垂径定理第一课时

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O
圆也是中心对称图形. 圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心. 它的对称中心就是圆心. 圆心 旋转的方法即可解决这个 用旋转的方法即可解决这个 问题. 问题.
• AB是⊙O的一条弦 是 的一条弦. 的一条弦 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为 使 ⊥ 垂足为M. 作直径 垂足为
C
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M└ └
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圆的半径为R,弦长为 弦心距为 弦心距为d,则 圆的半径为 弦长为 a,弦心距为 则 R 、a、d满足关系 、 满足关系 式＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （½ a）2+d2=R2 ）
如图， 的半径为5， 的长为8， 是弦 是弦AB 如图，⊙O的半径为 ，弦AB的长为 ，M是弦 的半径为 的长为 上的动点，则线段OM的长的最小值为____.最大 的长的最小值为____ 上的动点，则线段 的长的最小值为____. 3 值为____________. 值为____________. ____________ 5
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学习目标
1.记住垂径定理的内容， 2.会把垂径定理用几何语言 表示 3.能够利用垂径定理的内容 解决实际问题
• 圆是轴对称图形吗？ 圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的? 你是用什么方法解决上述问题的?
B O
左图是轴对称图形吗? 左图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么 其对称轴是什么? 如果是 其对称轴是什么
说出图中的弦和弧（优弧．劣弧） 说出图中的弦和弧（优弧．劣弧）
• 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？ 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？
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发现图中有: 发现图中有 由 ① CD是直径 是直径 ② CD⊥AB ⊥
O A E C D B
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③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
探索垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
– 1.想一想：如下图示，AB是⊙O的弦 不是直径 ，作一条 想一想：如下图示， 是 的弦(不是直径 想一想 的弦 不是直径)， 平分AB的直径 的直径CD， 于点M． 平分 的直径 ，交AB于点 ． 于点 – 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（ ）此图是 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1） ：（ 轴对称图形吗?如果是 其对称轴是什么?（ ） 如果是， 轴对称图形吗 如果是，其对称轴是什么 （2）你能发现 图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
⌒ ⌒ 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论 就可推出其余三个结论. ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论
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M└ └
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你可以写出相应的命题吗? 你可以写出相应的命题吗 相信自己是最棒的! 相信自己是最棒的
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想一想
垂径定理及逆定理
命题
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M└ └
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条件 ①② ①③ ①④ ①⑤ ②③ ②④ ②⑤ ③④ ③⑤ ④⑤
结论 ③④⑤ ②④⑤ ②③⑤ ②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④ ①②⑤ ①②④ ①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧. 并且平分弦所的两条弧
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平分弦(不是直径 的直径垂直于弦 平分弦 不是直径)的直径垂直于弦 并且平 分弦所对的两条弧 不是直径 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦 并且平分弦所对的 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦,并且平分弦所对的 垂直平分弦 另一条弧. 另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧. 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且 平分弦和所对的另一条弧. 平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于 并且平分弦所对的另一条弧. 弦,并且平分弦所对的另一条弧 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦. 并且垂直平分弦
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25 25Leabharlann 20 EB7
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. 15 O
F
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.F O
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ 、ＣＤ在点 两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５ １５＋ 、ＣＤ在点 AB、ＣＤ在点O同侧 、ＣＤ在点 同侧 、ＣＤ在点 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－ ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８ １５
练习：ＡＢ是 练习：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为 ：ＡＢ 的直径， ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为 垂足， ＡＥ＝９，ＢＥ＝１ ＣＤ的长 的长． 垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长． Ｃ Ａ Ｏ Ｅ Ｄ Ｂ 连ＯＣ
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧
注意书写格式. 注意书写格式
• 圆是轴对称图形. 圆是轴对称图形.
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圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线 它有无数条对称轴. ,它有无数条对称轴. 利用对折的方法即可解决上述问题. 利用对折的方法即可解决上述问题. 对折的方法即可解决上述问题
圆是中心对称图形吗？ 圆是中心对称图形吗？ 如果是,它的对称中心是什么? 如果是,它的对称中心是什么? 你又是用什么方法解决这个问题的? 你又是用什么方法解决这个问题的?
已知：如图，在以O为圆心的两个同心 例３ 已知：如图，在以 为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于 交小圆于C， 两点 两点。 圆中，大圆的弦 交小圆于 ，D两点。 试说明： ＝ 。 试说明：AC＝BD。
证明： 证明：过Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ ＯＥ⊥ＡＢ于 ∵ＯＥ⊥ＡＢ ＯＥ⊥ ∴ＡＥ＝ＥＢ ∵ＯＥ⊥ＣＤ ＯＥ⊥ ∴ＣＥ＝ＥＤ ∴ＡＥ－ＣＥ＝ＥＢ－ＥＤ 即ＡＣ＝ＢＤ
的直径是５０ 例２．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平行 已知⊙ 的直径是 ， 的两条平行 ４８cm， 弦AB=４０ cm ，CD=４８ ， ４０ ４８ 求弦AB与 之间的距离 之间的距离。 求弦 与CD之间的距离。
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于 过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。 ＯＥ
由 ① CD是直径 是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
②CD⊥AB, ⊥
平分弦（ 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 并且平 分弦所对的两条弧
想一想
知“二”推“三”
• 如图 在下列五个条件中: 如图,在下列五个条件中 在下列五个条件中 ⌒ ⌒ ⊥ 过圆心的直线, ① 过圆心的直线 ② CD⊥AB,③ AM=BM, ④AC=BC,
如图,弦 的长为 圆心O到 例1.如图 弦AB的长为 8 cm,圆心 到 AB 的距 如图 圆心 的半径. 离为 3 cm,求⊙O的半径 求 的半径
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变1.在⊙O中,直径为 10 cm,弦 AB的 在 中 直径为 弦 的 求圆心O到 的距离 的距离. 长为 8 cm, 求圆心 到AB的距离 B 圆心O 变2.在⊙O中,直径为 10 cm,圆心 在 中 直径为 圆心 到AB的距离为 3 cm,求弦 的长. 的距离为 求弦AB的长 求弦 的长
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 以下三个图,是否有 以下三个图 是否有 AE=BE , AC=BC , AD=BD ? C O B A D E D O B D C A C E O B
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直径垂直弦,才能平分弦,平分弦所对的弧 直径垂直弦 才能平分弦 平分弦所对的弧 才能平分弦 平分弦所对的弧.
判断下列说法的正误