等比数列及其前n项和二
等比数列的前n项和(二)
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4．若等比数列的前n项和Sn＝5n＋m，则m＝ ( ) A．－1 B．1 C．－5 D．5 解析：a1＝5＋m，当n≥2时，an＝5n－5n－1＝ 4· 5n－1所以5＋m＝4，m＝－1. 答案：A
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释
等比数列前n项和性质
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课堂总结
灵活应用等比数列前n项和的性质解题，往往能 达到事半功倍的效果．
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误区解密
考虑不全面，导致错误
【例3】 设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1≠0，若 S3＋S6＝2S9，求数列{an}的公比q.
错解：因为 S3＋S6＝2S9，所以 a11－q3 a11－q6 a11－q9 ＋ ＝ 2× ， 1－q 1－q 1－ q 由于 a1≠0，整理，得 q3(2q6－q3－1)＝0. 因为 q≠0，所以(2q3＋1)(q3－1)＝0， 4 所以 q＝1 或 q＝－ . 2 3
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520 520 由题意知4 a－4x4 ＋4x≥4a，
令
520 y＝4 ，则
1g y＝20(1g 5－1g 4)＝20(1－31g 2 )≈2， ∴y＝100，∴100a－400x＋4x≥4a， 8 ∴x≤ a. 33 8 故每年砍伐量不能超过 a. 33
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1． 110a－ 1.19x－ 1.18x－…－ 1.1x－ x
10 1.1 －1 10 ＝ 1.1 a－ x＝ 2.6a－ 16x. 1.1－ 1
3 由题意， 得 2.6a－ 16x＝ 2a.解得 x＝ a(m2)． 80 a 3 － a× 10 2 80 1 (2)所求百分比为 ＝ ≈ 6.3%. 2a 16
高二数学等比数列的前n项和2
① ②
②÷①得 q＝2.将 q＝2 代入①得11－－44n＝85，
∴4n＝256，∴n＝4.∴公比 q＝2，项数为 8.
• [例3] 银行按规定每经过一定时间(贷款利 率中的时间间隔)结算贷款的利息一次，结算 后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫
复利．现在某企业进行技术改造，有两种方 案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便 可获利1万元，以后每年比前一年增加30% 的利润；乙方案：每年年初贷款1万元，第 一年便可获利1万元，以后每年比前一年多 获利5千元．两种方案的实施期限都是十年， 到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年 息10%的复利计算，比较两个方案，哪个获
(2)Sn＝a111－－qqn＝64[11－－2112n] ＝128[1－(12)n]<128.
• [例1] 在等比数列{an}中，已知Sn＝48， S2n＝60，求S3n.
• [分析] 用求和公式直接求解或用性质求 解．
[解] 解法 1：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.
a111－－qqn＝48，① 由已知得a111－－qq2n＝60，②
• A. B.
• C. D.
解析：由aa12＋＋aa23＋＋aa34＝aa2111＋ ＋qq＋ ＋qq22＝aa21＝q＝－12， 又由 a1＋a2＋a3＝6，且 q＝－12，∴a1＝8，可得 a2＝a1q＝8×(－ 12)＝－4， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝a111－－qq7－8－(－4)＝181.
• 2．等比数列{an}中，S2＝7，S6＝91，则 S4为( )
• A．28
B．32
• C．35
D．49
• 解析：∵S2，S4－S2，S6－S4成等比数列 • ∴(S4－S2)2＝S2(S6－S4) • ∴(S4－7)2＝7(91－S4) • ∴S4＝28. • 选A.
等比数列的前n项和(第二课时)
2． 等比数列前n项和性质
(1)在等比数列{an}中，连续相同项数和也成等比数列，即： Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列． (2)当 n 为偶数时， 偶数项之和与奇数项之和的比等于
S偶 等比数列的公比，即 ＝q. S奇 (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0， n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝－Aqn＋A⇔数列 {an}为等比数列．
2．5 等比数列的前n项和
等比数列前n项和公式的理解 1． (1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q， Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．
a11－qn (2)当公比 q≠1 时， 等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝ ， 1－q a1 n a1 a1 它可以变形为 Sn＝－ · q＋ ，设 A＝ ，上式可写 1－q 1－q 1－q n 成Sn＝－Aq ＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和 Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式 的系数与常数项互为相反数． 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常 数项为0的一次函数)．
96 ＝ ＝32，∴n＝6. 3
(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得 a1＋a1q2＝10， a11＋q2＝10， 3 即 3 5 5 5 2 a1q ＋a1q ＝ ， a1q 1＋q ＝ . 4 4 ∵a1≠0,1＋q2≠0， 1 1 ∴②÷ ①得，q ＝ ，即 q＝ ，∴a1＝8. 8 2
a[1＋0.016－1] ＝ ＝a[1.016－1]×102(元)． 1.01－1 1.016×102 由 S1＝S2，得 a＝ . 6 1.01 －1 以下解法同法一，得 a≈1 739. 故每月应支付 1 739 元．
等比数列的前n项和(二)
课前训练
1 1 1 的前n项和 求等比数列 1, , , ,…的前 项和 n. 的前 项和S 2 4 8
例题1: 例题1: 变式1: 变式1:
n 17 3 5 9 2 +1 的前n项和 项和S 求数列 2 , , 8 , 16,… 2 n 的前 项和 n. 4
若数列{a 的通项a 项和S 若数列 n} 的通项 n =2n+n，求其前 项和 n. ，求其前n项和
变式2 学案与测评》 变式2：《学案与测评》P32 第7题 题
求数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1 ,…的前 求数列 的前 n项和 n. 项和S 项和
Байду номын сангаас
例题2: 例题2:
若数列{a 的通项a 求其前n项和 项和S 若数列{an} 的通项an =n2n，求其前n项和Sn.
