人教A版高中数学必修三专题强化训练(一)

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人教A版高中数学必修第二册强化练习题-8.6.1直线与直线垂直(含答案)

人教A版高中数学必修第二册8.6　空间直线、平面的垂直8.6.1　直线与直线垂直基础过关练题组一　求异面直线所成的角1.(2024安徽六安期中)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为2,E为棱PA的中点,ABCD-A1B1C1D1中,E,F与直线AD1所成角的大小为在正方体ABCD-A(1)求异面直线CD1与BC1所成的角;(2)求证:MN∥平面ABCD.题组二　空间两条直线所成角的应用5.(多选题)(2024山东德州夏津第一中学月考)已知E,F 分别是三棱锥P-ABC 的棱PA,BC 的中点,且PC=6,AB=8.若异面直线PC 与AB 所成角的大小为60°,则线段EF 的长可能为( )A.7B.13C.5D.376.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为1的正方形,异面直线AB 与A 1C 所能力提升练在正四面体S-ABC 中3.4.(2024贵州凯里第一中学模拟)平面α过直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的顶点B 1,平面α∥平面ABC 1,平面α∩平面BB 1C 1C=l,且AA 1=AB=BC,AB ⊥BC,则A 1B 与l 所成角的正弦值为( )A.32 B.22 C.12 D.335.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面积为12,当其外接球的表面积取最小值时,异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为 .题组二　异面直线所成角的应用6.(2024上海青浦高级中学期末)在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为底面ABCD 内(包括边界)的动点,满足直线D 1P 与CC 1所成角的大小为π6,则线段DP 扫过的面积为( )A.π12B.π6C.π3D.π27.(2024广东阳江期末)在四面体A-BCD 中,AB=CD=1,BC=2,且AB ⊥BC,CD ⊥BC,异面直线AB 与CD 所成的角为π3,则该四面体外接球的表面积为 .8.(2022河南濮阳第一高级中学月考)在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,侧面都是矩形,底面ABCD 是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,若异面直线A 1B 和AD 1所成的角为90°,求AA 1的长度.答案与分层梯度式解析8.6　空间直线、平面的垂直8.6.1　直线与直线垂直基础过关练1.B2.C3.A 5.BD 6.DPC,EO=1PC=1,在所以BB1∥平面AEF,平面DBB1,所以BB1又与直线AD1所成的角为连接B N,CN,因为点M为A1B1的中点,A1B1=AB,所以MB1=AN,又MB1∥AN,所以四边形ANB1M为平行四边形,所以AM∥B1N,所以异面直线AM与B1C所成的角为∠CB1N(或其补角),设∠CB1N=θ,在正△ABC中,由AB=4,可得CN=23,在直角△BNB1中,BB1=3,BN=2,所以B1N=22+32=13,在直角△BCB1中,BC=4,BB1=3,所以B1C=42+32=5,在△B 1CN 中,由余弦定理的推论可得cos θ=B 1C 2+B 1N 2-C N 22B 1C·B 1N=52+(13)2-(23)22×5×13=135.故选A.4.解析　(1)连接A 1B,A 1C 1,因为A 1D 1=BC 且A 1D 1∥BC,所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形,所以CD 1∥A 1B,则∠A 1BC 1或其补角为异面直线CD 1与BC 1所成的角,易知A 1C 1=A 1B=BC 1,所以△A 1C 1B 为等边三角形,所以∠A 1BC 1=60°,所以异面直线CD 1与BC 1所成的角为60°.(2)证明:连接C 1D,BD,则N 为C 1D 的中点,又M 为BC 1的中点,所以MN ∥BD,又MN ⊄平面ABCD,BD ⊂平面ABCD,所以MN ∥平面ABCD.5.BD 如图,取AC 的中点H,连接EH,FH,因为E,F 分别为PA,BC 的中点,PC=6,AB=8,所以AB ∥HF,HE ∥PC,HF=4,HE=3,所以异面直线PC 与AB 所成的角即为∠EHF(或其补角),所以∠EHF=60°或∠EHF=120°.当∠EHF=60°时,根据余弦定理的推论得cos ∠EHF=HE 2+H F 2-E F 22HE ·HF =9+16−EF 224=12,解得EF=13;当∠EHF=120°时,根据余弦定理的推论得cos ∠EHF=HE 2+H F 2-E F 22HE ·HF =9+16−EF 224=-12,解得EF=37.故选BD.易错警示　通过立体图形无法直接判断∠EHF是锐角还是钝角,因此∠EHF可能是异面直线所成的角,也可能是其补角,所以需要进行分类讨论.6.D　∵AB∥DC,∴∠A1CD(或其补角)即为异面直线AB与A1C所成的角,由图可知∠A1CD为.锐角,∴∠A1CD=π3设DD1=x,连接A1D,则A1C=12+12+x2=2+x2,A1D=x2+1.在∴∴7.垂直于上底面于点D,则ADD∥O2A,1∴或其补角,当在当在Rt△ABD中,AB=BD2+A D2=2.综上,AB=2或AB=2.能力提升练1.A2.A3.C4.A 6.A1.A　取SM的中点E,连接EN,AE,如图,∵N是SB的中点,∴EN∥MB,EN=12MB,∴∠ANE或其补角即为异面直线BM与AN所成的角.