14数学高二必修同步练习题不等关系
高二数学不等式的性质试题
高二数学不等式的性质试题1.已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞B．ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）C．sin x＞sin y D．x3＞y3【答案】D【解析】函数y=a x当0＜a＜1时单调递减，所以x>y;又因为函数y= x3 在R上单调递增，所以x3＞y3也可以用特殊值法．【考点】函数的单调性．2.函数在恒为正，则实数的范围是．【答案】【解析】注意到，所以函数在恒为正显然不可能；或，故应填入：．【考点】不等式的恒成立．3.设，，，（e是自然对数的底数），则（）A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】由于,所以;又因为，从而有，故选D．【考点】比较大小．4.已知满足且，则下列选项中不一定能成立的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知满足且得到:,所以A、B、D一定成立，故选C.【考点】不等式的基本性质.5.已知且，则下列不等式中成立的是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】A．当时不成立，同理B．、 C．也不成立，由指数函数的单调性， D.成立【考点】不等式，指数函数的单调性6.已知,则下列推证中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A 当时不成立；B 当时不成立；D 当均为负值时，不成立.【考点】本题主要考查不等式的性质.7.已知，则下列不等关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A中当时不等式不成立，A错；B中当时，不等式不成立，B错；C中对于，因为在范围内是增函数，当时，不等式成立，所以C正确；D中要使不等式成立需，故选C．【考点】不等式的性质；指数函数与对数函数的单调性．8.如果, 那么（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用不等式的性质:故选D【考点】不等式的性质。
9.下列命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】选项A中忽略了当的情况，故A错；选项B的结论中不等号方向没改变，故B错；选项C中忽略了的情况，故C错；所以正确答案是D.【考点】不等式的基本性质.10.下列命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】选项A中忽略了当的情况，故A错；选项B的结论中不等号方向没改变，故B错；选项C中忽略了的情况，故C错；所以正确答案是D.【考点】不等式的基本性质.11.若不等式与同时成立，则必有( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为两个不等式同时成立，利用2个等价关系可以得到a与b的关系.又因为所以.故答案为C【考点】不等式的性质12.若a、b、c，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，因此.A答案中或为0则不成立，B答案中要求，D答案中为0则不成立.【考点】不等式的性质.13.下列命题中的真命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】不等式基本性质中，与乘法有关的性质，不等式两边都要是非负数，才可能得出相应的结论，如果出现负数，结论不一定成立．如A中为负数，结论就可能不成立：，但；B中如，但，C中，但，故A、B、C都是错误的，排除A、B、C，只能选D．实际上D中条件不等式右边的是，，不等式两边均非负，可同时平方得．【考点】不等式的基本性质．14.已知，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，，所以，，即，故选C。
高二数学不等式试题
高二数学不等式试题，且恒成立，则n的最大值为( )．1.若a>b>c，n∈N＋A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】＝.＝4.或者(a－c)·＝[(a－b)＋(b－c)]·所以nmax≥2·2 ＝4.2.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c ∈（0,1）），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其他得分情况），则ab的最大值为（）A．B．C．D．【答案】【解析】由又，所以，当且仅当时取等号.故答案选【考点】1.离散型随机变量的期望；2.基本不等式.3.若实数满足，则的最小值为_______【答案】18【解析】不等式表示的区域是直线的右上方区域，而表示点（x,y）与点（-3,1）两点的距离的平方。
显然两点间的最小距离为点（-3，1）到直线的距离,所以z的最小值为．【考点】利用几何意义求最值。
4.若为非零实数，且，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】：∵实数a，b满足a＜0＜b，若 a=-3，b=1，则 A、B、D都不成立，只有C成立【考点】不等关系与不等式5.若不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．B．或C．D．或【解析】由三个二次关系可知方程的解为且，设，所以，所以不等式为，解集为【考点】三个二次关系与一元二次不等式解法6.已知实数，满足不等式组，则关于的方程的两根之和的最大值和最小值分别是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，则关于的方程的两根之和，由图可知当目标函数经过点时取得最大值，＝，经过点时取得最小值，，故选A．【考点】简单的线性规划问题．7.不等式的解集是【答案】；【解析】，解集为【考点】分式不等式解集8.设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】将化成，将其代入，得，即，由题意，得有解，即，解得，即m的取值范围是；故选C．【考点】不等式组与平面区域．【技巧点睛】本题考查二元一次不等式组和平面区域、不等式组的解的存在性，属于中档题；学生解决本题的常用方法是先画出可行域再思考如何处理，难度较大；本题的解题技巧在于，将平面区域内存在点使成立，利用消元法将其转化为关于的不等式组有解的问题，再利用集合间的关系进行求解．9.（2015秋•宁德校级期中）不等式x2+2x﹣3≤0的解集为（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，﹣1]C．[﹣3，1]D．[1，3]【答案】C【解析】根据解一元二次不等式的基本步骤，进行解答即可．解：不等式x2+2x﹣3≤0可化为（x+3）（x﹣1）≤0，该不等式对应方程的两个实数根为﹣3和1，所以该不等式的解集为[﹣3，1]．故选：C．【考点】一元二次不等式的解法．10.已知，则的最小值是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】因为，且，所以；则（当且仅当，即时取等号）；故选A．【考点】1．对数的运算；2．基本不等式．11.表示不等式的平面区域（不含边界的阴影部分）是（）【答案】A【解析】作出直线，将原点代入不等式不成立，因此不等式表示直线的右上方，因此只有A正确【考点】不等式表示平面区域12.若、满足，且的最小值为，则的值为（）A．2B．C．D．【答案】D【解析】对不等式组中的讨论，可知直线与轴的交点在与轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由，令得，，由得，由图可知，当直线过时直线在轴上的截距最小，即最小，此时，解得：，故选D．【考点】1、可行域的画法；2、已知最优解求参数．13.（2015秋•厦门期末）若a＞b，c＞d，则下列不等式成立的是（）A．B．ac＞bd C．a2+c2＞b2+d2D．a+c＞b+d【答案】D【解析】本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．解：∵a＞b，c＞d，∴设a=1，b=﹣1，c=﹣2，d=﹣5分别代入选项A、B、C均不符合，故A、B、C均错，而选项D正确，故选：D．【考点】不等式的基本性质．14.给定两个命题：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有实数根．如果为假命题，为真命题，求实数的取值范围．【答案】（－∞，0）∪（，4）【解析】先求出，为真命题时的取值范围，由为假命题，为真命题可得，一真一假进行分类讨论求出的取值范围试题解析：命题P：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立，则“a＝0”，或“a>0且a2－4a<0”．解得0≤a<4．命题：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，则Δ＝1－4a≥0，得a≤．因为P∧为假命题，P∨为真命题，则P，有且仅有一个为真命题，故∧为真命题，或P∧为真命题，则或解得a<0或<a<4．所以实数a的取值范围是（－∞，0）∪（，4）．【考点】简单的逻辑用语的应用．【方法点睛】（1）正确理解逻辑连接词“或”、“且”，“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑连接词进行命题结构与真假的判断，其步骤为:①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③判断复合命题的真假；（2）解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算；（3）注意或为真，且为假说明一真一假．15.若不等式ax2＋bx－2＞0的解集为则a，b的值分别是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由不等式的解集可知方程的根为解方程得【考点】三个二次关系16.已知实数x、y满足，若不等式恒成立，则实数a的最小值是．【答案】【解析】不等式对应的可行域为直线围成的三角形及其内部，其中三个顶点为，设，不等式变形为恒成立最大值为，所以实数a的最小值是【考点】1．线性规划；2．不等式性质17.某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素，，，和最新发现的．甲种胶囊每粒含有维生素，，，，分别是1mg，1mg，4mg，4mg，5mg；乙种胶囊每粒含有维生素，，，，分别是3mg，2mg，1mg，3mg，2mg．此人每天摄入维生素至多19mg，维生素至多13mg，维生素至多24mg，维生素至少12mg．（1）设该人每天服用甲种胶囊粒，乙种胶囊粒，为了能满足此人每天维生素的需要量，请写出，满足的不等关系．（2）在（1）的条件下，他每天服用两种胶囊分别为多少时，可摄入最大量的维生素．并求出最大量．【答案】（1）详见解析；（2）服用5粒甲种胶囊和4粒乙种胶囊时，可摄入最大量的维生素为33mg【解析】（1）直接由题意列出关于x，y的不等关系所组成的不等式组；（2）由（1）中的不等式组作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案试题解析：（1）．（2）目标函数为：作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域．作直线：，把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点时，取得最大值．解方程组得点坐标为，此时（mg）．答：每天服用5粒甲种胶囊和4粒乙种胶囊时，可摄入最大量的维生素为33mg．【考点】线性规划问题的实际应用18.已知常数，解关于的不等式【答案】当，原不等式为；当时，原不等式的解集为或．；当时，时，原不等式的解集为．当时，原不等式的解集为．【解析】讨论是否为0．当，再讨论的正负，同时讨论其判别式．当判别式大于0时注意两根的大小，画抛物线结合图像可解不等式．试题解析：解（1）若，则原不等式为，故解集为．（2）若①当，即时，方程的两根为，∴原不等式的解集为．②当时，即时，原不等式的争集为．③当，即时，原不等式的争集为．（3）若．①当，即，原不等式的解集为或．②当时，时，原不等式化为，∴原不等式的解集为．③当，即时，原不等式的解集为综上所述，当时，原不等式的解集为；当原不等式的解集为；当，原不等式为；当时，原不等式的解集为或．；当时，时，原不等式的解集为．当时，原不等式的解集为．【考点】一元二次不等式．19.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣c B．ac＞bc C．＞0D．（a﹣b）c2≥0【答案】D【解析】A、令a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3，计算出a+c与b﹣c的值，显然不成立；B、当c=0时，显然不成立；C、当c=0时，显然不成立；D、由a大于b，得到a﹣b大于0，而c2为非负数，即可判断此选项一定成立．解：A、当a=﹣1，b=﹣2，c=﹣3时，a+c=﹣4，b﹣c=1，显然不成立，本选项不一定成立；B、c=0时，ac=bc，本选项不一定成立；C、c=0时，=0，本选项不一定成立；D、∵a﹣b＞0，∴（a﹣b）2＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）2c≥0，本选项一定成立，故选D【考点】两角和与差的正弦函数；正弦定理．20.若不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣}，则a+b= ．【答案】﹣14【解析】利用不等式的解集与方程解的关系，结合韦达定理，确定a，b的值，即可得出结论．解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣}，∴﹣和为方程ax2+bx+2=0的两个实根，且a＜0，由韦达定理可得，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14．故答案为：﹣14．【考点】一元二次不等式的应用．21.已知a，b，c都是正实数，求证（1）≥a+b+c．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）利用分析法证明，由于a，b，c都是正实数，所以最终只需要证明：（a﹣b）2≥0；（2）根据不等式特点，先利用基本不等式证明，，从而得证．证明：（1）要证即证：a2≥2ab﹣b2即证：（a﹣b）2≥0显然成立，故得证；（2）∵a，b，c都是正实数，∴，相加，化简得≥a+b+c．【考点】不等式的证明；其他不等式的解法．22.如果实数x、y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣3【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可.当直线过点时，最大为1.故选B.【考点】简单线性规划的应用.23.命题“恒成立”则实数的取值范围为 ;【答案】【解析】当时，不等式恒成立；当，不等式恒成立，则，解得；因此实数的取值范围为【考点】恒成立问题；24.设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为________．【答案】【解析】画出可行域如下图所示，由得，平移直线，由图象可知，当过时目标函数的最大值为，即，则，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为．【考点】1、线性规划；2、基本不等式．【方法点晴】题目分成两个部分，每个部分用相应的知识点来解决，第一部分是线性规划，先画出可行域，将目标函数移到取得最大值为，这样就求出了的一个关系式；第二部分是基本不等式，求此类基本不等式的方法是“”的代换，也就是，展开后就可以用基本不等式求解了，最后要注意等号是否成立.25.若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 _________．【答案】【解析】由题意得，关于的不等式有解，所以的最小值小于，而表示数轴上的对应点到对应点的距离之和它的最小值为，所以有，可得．【考点】绝对值不是的解法及绝对值的意义．【方法点晴】本题主要考查了绝对值的几何意义、绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归的思想方法，属于中档试题，本题的解答中，根据关于的不等式有解，转化为的最小值小于，再利用绝对值的几何意义，得到的最小值为，即可列出不等式关系，求解出的范围．26.若不等式组表示的平面区域为三角形，其面积等于，则的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】易知直线只有有图中位置，题设不等式组才能表示一个三角形区域，计算得，，，()，直线与轴交点为，由，解得或(舍去)，故选B．【考点】二元一次不等式组表示的平面区域．【名师】要作出二元一次不等式组表示平面区域关键是作出二元一次不等式表示的平面区域，在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线Ax+By+C=0分成三类:（1）满足Ax+By+C＝0的点;（2）满足Ax+By+C>0的点;（3）满足Ax+By+C<0的点.27.已知，，，则三者的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】比较大小28.若实数满足条件，则的最大值为________．【答案】4【解析】由图可得当取到：时，最大，为4【考点】线性规划中的最优解问题。
