2019年春八年级数学下册导学案教学设计赛教优秀教案6.2 第2课时平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离

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新人教版八年级数学下册《平行四边形》教案设计(10篇)

新人教版八年级数学下册《平行四边形》教案设计（10篇）八年级数学下册《平行四边形》教案设计篇1教学准备教师准备：投影仪，教具：课本“探究”内容；补充材料制成投影片．学生准备：复习，平行四边形性质；学具：课本“探究”内容．学法解析1．认知题后：学习了三角形全等、平行四边形定义、•性质以后学习本节课内容．2．知识线索：3．学习方式：采用动手操作来发现新的知识，通过交流形成知识体系．教学过程一、回顾交流，逆向思索教师提问：1．平行四边形定义是什么？如何表示？2．平行四边形性质是什么？如何概括？学生活动：思考后举手回答：回答：1．•两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（教师在黑板上画出下图：帮助学生直观理解）回答：2．平行四边形性质从边考虑：（1）对边平行，（2）对边相等，（3）•对边平行且相等（“”）；从角考虑：对角相等；从对角线考虑：两条对角线互相平分．（借助上图直观理解）．教师归纳：（投影显示）平行四边形【活动方略】教师活动：操作投影仪，显示课本P96和P97“探究”的问题．用问题牵引学生动手操作、思考、发现、归纳、论证，可以让学生分成4人小组讨论，•然后再进行小组汇报，教师同时也拿出教具同学在一起探索．学生活动：分四人小组，拿出准备好的学具探究．在活动中发现：（1）•将两长两短的四根细木条（或用硬纸片），用小钉铰合在一起，做成四边形，如果等长的木条成对边，那么无论如何转动这四边形，它的形状都是平行四边形；（2）•若将两根细木条中点用钉子钉合在一起，用像皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形，转动两根木条，这个四边形是平行四边形．（3）将两条等长的木条平行放置，•另外用两根木条（不一定等长）用钉子予以加固，得到的四边形一定是平行四边形。

八年级数学下册《平行四边形》教案设计篇2教材分析：平行四边形的面积计算教学是在学生掌握了平行四边形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上进行的，它同时又是进一步学习三角形面积、梯形面积、圆的面积和立体图形表面积计算的基础。

八年级下册平行四边形的教案

第十九章四边形19.1 平行四边形一、平行四边形的定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

（2）几何语言表述 ∵ AB ∥CD AD ∥BC ∴四边形ABCD （3就一定具有“两组对边分别平行”性质。

（4）平行四边形的表示：用符号表示，如 A BCD二、平行四边形的性质（1）共性：具有一般四边形的性质（2）性质：定义性质平行四边形的两组对边分别平行角平行四边形的对角相等边平行四边形的对边相等对角线平行四边形的对角线互相平分边：对边平行（定义）；对边相等（定理2）；对角线互相平分（定理3）夹在平行线间的平行线段相等。

角：对角相等（定理1）；邻角互补。

（3）应用格式：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD ，AD ∥ BC 。

（平行四边形的两组对边分别平行）∴AB= CD ，AD=BC （平行四边形的对边相等）∴∠AB C=∠AD C ，∠BAD=∠BCD （平行四边形的对角相等）∴AO=OC,BO=OD （平行四边形的对角线互相平分）（4）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线交点旋转180º后与自身重合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点。

三、两条平行线之间的距离1、定义：在两条平行线中，其中一条上的任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线的距离。

2、平行线的性质：夹在两条平行线间的平行线段相等注意：（1）两相交直线无距离可言；（2）与两点的距离、点到直线的距离的区别与联系四、平行四边形的面积在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如作平行四边形的高，就是指作垂线段．所以平行四边形的高，在作图时一般是指垂线段本身．在进行计算时，它的意义是距离，即长度．平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积。

(完整版)湘教版2019年春八年级数学下册全册配套教案设计含反思2.6.2菱形的判定

2．6.2菱形的判定1．理解和掌握菱形的判定方法；(重点)2．合理利用菱形的判定方法进行论证和计算．(难点)一、情境导入我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1．两条对角线互相垂直平分；2．四条边都相等；3．每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定已知：如图，在△ABC中，D、E 分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF ＝BE，∴四边形BCFE是菱形．证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC ＝2DE且DE∥BC.∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE 于点D，连接CD，求证：(1)AC⊥BD；(2)四边形ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用三线合一的性质得到AC⊥BD即可；(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB，又∵BC∥AD，∴∠CBD＝∠ABD＝∠BDA，∴△ABD也是等腰三角形，∴AB＝AD，∴DA＝CB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．方法总结：判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的前提条件是平行四边形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．【类型三】利用“四条边相等的四边形是菱形”判定如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF .(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解析：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，从而得到AE ＝CE ，AD ＝CD ，然后根据CF ∥AB 得到∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，利用ASA 证得两三角形全等即可；(2)根据全等得到AE ＝CF ，再由EF 为线段AC 的垂直平分线，得到EC ＝EA ，FC ＝F A ，从而得到EC ＝EA ＝FC ＝F A ，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF 为菱形．解：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，AD ＝CD ，∠CFD ＝∠AED ，∴△AED ≌△CFD ；(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝F A ，∴EC ＝EA ＝FC ＝F A ，∴四边形AECF 为菱形．方法总结：判定一个四边形是菱形可分为两种情况：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．探究点二：菱形的判定的应用【类型一】菱形判定中的开放性问题如图，平行四边形ABCD 中，AF 、CE 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是__________．(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)解析：∵AD ∥BC ，∴∠F AD ＝∠AFB ，∵AF 是∠BAD 的平分线，∴∠BAF ＝F AD ，∴∠BAF ＝∠AFB ，∴AB ＝BF ，同理ED ＝CD ，∵AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF ，又∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵对角线互相垂直的四边形是菱形，则添加的一个条件可以是：AC ⊥EF .方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【类型二】菱形的性质和判定的综合应用在平行四边形ABCD 中，∠BAD的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F .(1)如图①，求证：CE ＝CF ；(2)如图②所示，若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点，分别连接DB 、DG ，求∠BDG 的度数；(3)如图③所示，若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连接DB ，DG ，求∠BDG 的度数．解析：(1)根据AF 平分∠BAD ，可得∠BAF ＝∠DAF ，利用四边形ABCD 是平行四边形，证明∠CEF ＝∠F 即可；(2)如图④所示，分别连接GB 、GC ，根据∠ABC ＝90°，可得△ABE ，△ECF 均为等腰直角三角形，再证明△BEG ≌△DCG ，然后即可求得答案．(3)如图⑤所示，分别延长AB 、FG 交于H ，连接HD ，求得四边形AHFD 是平行四边形．由∠ABC ＝120°，可求得△DHF 为等边三角形．再由条件证得△BHD ≌△GFD ，然后即可求得答案．(1)证明：∵AF 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠F ，∴∠CEF ＝∠F .∴CE ＝CF ；(2)解：连接GC 、BG ，如图④所示，∵四边形ABCD 为平行四边形，∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 为矩形，∵AF 平分∠BAD ，∴∠DAF ＝∠BAF ＝45°，∵∠DCB ＝90°，DF ∥AB ，∴∠DF A ＝45°，∠ECF ＝90°，∴△ECF 为等腰直角三角形，∵G 为EF 的中点，∴EG ＝CG ＝FG ，CG ⊥EF ，又∵∠ABC ＝90°，∠BAF ＝45°，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AB ＝BE .又AB ＝DC ，∴BE ＝DC ，∵∠CEF ＝∠GCF ＝45°，∴∠BEG ＝∠DCG ＝135°，在△BEG 与△DCG 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧EG ＝CG ，∠BEG ＝∠DCG ，BE ＝DC ，∴△BEG≌△DCG ，∴BG ＝DG ，∠BGA ＝∠DGC .∵CG ⊥EF ，∴∠DGC ＋∠DGA ＝90°，∴∠BGE ＋∠DGE ＝90°，∴△DGB 为等腰直角三角形，∴∠BDG ＝45°；(3)解：延长AB 、FG 交于H ，连接HD ，如图所示，∵AD ∥CE ∥GF ，AB ∥DF ，∴四边形AHFD 为平行四边形．∵∠ABC ＝120°，∴∠BAC ＝60°，又∵AF 平分∠BAD ，∴∠DAF ＝30°，∠ADC ＝120°，∴∠DF A ＝30°.∴△DAF 为等腰三角形．∴AD ＝DF ，∴平行四边形AHFD 为菱形．∴△ADH ，△DHF 为全等的等边三角形．∴DH ＝DF ，∠BHD ＝∠GFD ＝60°.∵AD ∥BC ，∴∠CEF ＝∠DAF ＝30°，∴∠CEF ＝∠CF A ，∴CE ＝CF .∵AH －AB ＝DF －CD ，∴BH ＝CF .又∵FG ＝CE ，∴BH ＝GF .在△BHD 与△GFD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DH ＝DF ，∠BHD ＝∠GFD ，BH ＝CF ，∴△BHD ≌△GFD ，∴∠BDH ＝∠GDF .∴∠BDG ＝∠BDH ＋∠HDG ＝∠GDF ＋∠HDG ＝60°.方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．三、板书设计 1．菱形的判定有一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 2．菱形的性质和判定的综合应用在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用.。

(华师版)八年级数学下册名师精品导学案：课题平行4边形的判定(2)

