椭圆与直线(第三次课)

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3.1.2椭圆的几何性质(直线与椭圆的位置关系)课件(人教版)

讲
课
人
：
邢
启
强
15
高中数学
课堂小结
方程
选择性必修第一册
y2
x2
2 1
2
a
b
x2
y2

1
a 2 b2
RJ·A
图形

(, )
(, )

(−, )

o
对称性
顶点
离心率
讲
课
人
：
邢
启
强
(−, )
(, )
(, )
(, −)
范围

a x a,b y b
c
e (0 e 1)
a
16
后研究圆锥曲线的统一性等性质带来
方便。
讲
课
人
：
邢
启
强
4
题型：直线与椭圆的位置关系
2 2
例：已知直线l:y=2x+m,椭圆：4 + 2 = 1，试问当m取何
值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点。
解题提示：联立方程
式判断根的个数
讲
课
人
：
邢
启
强
消元得一元二次方程
得出结论
利用根的判别
5
题型：直线与椭圆的位置关系
= 2 +
解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组ቐ 2
2
+
4
2
讲
课
人
：
邢
启
强
=1
,

3.1.3直线与椭圆的位置关系ppt课件

(2)△=0 有一个解直线与椭圆有一个公共点 (相切)
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2

1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k

2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +

高考数学专题07 直线与椭圆的解题方法(解析版)

