高中数学第二章数列232等比数列的前N项和课后训练新人教B版5

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高中数学新人教B版必修5课件：第二章数列2.3习题课——等比数列习题课

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题型一
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题型四
1
1

2
1
(2)解:由(1)知 -1= · -1 =
1
即

1
=
2
1
+1,则

设 Tn= +
2

3
=
1
22
2
2
2
2
1
+
2
2
+…+
3
=
2

1
1-
2
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12
1
=1-
2
−
−
2
1
2
1
2
22
,
+n.

2
+

2 +1
1
,②
−
+…+
2

2 +1
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
1 (1- )
所以数列{bn}的前 n 项和公式 Sn=
1-
=4(1-3n).
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IANLITOUXI
1
2
3
UITANGLIANXI
4
1等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1的值为
题型四
等比数列的基本运算
【例1】 (1)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,Sn=93,an=48,公比

数学：2.3.1《等比数列》例题解析(新人教B版必修5)

等比数列·例题解析【例1】已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．[ ]A ．是等比数列B ．当p ≠0时是等比数列C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列D ．不是等比数列分析由S n ＝p n (n ∈N*)，有a 1=S 1＝p ，并且当n ≥2时， a n =S n －S n-1＝p n －p n-1＝(p －1)p n-1故－，因此数列成等比数列≠－≠a =(p 1)p {a }p 0p 10(p 1)p 2n n 1⇔--=-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪--()()p pp p p n 212但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D ．说明数列{a n }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n ∈N*)，还要注意对任∈，≥，都为同一常数是其定义规定的准确含义．n *n 2N a a nn -1【例2】已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．解 ∵1，x 1，x 2，…，x 2n ，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q 2n+1x 1x 2x 3...x 2n ＝q .q 2.q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)=q2n(1+2n)2==+q n n n ()212【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－，求通项公12式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．解 (1)a =a q q =5252-∴－12∴＝＝－＝∵·＝··＝a a q 4()()(2)a a a a a a a =8n 2n 2n 2n 4354234543----1212∴a 4＝2又＝＝∴a a a a a a a a a a =a =322635423456452【例4】已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求证…＜．x x x a bn n 122+ 证明设这n ＋2个数所成数列的公比为q ，则b=aq n+1∴∴……＜q b ax x x aqaq aq aqab a bn n n nn n ++====+1122122【例5】设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2．证法一 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列∴a b b c c d== ∴b 2＝ac ，c 2＝bd ，ad ＝bc∴左边=b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2＋d 2－2bd ＋b 2 =2(b 2－ac)＋2(c 2－bd)＋(a 2－2bc ＋d 2) ＝a 2－2ad ＋d 2 ＝(a －d)2＝右边证毕．证法二 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为q ，则： b ＝aq ，c ＝aq 2，d=aq 3∴左边＝(aq －aq 2)2＋(aq 2－a)2＋(aq 3－aq)2＝a 2－2a 2q 3＋a 2q 6 =(a －aq 3)2 ＝(a －d)2=右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b 、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b 、c 的路子．证法二则是把a 、b 、c 、d 统一化成等比数列的基本元素a 、q 去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求数列的通项公式：(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋⇒∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－⇒∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到a =3[1222]=3=3(21)n 2n-2n 1＋＋＋…＋·－21211n ----说明解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 1234122242213422321234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．证 ∵a 1、a 2、a 3、a 4均为不为零的实数∴＋－＋＋＋为实系数一元二次方程等式＋－＋＋＋说明上述方程有实数根．(a a )x 2a (a a )x a a =0(a a )a 2a (a a )a a a =0a 122222132232122242213422324∴上述方程的判别式Δ≥0，即[2a (a a )]4(a a )(a a )=4(a a a )0(a a a )02132122222322213222132－＋－＋＋－－≥∴－≤又∵a 1、a 2、a 3为实数∴－≥必有－即(a a a )0a a a =0a =a a 2213222132213因而a 1、a 2、a 3成等比数列又∵a =2a 42()()()a a a a a a a a a a a a 1312222131213212++=++= ∴a 4即为等比数列a 1、a 2、a 3的公比．【例8】若a 、b 、c 成等差数列，且a ＋1、b 、c 与a 、b 、c ＋2都成等比数列，求b 的值．解设a 、b 、c 分别为b －d 、b 、b ＋d ，由已知b －d ＋1、b 、b ＋d 与b －d 、b 、b ＋d ＋2都成等比数列，有b =(b d 1)(b d)b =(b d)(b d 2)22－＋＋①－＋＋②⎧⎨⎪⎩⎪整理，得b =b d b db =b d 2b 2d 222222－＋＋－＋－⎧⎨⎪⎩⎪ ∴b ＋d=2b －2d 即b=3d 代入①，得9d 2=(3d －d ＋1)(3d ＋d) 9d 2=(2d ＋1)·4d 解之，得d=4或d=0(舍) ∴b=12【例9】已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d ，又知d ≠1，且a 4=b 4，a 10=b 10：(1)求a 1与d 的值；(2)b 16是不是{a n }中的项？