课题平行四边形的判定(2)【学习目标】1．让学生掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法．2．让学生学会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题．【学习重点】平行四边形各种判定方法及其应用，特别是根据不同条件能正确地选择判定方法．【学习难点】平行四边形的判定定理与性质定理的综合应用．行为提示：创设问题情景导入，激发学生的求知欲望．行为提示：让学生阅读教材，尝试完成“自学互研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，大部分学生完成后，进行小组交流．知识链接：1．定理：通过证明正确的命题．2．常用辅助线：连接平行四边形的对角线．解题思路：本题证法比较多，但是哪一种证法最为简单昵？因为题中有一条对角线，所以可以从与对角线有关的判定试一下．方法指导：对于范例2，可以画一个草图，这样一目了然．情景导入生成问题【旧知回顾】1．用定义法证明一个四边形是平行四边形时，要什么条件？答：两组对边分别平行．2．用以前所学的判定定理判定一个四边形是平行四边形的条件是什么？答：(1)两组对边分别相等；(2)一组对边平行且相等．3．平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达？是否是真命题？答：对角线互相平分的四边形是平行四边形．是真命题．自学互研生成能力知识模块一对角线互相平分的四边形是平行四边形【自主探究】1．“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的条件是：__四边形的对角线互相平分__；结论是：__四边形是平行四边形__．这是一个真命题．可用尺规作图法进行验证．2．平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．(验证)已知，如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：在△AOB和△COD中．∵OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD，∴△AOB≌△COD，∴AB＝CD，∠OAB＝∠OCD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．【合作探究】范例1：在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．分析：证明这个四边形是平行四边形的方法有：(1)两组对边分别相等；(2)一组对边平行且相等；(3)平行四边形的定义：两组对边分别平行；(4)对角线互相平分．(较简单的) 证明：连结BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC.又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形．范例2：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(D)A．OA＝OC，OB＝OD B．AD∥BC，AB∥CDC．AB＝DC，AD＝BC D．AB∥DC，AD＝BC学习笔记：1．平行四边形一共有四种判定方法：定义法；两组对边相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分．2．根据题目条件选取适当的证明方法最为重要．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评比．学习笔记：检测的目的在于让学生熟练运用平行四边形的判定与性质解题.知识模块二几种判定方法的灵活运用【合作探究】范例3：如图，在▱ABCD中，点F，H分别在边AB，CD上，且BF＝DH.求证：AC和HF互相平分．分析：因为AC和HF是四边形AFCH的对角线，所以要证明AC和HF互相平分，只需证明四边形AFCH是平行四边形．证明：分别连结AH，CF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵BF＝DH，∴AB－BF＝CD－DH，即AF＝CH，∴四边形AFCH是平行四边形，∴AC和HF互相平分．范例4：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D.求证：四边形ABCD是平行四边形．分析：根据∠A＝∠C，∠B＝∠D，可以证明四边形ABCD的两组对边分别平行，从而根据定义可得四边形ABCD是平行四边形．证明：在四边形ABCD中，∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴2(∠A＋∠B)＝360°，即∠A＋∠B＝180°，∴AD∥CB，同理可证：AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题“和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一对角线互相平分的四边形是平行四边形知识模块二几种判定方法的灵活运用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

八年级数学下册第十八章《平行四边形》教学设计 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中八年级下册数学

《平行四边形》一、内容和内容解析关于平行四边形的概念，在小学，学生已经学过，并不会感到生疏，但对于这个概念的本质属性，理解的并不是十分深刻，所以，本节课的学习，并不是简单的重复。

本节课，平行四边形的定义采用的是内涵定义法，即“种概念+属差=被定义的概念”．在平行四边形的定义中，大前提是“四边形（种概念）”，条件是“两组对边分别平行（属差）”．“两组对边分别平行”是平行四边形独有的、用以区别于一般四边形的本质属性，这也是平行四边形概念的核心之所在。

平行四边形的概念，揭示了平行四边形与四边形的隶属关系、区别与联系，反映了平行四边形的本质属性。

同时，它既是平行四边形的判定，又可以作为平行四边形的一个性质。

关于平行四边形边、角的性质，“平行四边形的对边相等”相对于定义中的“两组对边分别平行”，是由位置关系向数量关系的一种延伸；“平行四边形的对角相等”相对于“两组对边分别平行”，是由“相邻的角互补”产生的思维的一种深化。

同时，两条性质的探究，经历的是“感知、猜想、验证、概括、证明”的认知过程；两条性质的研究，先从边分析，再从角分析，再到下一节课的从对角线分析，提供的是研究几何图形性质的一般思路；两条性质的证明，渗透的是将四边形问题转化为三角形问题的一种转化思想，而添加对角线，介绍的是将四边形问题转化为三角形问题的一种常用的转化手段。

在本章的后续学习中，对于几种特殊的四边形，其定义均采用的是内涵定义法，并且矩形和菱形的定义，均以平行四边形作为种概念，所以平行四边形的概念作为“核心概念”当之无愧．关于平行四边形的性质，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的基础，这些特殊平行四边形的性质，都是在平行四边形性质基础上扩充的，它们的探索方法，也都与平行四边形性质的探索方法一脉相承，因此，平行四边形的性质，在后续的学习中，也是处于核心地位。

二、教学目标1、使学生掌握平行四边形的概念，掌握平行四边形的对边相等，对角相等的性质，会根据概念或性质进行有关的计算和证明．2、通过有关的证明及应用，教给学生一些基本的数学思想方法．使学生逐步学会分别从题设或结论出发，寻求论证思路，学会用综合法证明问题，从而提高学生分析问题解决问题的能力．3、通过四边形与平行四边形的概念之间和性质之间的联系与区别，使学生认识特殊与一般的辩证关系，个性与共性之间的关系等．使学生体会到事物之间总是互相联系又相互区别的，进一步培养辩证唯物主义观点．4、通过对平行四边形性质的探究，使学生经历观察、分析、猜想、验证、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的个性思维品质．三、教学重点平行四边形的概念和性质。

北师大版数学八年级下册6.1《平行四边形的性质》(第2课时)说课稿

北师大版数学八年级下册6.1《平行四边形的性质》（第2课时）说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册6.1《平行四边形的性质》（第2课时）这一节的内容，是在学生已经掌握了平行四边形的概念和性质的基础上进行讲解的。

本节课的主要内容是引导学生探究平行四边形的性质，让学生通过自主学习、合作交流的方式，发现平行四边形的对角相等、对边平行等性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

二. 学情分析在进入本节课的学习之前，学生已经对平行四边形有了初步的认识，掌握了平行四边形的定义和一些基本的性质。

但是，对于平行四边形的对角相等、对边平行的性质，学生可能还没有完全理解和掌握。

因此，在教学过程中，我需要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主发现平行四边形的这些性质，并能够运用它们解决实际问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握平行四边形的对角相等、对边平行的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生自主学习的能力和合作交流的意识。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力、思考能力和创新能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：平行四边形的对角相等、对边平行的性质。

2.教学难点：如何引导学生自主发现平行四边形的这些性质，并能够运用它们解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用自主学习法、合作交流法、观察操作法、讲解法等教学方法。

同时，我会利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握平行四边形的性质。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习平行四边形的定义和性质，引导学生进入本节课的学习。

2.探究性质：让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主发现平行四边形的对角相等、对边平行的性质。

3.讲解示范：对学生的探究结果进行讲解和示范，让学生更加深入地理解和掌握平行四边形的性质。

4.练习应用：设计一些练习题，让学生运用所学的性质解决实际问题，巩固所学知识。

(华师版)八年级数学下册名师精品导学案：课题平行4边形的性质(1)

第18章平行四边形【学习目标】1．让学生理解并掌握平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质定理1及性质定理2.2．让学生理解两条平行线的距离的概念，培养学生综合运用知识的能力．【学习重点】平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质．【学习难点】运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．行为提示：创设问题情景导入，激发学生的求知欲望．行为提示：让学生阅读教材，尝试完成“自学互研”的所有内容，并适时给学生提供帮助，大部分学生完成后，进行小组交流．知识链接：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．情景导入生成问题【旧知回顾】1．什么是四边形？四边形的一组对边有怎样的位置关系？答：四条线段首尾顺次相连组成的图形；四边形一组对边所在直线相交或平行．2．一般四边形有哪些性质？答：内角和、外角和都是360°.3．平行线的判定和性质有哪些？答：同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补)，两直线平行；两直线平行，同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补)．自学互研生成能力知识模块一平行四边形的定义，对边相等，对角相等【自主探究】1．平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．在四边形中，最常见、价值最大的是平行四边形．2．根据定义，平行四边形的一个主要的性质是__两组对边分别平行__．由此，可知平行四边形的相邻两个内角互补．3．平行四边形ABCD可以记作▱ABCD.4．(研究平行四边形的其他性质)已知：如图▱ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B ＝∠D，∠BAD＝∠BCD.分析：作▱ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．证明：连结AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(A.S.A.)．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D.又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD.5．平行四边形性质定理1：平行四边形的对边相等．平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等．解题思路：作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．学习笔记：1．平行四边形的定义既可以作性质用，也可以作判定用．2．平行四边形的两条性质：对边相等；对角相等．3．平行线的又一性质：平行线之间的距离处处相等．行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配任务，各组展示过程中，教师引导其他组进行补充、纠错、释疑，然后进行总结评比．学习笔记：检测的目的在于让学生掌握平行四边形的定义、性质，将定义作为判定提前用一下，及时接触一下平行四边形的判定．【合作探究】范例1：(2016·大连中考)如图，BD 是▱ABCD 的对角线，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F.求证：AE ＝CF.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°，在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠CFD ，∠ABE ＝∠CDF ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝CF.范例2：如图，在▱ABCD 中，AB ＝8，周长等于24，求其余三条边的长．解：在▱ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，∵AB ＝8，∴DC ＝8，又∵AB ＋BC ＋DC ＋AD ＝24，∴AD ＝BC ＝12(24－2AB)＝4. 知识模块二两平行线间的距离【自主探究】1．两条相交直线没有距离．2．两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．3．平行线的又一个性质：__平行线之间的距离处处相等__．【合作探究】范例3：如图，点E 、F 分别是▱ABCD 中AD ，AB 边上的任意一点，若△EBC 的面积为10 cm 2，则△DCF 的面积为__10__cm 2.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的新问题“和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一平行四边形的定义，对边相等，对角相等知识模块二两平行线间的距离检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