变式1： 变式1
课外练习: 课外练习:
《学案与测评》P32 学案与测评》 “举一反三”第2题, ”能力提高”第8题, 举一反三” 能力提高” 举一反三 题 能力提高 题 ”拓展延伸”第9题 拓展延伸” 拓展延伸 题
课外作业
课本P61 课本P61 第4题
等比数列的前n项和
na1 等比数列{a 中 当公比 当公比q=1时,Sn=_________; 等比数列 n}中,当公比 时 n a1 an q a1（1-q ) （ 当公比q≠1时,Sn=________________=________________; 当公比 时 1-q 1 q
等比数列的前n项和 的公式推导过程中， 等比数列的前 项和Sn的公式推导过程中，用 项和 了什么方法?___________ 了什么方法 错位相减法
等比数列及其前n项和-精选
同一个 ；公比通常用字母 q 表示(q≠0)， 公比
3．等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么称这个数
G 为 a 与 b 的等比中项．
考基联动
考向导析
规范解答系列 限时规范训练
§5.3 等比数列及其前n项和
理解等比数列的概念/掌握等比数列的通项公式与前n项和公式/了解等比数列与指 数函数的关系
考基联动
考向导析
规范解答系列 限时规范训练
基础自查
1．等比数列
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于
常数，那么
这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 即： an ＝q(n≥2，q 为常数)．
C．此数列不是等差数列，但可能是等比数列 D．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列 解析：由前 2 项可设通项 an＝6n－3 和 an＝3n，代入检验即可． 答案：D
2．“b＝ ac”是“a、b、c 成等比数列”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：D
4．等比数列的常用性质
q (1)通项公式的推广：an＝am·
k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，则
.
a ·a ＝a ·a (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，a1n，{a2n}，{an·bn}k，labnn仍m是 n
提示：存在，可以证明既是等差又是等比数列的数列一定是非零常数列．
2．如何推导等比数列的通项公式和前 n 项和公式？
等比数列及其前n项和考点与题型归纳
等比数列及其前n 项和考点与题型归纳一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n 可以看成函数y ＝cq x ，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q ，则S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x ＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .考点一 等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. (2)若a n＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63，得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n1－2＝2n －1.由S m ＝63，得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6. [题组训练]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C.2D ．22解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4. 2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考点二 等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a n a n ＋1－2a n ＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]1．掌握等比数列的4种常用判定方法 定义法 中项公式法 通项公式法前n 项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可．[题组训练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列． 证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6.由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n ，即a n＋1＝2a n ＋2n，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n )＝2(a n ＋1－2a n )， 又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1. ∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－2 C.2D ．－ 2 或2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A. [答案] (1)B (2)A考法(二) 等比数列前n 项和的性质[典例] 各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16[解析] 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30. [答案] B [解题技法]应用等比数列性质解题时的2个关注点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．[题组训练]1．(2019·郑州第二次质量预测)已知等比数列{a n }中，a 2a 5a 8＝－8，S 3＝a 2＋3a 1，则a 1＝( )A.12 B ．－12C ．－29D ．－19解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋3a 1，所以a 3a 1＝q 2＝2.因为a 2a 5a 8＝a 35＝－8，所以a 5＝－2，即a 1q 4＝－2，所以4a 1＝－2，所以a 1＝－12，故选B.2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.答案：2[课时跟踪检测]A 级1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2D.12解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.2．(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，则a 1＝a 3q2＝1，故选A.4．(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )A ．22 018－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 018C ．22 019－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 019解析：选A 由等比数列的性质及a 2a 6＝8(a 4－2)，得a 24＝8a 4－16，解得a 4＝4.又a 4＝12q 3，故q ＝2，所以S 2 019＝12(1－22 019)1－2＝22 018－12，故选A.5．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝21，a 2＋a 4＋a 6＝42，则S 9＝( ) A ．255 B ．256 C ．511D ．512解析：选C 设等比数列的公比为q ，由等比数列的定义可得a 2＋a 4＋a 6＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＝q (a 1＋a 3＋a 5)＝q ×21＝42，解得q ＝2.又a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝a 1×21＝21，解得a 1＝1.所以S 9＝a 1(1－q 9)1－q ＝1×(1－29)1－2＝511.故选C.6．已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1 B ．a 1<0，q >1 C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >1解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0，又数列{a n }为递增等比数列，∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|， 则－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n ∈(0,1)，∴a 1<0,0<q <1.故选A.7．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________． 解析：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 由a 5＝a 1q 4＝16，a 1＝1，得16＝q 4，解得q ＝2， 所以S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1×(1－27)1－2＝127.答案：1278．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48. 答案：12,489．(2018·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5，a 4＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2a 4＝a 5，a 4＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.答案：2n －110．已知等比数列{a n }为递减数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10， 得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， 得2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝12()q ＝2舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝12n .答案：12n11．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1， 而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.12．(2019·甘肃诊断)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a 3＝7，a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．解：(1)由题可知a 3＋1＝8，a 7＋1＝128， 则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024， 可得a 5＋1＝32，即a 5＝31. (2)设数列{a n ＋1}的公比为q ，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1，利用分组求和可得，数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .B 级1．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．3n－1 B.1－(－3)n 2C.1＋3n 2D.3n 2＋n 2解析：选A 由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1>0，∴a n －3a n －1＝0，即a na n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.2．(2019·郑州一测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.解析：因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100.答案：1003．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解：(1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12，∴b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。
