【高二数学期末试题】重庆市西南师大附中09-10学年高二上学期期末考试(数学文)

西南师大附中2009—2010学年度上期期末考试高二数学试题（文科）
（总分：150分考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．直线2x –y + 1 = 0的斜率为（）
A．2 B．-2 C．1
2
D．
1
2
-
2．已知A(-1，2)、B(3，-4)，则线段AB的中点为（）
A．(1，-1) B．(-2，3) C．(2，-3) D．
11
,
22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
3．已知双曲线
22
1
3
x y
m
-=的离心率e = 2，则m =（）
A．3 B．3
2
C．1 D．
1
2
4．
圆22
(1)(1
x y
-+=的切线方程中有一个是（）
A．x-y = 0 B．x + y = 0 C．x = 0 D．y = 0
5．如果实数x、y满足条件
10
10
10
x y
y
x y
-+≥
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪++≤
⎩
，那么2x-y的最大值为（）
A．2 B．1 C．-2 D．-3
6．如右图，已知锐二面角α-l-β，A为α面内一点，A到β
的距离为
，到l的距离为4，则二面角α-l-β的大小为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面，
其中正确的是（）
A．①③B．②④C．①②D．③④
8．空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA，则对角线AC与BD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
1 A
9． 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1
的距离是（ ）
A ．34
B ．
43 C ．38
D ．
83
10． 已知直线l 交椭圆4x 2 + 5y 2 = 80于M 、N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN
的重心恰好是椭圆的右焦点，则直线l 的方程是（ ） A ．5x + 6y –28 = 0 B ．5x – 6y -28 = 0
C ．6x + 5y – 28 = 0
D ．6x -5y -28 = 0
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11． “直线l 在平面α内”用数学符号表示为____________________．
12． 以x 轴为对称轴，且过点P (-2，-4)的抛物线的标准方程为____________________．
13． 已知双曲线22
139
x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于_______________．
14． 如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC =90°，PA ⊥平面ABC ，此图形
中有_______________个直角三角形．
15． 过抛物线y 2 = 4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB | = 10，
O 为坐标原点，则△OAB 的重心的坐标是__________________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分12分)
已知圆C ：x 2+y 2-4x -6y +12=0，
求：(1) 圆C 的半径；
(2) 若直线y =kx +2与圆C 有两个不同的交点，求k 的取值范围．
P
A B
C'
A'
C
A
17．(本小题满分12分)
直线l：
y=2x+1与抛物线y2=2px交于A、B，若|AB
18．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N，Q分别PB，PC，AB的中点．求证：(1) MN∥平面PAD；(2) QN∥平面PAD．
C
19．(本小题满分13分)
如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：
(1)AO与A′C′所成角；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角．
20．
(本小题满分13分)
已知中心在原点，顶点A1、A2在x的双曲线经过点P(6，6)，
(1)求双曲线的方程；
(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l
使G平分线段MN．试证明你的结论．
21．(本小题满分13分)
已知A 、B 、C 是长轴为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O (如图)，且0AC BC =，|BC | = 2|AC |． (1) 求椭圆的方程；
(2) 如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，是否总存在实数λ，使
PQ AB λ=，请给出证明．
（命题人：褚晓燕 审题人：潘 丹）
C
西南师大附中2009—2010学年度上期期末考试
高二数学试题参考答案（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．A 2．A 3．C 4．C 5．B 6．C 7．B 8．D 9．B 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．l ⊂α； 12．y 2=-8x ； 13．2；
14．4； 15．83⎛± ⎝， 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(12分) 解：(1) 化为标准方程得：(x -2)2+(y -3)2=1，则圆C 的半径为1； ····················· 5分
(2) 联立方程组，消y 得：(x -2)2+(kx -1)2=1，
化简得：(k 2+1)x 2-2(k +2)x +4=0， ····························································· 7分 则∆=4(k +2)2-16(k 2+1)>0，化简得：3k 2-4k <0， ·································· 10分
解得：4
03
k << ······················································································ 12分