高中数学课时跟踪检测：不等关系与不等式含解析
课时跟踪检测（三） 不等关系与不等式一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．设a ,b ∈[0,＋∞),A ＝a ＋b ,B ＝a ＋b ,则A ,B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A ＜BD ．A ＞B解析：选B 由题意得,B 2－A 2＝－2ab ≤0,且A ≥0,B ≥0,可得A ≥B . 2．若a ＜b ＜0,则下列不等式不能成立的是( ) A.1a －b ＞1aB ．1a ＞1bC ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 2解析：选A 取a ＝－2,b ＝－1,则1a －b ＞1a不成立． 3．(浙江十校联盟适考)设a ＞0且a ≠1,则“a b＞1”是“(a －1)b ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若a b＞1,因为a ＞0且a ≠1,所以当0＜a ＜1时,b ＜0,此时(a －1)b ＞0成立；当a ＞1时,b ＞0,此时(a －1)b ＞0成立．若(a －1)b ＞0,因为a ＞0且a ≠1,所以当0＜a ＜1时,b ＜0,此时a b＞1；当a ＞1时,b ＞0,此时a b ＞1.所以“a b＞1”是“(a －1)b ＞0”的充要条件．4．(金华模拟)设a ,b ∈R,若a －|b |＞0,则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a ＞0 B ．a 3＋b 3＜0 C ．a 2－b 2＜0D ．b ＋a ＞0解析：选D 利用赋值法,令a ＝1,b ＝0,排除A 、B 、C,选D.5．b g 糖水中有a g 糖(b ＞a ＞0),若再添m g 糖(m ＞0),则糖水变甜了．试根据这一事实,提炼出一个不等式____________．答案：a b ＜a ＋mb ＋m二保高考,全练题型做到高考达标1．已知a 1,a 2∈(0,1),记M ＝a 1a 2,N ＝a 1＋a 2－1,则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ＜N B ．M ＞N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1),又∵a 1∈(0,1),a 2∈(0,1),∴a 1－1＜0,a 2－1＜0. ∴(a 1－1)(a 2－1)＞0,即M －N ＞0.∴M ＞N .2．若1a ＜1b ＜0,给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式的序号是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④解析：选C 法一：因为1a ＜1b＜0,故可取a ＝－1,b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0,所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0,ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0,所以④错误,综上所述,可排除A 、B 、D,故选C.法二：由1a ＜1b＜0,可知b ＜a ＜0.①中,因为a ＋b ＜0,ab ＞0,所以1a ＋b ＜1ab,故①正确； ②中,因为b ＜a ＜0,所以－b ＞－a ＞0,故－b ＞|a |,即|a |＋b ＜0,故②错误； ③中,因为b ＜a ＜0,又1a ＜1b ＜0,则－1a ＞－1b ＞0,所以a －1a ＞b －1b,故③正确；④中,因为b ＜a ＜0,根据y ＝x 2在(－∞,0)上为减函数,可得b 2＞a 2＞0,而y ＝ln x 在定义域(0,＋∞)上为增函数,所以ln b 2＞ln a 2,故④错误．由以上分析,知①③正确．3．(宁波模拟)设a ,b 是实数,则“a ＞b ＞1”是“a ＋1a ＞b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A 因为a ＋1a－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －1ab,若a ＞b ＞1,显然a ＋1a－⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －bab －1ab＞0,则充分性成立,当a ＝12,b ＝23时,显然不等式a ＋1a ＞b ＋1b成立,但a ＞b ＞1不成立,所以必要性不成立．4．若m ＜0,n ＞0且m ＋n ＜0,则下列不等式中成立的是( ) A ．－n ＜m ＜n ＜－m B ．－n ＜m ＜－m ＜n C ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3,n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ,又由于m ＜0＜n ,故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．5．设a ＜0,b ＜0,则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系是( )A ．p ＞qB ．p ≥qC ．p ＜qD ．p ≤q解析：选D p －q ＝b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝b 3＋a 3－a 2b －ab 2ab ＝a a 2－b 2－b a 2－b 2ab ＝a －b a 2－b 2ab＝a －b2a ＋bab.因为a ＜0,b ＜0, 所以a －b 2a ＋bab≤0,即p ≤q ,故选D.6．已知a ,b 为实数,且a ≠b ,a ＜0,则a ________2b －b 2a (填“＞”“＜”或“＝”)．解析：∵a ≠b ,a ＜0,∴a －⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －b 2a ＝a －b 2a ＜0,∴a ＜2b －b 2a.答案：＜7．已知函数f (x )＝ax ＋b,0＜f (1)＜2,－1＜f (－1)＜1,则2a －b 的取值范围是________．解析：由函数的解析式可知0＜a ＋b ＜2,－1＜－a ＋b ＜1,又2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a ＋b ),结合不等式的性质可得2a －b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52 8．已知a ＋b ＞0,则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.∵a ＋b ＞0,(a －b )2≥0,∴a ＋ba －b2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b . 答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2＞a ＞ab ,则实数b 的取值范围是__________． 解析：∵ab 2＞a ＞ab ,∴a ≠0, 当a ＞0时,b 2＞1＞b ,即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＞1，b ＜1，解得b ＜－1；当a ＜0时,b 2＜1＜b ,即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＜1，b ＞1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞,－1)． 答案：(－∞,－1)10．实数x ,y 满足3≤xy 2≤8,19≤y x 2≤14,求x3y4的取值范围．解：∵19≤y x 2≤14,∴4≤x 2y ≤9,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2∈[16,81]．又∵3≤xy 2≤8.∴1xy 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，13,∴x 3y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2·1xy 2∈[2,27],故x 3y4的取值范围为[2,27]． 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．(合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且满足b ＋c ≤3a ,则ca的取值范围为( ) A ．(1,＋∞) B ．(0,2) C ．(1,3)D ．(0,3)解析：选B 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋c a≤3，1＋b a ＞ca ，1＋c a ＞b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋c a≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得,0＜2·c a＜4,∴c a的取值范围为(0,2)．2．设a ,b ∈R,定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若m ⊗n ≥2,p ⊕q ≤2,则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4解析：选A 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m ＞n ，即n ≥m ≥2或m ＞n ≥2,所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p ＞q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q ＜p ≤2或p ≤q ≤2,所以p ＋q ≤4.故选A.3．设a 1≈2,a 2＝1＋11＋a 1.(1)证明：2介于a 1,a 2之间； (2)求a 1,a 2中哪一个更接近 2.解：(1)证明：∵(2－a 1)(2－a 2)＝(2－a 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1－11＋a 1＝1－22－a 121＋a 1＜0.∴2介于a 1,a 2之间．(2)|2－a 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1－11＋a 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－22－a 11＋a 1＝2－11＋a 1|2－a 1|＜|2－a 1|.∴a2比a1更接近 2.。
新教材人教A版高中数学必修一不等关系与不等式 同步练习 (含解析)
2.1.1 不等关系与不等式【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一、单选题1.若x≠−2且y≠1，则M=x 2+y 2+4x−2y的值与−5的大小关系是()A. M>−5B. M<−5C. M≥−5D. M≤−52.不等式a 2+1≥2a中等号成立的条件是()A. a=±1B. a=1C. a=−1D. a=03.a，b∈R，则a 2+b 2与2|ab|的大小关系是()A. a 2+b 2≥2|ab|B. a 2+b 2=2|ab|C. a 2+b 2≤2|ab|D. a 2+b 2>2|ab|4.一座大桥的桥头竖立着“限载600kg”的警示牌(如图)，指示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T(kg)满足的关系为()A. T<600B. T>600C. T≤600D. T≥6005.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则下列不等的关系不正确的是()A. a+b>cB. a<b+cC. c−b<aD. (a+b−c)(b+c−a)<06.已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且点A在原点右侧，点B在原点左侧，则下列不等式成立的是()A. a−b≤0B. a+b<0C. |a|>|b|D. a>b7.若M=(a+7)(a+5)，N=(a+6)2，a∈R，则M与N的大小关系是()A. M≥NB. M>NC. M<ND. M≤N8.已知a>2，b>2，则有()A. ab≥a+bB. ab≤a+bC. ab>a+bD. ab<a+b9.如果a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项不恒成立的是A. ab>acB. cb2<ab2C. c(b−a)>0D. ac(a−c)<010.下列结论正确的个数为()①两个实数a，b之间，有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种；②若ab>1，则a>b；③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变；④一个非零实数越大，则其倒数就越小；⑤a>b>0,c>d>0⇒ad >bc；⑥若ab>0，则a>b⇔1a <1b．A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题11.已知a>0，b>0，则下列说法不正确的有()A. 1a−b >1aB. 若a+b≥2，则ab≥1C. 若a+b≥2，则ab≤1D. a3+b3≥a2b+ab212.