曲线和方程练习题

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曲线与方程练习题

曲线与方程练习题一、填空题1. 向上凹曲线的二次函数方程一般可以表示为 ________。

2. 直线 y = a 与 x 轴的交点为 _________。

3. 曲线 y = x^3 - 2x^2 - 3x + 2 的对称轴方程为 ________。

4. |a| > 1 时，二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像开口向 _________。

5. 一条直线 y = mx + c 与双曲线 xy = k (k > 0) 相交于两个点时，m 的取值范围为 ________。

6. 一条直线 y = kx 与椭圆 (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 相切于点 (x1, y1)，则 k 的取值范围为 ________。

二、选择题1. 曲线 y = (x + 2)^2 - 3 的对称轴为：A. x = 2B. y = 2C. x = -2D. y = -22. 函数 y = (x - 3)(x - 1) 的图像与 x 轴的交点为：A. (3, 0) 和 (1, 0)B. (3, 0) 和 (-1, 0)C. (0, 3) 和 (0, 1)D. (0, 3) 和 (0, -1)3. 下列函数中，是抛物线的是：A. y = x^3 - 2x + 6B. y = 3x^2 + 4x - 1C. y = x^2 / 2 + 5D. y = 2x + 14. 随着 a 的增大，函数 y = ax^2 的图像：A. 变宽B. 变窄C. 上移D. 下移5. 一次函数 y = mx + c 和二次函数 y = ax^2 相交于两个交点时，m 和 a 的关系为：A. m = aB. m > aC. m < aD. 无法确定三、解答题1. 求下列函数的对称轴、顶点和图像开口的方向：a) y = 2x^2 + 4x - 3b) y = -3x^2 + 6x - 12. 给定函数 y = x^3 + ax^2 + bx + 2，已知该函数的图像过点 (-1, 2)，x = 2 和 y = 4 和曲线的对称轴平行，则 a 和 b 的值分别为多少？3. 已知一条直线将椭圆 (x - 3)^2/4 + (y - 4)^2/9 = 1 和双曲线 (x -1)^2/9 - (y - 5)^2/4 = 1 分成两部分，求此直线方程。

§2.6.1 曲线与方程

(2)经过点 A(1,0), B(0,1) 的直线的方程为 (4)方程 y 4 x2 对应的曲线是以原点为圆心, 2 为半径的圆; (5)过原点的直线可设为 y kx(k R ) .
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【练习 2】 BP57T 5 【例 3】在平面直角坐标系中画出方程 ( y 1) x 1 0 所表示的曲线.
组.
y 1 3 与 y 1 3x ; x
1 与 xy 1 ; x
(4) y log 2 x2 与 y 2log 2 x
8.已知 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 分别是直线 l 上的点和直线 l 外的点,若直线 l 的方程为 f ( x, y ) 0 , 则方程 f ( x, y) f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 ) 0 表示的图形与直线 l 的位置关系是 .
9. 已知点 A(1,0), B(1,0) , 动点 P 满足条件 | PA | | PB | 2 的轨迹方程是 .
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三.典型例题【例 1】判断点 (2,2 3 ), (3,1) 是否在圆 x 2 y 2 16 上. 【练习 1】 BP57T 2,3 【例 2】判断下列命题是否正确。 (1)如图,以原点为圆心, 1 为半径的半圆 ACB 的方程是 x2 y 2 1 ;
y 1; x 1 (3)已知点 A(0,0), B(2, 4) ,则线段 AB 的方程为 y 2 x ;
二.今日作业 3.下面每个图形和所给的方程对应关系正确的有
.
y x2 y 2 1
O
y 1
O
y 2x 1
x
(2)

习题第29讲曲线与方程--高考数学习题和答案

专题九解析几何第二十九讲曲线与方程2019年1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）。

给出下列三个结论：① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③2．（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a −+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．4.（2019全国III 理21（1））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12−上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.5.（2019北京理18）已知抛物线2:2C x py =−经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.6.（2019全国II 理21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.7. （2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 8.（2019天津理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.2010-2018年解答题1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =−上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．（i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．4．(2016年天津)设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．5．(2016年全国II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||tAM AN =时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y −=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．8．（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．11．（2014广东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为，，（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．12．（2014辽宁）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b−=过点P ．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．13．（2013四川）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F −，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且 222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．14．（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y −+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =−的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =−上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．15．（2011天津）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=− ，求点M 的轨迹方程．16．（2009广东）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y −+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．（1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a −+−++=与D 有公共点，试求a 的最小值．。

