1.概率的预测
人教a版必修3数学教学课件第3章概率第1节随机事件的概率

反思判断随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件,
在给定的条件下判断是一定发生(必然事件),还是不一定发生(随机
事件),还是一定不发生(不可能事件).
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HISHISHULI
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D典例透析
IANLITOUXI
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D典例透析
IANLITOUXI
题型三
反思利用频率估计概率的步骤:
(1)依次计算各个频率值;(2)观察各个频率值的稳定值即为概率
的估计值,有时也可用各个频率的中位数来作为概率的估计值.
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D典例透析
IANLITOUXI
【做一做1】 下列事件中,是随机事件的有(
)
①在一条公路上,交警记录某一小时通过的汽车超过300辆;
②若a为整数,则a+1为整数;
③买一张彩票中奖;
④检查流水线上一件产品是合格品还是次品.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题型三
反思1.把握住随机试验的实质,要明确一次试验就是将试验的条
件实现一次.
2.准确理解随机试验的条件、结果等有关定义,并能使用它们判
断一些事件,指出试验结果,这是求概率的基础.在写试验结果时,一
般采用列举法.根据日常生活经验,按一定次序列举,才能保证所列
结果没有重复,也没有遗漏.
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新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第六章概率 知识点考点重点难点解题规律归纳总结

第六章概率1随机事件的条件概率................................................................................................ - 1 -1.1条件概率的概念............................................................................................. - 1 -1.2乘法公式与事件的独立性............................................................................. - 5 -1.3全概率公式..................................................................................................... - 5 -2离散型随机变量及其分布列.................................................................................... - 9 -2.1随机变量......................................................................................................... - 9 -2.2离散型随机变量的分布列........................................................................... - 12 -3离散型随机变量的均值与方差.............................................................................. - 16 -3.1离散型随机变量的均值............................................................................... - 16 -3.2离散型随机变量的方差............................................................................... - 21 -4二项分布与超几何分布.......................................................................................... - 24 -4.1二项分布....................................................................................................... - 24 -4.2超几何分布................................................................................................... - 27 -5正态分布 ................................................................................................................. - 30 - 1随机事件的条件概率1.1条件概率的概念1.条件概率(1)条件概率的定义在事件A发生的条件下事件B发生的概率,称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率,记作P(B|A).(2)条件概率公式当P(A)>0时,有P(B|A)=P(AB) P(A).1.如何从集合角度看条件概率公式?[提示]若事件A已发生,则为使事件B也发生,试验结果必须是既在A中又在B中的样本点,即此点必属于AB.由于已知A已经发生,故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间,因此,有P(B|A)=P(AB) P(A).2.条件概率的性质(1)P(B|A)∈[0,1].(2)如果B与C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).2.P(B|A)与P(B)有何大小关系?[提示]P(B|A)≥P(B).疑难问题类型1利用定义求条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球,如果不放回地抽取两个球,记事件“第一次抽到黑球”为A;事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A,B,AB发生的概率;(2)求P(B|A).[思路点拨]可先求P(A),P(B),P(AB),再用公式P(B|A)=P(AB)P(A)求概率.[解]由古典概型的概率公式可知(1)P(A)=25,P(B)=2×1+3×25×4=820=25,P(AB)=2×15×4=110.(2)P(B|A)=P(AB)P(A)=11025=14.用定义法求条件概率P(B|A)的步骤是:(1)分析题意,弄清概率模型;(2)计算P(A),P(AB);(3)代入公式求P(B|A)=P(AB) P(A).类型2利用基本事件个数求条件概率【例2】现有6个节目准备参加比赛,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目,求:(1)第1次抽到舞蹈节目的概率;(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.[思路点拨]第(1)、(2)问属古典概型问题,可利用古典概型的概率计算公式求解;第(3)问为条件概率,可以利用定义P(B|A)=P(AB)P(A)求解,也可以利用公式P(B|A )=n(AB)n(A)求解.[解]设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)=A26=30,根据分步计数原理n(A)=A14A15=20,于是P(A)=n AnΩ=2030=23.(2)因为n(AB)=A24=12,于是P(AB)=n ABnΩ=1230=25.(3)法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=2523=35.法二:因为n(AB)=12,n(A)=20,所以P(B|A)=n(AB)n(A)=1220=35.如果随机试验属于古典概型,可采用缩减基本事件总数的办法来计算,P(B|A)=n(AB)n(A),其中n(AB)表示事件包含的基本事件个数,n(A)表示事件A包含的基本事件个数.类型3条件概率的性质及应用[探究问题]1.掷一枚质地均匀的骰子,有多少个基本事件?它们之间有什么关系?随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件?[提示]掷一枚质地均匀的骰子,可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”,共6个,它们彼此互斥.“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件.2在“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中,已知第一枚出现4点,则第二枚出现“大于4”的事件,包含哪些基本事件?[提示]“第一枚4点,第二枚5点”“第一枚4点,第二枚6点”.3.先后抛出两枚质地均匀的骰子,已知第一枚出现4点,如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率?[提示]设第一枚出现4点为事件A,第二枚出现5点为事件B,第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=16+16=13.【例3】有外形相同的球分装三个盒子,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中则有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验为成功.求试验成功的概率.[思路点拨]先设出基本事件,求出基本事件的概率,再求试验成功的概率.[解]设A={从第一个盒子中取得标有字母A的球},B={从第一个盒子中取得标有字母B的球},C={第二次取出的球是红球},D={第二次取出的球是白球},则容易求得P(A)=710,P(B)=310,P(C|A)=12,P(D|A)=12,P(C|B)=45,P(D|B)=15.事件“试验成功”表示为CA∪CB,又事件CA与事件CB互斥,故由概率的加法公式,得P(CA∪CB)=P(CA)+P(CB)=P(C|A)·P(A)+P(C|B)·P(B)=12×710+45×310=0.59.1.应用概率加法公式的前提是事件互斥.2.为了求复杂事件的概率,往往可以先把该事件分解成两个或多个互斥事件的和,求出简单事件概率后,相加即可得到复杂事件的概率.归纳总结1.由条件概率的定义可知,P (B |A )与P (A |B )是不同的.另外,在事件A 发生的前提下,事件B 发生的概率不一定是P (B ),即P (B |A )与P (B )不一定相等.2.在条件概率的定义中,要强调P (A )>0.当P (A )=0时,P (B |A )=0.3.P (B |A )=P (AB )P (A )可变形为P (AB )=P (B |A )·P (A ),即只要知道其中的两个值就可以求得第三值.1.2 乘法公式与事件的独立性1.3 全概率公式1.概率的乘法公式当P (A )>0时,P (AB )=P (B |A )·P (A ).2.相互独立事件的概率(1)一般地,事件A ,B 相互独立⇔P (AB )=P (A )P (B ).(2)如果事件A 1,A 2,…,A n 相互独立,那么P (A 1A 2…A n )=P (A 1)P (A 2)…P (A n ).3.相互独立事件的性质若A 与B 是相互独立事件,则A 与B -,B 与A -,A -与B 也相互独立.若A ,B 相互独立,则A 与B 也相互独立,为什么?[提示] ∵A 、B 相互独立,∴P (AB )=P (A )·P (B )=P (A )(1-P (B ))=P (A )-P (A )P (B ),∴P (A )P (B )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=P (A )P (B ), ∴A 与B 相互独立.3.全概率公式(1)全概率公式设B 1,B 2,…,B n 为样本空间Ω的一个划分,若P (B i )>0(i =1,2,…,n ),则对任意一个事件A 有P (A )=∑ni =1P (B i )P (A |B i ). *(2)贝叶斯公式设B 1,B 2,…,B n 为样本空间Ω的一个划分,若P (A )>0,P (B i )>0(i =1,2,…,n ),则P (B i |A )=P (B i )P (A |B i )∑n j =1P (B j )P (A |B j ). 疑难问题类型1 互斥事件与相互独立事件的判断【例1】 判断下列各对事件是互斥事件,还是相互独立事件.(1)运动员甲射击1次,“射中9环”与“射中8环”;(2)甲、乙两运动员各射击1次,“甲射中10环”与“乙射中9环”;(3)甲、乙两运动员各射击1次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”;(4)甲、乙两运动员各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙没有射中目标”.[思路点拨] 利用独立事件、互斥事件的意义判断.[解] (1)甲射击1次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件;(2)甲、乙各射击1次,“甲射中10环”发生与否,对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;(3)甲、乙各射击1次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件;(4)甲、乙各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙没有射中目标”可能同时发生,二者构不成互斥事件,也不可能是相互独立事件.判断两事件相互独立的方法(1)若P (AB )=P (A )P (B ),则事件A 和B 相互独立.(2)由事件本身的性质直接判定是否相互影响,从而得出事件是否相互独立.类型2 相互独立事件同时发生的概率【例2】 某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45,35,25,15,且各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率. [思路点拨] (1)先找出第四轮被淘汰的事件,再看它是独立事件还是互斥事件;(2)至多进入第三轮含有第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰三个互斥事件,利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解. [解] (1)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为A i (i =1,2,3,4),则P (A 1)=45,P (A 2)=35,P (A 3)=25,P (A 4)=15.“该选手进入第四轮才被淘汰”记为B ,P (B )=P (A 1A 2A 3A 4)=P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A 4)=45×35×25×45=96625.(2)法一:“该选手至多进入第三轮考核”记为C ,P (C )=P (A 1+A 1A 2+A 1A 2A 3)=P (A 1)+P (A 1)P (A 2)+P (A 1)P (A 2)P (A 3) =15+45×25+45×35×35=101125.法二:“该选手进入第四轮没有被淘汰”记为D ,则P (D )=45×35×25×15=24625.而C 与B ∪D 为对立事件,B 与D 为互斥事件,∴P (C )=1-P (B ∪D )=1-P (B )-P (D )=1-96625-24625=101125.1.求P (AB )时,要注意事件A ,B 是否相互独立,求P (A +B )时,应注意事件A ,B 是否互斥.对于“至多”“至少”型问题的解法有两种思路:①分类讨论;②转化为求对立事件的概率,利用P (A )=1-P (A )来计算.2.复杂问题可考虑分解为等价的几个事件的概率问题,同时结合对立事件的概率求法进行求解.类型3全概率公式的应用【例3】设某工厂有两个车间生产同型号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放在一个仓库,假设第一二车间生产的成品比例为2∶3,今有一客户从成品仓库中随机提一台产品,求该产品合格的该概率.[解]设B={从仓库中随机提一台是合格品},A i={提出的一台是第i车间生产的},i=1,2,则有B=A1B∪A2B,由题意则P(A1)=0.4,P(A2)=0.6,P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88,由全概率公式得,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868.1.全概率公式为概率论中的重要公式,它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.2.从以上典型例题的分析可以看出,应用全概率公式解决问题时,准确、迅速寻找完备事件组是解决此类问题的关键,其应用的一般方法和步骤归纳如下:(1)认真分析题目中的条件,找出完备事件组A1,A2,…,A n;(2)求出A i发生的条件下B发生的条件概率P(B|A i),这样就可以直接利用全概率公式解决此类问题了.归纳总结1.两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响;两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生,而相互独立的两个事件可以同时发生.2.如果事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.3.利用全概率公式可以将复杂事件的概率转化为简单事件的概率的求和问题,寻找完备事件组是求解的关键.2离散型随机变量及其分布列2.1随机变量1.随机变量(1)定义:在随机试验中,确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果变化而变化的量称为随机变量.(2)表示:随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示.2.离散型随机变量所有取值可以一一列举出来的随机变量,称为离散型随机变量.(1)任何随机试验的结果都可以用数字表示吗?(2)离散型随机变量的取值一定是有限个吗?[提示](1)可以.实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系,根据问题的需要选择相应数字.(2)不一定.可以是无限个,如1,2,3,…,n,….疑难问题类型1随机变量的概念【例1】判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由.(1)北京国际机场候机厅中2022年5月1日的旅客数量;(2)2022年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数;(3)2022年6月1日上海到北京的某次动车到北京站的时间;(4)体积为1 000 cm3的球的半径长.[思路点拨]判断所给的量是否随试验结果的变化而变化,发生变化的是随机变量.[解](1)旅客人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量.(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值,是随机的,因此是随机变量.(4)球的体积为1 000 cm3时,球的半径为定值,不是随机变量.1.解答本题主要是运用随机变量的定义,透彻理解定义是解此类题的关键.2.随机变量X满足三个特征:(1)可以用数来表示;(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不能确定取何值.类型2离散型随机变量的判定【例2】指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.(1)某超市5月份每天的销售额;(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ;(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位监测站所测水位ξ.[解](1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出,故为离散型随机变量.(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散型随机变量.(3)不是离散型随机变量,水位在(0,29]这一范围内变化,不能按次序一一列举.判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法:(1)明确随机试验的所有可能结果;(2)将随机试验的试验结果数量化;(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如果能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.类型3用随机变量表示随机试验的结果【例3】写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果.(1)袋中有大小相同的红球10个,白球5个,从袋中每次任取1个球,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数;(2)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和.[思路点拨]分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果[解](1)设所需的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…,10,11,X=i表示前i-1次取到红球,第i次取到白球,这里i=1,2, (11)(2)设所取卡片上的数字和为X,则X=3,4,5, (11)X=3,表示取出标有1,2的两张卡片;X=4,表示取出标有1,3的两张卡片;X=5,表示取出标有2,3或标有1,4的两张卡片;……X=11,表示取出标有5,6的两张卡片.1.解答此类问题,关键是要弄清题意,第(1)问中,X=1,2,…,11所表示的结果不需要分别列出来,引入变量i,可写成X=i.2.在写出随机变量的取值表示的试验结果时,要特别注意随机变量的一个值表示多个试验结果的情况,不能遗漏某些试验结果.归纳总结1.随机变量可将随机试验的结果数量化.2.随机变量与函数的异同点:随机变量函数相同点都是一种映射,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域不同点把试验结果映射为实数,即随机变量的自变量是试验结果把实数映射为实数,即函数的自变量是实数2.2 离散型随机变量的分布列1.离散型随机变量取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量. 2.离散型随机变量X 的分布列(1)定义:若离散型随机变量X 的取值为x 1,x 2,…,x n ,…,随机变量X 取x i 的概率为p i (i =1,2,…,n ,…),记作:P (X =x i )=p i (i =1,2,…,n ,…),①,把①式列成如下表格:如果随机变量X 的分布列为上述表格或①式,我们称随机变量X 服从这一分布列,并记作X ~⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 x 2 … x n …p 1 p 2 … p n…. (2)性质:在离散型随机变量X 的分布列中, ①p i >0(i =1,2,…,n ,…); ②p 1+p 2+…+p n +…=1. 3.伯努利试验若在某个试验中,每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”,每次“成功”的概率均为p ,每次“失败”的概率均为1-p ,则称这样的试验为伯努利试验.4.两点分布如果随机变量X 的分布列如表其中0<p<1,q=1-p,那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0-1分布或伯努利分布).两点分布不仅是最简单的,也是最重要的概率分布模型,在实际生活中有着广泛的应用.在离散型随机变量分布列中,所有概率之和为什么为1?[提示]因为离散型随机变量所有取值对应的事件之和是必然事件,所以所有概率之和为1.疑难问题类型1离散型随机变量的分布列【例1】一袋中装有6个同样大小的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,现从中随机取出3个球,以X表示取出球的最大号码.(1)求X的分布列;(2)求X的取值不小于4的概率.[解](1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6,P(X=3)=C33C36=120,P(X=4)=C11C23C36=320,P(X=5)=C11C24C36=310,P(X=6)=C11C25C36=12,所以随机变量X的分布列为X 3456P12032031012(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=320+310+12=1920.求离散型随机变量分布列的一般步骤:(1)确定X的所有可能取值x i(i=1,2,…)以及每个取值所表示的意义;(2)利用概率的相关知识,求出每个取值相应的概率P(X=x i)=p i(i=1,2,…);(3)写出分布列;(4)根据分布列的性质对结果进行检验.类型2 离散型随机变量分布列的性质【例2】 设随机变量X 的分布列P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X =k 5=ak (k =1,2,3,4,5).(1)求常数a 的值; (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35; (3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710.[思路点拨] (1)先求出X 的分布列,再根据分布列的性质确定a .(2)、(3)中的概率利用互斥事件的概率公式结合分布列求解即可.[解] 依题意,随机变量X 的分布列为X =i 1525354555P (X =i )a 2a 3a 4a 5a(1)由a +2a +3a +4a +5a =1,得a =115.(2)法一:P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35=P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X =35+P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X =45+P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X =55=315+415+515=45.法二:P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35=1-P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≤25=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫115+215=45.(3)因为110<X <710,所以X =15,25,35.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X <710=P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X =15+P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X =25+P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X =35=115+215+315=25.1.随机变量的取值不一定是整数,它的取值一般来源于实际问题,并有特定的含义.2.随机变量在某一范围内取值的概率等于在这一范围内取每个值的概率之和.类型3 离散型随机变量分布列的应用【例3】 袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X 表示取出的3个小球上的最大数字,求:(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;(2)随机变量X的分布列;(3)计算介于20分到40分之间的概率.[思路点拨](1)利用古典概型公式求解即可;求解(2)的关键在于确定X的所有可能取值及取每个值的概率;(3)由题意知计算介于20分到40分之间的概率等于X=3与X=4的概率之和,由(2)易得其概率.[解](1)法一:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)=C35C12C12C12C310=23.法二:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B,则事件A和事件B是对立事件.因为P(B)=C15C22C18C310=13,所以P(A)=1-P(B)=1-13=23.(2)由题意,X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X=2)=C22C12+C12C22C310=130;P(X=3)=C24C12+C14C22C310=215;P(X=4)=C26C12+C16C22C310=310;P(X=5)=C28C12+C18C22C310=815.所以随机变量X的分布列为(3)“C,则P(C)=P(X=3或X=4)=P(X=3)+P(X=4)=215+310=1330.离散型随机变量分布列问题融合了排列、组合,古典概型、互斥事件、对立事件的概率等知识,是较强的综合应用.归纳总结1.离散型随机变量可能取的值为有限个或可列举的无限个,或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出.2.求离散型随机变量的分布列时应注意以下几点(1)确定离散型随机变量的分布列的关键是搞清X取每一个值对应的随机事件,进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率.(2)在求离散型随机变量X的分布列时,要充分利用分布列的性质,这样可以减少运算量,也可利用分布列的性质验证分布列是否正确.3离散型随机变量的均值与方差3.1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称EX=x1p1+x2p2+…+x i p i+…+x n p n为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).(2)意义:离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量X取值的平均水平.(3)性质:如果X为离散型随机变量,则Y=aX+b(其中a,b为常数)也是随机变量,且EY=E(aX+b)=aEX+b.(1)随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量?(2)随着样本容量的增加,样本的平均值与总体平均值有什么关系?[提示](1)随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取;样本的平均值是一个随机变量,它是随着样本的不同而变化的.(2)随着样本容量的增加,样本的平均值越来越接近于总体平均值.疑难问题类型1求离散型随机变量的均值【例1】袋中有4个黑球、3个白球、2个红球,从中任取2个球,每取到一个黑球记0分,每取到一个白球记1分,每取到一个红球记2分,用ξ表示得分数.(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的均值.[思路点拨]首先根据取到的两个球的不同情况,确定ξ的取值为0,1,2,3,4,再分别计算概率,即可得到分布列,然后利用均值的公式求解.[解](1)由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3,4,当ξ=0时,即取到2个黑球,则P(ξ=0)=C24C29=16;当ξ=1时,即取到1个黑球和1个白球,则P(ξ=1)=C14·C13C29=13;当ξ=2时,即取到1个红球和1个黑球或者取到2个白球,则P(ξ=2)=C23 C29+C12·C14 C29=1136;当ξ=3时,即取到1个红球和1个白球,则P(ξ=3)=C13·C12C29=16;当ξ=4时,即取到2个红球,则P(ξ=4)=C22C29=136.所以ξ的分布列为ξ01234P 1613113616136(2)均值Eξ=0×16+1×13+2×1136+3×16+4×136=149.求离散型随机变量的均值的步骤(1)确定取值:根据随机变量X 的意义,写出X 可能取得的全部值. (2)求概率:求X 取每个值的概率. (3)写分布列:写出X 的分布列. (4)求均值:由均值的定义求出EX ,其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在.类型2 离散型随机变量均值的性质 【例2】 已知随机变量X 的分布列为:X -2 -1 0 1 2 P141315m120(1)求EX ;(2)若Y =2X -3,求EY .[解] (1)由随机变量分布列的性质,得14+13+15+m +120=1,解得m =16, 所以EX =(-2)×14+(-1)×13+0×15+1×16+2×120=-1730. (2)法一:由公式E (aX +b )=aEX +b ,得 EY =E (2X -3)=2EX -3=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-1730-3=-6215.法二:由于Y =2X -3,所以Y 的分布列如下:Y -7 -5 -3 -1 1 P14131516120所以EY =(-7)×14+(-5)×13+(-3)×15+(-1)×16+1×120=-6215.1.本例条件不变,若ξ=aX +3,且Eξ=-112,求a 的值. [解] Eξ=E (aX +3)=aE (X )+3=-1730a +3=-112,所以a =15.2.已知随机变量ξ的分布列为ξ -1 0 1 P1213m若η=aξ+3,Eη=73,则a =( )A .1B .2C .3D .4 B [由分布列的性质得12+13+m =1,所以m =16, 所以Eξ=-1×12+0×13+1×16=-13, 法一:Eη=E (aξ+3)=aEξ+3=-13a +3=73. 所以a =2.法二:因为η=aξ+3,所以η的分布列如下:η -a +3 3 a +3 P121316Eη=(-a +3)×12+3×13+(a +3)×16=73. 所以a =2.]求离散型随机变量均值的解题思路(1)若给出的随机变量Y 与X 的关系为Y =aX +b ,a ,b 为常数.一般思路是先求出EX ,再利用公式E (aX +b )=aEX +b 求EY .(2)利用X 的分布列得到Y 的分布列,关键由X 的取值计算Y 的取值,对应的概率相等,再由定义法求得EY .类型3 离散型随机变量均值的应用【例3】 一名博彩者,放6个白球和6个红球在一个袋子中,定下规矩:凡是愿意摸彩者,每人交1元作为手续费,然后可以一次从袋中摸出5个球,中彩情况如下表:摸5个球中彩发放奖品有5个白球1顶帽子(价值20元)恰有4个白球1张贺卡(价值2元)恰有3个白球纪念品(价值0.5元)其他同乐一次(无任何奖品)试计算:(1)摸一次能获得20元奖品的概率.(2)按摸10 000次统计,这个人能否赚钱?如果赚钱,则净赚多少钱?[思路点拨]在一次摸球中,博彩者获得的收入是不确定的,故可将其作为一个随机变量,他能否赚钱,就要看该随机变量的均值是否大于0.[解](1)摸一次能获得20元奖品的概率是P=C56C512=1132.(2)如果把取到的白球作为随机变量X,则P(X=5)=C56C512=1132,P(X=4)=C46C16C512=15132,P(X=3)=C36C26C512=50132,P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=66132,所以博彩者的收入这一随机变量Y(可以为负数)的分布列为:Y -19-10.51P1132151325013266132所以收入的随机变量Y的均值为EY=(-19)×1132+(-1)×15132+0.5×50132+1×66132≈0.431 8.故这个人可以赚钱,且摸10 000次净收入的均值为4 318元.(1)实际问题中的均值问题,均值在实际中有着广泛的应用,如在体育比赛的安排和成绩预测,消费预测,工程方案的预测,产品合格率的预测,投资收益等,都可以通过随机变量的均值来进行估计.(2)概率模型的解答步骤①审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些;②确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值;③对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.归纳总结1.本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法,难点是均值的实际应用. 2.要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论 (1)E (C )=C (C 为常数); (2)E (aX 1+bX 2)=aEX 1+bEX 2;(3)如果X 1,X 2相互独立,则E (X 1·X 2)=EX 1·EX 2.3.2 离散型随机变量的方差1.方差及标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)方差DX =∑n i =1(x i -EX )2p i .(2)标准差σX =DX . 2.方差的性质 D (aX +b )=a 2DX .(1)随机变量的方差和样本的方差是一个常数还是随机变量? (2)随着样本容量的增加,样本的方差与总体方差有什么关系?[提示] (1)随机变量的方差是一个常数,它不依赖于样本的抽取;样本的方差是一个随机变量,它是随着样本的不同而变化的.(2)随着样本容量的增加,样本的方差越来越接近于总体方差.疑难问题类型1 求离散型随机变量的方差【例1】 袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n 号的有n 个(n =1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.求ξ的分布列、均值和方差.[解] 由题意得,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4, P (ξ=0)=1020=12,P (ξ=1)=120, P (ξ=2)=220=110,P (ξ=3)=320, P (ξ=4)=420=15. 故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1212011032015所以Eξ=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5,Dξ=(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×15=2.75.求离散型随机变量的方差的步骤(1)明确随机变量的取值,以及取每个值的试验结果. (2)求出随机变量取各个值的概率. (3)列出分布列.(4)利用公式EX =∑ni =1x i p i 求出随机变量的期望EX .(5)代入公式DX =∑ni =1(x i -EX )2p i ,求出方差DX .类型2 方差的性质【例2】 已知随机变量X 的分布列为X1234P 0.2 0.2 a 0.2 0.1求EX ,DX ,D (-2X [解] ∵0.2+0.2+a +0.2+0.1=1,∴a =0.3. ∴EX =0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.。
概率的含义教案及教学说明(新)1