等比数列前n项和公式大全
等比数列前n项和公式大全等比数列前n项和公式：Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
推导如下：因为an = a1q^(n-1)所以sn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1) (1)qsn =a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n (2)（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。
把（1）式的第二项乘以（2）式的第一项。
把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。
以此类推,把（1）式的第n项乘以（2）式的第n-1项。
（2）式的.第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。
于是获得(1-q)sn = a1(1-q^n)即sn =a1(1-q^n)/(1-q)。
等比数列的性质①若 m、n、p、q∈n*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；②在等比数列中，依次每 k项之和仍成zhi等比数列.“g就是a、b的等比中项”dao“g^2=ab（g≠0）”.③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数列，公比是q2，则（a2n），（a3n）…就是等比数列，公比为q1^2，q1^3…（can），c是常数，（an*bn），（an/bn)是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5) 等比数列前n项之和sn=a1(1-q^n)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)=(a1q^n)/(q-1)-a1/(q-1)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.特别注意：上述公式中a^n则表示a的n次方。
(6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
等比数列的通项及前n项和
聚 焦 考 向 透 析
1．理解等比数列的概念．
2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式．
聚
3．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关
焦 考
向
透
知识解决相应的问题．
析
4．学习与等比数列有关的求和问题。
【知识梳理】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第 二 项起，每一项与它的前一项的比等于同一
聚 焦
考
个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公
向 透
析
比 ，通常用字母 q 表示．
2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an＝a1·qn－1 . 3．等比中项 若 a，G、b成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．
4．等比数列的常用性质
考
(1)由 an＋1＝qan，q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列，还要验
向 透
析
证 a1≠0.
(2)在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与 q≠1
分类讨论，防止因忽略 q＝1 这一特殊情形导致解题失误．
考向一 基本计算及性质应用
聚
焦
考
向
透
析
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比 q 等于(
an＋1＝2an＋1.
聚
（1）证明：数列{an＋1}是否为等比数列。
焦 考
向
透
（2）求数列{an}的通项公式。
析
考向三：与等比数列相关的求和问题
例 3：(2011·高考课标全国卷)等比数列{an}的各项均为正数，且
等比数列通项公式和前n项和公式
等比数列通项公式和前n项和公式等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，则其通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中n 为项数。
在等比数列中，前n项和的公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。
英文：Geometric progression is a sequence in which the ratio of any two consecutive terms is the same. Let the first term of the geometric sequence be a, and the common ratio be r, then its general term formula is: an = a * r^(n-1), where n is the number of terms. In a geometric sequence, the formula for the sum of the first n terms is: Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r).等比数列通项公式an= a1 * q^(n-1)，其中q为公比。
英文：The general term formula of a geometric sequence is an=a1 * q^(n-1), where q is the common ratio.在等比数列中，首项为a1，通项公式为：an= a1*q^(n-1)。
其中an表示第n项，q为公比。
英文：In a geometric sequence, the first term is a1 and the general term formula is: an= a1*q^(n-1). Where an represents the nth term, and q is the common ratio.当公比小于1时，等比数列是一个收敛的数列。
等比数列的前n项和(二)
等比数列的前n 项和（二）[学习目标] 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n 项和有关的问题．知识点一 等比数列的前n 项和的变式1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1－a n q 1－q ＝a 1q nq －1－a 1q －1； 当q ＝1时，S n ＝na 1.2．当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·qn＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 思考 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 等于________．答案 －13解析 由题{a n }是等比数列， ∴3n 的系数与常数项互为相反数， 而3n 的系数为13，∴k ＝－13.知识点二 等比数列前n 项和的性质1．连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数) 2．S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．3．若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .思考 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210 D ．520答案 A解析 S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80， ∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.题型一 等比数列前n 项和的性质例1 (1)等比数列{a n }中，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝______.(2)等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝____. 答案 (1)28 (2)2解析 (1)∵数列{a n }是等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也是等比数列， 即7，S 4－7,91－S 4也是等比数列， ∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)， 解得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)＞0， ∴S 4＝28.(2)由题S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160， ∴q ＝S 偶S 奇＝2.跟踪训练1 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( )A ．2 B.73 C.83 D ．3答案 B解析 方法一 因为数列{a n }是等比数列，所以S 6＝S 3＋q 3S 3，S 9＝S 6＋q 6S 3＝S 3＋q 3S 3＋q 6S 3，于是S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝3，即1＋q 3＝3，所以q 3＝2.于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73.方法二 由S 6S 3＝3，得S 6＝3S 3.因为数列{a n }是等比数列，且由题意知q ≠－1，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，解得S 9＝7S 3，所以S 9S 6＝73.(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式．解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇、S 偶，由题意知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，即a 1＝12. 