2.1-2.3逻辑代数的基本运算和规则
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第2章 逻辑代数基础
2、吸收法 （１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。
Y1 A B A BCD( E F ) A B
运用摩根定律
Y2 A B CD ADB A BCD AD B ( A AD) ( B BCD) A B
L=A+B Y A B
A B
≥1
Y
或非门的逻辑符号
3、异或运算：逻辑表达式为：
Y A B AB A B
=1
Y
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1 真 值 表
Y 0 1 1 0
A B
异或门的逻辑符号
4、 与或非运算：逻辑表达式为：
L=A+B Y AB CD
A B C D & ≥1 & 与或非门的等效电路 Y
2.4.2 逻辑函数的公式化简法
2.4.3 代数化简法举例
退出
2.4.1 化简的意义与标准
一、逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实 现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。 二、逻辑函数式的几种常见形式和变换。 一个逻辑函数的表达式可以有以下5种表示形式。
（1）与或表达式：Y A B AC （2）或与表达式：Y ( A B )( A C ) （3）与非-与非表达式：Y A B AC （4）或非-或非表达式：Y A B A C （5）与或非表达式：Y A B AC
逻辑代数基础知识讲解
1.最小项的定义
❖ 在逻辑函数中，如果一个与项包括该逻辑函数的 全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只 出现一次，则该与项称为最小项。
如Ｆ是Ａ、Ｂ、Ｃ的函数，则这三个变量有8种组合： 000、001、010、011、100、101、110、111，相应
的乘积项为： ABC 、ABC 、ABC 、ABC 、ABC、 ABC、 ABC、ABC，此每一项都称为最小项。
或逻辑举例：
若用逻辑表达式
来描述，则可写为： L＝A+B
2007、3、7
＋
A F
B (a)
A B
F
(b)
A ≥1 F
B
(c)
图 2-4 或门的逻辑符号
V1 A
B
F
V2
R
3.9k
图 2-5 二极管或门
2007、3、7
3．非运算——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而 且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生； 条件不具备时事情才发生。 非逻辑举例： 若用逻辑表达式来描述， 则可写为：
例如，已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中 的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
A B C AB C ABC
2007、3、7
2. 反演规则
对于任意一个逻辑函数式F，如果将其表达式中所有的 算符“·”换成“+”， “+”换成“·”，常量“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则 所得到的结果F 就F是 。 称为原函数F的反函数，或称为补函 数。
❖ 在逻辑函数中，如果一个与项包括该逻辑函数的 全部变量，且每个变量或以原变量或以反变量只 出现一次，则该与项称为最小项。
如Ｆ是Ａ、Ｂ、Ｃ的函数，则这三个变量有8种组合： 000、001、010、011、100、101、110、111，相应
的乘积项为： ABC 、ABC 、ABC 、ABC 、ABC、 ABC、 ABC、ABC，此每一项都称为最小项。
或逻辑举例：
若用逻辑表达式
来描述，则可写为： L＝A+B
2007、3、7
＋
A F
B (a)
A B
F
(b)
A ≥1 F
B
(c)
图 2-4 或门的逻辑符号
V1 A
B
F
V2
R
3.9k
图 2-5 二极管或门
2007、3、7
3．非运算——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而 且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生； 条件不具备时事情才发生。 非逻辑举例： 若用逻辑表达式来描述， 则可写为：