思路：运用通项公式列方程解 (1)a =b a =b 3d =a da 9d =a da (1d )=3d a (1d )=9d4410101131191319由＋＋－－－－⎧⎨⎩⇒⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎩⎪a⇒⇒==-=-==-d d 2=063＋－舍或∴d d a d d 1231331222()(2)∵b 16=b 1·d 15=－32b 1且＋·－－∴a =a 3d =22=b b =b d =2b =22b =a =2413441313113- ∴b 16=－32b 1=－32a 1，如果b 16是{a n }中的第k 项，则－32a 1=a 1＋(k －1)d ∴(k －1)d=－33a 1=33d∴k=34即b 16是{a n }中的第34项．【例10】 {a }b =(12)b b b =218b b b =18n n a n 123123设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．解设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1＋(n －1)d∴·b =(12)b b =(12)(12)=(12)b n a 13a a +2d 2(a +d)221111+-()n d1由，解得，解得，代入已知条件整理得＋b b b =18b =18b =12b b b =18b b =14b b =1781232321231313b b b 123218++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解这个方程组，得b =2b =18b =18b =21313，或， ∴a 1=－1，d=2或a 1=3，d=－2∴当a 1=－1，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=2n －3 当a 1=3，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=5－2n【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2①a ，aq ＋4，a q 2＋32成等比数列即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)⇒aq 2=4a ＋②①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．a =2q =3a =29q =52618⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪-29109509解法二按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d由已知：三个数成等比数列即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)⇒8b d =162－①b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)⇒32b d 32d =02－－②①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．b =269d =83b =10d =82618⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎩-29109509解法三任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列得：①a =a a 2213a 1，a 2＋4，a 3成等差数列得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3②a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)③①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2a =6a =18123123-⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪ 说明将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2aq简化计算过程的作用．【例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．分析本题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则第四个数由已知条件可推得：()a d a+2方法二设后三个数为b ，bq ，bq 2，则第一个数由已知条件推得为2b －bq ．方法三设第一个数与第二个数分别为x ，y ，则第三、第四个数依次为12－y ，16－x ．由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，解法一 a d a a d 设前三个数为－，，＋，则第四个数为．()a d a+2依题意，有－＋＋＋a d =16a (a d)=12()a d a+⎧⎨⎪⎩⎪2解方程组得：或－a =4d =4a =9d =61122⎧⎨⎩⎧⎨⎩所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法二设后三个数为：b ，bq ，bq 2，则第一个数为：2b －bq依题意有：－＋＋2b bq bq =16b bq =122⎧⎨⎩解方程组得：或b =4q =2 b =9q =131122⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．解法三设四个数依次为x ，y ，12－y ，16－x ．依题意有＋－·－－x (12y)=2yy (16x)=(12y)2⎧⎨⎩ 解方程组得：或x =0y =4x =15y =91122⎧⎨⎩⎧⎨⎩ 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．【例13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．解设成等差数列的三个数为b －d ，b ，b ＋d ，由已知，b －d ＋b ＋b ＋d=126 ∴b=42这三个数可写成42－d ，42，42＋d ．再设另三个数为a ，aq ，aq 2．由题设，得a 42d =85ap 42=76aq 42d =842＋－＋＋＋⎧⎨⎪⎩⎪ 整理，得－①②＋③a d =43aq =34aq d =422⎧⎨⎪⎩⎪ 解这个方程组，得 a 1=17或a 2=68当a=17时，q =2，d=－26当时，，a =68q =12d =25 从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．【例14】已知在数列{a n }中，a 1、a 2、a 3成等差数列，a 2、a 3、a 4成等比数列，a 3、a 4、a 5的倒数成等差数列，证明：a 1、a 3、a 5成等比数列．证明由已知，有 2a 2=a 1＋a 3①a =a a 3224·②③211435a a a =+由③，得·由①，得代入②，得··a =2a a a +a a =a +a 2a =a +a 243535213321323535a a a a +整理，得a =a (a +a )a +a 351235即 a 3(a 3＋a 5)=a 5(a 1＋a 3)a a a =a a a a a =a a 323515353215＋＋∴·所以a 1、a 3、a 5成等比数列．【例15】已知(b－c)log m x＋(c－a)log m y＋(a－b)log m z=0．(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．证明(1)∵a，b，c成等差数列，且公差d≠0∴b－c=a－b=－d，c－a=2d代入已知条件，得：－d(log m x－2log m y＋log m z)=0∴log m x＋log m z=2log m y∴y2=xz∵x，y，z均为正数∴x，y，z成等比数列(2)∵x，y，z成等比数列且公比q≠1∴y=xq，z=xq2代入已知条件得：(b－c)log m x＋(c－a)log m xq＋(a－b)log m xq2=0变形、整理得：(c＋a－2b)log m q=0∵q≠1 ∴log m q≠0∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c即a，b，c成等差数列。

人教新课标版数学高二B必修5学案 2.3.2 等比数列的前n项和(一)