故所求通项公式为a n ＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1. 题型二 等比数列前n 项和的实际应用例2 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．解 方法一 设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k 元，则： A 2＝5 000×(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0084－1.0082x －x ， …A 12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0， 解得x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－(1.0082)61－1.0082≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．方法二 设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则： A 2＝x ；A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)； A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)； …A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)． ∵年底付清欠款，∴A 12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．跟踪训练2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n的表达式．解 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元，所以总投入a n ＝800＋800×⎝⎛⎭⎫1－15＋…＋800× ⎝⎛⎭⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n (万元)．同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝⎛⎭⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元．所以总收入b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋400× ⎝⎛⎭⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1.综上，a n ＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n ，b n ＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1. 题型三 新情境问题例3 定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数． (1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方数列”的前n 项之积为T n ，则T n ＝(2a 1＋1)(2a 2＋1)·…·(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；(3)对于(2)中的T n ，记b n ＝log 2a n ＋1T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞4 024的n 的最小值．(1)证明 由条件得a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ，2a n ＋1＋1＝4a 2n ＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2.∴数列{2a n ＋1}是“平方数列”．∵lg(2a n ＋1＋1)＝lg(2a n ＋1)2＝2lg(2a n ＋1)， 且lg(2a 1＋1)＝lg 5≠0， ∴lg (2a n ＋1＋1)lg (2a n ＋1)＝2，∴{lg(2a n ＋1)}是首项为lg 5，公比为2的等比数列． (2)解 ∵lg(2a 1＋1)＝lg 5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1lg 5.∴2a n ＋1＝125n -，∴a n ＝12(125n -－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1) ＝lg 5(1－2n )1－2＝(2n －1)lg 5， ∴T n ＝25n－1.(3)解 ∵b n ＝log 12n a +T n ＝lg T nlg (2a n ＋1)＝(2n－1)lg 52n －1lg 5＝2n －12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴S n ＝2n －⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎝⎛⎫122＋…＋⎝⎛⎫12n －1 ＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n.由S n ＞4 024，得2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n ＞4 024， 即n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＞2 013.当n ≤2 012时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＜2 013； 当n ≥2 013时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＞2 013. ∴n 的最小值为2 013.跟踪训练3 把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图(1))；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2))；如此继续下去，则：(1)图(3)共挖掉了________个正方形；(2)第n 个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． 答案 (1)73 (2)8n －17 1－⎝⎛⎭⎫89n解析 (1)8×9＋1＝73.(2)设第n 个图形共挖掉a n 个正方形，则a 1＝1，a 2－a 1＝8，a 3－a 2＝82，…，a n －a n －1＝8n －1(n ≥2)，所以a n ＝1＋8＋82＋…＋8n －1＝8n －17(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1也满足上式，所以a n ＝8n －17.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×⎝⎛⎭⎫132＋8×⎝⎛⎭⎫134＋82×⎝⎛⎭⎫136＋…＋8n －1×⎝⎛⎭⎫132n ＝19[1－⎝⎛⎭⎫89n ]1－89＝1－⎝⎛⎭⎫89n .1．等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 等于( ) A ．2n－1 B.4n －13C.1－(－4)n 5D.1－(－2)n 32．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．等比数列{a n }的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是( ) A ．28 B ．48 C ．36 D ．524．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列．求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．162．等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项的和是( )A.1S B ．Sq n －1 C ．Sq 1－n D.q n S3．已知等比数列{a n }的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q 等于( ) A.12B ．1C ．2D ．4 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零的常数且a ≠1)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列5．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025 B ．1 024 C ．10 250D ．20 2406．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 1＝8，S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( ) A ．S 1 B ．S 2 C ．S 3 D ．S 47．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a n ＋1a n －1B.S 5S 3C.S 5a 3D.S n ＋1S n二、填空题8．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝________.9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________.10．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，则公比q ＝________.11．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )．若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.三、解答题12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是等比数列，求实数t 的值；(2)设各项均不为0的数列{c n }中，所有满足c i ·c i ＋1＜0的整数i 的个数称为这个数列{c n }的“积异号数”，令c n ＝na n －4na n (n ∈N *)，在(1)的条件下，求数列{c n }的“积异号数”．13．某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量m(m＞0)万吨．(1)从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量(万吨)依次构成数列{a n}，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；(2)证明：数列{a n－10m}是等比数列；(3)若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．当堂检测答案1．答案 B解析 由a 1a 2a 3＝1得a 32＝1， ∴a 2＝1， 又∵a 4＝4， ∴a 4a 2＝4. ∴数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为1， 公比为4的等比数列．∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝4n －13.2．答案 D解析 设每天植树棵数为{a n }，则{a n }是等比数列， ∴a n ＝2n (n ∈N *，n 为天数)． 由题意得2＋22＋23＋…＋2n ≥100， ∴2n －1≥50， ∴2n ≥51， ∴n ≥6.∴需要的最少天数n ＝6. 3．