给出下列四个条件：①−xk2<−yk2；②a+x>a+y；③|x|>|y|；④1x <1y<0.其中能成为x>y的充分不必要条件的是()A. ①B. ②C. ③D. ④13.对于实数a，b，c，下列命题中正确的是()A. 若a>b则ac<bc；B. 若a<b<0，则a2>ab>b2；C. 若c>a>b>0，则ac−a >bc−b；D. 若a>b，1a >1b，则a>0，b<0．三、填空题14.设n>1，n∈N，A=√n−√n−1，B=√n+1−√n，则A与B的大小关系为_______．15.设A=5a2−a+1，B=4a2+a−1，则A________B.(填“>”“<”或“=”)16.若1≤a≤5，−1≤b≤2，则a−b的取值范围为____．17.已知x<1，y>1，则xy+1________x+y.(填“>”“<”或“=”)18.一辆汽车原来每天行驶xkm，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写成不等式为(1);如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程现在花9天多的时间，用不等式表示为(2)．19.若不等式x2−(2a+2)x+2a<0(a>0)有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为，实数a的取值范围为．四、解答题20.已知a，b均为正实数，试利用作差法比较a3+b3与a2b+ab2的大小．21.设x，y，z∈R，比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z−2的大小．22.(1)有两杯质量不一样的糖水，第一杯、第二杯糖水中糖的质量与糖水质量的比分别为b1a1，b2a2，而且b1a1=b2a2，即两杯糖水一样甜．把这两杯糖水都倒入一个更大的容器中，混合之后的糖水和原来的糖水一样甜吗？你能用等式的知识解释吗？(2)现有四杯糖水，第一杯、第二杯、第三杯、第四杯糖水中糖的质量与糖水质量的比分别为b1a1，d1c1，b2 a2，d2c2，而且b1a1>d1c1，b2a2>d2c2，即第一杯糖水比第二杯甜，第三杯糖水比第四杯甜．现将第一、三杯糖水都倒入甲杯，第二、四杯糖水都倒入乙杯，那么甲杯中的糖水甜还是乙杯中的糖水甜？你能用不等式的知识解释吗？23.若a>b>0,c<d<0,|b|>|c|，(Ⅰ)求证：b+c>0；(Ⅱ)求证：b+c(a−c)2<a+d(b−d)2；答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查比较大小，属于基础题．利用作差法即可求出结果．【解答】解：因为M=x2+y2+4x−2y，所以M−(−5)=x2+y2+4x−2y+5=(x+2)2+(y−1)2，∵x≠−2，y≠1，∴(x+2)2>0，(y−1)2>0，∴(x+2)2+(y−1)2>0，故M>−5．故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查比较大小，属于基础题．根据a2+1≥2a等价于a2+1−2a≥0，即(a−1)2⩾0，即可求出结果．【解答】解：因为a2+1≥2a等价于a2+1−2a≥0，即(a−1)2⩾0，所以当a=1时，等号成立．故选B．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查比较大小，属于基础题．利用作差法比较即可．【解答】解：因为a2+b2−2|ab|=|a|2+|b|2−2|ab|=(|a|−|b|)2⩾0，所以a2+b2≥2|ab|．故选A．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了用不等式表示不等关系，属于基础题．根据题意可直接写出答案．【解答】解：根据题意可得“限载600kg”是指不超过600kg，即T⩽600．故选C．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式性质，属于基础题．利用平面几何知识，结合不等式性质，逐项判断得结论．【解答】解：因为a，b，c是△ABC的三边长，所以由三角形任意两边之和大于第三边得：a+b>c，b+c>a，而在a+b>c两边同时加上−b得a>c−b，因此A、B、C都是正确的．又因为a+b>c，b+c>a，所以a+b−c>0，b+c−a>0，所以(a+b−c)(b+c−a)>0，因此D不正确．故选D．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查数轴上的点的坐标，比较大小，属于基础题．依题意，确定a，b的正负即可解题．【解答】解：依题意，a>0，b<0，∴a−b>0，a>b．故选D．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了作差法比较大小，属于基础题．化简M−N，令差与0比较即可．【解答】解：M−N=(a+7)(a+5)−(a+6)2=a2+12a+35−a2−12a−36=−1<0，故M<N，故选C．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查不等式的性质及比较大小，属于基础题．依题意可得1a <12,1b<12，运用不等式的性质可得a+bab=1a+1b<1．【解答】解：∵a>2，b>2，∴1a <12,1b<12，∴a+bab =1a+1b<1，∴ab>a+b．故选C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式性质，不等关系的判断，属于基础题．由ac<0，得到a,c异号，再由c<b<a，得到a>0,c<0，再依据不等式性质判断即可．【解答】解：∵ac<0，∴a,c异号，∵c<b<a，∴a>0,c<0，A.∵b>c,a>0，∴ab>ac，∴原不等式一定成立，此选项错误；B.∵c<a,b2≥0，∴cb2≤ab2，当b≠0时，原不等式成立，当b=0时，原不等式不成立，此选项正确；C.∵b<a，∴b−a<0，∵c<0，∴c(b−a)>0，∴原不等式一定不成立，此选项错误；D.∵c<b<a，且ac<0，∴a−c>0，∴ac(a−c)<0，∴原不等式成立，此选项错误．故选B．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查不等式和不等式的性质，属于中档题．利用不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：两个实数a，b之间，有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种，①正确；ab>1，若a<0，b<0时，a<b，②错误；一个不等式的两边同乘以一个负数，不等号方向改变，③错误；2>−1，12>1−1，故④错误；a>b>0,c>d>0，则ac>bd，ad −bc=ac−bdcd>0，所以ad>bc，⑤正确；ab>0，a>b两边同时除以ab得1b >1a，⑥正确；综上可知①⑤⑥正确，故选B．11.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了不等式性质，灵活运用不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．由题意和不等式的性质，逐个选项验证即可．【解答】解：对于A，若a>0，b>0，且a<b，则a−b<0，则1a−b <1a，故选项A说法不正确；对于B，若a=1.9,b=0.1,则满足a+b≥2，而ab=0.19，不满足ab≥1，故选项B说法不正确；对于C，若a=3,b=2，满足a+b⩾2，，而ab=6不满足ab≤1，故选项C说法不正确；对于D，已知a>0，b>0，则(a3+b3)−(a2b+ab2)=a3+b3−a2b−ab2=a2(a−b)+b2(b−a)=(a −b )(a 2−b 2)=(a +b )(a −b )2⩾0，当a =b 时，等号成立，故选项D 成立． 故选ABC ．12.【答案】AD【解析】【分析】本题主要考查了充分条件、必要条件、充要条件的判定，涉及不等式的性质，属于基础题． 根据不等式的性质结合充分条件、必要条件、充要条件的概念逐个判定解答．【解答】解：对于A 选项，当−xk 2<−yk 2，∴k 2>0，∴−x <−y ，x >y ，但当x >y 时，不能得出−xk 2<−yk 2，故①是x >y 的充分不必要条件，故A 正确； 对于B 选项，a +x >a +y ⇔x >y ，故②是x >y 的充要条件，故B 错误；对于C 选项，由|x |>|y |不能得出x >y ，由x >y 不能得出|x |>|y |，故③是x >y 既不充分也不必要条件，故C 错误；对于D 选项，当1x <1y <0时，xy >0，∴y <x <0，但当x >y 时，不能得出1x <1y <0，故④是x >y 的充分不必要条件，故D 正确； 故选AD ． 13.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查命题真假，用到了不等式性质，特值的思想方法，属于中档题．选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．【解答】解：A.c =0时不成立；B .若a <b <0，则a 2−ab =a(a −b)>0，a 2>ab ；ab −b 2=b(a −b)>0，ab >b 2，∴a 2>ab >b 2 ，故B 正确；C .若c >a >b >0，则a c−a −b c−b =ac−ab−bc+ab (c−a )(c−b )=c (a−b )(c−a )(c−b )>0，故C 正确；D.若a >b ，1a >1b ，则1a −1b =b−a ab >0，所以a >0，b <0，故D 正确．故选BCD ．14.【答案】A >B【解析】【分析】本题考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题．根据A =√n −√n −1=√n+√n−1，B =√n +1−√n =√n+1+√n ，且√n +1+√n >√n +√n −1>0，即可得出结果． 【解答】解：因为A =√n −√n −1=√n+√n−1，B =√n +1−√n =√n+1+√n ，又因为√n +1>√n,√n >√n −1，n >1，所以√n +1+√n >√n +√n −1>0， 所以√n+1+√n <√n+√n−1，所以A >B ．故答案为A >B ． 15.【答案】>【解析】【分析】本题主要考查了不等式的大小比较，属于基础题．作差A −B =a 2−2a +2=(a −1)2+1>0，从而作答即可．【解答】解：∵A −B =a 2−2a +2=(a −1)2+1>0，∴A>B．故答案为：>16.【答案】[−1,6]【解析】【分析】本题考查利用不等式性质求取值范围，属于基础题．由不等式性质可得−2≤−b≤1，结合1≤a≤5，得出a−b的取值范围．【解答】解：∵−1≤b≤2，∴−2≤−b≤1，又1≤a≤5，∴−1≤a−b≤6，即a−b的取值范围为[−1,6]．17.【答案】<【解析】【分析】本题主要考查的是利用不等式的性质比较大小，属于基础题．直接利用作差比较大小即可．【解答】解：因为x<1，y>1，所以xy+1−(x+y)=(x−1)(y−1)<0，得xy+1<x+y，故答案为<．18.【答案】8(x+19)>22008x>9(x−12)【解析】【分析】本题主要考查了不等式的概念和不等关系，属于基础题．根据题目中有关不等关系的词语“多”“少”“超过”等，结合实际意义直接列不等式即可．【解答】解： ①原来每天行驶xkm，现在每天行驶(x+19)km，则不等关系“在8天内它的行程超过2200km”，写成不等式为8(x+19)>2200． ②若每天行驶(x−12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x>9(x−12)．故答案为：8(x+19)>2200；8x>9(x−12)．19.【答案】30<a⩽3 4【解析】【分析】本题考查含参数的一元二次不等式解法，不等式的性质，属于拔高题．先求解不等式x2−(2a+2)x+2a<0(a>0)的解集为{x|a+1−√a2+1<x<a+1+√a2+1}，再利用不等式的性质判断左右端点的取值范围即可求解．【解答】解：方程x2−(2a+2)x+2a=0(a>0)的解为x=a+1±√a2+1，则不等式x2−(2a+2)x+2a<0(a>0)的解集为{x|a+1−√a2+1<x<a+1+√a2+1}，因为a>0，所以0<√a2+2a+1−√a2+1=a+1−√a2+1<a+1−√a2=1，a+1+√a2+1>a+1+1>2，若不等式x2−(2a+2)x+2a<0(a>0)有且只有两个整数解，则这两个整数解应为1和2，故两个整数解之和为3．且a+1+√a2+1⩽3，得√a2+1⩽2−a，因为a>0，所以解得0<a⩽34．故答案为3;0<a⩽34．20.【答案】解：因为a3+b3−(a2b+ab2)=(a3−a2b)+(b3−ab2)=a2(a−b)+b2(b−a)=(a−b)(a2−b2)=(a−b)2(a+b)．当a=b时，a−b=0，a3+b3=a2b+ab2；当a≠b时，(a−b)2>0，a+b>0，a3+b3>a2b+ab2．综上所述，a3+b3≥a2b+ab2【解析】本题考查利用作差法比较大小，考查不等式性质应用，属基础题．依题意，利用作差法，a3+b3−(a2b+ab2)=(a−b)2(a+b)，结合不等式性质即可比较大小．21.【答案】解：因为5x2+y2+z2−(2xy+4x+2x−2)=4x2−4x+1+x2−2xy+y2+z2−2z+1= (2x−1)2+(x−y)2+(z−1)2≥0，所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z−2，当且仅当x=y=12且z=1时，等号成立．【解析】本题主要考查比较大小，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．根据题意利用作差法即可得到结果．22.【答案】解：(1)混合之后的糖水和原来的糖水一样甜，因为b1a1=b2a2=b1+b2a1+a2，即等比定理．(2)无法判断甲杯中的糖水甜还是乙杯中的糖水甜，因为由b1a1>d1c1，b2a2>d2c2无法判断b1+b2a1+a2与d1+d2c1+c2的大小关系．【解析】本题主要考查了比较大小，不等式的性质．(1)利用等比定理求解；(2)利用不等式的性质进行解释．23.【答案】证明：(Ⅰ)因为|b|>|c|，且b>0,c<0，所以b>−c，所以b+c>0.(Ⅱ)因为c<d<0，所以−c>−d>0．又因为a>b>0，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a−c>b−d>0．所以(a−c)2>(b−d)2>0．所以0<1(a−c)2<1(b−d)2.(i)因为a>b,d>c，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a+d>b+c．又由(Ⅰ)b+c>0，所以a+d>b+c>0.(ii)由不等式的相乘性可将以上两不等式(i)(ii)相乘得b+c(a−c)2<a+d(b−d)2.【解析】本题考查不等式的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．(Ⅰ)由条件及不等式的性质得出b>−c，移项即可求解；(Ⅱ)因为c<d<0，所以−c>−d>0，又a>b>0，先得出0<1(a−c)2<1(b−d)2；再得出a+d>b+c>0，由不等式的相乘性即可证明．。
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式(第1课时)练习(含解析)新人教A版必修5-新人教