二中八年级数学下册平行四边形导学案

正方形菱形矩形平行四边形19.4 平行四边形考点透视1.平行四边形与特殊的平行四边形的关系：正方形用集合表示为：3.三角形中位线定理.4.梯形、等腰梯形、直角梯形的性质与判定. 例题选讲类型一、平行四边形的性质与判定例1.如图，ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，①求证：AECF 也是平行四边形；②连接BD ，分别交CE 、AF 于G 、H ，求证：BG =DH ；③连接CH 、AG ，则AGCH 也是平行四边形吗？A BCDEFGH类型二、矩形、菱形的性质与判定例3. 如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，DE平分∠ADC，∠AOB＝60°，则∠COE ＝．AB CDEO例4. 如图，矩形ABCD中的长AB＝8cm，宽AD＝5cm，沿过BD的中点O的直线对折，使B与D点重合，求证：BEDF为菱形，并求折痕EF的长．OFED CBA类型三、正方形的性质与判定例6. 如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD 相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．FED CBAMN类型四、与三角形中位线定理相关的问题例7. 如图，BD=AC，M、N分别为AD、BC的中点，AC、BD交于E，MN与BD、AC分别交于点F、G，求证：EF=EG.NMGFEDCBA类型五、梯形、等腰梯形、直角梯形的相关问题例8. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，则你可得到哪些结论？4321FEDC BA例9. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD =CD ，AB ＜CD ，且∠ABC 为锐角，若AD =4，BC =12，E 为BC 上一点.问：当CE 分别为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？请说明理由.ABCDE3.如图，设M 、N 分别是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中点，MD 与NC 相交于点P ，若△PCD 的面积是S ，则四边形AMPN 的面积是 .4.如图，M 为边长为2的正方形ABCD 对角线上一动点，E 为AD 中点，则AM +EM 的最小值为 .5.边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30 o到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为 .6.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝8cm ，BD ＝8cm ，则此梯形的高为 cm第6题图第9题图第8题图第7题图ABCD EABCDABCDEFDCBAN MPG7.如图，正方形ABCD 的对角线长82E 为AB 上一点，若EF ⊥AC 于F ，EG ⊥BD 于G ，则EF ＋EG ＝．8.如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD =AD =1，∠B =60°，•直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC +PD 的最小值为________．9.如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE +PB 的最小值是．ABCDE10.菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为______，面积为_______．11.如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是___________度．12. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ．C =∠90 o，且AB =AD ．连结BD ，过A 点作BD 的垂线，交BC 于E ．如果EC =3cm ，CD =4cm ，那么，梯形ABCD 的面积是_______________cm 2．13.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，垂足分别为E 、F ；连结AE 、CF ，得四边形AFCE ，求证：AFCE 是平行四边形.14. □ABCD 中，AE 、CF 、BF 、DE 分别为四个内角平分线，求证：EGFH 是矩形.HG F EDCBA15. 如图，∠BAC =90 o，BF 平分∠ABC 交AC 于F ，EF ⊥BC 于E ，AD ⊥BC 于D ，交BF 于G ．求证：四边形AGEF 为菱形．ABCDEFG16. 如图（1），在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，E 为AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，且交∠CBE 的平分线于点N ．（1）DM 与MN 相等吗？试说明理由．（2）若将上述条件“M 为AB 的中点”改为“M 为AB 上任意一点”，其余条件不变，如图2，则DM 与MN 相等吗？为什么？AB CDEMN图1NMEDCB A图217. 如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF =CF ，DC +CE =AE ，求证：AF 平分∠DAE .ABCD EF18.如图，AB =CD ，BA 、CD 延长线交于点O ，且M 、N 分别为BD 、AC 的中点，MN 分别交AB 、CD 于E 、F 求证：OE =OF .O F E D C BA20题图A BCDEFMNO19.△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD =BF ，以AD •为边作等边△ADE ．（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF =30°？•证明你的结论．ABCDEF。

八年级下册数学教案(人教版)全册导学案

八年级下册数学教案（人教版）全册导学案第一章：三角形的性质1.1 三角形的概念与分类学习目标：了解三角形的定义，掌握三角形的分类及特点。

教学内容：讲解三角形的定义，探讨等腰三角形、等边三角形、直角三角形、钝角三角形的性质。

课堂活动：通过实物展示和图形绘制，让学生直观地理解三角形的概念和分类。

1.2 三角形的边与角学习目标：掌握三角形边长的关系，了解三角形内角和定理。

教学内容：讲解三角形边长的关系，探讨三角形的内角和定理及应用。

课堂活动：引导学生通过几何画板或手工绘制，验证三角形的内角和定理。

第二章：平行四边形的性质2.1 平行四边形的定义与性质学习目标：了解平行四边形的定义，掌握平行四边形的性质。

教学内容：讲解平行四边形的定义，探讨平行四边形的对边相等、对角相等、对边平行等性质。

课堂活动：通过实物展示和图形绘制，让学生直观地理解平行四边形的性质。

2.2 平行四边形的判定与证明学习目标：掌握平行四边形的判定方法，学会运用平行四边形的性质进行证明。

教学内容：讲解平行四边形的判定方法，探讨如何运用平行四边形的性质进行证明。

课堂活动：引导学生通过几何画板或手工绘制，进行平行四边形的判定与证明练习。

第三章：几何图形的面积计算3.1 三角形的面积计算学习目标：掌握三角形面积的计算方法。

教学内容：讲解三角形面积的计算公式，探讨三角形面积的计算方法及应用。

课堂活动：引导学生通过几何画板或手工绘制，验证三角形面积的计算公式。

3.2 平行四边形的面积计算学习目标：掌握平行四边形面积的计算方法。

教学内容：讲解平行四边形面积的计算公式，探讨平行四边形面积的计算方法及应用。

课堂活动：引导学生通过几何画板或手工绘制，验证平行四边形面积的计算公式。

第四章：一次函数与不等式4.1 一次函数的定义与性质学习目标：了解一次函数的定义，掌握一次函数的性质。

教学内容：讲解一次函数的定义，探讨一次函数的斜率、截距等性质。

课堂活动：通过实际例子，让学生理解一次函数在坐标系中的图像特点。

北师大版2019年春八年级数学下册导学案教学设计赛教优秀教案第五章复习

第五章分式与分式方程复习课（一）一、学生知识状况分析学生的技能基础：学生已经学习了分式及分式的运算等有关概念，对分式及其运算有了初步的认识，但对技巧性较高的运算题还不熟悉．学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析在本章的学习中，学生已经掌握了分式的概念与分式加减乘除法的运算，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的目标是：知识与技能：（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；（2）提高学生分式的基本运算技能．数学能力：（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：回顾——想一想——做一做——试一试——再第 1 页共10 页第 2 页共 10 页想一想——反馈练习——课后练习．第一环节回顾活动内容：1、分式的基本性质是什么？举例说明！2、分式的乘除法的法则是什么？举例说明！3、同分母的分式加减法的法则是什么？举例说明！4、异分母的分式加减法的法则是什么？举例说明！活动目的：通过学生的回顾与思考，使学生对分式的基本性质、乘除法、加减法等基本运算有一个更深层次的认识．教学效果：有了前几节课的学习，学生对分式的基本性质及分式的运算等知识有了较清楚的认识与理解．第二环节想一想活动内容：填空题：（1）如果某商品降价x %后售价为a 元，那么该商品的原价是元．（2）某人打靶，有m 次均打中a 环，有n 次均打中b 环，则此人平均每次中靶的环数是．（3）当x 时，分式xx -+11有意义．（4）当x 时，分式)3x )(1x (92---x 的值为0．活动目的：加深学生对分式的一些基本概念的认识．教学效果：第 3 页共 10 页部分学生对第（4）小题中认为分子x 2–9的值为0，从而得出x 应为±3，原因是没有注意分母不能为0这一事实，经指点后，均能理解．第三环节做一做活动内容：1、化简下列各式：（1）abc ac 1222- （2）a a a 2422--（3）82162+-x x （4）2222444y x y xy x -+-2、计算：（1）xy xz yz xy 1693422∙ （2）3118222-÷-x x （3）32103243++++-x x x x （4）34121331222+-+-∙-+--x x x x x x x 活动目的：加强学生对分式的运算等基本技能的训练。

沪科版2019年春八年级数学下册导学案教学设计赛教优秀学案19.2 第2课时平行四边形的对角线的性质

第 1 页共 3 页19.2 平行四边形第2课时平行四边形的对角线的性质学习目标：学习平行四边形关于对角线的性质；重难点：1、平行四边形关于对角线性质的推导；2、平行四边形对角线性质的应用.。

学习过程一、回顾平行四边形的性质：1、角：。

2、边：。

二、探究新知1、测量猜想：如图四边形ABCD 是平行四边形，请用刻度尺量一量OA 、OC 、OB 、OD的长度，有OA= ，OC= ，OB= ，OD= 其中相等的线段有：OA 与，OD 与。

AC 与BD 相等吗？。

AD BC ，AB CD2、验证猜想：你能说明为什么OA=OC 、OB=OD 。

由于四边形ABCD 是平行四边形，因此AD= ，且AD//从而∠1=∠2，∠3=∠4.( ) 所以OAD ∆≌ ( )于是 OA= ，OB= ( )3、归纳：平行四边形的对角线的交点是每条的，也就是说：平行四边形的。

三、课堂练习1、图在□ ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AC=34，OB=10，则有 OA= ，OC= OD= ，BD=2、在上题的图中有几对全对的三角形？它们分别是：ABC ∆与，AOB ∆与，AOD ∆与，ABD ∆与，四、课堂小结从边、角、对角线总结平行四边形的性质：从边看_____________________________________________________________。

第 2 页共 3 页从角看：__________________________________________________________。

从对角线看：______________________________________________________。

五、课堂作业1、已知ABCD ，AB ＝3，BC ＝5，∠B ＝80°，则DC ＝，AD ＝，∠C ＝，∠D ＝，周长是。

八年级数学下册《平行四边形的性质》导学案

八年级数学（下）——19.1.1平行四边形的性质导学案课型：新授课课时：1课时备课人：数学组黎明学习目标：1．理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力。

2．学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性。

学习重难点：1.重点：理解并掌握平行四边形的性质2.难点：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性。

学习过程：活动一：复习引入：如图1，（1），若要使四边形ABCD是平行四边形，可以添加条件：,添加的理由是（3.）（图1）活动二：探究性质D（2）在□ABCD中，相等的边是，相等的角是，这些角相等的依据是．1.如图，在□ABCD中，画出对角线，对角线能画条，分别是．B DA2.如图，请将对角线交点标为点O，然后观察自己所画图形，画了对角线之后，与原图相比有什么变化？Z```x``xk3.请分小组探究，新出现的角之间有什么关系？新出现的线段之间有什么关系？新出现的三角形之间什么关系？理由是什么？4.新发现的平行四边形的性质用语言怎么叙述呢？（图2）（图3）（图4）练习2. 如图（4）的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分别相交与点E ，F . 求证OE =OF . 5.请证明平行四边形的对角线互相平分． 6.定理平行四边形的对角线互相平分的条件是什么？结论是什么？用数学符号语言怎么书写？活动三：运用性质例如图(2)，在中，AB =10，AD =8，AC ⊥BC . 求BC ,CD ，AC ，OA 的长，的面积．B DC A Ｏ练习1. 如图3，中，BC =10, AC =8, BD =14. DBC 的周长哪个长？长多少？ B DC A Ｏ BOA C D E F 活动四：课堂小结 1.我们已经学习了平行四边形的哪些知识？2.平行四边形的性质是怎么证明的？3.你还想探究什么？。