§25.3概率的含义(一)东莞市东华初级中学冯婷婷华东师大版数学九年级(上) 第二十五章第三节教材分析概率的含义(一)是华师大版九年级数学上册第25章第三节第一课时,概率在日常生活中、科学预测中有着非常重要而广泛的应用,因此它是整个初中数学的一个重点,也是数学研究的一个重要分支.按照教学内容交叉编排、螺旋上升的方式,统计与概率的内容已经由简单到复杂,由低层次的展开到高层次的综合,得到了不断的深化.本节在学生已有的实验概率的知识基础上,首先引出概率的计算;通过问题1,介绍如何从频率的角度解释某一个具体的概率值,通过本节的学习,为后面概率的计算和沟通实验概率与理论概率作了准备.学情分析(1)到本册为止,除了概率的公理化定义外,已经介绍了两种和初步接触了一种研究事件发生可能性大小的途径:主观概率、实验概率和根据树状图等理性分析预测概率;(2)在经过前四册概率知识的学习后,九年级学生已经具有一定的动手实验能力和归纳概括能力;(3)学生希望老师能创设便于观察和思考的学习环境,也希望结合具有现实背景的素材,获得数学概念,掌握解决问题的技能与方法.设计理念为了充分调动学生学习的积极性,变主动学习为主动愉快学习,使数学课变得生动、有趣、高效,在教学中主要采用启导式教学法;采用“以学生为主体,以问题为中心,以活动为基础,以培养学生提出问题和解决问题为目标”进行教学,把启发、诱导贯穿教学始终,通过真实、熟悉的情景,激发学生的学习动机,尽力唤起学生的求知欲望,促使他们动脑、动手、动口,积极参与学习活动全过程,在老师的指导下生动地、主动地、富有个性地开展学习活动.教学目标知识目标: 1.理解概率定义和简单的计算2.充分利用学生已有的对实验概率的经验,从频率的角度去解释某一个具体的概率值含义能力目标:通过活动,帮助学生感受到数学与现实生活的联系,提高用数学知识来解决实际问题的能力情感目标: 1.培养学生实事求是的态度及勇于探索的精神2.培养学生交流与合作的协作精神教学重点 1.通过回顾以往实验,引出概率的定义和计算公式2.通过学生对已有实验的经验去体会某一概率值的含义教学难点从实验中某事件发生的频率去理解某一概率值的含义教学方法采用“以学生为主体,以问题为中心,以活动为基础,以培养学生提出问题和解决问题为目标”的“引导发现法”和“探索讨论法”.教学手段采用多媒体教学教学基本流程教学过程问题问题设计意图 师生活动一 .回顾实验已做过的抛掷一枚普通硬币的实验(电脑演示) 问题1:在抛掷一枚这个实验中“出现反面”的机会是多少?这个机会还表示什么?问题2:投掷手中一枚普通的正六面体骰子,有几个等可能的结果及掷得6的结果?通过回顾实验,学生很容易答出,抛掷一枚普通硬币仅有两个可能的结果:“出现正面”和“出现反面”.这两个结果发生的机会相等,“出现反面”的机会为50%.50%还表示“出现反面”这个事件发生的可能性的大小.通过回顾画树状图分析某事件的等可能结果及关注的结果 师:提出问题,引导学生回忆、观察做过的实验· 生:观察、叙述这一实验频率的稳定值·及画树状图来分析某事件的等可能结果和关注的结果二 .归纳定义 概率的定义:表示一个事件发生的可能性大小的数,叫做该事件的概率· 例如,抛掷一枚硬币,“出现反面”的概率为21,记为:P (出现反面)=21 读作:出现反面的概率等于21写一写,读一读:你投掷手中一枚普通的正六面体骰子,“出现数字1”的概率是多少?解:(116P 出现数字)= 读作:“出现数字1”的概率为16通过具体的简单实验,得到概率的定义,学生经历了从特殊到一般的探索过程,降低了学习的难度,消除了学习新知的畏惧心态.师:分析学生的解释,引出概率含义的正确理解.生:思考、讨论、叙述自己的理解.三 .从学过的实验频率初步体会概率含义⑴.合作填表:⑵ .归纳总结:提出三个问题:1.频率和概率的关系是什么?2.除实验外我们还有哪种方法可以得到概率?3.理论分析概率的关键是什么?通过三个问题的总结,学生发现理论分析概率的关键:(1)要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果(2)要清楚所有机会均等的结果. (1)、(2)两种结果个数之比就是关注的结果发生的概率.P(关注结果)关注的结果个数=所有机会均等的结果的个数三个问题的提出,为学生归纳概率公式指明了方向,在三个问题的指导下,发现理论分析概率的关键就是1.要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果2.要清楚所有机会均等的结果;进而得到概率的一般公式,达到沟通实验概率和理论概率的目的;进一步强化对概率含义的正确理解.师:然后将学生每四人分为一组,选出组长做好记录,类比学习,四人合作完成将后面四个实验填写·生:完成后,小组长发表结论,师生共同分析判断,得到正确答案.首先让学生观察课本124页表25.3.1已填好的三个简单实验,引导学生发现图表中所填内容和要求的联系,特别是发现“所有机会均等的结果”就是要将包括关注的结果在内的所有机会均等的结果都罗列出来.师:帮助学生回忆上节课的试验,引导学生观察、归纳和总结·最后归纳总结频率与概率的区别与联系的书面文字·生:尝试归纳、概括频率与概率的区别与联系,并发表自己的意见四. 设计实验,从频率角度解释概率值含义 议一议:某俱乐部举办了一次掷一个骰子的游戏,每掷一次付款0.1元,若掷中“6”则奖1元,小明想,我只要掷6次,就有一次掷中6,小明的想法对吗?(此问题原型为课本P126页问题1)问题1:在抛掷一枚普通的六面体骰子这实验中,掷得“6”得概率等于61表示什么意思?有同学说它表示每6次就有1次掷出“6”,你同意吗?思考:①已知掷得“6”的概率等于61,那么不是“6”(也就是1~5)的概率等于多少呢?这个概率值又表示什么意思?②我们知道,掷得“6”的概率等于61也表示:如果重复投掷骰子很多次的话,那么实验中掷得“6”的频率会逐渐稳定到61附近·这与“平均每6次有1次掷出‘6’”互相矛盾吗?思考1的解决让学生理解同一事件中所有关注结果的概率和为1,学会从频率角度解释概率值;思考2的解决让学生理解这两种说法其实是一回事,达到实验概率和理论概率的统一. 师:提出问题,引导学生讨论,讲出自己的想法,肯定正确的,指出错误的地方,用试验来验证.生:思考、讨论、叙述自己的理解通过做投掷骰子实验(或模拟实验),一旦掷到“6”,就算完成了一次实验,然后数一数你投掷了几次才得到“6”的.看看能否发现什么.通过自我设计模拟实验,培养学生用所学的知识解决问题的能力,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新能力师:提出问题,引导学生讨论,讲出自己的想法,肯定正确的,指出错误的地方,用试验来验证生:思考、讨论、叙述自己的理解生:(四人小组合作交流完成)五.当堂训练(分层练习)A 组1.掷一枚普通正六面体骰子,求出下列事件出现的概率:P (掷得点数是6) = 61 ;P (掷得点数小于7)= 1 ; P (掷得点数为5或3)= 31;P (掷得点数大于6)= 0 . 2.甲产品合格率为98,乙产品的合格率为80,你认为买哪一种产品更可靠? 3.阿强在一次抽奖活动中,只抽了一张,就中了一等奖,能不能说这次抽奖活动的中奖率为百分之百?为什么? 4.从一副扑克牌(除去大小王)中任抽一张· P (抽到红心) = ? P (抽到黑桃) = ? P (抽到红心3)= ? P (抽到5)= ? 5.有5张数字卡片,它们的背面完全相同,正面分别标有1,2,2,3,4·现将它们的背面朝上,从中任意摸到一张卡片,则: p (摸到1号卡片)= ? p (摸到2号卡片)= ? p (摸到3号卡片)= ? p (摸到4号卡片)= ? 6. 任意翻一下日历,翻出1月6日的概率为 ·翻出4月31日的概率为 ________. B 组 1. 某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘,并规定:顾客每购买100元的商品,就能获得一次转动转盘的机会·如果转盘停止后,指针正好对准红、黄或绿色区域,顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)·甲顾客购物120元,他获得购物券的概率是多少?他得到100元、50元、20元购物券的概率分别是多少?2.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节,是一种竞猜游戏,游戏设置了如图所示的翻奖牌,如果只能在9个数字中选中一个翻牌,试求以下事件的概率(1)得到书籍;(2)得到奖励;(3)什么奖励也没有当堂训练分为A 、B 、C 三组练习,其中A 组练习以基础知识为主,让多数学生都有收获,感受到成功的喜悦.B 组练习的设计,联系生活实际,训练学生的基本技能,让学生感受到概率与实际生活的联系.C 组练习,设计一道摸球游戏的开放题,目的是培养学生合作,探究,创新的能力.1 2 3 4 5 6 789奖牌正面 一架显微镜 一套丛书 谢谢参与 一张唱片 两张球票 一本小说 一个随身听一副球拍一套文具奖牌反面卧室书房饭厅客厅C 组1. 用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏. (1)使摸到白球的概率为 21 ,摸到红球的概率为21(2)使摸到白球的概率为 21 ,摸到红球和黄球的概率都是41 .你能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗?设计A 、B 、C 三组练习,可以让学生从会做的题开始做起,让每个学生都有可以做的题目,都有做不完的题目,使不同程度的学生通过例题,练习,习题得到不同程度的发展. 六.小结归纳到此为止,学生已基本掌握好本节课主要内容,并能简单应用,达到了教学目标;为了再现本节课重点、难点,突出关键,使学生对所学知识有一个完整的印象,从四点作出小结:①概率的定义②获得概率的两种方法:实验观察和理论分析 ③会用概率公式解决实际问题 ④从频率角度解释概率值的含义七.布置作业(A 组)1.从一副52张的扑克牌(除去大小王)中任抽一张. P (抽到红心) = ; P (抽到不是红心)= ; P (抽到红心3)= ; P (抽到5)= .(B 组)2.如图是小明家的平面示意图,某天,马小虎不慎把文具盒丢在下面四个房间中的某个房间中,房间里铺满了相同 的地砖.问文具盒丢在哪个房间内的概率最大?(C 组)3.如图是一个转盘,小颖认为转盘上共有三种颜色, 所以自由转动这个转盘,指针停在红色、黄色、或蓝色区域的概率都是31,你认为呢 ?八、板书设计板书分为三块,一个为定义公式,一个为例题,一个为投影区·九.评价设计评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程,激励学生的学习和改进教师的教学.1=经常 2=一般 3=很少思维的创造性 (用不同方法解决问题、独立思考) 1=经常 2=一般 3=很少 思维的条理性(能表达自己的意见、解决问题的过程清楚、有计划) 1=经常 2=一般 3=很少 是否善于与人合作和积|极表达意见) 1=经常 2=一般 3=很少 是否自信(提出和别人不同的问题、大胆尝试并表达自己想法) 1=经常 2=一般 3=很少 积极(举手发言、提出问题并询问、讨论与交流以、阅读课外读物) 1=参与有关的活动2=初步理解 3=真正理解并掌握知识技能掌握情况(概率含义、解决问题) 说 明321 项 目【教案设计说明】:一.关于教学内容本课时是华东师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级(上)第25章第3节概率含义第一课时,主要是探究概率的含义和介绍如何从频率的角度解释某一具体的概率值……二.关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性,变主动学习为主动愉快学习,使数学课变得生动、有趣、高效,在教学中主要采用启导式教学法;采用“以学生为主体,以问题为中心,以活动为基础,以培养学生提出问题和解决问题为目标”进行教学,把启发、诱导贯穿教学始终,通过真实、熟悉的情景,激发学生的学习动机,尽力唤起学生的求知欲望,促使他们动脑、动手、动口,积极参与学习活动全过程,在老师的指导下生动地、主动地、富有个性地开展学习活动.三.关于教学手段在教学手段方面我选择多媒体辅助教学的方式,多媒体为教师进行教学演示和学生的观察与发现提供了平台,借助投影、计算机辅助教学,通过有声、有色、有动感的画面,提高学生学习的兴趣,在美的熏陶中主动愉快地获取知识,提高教学效益,使信息技术与数学教学有机整合,真正为教学服务.四.关于教学设计为了达成教学目标,强化重点、突破难点,我把引导学习活动分为实验回顾、学习新知、当堂训练、小结归纳、课后巩固等阶段.五.思考的几个问题1、怎样防止所谓新课程理念流于形式,如何合理选择值得讨论的问题,实现学生实质意义的参与.2、防止过于追求教学的情境化倾向,怎样把握一个度.3、怎样应对学生“动”起来后提出来的各种令教师始料不及的问题,防止学习秩序失控.。
预测概率阈值选择

