人教版-直线的方程ppt完美课件

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人教版《第三章直线与方程》PPT完美课件3

•
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲突中，充分深刻显示人物复杂内心世界，突出了对人物性格的刻画，使其有血有肉，栩栩如生。
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神操守：自我献身的精神、坚定不移的信念、顽强坚韧的意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地融合为一体，充满诗情画意。如描写百草园的景致，绘声绘色，令人神往。
判断正误
①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 tan（）
②直线的斜率为 tan，则它的倾斜角为（）
③因为所有直线都有倾斜角，所以所有直线都
有斜率.
（）
④因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在（）
⑤直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大( )
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∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
*
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直线的斜率
例 2证 . A 明 (1,3)B ,(5,7)C ,(1,0 1)2 三点. 共
证明：
73 kAB 51 1
•
6.了解和名著有关的作家作品及相关的诗句、名言、成语和歇后语等，能按要求向他人推介某部文学名著。
•
7.能够根据所提供的有关文学名著的相关语言信息推断作品的作者、作品的名称和人物形象，分析人物形象的性格和作品的思想内容并进行简要评价。
•
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和迁移，联系相关的文学名著展开分析，提出自己的认识和看法，说出自己阅读文学名著的感受和体验。

直线的方程(一)PPT课件

3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神
教学重点：
直线方程的点斜式的推导及运用
教学难点：
直线与方程对应关系的说明以及运用各种形式的直线方程时，应考虑使用范围并进行分类讨论
⑵斜截式 ykxb 在形式上与一次函数
的表达式一样，它们之间有什么差别？
只有当 k 0时，斜截式方程才是一次函数
的表达式.
⑶斜截式 ykxb 中，k，b的几何意义
是什么？
③求直线方程应注意分类： (ⅰ) 当k存在时，经过点P1(x1，y1) 的方程为 y-y1=k(x-x1) ； (ⅱ) 当k不存在时，经过点P1(x1，y1) 的方程为 x=x1 。
（1）已知直线的点斜式方程是y-2=x-1, 那么直线的斜率是__1____,倾斜角是__4_5_o__
(2)已知直线的点斜式方程是y2 3(x1),
3
3
那么直线的斜率是____3____倾斜角是__1_5_0_o _，
3.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面(不改变方位)建造一幢8层楼公寓, 问如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积(精确到1m2）.
问题3：
已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是
P(0，b)，求直线l的方程？
解：将点P(0，b)，k代入直线方程的点
斜式得：y-b=k(x-0) 即: y=kx+b
说明：
(1)上述方程是由直线L的斜率和它的纵截距确定的,叫做直线的方程的斜截式。
(2)纵截距可以大于0,也可以等于0或小于0.
总结：

人教版《第三章直线与方程》PPT完美课件10

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一、两条直线的交点坐标探究：根据方程组 AA12xxBB12yyCC1200, 的解与两条直线交点的关系，思考下列问题.
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(2)如何推导出公式|P1P2|= (x2x1)2(y2y1)2 的？提示：在构造的直角△P1QP2中，利用勾股定理，得到 |P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2,由此得到两点间的距离公式 |P1P2|= (x2x1)2(y . 2y1)2
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【解析】1.解方程组 2xxyy1500,得xy12., 将x=2,y=1代入ax+y-3=0，得2a+1-3=0,解得a=1. 答案：1
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类型二过定点的直线系方程
尝试完成下列题目,试归纳含有一个参数的直线方程过定
点问题的解法技巧.
1.(2013·重庆高一检测)对任意实数m,直线(m-1)x+2my+6=0
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【解析】原式可变形为
y (x1)23 (x1)23
24
24
(x1)2(0 3)2 (x1)2(0 3)2.