2019春下册8年级数学冀教版教学设计说明 (2)

《平行四边形的性质》教案说明《平行四边形的性质》是义务教育课程标准实验教科书•数学（河北教育出版社）八年级（下）第22章《四边形》第1节的内容.一、本课数学内容的本质、地位、作用分析（一）授课内容的数学本质生活中，平行四边形是人们最常见的一类四边形，了解、掌握平行四边形的性质是人们生产、生活的需要．数学中，四边形是“空间与图形”领域中研究的主要对象之一，平行四边形是特殊的四边形，所以平行四边形具有一般四边形所具有的性质，如：内角和是360°、不稳定性等．同时平行四边形还具有自己特有的性质，如对边相等、对角相等、对角线互相平分、中心对称性．在本章的后续学习中，对于几种特殊的平行四边形，均以平行四边形作为种概念，所以平行四边形的概念作为“核心概念”当之无愧．平行四边形的性质为解决线段相等、角相等提供了一种新方法．（二）授课内容在教材中的地位和作用平行四边形的性质是对已学的平行线性质、全等三角形、图形变换等知识的综合运用和深化，学生积累了一定的几何图形学习的经验和初步的说理能力，本节是22章《四边形》的起始，平行四边形与后继内容矩形、菱形、正方形之间体现了一般与特殊研究问题的思想，这些特殊平行四边形的性质，都是在平行四边形性质基础上扩充的，它们的探索方法，也都与平行四边形性质的探索方法一脉相承．因此，本节内容不论从知识上，还是从研究方法上，都起着重要的作用.二、教学目标分析由于学生对平行四边形有一定的认知基础，并且学生掌握了三角形的有关知识及图形变换（对称、平移、旋转）等几何事实，所以我确定了三维教学目标：1.知识与技能目标：掌握平行四边形的定义及对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，并能用它们解决简单的问题．通过旋转等操作活动体会平行四边形的中心对称性．在操作、探究等数学活动中提高学生的探究能力，进一步提高学生的说理和初步的推理能力.2.过程与方法目标：经历平行四边形有关概念的形成过程和性质的探究过程；采用多种方法（观察、作图、实验、变换、推理等）探索平行四边形性质，体验解决问题策略的多样性；体会平移、旋转等图形变换在研究平行四边形及其性质中的应用．将探究过程与说理紧密结合．渗透“类比”、“转化”的数学思想．3.情感、态度、价值观：在探究活动与性质应用中，有意识地培养学生独立思考的习惯和积极的情感态度，促进良好数学观的形成，同时增强交流与合作意识.平行四边形对边相等、对角相等的性质在小学课本中作为重要结论，当时通过观察、测量得到，所以把对这一结论的说理作为教学重点．对角线是本节引进的新概念，所以我把对角线的探究作为本节教学的重点也是难点．因为学生刚刚学过“平移与旋转”，学生利用图形变换来研究图形性质的主动应用意识还比较淡薄，所以把利用图形变换思想探究平行四边形的性质作为本节的教学重点和难点．三、教学问题诊断（一）在小学学生就对平行四边形有了初步认识：如平行四边形的定义、平行四边形具有不稳定性，平行四边形的面积计算，还有通过观察、测量得到平行四边形的对边相等、对角相等的结论……；《义务教育数学课程标准》中指出，“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”，所以教师充分调动学生已有认知，在此基础上，对平行四边形的四条性质并没有放到同等位置来探究，对于“平行四边形的对边相等、对角相等”的结论的发现，教师避免了简单重复，而是通过作图，利用平行四边形定义还有平移的性质等知识直接对以上结论进行说理．（二）很多学生能想到平行四边形边、角所具有的性质，而对角线是本节课出现的新概念，学生往往忽略对对角线的观察，所以教师避免了在开始上课时就介绍对角线，而是在上一环节，学生通过添加辅助线，将平行四边形问题转化为三角形问题．这时，对角线概念的出现水到渠成，使学生体会到对角线的重要性，激发了研究对角线的兴趣．（三）学生虽然已掌握了平移、旋转等图形变换的知识并能初步运用，但大部分学生主动应用意识比较淡薄，所以此时教师提供必要的研究工具：两张全等的平行四边形纸片模型（其中一张是半透明的）、一枚大头针，再给学生创造充分的探究、说理的时间和空间，并给予及时的思维引导、鼓励、点评，使图形变换的思维策略循序渐进地渗透到每一名学生的心中．（四）虽然学生掌握了一定的说理能力，但是缺乏严密的演绎推理能力．所以在此教师没有上升到严格证明，只是自然地、有意识地培养学生有条理的思考、表达和交流的能力，注意将合情推理与说理及初步的演绎推理有机地结合起来.四、本节课的教法特点以及预期效果分析（一）教法特点本节充分体现以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想.始终贯彻教师引导与学生自主探究相结合的教学模式．（二）预期效果分析１．创设情境，揭示课题：由于本节是《四边形》这章的起始，所以教师充分调动学生寻找现实生活中四边形的实例，以对本章所学特殊四边形形成初步的感知；教师以解读“章题页”的形式，使学生了解这一章的主要学习内容，为本章学习搭建了知识框架；通过“感受身边的平行四边形”这一环节，让学生感受平行四边形是生活中最常见也是应用广泛的一类四边形，从而揭示课题．2.挖掘认知，作图说理：本节对平行四边形性质的探究分两个层次．第一，平行四边形的对边相等、对角相等的性质是按“作图—说理”的研究模式；第二，平行四边形对角线互相平分、中心对称性的性质是按“问题—探究—发现—说理”的研究模式．两个环节各有侧重，提倡思维多样化，注重培养学生表达自己思维过程的能力，对学生出现的多种思路和方法，应给予充分肯定并在全班展示，使学生的求异思维和创新意识得到及时的表现．3.归纳性质，体会感悟：在教师的引导下，学生对平行四边形从角、边、对角线、对称性等方面性质进行归纳，有助于学生形成从不同角度研究问题的意识，并对平行四边形的性质加深了认识．4．应用性质,总结反思：通过几个平行四边形问题的解决，平行四边形的性质得到巩固，说理能力进一步得到提升；收获与感悟环节教师并没有让学生立刻去总结发言，而是给予一定的思考时间和交流的时间，使学生的知识在交流中得到完善、内化，方法在反思中得到升华.2019年3月17日。

2019年春湘教版八年级下册数学全册教案(20201010165641)

题目中的角度，利用角度相等得证 .
证明：作 DF⊥BC 于 F，AE ⊥BC 于 E
∵△BDC 中，∠BDC=90 °，BD=CD
1
DF BC
∴
2
1
DF AC
∵BC=AC ∴
2
AE 1 AC
∵DF=AE ∴
2
∴∠ACB=30 °
∵∠CAB= ∠ABC ，∴∠CAB= ∠ABC=75 °
∴∠OBA=30 °
我们要证明 1 与 AB 的交点就是中点。）
三、应用迁移巩固提高
练习：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证，这个三角形是直角三角形。已知
CD
1 是 ABC 的 AB 边上的中线，且 CD= AB 。求证 ABC 是直角三角形。
2
提示：倒推法，要证明 ABC 是直角三角形，只有通过定义和判定定理，定义与判定定理都与角
1
CE AC
DE ⊥AC 于 E. 求证：
4.
分析： CE 在 Rt△DEC 中，可知是 CD 的一半，又 D 为中点，故 CD 为 BC 上的一半，因此可证 .
证明：∵DE⊥AC 于 E，∴∠DEC=90 °(垂直定义 )
∵△ABC 为等边三角形，∴AC=BC ∠C=60 °
∵在Rt △EDC 中，∠C=60 °，∴E∠DC=90 °-60 °=30 °
1、探究直角三角形判定定理：
⑴ 观察小黑板上的三角形，从 A+ B 的度数，能说明什么？
—— 两个锐角互余的三角形是直角三角形。
⑵ 讨论：直角三角形的性质和判定定理是什么关系？
2、探究直角三角形性质定理：
⑴ 学生画出直角三角形 ABC 斜边的中线 CD 。 ⑵ 测量并讨论斜边上的中线的长度与斜边的关系。 ⑶ 学生猜想：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。 3、共同探究：例已知：在 Rt△ABC 中， ACB=90 °，CD 是斜边 AB 上的中线。