预测概率阈值选择
预测概率阈值的选择是一个重要的决策过程,它可以根据特定的业务需求和目标来调整模型的预测精度和覆盖率。
以下是一些可能有用的方法:
1、根据历史数据确定阈值:使用历史数据来确定一个适当的阈值是一种常见的方法。
通过对历史数据进行统计分析,可以确定一个适当的阈值,以便在模型预测时区分真正的正例和负例。
2、交叉验证:交叉验证是一种评估模型性能的统计方法,也可以用于确定预测概率的阈值。
通过将数据集分成多个部分,并使用其中的一部分数据进行训练,然后使用另一部分数据进行验证,可以找到一个最佳的阈值,以最大化模型的预测精度和覆盖率。
3、业务规则和常识:在某些情况下,业务规则和常识可以用来确定预测概率的阈值。
例如,某些行业可能已经有了公认的阈值标准,或者根据实际情况可以设定一个合理的阈值。
4、实验和调整:确定阈值的过程也可以是一个试错的过程。
通过对不同的阈值进行实验,并观察模型性能的变化,可以找到一个最佳的阈值。
如果需要的话,可以进行一些调整以获得更好的模型性能。
高斯小学奥数六年级上册含答案第13讲概率初步

第十三讲概率初步日常生活中,我们经常会遇到一些无法事先预测结果的事情,比如抛掷一枚硬币出现正面还是反面,明天会不会下雨,欧洲杯谁会夺冠等,这些事情我们称作随机事件,它们的结果都有不确定性,是无法预知的.尽管无法预知结果,但有时我们可以根据一些迹象或者经验了解结果发生的可能性的大小,例如:今天乌云密布,那么明天很有可能下雨;中国足球队参加世界杯夺冠的可能性非常小;一次投掷10枚硬币,出现10个正面的可能性非常小.为了能够更准确的描述这种“可能性的大小”,法国数学家费马和帕斯卡在17世纪创立了概率论,把对随机事件的研究上升到一门科学. (当时他们通过信件讨论了社会上的两个热点问题一一掷骰子问题和比赛奖金分配问题)概率基本概念概率反应了一个随机事件结果发生的可能性,例如:投掷一枚硬币,正面和反面出1现的可能性相同,所以概率均为丄;投掷一个骰子,每种点数出现的可能性相同,所1 2 以概率均为-•6|概率是0~1之间用来表示事件可能性大小的一个数值. 冷1 关于概率,大家要有一个正确的认识,投掷1枚硬币,正面出现的概率为 -,并1 2 不是说投掷2次一定会有1次正面,而是说每次扔都有可能性出现正面.2虽然投掷2次硬币,不见得正面会出现一半,但是,投掷次数越多,正面出现的比例越接近一半(例如无论谁投掷10000次硬币,正面出现的比例都会很接近0.5).(这个特点在概率论中被称为大数定律)换言之,概率可以展示出大量重复实验结果的规律性.基于此,在17世纪概率刚创始的年代,人们提出了古典概率模型.古典概率模型古典概率模型是最简单的概率计算模型,它的想法非常简单,用“条件要求的情况总量”除以“全部情况数量”即可.某一随机事件发生的概率它所部等可等可况的况数量12反”但概率都不是 -,因为这3种结果出现的可能性不同,给硬币编上A和B,那3么出现1正1反有两种情况“A正B反、A反B正”而2正和2反都只有1种情况(投掷2枚硬币共4种情况).而例6和例2是相同的题目(把红球换成男生,白球换成女生即可)从这3个例子可以看出,在计算概率时,不能简单的看有几种最终结果,因为结果必须是“等可能”才行(例4的结果只有红球和白球两种,但概率显然不相等)•为了计算“等可能”的结果,一个简单方法是给每个物体编号,例如例4,假设红球是1号到10号,白球是11号,那么显然共有11种不同取法,其中有10种取到红球,所以概率是10.11等可能4.从10个红球、5. 投掷两枚硬币,1反的概率是-.46. 从3个红球、1个白球中,随意的取出1个球,取到红球的概率是1出现2个正面的概率是 -,出现1正1反的概率是41011 •1—,出现2232个白球中,随意取出2个球,取到2个红球的概率是 -.10例4比较简单,在例5中,从硬币的结果看,只有3种情况一一“2正、1正1反、例题1. 4个男生、2个女生随机站成一排照相,请问:(1)女生恰好站在一起的概率是多少?(2)女生互不相邻的概率是多少?(3)男生互不相邻的概率是多少?「分析」对于排队问题大家还记得“捆绑”和“插空”法吗?练习1、关羽、张飞、赵云、黄忠、马超随机的站成一行上台领奖,请问:(1)关羽站在正中间的概率是多少?(2)关羽和张飞相邻的概率是多少?(3)关羽和张飞中间恰好隔着一个人的概率是多少?例题2. 一个不透明的袋子里装着2个红球,3个黄球和4个黑球•从口袋中任取一个球,请问:(1)这个球是红球的概率是多少?(2)这个球是黄球或者是黑球的概率是多少?(3)这个球是绿球的概率是多少;不是绿球的概率是多少?「分析」首先计算一下取球的总的情况数,再计算问题要求的取球情况数.练习2、北京数学学校从集训队中随机选出3个人去参加比赛,已知集训队中共有4 个男生、3个女生,请问:(1)选出3个男生的概率是多少?(2)选出2男1女的概率是多少?例题 3. 一次投掷两个骰子,请问:(1)两个骰子点数相同的概率是多少?(2)两个骰子点数和为5 的概率是多少?(3)两个骰子点数差是1 的概率是多少?「分析」骰子是一个正方体,每个面上的点数从 1 到6,可以按题目要求枚举一些情况,根据枚举结果总结规律计算最后答案.练习3、一次投掷3 枚硬币,请问:(1)出现3 个正面的概率是多少?(2)出现1 正2 反的概率是多少?例题4. 两个盒子中分别装有形状大小相同的黑球、白球和黄球各1 个,现在从两个盒子中各取一个球,那么它们同色的概率是多少?不同色的概率是多少?「分析」任取两球它们颜色的可能情况有多少种?其中有多少同色情况?练习4、一个不透明的袋子里装着2 个红球、3 个黄球和4 个黑球.从中任取两个球,请问:取出2 个黑球的概率是多少?取出1 红1 黄的概率是多少?取出1 黄1 黑的概率是多少?概率的独立性如果两个或多个随机事件的结果互不影响,则称它们相互独立,例如: A 买彩票是否中奖和 B 买彩票是否中奖是独立的;甲考试能否及格和乙考试能否及格是独立的;如果两个随机事件相互独立,那么它们同时发生的概率是它们单独发生概率的乘积.例题5. 神射手和神枪手两人打靶,已知他们的命中率分别为0.8和0.9,他们每人开一枪,那么他们都命中的概率是多少?都没命中的概率是多少?「分析」理解概率独立性,根据独立性解题即可.需要分步计算的概率问题有些随机事件,在发生时有先后顺序,这时在计算概率时需要分步计算,这时只要把每步的概率算出来,然后相乘即可,例如:一个盒子中装有形状大小相同的黑球和白球各2个,从中先取出1个球,1 然后从剩下的球中再取出一个,那么第一次抽到黑球的概率是石,第二次抽到黑球的概率是-,所以两次都抽到黑球的概率是1丄丄•3 2 3 6在分步拿球的问题中,大家还要注意“ 无放回拿球”和“有放回拿球” 的区别,它关系到每步的概率计算结果•例如:一个盒子中装有形状大小相•同的黑球和白球各2个,从中先取出1个球,然后把它放回去,再从盒子中111取出一个,那么两次都抽到黑球的概率是2 2 4 -例题6. 3个人进行抽签,已知3个签中只有一个写有“中奖”,3个人先后抽取,那么第一个抽和第二个抽的中奖概率哪个大?「分析」分步计算概率即可.小概率事件之买彩票彩票市场产生于16 世纪的意大利,从古罗马、古希腊开始,即有彩票开始发行.发展到今天,世界上已经有139 个国家和地区发行彩票,规模比较大的国家和地区有美国、西班牙、德国、日本、法国、英国、意大利、加拿大、希腊、巴西、泰国、香港、韩国、新加坡、印度、挪威、比利时、澳大利亚、新西兰、南非、俄罗斯、保加利亚等.发行彩票集资可以说是现代彩票的共同目的.各国、各地区的集资目的多种多样,社会福利、公共卫生、教育、体育、文化是主要目标.以合法形式、公平原则,重新分配社会的闲散资金,协调社会的矛盾和关系,使彩票具有了一种特殊的地位和价值.目前,彩票的种类随着社会的发展而发展.在不断追求提高彩票娱乐性的过程中,彩票类型已经从以传统型彩票为主发展到传统型彩票、即开型彩票和乐透彩票等多种彩票并存的局面.2011 年,全国彩票销售规模首次突破了2000 亿元,达到2215 亿元,彩票公益金筹集量达634亿元.1987 年到2011年,我国累计销售彩票达10951亿元,累计筹集彩票公益金3433 亿元.在我国有两个彩票发行机构,进而形成了以下彩票:福利彩票:福利彩票是指1987 年以来由中国福利彩票管理中心发行的彩票.福利彩票早期有传统型彩票和即开型彩票,近年来主要有即开型彩票(如刮刮乐)、乐透型彩票(如双色球、36选5)和数字型彩票(如3D)三种,后两种均是电脑型彩票.体育彩票:体育彩票是指由1994 年3 月以来由中国体育彩票管理中心发行的彩票.其种类主要有即开型彩票(如顶呱刮)、乐透型彩票(如大乐透、22 选).截止到2013 年世界上中得彩票最大额为一个美国80 多岁的老太太,独中5.9 亿美元.作业1. 在一只口袋里装着4个红球,5个黄球和6 黑球.从口袋中任取一个球,请问:(1)这个球是红球的概率有多少?(2)这个球是黄球或者是黑球的概率有多少?(3)如果从口袋中任取两个球出来,取到两个红球的概率是多少?2. 小高与墨莫做游戏:由小高抛出3 枚硬币,如果抛出的结果中,有2 枚或2 枚以上的硬币正面朝上,小高就获胜;否则就墨莫获胜.请问这个游戏公平吗?3. 神射手和神枪手两人打靶,已知他们的命中率均为0.3,他们每人开一枪,那么他们都命中的概率是多少?都没命中的概率是多少?4. 连续抛掷2 个骰子.如果已知点数之和大于9,那么点数之和是12 的概率有多大?5. 6 名小朋友在操场上做游戏.他们被老师分成3组,每组2个人.请问:赵倩和孙莉恰好分到了同一组的概率是多少?一样的,所以这个游戏是公平的 .例题:例1.答案:(1) 1 ; (2) ;( 3) 033详解:若没有任何要求共有 A 6种排法,(1)捆绑法:两个女生捆绑当作一人和其他4名男生一起排队共A 55种排法,两个女生可互换位置,所以女生站一起的概率是1-;(2)总的情况去掉(1 )问的情况的即可,所以3可以;(3)男生无法互不相邻,所以该问概率为 0.例2.答案:(1) 2; (2) 7;(3) 0、19 9详解:共有9个球每个球都有可能被取到(1)红球的数量是2个,所以取到红球的概 率是2 ; (2)排除法可得:2 7 1 - - ; ( 3)没有绿球,所以绿球出现的概率是 0.一定99 9不是绿球,概率是1 .例3.答案:(1) 1 ; (2) 1 ; (3)色69 18详解:(1)两个骰子点数共有 6 6 36种情况,其中相同的情况有 6种,所以概率为-6(2)和为5可以是1+4、2+3、3+2、4+1,共四种,概率为1 , (3)按第一个骰子的点9数分类,第一个骰子点数为 1~6时,第二骰子的点数依次有 1、2、2、2、2、1种情况所以概率为—•18例4.答案:1 ; 233详解:两个盒子各取一个球放在一起有3 X 3=9种取法,同色的情况有黑黑、白白、黄黄三种,所以,同色概率为三分之一,不同色为1 --=-.3 3例5.答案:0.72; 0.02详解:他们都命中的概率是他们分别命中的概率的乘积,即 0.8 0.9 0.72 ;都没命中的概率是他们分别没命中的概率的乘积,即0.1 0.2 0.02 .例6.答案:一样大详解:先计算第一个人的中奖概率为 1 ,再计算第二个人中奖的概率, 首先第一个人要3 没有中奖概率为-,此时第二个人抽中的概率为-,所以,第二个人中奖的概率为3 2第十三讲概率初步1 21 --,该问用插空法也3 32 112丄丄,综上,两个人中奖的概率一样大.3 2 3练习:1. 答案:0.2; 0.4; 0.3简答:A4A5 0.2 ;(A: A2)A 0.4 ;(c3 A A3) A 0.3.2. 答案:上;兰35 35简答:共有七人选出3人的的选法总数是C;7 6 535种,(1)选出3男有43 2 1种选法,所以,概率为4 35 —;(2)2男有6种选法,1女有3种选法,2男135女共有18种选法,所以,概率为I8.353. 答案:-;38 8简答:(1)每枚硬币出现正面的概率为-,3个正面的概率是1111 , (2)2 2 2 2 8 投掷3枚硬币可能的情况有:正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反,共8种,其中1正2反的次数是3次,所以,概率为?.84. 答案:1;1;16 6 3简答:任取2球,取法总数为C9236种,其中2黑的取法有C426种,1红1黑取法有2X 3=6种,1黄1黑有3 X 4=12种,所以,概率为1, 1 , 1 .6 6 3作业:4 11 26. 答案:(1);(2);(3)15 15 35简答:(1)任取一个球,全部情况的数量是15,取到红球的数量是4,所以概率是 -;1511(2)取到黄球或黑球的数量是11,所以概率是;(3)任取两个球,全部情况的数152 2 2量是氏105,取到两个红球的数量是C26,所以概率是6 105 -357. 答案:公平1简答:每枚硬币正面朝上与反面朝上的概率都是,按照这个游戏规则,小高获胜的2111111311概率是:c2 —————一 ___ ,墨莫获胜的概率是3222222882111 111 3 1 1C3-1 1 1 1 1 31 1,这个游戏对于小高和墨莫来说,获胜的概率都是2222228828.答案:0.09 ; 0.49简答:0.3 0.3 0.09 ;0.7 0.7 0.49 .19. 答案:—6简答:点数和大于9 的情况有 6 种:(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,16).其中和为12的概率为二.610. 答案:1/5简答:赵倩与其它另一位同学分到一起的概率都是1/5,所以赵倩与孙莉分到一起的概率是1/5.古典概型中,第一个重要条件是“全部情况的数量是有限个”,下面我们先用几个简单例子来看一下古典概型的用法:1. A、B、C排成一排,共有6种排法,其中A占排头的方法共2种,所以A站排1头的概率是* 1 2 3 * 5.32 .从3个男生、2个女生中,随意选出2个人去参加数学竞赛,共有10种方法,3其中选出2个男生的方法数有3种,所以选出2个男生的概率是一.103. 3个男生、2个女生站成一排照相共有120种站法,其中女生互不相邻的站法3共72种,所以3男、2女站成一排,女生互不相邻的概率是-.5上面的例子都比较简单,因为计算概率所需要的两个数都非常好算,接来下我们再看几个例子,从这几个例子中,大家要能体会到古典概型的第二个重要条件一样的,所以这个游戏是公平的.。
第一章 概率论的基本概念

• 答案:赢了4局的拿这个钱的3/4,赢了3局的 拿这个钱的1/4。
• 假定他们俩再赌一局,或者A赢,或者B赢。 若是A赢满了5局,钱应该全归他;A如果输了, 即A、B各赢4局,这个钱应该对半分。现在, A赢、输的可能性都是1/2,所以,他拿的钱 应该是(1/2)×1+(1/2)×(1/2)= 3/4,当然,B就应该得1/4。
24
0.4614
• “分赌本”问题 两个人决定赌若干局,事先约 定谁先赢得5局便算赢家。如果在一个人赢4 局,另一人赢3局时因故终止赌博,应如何分 赌本?是不是把钱分成7份,赢了4局的就拿4 份,赢了3局的就拿3份呢?或者,因为最早 说的是满5局,而谁也没达到,所以就一人分 一半呢?
• 法国数学家帕斯卡接受了这个问题,并与另一 位法国数学家费尔马进行讨论,后来荷兰科学 家惠更斯也参与了研究,并把解法写入了《论 赌博中的计算》(1657年)。
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)
事件间的关系
包含:A B或B A,称事件B包含事件A,即事
件A发生必然导致事件B发生。
相等: A B且B A,即A B,称事件A与事件B
相等。
n
和: A,B表示A、B二事件中至少有一个发生;k1 Ak
ABC ABC ABC
6) 这三个事件至少发生一个可以表示为:
A B C或
ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC
练习 证明下列等式:
1A B A B A 2A B B A AB AB 3B A AB AB
解 1 A B A B A B A A
证明(3):由于A1,A2 ,… ,Ak是两两互不相 容,在n次试验中A1∪A2∪…∪Ak的频数
《概率论与数理统计》电子教案第一章随机事件与概率

《概率论与数理统计教程》教案第一章随机事件与概率教材:《概率论与数理统计教程》总安排学时:90本章学时:14第一讲:随机事件及其运算教学内容:引言、概率论的基本概念、事件之间的关系及运算、事件之间的运算规律。
教学目的:(1)了解概率论这门学科的研究对象,主要任务和应用领域;(2)深刻理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念;掌握一个随机试验的样本空间、基本事件和有关事件的表示方法。
(3)深刻理解事件的包含关系、和事件、积事件、互斥事件、互逆事件和差事件的意义;掌握事件之间的各种运算,熟练掌握用已知事件的运算表示随机事件;(4)掌握事件之间的运算规律,理解对偶律的意义。
教学的过程和要求:(1)概率论的研究对象及主要任务(10分钟)举例说明概率论的研究对象和任务,与高等数学和其它数学学科的不同之处,简单介绍概率论发展的历史和应用;(i)概率论的研究对象:确定性现象或必然现象:在相同的条件下,每次观察(试验)得到的结果是完全相同的现象。
例:向空中抛掷一物体,此物体上升到一定高度后必然下落;例:在一个标准大气压下把水加热到100℃必然会沸腾等现象。
随机现象或偶然现象:在相同的条件下,每次观察(试验)可能出现不同结果的现象。
例:在相同的条件下抛一枚均匀的硬币,其结果可能是正面(分值面)向上,也可能是反面向上,重复投掷,每次的结果在出现之前都不能确定;例:从同一生产线上生产的灯泡的寿命等现象。
(ii)概率论的研究任务:概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科。
(iii)概率论发展的历史:概率论起源于赌博问题。
大约在17世纪中叶,法国数学家帕斯卡(B•Pascal)、费马(fermat)及荷兰数学家惠更斯(C•Hugeness)用排列组合的方法,研究了赌博中一些较复杂的问题。
随着18、19世纪科学的迅速发展,起源于赌博的概率论逐渐被应用于生物、物理等研究领域,同时也推动了概率理论研究的发展. 概率论作为一门数学分支日趋完善,形成了严格的数学体系。
2011数学中考第一轮复习课件第39讲 频率与概率的应用

【答案】D
9. (2010·门头沟区)小明要给刚结识的朋友小林打电话, 他只记住了电话号码的前 5 位的 顺序,后 3 位是 3、6、8 三个数字的某一种排列顺序,但具体顺序忘记了,那么小明第一次 就拨通电话的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 6 4 3
2 1 【解析】所有机会均等的情况共有 6 种,其中相同颜色的 2 种,∴P(相同颜色)= = . 6 3
【答案】B
12.(2011 中考预测题)小明同时向上掷两枚质地均匀、同样大小的正方体骰子,骰子的 六个面上分别刻有 1 到 6 的点数,掷得朝上一面的点数之和是 3 的倍数的概率是( ) 1 1 5 5 A. B. C. D. 3 6 18 6 【解析】所有机会均等的结果共 36 种,利用画树状图或列表的方法可查得点数之和是 3 的倍数的是 12 种, 12 1 ∴P(和是 3 的倍数 )= = . 36 3
【解析】共有 12 种等可能的结果,抽出的试卷是数学试卷的有 2 种等可能的结果,故概 2 1 率为 = . 12 6
【答案】C
11.(2011 中考预测题)小华外出,带了白色、蓝色、棕色上衣各 1 件,白色、棕色裤子 各 1 条,他任意拿了 1 件上衣和 1 条裤子,正好是相同颜色的概率是( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 5
【答案】D
7.(2009 中考变式题)在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其他完全相同的球,这 a 个球中红 球只有 3 个.每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸 球试验后发现,摸到红球的频率稳定在 25%,那么可以推算出 a 大约是( ) A.12 B.9 C.4 D.3
湘教版数学九年级下册《4.2.1概率的概念》说课稿3

湘教版数学九年级下册《4.2.1概率的概念》说课稿3一. 教材分析湘教版数学九年级下册《4.2.1概率的概念》这一节主要介绍了概率的概念。
教材从实际生活中的实例出发,引出概率的定义,让学生了解概率是反映事件发生可能性大小的量。
教材通过具体的例子,让学生理解实验、事件、概率等基本概念,并学会用概率来描述和判断事件的可能性。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力,他们对数学知识有一定的掌握。
但在学习概率这一概念时,他们可能会觉得比较抽象,难以理解。
因此,在教学过程中,我需要注重引导学生从实际生活中理解概率的概念,并通过具体的例子让他们感受概率的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能:让学生了解概率的概念,理解实验、事件等基本概念,学会用概率来描述和判断事件的可能性。
2.过程与方法:通过实例引导学生从实际生活中理解概率的概念,培养学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观:激发学生对数学知识的兴趣,培养他们解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.重点:概率的概念,实验、事件等基本概念。
2.难点:理解概率是反映事件发生可能性大小的量,学会用概率来描述和判断事件的可能性。
五. 说教学方法与手段1.教学方法:采用启发式教学法、案例教学法和小组讨论法。
2.教学手段:多媒体课件、黑板、粉笔。
六. 说教学过程1.导入:通过一个简单的例子,如抛硬币实验,引导学生思考:如何判断硬币正面朝上的可能性大小?2.新课导入:介绍概率的定义,解释概率是反映事件发生可能性大小的量。
3.实例分析:分析生活中的一些实例,如中奖概率、篮球投篮命中率等,让学生理解概率的应用。
4.概念讲解:讲解实验、事件等基本概念,让学生了解它们与概率的关系。
5.练习与讨论:让学生分组讨论,运用概率的知识解决实际问题。
6.总结与拓展:对本节课的内容进行总结,提出一些拓展问题,激发学生的思考。
七. 说板书设计板书设计如下:1.概率的定义:反映事件发生可能性大小的量2.实验:进行实验的过程3.事件:实验结果的分类4.概率的计算:通过实验数据来计算概率八. 说教学评价本节课的教学评价主要从学生的学习效果、课堂参与度和作业完成情况等方面进行。
25.2.1概率及其意义