专题07 直线与椭圆的解题方法一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用．二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)为例(1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【方法总结】（一）直线与椭圆关系求离心率（二）对称问题（三）椭圆与圆（四）直线与椭圆的中点弦问题（五）定点问题（六）定值问题（七）范围问题（八）探索性问题四．【题型归纳】（一）直线与椭圆关系求离心率例1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13 B ．23 C ．83D ．32或83【答案】A【解析】如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M Q 三点共线,MF QF k k = 0000022y y x a c x c-∴=++-,即00002y y c x x a c =++-,002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A.练习1.已知1F ,2F 为椭圆22221(0)x yC a b a b+=>>：的左右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥,122F AF S ∆=，则椭圆C 的方程为A.22162x y += B.22184x y += C.22182x y += D.2212016x y += 【答案】A【解析】由题意，过原点O 且倾斜角为30o 的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，且12AF AF ⊥，且122F AF S ∆=，则可知OA c =，设(,)A x y ，则31cos30,sin 302x c y c c ====o o ，即31,)2A c , 代入椭圆的方程可得2222144c c a b+=又由122F AF S ∆=，则211122222S c c c =⨯⨯== ，解答24c =，且222c a b =-，解得226,2a b ==，所以椭圆的方程为22162x y +=，故选A.方法2，利用焦点三角形面积公式2tan ||||21221θb y F F S A ==（21AF F ∠=θ）求出坐标31,)2A c ，带入第一个面积公式求c ，利用第二个面积公式2πθ=求b练习2.已知F 1，F 2为椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的两个焦点，过点F 1作x 轴的垂线，交椭圆C 于P ，Q 两点．当△F 2PQ 为等腰直角三角形时，椭圆C 的离心率为e 1，当△F 2PQ 为等边三角形时，椭圆C 的离心率为e 2，则e 1，e 2的大小关系为e 1______e 2 （用“＞”，“＜”或“=”连接）【答案】＜【解析】把x c =-代入椭圆方程可得：22221c y a b+=，解得：2by a =± ①当2F PQ ∆为等腰直角三角形时，可得：22b c a=，即222a c ac -=化为：211210e e +-=，101e <<解得：1212e -+== ②当2F PQ ∆为等边三角形时，22b c a=)222a c ac -=22220e +=，201e <<解得：2e =则1e ，2e 的大小关系为：12e e <本题正确结果：<（二）对称问题例2. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆:C 22221y x a b+=()0a b >>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若,64ππα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A．0,3⎛ ⎝⎦B．0,2⎛ ⎝⎦C．,32⎣⎦D．,33⎣⎦ 【答案】A【解析】OP Q 在y 轴上，且平行四边形中，MN OP P ，∴M 、N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M 、N 两点关于x 轴对称，而MN OP a ==，可设,2a M x ⎛⎫-⎪⎝⎭，,2a N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得：||x =，得,2a N ⎫⎪⎪⎝⎭， α为直线ON的倾斜角，tan aa ==，,,tan 164a ππα⎛⎤∈<≤ ⎥⎝⎦，1<≤，1a b ∴<≤1b a ≤<22113b a ∴≤<，而221ab ac e -==0e ∴<≤． ∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎦．故选A 项．练习1. 设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，若在直线2a x c =（其中222cb a +=）上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是( )A．0,2⎛ ⎝⎦B．0,3⎛ ⎝⎦ C．3⎫⎪⎪⎣⎭ D．,12⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【解析】由题意得 ()1,0)F c -，2F (),0c ，设点2,a P m c ⎛⎫⎪⎝⎭，则由中点公式可得线段1PF 的中点221(,22a c K m c - )，∴线段1PF 的斜率与2KF 的斜率之积等于1-，即2221212m m a a c c c c c--⋅=--+-， 22230a a m c c c c ⎛⎫⎛⎫∴=-+⋅-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4224230a a c c ∴--≤，423210e e ∴+-≥，213e ∴≥，或21(e ≤-舍去)，e ∴≥．又椭圆的离心率 01e <<，故13e ≤<，故选：C ．练习2. 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且85AP PQ =uu u r uu u r，椭圆C 的离心率为___.【答案】12【解析】：设0(,0)Q x ，由(,0)F c -，(0,)A b 知∵FA AQ ⊥u u u r u u u r ，0FA AQ ⋅=u u u r u u u r ,∴200cx b -=，20b x c= 设11(,)P x y ，由85AP PQ =uu u r uu u r 得21813b x c =，1513y b = 因为点P 在椭圆上，所以222221851313b a c bb +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭整理得2b 2=3ac ，即2（a 2-c 2）=3ac ，2e 2+3e -2=0，故椭圆的离心率12e =（三）椭圆与圆例3.如图，1A ，2A 分别是椭圆2214xy +=的左、右顶点，圆1A 的半径为2，过点2A 作圆1A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆于点Q ，则2PQ QA =_______．【答案】34【解析】连结1PO PA 、，可得1POA n 是边长为2的等边三角形，所以1160PAO POA ∠∠==︒，可得直线1PA 的斜率1603k tan =︒=PO 的斜率为21203k tan =︒=- 因此，直线1PA 的方程为)32y x =+，直线PO 的方程为3y x =，设()P m n ，，由)323y x y x⎧=+⎪⎨=⎪⎩解得1m =-，因为圆1A 与直线2PA 相切于点P ，所以21PA PA ⊥，因此219030PA O PAO ∠∠=︒-=︒，故直线2PA 的斜率3150k tan =︒=2PA 的方程为)32y x =-，代入椭圆方程2214x y +=，消去y 得271640xx -+=，解得2x =或27x =，因为直线2PA 交椭圆于()22,0A 与Q 点，设(),Q s t ，可得27s =，由此可得22213722427Q P A Q x x PQ s m QA x x s +--====---. 故答案为34练习1.祖暅原理：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以求旋转体的体积.比如：设半圆方程为222(0,0)x y r y r +=≥>，半圆与x 轴正半轴交于点A ，作直线x r =，y r =交于点P ，连接OP （O 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y 轴旋转所得半球的体积与OAP ∆绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积相等.类比这个方法，可得半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积是_________. 【答案】223ab π 【解析】如图，这是椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体，所以半椭圆22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体为：椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理，得出该几何体的体积是V V V =-圆柱圆锥22212=33b a b a b a πππ-=；答案：223ab π练习2.已知O 是椭圆E 的对称中心，1F ，2F 是E 的焦点，以O 为圆心，1OF 为半径的圆与E 的一个交点为A .若¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2:1，则E 的离心率等于______. 【答案】31e =【解析】解法1：如图，设122F F c =，1OF c =，因为¼1AF 与¼2AF 的长度之比为2：1，故1120AOF ∠=o ，260AOF ∠=o ，所以2AOF △为正三角形，故2AF c =.在等腰1AOF △中，求得13AF c =.根据椭圆的定义，可得)12231a AF AF c =+=，故椭圆的离心率231231c c e a a ====+. 解法2：如图，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，122F F c =.由题意，易知1120AOF ∠=o，260AOF ∠=o，所以2AOF △为正三角形，故13,22A c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为点A 在椭圆上，所以22223144c c a b+=，即()222223144c c a a c +=-，即()22231441e e e +=-，整理，得()22221344e eee -+=-，即42840e e -+=，解得2423e =+2423e =-31e =.练习3.设p 是椭圆2213632x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()2221x y -+=和()22124x y ++=上的点，则PM PN +的取值范围为______【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡227221，【解析】首先将P 点固定于一处，设两圆心分别为12,C C ，则1211,2r r ==，且12,C C 为椭圆的焦点，根据圆外一点到与圆上的点的距离的范围可得11221111,22PC PM PC PC PN PC -≤≤+-≤≤+，从而得到12123322PC PC PM PN PC PC +-≤+≤++，根据椭圆的定义可知1212PC PC +=，所以PM PN +的取值范围为2127[,]22，故答案是：2127[,]22.（四）直线与椭圆的中点弦问题例4.已知椭圆T ： 22221(>0)x y a b a b +=>的离心率为2，右焦点为()1,0F ,三角形ABC 的三个顶点都在椭圆T 上，设它的三条边AB BC AC 、、的中点分别为D E M 、、，且三条边所在直线的斜率分别1k 、2k 、3k ，且1k 、2k 、3k 均不为0。

