组卷——中位线、中点四边形及详细解析

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专题中点四边形综合问题重难点培优八年级数学下册尖子生同步培优题典解析版浙教版

八年级数学下册尖子生同步培优题典【浙教版】专题5.9中点四边形综合问题（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•兴宁市期末）若正方形ABCD各边的中点依次为E、F、G、H，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，得到四边形EFGH为平行四边形，根据正方形的判定定理解答．【解答】解：连接AC、BD．∵E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，AC⊥BD，∴EF＝FG，EF⊥FG，∴▱EFGH是正方形，故选：D．2．（2021秋•成华区期末）顺次连接菱形四边中点形成的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判定【分析】根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得．【解答】解：∵E，H是中点，∴EH∥BD，同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，∴EH∥FG，EF∥GH，则四边形EFGH是平行四边形．又∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴平行四边形EFGH是矩形．故选：A．3．（2021春•霍林郭勒市校级月考）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是（）A．菱形B．矩形C．平行四边形D．正方形【分析】根据题意画出图形，根据三角形的中位线性质得出EH＝AC，GH＝BD，EH∥AC，FG∥AC，FG＝AC，求出EH∥FG，EH＝FG，根据平行四边形的判定得出四边形EFGH是平行四边形，求出EH＝GH，再根据菱形的判定得出即可．【解答】解：∵点E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，∴EH＝AC，GH＝BD，EH∥AC，FG∥AC，FG＝AC，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC＝BD，EH＝AC，GH＝BD，∴EH＝GH，∴四边形EFGH是菱形，即顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形一定是菱形，故选：A．4．（2021秋•和平区期末）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．三角形【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若邻边互相垂直，那么所得四边形是矩形．【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形，故选：B．5．（2019秋•龙岗区期末）如图，四边形ABCD中，AC＝BD，顺次连接四边形各边中点得到的图形是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．以上都不对【分析】根据中位线定理证明中点四边形的四边相等，则顺次连接四边形各边中点得到的四边形是菱形．【解答】解：∵E，F分别是DC，AD的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，同理，GH＝AC，GH∥AC，GF＝BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC＝BD，∴EF＝GF，∴平行四边形EFGH为菱形，故选：A．6．（2021春•宣城期末）下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据平行四边形的判定和等腰梯形的判定即可判断①；画出图形，根据菱形的判定即可判断②；根据菱形和正方形的判定即可判断③；根据三角形的中位线性质得出EF∥A′C′，EH＝B′D′，EH ∥B′D′，FG＝B′D′，FG∥B′D′，求出EH＝FG，EH∥FG，根据平行四边形的判定得出四边形EFGH是平行四边形，根据菱形的性质得出A′C′⊥B′D′，求出∠HEF＝90°，根据矩形的判定得出四边形EFGH是矩形，即可判断④．【解答】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误；②如图，AC⊥BD，但是四边形ABCD不是菱形，即对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故②错误；③四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故③错误；④如图，∵E、F、G、H分别是菱形A′B′C′D′的边A′B′、B′C′、C′D′、A′D′的中点，∴EF∥A′C′，EH＝B′D′，EH∥B′D′，FG＝B′D′，FG∥B′D′，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形A′B′C′D′是菱形，∴A′C′⊥B′D′，∵EH∥B′D′，∴EH⊥A′C′，∵EF∥A′C′，∴EF⊥EH，即∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是矩形，故④正确；所以正确的个数是1，故选：D．7．（2020秋•岐山县期中）如图，任意四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，BD，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形B．若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形C．若AC＝BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH为正方形D．若AC与BD互相平分，且AC＝BD，则四边形EFGH是正方形【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．【解答】解：A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意；B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD，且AC⊥BD，存在EF＝FG＝GH＝HE，∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意；D、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC＝BD，故四边形EFGH为菱形，故本选项符合题意；故选：D．8．（2021春•武昌区校级期中）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（）A．当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形B．当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形C．当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形EFGH为正方形D．以上说法都不对【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【解答】解：∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，EH＝BD，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD时，EF⊥EH，∴四边形EFGH为矩形，A选项说法错误；当AC＝BD时，EH＝EF，∴四边形EFGH为菱形，B选项说法错误；当AC⊥BD，AC＝BD时，EF⊥EH，EF＝EH，∴四边形EFGH为正方形，C选项说法正确；D选项说法错误；故选：C．9．（2018•临沂）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．10．（2021春•遵化市期末）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（）A．B．C．D．【分析】易得第二个矩形的面积为（）2，第三个矩形的面积为（）4，依此类推，第n个矩形的面积为（）2n﹣2．【解答】解：已知第一个矩形的面积为1；第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2＝；第三个矩形的面积是（）2×3﹣2＝；…故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2＝（）n﹣1．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•宜兴市月考）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形对角线相等．【分析】根据三角形中位线定理、菱形的判定定理解答即可．【解答】解：∵点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝BD，GH＝BD，FG＝AC，EH＝AC，当AC＝BD时，EF＝FG＝CH＝EH，∴四边形EFGH是菱形，∴顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形的对角线相等，故答案为：对角线相等．12．（2021秋•南海区月考）顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，它的形状是菱形．【分析】连接BD，AC．根据矩形的性质得到AC＝BD，根据三角形中位线定理得到EF＝AC，GH＝AC，FG＝BD，EH＝BD，进而证明EF＝FG＝GH＝EH，根据菱形的判定定理得出结论．【解答】解：连接BD，AC．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝AC，GH＝AC，FG＝BD，EH＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH是菱形，故答案为：菱形．13．（2021春•泰兴市月考）四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，则顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形为矩形．【分析】根据三角形的中位线性质得出EH∥BD，FG∥BD，HG∥AC，EF∥AC，求出EH∥FG，HG∥EF，根据平行四边形的判定得出四边形EFGH是平行四边形，根据EH∥BD、HG∥AC和AC⊥BD求出EH⊥HG，再根据矩形的判定得出答案即可．【解答】解：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥BD，FG∥BD，HG∥AC，EF∥AC，∴EH∥FG，HG∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EH∥BD，HG∥AC，AC⊥BD，∴EH⊥HG，即∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是矩形，即当AC⊥BD时，顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形为矩形，故答案为：矩．14．（2021秋•南海区月考）已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，四边形EHFG是菱形．【分析】由已知条件得出GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出GF∥EH，GF＝EH，得出四边形EGFH是平行四边形，再证出GE＝EH，即可得出四边形EHFG是菱形．【解答】证明：∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，∴GF是△ADC的中位线，GE是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF∥AD，GF＝AD，GE＝BC，EH∥AD，EH＝AD，∴GF∥EH，GF＝EH，∴四边形EGFH是平行四边形，又∵AD＝BC，∴GE＝EH，∴四边形EGFH是菱形．故答案是：菱形．15．（2020春•孝义市期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，依次连接AO，BO，CO，DO的中点E，F，G，H，得到四边形EFGH，点M是EF的中点，连接OM，若AB＝10，则OM的长为 2.5．【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理得到EF＝AB＝5，根据直角三角形的性质计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵E、F分别为OA、OB的中点，∴EF＝AB＝5，在Rt△EOF中，M是EF的中点，∴OM＝EF＝2.5，故答案为：2.5．16．（2021秋•榆阳区校级月考）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足对角线垂直且相等条件时，四边形EFGH是正方形．【分析】根据三角形中位线定理得到EF∥BD，EF＝BD，GH∥BD，GH＝BD，EH＝AC，进而证明四边形EFGH为平行四边形，再根据正方形的判定定理解答即可．【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，GH∥BD，GH＝BD，EH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH为菱形，当AC⊥BD时，EF⊥EH，∴菱形EFGH为正方形，∴当四边形ABCD的对角线垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，故答案为：对角线垂直且相等．17．（2021•西城区校级开学）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点，点D为平面内一个动点，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M，N，P，Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；④中点四边形MNPQ不可能是正方形；所有结论正确的序号是①②③．【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形解答．【解答】解：∵中点四边形都是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，∴存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，存在无数个中点四边形MNPQ是矩形．故答案为：①②③．18．（2021春•昆明期末）如图，某小区要在一块矩形ABCD的空地上建造一个如图所示的四边形花园EFGH，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，若AB＝10m，AD＝20m，则四边形EFGH的面积为100m²．【分析】根据矩形的性质推出BE＝AF，BF∥AH得到平行四边形BFHA，推出AB∥HF，AB＝HF，同理得到BC＝EG，BC∥EG，推出HF⊥EG，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：连接HF、EG，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，BC＝AD，∵H、F分别为边AD、BC的中点，∴AH＝BF，∴四边形BFHA是平行四边形，∴AB＝HF，AB∥HF，同理BC＝EG，BC∥EG，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四边形EFGH的面积是×EG×HF＝×10×20＝100（m²）．故答案为：100．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•海陵区校级期中）如图，O为∠BAC内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB的中点．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）当AB＝AC，AO平分∠BAC时，求证：四边形EFGH为矩形．【分析】（1）根据三角形中位线定理推知EH∥AO∥FG，EH＝FG＝AO，则四边形EFGH是平行四边形．（2）根据平行线的性质和等腰△AEF的性质推知：∠HEF＝∠ADE＝90°，则四边形EFGH为矩形．【解答】证明：（1）∵EH是△ABO的中位线，∴EH∥AO，．同理，FG是△ACO的中位线，∴FG∥OA，．∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）设OA与EF的交点为D，∵AB＝AC，E、F分别为AB，AC的中点，∴AE＝AF．∵AO平分∠BAC，∴AD⊥EF．∵EH∥AD，∴∠HEF＝∠ADE＝90°，∴四边形EFGH为矩形．20．（2020春•工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）①当AB与CD满足条件AB＝CD时，四边形EGFH是菱形；②当AB与CD满足条件AB⊥CD时，四边形EGFH是矩形．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EG＝AB，EG∥AB，FH＝AB，FH∥AB，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；②根据矩形的判定定理解答．【解答】（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，∴EG是△DAB的中位线，∴EG＝AB，EG∥AB，同理，FH＝AB，FH∥AB，∴EG＝FH，EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）①∵F，G分别是BC，BD的中点，∴FG是△DCB的中位线，∴FG＝CD，FG∥CD，当AB＝CD时，EG＝FG，∴四边形EGFH是菱形；②∵HF∥AB，∴∠HFC＝∠ABC，∵FG∥CD，∴∠GFB＝∠DCB，∵AB⊥CD，∴∠ABC+∠DCB＝90°，∴∠HFC+∠GFB＝90°，∴∠GFH＝90°，∴平行四边形EGFH是矩形，故答案为：①AB＝CD；②AB⊥CD．21．（2021春•滦州市期末）已知：如图，四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、BC、BD和AC的中点．（1）求证：四边形MPNQ是平行四边形．（2）若满足AB＝CD．试判断MN与PQ的位置关系（不用说明理由）．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到PM＝AB，PM∥AB，NQ＝AB，NQ∥AB，根据平行四边形的判定定理证明四边形PMQN是平行四边形，根据平行四边形的性质定理证明结论；（2）根据菱形的判定定理和性质定理解答即可．【解答】（1）证明：∵P、M分别是BD，AD的中点，∴PM＝AB，PM∥AB，同理NQ＝AB，NQ∥AB，∴PM∥NQ，PM＝NQ，∴四边形PMQN是平行四边形；（2）PQ⊥MN，理由如下：由（1）知，PM＝AB，PN＝CD，当AB＝CD时，PM＝PN，∴平行四边形PMQN是菱形，∴PQ⊥MN．22．（2021春•集贤县期末）在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N．（1）如图1，试判断四边形PQMN怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2），判断此时四边形PQMN的形状，并证明你的结论．【分析】（1）连接AC、BD．利用三角形中位线定理判定四边形PQMN的对边平行且相等，易证该四边形是平行四边形；（2）①设△ADE的边长是x，△BCE的边长是y，由于DB2＝（x+y）2+（x）2＝x2+xy+y2，AC2＝（x+y）2+（y）2＝x2+xy+y2，可得平行四边形PQMN的对角线相等，从而得出平行四边形PQMN 是菱形；【解答】解：四边形PQMN为平行四边形；（1）连接AC、BD．∵PQ为△ABC的中位线，∴PQ∥AC，PQ＝AC，同理MN∥AC．MN＝AC．∴MN＝PQ，MN∥PQ，∴四边形PQMN为平行四边形；（2）四边形PQMN是菱形；理由如下：设△ADE的边长是x，△BCE的边长是y，∴DB2＝（x+y）2+（x）2＝x2+xy+y2，AC2＝（x+y）2+（y）2＝x2+xy+y2，∵平行四边形PQMN的对角线相等，∴平行四边形PQMN是菱形；23．（2021春•盐城期末）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、EH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）再加上条件①后，能使得四边形EFGH是矩形．请从①四边形ABCD是菱形，②四边形ABCD 是矩形．这两个条件中选择1个条件填空（写序号），重新画图并写出证明过程．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EH＝BD，EH∥BD，FG＝BD，FG∥BD，进而得到EH＝FG，EH∥FG，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）连接AC、BD，根据三角形中位线定理得到EF∥AC，EF＝AC，HG∥AC，HG＝AC，EH∥BD，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据矩形的判定定理证明结论．【解答】（1）证明：如图1，连接BD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH＝BD，EH∥BD，FG＝BD，FG∥BD，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：加上条件①后，能使得四边形EFGH是矩形，理由如下：如图2，连接AC、BD，∵E、F分别为AB、BC中点，∴EF为△ABC中位线．∴EF∥AC，EF＝AC，同理可得：HG∥AC，HG＝AC，EH∥BD，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EH⊥EF，∴∠FEH＝90°．∴四边形EFGH是矩形，故答案为：①．24．（2021春•泗阳县期末）已知：如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）当AB＝CD，四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EG＝AB，EG∥AB，FH＝AB，FH∥AB，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）依据四边形ABCD是平行四边形，再运用三角形中位线定理证明邻边相等，从而证明它是菱形．【解答】（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，∴EG是△DAB的中位线，∴EG＝AB，EG∥AB，同理，FH＝AB，FH∥AB，∴EG＝FH，EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形．理由：∵F，G分别是BC，BD的中点，∴FG是△DCB的中位线，∴FG＝CD，FG∥CD，又∵EG＝AB，∴当AB＝CD时，EG ＝FG ，∴平行四边形EGFH是菱形．2122。