答案 A解析 易知S m ＝4，S 2m －S m ＝8， ∴S 3m －S 2m ＝16， ∴S 3m ＝12＋16＝28.4．证明 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2a 7＝a 1＋a 4， 即2a 1·q 6＝a 1＋a 1·q 3， ∴2q 6－q 3－1＝0.令q 3＝t ，则2t 2－t －1＝0， ∴t ＝－12或t ＝1，即q 3＝－12或q 3＝1.当q 3＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．当q 3＝－12时，2S 3＝2×a 1(1－q 3)1－q ＝2a 1×321－q ＝3a 11－q，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝3a 141－q ， S 12－S 6＝a 7(1－q 6)1－q ＝a 1·q 6(1－q 6)1－q ＝a 14×341－q ， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．课时精练答案一、选择题1．答案 C解析 由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4(a 1q )＝4a 1＋a 1·q 2，∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2＝15. 2．答案 C解析 易知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，首项为1，公比为1q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1－(1q )n 1－1q＝q (1－q n )(1－q )q n ＝1－q n 1－q ·1q n －1＝S qn －1＝S ·q 1－n . 3．答案 C解析 S 3＝1，S 6＝9，∴S 6－S 3＝8＝a 4＋a 5＋a 6＝q 3(S 3)＝q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.4．答案 B解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a －1，也满足上式．∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *. ∴a n ＋1a n＝a ，为常数．∴数列{a n }一定是等比数列．5．答案 C解析 ∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n ＞0，∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.6．答案 C解析 由题S 1正确．若S 4错误，则S 2、S 3正确，于是a 1＝8，a 2＝S 2－S 1＝12，a 3＝S 3－S 2＝16，与{a n }为等比数列矛盾，故S 4＝65.若S 3错误，则S 2正确，此时，a 1＝8，a 2＝12.∴q ＝32，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝8⎣⎡⎦⎤1－(32)41－32＝65，符合题意． 7．答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0，得8a 2＋a 2q 3＝0，∵a 2≠0，∴q 3＝－8，∴q ＝－2，∵a n ＋1a n －1＝q 2＝4， S 5S 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1－q 51－q 3＝113， S 5a 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1q 2＝1－q 5q 2(1－q )＝114， 而D 中S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n 与n 有关，故不确定． 二、填空题8．答案 12(9n －1) 解析 {a n }的首项为2，公比为3，∴{a 2n }也为等比数列，首项为4，公比为9，∴{a 2n }的前n 项和为4(1－q n )1－q＝12(9n －1) 9．答案 16解析 方法一 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， ∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)．又∵S 3＝2，S 6＝6，∴S 9＝14.再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)，求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.方法二 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16. 10．答案 12解析 由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.又S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10＝(12)10. 又{a n }为正项等比数列，∴q ＝12. 11．答案 1－12n 解析 令x ＝n ，y ＝1，则f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，又a n ＝f (n )，∴a n ＋1a n ＝f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝a 1＝12， ∴数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n . 三、解答题12．解 (1)由题意，当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝2S n ＋1a n ＝2S n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，所以，当n ≥2时{a n }是等比数列，要使n ≥1时{a n }是等比数列，则只需a 2a 1＝2t ＋1t＝3，从而得出t ＝1.(2)由(1)得，等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝3，∴a n ＝3n －1， ∴c n ＝na n －4na n ＝n ·3n －1－4n ·3n 1＝1－4n ·3n 1， ∵c 1＝1－41＝－3，c 2＝1－42×3＝13， ∴c 1c 2＝－1＜0，∵c n ＋1－c n ＝4n ·3n －1－4(n ＋1)·3n ＝4(2n ＋3)n (n ＋1)·3n＞0， ∴数列{c n }递增．由c 2＝13＞0得，当n ≥2时，c n ＞0. ∴数列{c n }的“积异号数”为1.13．(1)解 由已知得，a 1＝40×0.9＋m ，a n ＋1＝0.9a n ＋m (n ≥1)．(2)证明 由(1)得：a n ＋1－10m ＝0.9a n －9m ＝0.9(a n －10m )， 所以数列{a n －10m }是以a 1－10m ＝36－9m 为首项，0.9为公比的等比数列．(3)解 由(2)得a n －10m ＝(36－9m )·0.9n －1， 即a n ＝(36－9m )·0.9n －1＋10m . 由(36－9m )·0.9n －1＋10m ≤55，得 m ≤55－36×0.9n －110－9×0.9n －1＝5.5－4×0.9n 1－0.9n ＝ 1.51－0.9n ＋4 恒成立(n ∈N *)，解得m ≤5.5，又m ＞0，综上可得m ∈(0,5.5]．。
等比数列及其前n项和考点与题型归纳
等比数列及其前n 项和考点与题型归纳一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.-(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q·q n 可以看成函数y ＝cq x，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．·(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m(k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 考点一 等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.%(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．]若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.[题组训练]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4D ．22~解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4.2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，~则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q ＝74，S 6＝a11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考点二 等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． ^[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2. 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法].1．掌握等比数列的4种常用判定方法定义法 中项公式法 通项公式法 前n 项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意~(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可．[题组训练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列． 证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6. 由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n，即a n ＋1＝2a n ＋2n，|所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n)＝2(a n ＋1－2a n )，又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1.>∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．}∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－2}D ．－ 2 或2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A.[答案] (1)B (2)A。
等比数列前n项和公式
例3.设首项为正数的等比数列，
它的前 n项之和为80中数
值最大的项为54，求此数列
新疆 王新敞
奎屯 新疆 王新敞 奎屯
7
例４. 设数列an 为
1,2x,3x 2 ,4x3 nx n1 x 0
n 求此数列前 项的和
新疆 王新敞
奎屯
8
例5．（1）.求和：
Sn ,若S1 1, S2 2 ，且
Sn1 3Sn 2Sn1 0n 2,
问：数列
an
成等比数列吗？ ，
11
作业61页习题A组第4题，B组第5题
补充在等比数列 an 中，
(1) a1 a2 a10 2, a11 a12 a30 12 求 a31 a32 a60 的值。 (2)设等比数列{an}中，q=2,S99=7,求a3+a6+···+a99
Sk , S2k Sk , S3k S2k不是等比数列.
