两侧方向毛刺形成的数学模型
初中数学竞赛解题模型
初中数学竞赛解题模型初中数学竞赛的解题模型有许多，以下是部分内容：
1. 将军饮马模型（对称点模型）
2. 利用三角形两边差求最值
3. 手拉手全等取最值
4. 手拉手相似取最值
5. 平移构造平行四边形求最小
6. 两点对称勺子型连接两端求最小
7. 两点对称折线连两端求最小
8. 时钟模型，中点两定边求最小值
9. 时钟模型，相似两定边求最小值
10. 转化构造两定边求最值
11. 面积转化法求最值
12. 相似转化法求最值
13. 相似系数化一法求最值
14. 三角函数化一求最值
15. 轨迹最值
16. 三动点的垂直三角形
17. 旋转最值
18. 隐圆最值-定角动弦
19. 隐圆最值-动角定弦
这些模型能够帮助解题者在面对复杂数学问题时找到解决方法。
使用这些方法需要具备一定的数学基础和思维能力，因此建议在掌握这些方法后多做一些练习题，以加深理解和提高应用能力。
金属切削加工过程的有限元建模与仿真
江苏大学硕士学位论文金属切削加工过程的有限元建模与仿真姓名：吴勃申请学位级别：硕士专业：计算机科学与应用指导教师：蔡兰20060301４．２切屑形成过程的仿真模型的构造大部分国内的切屑形成过程的有限元仿真都采用的是２．Ｄ模型‘蚓脚’，２．Ｄ有限元模型仅仅适合于萨交切削的仿真，在研究车削、刨削等切削加工时，必须对切削情况进行限定和简化，不仅视觉效果差，更重要的是仿真的范围受到极大的限制，因此，有必要发展３．Ｄ有限元模型来仿真切屑形成过程。
本部分主要采用３．Ｄ有限元模型仿真在正交切削和制刃切削条件下的切屑形成过程，为进一步对各种切削加工方法进行有效的有限元仿真奠定基础。
４．２．１几何模型的建立与网格划分本章主要研究刀具切入工件丌始到稳态切削这段过程的仿真。
采用三维有限元模型进行模拟，所建立的几何模型如图４．６所示。
网格划分可采用三维六面体网格，也可以采用三维四面体网格。
幽４６网格划分图４．２．２材料属性的定义金属材料非线性的本构关系主要分为以下四种类型，即弹塑性、刚塑性、弹粘塑性、刚粘塑性。
有限元模拟的准确性很大程度上取决于本构关系能否真实反映材料的真实特性。
在金属切削有限元仿真中，采用弹塑性材料模型时，既有塑性变形又有弹性变形，较为符合会属切削过程的真实情况。
本课题中，为了保证仿真结果的更接近于实际情况，工件材料选用弹塑性模型，而刀具属性定义为刚性。
为了与实验结果进行比较，工件材利根掘需要选择相应材料。
与实验加工的材料相对应，输入丁Ｆ交材料属性（杨氏模量、泊松比、材料密度等），以及ＪｏｈｎｓｏｎａｎｄＣｏｏｋ的经验模型公式中的参数Ａ、Ｂ、ｎ、Ｃ和ｍ。
江苏人学硕十学何论文４．２．３施加约束与载荷假定工件在切削过程中为无限长。
而在仿真模型中的工件不可能很长，否则计算效率会很低，必须用长、高都不大的工件代替，用必要的约束来模拟真实工件的边界条件。
当研究切屑形成过程中的现象时。
女ｎＸ，ｊ应力、应变、应变率和温度进行研究，以及对切屑卷曲现象进行研究时。
FORMING PRINCIPLE OF TWO SIDE-DIRECTION BURR AND IT’S PREDICTION IN METAL CUTTING
二侧方向毛刺的形成原理及其在金属切削预测王贵成江苏科技大学机械工程学院摘要毛刺是金属切削操作发生的常见现象之一。
两侧方向毛刺的形成和转化数学力学模型，由平面应力应变理论被建立，以正交切削为基础。
毛刺的形成和变化主要的规律已被揭示，并通过实验结果证实。
它首先实现了金属切削操作中的两侧方向毛刺形成和改变的预测。
关键词：金属切削两侧方向毛刺数学力学模型预测精密和超精密加工0引言产生的毛刺，往往就在旁边，在结束了加工的工件角，边缘上。
它导致的结果不仅减少了精度，而且增加了切削工件的成本，从而成为一个制约主要因素精密和超精密加工，柔性制造系统和自动加工技术[1]的发展。
近年来，发达国家的许多在机械制造领域的研究者和工程师已开始研究切削毛刺的形成原理和去毛刺技术，已获得了一些新的满意的结果[2一4]。
但到目前为止，毛刺的形成机制和预测的已经获得小部分的关注，对数学机械模型的研究是毛刺的形成和改造一个重点工作，是为了机械加工中一定规模上积极控制在和减少毛刺的。
本文根据金属切削实验对两侧方向毛刺的形成原理和预测进行了系统的研究。
2双向毛刺形成的切割模型事实上，金属切削过程也是切屑的形成过程。
这些材料被切削时由于机械加工中刀具刃口和刀具面将产生相当大的塑性变形，大部分的材料转化成了切屑，一小部分留在加工表面上形成了毛刺，位于工件边和其他角落上。
图. l 双向毛刺形成的切削模型根据切削运动和刀具的切削刃毛刺分级制度，毛刺可分为侧方向毛刺，进给方向毛刺和切削方向毛刺。
如果切割的材料性质是均匀的，切割两侧方向毛刺形成模型可从金属正交切削加工制成如图.1。
ACDBFE—剪碎区域00＇—切屑形成的边界超出00＇的材料转化成切屑，仍处于00＇下的材料是被留在加工表面等部位。
在机械加工中，考虑到塑性剪切形变区ACDBFE是在塑性流动的条件下形成，CD被称作是的第一剪切形变线，EF是称为最终剪切形变线和AB称为剪切线。
由于工件的两侧是空闲的，没有任何约束和限制，部分材料在未切割切屑中（特别是在00＂下的材料）沿两侧刀具切削边缘流动隆起，一部分的凸起被留在边缘上形成两个侧方向毛刺，在切屑形成与加工的表面分离。
中考数学专题1共顶点模型-【压轴必刷】2023中考数学压轴大题之经典模型培优案(原卷版)--漫兮教育
专题1共顶点模型【例1】把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是，AE与BC的位置关系是．（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．【例2】已知Rt ABC△中，AB AC=，90BAC∠=︒，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt ADE△，AD AE=，连接CE．（1）发现问题：如图①，当点D在边BC上时，①请写出BD和CE之间的数量关系________，位置关系________；②线段CE、CD、BC之间的关系是_________；（2）尝试探究：如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中CE、CD、BC之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展延伸：如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若6BC=，1CE=，则线段AD的长为________．【例3】有如下一道作业题：（1）请你完成这道题的证明：（2）如图2，在正方形ABCD中，点N是边CD上一点，CM＝CN，连接DM，连接FC．①求证：∠BFC＝45°．②把FC绕点F逆时针旋转90°得到FP，连接CP（如图3）．求证：BF＝CP+DF．【例4】已知等边ABC，D为边BC中点，M为边AC上一点（不与A，C重合），连接DM．（1）如图1，点E是边AC的中点，当M在线段AE上（不与A，E重合）时，将DM绕点D逆时针旋转120 得到线段DF，连接BF．①依题意补全图1；②此时EM 与BF 的数量关系为： ，DBF ∠= °．（2）如图2，若2DM MC =，在边AB 上有一点N ，使得120NDM ∠=︒．直接用等式表示线段BN ，ND ，CD 之间的数量关系，并证明．【例5】如图1，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AB ＝2BC ，点M ，F 分别为边AB ，AC 的中点，点D 在边AC 上，且CD ＝2AD ，点N 为CD 的中点，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，点G 为DE 的中点．将△DCE 绕点C 顺时针旋转，旋转角为α，连接MG ，FN ．（1）问题发现当α＝0°时，FN GM = √32；直线MG 与直线FN 相交所成的较小夹角的度数为 30° ． （2）类比探究当0°＜α＜360°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用若AB ＝4，直线MG 和直线FN 交于点O ，在旋转的过程中，当点O 与点N 重合时，请直接写出线段FN 的长．1．ACB △和CDE △都是等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，将CDE △绕点D 旋转．（1）如图1，当点B 落在直线DE 上时，若26AC =，CE =BE 的长；（2）如图2，直线BD 、AE 交于点F ，再连接CF EF DF =+；（3）如图3，8AC =，4CD =，G 为ED 中点，连接AG ，BG ，以AG 直角边构造等腰Rt AHG ，过H 作HI AB ⊥交AB 于点I ，连接GI ，当HI 最小时，直接写出GI 的长度．2．在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上：①如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝°；②如果∠BAC＝100°，则∠BCE＝°；（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．3．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，DE，M是BF的中点（观察猜想）（1）线段DE与AM之间的数量关系是，位置关系是；（探究证明）（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．(3) 若正方形ABCD的边长为4，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，直接写出DG+DH 的最小值4．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合）．连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是，位置关系是；（2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD、CD、DE之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝3，CD＝1，则线段AD 的长为5．已知：等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图1，延长DE 交BC 于点F ，若68BAE ∠=︒，则DFC ∠的度数为 ；（2）如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若90AEC ∠=︒，求证：点M 为BD 中点； （3）如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，9AG =，5HG =，直接写出AEC △的面积．6．如图，点A ，M ，B 在同一直线上，以AB 为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC 和等边三角形ABD ，连接CM ，DM ，过点M 作MN ＝DM ，交BC 边于点G ，交DB 的延长线于点N ．（1）求证：∠BCM ＝∠BDM ；（2）求∠CMN 的度数；（3）求证：AM ＝BN ．7．问题发现（1）如图①，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外分别作等边△ABD 和等边△ACE ，连接CD ，BE ．试探究CD 与BE 的数量关系，并说明理由．问题探究（2）如图②，四边形ABCD 中，∠ABC ＝45°，∠CAD ＝90°，AC ＝AD ，AB ＝2BC ＝60．求BD 的长． 