中位线经典题型解析

《中位线》专题练习参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．4考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．解答：解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．2．（2009•绍兴）如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°考点：三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）．专题：操作型．分析：由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位线定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，进一步可得∠APD=∠CDE．解答：解：∵△PED是△CED翻折变换来的，∴△PED≌△CED，∴∠CDE=∠EDP=48°，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠APD=∠CDE=48°，故选B．点评：本题考查三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．3．（2010•威海）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．B C=2BE B．∠A=∠EDA C．B C=2AD D．B D⊥AC考点：三角形中位线定理．分析：根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC 且BC=2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB=∠DBE=∠BDE，所以BE=DE=AE，所以AB=2DE，所以AB=BC，即可得出B、D选项正确．解答：解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE∥BC且BC=2DE，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBE=∠BDE，∴BE=DE=AE，∴AB=2DE，BC=2DE=2BE，故A正确；∴AB=BC，∴∠A=∠C=∠EDA，故B正确；C、∵AE=DE，与AD不一定相等，故本选项不一定成立；D、∵AB=BC，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，故本选项正确．故选C．点评：本题利用三角形的中位线定理、角平分线的性质和平行线的性质推出等角，得到等腰三角形是解题的关键．4．如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE=（）A．3cm B．5cm C．2.5cm D．1.5cm考点：三角形中位线定理．分析：延长CD交AB于F点．根据AD平分∠BAC，且AD⊥CD，证明△ACD≌△AFD，得D是CF的中点；又E为BC中点，所以DE是△BCF的中位线，利用中位线定理求解．解答：解：延长CD交AB于F点．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠CAD；∵AD⊥CD，∴∠ADF=∠ADC；又AD=AD，∴△ACD≌△AFD，∴CD=DF，AF=AC=5cm．∵E为BC中点，BF=AB﹣AF=8﹣5=3，∴DE=BF=1.5（cm）．故选D．点评：此题关键是作辅助线构造全等三角形，证明D是CF的中点，从而证明DE是三角形的中位线，运用中位线定理求解．5．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质．分析：过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DG∥BF，又D为BC中点可得出：△CDG∽△CBF，即：==，CG=FC=FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，所以AF=FG=GC，即：==．解答：解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：∵D为BC中点，DG∥BF∴∠CGD=∠CFB又∵∠C=∠C∴△CDG∽△CBF∴==，即：CG=CF=FG又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF同理可得：△AEF∽△ADG∴==，即：AF=AG=FG∴AF=FG=GC∴===1：2故选：D．点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．二．解答题（共3小题）6．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=66°，求∠FEG的度数．考点：三角形中位线定理．分析：根据中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．解答：解：∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，又∵AD=BC，∴GF=GE，∠FGC=∠DAC=20°，∠AGE=∠ACB=66°，∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+（180°﹣66°）=134°，∴∠FEG=（180°﹣∠FGE）=23°．点评：主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，题目的难度不大．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．求证：四边形ABFC是平行四边形．考点：等腰梯形的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：根据等腰梯形性质求出∠ABC=∠DCB，根据DE⊥BC，DE=EF，得出△DFC是等腰三角形，推出∠ABC=∠DCB=∠FCE，AB=CD=CF，推出AB∥CF，根据平行四边形的判定定理推出即可．解答：证明：等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠ABC=∠DCB，∵DE⊥BC，DE=EF，∴△DFC是等腰三角形，∴∠DCB=∠FCE，DC=CF，∴∠ABC=∠FCE，∴AB∥CF，∵AB=CD=CF，∴四边形ABFC是平行四边形．点评：本题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的应用，关键是推出AB=CF，AB∥CF，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，难度适中．8．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．解答：（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．。

〖2021年整理〗《中位线》典型例题

《中位线》典型例题例1 如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN 交AB 于E ，交CD 于F ，求证：∠AEF=∠DFE分析欲证∠AEF=∠DFE ，由MN ⊥EF 想到延长BA 、CD 与NM 的延长线交于=GN ，∠GMN=∠GNM 然后再转化∠E 的延长线交于、GN∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点，∴ 同理可得：又∵..,GNM GMN GN GM CD AB ∠=∠∴=∴=∵∥GN AB ,∥，∴.,Q GNM EPN GMN ∠=∠∠=∠∴,.MN EF Q EPN ⊥∠=∠又∴DFE AEF ∠=∠（等角的余角相等）说明添辅助线是证明几何题的难点，尤其像本题要添多条辅助线，更为困难掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是在分析中自然添辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结例2 如图，C 为已知线段AB 外一点，以AC ，BC 为边，分别向ABC ∆的外侧作正方形ACFD 和正方形BCGE ，不论C 点的位置在AB 的同侧怎样变化，求证：（1）D ，E 到AB 所在直线的距离之和为定值；（2）线段DE 的中点M 为定点证明：（1）作AB D D ⊥'于，AB C C ⊥'于，AB E E ⊥'于∵DAC ∠-︒=∠+∠18021，且︒=∠90DAC∴︒=∠+∠9021∴AB D D ⊥'∴︒=∠+∠9031∴32∠=∠∴AD AC =∴D DA Rt C AC Rt '∆≅'∆∴D D C A '='同理：E E C B '='∴AB C B C A D D E E ='+'='+'（为定值）（2）过M 作AB MN ⊥于N∵ AB MN AB E E AB D D ⊥⊥'⊥',,，∴E E MN D D ''////∵ME DM =，∴E N N D '='∵ D DA C AC '∆≅'∆，∴D A C C '='∴E EB C BC '∆≅'∆∴E B D A E B C C '=''=',∴E B E N D A N D '-'='-'∴NB AN =即N 为AB 的中点（为定点）又∵AB E E D D MN 21)(21='+'=（为定值）， ∴M 为定点分析本题综合考查了平行线等分线段定理，梯形中位线定理及全等三角形的判定与性质等，易错点是对定值、定点不理解，解题关键是作如图所示的四条辅助线。

【初中数学】人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(练习题)

人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(146) 1.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求EG2+FH2的值．2.四边形ABCD为边长等于1的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH(四边形EFGH称为原四边形的中点四边形)，再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形……则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于．3.如图所示，E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是形，并说明理由;(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并说明理由．4.如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是BC,AD,BD,AC的中点．(1)求证：EF与GH互相平分；(2)当四边形ABCD的边满足条件时,EF⊥GH．5.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是（）A.矩形B.平行四边形C.菱形D.任意四边形6.顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形7.若四边形的对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形8.如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当中点四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD是矩形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确的是(填序号)．9.如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，E,F,G,H分别是AD,AB,CB,CD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．10.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形11.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是（）A.矩形B.正方形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形12.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB,CD应满足的条件是．13.如图所示，E,F,G,H为四边形ABCD各边的中点，若对角线AC，BD的长都为20，则四边形EFGH的周长是（）A.80B.40C.20D.1014.如图,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60∘,则四边形EFGH的面积为cm2.15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为．16.如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点，则EG2+FH2=．参考答案1.【答案】:如图，连接EF ，FG ，GH ，EH ，∵E ，H 分别是AB ，DA 的中点，∴EH 是△ABD 的中位线，∴EH =12BD =3. 同理可得EF ，FG ，GH 分别是△ABC ，△BCD ，△ACD 的中位线， ∴EF =GH =12AC =3，FG =12BD =3，∴EH =EF =GH =FG =3，∴四边形EFGH 为菱形，∴EG ⊥HF ，且垂足为O ，∴EG =2OE ，FH =2OH ．在Rt △OEH 中，根据勾股定理得：OE 2+OH 2=EH 2=9，等式两边同时乘4得4OE 2+4OH 2=9×4=36，∴(2OE)2+(2OH)2=36，即EG 2+FH 2=36．【解析】:连接EH,HG,GF,FE ，根据题目条件提供的四个中点，结合中位线的性质，证明四边形EFGH 为菱形，再根据菱形的性质及勾股定理求出结果.2.【答案】:116【解析】:根据题意，结合图形寻找规律：第二、四、六、八个中点四边形为菱形，第一个菱形边长为12，第二个菱形边长为14，第三个菱形边长为18，第四个菱形边长为116，即为第八个菱形的边长3(1)【答案】当四边形ABCD 是矩形时，四边形EFGH 是菱形．理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD ．∵E ，F ，H 分别是AB ，BC ，AD 的中点，∴EF=12AC，EH=12BD，∴EF=EH．同理可得EF=GH=GF，∴四边形EFGH是菱形【解析】:利用矩形及中位线的性质，结合菱形的判定方法进行推导证明.(2)【答案】当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．理由：∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF=12AC，同理，EH∥BD，EH=12BD，GF=12BD，GH=12AC．∵AC=BD，∴EF=EH=GH=GF，∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴菱形EFGH是正方形【解析】:根据三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半，先判断出AC=BD，又正方形的四个角都是直角，可以得到正方形的邻边互相垂直，然后证出AC与BD垂直，得到四边形ABCD满足的条件.4(1)【答案】证明：连接GE,GF,HF,EH．∵E,G分别是BC,BD的中点,∴EG=12CD．同理FH=12CD,FG=12AB,EH=12AB,∴EG=FH,GF=EH，∴四边形EHFG是平行四边形．∴EF与GH互相平分【解析】:根据题中提供的四个中点，得到几组中位线，利用中位线的性质，及平行四边形的判定方法，推导出四边形EHFG是平行四边形，进而推导出结论(2)【答案】当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH．【解析】:理由如下:当EF⊥GH时,四边形EGFH是菱形,此时GF=EG．∵EG=12CD,FG=12AB,∴AB=CD．∴当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH5.【答案】:C【解析】:顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是菱形．如图，∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，∴EH∥BD，EH=12BD，FG∥BD，FG=12BD，∴EH∥FG，EH=FG=12BD，∴四边形EFGH为平行四边形．又∵EF为△ABC的中位线，∴EF=12AC．又∵EH=12BD，且AC=BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH为菱形．故选C．6.【答案】:B【解析】:利用菱形的性质、矩形的判定方法及中位线的性质推导出结果.7.【答案】:B【解析】:如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD．又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EH，EH⊥EF，EF⊥FG，FG⊥HG．故可判定该四边形是矩形．故选B．8.【答案】:①④【解析】:如图四边形ABCD，连接AC，BD．∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，∴EF∥GH，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确．若四边形ABCD是矩形，则AC=BD．∵EF=12AC，EH=12BD，∴EF=EH，∴平行四边形EFGH是菱形，故②错误．若四边形EFGH是菱形，则AC=BD，但四边形ABCD不一定是矩形，故③错误．若四边形ABCD是正方形，则AC=BD，AC⊥BD，∴四边形EFGH是正方形，故④正确．∴正确的叙述是①④．9.【答案】:连接AC，BD，交于点O，如图．∵E，F，G，H分别是AD，AB，CB，CD的中点，∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，EF=GH=12BD，EH=FG=12AC，∴四边形EFGH是平行四边形．∵AD=CD，AB=CB，∴点D，B都在线段AC的垂直平分线上，∴DB垂直平分AC，∴DB⊥AC，OA=OC．∵EF∥DB，∴EF⊥AC．∵FG∥AC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形【解析】:利用三角形的中位线解题.10.【答案】:D【解析】:若得到的四边形是矩形，那么邻边互相垂直，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解.11.【答案】:C【解析】:若得到的四边形是菱形，那么四条边都相等，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必相等，由此得解.12.【答案】:AB=CD【解析】:若四边形EFGH是菱形，则GH=EH，又根据题中条件所给的四个中点，利用中位线的性质推导出AB=2GH，CD=2EH，所以AB=CD.13.【答案】:B【解析】:∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，∴HG=EF=12AC，GF=HE=12BD，∴四边形EFGH的周长=HG+EF+GF+HE=12(AC+AC+BD+BD)=12×(20+20+20+20)=40 14.【答案】:9√3【解析】:连接AC,BD,相交于点O,如图所示, ∵点E,F,G,H分别是菱形四边的中点,∴EH=12BD=FG,EH∥BD∥FG, EF=12AC=HG,∴四边形EHGF是平行四边形．∵菱形ABCD中,AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴平行四边形EFGH是矩形．∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60∘,∴∠ABO=30∘.∵AC⊥BD,∴∠AOB=90∘,∴AO=12AB=3cm,∴AC=6cm．在Rt△AOB中,由勾股定理，得OB=√AB2−OA2=3√3cm, ∴BD=6√3cm．∵EH=12BD,EF=12AC,∴EH=3√3cm,EF=3cm,∴矩形EFGH的面积=EF·EH=9√3cm2. 故答案为9√315.【答案】:12【解析】:∵E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，∴HE=12AC=4,HE∥AC,GF∥AC,∴HE∥GF．同理，HG∥EF,HG=12BD=3,∴四边形EFGH是平行四边形．∵AC⊥BD，∴∠EHG=90∘,∴四边形EFGH是矩形，∴四边形EFGH的面积为3×4=1216.【答案】:50【解析】:连接HG，EH，EF，FG，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴HG=EF=12AC=4，EH=FG=12BD=3，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴HE∥BD，HE=12BD，同理FG∥BD，FG=12BD，∴四边形HEFG是平行四边形．∵AC⊥BD，∴HG⊥EH，∴四边形HEFG为矩形，∴EG2+FH2=EF2+FG2+EF2+EH2=52+52=50。

