等比数列及其前n项和二
等比数列及其前n项和
等比数列及其前n 项和
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：
a n
a n －1
＝q (n ≥2，q 为非零常数). (2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝±ab . 2.等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1
；
通项公式的推广：a n ＝a m q
n －m
.
(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q
1－q
.
3.等比数列的性质
已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和.
(1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *
)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，
a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .
(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n
. 【微点提醒】
1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2
n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 也是等比数列.
2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.
等比数列的前n项和(二)
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5 5 5 2 5 a－ x － x＝ a－ x1＋ ， 4 4 4 4
第 3 年末的木材存量为
5 3 5 5 2 a－ x1＋ ＋ ，…… 4 4 4
第 20 年末的木材存量为
5 20 5 19 5 5 2 a－ x1＋ ＋ ＋…＋ 4 4 4 4 5 20 5 20 ＝ a－ 4x ＋ 4x. 4 4
(1)若某数列前n项和公式为Sn＝－Aqn＋ A(A≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则数列{an}成等比数 列． (2)若数列{an}是公比为q的等比数列，则 ①Sn＋m＝Sn＋qn· Sm；
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S偶 ②在等比数列中，若项数为 2n(n∈N )，则 ＝q； S奇
*
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4．若等比数列的前n项和Sn＝5n＋m，则m＝ ( ) A．－1 B．1 C．－5 D．5 解析：a1＝5＋m，当n≥2时，an＝5n－5n－1＝ 4· 5n－1所以5＋m＝4，m＝－1. 答案：A
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要点阐释
等比数列前n项和性质
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520 520 由题意知4 a－4x4 ＋4x≥4a，
(经典)讲义：等比数列及其前n项和
（经典）讲义：等比数列及其前n项和
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1·q n－1.
S
n
＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，
同乘q得：qS n＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1q n，
两式相减得(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a
1
?1－q n?
1－q
(q≠1)．
7.1由a n＋1＝qa n，q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.
7.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．
8.等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若a
n＋1
a
n
＝q(q为非零常数)或
a
n
a
n－1
＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{a n}是等比数列．
(2)中项公式法：在数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列．
63
2
++
若已
“知三求二”.
1.
,成公比为
的公比为q
,成等比数列
理解例题1:在等比数列中， （1）已知13,2,a q ==求66,a S ；
（2）已知111
2.7,,,390
n a q a =-=-=求n ；
（3）已知141,64,a a =-=求q 和4S ；
（4）已知3339
,22
a S ==求1,a q ；
分析:在等比数列中有五个重要量1,,,,,n n a a q n S 只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中1a 和q 两个最重要的量,通常要先求出1a 和q . 解:(1)
等比数列的前n项和(2)最新版
3 a 0 时 ， S 1 0 1
练习
已 { a n } 中 知 a n 1 ， 2 a n ,a 2 3 ,求 s 6
解： an1 2an
aaqnn13(221,2且{6a)na}1为 等23 比数列
s6 2 1 2
189 2
Sn
a1(1qn)(q1) 1q
ana1qn1
或
Sn
a1 anq 1q
当 q = 1 时 Sn = n a1
1 2 2 2 2 1 1 11 212 2121 1 2
等比数 a中 列 n
1 a 1 3 ,q 2 ,n 6 则 s n 189
归纳要熟记公式： a aqn1
n
1
a 1qn
S 1 n 1q
或
S
a 1
anqq1
n 1q
a、 q、 n、 a、 s 知三求二
1
n
n
例2.求S1aa2a3a10aR
解:
1 S11a111a11
1a 1a
a0且 a1
2 a 1 时 ， S 1 1 1 11
2.5等比数列的前n项和
传销人员正在授课 受骗后痛不欲生
退出传销者遭毒打 公安机关坚决取缔传销
传销是社会毒瘤， 是经济邪教， 应坚决取缔。
等比数列的前n项和(二)
等比数列的前n项和(二)
课时目标
1．熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．2．能用等比数列的前n项和公式解决实际问题．
1．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝
a1(1－q n) 1－q＝a1－a n q
1－q；当q＝1时，S n
＝na1.
2．等比数列前n项和的性质：
(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数)
(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．
(3)若{a n}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则S偶
S奇＝q.
3．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．
一、选择题
1．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于()
A．33 B．72 C．84 D．189
答案C
解析由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q＋q2－6＝0.∵q>0，∴q＝2.∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝22·S3＝84.