问题解决（3）如图③，△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠ACB 是一个变化的角，以AB 为边向△ABC 外作等边△ABD ，连接CD ，试探究，随着∠ACB 的变化，CD 的长是否存在最大值，若存在求出CD 长的最大值及此时∠ACB 的大小；若不存在，请说明理由．8．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究：（1）如图1，两个等腰三角形ABC 和ADE 中，AB AC =，AE AD =，BAC DAE ∠=∠，连接BD 、CE ，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和ADB △全等的三角形是______，此线BD 和CE 的数量关系是______．（2）如图2，两个等腰直角三角形ABC 和ADE 中，AB AC =，AE AD =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接BD 、CE ，两线交于点P ，请判断线段BD 和CE 的关系，并说明理由．9．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：模型是由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．这个数学兴趣小组进行了如下操作：（1）如图1．在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =40°（AB ＞AD ），连接BD ，CE ，当点E 落在AB 边上，且D ，E ，C 三点共线时，则在这个“手拉手模型”中，和△ABD 全等的三角形是 ，∠BDC 的度数为 ．（2）如图2．在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =90°，连接BD ，CE ，当点B ，D ，E 在同一条直线上时，请判断线段BD 和CE 的关系，并说明理由．（3）如图3，已知△ABC ，请画出图形：以AB ，AC 为边分别向△ABC 外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE （等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE ，CD ，交于点P ，请直接写出线段BE 和CD 的数量关系及∠BPD 的度数．10．如图1，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°．点D 是AC 中点，连接BD ，过点A 作AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ．（1）求证：∠EAD ＝∠CBD ；（2）求证：BF ＝2AE ；（3）如图2，将△BCF 沿BC 翻折得到△BCG ，连接AG ，请猜想并证明线段AG 和AB 的数量关系．11．如图，在四边形ABCD 中，90,12cm,10cm A ABC AB BC AD ∠=∠=︒===．点P 从点A 出发，以3cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速运动设运动时间为(s)t ．（1）如图①，连接BD CP 、，当BD CP ⊥时，求t 的值；（2）如图②，当点P 开始运动时，点Q 同时从点C 出发，以cm/s a 的速度沿CB 向点B 匀速运动，当P Q 、两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当ADP △与BQP 全等时，求a 和t 的值； （3）如图③，当（2）中的点Q 开始运动时，点M 同时从点D 出发，以1.5cm/s 的速度沿DA 向点A 运动，连接CM ，交DQ 于点E ．连接AE 当920MD AD =时，ADE CDE S S =，请求出此时a 的值．12．（1）如图1，已知△CAB 和△CDE 均为等边三角形，D 在AC 上，E 在CB 上，易得线段AD 和BE 的数量关系是 ．（2）将图1中的△CDE 绕点C 旋转到图2的位置，直线AD 和直线BE 交于点F ．①判断线段AD 和BE 的数量关系，并证明你的结论；②图2中∠AFB 的度数是 ．（3）如图3，若△CAB 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ABC ＝∠DEC ＝90°，AB ＝BC ，DE ＝EC ，直线AD 和直线BE 交于点F ，分别写出∠AFB 的度数，线段AD 、BE 间的数量关系．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点（不与点B 、点C 重合），连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 逆时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ ．（1）如图1，当点P 在线段BC 上时，请直接写出线段BQ 与CP 的数量关系．（2）如图2，当点P 在CB 延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P 在BC 延长线上时，若∠BPO ＝45°，AC =√6，请直接写出BQ 的长．14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，求DE与BC的数量关系是DE=√32BC．（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∠PDF＝60°，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请猜测DE，BF，BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．15．（1）观察理解：如图①，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．（2）理解应用：如图②，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝50；（3）类比探究：如图③，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，连接B′C，则S△AB′C＝8．（4）拓展提升：如图④，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E 沿射线EC以1cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．若点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．（画出示意图）16．已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）如图1，当点D在AC上，点E在BC延长线时，连接AE、BD，找出AE与DB的关系，并说明理由；（2）材料：材料：图2，当点D不在AC上，点E不在BC延长线上时，连接AD、BE，点M为AD中点，连接MC，并延长MC交BE与N，我们可以证明MN⊥BE：辅助线和证明方法为：过点D作DG∥AC交CM的延长线于G，易证△AMC≌△DMG（AAS），再证明△GDC≌△BCE（SAS），从而得到∠CNE ＝90°，MN⊥BE；问题：把等腰Rt△DCE绕点C转至如图3位置，点M是线段AD的中点，问MN与BE的位置关系是否发生改变？如果没有，请在图3画出辅助线，并说明理由．17．某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC ＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①CF与BC的位置关系为CF⊥BC；②CF，DC，BC之间的数量关系为BC＝DC+CF（直接写出结论）；（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，将△DAF沿线段DF翻折，使点A与点E重合，连接CE，若已知4CD＝BC，AC＝2√2，请求出线段CE的长．18．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC，CD，CF之间的数量关系为：BC＝CF+CD．（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明，（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若AB＝2√2，CD＝1，请求出GE的长．19．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD的上边作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC、CD、CF之间的数量关系为：CF＝BC﹣CD．（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，以上①②关系是否成立，请在后面的横线上写出正确的结论．①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF；②BC、CD、CF之间的数量关系为：CF ＝CD﹣BC．（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GD，若已知AB＝2√2，CD=14BC，请求出DG的长（写出求解过程）．20．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时可以证明△ABD≌△ACF，则，①BC与CF的位置关系为：BC⊥CF．②BC，DC，CF之间的数量关系为：BC＝DC+CF；（2）类比探究如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，（1）中①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．①BC、DC、CF三条线段之间的数量关系为：BC＝DC﹣CF．②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE、DF相交于点O，连结OC，则OC的长度为√2．21．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4√2．一动点P从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C即停止，在整个运动过程中，过点P作PD⊥BC与Rt△ABC的直角边相交于点D，延长PD至点Q，使得PD＝QD，以PQ为斜边在PQ左侧作等腰直角三角形PQE．设运动时间为t秒（t＞0）（1）在整个运动过程中，判断PE与AB的位置关系是（2）如图2，当点D在线段AB上时，连接AQ、AP，是否存在这样的b，使得AP＝PQ？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t＝4时，点D经过点A：当t=163时，点E在边AB上．设△ABC与△PQE重叠部分的面积为S，请求出在整个运动过程中S与t之间的函数关系式，以及写出相应的自变量t的取值范围，并求出当4＜t≤163时S的最大值．22．