设正四面体的棱长为4,∵M是SC的中点,N是SB的中点,△SAB和△SBC均为正三角形,∴BM⊥SC,AN⊥SB,且BM=AN=23,∴EN=3,在△ASE中,由余弦定理得AE2=SA2+SE2-2SA·SE·cos∠ASE=16+1-2×4×1×12=13,在△ANE中,由余弦定理的推论得cos∠ANE=AN2+N E2-A E22AN·NE =12+3−132×23×3=16,∴异面直线BM与AN所成角的余弦值为16.故选A.2.A　如图,过点A作AN∥OM,交圆O于点N,连接ON,PN,则∠PAN或其补角即为异面直线OM与AP所成的角,设AO=ON=1,易知∠OAN=∠ONA=∠AOM=30°,则AN=3,因为轴截面PAB为等腰直角三角形,所以PN=PA=2,在△APN中,由余弦定理的推论得cos∠PAN=PA2+A N2-P N22PA·AN =2+3−226=64,所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为64.故选A.3.C　如图,连接AD1,AP,易得AD1∥BC1,所以∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角.设正方体的棱长为1,DP=x,x∈[0,1],在△AD 1P 中,AD 1=2,AP=D 1P=1+x 2,故cos ∠AD 1P=(2)2+(1+x 2)2-(1+x 2)222·1+x 2=221+x 2,∵x ∈[0,1],∴cos ∠AD 1P=221+x2∈又∠AD 1P 是△AD 1P 的内角,∴∠AD 1P 故选C.B 1则ABC 1,所以B 1C 2∥平面⊂由小题速解　因为平面α∥平面ABC 1,平面α∩平面BB 1C 1C=l,平面ABC 1∩平面BB 1C 1C=BC 1,所以l ∥BC 1,则A 1B 与l 所成的角为∠A 1BC 1(或其补角),下同解析.5.答案　514解析　设正三棱柱的底面边长为a,高为h,外接球的半径为R,由题意知3ah=12,即ah=4,易得△ABC 外接圆的半径r=a2sin π3=a3,则R 2=r 2+ℎ24=a 23+ℎ24≥aℎ3=43,当且仅当a=32h 时取等号,此时外接球的表面积最小.将三棱柱补成一个四棱柱,如图,连接DB 1,DC,则AC 1∥DB 1,∴∠DB 1C(或其补角)为异面直线AC 1与B 1C 所成的角,易得B 1C=DB 1=a 2+ℎ2,DC=3a,∴cos ∠DB 1C=2(a 2+ℎ2)-3a 22(a 2+ℎ2)=514.解题技法　补形平移是常用的一种作平行线的方法,一般是补一个相同形状的几何体,构成一个特殊的几何体,方便作平行线,如此题将三棱柱补成一个四棱柱.6.A 因为DD 1∥CC 1,所以直线D 1P 与CC 1所成的角即为DD 1与D 1P 所成的角,易知DD 1⊥PD,所以DD 1与D 1P 所成的角为∠DD 1P,即∠DD 1P=π6,故tan ∠DD 1P=DPDD 1=33,即DP=33,所以点P 的轨迹是以D 为圆心,33为半径的圆的四分之一,故线段DP 扫过的面积为14π×=π12.故选A.7.答案　16π3或8π解析　由题意,可以将四面体A-BCD 补成一个直三棱柱,如图所示.∵CD∥BE,∴直线AB与CD所成的角为∠ABE或其补角,∵异面直线AB与CD所成的角为π3,∴∠ABE=π3或∠ABE=2π3.设△ABE外接圆的半径为r,当∠ABE=π3时,AE=BE=AB=1,则2r=1sinπ3,解得r=33;当∠ABE=2π3时,AE=3,则则8.BC且A1D1=BC,所以A1B∥CD1,所成的角为∠AD1C,故∠AD1均为矩形,设在故。

高中数学第三章函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法课时作业(含解析)新人教A版必修第一册-

3.1.2 函数的表示法一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错．答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x 解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t，∴f (x )＝1x ＋2. 答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]．答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})X 价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /X 1 2 3 4 5 y /元20406080100(2)图象法：如下图所示．(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9，即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.[尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)； (2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧…－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。

人教A版高中数学必修第一册课后习题第2章一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 (2)