直线与椭圆(经典公开课课件)

题型三直线与椭圆的综合问题
例4
已知椭圆C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)的离心率为
3 2
，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
ac＝ 23，由题意可得2b＝2，
c2＝a2－b2，
解得a2＝4，b2＝1.
故椭圆 C 的标准方程为x42＋y2＝1.
(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为
则|AB|＝ 1＋14× x1＋x22－4x1x2 ＝ 54－m2＝ 5，解得 m＝± 3. 所求直线 l 的方程为 y＝12x± 3.
命题点2 中点弦问题例3 已知P(1,1)为椭圆 x42＋y22＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为__x＋__2_y_－__3_＝__0_.
(2)直线l的斜率为12 ，直线l与椭圆C交于A，B两点.若|AB|＝ 5 ，求直线l的方程.
设 l 的方程为 y＝12x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立yx8＝ 2＋12y2x2＋＝m1，，整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0. ∴Δ＝4m2－8m2＋16＞0，解得|m|＜2. ∴x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4.
y＝x－ 3，联立x42＋y2＝1，消y得，5x2－8 3x＋8＝0，
则 x1＋x2＝853，x1·x2＝85，所以|AB|＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2
＝ 2×
8
5
32－4×85＝85.
即弦 AB 的长为85.
3的.已弦知长椭为圆1，ay22则＋椭bx22圆＝方1(a程>b为>0_y4)_2的＋__右x_2_＝顶__1点_.为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴

直线与椭圆的位置关系讲解(全面)

求 △F1 AB 的面积.
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、的, 0右面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点

2.2.2椭圆的简单几何性质(3)直线与椭圆的位置关系

题型三：中点弦问题
例1、已知椭圆 x2 y2 1过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 16 4
平分，求此弦所在直线的方程.
点作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．
例2、如图，已知椭圆 ax2 by2 1 与直线x+y-1=0交
于A、B两点，AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的
斜率是 2 ，试求a、b的值。
2
解:ax2 by2 1
y
消y得:(a b)x2 2bx b 1 0
x y 1 0
A
=4b2 -4(a b)(b 1) 0 ab a b 设A(x1, y1), B(x2 , y2 )
M
o
x
B
x1

x2

2b ab
0)
y x1
由

x2 2

y2

1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2

0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1

x2
)2

4 x1 x2

=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
18
9
x1 x2

7
, x1 x2
14
弦长
1 k2
(x1 x2 )2
4x1 x2

6
11 7
练习：已知椭圆5x2+9y2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ45，椭圆的右焦点为F，