【问题情境】如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B小明认为线段P A是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在⊙O上任意取一个不同于点A的点C，连接OC、CP，则有OP＜OC+PC，即OP﹣OC＜PC，由OA＝OC得OP﹣OA＜PC，即P A＜PC，从而得出线段P A是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段小红认为在图1中，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由【直接运用】̂上的一如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是CD个动点，连接AP，则AP的最小值是√5−1【构造运用】如图4，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值解：由折叠知A′M＝AM，又M是AD的中点，可得MA＝MA′＝MD，做点A′在以AD为直径的圆上，如图5，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H（请继续完成本题的后续解题过程）【深度运用】如图6，△ABC、△EFG均是边长为4的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M，当△EFG绕点D旋转时，则线段BM长的最小值和最大值分别是2√3−2和2√3+2．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm．D、E分别为边AB、BC的中点，连接DE．点P从点A出发，沿折线AD﹣DE﹣EB运动，到点B停止．点P在线段AD上以√5cm/s的速度运动，在折线DE﹣EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上．设点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为（t﹣2）cm（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．（4）连接CD，当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M﹣N ﹣M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H 始终在线段MN的中点处，直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．24．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝120°．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．25．综合与实践：如图1，已知△ABC，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点．（1）观察猜想在图1中，线段PM与QM的数量关系是PM＝MQ；（2）探究证明当∠BAC＝60°，把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，并说明理由；（3）拓展延伸当∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，再连接BE，再取BE的中点N，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，①请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由；②请直接写出四边形PMQN面积的最大值．26．【问题提出】如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于E，连接CD，F，G，H分别是线段CD，DE，BC的中点，则线段FG，FH的数量关系是FG＝FH（直接写出结论）．【类比探究】将图1中的△ADE绕点A旋转到如图2位置，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点E在BC上，且BE=√61，过点E作ED⊥AB，垂足为D，将△BDE绕点B顺时针旋转，连接AE，取AE的中点F，连接DF．当AE 与AC垂直时，线段DF的长度为√34或√106（直接写出结果）．。
车削加工中毛刺的产生及控制
车削加工中毛刺的生成因素的控制金属切削中产生的切削毛刺严重的影响了被加工工件的尺寸精度和形位精度，并在一定程度上成为后续加工工序作业的障碍（例如在滑动管一序切断过程中产生的端面毛刺若处理不当会影响到滑动管与滑动板焊接工序时的定位），甚至还影响到零件的使用性能和寿命。
因此，弄清切削加工毛刺的生成过程、生成机理及影响因素，对开发切削加工中毛刺的抑制与去除方法，保证和提高切削加工质量具有重要的理论意义和实用价值。
按照以切削运动和道具切削刃为基础的切削毛刺分类方法，车削加工中产生的切削毛刺可分为进给方向毛刺（沿进给运动方向产生的切入毛刺和切出毛刺,例如在座管外圆车削中由于刀具的磨损、程序说设定的切削用量、刀具的磨损、切削液和对切屑的控制表面过于粗糙，）和两侧毛刺（沿刀具的主、副切削刃两侧流动所产生的切削毛刺，例如在导向套镗孔后需配备倒角刀倒角已去除边缘毛刺）两类。
一般情况下，沿进给运动方向产生切入进给方向毛刺的尺寸很小。
沿刀具主切削刃产生的两侧毛刺只能部分地增大切出进给方向毛刺的高度尺寸，对工件已加工表面质量多无多大影响。
但沿刀具副切削刃产生的两侧毛刺一流在工件的已加工表面上，增大其表面粗糙度值，破坏工件的尺寸精度，对切削加工质量产生直接的影响。
当加工精度要求不太高时其影响可以忽略。
而沿进给运动方向产生的切出进给方向毛刺尺寸最大，去除困难，去除作业量大，它往往成为增大加工成本、降低切削效率的主要原因之一。
金属切削加工中影响切削毛刺的主要因素有被加工工件材料的物理机械性能、刀具的几何参数、切削用量及工件终端部的形态等。
车削加工中进给方向毛刺形成过程：由于各种因素的影响，车削加工中可形成一次毛刺和二次毛刺，一次毛刺的形成大体上经过正常切削、端部变形、继续切削和毛刺形成四个阶段：1、正常切削从刀具切入工件被切削层后，切削沿着前刀面流出，切削加工顺利进行，在正常切削阶段中，沿这刀具的主、副切削刃产生两侧毛刺，并且沿刀具副切削刃产生的两次毛刺部分的遗留在工件的已加工表面上，影响其质量。
激光切割问题及原理三篇
激光切割问题及问题原理三篇篇一：激光切割常见问题篇二：激光切割原理激光切割原理该技术采用激光束照射到钢板表面时释放的能量来使不锈钢熔化并蒸发。
激光源一般用二氧化碳激光束，工作功率为500～2500瓦。
该功率的水平比许多家用电暖气所需要的功率还低，但是，通过透镜和反射镜，激光束聚集在很小的区域。
能量的高度集中能够进行迅速局部加热，使不锈钢蒸发。
此外，由于能量非常集中，所以，仅有少量热传到钢材的其它部分，所造成的变形很小或没有变形。
利用激光可以非常准确地切割复杂形状的坯料，所切割的坯料不必再作进一步的处理。
利用激光切割设备可切割4mm以下的不锈钢，在激光束中加氧气可切割8～10mm厚的不锈钢，但加氧切割后会在切割面形成薄薄的氧化膜。
切割的最大厚度可增加到16mm，但切割部件的尺寸误差较大。
激光切割设备的价格相当贵，约150美元以上。
但是，由于降低了后续工艺处理的成本，所以，在大生产中采用这种设备还是可行的。
由于没有刀具加工成本，所以激光切割设备也适用生产小批量的原先不能加工的各种尺寸的部件。
目前，激光切割设备通常采用计算机化数字控制技术（CNC）装置，采用该装置后，就可以利用电话线从计算机辅助设计（CAD）工作站来接受切割数据。
CO2激光切割技术比其他方法的明显优点是：（1）切割质量好。
切口宽度窄（一般为0.1--0.5mm）、精度高（一般孔中心距误差0.1--0.4mm,轮廓尺寸误差0.1--0.5mm）、切口表面粗糙度好（一般Ra为12.5--25μm）,切缝一般不需要再加工即可焊接。
（2）切割速度快。
例如采用2KW激光功率,8mm厚的碳钢切割速度为1.6m/min；2mm厚的不锈钢切割速度为3.5m/min,热影响区小,变形极小。
（3）清洁、安全、无污染。
大大改善了操作人员的工作环境。
当然就精度和切口表面粗糙度而言,CO2激光切割不可能超过电加工；就切割厚度而言难以达到火焰和等离子切割的水平。
车削加工中毛刺的产生及控制
车削加工中毛刺的生成因素的控制金属切削中产生的切削毛刺严重的影响了被加工工件的尺寸精度和形位精度，并在一定程度上成为后续加工工序作业的障碍（例如在滑动管一序切断过程中产生的端面毛刺若处理不当会影响到滑动管与滑动板焊接工序时的定位），甚至还影响到零件的使用性能和寿命。
因此，弄清切削加工毛刺的生成过程、生成机理及影响因素，对开发切削加工中毛刺的抑制与去除方法，保证和提高切削加工质量具有重要的理论意义和实用价值。
按照以切削运动和道具切削刃为基础的切削毛刺分类方法，车削加工中产生的切削毛刺可分为进给方向毛刺（沿进给运动方向产生的切入毛刺和切出毛刺,例如在座管外圆车削中由于刀具的磨损、程序说设定的切削用量、刀具的磨损、切削液和对切屑的控制表面过于粗糙，）和两侧毛刺（沿刀具的主、副切削刃两侧流动所产生的切削毛刺，例如在导向套镗孔后需配备倒角刀倒角已去除边缘毛刺）两类。
一般情况下，沿进给运动方向产生切入进给方向毛刺的尺寸很小。
沿刀具主切削刃产生的两侧毛刺只能部分地增大切出进给方向毛刺的高度尺寸，对工件已加工表面质量多无多大影响。
但沿刀具副切削刃产生的两侧毛刺一流在工件的已加工表面上，增大其表面粗糙度值，破坏工件的尺寸精度，对切削加工质量产生直接的影响。
当加工精度要求不太高时其影响可以忽略。
而沿进给运动方向产生的切出进给方向毛刺尺寸最大，去除困难，去除作业量大，它往往成为增大加工成本、降低切削效率的主要原因之一。
金属切削加工中影响切削毛刺的主要因素有被加工工件材料的物理机械性能、刀具的几何参数、切削用量及工件终端部的形态等。
车削加工中进给方向毛刺形成过程：由于各种因素的影响，车削加工中可形成一次毛刺和二次毛刺，一次毛刺的形成大体上经过正常切削、端部变形、继续切削和毛刺形成四个阶段：1、正常切削从刀具切入工件被切削层后，切削沿着前刀面流出，切削加工顺利进行，在正常切削阶段中，沿这刀具的主、副切削刃产生两侧毛刺，并且沿刀具副切削刃产生的两次毛刺部分的遗留在工件的已加工表面上，影响其质量。
失效分析
摘要:简要介绍了失效分析技术——痕迹分析技术、裂纹分析技术和断口分析技术等的基本概念、主要内容、一般程序和基本方法,以及它们在工程失效分析中的应用。
关键词:失效分析技术;痕迹分析技术;裂纹分析技术;断口分析技术失效分析是一门系统工程,其中的分析技术是其理论和实践基础。
失效分析技术主要包括痕迹分析技术、裂纹分析技术和断口分析技术等相关内容。
1 痕迹分析技术[1,2]痕迹分析是失效分析中常用的一种分析方法和技术。
通过痕迹分析,不仅可对事故和失效的发生、发展过程做出判断,而且可为事故和失效分析结论提供可靠的佐证和依据。
1.1 痕迹及痕迹分析概念广义地说,痕迹是指环境作用于系统,在系统表面留下的标记。
在机械失效中,系统指的是失效的构件或零件,而环境则是指外来的力学、化学、热学、电学等因素。
因此,对机械失效,痕迹可定义为力学、化学、热学、电学等环境因素单独地或协同地作用于机械,并在其表面或表面层留下的损伤性标记。
在失效分析范畴,痕迹的具体含义是指:痕迹的形貌(或称花样);痕迹区、污染物及反应产物的化学成分;痕迹颜色的种类、色度、分布和反光等;痕迹区材料的组织和结构;痕迹区的表面性能;痕迹区的残余应力分布;从痕迹区散发出来的各种气味;痕迹区的电荷分布和磁性等。
痕迹分析即是对失效件的上述特征的变化进行鉴别,并找出其变化原因,为失效分析提供线索和依据的技术活动。
1.2 痕迹分析程序在一般情况下,痕迹分析应按如下程序进行。
(1)发现和显现痕迹这是痕迹分析的前提和基础。
应以现场为起点,先收集能反应整体破坏顺序的痕迹,后收集具体零部件外部的痕迹,再收集零部件之间的痕迹,最后搜集污染物和分离物。
(2)提取、固定、显现、清洗、记录和保存痕迹方法有复印、制模法、静电法和AC纸粘附法等。
痕迹的记录可以用文字、示意图和照片。
(3)鉴定痕迹对具体的痕迹特征进行针对性检验,从而确定痕迹的性质、产生的时间和条件。