曲线和方程典型例题

典型例题一例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上．（C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上．（D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系．分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例4 曲线4)1(22=-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式∆分别满足0>∆、0=∆、0<∆．解：由⎩⎨⎧=-++-=.4)1(,4)2(22y x x k y得04)23()23(2)1(222=--+-++k x k k x k ∴]4)23)[(1(4)23(42222--+--=∆k k k k)5124(42+--=k k)52)(12(4---=k k∴当0>∆即0)52)(12(<--k k ，即2521<<k 时，直线与曲线有两个不同的交点．当0=∆即0)52)(12(=--k k ，即21=k 或25=k 时，直线与曲线有一个交点．当0<∆即0)52)(12(>--k k ，即21<k 或25>k 时，直线与曲线没有公共点．说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五例5 若曲线x a y =与)0(>+=a a x y 有两个公共点，求实数a 的取值范围．分析：将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”，从而研究一元二次方程的解的个数问题．若将两条曲线的大致形状现出来，也许可能得到一些启发．解法一：由⎩⎨⎧+==ax y xa y 得：a y a y -=∵0≥y ，∴222)(a y a y -=，即02)1(4322=+--a y a y a ．要使上述方程有两个相异的非负实根．则有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->--=∆010120)1(442423246a a a a a a a 又∵0>a∴解之得：1>a ．∴所求实数a 的范围是),1(∞+．解法二：x a y =的曲线是关于y 轴对称且顶点在原点的折线，而a x y +=表示斜率为1且过点),0(a 的直线，由下图可知，当1≤a 时，折线的右支与直线不相交．所以两曲线只有一个交点，当1>a 时，直线与折线的两支都相交，所以两条直线有两个相异的交点．说明：这类题较好的解法是解法二，即利用数形结合的方法来探求．若题设条件中“0>a ”改为R a ∈呢，请自己探求．典型例题六例6 已知AOB ∆，其中)0,6(A ，)0,0(O ，)3,0(B ，则角AOB 平分线的方程是x y =(如下图)，对吗？分析：本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度，关键是理解三角形内角平分线是一条线段．解：不对，因为AOB ∆内角平分线是一条线段OC ，而方程x y =的图形是一条直线．如点)8,8(P坐标适合方程x y =，但点P 不在AOB ∆内角AOB 的平分线上．综合上述内角AOB 平分线为：)20(≤≤=x x y ．说明：判断曲线的方程或方程的曲线，要紧扣定义，两个条件缺一不可，关键是要搞清楚曲线的范围．典型例题七例7 判断方程122+--=x x y 所表示的曲线．分析：根据方程的表面形式，很难判断方程的曲线的形状，因此必需先将方程进行等价变形．解：由原方程122+--=x x y 可得：1--=x y ，即⎩⎨⎧<-≥+-=),1(1),1(1x x x x y ∴方程122+--=x x y 的曲线是两条射线，如图所示：说明：判断方程表示的曲线，在化简变形方程时要注意等价变形．如方程21-=-y x 等价于2)1(2-=-y x 且1≥x ，即)1(2)1(2≥+-=x x y ，原方程的曲线是抛物线一部分．典型例题八例8 如图所示，已知A 、B 是两个定点，且2=AB ，动点M 到定点A 的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．分析：本题首先要建立适当直角坐标系，动点P 满足的条件(等量关系)题设中没有明显给出，要从题意中分析找出等量关系．连结PB ，则PB PM =，由此4==+=+AM PM PA PB PA ，即动点P 到两定点A ，B 距离之和为常数．解：过A ，B 两点的直线为x 轴，A ，B 两点的中点O 为坐标原点，建立直角坐标系∵2=AB ，∴A ，B 两点坐标分别为)0,1(-，)0,1(．连结PB ．∵l 垂直平分线段BM ， ∴PB PM =，4==+=+AM PM PA PB PA ．设点),(y x P ，由两点距离公式得4)1()1(2222=+-+++y x y x ，化简方程，移项两边平方得(移项)x y x -=+-4)1(222．两边再平方移项得：13422=+y x ，即为所求点P 轨迹方程．说明：通过分析题意利用几何图形的有关性质，找出P 点与两定点A ，B 距离之和为常数4，是解本题的关键．方程化简过程也是很重要的，且化简过程也保证了等价性．典型例题九例9 过()42，P 点作两条互相垂直的直线1l ，2l ，若1l 交1l 轴于A ，2l 交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解：连接PM ，设()y x M ，，则()02，x A ，()y B 20，．∵ 21l l ⊥∴ PAB ∆为直角三角形．由直角三角形性质知AB PM 21=即()()2222442142y x y x +=-+- 化简得M 的轨迹方程为052=-+y x说明：本题也可以用勾股定理求解，还可以用斜率关系求解，因此本题可有三种解法．用斜率求解图２的过程要麻烦一些．典型例题十例10 求与两定点A 、B 满足222k PB PA =-（k 是常数）的动点P 的轨迹方程．分析：按求曲线方程的方法步骤求解．解法一：如图甲，取两定点A 和B 的连线为x 轴，过AB 的中点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,(a A -，)0,(a B ，),(y x P ，则：222)(y a x PA ++=，222)(y a x PB +-=．据题意，222k PB PA =-，有[][]22222)()(kya x y a x =+--++得24k ax =．由于k 是常数，且0≠a ，所以ak x 42=为动点的轨迹方程，即动点P 的轨迹是一条平行于y 轴的直线．解法二：如图乙，取A 与B 两点连线为x 轴，过A 点且与AB 垂直的直线为y 轴建立坐标系．设)0,0(A ，)0,(a B ，),(y x P ，则：222y x PA +=，222)(y a x PB +-=．据题意，222k PB PA =-，有()[]22222)(k y a x yx =+--+，得a k a x 222+=，即动点P 的轨迹方程为ak a x 222+=，它是平行于y 轴的一条直线．解法三：如图丙建立坐标系，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(y x P ，则21212)()(y y x x PA -+-=，22222)()(y y x x PB -+-=．据题意，222k PB PA =-，有[][]222222121)()()()(k y y x x y y x x =-+---+-，整理后得到点P 的轨迹方程为：0)(2)(22222221211212=---++-+-k y x y x y y y x x x ，它是一条直线．说明：由上面介绍的三种解法，可以看到对于同一条直线，在不同的坐标系中，方程不同，适当建立坐标系如解法一、解法二，得到的方程形式简单、特性明显，一看便知是直线．而解法三得到的方程烦琐、冗长，若以此为基础研究其他问题，会引起不必要的麻烦．因此，在求曲线方程时，根据具体情况适当选取坐标系十分重要．另外，也要注意到本题所求的是轨迹的方程，在作解答表述时应强调曲线的方程，而不是曲线．典型例题十一例11 两直线分别绕着定点A 和B (a AB 2=)在平面内转动，且转动时保持相互垂直，求两直线的交点P 的轨迹方程．分析：建立适当的直角坐标系，利用直角三角形的性质，列出动点所满足的等式．解：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，P 属于集合{}222ABPB PA P C =+=．设),(y x P ，则22222)2()()(a y a x y a x =+-+++，化简得222a y x =+．这就是两直线的交点P 的轨迹方程．说明：本题易出现如下解答错误：取直线AB 为x 轴，取线段AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则：)0,(a A -，)0,(a B ，交点P 属于集合{}{}1-=⋅=⊥=PB PA k k P PB PA P C ．设),(y x P ，则a x y k PA +=)(a x -≠，ax yk PB -=)(a x ≠，故1-=-⋅+ax ya x y ，即222a y x =+(a x ±≠)．要知道，当x PA ⊥轴且另一直线与x 轴重合时，仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为A ．同样x PB ⊥轴重合时，且另一直线与x 轴仍有两直线互相垂直，此时两直线交点为B ．因而，)0,(a A -与)0,(a B 应为所求方程的解．纠正的方法是：当PA 或PB 的斜率不存在时，即a x ±=时，)0,(a A -和)0,(a B 也在曲线上，故所求的点P 的轨迹方程是222a y x =+．求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，既要剔除不适合的部分，也不要遗漏满足条件的部分．典型例题十二例12 如图，ABC Rt ∆的两条直角边长分别为a 和b )(b a >，A 与B 两点分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上滑动，求直角顶点C 的轨迹方程．分析：由已知ACB ∠是直角，A 和B 两点在坐标轴上滑动时，AOB ∠也是直角，由平面几何知识，A 、C 、B 、O 四点共圆，则有AOC ABC ∠=∠，这就是点C 满足的几何条件．由此列出顶点C 的坐标适合的方程．解：设点C 的坐标为),(y x ，连结CO ，由︒=∠=∠90AOB ACB ，所以A 、O 、B 、C 四点共圆．从而ABC AOC ∠=∠．由a b ABC =∠tan ，x y AOC =∠tan ，有a b x y =，即x aby =．注意到方程表示的是过原点、斜率为ab的一条直线，而题目中的A 与B 均在两坐标轴的正半轴上滑动，由于a 、b 为常数，故C 点的轨迹不会是一条直线，而是直线的一部分．我们可考察A 与B 两点在坐标轴上的极端位置，确定C 点坐标的范围．如下图，当点A 与原点重合时，x b a x AB S ABC ⋅+=⋅=∆222121，所以22ba ab x +=．如下图，当点B 与原点重合时，C 点的横坐标BD x =．由射影定理，AB BD BC ⋅=2，即222b a x a +⋅=，有222ba a x +=．由已知b a >，所以22222ba a ba ab +<+．故C 点的轨迹方程为：x a b y =（22222ba a xb a ab +≤≤+）．说明：求出曲线上的点所适合的方程后，只是形式上的曲线方程，还必须对以方程的解为坐标的点作考察，剔除不适合的部分．典型例题十三例13 过点)2,3(P 作两条互相垂直的直线1l 、2l ，若1l 交x 轴于A ，2l 交y 轴于B ，M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ，求M 点的轨迹方程．分析：如图，设),(y x M ，题中几何条件是21l l ⊥，在解析几何中要表示垂直关系的代数关系式就是斜率乘积为－1，所以要求M 的轨迹方程即x 、y 之间的关系，首先要把1l 、2l 的斜率用x 、y 表示出来，而表示斜率的关键是用x 、y 表示A 、B 两点的坐标，由题可知M 是A 、B 的定比分点，由定比分点坐标公式便可找出A 、B 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 、B 两点的坐标，并求出M 点的轨迹方程．解：设),(y x M ，)0,(a A ，),0(b B ∵M 在线段AB 上，且3:1:=BM AM ．∴M 分AB 所成的比是31，由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=31131311b y a x ，得⎪⎩⎪⎨⎧==y b xa 434， ∴)0,34(x A 、)4,0(y B 又∵)2,3(P ，∴1l 的斜率x k 34321-=，2l 的斜率3242--=y k ． ∵21l l ⊥，∴13243432-=--⋅-y x ．化简得：01384=-+y x ．说明：本题的上述解题过程并不严密，因为1k 需在49≠x 时才能成立，而当49=x 时，)0,3(A ，1l 的方程为3=x ．所以2l 的方程是2=y ．故)2,0(B ，可求得)21,49(M ，而)21,49(也满足方程01384=-+y x ．故所求轨迹的方程是01384=-+y x ．这类题在解答时应注意考虑完备性和纯粹性．典型例题十四例14 如图，已知两点)2,2(-P ，)2,0(Q 以及一直线x y l =：，设长为2的线段AB 在直线l 上移动．求直线PA 和QB 的交点M 的轨迹方程．分析1：设),(y x M ，题中的几何条件是2=AB ，所以只需用),(y x 表示出A 、B 两点的坐标，便可求出曲线的方程，而要表示A 点坐标可先找出A 、M 两点坐标的关系，显然P 、A 、M 三点共线．这样便可找出A 、M 坐标之间的关系，进而表示出A 的坐标，同理便可表示出B 的坐标，问题便可以迎刃而解．解法一：设),(y x M 、),(a a A 、),(b b B )(a b >．由P 、A 、M 三点共线可得：2222+-=+-x y a a （利用PA 与MP 斜率相等得到） ∴422+-+=y x y x a ．由Q 、B 、M 三点共线可得x y b b 22-=-． ∴22+-=y x x b ．又由2=AB 得2)(22=-b a ．∴1=-a b ，∴142222=+-+-+-y x y x y x x ．化简和所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．分析2：此题也可以先用P 、A 、M 三点共线表示出A 点坐标，再根据2=AB 表示出B 点坐标，然后利用Q 、B 、M 三点共线也可求得轨迹方程．解法二：设),(y x M ，),(a a A 由2=AB 且B 在直线x y =上且B 在A 的上方可得：)1,1(++a a B 由解法一知422+-+=y x y x a ， ∴)443,443(+-+++-++y x y x y x y x B 又由Q 、B 、M 三点共线可得：xy y x y x y x y x 24432443-=+-++-+-++．化简得所求轨迹方程为：082222=+-+-y x y x ．解法三：由于2=AB 且AB 在直线x y =上所以可设),(a a A ，)1,1(++a a B ．则直线AP 的方程为：)2)(2()2)(2(+-=-+x a y a直线BQ 的方程为：x a y a )1()2)(1(-=-+ 由上述两式解得)0(1212≠⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=a a a y a a x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-+=+44)1(44)1(222222a a y a a x ∴8)1()1(22-=+-+y x ，即082222=+-+-y x y x ．而当0=a 时，直线AP 与BQ 平行，没有交点．∴所求轨迹方程为082222=+-+-y x y x ．说明：本题的前两种方法属于直接法，相对较繁，而后一种方法，事实上它涉及到参数的思想(a 为参数)，利用交点求轨迹方程．一般先把交点表示为关于参数的坐标，然后消去参数，这也反映出运动的观点．。