2.2 基本不等式A 级必备知识基础练1.[探究点一]不等式(x-2y)+1x -2y≥2成立的前提条件为( )A.x ≥2yB.x>2yC.x ≤2yD.x<2y2.[探究点三]已知0<x<1,则当x(5-5x)取最大值时,x 的值为( ) A.54B.12C.13D.343.[探究点三]已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab 的最大值为( ) A.14B.12C.1D.24.[探究点三]设x>0,y>0,且xy=4,则1x+1y的最小值是( ) A.1B.2C.-1D.-25.[探究点三]已知x<0,则x+1x的最大值为( ) A.2B.-12C.-2D.126.[探究点三·江西宜春高一期中]已知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β的最小值是( )A.2B.3C.4D.57.[探究点一·湖北十堰高一检测](多选题)下列推导过程正确的是( )A.因为a,b 为正实数,所以ba+ab≥2√ba·ab=2B.因为a>3,所以4a +a>2√4a·a =4C.因为a<0,所以4a+a ≥2√4a·a =4D.因为x,y ∈R,xy<0,所以x y+y x=-[(-x y)+(-y x)]≤-2√(-x y)·(-yx)=-2,当且仅当x=-y≠0时,等号成立8.[探究点二](多选题)若a,b ∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( )A.a 2+b 2≥2abB.a+b ≥2√abC.1a+1b >√abD.b a+ab≥29.[探究点三]已知t>0,则t 2-3t+1t的最小值为 .10.[探究点二]已知a,b,c 为正数,求证:b+c -a a+c+a -b b+a+b -c c≥3.11.[探究点一]下列是一道利用基本不等式求最值的习题: 已知a>0,b>0,且a+b=1,求y=1a+2b 的最小值.小明和小华两名同学都巧妙地用了“a+b=1”,但结果并不相同.小明的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b+1-1=1a+2b+a+b-1=a+1a+b+2b-1,而a+1a≥2√a ·1a =2,b+2b ≥2√b ·2b =2√2.那么y ≥2+2√2-1=1+2√2,则最小值为1+2√2.小华的解法:因为a+b=1,所以y=1a+2b=(1a+2b)(a+b)=3+ba+2a b,而3+b a+2a b≥3+2√b a ·2ab=3+2√2,则最小值为3+2√2. (1)你认为哪名同学的解法正确,哪名同学的解法有错误? (2)请说明你判断的理由.B 级关键能力提升练12.已知当x=a 时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,则a+b=( )A.-3B.2C.3D.8A.∀x ∈R,且x≠0,x+1x≥2 B.∃x ∈R,使得x 2+1≤2x C.若x>0,y>0,则√x 2+y 22≥2xy x+yD.若x>0,y>0,且x+y=18,则√xy 的最大值为9 14.若a>0,b>0,则在①1a+1b ≤4a+b,②b 2a+a 2b≥a+b,③√a 2+b 22≥a+b 2,这三个不等式中,不正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个15.[安徽高一校联考期中](多选题)已知正实数a,b 满足a+b=2,则下列结论正确的是( ) A.ab ≤1 B.√a +√b ≥2 C.a 3+b 3≤2D.a 2+b 2≥216.(多选题)对于a>0,b>0,下列不等式中正确的是( ) A.√ab 2<1a+1b B.ab ≤a 2+b 22C.ab ≤(a+b 2)2 D.(a+b 2)2≤a 2+b 2217.已知a>b>c,则√(a -b )(b -c )与a -c 2的大小关系是 .18.已知不等式(x+y)(1x +ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,求正实数a 的最小值.C 级学科素养创新练19.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=1x 的图象上,则1a 2b+1ab2+16ab a+b的最小值是 . 答案：1.B 基本不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以不等式(x-2y)+1x -2y≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2y.故选B.2.B 由0<x<1,可得1-x>0,则x(5-5x)=5x(1-x)≤5·(x+1-x 2)2=54,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立,所以x=12时,x(5-5x)取得最大值54.故选B. 3.A 因为a>0,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b ≥2√4ab =4√ab ,可得ab ≤14,当且仅当a=4b,即a=1,b=14时,等号成立,所以ab 的最大值为14.故选A.4.A 因为x>0,y>0,且xy=4,所以1x >0,1y >0,1x +1y ≥2√1x ·1y =2√1xy =2×12=1,当且仅当1x=1y ,即x=y=2时,等号成立.故选A.5.C 因为x<0,可得-x>0,则x+1x=-[(-x)+1-x]≤-2√(-x )·1-x=-2,当且仅当-x=1-x,即x=-1时,等号成立,所以x+1x的最大值为-2.故选C.6.D 由题意知a>0,b>0,a+b=1,且α=a+1a,β=b+1b,则α+β=a+1a+b+1b=1+1ab≥1+1(a+b 2)2=5,当且仅当a=b=12时,等号成立,所以α+β的最小值为5.