鉴定时,应按由表及里、由简而繁、先宏观后微观、先定性后定量,按形貌2组织结构2性能的顺序进行。
锯齿模型例题
锯齿模型例题
锯齿模型是指在图像或信号的表示中，采用不连续的离散数据点来逼近连续的曲线或信号。
例如，在数字音频中，采样率越低，声音的波形就越接近锯齿状，因为采样点的间隔越大，表示的曲线就越不连续。
以下是一个锯齿模型的例题：
假设有一个连续函数 f(x) = sin(x)，要用锯齿模型来逼近它。
假设采样点的间隔为 0.2，即 x 的取值为 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 等。
在每个采样点上，用函数值 f(x) 来代替锯齿模型的值，得到逼近曲线。
下面是具体的步骤：
1. 画出原函数的图像。
在 x 轴上标出采样点的位置。
2. 在每个采样点上用函数值 f(x) 来代替锯齿模型的值。
也就是说，用横坐标为 x，纵坐标为 f(x) 的点来表示每个采样点。
3. 用线段连接相邻的点，得到逼近曲线。
注意要将最后一个采样点和第一个采样点用线段连接起来，使得逼近曲线是闭合的。
4. 比较逼近曲线和原函数的差异。
可以用均方误差来衡量两个函数的接近程度。
均方误差的定义为：
MSE = sum((f(x_i) - g(x_i))^2) / n
其中，f(x_i) 是原函数在第 i 个采样点的值，g(x_i) 是逼近曲线在第 i 个采样点的值，n 是采样点的总数。
MSE 越小，逼近曲线就越接近原函数。
锯齿模型逼近是数字信号处理中常用的技术之一，它可以用来降低信号的复杂度和数据量。
但是，过度的采样会导致数据冗余和存储浪费，而过低的采样则会导致信息丢失和信号失真。
因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的采样率和逼近方法。
电化学(电解)去毛刺的基本原理
电化学去毛刺的基本原理电化学去毛刺的基本原理是利用金属在电解工作液中产生阳极溶解的电化学反应现象。
如下图所示：以工件为阳极，工具电极为阴极，当强迫使电解液通过工件上的毛刺和特殊设计的工具电极之间十分狭小的间隙同时，短时间加以电解电压，这时在工件的毛刺或棱边部分电流最集中，电流密度也最大，因而使毛刺很快被溶除，棱角也被倒圆。
在电化学去毛刺的过程中，工件和工具电极二者是相对固定不动的，即属于固定式工具阴极的电化学加工方法。
适合去除高硬度、高韧性金属零件的毛刺，可以在工件的特定部位进行限定加工,对于手工难以处理、可达性差的复杂内腔部位，尤其是交叉孔相贯线的毛刺。
脉冲电化学去毛刺是一种符合“绿色制造”要求的先进去毛刺工艺。
该工艺采用脉冲电源代替直流电源，并在非线性电解液中进行加工；加工时，工件接脉冲电源的正极，与毛刺部位相对应的工具电极接脉冲电源的负极，工件阳极与工具阴极之间保持较小的加工间隙，且工具阴极无进给。
该工艺具有以下特点：①由于加工所用电解液为中性无机盐水溶液，因此不会污染环境；②由于脉冲电流的间隙作用和压力波的搅拌作用改善了加工间隙内的电场和流场条件，降低了对电解液流动特性的要求，因此有利于获得稳定、理想的加工过程；③由于在加工过程中无切削力，不会形成附加应力和表面变质层，因此可改善加工表面微观几何形貌以及零件的物理、化学和机械性能。
脉冲电化学去毛刺加工的基本原理。
工件接脉冲电源的正极，工具电极接脉冲电源的负极，工具阴极与工件毛刺部位对应放置。
加工时，首先在加工间隙内加入电解液，然后接通脉冲电源，此时工件阳极表面将发生氧化反应，工具阴极则将发生还原反应。
工件阳极的基本电化学反应式为M-ne→Mn+Mn++n(OH)→Fe(OH)n↓工具(阴极)的基本电化学反应式为2H++2e→H2↓加工时，在工件阳极附近形成一层很薄的氧化膜，可在工件阳极与电解液之间起到隔离作用。
该氧化膜具有较高的电阻和较小的电导率，可阻止工件阳极表面进一步溶解，对工件阳极具有一定保护作用。
浅谈毛刺的分析控制与去除
232研究与探索Research and Exploration ·探讨与创新中国设备工程 2019.05 (下)在德国汽车和机床行业进行的一项研究表明，与毛刺最小化、去毛刺和零件清洁相关的成本，费用让人力和周期时间增加约15％。
此外，由于毛刺导致了2％废品率和4％的机器故障时间份额，每年由于毛刺造成的成本估计高达5亿欧元。
去毛刺是一项非常耗时且成本高昂的操作。
在许多情况下，去毛刺是一项繁琐的手工任务。
虽然现在已有大量的去毛刺程序、工具和机器，然而在工业实际生产中，许多去毛刺操作仍然是手工进行的。
本文全面概述了加工操作中毛刺的形成与控制。
1 毛刺描述分类目前，已有各种国际和国家标准以及用于描述毛刺和评估部件边缘质量的专有标准。
在大多数情况下，毛刺被定义为由于来自切削和剪切操作的塑性流动而形成的材料的预期外突出。
（1）毛刺定义。
在技术图纸或几何工件模型中，理想的几何形状被毫无偏差地表示，并且通常不考虑面相交边缘状态。
然而，出于部件的功能或出于安全考虑，需要指出特定的状态。
有时面相交边缘状态通过倒角的形式表述。
但无论如何，这些边缘状态不包括毛刺，锋利边缘或有毛刺的外边缘。
ISO 13715将工件边缘有尺寸大于零的悬伸的部位定义为毛刺。
（2）材料去除中的毛刺类型。
如今根据制造工艺、形状、形成机理和材料特性，存在许多不同的毛刺描述。
Gillespie 是最早描述不同类型毛刺的人之一。
检测到4种浅谈毛刺的分析控制与去除何鹏（江苏大学基础工程训练中心，江苏 镇江 212013）摘要：随着时代的发展，工业制造对零件产品的功能和性能要求越来越高，例如要求加工后的工件边缘无毛刺。
但由于去毛刺是一种昂贵且无增值的操作，而且在许多情况下，毛刺的增加是切削工具磨损的关键原因，因此将导致更换工具乃至加工设备，大大增加加工成本。
因此，对毛刺形成的机理和控制是与工业应用高度相关的研究课题。
本文在回顾毛刺分类后，描述了加工中的毛刺形成机制，后提出去毛刺和毛刺控制这两种处理毛刺的可能方式。
基于SPH法的钢轨打磨单颗磨粒磨削仿真
基于SPH法的钢轨打磨单颗磨粒磨削仿真商维;王文健;郭俊;刘启跃【摘要】为研究钢轨打磨过程中材料的去除机理,采用光滑粒子流体动力学(SPH)的方法,仿真模拟钢轨打磨过程中单颗磨粒的切削过程,分析单颗磨粒几何形状、切削深度、负前角对打磨磨削过程中切削力、切削力比的变化规律及工件材料应力、变形情况的影响.结果表明:由于单颗磨粒的推挤作用,工件材料流动后形成毛刺和磨屑,而棱锥形磨粒可以获得较好的磨削加工表面;切削力随磨粒切削深度的增加而增大;磨粒负前角增大时,切削力和切削力比都随之增大,且负前角越大磨屑呈越明显的锯齿状.【期刊名称】《金刚石与磨料磨具工程》【年(卷),期】2016(036)003【总页数】7页(P54-59,64)【关键词】钢轨打磨;SPH法;磨粒几何形状;负前角;切削深度【作者】商维;王文健;郭俊;刘启跃【作者单位】西南交通大学,牵引动力国家重点实验室摩擦学研究所,成都610031;西南交通大学,牵引动力国家重点实验室摩擦学研究所,成都610031;西南交通大学,牵引动力国家重点实验室摩擦学研究所,成都610031;西南交通大学,牵引动力国家重点实验室摩擦学研究所,成都610031【正文语种】中文【中图分类】U216;TG58由于车轮与钢轨之间剧烈的相互作用，钢轨表面容易出现各种损伤，如波浪型磨耗、轨面擦伤、轨面剥离、轨侧严重磨损、裂纹以及轨头压溃等[1]。
钢轨打磨技术可以有效地控制和改善钢轨表面状况，延长钢轨的使用寿命[2]。
针对钢轨打磨技术，国内外取得了一定的研究成果。
智少丹等[3]建立了磨粒与钢轨接触的几何模型和受力模型，分析了磨粒切削深度与打磨功率的关系，证明了基于磨粒模型预测打磨砂轮性能的可行性。
张青等[4]建立了钢轨打磨三维热弹性有限元模型，分析了不同车速、不同砂轮转速及不同数量打磨磨头对钢轨表面温度的影响。
KANEMATSU等[5]分析了不同磨石对钢轨打磨效率的影响，得到比现有磨石打磨性能更好的七种磨石。
数学建模竞赛算法
数学建模竞赛算法
数学建模竞赛算法，一般指参赛者在数学建模竞赛中解题所使用的算法。
数学建模竞赛通常涉及到复杂的实际问题，参赛者需要运用数学理论和方法对问题进行分析、建模和求解。
以下是一些常用的数学建模竞赛算法：
1. 基于解析和数值方法的数学模型求解算法：参赛者通过构建数学模型，并运用解析和数值方法求解，如线性规划算法、整数规划算法、非线性规划算法、插值算法、差分方程算法等。
2. 图论算法：将问题抽象为图论问题，然后运用图论算法来求解，如最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd算法）、最小生成树算法（Prim算法、Kruskal算法）、最大流算法（Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法）等。
3. 构造性算法：通过构造一种特定的模型或方法来解决问题，如启发式算法、贪心算法、分支定界法、回溯算法等。
4. 数值优化算法：通过数值优化方法来寻找使得目标函数取得最优值的解，如梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法等。
5. 概率统计算法：通过概率统计方法来分析和预测问题，如蒙特卡洛方法、马尔可夫链蒙特卡洛方法、贝叶斯网络等。
以上算法只是其中的一部分，实际数学建模竞赛中的问题多种多样，需要根据具体问题选择合适的建模方法和算法。
参赛者
需要具备扎实的数学基础和对问题的深入分析能力，以及对相关算法的理解和应用能力。
专题 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型(学生版)-2025年中考数学常见几何模型
三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题就平行线+拐点模型(猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点(平行线)模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。
目录例题讲模型模型1.猪蹄模型(M型与锯齿型)模型2.铅笔头模型模型3.牛角模型模型4.羊角模型模型5.蛇形模型(“5”字模型)习题练模型例题讲模型模型1.猪蹄模型(M型与锯齿型)先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。
①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。
图1图2图3条件：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②条件：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.证明：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A=∠APQ，∠B=∠BPQ，∴∠A+∠B=∠APQ+∠BPQ=∠APB，即：∠APB=∠A+∠B．条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.证明：根据图1中结论可得，∠A+∠B+∠P2=∠P1+∠P3，条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.证明：由图2的规律得，∠A+∠B+∠P2+⋯+P2n=∠P1+∠P3+∠P5+⋯+∠P2n+11.(2024·山西·二模)如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束AB与DC平行射入接收天线，经反射聚集到焦点O处，若∠ABO=38°，∠DCO=45°，则∠BOC的度数为()A.90°B.83°C.76°D.73°2.(2024九年级下·辽宁·学业考试)如图，AB∥CD，AE=EF,∠A=25°,∠EFC=130°，则∠C的度数为．3.(2023春·河南驻马店·九年级专题练习)已知AB∥CD，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD，若∠E=66°，则∠F为()A.23°B.33°C.44°D.46°4.(2023·广东深圳·校联考模拟预测)北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，当人脚与地面的夹角∠CDE=60°时，求出此时上身AB与水平线的夹角∠BAF的度数为()A.60°B.45°C.50°D.55°5.(23-24七年级下·广东云浮·期末)小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线AB∥CD，直线AC是直线AB，CD的第三条截线，AK，CK分别是∠BAC，∠DCA的平分线，并且相交于点K．问题解决：(1)∠BAC，∠DCA的平分线AK，CK所夹的∠K的度数为；问题探究：(2)如图2，∠BAK，∠DCK的平分线相交于点K1，请写出∠AK1C与∠AKC之间的等量关系，并说明理由；拓展延伸：(3)在图3中作∠BAK1，∠DCK1的平分线相交于点K，作∠BAK2，∠DCK2的平分线相交于点K3，依此类推，作∠BAK2023，∠DCK2023的平分线相交于点K2024，求出∠K2024的度数．6.(2024·上海·八年级校考期中)已知，直线AB∥CD。