2.3.2 等比数列的前n 项和(一)明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)na 1(q ＝1). (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿 t ，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．探究点一等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？答所得数列为1,2,4,8，…，263.它是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，转化为数列的怎样的一个问题？答转化为求通项为a n ＝2n－1的等比数列前64项的和．思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？答不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等．思考4 对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?答比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝1－2641－2＝264－1≈1.84×1019.思考5 类比思考4中求和的方法，如何求等比数列{a n }的前n 项和S n ? 答设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n . 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q.当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.思考6 下面提供了两种推导等比数列前n 项和公式的方法．请你补充完整．方法一由等比数列的定义知： a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . 当q ≠1时，由等比性质得： a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n＝q . 故S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q .当q ＝1时，易知S n ＝na 1.方法二由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 得： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q ＝a 1＋q ·(a 1＋a 2＋…＋a n －1) ＝a 1＋q ·(S n －a n )从而得(1－q )·S n ＝a 1－a n q . 当q ≠1时，S n ＝a 1－a n q1－q ；当q ＝1时，S n ＝na 1.小结等比数列{a n}的前n 项和S n可以用a 1，q ，a n表示为S n＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1－a nq1－q ，q ≠1.例1 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”，怎样用学过的知识来说明它？解这句话用现代文叙述是“一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完”．如果每天取出的木棒的长度排成一个数列，则得到一个首项为a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，它的前n 项和为S n ＝12×[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n .不论n 取何值，1－S n ＝(12)n 总大于0，这说明一尺长的木棒，每天取它的一半，永远也取不完．反思与感悟涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错．跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.例2 等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，求它的前8项和S 8.解方法一因为a 8＝a 1q 7，所以a 1＝a 8q 7＝27.因此S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝27[1－(12)8]1－12＝28－1＝255.方法二把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项，即顺序颠倒，也得到一个等比数列{b n }，其中b 1＝a 8＝1，q ′＝2，所以前8项和S 8＝b 1(1－q ′8)1－q ′＝1－281－2＝255.反思与感悟等比数列的前n 项和公式和通项公式中共涉及a 1，a n ，q ，n ，S n 五个基本量，已知其中三个量，可以求出另外的两个量，我们可以简称为“知三求二”．跟踪训练2 求下列等比数列前8项的和： (1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.解 (1)因为a 1＝12，q ＝12，所以S 8＝12[1－(12)8]1－12＝255256.(2)由a 1＝27，a 9＝1243，可得1243＝27·q 8.又由q <0，可得q ＝－13.所以S 8＝27[1－(－13)8]1－(－13)＝1 64081.探究点二等比数列前n 项和的实际应用例3 某工厂去年1月份的产值为a 元，月平均增长率为p (p >0)，求这个工厂去年全年产值的总和．解该工厂去年2月份的产值为a (1＋p )元，3月，4月……的产值分别为a (1＋p )2元，a (1＋p )3元，……，去年12个月的产值组成以a 为首项，1＋p 为公比的等比数列，因此，该厂去年全年的总产值为S 12＝a [1－(1＋p )12]1－(1＋p )＝a [(1＋p )12－1]p .答该工厂去年全年的总产值为a [(1＋p )12－1]p元．反思与感悟解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”．理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题．跟踪训练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝a 1(1－q n)1－q ＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 探究点三错位相减法求和例4 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．解分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).反思与感悟一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练4 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)n 2(a ＝1)1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1n ， x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1n ， x ＝1答案 C解析当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析方法一由等比数列的定义， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( ) A ．179 B ．211 C ．243 D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．答案 11a (1.15－1)解析注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a .∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 答案 D解析由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q⇒q 3＝3(q 3＝1舍去)． ∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解当q ＝1时，S n ＝na 1，∴S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9；当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9，∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－342.二、能力提升8．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 9．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．答案 13解析由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n . 解设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1 ＝(1－n )·2n ＋1－2∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)． ∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910， ∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n 2n .② 所以，当n ＞1时，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n ＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n 2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1.。

高中数学人教B版必修五教案：2.3等比数列前n项和习题

与应用是本节
1. 采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教
课的重
学；
点。
2. 发挥学生的主体作用，作好探究性活动．
教具多媒体课件、教材，教辅
教学教学内容
教师行为
学生行为
设计意图时间
环节
1.
1、教材第 50 页练检查，评价总结 1. 小考：《预习明确本节
课前 3 习 A。分钟 2、目标解读
4.若 { an} 是等比数列，其公比是 q，且－ a5，a4， a6 成等差数列，则 q 等于 ( )
A.1 或 2
B.1 或－ 2
C.－ 1 或 2
D. －1 或－ 2
1、.等比数列 { an} 中，项和为 ( )
A.81
B.120
C.168
D.192
2．在等比数列 { an} 中， a1＝2，S3＝26，则公比 q＝________.
3．等比数列 { an} 中，公比 q＝－ 2， S5＝44，则 a1＝ ________.
2、其余学生互并解决学
结果项和公式推导。 2．补充学生出
相补充并学生自主学
3、学生提出的困现的漏洞。
生对所展示习中遇到
惑．
3. 解决学生的
习题进行评的困惑。
问题，并达成共
价。
识。
3、质疑、解答。
13 分钟
1．判断 (正确的打 1、展示课件 1、独立完成课件通过具体
“√，”错误的打 “×”2）、巡视学生例题。
等比数列
(1)求等比数列 {an}
完成情况， 2、抽象归纳出等体会等比