人教版初二数学下册专题：中点四边形

三、教学问题诊断分析在第一部分，学生要自己讨论分析不同四边形的中点四边形的形状时候，会有对特殊平行四边形性质和判定不熟悉的情况，导致推断不出图形形状。

针对这个问题，我在一开始设计了判断任意四边形的中点四边形是平行四边形的证明过程，这个过程让老师和学生一起做，但要求用不同的方法证明，这样就开阔了学生的视野，对知识应用起到一定的提示作用。

另外，在利用逆向思维探究中点四边形与原来四边形的什么元素有关时候，学生估计有一定的困难，这时候教师要因势利导，弓I 导学生认真观察图形，找出关键点所在，并进一步总结，形成新的认知结构。

四、重点和难点五、教法和学法启发式，探究式相结合自主探究，合作交流六、教学辅助手段根据本节课的实际教学需要，我选择多媒体 PPT 课件、手工纸等教具、学具等进行辅助教学，激发学生学习兴趣，加深学生对知识理解和掌握•七、教学过程三角形中位线是学生刚学的知识，它是本课时探究学习的理论基础，同时又加深两条线段之间的数量和位置关系，为后边原四边形的对角线关系做铺垫。

教学内容教师活动预设学生行为设计意图重占八、、难占八中点四边形形状判定和证明。

对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括。

学生看幻灯片,思考【回顾交流】展示幻灯片，提出问题•【情境引入】出示问题：一块白铁皮零料形状如图，工人师傅要从中裁出一块平行四边形白铁皮，并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上，可以如何裁？多媒体展示如图，提出问题，任意四边形的中点四边形是什么形状？可以从图形上先进行猜想。

学生独立思考通过图形的展示，给学生以直观感，让学生经历观察- 猜想-论证的过程，符合对事物的认知规律，让学生掌握科学有效的探索步骤。

【新课探究】顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做探究一：任意四边形ABCD勺中点四边形EFGH是什么图形？请说明理由。