模型01 平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
大招平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型模型介绍模型一：猪蹄与锯齿模型【模型结论】如图，直线MA∥NB，则：①∠APB＝∠A+∠B；②∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3；③∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1【证明】：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1【模型辨析】①注意：拐角为左右依次排列②若出现不是依次排列的，应进行拆分模型二：铅笔模型【模型结论】如图1：AB∥CD，则∠1+∠2＝180°；如图2：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝360°；如图3：AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；如图4：AB∥CD，则∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。
【证明】在图1中，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°；在图2中，过E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1+∠AEF＝180°，∠3+∠CEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图3中，过E作AB的平行线EN，过点F作AB的平行线FM，∵AB∥CD，∴EN∥CD∥FM，∴∠1+∠AFM＝180°，∠MFE+∠FEN＝180°，∠NEC+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝540°；在图4中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．【模型辨析】①注意拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.例题精讲考点一：猪蹄模型【例1】．如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（）A．132°B．134°C．136°D．138°解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，∵∠C＝44°，∠AEC为直角，∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°，∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°，故选：B．变式训练【变式1-1】．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（）A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故选：D．【变式1-2】．如图，AB∥CD，∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∠M＝160°，则∠N＝50°．解：如图所示，过M作ME∥AB，则∵AB∥CD，∴AB∥ME∥CD，∴∠ABM+∠BMD+∠CDM＝180°×2＝360°，又∵∠BMD＝160°，∴∠ABM+∠CDM＝200°，又∵∠ABN＝∠NBM，∠CDN＝∠MDN，∴∠NBM+∠NDM＝×200°＝150°，∴四边形BMDN中，∠N＝360°﹣150°﹣160°＝50°，故答案为：50°．【变式1-3】．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．解：如图，过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EG∥FH∥CD，∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，故答案为：540°．考点二：锯齿模型【例2】．若AB∥CD，∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE，则∠E：∠F＝3：2．解：过E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，∵AB∥CD，∴CD∥EM，CD∥FN，∴∠CDE＝∠DEM，∠ABE＝∠BEM，∠CDF＝∠DFN，∠ABF＝∠BFN，∴∠DEB＝∠CDE+∠ABE，∠DFB＝∠CDF+∠ABF，∵∠CDF＝∠CDE，∠ABF＝∠ABE∴∠DFB＝∠CDE+∠ABE＝∠DEB，∴∠DEB：∠DFB＝3：2，故答案为：3：2．变式训练【变式2-1】．如图，直线AB∥CD，∠EFA＝30°，∠FGH＝90°，∠HMN＝30°，∠CNP＝40°，则∠GHM的大小是（）A．20°B．30°C．40°D．50°解：如图，作GJ∥AB，HK∥AB交MN于K．∵AB∥GJ，HK∥AB，AB∥CD，∴AB∥GJ∥HK∥CD，∴∠AFE＝∠JGF＝30°，∵∠FGH＝90°，∴∠JGH＝∠GHK＝60°，∵∠CNP＝∠HKN＝40°＝∠M+∠MHK，∠M＝30°，∴∠MHK＝40°﹣30°＝10°，∴∠GHM＝60°﹣10°＝50°，故选：D．【变式2-2】．如图①，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1；第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2；第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3…第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．如图②，若∠E n＝b°，则∠BEC的度数是2n b°．解：如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠DCE＝∠CEF，∵∠BEC＝∠BEF+∠CEF，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC．∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…以此类推，∠E n＝∠BEC．∴当∠E n＝b°时，∠BEC等于2n b°考点三：铅笔头模型【例3】.已知AB∥CD，试解决下列问题：（1）如图1所示，∠1+∠2＝180°．（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3等于多少度？请说明理由．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）×180°．解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1）×180°，故答案为：（n﹣1）×180°．变式训练【变式3-1】．如图所示，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°解：过点E作EF∥l1，标记如图所示．∵l1∥l2，∴l1∥l2∥EF，∴∠2+∠GEF＝180°，∠1+∠DEF＝180°．∵∠2＝140°，∠1＝105°，∴∠DEF＝75°，∠GEF＝40°，∴∠3＝65°．故选：C．【变式3-2】．如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的FE段，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数是540°．解：如图，根据题意可知：AB∥EF，分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF，则∠B+∠BCG＝180°，∠GCD+∠HDC＝180°，∠HDE+∠DEF＝180°，∴∠B+∠BCG+∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠DEF＝180°×3＝540°，∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E＝540°．故答案为540°．【变式3-3】．如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝900°．实战演练解：分别过E 点，F 点，G 点，H 点作L 1，L 2，L 3，L 4平行于AB利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得，有5个180°的角，∴180×5＝900°．故答案为：900．1．如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝140°，∠E ＝120°，则∠C 的度数是（）A ．80°B ．100°C ．120°D ．140°解：过E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠A +∠AEF ＝180°，∠C +∠CEF ＝180°，∴∠A +∠AEF +∠CEF +∠C ＝360°，即∠A +∠AEC +∠C ＝360°，∵∠A ＝140°，∠AEC ＝120°，∴∠C ＝100°，故选：B ．2．如图，AB ∥ED ，α＝∠A +∠E ，β＝∠B +∠C +∠D ，则β与α的数量关系是（）A．2β＝3αB．β＝2αC．2β＝5αD．β＝3α解：过C点作CF∥AB，∵AB∥ED，∴CF∥DE，∴∠B+∠2＝∠D+∠1＝180°，∴β＝∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠2+∠D+∠1＝360°，∵AB∥DE，∴∠A+∠E＝α＝180°，∴2α＝β，故选：B．3．如图，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（）A．α+β+γB．β+γ﹣αC．180°﹣α﹣γ+βD．180°+α+γ+β解：过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴α+∠BCD＝180°，∠DCM＝∠CMN，∠NMF＝γ，∴∠BCD＝180°﹣α，∠DCM＝∠CMN＝β﹣γ，∴x＝∠BCD+∠DCM＝180°﹣α+β﹣γ，故选：C．