2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.1.1 曲线与方程

第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。

曲线与方程练习题

曲线与方程练习题曲线与方程练习题数学作为一门抽象而又实用的学科，几乎贯穿了我们的整个学习生涯。

其中，曲线和方程是数学中的重要概念，它们在解决实际问题中起着重要的作用。

本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解曲线和方程的关系。

练习题一：给定方程y = 2x + 3，画出它的图像，并说明该图像的特点。

解析：首先，我们可以根据方程中的斜率和截距，找到该直线的两个点。

当x= 0时，y = 3；当x = 1时，y = 5。

因此，我们可以在坐标系中连接这两个点，得到一条斜率为2，截距为3的直线。

这条直线是一条倾斜向上的直线，它的斜率表示了直线上每单位x变化对应的y的变化。

练习题二：给定方程y = x^2，画出它的图像，并说明该图像的特点。

解析：这个方程表示了一个二次函数的图像。

我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。

例如，当x = -2时，y = 4；当x = -1时，y = 1；当x = 0时，y = 0。

将这些点连接起来，我们可以得到一个开口向上的抛物线。

这个抛物线的特点是，它的顶点位于原点，对称轴为y轴，开口向上。

练习题三：给定方程y = sin(x)，画出它的图像，并说明该图像的特点。

解析：这个方程表示了一个正弦函数的图像。

正弦函数是一种周期性的函数，它的图像在一个周期内重复出现。

我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。

例如，当x = 0时，y = 0；当x = π/2时，y = 1；当x = π时，y = 0。

将这些点连接起来，我们可以得到一个波浪形的曲线。

这个曲线的特点是，它在每个周期内都有一个最大值和一个最小值，且对称于y轴。

练习题四：给定方程y = e^x，画出它的图像，并说明该图像的特点。

解析：这个方程表示了一个指数函数的图像。

指数函数是一种增长非常快的函数，它的图像呈现出逐渐上升的趋势。

我们可以通过取一些不同的x值，计算出对应的y值，从而得到一系列点。

双曲线曲线练习题含答案

双曲线曲线练习题含答案1. 求下列双曲线的渐近线方程：（1）$ x^2-4y^2+8x-32=0 $（2）$ x^2-9y^2=81 $（3）$ x^2+4y^2+4x+16=0 $答案：（1）$ y=\frac{x+4}{2} $ 或$ y=\frac{1}{2}x-4 $ （斜渐近线）（2）$ x+3\sqrt{y^2+1}=0 $ 或 $ x-3\sqrt{y^2+1}=0 $ （与 $ y $ 轴垂直的渐近线）、$ y=-\frac{x}{9} $ （斜渐近线）（3）$ y=-1 $ 或 $ y=-\frac{(x+2)^2}{16} $ （与 $ y $ 轴平行的渐近线）2. 求双曲线 $ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1 $ 的离心率和焦距长度。

答案：离心率为 $ \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\frac{5}{3} $，焦距长度为 $ c=\sqrt{a^2+b^2}=5 $。

3. 求双曲线 $ \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1 $ 与直线$ y=\frac{3}{5}x-2 $ 的交点坐标。

答案：设交点坐标为 $ (x_0, y_0) $，则 $ \frac{x_0^2}{25}-\frac{(\frac{3x_0}{5}-2)^2}{9}=1 $，解得 $ x_0=\frac{50}{7} $ 或$ x_0=-\frac{50}{7} $，代入方程即可得到交点坐标。

4. 判断曲线 $ \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1 $ 是否关于直线$ y=-x $ 对称。