已知：如图，点E F、GH分别是四边形ABCD 各边中点。

中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形期末真题汇编(解析版)-24年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题05中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形期末真题汇编之六大题型中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义.常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.模型1：中位线模型三角形的中位线定理：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且12DE BC，△ADE∽△ABC.中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一.模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）.模型2：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为Rt ABC△斜边上的中线，则：（1）12AD BC =BD DC ==；（2）ABD △，ACD △为等腰三角形；（3）2ADB C ∠=∠，2ADC B ∠=∠．图1图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M 为中点，则（1）AM MD =；（2）2AMD ABD ∠=∠．模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）模型3：中点四边形模型中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形.中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块.结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．如图1，已知点M 、N 、P 、Q 是任意四边形ABCD 各边中点，则四边形MNPQ 为平行四边形.图1图2图3图4结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）如图2，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC ⊥DB ，则四边形MNPQ 为矩形.结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）如图3，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC =DB ，则四边形MNPQ 为菱形.结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．如图4，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC =DB ，AC ⊥DB ，则四边形MNPQ 为正方形.推广与应用1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的12.与三角形中位线有关的求解问题例题：（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且4AC AF =，连接EF ．若12AC =，则EF =．【变式训练】1．（23-24九年级上·重庆万州·期末）如图，DE 是ABC 的中位线，ACB ∠的角平分线交DE 于点F ，若614AC BC ==，，则DF 的长为．【答案】4【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质，能熟记三角形的2．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，已知Rt ABC △，延长直角边BC 至点D ，使6BD =，E 为直角边AC 上的点，且2AE =，连接ED ，P ，Q 分别为AB ，ED 的中点，连接PQ ，则PQ =．∵P ，Q 分别为AB ，PK ∴是ABD △的中位线，PK BC ∴∥，12PK BD =∵AC BC ⊥，PK BC ∥∴PK AC ⊥，∵KQ AC ∥，PK KQ ∴⊥，∴在Rt PKQ V 中，PQ 故答案为：10三角形中位线与三角形面积问题例题：（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在ABC 中，E 是AC 的中点，D 在AB 上且2AD BD =，连接BE ，CD 相交于点F ，则BCF ADFE S S =四边形△．【答案】35/0.6【分析】取CD 中点G 【详解】解：取CD 中点【点睛】本题考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点．结合条件进行几何推导是解题关键．【变式训练】1．（22-23八年级上·山东烟台·期末）如图，DE 是ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，若CEF △的面积为212cm ，则DGF S 的值为2cm ．【答案】4【分析】取CG 的中点H ，连接EH ，根据三角形的中位线定理可得EH AD ∥，再根据两直线平行，内错角相等可得GDF HEF ∠=∠，然后利用“角边角”证明DFG 和EFH △全等，根据全等三角形对应边相等可得FG FH =，全等三角形的面积相等可得EFH DGF S S = ，再求出3FC FH =，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，即可得解答案；∵点H 是CG 的中点，DE ∴EH AD ∥，GH CH =，∴GDF HEF ∠=∠，∵F 是DE 的中点，DF EF =在DFG 和EFH △中，∵GFD HFE DF EF ∠=∠⎧⎪=⎨2．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图，ABC 的面积是16，点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，则四边形AFDG 的面积是．与三角形中位线有关的证明例题：（23-24八年级上·山东淄博·ABCD 中，AD BC =，点P 是对角线BD 的中点，M 是DC 的中点，N 是AB 的中点，延长线段AD 交NM 的延长线于点E ，延长线段BC 交NM 的延长线于点F ．(1)求证：AEN F ∠=∠；(2)若122A ABC ∠+∠=︒，求F ∠的大小．【答案】(1)见解析【变式训练】1．（21-22九年级上·四川眉山·期末）如图，四边形ABCD 中，AD BC =，P 是对角线AB 的中点，M 是AC 的中点，N 是BD 的中点．(1)判断PMN 的形状，并证明；(2)当AD 、BC 所在直线存在什么关系时，90MPN ∠=︒．由（1）得：PM BC ∥，PN AD ∥，∴APM ABC ∠=∠，APN BAE ∠=∠，∵AD BC ⊥，即90E ∠=︒，∴90ABC BAE ∠+∠=︒，∴90APM APN ∠+∠=︒，即90MPN ∠=︒．2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过猜想探究图形的变化规律，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．如图1，在等边ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接BE ，CD ，点M ，N ，P 分别是BE ，CD ，BC 的中点．(1)观察猜想图1中PMN 的形状是______；(2)探究证明把ADE V 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，PMN 的形状是否发生改变？并说明理由．【答案】(1)等边三角形(2)不发生改变，理由见解析【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三ABC是等边三角形，∠=∠=AB AC∴=，ABC ACB=，AD AE∴=，BD EC=，BM，CN NDPB PC=∴∥，PM ECBPN D∥，PN∴=，NPC ABCPM PN∠=∠=∴∠=︒，MPN60∴△是等边三角形．PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：（2）解：PMN如图2中，连接BD，CE．三角形中位线的实际应用例题：（22-23八年级下·吉林·期末）如图，为估计池塘两岸边A ，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点O ，分别取OA OB ，的中点M ，N ，测得25m MN =，则A ，B 两点间的距离是m ．【答案】50【分析】根据三角形中位线定理进行求解即可．【详解】解：∵OA OB ，的中点分别为M ，N ，∴MN 是ABO 的中位线，∴12MN AB =，∵25m MN =，∴250m AB MN ==，故答案为：50【点睛】此题考查了三角形中位线定理，熟练掌握中位线定理的内容是解题的关键．【变式训练】1．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）在数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A ，B 两点的距离，同学们在AB 外选择一点C ，测得AC ，BC 两边中点的距离DE 为15m ，则A ，B 两点的距离是m ．【答案】30【分析】根据题意得出DE 为ABC 的中位线，然后利用其性质求解即可．【详解】解：∵点D 、E 为AC BC ，的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∵15m DE =，∴230m AB DE ==，故答案为：30．【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．2．（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地ABC ．已知D E ，分别是,AB AC 的中点，测得10m DE =，李叔叔想把四边形DBCE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是m ．【答案】50直角三角形斜边中线模型例题：（22-23八年级下·吉林·期末）如图，在Rt ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，过点D 作DE AC ⊥于点E ，连接CD ，过点E 作CD 的平行线，交BC 的延长线于点F ．若8AB =，则EF 的长为．【答案】4【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握以上知识是解题关键．先证明四边形EDCF 为平行四边形，再根据平行四边形的性质得EF DC =、结合直角三角【变式训练】1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，5AC =，4BC =，点P 是Rt ACB △内一动点，且2AP =，点Q 是BP 的中点，则CQ 的最小值为．故答案为：522．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在Rt ABC △中，D 为斜边AB 的中点，将ACD 沿中线CD 翻折，点A 落在点A '，连结A B '．（1）若26A ∠=︒，则ABA '∠的度数为；（2）若68BC AC ==，，则A B '的长为．【答案】52︒/52度 2.8【分析】本题主要考查了勾股定理和翻折问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．（1）依据△A BD '是等腰三角形，76A DB '∠=︒，即可得到A BD '∠的度数；（2）如图所示，连接AA '，过D 作DE A B '⊥于E ，过B 作BF CD ⊥于F ，依据CD A B '∥，即可得到DE BF =，进而得出 4.8DE =，再根据勾股定理，即可得到Rt BDE △中，BE 的长，即可得到A B '的长．【详解】解：（1）D 为斜边AB 的中点，AD BD ∴=，由折叠可得AD A D '=，BD A D ∴='，即△A BD '是等腰三角形，在Rt ABC △中，2268AB =+由折叠可得，DA DA '=，AC =CD ∴垂直平分AA '，5AD A D BD '=== ，DAA DA A ∴∠='∠'，DBA DA '∠=∠又DAA AA D DA B DBA '''∠+∠+∠+∠ 90AA B '∴∠=︒，∴CD A B '∥，DE BF ∴=，CD 是ABC 的中线，12CDB ABC S S ∆∆∴=，即111222CD BF AC BC ⨯=⨯⨯，1682 4.85BF ⨯⨯∴==，中点四边形模型例题：（22-23八年级下·浙江湖州·期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AC =若点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且四边形EFGH 是“对垂四边形”，则四边形EFGH 的面积是．∵在四边形ABCD 中，点∴EF AC ∥，GH AC ∥∴EF GH ∥，同理：FG∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是“对垂四边形”，⊥，∴AC BD⊥，∴EF EH∴四边形EFGH是矩形，∵四边形EFGH是“对垂四边形”，⊥，∴EG FH∴四边形EFGH是正方形，EF=．∴四边形EFGH的面积为22【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．【变式训练】1．（21-22八年级下·江苏南京·期末）如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点．(1)证明：四边形EFGH为平行四边形．(2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是27cm，则四边形EFGH的面积是________2m【答案】(1)见解析(2)3.5【分析】（1）连接BD，由三角形中位线定理可得出EF=GH，EF∥GH，由平行四边形的判定可得出结论；（2）由矩形的判定与性质得出答案．【详解】（1）证明：连接BD，∵E、F分别为AD、AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，1BD，EF∥BD，∴EF=∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠2．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．∵四边形ABCD是“中方四边形∴EFGH是正方形且E、∴∠FEH=90°，EF=EH，∴AC⊥BD，AC=BD，故答案为：AC⊥BD，AC问题解决：如图2，取四边形接CE交AB于P，连接∵四边形BCGE各边中点分别为∵M，F分别是AB，BC∴FM=12 AC，∴MN=22 AC；（2）如图4，分别作AD 连接BD交AC于O，连接当点O在MN上（即M∴2（OM+ON）≥2MN由性质探究②知：AC⊥又∵M，N分别是AB，∴AB=2OM，CD=2ON，∴2（OM+ON）=AB+CD一、单选题1．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，3DE =，5CE =，则AC =）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出BC ，根据直角三角形的性质求出AB ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：D ，E 分别是AC ，AB 的中点，3DE =，2236BC DE ∴==⨯=，2．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图所示，顺次连接四边形ABCD 各边中点得到四边形EFGH ，使四边形EFGH 为正方形，应添加的条件分别是（）A ．AB CD ∥且AB DC=B ．AB CD =且AC BD ⊥C ．AB CD ∥且AC BD⊥D ．AC BD =且AC BD⊥∴菱形EFGH 是正方形．故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质，解题的关键是连接AC BD 、，构造平行线．3．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点D 在EF 上，延长AD 交BC 于N ，BD AN ⊥，6AB =，8BC =，则DF =（）A ．2B ．32C ．1D ．124．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，DE 是ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，若DGF △的面积为2，则CEF △的面积为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算，正确作出辅助线、证明FGD FHE ≌是解题的关键．过点E 作EH AB ∥交GC 于H ，证明FGD FHE ≌，根据全等三角形的性质得到ΔΔDGF EHF S S =，计算即可．【详解】解：过点E 作EH AB ∥交GC 于H ，则FGD FHE ∠=∠，在FGD 和FHE 中，FGD FHE GFD HFE DF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS FGD FHE ∴ ≌，FG FH ∴=，ΔΔDGF EHF S S =，EH AB ∥，E 是AC 的中点，CH HG ∴=，3FC GF ∴=，DGF 的面积为2CEF ∴ 的面积为6，故选：B ．5．（22-23八年级下·广西柳州·期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，50DAB ∠=︒，70CBA ∠=︒，P 、M 、N 分别是AB AC BD 、、的中点，若8BC =．则PMN 的周长是（）A ．10B ．12C ．16D ．186．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等腰三角形ABC 中，4AB AC ==，点E 为BC 的中点，连结AE ．以BC 为边向左作BCD △，且90BCD ∠=︒，BD AC ∥．连结DE ，记CDE 和ABE的面积分别为1S 和2S ，则1232S S -的最大值是（）A ．4B ．6C．D ．8∵90BCD ∠=︒，∴CF BF =DF =，∴2DBC FBC S S = ，∵4AB AC ==，E 为BC 的中点，∴ACB ABC Ð=Ð，AE BC⊥∵BD AC∥∴FBC BCA∠=∠∴FBC ABC∠=∠又∵FB FC =，BE EC=∴FE BC⊥∴90FEB AEB ∠=∠=︒，二、填空题，互相垂直，公路AB的中点M与点C被7．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，公路AC BC湖隔开．若测得AB的长为6.4km，则M，C两点间的距离为km．故答案为：3.2．8．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为米．则,,DE EF DF 均为ABC ∴(12DE EF DF BC ++=+即水渠的总长为300米，故答案为：300．9．（21-22八年级下·广西桂林·期末）如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n 个菱形的面积为．【答案】134n -【分析】根据题意求得第二、而第1个菱形的面积为第【详解】解：∵已知第一个矩形的面积为10．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，4AB =．将ABO 沿BO 对折至A BO '△，M 为BC 上的动点，则A'M 的最小值为．在Rt A BM '△中，N 是斜边A B '的中点，∴2BN NM A N '===，∴15B NMB ∠=∠=︒，∴30A NM '∠=︒，∴122MH MN ==，∴223NH MN MH =-=，∴23A H A N NH ''=-=-，∴2262A M A H HM ''=+=-．故答案为：62-11．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，ABC 的周长为a ，以它的各边的中点为顶点作111A B C △，再以11AB C △各边的中点为顶点作222A B C △，再以22AB C 各边的中点为顶点作333A B C △，……如此下去，则20242024AB C △的周长为．AB=，8+的最小值CD边上的点，且EF的长为4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA PG为．∵DH DG GH HP PG PA PG -≤≤+=+∴当H 、P 、G 、D 共线时，PA PG +最小，∵4AB =，8AD =，∴8AH =，228288DH =+=，∵EF 的长为4，点G 为EF 的中点，∴2GD =，∴822AP PG -≤+，故答案为：822-．三、解答题13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，AD 与CE 交于点F ，点G 为CE 的中点，CD AE =．(1)求证：DG CE ^．(2)若AF EF =，求B ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)36度90ADB∴∠=︒，CE是AB边上的中线，∴12AE DE AB==，AE CD=∵，DE CD∴=，点G为CE的中点，DG CE∴⊥．（2）解：连接DE，则DE AE CD==，点G为CE的中点，DG CE∴⊥，BE DE=，EF AF=，B BDE∴∠=∠，AEF EAF∠=∠，14．（23-24九年级上·江西九江·期末）课本再现：（1）定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图1，在Rt ABC △中，90=︒，CD 是AB 边上的中线．求证：12CD AB =．证明：如图1，延长CD 到点E ，使得DE CD =，连接,BE AE ．……请把证明过程补充完整．知识应用：（2）如图2，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是AB 边上的中线，F 是CE 的中点，连接DF 并延长交AC 于点G ，连接,2GE AB CD =．求证：=EG CG ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键．AD 是BC 边上的高，CE AD BD ∴⊥，E 是AB 的中点．12DE AB ∴=．2AB CD = ，12CD AB ∴=．CD DE ∴=．F 是CE 的中点，DG CE ∴⊥．DG ∴是线段CE 的垂直平分线．EG CG ∴=．15．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】已知：在ABC 中，点D 、E 分别是边AB AC 、的中点．直接写出DE 和BC 的关系；【应用】如图②，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB AD ，的中点，若5BC =，3CD =，2EF =，45AFE ∠=︒．求ADC ∠的度数；【拓展】如图③，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，点M ，N 分别为AD BC ，的中点，MN 分别交AC BD 、于点F 、G ，EF EG =．求证：BD AC =．EF BD ∴∥，BD 45ADB AFE ∴∠=∠=5BC = ，3CD =，MH ∴是ADC △的中位线，MH AC ∴∥且12MH AC =同理可得NH BD ∥EF EG = ，EFG EGF ∴∠=∠，MH AC ∥，NH BD ∥EFG HMN ∴∠=∠，∠HMN HNM ∴∠=∠，MH NH ∴=，AC BD ∴=．16．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，已知Rt ABC △，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，连接CD ，把线段CD 沿射线DB 方向平移得到线段EF ，点F 在射线DB 上，连接CE .(1)如图1，当点F 与点B 重合时，求证：DF FE =；(2)如图2，当EF 经过BC 的中点G 时，连接DE ，若DE AB ⊥，求证：30DEF ∠=︒；(3)如图3，45A ∠=︒，F 在DB 的延长线上，连接BE ，当BF BD =时，求证：CE .由平移的性质得：四边形∴EF CD =，∵90ACB ∠=︒，点∴12CD AB =，∴CD BD =，∴FE BD =，17．（23-24八年级上·山东泰安·期末）在四边形ABCD 中，AB CD =，E 、F 分别是BC AD 、的中点．(1)如图1，若M 是AC 的中点，求证：EFM FEM ∠=∠．(2)如图2，连接EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M 、N ，求证：BME CNE ∠=∠．(3)如图3，在ABC 中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E 、F 分别是BC AD 、的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=︒，连接GD ，判断AGD △的形状并说明理由．∵点F 是AD 的中点，∴在ABD △中，∥FP AB ∴PFE M∠=∠同理可证：EP CD ∥，EP ∴PEF CNE ∠=∠，又∵AB CD =，∴EP FP =，∴PEF PFE ∠=∠，∴M CNE ∠=∠．∴BME CNE ∠=∠；（3）证明：如图连接BD ∵F 是AD 的中点，∴HF AB ∥，12HF AB =，18．（21-22八年级下·福建泉州·期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DE∥BC，且DE12=BC．(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DE∥BC，DE12=BC．(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足时，四边形EFGH是矩形；③当AC、BD满足时，四边形EFGH是正方形．（2）①连接AC 、BD ，如图所示：∵点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF AC ∥，GH AC ∥，EH BD ∥，GF BD ∥，∴EF GH ∥，EH GF ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形；②当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形；根据解析①可知，GH AC ∥，EH BD ∥，四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴90AOB ∠=︒，∵GH AC ∥，∴90HMO ∠=︒，∵EH GF ∥，∴180EHM HMO ∠+∠=︒，∴1809090EHM ∠=︒-︒=︒，∴四边形EFGH 是矩形；故答案为：垂直；。

2022年中考数学真题分类汇编专题12 平行四边形与中位线(学生版+解析版)