4．①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，AB∥CD，则∠P＝∠A﹣∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E＝∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α﹣∠β+∠γ＝180°．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故本结论错误，不符合题意；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故本结论正确，符合题意；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故本结论错误，不符合题意；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故本结论正确，符合题意；综上结论正确的个数为2，故选：B．5.如图，已知AB∥DE，∠A＝40°，∠ACD＝100°，则∠D的度数是．解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥FC∥DE，∴∠A＝∠ACF＝40°，∠D＝∠FCD，∵∠ACD＝100°，∴∠FCD＝100°﹣40°＝60°，∴∠D＝60°．故选：C．6．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则∠BCD的度数为解：如图，过B作BE∥m，过C作CF∥n，∵m∥n，∴m∥BE∥CF∥n，∴∠ABE＝∠1＝35°，∠DCF＝∠2＝62°，又∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°﹣35°＝55°，∴∠BCF＝∠EBC＝55°，∴∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝55°+62°＝117°，故选：B．7．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°，则∠2的度数为150°．解：延长AB交l2于E，∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝30°，∴∠2＝180°﹣∠3＝150°．故答案为：150°．8．如图，若直线a∥b，那么∠x＝度．解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．∵∠1+130°＝180°，∴∠1＝50°．∵a∥b，∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，∴x＝64°．故答案为：64．9．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点E，∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是．解：过点H作HM∥AB，延长EF交CD于点N，如图所示：∵AB∥CD，EF⊥AB，∴AB∥HM∥CD，EN⊥CD，∴∠EHM＝∠AEH＝20°，∠ENG＝90°，∠CGH＝∠GHM，∴∠GHM＝∠EHG﹣∠EHM＝30°，∴∠CGH＝30°，∴∠CGF＝∠CGH+∠FGH＝50°，∵∠EFG是△FGN的外角，∴∠EFG＝∠ENG+∠CGF＝140°．故选：C．10．如图，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，则∠E：∠F＝．解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；∵∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，∴∠BED：∠BFD＝3：2．11．（1）如图1，AM∥CN，求证：①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，∴所有角的和为（n+1）•180°．12．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值．解：（1）结论：∠BED+∠D＝120°，证明：如图①，延长AB交DE于点F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠D，∵∠ABE＝120°，∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°，∴∠D+∠BED＝120°；（2）如图②，∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，即∠CDE＝3∠CDF，设∠BEF＝α，∠CDF＝β，∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，∴3α+3β＝120°，∴α+β＝40°，∴2α+2β＝80°，∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°，答：∠EFD的度数为100°；（3）如图③，∵BG⊥AB，∴∠ABG＝90°，∵∠ABE＝120°．∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°，∵∠CDE＝4∠GDE，∴∠GDE＝∠CDE，∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE，∴∠G+30°＝∠E+∠CDE，由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，∴∠CDE＝120°﹣∠E，∴∠G+30°＝∠E+（120°﹣∠E），∴∠G＝∠E，∴＝．13．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点．∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°（1）求证：AD∥CE；（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F，若2∠B﹣∠F＝90°，求∠BAH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是线段AB上一点（不同于A点），Q是GE上任意一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，求∠NPM的度数．（1）证明：如图1中，作BK∥DH，∵BK∥DH，∴∠DAB+∠ABK＝180°，∵∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°，∴∠CBK+∠BCE＝180°，∴BK∥CE，∴AD∥CE．（2）如图1中，作BK∥DH，∵DH∥GE，∴∠F＝x+2y，∠B＝y+2x，∵2∠B﹣∠F＝90°，∴2y+4x﹣x﹣2y＝90°，∴x＝30°，∠BAH＝60°．（3）如图3中，设∠RQG＝∠RQP＝x，∠APN＝∠NPQ＝y．∵∠APQ＝∠HAP+∠PQG，∴2y＝60°+2x，∴y﹣x＝30°，∵∠MPQ＝∠PQR＝x，∴∠MPN＝∠NPQ﹣∠MPQ＝y﹣x＝30°．14.（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．小辰的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线的性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．（2）问题迁移：①如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，设∠CPD＝∠α，∠ADP＝∠β，∠BCP＝∠γ，问：∠α、∠β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．②在①的条件下，如果点P不在A、B两点之间运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠α、∠β、∠γ间的数量关系．解：（1）∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，∴∠APE＝60°，∠CPE＝50°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．故答案为110°．（2）①当点P在A、B两点之间，如图3，作PQ∥AD，∵PQ∥AD，AD∥BC，∴PQ∥AD∥BC，∴∠DPQ＝∠β，∠CPQ＝∠γ，∵∠CPD＝∠DPQ+∠CPQ，∴∠α＝∠β+∠γ；②当点P在B、O两点之间时，作PQ∥AD，∵PQ∥AD，AD∥BC，∴PQ∥AD∥BC，∴∠DPQ＝∠β，∠CPQ＝∠γ，∵∠CPD＝∠DPQ﹣∠CPQ，∴∠α＝∠β﹣∠γ；当P点在A，M之间运动时，此时∠α＝∠γ﹣∠β．综上所述：∠α＝|∠β﹣∠γ|．。
交叉孔电化学去除毛刺电场仿真分析
交叉孔电化学去除毛刺电场仿真分析郭英杰;刘嘉航;李杰;王丽媛;董华军【摘要】电化学加工受电场、流场、温度场等多个物理场相互作用的复杂反应过程.通过计算机仿真软件建立不同电极形状、加工电压和绝缘层位置下电化学加工过程中的电场模型,通过对电场模型的求解得到电化学加工过程中工件加工面的型面变化曲线.仿真结果表明对电极的处理以及降低绝缘层位置能够有效提高表面加工质量,并且得出加工电压与时间曲线图,从而得到优化设计方案和实验参数.%The electrochemical machining is a complex chemical reaction process which was influenced by elec-tric field,flow field and temperature field. The different electric field models of the electrochemical machining were established,and the profile curves of the machining face of electrochemical machining process is obtained by the solution of electric field model. According to the simulation results,processing accuracy can be improved by chamfering or rounding the cathode and reducing the position of insulation to the obtain design and experi-mental parameter.【期刊名称】《大连交通大学学报》【年(卷),期】2018(039)001【总页数】5页(P110-114)【关键词】电化学去毛刺;内交叉孔;电场仿真【作者】郭英杰;刘嘉航;李杰;王丽媛;董华军【作者单位】国家电网天津平高智能电气有限公司,天津 300300;大连交通大学机械工程学院,辽宁大连116028;大连交通大学机械工程学院,辽宁大连116028;大连交通大学机械工程学院,辽宁大连116028;大连交通大学机械工程学院,辽宁大连116028;国家电网天津平高智能电气有限公司,天津 300300;大连交通大学机械工程学院,辽宁大连116028【正文语种】中文0 引言毛刺作为机械零件在制造加工过程中产生的不必要产物使整个产品的性能大打折扣且缩短其机械使用寿命.