用二分法求方程近似解

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用二分法求方程近似解的两个注意点

用二分法求方程近似解需要注意以下两个点:

1.用二分法求函数零点的一般步骤：

第一步：确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε；第二步：求区间[a,b]的中点c ；

第三步：计算f(c)：

(1)若f(c)＝0，则c 就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(c)＜0，则令b ＝c （此时零点x 0∈(a ，c)）；

(3)若f(c)·f(b)＜0，则令a ＝c （此时零点x 0∈(c ，b)）．

根据这个步骤，各次区间的取舍根据的就是函数零点的存在性定理，即舍去区间端点函数值同号的区间，取区间端点函数值异号的区间．

2.精确度与计算次数的关系：精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定．若初始区间是（a,b ），那么经过n 次取中点后，区间的长度是n b a 2|

|-，只要这个区间的长度小于精确度ε,那么这

个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度满足关系n b a 2|

|-＜ε，即n ＞]||[log 2εb a -，其中[ ]表示取整数，

如[2.5]=2，][π＝3等．

【例1】用二分法求方程x x 1

ln =在（1,2）上的近似解，取中点

c=1.5,则下一个有根区间是 .

【分析】由区间端点处函数值的符号，根据函数零点的存在性定理解决．

【解析】令f(x)=x x 1ln

-, 则f(1)=-1<0,f(2)=,01ln 2ln 212ln =>=-e )25.1(ln 31

5.1ln )5.1(2

二分法求方程近似解

1
2
3
-2
-1
2
y
2
-2 -1 1 1 2 3
o
x
-1
-2
在区间（2，3）中
f(2) < 0,f( 2 + 3) > 0 2
f(
2+2.5 2
)
<
0,
f(2.5)
>
0
f( 2.25 + 2.5) < 0,f(2.5) > 0 2
x1 (2, 2.5) x1 (2.25, 2.5)
x1 (2.375, 2.5)
x0 (0.625, 0.75), x0 (0.625, 0.6875), x0 (0.65625, 0.6875).由于
0.6875 - 0.65625 = 0.03125 < 0.1. 所以原函数在区间（0，1）内精确到0.1的零点约为0.7.
2.原方程即x+lgx-3=0，令f(x)=x+lgx-3．用计算器算得f(2) ≈-0.70，f(3) ≈ 0.48，于是 f(2).f(3)<0，所以这个方程在区间（2，3）内有一个解．下面用二分法求方程x=3-lgx在区间（2， 3）的近似解：
课堂练习
1.下列函数中能用二分法求零点的是（ B ）
y
y
y
y

用二分法求方程的近似解-经典例题及答案

例1：利用估计器，供圆程0122=--x x 的一个近似解（透彻到0.1）．之阳早格格创做

【解】设2()21f x x x =--，先绘出函数图象的简图.

(如左图所示) 果为

(2)10,(3)20f f =-<=>，所以正在区间(2,3)内，圆程2210x x --=有一解，记为1x .与2与3的仄衡数2.5，果为

(2.5)0.250f =>，所以 12 2.5x <<. 再与2与2.5的仄衡数2.25，果为(2.25)0.43750f =-<，

所以 12.25 2.5x <<. 如许继承下去，得

1(2)0,(3)0(2,3)f f x <>⇒∈1(2)0,(2.5)0(2,2.5)f f x <>⇒∈1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)f f x <>⇒∈1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,f f x <>⇒∈ 2.4375)，果为2.375与2.4375透彻到0.1的近似值皆为2.4，所以此圆程的近似解为 1 2.4x ≈. 利用共样的要领，还不妨供出圆程的另一个近似解. 面评:①第一步决定整面地圆的大概区间),(b a ，可利用函数本量，也可借帮估计机或者估计器，但是尽管与端面为整数的区间，尽管收缩区间少度，常常可决定一个少度为1的区间；整面地圆