专题12 平行四边形与中位线一．选择题1.（2022·四川乐山）如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．若AB =6，AC =8，DE =4，则BF 的长为（）A ．4B ．3C ．52D ．22．（2022·浙江宁波）如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AC 的中点，E 为BD 上一点，F 为CE 中点．若AE AD =，2DF =，则BD 的长为（）A ．B ．3C ．D ．43．（2022·四川眉山）在ABC 中，4AB =，6BC =，8AC =，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则DEF 的周长为（）A ．9B ．12C ．14D ．164．（2022·浙江绍兴）如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，60ABC ∠=︒，E ，F 是对角线BD 上的动点，且BE DF =，M ，N 分别是边AD ，边BC 上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF ；②存在无数个矩形MENF ；③存在无数个菱形MENF ；④存在无数个正方形MENF ．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·浙江嘉兴）如图，在ABC 中，8AB AC ==，点E ，F ，G 分别在边AB ，BC ，AC 上，EF AC ∥，GF AB ∥，则四边形AEFG 的周长是（）A ．32B ．24C ．16D ．86．（2022·四川达州）如图，在ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点F 在DE 的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件可以是（）A ．B F ∠=∠ B ．DE EF =C ．AC CF =D ．AD CF =7．（2022·浙江丽水）如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 的中点．若6AB =，8BC =，则四边形BDEF 的周长是（）A ．28B ．14C ．10D ．78．（2022·湖南怀化）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A ．七边形B ．八边形C ．九边形D ．十边形9．（2022·四川南充）如图，在正五边形ABCDE 中，以AB 为边向内作正ABF ，则下列结论错误的是（）A ．AE AF =B ．EAF CBF ∠=∠C ．F EAF ∠=∠D ．CE ∠=∠10．（2022·湖南湘潭）在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则BCD ∠=（）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒11．（2022·河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）A ．B ．C ．D ． 12．（2022·湖南岳阳）下列命题是真命题的是（）A ．对顶角相等B ．平行四边形的对角线互相垂直C ．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交D ．三角分别相等的两个三角形是全等三角形 13．（2022·河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（）A ．0αβ-=B ．0αβ-<C ．0αβ->D ．无法比较α与β的大小14．（2022·河南）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（）A ．6B ．12C ．24D ．4815．（2022·山东泰安）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．点E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，60ABC ∠=︒，2BC AB =．下列结论：①AB AC ⊥；②4AD OE =；③四边形AECF 是菱形；④14BOE ABC S S =△△．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．116．（2022·山东滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．对角线互相平分的四边形是菱形D ．对角线互相垂直的矩形是正方形二、填空题17．（2022·江苏扬州）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B '处，折痕AD 交BC 于点D ；第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB '于点P ．若12BC =，则MP MN +=_____________．18．（2022·江苏连云港）如图，在ABCD 中，150ABC ∠=︒．利用尺规在BC 、BA 上分别截取BE 、BF ，使BE BF=；分别以E、F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在CBA∠内交于点G；作射线BG交DC于点H．若1AD=，则BH的长为_________．19．（2022·四川南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得,AC BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是_______________m．20．（2022·湖南株洲）如图所示，已知60MON∠=︒，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E 在射线ON上，则AEO∠=_________度．21．（2022·四川遂宁）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为______．22．（2022·浙江舟山）正八边形的一个内角的度数是____ 度．23．（2022·江西）正五边形的外角和等于_______◦．24．（2020·湖南湘西）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是______． 25．（2022·湖南常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．26．（2022·浙江台州）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若EF 的长为10，则CD 的长为________．27．（2022·湖北荆州）如图，点E ，F 分别在□ABCD 的边AB ，CD 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，BC 于G ，H ．添加一个条件使⊥AEG ⊥⊥CFH ，这个条件可以是______．（只需写一种情况）28．（2022·江苏苏州）如图，在平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，过M ，N 两点作直线，与BC 交于点E ，与AD 交于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AEC F 的周长为______．29．（2022·湖南邵阳）如图，在等腰ABC 中，120A ∠=︒，顶点B 在ODEF 的边DE 上，已知140∠=︒，则2∠=_________．30．（2022·甘肃武威）如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AD BC ∥，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD 成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．31．（2022·山东滨州）如图，在矩形ABCD 中，5,10AB AD ==．若点E 是边AD 上的一个动点，过点E 作EF AC ⊥且分别交对角线AC ，直线BC 于点O 、F ，则在点E 移动的过程中，AF FE EC ++的最小值为________．三、解答题32．（2022·浙江嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC ⊥BD ，OB ＝OD ．求证：四边形ABCD 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．33．（2022·浙江温州）如图，在ABC中，AD BC⊥于点D，E，F分别是,AC AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．(1)求证：四边形DEFG是平行四边形．(2)当5AD=，5tan2EDC∠=时，求FG的长．34．（2022·云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，⊥BDF=90°。

中位线经典习题及答案

2014年4月王强的初中数学组卷2014年4月王强的初中数学组卷一．选择题（共10小题）1．（2013•铜仁地区）已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm2．（2013•怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（）A．18米B．24米C．28米D．30米3．（2012•泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4B．3C．2D．14．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．45．（1997•海南）用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EFC．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF6．用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°“时，应先假设（）A．∠B＞45°，∠C≤45°B．∠B≤45°，∠C＞45°C．∠B＞45°，∠C＞45°D．∠B≤45°，∠C≤45°7．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（）A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交8．能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是（）A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=159．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．面积相等的两个三角形一定全等C．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”D．反比例函数y=中函数值y随自变量x的增大一定而减小10．下列命题宜用反证法证明的是（）A．等腰三角形两腰上的高相等B．有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行D．全等三角形的面积相等二．填空题（共4小题）11．（2013•烟台）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为_________．12．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为_________．13．（2012•枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为_________．14．（2011•柳州）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离_________米．三．解答题（共16小题）15．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．16．（2012•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）求EF的长．17．（2005•乌鲁木齐）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．18．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．19．（2013•镇江）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．20．（2013•梧州）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．21．（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．22．（2011•天水）已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．23．（2010•东莞）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．24．（2006•镇江）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．25．（2006•湛江）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论．26．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．27．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．28．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．29．（2013•南充）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD 于F．求证：OE=OF．30．（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．2014年4月王强的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013•铜仁地区）已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm考点：三角形中位线定理．分析：由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．解答：解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE=AC，DF=BC，EF=AB，∴△DEF的周长=DE+DF+EF=（AC+BC+AB）=6cm，故选D．点评：解决本题的关键是利用中点定义和中位线定理得到新三角形各边长与原三角形各边长的数量关系．2．（2013•怀化）如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是（）A．18米B．24米C．28米D．30米考点：三角形中位线定理．分析：根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．解答：解：∵D、E是OA、OB的中点，即CD是△OAB的中位线，∴DE=AB，∴AB=2CD=2×14=28m．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．3．（2012•泰安）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4B．3C．2D．1考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：连接DE并延长交AB于H，由已知条件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得DE=HE，进而得到EF是三角形DHB的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF的长．解答：解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE（AAS），∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=BH，∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2，∴EF=1．故选D．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线的判定和性质，解题的关键是连接DE和AB相交构造全等三角形，题目设计新颖．4．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．4考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．解答：解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．5．（1997•海南）用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是（）A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EFC．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF考点：反证法．分析：根据要证CD∥EF，直接假设CD不平行于EF即可得出．解答：解：∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．∴证明的第一步应是：从结论反面出发，假设CD不平行于EF．故选：B．点评：此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．6．用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°“时，应先假设（）A．∠B＞45°，∠C≤45°B．∠B≤45°，∠C＞45°C．∠B＞45°，∠C＞45°D．∠B≤45°，∠C≤45°考点：反证法．分析：用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．解答：解：用反证法证明命题“在Rt△ABC中，若∠A=90°，则∠B≤45°或∠C≤45°”时，应先假设∠B＞45°，∠C＞45°．故选：C．点评：此题主要考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键．7．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（）A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交考点：反证法．分析：根据反证法的步骤，直接得出即可．解答：解：∵用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，∴第一步应假设：若a⊥c，b⊥c，则a、b相交．故选：D．点评：此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．8．能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是（）A．x=4 B．x=3 C．x=2 D．x=15考点：反证法．分析：根据x=3时，（x﹣3）2=0，得出能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是：x=3．解答：解：∵x=3时，（x﹣3）2=0，∴能证明命题“x是实数，则（x﹣3）2＞0”是假命题的反例是：x=3．故选：B．点评：本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题是假命题只要找到一个反例即可．9．下列说法正确的是（）A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B．面积相等的两个三角形一定全等C．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”D．反比例函数y=中函数值y随自变量x的增大一定而减小考点：反证法；反比例函数的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质．分析：分别根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质和反证法的证明第一步以及反比例函数的增减性得出即可．解答：解：A、等腰三角形的顶角平分线和底边上的中线、高线互相重合，故此选项错误；B、面积相等的两个三角形不一定全等，故此选项错误；C、用反证法证明命题“三角形中至少有一个角不大于60°”的第一步是“假设三角形中三个角都大于60°”，此选项正确；D、反比例函数y=中，每个象限内，函数值y随自变量x的增大一定而减小，故此选项错误；故选：C．点评：此题主要考查了反证法、反比例函数性质、等腰三角形的性质等知识，正确把握相关性质是解题关键．10．下列命题宜用反证法证明的是（）A．等腰三角形两腰上的高相等B．有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行D．全等三角形的面积相等考点：反证法．分析：利用直接证明的方法不易证明的结论，可以考虑利用反证法证明，据此即可判断．解答：解：A、利用三角形的面积公式比较容易证明，故选项错误；B、利用等边三角形的判定定理即可直接证明，故选项错误；C、正确；D、根据全等的定义可以直接证明，故选项错误．故选C．点评：本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法应用的条件，直接证明的方法不易证明的结论，可以考虑利用反证法证明．二．填空题（共4小题）11．（2013•烟台）如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为15．考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD 的中位线，可得OE=BC，所以易求△DOE的周长．解答：解：∵▱ABCD的周长为36，∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，∴OD=OB=BD=6．又∵点E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，DE=CD，∴OE=BC，∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．故答案是：15．点评：本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质．12．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，从而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，点F是CG中点，判断出DF是△CBG的中位线，继而可得出答案．解答：解：延长CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，∵AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，∵，∴△AFG≌△AFC（ASA），∴AC=AG，GF=CF，又∵点D是BC中点，∴DF是△CBG的中位线，∴DF=BG=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）=．故答案为：．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，同学们要注意培养自己的敏感性，一般出现即是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．13．（2012•枣庄）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．专题：压轴题．分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长解答：解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，∴DF=AB=2.5，∵DE为△ABC的中位线，∴DE=BC=4，∴EF=DE﹣DF=1.5，故答案为1.5．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．14．（2011•柳州）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于23米，则A、C两点间的距离46米．考点：三角形中位线定理．专题：计算题；压轴题．分析：根据E、F分别是线段AB、BC中点，利用三角形中位线定理，即可求出AC的长．解答：解：∵E、F分别是线段AB、BC中点，∴FE是三角形ABC的中位线，∴FE=AC，∴AC=2FE=23×2=46米．故答案为46．点评：此题考查学生对三角形中位线定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握三角形中位线定理，为进一步学习奠定基础．三．解答题（共16小题）15．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．解答：（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．16．（2012•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．（1）求∠A的度数；（2）求EF的长．考点：三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．分析：（1）由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求∠A的度数；（2）由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC，则BC=4cm．然后根据三角形中位线定理求得EF=BC．解答：解：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=90°﹣∠B=30°，即∠A的度数是30°；（2）∵由（1）知，∠A=30°．∴在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm，∴BC=AB=4cm．又E、F分别为边AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=2cm．点评：本题考查了三角形中位线定理、含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．（2005•乌鲁木齐）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别为AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A．求证：四边形DECF为平行四边形．考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．专题：证明题．分析：根据DE是三角形的中位线得到DE∥BC，根据CE是直角三角形斜边上的中线得到CE=AE，得∠A=∠ACE∵∠CDF=∠A∴∠CDF=∠ACE∴DF∥CE．再根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形而得证．解答：证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE为△ACB的中位线．∴DE∥BC．∵CE为Rt△ACB的斜边上的中线，∴CE=AB=AE．∴∠A=∠ACE．又∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ACE．∴DF∥CE．又∵DE∥BC，∴四边形DECF为平行四边形．点评：本题利用了：①三角形中位线的性质．②直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半．③等边对等角．④平行四边形的性质和判定．⑤内错角相等，两直线平行．18．（2004•苏州）已知：如图，正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E，使BE=CD，连接DE，交BC于点P．（1）求证：DP=PE；（2）若D为AC的中点，求BP的长．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题；证明题．分析：（1）过点D作DF∥AB，构造三角形全等，可证得△CDF为等边三角形，得到DF=BE，可由AAS证得△DFP≌△EBP⇒DP=EP；（2）若D为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，有BF=BC=a，点P是BF的中点，得到BP=BF=a．解答：（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．∵△ABC为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°．∴△CDF为正三角形．∴DF=CD．又BE=CD，∴BE=DF．又DF∥AB，∴∠PEB=∠PDF．∵在△DFP和△EBP中，∵，∴△DFP≌△EBP（AAS）．∴DP=PE．（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．∵D为AC中点，DF∥AB，∴BF=BC=a．∴BP=BF=a．点评：本题利用了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质求解．19．（2013•镇江）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）由全等三角形的判定定理SAS证得△ABE≌△DCF；（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等证得∠AEB=∠DFC，则∠AEF=∠DFE，所以根据平行线的判定可以证得AE∥DF．由全等三角形的对应边相等证得AE=DF，则易证得结论．解答：证明：（1）如图，∵AB∥CD，∴∠B=∠C．∵在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）；（2）如图，连接AF、DE．由（1）知，△ABE≌△DCF，∴AE=DF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEF=∠DFE，∴AE∥DF，∴以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．在证明（2）题时，利用了“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理．20．（2013•梧州）如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形．解答：证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△AEB与△DFC中，，∴△AEB≌△DFC（ASA），∴BE=CF．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CF．∴四边形BECF是平行四边形．点评：本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．21．（2013•鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．解答：证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．点评：此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．22．（2011•天水）已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD=CB，∠DAF=∠BCE，可证出AD∥CB，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．解答：解：结论：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB，又∵AF=CE DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB．23．（2010•东莞）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：证明题；压轴题．分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．解答：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=CB，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；（2）由（1）知道AC=EF，而△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，而EF⊥AB，∴EF∥AD，∴四边形ADFE是平行四边形．点评：此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．24．（2006•镇江）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证．解答：证明：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO．∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△CDO．∴AB=CD，又∵AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形．点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．25．（2006•湛江）如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论．考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理．专题：压轴题；探究型．分析：四边形EFGH是平行四边形，连接AC，根据中位线定理，可证得EF∥AC，且EF=AC．GH∥AC，且GH=AC，∴EF GH．∴四边形EFGH是平行四边形．解答：解：四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC，如图．∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=AC．同理：GH∥AC，且GH=AC，∴EF GH．∴四边形EFGH是平行四边形．点评：此题主要考查平行四边形的判定，综合运用了中位线定理，作辅助线是关键．26．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．考点：反证法．专题：证明题．分析：当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．解答：证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．点评：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．27．请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．考点：反证法．分析：首先假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，利用多项式乘以多项式得出（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，进而得出矛盾，则原命题正确．解答：证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1，（n、p为整数），则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，∵无论n、p取何值，2（2np+n+p）+1都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾，所以假设不成立，∴这两个整数中至少一个是偶数．点评：此题主要考查了反证法的证明以及多项式乘以多项式以及数的奇偶性，熟练掌握反证法证明步骤是解题关键．28．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明．（1）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．（2）有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．考点：反证法．分析：（1）真命题，不管底角还是顶角为60°，都可推出等腰三角形的每个角都为60°（2）假命题，举一个反例即可．解答：解：（1）真命题，（2）假命题．假设原命题为真命题，那么在△ABC中，∠A=20°，∠B=30°，∠C=130°，则△ABC就应该是锐角三角形；而实际上△ABC就应该是钝角三角形，所以假设错误，所以原命题为假命题．点评：本题考查了命题的判断，可反证法来证明．29．（2013•南充）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD 于F．求证：OE=OF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，又由∠AOE=∠COF，易证得△OAE≌△OCF，则可得OE=OF．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠OAE=∠OCF，∵在△OAE和△OCF中，，∴△OAE≌△OCF（ASA），∴OE=OF．点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．30．（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．。