②当q≠－1或k为奇数时，
新疆 王新敞
奎屯
Sk , S2k Sk , S3k S2k仍成等比数列．
3
其它:
S奇 a1 a3 a2n1 , S偶 a2 a4 a2n
则 S偶 qS奇
4
二.例题讲解
例1.等比数列an 前n项和与积分别
为S和T，数列
1 an
的前 n 项和为
S'
求证： T 2
S S'
n
，
5
例2. 已知等差数列{an}的第二项为8，
前十项的和为185，从数列{ an}中，
依次取出第2项、第4项、第8项、……、 第 2n 项按原来的顺序排成一个新数列
{bn }，求数列 {bn }的通项公式和前
等比数列前n项和二
∵an>0, bn>0, ∴由②式得 an+1=bn⋅bn+1.
2 从而当 代入① 从而当 n≥2 时, an=bn-1⋅bn, 代入①得 2bn=bn-1⋅bn+bn⋅bn+1. ∴2bn=bn-1+bn+1(n≥2). ∴{bn} 是等差数列 是等差数列. (2)解: 由 a1=1, b1= 2 及①②两式易得 a2=3, b2= 3 2. ①②两式易得 解 2 2 从而 bn=b1+(n-1)d = 2 (n+1). 故 an+1= 1 (n+1)(n+2). 2 ∴ an= 1 n(n+1)(n≥2). 2 亦适合上式, 而 a1=1 亦适合上式 ∴ an= 1 n(n+1)(n∈N*). ∈ 2 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 ) = 2n . ∴ Sn=…=2(1- 2 2 3 … n n+1 n+1 … -
性质应用： 性质应用：
2.设等比数列 {a n }的前 n项和为 S n , 若 S 8 = 3 S 4 , S12 的值。 求 的值。 S4
最值问题： 最值问题：
3.设正项等比数列 {a n }的前 n项和为 S n = 80 , 前 2 n 项和 S 2 n = 6560 , 在前 n项中数值最大项为 54， 求通项 a n。
最值问题： 最值问题：
是等比数列， 4.若{a n }是等比数列， a1 = 8，设bn = log 2 ( n ∈ N * )
an
如果数列{bn }的前7项和S 7是它的前 n项和组成的 中最大值， 数列{ S n }中最大值，且 S 7 ≠ S 8，求{a n }的公比q的 取值范围。 取值范围。
等比数列及其前n项和
2021年新高考数学总复习第六章《数列》 等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1). 3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数．2．任意两个实数都有等比中项吗？提示 不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项．3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示 必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × )(2)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )(4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( × ) (5)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝ . 答案 12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12. 3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 C解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9，∴m ＝10. 题组三 易错自纠4．若1，a 1，a 2，4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为 ． 答案 －12解析 ∵1，a 1，a 2，4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝ . 答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0.。
等比数列的前n项和知识点总结
等比数列的前n 项和知识点总结一．等比数列的前ｎ项和公式１．()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 注意：（１）公式的推导方法是错位相减法，即先求前ｎ项和，然后把等式的两边同乘以等比数列的公比，最后等式的左边减左边，右边第一个等式的第一项轮空，第二项减去第二个等式的第一项，第一个等式的第三项减去第二个等式的第二项，依次减下去，第一个等式中的最后一项减去第二个等式的倒数第二项，第二个等式的最后一项变成原来的相反数（２）在求等比数列的前ｎ项和时，一定要讨论公比ｑ是否能为１２．公式的变形11=-(1)1-1-qn n a a S q q q ≠ ３．等比数列的前n 项和的性质：（１）若项数为()*2n n ∈N ，则S q S =偶奇． （２）n n m n m S S q S +=+⋅．（３）n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列（注：当ｑ＝－１时，ｎ不能为偶数） ４．已知数列{}n a 的前ｎ项和求通项公式n a 的方法1-1(=1)=-(>1)n n n a n a S S n ⎧⎨⎩ 二跟踪练习1. 在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为Ａ．513 Ｂ．５１２ Ｃ．510 Ｄ．8225 ２．已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=__________３．等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则 a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于A ．2)12(-nB ．)12(31-n C ．14-n D ． )14(31-n ４．8.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n －1，…的前n 项和为A. 2n －n －1B. 2n +1－n －2C. 2nD. 2n +1－n５．已知数列{}n a 的通项公式为nn n a 2=，则该数列的前n 项的和为 A. 242n n +- B. 22n n + C. 222n n +- D. 1242n n ++- ６．已知等比数列{}n a 中，33139=,,22a S a q =求和７．如果一个等比数列的前５项的和等于１０，前１０项的和等于５０，求它的前１５项的和等于多少？８．求和：21+2+3++x x …-1n nx９．已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，已知,153,1193==S a（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n b a 2log =，证明}{n b 是等比数列，并求其前n 项和T n .。
等比数列的前n项和公式(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册)
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
课本P40
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨).