答案：首先求出曲线关于直线 $ y=-x $ 对称的公式为$ y=\frac{y_0}{x_0}x $，其中 $ (x_0,y_0) $ 是曲线上任意一点。

假设 $ A(a, b) $ 是曲线上的一点，则 $ B(-b,-a) $ 是曲线上的对称点。

高一数学方程曲线练习题

高一数学方程曲线练习题一、单项选择题（在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。

错选、多选或未选均无分。

）1.双曲线x2－2y2＝16的渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±2xC.y ＝±12xD.y ＝±22x 2.a=5,焦距为4,焦点在y 轴上的椭圆方程是（）A.2212125y x += B.2212521y x += C.221254y x += D.221425y x += 3.焦点在y 轴上,a=3,b=4的双曲线方程是（）A.221169y x -= B.221916x y -= C.221169x y -=D.221916y x -= 4.ax2+by2=ab 且ab<0,则这曲线是（）A.双曲线B.椭圆C.圆D.射线 5.双曲线22148y x -=的渐近线方程是( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22x C.y ＝±x D.y ＝±2x 6.双曲线221916x y -=的渐近线方程是( ) A.y ＝±34x B.y ＝±43x C.y ＝±916x D.y ＝±169x 7.椭圆x225＋y24=1的长轴长为（） A.10 B.5C.4D.28.双曲线x29－y216=－1的顶点坐标为（） A.（±4，0），（0，±3）B.（±3，0），（0，±4）C.（±3，0）D.（0，±4）9.已知ax2＋y2＝1，当－1＜a ＜0时，方程所表示的曲线为（）A.焦点在y 轴上的椭圆B.焦点在x 轴上的椭圆C.焦点在x 轴上的双曲线D.焦点在y 轴上的双曲线10.椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为（）A.y225＋x216＝1B.x225＋y216＝1 C.y225＋x216＝1或x225＋y216＝1 D.y225＋x29＝1 11.若椭圆的两半轴之和为8，它的焦点与双曲线x2－y2＝8的焦点相同，则椭圆的离心率为（）A.45B.35C.12D.2212.过点（2，3）的等轴双曲线方程是（） A.x24－y29＝1 B.y25－x25＝1 C.x213－y213＝1 D.y213－x213＝1 13.平面内到两定点F1（－5，0），F2（5，0）的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹方程是（）A.29x ＋216y ＝1B.225x ＋29y ＝1 C.29x －216y ＝1 D.216x －29y ＝1 14.在下列双曲线中，以y ＝12x 为渐近线的双由线是（） A.216x －24y ＝1 B.24x －216y ＝1 C.22x －21y ＝1 D.21x －22y ＝1 15.椭圆22x a ＋22y b＝1的离心率是方程2x2－5x ＋2＝0的一个根，长轴长2a ＝8，则焦点坐标为（）A.（±4，0）B.（0，±2）C.（±2，0）D.，0）16.设椭圆22x a ＋22y b＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B 且｜BF2｜＝｜F1F2｜＝2，则该椭圆的方程为（） A.24x ＋23x ＝1 B.23x ＋y2＝1 C.22x ＋y2＝1 D.24x ＋y2＝1 17.已知双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P 到F1的距离是12，则点P 到F2的距离是（）A.17B.7C.7或17D.2或2218.双曲线y2－x2＝2的渐近线方程是（）A.y ＝±xB.y ＝±2xC.y ＝±3xD.y ＝±2x19.已知动点P （x ，y ）到两个定点F1（－3，0），F2（3，0）的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是（）A.x225－y216＝1B.x225＋y216＝1 C.y225－x216＝1 D.y225＋x216＝1 20.若椭圆x216＋y2m＝1经过点M （2，15），则（） A.椭圆的长轴长为25，焦点在y 轴上B.椭圆的长轴长为45，焦点在y 轴上C.椭圆的长轴长为8，焦点在x 轴上D.椭圆的长轴长为4，焦点在x 轴上二、填空题21.椭圆4x2＋9y2＝36的a,b 值分别为 .22.已知椭圆的短轴长等于焦距,则离心率为 .23.双曲线221819x y -=的焦距为 . 24.以（±5，0）为焦点，且过点（0，4）的椭圆的标准方程为 .25.若双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，焦距为8，一个顶点为（2，0），则该双曲线的标准方程为 .26.双曲线x29－y227＝1的离心率为 . 27.已知双曲线x2a －y212＝1的离心率为2，则a ＝ . 28.已知椭圆25x ＋2y k＝1，则k ＝ . 29.到定点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于10的点的轨迹方程为 .30.过双曲线x216－y29＝1的焦点，且垂直于x 轴的直线交双曲线于A ，B 两点，则｜AB ｜＝ .三、解答题（解答题应写出文字说明及演算步骤）31.已知椭圆的中心在原点,有一个焦点与抛物线y2＝－8x 的焦点重合,且椭圆的离心率e ＝23,求椭圆的标准方程. 32.求下列椭圆的焦点、焦距.(1)4x2＋y2＝16; (2)x2＋4y2＝1.33.求双曲线221124y x -=的实轴长、虚轴长、顶点坐标、离心率及渐近线方程. 34.已知椭圆x29＋y2m =1（9>m>0）与双曲线x29－y2n=1的离心率分别是9x2－18x ＋8=0的两根，求m ，n 的值.35.求以3x ±2y=0为渐近线，且过点（－4，33）的双曲线的标准方程.答案一、单项选择题1.D2.B 【提示】焦距是4,故c=2,a=5,所以b2=21,所以方程是2212521y x +=. 3.D 【提示】由题意知方程是221916y x -=,故选D. 4.A 【提示】双曲线ax2+by2=ab 且（ab<0）化简为221x y b a+=,其中ab 异号,所以该曲线表示双曲线,故选A.5.B6.B7.A 【提示】a2＝25，∴a ＝5，∴2a ＝10.8.D【提示】x29－y216＝－1，即y216－x29＝1，∴a2＝16，∴a ＝4，∴顶点坐标为（0，±4）. 9.D 【提示】当－1＜a ＜0时，2x 的系数是负数，2y 系数为正数，根据解析式的特征，方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线，故选D.10.C11.A12.B13.C14.A15.C16.A17.D 【提示】由双曲线定义知|||PF1|－|PF2|＝2a ，∵a2＝25，a ＝5，∴｜12－｜PF2｜｜＝10，解得｜PF2｜＝2或22，故选D ．18.A 【提示】方程可化为y22－x22＝1，a2＝b2＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±a b x ，即y ＝±22x ＝±x ． 19.B 【提示】∵2a ＝10，∴a ＝5.又∵c ＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，∴动点P 的轨迹方程是x225＋y216＝1. 20.B 【提示】∵将点M （2，15）代入x216＋y2m ＝1得416＋15m ＝1，∴m ＝20，∴方程为x216＋y220＝1，则a2＝20，a ＝25，∴长轴长2a ＝45，焦点在y 轴上．二、填空题21.3 2 22.2223.61024.x241＋y216＝1 【提示】c ＝5，b ＝4，∴a2＝b2＋c2＝25＋16＝41，∴椭圆的标准方程为x241＋y216＝1. 25.22412x y -＝1 【解析】焦点在x 轴上，且c ＝4，a ＝2，∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，∴双曲线的标准方程为22412x y -＝1. 26.2 【解析】a2＝9，b2＝27，∴c2＝a2＋b2＝36，∴a ＝3，c ＝6，∴离心率e ＝c a＝2.27.428.4或25429.x225＋y29＝1 【提示】根据椭圆定义得c ＝4，2a ＝10⇒a ＝5，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，故椭圆的标准方程为x225＋y29＝1． 30.92【提示】取右焦点F （5，0），直线方程为x ＝5，则⎩⎨⎧x216－y29＝1，x ＝5，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝94或⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－94，即A 95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴｜AB ｜＝92. 三、解答题31.解 ∵2p ＝8,即2p ＝2,∴抛物线焦点F 的坐标为F(－2,0),即椭圆的焦距2c ＝4,∵椭圆的离心率e ＝c a＝23,∴a ＝3,b＝5,∴椭圆的标准方程为2295x y +＝1. 32.(1)焦点(0,±23) 焦距4 3 (2)焦点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭焦距 333.实轴长4 3 虚轴长4 顶点坐标(0,±23) 离心率233渐近线y ＝±3x34.解：由9x2－18x ＋8＝0解得x1＝23，x2＝43， ∴椭圆离心率23，双曲线离心率为43，即9－m 9＝49，∴m ＝5，9＋n 9＝169，∴n ＝7. 35.解：设双曲线方程为9x2－4y2＝λ（λ≠0），将点（－4，33）代入，得λ＝36， ∴双曲线方程为9x2－4y2＝36，即x24－y29＝1.。