故选D.7.ABD 对于A,a,b 为正实数,有ba>0,ab>0,且ba·ab=1,又当且仅当a=b 时,ba=a b成立,满足基本不等式的条件,A 正确;对于B,当a>3时,4a>0,4a+a ≥2√4a·a =4,当且仅当4a=a,a=2时,等号成立,与a>3矛盾,所以不存在大于3的正数a 使a=4a成立,所以4a+a>4,B 正确;对于C,因为a<0,则4a<0,不符合基本不等式成立的条件,C 错误;对于D,x,y ∈R,xy<0,则-x y>0,-yx>0,且(-x y)·(-y x)=1,又当且仅当-x=y≠0时,-x y=-yx成立,满足基本不等式的条件,D 正确.故选ABD.8.AD 对于A 选项,a 2+b 2-2ab=(a-b)2≥0,故a 2+b 2≥2ab,A 正确;对于B,取a=b=-1,此时a+b=-2<2√ab =2,B 错误;对于C,取a=b=-1,此时1a+1b=-2<√ab=2,C 错误;对于D,因为ab>0,所以a b>0,b a>0,所以b a+a b≥2√b a·ab=2,当且仅当a=b≠0时,等号成立,D 正确.故选AD. 9.-1 ∵t>0,∴t 2-3t+1t =t+1t-3≥2√t ·1t-3=-1,当且仅当t=1时,等号成立.10.证明左边=ba +ca -1+cb +ab -1+ac +bc -1=(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3.∵a,b,c 为正数,∴ba+ab≥2(当且仅当a=b 时,等号成立);ca+ac≥2(当且仅当a=c 时,等号成立);c b +b c ≥2(当且仅当b=c 时,等号成立).从而(b a +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )≥6(当且仅当a=b=c 时,等号成立).∴(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )-3≥3,即b+c -a a+c+a -b b+a+b -c c≥3.11.解(1)小华的解法正确,小明的解法错误.(2)在小明的解法中,a+1a≥2√a ·1a=2,当等号成立时a=1;b+2b≥2√b ·2b =2√2,当等号成立时b=√2,那么y 取得最小值1+2√2时,a+b=1+√2,这与条件a+b=1是相矛盾的,所以小明的解法错误.小华的解法中,b a+2a b≥2√2,等号成立的条件为b 2=2a 2,即b=√2a,再由已知条件a+b=1,即可解得满足条件的a,b 的值,所以小华的解法正确. 12.C x-4+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x+1>0,所以由基本不等式得x+1+9x+1-5≥2√(x +1)·9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.13.BCD 对于A,当x<0时不成立;对于B,当x=1时成立,B 正确;对于C,若x>0,y>0,则(x 2+y 2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x 2y 2,可化为√x 2+y 22≥2xyx+y,当且仅当x=y>0时,等号成立,C 正确;对于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥2√xy ,当且仅当x=y=9时,等号成立,∴√xy ≤9,D 正确.故选BCD.14.B 因为a,b>0,对于①,由(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2√ba·ab=4,当且仅当a=b 时,等号成立,所以1a+1b≥4a+b,所以①错误;对于②,由不等式a 3+b 3-a 2b-ab 2=(a+b)(a-b)2≥0,可得a 3+b 3≥a 2b+ab 2,两边同除ab,可得b 2a+a 2b≥a+b 成立,所以②正确;对于③,由2a 2+2b 2=a 2+b 2+a 2+b 2≥a 2+b 2+2ab=(a+b)2,可得a 2+b 2≥(a+b )22,即a 2+b 22≥(a+b )24,所以√a 2+b 22≥a+b 2成立,所以③正确.故选B.15.AD 因为正实数a,b 满足a+b=2,对于A 选项,ab ≤(a+b 2)2=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,A 正确;对于B 选项,因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ≤2(a+b)=4,则√a +√b ≤2,当且仅当a=b=1时,等号成立,B 错误;对于C 选项,当a=32,b=12时,a 3+b 3=(32)3+(12)3=72>2,C 错误;对于D 选项,a 2+b 2=a 2+b 2+a 2+b 22≥a 2+b 2+2ab2=(a+b )22=2,当且仅当a=b=1时,等号成立,D 正确.故选AD. 16.BCD 当a>0,b>0时,因为21a +1b≤√ab ,所以√ab≤1a+1b,当且仅当a=b 时,等号成立,故A 不正确;显然B,C,D 均正确. 17.√(a -b )(b -c )≤a -c 2∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a -c 2=(a -b )+(b -c )2≥√(a -b )(b -c ). 当且仅当b=a+c 2时,等号成立.18.解(x+y)(1x +ay )=1+a+yx +ax y,∵x>0,y>0,a>0,∴y x+ax y≥2√y x·ax y=2√a ,∴1+a+yx +ax y≥1+a+2√a ,当且仅当y=√a x 时,等号成立.∴要使(x+y)(1x +ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,只需1+a+2√a ≥9恒成立即可.∴(√a +1)2≥9,即√a +1≥3,∴a ≥4,故a 的最小值为4.19.8 ∵点(a,b)在反比例函数y=1x的图象上,∴b=1a,即ab=1.∵a>0,b>0,∴a+b>0,∴1a 2b+1ab2+16ab a+b=1a+1b+16a+b=a+b ab+16a+b=a+b+16a+b≥8,当且仅当a+b=16a+b,即a+b=4时,等号成立,所以1a 2b+1ab2+16ab a+b的最小值是8.。