四边形解题技巧专题中点问题作业ppt

四边形的边长和角度关系
对角线分成的两个三角形相似
在四边形中，对角线将四边形分成两个三角形，这两个三角形是相似的。
对角线平分
在凸四边形中，对角线平分四个内角；在凹四边形中，对角线平分四个外角。
四边形的对称性和面积计算
对称性
四边形可以具有轴对称性或中心对称性。轴对称四边形是关于一条直线对称的，中心对称四边形是关于一个点对称的。
详细描述
1. 构造直角三角形：利用矩形的性质，通过连接对角线或构造直角三角形来寻找中点之间的关系。
2. 利用中位线定理：直角三角形的斜边中线等于斜边的一半。即如果一个三角形是直角三角形
3. 解题时要注意：在解决矩形中点问题时，要关注图形中的隐含条件，如角度、线 K YOU.
2. 利用中位线定理：平行四边形的中位线等于它的一半，即如果一个四边形是平行四边形，那么它的中位线等于它的两条对角线的一半。
3. 解题时要注意：在解决平行四边形中点问题时，要关注图形中的隐含条件，如角度、线段长度等。
矩形中点问题例题
总结词：矩形中点问题主要涉及矩形的性质和直角三角形的中位线定理，通过构造直角三角形或利用中位线定理进行求解。
2023
四边形解题技巧专题-中点问题作业
目录
• 四边形基本知识回顾 • 中点问题解题技巧 • 中点问题经典例题解析 • 中点问题解题策略总结
01
四边形基本知识回顾
四边形的定义和性质
定义
四边形是由四条直线段连接的封闭图形。
性质
四边形具有凸性和凹性，其中凸四边形具有最小内角和最大外角，凹四边形具有最大内角和最小外角。
矩形中点问题
总结词
矩形中点问题主要涉及矩形的性质和直角三角形中的中位线定理，通过中点连接可以证明两对相等的线段，从而得到矩形。

中考数学专题训练(附详细解析)：中位线

中考数学专题训练（附详细解析）中位线1、（专题•昆明）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°考点：三角形中位线定理；平行线的性质；三角形内角和定理．分析：在△ADE中利用内角和定理求出∠AED，然后判断DE∥BC，利用平行线的性质可得出∠C．解答：解：由题意得，∠AED=180°﹣∠A﹣∠ADE=70°，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C=∠AED=70°．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理的内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．2、（专题•宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（）A．6B．8C．10 D．12考点：三角形中位线定理；三角形三边关系．分析：本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10，原三角形的周长大于14小于20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于7而小于10，看哪个符合就可以了．解答：解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，则2＜c＜10，14＜三角形的周长＜20，故7＜中点三角形周长＜10．故选B．点评：本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范围是解题的关键．3、（专题•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四边形BCED=1：3．解答：解：∵DE为△ABC的中位线，∴AE=CE．在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴S△ADE=S△CFE．∵DE为△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．故选A．点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．4、（专题•巴中）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（）A．9B．10.5 C．12 D．15考点：梯形中位线定理．分析：根据梯形的中位线等于两底和的一半解答．解答：解：∵E和F分别是AB和CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC），∵EF=6，∴AD+BC=6×2=12．故选C．点评：本题主要考查了梯形的中位线定理，熟记梯形的中位线平行于两底边并且等于两底边和的一半是解题的关键．5、（专题•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5C．4.5 D．4考点：三角形中位线定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．分析：首先解方程求得三角形的两边长，则第三边的范围可以求得，进而得到三角形的周长l的范围，而连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长一定是l的一半，从而求得中点三角形的周长的范围，从而确定．解答：解：解方程x2﹣8x+15=0得：x1=3，x2=5，则第三边c的范围是：2＜c＜8．则三角形的周长l的范围是：10＜l＜16，∴连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m的范围是：5＜m＜8．故满足条件的只有A．故选A．点评：本题考查了三角形的三边关系以及三角形的中位线的性质，理解原来的三角形与中点三角形周长之间的关系式关键．6、（专题•张家界）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（）A．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形考点：中点四边形．分析：根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形．解答：解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是菱形．证明：连接AC、BD．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=AC．同理FG=BD，GH=AC，EH=BD，又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形．故选C．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．7、（专题•绥化）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AD，AB的中点，EF交AC于点H，则的值为（）A．1B．C．D．考点：三角形中位线定理；平行四边形的性质．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出H是AO的中点，再根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后求出CH=3AH，再求解即可．解答：解：∵点E，F分别是边AD，AB的中点，∴AH=HO，∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AO=CO，∴CH=3AH，∴=．故选C．点评：本题考查了平行四边形对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记各性质是解题的关键．8、（专题哈尔滨）如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为( )．(A) 12(B)13(C)14(D)23考点：相似三角形的性质。

初二数学知识点精讲精练——中点四边形

中点四边形【考点】：中点四边形作为四边形和三角形中位线知识点的一个拓展，也是历年期中期末的常考题型。

【知识点】一、中点四边形依托于中位线的性质1. 中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2. 性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。

二、中点四边形1．定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形。

2．性质：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形。

（2）对角线相等的四边形，其中点四边形是菱形。

（3）对角线相互垂直的四边形，其中点四边形是矩形。

（4）对角线相等且互相垂直的四边形，其中点四边形是正方形。

（5）中点四边形的周长等于原四边形的对角线之和。

（6）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。

【典型例题】例：如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=P A，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．解（1）四边形EFGH是菱形．（2）成立．理由：连接AD，BC．∵∠APC=∠BPD，∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．即∠APD=∠CPB．又∵P A=PC，PD=PB，∴△APD≌△CPB（SAS）∴AD=CB．∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH是菱形．（3）补全图形，如图．判断四边形EFGH是正方形．理由：连接AD，BC．∵（2）中已证△APD≌△CPB．∴∠P AD=∠PCB．∵∠APC=90°，∴∠P AD+∠1=90°．又∵∠1=∠2．∴∠PCB+∠2=90°．∴∠3=90°．∵（2）中已证GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，∴GH∥BC，EH∥AD．∴∠EHG=90°．又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定（手拉手模型）等知识点的综合运用及推理论证能力．【练习】1．如图，已知D是△ABC内任一点，BD⊥CD，AD=8，BD=8，CD=6，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EHGF的周长是（）A．16 B．18 C．20 D．222．如图，锐角三角形ABC中（AB＞AC），AH⊥BC，垂足为H，E、D、F分别是各边的中点，则四边形EDHF 是（）A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．矩形3．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为．4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC=BD，S ABCD=8cm2，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于．5．如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形【练习解析】1. 解：如图，∵BD⊥CD，BD=8，CD=6，∴BC==10，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG=BC=5，EF=BC=5，EH=FG=AD=4，∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×（5+4）=18．故选：B．2．解：如图，∵E、D、F分别是各边的中点．∴ED∥AC，ED=AC=FC，EF∥BC，EF=BC=DC．∴四边形EFCD是平行四边形．∴DE=CF．∵AH⊥BC，垂足为H，F是AC的中点．∴HF=AC=CF．∴HF=DE．∵DH∥EF．∴四边形EDHF是等腰梯形．故选：B．3．解：∵A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，且AC=8，BD=10∴A1D1是△ABD的中位线∴A1D1=BD=×10=5同理可得A1B1=AC=4根据三角形的中位线定理，可以证明四边形A1B1C1D1是矩形那么四边形A1B1C1D1的面积为A1D1×A1B1=5×4=20．4.解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC∴四边形EFGH是平行四边形又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形，∵AC⊥BD，AC=BD，S ABCD=8cm2，∴AC•BD=8，解得：AC=BD=4，∴EH=HG=2，∴四边形EFGH的周长为8cm，故答案为：8cm．5.【解答】解：连接BD、AC；∵△ADE、△ECB是等边三角形，∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°；∴∠AEC=∠DEB=120°；∴△AEC≌△DEB（SAS）；∴AC=BD；∵M、N是CD、AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，即MN=AC；同理可证得：NP=DB，QP=AC，MQ=BD；∴MN=NP=PQ=MQ，∴四边形NPQM是菱形；故选：C．南京新东方数学教研组:李文琦。

平行四边形(二)中位线、中点四边形、由中点想到什么、多边形的内角和

姓名：5月 14日平行四边形（二）——中位线、多边形的内角和一、过程规范1-1 如图，在平行四边形ABCD中，P、Q是对角线BD上的两个点，且BP=DQ．求证：四边形APCQ为平行四边形．1-2 如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若∠ABC=60°，BD=4，求平行四边形ADEF的面积．二、三角形的中位线2-1 补充完整三角形中位线定理，并加以证明：（1）三角形中位线定理：三角形的中位线；（2）已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，DE=BC．2-2 如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（）A．2 B．3 C．4 D．52-3 如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．2-4 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．三、梯形的中位线3-1 我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．3-2 如图，点A、B在一直线上，以AB、BC为边在同侧分别作正方形ABGF和正方形BCDE，点P是DF的中点，连结BP．已知AB=3cm，BC=9cm，则BP的值是（）A．6cm B．cm C．4cm D．3cm3-3 如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）A．B．C．D．3-4 如图，已知A为DE的中点，设△DBC、△ABC、△EBC的面积分别为S1，S2，S3，则S1、S2、S3之间的关系式是（）A．B．C．D．四、中点四边形4-1 观察探究，完成证明和填空．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？4-2 若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形4-3 依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形，则这个图形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形 D．梯形4-4 如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A nB nC nD n．下列结论正确的是（）①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形A n B n C n D n面积为．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4-5 已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，且AC≠BD，则四边形EFGH的形状是（填“梯形”“矩形”或“菱形”）4-6 如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是；四边形A2013B2013C2013D2013的周长是．五、由中点想到什么？5-1 如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB=6，则BF的长为（）A．6 B．7 C．8 D．105-2 如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．B．1 C．D．75-3 如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3 D．45-4 如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．15-5 如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）A．B．C． D．5-6 如图，点A、B在一直线上，以AB、BC为边在同侧分别作正方形ABGF和正方形BCDE，点P是DF的中点，连结BP．已知AB=3cm，BC=9cm，则BP的值是（）A．6cm B．cm C．4cm D．3cm5-7 如图，在△ABC，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，AB=10cm，求MD的长．5-8 已知：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：（1）BE⊥AC；（2）EG=EF．5-9 如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为BC、AE的中点．求证：MN∥AD．5-10 如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．六、多边形的内角和与外角和6-1 若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（）A．180°B．720°C．1080°D．540°6-2 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7。