「精品」高中数学第2章数列 2.3 等比数列第2课时等比数列的性质同步课件新人教B版必修5-精品资料

方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前
三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将
中间两个数设为
a q
，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也
较为方便．
(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第
二个数为
16 x
，则第一个数为
32 x
－x，最后一个数为
x3 16
[解析] ∵a7＝a3q4，∴q4＝aa73＝2， ∴a11＝a7·q4＝6×2＝12.
6．(2015·北京文，16)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10， a4－a3＝2.
(1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的第几项相等？
[解析] 由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d ＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d,2,2＋d， ①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝ 6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)， ∴d＝0(舍去)．综上可知此三数为－4,2,8.
易错疑难辨析
三个正数能构成等比数列，它们的积是27，平方和为91，则这三个数为________．
[错解] 1,3,9或－1,3，－9 设三数为aq，a，aq，则
aq·a·aq＝27
①
aq2＋a2＋a2q2＝91
②
由①得a＝3代入②中得q＝±3或q＝±13. ∴当q＝3时，三数为1,3,9；当q＝－3时，三数为－1，3，－9；当q＝13时三数为9,3,1；当q＝－13时，三数为－9,3，－1. 综上可知此三数为1,3,9或－1,3，－9.

高中数学第二章数列23等比数列232等比数列的前n项和第二课时数列求和习题课课件新人教B版必修51211311

(2)∵an＝31n，∴bn＝－log 331n＝2n， ∴bnb1n＋1＝4nn1＋1＝14n1－n＋1 1， ∴Tn＝141－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1 ＝141－n＋1 1＝4nn＋1.
2．已知数列{an}的首项 a1＝3，通项 an＝2np＋nq(n∈N＋，p，q 为常数)，且 a1，a4，a5 成等差数列． (1)求 p，q 的值； (2)求数列{an}前 n 项和 Sn 的公式．解：(1)由 a1＝3，得 2p＋q＝3，又因为 a4＝24p＋4q， a5＝25p＋5q，且 a1＋a5＝2a4，得 3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得 p＝1，q＝1. (2)由(1)，知 an＝2n＋n，所以 Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋… ＋n)＝2n＋1－2＋nn2＋1.
⇒32aa11＋＋31d2＝ d＝153， 0
⇒ad1＝＝23，，
则 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝3n＋2nn2－1＝n2＋2n.
(2)证明：由题意可得 bn＝Sn－2 n＝n2＋2 n＝2n1－n＋1 1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝21－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1 ＝21－n＋1 1<2.
如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn} 的前 n 项和时，可采用错位相减法．
在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
[活学活用] 数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N＋. (1)证明：数列ann是等差数列； (2)设 bn＝3n· an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
第二课时数列求和(习题课)

高中数学第二章数列 2.3 等比数列(2)课后训练新人教B版必修5

2.3 等比数列课后训练1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为( )．A ．158或5B ．3116或5C ．3116D ．1582．数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －C ，若{a n }为等比数列，则C 等于( )．A ．3B ．2C ．1D ．43．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂( )．A ．55 986只B ．46 656只C ．216只D ．36只4．已知数列前n 项和S n ＝2n －1，则此数列奇数项的前n 项和为( )．A ．13(2n ＋1－1) B ．13(2n ＋1－2) C ．13(22n －1) D ．13(22n －2) 5．数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为__________．6．已知等比数列{a n }中，a n ＞0，S 3＝6，a 7＋a 8＋a 9＝24，则S 99＝__________.7．(课标全国高考，文17)已知等比数列{a n }中，113a =，公比13q =. (1)S n 为{a n }的前n 项和，求证：12n n a S -=； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．8．已知数列{a n }是公比大于1的等比数列，且21015a a =，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，12111n nT a a a =+++L ，求满足S n ＞T n 的最小正整数n.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n ∈N ＋.(1)求证：{a n －1}是等比数列；(2)求数列{S n }的通项公式，并求出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由．(1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－5a 1－85，参考答案1. 答案：C解析：易知公比q ≠1.由9S 3＝S 6，得361111911a q a q q q(-)(-)⋅=--，解得q ＝2. ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为12的等比数列．∴其前5项和为51131211612⎛⎫- ⎪⎝⎭=-. 2. 答案：C3. 答案：B解析：a 1＝(1＋5)1，a 2＝(1＋5)2，…，a 6＝(1＋5)6＝46 656.4. 答案：C解析：由S n ＝2n －1知{a n }是等比数列，且a 1＝1，q ＝2，∴奇数项构成以1为首项，4为公比的等比数列，∴其前n 项和为13(22n －1)． 5. 答案：3,1,=2,2,n n n a n n +=⎧⎨≥∈⎩N 6. 答案：3·234－6解析：S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6，a 7＋a 8＋a 9＝24， ∴a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9，…，a 97＋a 98＋a 99构成以6为首项，2为公比的等比数列． ∴3399612s =12⨯(-)-＝6×(233－1)＝3·234－6. 7. 解：(1)因为1111333n n n a -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，111113331213n n n S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-，所以12n n a S -=. (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝12n n (+)-. 所以{b n }的通项公式为12n n n b (+)=-. 8. 解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，根据题意，得(a 1q 9)2＝a 1q 14，即21a q 18＝a 1q 14， ∴a 1q 4＝1，即141a q=. ∵q ＞1，∴0＜a 1＜1，从而a n ＞0.又111n n a q S q(-)=-， 11121111111n n n n n n q a a q T q q a q q--(-)(-)==⋅--，即2111n n n T S a q -=，∵S n ＞T n ＞0，∴211>1n n nS a q T -=. ∴q n －1＞211a ＝q 8.又q ＞1， ∴n －1＞8，∴n ＞9.∴满足S n ＞T n 的最小正整数n ＝10.9. 解得a 1＝－14，则a 1－1＝－15.当n ≥2时，S n －1＝(n －1)－5a n －1－85，∴a n＝S n－S n－1＝1－5a n＋5a n－1，∴6a n＝5a n－1＋1，即a n－1＝56(a n－1－1)，∴{a n－1}是首项为－15，公比为56的等比数列．(2)解：151156nna-⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，∴S n＝n－5×151156n-⎡⎤⎛⎫-⋅⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－85＝n＋75·56⎛⎫⎪⎝⎭n－1－90.当n≥2时，设S n－S n－1＝a n＝1－15·56⎛⎫⎪⎝⎭n－1＞0，即15·56⎛⎫⎪⎝⎭n－1＜1，解得n＞561log15＋1≈15.85.当2≤n≤15时，S n＜S n－1；当n≥16时，S n＞S n－1.故n＝15时，S n取得最小值．。