2021年人教版高中数学必修三：专题强化训练(三)

专题强化训练(三)
概率
(30分钟50分)
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.下列试验属于古典概型的有( )
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；
②在公交车站候车不超过10分钟的概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；
④从一桶水中取出100mL，观察是否含有大肠杆菌.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选A.古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性.①符合两个特征；对于②和④，基本事件的个数有无限多个；对于③，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等.
2.任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】选D.1位正整数是从1到9共9个数，其中任意两个不同的正整数求和有8+7+6+5+4+3+2+1=36种情况，和是8的共有3种情况，即(1，7)，(2，6)，(3，5)，所以和是8的概率是.
【补偿训练】一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于。

7.1~7.3综合拔高练--高中数学选择性必修三同步训练(人教A版2019)

7.1~7.3综合拔高练五年高考练考点离散型随机变量的均值与方差 1.(2020课标全国Ⅲ理,3,5分,)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p 1,p 2,p 3,p 4,且∑i=14p i =1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( ) A.p 1=p 4=0.1,p 2=p 3=0.4 B.p 1=p 4=0.4,p 2=p 3=0.1 C.p 1=p 4=0.2,p 2=p 3=0.3 D.p 1=p 4=0.3,p 2=p 3=0.2 2.(2019北京,17,13分,)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B 两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下: 支付金额(元)支付方式 (0,1 000] (1 000,2 000]大于2 000 仅使用A 18人 9人 3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B 两种支付方式都使用的概率;(2)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人,以X 表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X 的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.3.(2019课标全国Ⅰ,21,12分,)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i-+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设1+bp iα=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.三年模拟练应用实践1.(2020福建福州一中高二下适应性考试,)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A表示“取到的2个数之和为偶数”,事件B表示“取到的两个数均为偶数”,则P(B|A)=( )A.18B.14C.25D.122.(2020重庆巴蜀中学高二下月考,)已知A学校有15位数学老师,其中9位男老师,6位女老师,B学校有10位数学老师,其中3位男老师,7位女老师,为了实现师资均衡,现从A学校任意抽取一位数学老师到B学校,然后从B学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课,则两次都抽到男老师的概率是( )A.955B.1255C.411D.3503.(2020山东淄博桓台一中高二下期中,)已知随机变量X的分布列如下:X -1 0 1P 121316且Y=aX+3,E(Y)=53,则a= .4.(2020河北邯郸第一中学高二期中,)设验血诊断某种疾病的误诊率为5%,即若用A表示验血为阳性,B表示受验者患病,则P(A|B)=P(A|B)=0.05.若受检人群中有0.5%患此病,即P(B)=0.005,则一个验血为阳性的人确患此病的概率为.5.(2020河北沧州一中高二下月考,)依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图甲所示;依据当地的地质构造,得到水位与灾害等级的条形图如图乙所示.图甲图乙(1)以此频率作为概率,试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率;(2)在8月份,该河流域某企业若没受1、2级灾害影响,则利润为500万元;若受1级灾害影响,则亏损100万元;若受2级灾害影响,则亏损1 000万元.