例如，已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中 的B，则可以得到适用于多变量的反演律， 即
A B C AB C ABC
2007、3、7
2. 反演规则
对于任意一个逻辑函数式F，如果将其表达式中所有的 算符“·”换成“+”， “+”换成“·”，常量“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则 所得到的结果F 就F是 。 称为原函数F的反函数，或称为补函 数。
逻辑代数基本公式及定律
灯灭为逻辑“0”
（3）
ABC
E
Y
真值表
A BC Y 00 0 0 00 1 0 01 0 0 01 1 0 10 0 0 10 1 0 11 0 0 11 1 1
逻辑式：Y=A•B•C 逻辑乘法 （逻辑与）
逻辑符号：
A B
&Y
C
与逻辑运算规则：
0 • 0=0 0 • 1=0 1 • 0=0 1 • 1=1
证明：左式 AB AC BC AB AC (A A)BC
AB AC ABC ABC 添加 口诀：
添冗余因子
(AB ABC) (AC ABC) AB AC =右式
正负相对, 余全完。 （消冗余项）
（20）
4. A ·A ·B=A ·B A ·A ·B=A
证明：
A·A·B = A·(A+B) =A ·B
A 0 A, A 1 1, A A A, A A 1
乘运算规则:
0•0=0 0•1=0 1•0=0 1•1=1
A 0 0, A 1 A, A A A, A A 0
非运算规则: 1 0 0 1
AA （13）
二、交换律
A+B=B+A A• B=B • A
三、结合律
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B A• (B • C)=(A • B) • C
计算机逻辑结构与基础：21逻辑代数的基本知识
第二章逻辑函数与门网络
2.1
逻辑代数/布尔代数的基本知识
logic Algebra / Boolean Algebra 二值逻辑：真TRUE,假FALSE (无大小) 'T “0”
2.1.1 基本运算 （1）非（NoT ）
-{Zh H>H ■-CF
(a)
(b) (c)
图2.3非门符号
(a)国标 GBrT28.12-85 符号(b) MIL 符号(C)原部标SJ1223-77符号
实现非逻辑的电路称为非门（Nc ）T Gate ）或反相器（IrWeIlCr ）
图2.2不与A 的集合关系
表2.1非逻辑真值表
图2.1非逻辑实例
L=∕(Λ) = A
0=1 1 = 0 =
A = A
(2)与(AND)
⑶或(OR)
⅛5>⅛
(a)
(b)
(c)
图2.7或逻辑符号
(a)国标 GB4728.12-85 符号
(b)美国MlL 符号
(c)原部标SJ1223-77符号
优先级：非9与今或
A B
L = A×B
O O O O 1 O 1 O O 1 1
1
A B L = A÷B
O O
O
O 1 1 1 O 1 1 1
1
A ÷0 =A A÷l =1 A + A = A A÷A = 1
«2.2与逻辑真值表 L = A×B=A∙B =AB
A×0 =0 A×l =A A×A≈A AXZ = O
图2.4与逻辑电路实例
图2.5与逻辑符号
(a)国标 GB4728.12-85 符号
(b)美国MIL 符号
(c)原部标SJ1223-77符号
表2.3或逻辑真值表
图2.6或逻辑电路实例
2.1.2基本定理
2.1.3基本规则
(1)置换规则(Replacement)
数字电子技术基础2第二版.ppt
繁的文字来描述逻辑问题，逻辑代数将事物发生的原因 （条件）和结果分别用逻辑变量和逻辑函数来描述。
第2章 逻辑代数基础
逻辑变量与普通代数的变量相似，可以用A、B、C和x、 y、z等字母来表示。所不同的是，普通代数中变量的取值可 以是任意的，而逻辑代数的变量和常量取值只有两种，即逻 辑0和逻辑1，因而称为二值逻辑。必须指出，这里的逻辑0 和逻辑1并不表示数量的大小，而是代表事物矛盾双方的两 种状态，即两种对立的逻辑状态。例如，它们可以代表事件 的真、伪，对、错，型号的有、无，开关的通、断，电平的 高、低等。
必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能 改变， 且式中的非号也保持不变。