高中数学第二章数列2.3等比数列2.3.2等比数列的前N项和同步练习新人教B版必修5

2.3.2 等比数列的前n 项和1．在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝18，则该数列的前10项和为( ) A ．2－128 B ．2－129 C ．2－1210 D ．2－12112．等比数列的前n 项和Sn ＝k·3n＋1，则k 的值为( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．33．有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数为________．4．设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S3＝9，S6＝81，则公比q 等于__________．答案：1．B 设其公比为q ，∴a1＝1，a4＝a1q3＝18. ∴q ＝12.∴S10＝1×(1－1210)1－12＝2－129. 2．B 当n ＝1时，a1＝S1＝3k ＋1；当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝k ·3n －k ·3n －1＝2k ·3n －1.令3k ＋1＝2k 得k ＝－1.3．192 设底层为a1盏，作为首项，共381盏，由S7＝a1(1－127)1－12＝381，解得a1＝192. 4．2 先求出S6－S3＝72.又因为S3·q3＝S6－S3＝72，所以q3＝8，q ＝2.课堂巩固1．已知各项为正的等比数列的前5项的和为3，前15项的和为39，则该数列的前10项的和为( )A ．3 2B ．313C ．12D ．152．等比数列{an}中，公比q≠1，它的前n 项和为M ，数列{2an }的前n 项和为N ，则M N的值为( )A ．2a21qn B.12a1qn －1 C.12a21qn －1 D ．2a21qn －1 3．(北京高考，文10)若数列{an}满足：a1＝1，an ＋1＝2an(n∈N＋)，则a5＝__________；前8项的和S8＝__________.(用数字作答)4．(浙江高考，文16)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n 项积为Tn ，则T4，__________，__________，T16T12成等比数列． 5．已知等比数列{an}的前n 项和是2，紧接着后面的2n 项和是12，再紧接着后面的3n 项和是S ，求S 的值．6．已知数列{an}是首项为1的等差数列，且公差不为零．等比数列{bn}的前三项分别是a1，a2，a6.(1)求数列{an}的通项公式an ；(2)若b1＋b2＋…＋bk ＝85，求正整数k 的值．答案：1．C 这里，我们不妨利用等比数列的一个常用性质求解．由题意可知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，即(S10－3)2＝3(39－S10)．解得S10＝12，或S12＝－9(舍去)．2．C {an}是公比为q 的等比数列，数列{2an }是首项为2a1，公比为1q的等比数列，代入等比数列的前n 项和公式得M N ＝12a21qn －1. 3．16 255 ∵an ＋1＝2an ，a1＝1，∴an ＋1an＝2. ∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列．∴an ＝a1·qn －1＝2n －1.∴a5＝24＝16，S8＝a1(1－q8)1－q ＝1－281－2＝255. 4.T8T4 T12T8 ∵b1b2b3b4＝T4，T8T4＝b5b6b7b8＝b1·q4·b2·q4·b3·q4·b4q4＝T4·q16，T12T8＝T4·q32，T16T12＝T4·q48，故T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列． 5.解：∵Sn ＝2，若公比为1，则S3n －Sn ＝4，不是12，∴q ≠1.由题意得Sn ＝a1(1－qn)1－q＝2.① S3n －Sn ＝a1qn(1－q2n)1－q＝12.② ②÷①得q2n ＋qn －6＝0，即qn ＝2或qn ＝－3.S ＝a3n ＋1(1－q3n)1－q ＝a1(1－qn)1－qq3n(1＋qn ＋q2n)＝2q3n(1＋qn ＋q2n)．当qn ＝2时，S ＝112；当qn ＝－3时，S ＝－378.6．解：(1)设数列{an}的公差为d ，∵a1，a2，a6成等比数列，∴a22＝a1·a6.∴(1＋d)2＝1×(1＋5d)．∴d2＝3d.∵d ≠0，∴d ＝3.∴an ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.(2)数列{bn}的首项为1，公比为q ＝a2a1＝4. ∵b1＋b2＋…＋bk ＝1－4k 1－4＝4k －13， ∴4k －13＝85.∴4k ＝256.∴k ＝4.∴正整数k 的值为4.1．(辽宁高考，理6)设等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若S6S3＝3，则S9S6等于( ) A ．2 B.73 C.83D ．3 1．答案：B 设其公比为q ，由已知可得S6S3＝1－q61－q3＝1＋q3＝3，∴q3＝2.S9S6＝1－q91－q6＝1－231－22＝73.另解：可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，则可设S6＝3，S3＝1，则(S6－S3)2＝S3×(S9－S6)，解得S9＝7，∴S9S6＝73. 2.各项均为正数的等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若Sn ＝2，S3n ＝14，则S4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．