现此企业有如下三种应对方案:方案防控等级费用(单位:万元)方案一无措施0方案二防控1级灾害40方案三防控2级灾害100试问,如仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.6.(2020山东济宁一中高三下质量检测,)某班级体育课进行一次定点投篮测试,规定每人最多投3次,每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分,在B 处每投进一球得2分,否则得0分.将学生得分逐次累加并用X 表示,如果X 的值不低于3就判定为通过测试,立即停止投篮,否则继续投篮,直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1,先在A 处投一球,以后都在B 处投;方案2,都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为14,在B 处投篮的命中率为45.(1)若甲同学选择方案1,求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望; (2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.迁移创新7.(2020江西瑞金四校高三第三次联考,)2020年新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难,面对新冠肺炎,早发现、早报告、早隔离、早诊断、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对55位居民是否患有新冠肺炎进行筛查,先到社区医务室进行咽拭子核酸检测,检测结果呈阳性者,再到医院做进一步检查,已知这55位居民随机一人其咽拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%,且每个人的咽拭子核酸检测是否呈阳性相互独立.(1)假设患新冠肺炎的概率是0.3%,且患病者咽拭子核酸检测呈阳性的概率为98%,设这55位居民中有一位的咽拭子核酸检测呈阳性,求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率;(2)假设咽拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下:将55位居民分成若干组,先取每组居民的咽拭子核酸混在一起进行检测,若结果显示阴性,则可断定本组居民没有患病,不必再检测;若结果显示阳性,则说明本组中至少有一位居民患病,需再逐个进行检测,现有两个分组方案:方案一:将55位居民分成11组,每组5人;方案二:将55位居民分成5组,每组11人.试分析哪一个方案的工作量更少.(参考数据:0.985≈0.904,0.9811≈0.801)答案全解全析 7.1~7.3综合拔高练五年高考练1.B 根据均值E(X)=∑i=14x i p i ,方差D(X)=∑i=14[x i -E(X)]2p i 以及方差与标准差的关系,得各选项对应样本的标准差如下表.选项均值E(X) 方差D(X) 标准差√D (X ) A 2.5 0.65 √0.65 B 2.5 1.85 √1.85 C 2.5 1.05 √1.05 D2.51.45√1.45由此可知选项B 对应样本的标准差最大,故选B.2.解析 (1)由题意知,样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人,仅使用B 的学生有10+14+1=25人,A,B 两种支付方式都不使用的学生有5人. 故样本中A,B 两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B 两种支付方式都使用的概率为40100=0.4.(2)X 的可能取值为0,1,2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”,事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”. 由题设知,事件C,D 相互独立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.6.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(C D∪C D)=P(C)P(D)+P(C)P(D)=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52,P(X=0)=P()=P()=0.24.所以X的分布列为X 0 1 2P 0.24 0.52 0.24故X的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2 000元”.假设样本仅使用A的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)=1C303=1 4060.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化,所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.3.解析(1)X的可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β, P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β), P(X=1)=α(1-β). 所以X 的分布列为X-11 P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1. 因此p i =0.4p i-1+0.5p i +0.1p i+1, 故0.1(p i+1-p i )=0.4(p i -p i-1), 即p i+1-p i =4(p i -p i-1). 