3.1《不等关系与不等式》（第1课时）一、选择题：1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关 【答案】A【解析】 M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴M >N .2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( )A ．1a >1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |D ．(12)a >(12)b 【答案】B【解析】 ∵a <b ，y ＝2x 单调递增，∴2a <2b，故选B ． 3．已知a <0，－1<b <0，则下列各式正确的是( )A ．a >ab >ab 2B ．ab >a >ab 2C ．ab 2>ab >a D ．ab >ab 2>a 【答案】D【解析】 ∵－1<b <0，∴1>b 2>0>b >－1，即b <b 2<1，两边同乘以a 得，∴ab >ab 2>a .故选D ．4．如果a 、b 、c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0 【答案】C【解析】 ∵c <b <a ，且ac <0，∴a >0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A、B 、D 均正确．∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立．5．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )A ．若a >b ，c >b ，则a >cB ．若a >－b ，则c －a <c ＋bC ．若a >b ，c <d ，则a c >bdD ．若a 2>b 2，则－a <－b【答案】B【解析】 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a >b >0，c <0<d时，不成立；选项D 只有a >b >0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不等成立，故选B ．6．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( )A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C ．1x 2＋1≤1 D．x ＋1x≥2 【答案】C【解析】 A 中x >0；B 中x ＝1时，x 2＋1＝2x ；C 中任意x ，x 2＋1≥1，故1x 2＋1≤1；D 中当x <0时，x ＋1x≤0.7．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A ．a c >b dB ．a c <b dC ．a d >b cD ．a d <b c【答案】D【解析】本题考查不等式的性质，a c －b d ＝ad －bccd，cd >0，而ad －bc 的符号不能确定，所以选项A 、B 不一定成立.a d －b c ＝ac －bddc，dc >0，由不等式的性质可知ac <bd ，所以选项D 成立．本题也可以对实数a 、b 、c 、d 进行适当的赋值逐一排查．8．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是( )A ．a <a 2＋b 22<b B ．a <b <a 2＋b 22C ．b <a <a 2＋b 22D ．b <a 2＋b 22<a【答案】B【解析】a ＝sin15°＋cos15°＝2sin60°，b ＝sin16°＋cos16°＝2sin61°，∴a <b ，排除C 、D 两项．又∵a ≠b ，∴a 2＋b 22－ab ＝a －b22>0，∴a 2＋b 22>ab ＝2sin60°×2sin61°＝3sin61°>2sin61°＝b ，故a <b <a 2＋b 22成立．9．已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <B D ．B <C <A【答案】B【解析】 不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此得B <A <C ，排除A 、C 、D ，选B ．具体比较过程如下：由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ， C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C ．二、填空题：10．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． 【答案】x ＜y【解析】x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，∴x ＜y . 11．给出四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推得1a ＜1b成立的是________．【答案】①、②、④【解析】 1a ＜1b ⇔b －aab＜0，∴①、②、④能使它成立．12．a ≠2、b ≠－1、M ＝a 2＋b 2、N ＝4a －2b －5，比较M 与N 大小的结果为________． 【答案】M ＞N【解析】 ∵a ≠2，b ≠－1，∴M －N ＝a 2＋b 2－4a ＋2b ＋5＝(a －2)2＋(b ＋1)2＞0，∴M >N . 三、解答题13．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析【解析】 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆．根据题意，应有如下的不等关系：(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数． (2)车队每天至少要运360 t 矿石．(3)甲型车不能超过4辆，乙型车不能超过7辆．要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤910×6x ＋6×8y ≥3600≤x ≤40≤y ≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤95x ＋4y ≥300≤x ≤40≤y ≤7.14.有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：关系的不等式． 【答案】见解析【解析】设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则⎩⎪⎨⎪⎧300x ＋150y ≥2 000250 x ＋100 y ≥1 500x ≥0y ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥405x ＋2y ≥30x ≥0y ≥0.15．设a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b与a b b a的大小． 【答案】见解析【解析】 根据同底数幂的运算法则．a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝(a b)a －b，当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则(a b)a －b>1，于是a a b b>a b b a . 当b >a >0时，0<a b <1，a －b <0，则(a b)a －b>1，于是a a b b>a b b a.综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b>a b b a.。
高中数学必修不等式练习题(附答案)
高中数学必修不等式练习题学校：______姓名：_____班级：_____考号：______一．单选题（共__小题）1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b2．不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（-∞，0）C．（2，+∞）D．（-∞，0）∪（0，+∞）3．若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．ab＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞24．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．已知a、b、c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定不成立的（）A．ab＞ac B．c（b-a）＜0C．cb2≤ab2D．ac（a-c）＜06．下列各组的大小比较正确的是（）B．＞C．0.8-2＜D．＞A．＞7．若关于x的不等式mx-2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）D．2A．-1B．-2C．1二．填空题（共__小题）8．不等式|2-x|+|x+1|≤a，对∀x∈[1，5]恒成立的实数a的取值范围______．9．已知正数a，b，c满足abc=1，求证：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．10．若角α、β满足，则α-β的取值范围是______．11．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为______．12．比较a=2，b=3，c=4的大小关系为______．三．简答题（共__小题）13．求证：-≤≤．14．已知3b=6a-2a，4a=8b-5b，试判断实数a，b的大小关系，并给出证明．15．设a，b，c都是正实数，求证：（Ⅰ）a+b+c≥++（Ⅱ）（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．16．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+≥2y+3．17．求证：-≤x≤．18．已知x1，x2，x3为正实数，若x1+x2+x3=1，求证：．19．解关于x的不等式|ax-1|＞a+1（a＞-1）．20．（1）设x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．（2）若x∈R，y∈R，求证：．21．已知a＞b＞0，求证：．22．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd．23．已知实数a，b，c满足a＞b＞c，求证：++＞0．24．求证：x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．参考答案一．单选题（共__小题）1．设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，，则a，b，c大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b答案：D解析：解：由题意知，a=sin14°+cos14°==，同理可得，b=sin16°+cos16°=，=，∵y=sinx在（0，90°）是增函数，∴sin59°＜sin60°＜sin61°，∴a＜c＜b，故选D．2．不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（-∞，0）C．（2，+∞）D．（-∞，0）∪（0，+∞）答案：A解析：解：分析不等式||＞，故的值必为负数．即，解得0＜x＜2．故选A．3．若＜＜0，则下列不等式中不正确的是（）A．ab＜b2B．a+b＜ab C．a2＞b2D．+＞2答案：C解析：解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴b2＞a2，因此C不正确．故选：C．4．设a=0.20.3，b=0.20.2，c=log20.4，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜c＜a答案：A解析：解：∵函数y=0.2x是减函数，0.3＞0.2，故有a=0.20.3＜0.20.2=1，又a=0.20.3＞0，可得b＞a ＞0．由于函数y=log2x在（0，+∞）上是增函数，故c=log20.4＜log21=0，即c＜0．综上可得，b＞a＞c，故选A．5．已知a、b、c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定不成立的（）A．ab＞ac B．c（b-a）＜0C．cb2≤ab2D．ac（a-c）＜0答案：B解析：解：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，b-a＜0；∴ab＞ac，cb2≤ab2，c（b-a）＞0；ac（a-c）＜0；故选B．6．下列各组的大小比较正确的是（）B．＞C．0.8-2＜D．＞A．＞答案：D解析：解：A．考察指数函数y=0.45x在R单调递减，∴＜，不正确；B．考察幂函数在（0，+∞）上单调递减，∴=，不正确；C．∵0.8-2＞1，＜1，∴＜0.8-2，不正确；D．考察对数函数y=在（0，+∞）上单调递增，∴＞．正确．故选：D．7．若关于x的不等式mx-2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．-1B．-2C．1D．2答案：C解析：解：∵关于x的不等式mx-2＞0的解集是{x|x＞2}，∴m＞0，，因此，解得m=1．故选：C．二．填空题（共__小题）8．不等式|2-x|+|x+1|≤a，对∀x∈[1，5]恒成立的实数a 的取值范围______．答案：[9，+∞）解析：解：∵不等式|2-x|+|x+1|≤a，对∀x∈[1，5]恒成立，故|2-x|+|x+1|的最大值小于或等于a．|2-x|+|x+1|表示数轴上的x对应点到-1和2对应点的距离之和，故当x∈[1，5]时，只有x=5时，|2-x|+|x+1|取得最大值9，∴a≥9，故答案为[9，+∞）．9．已知正数a，b，c满足abc=1，求证：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．答案：解析：证明：由于正数a，b，c满足abc=1，故有（a+2）（b+2）（c+2）=（a+1+1）（b+1+1）（c+1+1）≥3•3•3=27=27，当且仅当a=b=c=1时等号成立，故：（a+2）（b+2）（c+2）≥27成立．10．若角α、β满足，则α-β的取值范围是______．答案：解析：解：∵角α、β满足，∴-π＜-β＜-，∴-＜α-β＜，∵α-β＜0，∴-＜α-β＜0，故答案为：；11．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为______．答案：c，a，b解析：解：∵=，＜0，=log23＞1，∴c＞a＞b．故答案为：c，a，b．12．比较a=2，b=3，c=4的大小关系为______．答案：a＞c＞b解析：解：∵a=2＞1，b=3=，1＞c=4=＞．∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．三．简答题（共__小题）13．求证：-≤≤．答案：证明：要证明-≤≤只需证明-≤，≤成立要证明-≤，只需证明-（2x2+3x+6）≤13（x+2）只需证明2x2+16x+32≥0又△=0，故2x2+16x+32≥0明显成立，∴-≤成立同理，≤成立综上可知，-≤≤14．已知3b=6a-2a，4a=8b-5b，试判断实数a，b的大小关系，并给出证明．答案：解：假设a≥b，则3a≥3b，4a≥4b．∴6a=3b+2a≤3a+2a，8b=4a+5b≥4b+5b，化为f（a）=≥1，g（b）=≤1，利用指数函数的单调性可知：f（x）与g（x）在R上单调递减，f（1）=＜1，g（1）=＞1，∴f（a）≥1＞f（1），g（b）≤1＜g（1），∴a＜1，b＞1，∴a＜1＜b，与假设a≥b，∴假设不成立．