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱பைடு நூலகம்
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
20
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
= 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n )
常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
新数列等比数列及其前n项和
一个等比数列可以用符号表示为 { a_n } ，其中 a_1 是第一项，a_n 是第 n 项 ，q 是公比。
等比数列的性质
等比数列的性质1
等比数列中，公比 q 不为0，且任意一项的绝对值都不大于1。
等比数列的性质2
等比数列的任意两项的积等于这两项的几何平均数。
等比数列的应用
等比数列在金融领域的应用
减少计算量
使用前n项和公式时，可以通过选择合适的计算方法来减少计算量，例如使用循环或递归来计算前n项 和。
03
等比数列的通项公式
通项公式的推导
等比数列的通项公式是：an = a1 * q^(n-1)，其中an是第n项的值，a1 是首项，q是公比。
VS
通项公式的推导基于等比数列的定义 ，即每一项都等于前一项乘以一个常 数。根据定义，我们可以得到an = a1 * q^(n-1)。
求Байду номын сангаас等比数列的特定项
已知等比数列的前n项和公式，可以通过对n赋值来求解等比 数列的特定项。
求解等比数列的特定项的和
已知等比数列的前n项和公式，可以通过对n赋值来求解等比 数列特定项的和。
前n项和公式的优化
简化公式
对于特定的等比数列，可以使用更简化的公式来计算前n项和，例如当r=1时，前n项和为na1。
04
等比数列的求和公式
求和公式的推导
定义等比数列
等比数列是一个特殊的数列，其中每一项（ 除第一项外）都是前一项乘以一个常数。
推导求和公式
基于等比数列的定义，我们可以推导出等比 数列的前n项和公式为：a1*(1-r^n)/(1-r)。 其中，a1是第一项，r是公比，n是项数。
求和公式的应用
高中数学《等比数列前n项和公式》知识点讲解及重点练习
4.3.2 等比数列的前n 项和公式 第1课时 等比数列前n 项和公式学习目标 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一 等比数列的前n 项和公式已知量首项、公比与项数 首项、公比与末项求和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)知识点二 等比数列前n 项和的性质1．数列{a n }为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n 不是偶数)，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍构成等比数列．2．若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N *)．3．若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q (q ≠－1)．1．等比数列前n 项和S n 不可能为0.( × )2．若首项为a 的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n 项和等于na .( √ ) 3．若a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n1－a.( × )4．若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)，则此数列一定是等比数列．( √ )一、等比数列前n 项和公式的基本运算 例1 在等比数列{a n }中， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求公比q .解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－56n 11.(2)方法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.方法二 由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6， 得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10， 所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两个根．从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q ＝2或12.反思感悟 等比数列前n 项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如q n ，a 11－q都可看作一个整体．(3)在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．跟踪训练1 在等比数列{a n }中．(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .解 (1)由S n ＝a 1－a n q 1－q 得，112＝2－162q1－q ，∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1得，162＝2(－2)n －1， ∴n ＝5.(2)若q ＝1，则S 8＝2S 4，不符合题意， ∴q ≠1，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1，S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝17，两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4， ∴q ＝2或q ＝－2， ∴a 1＝115或a 1＝－15，∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.二、利用错位相减法求数列的前n 项和例2 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和．解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n (n ∈N *)．反思感悟 错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围：它主要适用于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和． (2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式．②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况．跟踪训练2 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0,1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝12，因为a 1，a 2，a 3－18成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－18，即得4q 2－8q ＋3＝0， 解得q ＝12或q ＝32，又因为q ∈(0,1)，所以q ＝12，所以a n ＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n .(2)根据题意得S n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12S n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1， 两式相减得12S n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1 ＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1， 所以S n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n ，n ∈N *.三、等比数列前n 项和的性质例3 (1)在等比数列{a n }中，若S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________.(2)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝________.(3)若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和为S n ＝3n ＋1－2k ，则实数k ＝________. 答案 (1)28 (2)2 (3)32解析 (1)∵数列{a n }是等比数列，且易知公比q ≠－1，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也构成等比数列，即7，S 4－7,91－S 4构成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.又S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)>0，∴S 4＝28. (2)由题意知S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160，∴q ＝S 偶S 奇＝2.(3)∵S n ＝3n ＋1－2k ＝3·3n －2k ，且{a n }为等比数列， ∴3－2k ＝0，即k ＝32.延伸探究本例(3)中，若将条件改为“若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和为S n ＝a ·⎝⎛⎭⎫13n －1＋5”，再求实数a 的值．解 由S n ＝a ·⎝⎛⎭⎫13n －1＋5，可得S n＝3a ·⎝⎛⎭⎫13n ＋5，依题意有3a ＋5＝0，故a ＝－53. 反思感悟 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．跟踪训练3 (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝3，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2 答案 C解析 S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列． 即1,2，a 9＋a 10＋a 11＋a 12成等比数列． ∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝4.(2)一个项数为偶数的等比数列{a n }，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，所有奇数项、偶数项之和分别记作S 奇，S 偶，由题意可知，S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． 因为数列{a n }的项数为偶数， 所以有q ＝S 偶S 奇＝13.又因为a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，所以a 31·q 3＝64，即a 1＝12，故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1，n ∈N *.1．在数列{a n }中，已知a n ＋1＝2a n ，且a 1＝1，则数列{a n }的前5项的和等于( ) A ．－25 B ．25 C ．－31 D ．31 答案 D解析 因为a n ＋1＝2a n ，且a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列{a n }的前5项的和为25－12－1＝31.2．