②各种结果发生的可能性相等,即等可能性试验.
例如:
1
1 21
2
2
1
1
6
6
说明:必然事件发生的概率为1,记作P(必然事件)=1;不可能事件发生的概
率为0,记作P(不可能事件)=0;如果A为不确定事件,那么0<P(A)<1
3.概率与几何图形的面积:
设某几何图形的面积为S,其中事件A发生所在
区域的面积为S′,由于对这个几何图形内的每个
取出1只黑球,你选哪个口袋成功的机会大呢?
辨析:小明:选甲袋好,因为里面的球比较少,容易取到黑球;
小红:选乙袋好,因为里面的球多,成功的机会也较大;
小丽:都一样,因为只摸一次,谁也无法预测会取出什么颜色
的球;
你觉得他们说得有道理吗?
解:
P甲=
8 22
8
8 30
P乙=
80 200 80 10
“6”的概率等于 1 这句话表示:如果掷很多次
6
的话,那么平均每6次有1次掷出“6” 19
运用
(1)已知掷得“6”的概率等于1 ,那么不是“6”
6
的概率等于多少呢?这个概率值又表示什么意思?
5
答:不是“6”的概率等于 6 ,这个概率值表示:如果 掷很多次的话,那么平均每6次有5次掷出不是“6”
1
(2)我们知道,掷得“6”的概率等于 6 也表示: 如果重复投掷骰子很多次的话,那么实验中掷得“6” 的频率会逐渐稳定在 1 附近. 这与“平均每6次有1次 掷出‘6’”互相矛盾6吗?
解 :球总个数=8+16=24
P红=
8 24
1 3
P黑=
16 24
2 3
概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第1章 概率论的基本概念

(4)
A∪(B ∩ C)=(A∪B)∩(A∪C)
(5)
概率论与数理统计
02
第2节 概率、古典概率
概率论与数理统计
1. 概率 定义1.1
在相同条件下,进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发 生了k次,则比值 称为事件A在n次实验中发生的频率,记为
并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率
概率论与数理统计
P(A2 )
C19 103 104
0.9
P(A3 )
C24 92 104
0.0486
概率论与数理统计
例题
(一个古老的问题)一对骰子连掷25次.问出现双 6与不出现双6的概率哪个大?
概率论与数理统计
4. 几何概型
若试验具有如下特征:
频率具有下列性质:
(1)对于任一事件A,有 (2)
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定义1.2 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时,频率 k/n稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增 加,波动的幅度越来越小,则称p为事件A发生的概率, 记为:P(A)=p.
概率论与数理统计
历史上著名的统计学家德·摩根(De Morgan)蒲丰(Buffon)和皮尔逊
对于任意的事件A,B只有如下分解:
概率论与数理统计
AB
A B
AB
AB
A B
AB
A B
AB
A B
概率论与数理统计
A
AB
B
A
A
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医学统计学考题(按章节)第4题【15分】__回归分析

四、回归分析 15分可能涉及范围:多元线性回归、logistic 回归。
要求: 1、提供某一资料,选择统计分析方法2、偏回归系数、标准偏回归系数、决定系数、校正决定系数、OR 等常用指标的意义与应用3、列回归方程例 27名糖尿病人的血清总胆固醇、甘油三脂、空腹胰岛素、糖化血红蛋白、空腹血糖的测量值如下表:(1)欲分析影响空腹血糖浓度的有关因素,宜采用什么统计分析方法?多元线性回归分析(2)已知甘油三酯(X2)、胰岛素(X3)和糖化血红蛋白(X4)是主要影响因素,现欲比较上述因素对血糖浓度的相对影响强度,应计算何种指标?标准偏回归系数可用来比较各自变量Xj 对Y 的影响强度,有统计意义下,回归系数绝对值越大,对Y 的作用越大。
SPSS 输出的多元回归分析结果中给出的各变量的标准偏回归系数,比较三个标准偏回归系数:甘油三脂0.354: 胰岛素0.360: 糖化血红蛋白0.413≈1:1.02:1.17(倍) 糖化血红蛋白对血糖的影响强度大小依次为:糖化血红蛋白X4、胰岛素X3、甘油三脂X2(3)分析其回归模型的好坏宜选用何种指标?校正决定系数( R 2a )作为评价标准一般说决定系数(R 2)越大越优,但由于R 2是随自变量的增加而增大,因此,不能简单地以R 2作为评价标准,而是用校正决定系数( R 2a )作为评价标准。
R 2a 不会随无意义的自变量增加而增大。
(4)根据给出SPSS 结果,做出正确的结论。
空腹血糖浓度与总胆固醇无关,与甘油三脂、空腹胰岛素、糖化血红蛋白线性相关。
(5)列出回归方程。
最优回归方程为:432663.0287.0402.05.6ˆX X X y+-+= Model Summary(最终模型的拟合优度检验验表)相关分析【完全分析答案】jszb1、此资料包含有四个变量,属于多变量计量资料,为多因素设计。
要分析多因素对空腹血糖浓度的影响,宜采用 多元线性回归分析。
2、根据样本数据求得模型参数β0, β1, β2, β3,β4的估计值b0,b1,b2,b3,b4β0又称为截距,β1, β2, …,βm 称为偏回归系数(partial regressin coefficient )或简称为回归系数。
2010届数学中考复习专题解析及测试-专题4《统计与概率》[1]范文
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概率(2)一、考点分析内容要求1、数据的收集、整理、描述与分析等统计的意义Ⅰ2、总体、个体、样本,全面调查及抽样抽查,频数、频率等概念Ⅰ3、利用扇形图、条形图、直方图及折线图进行数据整理Ⅱ4、理解概率的意义,会用列举法及频率求概率Ⅱ5、能利用统计与概率知识解决实际生活中的有关问题Ⅱ二、命题预测概率是新课程标准下新增的一部分内容,从中考试题来看,概率在试题中占有一定的比例,一般在10—15分左右,因此概率已成为近两年及今后中考命题的亮点和热点.在中考命题时,关于概率的考题,多设置为现实生活中的情境问题,要求学生能分清现实生活中的随机事件,并能利用画树状图及列表的方法计算一些简单事件发生的概率.因此学生在复习时要多接触现实生活,多作实验,留心身边的每一件事,把实际问题与理论知识结合到一块来考虑问题.预测2011年将进一步考查在具体情况中求简单事件发生的概率以及运用概率的知识对一些现象作出合理的解释.一选择1、以下说法合理的是()A、小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上,由此他说钉尖朝上的概率是30%B、抛掷一枚普通的正六面体骰子,出现6的概率是1/6的意思是每6次就有1次掷得6C、某彩票的中奖机会是2%,那么如果买100张彩票一定会有2张中奖.D、在一次课堂进行的试验中,甲、乙两组同学估计硬币落地后,正面朝上的概率分别为0.48和0.51.2、如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏,游戏的规则如下:同时抛出两个正面,乙得1分;抛出其他结果,甲得1分. 谁先累积到10分,谁就获胜.你认为(填“甲”或“乙”)获胜的可能性更大.例8用6个球(除颜色外没有区别)设计满足以下条件的游戏:摸到白球的概率为12,摸到红球的概率为13,摸到黄球的概率为16,则应设个白球,个红球,个黄球.【考点要求】本题考查概率实验中小球数目的确定.【思路点拔】因为一共有6个球,需满足条件:摸到白球的概率为12,摸到红球的概率为13,摸到黄球的概率为16,则白球有6×12=3个,红球有6×13=2个,黄球有6×16=1个.【答案】填3,2,1.【错解剖析】部分学生容易忽视总共是6个球,而只考虑三种颜色球之比为3:2:1. 例9在中考体育达标跳绳项目测试中,1分钟跳160次为达标,小华记录了她预测时1分钟跳的次数分别为145,156,143,163,166,则他在该次预测中达标的概率是【考点要求】本题主要考查计算简单事件发生的概率.【思路点拔】这个事件的所有可能出现的结果有5种,其中达标的结果有2种,所以他达标的概率是25. 【答案】25【方法点拔】由预测的达标概率来估计中考达标原概率. 例10我市部分学生参加了2005年全国初中数学竞赛决赛,并取得优异成绩. 已知竞赛成绩分数都是整数,试题满分为140分,参赛学生的成绩分数分布情况如下: 分数段 0-19 20-39 40-59 60-79 80-99 100-119 120-140人 数0 37 68 95 56 32 12 请根据以上信息解答下列问题:(1) 全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛?最低分和最高分在什么分数范围? (2) 经竞赛组委会评定,竞赛成绩在60分以上 (含60分)的考生均可获得不同等级的奖励,求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例;(3) 决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内? (4) 上表还提供了其他信息,例如:“没获奖的人数为105人”等等. 请你再写出两条此表提供的信息.【考点要求】本题考查利用统计知识对所给数据进行分析,并解决相关问题. 【思路点拔】(1)全市共有300名学生参加本次竞赛决赛,最低分在20-39之间,最高分在120-140之间(2) 本次决赛共有195人获奖,获奖率为65% . (3) 决赛成绩的中位数落在60—79分数段内.(4) 如“120分以上有12人;60至79分数段的人数最多;……”等. 【答案】(1)最低分在20-39之间,最高分在120-140之间; (2)获奖率为65%; (3)60至79分;(4)120分以上有12人;60至79分数段的人数最多.【方法点拔】从问题出发,对表格中的数据进行分析,找出对解题有用的信息.例11市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会,对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛.他们的成绩(单位:m )如下:甲:1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67 乙:1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75 (1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少? (2)哪位运动员的成绩更为稳定?(3)若预测,跳过1.65m 就很可能获得冠军,该校为了获得冠军,可能选哪位运动员参赛?若预测跳过1.70m 才能得冠军呢?【考点要求】本题考查平均数、方差等知识,并能利用方差判断成绩的稳定性,从而帮助作出决策的实际应用问题.【思路点拔】(1) 1.69 1.68x x ==乙甲(2)20.0006s =甲 20.0035s =乙 22s s <乙甲故甲稳定(3)可能选甲参加,因为甲8次成绩都跳过1.65m 而乙有3次低于1.65m ; 也可能选乙参加,因为甲仅3次超过1.70m .(答案不唯一,言之有据即可) 【答案】(1) 1.69 1.68x x ==乙甲;(2)甲稳定;(3)答案不唯一,言之有据即可【方法点拔】回答第(3)问时,并无固定答案,从不同角度可做出不同回答.例12如图所示,A 、B 两个旅游点从2002年至2006年“五、一”的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示.根据图中所示解答以下问题:(1)B 旅游点的旅游人数相对上一年,增长最快的是哪一年?(2)求A 、B 两个旅游点从2002到2006年旅游人数的平均数和方差,并从平均数和方差的角度,用一句话对这两个旅游点的情况进行评价;(3)A 旅游点现在的门票价格为每人80元,为保护旅游点环境和游客的安全,A 旅游点的最佳接待人数为4万人,为控制游客数量,A 旅游点决定提高门票价格.已知门票价格x (元)与游客人数y (万人)满足函数关系5100xy =-.若要使A 旅游点的游客人数不超过4万人,则门票价格至少应提高多少?【考点要求】本题考查从折线图中获取信息,并结合信息加以评价,解决相关问题. (1)B 旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005年. (2)A X =554321++++=3(万元),B X =534233++++=3(万元)2AS =51[(-2)2+(-1)2+02+12+22]=2,2B S =51[02+02+(-1)2+12+02]=52从2002至2006年,A 、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人,但A 旅游点较B 旅游点的旅游人数波动大.(3)由题意,得 5-100x≤4 解得x ≥100 100-80=20 【答案】(1)2005年;(2)从2002至2006年,A 、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人,但A 旅游2002 2003 2004 2005 2006 年6 54 3 2 1万人A B图4-4点较B 旅游点的旅游人数波动大;(3)至少要提高20元.【方法点拔】完成第(3)问时要先确定票价与游客人数的函数关系,然后根据题目要求列出不等式,求出相应的票价,再计算出票价提高多少.例13小红和小明在操场做游戏,他们先在地上画了半径分别2m和3m的同心圆(如图4-5),蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子,掷中阴影小红胜,否则小明胜,未掷入圈内不算,你来当裁判.(1)你认为游戏公平吗?为什么? (2)游戏结束后,小明边走边想,“反过来,能否用频率估计概率的方法,来估算非规则图形的面积呢?”.请你设计方案,解决这一问题.(要求画出图形,说明设计步骤、原理,写出公式)【考点要求】本题考查设计用频率估计概率的方法,来估算非规则图形的面积的方案,即用概率知识进行方案设计.【思路点拔】(1)不公平∵P(阴)=95949=ππ-π,即小红胜率为95,小明胜率为94∴游戏对双方不公平(2)能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积.设计方案:① 设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来(如正方形,其面积为S ).如图4-6所示;② 往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子,掷在图外不作记录). ③ 当掷点数充分大(如1万次),记录并统计结果,设掷入正方形内m 次,其中n 次掷图形内.④ 设非规则图形的面积为S ',用频率估计概率,即频率P '(掷入非规则图形内)=≈m n概率P(掷入非规则图形内)=SS 1, 故≈m n mSn S S S ≈⇒11 【答案】(1)不公平;(2)能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积.【方法点拔】本题第(2)问的解决是在第(1)问的逆向思维基础上进行,只有正确解决了第(1)问并能正逆理解才能有第(2)问的方案设计思路. ● 难点突破方法总结统计与概率问题中,中考考查以基础题主为,难题一般为实际运用,解题时应注意以下几点.1.提高运算技能,平均数、中位数、极差、方差、频率等数值都要定的数学运算得到,而运算的结果将会影响到统计的预测.2.提高阅读理解和识别图表的能力,统计问题的试题中,许多问题都是以社会热点为背景,形式灵活多样,综合性较强,强调课内知识和课外活动相结合,调查分析和收集整理相结合;3.注重在具体情境中体会概率的意义,理解概率对生活指导的现实作用;4.加强统计与概率之间的关系,同时要避免将概率内容的学习变成数字运算的练习;图4-5 图4-65.加强训练,能用规范的语言表述自己的观点.●拓展演练一、填空题1.口袋中放有3只红球和11只黄球,这两种球除颜色外没有任何区别,随机从口袋中任取一只球,取到黄球的概率是__ __.2. 一个口袋中有4个白球,1个红球,7个黄球.搅匀后随机从袋中摸出1个是白球的概率是_________.3.2006年5月份,某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是:31、35、31、34、30、32、31,这组数据的中位数是__________.4.为了缓解旱情,我市发射增雨火箭,实施增雨作业. 在一场降雨中,某县测得10个面积相等区域的降雨量如下表:区域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 降雨量(mm)10121313201514151414则该县这10个区域降雨量的众数为_______(mm);平均降雨量为___________(mm ).5.一个骰子,六个面上的数字分别为1、2、3、3、4、5,投掷一次,向上的面出现数字3的概率是_____.6.某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行社会调查,并组织评委会对学生写出的调查报告进行了评比.学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计,绘制了统计图如下,请根据该图回答下列问题:(1)学生会共抽取了______份调查报告;(2)若等第A 为优秀,则优秀率为_____________ ;(3)学生会共收到调查报告1000 份,请估计该校有多少份调查报告的等第为E ?7.有100张已编号的卡片(从1号到100号)从中任取1张,计算卡片是奇数的概率是_______,卡片号是7的倍数的概率是________.8.掷一枚正六面体的骰子,掷出的点数不大于3的概率是_________.二、选择题9.在样本方差的计算式S 2=101(x 1-20)2+(x 2-20)2+…+(x 10-20)2]中,数字10与20分别表示样本的( )A .容量、方差B .平均数、容量C .容量、平均数D .标准差、平均数 10.宾馆客房的标价影响住宿百分率.下表是某一宾馆在近几年旅游周统计的平均数据:客房价(元) 160140120100 住宿百分率 63.8% 74.3% 84.1%95%在旅游周,要使宾馆客房收入最大,客房标价应选( ).A .160元B .140元C .120元D .100元 11.数学老师对小明在参加高考前的5次数学模拟考试进行统计分析,判断小明的数学成绩是否稳定,于是老师需要知道小明这5次数学成绩的( )A .平均数或中位数B .方差或极差C .众数或频率D .频数或众数 12.国家实行一系列“三农”优惠政策后,农民收入大幅度增加.某乡所辖村庄去年年人均收入(单位:元)情年人均收入 3500 3700 3800 3900 4500 村庄个数 0 1 3 3 1 第6题图况如右表,该乡去年年人均收入的中位数是( )A .3700元B .3800元C .3850元D .3900元13.在一所有1000名学生的学校中随机调查了100人,其中有85人上学之前吃早餐,在这所学校里随便问1人,上学之前吃过早餐的概率是( )A .0.85B .0.085C .0.1D .85014.一布袋中有红球8个,白球5个和黑球12个,它们除颜色外没有其他区别,随机地从袋中取出1球不是黑球的概率为( )A .825B .15C .1225D .132515.某商店举办有奖销售活动,购物满100元者发兑奖券一张,在10000张奖券中,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖100个,若某人购物满100元,那么他中一等奖的概率是( )A .1100B .11000C .110000D .1111000016.如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形,每个扇形上都标有数字,同时自由转动两个转盘,转盘停止后,指针都落在奇数上的概率是( )A .25B .310C .320D .1517.军军的文具盒中有两支蜡笔,一支红色的、一支绿色的;三支水彩笔,分别是黄色、黑色、红色,任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔,正好都是红色的概率为( )A .56B .13C .15D .1618.甲、乙两位学生一起在玩抛掷两枚硬币的游戏,游戏规定:甲学生抛出两个正面得1分;乙学生抛出一正一反得1分.那么各抛掷100次后他们的得分情况大约应为( )A .甲→25分,乙→25分B .甲→25分,乙→50分C .甲→50分,乙→25分D .甲→50分,乙→50分 三、解答题19.某市举行一次少年滑冰比赛,各年龄组的参赛人数如下表所示:年龄组 13岁 14岁 15岁 16岁 参赛人数5191214(1)求全体参赛选手年龄的众数、中位数;(2)小明说,他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%. 你认为小明是哪个年龄组的选手?请说明理由.20.小谢家买了一辆小轿车,小谢连续记录了七天每天行驶的路程.第一天 第二天 第三天 第四天第五天 第六天 第七天 路程(千米)46393650549134请你用统计初步的知识,解答下列问题:(1)小谢家小轿车每月(每月按30天计算)要行A B驶多少千米?(2)若每行驶100千米需汽油8升,汽油每升3.45元.请你求出小谢家一年(一年按12个月计算)的汽油费是多少元?21.(连云港市2005)今年“五一黄金周”期间,花果山风景区共接待游客约22.5万人.为了了解该景区的服务水平,有关部门从这些游客中随机抽取450人进行调查,请他们对景区的服务质量进行评分,评分结果的统计数据如下表:档次第一档第二档第三档第四档第五档分值a(分)a≥9080≤a<9070≤a<8060≤a<70a<60人数73 147 122 86 22 根据表中提供的信息,回答下列问题:(1)所有评分数据的中位数应在第几档内?(2)若评分不低于70分为“满意”,试估计今年“五一黄金周”期间对花果山景区服务“满意”的游客人数.22.在青岛市政府举办的“迎奥运登山活动”中,参加崂山景区登山活动的市民约有12000人,为统计参加活动人员的年龄情况,我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本,进行数据处理,制成扇形统计图和条形统计图(部分)如下:(1)根据图①提供的信息补全图②;(2)参加崂山景区登山活动的 12000 余名市民中,哪个年龄段的人数最多?(3)根据统计图提供的信息,谈谈自己的感想.(不超过30字)23.袋中装有编号为1、2、3的三个形状大小相同的小球,从袋中随意摸出1球.并且随意抛掷一个面上标有1,2,3,4,5,6各一数字的正方体均匀骰子.(1)如果摸出1号球和骰子朝上的数字为1则甲胜;如果摸出2号球和骰子朝上的数字为2,则乙胜.这个游戏对双方公平吗?(2)如果摸出的球编号为奇数和骰子朝上的数字为奇数则甲胜;如果摸出的球编号为偶数和木块朝上的数字为偶数,则乙胜.这个游戏对双方公平吗?说明理由.24.小明拿着一个罐子来找小华做游戏,罐子里有四个一样大小的玻璃球,两个黑色,两个白色.小明说:“使劲摇晃罐子,使罐子中的小球位置打乱,等小球落定后,如果是黑白相间地排列(如图所示),就算甲方赢,否则就算乙方赢.”他问小华要当甲方还是乙方,请你帮小华出主意,并说明理由.专题四《统计与概率》●习题答案一、填空题1.1114 (提示:实验中,我们关注的结果的次数是11,所有等可能出现的结果的次数是14,故取到黄球的概率1114)2.13 (提示:P (白球)=441417123==++) 3.31(提示:将这组数据按从小到大排列为30、31、31、31、32、34、35,则位于中间位置的一个数为31,即这组数据的中位数是31)4.14,14(提示:14出现次数最多,平均降雨量是把各区域降雨量相加再除以10)5.13(提示:P (向上数字为3)=2163=) 6.50,0.16,40(提示:共抽查8+20+15+5+2=50;优秀率为8÷50=0.16;等第为E 的报告有210004050⨯=) 7.12,750(提示:1到100中奇数有50个,P (卡片是奇数)=5011002=;7的倍数有100÷7≈14,所以P (卡片号是7的倍数)=14710050=) 8.12(提示:点数不大于3的数字有1、2、3,所以P (点数不大于3)=3162=)二、选择题9.C (提示:要熟悉样本方差计算公式的意义)10.B (提示:应综合考虑客房价与住宿百分率两方面因素,要使两者乘积最大) 11.B (提示:反映数据稳定性的量是数据的方差或极差)12.C (提示:表中共有8个数据,位于中间位置的两个的数分别为3800、3900,故本组数据的中位数为(3800+3900)÷2=3850)13.A (提示:100人中吃早餐的概率85÷100=0.85,可以代表1000名学生吃早餐的概率)14.D (提示:P (摸出的是黑球)=1212851225=++,所以P (摸出的不是黑球)=1-1225=1325) 15.C (提示:共有10000张奖券,其中一等奖10个,购物100元,可得一张奖券,故P (中一等奖)=11000016.B (提示:P (A 指奇数)=35,P (B 指奇数)=2142=,所以P (A 、B 同时指奇数)=35×12=310) 17.D (提示:P (两支红色水笔)111236=⨯=) 18.B (提示:抛掷两枚硬币的所有可能是正正、正反、反正、反反.所以P (甲抛出两个正面)=14,P (乙抛出一正一反)=12,各抛100次后,甲得分100×14=25(分),乙得分100×12=50(分))三、解答题 19.解:(1)众数是14岁,中位数是15岁; (2)(5+19+12+14)×28%=14(人) 所以小明是16岁年龄组的选手.20.解:(1)由图知这七天中平均每天行驶的路程为50(千米). ∴每月行驶的路程为30×50=l 500(千米). 答:小谢家小轿车每月要行驶1500千米. (2)小谢一家一年的汽油费用是4 968元.21.解:(1)所有评分数据的中位数应在第三档内.(2)根据题意,样本中不小于70的数据个数为73+147+122=342, 所以,22.5万游客中对花果山景区服务“满意”的游客人数约为1.175.22450342=⨯(万). 22.解:(1)略 (2)60-69岁(3)根据统计图提供的信息,谈谈自己的感想合理即可. 23.解:①公平 因为获胜概率相同都等于118; ②不公平;因为甲获胜概率为31,乙获胜概率为61. 24.解:小华当乙方.理由:设A 1表示第一个黑球,A 2表示第二个黑球,B 1表示第一个白球,B 2表示第二个白球.有24种可能结果(可以利用树状图或表格解释),黑白相间排列的有8种.因此,甲方赢的概率为824=13 ,乙方赢的概率为23,故小华当乙方.。
概率预测评估方法