∴a＜b．15．设a，b，c都是正实数，求证：（Ⅰ）a+b+c≥++（Ⅱ）（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．答案：证明：（Ⅰ）∵a，b，c都是正实数，∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2∴把以上三个式子相加得：2（a+b+c）≥2+2+2∴a+b+c≥++；（Ⅱ）∵a，b，c都是正实数，∴a+b+c≥，a2+b2+c2≥相乘可得（a+b+c）（a2+b2+c2）≥9abc．16．设x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+≥2y+3．答案：证明：由题设x＞y，可得x-y＞0；∵2x+-2y=2（x-y）+=（x-y）+（x-y）+；又（x-y）+（x-y）+，当x-y=1时取“=“；∴2x+-2y≥3，即2x+≥2y+3．17．求证：-≤x≤．答案：证明：∵|x|≤=，∴-≤x≤．18．已知x1，x2，x3为正实数，若x1+x2+x3=1，求证：．答案：证明：∵x1，x2，x3为正实数，∴，，，∴三式相加，可得+x3≥2（x1+x2+x3），∵若x1+x2+x3=1，∴．19．解关于x的不等式|ax-1|＞a+1（a＞-1）．答案：解：|ax-1|＞a+1⇔ax-1＞a+1或ax-1＜-a-1⇔ax＞a+2或ax＜-a．…（2分）当-1＜a＜0时，x＜或x＞-1，∴原不等式的解集为（-∞，）∪（-1，+∞）．…（5分）当a=0时，原不等式的解集为φ．…（7分）当a＞0时，x＞，或x＜-1，∴原不等式的解集为（-∞，-1）∪（，+∞）．…（10分）20．（1）设x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．（2）若x∈R，y∈R，求证：．答案：证明：（1）∵x＞0，y＞0，+=1，∴x+y=（x+y）（+）=8+++2≥2+10=18（当且仅当x=12，y=6时取“=”），∴x+y的最小值为18．（2）∵x∈R，y∈R，∴-=-==≥0，∴≥．21．已知a＞b＞0，求证：．答案：证明：由于a+-（b+）=（a-b）+（-）=（a-b）（1+）=（a-b）•，因为a＞b＞0⇒ab＞0⇒ab+1＞0且a-b＞0，所以（a-b）•＞0．即a+-（b+）＞0．所以a＞b＞0时，成立．22．已知a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，求证（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd．答案：证明：由于a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，则（ab+cd）（ac+bd）=a2bc+b2ad+c2ad+d2bc=（a2+d2）bc+（b2+c2）ad≥2adbc+2bcad=4abcd，当且仅当a=d，b=c取得等号．则有（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd成立．23．已知实数a，b，c满足a＞b＞c，求证：++＞0．答案：证明：∵实数a，b，c满足a＞b＞c，∴a-c＞a-b＞0，b-c＞0，∴＞•＞0，∴+＞，∴++＞0．24．求证：x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．答案：证明：|x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）| x=1时，左式=右式=0，符合题意；x≠1时，x2+x+1=（x+）2+＞，所以4|x-1||（x2+x+1）|＞|x-1|；综上，x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．解析：证明：|x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）| x=1时，左式=右式=0，符合题意；x≠1时，x2+x+1=（x+）2+＞，所以4|x-1||（x2+x+1）|＞|x-1|；综上，x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．。
高中数学：用作商法判断不等关系
高中数学：用作商法判断不等关系
若代数式恒为正值，可以采用作商比较法来判断大小关系及不等关系。
步骤是：作商变形定号，从而得到结论（三步一结论）。
例1、比较和的大小。
分析：对于指数幂形式的实数的大小比较，常用作商法。
解：。
当时，；
当时，，则。
综上所述，得：。
例2、比较的大小。
分析：本题采用作差和作商都能解决，下面采用作商法。
解：，
而
故有：。
例3、若，试比较的大小。
解：由，得。
由
又以为。
当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小。
一般情况下，这两个值最好都是正数。
顺便回顾一下：
用作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b 有：
例4、比较与的大小。
解：设，
，则
即。
_高中数学第三章不等式1不等关系与不等式2作业含解析新人教版必修
不等关系与不等式基础巩固一、选择题1．已知a 、b 、c 、d 均为实数，有下列命题 ①若ab ＜0，bc －ad ＞0，则c a －d b＞0； ②若ab ＞0，c a －d b＞0，则bc －ad ＞0； ③若bc －ad ＞0，c a －d b＞0，则ab ＞0. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] ①∵ab ＜0，∴1ab＜0，又∵bc －ad ＞0∴1ab ·(bc －ad )＜0即c a －db＜0，∴①错；②∵ab ＞0，c a －d b＞0， ∴ab (c a －d b)＞0， 即：bc －ad ＞0， ∴②正确； ③∵c a －d b ＞0∴bc －adab＞0， 又∵bc －ad ＞0∴ab ＞0∴③正确．2．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( ) A ．1a >1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |D ．(12)a >(12)b[答案] B[解析] ∵a <b ，∴2a<2b， 故选B ．3．设a ＋b <0，且a >0，则( )A ．a 2<－ab <b 2B ．b 2<－ab <a 2C ．a 2<b 2<－ab D ．ab <b 2<a 2[答案] A[解析] ∵a ＋b <0，且a >0，∴0<a <－b ， ∴a 2<－ab <b 2.4．已知a 2＋a ＜0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞a ＞－a 2＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 2＞a C ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2[答案] B[解析] ∵a 2＋a <0，∴0<a 2<－a ，∴0>－a 2>a ， ∴a <－a 2<a 2<－a ，故选B ．[点评] 可取特值检验，∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0，令a ＝－12，则a 2＝14，－a 2＝－14，－a ＝12，∴12>14>－14>－12，即－a >a 2>－a 2>a ，排除A 、C 、D ，选B ．5．已知|a |<1，则1a ＋1与1－a 的大小关系为( ) A ．1a ＋1<1－a B ．1a ＋1>1－a C ．1a ＋1≥1－a D ．1a ＋1≤1－a [答案] C[解析] 解法一：检验法：令a ＝0，则1a ＋1＝1－a ，排除A 、B ； 令a ＝12，则1a ＋1>1－a ，排除D ，故选C ．解法二：∵|a |<1，∴1＋a >0， ∴11＋a －(1－a )＝a 21＋a ≥0， ∴1a ＋1≥1－a . 6．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( ) A ．b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b>b ＋1aD ．2a ＋b a ＋2b >a b[答案] C[解析] 解法一：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C ．解法二：(特值法)令a ＝2，b ＝1，排除A 、D ，再令a ＝12，b ＝13，排除B ．二、填空题7．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db；③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题________．[答案]⎭⎪⎬⎪⎫①②⇒③，⎭⎪⎬⎪⎫①③⇒②，⎭⎪⎬⎪⎫②③⇒①中任选两个即可． [解析]c a >db⇒bc －adab＞0.若③成立，则①成立∴②③⇒①；若③成立即bc ＞ad ，若①成立，则bc ab ＞ad ab ，∴c a ＞db∴①③⇒②；若①与②成立显然有③成立．8．实数a 、b 、c 、d 满足下列两个条件：①d >c ；②a ＋d <b ＋c .则a 、b 的大小关系为________． [答案] a <b[解析] ∵d >c ，∴d －c >0， 又∵a ＋d <b ＋c ， ∴b －a >d －c >0， ∴b >a . 三、解答题9．(1)已知c ＞a ＞b ＞0.求证：ac －a ＞bc －b.(2)已知a 、b 、m 均为正数，且a ＜b ，求证：a ＋mb ＋m ＞ab. [解析] (1)∵c ＞a ＞b ＞0∴c －a ＞0，c －b ＞0，⎭⎪⎬⎪⎫由a ＞b ＞0⇒1a ＜1b c ＞0⇒c a ＜c b⎭⎪⎬⎪⎫⇒c －a a ＜c －bbc －a ＞0 c －b ＞0⇒a c －a ＞b c －b.(2)证法一：a ＋mb ＋m －a b ＝m b －ab b ＋m，∵0＜a ＜b ，m ＞0，∴m b －a b b ＋m ＞0，∴a ＋m b ＋m ＞ab.证法二：a ＋m b ＋m ＝a ＋b ＋m －b b ＋m ＝1＋a －b b ＋m ＝1－b －ab ＋m＞ 1－b －a b ＝a b. 证法三：∵a 、b 、m 均为正数，∴要证a ＋m b ＋m ＞ab， 只需证(a ＋m )b ＞a (b ＋m )， 只需证ab ＋bm ＞ab ＋am ， 只要证bm ＞am ，要证bm ＞am ，只需证b ＞a ，又已知b ＞a ， ∴原不等式成立．10．已知2<m <4,3<n <5，求下列各式的取值范围． (1)m ＋2n ； (2)m －n ； (3)mn ； (4)m n.[解析] (1)∵3<n <5，∴6<2n <10. 又∵2<m <4，∴8<m ＋2n <14. (2)∵3<n <5，∴－5<－n <－3. 又∵2<m <4，∴－3<m －n <1. (3)∵2<m <4,3<n <5， ∴6<mn <20.(4)∵3<n <5，∴15<1n <13.由2<m <4，可得25<m n <43.一、选择题1．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b[答案] C[解析] 对于A 可举反例，如－2<1，可得(－2)2>12故A 错，对于B 要使ab 2<a 2b 成立，即ab (b －a )<0成立，而此时ab 的符号不确定，故B 错．对于D 要使b a <a b 成立，即b 2－a 2ab<0成立，ab 的符号也不确定．故D 错．2．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是( )A ．(－π，π)B ．(0，π)C ．(－π，0)D ．{0}[答案] C[解析] ∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2，又－π2<α<π2，∴－π<α－β<π，又α<β，∴α－β<0，∴－π<α－β<0.3．已知函数f (x )＝x 3，x 1、x 2、x 3∈R ，x 1＋x 2<0，x 2＋x 3<0，x 3＋x 1<0，那么f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3是单调递增函数，x 1<－x 2，x 2<－x 3，x 3<－x 1，∴f (x 1)<f (－x 2)，f (x 2)<f (－x 3)，f (x 3)<f (－x 1)，又∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)<－f (x 2)，f (x 2)<－f (x 3)，f (x 3)<－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)<0，f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 3)＋f (x 1)<0 ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0.4．若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ∵1a ＜1b＜0，∴a ＜0，b ＜0，a ＞b ，故③错；∴ab ＞0，∴a ＋b <0<ab ，故①成立； 又0＞a ＞b ，∴|a |＜|b |.∴②错；∵b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ＝a －b 2＋2ab ab ＝a －b 2ab＋2且a －b ＜0，ab ＞0，∴b a ＋ab＞2，∴④成立． ∴①④正确．选B ． 二、填空题5．若a >0，b >0则a ＋b ________a ＋b (填上适当的等号或不等号)． [答案] >[解析] ∵a >0，b >0，∴(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2>(a ＋b )2，即a ＋b >a ＋b . 6．设a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则p ＝b a ，q ＝a b ，r ＝b ＋m a ＋m ，s ＝a ＋nb ＋n的大小顺序是________________．[答案] p ＜r ＜s ＜q[解析] 取a ＝4，b ＝2，m ＝3，n ＝1，则p ＝12，q ＝2，r ＝57，s ＝53则p ＜r ＜s ＜q (特值探路)．具体比较如下：p －r ＝b a －b ＋m a ＋m ＝b －a ma a ＋m＜0，∴p ＜r .∵a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0， ∴a ＋m ＞b ＋m ＞0.a ＋n ＞b ＋n ＞0， ∴b ＋m a ＋m ＜1，a ＋nb ＋n＞1，∴r ＜s . 或r －s ＝b ＋m a ＋m －a ＋n b ＋n ＝b －a b ＋a ＋m ＋na ＋mb ＋n＜0. ∴r ＜s .s －q ＝a ＋nb ＋n －a b ＝b －a ·nb b ＋n＜0， ∴s ＜q .∴p ＜r ＜s ＜q . 三、解答题7．如果30＜x ＜42,16＜y ＜24.分别求x ＋y 、x －2y 及xy的取值范围． [解析] 46＜x ＋y ＜66；－48＜－2y ＜－32； ∴－18＜x －2y ＜10；∵30<x <42，124＜1y ＜116，∴3024＜x y ＜4216，即54＜x y ＜218. 8．已知a ＞0，b ＞0，a ≠b ，n ∈N 且n ≥2，比较a n＋b n与a n －1b ＋ab n －1的大小．[解析] (a n＋b n)－(a n －1b ＋ab n －1)＝a n －1(a －b )＋b n －1(b －a )＝(a －b )(a n －1－b n －1)，(1)当a ＞b ＞0时，a n －1＞b n －1，∴(a －b )(a n －1－b n －1)＞0， (2)当0＜a ＜b 时，an －1＜bn －1，∴(a －b )(an －1－bn －1)＞0，∴对任意a ＞0，b ＞0，a ≠b ，总有(a －b )(an －1－bn －1)＞0.∴a n＋b n＞an －1b ＋ab n －1.9. 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解析] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45xn ，y 1－y 2＝14x ＋34xn －45xn＝14x －120xn ＝14x (1－n5)． 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2； 当n <5时，y 1>y 2.因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．。