2．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为()
A．1.14a B．1.15a C．10a(1.15－1) D．11a(1.15－1)
答案D
解析注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．
等比数列的前n项和(二)
课外练习: 课外练Βιβλιοθήκη Baidu:
《学案与测评》P32 学案与测评》 “举一反三”第2题, ”能力提高”第8题, 举一反三” 能力提高” 举一反三 题 能力提高 题 ”拓展延伸”第9题 拓展延伸” 拓展延伸 题
课外作业
课本P61 课本P61 第4题
求数列1, 求数列 3a, 5a2, 7a3, …, (2n-1)an-1, …(a≠0)的 的 项和S 前n项和 n. 项和
变式2 变式2：
设数列{a 为等比数列 为等比数列, 设数列 n}为等比数列 Tn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an, 已知T1=1, T2=4, 已知 (1)求数列 n} 的首项与公比 求数列{a 的首项与公比; 求数列 (2)求Tn. 求
课前训练
1 1 1 的前n项和 求等比数列 1, , , ,…的前 项和 n. 的前 项和S 2 4 8
例题1: 例题1: 变式1: 变式1:
n 17 3 5 9 2 +1 的前n项和 项和S 求数列 2 , , 8 , 16,… 2 n 的前 项和 n. 4
若数列{a 的通项a 项和S 若数列 n} 的通项 n =2n+n，求其前 项和 n. ，求其前n项和
等比数列的前n项和
na1 等比数列{a 中 当公比 当公比q=1时,Sn=_________; 等比数列 n}中,当公比 时 n a1 an q a1（1-q ) （ 当公比q≠1时,Sn=________________=________________; 当公比 时 1-q 1 q
等比数列及其前N项和
等比数列及其前N 项和
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －
1. 3．等比中项
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －
m (n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·
b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n 仍是等比数列．
5．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；
当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .
6．等比数列前n 项和的性质
公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 【知识拓展】 等比数列{a n }的单调性
(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，
等比数列的前n项和知识点总结
等比数列的前n项和知识点总结
一．等比数列的前ｎ项和公式
１．
注意：（１）公式的推导方法是错位相减法，即先求前ｎ项和，然后把等式的两边同乘以等比数列的公比，最后等式的左边减左边，右边第一个等式的第一项轮空，第二项减去第二个等式的第一项，第一个等式的第三项减去第二个等式的第二项，依次减下去，第一个等式中的最后一项减去第二个等式的倒数第二项，第二个等式的最后一项变成原来的相反数
（２）在求等比数列的前ｎ项和时，一定要讨论公比ｑ是否能为１
２．公式的变形
３．等比数列的前项和的性质：
（１）若项数为，则．
（２）．
（３），，成等比数列（注：当ｑ＝－１时，ｎ不能为偶数）４．已知数列的前ｎ项和求通项公式的方法
二跟踪练习
1. 在公比为整数的等比数列中，如果那么该数列的前8项
之和为
Ａ．513 Ｂ．５１２ Ｃ．510 Ｄ．
２．已知数列的，则=__________
３．等比数列{a n}中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋a3＋…＋a n=2n－1，则
a12＋a22＋a32＋…+a n2等于
A． B． C． D．
４．8.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n－1，…的前n项和为
A. 2n－n－1
B. 2n+1－n－2
C. 2n
D. 2n+1－n ５．已知数列的通项公式为，则该数列的前n项的和为
A. B. C. D.
６．已知等比数列中，
７．如果一个等比数列的前５项的和等于１０，前１０项的和等于５０，求它的前１５项的和等于多少？
８．求和：
９．已知是等差数列，其前n项和为S n，已知
（1）求数列的通项公式；
等比数列概及其前n项和高二数学选择性必修第二册)(解析版)
专题17等比数列概念及其前n 项和
目录
【题型一】等比数列概念.............................................................................................................................................1【题型二】等比数列通项计算.....................................................................................................................................3【题型三】等比数列前n 项和.....................................................................................................................................4【题型四】等比数列sn 与an 的关系........................................................................................................................5【题型五】等差等比纠缠数列...................................................................................................................................7【题型六】等比数列性质.............................................................................................................................................8【题型七】等比数列“不定方程型”计算..............................................................................................................10【题型八】S n ，S 2n ，S 3n 应用.......................................................................................................................................11【题型九】插入数构成等比数列............................................................................................................................13培优第一阶——基础过关练.......................................................................................................................................14培优第二阶——培优拔尖练 (19)
等比数列的前n项和(二)
等比数列的前n 项和（二）
[学习目标] 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n 项和有关的问题．
知识点一 等比数列的前n 项和的变式
1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1－a n q 1－q ＝
a 1q n
q －1－a 1
q －1
； 当q ＝1时，S n ＝na 1.
2．当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q
n
＋
a 11－q ，设A ＝a 1
1－q
，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 思考 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －
1＋k ，则实数k 等于________．
答案 －13
解析 由题{a n }是等比数列， ∴3n 的系数与常数项互为相反数， 而3n 的系数为1
3，
∴k ＝－1
3
.
知识点二 等比数列前n 项和的性质
1．连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数) 2．S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．
第三节 等比数列及其前n项和
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),
1 an
,{
an2},{an·bn},
an bn
仍是等比数列.
