第六章 黑油模型(半隐式、全隐式和IMPIMS方法)

0 ≤ x ≤ Lx 0 ≤ y ≤ Ly 0 ≤ z ≤ Lz
5. 边界条件 • 外边界 1) 定压外边界
P Γ ＝ Pe t>0
2)封闭外边界
∂P ∂n = 0
Γ
t > 0
•内边界 •定产 Qv = Qv ⋅ δ (x − ζ , y − η , z − θ ) 式中δ点源函数 δ=0 网格中无井 δ=1 网格中有井 •定井底流压 Pwf Piwf
g g gd o
（2）
∂ ∂ ＋qg = φ ρg Sg + φ ρgd Sg ∂t ∂t g cm3 ; 式中ρgd—溶解气密度 ，
(
)
(
)
• 水组分
w w w
Rso ρ gsc ρ gd = Bo
（3）
kk rw ∇ ⋅ ρ (∇ P w − ρ g ∇ D ) + q w = ∂ (φ ρ S w ) ∂t µw
（23）
Rw = − ∆ T w ∆ Φ w
n n
5. 一维情况下，（21）～（23）式的展开式 • 油组分 Toin+ 1 (δPi+1 − δPi ) + Toin− 1 (δPi−1 − δPi )
2 2
∂To ∂To n n + (Φ i+1 − Φ i )δPi+ 1 + (Φ in−1 − Φ in )δPi− 1 2 2 ∂P i+ 12 ∂P i− 12 ∂To + ∂S w ∂To + ∂S g = Roi ∂To n n (Φ i+1 − Φ i )δS wi+ 1 + ∂S 2 i+ 1 2 w ∂To n n (Φ i+1 − Φ i )δS 1 + gi + ∂S 2 i+ 12 g (Φ in−1 − Φ in )δS wi− 1 2 i− 12 (Φ in−1 − Φ in )δS 1 gi − 2 i− 1 2
[
3. 方程（7）、（8）、（9）的右端项 • 油组分方程（7）
]
(15)
V = B ∆t
n n n ∂ρ 0 0 n n n n n δΡ − φ ρ o δS w − φ ρ o δS g = C01δΡ + C02δS w + C03δS g ρ 0 S 0 Cφ φ + φ S 0 ∂Ρ V n n V V n ∂ρ o n n C o1 = B ρ o S o Cφ φ 0 + φ n S o Co 2 = − B φ n ρ o Co3 = − B φ n ρ o 式中
t>0
二、差分方程组的建立 先不讨论源、汇项，方程（1）、（2）、（3）的差 分方程可写为 • 油组分 V n +1 n +1 n +1 n +1 n (7) ∆T0 ∆P0 − ∆T0 ρ on g∆D = B [(φρ 0 S 0 ) − (φρ 0 S 0 ) ] • 气组分
∆Τgd ∆Ρ0
n +1 n +1
∆t
+ ∆Τg ∆Ρ0
n +1
n +1பைடு நூலகம்
+ ∆Τg ∆Ρcgo
n +1
n +1
n − ∆Τgd ρ on g∆D − ∆Τg ρ g g∆D n +1 n +1
VB (φρ gd S o )n+1 − (φρ gd S o )n + (φρ g S g )n+1 − (φρ g S g )n = ∆t
∂Τo ∂Τ ∂Τ δΡ + o δS w + o δS g ∂Ρ ∂S w ∂S g
(10)
∂Τo kρ o ∂k ro = µ o ∂S w ∂S w ∂Τo kρ o ∂k ro = ∂S g µ o ∂S g
将（10）式代入（7）式的左端项
n ∂Τo ∂Τo ∂Τo Τo + ∆ δΡ + δS w + δS g [∆(Ρ n + δΡ ) − ρ o g∆D ] ∂Ρ ∂S w ∂S g ∂Τ ∂Τ n n n = ∆Τo ∆Ρ n + ∆Τo ∆δΡ − ∆Τo ρ on g∆D + ∆ o δΡ∆Ρ n + ∆ o δΡ∆δΡ ∂Ρ ∂Ρ ∂Τ ∂Τ ∂Τ ∂Τ n n − ∆ o δΡρ o g∆D + ∆ o δS w ∆Ρ n + ∆ o δS w ∆δΡ − ∆ o δS w ρ o g∆D ∂Ρ ∂S w ∂S w ∂S w +∆ ∂Τo ∂Τ ∂Τ n δS g ∆Ρ n + ∆ o δS g ∆δΡ − ∆ o δS g ρ o g∆D ∂S g ∂S g ∂S g