目前去毛刺有热能、高压水射、磨料流、电火花和电化学等加工方式[1]，电化学去毛刺属于非接触式加工，相比于传统机械去毛刺，可有效提高两孔相交处边缘的精度和加工效率.毛刺直接影响零件的质量和精度，德国埃玛克针对复杂内腔结构的毛刺配备柔性去毛刺系统FDS[2].徐正扬[3]等人对航天发动机的针对整体叶盘设计了一种阴极进给方向优化方案.余自远[4]等针对铝板上的微小孔毛刺的去除，基于有限元分析建立了数学模型从理论上和分析去毛刺效果的影响因素[5].电化学加工过程中，电场的分布主要取决于工件和阴极的集合形状及相互位置.随着加工的进行，阳极开始发生腐蚀反应，电力线随着阳极形状改变而改变.在加工过程中，电场分布情况是决定加工效果的关键因素.本文通过建立反应过程中电场的数学模型，分析了影响电场分布的因素，通过计算机模拟技术对比分析不同的数学模型得到影响电场分布和电流密度的因素.得到球形电极提高加工精度，圆柱电极提高加工效率的结论，及优化了阴极绝缘层位置的设计，即低于毛刺根部水平位置.通过仿真计算可面对不同的工件加工要求，确定较优电极形状和加工电压，省去通过多次实验确定加工参数的步骤.1 电化学加工间隙电场分布在电化学加工进行中，工具阴极与被加工件之间间隙处充满高速流动的电解液.加工间隙中的电场分布直接影响着电化学加工的效率和精度.电化学加工外用电源分别与阴极和工件相连接，形成连续不断的电流.假设电化学加工进入平衡状态，即电场参数不随时间变化，属于稳恒电流场.假设电解液满足各向同性[5]，则电场分布符合拉普拉斯方程，即：▽2φ=0(1)(2)φb=0(3)φa=U(4)其中,φ为电场中各个电位;U为金属阳极的电位值;φa和φb分别为阴极与阳极电位.电场中各点的电场强度和电流密度分别为：(5)i=κE(6)综合上述公式得到：(7)图1为加工间隙中电场分布情况.图1 电化学加工间隙的电场分布2 加工间隙模型建立和参数选择本文采用沿根部去除毛刺，由加工方案可得出电化学去毛刺电场仿真的二维几何模型，如图2所示.加工孔直径为5 mm，电极直径4 mm，毛刺高度和厚度分别为0.6和0.2 mm.在电场仿真设置中，绝缘边界用线替代.图2 去毛刺二维加工示意图工件电解过程的瞬态仿真通过耦合模型中电流和形变几何来实现的.通过法拉第定律可得知金属的溶解量取决于参加电化学反应的电荷量Q.因为加工电极为固定电极，即进给速度为0，金属的去除体积可通过以下公式计算[6].(8)式中，M为摩尔质量;ρ为密度;z为金属的化合价;F是法拉第常数;η为电流效率. 金属工件在法向的溶解速度vn与法向的电流密度Jn成正比.(9)当加工件为35#不锈钢，电解液为20%的NaNO3溶液时，Jmin取10A/cm2[6].其他仿真参数选择如表1所示.表1 仿真参数电压/V电解液浓度电导率S/m工件材料摩尔质量g/mol密度g/cm32020%NaNO314．7不锈钢54．947．773 仿真结果分析3.1 电极形状对加工型面的影响电化学加工电场分析最重要的仿真结果就是反映蚀除速度的电流密度分布[7].分别对圆柱型阴极、球状和倒角阴极两种加工电极形状进行电场分析.得到的电流密度分布如图3所示.图3中，电流密度最大区域位于工件毛刺尖端和电极绝缘层边缘.圆柱电极加工时毛刺上电流密度范围为:18.54<i1<83.74 A/cm2，球形电极加工时电流密度范围为0.23<i2<56.86 A/cm2.两种电极毛刺处平均电流密度分别为20.67、14.89A/cm2.为了得到三种电极的加工特点，分别提取毛刺两侧边缘电流密度数据如表2所示.图3 三种电极形状电流密度分布图表2 不同电极形状电流密度值电极形状平均值/(A·cm-2)最大值/(A·cm-2)圆柱型20．6783．74球形16．1762．23倒角13．1250．42图4为圆柱型电极、球形电极和倒角电极在20 V电压下加工15 s后的加工面型面仿真.图4 加工15 s后型面仿真从表2和图4中可看出，经过倒圆和倒角处理后，加工表面处电流密度都有所下降.其中毛刺尖端电流密度大幅度下降.从高效率加工角度考虑，应选择圆柱电极.当对加工孔精度要求高时应选择对电极进行倒圆处理.3.2 绝缘层位置对毛刺型面影响在电极电流密度分布图上可看到，电极表面电流密度最大位置为绝缘层与参与反应电极表面交界处，因此可得知阴极绝缘层布置位置与电化学去毛刺效果有一定影响. 在工作电压20 V，非线性电解液的加工条件下，建立绝缘层不同位置的加工模型，分析去毛刺型面的影响.从图5中可看出，随着绝缘层的向下延伸，孔壁内非加工面处电流密度减小，电流密度分布逐渐向毛刺尖端聚集，同时毛刺处电流密度在降低.如图6所示，(a)、(b)、(c)分别为绝缘层上移、平齐和下移三种绝缘层位置对应的平均电流密度随时间的变化曲线.图5 绝缘层布置对电场分布影响图6 毛刺表面平均电流密度变化曲线根据曲线数据可知，电流密度分别在12.5、13和16 s三时刻达到最大值，在此时刻孔口的毛刺完全去除.随着绝缘层的下移，电解反应的效率逐渐降低，完全去除毛刺所需的时间加长.分别将电流密度最大值时的工件轮廓图提取出来.方案(c)中去毛刺后得到的孔口非加工面受腐蚀最小.方案(a)则有着最高的去毛刺加工速度. 3.3 加工电压对加工面的影响加工电压是决定电化学去毛刺中电流密度的关键参数，实际加工中是最容易调节的参数，对零件去毛刺加工时间和精度有着重要的影响[7].图7为使用NaNO3溶液作为电解液，使用圆柱形电极，在不同加工电压下，毛刺表面平均电流密度随时间变化曲线图.(a) 加工电压为10 V(b) 加工电压15 V图7 两种加工电压下毛刺电流密度曲线随着加工电压的降低，电流密度达到峰值的时间明显延后，当加工电压为10、15 V时，完成去除毛刺所需要的时间分别为117、70 s.图8所示为电压为10、15和20 V下加工完成后工件去除毛刺表面轮廓图.图8 不同加工电压去除毛刺后工件型面仿真当加工电压为20 V时，加工孔在孔深方向上距离孔口1 mm处就受到腐蚀作用，加工后的工件边缘轮廓粗糙.而当加工电压降低至10 V后，沿孔深方向的腐蚀范围明显减小，降低到0.5 mm左右，同时去毛刺后形成的边界更为平滑，形成类似倒角的形状.由此可见，随着加工电压的增加，在获得较快加工速度的同时，电解反应的散杂腐蚀现象随之加剧，加工面的表面质量也有一定程度降低.为了获得较好的加工效果，得到倒角形状的加工形状，选择合适的加工电压至关重要.综上所述，选用20%浓度的NaNO3溶液作为电解液，选用圆柱形电极并加工面进行倒角，并且设计阴极绝缘层低于毛刺根部.当加工电压为10 V时，去除毛刺后对孔边缘的腐蚀程度最小，加工时间最长，在精度有较高要求时应选此参数.而本实验中综合考虑加工质量和加工效率的影响，拟定加工参数为15 V，加工时间为70 s.4 结论本应用仿真软件对电化学去毛刺加工的加工间隙电场进行仿真分析，针对不同电极形状、绝缘层位置和加工电压等加工参数分别建立仿真模型.对比加工间隙电场分布，通过研究电流密度曲线及工件型面变化曲线，分析各参数对电化学去毛刺效果的影响，并得出电压和电流密度与加工时间关系曲线.最终结合流场仿真结果选择倒角形电极作为电化学去毛刺试验的阴极工具，并且拟定优化加工参数.参考文献：[1]陈世平,罗辑,石军.金属切削加工中的毛刺问题[J].机械设计与制造,2004,41(1):99- 100.[2]埃马克.埃马克电化学加工(ECM)技术—航空发动机创新技术不可或缺的一部分[J].航空制造技术,2014,56(11):106- 107.[3]徐正扬.发动机叶片精密电解加工关键技术研究[D].南京：南京航空航天大学,2008.[4]余自远.微小孔电化学去毛刺技术研究[D].大连：大连理工大学,2012.[5]徐文骥,余自远,孙晶,等.微小孔电化学去毛刺试验研究[J].航空制造技术,2011,53(19):62- 67.[6]王建业.电解加工原理及应用[M]. 北京：国防工业出版社,2001.[7]王建业,余艳青,韩冠军.MOSFET高频窄脉冲电解加工工程化电源研制[J].电加工与模具,2005,39(2):59- 63.。
数控加工形成毛刺的原因【详解】
金属切削过程常常伴随着毛刺的生成。
毛刺的存在不仅降低了工件的加工精度和表面质量，影响到产品的使用性能，有时甚至会引发事故。
对于产生的毛刺问题，人们通常用去毛刺工序来解决。
去毛刺是一个非生产性过程，它不仅增加产品成本，延长产品生产周期，而且毛刺去除不当还会导致整个产品报废，造成经济损失。
本文首先对影响端铣毛刺形成的主要因素进行系统地分析，并从结构设计到制造加工全过程出发，探讨了减小和控制铣削毛刺的方法和技术。
一、端铣加工中毛刺的主要形式按照切削运动——刀具切削刃毛刺分类体系，端铣过程中产生的毛刺主要有主刃两侧方向毛刺、侧边切出切削方向毛刺、底边切出切削方向毛刺及切入和切出进给方向毛刺五种形式。
一般而言，底边切出切削方向毛刺与其它毛刺相比具有尺寸大、去除困难的特点。
为此，以底边切出切削方向毛刺作为主要研究对象开展研究。
根据端铣中底边切出切削方向毛刺尺寸和形态的不同，又可将其分为如下三种：I型毛刺（尺寸较大，去除困难，去除费用较高），II型毛刺（尺寸较小，可以不去除或去除容易）和III型毛刺即负毛刺。
图2 铣削时底边切出切削方向毛刺种类二、影响端铣毛刺形成的主要因素毛刺的形成是一个非常复杂的材料变形过程。
工件材料特性、几何形状、表面处理、刀具几何形状、刀具切削轨迹、刀具磨损、切削参数及冷却液的使用等多种因素都直接影响毛刺的形成。
图3为端铣毛刺影响因素框图。
在具体的铣削条件下，端铣毛刺的形态和尺寸取决于各影响因素的综合作用，但不同的因素对毛刺的形成具有不同的影响。
01、刀具进入/退出一般情况下，刀具旋出工件时所产生的毛刺比刀具旋入工件时所产生的毛刺大。
02、平面切出角平面切出角对底边切出切削方向毛刺的形成有很大的影响。
平面切出角的定义为当切削刃旋出工件终端面时，在过切削刃上一点垂直铣刀轴线的平面内，该点的切削速度（刀具转速与进给速度的矢量合成）的方向与工件终端面方向之间的夹角。
工件终端面的方向为从刀具旋入点指向刀具旋出点，Ψ为平面切出角，其范围0°<Ψ≤180°。
数字线划图中毛刺检查方法的研究与实现
数字线划图中毛刺检查方法的研究与实现佚名【摘要】介绍了数字线化图中基于距离几何特征的毛刺检查方法，并针对该方法之不足，提出了一种基于角度几何特征的改进方法，在数字线化图质量检查中具有一定的参考价值。
【期刊名称】《测绘技术装备》【年(卷),期】2013(000)002【总页数】3页(P39-41)【关键词】数字线划图;毛刺;距离;角度;算法【正文语种】中文1 引言毛刺是指线状矢量要素在空间上存在逻辑性错误，线状要素具有尖角、回转等特征。
如图1所示:图1 线状要素毛刺特征数字线化图中的线状矢量要素是由一串节点构成，节点与节点之间具有一定的距离几何特征，连续三个节点之间的连线具有角度几何特征。
以下将基于这两个基本几何特征进行分析，并给出相应的毛刺检查算法。
2 基于距离特征的毛刺检查基于距离特征的毛刺检查是计算沿线连续3个点之间的距离，根据点距大小的逻辑关系来判断是否是毛刺。
2.1 平面距离计算公式:设P1(x1,y1),P2(x2,y2)则其中为两点之间的距离，P1为第一个节点坐标，P2为第二个节点坐标。
2.2 具体算法表1列出了线状矢量要素4个连续节点间的距离逻辑关系，Pi到Pi+2的距离必然大于Pi到Pi+1或者到Pi+2的距离(i=1,2,3,4,…)。
表1 节点间的距离逻辑关系根据表1中节点间距离逻辑关系得出如下算法如下(图2):图2 基于距离特征的毛刺检查算法2.3 程序实现代码以下给出了用c#语言实现的基于距离特征的毛刺检查算法的关键代码。
3 基于距离特征的毛刺检查之不足基于距离特征的算法能检查出大部分的毛刺，但是基于距离特征的算法依赖于要素固有的距离属性，检查容差(毛刺的夹角大小)无法设置。
针对以上情况，本文提出了基于角度特征的毛刺检查改进算法。
4 基于角度特征的毛刺检查基于角度特征的毛刺检查是计算三个连续节点形成的两条直线的夹角，以角度为容差值，检查出超出容差的角度即毛刺。
4.1 余弦定理公式公式中的边角关系如图3所示:图3 ΔABC的边角关系根据余弦定理已知三角形的两边和一个角时，可计算第三边的长，或者已知三边的长度时，可求出任何一个角。
【数学模型11】计算圆周率π的蒲丰投针模型.