中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《中点四边形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.中点四边形的定义：将任意四边形各条边的中点顺次连接起来得到的四边形叫做中点四边形。

2.中点四边形的判定：①任意四边形的中点四边形是平行四边形。

②对角线相互垂直的四边形的中点四边形是矩形。

（菱形的中点四边形是矩形）③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。

（矩形的中点四边形是菱形）④对角线相互垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。

（正方形的中点四边形是正方形）练习题1、（2022•玉林）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相垂直C．互相平分且相等D．互相垂直且相等【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，【解答】解：如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，∴AC⊥BD，AC＝BD，故选：D．2、（2022•德阳）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA 边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和C．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和D．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD的面积的【分析】根据三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，进而逐一判断即可．【解答】解：A．如图，连接AC，BD，在四边形ABCD中，∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故A选项错误；B．∵四边形EFGH的内角和等于360°，四边形ABCD的内角和等于360°，故B选项错误；C．∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，∴EH＝BD，FG＝BD，∴EH+FG＝BD，同理：EF+HG＝AC，∴四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和，故C选项正确；D．四边形EFGH的面积不等于四边形ABCD的面积的，故D选项错误．故选：C．。

中点四边形例题

中点四边形例题(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2课题：年级：时间：姓名：《课标》解析：探索并证明三角形的中位线定理《说明》细目：掌握三角形的中位线定理，会用三角形中位线性质解决有关问题教学目标1．进一步熟悉三角形的性质定理和判定定理；2、会运用三角形的中位线定理证明中点四边形形状；【教学重点】三角形中位线定理的应用【教学难点】证明中点四边形的思路方法。

问题设计：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，你能说明四边形EFGH 是平行四边形吗活动设计：变式1如图□ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，试猜想四边形EFGH 的形状并证明。

变式2如图矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，试猜想四边形EFGH 的形状并证明。

变式3如图菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，试猜想四边形EFGH 的形状并证明。

B3 变式4如图正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，试猜想四边形EFGH 的形状并证明。

检测达标：如图，四边形ABCD 中，一组对边AB=DC=4，另一组对边AD ≠BC ，对角线BD 与边DC 互相垂直，M 、N 、H 分别是AD 、BC 、BD 的中点，且30ABD ︒∠=.求(1)MH 的长;(2)MN 的长.布置作业：反思改进： D B CA H M N。

八年级数学下册中点四边形模型(解析版)

专题01中点四边形模型中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。

结论1:点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形结论2:对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4:对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，故选：A．【典例2】（2023春•和平区校级期末）已知在四边形ABCD中，对角线AC与BD相等，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C【解答】解：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，AC＝BD，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理：FG＝BD，GH＝AC，EH＝BD，∵AC＝BD，∴EF＝HG＝EH＝FG，∴四边形EFGH是菱形．故选：C．【典例3】（2023春•庐江县期末）若顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形一定是（）A．矩形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：D．1．（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】D【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，FE＝FG，∴四边形EFGH是正方形，2．（2022秋•辽阳期末）顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形【答案】C【解答】解：如图，连接AC、BD．在△ABD中，∵AH＝HD，AE＝EB，∴EH＝BD，同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：C．3．（2023•佛山模拟）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、D A的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BDC．AC⊥BD且AC＝BD D．不确定【答案】B【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD．理由如下：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC＝BD，所以EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形．故选：B．4．（2023春•涟水县期中）若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形（）A．一定是矩形B．一定是菱形C．对角线一定互相垂直D．对角线一定相等【答案】D【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC．∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选：D．5．（2023春•锡山区校级期中）顺次连接对角线长为6的矩形ABCD四边中点所得的四边形的周长为（）A．12B．18C．9D．无法确定【答案】A【解答】解：因为矩形的对角线相等，所以AC＝BD＝10cm，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，∴EH＝GF＝BD＝×6＝3，EF＝GH＝AC＝×6＝3，故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH＝12．故选：A．6.（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，需添加的条件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB⊥CD【答案】C【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．故选：C．7．（2023春•东莞市校级期中）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝5，AD＝8，则图中阴影部分四边形EFGH的面积为（）A．40B．26C．20D．13【答案】C【解答】解：连接EG、FH，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°，∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，∴EG＝AD＝8，HF＝AB＝5，EG⊥HF，＝×5×8＝20，∴S四边形EFGH故选：C．8．（2022•南召县模拟）如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是（）A．在四边形ABCD中，若对角线AC＝BD，则四边形EFGH为矩形B．在四边形ABCD中，若对角线AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形C．在四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为矩形D．在四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则四边形EFGH为正方形【答案】D【解答】解：连接AC、BD，∵E，F分别为边AB，BC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝AC，EF∥AC，同理，HG＝AC，HG∥AC，EH＝BD，EH∥BD，∴EF＝HG，EF∥HG，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH为菱形，故选项A错误；当AC⊥BD时，EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形，故选项B错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG⊥HF，则四边形EFGH为菱形，故选项C错误；在平行四边形EFGH中，若对角线EG＝HF，且EG⊥HF，则平行四边形EFGH为正方形，故选项D正确．故选：D．9.（2022春•凤凰县期末）顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形必定是（）A．任意四边形B．平行四边形C．菱形D．矩形【答案】B【解答】解：如图根据中位线定理可得：GF＝BD且GF∥BD，EH＝BD且EH∥BD，∴EH＝FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．故选：B．10.（2022春•青白江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EF GH的面积为（）A．48B．24C．32D．12【答案】D【解答】解：∵点E、F分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴EF∥BD，且EF＝BD＝3．同理求得EH∥AC∥GF，且EH＝GF＝AC＝4，又∵AC⊥BD，∴EF∥GH，FG∥HE且EF⊥FG．四边形EFGH是矩形．∴四边形EFGH的面积＝EF•EH＝3×4＝12，即四边形EFGH的面积是12．故选：D．11．（2022春•芜湖期中）如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，即正方形ABCD的，则周长是正方形ABCD的；…故第n个正方形周长是原来的，以此类推：正方形A8B8C8D8周长是原来的，∵正方形ABCD的边长为1，周长为4，∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为，故选：C．12．（2022•旌阳区模拟）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25B．30C．35D．40【答案】A【解答】解：连接EF、FG、GH、HE，∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF＝AC＝，FG＝BD＝，GH＝AC＝，HE＝BD＝，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥FH，OE＝OG，OF＝OH，∴OE2+OH2＝EH2＝，∴EG2+FH2＝4OE2+4OH2＝25，故选：A．13．（2023春•浦东新区校级期末）顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为ab．【答案】ab．【解答】解：连接AC、BD，∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC，同理可得：GH＝AC，EH＝BD，GF＝BD，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵菱形EFGH为对角线分别为a、b，∴等腰梯形ABCD的中位线和高分别为a、b，＝ab，∴S等腰梯形故答案为：ab．14．（2023春•南川区期中）如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为18cm，顺次连结各边中点E、F、G、H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为36cm．【答案】36．【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AC＝×18＝9cm，同理FG＝BD，HG＝AC，EH＝BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH的周长为9×4＝36（cm）．故答案为：36．15．（2022春•临海市期末）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA 的中点，若AC＝6，BD＝4．则四边形EFGH的周长为10．【答案】10．【解答】解：∵E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，AC＝6，BD＝4，∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，GF是△BDC的中位线，GH是△AD C的中位线，∴EF＝AC＝×6＝3，GH＝AC＝×6＝3，EH＝BD＝×4＝2，FG＝BD＝×4＝2，∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+EH＝3+2+3+2＝10，故答案为：10．16．（2022春•克东县期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，BD＝A C．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是AC＝BD且AC⊥BD．【答案】AC＝BD且AC⊥BD．【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG＝AC；同理EF∥AC且EF＝AC，同理可得EH＝BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．17．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，D A的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是平行四边形；（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且△AMD和△MCB为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）中点四边形EFGH是平行四边形；理由如下：连接AC，如图1所示：∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）四边形EFGH为菱形．理由如下：连接AC与BD，如图2所示：∵△AMD和△MCB为等边三角形，∴AM＝DM，∠AMD＝∠CMB＝60°，CM＝BM，∴∠AMC＝∠DMB，在△AMC和△DMB中，，∴△AMC≌△DMB（SAS），∴AC＝DB，∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，GH是△ACD的中位线，HE是△ABD的中位线，∴EF∥AC，EF＝AC，GH∥AC，GH＝AC，HE＝DB，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；∵AC＝DB，∴EF＝HE，∴四边形EFGH为菱形．18．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、C D、AD的中点，连接AC、BD．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．【答案】（1）证明见解答过程；（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由见解答．【解答】（1）证明：∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，HG∥AC，HG＝AC，∴EF∥HG，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形，理由如下：由（1）知：四边形EFGH是平行四边形．∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH＝BD．又∵EF＝AC，∴当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形．19．（2022秋•薛城区校级月考）如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、C D、DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状．并说明理由．（2）当四边形ABCD的对角线添加条件AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．（3）在（2）的条件下，说明四边形EFGH是矩形．【答案】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由见解析；（2）AC⊥BD；（3）证明见解答过程．【解答】（1）解：四边形EFGH为平行四边形，理由如下：连接AC、BD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形；（2）解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形，故答案为：AC⊥BD；（3）证明：∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH∥BD，∴EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴平行四边形EFGH为矩形．20．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、B C、CD、DA的中点，（1）求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．【答案】（1）见解析过程；（2）四边形EFGH是菱形，理由见解析过程．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形；（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：如图2，连接AC、BD，∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD，即∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（SAS），∴AC＝BD，∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．21．（2022春•咸安区期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△A BC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝BC，证明见解析．【解答】（1）证明：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE∥BC且DE＝BC，∵F、G是OB、OC的中点，∴GF∥BC且GF＝BC，∴DE∥GF且DE＝GF，∴四边形DFGE是平行四边形；（2）证明：由（1）知，四边形DFGE是平行四边形，如图，连接OA，∵D、G分别是AB、OB的中点，∴DG∥OA，∵OA⊥DE，∴DG⊥DE，∴∠GDE＝90°，∴平行四边形DFGE是矩形，所以当OA⊥DE时，四边形DFGE是矩形；（3）解：若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：OA⊥BC且OA＝B C，由（2）可知，当OA⊥BC时，四边形DFGE是矩形，∵D、G、F分别是AB、OB、OC的中点，∴DG＝AO，GF＝BC，∵AO＝BC，∴DG＝GF，∴矩形DGFE是正方形．故答案为：OA⊥BC且OA＝BC．22．（2022春•龙口市月考）已知四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形；（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E，F，H分别在边AB，BC，AD上，连接CG．已知BE＝2AE＝8，CG＝2，CF﹣BF＝1，求AD的长．【答案】（1）证明见解答过程；（2）14．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，BD，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC，同理：GH∥AC，GH＝AC，EH＝BD，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴EF＝EH．∴四边形EFGH是菱形；（2）解：如图2，连接FH，过点G作GM⊥BC交BC的延长线于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC．∴∠A＝∠M，∠AHF＝∠MFH，∵四边形EFGH是菱形，∴FG∥EH，FG＝EH，∴∠EHF＝∠GFH．∴∠AHE＝∠MFG，在△AEH和△MFG中，∴△AEH≌△MFG（AAS），∴GM＝AE＝4．∵CG＝2，根据勾股定理，得CM＝2，设BF＝x，则CF＝x+1，在Rt△GFM中，FG2＝（x+1+2）2+16＝（x+3）2+16，同理EF2＝x2+64，∴（x+3）2+16＝x2+64．∴x＝，∴BC＝2x+1＝14，∴AD＝BC＝14．23．（2022春•崇川区校级月考）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH？请说明你的理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：当AB＝CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH．∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG＝AB，同理HF＝CD，FG＝CD，EH＝CD，又∵AB＝CD∴EG＝GF＝FH＝EH∴四边形EFGH是菱形．∴EF⊥GH．。