区间区间中面函数值区间少度

数学必修一用二分法求方程的近似解课件

点？
提示：不能．看一个函数能否用二分法求其零点的依据是函数图象在零点附近是连续不断的，且在该零点左右函数值异号．
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2．二分法的步骤给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点c；
价格在500～1000元之间．选手开始报价：1000元，主持人回答：高
了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看猜价格具
有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数
学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
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类型一【例1】
二分法的概念下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求 )
图中函数零点的是(
思路分析：由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象； ②二分法的概念．
解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条
解：设f(x)＝2x3＋3x－3，经计算f(0)·f(1)<0， ∴f(x)在(0,1)内存在零点．即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解，列表如下：
(a， b) (0,1) (0.5,1) (0.5,0.75) (0.625,0.75) a＋ b 2 0.5 0.75 0.625 0.6875 |a－ b| 1 0.5 0.25 0.125

二分法的应用

函数与方程的思想贯穿了高中数学的始终，而且函数与方程紧密联系，函数的零点就是相应方程的实数根，研究二分法求方程的近似解问题，首先是通过估算，数形结合借助计算器、计算机等手段来确定一个零点所在的大致区间。本文通过几个具体例子来看看二分法有何应用。

一、求方程的近似解

=2在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确到

证明:设函数使f=23-6∵fl=-1<0,f2=4>0,又∵f是增函数，所以函数f=2＋3-6在区间[1,2]有唯一的零点，则方程6-3=2在区间[1,2]有唯一一个实数解．

设该解为0，则0∈[1,2]，取1=，f=>0，F1·f<0，∴0∈1,．取2＝，f＝＞0，f1·f＜0，∴0∈1,．

取3＝，f＝＜0，f·f＜0，∴0∈,．

取4＝,f＝＜0，f·f＜0，∴0∈,1,25．

∵|，∴可取0＝，则方程的实数解为0=

点评：用二分法求方程实数解的思想是非常简明的、但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是较长的，有些计算不用计算工具甚至无法实施，所以需要借助科学计算器．

二、判断方程解的个数

在其定义域上是单调函数，证明f 至多有一个零点．分析:不妨设f 在R 上是增函数，为证明f=0至多有一个实根，考虑用反证法证明．

证明:假设f=0至少有两个不同的实根1,2，且不妨设1<2，由题意得f 1＝O,f 2=0,∴f 1＝f 2①

∵f 在定义域上是单调菌数，不妨设为增函数，

由1＜2，则f 1<f 2②

因此①②矛盾，假设不成立，故f=0

高一数学之：二分法求方程的近似解

一：知识点精析

1、二分法定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(注意如下两点：①二分法的基本思想：逼近思想；②用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用。)

2、给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的步骤：

第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；

第二步：求区间(a，b)的中点c；

第三步：计算f(c)；

(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x。∈(a，c))；

(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x。∈ (c，b))。

第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<c，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步。

二：典例讲解

题型一：用二分法判断方程根所在区间问题

例1、用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2，3]内的实根，取区间中点为x。=2.5，那么下一个有根的区间是_____________________。

题型二：用二分法求函数零点问题

例2 求函数发f(x)＝x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点(精确度o.01)．

题型三：用二分法求方程近似解问题

例3、利用计算器求下列方程的近似解(精确度0.1)．

（1）x2-2x-1=0 （2）2x3+3x-3=0

高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件新人教A版必修1

第二十一页，共24页。
【正解】令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3， f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25， f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25.
列表如下：
第十三页，共24页。
区间
中点函数近似中点值
值
(1,1.5)
1.25
－0.3
(1.25,1.5) 1.375 (1.25,1.375) 1.312 5
0.22 －0.05
(1.312
1.343 75
0.08
由于5,|11..33473755)－1.312 5|＝0.0312 5<0.1，
③在二分法的第四步，由|a－b|<ε，便可判断零点近似值．
第十一页，共24页。
2.若本例中的“精确度0.1”改为“精确到0.1”，其它条件不变，则
方程的近似解是什么？