人教A版数学必修二3.2.3《直线的一般方程》课件(共32张PPT)

（2）直线在y轴上的截距b
令x=0，解出 y C ，则 b C
B
B
(3) 直线与x轴的截距a
令y=0，解出 x C ，则 a C
A
A
研究过一元二次方程与直线方程的联系后，我们就能从几何的角度看一个一元二次方程，即一个一元二次方程表示一条直线。一元二次方程的每个解可以看成直角坐标系中直线上一点的坐标。
y
解：设直线为Ax+By+C=0，
3
x ∵直线过点（0，3）代入直线方程
O
得3B= -C， B= －C/3。
又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A,y= -C/B 由三角形面积为6得 C2 12
AB
∴A=±C/4 ∴方程为 C x C y C 0
43
所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0。
3.2.3 直线的一般式方程
教学目标
知识与能力
➢明确直线方程一般式的形式特征。 ➢会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距。 ➢会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
过程与方法
➢学会用分类讨论的思想方法解决问题。
情感态度与价值观
➢认识事物之间的普遍联系与相互转化。 ➢用联系的观点看问题。
4、若方程 mx (m2 m)y 1 0 表示一条直线，则实数m的取值范围是___m_≠_0_____. 5、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是__-6________.
6、利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程。
例一
已知直线经过点P（3,-1），斜率为 2 ，求直线的点

直线与方程 PPT课件 (20份) 人教课标版4

•
61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
•
62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。
•
10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
•
11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
•
12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。
•
13、人生最大的错误是不断担心会犯错。
•
14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。
反之，一般式能否化为其他几种特殊形式，要看 A，B，C 是否为零．
栏
(1)当 B＝0 时，x＝－CA表示与 y 轴平行(C≠0)或重合(C＝0)的直
目链接
线；
(2)当 B≠0 时，y＝－ABx－CB表示斜率为－AB，在 y 轴上的截距为
－CB的直线(常用于求斜率)；
(3)当 A＝0 时，y＝－CB表示与 x 轴平行(C≠0)或重合(C＝
跟踪训练
解法二：(1)由题意，设所求直线方程为 3x＋4y＋c＝0，
将点 A(2,2)代入得 c＝－14，则所求直线方程为 3x＋4y
栏
－14＝0.
目链
接
(2)由题意，设所求直线方程为 4x－3y＋c＝0，
将点 A(2,2)代入，得 c＝－2，则所求直线的方程为 4x
－3y－2＝0.
题型三含参数的直线问题
•
42、自信人生二百年，会当水击三千里。
•
43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。
•
44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。
•
45、不可能！只存在于蠢人的字典里。

人教A版高中数学《直线的方程》PPT课件1

y + 4 = -4/3 （x – 6）
化成一般式，得 4x+3y – 12=0
截距式是： x y 1 34
巩固训练（一）
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值
是-3/5，
y 4(x4)
则直线l的点斜式方程是_______3____
y 4 x 16
直线l的斜截式方程是_______3____3
答：B≠0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在；
②系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？
答：C=0时，表示直线过原点。
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⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并画出图形：
①3x+y-5=0 ①k= - 3，B=5；
5
m3,m
3
(2)由题意得
m2 2m3 2m2 m31
m 2 2 m 3 (2 m 2 m 1 ) 0
解得 m1或m4 3
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巩固训练（三）
1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾
斜角为450，则m的值是
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程（2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做
直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是一一对应。
例1：已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是

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2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);
-y4++22=x5--33x+y-1=0
3.在x轴,y轴上的截距分别是
3 2
,-3;
x 3
y 3
1
2x-y-3=0
2
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注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数项一般不出现分数；无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。
思考1：以上三个方程是否都是二元一次方程?
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
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思考2：对于任意一个二元一次方程 A xB yC0（A，B不同时为零）能否表示一条直线？
B0时,方程变为 y=AB-x-CB
有斜率的直线
两点式截距式
(x1,y1)(x2,y2)
x轴上截距a y轴上截距b
y-y1 y2-y1
=
x-x1 x2-x1
x a
+
y b
=1
不垂直于x,y轴的直线
不垂直于x,y轴的直线不过原点的直线
过点（
x
0
,
y
）
0
与x轴垂直的直线可表示成
x x0，
过点（
x
0
,
y
）
0
与y轴垂直的直线可表示成
两个截距
截距式
x y 1 ab
化成一般式 AxByC0