观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都 是成对出现的， 而且都是互为对偶的对偶式。
例如，已知乘对加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC， 根据对偶规则有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加对乘的分配律 也成立。
第2章 逻辑代数基础
图 2 -1 与逻辑实例
第2章 逻辑代数基础
表2.1.1 与逻辑真值表
AB
F
00
0
01
0
10
0
11
1
与逻辑可以用逻辑表达式表示为 F=A·B
第2章 逻辑代数基础
在逻辑代数中，将与逻辑称为与运算或逻辑乘。符号 “·”表示逻辑乘，在不致混淆的情况下，常省去符号“·”。 在有些文献中，也采用∧、 ∩及&等符号来表示逻辑乘。
第2章 逻辑代数基础
逻辑变量与普通代数的变量相似，可以用A、B、C和x、 y、z等字母来表示。所不同的是，普通代数中变量的取值可 以是任意的，而逻辑代数的变量和常量取值只有两种，即逻 辑0和逻辑1，因而称为二值逻辑。必须指出，这里的逻辑0 和逻辑1并不表示数量的大小，而是代表事物矛盾双方的两 种状态，即两种对立的逻辑状态。例如，它们可以代表事件 的真、伪，对、错，型号的有、无，开关的通、断，电平的 高、低等。
必须注意，由原式求对偶式时，运算的优先顺序不能 改变， 且式中的非号也保持不变。
观察前面逻辑代数基本定律和公式，不难看出它们都 是成对出现的， 而且都是互为对偶的对偶式。
例如，已知乘对加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC， 根据对偶规则有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加对乘的分配律 也成立。
第2章 逻辑代数基础
图 2 -1 与逻辑实例
第2章 逻辑代数基础
表2.1.1 与逻辑真值表
AB
F
00
0
01
0
10
0
11
1
与逻辑可以用逻辑表达式表示为 F=A·B
第2章 逻辑代数基础
在逻辑代数中，将与逻辑称为与运算或逻辑乘。符号 “·”表示逻辑乘，在不致混淆的情况下，常省去符号“·”。 在有些文献中，也采用∧、 ∩及&等符号来表示逻辑乘。
数字逻辑第二章
（3）简写：用Mi表示最小项。 下标i的取值规则是：按照变量顺序将最大项中的原变 量用0表示，反变量用1表示，由此得到一个二进制数，与 该二进制数对应的十进制数即下标i的值。
第二章 逻辑代数基础
最大项具有如下性质： 性质1： 任意一个最大项，其相应变量有且仅有一种
取值使这个最小项的值为0。并且，最大项不同，使其
例如， 、 、 为3变量构成的3 个最大项，对这3个最大项进行“与”运算，即可得到一个3 变量函数的标准“或-与”表达式
该表达式又可简写为
第二章 逻辑代数基础 2.4 逻辑函数化简
学习目标
1、 了解逻辑函数化简的意义 2、 掌握代数化简法 3、 掌握卡诺图化简法
第二章 逻辑代数基础
一、 逻辑函数与逻辑电路的关系
值为0的变量取值不同。 性质2： 相同变量构成的两个不同最大项相“或” 为1。 因为任何一种变量取值都不可能使两个不同最大项同 时为0，故相“或”为1。 即Mi+Mj=1
第二章 逻辑代数基础
性质3： n个变量的全部最大项相“与”为0。
性质4： n个变量构成的最大项有n个相邻最大项。 相邻最大项：是指除一个变量互为相反外，其余部分 均相同的最大项。例如 ，三变量最小项A+B+C和 相邻 。
第二章 逻辑代数基础
性质2： 相同变量构成的两个不同最小项相“与” 为0。
数电第二章
第二章 逻辑代数和逻辑函数
2.1 基本逻辑运算 2.2 逻辑函数的变换和化简 2.3 逻辑函数的卡诺图化简法
本章要求： 掌握逻辑代数的基本公式、运算定 律、规则。熟悉逻辑函数的表示方法以及逻辑 函数的公式法化简。掌握卡诺图及用卡诺图化 简逻辑函数的方法。
33 MHz
2.1 基本逻辑运算
数字电路研究的是电路的输入输出之间的逻 辑关系，逻辑关系一般用逻辑函数来描述，所以 数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑 代数（布尔代数）。 在逻辑代数中，逻辑函数是由逻辑变量和基 本的逻辑运算符构成的表达式，其变量只能取两 个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。