162．答案：B 若q ＝1，由Sn ＝na1＝2，知S3n ＝3na1＝6≠14，故q ≠1.则⎩⎪⎨⎪⎧ Sn ＝a1(1－qn)1－q ＝2，S3n ＝a1(1－q3n)1－q＝14.解得qn ＝2，a11－q ＝－2. 所以S4n ＝a11－q(1－q4n)＝(－2)×(1－24)＝30. 3．数列{an}中，an>0，a1＝1且3a2n ＋1＋2an ＋1an －a2n ＝0，则a1＋a3＋a5＋…＋a2n －1的值为( )A.98[1－(13)2n －1]B.98[1－(13)n]C.98[1－(19)2n －1]D.98[1－(19)n] 3．答案：D 由3a2n ＋1＋2an ＋1an －a2n ＝0，得3(an ＋1an )2＋2an ＋1an－1＝0，解得an ＋1an ＝13或an ＋1an＝－1，因为an>0，所以an ＋1an ＝q ＝13. 数列{an}为等比数列，且首项为1，公比为13，故a1＋a3＋a5＋…＋a2n －1是其中的奇数项前n 项之和，a1＋a3＋a5＋…＋a2n －1＝[1－(19)n]1－19＝98[1－(19)n]． 4．某人从2004年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a 元(一年定期)，若年利率r 保持不变，且每年到期后存款均自动转存为新一年定期，到2010年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为________．4. 答案：a r[(1＋r)7－(1＋r)] 年1月1日，2008年1月1日，…，2004年1月1日存入钱的本息分别为：a(1＋r)，a(1＋r)2，…，a(1＋r)6，相加即可．5．等比数列{an}中，若前n 项和Sn ＝2n －1，则a21＋a22＋…＋a2n ＝________.5. 答案：13(4n －1) 当n ≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，当n ＝1时，a1＝S1＝21－1＝1适合上式，∴{an}的通项公式an ＝2n －1.∴a2n ＝4n －1，即数列{a2n }构成以1为首项，4为公比的等比数列．∴前n 项和Tn ＝a21＋a22＋…＋a2n ＝1·(4n －1)4－1＝13(4n －1)．6．等比数列{an}的前3项的和等于首项的3倍，则该数列的公比为________．6．答案：1或－2 ∵a1＋a2＋a3＝3a1，即a1q2＋a1q －2a1＝0且a1≠0，∴q2＋q －2＝0.∴q ＝1或q ＝－2.7．(辽宁高考，文17)等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q ；(2)若a1－a3＝3，求Sn.7．答案：解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q ＋a1q2)，∵a1≠0，∴2q2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12. (2)由已知可得a1－a1(－12)2＝3，故a1＝4， ∴Sn ＝4·[1－(－12)n]1－(－12)＝83[1－(－12)n]．8．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．(1)当它第10次着地时，经过的路程共是多少？(2)当它第几次着地时，经过的路程共是293.75 m?8．答案：解：(1)球第1次着地时经过了100 m ，从这时到球第2次着地时共经过了2×1002m ，从这时到球第3次着地时共过了2×10022m ……到球第10次着地时总共经过的距离为100＋2×1002＋2×10022＋…＋2×10029＝100＋100(1＋12＋…＋128)＝100＋100(1－129)1－12≈300(m)． (2)设第n ＋1次着地时，经过的路程是293.75 m ；由题意得100＋100(1－12n )1－12＝293.75.利用计算器计算得n ＝5.则第6次着地时经过的路程是293.75 m.9．(山东高考，文20)等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知对任意的n∈N＋，点(n ，Sn)均在函数y ＝bx ＋r(b>0且b≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记bn ＝n ＋14an(n∈N＋)，求数列{bn}的前n 项和Tn. 9．答案：解：(1)由题意，Sn ＝bn ＋r ，当n ≥2时，Sn －1＝bn －1＋r ，所以an ＝Sn －Sn －1＝bn －1(b －1)．由于b>0且b ≠1，所以n ≥2时，{an}是以b 为公比的等比数列．又a1＝b ＋r ，a2＝b(b －1)，a2a1＝b ，即b(b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)由(1)知，n ∈N ＋，an ＝(b －1)bn －1＝2n －1，所以bn ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1. Tn ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1， 12Tn ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减得12Tn ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×(1－12n －1)1－12－n ＋12n ＋2 ＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2，故Tn ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.。