直线的方程人教版课件

直线的方程
直线方程有几种形式？
点斜式：y-y1=k(x-x1) 斜截式：y=kx+b
什么是直线的方向向量？
一般怎么表示？ (1,k)
y y1 x x1 两点式 : y2 y1 x2 x1 x y 截距式 : 1 a b一Biblioteka 式：Ax+By+C=0
例1、求经过P(1，2)点和两条直线l1: x+y+1=0 和 l2: 5x3y+10=0 的交点的直线方程。例2、过直线x-2y-3=0和2x-3y2=0的交点作一直线，使它与两坐标轴相交所成的三角形面积为5 （平方单位），求此直线方程。
例1.过点P(3,2)作直线l分别交x, y正半轴于A, B 两点.(1)当AOB面积最小时 .求l的方程. (2)当 | PA | | PB | 取最小时.求l的方程.
变题:改为过点(3,2)作直线与坐标轴围成的面积为15则这样的直线有几条_____.12呢 ______10呢____
例2.如果点( x, y)在直线l上, 则(4 x 2 y, x 3 y) 也在l上, 求l的方程.
例5.过两点M (5,2), N (7,2)的直线与直线 l : x y 0交于点P, 则P分有向线段MN的比 ____
例3.已知定点P(6,4)及直线l : y 4 x, 点Q是l上第一象限的点 .直线PQ与x轴的正半轴于M 问点Q在什么位置时OMQ的面积最小?
例4.若直线(m 1) x y 2m 1 0不过第一象限
2
则m的取值范围是( ) 1 1 A. m 1 B. 1 m 2 2 1 1 C. m 1 D. m 1 2 2

新人教版(必修2) 直线的方程精选教学PPT课件

例１已知直线 l 过两点 A（a,0), B（0,b), 其中a≠0,b≠0,求直线 l 的方程。
•
y
•B(0,b)
A(a,0) 0
x
练习3：求过点P(2,3),并且在两轴上的
截距相等的直线方程。
y
x+y-5=0
3 ·P（2
3x-2y=0
,3）xo Nhomakorabea2
请同学们自己看书:P106
例4
已知三角形的三个顶点A（－5,0）， B(3,-3),C(0,2).求BC边所在直线的方程, y 以及该边上中线所在直线的方程。
直线的方程 (2)
湛师附中林倩梅
1). 直线的点斜式方程：
复习
y- y0 =k(x- x0 ) 直线经过点P0(x0 ,y0) ,斜率为k
设疑
注当k不存在时,直线方程为:x= x 意：
2). 直线的斜截式方程： y=kx+b 斜率为k，直线在y轴上的截距为b
0
练
习
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程．思路：点斜式另解：（斜截式）设直线方程为：y=kx+b.
答案: 直线方程为:y=x+2
推广
已知两点P1(x1,y1),P2(x2 ,y2),（其中x1≠x2且 y1≠y2），又如何求出通过这两点的直线方程呢？
练习１：求经过点Ａ（－１，８），
Ｂ（４，－２）的直线方程。
2x+y-6=0 练习2：求经过点Ａ（－3，6），Ｂ（10，6）的直线方程。 y=6
B(-3,5)
•
y
4
A(6,4)
•
-4
-2

《直线的方程》PPT精品课件人教版1

结论:截距式方程的形式: __xa___by___1._(a_b___0)_________ .
人教版高中数学必修二课件：3. 2直线的方程 1
人教版高中数学必修二课件：3. 2直线的方程 1
【对点训练】
1.若直线l的方程为 y x =1，则直线l在x轴与y轴
32
(2)注意事项:在选用每一种直线方程时，需要注意各自的适用范围，同时对特殊情况下的直线要单独讨论解决.
人教版高中数学必修二课件：3. 2直线的方程 1
人教版高中数学必修二课件：3. 2直线的方程 1
【跟踪训练】 1.在x轴、y轴上的截距分别是2，-3的直线方程为
y4 64
x0 ， 20
即y=-x+4.
人教版高中数学必修二课件：3. 2直线的方程 1
人教版高中数学必修二课件：3. 2直线的方程 1
综上所述，边AC所在直线的方程为y= 1 x+4，边AB所
2
在直线的方程为y=-x+4.
人教版高中数学必修二课件：3. 2直线的方程 1
人教版高中数学必修二课件：3. 2直线的方程 1
2.过点A(2，3)和点B(4，7)的直线方程是 ( )
A.y=-2x+7
B.y=2x+1
C.y=2x-1
D.y=2
【解析】选C.直线的两点式方程为 y 3 x 2，
73 42
即y=2x-1.
人教版高中数学必修二课件：3. 2直线的方程 1
3.2.2 直线的两点式方程
主题1 直线方程的两点式观察如图所示的直线l，思考下列问题:

直线的方程数学PPT课件

重点
掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围。
重点
了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
重点
掌握中点坐标公式。
难点
通过四种形式方程的对比，掌握类比思想。
已知两点P1(x1 ,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2）,求通过这两点的直线方程。
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点。
此时过这两点的直线方程是什么?
当x1＝x2Leabharlann 方程为：x＝x1或x＝x2当y1= y2时方程为：y=y1或y=y2
直线的截距式方程
定义：直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定，所以叫做直线方程的截距式方程。

+ =

在x轴上的截距
在y轴上的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线。
直线方程名称
−1
−1
因为kPP1= kP1P2，所以
可得直线的两点式方程：
=
2 −1
，
2 −1
−1
2 −1
=
−1
，
2 −1
记忆特点：
1、左边全为y，右边全为x。
2、两边的分母全为常数.。
3、两边分子，分母中的减数分别相同。
注意
斜率为0或斜率不存在
的直线不可用斜率式
若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1= y2,
直线方程形式
适用范围
点斜式
不垂直x轴
斜截式
不垂直x轴
两点式
不垂直坐标轴
截距式
不垂直坐标轴且不经过原点

人教版《第三章直线与方程》PPT完美课件11

线l上的情况是否还适用？
探究提示：考虑
提示：仍然适用.
代入公式能否成立.
①当A=0，B≠0时，直线l的方程为By+C=0，
即 yC B,d|y0C B 适|合|B 公y |0 B 式 |C ; |, ②当B=0，A≠0时，直线l的方程为AxC0,xC,
A
d|x0A C||A 适x|合A 0|公C式|, ;
人教版《第三章直线与方程》PPT完美课件11
【解析】1.由点到直线的距离公式可得 d|42325|19.
4232
5
答案：1 9
5
2.设与直线x+3y-5=0垂直的直线的方程为3x-y+m=0，则由点
到直线的距离公式知：d|3(1)0m ||m 3|310.
32(1)2
10 5
所以|m-3|=6,即m-3=±6,
人教版《第三章直线与方程》PPT完美课件11
人教版《第三章直线与方程》PPT完美课件11
【探究提升】对点到直线的距离公式的三点说明 (1)公式的适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离,无论是该直线的斜率不存在还是斜率为0均适用于此公式. (2)公式的构造特点：分子是用点P(x0,y0)的坐标代换直线方程中的x,y,然后取绝对值.分母是直线方程中的x,y的系数的平方和的算术平方根. (3)使用点到直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式.
“×”).
(1)直线l1：Ax+By+C1=0到l2：Ax+By+C2=0的距离是|C1-C2|. ()
(2)点到直线的距离公式不适用于点在直线上的情形.( ) (3)原点到直线Ax+By+C=0的距离公式是 | C | .( )

人教版《第三章直线与方程》PPT完美课件6

人教版《第三章直线与方程》PPT完美课件6
人教版《第三章直线与方程》PPT完美课件6
【解析】1.选B.由直线l1,l2的斜率k1,k2分别是一元二次方程 x2-4x-1=0的两根,故k1·k2=-1,所以l1⊥l2,故选B.
人教版《第三章直线与方程》PPT完美课件6
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(3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,1),Q(0,5).
其中l1∥l2的序号是
.
人教版《第三章直线与方程》PPT完美课件6
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2.已知直线l1经过点A(2,a),B(a-1,3),l2经过点C(1,2), D(-2,a+2),若l1∥l2,求a的值. 【解题指南】1.两条直线斜率相等或斜率都不存在时,两条直线平行. 2.根据题意可知两条直线的斜率相等,找到关于a的方程,从而求出a的值.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1.掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判断两条直线是否平行或垂直. 2.通过两条直线斜率之间的关系判断其几何关系,初步体会数形结合思想.
1.两条直线的平行
(1)如果两条直线的斜率存在,设这两条直线的斜率分别为 k1,k2.若两条直线平行,则它们的斜率_相__等__;反之,若两条直线的斜率相等,则它们_平__行__,即l1∥l2⇔_k_1=_k_2_. (2)如果两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线的倾斜角都为__9_0_°_,这两条直线互相_平__行__.
_k_1_·__k_2=_-_1_．
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”,错误的打 “×”). (1)互相平行的两条直线斜率相等.( ) (2)若直线l1,l2互相垂直,则其斜率满足k1·k2=-1.( ) (3)斜率都为0的两条直线平行.( )