概率预测评估方法
有一种方法呢,就是对比实际发生的情况和预测的概率。
就像猜硬币正反面,你预测正面朝上的概率是50%,要是扔了100次,真的差不多50次正面,那这个预测就挺靠谱的。
这就像是一场打赌,你下了个概率的注,然后看结果是不是符合你的预期。
还有一种方法是用数据统计的方式。
收集好多好多相关的数据,然后分析这些数据里面的规律。
比如说,要预测一个球队赢球的概率,就去看这个球队以前的比赛成绩,球员的状态,对手的情况等等。
把这些因素都综合起来,算出一个概率。
那怎么评估这个算出来的概率准不准呢?可以看这个球队接下来几场比赛的结果,如果赢球的次数和预测的概率比较接近,那就说明这个评估方法还不错。
在生活里呀,我们也经常会用到类似的简单的概率预测评估。
就像你觉得今天出门碰到熟人的概率。
你可能会根据平时的经验,比如这个时间点通常大家都在上班或者上学,碰到熟人的概率就比较低。
要是真的出去一天都没碰到几个熟人,那你这个简单的预测就还挺准的。
不过呢,概率预测评估也不是百分百准确的。
毕竟世界上有好多不确定的因素。
有时候运气也会捣乱呢。
就像天气预报说有80%的概率下雨,结果一滴雨都没下。
这时候也不能就说这个预测方法不好啦,只能说那些小概率的情况发生了。
使用概率预测天气变化

使用概率预测天气变化天气变化是人们生活中经常关注的话题之一。
无论是决定出门穿什么衣服,还是安排户外活动,我们都希望能够提前知道天气的变化情况。
然而,天气变化是一个复杂的系统,受到多种因素的影响,预测天气变化并不是一件容易的事情。
然而,通过使用概率预测模型,我们可以在一定程度上预测天气的变化。
概率预测是一种基于统计学原理的预测方法。
它通过分析历史数据和当前的观测数据,来计算未来事件发生的概率。
在天气预测中,我们可以使用概率预测模型来计算某种天气事件发生的概率,例如下雨、刮风等。
通过分析历史天气数据和当前的气象观测数据,我们可以建立一个概率模型,来预测未来某个时间段内某种天气事件发生的概率。
在建立概率预测模型时,我们需要考虑多种因素。
首先,我们需要考虑历史天气数据。
通过分析历史天气数据,我们可以了解到不同天气事件发生的频率和规律。
例如,在某个地区,夏季下雨的概率可能比冬季要高,而春季刮风的概率可能比秋季要高。
其次,我们还需要考虑当前的气象观测数据。
例如,通过观测云层的形状和运动,我们可以判断是否有可能下雨;通过观测气温和湿度,我们可以判断是否有可能刮风。
最后,我们还需要考虑其他因素,例如地理位置、季节等。
这些因素都会对天气变化产生影响,我们需要将它们纳入到概率预测模型中。
在使用概率预测模型进行天气预测时,我们需要注意一些问题。
首先,概率预测只能提供一种可能性,而不能确定性地预测天气变化。
例如,我们可以通过概率预测模型计算出某个时间段内下雨的概率为60%,但这并不意味着一定会下雨,也有可能不下雨。
其次,概率预测模型的准确性受到多种因素的影响。
例如,如果历史天气数据不够准确或者当前的气象观测数据有误,那么概率预测模型的准确性就会受到影响。
因此,在使用概率预测模型进行天气预测时,我们需要谨慎对待结果,不要过于依赖概率预测的结果。
尽管概率预测不能提供确定性的天气预测结果,但它仍然是一种有用的工具。
通过使用概率预测模型,我们可以在一定程度上了解天气变化的可能性,从而做出相应的准备。
概率模型与预测

概率模型与预测概率模型与预测是现代统计学和机器学习的重要研究领域。
通过建立数学模型,基于统计学原理来预测未来事件的发生概率。
概率模型与预测在众多领域中都有广泛应用,比如金融、天气预报、医学诊断等。
一、概率模型的基本原理概率模型是通过对已有数据进行分析、建立合适的数学模型,来预测未来事件的发生概率。
概率模型的基本原理是基于概率论,通过对随机事件的研究来进行预测。
概率模型通常包括以下几个关键要素:1.1 数据收集与处理在建立概率模型之前,我们需要收集足够的数据并进行处理。
数据收集可以通过实验、观测或者调查等方式获取,然后对数据进行预处理、清洗、分析等操作,以满足模型建立的需求。
1.2 概率分布假设概率模型通常假设数据源于某种概率分布。
根据具体问题的特点,我们可以选择不同的概率分布,比如正态分布、泊松分布等。
基于这样的概率分布假设,我们可以对未来事件的概率进行建模和预测。
1.3 参数估计参数估计是指通过已有的数据,对概率分布的参数进行估计。
常见的参数估计方法包括极大似然估计、贝叶斯估计等。
参数估计的目的是选择最合适的参数值,以使得模型与观测数据最吻合。
1.4 模型评估与选择在建立概率模型之后,我们需要对模型进行评估和选择。
常见的模型评估指标包括均方误差、对数似然函数值等。
通过对模型的评估,我们可以判断模型的拟合程度和预测能力,以选择最合适的模型。
二、概率模型的应用概率模型与预测在各个领域中都有广泛的应用。
以下以金融、天气预报和医学诊断为例,介绍概率模型在实际应用中的一些案例。
2.1 金融概率模型在金融领域中的应用非常广泛。
比如,通过建立风险模型,对股票价格的涨跌进行预测,帮助投资者做出合理的投资决策。
另外,概率模型还可以应用于信用评估、风险控制等方面,帮助金融机构分析和管理风险。
2.2 天气预报天气预报是概率模型与预测的典型应用之一。
通过对历史天气数据的分析和建模,可以预测未来天气的变化趋势和概率。
天气预报的准确性对人们的生产、生活有很大的影响,概率模型的应用使得天气预报更加精确和可靠。
数据的概率与预测