高中数学 2.1.1曲线与方程

曲线与方程(30分钟 50分)一、选择题(每题3分,共18分)(x 0,y 0)=0是点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上的 ( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也没必要要条件【解析】选C.由曲线与方程的概念可知,假设点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上,那么必有f(x 0,y 0)=0;又当f(x 0,y 0)=0时,点P(x 0,y 0)也必然在方程f(x,y)=0对应的曲线上,应选C.2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )=x 与y=√x =lgx 2与y=2lgxC.y +1x −2=1与lg(y+1)=lg(x-2) +y 2=1与|y|=√1−x 2【解析】选D.要紧考虑x,y 的取值范围,A 中y 2=x 中y ∈R,而y=√x 中y ≥0,B 中y=lgx 2中x ≠0,而y=2lgx 中x>0;C 中y +1x −2=1中y ∈R,x ≠2,而lg(y+1)=lg(x-2)中y>-1,x>2,故只有D 正确. 3.(2021·石家庄高二检测)方程x 2+y 2=1(xy<0)的曲线形状是 ( )【解析】选C.方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部份.4.(2021·安阳高二检测)曲线y=√1−x 2和y=-x+√2公共点的个数为 ( )B.2 【解析】选C.由{y =√1−x 2,y =−x +√2,得-x+√2=√1−x 2,两边平方并整理得(√2x-1)2=0,因此x=√22,这时y=√22,故公共点只有一个(√22,√22). 【误区警示】解题中易忽略y=√1−x 2中x 的取值范围,而写成x 2+y 2=1,从而解出两组解而致使出错.5.如果曲线C 上点的坐标知足方程F(x,y)=0,那么有( )A.方程F(x,y)=0表示的曲线是CB.曲线C 的方程是F(x,y)=0C.点集{P|P ∈C}⊆{(x,y)|F(x,y)=0}D.点集{P|P ∈C}{(x,y)|F(x,y)=0}【解析】选,B 错,因为以方程F(x,y)=0的解为坐标的点不必然在曲线C 上,假设以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上,那么点集{P|P ∈C}={(x,y)|F(x,y)=0},故D 错,选C.6.(2021·青岛高二检测)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是 ( )A.两条直线B.一条直线和一双曲线C.两个点D.圆【解析】选C.由题意,{x −y =0,xy =1,因此x=1,y=1或x=-1,y=-1,因此方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的是两个点(1,1)或(-1,-1).二、填空题(每题4分,共12分)7.(2021·天津高二检测)点P(2,-3)在曲线x 2-ay 2=1上,那么a= .【解析】将(2,-3)代入x 2-ay 2=1,得a=13. 答案:13【变式训练】已知点A(a,2)既是曲线y=mx 2上的点,也是直线x-y=0上的一点,那么m= .【解析】因为点A(a,2)在直线x-y=0上,得a=2,即A(2,2).又点A 在曲线y=mx 2上,因此2=m ·22,得m=12. 答案:12 8.(2021·重庆高二检测)若是直线l :x+y-b=0与曲线C:y=√1−x 2有公共点,那么b 的取值范围是 .【解题指南】此题考查曲线的交点问题,能够先作出曲线y=√1−x 2的图象,利用数形结合解题. 【解析】曲线C:y=√1−x 2表示以原点为圆心,以1为半径的单位圆的上半部份(包括(±1,0)),如图,当l 与l 1重合时,b=-1,当l 与l 2重合时,b=√2,因此直线l 与曲线C 有公共点时,-1≤b ≤√2.答案:[-1,√2]9.方程y=√x 2−4x +4所表示的曲线是 .【解析】原方程可化为:y=|x-2|={x −2,x ≥2,−x +2,x <2.因此方程表示的是射线x-y-2=0(x ≥2)及x+y-2=0(x<2).答案:两条射线【误区警示】此题易轻忽方程自身的条件对y 的约束,即y ≥0,而将方程变形为(x+y-2)(x-y-2)=0,从而得出方程表示的曲线是两条直线.三、解答题(每题10分,共20分)10.方程√1−|x |=√1−y 表示的曲线是什么图形?【解析】原方程可化为{1−y =1−|x |,1−|x |≥0,即{y =|x |,|x |≤1, 因此它表示的图形是两条线段y=-x(-1≤x ≤0)和y=x(0≤x ≤1).如图:11.曲线x 2+(y-1)2=4与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,求k 的范围,假设有一个交点、无交点呢?【解析】由{y =k (x −2)+4,x 2+(y −1)2=4,得(1+k2)x2+2k(3-2k)x+(3-2k)2-4=0,Δ=4k 2(3-2k)2-4(1+k 2)[(3-2k)2-4]=48k-20.因此Δ>0,即k>512时,直线与曲线有两个不同的交点; Δ=0,即k=512时,直线与曲线有一个交点; Δ<0,即k<512时,直线与曲线没有交点. 【拓展延伸】曲线与直线交点个数的判别方式曲线与直线交点的个数确实是曲线方程与直线方程联立方程组解的组数,而方程组解的组数可利用根的判别式进行判定.此题是判定直线和圆的交点问题,用的是代数法.也可用几何法,即通过圆心到直线的距离与半径的关系求出k 的范围.有些题目,在判定交点个数时,也可用数形结合法.(30分钟 50分)一、选择题(每题4分,共16分)1.已知曲线ax 2+by 2=2通过点A(0,2)和B(1,1),那么a,b 的值别离为 ( )A.12,32B.32,12 32,32 D.12,-32【解析】选B.因为点A(0,2)和B(1,1)都在曲线ax 2+by 2=2上,因此{a ·0+4b =2,a +b =2,解得{a =32,b =12. 2.(2021·临沂高二检测)方程x 2|x |+y 2|y |=1表示的图形是 ( ) A.一条直线B.两条平行线段C.一个正方形D.一个正方形(除去四个极点)【解析】选D.由方程可知,方程表示的图形关于坐标轴和原点对称,且x ≠0,y ≠0,当x>0,y>0时,方程可化为x+y=1,表示第一象限内的一条线段(去掉两头点),因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个极点).3.已知圆C:(x-2)2+(y+1)2=4及直线l:x+2y-2=0,那么点M(4,-1) ( )A.不在圆C上,但在直线l上B.在圆C上,但不在直线l上C.既在圆C上,也在直线l上D.既不在圆C上,也不在直线l上【解析】选C.将点M(4,-1)的坐标别离代入圆C及直线l的方程,均知足.4.(2021·成都高二检测)已知方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么a的取值范围是( )>1 <a<1<a<1或a>1 ∈【解题指南】别离作出y=a|x|和y=x+a所表示的曲线.再依照图象求a的取值范围.【解析】选A.因为a>0,因此方程y=a|x|和y=x+a(a>0)的图象大致如图,要使方程y=a|x|和y=x+a(a>0)所确信的两条曲线有两个交点,那么要求y=a|x|在y轴右边的斜率足够大,因此a>1.【变式训练】如下图,定圆半径为a,圆心为(b,c),那么直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由{ax+by+c=0,x−y+1=0,因此{x=−b+ca+b,y=a−ca+b.因为a+b<0,a-c>0,b+c<0,因此x<0,y<0,因此交点在第三象限,选C.二、填空题(每题5分,共10分)5.(2021·济宁高二检测)曲线y=|x-2|-2的图象与x轴所围成的三角形的面积是.【解析】当x-2<0时,原方程可化为y=-x;当x-2≥0时,原方程可化为y=x-4.故原方程表示两条共极点的射线,易患极点为B(2,-2),与x 轴的交点为O(0,0),A(4,0),因此曲线y=|x-2|-2与x 轴围成的三角形面积为S △AOB = 12|OA|·|y B |=4. 答案:46.(2021·石家庄高二检测)曲线y=-√1−x 2与曲线y+|ax|=0(a ∈R)的交点个数为 .【解析】由{y =−√1−x 2,y +|ax |=0,得-|ax|=-√1−x 2,即a 2x 2=1-x 2,因此(a 2+1)x 2=1,解得x=√1a 2+1和x=-√1a 2+1, 代入y=-|ax|,得y=-√a 21+a 2,因此它们有2个交点.答案:2【一题多解】由y=-√1−x 2,得x 2+y 2=1(y ≤0)表示半圆如图:由y+|ax|=0,得y=-|a||x|,表示过原点的两条射线,如图.因此由图象可知,它们有两个交点.答案:2三、解答题(每题12分,共24分)7.已知点P(x 0,y 0)是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,求证:点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【证明】因为P 是曲线f(x,y)=0和曲线g(x,y)=0的交点,因此P 在曲线f(x,y)=0上,即f(x 0,y 0)=0,P 在曲线g(x,y)=0上,即g(x 0,y 0)=0,因此f(x 0,y 0)+λg(x 0,y 0)=0+λ0=0,故点P 在曲线f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)上.【拓展延伸】证明曲线与方程关系的技术解答本类问题的关键是正确明白得并运用曲线的方程与方程的曲线的概念,明确两条原那么,即假设点的坐标适合方程,那么该点必在方程的曲线上;假设点在曲线上,那么该点的坐标必适合曲线的方程.另外,要证明方程是曲线的方程,依照概念需完成两步:①曲线上任意一点的坐标都是方程的解;②以方程的解为坐标的点都在曲线上.二者缺一不可.8.当曲线y=1+√4−x 2与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时,求实数k 的取值范围.【解析】曲线y=1+√4−x 2是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图. 直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0,切线PC 的方程为y=k 0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2,即0√1+k 0=2, 因此k 0=512,直线PA 的斜率k 1=34, 因此实数k 的取值范围是512<k ≤34.。

人教版高二数学选修1-1双曲线及其标准方程练习题答案及详解

－＋－－＝ C.－＝ D.－5(5，A.－＝ B.－＝－－＝．椭圆＋m 2＝与双曲线m 2－＝A.－＝ B.－＝C.－＝－＝ D.－ D.m －b．已知方程＝．以椭圆椭圆＝A.＝＝－＋a 2＝与双曲线a －＋．过双曲线＝．如果椭圆椭圆＝．设双曲线与椭圆＝3＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0. 6、C ∵c 9－y 22m ，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|·||PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 275＝1 12、833∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ïìx ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 212＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8，由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，人教版高二数学选修1-1双曲线及其双曲线及其标准方程标准方程练习题答案及详解 1、D 2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1. 3、A 设动圆设动圆半径半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双，双曲线方程曲线方程为y 2－x 2＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|·||PF 2|＝4c 2，∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1. 7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对，对椭圆椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3. 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点．直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1. 8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，为焦点，实轴实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 27＝1(x >0) 9、D |A F AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝＝7，该弦所在，该弦所在直线直线方程为x ＝7，由îïí＋2－b 2＝∴16a 2－15b －＝3，(3－3(3－－3)·((3－y 2＝－y M 2＝－3－)(3－－y 2M 2＝±233，＝233. ＝12|F ＝3，∴x 2M ＋y 2M ＝3①－y M 2＝±233，＝233. 椭圆＝双曲线a 2＝为：。