高中数学第三章不等式3.1不等关系3.1.1不等关系3.1.2不等关系与不等式达标练习北师大版必修
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3.1.2 不等关系与不等式［A 基础达标］1．若A＝a2＋3ab,B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( ）A．A≤B B．A≥BC．A〈B或A〉B D．A>B解析：选B。
因为A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2)＝错误!错误!＋错误!b2≥0,所以A≥B.2．已知a<b<|a｜，则( ）A。
错误!>错误!B．ab〈1C.ab>1 D．a2>b2解析：选D.由a〈b〈|a｜，可知0≤｜b｜〈|a|，由不等式的性质可知|b｜2〈｜a｜2,所以a2〉b2，故选D。
3．如果log a3〉log b3，且a＋b＝1,那么( )A．0<a<b<1 B．0<b〈a〈1C．1〈a<b D．1〈b〈a解析：选A.因为a＋b＝1，a，b〉0，所以0<a〈1，0〈b〈1。
因为log a3〉log b3,所以错误!>错误!。
所以lg a<lg b．所以0〈a〈b〈1.4．设α∈错误!，β∈错误!,则2α－错误!的范围是( )A。
2022年高中数学第三章不等式1不等关系与不等式练习含解析新人教A版必修
课时训练15 不等关系与不等式一、不等式性质的直接应用与判断1.若1a <1b<0,则下列结论不正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.b a +ab>2 D.ba<1答案:D解析:由1a <1b<0可知,b<a<0,所以ba<1不成立,故选D.2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是( )A.a2>b2B.1a <1bC.1a-b>1aD.a3>b3答案:D解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;B.虽然3>-2,但是13<1-2不成立;C.虽然2>-3,但是12-(-3)>12不成立;D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0. (∵a2+ab+b2=(a+12b)2+34b2>0)成立.综上可知,只有D正确.故选D.3.已知下列说法:①若a<b<0,则a2>ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则ca >cb;④若0<a<1,则log a(1+a)>log a(1+1a)其中正确的有 .答案:①③④解析:对于①,由a<b,a<0,可得a2>ab,故①正确;对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;对于③,当a>b>0时,得0<1a < 1 b,又c<0,∴ca >cb,故③正确;对于④,当0<a<1时,1a >1,则1+a<1+1a,∴log a(1+a)>log a(1+1a),故④正确.二、利用不等式的性质比大小4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案:D解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;③a2+b2-ab=(a-12b)2+34b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.综上可得:①②③都恒成立.故选D.5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A<B 或A>BD.A>B答案:B 解析:∵A-B=a 2+3ab-4ab+b 2=a 2-ab+b 2=(a -b 2)2+34b 2≥0,∴A ≥B.6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的大小关系为 .答案:t 1>t 2解析:由题意知,甲用的时间t 1=S v 1+S v 2=S ·v 1+v 2v 1v 2,乙用的时间t 2=2×S v 1+v 22=4S v 1+v 2.∵t 1-t 2=S ·v 1+v 2v 1v 2−4S v 1+v 2=S (v 1+v 2v 1v 2-4v 1+v 2)=S (v 1-v 2)2v 1v 2(v 1+v 2)>0.∴t 1>t 2.7.已知a ,b ,x ,y 均为正实数,且1a >1b ,x>y ,试判断x x +a 与y y +b的大小关系.解:因为x x +a −y y +b =bx -ay (x +a )(y +b ),又1a >1b且a>0,b>0,所以b>a>0.又x>y>0,所以bx>ay ,即bx-ay>0.又x+a>0,y+b>0,所以bx -ay (x +a )(y +b )>0,即x x +a >y y +b.三、利用不等式的性质求代数式范围8.设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,则x 3y 4的最大值是 .答案:27解析:∵4≤x 2y ≤9,∴16≤x 4y 2≤81.①∵3≤xy 2≤8,∴18≤1x y 2≤13.②由①②可得2≤x 4y 2·1x y 2≤27,即2≤x 3y 4≤27.∴x 3y 4的最大值为27.9.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范围:(1)2a+b ;(2)a-b ;(3)ab .解:(1)因为1<a<2,所以2<2a<4.又3<b<4,所以5<2a+b<8.(2)因为3<b<4,所以-4<-b<-3.又1<a<2,所以-3<a-b<-1.(3)因为3<b<4,所以14<1b <13.又1<a<2,所以14<ab <23.四、利用不等式的性质证明10.已知a>b>0,c<d<0.求证:3√ad <3√bc .思路分析:解答本题可先比较a d 与b c 的大小,进而判断3√a d <3√bc .证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1c <-1d .又a>b>0,∴-ad >-bc>0.∴3√-a d>3√-b c,即-3√a d>-3√b c.两边同乘以-1,得3√a d<3√b c.(建议用时:30分钟) 1.若a,b∈R,且a>b,则( )A.a2>b2B.ba<1C.lg(a-b)>0D.(12)a<(12)b答案:D解析:∵a>b,无法保证a2>b2,ba<1和lg(a-b)>0,∴排除A与B,C,故选D.2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( )A.1 a <1bB.ab<b2C.-ab<-a2D.-1a <-1b答案:D解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.3.若a>b>c,则下列不等式成立的是( )A.1 a-c >1b-cB.1a-c<1b-cC.ac>bcD.ac<bc 答案:B解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0.∴1 a-c <1 b-c.故选B.4.下列结论正确的是( )A.若a>b>0,a>c,则a2>bcB.若a>b>c,则ac > b cC.若a>b,n∈N*,则a n>b nD.a>b>0,则ln a<ln b答案:A解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,a n>b n不成立.对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.5.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是( )A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-3π2<2α-β<π2D.0<2α-β<π答案:C解析:∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.又-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2.∴-3π2<2α-β<3π2.又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2.故-3π2<2α-β<π2.6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).答案:>解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2-ab>ba-b2.7.已知2b<a<-b,则ab的取值范围为 .答案:-1<ab<2解析:∵2b<a<-b,∴2b<-b.∴b<0.∴-b b <ab<2bb,即-1<ab<2.8.若m<n,p<q且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q从小到大顺序是 . 答案:m<p<q<n解析:∵(p-m)(p-n)<0,∴{p-m>0,p-n<0或{p-m<0,p-n>0.又m<n,∴m<p<n.同理m<q<n,又p<q,∴m<p<q<n.9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元、b元,则甲的平均价格为m=a+b2元,乙的平均价格为n=20001000a+1000b=2aba+b,∴m-n=a +b 2−2ab a +b =(a -b )22(a +b )>0.∴乙更合算.10.已知函数f (x )=ax 2-c ,-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围.解:因为f (x )=ax 2-c ,所以{f (1)=a -c ,f (2)=4a -c .即{a -c =f (1),4a -c =f (2),解得{a =13[f (2)-f (1)],c =13f (2)-43f (1),所以f (3)=9a-c=83f (2)-53f (1).又因为-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,所以53≤-53f (1)≤203,-83≤83f (2)≤403,所以-1≤83f (2)-53f (1)≤20,即-1≤f (3)≤20.。
高中数学 第三章 不等式 3.1 不等关系与不等式 第1课时 不等关系与不等式的性质练习 新人教A版
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3.1 第1课时不等关系与不等式的性质A级基础巩固一、选择题1．下列命题正确的是（）A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x＞y”C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”解析:对于A，x应满足x≤2 000,故A错; 对于B，x，y应满足x＜y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a,故D错误．答案:C2．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是( )A．A≤B B．A≥BC．A＜B或A＞B D．A＞B解析：因为A－B＝a2＋3ab－（4ab－b2)＝（a－b2)2＋错误!b2≥0，所以A≥B。
答案：B3．已知0〈a<1，x＝log a错误!＋log a错误!，y＝错误!log a5，z＝log a错误!－log a错误!，则( ）A．x>y〉z B．z〉y〉xC．z>x>y D．y〉x〉z解析：由题意得x＝log a错误!,y＝log a错误!，z＝log a错误!,而0〈a<1,所以函数y＝log a x 在（0，＋∞)上单调递减，所以y>x>z.答案：D4．若a>b〉1，0<c<1，则（)A．a c<b c B．ab c<ba cC．a log b c〈b log a c D．log a c〈log b c解析:用特殊值法，令a＝3，b＝2,c＝错误!得3错误!〉2错误!，选项A错误,3×2错误!〉2×3错误!，选项B错误，3log2错误!〈2log3错误!，选项C正确，log3错误!〉log2错误!，选项D错误，故选C。
不等式与不等关系上学期高二数学人教版(必修5)1106附答案
1不等式与不等式关系（1）若0a b <<，则下列不等关系中，不能成立的是A ．11a b >B ．1133a b<C ．11a b a>-D ．22a b >（2）已知四个条件：①0b a >>；②0a b >>；③0a b >>；④0a b >>． 能推出11a b<成立的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【参考答案】（1）C ；（2）C ．【试题解析】（1）因为0a b <<，所以0a a b <-<，由1y x =在(,0)-∞上单调递减可知：11a b a<-，因此C 不成立．故选C ． （2）①因为0b a >>，所以110b a >>，因此①能推出11a b<成立；②因为0a b >>，所以0ab >，所以a b ab ab >，所以11b a >，因此②能推出11a b<成立； ③因为0a b >>，所以110a b >>，因此③不能推出11a b <；④因为0a b >>，所以a b ab ab >，所以11b a >，因此④能推出11a b<成立． 综上可知：只有①②④能推出11a b<成立．故选C ．【解题必备】（1）不等式的性质常与比较大小、求范围、证明不等式等问题结合在一起考查，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键．（2）在使用不等式的性质进行推理论证时一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n 次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误． 1．若12a a>，则实数a 的取值范围是 A ．(,0)-∞B ．(1,)+∞C ．(1,0)(0,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞2．已知实数a ，b ，c 满足1a b >>，01c <<，则 A ．()()c c a c b c -<- B ．log (1)log (1)a b c c +>+ C．log log 2a c c a +≥D ．22224a c b c c >>1．【答案】A【解析】由12<及12a a>可得0a <，故选A ． 学@#科网 2．【答案】D。