人教A版高中数学《直线的方程》PPT教学课件1

人教A版高中数学《直线的方程》PPT 教学课件1
*
人教A版高中数学《直线的方程》PPT 教学课件1
点斜式
yy0k(xx0) (k存在)
特殊情况：
yy00或 yy0 (k 0)
xx00或 xx0 (k不存在)
人教A版高中数学《直线的方程》PPT 教学课件1
*
人教A版高中数学《直线的方程》PPT 教学课件1 人教A版高中数学《直线的方程》PPT 教学课件1
2.一条直线经过点P（-2，3），且与过点（-4,4）和（-3，2）的直线垂直，求这条直线的方程。
*
变式训练人教A版高中数学《直线的方程》PPT教学课件1
3.一条直线经过点P（-2，3），且与x轴平行，求这条直线的方程。
注：当直线l的倾斜角是00时，
y
tan00=0,即k=0，这时直线l与 x轴平行
人教A版高中数学《直线的方程》PPT 教学课件1
直线的点斜式方程。
*
用一用
例1：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角 α=450，求这条直线的方程。
解：这条直线经过点P1（-2，3）, 斜率是 k=tan450=1
代入点斜式得
y31(x2) 即所求直线方程为：
xy50
*
变式训练
1.一条直线经过点P（-2，3），且与过点（-4,4）和（-3，2）的直线平行，求这条直线的方程。
（C）（4，3）；π/ 6
（D）（－4，－3）；π/ 3
③直线方程可表示成点斜式方程的条件是___A___
（A）直线பைடு நூலகம்斜率存在
（B）直线的斜率不存在
（C）直线不过原点
（D）不同于上述答案

直线的方程 PPT课件人教课标版

7.2 直线的方程（2）
1.点斜式
已知l经直过线 P0(x店 0,y0)斜 , 率 k, 为求直 l的线方程
yy0k(xx0)
直线方程的点斜式
斜截式：
ykxb
b叫做直线l在y轴上的截距；
复习
练习1：
某直线过点p(-2,3),倾斜角 =45o，求这条
直线的方程。
23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。
•
24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。
•
25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。
•
26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。
•
27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。
•
28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。
•
29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。
练习2：求倾斜角为120o，与y轴交点距离X轴为5的
直线方程。
1. 两点式
已知直线 l经过点 P 1(x1,y1)、 P 2(x2,y2),
(x1x2),求直线 l的方程
解：直线 l的斜率为 ky2y1
x2x1 由点斜式方程
p2
y y y2 y1 (x x ).
即 x 1y3 5 0 .
例3、直线l过点P(4,1)且与x、y正半轴
相交于A、B两点，
（1）求SOAB最小值及相应的直线l方程；
（2）l在两坐标轴上截距之和的最小值
y
及相应l方程
解 1 ） A ( （ a ,0 ) 设 B ( , 0 ,b )( a , 0 ,b 0 ) B
则直线方x程 y为 1 ab

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什么？
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思考6:我们把方程 yy0k(xx0)
叫做直线的点斜式方程，经过点P0(x0， y0)的任意一条直线的方程都能写成点斜式吗？
思考7:经过点P0(x0，y0) ，且倾斜角为
0o，90o的直线方程分别是什么？
y=y0
x=x0
思考8:x轴、y轴所在直线的方程分别是
什么？
y=0 * x=0
知识探究（二）：直线的斜截式方程人教A版高中数学《直线的方程》PPT优质课件1
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•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要组成部分，一个孩子如果在十多年的教育历程中没有养成阅读的习惯、兴趣和能力，一旦离开校园，很可能把书永远丢弃在一边，这样的结果一定是我们所有的教育工作者不想看到的。
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知识探究（一）：直线的点斜式方程
思考1:在什么条件下可求得直线的斜率？什么样的直线没有斜率？
k tan y2 y1
x2 x1
思考2:在直角坐标系中，由直线的斜率不能确定其位置，再附加一个什么条件，直线的位置就确定了？
*
思考3:已知直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？
3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程
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问题提出
t
p
1 2
5730
1.若两条不同直线的斜率都存在，
如何判定这两条直线互相平行、垂
直？
l1//l2k1k2 l1l2 k1k21