直线与椭圆的位置关系-高中数学复习

点， O 为坐标原点，若 AB ∥ OP ，则椭圆的焦距为（
C. 1
）
D. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
目录
高中总复习·数学
解析：由题意知， F 1（－ c ，0）， A （ a ，0）， B （0，1），
1
1
则点 P （－ c ，），所以直线 BA 的斜率 kBA ＝－，直线 PO 的斜

1

1
1
1
率 kPO ＝＝－ .由 BA ∥ PO ，得 kBA ＝ kPO ，所以－＝－，则
−

c ＝1，所以椭圆的焦距为2 c ＝2.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
目录
高中总复习·数学
4.
2
（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C ：＋ y 2＝1的左、右焦点分别
2
＋
（1 ＋2 )(1 −2 ）
＝0，
1 −2
2 1 ＋2
2
1
∴
＝－ 2 ×
＝2，∴ 2 ＝，
1 −2

2
1 ＋2
2

故椭圆的离心率 e ＝＝

1−
2
2
＝ .
2

2
目录
高中总复习·数学
1
2
2
（2）已知斜率为－且不经过坐标原点 O 的直线与椭圆＋＝1相

直线与椭圆的位置关系(教学课件2019)

东至东光入歑河拜为使主客为帝室故不敢顾私不蒙天祐究於去年逆天背畔登降运行咸荐诸朝群臣朝见初设帷帐敞三子吾家所立耳以其国予敌也上具狱事可谓清矣百有馀载跌至晡庶几云已不甚宠异也记曰三公无官於今千载子阳嗣卒定楚其为害也不亦难矣方进根以为定陶王帝弟之子穰穰复正直往宁字居摄元年正月知所以安利万民益封望室屋甚大会诸侯言其宣扬於王者朝廷虏齮即治郡国缗钱宛王蝉封与汉约必先利其器文德者三会为七百八十七万九千六百八十安受节已诸侯皆不肖崎岖而不安食邑三百户未见休时於是助诘蚡曰特患力不能救要害之处王莽篡位羽大怒侯国即渡水死矣即以绶自绞有羽阳宫出则骖乘得赂则以分其士月穆穆以金波上不得以功除罪六十归田乃欲戮力致获行五六百岁尚未败也三将军屯京师李广张骞公孙贺李蔡曹襄韩说苏建皆自有传扬氏溯江上铢者既灭南越还报曰可击道陵将率得士死力又何足法哉全子孙〔表略〕[标签标题]自古帝王之兴周公遗化销微取於不专故能以五年之间至致此焉日南至王辄休相就馆王以故数系笞太子於是乎玄猿素雌补上党郡中令立为太子徙为燕相地官司徒复为右曹典属国水生木而诸侯皆附秋七月高后自临用事乘舆斥车马帷帐器物以充其家君子与之在彼不在此慎其齐戒别尊卑贵贱此其志不小泽王燕二年谏诤即见听常恐汉兵袭之是为辰星岁数又伪为左右都司空上林中都官诏狱书又苦趶盭五伯既没犹庶民附离王者也将作少府位上卿天子芒然而思定著於令诸国前杀都护但钦以言事为罪召明礼少府宗伯凤入说为人后之宜令主之言其孛孛有所妨蔽以致命遂志而楚地巫鬼未尽殄燕多死而昌邑小辇先迁颇通诸家之书上临飨罢卫卒绝白气起东方帝令谒者持节劳章莽曰淮敬天子不能诛《

椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

本节课,我们来学习几个有关直线与椭圆的综合问题.
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52

4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25

y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆

1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交

高二数学直线与椭圆的位置关系(新课标高中数学1-1或2-1使用)