栏目索引
5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=⑨ na1 ;
a1(1 qn )
当q≠1时,Sn=⑩ 1 q =
栏目索引
考点三 等比数列的判定与证明
典例3
设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=
3 2
,a3=
5 4
,且当n≥2
时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.
(1)求a4的值;
(2)证明:
an1
1 2
an
为等比数列.
解析 (1)当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,
考点突破
栏目索引
考点一 等比数列的基本运算
典例1 (1)(2016山西太原一模)已知等比数列{an}单调递减,若a3=1,a2+a4
=
5 2
,则a1=
(
)
A.2 B.4 C. 2 D.2 2
(2)在等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为 ( )
A.1 B.- 1
等比数列的前n项和2
解：设尖头有灯a1盏，则由题意得：
a1 a1q 7 a1 a1 27 即 381 S7= 1 q 1 2
解得
a1 =3，
故尖头有灯3盏
小结
1.已知 a1 , n, q 则
Sn
{
na 1,
a1 1 q n , 1 q
( q=1).
(q≠1).
( q=1). (q≠1).
例4.求数列
2 n 1 2 …… …… 2 1 2 2 ( 2 ) 前n項和。 1,(1+2)（ ，1+2+ ),
解:∵ak
1 2 2 …… 2 k 1
2
∴ Sn
1(1 2 k ) 1 2 k
2 1
先求通项，再 分组求和法
a1 a2 …… an
(a 0, a 1).
练习பைடு நூலகம்远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增， 其灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？ 这首古诗的答案是什么？
数学建模：已知等比数列an ，公比q=2 n=7，S7=381求a1
分析：这首古诗前三句给大家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把 它变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？
= 2 ( 2n – 1 ) n = n2
∴ S′ n = ∴ S″n =
等比数列的前n项和(2)
。
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D） A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
等比数列前n项和的性质三：
an 共有2n项，则： 若等比数列
S偶 S奇 q
这个形式和等比 数列等价吗？
n
等比数列前n项和的性质一：
数列 {an }是等比数列 S n Aq - A( A 0) 相反 类似结论： 数 数列 {an }是等比数列 S 1 q n n Sm 1 q m
1 、若等比数列 {an }的前n项和S n 4n a，求a的值。
新等比数列首项为 S k，公比为q k 。
2、等比数列 {an }的前n项和为S n，若S m 10 ，S 2m 30 ， 求S 3m的值。
解： S m，S 2m - S m，S3m - S 2m 成等比数列
(S 2m - S m ) S m (S3m - S 2m )
2
即： (30 - 10) 10 (S3m - 30)
(S10 - S5 ) 2 S5 (S15 - S10 ) 993 2 k 即： (31k - 32k ) 32k (S15 - 31k ) 解得： S15 32
S15 993 S10 992
等比数列的前n项和 (2)
六、评价分析
本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不 同的思维角度掌握了等比数列前 n 项和公式．错位 相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系， 揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实．学生 从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想， 培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判 性．同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使 学生既巩固了知识，又形成了技能．在此基础上， 通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、 合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不 断创新的思维品质．
两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以 消去相同的项，得到 s64 = 264 -1 ．老师指出：这就是错 位相减法，并要求学生纵观全过程，
反思： 为什么①式两边为什么要乘以2 ？
设计意图：
(1)反思是让学生进一步体会错位相减法的 实质用法,为今后的应用打下基础. (2)学生经过一段思考后，突然发现上述解 法,真是太简洁了！让学生在探索过程中， 充分感受到成功的情感体验，从而增强学 习数学的兴趣和学好数学的信心．
等比数列的前n项和 （第一课时）
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等比数列的前n项和
一、教材分析 二、目标分析 三、学法分析 四、过程分析
五、教法分析
六、评价分析
一、教材分析
1．地位与作用
《等比数列的前 n项和》是数列这一章中的 一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛 的实际应用 ( 如储蓄、分期付款的有关计算等 等 ) ，而且公式推导过程中所渗透的类比、化 归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法， 都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．
高二数学 等比数列的前n项和
等比数列的前n项和
•等比数列的前n项和公式：
；
•等比数列中设元技巧：
已知a1，q，n，a n，S n中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。
注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。
等比数列前n项和公式的变形：
q≠1时，（a≠0，b≠0，a+b=0）；
等比数列前n项和常见结论：
一个等比数列有3n项，若前n项之和为S1，中间n项之和为S2，最后n项之和为S3，当q≠-1时，S1，S2，S3为等比数列。
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等比数列及其前n项和
等比数列及其前n 项和
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0). 2.等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －
1(a 1≠0，q ≠0).
3.等比中项
如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝b G ，
G 2＝ab ，G ＝±ab ，称G 为a ，b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －
m (n ，m ∈N ＋).
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·
b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n b n 仍是等比数列.
5.等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；
当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .
6.等比数列前n 项和的性质
公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 概念方法微思考