人教版高中数学【选修 2-1】2.1曲线与方程课后习题

人教版高中数学精品资料【优化设计】高中数学 2.1曲线与方程课后习题新人教A版选修2-1课时演练·促提升A组1.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”时,不一定能得到“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,但反之,如果“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”,必能得出“曲线C上的点的坐标都是f(x,y)=0的解”.答案:B2.方程y=3x-2(x≥1)表示的曲线为()A.一条直线B.一条射线C.一条线段D.不能确定解析:方程y=3x-2表示的曲线是一条直线,当x≥1时,它表示一条射线.答案:B3.曲线xy=2与直线y=x的交点是()A.()B.(-,-)C.()或(-,-)D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(-,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是()A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析:∵(0,0)点在曲线上,∴C,D不正确.∵x≥0,y∈R,∴B正确.答案:B5.一动点C在曲线x2+y2=1上移动时,它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.+y2=1解析:设C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点C(x0,y0)在曲线x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即点P的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程ax2+by2=4的曲线过点A(0,-2),B,则a=,b=.解析:由已知解得答案:4 17.已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍,则动点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),则|MA|=,|MB|=.由|MA|=3|MB|,得=3,化简得x2+y2=9.答案:x2+y2=98.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1×(-1)+2×1+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.9.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y).于是=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),=x2-2+y2.由=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.B组1.方程x2+xy=x表示的曲线是()A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析:∵x2+xy=x可化为x(x+y-1)=0,即x=0或x+y-1=0,∴原方程表示两条直线.答案:C2.已知A(-1,0),B(2,4),△ABC的面积为10,则动点C的轨迹方程是()A.4x-3y-16=0或4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0或4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0或4x-3y-24=0解析:|AB|==5.∵S△ABC=|AB|·h=10,∴h=4,即顶点C到AB所在直线的距离为4,易求AB所在直线的方程为4x-3y+4=0.设点C(x,y),则=h=4,∴4x-3y+4=±20.故选B.答案:B3.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析:方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案:24.已知Rt△ABC,|AB|=2a(a>0),求直角顶点C的轨迹方程.解法一:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有A(-a,0),B(a,0),设顶点C(x,y).由△ABC是直角三角形可知|AB|2=|AC|2+|BC|2,即(2a)2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题意可知,x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).解法二:以AB所在直线为x轴,AB的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0).∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上.∵以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,又∵C与A,B不重合,∴x≠±a.∴顶点C的轨迹方程为x2+y2=a2(x≠±a).5.若直线y=kx+1与曲线mx2+5y2-5m=0(m>0)恒有公共点,求m的取值范围.解:将y=kx+1代入mx2+5y2-5m=0,得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意得,该方程对k∈R总有实数解,∴Δ=20m(m-1+5k2)≥0对k∈R恒成立.∵m>0,∴m≥1-5k2恒成立.∵1-5k2≤1,∴m≥1.故m的取值范围是[1,+∞).6.已知A,B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点,线段AB的长为2,P是AB的中点.求动点P的轨迹C的方程.解:设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P是线段AB的中点,∴∵A,B分别是直线y=x和y=-x上的点,∴y1=x1,y2=-x2,∴又∵|AB|=2,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12.∴12y2+x2=12.∴动点P的轨迹方程为+y2=1.。

人教A版高中数学选修2-1课时练习-曲线与方程

课时练习(六) 曲线与方程(建议用时：60分钟)一、选择题1．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”包括“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”和“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”两个方面，所以“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的必要不充分条件，故选B ．]2．如图所示，方程y ＝|x |x2表示的曲线是( )A B C DB[因为y ＝|x |x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >0，－1x ，x <0，所以函数值恒为正，且在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．故选B ．]3．到坐标原点的距离是到x 轴距离2倍的点的轨迹方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝33x C ．x 2－3y 2＝1D ．x 2－3y 2＝0D [设点的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝2|y |，整理得x 2－3y 2＝0．]4．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点M 的轨迹方程是( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝8x 2C ．2y ＝8x 2－1D ．2y ＝8x 2＋1C [设M (x ，y )，则P (2x,2y ＋1)． ∵P 在曲线2x 2－y ＝0上， ∴2×(2x )2－(2y ＋1)＝0，即8x 2－2y －1＝0，即2y ＝8x 2－1，故选C ．]5．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1，又∵|P A |＝1， ∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2 ＝2．即|PM |2＝2， ∴(x －1)2＋y 2＝2．] 二、填空题6．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是________．点(1,2) [由题意知，⎩⎨⎧ x －1＝0，y －2＝0，即⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.所以方程(x －1)2＋y －2＝0表示点(1,2)．]7．设命题甲：点P 的坐标适合方程f (x ，y )＝0，命题乙：点P 在曲线C 上，命题丙：点Q 坐标不适合f (x ，y )＝0，命题丁：点Q 不在曲线C 上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．充分不必要 [由甲是乙的必要不充分条件知，曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线的一部分，则丙⇒丁，但丁丙，因此丙是丁的充分不必要条件．]8．已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．y 2＝4x [由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x ．]三、解答题9．已知方程x 2＋4x －1＝y ．(1)判断点P (－1，－4)，Q (－3,2)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，m －1在此方程表示的曲线上，求实数m 的值；(3)求该方程表示的曲线与曲线y ＝2x ＋7的交点的坐标．[解] (1)因为(－1)2＋4×(－1)－1＝－4，(－3)2＋4×(－3)－1≠2，所以点P 坐标适合方程，点Q 坐标不适合方程，即点P 在曲线上，点Q 不在曲线上．(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，m －1在此方程表示的曲线上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋4×m 2－1＝m －1，即m 2＋4m ＝0，解得m ＝0或m ＝－4．(3)联立⎩⎨⎧x 2＋4x －1＝y ，y ＝2x ＋7，消去y ，得x 2＋4x －1＝2x ＋7，即x 2＋2x －8＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4，于是y 1＝11，y 2＝－1，故两曲线的交点坐标为(2,11)和(－4，－1)．10．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．[解] 法一：设弦的中点为P (x ，y )，则另一端点为(2x,2y )在圆(x －1)2＋y 2＝1上，故(2x －1)2＋4y 2＝1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)．法二：如图所示，设所作弦的中点为P (x ，y )，连接CP ，则CP ⊥OP ，|OC |＝1，OC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以动点P 的轨迹是以点M 为圆心，以OC 为直径的圆，故轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14．又因为点P 不能与点O 重合，所以0<x ≤1．故所作弦的中点的轨迹方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)．1．方程x (x 2＋y 2－1)＝0和x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0所表示的图形是( ) A ．前后两者都是一条直线和一个圆 B ．前后两者都是两个点C ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点D ．前者是两点，后者是一条直线和一个圆C [x (x 2＋y 2－1)＝0⇔x ＝0或x 2＋y 2＝1，表示直线x ＝0和圆x 2＋y 2＝1．x 2＋(x 2＋y 2－1)2＝0⇔⎩⎨⎧ x ＝0x 2＋y 2－1＝0⇔⎩⎨⎧x ＝0y ＝±1，表示点(0,1)，(0，－1)．]2．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)B ．32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)A [设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0．由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0．点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1．将a ，b 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．]3．已知定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为________．x 2＋y 2＝9 [作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知 |OM |＝12|AB |＝3．所以M 的轨迹是以原点O 为圆心，以3为半径的圆，故点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9．]4．一动点到y 轴距离比到点(2,0)的距离小2，则此动点的轨迹方程为________． y 2＝8x (x ≥0)或y ＝0(x <0) [设动点P (x ，y )，则由条件，得(x －2)2＋y 2＝|x |＋2，两边同时平方，得y 2＝4x ＋4|x |，当x ≥0时，y 2＝8x ；当x <0时，y ＝0，所以动点的轨迹方程为y 2＝8x (x ≥0)或y ＝0(x <0)．]5．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．[解]法一：如图，设点M的坐标为(x，y)，∵M为线段AB的中点，∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，∴P A⊥PB，即k P A·k PB＝－1，而k P A＝4－02－2x＝21－x(x≠1)，k PB＝4－2y2－0＝2－y1，∴21－x·2－y1＝－1(x≠1)，整理得x＋2y－5＝0(x≠1)．∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0．综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0．法二：设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM(如图)．∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|．而|PM|＝(x－2)2＋(y－4)2，|AB|＝(2x)2＋(2y)2，∴2(x－2)2＋(y－4)2＝4x2＋4y2，化简得x＋2y－5＝0，即为所求的点M的轨迹方程．。