数学模型11
计算
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设p是针与平行线相交的概率
W 0 D 基本事件 G： 2 0 L 0 D sin （） H 相交事件 g： 2 0
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D
L 0 D sin （） H 相交事件 g： 2 0
）
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例11(计算圆周率π 的蒲丰投针模型)评注 •Ｍ ｏ ｎ ｔ ｅ － Ｃ ａ ｒ ｌ ｏ 方 法
•随
机
模
型
计
算
访问 /efg2lab/Mathematics/Buffon.htm
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［结论］用实验计算圆周率π的方法：
在平面上画若干平行线，平行线宽等于针的长度， 将针任意投向平面，总的投针次数为N，在N次
投针中，针与平行线相交的次数为n(N)，N/n(N)
作为圆周率的近似值。π≈ N/n(N)
现在就做投针实验，亲身体验圆周率！
2018/9/15
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金属切削加工中工件的边、 角、 棱等部位上常常 产生毛刺。它不但降低了工件的加工精度， 也增大 了加工成本， 成为影响和制约精密与超精密加工、 柔 性制造系统和其它自动化加工技术发展的主要因素
［ ］ % 之一 。近年来人们相继开始对金属切削毛刺生
成 及 控 制 技 术 进 行 研 究， 取得了若干重要成
图$ " ! 剪切区域内的切削变形 . " $ " ! 0 1 2 2 . 3 5 6 7 * 8 9 2 . 7 3 . 3 2 ( 5 : ( 5 9 * . 3 ; 7 3 5 / /4 /
金属切削中变形所需的能量是由切削刀具的 前刀面提供的。 图$ % ! 为剪切变形区域力的平衡关 系图。 为分析问题简便起见， 可将其 # $ % & " ’ 变形 假定在 # 区视为具有单一剪切面# &， & 面上应力分 布均匀， 除了工件两侧自由表面外中间区域可近似 为平面应力( 应变状态。 在切削力 " 被 $ 的作用下， 切削层金属受压产生塑性剪切流动， 一部分材料流 且在 向工件两侧自由表面， 其平均应变用 # 9 < 表示， 剪切面上 # 9 < 与刀具切削刃平行。由强化材料小变 形时应力 应变关系， 可得出切屑流向侧面的切应变 = 为 （ ） # $<*$ 万方数据 9 <) : $ ’ 9 ! （ ） $ + !
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, （ ） （ ） # $ + $ )9 < !& （ ） 是一个增函数， ／ 的增大而 式中， # , !& 随# 9 < 9 < 增大。则 , ! （ ） $<*$ ): !& $ ’ 9 由材料特性 （ ） 式整理为 $ % #
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第! "卷 第"期 ! # # $年% %月
兵 工 学 报 & ’ ( && )* &* + , ( & ) -
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图% 1 % 两侧方向毛刺形成模型及形式 ; < 1 % 1 % * / > ? 0 / @ @ / A B C D < / EC E > @ / A B F = / @ D G / F < > ? H > < A ? I D < / EJ K A A
? ! > 线为被切削金属层塑性流动线） 所示。
两侧方向毛刺形成的数学模型 "
王贵成 朱云明 张春晔
（江苏大学机械工程学院，江苏镇江， ） ! % ! # % $
摘要
毛刺是影响金属切削加工质量的主要因素之一。本研究以直角自由切削实验为基础， 建立
了两侧方向毛刺形成的数学3力学模型， 系统地揭示出两侧方向毛刺形成与切屑剪切应变的关系， 给出 了两侧方向毛刺形态转换的界限条件。并提出了被切削层金属沿刀具切削刃向工件两侧的自由表面产 生塑性流动是形成两侧方向毛刺主要原因的新观点， 得到了试验结果的证实。本文实现了金属切削中 两侧方向毛刺形成与变化的预报， 在精密与超精密加工和自动化加工中有广阔的应用前景。 关键词 加工 中图分类号 ( 4 5 # % 1 % 机械制造工艺与设备；金属切削；两侧方向毛刺；数学—力学模型；预报；精密与超精密
图! $ %中形成的两侧方向毛刺!个区域恰好同 图% 单位切削层公称 $ %中毛刺形式相对应。表明， 厚度毛刺高度与切屑的切应变有密切关系， 毛刺形 态及尺寸取决于切屑产生的切应变。也就是说， 切 屑产生的切应变是形成两侧方向毛刺的主要原因。 根据 6 由 （ ） 式可计算 * 7 8 1 , / -切削方程式， 9 : ; 出切应变 ! ， 即形成 " 型毛刺的界限切应 ! # " % ! %为 变为 由本实验曲线可知， 切屑的剪切应变 ! ! # " % ! # % 为 ，可见根据本研究建立的数学 力学模型所 ! $ ; < % =
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! 两侧方向毛刺形成的数学模型
直角自由切削中剪切区域内的切削变形如图 （ 切屑厚度； 切削力； $ % ! !& 切削厚度； ! " ") ’ ( ’ 背向力； 切削合力； 前刀面切向力； 前刀 " " " * * + 面垂直力； 前刀面上合力； " ! 剪切角； ， * * + " 摩擦 角； 刀具前角） 所示。 变形区 # # $ % & " ’ 区域内的 , 金属处于塑性流动状态。 $ % 为始剪切变形线， ’ " 为终剪切变形线， 为剪切线。 由于工件两侧为自 # & 由表面， 则产生塑性流动的部分被切削层金属将沿 着刀具切削刃向工件两侧的自由表面流动并形成凸 起， 在切屑和工件已加工表面分离的瞬间其一部分 滞留在工件上形成了两侧方向毛刺。
兵
工
学
报
第$ >卷
由图 ! 直角自由切削中形成的两侧方 " ! 可知， 向毛刺有#种， 即 ! 型、 " 型和 # 型两侧方向毛刺。 其中， 而# !型毛刺尺寸微小； " 型毛刺尺寸最大； 型毛刺尺寸处于其中间状态。 显然， 随着切削条件的不同两侧方向毛刺的形 式也不尽相同。
式中， 工件材 ’ 工件材料拉伸强化弹性模量； $ 9 < 料平均实际强度； 工件材料的屈服强度。 $ : ） 式计算得到的切屑实际切应变 # 值 由 （ $ % ! 9 < 略小于实测值， 但并不影响两侧方向毛刺形态的判 别。 有关切削实验表明， 单位切削厚度形成的两侧方 ／ 是切屑切应变 # 的函数 向毛刺高度 （, !&） 9 <
" 实验验证
实验是在改装的铣床上进行的， 刀具材料为普 通高速钢， 工件材料为 @ （铜含量为 @ = > 黄铜板 ? A， 锌含量为# ， 用工具显微镜 （0? ’ 0$ ） 和投 ? A） , 影仪 （0?’ 0> ） 来测定两侧方向毛刺尺寸。 , 改变刀具前角 # 单位切削厚度毛刺高度 , 后， ／ 。 表 , !& 与切屑产生的切应变 # 的关系见图# + ! 明， 改变刀具前角后， 切屑切应变# 和单位切削厚度 毛刺高度 , ／ !& 的关系曲线可以划分为三个区域。
图! ／ $ % ! "# 和切应变 ! 的关系 ／ & ’ $ ! $ % ) * + , ’ . / 0 1 ’ * 4 * * /! "#, / 5! ( 23
参 考 文 献
% 王贵成$金属切削毛刺生成机理的研究及其发展$中国机械工 程， ， （ ） ： % > > ; ; " < $ ? ， 9 @ A / ’ /C . # . 7 / D * + 5#E$ E0 A 5 . / 3 A 7 7 D . 7 G , ’ . /G * 8 1 , / ’ 0 G$ (B F ， ， （ ） ： > > %% % !% < I $ ? < E @ 6 H % ! J ’ + + * 0 ’ *BC， K + . * 7 LM$ M 1 * D . 7 G , ’ . / , / 5 7 . * 7 ’ * 0 . DG , 8 1 ’ / = 2 2 2 ， ， （ ） ： % > < " > ? 9 " " $ < I ’ / A 7 7 0 刺 $长春： 出版社， % > > < $ 9 ? $ ; " 刀具切削刃毛刺分类新体系及其应用$应用 = ; 王贵成$切削运动 基础与工程科学学报， ， （ ） ： % > > ; ! ! 9 > ; $ ! N % ， % > > ; " 王贵成$进给方向毛刺抑制技术的研究$机械工程学报， （ ） ： ! % I 9 ; $ ! %
［ ］ 5 和切削方向毛刺三大类 。根据实验观察， 直角自
由切削中两侧方向毛刺形成的切削模型及基本形态 如图% （ ! 毛刺高度； 6 % " 毛刺根部厚度； # # $