用二分法求方程的近似解赵存宇 PPT

作业布置
3. 拓展作业：除了本节课探究得到的各种方案，还有哪些求方程近似解的方法呢？搜集资料并整理成小论文.
4.可选作业：
利用Excel、程序设计或其他信息技术实现方程的一种或多种数值解法.
一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
问题 5 ：回顾用二分法求方程近似解的过程，用你的话说说在此过程中经历了哪些步骤？
用二分法求零点近似值的一般步骤：
用二分法求零点近似值的一般步骤：
用二分法求零点近似值的一般步骤：
用二分法求零点近似值的一般步骤：
求方程的近似解
赵存宇北京市第wk.baidu.com十中学
问题 3 ：缩小区间的运算何时终止？如何保证方程的近似解与精确解的差的绝对值小于一个常数，比如0.01？
精确度
y
精确度为0.01表示:
近似解与精确解的差的绝对值小于0.01
O x* x0 x
1. 利用数轴纸、表格纸和网格纸等材料呈现小组的
实施过程和计算结果.
用二分法求零点近似值的一般步骤：
用二分法求零点近似值的一般步骤：
用二分法求零点近似值的一般步骤：
用二分法求零点近似值的一般步骤：
总结回顾
通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？
作业布置
1 .书面作业：第 92 页习题 3.1 A组1、4

利用二分法求方程的近似解

用二分法求方程的近似解，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小，其次要依据给定的精度，及时检验所得区间端点的近似值是否达到要求(达到给定的精度)，以决定是停止计算还是继续计算.
2．利用计算器，求方程 lg x＝2－x 的近似解．(精度为 0.1)
[解] 作出 y＝lg x，y＝2－x 的图像Baidu Nhomakorabea可以发现，方程 lg x＝2－x
x1＝1.5
f(x1)＝0.33>0
(1,1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37<0
(1.25,1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.031<0
∵|1.375－1.5|＝0.125<0.2，
∴2x＋x＝4 在[1,2]内的近似解可取为 1.375.
谢谢
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
[解] 令 f(x)＝2x＋x－4，则 f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
区间区间中点值 xn f(xn)的值及符号
(1,2)
2．在用二分法求函数 f(x)的一个零点时，经计算，f(0.64)＜0，
f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，若精确度为 0.1，则函数 f(x)的零点近似值可

4.5.2 用二分法求方程的近似解教案高中数学人教A版

4.5.2用二分法求方程的近似解

教材分析：

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的第五节《函数的应用》（第二课时），是高中数学在函数的零点之后的内容. 既渗透了逼近思想和算法思想，又让学生经历了观察发现、抽象概括的过程，激发学生学习数学和应用数学的的意识，提升学生数学抽象、数学建模的核心素养.

教学目标：

1、知识目标：

理借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.

2、能力目标：

经历探索用二分法求方程近似解的过程，从中感受逐步逼近的数学思想,提升数学抽象和数学运算的核心素养.

3、情感目标：

让学生在探索过程中，感受“近似与精确”的相对统一，并体验成功的乐趣.

根据我对学生实际学习情况的了解，我制定了如下的教学重难点.

教学重点：

通过二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

教学难点：

利用二分法求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算.

教学工具：

基于智慧课堂教学平台，多媒体，教学平板，计算器等.

教学实施：

一、创设情境，问题生成

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多. 每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子. 可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了.

想一想：你知道工人师傅是如何做到的吗？

设计意图：通过此事例的引入，让学生在脑海中构建二分法的模型.