双曲线及其标准方程练习题

课时作业(十)[学业水平层次]一、选择题1．方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值围( )A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.y 29－x 216＝1C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【解析】由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)．【答案】 D3．(2014·高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|·|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝252，⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C4．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3【解析】椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝21＝2.【答案】 C 二、填空题5．设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________.【解析】由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16； (2)若点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4. 综上，|PF 2|＝16或4. 【答案】 16或46．(2014·省高一月考)已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，满足条件|PF 1|－|PF 2|＝2m －1的动点P 的轨迹是双曲线的一支，则m 可以是下列数据中的________．(填序号)①2；②－1；③4；④－3.【解析】设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则c ＝3，∵2a <2c ＝6，∴|2m －1|<6，且|2m －1|≠0，∴－52<m <72，且m ≠12，∴①②满足条件．【答案】 ①②7．(2014·高二检测)已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于________．【解析】由方程x 216－y 29＝1知a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，c ＝16＋9＝5.在△ABP 中，利用正弦定理和双曲线的定义知，|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|PA |||AB |＝2a 2c ＝2×42×5＝45.【答案】 45三、解答题8．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线的方程．【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上．依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．又两曲线有相同的焦点， ∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.①又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴4a 2－1b2＝1. ②由①、②联立，得a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.9．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线； (2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线；(4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．[能力提升层次]1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．3【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在x 轴上，且a >0.∵4－a 2＝a ＋2，∴a 2＋a －2＝0，∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．故选A. 【答案】 A2．(2014·高二期末)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】不妨设P 是双曲线右支上一点，在双曲线x 2－y 2＝1中，a ＝1，b ＝1，c ＝2，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，|F 1F 2|＝22，∵|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2， ∴8＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·12，∴8＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴8＝4＋|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝4.故选B.【答案】 B3．(2014·省一中期末考试)已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.【解析】设F ′是双曲线的右焦点，连PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，又|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，且由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝|MF |－|FN |－12|PF ′|＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.【答案】－14．已知双曲线x 216－y 24＝1的两焦点为F 1、F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离； (2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．【解】 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，由于双曲线C 过点(32，2)，所以1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.。

曲线和方程、圆

高二数学上学期单元十曲线和方程、圆一、选择题（请将唯一正确结论的序号填入题后的括号内．每小题5分，共60分） 1．条件A ：21A A =21B B ≠21C C ；条件B ：直线A 1x+B 1y+C 1=0，A 2x+B 2y+C 2=0平行，那么A 是B 的（）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要条件D ．既不充分也不必要2．经过点P （-2，1）的圆x 2+y 2=3的切线上至少有三个点到直线ax+by=1的距离相等，则当这一距离大于零时，a 、b 满足（）A ．a ∶b=2且b≠3B ．a ∶b=-2且b≠3C ．a ∶b=-2且3b≠1D ．a ∶b=2且3b≠13．已知圆C 的方程为f(x ，y)=0，点A(x 0，y 0)是圆外的一点，那么方程f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0 表示的曲线是（）A ．与圆C 重合的圆B ．过点A 与圆C 相交的圆 C ．过点A 且与圆C 同心的圆D ．可能不是圆4．直线l 1：y=kx+1与圆C ：x 2+y 2+kx-y-4=0的两个交点关于直线l 2：x+y=0对称，那么这两个交点的坐标分别是（）A ．（1，2）、（-2，-1）B ．（-1，2）、（1，-2）C ．（-3，2）、（2，-3）D ．（3，-2）、（2，-3） 5．过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A ．y=3xB ．y=-3xC ．y=33xD ．y=-33x6．直线x+7y-10=0分圆x 2+y 2=4为两段圆弧，则这两段圆弧长之差的绝对值是（）A ．2πB ．23πC ．πD ．2π 7．由一点Q 到一条曲线的距离定义为QR 的最短距离，这里点R 在该曲线上变化．有一动点P ，它到圆周x 2+y 2=1的距离等于它到直线x=2的距离，点P 的轨迹的方程是（） A ．y 2=9-6x B ．4x 2+4y 2=9 C ．y 2=3-2xD ．x=238．已知圆C ：x 2+y 2+kx+2y+k 2=0和定点P （1，-1）．若过点P 作圆的切线有2条，则k 的取值范围是（）A ．-332<k<332 B ．0<k<332 C ．-332<k<0 D ．-33<k<-1或0<k<332 9．设P(x ，y)是曲线x 2+(y+4)2=4上任意一点，则22)1y ()1x (-+-的最大值为（）A ．26+2B ．26C ．5D ．610．如图，在直角坐标系中，某车床的两个传动齿轮对应是⊙O 1和⊙O 2，半径分别为1和2，忽略两齿轮的间隙，已知⊙O 1上某一点A 顺时针方向旋转的角速度为3π弧度/秒，当t=0时，⊙O 2上一点B （5，0），当t=14秒时，B 运动到B /，则B /的坐标为（） A ．（4，3）B ．（4，-3）C ．（2，3）D ．（2，-3）11．已知两圆O 1：x 2+y 2=16，O 2：(x-1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O 1O 2于M 点，则O 1分有向线段MO 2所成的比λ=（）A ．56B ．65C ．-56D ．-65 12．设点(x 0，y 0)在曲线C ：f(x ，y)=0上，则曲线C /：f(y ，x)+f(x 0，y 0)=0与C 的关系是（）A ．重合B ．关于直线y=x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于x 轴对称二、填空题（请将最简结果填入题中的横线上．每小题4分，共16分）13．直线y=x+4与圆x 2+y 2+2x-10y+22=0相交于A 、B 两点，那么过A 、B 两点且面积最小的圆的方程是．14．经过点Ｐ（－２，４），且以两圆x 2＋y 2－6x ＝0和x 2＋y 2＝4的公共弦为一条弦的圆方程是．15．已知ΔABC 内接于圆O ：x 2+y 2=1，且A （1，0），∠BAC=600，当B 、C 在圆上运动时， BC 中点M 的轨迹方程是．16．直角坐标平面上有两点M 1(3，2y)、M 2(2x ，1)，线段M 1M 2的中点(a ，b)，给定三个条件：甲：x3y =-1；乙：OM 1⊥OM 2；丙：a 2+b 2=1+x 2+y 2．请从上述条件中选出两个，分别填在下列空白处（只填代号），使下列论断构成一个真命题．当且仅当时，成立．三、解答题17．（本小题满分12分）自点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射后又被y 轴反射，此时的反射光线所在的直线与圆x 2+y 2-4y+3=0相切，求光线l 所在的直线方程．18．（本小题满分12分）圆C 与直线l ：2x-22y-1=0切于P （25，2），且过点Q （27，22），求该圆的方程．19．（本小题满分12分）P(-m ，0)(m>0)是定圆x 2+y 2=a 2(a>m)内的一定点，过P 作两条互相垂直的直线交圆于A 、B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程．20．（本小题满分12分）一个工厂的n 个自动化车间均匀分布在半径为1公里的圆周上，今要在此圆周上建一值班室，试问：当n(n ≥3时)一定时，值班室建在何处，才能使它到各车间的距离之和最小？21．（本小题满分12分）某公园有A 、B 两个景点位于一条小路（直道）的同侧，分别距小路2千米和22千米，且A 、B 两景点间距2千米．今欲在该小路上设一观景点，并使两景点在同时进入视线时有最佳观赏、拍摄效果，则观景点应设于何处？22．（本小题满分14分）过点A(0，a)作直线l 与圆E ：(x-2)2+y 2=1交于B 、C 两点，在BC 上取满足条件BP ∶PC=AB ∶AC 的点P ．（1）求P 点的轨迹方程G ；（2）若G 所对应曲线与圆E 交于M 、N 两点，求ΔEMN 面积的最大值．参考答案一、ACCAA AADAA CB二、13．x 2+y 2-8y+14=0 14．08x 6y x 22=-++ 15．x 2+y 2=41(x<41) 16．乙（或丙），丙（或乙）三、17．设l 所在直线的斜率为k ，方程为y-3=k(x+3)，令y=0，得x=-k3-3，被x 轴反射后所在直线斜率为-k ．令x=0，得y=-k(3+k 3)，经y 轴反射后所在直线方程为y+ k(3+k3)=kx ，故2k 1|5k 3|++=1，∴k=83315±-<-1．故l 所在直线方程为y-3=83315±-(x+3)．18．设圆的方程为(x-25)2+(y-2)2+λ(2x-22y-1)=0．由圆过Q 点，得λ=23，所以圆的方程即x 2-2x+y 2-52y+427=0．19．连结MO 、OB 、PM ，设M(x ，y)，则因为AP ⊥PB ，所以|PM|=21|AB|=|BM|，由|MO|2+|MB|2=|OB|2，知|MO|2+|MP|2=|OB|2，所以x 2+y 2+(x+m)2+y 2=a 2，即M 点的轨迹方程是（x+2m )2+y 2=2a 2-4m 2．20．设n 个车间分别为P 1，P 2，…，P n ，以圆心O 为原点，直线OP n 为实轴建立复平面（如图），那么点P 1，P 2，…，P n 对应的复数z 1，z 2，…，z n 是方程x n =1的n 个根，则z k =cosn k 2π+isin nk 2π(k=1，2，…，n)，不妨设值班室建在P n P 1弧上，记∠P n OP 0=θ(0≤θ<n 2π)，则0P z =cosθ+isinθ，|P 0P k |=22)sin n k 2(sin )cos n k 2(cos θ-π+θ-π=)n k 2cos(22θ-π-=2sin(nk π-2θ)，∴f(θ)=|P 0P 1|+|P 0P 2|+…+|P 0P n |=2[sin(nπ-2θ)+sin(n2π-2θ)+…+sin(n n π-2θ)]=n 2sin 1π·2cos(2θ-n 2π)，∵0≤θ≤n 2π，∴-n 2π≤2θ-n 2π≤n 2π，又n ≥3，∴当2θ-n 2π=±n 2π，即θ=0时，f(θ)min =2ctg n2π．答：值班室无论建在哪个车间，它到各车间距离之和都最小．21．所选观景点，即对两景点视角最大的点．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在直线的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在小路上的射影O 为原点建立直角坐标系（如右图），则B （0，22）、A （2，2）；设过A 、B 两点的圆的方程为（x-a)2+(y-b)2=b 2(b>0)，因为圆心在AB中垂线上，且中垂线方程是x-y+2=0，所以()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-,b b 22a ,2b a 222所以⎩⎨⎧==,2b ,0a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.25b ,24a 由实际意义知⎪⎩⎪⎨⎧==.25b ,24a 应舍去，所以圆的方程为x 2+(y-2)2=2，与x 轴的切点即原点，所以观景点应设在B 景点在小路的射影处．22．（1）设B(x 1，y 1)、C(x 2，y 2)、P(x ，y)，因为PCBP =ACAB =21x x ，所以x=λ+λ+1x x 21=212211x x1x x x x +⋅+=2121x x xx 2+ ①，又A 、B 、P 、C 四点共线，AB 直线可设为y=kx+a ，与(x-2)2+y 2=1联立，消去y ，得(1+k 2)x 2+2(ak-2)x+a 2+3=0，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=+;k 13a x x ,k 1)ak 2(2x x 2221221代入①式得x=)ak 2(2)3a (22-+，由y=kx+a 代入消去k ，有2x-ay-3=0，因为ACAB >0，所以P 点位于已知圆E内，设直线2x-ay-3=0与圆E 交点为(x 0，y 0)和(x 0/，y 0/)，则所求轨迹方程是x-ay-3=0(x 0<x<x 0/(x 0<x 0/))．（2）轨迹G 与x 轴交于点R （23，0），由2x-ay-3=0与(x-2)2+y 2=1联立，消去x ，有(a 2+4)y 2-2ay-3=0，所以|y 3-y 4|=4222)4a (3a ++，S ΔEMN =21|RE|·|y 3-y 4|=222)4a (3a ++．令a 2+3=u ≥3，则S ΔEMN 2=2)1u (u +=2u1u 1++，而y=u+u 1+2在[+3，+∞）上单调递增，所以（S ΔEMN 2）min =163，即当u=3，a=0时，（S ΔEMN ）min =43．。