2018版高中数学人教B版必修五学案：第二章 2-3-2 等比

2.3.2 等比数列的前n 项和(一)[学习目标] 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．[知识链接]1．求等差数列前n 项和用的是倒序相加法，对于等比数列{a n }，当q ≠1，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1－a 1q n －1)＝a 1＋q (S n －a 1q n －1)，至此，你能用a 1和q表示出S n 吗？答由S n ＝a 1＋q (S n －a 1qn －1)，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n.所以S n ＝a 1(1－q n )1－q.2．在等比数列{a n }中，若q ≠1，则有a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a na n －1＝q .由等比性质，得a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，至此你能用a 1和q 表示出S n 吗？答由a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，得 S n －a 1S n －a n ＝q ，于是S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q .[预习导引]1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1 (q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1.3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和.要点一前n 项和公式基本量的运算例1 在等比数列{a n }中， (1)若q ＝2，S 4＝1，求S 8；(2)若a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求a 4和S 5.解 (1)方法一设首项为a 1，∵q ＝2，S 4＝1， ∴a 1(1－24)1－2＝1，即a 1＝115，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝115(1－28)1－2＝17.方法二 ∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝1，且q ＝2，∴S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q (1＋q 4)＝S 4·(1＋q 4)＝1×(1＋24)＝17.(2)设公比为q ，由通项公式及已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q 2)＝10，a 1q 3(1＋q 2)＝54.①②∵a 1≠0,1＋q 2≠0，∴②÷①得，q 3＝18，即q ＝12，∴a 1＝8.∴a 4＝a 1q 3＝8×(12)3＝1，S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝8×[1－(12)5]1－12＝312.规律方法 (1)在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．(2)在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．跟踪演练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.所以S n ＝a 1(q n －1)q －1＝2×(2n －1)2－1＝2n ＋1－2.要点二错位相减法求和例2 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．解分x ＝1和x ≠1两种情况．当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).规律方法一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪演练2 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1的前n 项和．解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1.① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n .②①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n＋2·a (1－a n －1)1－a ＝1－(2n －1)a n ＋2(a －a n)1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)，n 2(a ＝1)，1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).要点三等比数列前n 项和的综合应用例3 借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.016≈1.061,1.015≈1.051)?解方法一设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ， a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a .由题意，可知a 6＝0，即1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a ＝0， a ＝1.016×1021.016－1.因为1.016≈1.061，所以a ≈1.061×1021.061－1≈1 739(元)．故每月应支付1 739元．方法二一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为 S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a ＝a [(1＋0.01)6－1]1.01－1＝a [1.016－1]×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1≈1 739(元)．故每月应支付1 739元．规律方法解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n ，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．跟踪演练3 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n)1－q＝25×[1－(45)n ]1－45＝125×[1－(45)n ]<125.故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.例4 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.规律方法利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解．跟踪演练4 已知S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，且公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项． (1)求S 2和S 3；(2)求此数列{a n }的前n 项和； (3)求数列{S n }的前n 项和．解 (1)根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧12S 2＋13S 3＝2，(2S 2)·(3S 3)＝36.整理得⎩⎪⎨⎪⎧3S 2＋2S 3＝12，(3S 2)·(2S 3)＝36.解得3S 2＝2S 3＝6，即S 2＝2，S 3＝3.(2)∵q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝3.可解得q ＝－12，a 1＝4. ∴S n ＝4[1－(－12)n ]1＋12＝83－83(－12)n .(3)由(2)得S 1＋S 2＋…＋S n ＝83n －83(－12)[1－(－12)n ]1－(－12)＝83n ＋89[1－(－12)n ]．1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1，n ，x ＝1. D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ，x ＝1.答案 C解析当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n 1－x.2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4 C.152 D.172答案 C解析 S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4(1－q )q ＝152.3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( )A ．179B ．211C ．243D ．275 答案 B解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，∴q ＝23，∴S 5＝a 1－a 5q 1－q＝81－16×231－23＝211.4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．答案 11a (1.15－1)解析注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a . ∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．。