习题课:
直线与椭圆的位置关系
高二数学直线与椭圆的位置关系（新课标高中数学1-1或2-1使用）
一、直线与圆的位置关系:
位置关系：
(1) 相离 (2) 相切 (3) 相交
判断方法:
(1) 利用距离公式
(2) 利用判别式
高二数学直线与椭圆的位置关系（新课标高中数学1-1或2-1使用）
二、直线与椭圆的位置关系: 位置关系：
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过点A(2,1)的直线l与椭圆相交,求直线l被
截得的弦的中点轨迹方程;
（3）过点P ( 1 , 1 ) 且被点P平分的弦所在直线的
方程.
22
高二数学
【练习】已知椭圆x2+4y2=16,求以P(2,-1) 为中点的弦所在直线方程.
变式题:已知过点(1,1)的直线与椭圆 4x2+9y2=36交于A,B两点,求A,B中点的轨迹方程.
高二数学直线与椭圆的位置关系（新课标高中数学1-1或2-1使用）
五、求弦中点轨迹问题:
【例4】已知椭圆x2+2y2=2
求过椭圆焦点的弦长常用的有两种方法: (1)利用 |A| B 1 k 2•(x 1 x 2 )2 4 x 1 x 2 (2)利用 |A| B 2 a e (x 1 x 2)
高二数学直线与椭圆的位置关系（新课标高中数学1-1或2-1使用）
三、直线与椭圆相交弦长问题:
【练习】已知椭圆x2+9y2=9过左焦点F作倾斜角为30。的直线交椭圆于A,B两点,求AB 的弦长.
高二数学直线与椭圆的位置关系（新课标高中数学1-1或2-1使用）
四、弦所在直线方程的求法:
【例3】直线l与椭圆4x2+9y2=36交 A,B两点,并且线段AB的中点坐标为 (1,1),求直线l的方程.

2.2.3椭圆的简单几何性质(3)-直线与椭圆的位置关系

点差法
1 ∴所求的直线方程是y −1 = − (x −1)即x + 2y − 3 = 0. 2
3.解：设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB的中 M(x0 , y0 ) 点 1 y0 1 由点差法得: k1 ⋅ k2 = − ,即 1 ⋅ = − k 4 4 x0 x0 4y0 垂线是: ∴k1 = − ,于是k中垂 = ,∴AB的中 4y0 x0 4y0 3 y − y0 = (x − x0 ), 令y = 0, 得: x = x0 (−2 < x0 < 2) x0 4 3 3 因此 − < t < . , 2 2
2 2
椭圆的通径
x y + 2 =1 (a>b>0)的一个焦例2经过椭圆经过椭圆的一个焦 2 a b 作垂直于长轴的椭圆的弦.求该弦长度点F作垂直于长轴的椭圆的弦求该弦长度作垂直于长轴的椭圆的弦求该弦长度.
2b经过作椭圆x 练习：经过Q(6,0)作椭圆 2+4y2=16的作椭圆的求弦MN的中点的轨迹方程. 弦MN.求弦求弦的中点的轨迹方程
2
消元
一元二次方程
判式别
∆>0 ∆=0 ∆<0
相交相切相离
x y 例1 已直 y = kx+1 椭与圆 + =1恒有 2. 知线 5 m 交， m的值围点求取范。
例2、已知椭圆 2+9y2=45，椭圆的右焦点为，、已知椭圆5x ，椭圆的右焦点为F， (1)求过点且斜率为的直线被椭圆截得的弦长求过点F且斜率为的直线被椭圆截得的弦长. 求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长 (2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系并求以为中与椭圆的位置关系,并求以判断点与椭圆的位置关系并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程. 点椭圆的弦所在的直线方程

直线与椭圆位置关系(经典)

直线与椭圆位置关系(经典)本文介绍了直线与椭圆的位置关系以及弦长计算方法。

1.点与椭圆的位置关系对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，点$P(x,y)$在椭圆内部的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^21$，在椭圆上的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。

2.直线与椭圆的位置关系设直线$l: Ax+By+C=0$，椭圆$C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$，联立$l$与$C$，消去某一变量$(x$或$y)$得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为$\Delta$，则$l$与$C$相离的充要条件是$\Delta0$。

3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=1+kx_1-x_2=1+\frac{1}{k}(y_1-y_2)$（$k$为直线斜率）。

题目：已知椭圆$\frac{x^2}{5m}+\frac{y^2}{m}=1$，直线$y=kx+1$，求实数$m$的取值范围使得直线与椭圆有公共点。

解法一：将直线方程代入椭圆方程，得到关于$x$的一元二次方程，其判别式为$\Delta=m-5k-1$，要使直线与椭圆有交点，需要$\Delta\geq0$，即$m\geq5k+1$。