八年级数学下平行四边形导学案

§18.1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角特征【学习目标】1．掌握平行四边形的对边相等、对角相等的两条性质；2．根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明；3．经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的思维水平【预习引领】例1已知，四边形ABCD是平行四边形．（1）若∠B＝50°，则___________________（2）若四边形ABCD的周长为24，则______；（3）若AE⊥BC于点E，且AF⊥CD于点F，①若BC＝5，AE＝3，则_________；②若BC＝6，AE＝4，CD＝5，求AF的长．【合作探究】探究点1：平行四边形的边、角的特征量一量1.画一个平行四边形ABCD，用尺子等工具度量它的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗?2.再用量角器等工具度量它的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗?思考你发现了什么规律？例1 已知：四边形ABCD是平行四边形.求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD___BC，AB___CD,∴∠1___∠2，∠3___∠4.又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，∴△ABC____△CDA,∴AD___BC，AB___CD，∠ABC___∠ADC.∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，∴∠BAD___∠BCD.．思考不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？小结：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等探究点2：平行线间的距离想一想:如图,若m // n,作AB // CD // EF，分别交m 于A、C、E，交n于B、D、F.由______易知四边形ABCD，CDEF均为_______________.由平行四边形的性质得AB______CD_______EF.例2:如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：DE=BF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A_____∠C，AD______CB.又∠AED= ∠CFB=90°，∴△ADE____△CBF（_____）,∴AE_____CF.小结：1.两条平行线之间的任何平行线段都相等.2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离.3.两条平行线间的距离相等.【课堂练习】一．针对训练1．如图，在平行四边形ABCD中.(1)若∠A=130°，则∠B=______ ，C=______ ，∠D=______.(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= ______.(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=______.2．剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？AB C DEFB C D AE （第6题） O A B C xy （第7题） B C D A EF （第9题）二．针对训练1．在□ABCD 中，∠A ：∠B ＝1：3，则∠C 的度数为（）A ．45B ．135°C ．60°D ．120° 2．在□ABCD 中，∠A ＝60°，则∠C ＝________，∠B ＝________，∠D ＝________．3．在□ABCD 中，∠A 比∠B 大20°，则∠C度数为_________．4．在□ABCD 中，AB ＝5，BC ＝4，则CD ＝_________该四边形的周长为_________．5．在□ABCD 中，它的周长为28，一组邻边的比为3：4，则两条邻边的长分别为__________．6．如图，在□ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD ＝5，CD ＝3，则BE ＝____________．三．能力测试 7．如图，在□OABC 中，O （0，0），A （4，0），C （1，2），则点B 的坐标为_________．8．如图，在□ABCD 中，BD ⊥AD ，AD ＝8，AB ＝10，则AC 的长为________．9．如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，AE ＝4 cm ，AF ＝6 cm ， □ABCD 的周长为40 cm ，则□ABCD 的面积为______cm 2．10．已知：如图，在□ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝DF ，连接AE 、FC ．求证：AE ＝FC ．三．拓展延伸1．在□ABCD 中，∠ADC ，∠DCB 的平分线分别交边AB 于点F ，E ．（1）若AB ＝5，BC ＝3，如图1所示，求EF 长；（2）若BC ＝3，EF ＝1，试求AB 的长；（3）若BC ＝a ，AB ＝b ，且a ≤b ，求点E ，F 之间的距离(用含a 、b 的代数式表示)．【课后思考】6．有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF 部分打碎了，现在只测得AE=60cm ，BC=80cm ，∠B=60°且AE ∥BC 、AB ∥CF,你能根据测得的数据计算出DE 的长度和∠D 的度数吗？A B F DEC BC D AO （第8题）A E F BCD（图1）AB CDO_____；，探究点2：平行四边形的面积例4 如图，平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若平行四边形ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD的面积.小结:行四边形的面积=底x高，已知高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形性质列方程求解.【课堂练习】一、基础训练1．如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（）A. 10B. 14C. 20D. 222．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCDC．AO=CO D．AC⊥BD3．在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是 ( )A. 24<m<39B.14<m<62C.7<m<31D.7<m<123．下列说法不正确的是（）A．有最小的正整数，没有最小的负整数B．一个整数不是奇数就是偶数C．－3．14是分数，但不是有理数D．－1和0之间没有负整数4．如图圆圈表示负数集、整数集和正数集．其中有甲、乙、丙三个部分，这三部分的数的个数为（）负数集整数集正数集A．甲、丙两部分有无数个，乙部分只有一个是B．甲、乙、丙三部分都有无数个C．甲、乙、丙三部分都只有一个D．甲只有一个，乙、丙两部分有无数个二、能力测试1．下列对于0的说法，错误的是（）A．0是有理数B．0是最小的整数C．0不是正数D．0不一定表示没有2．给出下列各数：4．443，0，π，814-，3．1159，－1000，722．其中有理数和非负数的个数分别是（）A．7和5 B．6和5 C．5和4 D．4和43．给出一个有理数－107．987及下列判断：⑴这个数不是分数，但是有理数⑵这个数是负数，也是分数⑶这个数与π一样，不是有理数⑷这个数是一个负小数，也是负分数其中正确判断的个数（）A．1 B．2 C．3 D．44．－78属于集合，也属于集合，也属于集合．三、拓展延伸1．如果按“被3除”来分，整数可分为、、三类．2．给下列左边的数命“名字”（用线相连）．说一说谁的“名字”最多，谁的“名字”最少．－7 整数316分数0 正数π负有理数21-负数【课后思考】1．在3,2,34,5.6,2.1,0.121,0.34,,217101ππ中，有_______个有理数．第1题图第2题图第3题图数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大；反之，数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数小．例5 如图，用“＞”或“＜”填空．－0．5 0，4111-，313-213411，213-3-，2133．【课堂练习】一、基础训练：1．数轴的三要素是：、、．2．在数轴上，表示－2的数在原点的侧，它到原点的距离是个单位长度．3．在数轴上，因－5表示的点在原点的边，所以0 －5（填“＞”或“＜”）；因为－4．3表示的点在123-的边，所以－4．3 123-．4．与原点距离为3个单位长度的点有个，它们表示的有理数是．5．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）6．在数轴上若将原点向左移动3个单位长度后，再向右移1个单位长度，到达M点．则M点表示的数是（）A．3 B．4 C．2 D．－27．下列说法正确的是（）A．没有最大的正数，却有最大的负数；B．在原点左边离原点越远，数就越小；C．0大于一切非负数；D．数轴上离原点越远，表示数越大．8．分别指出数轴上点A、B、C、D所表示的数：9．在数轴上画出表示下列各数的点：⑴－150，－100，50，200⑴－0.01，－0.03，0．02，0.03二、能力测试1．到原点的距离不大于3.2的整数有个，它们是：．2．下列结论正确的有（）个：⑴规定了原点、正方向和单位长度的线段叫数轴⑴ 最小的整数是0⑴ 正数，负数和零统称有理数⑴ 数轴上的点都表示有理数A．0 B．1 C．2 D．33．在数轴上画出下列各点，它们分别表示：＋5，0，334-，112，－2，13-，－1.25，并把它们用“＜”连接起来．三、拓展延伸1．下列说法正确的是（）A．没有最大的正数，却有最大的负数；B．在原点左边离原点越远，数就越小；C．0大于一切非负数；D．数轴上离原点越远，表示数越大．2．在数轴上，A、B点所表示的数分别为－3和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应把A点（）A．向左移动6个单位．B．向右移动5个单位．C．向右移动6个单位．D．向左移动2个单位或向右移动6个单位．【课后思考】1．数轴上的点A，B，C，D分别表示a，b，c，d四个数，已知A在B的左侧，C在A，B⑴之间，D在B的右侧，则下列式子成立的是（）A．a<c<b<d B．a<b<c<dC．a<d<c<b D．a<c<d<b2．小明、小兵、小颖三人的家和学校在同一条东西走向的大街上，星期天老师到这三家进行家访，从学校出发先向东走250米到小明家，后又-4-3-2-1543215.0-411213-213问红旗应颁发给哪个工厂？（亏盈单位：万元）工厂一厂二厂三厂四厂五厂亏盈 2．8 2．9 0－2．1－0．7【课堂练习】一、基础训练1．用“＜”、“＞”、“＝”号填空．（1）0.2 15- （2）15- 17-（3）17- 0．001 （4）58- 67-（5）37- 0 （6）17- －0．825（7）23-13- （8）π- －3．14 2．写出一个．．比－1小的数是_ ． 4．下列各数中，比－1小的数是（） A ．0 B ．－2 C ．D ．1 5．下列说法正确的是（） A ．有最大的整数 B ．有最小的负数 C ．有最小的整数 D ．有绝对值最小的数6．－2，0，2，－3这四个数中最大的是（） A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－27．在数轴上，下面说法中不正确的是（） A ．两个有理数，绝对值大的离原点远 B ．两个有理数，大的在右面 C ．两个负有理数，大的离原点近 D ．两个负有理数，大的离原点远8．如图所示在数轴上有理数a 、b ，那么（） A ．b a > B ．a b >C ．a b -<D ．b a -> 9．比较下列每组数的大小： ⑴35 25- ⑴0.02- 0.2- ⑴4- 4- ⑴3-- (3)-- 二、能力测试1．比较下列每组数的大小： (1)(4)-- 4-- (2)－2．5 2.25-- (3)[](2.1)--- [](2.1)--+2．已知4x =，5y =，且x y >，则x ＝， y ＝．三、拓展延伸1．如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值，那么下列说法正确的是（） A ．这个数必大于另一个数 B ．这个数必小于另一个数 C ．这两个数的符号必相反 D ．无法确定两个数的大小2．根据有理数a 、b 、c 在数轴上对应的位置，比较下列各对数的大小．⑴a b ； ⑴a c ； ⑴a - b - ； ⑴b - c -； ⑴b - c ； ⑴a - c ；【课后思考】1．若5a =，1b =，且a b <，求a 、b 值． 2．下列说法不正确的有（） ⑴绝对值等于他本身的数有两个：0和1 ⑴一个有理数的绝对值必为正数 ⑴任何有理数的绝对值不可能为负数 ⑴若m 、n 为有理数，且m n >，则m n > A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．在数轴上，如果点A 对应的有理数为4，点B 对应的有理数为m ，且A 、B 的距离为7，4m >，21b 0 a（3）0十（－7）（4）（－4．7）＋3．9利用数轴，求以下情况时物体两次运动的结⑸先向右运动5 m，再向左运动5 m，物体从写出这五种情况运动结果的算式的值为．（4） .【开放探究】例2 计算（1）)6.0311(322--；（2）34521275231125--++-．【课堂练习】一、基础训练 1．计算（1）)90()24(29)18(----+-（2）)2117()4128(-++（3）)121()31()61(--+-+（4）)06.1()7.2()26.0()6.13(----+--（5）)2.4()3112()527()3211(--+----（6）3)6.0()7.0(6.2)3.1(+-+-++-（7）411324)322(151318)413(++-++-（8）)217(75.2)413()5.0(+-+---二、能力测试1．已知两个数是15和－21，这两个数的和的绝对值是，绝对值的和是． 2．绝对值小于3的所有整数的和是． 3．如果0,0<>b a ，则_____0a b -，如果0,0><b a ，则__0a b -．4．如果0,0<>b a ，0<+b a ，则下列大小关系正确的是（）A ．a b a b <<-<-B ．a b a b <-<-<C ．b a b a -<<<-D ．b a a b -<<-< 2.列式计算：（1）求－6的相反数与比5的相反数小1的数的差；（2）求31-的绝对值的相反数与324的相反数的差；【拓展延伸】1．有理数548,436,512-+- 的代数和比这三个数的相反数的绝对值的和小多少？2．有理数a 、b 在数轴上的对应点A 、B 的位置如图所示，试用“＜”把b a b a b a b a -+-+,,,连接起来．【课后思考】1．如果0,0<>b a ，则a 与b 的差是（）A ．b a -B ．)(b a --1)32()61(2743----+-C ．b a +D ．)(b a +- 2．若a 为有理数，则a a +的结果为（） A ．正数 B ．不可能是负数C ．负数D ．正数、负数和零都有可能 3．计算（1） 184226152410+-+--（2）8)6()7()6()7(-++-+-++（3）3)6.0()7.0(6.2)3.1(+-+-++-§1.4.1有理数的乘法（一）【学习目标】1．探索并掌握有理数的乘法法则，能用法则进行有理数乘法运算．2．能确定多个有理数运算时积的符号，并能用法则进行多个因数的乘法运算．【预习引领】一只蜗牛沿直线l 爬行，它现在的位置恰在l 上的点o ．（1）如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向右爬行，三分后它在什么位置？（2）如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向左爬行，三分后它在什么位置？（3）如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向右爬行，三分前它在什么位置？（4）如果蜗牛一直以每分2cm 的速度向左爬行，三分前它在什么位置？分析：以上问题涉及两组相反意义的量：向右和向左爬行、三分钟后与三分钟前，为了区分方向，我们规定：向左为负，向右为正；为区分时间，我们规定：现在前为负，现在后为正．（1）三分后蜗牛应在l 上点O 右边6cm 处，这可以表示为．（2）三分后蜗牛应在l 上点O 左边6cm 处，这可以表示为．（3）三分前蜗牛应在l 上点O 左边6cm 处，这可以表示为．（4）三分前蜗牛应在l 上点O 右边6cm 处，这可以表示为．【合作探究】知识点一：有理数乘法法则（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同0相乘都得0．例１计算：（1）(3)9-⨯ （2）1()(2)2-⨯-（3）02005⨯ （4）211(1)35⨯-知识点二：倒数乘积是1的两个数互为倒数．（1）若a 是不等于0的有理数，则a 的倒数是1a．（2）乘积为1-的两个数互为负倒数，即a 的负倒数是1a-．例2 （1）12-的倒数的相反数是；（2）若a 、b 互为负倒数，则15ab = ；（3）14-与互为倒数．针对性练习：写出下列各数的倒数：3+ ， 1-，47-，112-，0.2， 1.2-．归纳：1．正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数；2．求带分数与小数的倒数，先将它们转为假分数．【开放探究】知识点三：多个有理数相乘的法则（1）几个数相乘，若其中有因数0，则积等于0．（2）几个不是0的有理数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负，即先确定符号，再把绝对值相乘．例3 计算：输出 ×(－3)输入x－2⑴互为相反数的两个数的绝对值相等A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 3．若│x │=2，│y │=3，则│x +y │的值为；知识点五：熟记以下常识内容：如果a 、b 互为相反数⇔a+b=0；如果c 、d 互为倒数⇔cd=1；如果|x|=m ，则x=±m1．一个数的相反数是它本身，这个数是；一个数的绝对值是它本身，这个数是；一个数的倒数是它本身，这个数是；一个数的平方是它本身，这个数是；一个数的立方是它本身，这个数是． 2．绝对值大于2.1且小于5.6所有整数的积是． 3．a 、b 互为相反数，则2004a ＋2004b －100＝． 4．若y +5>0,且│y +5│=14,那么y = ； 5．7a -的相反数是－2，那么a 是（） A ．5 B ．－3 C ． 2 D ．16．两个数的和为正数且积为负数，则这两个数（） A ．都是正数 B ．都是负数 C ．一正一负且正数的绝对值大 D ．一正一负且负数的绝对值大．7．已知a 、b 是有理数，a ＞b ，且b a <，下列说法正确的是（）A ．a 一定是正数B ．a 一定是负数C ．b 一定是正数D ．b 一定是负数 8．若a ，b 两数互为倒数，c ，d 两数互为相反数．则2（c +d ）2－3ab = ．9．（a +2)2+|b -1|=0，求（a +b ）2018= ． 10．若|x |=5,则x = ．知识点六：比较大小：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数作比较，绝对值大的反而小。