33 MHz
（4）加项法 例5： 化简 Y ABC A B C AB C
ABC A B C AB C ABC
BC AC
再看一例题
33 MHz
例5： 化简
Y ABC AB D A BC CD BD ABC A B C CD B( AD D ) ABC A B C CD AB BD 吸收
例：已知 A B A B, Z A C
则得到 A B C A C B A B C
33 MHz
（3）反演规则：将函数式 F 中所有的
• +
+
•
新表达式：F'
2.1 基本逻辑运算 2.2 逻辑函数的变换和化简 2.3 逻辑函数的卡诺图化简法
本章要求： 掌握逻辑代数的基本公式、运算定 律、规则。熟悉逻辑函数的表示方法以及逻辑 函数的公式法化简。掌握卡诺图及用卡诺图化 简逻辑函数的方法。
33 MHz
2.1 基本逻辑运算
数字电路研究的是电路的输入输出之间的逻 辑关系，逻辑关系一般用逻辑函数来描述，所以 数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑 代数（布尔代数）。 在逻辑代数中，逻辑函数是由逻辑变量和基 本的逻辑运算符构成的表达式，其变量只能取两 个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。
33 MHz
（4）加项法 例5： 化简 Y ABC A B C AB C
ABC A B C AB C ABC
BC AC
再看一例题
33 MHz
例5： 化简
Y ABC AB D A BC CD BD ABC A B C CD B( AD D ) ABC A B C CD AB BD 吸收
例：已知 A B A B, Z A C
则得到 A B C A C B A B C
33 MHz
（3）反演规则：将函数式 F 中所有的
• +
+
•
新表达式：F'
逻辑代数基础
证明：在公理4中，A表示集合K中的任意元素，因而可 以是0或1。用0和1代入公理4中的A，即可得到上述关系。
如果以1和0代替公理5中的A，则可得到如下推论：
1 0
0 1
定理2 A + A = A ； A ·A = A
证明 A+A = (A+A)·1
公理4
= (A+A)·(A+A)
公理5
= A+(A·A)
(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C) 显然，利用对偶规则可以使定理、公式的证明减少一 半。
2.2.3 复合逻辑
实际应用中广泛采用“与非”门、“或非”门、“与或 非”门、“异或”门等门电路。这些门电路输出和输入之间 的逻辑关系可由3种基本运算构成的复合运算来描述，故通常 将这种逻辑关系称为复合逻辑，相应的逻辑门则称为复合门。
逻辑代数基础
1847年,英国数学家乔治·布尔(G.Boole)提出了用数学分析方法表示 命题陈述的逻辑结构，并将形式逻辑归结为一种代数演，从而诞生了著名 的“布尔代数”。
1938年，克劳德·向农(C.E.Shannon)将布尔代数应用于电话继电器 的开关电路，提出了“开关代数”。
随着电子技术的发展，集成电路逻辑门已经取代了机械触点开关，故 人们更习惯于把开关代数叫 做逻辑代数。
第二章 逻辑代数基础
设F是一个逻辑函数式，将F中所有“·”号变为“+”号,将“+”
号变为“·”号,“1”变为“0”,“0”变为“1”,而变量保持不变,那么
就得到一个新的逻辑函数F*,通常将它称为F的对偶式,这就是对
偶规则。
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第2章
2.2 逻辑代数的基本公式和规则
[例1] 求下列函数的反函数 A）F1= AB+ C •D + AC B） F2= A+ B + C + D + E
数字系统中的基本逻辑单元—逻辑门
逻辑门的输出与输入之间都有一定的逻辑关系
A
F
最基本的逻辑关系：‘与’、‘或’、‘非’
B
输入、输出量用高电平、低电平来表示，高电平用“1”表示, 低电平 用“0”表示。
逻辑函数
对于任何一个数字电路，若输入逻辑变量A、B、C……的取值确定后， 其输出变量F的取值也唯一确定，则称F是A、B、C……的逻辑函数
n个变量有2n个最小项，记作mi 3个变量有23（8）个最小项
n个变量的最小项，有n个相邻项
最小项 ABC ABC ABC ABC A BC A BC AB C ABC
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
十进制数 0 1 2