数据的概率与预测数据是我们现代社会中不可忽视的重要资源,通过对数据的收集、整理和分析,我们能够更好地了解事物的发展趋势和规律。
而数据的概率与预测则是数据分析的重要内容之一,它们帮助我们从大量的数据中找出规律,为未来的决策提供科学依据。
本文将探讨数据的概率与预测的基本概念、应用领域以及方法及其局限性。
一、数据的概率数据的概率是指通过对大量数据的分析,发现其中的规律和概率模型,从而对未来事件发生的可能性进行预测。
概率是指某个事件发生的可能性,它可以通过统计分析和数理模型来计算和推算。
概率的计算方法有多种,如频率概率和主观概率等。
频率概率是通过对过去事件的频次进行分析,根据事件发生的次数与总次数的比值来计算概率。
例如,在一个100次的试验中,某事件发生了40次,则该事件的频率概率为40%。
频率概率的计算基于大量的试验和观测数据,具有客观性和科学性。
主观概率是基于个人经验和主观判断得出的概率,它注重个人的主观意见和信念。
例如,某人认为明天下雨的概率是50%。
主观概率的计算依赖于个人的主观判断和经验,其准确性和可靠性有赖于人们的经验和判断能力。
二、数据的预测数据的预测是基于数据的概率和模型,通过数学和统计方法对未来事件进行预测。
数据预测可以应用于各个领域,如经济学、金融学、气象学等。
通过对过去的数据进行分析,建立相关的数理模型,对未来的趋势和可能性进行预测,帮助决策者做出合理的决策。
数据的预测方法有多种,如回归分析、时间序列分析、机器学习等。
回归分析是基于变量之间的相关性建立数学模型,通过拟合函数来进行预测。
时间序列分析是基于时间的顺序,对时间序列数据进行建模和预测。
机器学习是通过模型的学习和自动优化,对数据进行预测和分类。
数据的预测在现代社会中扮演着重要角色,例如在金融领域,通过对股票市场的数据进行分析和预测,投资者可以做出科学的投资决策。
在气象学领域,通过对气象数据的分析和预测,我们能够提前预报天气状况,做好各种准备。
如何利用概率图模型进行事件预测(九)

概率图模型(Probabilistic Graphical Models, PGM)是一种用于描述随机变量之间关系的数学模型,它通过图的方式表达变量之间的依赖关系,并利用概率论的知识来描述这些关系。
概率图模型包括贝叶斯网络(Bayesian Network)和马尔科夫网络(Markov Network)两种主要类型,它们在事件预测、机器学习和人工智能领域有着广泛的应用。
概率图模型的基本原理是利用概率论中的贝叶斯定理来描述变量之间的依赖关系。
通过构建变量之间的概率分布,可以利用已知的信息来推断未知的变量,从而进行事件预测。
在这一过程中,概率图模型能够有效地处理不确定性和复杂性,使得预测结果更加可靠和准确。
在实际应用中,概率图模型可以通过学习历史数据来构建模型,然后利用这个模型来进行事件预测。
以贝叶斯网络为例,它能够有效地描述变量之间的因果关系,通过学习历史数据中的变量之间的依赖关系,可以构建一个贝叶斯网络模型。
一旦构建好了模型,就可以使用这个模型来进行事件预测。
在事件预测中,概率图模型能够处理多个变量之间的复杂关系,从而更加准确地预测未来事件的发生概率。
比如,在金融领域中,可以利用概率图模型来预测股票价格的走势;在医学领域中,可以利用概率图模型来预测疾病的发生风险;在工程领域中,可以利用概率图模型来预测设备的故障率等等。
除了事件预测,概率图模型还可以用于决策分析、风险评估和因果推断等领域。
通过对变量之间的依赖关系进行建模,概率图模型能够帮助人们更好地理解复杂系统中的因果关系,从而进行有效的决策和风险管理。
在实际应用中,利用概率图模型进行事件预测通常需要以下几个步骤:首先,收集和整理相关的数据,包括历史数据和已知信息;然后,根据数据的特点选择合适的概率图模型,并进行模型的构建和学习;接着,利用构建好的模型进行事件预测,并对预测结果进行评估和调整;最后,根据预测结果进行决策和行动。
在选择概率图模型时,需要考虑数据的特点和问题的复杂性,不同类型的概率图模型适用于不同的场景。
高中数学新课标人教A版必修第一二册教材解读〖第十章概率章整体解读〗