4-5-2 用二分法求方程的近似解(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册

1.用二分法求函数 y f (x) 在区间 (2, 4) 上的唯一零点的近似值时，验证
f
(2)
f
(4)
0
，取区间 (2, 4)
的中点
x1
2
2
4
3
，计算得
f
(2)
f
( x1 )
0
，
B 则此时零点 x0 所在的区间是( )
A. (2, 4)
B. (2, 3)
C. (3, 4)
D.无法确定
解析： f (2) f (4) 0 ， y f (x) 的零点在区间(2, 4) 上.
C. (1.5,1.75)
D.(1.75, 2)
解析：由 f (1.25) 0 ， f (1.5) 0 得 f (1.25) f (1.5) 0 ，易知函数 f (x) 的图象是连续不断的，根据零点存在定理可知，函数 f (x) 的一个零点 x0 (1.25,1.5) ，即方程 x3 3x 7 0 的根所在的区间是(1.25,1.5) ，故选 B.
例借助信息技术，用二分法求方程2x 3x 7 的近似解（精确度为0.1）.
解：原方程即 2x 3x 7 ，令 f (x) 2x 3x 7 ，用信息技术画出函数 y f (x) 的图象如图，并列出它的对应值表如下.
x012345678 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273

用二分法求方程的近似解

A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
【解析】选D.由图象可知,函数有4个零点,能用二分法求出的有3个.
类型二用二分法求函数零点的近似解(逻辑推理) 【典例】1.用二分法求函数f(x)=5x+7x-2的一wk.baidu.com零点,其参考数据如下:
x
0.062 5
f(x) -0.456 7
0.093 75 -0.180 9
【思考】零点的近似解只能是区间的端点a或b吗? 提示:不是,区间[a,b]中任意一个值都是零点x0满足精确度ε的近似值.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)任何函数的零点都可以用二分法求得.
()
(2)用二分法求出的函数零点就是精确值.
()
(3)用“二分法”求近似解时,精确度ε越大,零点的精确度越高. ( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
()
【解析】选C.设f(x)=log3x-3+x, 因为当连续函数f(x)满足f(a)·f(b)<0时,f(x)在区间(a,b)上有零点,即方程
log3x=3-x在区间(a,b)上有解,又因为f(2)=log32-1<0,f(3)=log333+3=1>0,故f(2)·f(3)<0,

利用二分法求方程的近似解ppt课件

0.734375
-0.004768372
0.7421875
0.044219017
0.0078125
区间[0.734375，0.7421875]的区间长度为0.0078125，它小于0.01．而方程的解就在这个区间
内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，
例如，0.74 就是方程2 3 + 3 − 3 = 0精确度为0.01的一个近似解．
线路发生了故障，这是一条长10 km的线路，如果沿着线路
一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，
10 km大约有200多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？
故障

故障
要把故障可能发生的范围缩小到50 m左右，即两根电线杆附近，要查多少次？ 8次
02
探索新知
实例分析
我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有
选定初始区间
取区间中点
是
初始区间是一个两端点函数值异号的区间；
新区间的一个端点是原区间的中点，另一
中点函数值为0
端点是原区间两端点中的一个，并且新区
否
间两端点的函数值异号．
得到新区间
初始区间选的不同，虽然不影响最终计算
新区间的长度
小于精确度
是
选取区间内的任意一个数

用二分法求方程的近似解

一、二分法的定义

对于区间[]b a ，上的连续不断且0b f a f ）＜（）（∙的函数）（x f y =，通过

不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法

二、用二分法求函数）（x f y =零点x 0的近似值的一般步骤

1、确定零点x 0的初始区间[]b a ，，验证0b f a f ）＜（）（∙.2.求区间），（b a 中点c .

3.计算）（c f ，并进一步确定零点所在区间：

（1）若0c f =）

（（此时，c x 0=）,则c 就是函数零点；（2）若0c f a f ）＜（）（∙（此时，），（c a x 0∈），则令c b =（3）若0b f c f ）＜（）（∙（此时，），（b c x 0∈），则令c a =.

4.判断是否达到精确度ε：若ε＜b a -，则得到零点的近似值为a（或b ）；否则重复步骤2～4三、总结

通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，得到零点近似值.对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值四、题型

二分法的定义与应用

例1

若函数y=f(x)的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

f(1)=-2,f(1.25)=-0.984,f(1.375)=-0.260,f(1.40625)=-0.054,f(1.4375)=0.162,f(1.5)=0.625,那么方程f(x)=0的一个近似根(精确度0.1)为()

用二分法求方程近似解