高中数学苏教必修同步训练： 不等关系 含答案
3.1 不等关系1、若13(),1ln 2ln ln x e a x b x c x ∈－，＝，＝，＝，则( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<2、下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要条件是( )A.1a b >+B.1a b >-C.22a b >D.33a b >3、设,R a b ∈,则“()20a b a -⋅<”是“a b <”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知()12,0,1a a ∈,记12M a a =, 121N a a =+-,则M 与N 的大小关系是( )A. M N <B. M N >C. M N =D.不确定5、设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则（ ）A. c b a >>B. b c a >>C. a c b >>D. a b c >>6、下列命题正确的是( )A.若22a b >,则a b >B.若11a b>,则a b < C.若ac bc >,则a b >D.,则a b <7、设101,1,,1x a b x c d x <<==+==-,将,,,a b c d 排成一个递增数列.则此数列的第三项是( )A.aB.bC.cD.d8、已知,0a b >,且1,1a b ≠≠,若log 1a b >,则( )A. ()()110a b --<B. ()1()0a a b -->C. ()1()0b b a --<D. ()()10b b a -->9、已知,x y R ∈,且0x y >>,则( )A. 110x y-> B. sin sin 0x y ->C. 11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ln ln 0x y +>10、若12120,0a a b b <<<<,且12121a a b b +=+=,则下列代数式中值最大的是( )A. 1122a b a b +B. 1212a a b b +C. 1221a b a b +D. 1211、已知1260,1536a b <<<<,则a b -的取值范围为__________,b a 的取值范围为__________.12、如果a b >,给出下列不等式:①11a b <;②33a b >2222ac bc >;⑤1a b>⑥221a b ab a b ++>++.其中一定成立的不等式的序号是__________.13、给出下列条件:①1a b <<;②01a b <<<;③01a b <<<.其中,能使11log log log ba ab b b<<成立的条件的序号是__________.(填所有可能的条件的序号) 14、若a b >,且,a b 同号,则1a __________1b(填“>”或“<”). 15、已知()R,0,1,1mx m m a b f x x ∈≠>>=-,试探究()f a 与()f b 的大小关系对 m 值的影响.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：A解析：使a b >成立的充分而不必要条件,即寻找p ,使p a b ⇒>,而a b >推不出p ,逐项验证可知选A.3答案及解析：答案：A解析：若()20a b a -⋅<,则0a ≠,且a b <,所以充分性成立;若a b <,则0a b -<,当0a =时, ()20a b a -⋅=,所以必要性不成立.故“()20a b a -⋅<”是“a b <”的充分而不必要条件.4答案及解析：答案：B解析：由题意得()()1212121110M N a a a a a a -=--+=-->,故M N >.5答案及解析：答案：D解析：由对数运算发则得33log 61log 2,a ==+51log 2,b =+71log 2c =+,由对数函数图像得357log 2log 2log 2>>,所以a b c >>,故选D.6答案及解析：答案：D解析：答案：C解析：8答案及解析：答案：D解析：9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：A 解析：令12121313,,,4444a ab b ====, 则1122121210563,168168a b a b a a b b +==+==,122163188a b a b +== ∵813528>> ∴最大的数应是1122a b a b +.故选A.11答案及解析：答案：()124,45,43⎛⎫- ⎪⎝⎭解析：12答案及解析：答案：②⑥解析：答案：② 解析：∵1log 1bb =-,若1a b <<,则111b b a <<<,∴11log log 1a b b b<=-,故条件①不可以;若01a b <<<,则111b b a <<<,∴11log log 1log a a b b b b>=-=,故条件②可以;若01a b <<<,则101b <<,∴1log 0a b >,log 0a b <,条件③不可以.14答案及解析：答案：<解析：因为,a b 同号,所以0ab >.将a b >的两边同乘以1ab 得11a b <15答案及解析：答案：()()11ma mb f a f b a b -=--- ()()()11m b a a b -=-- 故当()()f a f b >时, 0m <;当()()f a f b <时, 0m >.解析：。
高二数学北师大版必修同步训练：第三章《不等关系与不等式》_1
3.1 不等关系与不等式
1.实数性质.
设a,b∈R,则a>b a-b>0,a=b a-b=0,a<b a-b<0.
2.不等式的对称性和传递性.
a>b b<a;若a>b,b>c,则a>c.
3.不等式的运算性质.
①a>b a+c>b+c;a>b,c>d a+c>b+d.
②a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc.
③a>b>0,c>d>0ac>bd>0.
④a>b,ab>0.
⑤设n∈N*,则a>b>0 a n>b n.
⑥设n∈N*,则a>b>0>.
4.不等式性质的应用.
①比较两个量的大小，②证明不等式，③求变量的范围.
5.不等式大小比较的常用方法：
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
苏教版数学高二高中数学苏教版必修53.1不等关系作业
[学业水平训练]一、填空题1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示就是________．解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >452．已知a ∈R ，则a 2＋2与2a 的大小关系是________．解析：作差比较．∵(a 2＋2)－2a ＝(a －1)2＋1>0，∴a 2＋2>2a .答案：a 2＋2>2a3. 观察右图，用不等式表示出图中函数图象之间的关系为：________．解析：g (x )的图象恒在f (x )的图象的上方，即g (x )＝x 2＋1的函数值总是大于f (x )＝x 2的函数值，故不等关系为x 2＋1>x 2. 答案：x 2＋1>x 24．若m ≠3，且n ≠－2，则M ＝m 2＋n 2－6m ＋4n 的值与－13的大小关系为________． 解析：∵m ≠3，且n ≠－2，∴M ＝(m －3)2＋(n ＋2)2－13>－13.答案：M >－135．(2014·南京质检)对于实数a ，b ，c ，下列命题中①若a >b ，则ac >bc ；②若a >b ，则ac 2>bc 2；③若a <b <0，则a 2>ab >b 2；④若a <b <0，则1a >1b； ⑤若a <b <0，则b a >a b. 其中真命题的序号为________．解析：①因未知数c 可以是正数、负数或零，所以无法确定ac 与bc 的大小，所以是假命题；②因为c 2≥0，所以只有c 2≠0时才能正确．当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以是假命题； ③a <b ，a <0⇒a 2>ab ；a <b ，b <0⇒ab >b 2，命题是真命题；④由性质定理a <b <0⇒1a >1b，命题是真命题； ⑤a <b <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，1a >1b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，－1b >－1a⇒a b >b a ，命题是假命题． 答案：③④6．某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，表示销售的总收入仍不低于20万元的不等式为________．解析：若杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x －2.50.1·0.2)x 万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式(8－x －2.50.1·0.2)x ≥20. 答案：(8－x －2.50.1·0.2)x ≥20 7．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ；那么它行驶同样的路程就得花9天多的时间．这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是________．解析：设汽车原来每天行驶x km ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋19）·8>2 200，（x －12）·9<8（x ＋19）. 解出256<x <260.答案：(256，260)二、解答题8．已知a 、b ∈R ＋，试比较a a b b 与(ab )a ＋b 2的大小．解：a a b b （ab ）a ＋b 2＝aa －a ＋b 2bb －a ＋b 2＝a a －b 2b b －a 2＝⎝⎛⎭⎫a b a －b 2. ①若a ＝b >0，则a b＝1，a －b ＝0， ∴⎝⎛⎭⎫a b a －b 2＝1，∴a a b b ＝(ab )a ＋b 2；②若a >b >0，则a b>1，a －b >0，由指数函数的性质，可知⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2； ③若0<a <b ，则0<a b<1，a －b <0，由指数函数的性质， 可知⎝⎛⎭⎫a b a －b 2>1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2.综上所述，a a b b ≥(ab )a ＋b 2.9．已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0. 证明：∵a >b >c ，∴a －c >a －b >0，∴1a －b >1a －c. 又1b －c>0，∴1a －b ＋1b －c >1a －c， ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a >0. [高考水平训练]一、填空题1．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________． 解析：由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y2≤81. 又∵3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13， ∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y4＝27. ∴x 3y4的最大值是27. 答案：272. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进出路口A ，B ，C 的机动车辆数如图所示，图中x 1，x 2，x 3分别表示该时段单位时间通过路段AB ︵，BC ︵，CA ︵的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则x 1，x 2与x 3的大小关系为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝50＋（x 3－55）x 2＝30＋（x 1－20）x 3＝30＋（x 2－35）⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 3－5x 2＝x 1＋10x 3＝x 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 3<0x 2－x 1>0x 3－x 2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1<x 3x 2>x 1⇒x 2>x 3>x 1.x 3<x 2答案：x 2>x 3>x 1二、解答题3．已知m ∈R ，a >b >1，f (x )＝mx x －1，试比较f (a )与f (b )的大小． 解：f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (a )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1， f (b )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1. 由a >b >1，知a －1>b －1>0.∴1a －1<1b －1，∴1＋1a －1<1＋1b －1.(1)当m >0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1<m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1， f (a )<f (b )．(2)当m ＝0时，f (a )＝f (b )＝0.(3)当m <0时，m ⎝⎛⎭⎫1＋1a －1>m ⎝⎛⎭⎫1＋1b －1， f (a )>f (b )．综上所述，当m >0时，f (a )<f (b )；当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m <0时，f (a )>f (b )．4．甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购买1 000 kg ，乙每次购粮用去1 000元，谁的购粮方式更合算？解：设第一次粮食价格为x 元/kg ，第二次粮食价格为y 元/kg ，其中x ≠y ，x >0，y >0. 甲两次购粮的平均价格为：1 000x ＋1 000y2 000＝x ＋y 2； 乙两次购粮的平均价格为：2 0001 000x ＋1 000y＝2xy x ＋y ； x ＋y 2－2xy x ＋y ＝x 2＋y 2－2xy 2（x ＋y ）＝（x －y ）22（x ＋y ）>0. ∴甲的平均价格高于乙的平均价格，乙的购粮方式更合算．。
北师大版高中数学高二必修五 课时跟踪检测(十四) 不等关系与不等式