3
45 67
编号
逻辑代数基础
例如：A B A B 则 A B C D A B C D 由此反演律能推广到n个变量：
A1 A 2 A n A1 A 2 A n A1 A 2 A n A1 A 2 A n
2、反演定理 对于任意一个逻辑式Y，若将其中的“ ” 换成“+”， “+”换成“ ”，原变量换 成反变量，反变量换成原变量，“1”换成 “0”， “0”换成“1”，则得到的结果 Y 就是
Y AC AB
AC( B B) AB(C C)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC m5 m6 m7
例1：画出 Y AC AB 的卡诺图
Y ABC ABC ABC m5 m6 m7
输入变量 BC 00 A 0 0 1 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 0
逻辑代数表示的是逻辑关系，而不是数量关系， 这是它与普通代数的本质区别。
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一、基本定律和公式 1、基本定律：
从三种基本的逻辑关系出发，我们 可以得到以下逻辑运算结果： 0• 0=0 • 1=1 • 0=0 1 • 1=1 0+0=0 0+1=1+0=1+1=1 1 0
01
A+0=A
A· 0 =0 · A=0
数字逻辑-逻辑代数基础
F=(A+B)(B+C)(A+B+D) “和之积”又被称为“或-与表达式”。
28
最大项表达式：
▪ 一个具有n个变量的函数的“和”项如果 包含全部n个变量，每个变量都以原变量 或反变量形式出现，且仅出现一次，则 这个“和”项被称为最大项。例如： A+B+C、A+B+C、A+B+C等等。
▪ 如果一个函数完全由最大项组成，则称 该函数为标准“和之积”表达式，即最 大项表达式。
4）复合逻辑运算
①与非逻辑 ②或非逻辑 ③与或非逻辑 ④异或逻辑 ⑤同或逻辑
7
3、逻辑函数
▪ 在数字电路中，如某一输出变量与一组输入变量存在着一定 对应关系，即输入变量取任意一组确定的值，输出变量的值 也就唯一地被确定，则称这种关系为逻辑函数关系。设输入 变量为A1,A2,…An,输出变量为F，则：F=f(A1,A2, …An)。
0 (A、B均为0)
4
举例
DC
DC
5
3）逻辑“非”运算
对逻辑问题，如果某一事件的发生取决于
条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构
成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。 逻
辑“非”又称为逻辑反运算. 运算符号：“ — ”（上面加横线）
逻辑表达式为： F= —A =
1 （A=0） 0 （A=1）
28
最大项表达式：
▪ 一个具有n个变量的函数的“和”项如果 包含全部n个变量，每个变量都以原变量 或反变量形式出现，且仅出现一次，则 这个“和”项被称为最大项。例如： A+B+C、A+B+C、A+B+C等等。
▪ 如果一个函数完全由最大项组成，则称 该函数为标准“和之积”表达式，即最 大项表达式。
4）复合逻辑运算
①与非逻辑 ②或非逻辑 ③与或非逻辑 ④异或逻辑 ⑤同或逻辑
7
3、逻辑函数
▪ 在数字电路中，如某一输出变量与一组输入变量存在着一定 对应关系，即输入变量取任意一组确定的值，输出变量的值 也就唯一地被确定，则称这种关系为逻辑函数关系。设输入 变量为A1,A2,…An,输出变量为F，则：F=f(A1,A2, …An)。
0 (A、B均为0)
4
举例
DC
DC
5
3）逻辑“非”运算
对逻辑问题，如果某一事件的发生取决于
条件的否定，即事件与事件发生的条件之间构
成矛盾，则这种因果关系称为“非”逻辑。 逻
辑“非”又称为逻辑反运算. 运算符号：“ — ”（上面加横线）
逻辑表达式为： F= —A =
1 （A=0） 0 （A=1）
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第二章逻辑代数基础
A B F
A B F
1
1
1
、非运算（逻辑反）
R
A F
A B F
1
1
输入变量取值相同时，函数为输入变量取值不同时，函数为
A B F
1
1
输入变量取值相同时，函数为输入变量取值不同时，函数为
A
B
F
011A
B
F
0011
A B ⊕=A B = )A B ′⊕=()A B A B F
00
11A B F
001