17．(12分) 解：联立方程组，消y 得4x 2+ (4-2p )x +1=0， ·······················································
3分
则|AB )4=⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣， ············································· 8分 解得：p =6，或p =-2，
∴抛物线的方程为y 2=12x ，y 2=-4x ······························································· 12分
18．(12分) 证明：(1) ∵M 、N 分别是PB 、PC 的中点，∴MN ∥BC ， ··································· 2分
又∵AD ∥BC ，∴MN ∥AD ， ·································································· 4分 又∵AD ⊂平面PAD ，∴MN ∥平面PAD ； ············································ 6分 (2) 连结MQ ，∵M 、Q 分别是PB 、AB 的中点，∴MQ ∥PA ， ·············· 8分
又∵MN ∩MQ =M ，∴平面MNQ ∥平面PAD ， ································· 10分 又∵QN ⊂平面MNQ ，∴QN ∥平面PAD ；········································ 12分
19．(13分) 解：(1) ∵A ′C ′∥AC ∴AO 与A ′C ′所成角就是∠OAC
∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BC ′ ∴OC ⊥OA
在Rt △AOC
中，OC =
AC = ∴∠OAC = 30°······························································································ 4分 (2) 如图，作OE ⊥BC 于E ，连结AE
∵平面BC ′⊥平面ABCD
∴OE ⊥平面ABCD ，
∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成角 在Rt △OAE 中，
1
2
OE =
，AE ==
∴tan OE OAE AE ∠=
= ············································································ 9分 (3) ∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ⊂平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC
即平面AOB 与平面AOC 所成角为90° ···················································· 13分
20．(13分) 解：(1) 设所求的双曲线方程为22
221x y a b
-=，
∵c e a =
=且双曲线经过点P (6，6)，
则22
22
661a b =⎨⎪-=⎪⎩，解得：2
2912a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴所求的双曲线方程为22
1912
x y -= ·························································· 6分
(2) P 、A 1、A 2的坐标分别为(6，6)，(-3，0)，(3，0)，∴G 点坐标为(2，2)， 假设存在直线l 使G (2，2)平分线段MN ， 设M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，
∴22
1122
22129108.......(1)129108. (2)
x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
(1)-(2)得：12(x 12-x 22) = 9(x 12-x 22) ，12(x 1+x 2) (x 1-x 2) = 9(y 1+y 2) (y 1-y 2)
C'
A'
C
又
1222x x +=，12
22y y +=，即x 1+ x 2 = 4，y 1 + y 2 = 4， ∴1
21124
3MN y y k k x x -===-， ∴l 的方程为4
2(2)3y x -=- ····································································· 11分
由221291084
2(2)
3x y y x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩
消去y 整理得x 2-4x +28 = 0 ∵∆ = (-4)2-4×28 < 0，
∴所求直线不存在． ·················································································· 13分
21．(13分) 解：(1) 设所求的椭圆方程为22
221x y a b
+=，其中2a = 4
∵0AC BC =，|BC | = 2|AC |，则∠ACB = 90°，且|OA | = 2，
OC OB AC ==
∴C (1，1)代入椭圆方程得2
4
3
b =，即椭圆方程为223144x y +=
(2) 若PCQ ∠的平分线垂直于OA ，则PC 、QC 倾斜角互补， 设PC 所在的直线方程为y -1 = k (x -1)， 由方程组221(1)
3144
y k x x y -=-⎧⎪
⎨+=⎪
⎩可得
(3k 2 +1)x 2 + (6k -6k 2)x + 3(k -1)2-4 = 0， ∵22
6631P C k k
x x k -+=+，且x C = 1， ∴22361
31
P k k x k --=+，
代入y -1= k (x -1)中可得22321
31P k k y k --+=+，
同理可得22
36131Q k k x k +-=+，22321
31
Q k k y k -++=+， ∴2222222
2321321
131313361361
3131
PQ
k k k k k k k k k k k k k -++--+-++==+----++
又1
3
AB k =
，∴PQ ∥AB 总存在λ使PQ AB λ= ································ 13分。