高中数学(人教版必修五)教师文档第二章 §2.5 等比数列的前n项和 (一) Word版含答案

学习目标.掌握等比数列的前项和公式及公式证明思路.会用等比数列的前项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一等比数列的前项和公式的推导思考对于＝＋＋＋＋…＋＋，用乘以等式的两边可得＝＋＋＋…＋＋＋，对这两个式子作怎样的运算能解出?答案比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出，即＝＝－.梳理设等比数列{}的首项是，公比是，前项和可用下面的“错位相减法”求得．＝＋＋＋…＋－. ①则＝＋＋…＋－＋. ②由①－②得(－)＝－.当≠时，＝.当＝时，由于＝＝…＝，所以＝.结合通项公式可得：等比数列前项和公式：＝(\\(((－)－)＝(－－)(≠)，(＝).))知识点二等比数列的前项和公式的应用思考要求等比数列前项的和：()若已知其前三项，用哪个公式比较合适？()若已知，，的值．用哪个公式比较合适？答案()用＝.()用＝.梳理一般地，使用等比数列求和公式时需注意：() 一定不要忽略＝的情况；() 知道首项、公比和项数，可以用；知道首尾两项，和，可以用；() 在通项公式和前项和公式中共出现了五个量：，，，，.知道其中任意三个，可求其余两个．类型一等比数列前项和公式的应用命题角度前项和公式的直接应用例求下列等比数列前项的和：()，，，…；()＝，＝，<.解()因为＝，＝，所以＝＝.()由＝，＝，可得＝·.又由<，可得＝－.所以＝＝.反思与感悟求等比数列前项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意＝是否成立．跟踪训练若等比数列{}满足＋＝，＋＝，则公比＝；前项和＝.答案＋－解析设等比数列的公比为，∵＋＝，＋＝，∴＝，且＋＝，解得＝，且＝.因此＝＝＋－.命题角度通项公式、前项和公式的综合应用例在等比数列{}中，＝，＝，求和.解由题意，得若＝，则＝＝，符合题意．此时，＝，＝＝.若≠，则由等比数列的前项和公式，得＝＝＝，解得＝－.此时，＝＝×(－)＝.综上所述，＝，＝或＝－，＝.反思与感悟()应用等比数列的前项和公式时，首先要对公比＝或≠进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．()当＝时，等比数列是常数列，所以＝；当≠时，等比数列的前项和有两个公式．当已知，与时，用＝比较方便；当已知，与时，用＝比较方便．跟踪训练在等比数列{}中，＝，＝，求.。

人教版数学高二人教B版必修5课后练习(十一) 等比数列的前n项和作业

课时跟踪检测（十一）等比数列的前n 项和层级一学业水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0D ．－1解析：选A 因为S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，所以a n 为定值，即数列{a n }为常数列，所以q ＝a na n －1＝1.2．已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N ＋)，则实数k 为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选C 由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N ＋)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k ) ＝2×3n －1.因为数列{a n }是公比为3的等比数列，所以a 1＝2×31－1＝3＋k ，解得k ＝－1. 3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．37解析：选B 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5，∴S 10－11＝25，∴S 10＝33.4．在等比数列{a n }中，a 3＝32，其前三项的和S 3＝92，则数列{a n }的公比q ＝( )A ．－12B.12 C ．－12或1D.12或1 解析：选C 由题意，可得a 1q 2＝32，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝92，两式相除，得1＋q ＋q 2q 2＝3，解得q ＝－12或1.5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．24解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q n S n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇，由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇，即S 偶＝2S 奇，因为数列{a n }的项数为偶数，所以q ＝S 偶S 奇＝2.答案：27．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．解析：由a 2＋a 4＋…＋a 100a 1＋a 3＋…＋a 99＝q ，q ＝2，得a 2＋a 4＋…＋a 100150＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.答案：4508．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：∵S 4＝a 1(1－q 4)1－q ，a 4＝a 1q 3，∴S 4a 4＝1－q 4q 3(1－q )＝15. 答案：159．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1. 10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.层级二应试能力达标1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11解析：选D 设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0. 所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝1＋321－4＝33－3＝－11.故选D.2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：选C 由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.3．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2 B.13(4n －1) C.13(2n －1) D ．4n －1解析：选B 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，得a 1＝1，a 2＝2，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×(1－4n )1－4＝13(4n －1)． 4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：选C 设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.5．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. 解析：依题意得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15. 答案：156．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N ＋)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.解析：依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N ＋)，则b n ＝3a n ＋12＝32n ，由b n ＋1b n ＝32(n ＋1)32n ＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝9(1－9n )1－9＝9n ＋1－98.答案：9n ＋1－987．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{2a n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设，知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列，得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，解得d ＝1，或d ＝0(舍去)．故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)，知2a n ＝2n，由等比数列前n 项和公式，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.8．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加14.(1)求n 年内旅游业的总收入；(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元．解：(1)设第n 年的旅游业收入估计为a n 万元，则a 1＝400，a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋14a n ＝54a n ， ∴a n ＋1a n＝54，∴数列{a n }是公比为54的等比数列，∴S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1，即n 年内旅游业总收入为1 600⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1万元． (2)由(1)知S n ＝1 600⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1，令S n >8 000，即1 600⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1>8 000， ∴⎝⎛⎭⎫54n >6，∴lg ⎝⎛⎭⎫54n >lg 6， ∴n >lg 6lg 54≈8.029 6.∴大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元．。