3. 辅助方程 s g + so + s w = 1 1) pcow = po − pw 2) pcgo = p g − po 3) 4. 初始条件
(4) (5) (6)
P(x, y, z ,0 ) = Pi S w (x, y, z ,0 ) = S wc S o (x, y, z ,0 ) = S oi
{[
] [
]}
]
(8)
• 水组分
∆Τw ∆Ρ0
n +1 n +1
− ∆Τw ∆Ρcow
n +1
n +1
− ∆Τw
n +1
VB ρ g∆D = (φρ w S w )n+1 − (φρ w S w )n (9) ∆t
n w
[
（7）、（8）、（9）的未知数为Po、Sw、Sg
1．考虑流动系数T的半隐式油组分差分方程（7）的左端项 kk ro n+1 n+1 Τo = ( ρ o ) µo n +1 中非线性 ρ o = f (Ρ n+1 ) 其中
∆Τg +∆
n+1
[∆(Ρ
n+1
+ Ρcgo
n
n+1
)− ρ
n
n g
g∆D = ∆Τg ∆Φg + ∆Τg ∆δΡ
n n n
]
∂Τg ∂Ρ
δΡ∆Φg + ∆Τg ∆
∂Ρcgo ∂S g
δS g + ∆
∂Τg ∂S g
δS g ∆Φg
(12)
n
式中 ∆Φ g n = ∆(Ρ n + Ρcgo n ) − ρ g n g∆D • 溶解气 ∆Τgd n+1 (∆Ρ n+1 − ρ o n g∆D ) = ∆Τgd n ∆Φ n + ∆Τgd n ∆δΡ
第六章 黑油模型（半隐式、全隐式和 IMPIMS方法）
• 半隐式方法 • 全隐式方法 • 隐式压力隐式饱和度方法
第一节 半隐式方法
一、数学模型 1. 假设条件 1) 符合达西渗流定律 2) 等温渗流 3) 油气水三相和油气水三组分，油气相之间有质量 交换，即气组分不仅存在于气相中，而且存在于油相； 但油相和水相之间没有质量交换 4) 油相和气相随压力变化而发生相态变化 5) 岩石和流体均可压缩 6) 油藏非均质和各向异性 7) 考虑毛管力和重力
µ on+1 = f (Ρ n )
n +1
k ro = f S w , S g
令 而 所以 式中
δΤo =
T
n +1 o
Τo
∂Τo ∂Τ ∂Τ δ Ρ + o δ S w + o δS g ∂Ρ ∂S w ∂S g
= Τo + δΤo
n
(
n +1
n+1
)
弱非线性 强非线性
n = To +
∂Τo kk ro ∂ρ o = ∂Ρ µ o ∂Ρ
∆Τw
n +1
∂Τw ∂Ρcow ∂Τw n n n +∆ δΡ∆Φ w − ∆Τw ∆ δS w + ∆ δS w ∆Φ w ∂Ρ ∂S w ∂S w
[∆(Ρ
n +1
− Ρcow
n+1
)− ρ
n w
g∆D = ∆Τw ∆Φ w + ∆Τw ∆δΡ
n n n
]
（14）
式中
∆Φ w = ∆ Ρ n − Ρcow − ρ w g∆D
（17）
式中
C w1 =
VB n n 0 n ∂ρ w ρ w S w cφ φ + φ n S w ∆t ∂Ρ
Cw2 =
VB n n φ ρw ∆t
4. 由方程右端项和左端项得： 油组分方程 （11）＝（15） 气组分方程 （12）＋（13）＝（16） 水组分方程 （14）＝（17）
2. 组分质量守恒方程 • 油组分
kk ro (∇ p o − ρ g ∇ D ) + q o = ∂ (φ ρ o S o ) ∇ ⋅ ρo ∂t µo
o
（1）
• 气组分 kkrg kkro ρ ρ g∇D)＋∇⋅ ρ ρ g∇D) (∇Pg − (∇po − ∇⋅ µg µo
n n n
(
)