人教版2019年春八年级下册数学全册精品导学案(40份打包)

16.1 二次根式第1课时二次根式的概念学习目标：1.理解二次根式的概念；2.掌握二次根式有意义的条件；3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.一、知识链接1.什么叫作平方根？2.什么叫作算术平方根？什么数有算术平方根？二、新知预习1. 用带根号的式子填空:(1)如图①的海报为正方形，若面积为2m 2,则边长为 m ；若面积为S m 2，则边长为______ m ．(2)如图②的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m 2，则它的宽为_____m ．(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s ）与开始落下的高度h （单位：m ）满足关系 h =5t 2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t 为_____． 2.自主归纳：（1）二次根式的概念：一般地，我们把形如()0a a ____的式子叫作二次根式. “____”称为二次根号.（2）二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.三、自学自测1.下列各式中是二次根式的是（）A .33 B.4 C.3-πD.()31-2.二次根式5x -有意义的条件是_____________. ____________________________________________________________自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分教学备注配套PPT 讲授1.情景引入（见幻灯片3-8）2.探究点1新知讲授（见幻灯片9-16）图① 图②一、要点探究探究点1问题分别表示什么意义？问题2这些式子有什么共同特征？要点归纳：)0a≥的式子叫作二次根式. ”称为_______.))(1)(2)6;(3)0(5),;(6)mx y≤；异号1(2)1x-（.若A.3个B.4个C.5个D.6个2.(1)x的取值范围是___________;(2)若式子12x+-x的取值范围是___________.探究点2：二次根式的双重非负性问题1：当x问题2的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a____0；活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？a (a ≥0) 算术平方根 a 平方运算()2a观察两者有什么关系？要点归纳：aa =(a ____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.典例精析P3例2变式题)计算：2237(1);(2).54⎛ ⎝例2 在实数范围内分解因式：242(1)3;(2)4 4.x y y --+方法总结:本题逆用了()()20aa a =≥在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.针对训练 22(1)(5)(2)(22). ；探究点22a 议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？1.计算：=24 ;=22.0 ;=2)54( ; =220 .观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时 .教学备注配套PPT 讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片12-21）2 4 13 ... ____________________ ... ____________________ ...2.计算：=-2)4( ;=-2)2.0( ;=-2)54( ;=-2)20(.观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0aa时 .3.计算：=20 ;当==2,0aa时 .要点归纳：将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：()()()2____0____=0____0.aa a aa⎧⎪==⎨⎪⎩＞，，＜即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.典例精析例3 (教材P4例3变式题)化简：2(1)10;-2(2)(3.14).-π方法总结:利用2a a=化简求值时，先应确定a的正负，再化简.例 4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:()222.a b a b-+-【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：2244a ab b a b+++-.方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.例5已知a、b、c是△AB C的三边长，化简：()()()222.a b c b c a c b a++-+-+--分析：针对训练1.计算：22(1)(-2)(2)(-1.2).；2.请同学们快速分辨下列各题的对错：()()()()()()()()2222(1)22(2)22(3)22(4)22-=--=--=---=-教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片12-21）教学备注配套PPT讲授4.探究点3新知讲授（见幻灯片22-25）5.课堂小结（见幻灯片30）利用三角形三边关三边长均为正数，a+b＞c两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0探究点3：代数式的定义用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_______或____________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.典例精析例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示出它的长.方法总结:列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．针对训练1.在下列各式中，不是代数式的是（）A.7B.3＞2C.2xD.2223x y+2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.二、课堂小结二次根式的性质内容性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于它_______.即()()20.a a a=≥性质2 一个数的平方的算术平方根等于它的______.即()()20.a aa aa a≥⎧⎪==⎨-⎪⎩，＜1.化简16得（）A. ±4B. ±2C. 4D.-42.当1<x<3时，2(3)3xx--的值为（）A.3B.-3C.1D.-13.下列式子是代数式的有 ( )①a2+b2 ; ②ab; ③13; ④x=2; ⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧.acb+A.3个B.4个C.5个D.6个4.化简：（19＝_______ ; （22(4)-_______;当堂检测教学备注配套PPT讲授6.当堂检测（见幻灯片26-29）（3）()27______-=; （4）()281______=.5. 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简22(1)a a -+-的结果是_________.6.利用a ＝2()a （a ≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式： (1) 9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)12；(6)0 . 能力提升7.(1)已知a 为实数，求代数式2242a a a +---+的值. (2)已知a 为实数，求代数式249a a a +--+-的值.第十六章二次根式16.2 二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法学习目标：1.理解二次根式的乘法法则；2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.重点：理解二次根式的乘法法则：()0,0≥≥=⋅b a ab b a . 难点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质解题.一、知识回顾1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？2.使式子()2a 有意义的条件是_________.三、要点探究探究点1：二次根式的乘法算一算计算下列各式，并观察三组式子的结果：_____;94____;_______94)1(=⨯=⨯=⨯ _____;2516____;_______2516)2(=⨯=⨯=⨯._____3625____;_______3625)3(=⨯=⨯=⨯思考你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测 _____0,0ab a b ，你能证明这个猜测吗？要点归纳：一般地，二次根式相乘，_________不变，________相乘.语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.典例精析例1(教材P6例1变式题)计算：23 5.⨯⨯课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT 讲授1.情景引入（见幻灯片3-5）2.探究点1新知讲授（见幻灯片6-15）式k a b k ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅（ 2 ⎪⎝⎭单n b (2)213-与-开方也______0,0_a b 要点归纳：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根典例精析 4 (教材P7例2变式题)化简：方法总结: 当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算.针对训练 1. 计算：()()31(1)144169(2)284a a ; . -⨯-⋅2.下面是意大利艺术家列奥纳多·达·芬奇所创作世界名画，若长为24，宽为8，求出它的面积.二、课堂小结二次根式的乘法内容二次根式的乘法法则算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即()0,0≥≥=⋅b a ab b a积的算术平方根的性质积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.即0,0aba b a b二次根式的乘法法则拓展①多个二次根式相乘时此法则也适用，即()0,0,00abc n abc n a b c n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅≥≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥②()()0,0m a n b mn ab a b =≥≥1.若()66x x x x -=⋅-，则（） A ．x ≥6 B ．x ≥0 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数2.下列运算正确的是（）A.21835680⨯=B.22225353532-=-=-=C.(4)(16)416(2)(4)8-⨯-=-⨯-=-⨯-=D.222253535315⨯=⨯=⨯= 3.计算： (1)315 ⨯ =______ ；(2)612 ⨯ =_______ ;(3)322_____. ⨯= 4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：1544524227.（）；（）--5. 计算：( 1 ) 23 521⨯；；）（⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯418332 (3)322105; ⨯⨯ 21(4)600.3ab a b a b （，）⋅>>当堂检测教学备注配套PPT 讲授5.当堂检测（见幻灯片23-28）8a,12b ，求250a ,332b ，求491616___________;_____;2525 36___________;_____.49你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？_____0,0a a b .：（1）算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根（2）当二次根式根号外的因数(式教学备注探究点4：二次根式除法的应用例4 (教材P9例7变式题)高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g 的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究从高空抛物时间t 和高度h 近似的满足公式210ht .从100米高空抛物到落地所需时间t 2是从50米高空抛物到落地所需时间t 1的多少倍？二、课堂小结二次根式的除法内容二次根式的除法法则算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即0,0a aa b bb . 商的算术平方根的性质商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.即0,0a aa b b b.最简二次根式最简二次根式满足两个条件：①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.教学备注配套PPT 讲授 4.探究点3新知讲授（见幻灯片15-19）5.探究点4新知讲授（见幻灯片20-21）6.课堂小结（见幻灯片27）示电如果t=15式不是影响2.化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?(1)8180.5;，，(2)804520.，，五、要点探究探究点1：在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式.观察下图并思考：(1)由左图，易得2a +3a = ；(2)当a 2时，分别代入左、右得_2__232=___； (3)当a 32333=_____+；......(4)根据右图，你能否直接得出当a 2，82a +3b 的值？结果能进行化简吗？.要点归纳：（1）判断几个二次根式是否可以合并（加减运算），一定都要化为最简二次根式再判断.（2）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：(m a n a m n a =+典例精析例1 若最简根式2132m n +-3可以合并，求mn .方法总结:确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为2列关于待定字母的方程求解即可.【变式题】38a -172a -42a x x a--义，求x 的取值范围. 针对训练 1.3是同类二次根式的是（）A.258122.8与最简二次根式1m +m =_____.3.12________(填序号）. 1348125118.3①;②-;③;;⑤探究点2：二次根式的加减及其应用思考现有一块长7.5dm 、宽5dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？问题1 怎样列式求两个正方形边长的和?课堂探究教学备注配套PPT 讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片11-19）问题 2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.要点归纳：二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.加减法的运算步骤：(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； . 