新人教版八年级数学下册小专题四中点四边形问题课时作业【精品】

小专题(四)中点四边形问题顺次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.根据三角形中位线定理可知,中点四边形一定是平行四边形,且中点四边形面积是原四边形面积的一半.如果原的四边形是平行四边形或特殊的平行四边形,其中点四边形又会呈现更多的性质.类型1判断中点四边形的形状1.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所得图形一定是(C)A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形2.如图,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.(1)判断四边形EFGH的形状,并说明你的理由;(2)连接BD和AC,当BD,AC满足何条件时,四边形EFGH是正方形.解(1)四边形EFGH是平行四边形.理由连接AC.∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC,且EF=AC.同理,HG∥AC,且HG=AC,∴EF∥HG,且EF=HG,∴四边形EFGH是平行四边形.(2)当BD=AC,且BD⊥AC时,四边形EFGH是正方形.理由连接AC,BD.∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,∴EF=GH=AC,GH=FG=BD,EH∥BD,GH∥AC.∵BD=AC,BD⊥AC,∴EH=EF=FG=GH,EH⊥GH,∴四边形EFGH是菱形,且∠EHG=90°,∴菱形EFGH是正方形.3.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,对角线AC=3,BD=2,则四边形EFGH的周长为(B) A.4 B.5 C.6 D.74.如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则EG2+FH2的值为(C)A.9B.18C.36D.485.如图,O是△ABC内一点,连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.(1)求证四边形DEFG是平行四边形;(2)若M为EF的中点,OM=5,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.解(1)∵边AB,OB,OC,AC的中点分别为D,E,F,G,∴DG∥BC,EF∥BC,DG=BC,EF=BC,∴DG∥EF,DG=EF,∴四边形DEFG是平行四边形.(2)∵∠OBC和∠OCB互余,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°.∵M为EF的中点,∴OM=EF,∵OM=5,DG=EF,∴DG=EF=2OM=10.6.两个直角三角板ABD 和BDC 按照如图的方式拼成一个四边形ABCD ,∠A=45°,∠DBC=30°,AB=6,E ,F ,G ,H 分别是各边中点,则四边形EFGH 的面积等于 9+3 .7.若菱形的两条对角线长分别为10 cm 和24 cm,则顺次连接这个菱形四条边的中点所得的四边形的面积是 60 cm 2.8.如图,四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 依次是各边的中点,O 是四边形ABCD 内一点,若四边形AEOH 、四边形BFOE 、四边形CGOF 的面积分别为4,5,7,求四边形DHOG 面积. 解连接OC ,OB ,OA ,OD.∵E ,F ,G ,H 依次是各边中点,∴△AOE 和△BOE 等底等高,∴S △OAE =S △OBE ,同理可证,S △OBF =S △OCF ,S △ODG =S △OCG ,S △ODH =S △OAH ,∴S 四边形AEOH +S 四边形CGOF =S 四边形DHOG +S 四边形BFOE ,∵S 四边形AEOH =4,S 四边形BFOE =5,S 四边形CGOF =7,∴4+7=5+S 四边形DHOG ,∴S 四边形DHOG =6.。

几何图形中点问题讲义

- 1 - 中点专题（讲义）一、知识点睛1.中位线：①三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；②三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；③梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线；④梯形中位线定理：梯形的中位线平行于上下底且等于上下底和的一半；⑤四边形中的中点2.遇到中点常见的五种思路：1、遇到等腰三角形底边的中点，考虑三线合一；2、遇到直角三角形斜边的中点，考虑斜边的中线等于斜边的一半；3、遇到三角形一边上的中线，考虑倍长中线；4、遇到平行线所截线段的中点，考虑类倍长中线；5、多个中点，考虑（或构造）中位线．二、精讲精练1.如图，点D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，若△DEF 的周长为10cm ，则△ABC 的周长为_______. GF E C BA D E A F GC BDCBAD CBAODC BAE CG FADBCG FE AHD B HG F E D CBA E DCBAG FEDCB A- 2 - 第4题图第3题图BA F D CEA EDCB45°2. 如图，已知四边形ABCD 中，R ，P 分别是BC ，CD 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，下边结论成立的是（立的是（）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小的长逐渐减小C ．线段EF 的长保持不变D ．线段EF 的长不能确定的长不能确定3. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =45°，AE ⊥BC 于点E ，AE =AD =2cm ，则这个梯形的中位线长为______. 4. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是中位线，AD =a ，EF =b ，则BC 的长是________.5. 若梯形中位线长为高的2倍，面积是18cm 2，则这个梯形的高等于（，则这个梯形的高等于（） A ．62cm B ．6cm C ．32cm D ．3cm 6. 如图，DE 是△ABC 的中位线，M ，N 分别是BD ，CE 的中点，MN =6，则BC =_______．7. 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，四边形EFGH 为中点四边形，当AC =BD 时，四边形EFGH 是_______形；当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是________形；当四边形EFGH 是正方形时，AC 与BD 满足的关系是____________．由此可见，中点四边形的形状与外围四边形的对角线有关．边形的对角线有关．8. 如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点，若∠ACB ＝66°，∠CAD ＝20°，则∠EFG =________. 9. 如图，△ABD 中，C 是BD 边上一点，∠BAC =90°，∠CAD =45°，且BC =CD ，求证：AB=2AC ．第2题图第1题图CDP EFR BAC F AD BEABCD FEGAB C D第11题图第10题图CBDEFP A B ANCM 第7题图第6题图AF G D E CBHBM ED CAN- 3 - 10. 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长等于（的周长等于（） A ．38 B ．39 C ．40 D ．41 11. 如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC 为（为（）A ．35° B ．45°C ．55°D ．65°12. 如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，若∠AEF =54°，则∠B =___________．13. 四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ，BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H ，G ，则∠AHE ∠BGE （填“＞”或“＝”或“＜”）14. 如图，以△ABC 的边AB ，AC 为斜边向外作Rt △ABD和Rt △ACE ，且使∠ABD =∠ACE =α，M 是BC 的中点，的中点，求证：DM =ME ．【精讲精练】 1．20cm 2．C 3．4cm 4．2b -a 5．D 6．8 7．菱形；矩形，AC ⊥BD 且AC =BD 8．23° 9．思路点拨：①取AB 中点；②取AD 中点；③倍长AC 10．D 11．C 12．72° 13．“=” 14．思路点拨：取AB 中点P ，AC 中点Q ，证明△PDM ≌QMEBC E DFA BCDEAMBE A FDCGH。

模型36中点四边形模型和梯形中位线定理(原卷版)

模型介绍中点四边形模型（1）任意四边形四条边的中点依次连接得到的四边形一定是平行四边形. （2）矩形四条边中点连线所得到的四边形为菱形.（3）菱形四条边中点连线所得到的四边形为矩形.梯形中位线定理（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）梯形面积与中位线的关系：梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．考点一：中点四边形问题【例1】．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝4，BC＝5，则四边形EFGH的周长是．➢变式训练【变式11】．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．11D．13【变式12】．如图，在四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．例题精讲考点二：梯形的中位线定理【例2】．如图，在▱ABCD中，BC＝4m，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG＝m．➢变式训练【变式21】．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（）A．9B．10.5C．12D．15【变式22】．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则＝．1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO﹣EO＝3，则BC﹣AD 等于（）A．4B．6C．8D．102．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25B．30C．35D．403．在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝11，①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1＝8，②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出A1B1+A2B2的值…，照此规律下去，③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（）A．50B．80C．96D．1004．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A nB n∁n D n．下列结论正确的是（）①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形A n B n∁n D n面积为．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AD＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为．6．如图，等腰梯形的一条对角线与下底的夹角为45°，中位线长为8，则梯形的面积为．7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC，BD交于M，N两点，若EF＝18cm，MN ＝8cm，则AB的长等于cm．8．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的是．9．如图，在四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，且对角线AC⊥BD，AC：BD＝4：3，AC+BD＝28，则MQ：QP＝，四边形MNPQ的面积是．10．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝3，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．11．由四边形四条边的中点组成的四边形叫做原四边形的中点四边形．如图，四边形ABCD是矩形，取矩形ABCD四条边的中点得到中点四边形A1B1C1D1，再取四边形A1B1C1D1四条边的中点得到中点四边形A2B2C2D2，…，按此规律继续下去，若矩形ABCD的面积为1，则得到的中点四边形A n B n∁n D n的面积为．12．如图，梯形中ABCD中，∠DBC＝30°，，，EF为梯形的中位线．求梯形的面积及EF的长．13．如图：在梯形ABCD中，CD∥AB，点F在AB上．CF＝BF，且CE⊥BC交AD于E，连接EF．已知EF⊥CE，（1）若CF＝10，CE＝8，求BC的长．（2）若点E是AD的中点，求证：AF+DC＝BF．14．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若AC＝8，求EG2+FH2的值．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点D、E、F、G分别为边OA、AB、BC、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．（1）若点C在y轴的正半轴上，当点B的坐标为（4，2）时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．（2）若点C在第一象限运动，且四边形DEFG为菱形时，求四边形OABC对角线OB长度的取值范围．（3）若在点C运动过程中，四边形DEFG始终为正方形，当点C从x轴负半轴经过y轴正半轴，运动至x轴正半轴时，直接写出点B的运动路径长．16．已知：在△ABC中，AB＝10．（1）如图（1）所示，若点D，E分别是AC，CB的中点，则DE的长为；（2）如图（2）所示，若点A1，A2把AC三等分，B1，B2把BC三等分，则A1B1+A2B2＝；（3）如图（3）所示，若点A1，A2，…A10把AC边十一等分，B1，B2，…，B10把BC边十一等分，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你发现的规律，写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果为．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b．若E1、F1分别是AB、DC的中点，则E1F1＝（AD+BC）＝（a+b）；若E2，F2分别是E1B，F1C的中点，则E2F2＝（E1F1+BC）＝[（a+b）+b]＝（a+3b）；当E3，F3分别是E2B，F2C的中点，则E3F3＝（E2F2+BC）＝（a+7b）；若E n F n分别是E n﹣1，F n﹣1的中点，根据上述规律猜想E n F n＝．（n≥1，n为整数）18．请阅读下面知识：梯形中位线的定义：梯形两腰中点的连线，叫做梯形的中位线．如图，E，F是梯形ABCD两腰AB，CD 的中点，则EF是梯形的中位线梯形中位线与两底长度的关系：梯形中位线长度等于两底长的和的一半如图：EF＝（AD+BC）利用上面的知识，完成下面题目的解答已知：直线l与抛物线M交于点A，B 两点，抛物线M的对称轴为y轴，过点A，B作x轴的垂线段，垂足分别为D，C，已知A（﹣1，3），B （）（1）求梯形ABCD中位线的长度；（2）求抛物线M的解析式；（3）把抛物线M向下平移k个单位，得抛物线M1（抛物线M1的顶点保持在x轴的上方），与直线l的交点为A1，B1，同样作x轴的垂线段，垂足为D1，C1，问此时梯形A1B1C1D1的中位线的长度（设为h）与原来相比是否发生变化？若不变，说明理由．若有改变，求出h与k的函数关系式．19．让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系．第一步：数轴上两点连线的中点表示的数．自己画一个数轴，如果点A、B分别表示﹣2、4，则线段AB 的中点M表示的数是．再试几个，我们发现：数轴上连接两点的线段的中点所表示的数是这两点所表示数的平均数．第二步；平面直角坐标系中两点连线的中点的坐标（如图①）为便于探索，我们在第一象限内取两点A （x1，y1），B（x2，y2），取线段AB的中点M，分别作A、B到x轴的垂线段AE、BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN⊥x轴，利用第一步的结论及梯形中位线的性质，我们可以得到点M的坐标是（，）（用x1，y1，x2，y2表示），AEFB是矩形时也可以．我们的结论是：平面直角坐标系中连接两点的线段的中点的横（纵）坐标等于这两点的横（纵）坐标的平均数．第三步：平面直角坐标系中平行四边形的顶点坐标之间的关系（如图②）在平面直角坐标系中画一个平行四边形ABCD，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则其对角线交点Q的坐标可以表示为Q（，），也可以表示为Q（，），经过比较，我们可以分别得出关于x1，x2，x3，x4及，y1，y2，y3，y4的两个等式是和．我们的结论是：平面直角坐标系中平行四边形的对角顶点的横（纵）坐标的．。