第十章概率概率论是研究随机现象规律的一门学科,为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法.自十七世纪中叶以来,概率论已由最初的研究博弈问题主要是赌博问题发展成为一门有鲜明特点的综合性学科.尤其是近些年来,概率论与其他学科不断交叉融合,越来越发挥不可替代的作用,不断有从事概率论研究的学者获得菲尔兹奖和沃尔夫奖等国际数学大奖.这充分说明,概率论学科不仅汇入了数学的主流,而且逐步走向数学的前沿而引领数学科学的发展.经过几十年的发展,在中小学数学课程中,概率从无到有,从选修到必修,从附属地位到中学数学课程的主线,概率内容在我国中小学课程中的地位有了明显的提高.目前我们已进入大数据时代,为了适应社会与科学技术的发展和进步,“概率与统计”内容已经成为大学数学教育的基础课程,在高中阶段“概率与统计”成为数学课程的主线,概率内容变得越来越重要,在培养学生的随机观念和提升学生的核心素养方面具有不可替代的作用.概率课程的主要育人功能是培养学生分析随机现象的能力,提升学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理以及数学运算等素养.通过对随机现象主要是古典概型的探索,在构建随机现象的研究路径、抽象概率的研究对象、建立概率的基本概念、发现和提出概率的性质、探索和形成研究具体随机现象的思路和方法、应用概率知识解决实际问题的过程中,发展学生认识不确定性现象的思维模式,使学生学会辩证地思考问题,成为善于认识问题、善于解决问题的人才.一、本章内容安排通过本章的学习,结合具体案例的教学,帮助学生理解样本点、样本空间、随机事件等概念,会计算古典概型中简单随机事件的概率,加深对随机现象的认识和理解;理解研究随机现象规律性的一般方法,通过构建概率模型解决实际问题,提高用概率的方法解决问题的能力.也为后续学习条件概率、随机变量的分布、二项分布、正态分布等有关知识打好基础.1.随机事件与概率结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系;类比集合的关系与运算,了解随机事件的并、交与互斥的含义,能结合具体问题进行随机事件的并、交运算;理解古典概型,并能解决一些简单的实际问题;理解概率的性质,并能根据概率的运算法则求随机事件的概率.2.事件的相互独立性独立性是事件之间的一种特殊关系,直观理解为两个事件发生与否互不影响,本质上是两个事件积的概率等于两个事件概率的乘积.独立性的相关内容从必修内容到选择性必修内容均有涉及,因此,对于独立性的认识,既要从直观上感悟,又要从本质上理解.《课程标准2021年版》要求在必修课程中介绍随机事件的独立性,在选择性必修课程中介绍条件概率,因此,无法借助条件概率来定义两个随机事件的独立性.教材从事件的关系和运算的角度出发研究概率的基本性质,结合问题“两个事件的积的概率与这两个事件的概率有什么关系?”通过具体例子引入事件的独立性概念,先通过具体例子直观理解,再用数学表达式刻画两个随机事件的独立性,即从特殊到一般,从感性认识上升到理性认识.3.频率与概率.如何得到随机事件的概率是概率研究的重点.对某些随机试验,在一定的假设条件下,可以通过构建概率模型,直接计算事件的概率.例如,在古典概型中,由于每个样本点都是等可能发生的,并且样本点的个数是有限的,我们可以借助古典概型公式计算有关事件的概率.但在现实生活中,很多试验的样本点不是等可能发生的,大量随机事件的概率不能直接计算,只能借助于频率来估计概率,因此,必须清楚频率与概率的关系.本节主要内容是频率的稳定性,频率与概率的联系与区别,用频率估计概率,随机模拟等.基于以上分析,本章知识结构如下:本章的重点是由实际问题抽象随机事件的概念,理解事件的关系和运算,通过古典概型理解概率的意义,探究概率的性质,理解频率的稳定性,通过实际操作试验或计算机模拟试验,用频率估计概率.本章有三个难点:一是抽象研究对象——随机事件;二是在求解古典概型问题时,对所有样本点等可能性的判断;三是对频率与概率的关系的理解.二、获得概率的研究对象,建构概率的研究路径及框架《课程标准2021年版》中提出要发展学生的数学学科核心素养,在这样的理念下,教材在编写过程中更加注重落实“四基”,培养“四能”,关注概率的研究对象是什么,研究内容是如何得到的,概念是怎么抽象的,概率的性质是如何发现的,等等.在编写过程中,教材从认识概率的研究对象入手,围绕如何使学生获得概率的研究对象、发现概率的研究内容和方法等问题展开,不仅让学生知道“是什么”“怎么做”,更重要的是让学生知道“为什么”“怎么想”,最大限度发挥概率的育人功能和价值.1.概率的研究对象数学历来被认为是确定性的科学,所谓“确定性”的含义就是在给定的条件下可以得到确定的结果,也就是说如果知道足够多的信息,可以对未来进行精准的预测.但是,现实中还存在着大量的现象,即便是从相同的条件下出发,我们仍然无法预知其结果.例如,抛掷一枚硬币是正面朝上还是反面朝上,明天是否会下雨,彩票能否中奖,等等.类似这些问题中都包含了不确定性.这类在一定的条件下事先不能预知结果的现象称为不确定性现象.“不确定性”的含义是在一定条件下,某个结果可能发生也可能不发生,而且即使知道所有可能结果,我们也无法预知在某一次观测中哪一个结果出现.在现实生活中,我们会面对很多不确定性的问题,有的相对简单,有的比较复杂,甚至有些不确定性的现象,以人类目前的能力,根本无法解决.为此,我们缩小研究的范围,在高中阶段我们仅研究那些在相同条件下能进行重复观测且有规律的现象——随机现象.随机现象:在一定条件下不能事先预知结果,且各个结果发生的频率都具有稳定性的现象.考虑到随机现象的高度复杂性以及学生的认知准备状况,同时也不失一般性,把高中必修课程中概率的研究对象限制在有限结果的随机现象.具体而言,所研究的不确定现象具有以下的特征:结果有限性;不可预知性;频率稳定性.教材的呈现方式为:选择典型的、生活中常见的随机现象,归纳随机试验的特点,引入随机试验的概念;结合简单的随机试验,归纳出样本点、样本空间有限样本空间的概念;对于随机事件的概念,在初中描述的基础上,抽象为样本空间的子集.为用数学的方法描述和研究随机现象奠定了基础.用适当的字母、数字、数对表示结果,构建样本空间,这是将实际问题数学化的关键步骤,也是提升学生数学抽象素养的重要途径.用符号语言准确而简练地表示求解概率问题的过程,揭示了随机变量的本质,即样本空间到实数集的映射,为选择性必修内容奠定基础.纵观上述过程,教材呈现了概率研究对象的获得过程,符合知识发生发展的内在逻辑和学生认知心理的特点,能较好地培养学生的数学抽象和直观想象核心素养.2.构建概率主题研究框架,整体设计研究路径由于概率的研究对象是随机事件,随机性本身就具有一定的难度.面对“随机事件”这一新的研究对象,有哪些问题需要研究?按照怎样的路径展开研究?可以采取哪些研究方法?教材从学生的已有知识和经验出发,发挥学生在研究确定性现象中获得的知识经验,获得研究概率的内容、过程和方法,体现研究一个数学对象的基本套路.数学的本质在于度量,无论是确定性问题,还是随机性的问题都是如此.①概率是对事件发生可能性大小的一种度量,引入了样本空间以后,随机事件可以看成是样本空间的子集,对于一个具体的随机试验,通常含有许多随机事件,因此需要对每个随机事件都分配一个实数与其对应,从这种意义上来看,概率可以看成定义在样本空间有限样本点子集上的“集函数”.所以我们可以类比函数的研究,建立概率的研究路径、发现概率的研究内容和方法,尽管函数的研究对象、研究内容和方法与概率有很大的不同,但这样的类比至少在入门阶段可以给学生提供研究方向的指引,有效消除学生对于概率的陌生感.下面分析一下函数的研究路径.1与初中给出的函数描述性定义比较,对函数的更为严格和精确的定义是基于集合这一基本概念的.把函数定义为两个非空数集A,B之间的一种特殊的映射f,对∀∈A,按照对应关系f,都有唯一确定的数f∈B和它对应.因此,定义函数概念需要先有集合的有关知识.2从概念学习的需要看,应该给学生提供典型丰富的具体例证,使学生经历具体事例共性的分析、归纳过程,概括得出函数的定义,并通过概念辨析深入理解概念的内涵.函数概念的学习应该从“事实”出发,用概念形成的方式.3在定义函数概念、理解函数的各种表示法后,研究函数的值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊点的取值等性质,它们从“关系”“规律”等角度反映了函数的某些特征.4针对某一类现象如均匀变化、匀变速、指数增长、对数增长、周期现象等建立函数模型.其核心内容有两个:一是建立关于这种变化现象中量与量之间的确切关系——函数模型=f,从而精确地刻画一个量是如何随着另一个量的变化而变化的,据此就能准确地“预测未来”;二是通过对=f的“纯数学”研究,发现这类函数的性质,包括定义域、值域、单调性、最大小值、衰减率、增长速度、函数的零点等,这些性质都是这类现象在某一方面变化规律的反映.归结起来,对于函数的研究,其结构和内容大致如下:预备知识—集合概念、关系、运算;函数的事实—函数概念的定义、表示—函数的性质—基本初等函数.类比上述结构和内容,可以建立概率教材的结构体系如下:预备知识—样本点、样本空间、随机事件、事件的关系和运算;概率的事实随机现象—概率的定义及表示—概率的性质、运算法则—古典概型—频率的稳定性等—概率的计算、随机模拟试验.通过对比不难发现,前三部分是对概率的基本概念、基本性质的研究,相当于对函数的一般概念与性质的研究;古典概型是最简单的概率模型,也是高中概率课程重点研究的概率模型,与函数中的幂函数、指数函数、三角函数等具有同等重要的地位.另外,由于古典概型比较简单,便于解释相关概念,有利于学生体会概率的意义,考虑到学生的已有经验和认知水平,为了使学生在理解概率的概念和性质时有一个完整的具体例证支撑,教材把古典概型提前安排.三、重视相关概念的数学本质和形成过程1.样本空间样本点是随机试验的每个可能的基本结果,样本空间是全体样本点的集合.在确定随机试验的样本空间时,要注意不要把问题背景与问题本身混为一谈.例如,抛掷一对骰子,要求“点数之和是偶数”的概率,有人认为建立样本空间Ω1={,|,=1,2,3,4,5,6}比较复杂,可以建立样本空间Ω2={偶,偶,偶,奇,奇,偶,奇,奇},将Ω2中的每个元素看成是试验的基本结果,这4个结果也是等可能的,从而求得“点数之和是偶数”的概率为0.5.但是,我们如果在同样的问题背景下,同时求“点数之和为5”的概率,显然利用样本空间Ω2就不行了,还是要用Ω1.这样,对于同样的问题背景,针对不同的问题,需要构建不同的样本空间,使得原本清晰的问题变得复杂了.因此,针对选择样本点、建立样本空间的基本原则是“样本点和样本空间与问题背景有关,与问题本身无关”.2.概率的古典定义概率定义的产生和发展经历了漫长的过程.概率的描述性定义为“概率是随机事件发生的可能性大小的度量”,但这个定义对确定具体随机事件的概率没有任何帮助.早期研究的概率问题绝大多数是古典概型,由于所有结果的等可能性,自然把随机事件A发生的可能结果数与试验的可能结果总数n的比值作为事件A的概率定义.法国数学家拉普拉斯on Laie,1883—1953把这个稳定值定义为事件的概率,称为概率的频率定义.1777年法国科学家蒲丰1707—1788提出了著名的“投针问题”,引进了几何概率.但是无论是古典概率定义、频率定义还是几何概率定义,都有其局限性和不完善之处.于是,1933年,苏联数学家柯尔莫果洛夫在总结前人成果的基础上提出了概率的公理化结构,使概率成为严谨的数学分支.对于有限样本空间,概率的公理化结构为:设随机试验E的样本空间为Ω,随机事件是样本空间的子集,所有事件构成的集类F称为事件域,定义在事件域F上的“集合函数”A B C A B A C B C A B C.DIST计算.用f n A表示重复抛掷n次硬币时A=“正面朝上”出现的频率,频率落在不同误差范围内的概率如表1所示.有人认为:用频率估计概率,重复试验次数越多,估计的结果就越精确.但这样的表述并不准确.观察上面的计算结果,我们看到:做100次试验,频率与概率的偏差不超过0.05的概率为0.728 7;做1 000次试验,频率与概率的偏差不超过0.05的概率为0.998 6.因此,用频率估计概率,比较严格的表述为:当试验次数较少时,用频率估计概率误差较小的可能性较小;当试验次数足够多时,用频率估计概率误差较小的可能性大.第五层次,大数定律.设事件A 的概率为,f n A 是n 次试验中事件A 发生的频率,则对任意的ε>0,都有n lim (|()|)1lim (|()|)0.n x x P f A p P f A p εε→+∞→+∞-≤=->=或 第一层次、第二层次在初中已有初步认识,第三层次是高中的教学要求,第四层次可根据教学条件选择,第五层次超出了高中课程的要求.