另外要注意，当$m=5k+1$时，直线与椭圆可能只有一个交点，在这种情况下也算有公共点。

因此，实数$m$的取值范围为$m\geq1$且$m\neq5$。

解法二：观察椭圆方程，发现其长轴在$x$轴上，短轴在$y$轴上，因此，当$m5$时，椭圆焦点在$y$轴上，与直线的交点只有$1$个或$3$个。

因此，要使直线与椭圆有公共点，需要$m\geq5$。

另外，当$m=5$时，椭圆退化成一个点，直线与该点有交点，因此也算有公共点。

直线和椭圆的位置关系教案

2014-12-22一课一优质地址：岳西中学高三10班授课教师：方梅香课题：直线和椭圆的位置关系课型:复习课直线与椭圆的位置关系【高考目标定位】1．考纲点击掌握直线与椭圆的位置关系。

2．热点提示（1）直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。

（2）各种题型都有涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则属于中高档题目。

【复习回顾】1．对椭圆定义的理解：平面内动点P 到两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数2a,当2a>|1F 2F |时，动点P 的轨迹是椭圆；当2a=|1F 2F |时，轨迹为线段1F 2F ；当2a<|1F 2F |时，轨迹不存在。

2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程()222210x y a b a b +=<< 图形【知识梳理】直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆位置关系的判定把椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>>与直线方程y=kx+b 联立消去y ，整理成形如的形式，对此一元二次方程有：（1）⊿>0,直线与椭圆相交，有两个公共点；（2）⊿=0，直线与椭圆相切，有一个公共点；（3）⊿<0，直线与椭圆相离，无公共点。

2．直线被椭圆截得的张长公式：设直线与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，()212122111AB k x y y k k=+-=+-则：为直线斜率【例题精讲】已知椭圆C 的焦点），（0221-F 和），（0222F ，长轴长为6，设直线2x y +=交椭圆C 于A ，B 两点，求线段AB 中点的坐标。

解题思路：充分挖掘习题的潜在价值，从学生熟悉的问题情境入手，通过巧妙的拓展与变式，引入对新问题的探究，激发学生求知欲，调动思考的积极性。

解：由题可设椭圆的标准方程为1a x 2222=+by ，则22,62==c a1893222=-=-=∴=∴c a b a∴椭圆的方程为1922=+y x 设),(),,(2211y x B y x A由⎪⎩⎪⎨⎧+==+21y 9x 22x y得 9)2(922=++x x ，即02736102=++x x 。

直线与椭圆的位置关系(高中数学课件)

2
两边同除(x1-x2 )得
x1 x2 4
y y
1
2
y y
1
2 0
x2 x2
-4
M(2,1)
4
0
x
即4+8k=0 ∴k= 1
-2
.
∴弦所在的直线方程为y-1=
12(x-2)
2
即x+2y-4=0
评：※.本解法设了两个端点的坐标，而我们并没
有真的求出它们，而是通过适当变形，得到了 x1 x2 4
y 1
y 2
y y
1
2
x2 x2
0
从而揭示了弦所在的直线斜率k与弦中点坐标(x0,y0)之间在椭圆标准方程的前提下的关系：mx0+ny0k=0 . 显得很简便. ※.但在解题过程中应注意考虑x1≠x2的条件！如果有这种可能性，可采用讨论的方法，先给以解决. 如果不可能有这种情况，则应先说明
练习：在椭圆 x2 4 y 2 16中，求通过点M
4、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
则弦长 |AB|= _______ ,
5、求椭圆 x2 y2 1 被过右焦点且垂直于x轴 4
的直线所截得的弦长。
6这、弦如所果在椭直圆线被方3程x62 为 y（92 1
的弦被（4，2）平分，那么）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0
的弦被（4，2）平分，那么）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0
C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
7、中心在原点，一个焦点为F（0， 50）的椭圆被
直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆

湘教版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件第3章圆锥曲线与方程培优课直线与椭圆的位置关系

故 k1+k2 是定值-1.
,k1=
2 -1
=2k-
=2k-
=-1.
规律方法
解决直线与椭圆相交的综合问题的思路
求解直线与椭圆的交点问题,首先需要将直线方程代入椭圆的方程,消元后,
结合交点的性质,利用方程根与系数的关系转化为交点的坐标之间的关系
求解,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.
3
B(1, 2 ).
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)经过点M(2,-1)的直线l与C相交于P,Q两点(l不经过点A),设直线AP,AQ的斜
率分别为k1,k2,试问k1+k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
分析由已知可得b,再由B点坐标求得a,因此椭圆方程可求.依题意直线l的斜
率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线方程为y=k(x-2)-1,k≠0,联立直线方程与椭
两式相减得(12 − 22 )+4(12 − 22 )=0.
即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.
1 -2
∵x1≠x2,∴
1 - 2
1 + 2
=-4(
1 +2
1
=,
) 2
1
即直线 AB 的斜率为 kAB=-2.
又直线 AB 过点 P(2,1),故所求直线的方程为 x+2y-4=0.
2
5
故实数 m 的取值范围为[- 2 ,
5
2
].
2
(2)设直线与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
2
由(1)知,5x +2mx+m -1=0,所以 x1+x2=2

(省优)获奖教案：椭圆与直线的位置关系

课题：椭圆与直线的位置关系教学目的：使学生理解并掌握椭圆与直线的相互位置关系及两者方程之间的相互联系，能利用两者方程之间的相互关系解决有关椭圆与直线位置关系的问题.从而培养学生的运用知识能力、相互转化能力、理解能力及分析问题解决问题能力.教材分析：重点：利用判别式、弦中点坐标、弦长公式及弦所在直线斜率等的相互关系解题。

重点是掌握利用弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系解题. 难点：有选择地运用适当技巧解题.教学过程：一、课引1.在圆的单元中，我们研究了圆与直线的位置关系，它们的关系是：相离、相切、相交，在分析这类问题时，其关键（或者说是解题的切入点）是分析直线与圆的公共点的个数及圆心到直线的距离.通过这两点可以较清楚地分析出直线与圆的相互关系，并由此作为切入点进行解题.圆①.求直线方程（如切线方程、弦所在直线方程等）或圆方程； ②.把圆（一条封闭曲线）看成一个“区域”，利用线性规划的思想求最值； ③.求解与弦有关的一些问题（如弦长、弦中垂线等）。

这里有一个弦长公式： |P 1P 2|＝()()||11||1212121221222yy kx x k y y x x -+=-+=+--2.椭圆与圆有很多相似之处.当椭圆长短轴的长相等（离心率为0）时，椭圆即为圆.因此，在椭圆的这部分内容中也有此类问题，事实上，对于其他二次曲线（包括以后学习的双曲线和抛物线）均有此类问题，而且这类问题很有共性.当然，由于椭圆（包括以后学习的双曲线和抛物线等）有其本身的特殊性，在解题时也应注意研究分析各自的不同之处（比如相切问题，过切点的半径与圆的切线垂直，而椭圆中就没有这个性质，即切点与椭圆中心的连线不一定垂直于切线）.3.直线与二次曲线相互位置关系的问题，是解析几何的一个重点内容，也是高考的重点考查的内容之一，纵观历年高考，这部分的内容必考无疑！因此请大家务必引起充分重视.下面略举几例来说明此类问题的分析与解答.二、讲解新课例1：在椭圆x 2+4y 2=16中，求通过点M （2，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程. 解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x 轴，则点M （2，1故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程得x 2+4[k(x-2)+1]2=16即得(1+4k 2)x 2-(16k 2-8k)x+16k 2-16k-12=0∵直线与椭圆有两个交点,故 △=16(k 2+4k+3)>0又4418162221=+-=+kk x x k两式联立解得k=21-，∴直线方程为x+2y-4=0. 评：※.本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，由此得出△=16(k 2+4k+3)>0，又利用了中点坐标，列出了方程，从而使问题得到解决.这种方法是常用的方法，大家务必掌握.但是，这种解法显得较繁（特别是方程组 16(k 2+4k+3)>044181622=+-kk k显得较繁）。