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ； 当x ≠1且x ≠0时，S n ＝1－x n 1－x.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2D ．1∶3答案 A解析 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.4．已知在等比数列{a n }中，a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.答案 32或6解析 方法一 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，满足S 3＝92.当q ≠1时，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32，a 1(1－q 3)1－q ＝92.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，q ＝－12.综上可得a 1＝32或a 1＝6.方法二 ⎩⎨⎧S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，a 3＝32.所以a 1＋a 2＝3， 所以a 1＋a 2a 3＝1＋qq 2＝2，所以q ＝1或q ＝－12.所以a 1＝32或a 1＝6.5．若等比数列{a n }的公比为13，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，则{a n }的前100项和为________．答案 80解析 令X ＝a 1＋a 3＋…＋a 99＝60， Y ＝a 2＋a 4＋…＋a 100，则S 100＝X ＋Y ，由等比数列前n 项和性质知Y X ＝q ＝13，所以Y ＝20，即S 100＝X ＋Y ＝80.1．知识清单：(1)等比数列前n 项和公式．(2)利用错位相减法求数列的前n 项和． (3)等比数列前n 项和的性质．2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论． 3．常见误区：(1)忽略q ＝1的情况而致错． (2)错位相减法中粗心出错． (3)忽略对参数的讨论．1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，则S 100等于( ) A ．4－2100 B ．4＋2100 C ．4－2－98D ．4－2－100答案 C 解析 q ＝a 2a 1＝12.S 100＝a 1(1－q 100)1－q＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫121001－12＝4(1－2－100)＝4－2－98.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.558 答案 A解析 易知q ≠－1，因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6， 且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列， 即8，－1，S 9－S 6成等比数列， 所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.3．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ，则a 3a 5等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 C解析 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ， n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1＋a －(2n －2＋a )， 化简得a n ＝2n －2. 则a 3a 5＝2×23＝16.4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若27a 4＋a 7＝0，则S 4S 2等于( )A ．10B ．9C ．－8D ．－5 答案 A解析 设数列{a n }的公比为q ， 由27a 4＋a 7＝0， 得a 4(27＋q 3)＝0， 因为a 4≠0，所以27＋q 3＝0，则q ＝－3，故S 4S 2＝1－q 41－q 2＝10. 5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和等于( ) A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q， 解得q ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列， 前5项和为1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 6．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2·3n ＋r ，则r ＝________. 答案 －2解析 S n ＝2·3n ＋r ，由等比数列前n 项和的性质得r ＝－2.7．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，则项数n ＝________，a 1＝________.答案 5 3解析 由S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(2n －1)＝93，a 1·2n －1＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，n ＝5. 8．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．答案 －2解析 由题意知2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，式子显然不成立，若q ≠1，则有2a 1(1－q n )1－q＝ a 1(1－q n ＋1)1－q ＋a 1(1－q n ＋2)1－q， 故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2，即q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求数列{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .解 (1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12. (2)由已知可得a 1－a 1⎝⎛⎭⎫－122＝3， 故a 1＝4.从而S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n . 10.已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1nb n ＝b n ＋1－b n . 整理得b n ＋1n ＋1＝b n n，又b 22＝b 11， 所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．11．在等比数列{a n }中，a 1＝4，q ＝5，则使S n >107的最小正整数n 的值是( )A ．11B ．10C ．12D ．9 答案 A解析 由题意可知在等比数列{a n }中，a 1＝4，q ＝5，∴S n ＝4·(1－5n )1－5＝5n －1. ∵S n >107，∴5n －1>107，∴n >10.01，∵n 为正整数，∴n ≥11，故n 的最小值为11.12．等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，这个等比数列前n 项的积为T n (n ≥2)，则T n 的最大值为( )A.14B.12C ．1D ．2 答案 D解析 设数列{a n }共有(2m ＋1)项，由题意得S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2m ＋1＝8532， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2m ＝2116， 因为项数为奇数时，S 奇－a 1S 偶＝q ， 即2＋2116q ＝8532， 所以q ＝12. 所以T n ＝a 1·a 2·…·a n＝a n 1q 1＋2＋…＋n －1＝23222,n n -故当n ＝1或2时，T n 取最大值，为2.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，称T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n n 为数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的理想数为2 014，则数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为( )A ．1 673B ．1 675 C.5 0353 D.5 0413答案 D解析 因为数列a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2 014，所以S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 55＝2 014， 即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5＝5×2 014，所以数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2＋(2＋S 1)＋(2＋S 2)＋…＋(2＋S 5)6＝6×2＋5×2 0146＝5 0413. 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1，则S n ＝________.答案 3n －12解析 当n ＝1时，则有2S 1＝a 2－1，∴a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1＝3；当n ≥2时，由2S n ＝a n ＋1－1得出2S n －1＝a n －1，上述两式相减得2a n ＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1＝3a n ，得a n ＋1a n ＝3且a 2a 1＝3， ∴数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝123,n a +则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.答案 9n ＋1－98解析 依题意得S n n ＝n ＋12， 即S n ＝n 2＋12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n －⎣⎡⎦⎤(n －1)2＋12(n －1)＝2n －12； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12， 所以a n ＝2n －12(n ∈N *)， 则1223,3n n n a b +=＝由b n ＋1b n ＝32(n ＋1)32n ＝32＝9， 可知{b n }为公比为9的等比数列，b 1＝32×1＝9， 故T n ＝9(1－9n )1－9＝9n ＋1－98. 16．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n －12n －1＋a n 2n .② 所以，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n 2n －1， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1，n ∈N *.。