四、重视从整体上把握概率和思想方法的渗透1.了解概率论的特点,整体把握逻辑关系对于随机现象,每个结果的发生都具有偶然性,但是在大量重复观测下又呈现出必然规律.在学生的数学学习经历中,以往接触的问题主要是确定性现象,很少有意识地思考随机现象的特点,又由于概率课程自身的特点,例如概率概念比较抽象,对随机性的不同理解会导致不同的结果,利用概率进行一次决策,合理的决策未必一定得到好的结果等.因此,一提到“随机性”学生就感觉难于把握.在概率教学过程中,自始至终都要结合实例来展开.应提供丰富的、典型的随机现象实例,分析归纳获得研究对象——随机现象的特征.同时鼓励学生提出有价值的概率问题.可以引导学生分类列举随机现象,例如,游戏中的随机现象抛掷硬币、抛掷骰子、抽取扑克牌、电脑游戏等,生活中的随机现象彩票、出生月份、摸球抽签、上学迟到等,实际应用中的随机现象随机抽样、保险问题、投资理财等.要注意避免人为虚构脱离数学本质的情境,情境也不宜过于复杂,更不能将生活常识、数学定理、成语俗语等当成事件.在教学中,可结合知识框图,把握本章的整体的结构.特别注意不同的顺序安排,对某些概念的呈现方式是不同的.例如,如果先研究概率的基本性质,然后定义古典概率,由于概率要满足规范性和可加性,只要对每个基本事件定义其概率为错误!,那么所有事件的概率就完全确定了.本章教材我们采用从认知经验出发,根据古典概型的特征,定义事件的概率为事件包含的样本点数与样本空间中样本点总数的比值,然后研究概率的基本性质.2.重视核心概念“随机事件”的抽象“随机事件”是概率论的核心概念之一,如果理解不深刻,将影响整个概率的学习.引入样本点、有限样本空间概念,用样本空间的子集表示随机事件是随机现象数学化的关键一步,必须给予重视.教学中,应利用典型例子,以“随机现象数学化”为导向,以“不同语言的相互转化”为手段,针对样本点、样本空间、随机事件及其关系等提出问题,并要让学生自己提出问题.这样的训练是基础性的,对于“认识和理解随机现象”有重要意义,不能匆匆而过.加强用数学语言描述随机现象的教学,对于促进学生理解样本点和样本空间的含义,随机事件和样本点的关系,随机事件的发生,随机事件的关系和运算等都是非常有用的.3.重视数学思想方法的渗透数学教学固然应该教会学生许多必要的数学基础知识,但是绝不仅仅以教会数学知识为目标,重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想.在教学中应重视数学思想的提炼和渗透,把提升学生的数学学科核心素养落到实处.对随机试验,用符号字母、数字或数对表示试验结果,抽象出样本点、样本空间,由事件发生的意义抽象出“随机事件”是样本空间的子集;抽象概括出随机试验的本质特征,建立各种概率模型;借助树状图表示试验的所有可能结果,判断样本点的等可能性;从两个事件的发生互相不影响,抽象事件的独立性等,都是数学抽象的体现.本章中运用了类比、归纳等思想.例如,类比函数的研究,确定概率的研究路径,发现概率的性质;类比集合的关系和运算理解事件的关系与运算;对概率基本性质的研究采用由特殊到一般的归纳的方式;等等.对古典概型的教学,重点应放在通过解决实际问题,了解构建概率模型的一般方法,理解事件概率的意义,渗透模型化思想,不要把重点放在计数上.4.加强统计与概率的联系统计与概率既有联系,又有区别.概率论与统计学虽然研究的都是随机现象,但两者的差别很大.统计学的研究基础是数据,基于归纳的方法用样本数据推断总体;概率论的研究基础和传统数学类似,还是定义和假设,用演绎的方法进行计算和推理.从认知的角度看,统计比概率更具体,统计学以概率论为基础.我们知道,采用随机抽样,用样本推断总体,其结果也具有随机性.评价推断结果的精确程度,推断方法的“好”与“坏”,都需要概率知识.在概率的教学中,要适当地关注二者的联系.例如:1关注统计中的总体与概率中的样本空间之间的联系.总体没有随机性,只有采用随机抽样,其结果才具有随机性.2在古典概型教学中,从概率角度比较有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样、按比例分层随机抽样三种抽样方式对总体均值的估计效果.3在频率与概率的教学中,结合“阅读与思考孟德尔遗传规律”,让学生认识到:一方面,可以通过统计发现规律,提出遗传机理的概率模型正态分布模型也采用这种方式构建;另一方面,可以利用统计方法,用频率来验证理论模型的正确与否.5.重视信息技术的应用随着科技的发展和技术的进步,传统的课堂教学已经很难满足教学的需求,信息技术与数学课程的深度融合,对教育教学方式产生了巨大影响.信息技术在教育教学中的运用是现代教育发展的必然趋势,也是实施高质量的教育的必然选择.在本章的学习中,用频率估计概率时,需要做大量的重复试验,但这种方法费事费力.利用计算机等信息技术工具模拟某些随机试验,可以达到快速地进行大量重复试验的目的,从而用频率估计事件的概率,进一步认识频率的稳定性,频率与概率的关系,更好地体会统计思想和概率的意义.例如,“随机选取6个人,调查他们的出生月份”,如果进行实际调查,一是很难保证随机性,二是要将这个试验重复100次,实际上很难完成.因此,我们可以设计一个摸球试验来模拟试验.在袋子中装入编号为1,2,…,12的12个球,这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球,得到6个数代表6个人的出生月份,这就完成了一次模拟试验.这样做可以保证随机性,但做大量重复试验效率不高.这时可以借助信息技术工具进行模拟试验,可以节省大量时间、提高效率,而且能帮助学生更好地体会随机性现象背后的概率思想.因此,在概率教学中,要充分发挥信息技术的作用,有条件的学校应尽可能多地使用计算机等信息技术工具辅助教学.11。
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从一副没有大 小王的扑克牌 中随机抽一张
黑桃
1 4 左右
黑桃,红 桃,方块, 草花
1 4
1 4
四人小组讨论:你从上表中发现了什么规律?
合作交流
从上表中发现的 规律: 原来这几个通过重复实验得到的频率稳定值也
可以开动脑筋分析出来。 分析的关键:
(1)要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果; (2)要清楚所有机会均等的结果; (1)、(2)两种结果个数的比值就是关注的结 果发生的概率。
思考: 甲袋
20红,8黑
乙袋
20红,15黑,10白
下面三位同学的说法,你觉得这些同学说的 有道理吗?
1.小明认为选甲袋好,因为里面的球比 较少,容易取到黑球;
2.小红认为选乙袋好,因为里面的球比较 多,成功的机会也比较大 。
3.小丽则认为都一样,因为只摸一次,谁 也无法预测会取出什么颜色的球.
甲袋
才掷得一次“6”?记录后汇报结果.
原来掷得“6”的概率等于 1 表示的意思是:
6
如果掷很多很多次的话,那么平均每6次有1次掷得 “6”.
1
出现反面的概率等于 2表示: 如果掷很多很多次的话,
那么平均每2次有1次出现反面.
抽到黑桃的概率等于
1 4
表示:
如果抽很多很多次的话,
那么平均每4次有1次抽到黑桃.
2 (3)该卡片上的数字是质数;5
(4)该卡片上的数字不是质数. 3 5
考考你:
抛掷一枚普通的硬币三次.有人说连续掷 出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的 机会是一样的.你同意吗?
分抛掷析:一枚普通的硬币三你次能,用共树状有图以表下示八吗种? 机
会均等的结果: 正正正 正正反 正反正 反正正
1 2
1
2
读作:出现正面的概率等于 2
再例如,投掷一枚普通的六面体骰子,“出现数字1”的概率
为 1,
6
可记为: P(出现数字1)= 1
6
读作:出现数字1的概率等于
1 6
感知理解
表示一个事件发生的可能性大小的这个数,叫做 该事件的概率
由定义可知:
(1)概率是表示一个事件发生的可能性大小的那个数. (2)一个事件发生机会的大小可以用频率的稳定值 来估计;于是概率也可以用频率的稳定值来表示. (3)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验;
1、抽到男同学名字的概率是
11,
21
表示什么意思?
2、P(抽到女同学名字)+P(抽到男同 学名字)=100%吗?
如果改变男、女生的人数,这个 关系还成立吗P(?抽取男同学名字)+P(抽取女
同学名字)=1,若改变男女生人数, 这个关系仍成立.
达标反馈:
1.一只口袋中放着8只红球和16只黑球,这两种球除
分 析: 20女, 22男
全班42个学生名字被抽到的机会是均等的。
解:
22 11
P(抽到男同学名字)= 42 = 21 20 10
P(抽到女同学名字) = 42 = 21
所以,抽到男同学名字概率大.
请思表次考示 的: 时以如 候下果 ,几抽平个一均张2问1纸次题条就:很能多抽
到11次男同学的名字。
不矛盾.
3、完成课本第109页的练习.
我们九(8)班有85位同学,其中女同学 30名,校长说他今天正好遇到我们班的 一位同学,问:他遇到男同学的机会大, 还是女同学的机会大?
遇见男生的概率大还是女生的概率大? 我们需要做实验吗?我们能否去预测?
思考与探讨:
问题 在我们班里有女同学20人,男同学
22人。先让每位同学都在一张小纸条上写 上自己的名字,放入一个盒中搅匀。如果 老师闭上眼睛从中随便的取出一张纸条, 想请被抽到的同学在明天的英语课上作值 日生英文报告,那么抽到男同学名字的概 率大还是抽到女同学的概率大?
已经做过的几个实验及实验结果
实验
关注的结 果
频率稳 定值
所有机 会均等 的结果
所关 注结 果发 生的 概率
关注的结果 个数与所有 机会均等的 结果个数的 比值
抛掷一枚硬币 反面
1 2 左右
Байду номын сангаас
正面, 反面
1 2
1 2
抛掷一枚正六 面体骰子
1 掷得“3” 6 左右
点数: 1,2,3, 4,5,6
1 6
1 6
再思考 :
1
1、已知掷得“6”的概率等于6 ,那么不是“6”的概 率等于多少呢?这个概率值又表示什么意思呢?
P(出现数字不是6)=5
6 如果掷很多次的话, 那么平均每6次有5次掷得的不是“6”.
1
2的、话掷,得那“么6实”的验概中率掷等得于“6 6,”的也频表率示会:逐如渐果稳重定复到掷1很附多近次, 这与“平均每6次有1次掷出‘6’”互相矛盾吗? 6
乙袋
20红,8黑 20红,15黑,10白
解:
8
在甲袋中,P(取出黑球)= 28
=
2 7
在乙袋中,P(取出黑球)=
15 45
=
1 3
1 >2 37
所以,选乙袋成功的机会大.
小菜一碟
在分别写有1到20的20张小卡片中,随机地 抽出1张卡片.试求以下事件的概率.
1
(1)该卡片上的数字是5的倍数; 5
(2)该卡片上的数字不是5的倍数;4 5
了颜色以外没有任何区别.袋中的球已经搅匀.蒙上
眼睛从口袋中取一只球,取出黑球与红球的概率分别
是多少?
解:
P(取出黑球)=
16 24
=2 3
P(取出红球)= 1-P(取出黑球)
=
1 3
所以,取出黑球的概率是 2 ,取出红球的概率 1
是.
3
3
想一想:
甲袋中放着20只红球和8只黑球,乙袋 中则放着20只红球、15只黑球和10只白球,这 三种球除了颜色以外没有任何区别.两袋中的 球都已经各自搅匀.蒙上眼睛从口袋中取一只 球,如果你想取出1只黑球,你选哪个口袋成功 的机会大呢?
温故知新
我们已经知道,抛掷一枚普通的硬币仅有两个可能
的结果:“出现正面”和“出现反面”.这两个结果发 生机会相等,所以各占50%的机会.50%这个数表示事 件“出现正面”发生的可能性的大小.
表示一个事件发生的可能性大小的这个数,叫做
该事件的概率
1
例如,抛掷一枚硬币,“出现正面”的概率为
可记为:
P(出现正面)=
正反反 反正反 反反正 反反反
解:
P(正正正)=P(正正反)=
1 8
所以,这一说法正确.
小结
1. 要清楚所有等可能结果;
2 .要清楚我们所关注的是发生哪个 或哪些结果;
关注结果数 3 . 概率的计算公式:
所有等可能的结果数
布置作业
P114—115 第1、2 、3题
小试牛刀
填空:
1、在一个装着白、红、黑三只除颜色之外没有任何
其他区别的小球的布袋中,闭上眼睛,取出红球的概率
是1
3
1
2、投掷一枚正六面体骰子,掷得“6”的概率是 6
请思考:
掷得“6”的概率等 于
1 表示什么意思?
6
探究实验
实验要求:
掷得“6”的概率等 于
1 表示什么意思? 6
四人一组,做掷骰子实验,一旦掷到”6”, 就马上停止实验;然后数一数你一共投掷了几次