典例精析P13例2变式题)计算： 1(1)850 1(2)312.27例3 已知a ,b,c 满足(285320a b c --=.(1)求a ,b ,c 的值；(2)以a ,b ,c 为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为52,26，求其周长. 二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小. 针对训练1.下列计算正确的是（）A.222+=B. 3232⨯=C. 1233=325=2.已知一个矩形的长为48，宽为12，则其周长为________. 二、课堂小结二次根式的加减内容法则一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 注意(1)与实数的运算顺序一样； (2)实数的运算律仍然适用； (3)结果要化成最简形式.教学备注配套PPT 讲授 3.探究点2新知讲授（见幻灯片11-19）4.课堂小结（见幻灯片27）A.B.C D2.）A.=B. 2 D.23（=3.则这个三角形的周长为________.4.计算:______；_________(2)；6.下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d（π取3.14）.能力提升7.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b=3a b+，求(2*3)－(27*32)的值．第十六章二次根式16.3 二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算学习目标：1.掌握二次根式的混合运算的运算法则；2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.重点：二次根式的混合运算的运算法则.难点：运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.一、知识回顾1.二次根式的乘、除法则是什么？2.怎样进行二次根式的加减运算？3.填空：m(a+b+c)= ；(m+n)(a+b)= ；(ma+mb+mc)÷m= .六、要点探究探究点1：二次根式的混合运算及应用算一算：若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？要点归纳：二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.典例精析例1(教材P14例3变式题)计算：(1)32327+63（）；---06(2)20163+312.2（）---方法总结:有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3-4）2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-10）例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽42m ，下底宽 62m ，高6m 的梯形，这段路基长 500 m ，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？针对训练 (3 1 6 2 2 2 + 2 1 28⎝⨯() ； () .--探究点2：利用乘法公式进行二次根式的运算问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 典例精析P14例4变式题)计算：21(32)（）；((2)32481843;⨯32a a b a ab a b --+方法总结:进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算. 【变式题】计算：201820181223223;（）（）（）-⨯+20172019322-3232.2（）（）（）+-⨯-教学备注配套PPT 讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片11-15）())))2(1)1(2).；n b 的式子，构成平方(2)化简：1111.42648620182016+++⋅⋅⋅+++++第十七章勾股定理17.1 勾股定理第1课时勾股定理学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想； 2.会用勾股定理进行简单的计算.重点：用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. 难点：会用勾股定理进行简单的计算.一、知识回顾1.网格中每个小正方形的面积为单位1,你能数出图中的正方形A 、B 的面积吗？你又能想到什么方法算出正方形C 的面积呢？A BC CBA七、要点探究探究点1：勾股定理的认识及验证A ，课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT 讲授1.情景引入（见幻灯片3-5）方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：S c =__________________________; 右图：S c =__________________________. 方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：S c =__________________________;右图：S c =__________________________.教学备注配套PPT 讲授2.探究点1新知讲授（见幻灯片6-19）3.探究点2新知讲授（见幻灯片20-24）ABC CBAB 和C 面积之间的关系，你能想到是什么关系吗？2.右图中正方形A 、B 、C 所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？3.在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A 、B 、C 是否也有类似的面积关系？(每个小正方形的面积为单位1)4.正方形A 、B 、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？思考你发现了直角三角形三条边之间的什么规律？你能结合字母表示出来吗？猜测：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ,b ，斜边长为c ,那么________.活动2 接下来让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明活动1的猜想. 证法利用我国汉代数学家赵爽的“赵爽弦图”要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2.公式变形： 222222--.a c b b c a c a b ===+, ，探究点2：利用勾股定理进行计算典例精析例1如图，在Rt △ABC 中， ∠C =90°. （1）若a =b =5,求c ; （2）若a =1,c =2,求b .变式题1 在Rt △ABC 中， ∠C =90°. （1）若a ：b =1：2 ，c =5,求a ; （2）若b =15，∠A =30°,求a,c.方法总结:已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.变式题2 在Rt △ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，求BC 的长.证明：∵S 大正方形＝________，S 小正方形＝________,S 大正方形＝___·S 三角形＋S 小正方形， ∴________=________+__________. 教学备注3.探究点2新知讲授（见幻灯片20-24）方法总结:当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解.例2已知∠ACB =90°,CD ⊥AB ,AC =3,BC =4.求CD 的长.方法总结:由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．针对训练求下列图中未知数x 、y 的值：二、课堂小结内容勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a ,b ,斜边长为c ,那么a 2+b 2=c 2.注意1.在直角三角形中2.看清哪个角是直角3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论1.下列说法中,正确的是（）A.已知a ,b ,c 是三角形的三边，则a 2+b 2=c 2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt △ABC 中，∠C =90°,所以a 2+b 2=c 2D.在Rt △ABC 中，∠B =90°,所以a 2+b 2=c22. 右图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_____________.ABC C （1）若a =15，b =8，则c =_______. （2）若c =13，b =12，则a =_______.4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.5.求斜边长17cm 、一条直角边长15cm 的直角三角形的面积.6.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，∠B =45°，∠C =30°，AD =1，求△ABC 的周长．当堂检测教学备注配套PPT 讲授 4.课堂小结（见幻灯片30）5.当堂检测（见幻灯片25-29）能力提升：7.如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时勾股定理在实际生活中的应用学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.重点：运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.难点：能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.一、知识回顾1. 你能补全以下勾股定理的内容吗？如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么____________.2.勾股定理公式的变形：a=_________,b=_________,c=_________.3.在Rt△ABC中，∠C=90°.(1)若a=3,b=4,则c=_________;(2)若a=5,c=13,则b=_________.八、要点探究探究点1：勾股定理的简单实际应用典例精析例1在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？方法总结:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.针对训练A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-11）C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 ( )A.50米B.120米C.100米D.130米2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.（1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？探究点2：利用勾股定理求两点距离及验证“HL”思考:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？证明:如图,在Rt△ABC和Rt△A’ B’ C’中,∠C=∠C’=90°, AB=A’B’,AC=A’ C’．求证：△ABC≌△A’ B’ C’．证明：在Rt△ABC和Rt△A’ B’ C’中，∠C=∠C’=90°，根据勾股定理得BC=_______________,B’C’=_________________.∵AB=A’ B’，AC=A’ C’，∴_______=________.∴____________≌____________ (________)．典例精析例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.方法总结:两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点()()()()2211222121,,,,.A x yB x y AB x x y y=-+-则探究点3：利用勾股定理求最短距离想一想:1.在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近(在以下四条路线中选择一条)？2.若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3，请求出最短路线的长度.教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片12-14）4.探究点3新知讲授（见幻灯片15-24）教学备注4.探究点3新知讲授（见幻灯片15-24）5.课堂小结（见幻灯片31）要点归纳:立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.典例精析例3 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）?变式题小明拿出牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？例4 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？方法总结:求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.针对训练1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少二、课堂小结1.从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（）A.24mB.12mC.74mD. 26c m2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.当堂检测勾股定理的应用用勾股定理解决实际问题解决“HL”判定方法证全等的正确性问题用勾股定理解决点的距离及路径最短问题第1题图第2题图如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？5.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？能力提升6.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？第十七章勾股定理17.1 勾股定理第3课时利用勾股定理作图或计算学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长.九、要点探究：勾股定理与数轴课堂探究自主学习教学备注配套PPT讲授6.当堂检测（见幻灯片25-30）教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3-4）2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-12）想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2-呢？(提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？3.以下是在数轴上表示出13的点的作图过程，请你把它补充完整.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5为线段,形成如图所示的数学海螺.典例精析例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长.针对训练A. 3B. 5C. 3D.5--2.ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作M，则点M表示的数为（）A.2B.5 1C.10 1D.53.你能在数轴上画出表示17的点吗？典例精析6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．教学备注配套PPT讲授3.探究点2新知讲授（见幻灯片13-17）第1题图第2题图。