VB (φρ 0 S 0 )n+1 − (φρ 0 S 0 )n = VB δ (φρ 0 S 0 ) = VB ρ 0 n S 0 nδφ + φ n ρ 0 nδS 0 + φ n S 0 n ∂ρ 0 δP ∆t ∆t ∆t ∂P = VB ∆t n n n n ∂ρ 0 ρ 0 S 0 Cφ φδΡ + φ n ρ 0 δS 0 + φ n S 0 δΡ ∂P
+∆ ∂Τgd ∂Ρ
δΡ∆Φ n + ∆
∂Τgd ∂S w
δS w ∆Φ n + ∆
∂Τgd ∂S g
(13)
δS g ∆Φ n
式中 ∆Φ n = ∆Ρ n − ρ on g∆D
• 在水组分方程（９）的左端项 ∂Ρcow n +1 n Ρcow = Ρcow + δS w ∂S w 代入方程（8）的左端项，略去二阶小量后得：
（18） （19） （20）
油组分方程（18）可写为：
∆Ton ∆δP + ∆ − (Co1δP + Co 2δS w + Co 3δS g ) = Ro
∂To ∂T ∂T δP∆Φ n + ∆ o δS w ∆Φ n + ∆ o δS g ∆Φ n ∂P ∂S w ∂S g
（21）
气组分方程（19）可写为：
• 气组分方程（8） VB [δ (φρ gd S o ) + δ (φρ g S g )] = C g1δp + C g 2δS w + C g 3δS g ∆t 式中
C g1 = Cg 2 VB ∆t
∆t
∂Ρ
∆t
∆t
(16)
∂ρ gd n n 0 n n n n ∂ρ g S o ρ gd φ cφ + S o φ n + S g ρ g φ 0 cφ + φ n S g ∂Ρ ∂p V V n n n n C g 3 = − B φ n ρ gd − φ n ρ g = − B φ n ρ gd + φ n ρ g ∆t ∆t
∆(T + T )∆δP + ∆
n gd n g
∂Tgd ∂P
δP∆Φ + ∆
n n
∂Tg ∂P
δP∆Φ + ∆
n g
∂Tgd ∂Sw
δSw ∆Φn
（22）
+ ∆T ∆
n g
∂Pcgo ∂S g
δS g + ∆
∂Tgd ∂S g
δS g ∆Φ + ∆
∂Tg ∂S g
δS g ∆Φn − (Cg1δP + Cg 2δSw + Cg 3δS g ) = Rg g
[
]
[
]
• 水组分方程（9）
VB δ (φρ w S w ) ∆t V n n n ∂ρ w δP = B ρ w S wδφ + φ n ρ w δS w + ρ n S w ∆t ∂Ρ VB n n 0 n n ∂ρ w δΡ ρ w S w cφ φ δP + φ n ρ w δS w + φ n S w ∆t ∂Ρ = C w1δΡ + C w 2δS w =
∂Τo δΡ∆Φ n ∂Ρ
(11)
式中 ∆Φ n = ∆Ρ n − ρ on g∆D
２.考虑毛管压力项Ｐc和流动系数项T的半隐式气组分和 水组分方程的左端项 • 气组分方程（8）的左端项 ∂Ρcgo n+1 n Ρcgo = Ρcgo + δS g ∂S g 代入方程（8）的左端项后，略去二阶小量后得： • 自由气
水组分方程（20）可写为：
∆Twn ∆δP + ∆
式中
Ro = − ∆ T o ∆ Φ n n n n R g = −(∆ T g ∆ Φ g + ∆ T gd ∆ Φ )
n n
∂Tw ∂P ∂T δP∆Φ n − ∆Twn cow δS w + ∆ w δS w ∆Φ n − (C w1δP + C w 2δS w ) = Rw w w ∂P ∂S w ∂S w
n n n
Τ 上式中， 0 , Ρ , ρ 0 为已知，变量为 δΡ, δS w , δS g 忽略二阶小量得
∆Τo
n+1
(∆Ρ
n +1
− ρ on g∆D ) = ∆Τo ∆Φ n + ∆Τo ∆δΡ + ∆
n n
∂Τ ∂Τ + ∆ o δS w ∆Φ n + ∆ o δS g ∆Φ n ∂S w ∂S g