双曲线及其标准方程练习题及答案

C．双曲线的一支 D．椭圆
4．P为双曲线上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（）
A．内切 B．内切或外切
C．外切 D．相离或相交
5．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（）
A．（-∞，0]∪[1，+∞） B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞） D．（-∞，Байду номын сангаас1）∪（1，+∞）
6．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两曲线的一个公共点，则的值是（
A．m-aB．
C．
二、填空题
7．双曲线的一个焦点是，则m的值是_________。
8．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______。
三、解答题
答案与提示
一、1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．A
二、7．-28．
三、9方程为（y≠0） 10．不存在
11．A炮击P地时，炮击的方位角为北偏东30°
9．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
10．已知直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，是否存在这样的实数a，使得A、B关于直线y=2x对称？如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。
11．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东相距6km，C在B的北偏西30°相距4km，P为敌炮兵阵地，某时刻A发现敌炮阵地的某种信号，4秒种后，B、C才同时发现这一信号，该信号的传播速度为每秒1km，A若炮击P地，求炮击的方位角。
一、选择题：
1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（）

2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程练习(含解析)(最新整理)

第8讲曲线与方程一、选择题1。

方程（2x＋3y－1)（错误!－1）＝0表示的曲线是（)A。

两条直线 B.两条射线C.两条线段D。

一条直线和一条射线解析原方程可化为错误!或错误!－1＝0,即2x＋3y－1＝0（x≥3）或x＝4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.答案D2。

（2017·衡水模拟）若方程x2＋y2a＝1（a是常数)，则下列结论正确的是（)A.任意实数a方程表示椭圆B。

存在实数a方程表示椭圆C。

任意实数a方程表示双曲线 D.存在实数a方程表示抛物线解析当a>0且a≠1时,方程表示椭圆，故选B。

答案B3。

(2017·长春模拟)设圆（x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A（1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点。

线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )A。

错误!－错误!＝1 B。

错误!＋错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1解析∵M为AQ的垂直平分线上一点，则｜AM｜＝｜MQ｜,∴|MC｜＋|MA|＝｜MC｜＋|MQ｜＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C,A为焦点的椭圆。

∴a＝52，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴M的轨迹方程为错误!＋错误!＝1。

答案D4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是（）A。

y2＝2x B。

(x－1）2＋y2＝4C。

y2＝－2x D。

(x－1）2＋y2＝2解析如图,设P（x，y），圆心为M（1,0）,连接MA，则MA⊥PA，且｜MA｜＝1，又∵｜PA｜＝1，∴|PM｜＝|MA｜2＋|PA｜2＝2,即｜PM｜2＝2，∴（x－1）2＋y2＝2.答案D5.平面直角坐标系中，已知两点A（3,1），B（－1，3），若点C满足错误!＝λ1错误!＋λ2 OB→(O为原点)，其中λ，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是（)1A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线解析设C（x,y)，因为错误!＝λ1错误!＋λ2错误!，所以（x，y)＝λ1（3，1)＋λ2（－1，3)，即错误!解得错误!又λ1＋λ2＝1，所以错误!＋错误!＝1，即x＋2y＝5 ，所以点C的轨迹为直线，故选A.答案A二、填空题6。

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§2.6.1 曲线与方程

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