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16．1 二次根式第1课时二次根式的概念1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点) 2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．问题2：上面得到的式子3，S ，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)313；(5)15－16；(6)3－x (x ≤3)； (7)－x (x ≥0)；(8)（a －1）2；(9)－x 2－5；(10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围(1)14－3x ；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义；(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－xx －2有意义；(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】(1)x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；(2)已知x 、4，求y x的平方根．解析：(1)(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x的平方根．解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0. 探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112；②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116；③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120；(2)1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝11n （n ＋1）(n 为正整数)．方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1．二次根式的定义一般地，我们把形如a (a≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a 有意义⇔a ≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．第2课时二次根式的性质1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点)2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点)一、情境导入a2等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a2的值，看看有什么规律．22＝4＝2；（－2）2＝4＝2；32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；…你能概括一下a2的值吗？二、合作探究探究点一：二次根式的性质【类型一】(1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2.解析：根据二次根式的性质进行计算即可．解：(1)(5)2＝5；(2)52＝5；(3)（－5）2＝5；(4)(－5)2＝5.方法总结：利用a2＝|a|进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数．【类型二】(1)a2－13；(2)4a2－5；(3)x4－4x2＋4.解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式．解：(1)a2－13＝a2－(13)2＝(a＋13)(a－13)；(2)4a2－5＝(2a)2－(5)2＝(2a＋5)(2a－5)；(3)x4－4x2＋4＝(x2－2)2＝[(x＋2)(x－2)]2＝(x＋2)2(x－2)2.方法总结：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成平方的形式．探究点二：二次根式性质的综合应用【类型一】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（a＋1）2＋2（b－1）2－|a－b|.解析：根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．解：从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a －b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质．【类型二】已知a－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.解析：子，最后去绝对值符号合并即可．解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .方法总结：解答本题的关键是根据三角形的三边关系得出不等关系，再进行变换后，结合二次根式的性质进行化简．|.当x ≤0时，x －1＜0，原式＝1－x ＋(－x )＝1x ＞1时，x －1＞0，原式＝x －1＋x ＝2x －1.方法总结：利用二次根式的性质进行化简时，要结合具体问题，先确定出被开方数的正负，对于式子a 2＝|a |，当a 的符号无法判断时，就需要分类讨论，分类时要做到不重不漏．【类型四】二次根式的规律探究性问题(1)2＋1＝2，S 1＝12，(2)2＋1＝3，S 2＝22， (3)2＋1＝4，S 3＝32.(1)请用含n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解析：利用直角三角形的面积公式，观察上述结论，会发现第n 个三角形的一直角边长就是n ，另一条直角边长为1，然后利用面积公式可得．解：(1)(n )2＋1＝n ＋1，S n ＝n2(n 是正整数)；(2)∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…∴OA 10＝10；(3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＝14(1＋2＋3＋…＋10)＝554.方法总结：解题时通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想．探究点三：代数式的定义及简单应用按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是____________．n →立方→＋n →÷n →－n →答案解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，根据程序所给的运算可得输出的代数式为n 3＋n n －n .故答案为n 3＋nn－n .方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式．三、板书设计1．二次根式的性质1：(a )2＝a (a ≥0)；2．二次根式的性质2：a 2＝a (a ≥0)． 3．代数式的定义用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生进行探究学习，在课堂教学中，对学生探索求知作出了引导，并且鼓励学生自由发言，但在师生互动方面做得还不够，小组间的合作不够融洽，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的学习和生活．16．2 二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法1．掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质；(重点) 2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)一、情境导入计算：(1)4×25与4×25； (2)16×9与16×9. 思考：对于2×3与2×3呢？从计算的结果我们发现2×3＝2×3，这是什么道理呢？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法( ) A ．x C ．－1≤x ≤2 D．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≥0，解得－1≤x ≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．【类型二】二次根式的乘法运算计算：(1)3×5；(2)14×64；(3)627×(－33)； (4)3418ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a6b 2a . 解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．解：(1)3×5＝3×5＝15；(2)14×64＝14×64＝16＝4；(3)627×(－33)＝－1827×3＝－1881＝－18×9＝－162；(4)3418ab ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 6b 2a ＝－34·2a ·18ab ·6b 2a ＝－32a ·36×3b 3＝－32a ·6b 3b ＝－9b a 3b .方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．探究点二：积的算术平方根的性质化简：(1)（－36）×16×（－9）；(2)362＋482；(3)x 3＋6x 2y ＋9xy 2.解析：主要运用公式ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)和a 2＝a (a ≥0)对二次根式进行化简．解：(1)（－36）×16×（－9）＝36×16×9＝62×42×32＝62×42×32＝6×4×3＝72；(2)362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122×52＝12×5＝60；(3)x 3＋6x 2y ＋9xy 2＝x （x ＋3y ）2＝（x ＋3y ）2·x ＝|x ＋3y |x . 方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．探究点三：二次根式乘法的综合应用小明的爸爸做了一个长为588πcm ，宽为48πcm 的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．解：设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π×48π＝168π(cm 2)，所以πr 2＝168π，r ＝242cm(r ＝－242舍去)．答：这个圆的半径是242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．三、板书设计1．二次根式的乘法法则： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0) 2．积的算术平方根：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．第2课时二次根式的除法1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点) 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？(1)3649＝________；3649＝________．(2)916＝________；916＝________． 3649________3649；916________916. 二、合作探究探究点一：二次根式的除法【类型一】二次根式的除法运算计算：(1)0.760.19；(2)－123÷554；(3)6a 2b 2ab；(4)5÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－5145.解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．解：(1)0.760.19＝0.760.19＝4＝2；(2)－123÷554＝－123÷554＝－53×545＝－18＝－32； (3)6a 2b 2ab ＝6a 2b2ab＝3a ； (4)5÷⎝⎛⎭⎪⎫－5145＝－5÷595＝－5×15×59＝－15×53＝－13. 方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．【类型二】二次根式的乘除混合运算计算：(1)945÷3212×32223；(2)a 2·ab ·bb a÷9b2a.解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183；(2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b 3a .方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．探究点二：商的算术平方根的性质A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】利用商的算术平方根的性质化简二次根式(1)179； (2)3c34a 4b2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)．解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．解：(1)179＝169＝169＝43；(2)3c 34a 4b 2＝3c 34a 4b 2＝c2a 2b3c . 方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点三：最简二次根式在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．(1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145.解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；(3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式； (4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式； (5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．探究点四：二次根式除法的综合运用座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T ＝2πlg，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g ＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T ＝2π0.59.8≈1.42，60T ＝601.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．三、板书设计1．二次根式的除法运算 2．商的算术平方根 3．最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展．16．3 二次根式的加减第1课时二次根式的加减1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点) 2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．(难点)一、情境导入小明家的客厅是长7.5m ，宽5m 的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m 2和18m 2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：被开方数相同的最简二次根式已知最简二次根式2a ＋b 与a ＋b3a －4能够合并同类项，求a ＋b 的值．解析：利用最简二次根式的概念求出a ，b 的值，再代入a ＋b 求解即可．解：∵最简二次根式2a ＋b 与a ＋b3a －4能够合并同类项，∴a ＋b ＝2，2a ＋b ＝3a －4，解得a ＝3，b ＝－1，∴a ＋b ＝3＋(－1)＝2.方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．探究点二：二次根式的加减【类型一】二次根式的加减运算计算：12－13－(2)2＋|2－3|.解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式．解：原式＝23－33－2＋2－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13－13＝233. 方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．【类型二】二次根式的化简求值先化简，再求值：a÷⎝⎛⎭⎪⎫a －2ab －b 2a，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3.解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b 的值代入计算即可求出．解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）a ÷a 2－2ab ＋b 2a ＝（a ＋b ）（a －b ）a ·a （a －b ）2＝a ＋ba －b .当a ＝2＋3，b ＝2－3时，原式＝2＋3＋2－32＋3－2＋3＝423＝233.方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．【类型三】二次根式加减运算在实际生活中的应用送给妈妈，其中一张面积为800cm 2，另一张面积为450cm 2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长．解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为 1.2m ＝120cm ＜197.96cm ，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm 的金色细彩带．方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．三、板书设计1．被开方数相同的最简二次根式 2．二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．第2课时二次根式的混合运算1．会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点) 2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：梯形的面积：12(22＋43)×6＝(2＋23)×6＝2×6＋23×6＝2×6＋218＝23＋62(cm 2)．他的做法正确吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】二次根式的四则运算计算：(1)12223×9145÷35； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫312－213＋48÷23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132； (3)2－(3＋2)÷ 3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)；(2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫6－1332－3424×(－26)．解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；(3)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫6－66－326×(－26)＝－236×(－26)＝8.方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】⎩⎨－n （m ≥n ），m ＋n （m <n ）.计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A ．2－4 6B ．2C ．2 5D ．20解析：∵3＞2，∴3※2＝3－2.∵8＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．【类型二】二次根式运算的拓展应用请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n 个数可以用15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n 表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可．解：第1个数，当n ＝1时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15[1＋52－1－52]＝15×5＝1；第2个数，当n ＝2时，15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52＝15×1×5＝1.方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．三、板书设计1．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的． 2．运用乘法公式和运算律进行计算在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.17．1 勾股定理第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点) 2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点) 3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，CD ⊥AB 于D ，求：(1)AC 的长； (2)S △ABC ； (3)CD 的长．解析：(1)由于在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，根据勾股定理即可求出AC 的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S △ABC ；(3)根据面积公式得到CD ·AB ＝BC ·AC 即可求出CD .解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12cm ；(2)S △ABC ＝12CB ·AC ＝12×5×12＝30(cm 2)；(3)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12CD ·AB ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝6013cm.方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△AD ＝12，试求△ABC 的周长．解析：本题应分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明： (1)当△ABC 为锐角三角形时，如图①所示．在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9.在Rt△ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝5＋9＝14，∴△ABC 的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC 为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝152－122＝9.在Rt△ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理的证明方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt△BAE 和Rt△BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA 和Rt△ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt△BAE 和Rt△BFE 的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC 和Rt△ACD 的面积之和等于Rt△ABD 和△BCD 的面积之和解答．解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋12(b ＋a )(b －a )，整理得2b 2＝c 2＋b2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；方法2：此图也可以看成Rt△BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋12a (b －a )，整理得b 2＋ab ＝c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E 的面积是________．解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A 、B 的面积和为S 1，正方形C 、D 的面积和为S 2，S 1＋S 2＝S 3，即S 3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.方法总结：能够发现正方形A 、B 、C 、D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和即是最大正方形的面积．三、板书设计1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”． 3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．第2课时勾股定理的应用1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2．掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．(难点)。