×670＋1＝ ，故选 A. 2
第五章
数列
栏目导引
3.数列与函数的关系 (1)从函数观点看，数列可以看成是以 正整数集N＋(或N＋的有限子 集{1,2,3，…，n}) 为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大 的顺序依次取值时所对应的一列 函数值 (2)数列同函数一样有 解析法 方法． 、 ． 图象法 、 列表法 三种表示
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第五章
数列
栏目导引
知识点
考纲下载 1.理解等比数列的概念． 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
等比数列
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有 关知识解决相应的问题． 4.了解等比数列与指数函数的关系．
数列求和
掌握等差、等比数列前n项和公式.
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第五章
数列
栏目导引
第五章 数
答案： D
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第五章
数列
栏目导引
n ，则 0.98 是它的第________项． 4．已知数列 2 n ＋1
2
n2 49 解析： 2 ＝0.98＝50，∴n＝7. n ＋1
答案： 7
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第五章
数列
栏目导引
5．数列{an}中，an＝
，Sn＝9，则 n＝________. n＋ n＋1
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第五章
数列
栏目导引
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，…，易看出第 2,3,4 项的绝对值的 分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－ 21－3 22－3 23－3 24－3 ， 2 ，－ 3 ， 4 ，…， 21 2 2 2 2n－3 ∴an＝(－1) · n . 2
n
2－3 ，至此原数列已化为－ 2
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第五章
数列
栏目导引
n 1 3．若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝ ，则 ＝( a5 n＋1 A. C. 5 6 B. 6 5
)
1 30
D．30
n－1 n 1 1 解析： 当 n≥2 时， n＝Sn－Sn－1＝ a － n ＝ ， 所以a ＝ n＋1 n(n＋1) 5 5×6＝30.
解析： (1)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋5＋2 ＝ 2＋3n－1 n(3n＋1) ×n＝ (n≥2)． 2 2
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第五章
数列
栏目导引
1 当 n＝1 时，a1＝ ×(3×1＋1)＝2 符合公式， 2 3 n ∴an＝ n2＋ . 2 2 (2)∵an＝ n－1 a (n≥2)， n n－ 1
an≥an－1 an≤an－1 或 ，也可以转化为函数最值问题或利用数形结合． an≥an＋1 an≤an＋1
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第五章
数列
栏目导引
(2010·山东卷)设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是 “数列{an}是递增数列”的( A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 解析： ) B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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第五章
数列
栏目导引
知识点
考纲下载
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通 数列 项公式)． 2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数．
1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 等差数列 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有 关知识解决相应的问题． 4.了解等差数列与一次函数的关系．
1
解析：
a n＝
1 ＝ n＋1－ n， n＋1＋ n
∴Sn＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n) ＝ n＋1－1＝9. ∴n＝99.
答案： 99
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第五章
数列
栏目导引
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第五章
数列
栏目导引
1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住 以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．
2．由 an 与 Sn 的关系求 an 由 Sn 求 an 时，要分 n＝1 和 n≥2 两种情况讨论，然后验证两种情况 可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为 an＝
S1 (n＝1) . Sn－Sn－1 (n≥2)
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第五章
数列
栏目导引
根据下列条件，确定数列{an}的通项公式． (1)已知数列{an}满足 an＋1＝an＋3n＋2，且 a1＝2，求 an. n－1 a (n≥2)； (2)a1＝1，an＝ n n－1 (3)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2－3n＋1.
工具
第五章
数列
栏目导引
1．下列说法正确的是(
)
A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数列
n＋1 1 的第 k 项为 1＋ C．数列 k n
D．数列 0,2,4,6，…可记为{2n}
解析： 根据数列的定义与集合定义的不同可知 A，B 不正确，D n＋1 1 项{2n}中的 n∈N＋，故不正确，C 中 an＝ ，∴ak＝1＋ . n k
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第五章
数列
栏目导引
【变式训练】 公式：
1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项
(1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，… 1 1 5 13 29 61 (3)2，4，－8，16，－32，64，… (4)0,1,0,1，…
解析： (1)符号问题可通过(－1)n 表示，其各项的绝对值的排列规 律为： 后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6， 故通项公式为 an＝(－ 1)n(6n－5)． 8 8 8 (2)将数列变形为 (1－0.1)， (1－0.01)， (1－0.001)，…， 9 9 9 1 8 ∴an＝ 1－10n. 9
工具
第五章
数列
栏目导引
4．数列的通项公式 如 果 数 列 {an} 的 第 n 项 an 与 n 之 间 的 函 数 关 系 可 以 用 一 个 公 式 an＝f(n) 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 一个数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通
【思考探究】 项公式？
提示： 不唯一， 如数列－1,1， －1,1， …的通项公式可以是 an＝(－
工具
＋1
这个因式，而后去掉负
第五章
数列
栏目导引
5 将第二项－1 写成－ . 5 分母可化为 3,5,7,9,11,13，…为正奇数， 而分子可化为 12＋1,22＋1,32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，…，故其一个通 项公式可写为： an＝(－1)
n＋ 1
n2＋1 · . 2n＋1
9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为 ， ， ， ，…，分母都是 3，而分子 3 3 3 3 分别是 10－1,102－1,103－1,104－1，…， 1 n 所以 an＝ (10 －1)． 3
答案： C
工具
第五章
数列
栏目导引
2．已知数列 3， 7， 11， 15，…，则 5 3是数列的( A．第 18 项 C．第 17 项
解析：
)
B．第 19 项 D．第 20 项
∵7－3＝11－7＝15－11＝4，即an2－an－12＝4，∴an2＝3
(n 1) 4 4n 1 4n 1 75 n 19. B. ＋(n－1)×4＝4n－1，令4n－1＝75，则n＝19.故选B. 答案： B
工具
第五章
数列
栏目导引
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝2×5－2＝8. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2·5n－2－2·5n 1＋2 ＝8·5n 1. ∴当 n＝1 时也适合 an，故 an＝8·5n 1.
－ － －
工具
第五章
数列
栏目导引
1． 因为数列是一类特殊的函数， 因而数列也具备一般函数应具备的 性质． 2．求数列的最大(小)项，一般可以先研究数列的单调性，可以用
n－2 ∴an－1＝ a ， n－1 n－2 … 1 a2＝ a1.以上(n－1)个式子相乘得 2 1 2 n－1 a1 1 an＝a1· · … ＝ ＝ . 23 n n n
工具
第五章
数列
栏目导引
(3)当 n＝1 时，a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0； 当 n≥2 时， n＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n a －5； 又 n＝1 时，an＝4×1－5＝－1≠a1，
0(n为正奇数) 1＋(－1)n 1＋cos nπ 或 an＝ 或 a n＝ . (4)an＝ 2 2 1(n为正偶数)