课时跟踪检测（十四） 不等关系& 不等关系与不等式层级一 学业水平达标1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量T 满足关系为( )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40D ．T ≥40解析：选C “限重40吨”即为T ≤40.2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0解析：选D 利用赋值法：令a ＝1，b ＝0排除A 、B 、C ，选D. 3．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，56π B.⎝⎛⎭⎫－π6，56π C.()0，πD.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π.4．若m ≠2且n ≠－1，则M ＝m 2＋n 2－4m ＋2n 的值与－5的大小关系为( ) A ．M ＞－5 B ．M ＜－5 C ．M ＝－5D ．不确定 解析：选A ∵m ≠2，n ≠－1，∴M －(－5)＝(m －2)2＋(n ＋1)2＞0，∴M ＞－5. 5．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c |解析：选C 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．6．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则ab －a 2________b 2(填“<”“>”“＝”)． 解析：∵ab －a 2－b 2＝－⎝⎛⎭⎫a －b 22－34b 2<0，∴ab －a 2<b 2. 答案：<7．设x ＞1，－1＜y ＜0，试将x ，y ，－y ，－xy 按从小到大的顺序排列为________________． 解析：∵－1＜y ＜0，∴0＜－y ＜1，∴y ＜－y ，又x ＞1， ∴－xy ＜x ，－xy ＞－y ，∴y ＜－y ＜－xy ＜x . 答案：y ＜－y ＜－xy ＜x 8．如果a >b ，下列不等式：①a 3>b 3；②1a 2<1b 2；③3a >3b ；④lg a >lg b .其中恒成立的是________(填序号)．解析：①a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋b 2＋ab )＝(a －b )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2>0； ③∵y ＝3x 是增函数，a >b ，∴3a >3b ，当a >0，b <0时，②④不成立． 答案：①③9．(1)a ＜b ＜0，求证：b a ＜ab ；(2)已知a ＞b ，1a ＜1b ，求证：ab ＞0.证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝(b ＋a )(b －a )ab，∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0， ∴(b ＋a )(b －a )ab ＜0，故b a ＜ab .(2)∵1a ＜1b ，∴1a －1b ＜0，即b －a ab ＜0， 而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0.10．若a ≥1，比较a ＋1－a 与a －a －1的大小． 解：∵(a ＋1－a )－(a －a －1)＝1a ＋1＋a －1a ＋a －1＝(a ＋a －1)－(a ＋1＋a )(a ＋1＋a )(a ＋a －1)＝a －1－a ＋1(a ＋1＋a )(a ＋a －1)＜0，∴a ＋1－a ＜a －a －1.层级二 应试能力达标1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d 不得小于10 m ，用不等式表示为( )A ．v ≤120(km/h)或d ≥10(m)B.⎩⎪⎨⎪⎧v ≤120(km/h )d ≥10(m ) C ．v ≤120(km/h) D ．d ≥10(m)解析：选B 最大限速与车距是同时的，故选B. 2．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c解析：选D 由c <d <0⇒1d <1c <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－ad >－b c >0，所以a d <bc，选D.3．如果a >0>b 且a ＋b >0，那么以下不等式正确的个数是( ) ①1a <1b ； ②1a >1b ； ③a 3b <ab 3; ④a 3<ab 2; ⑤a 2b <b 3. A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B 由a >0>b 知①不正确，②正确；a 3b －ab 3＝ab (a ＋b )·(a －b )<0，故③正确；a 3－ab 2＝a (a ＋b )(a －b )>0，故④不正确；a 2b －b 3＝b (a ＋b )(a －b )<0，故⑤正确．4．如果a ＞0，且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，那么( ) A ．M ＞N B ．M ＜NC ．M ＝ND ．M ，N 的大小无法确定解析：选A M －N ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1.若a >1，则a 3>a 2，∴a 3＋1a 2＋1>1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ；若0<a <1，则0<a 3<a 2，∴0<a 3＋1<a 2＋1，∴0<a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ，故选A.5．已知a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0，则a d与bc的大小关系是________． 解析：∵c ＞d ＞0，∴1d ＞1c ＞0，∵a ＞b ＞0，∴a d ＞bc ＞0，∴a d＞b c . 答案：a d ＞b c6．如图，在一个面积为350 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L 大于宽W 的4倍，上述不等关系可用W 表示为________．解析：仓库的长L ＝350W ＋10－10，∴350W ＋10－10＞4W .答案：350W ＋10－10＞4W7．某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a 元，二级小麦每千克b 元(b <a )．现有一级小麦m 千克，二级小麦n 千克，若以两种价格的平均数收购，是否合理？为什么？解：分级收购时，粮站支出(ma ＋nb )元， 按平均价格收购时，粮站支出(m ＋n )(a ＋b )2元．因为(ma ＋nb )－(m ＋n )(a ＋b )2＝12(a －b )(m －n )，且b <a ，所以当m >n 时，粮站占便宜； 当m ＝n 时，一样； 当m <n 时，粮站吃亏．8．设a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．解：12log a t ＝log a t ，∵t ＋12－t ＝t －2t ＋12＝(t －1)22， ∴当t ＝1时，t ＋12＝t ；当t ＞0且t ≠1时，t ＋12＞t .①∵当a ＞1时，y ＝log a x 是增函数， ∴当t ＞0且t ≠1时，log a t ＋12＞log a t ＝12log a t .当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .②∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 是减函数， ∴当t ＞0且t ≠1时，log a 1＋t 2＜log a t ＝12log a t ，当t ＝1时，log a t ＋12＝12log a t .综上知，当t ＝1时，log a 1＋t 2＝12log a t ；当t ＞0且t ≠1时，若a ＞1，则log a 1＋t 2＞12log a t ；若0＜a ＜1，则log a 1＋t 2＜12log a t .。
高中数学课时训练(十四)不等关系与不等式新人教A版必修5(2021年整理)
（浙江专版）2018年高中数学课时跟踪检测（十四）不等关系与不等式新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018年高中数学课时跟踪检测（十四）不等关系与不等式新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时跟踪检测（十四）不等关系与不等式层级一学业水平达标1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是（）A．30x－60≥400B．30x＋60≥400C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400解析：选B x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400。
2．已知a，b，c满足c<b〈a，且ac<0.那么下列选项中一定成立的是( )A．ab〉ac B．c（b－a）〈0C．cb2<ab2 D．ac(a－c）〉0解析：选A 由c<b<a，且ac<0，知a>0，c<0,故由b>c，a>0⇒ab>ac，A正确;由b〈a，c<0⇒(b－a）c>0,B错误;由c<a，b2≥0⇒cb2≤ab2，当b＝0时取等号，故C错误；由c<a，ac<0⇒ac(a－c）<0，D错误．故选A。
3．已知：a，b，c，d∈R,则下列命题中必成立的是（）A．若a＞b，c＞b,则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，则错误!＞错误!D．若a2＞b2,则－a＜－b解析：选B 选项A，若a＝4,b＝2，c＝5，显然不成立,选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B。
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式同步练习新人教B版必修5(2021学年)
高中数学第三章不等式3.1 不等关系与不等式同步练习新人教B版必修５编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（高中数学第三章不等式３.1 不等关系与不等式同步练习新人教B版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3．１不等关系与不等式1．a≥b可以推出（）A。
１a≥1bB.aｃ2≥ｂc2 C。
错误!〉错误!D．（ac)2≥(bc）２２.若＼f(１,a)＜1b〈０，则下列结论不正确的是（)Ａ.a2<ｂ2 Ｂ.ab＜b2 C.错误!＋错误!>2 D．|ａ｜－｜ｂ|＝｜a-b|3.设角α、β满足-错误!<α〈β<错误!,则α－β的取值范围为____＿＿_＿＿_.4.证明：若a〉b>0,c<d<0，m<０,则错误!〉错误! .答案:1．B ∵c2≥0,a≥b，∴ac2≥bc2。
2.D 可取特殊值,令a=-1,b＝－2代入验证知D不正确．3．-π<α－β<０在利用不等式的性质时,要注意α＜β这个隐含条件.∵-＼f（π,2）〈α<错误!，-错误!〈β〈错误!,∴－π〈α－β〈π。
又∵α<β，∴α-β＜0.综上,可知-π<α－β＜0。
4.证明:错误!⇒错误!⇒a－c>b－d〉0⇒＼f（1,a－c）<错误!.又∵m＜0，∴＼f（m，ａ-c)〉错误!。
课堂巩固1．已知ａ<0,-1<ｂ〈0，下列不等式成立的是（）A.a〉aｂ〉ab２B.aｂ2〉ab＞ａＣ.ab＞ａ〉ab2 D．aｂ＞a ｂ2〉a2.x＝（a+3)(a－5)与y＝(a＋2)（a-4)的大小关系为( ）A.x〉ｙB.ｘ＝yC.x〈yD.不能确定3.若f(x)=3x２－x+１，g(ｘ)=2x2＋x-1,则f(ｘ)与g(ｘ）的大小关系为＿___＿_____.４.已知a＞b〉ｃ，且ａ＋ｂ+c＝0,则ｂ２-4ａc的值的符号为__＿___＿__＿．5．若a〉0，b>0,比较错误!＋错误!和a＋b的大小.6.设x∈Ｒ,比较错误!与1－ｘ的大小．答案：1．D 本题可以根据不等式的性质来解，由于-１〈b〈0，所以0<ｂ2<１⇒a<ab２＜0,且ab〉0,易得答案Ｄ.本题也可以根据a，ｂ的范围取特殊值，比如令a＝-1,b=-错误!,也容易得到正确答案.2．C x-y＝(ａ２－2ａ－15)-(a2－２a－８)=-７〈０,∴ｘ〈y.3.f(ｘ)〉ｇ(ｘ) 采用作差法可得:f(x）－g(ｘ）＝３x2-x+１-（2x2＋ｘ-1）=x2－2x+2=(ｘ－1)2＋１,显然大于０．4.正∵a+ｂ＋c=0,∴b=-（a＋c）,b2=a2+c2+2aｃ．∴ｂ2－4ａc=a2+c2－2ａc=（a-c）2。
高二数学不等关系及不等式检测题
高二数学不等关系及不等式检测题高二数学不等关系及不等式检测题一、选择题1．已知a＞b，ac＜bc，则有( )A．c＞0 B．c＜0C．c＝0 D．以上均有可能答案：B2．下列命题正确的'是( )A．若a2＞b2，则a＞b B．若1a＞1b，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＜b，则a＜b解析：选D.A错，例如(－3)2＞22；B错，例如12 ＞1－3；C 错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.3．设a，b∈R，若a－b＞0，则下列不等式中正确的是( )A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0C．b＋a＜0 D．a2－b2＞0解析：选D.利用赋值法，令a＝1，b＝0，排解A，B，C.4．若b＜0，a＋b＞0，则a－b的值( )A．大于零 B．大于或等于零C．小于零 D．小于或等于零解析：选A.∵b＜0，∴－b＞0，由a＋b＞0，得a＞－b＞0.5．若x＞y，m＞n，则下列不等式正确的是( )A．x－m＞y－n B．xm＞ymC.xy＞ym D．m－y＞n－x解析：选D.将x＞y变为－y＞－x，将其与m＞n左右两边分别相加，即得结论．6．若x、y、z互不相等且x＋y＋z＝0，则下列说法不正确的为( )A．必有两数之和为正数B．必有两数之和为负数C．必有两数之积为正数D．必有两数之积为负数答案：C二、填空题7．若a＞b＞0，则1an________1bn(n∈N，n≥2)．(填“＞”或“＜”)答案：＜8．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的挨次排列如下：________.解析：∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x.答案：y＜－y＜xw9．已知－π2≤α＜β≤π2，则α＋β2的取值范围为__________．解析：∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π4≤α2＜π4，－π4＜β2≤π4.两式相加，得－π2＜α＋β2＜π2.答案：(－π2，π2)三、解答题10．已知c＞a＞b＞0，求证：ac－a＞bc－a.证明：∵c＞a，∴c－a＞0，又∵a＞b，∴ac－a＞bc－a.11．已知2＜m＜4,3＜n＜5，求下列各式的取值范围： (1)m＋2n；(2)m－n；(3)mn；(4)mn.解：(1)∵3＜n＜5，∴6＜2n＜10.又∵2＜m＜4，∴8＜m＋2n＜14.(2)∵3＜n＜5，∴－5＜－n＜－3，又∵2＜m＜4.∴－3＜m－n＜1.(3)∵2＜m＜4,3＜n＜5，∴6＜mn＜20.(4)∵3＜n＜5，∴15＜1n＜13，由2＜m＜4，可得25＜mn＜43.12．已知－3＜a＜b＜1.－2＜c＜－1.求证：－16＜(a－b)c2＜0.证明：∵－3＜a＜b＜1，∴－4＜a－b＜0，∴0＜－(a－b)＜4.又－2＜c＜－1，∴1＜c2＜4.∴0＜－(a－b)c2＜16.∴－16＜(a－b)c2＜0.文档内容到此结束，欢迎大家下载、修改、丰富并分享给更多有需要的人。