又因为p 1-p 0=p 1≠0,所以{p i+1-p i }(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p 1的等比数列. (ii)由(i)可得p 8=p 8-p 7+p 7-p 6+…+p 1-p 0+p 0=(p 8-p 7)+(p 7-p 6)+…+(p 1-p 0)=48-13p 1.由于p 8=1,故p 1=34-1,所以p 4=(p 4-p 3)+(p 3-p 2)+(p 2-p 1)+(p 1-p 0)=44-13p 1=1257.p 4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.三年模拟练1.B 依题意P(A)=C 32+C 22C 52=410=25,P(AB)=C 22C 52=110,故P(B|A)=P (AB )P (A )=11025=14.故选B.2.B 设“从A 学校抽取的数学老师是男老师”为事件M,“从B 学校抽取的数学老师是男老师”为事件N,则由题意可知P(M)=915=35,P(N|M)=3+110+1=411,则两次都抽到男老师的概率P(MN)=P(M)P(N|M)=35×411=1255. 故选B. 3.答案 4解析 ∵E(X)=-1×12+0×13+1×16=-13,Y=aX+3,∴E(Y)=aE(X)+3=53,即-13a+3=53,解得a=4.4.答案19218解析 P(B|A) =P (B )P (A |B )+P (B )P (A |B )=0.005×0.950.005×0.95+0.995×0.05=19218.5.解析 (1)依据题图甲,记该河流8月份“水位小于40米”为事件A 1,“水位在40米至50米之间”为事件A 2,“水位大于50米”为事件A 3, 则P(A 1)=(0.02+0.05+0.06)×5=0.65, P(A 2)=(0.04+0.02)×5=0.30, P(A 3)=0.01×5=0.05.记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件B 1,“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件B 2,“水位大于50米且发生1级灾害”为事件B 3, 则P(B 1)=0.10,P(B 2)=0.20,P(B 3)=0.60. 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件B,则P(B)=P(A 1B 1)+P(A 2B 2)+P(A 3B 3)=P(A 1)P(B 1)+P(A 2)P(B 2)+P(A 3)P(B 3) =0.65×0.10+0.30×0.20+0.05×0.60=0.155.故估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155.(2)以企业利润为随机变量,若选择方案一,则利润X1的可能取值为500,-100,-1 000,由(1)知P(X1=500)=0.65×0.90+0.30×0.75+0.05×0=0.81,P(X1=-100)=0.155,P(X1=-1 000)=0.65×0+0.30×0.05+0.05×0.40=0.035.故X1的分布列为X1500 -100 -1 000P 0.81 0.155 0.035则该企业在8月份的利润期望E(X1)=500×0.81+(-100)×0.155+(-1000)×0.035=354.5.若选择方案二,则利润X2的可能取值为460,-1 040,由(1)知,P(X2=460)=0.81+0.155=0.965,P(X2=-1 040)=0.035.故X2的分布列为X2460 -1 040P 0.965 0.035则该企业在8月份的利润期望E(X2)=460×0.965+(-1 040)×0.035=407.5.若选择方案三,则该企业在8月份的利润期望E(X3)=500-100=400.因为E(X2)>E(X3)>E(X1),所以该企业应选择方案二.6.解析(1)设甲同学在A处投中为事件A,在B处第i次投中为事件B i(i=1,2),则P(A)=14,P(B i )=45.X 的可能取值为0,2,3,4,P(X=0)=P(AB 1B 2)=P(A )P(B 1)·P(B 2)=34×15×15=3100,P(X=2)=P(A B 1B 2)+P(AB 1B 2)=34×45×15+34×15×45=625, P(X=3)=P(A)=14,P(X=4)=P(B 1B 2)=34×45×45=1225,故X 的分布列为X 0 2 3 4 P3100 625 141225X 的数学期望E(X)=0×3100+2×625+3×14+4×1225=315100=3.15.(2)设甲同学选择方案1通过测试的概率为P 1,选择方案2通过测试的概率为P 2, 则由(1)得P 1=P(X=3)+P(X=4)=14+1225=73100=0.73,P 2=45×45+15×45×45+45×15×45=112125=0.896,∵P 2>P 1,∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.7.解析 (1)设事件A 为 “咽拭子核酸检测呈阳性”,事件B 为“患新冠肺炎”. 由题意可得P(A)=0.02,P(B)=0.003, P(A|B)=0.98, 由概率的乘法公式,得P(AB)=P(B)P(A|B)=0.003×0.98, 所以P(B|A)=P (AB )P (A )=0.003×0.980.02=0.147.故咽拭子核酸检测呈阳性的居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为14.7%.(2)设方案一中每组的检测次数为X,则X的可能取值为1,6,P(X=1)=(1-0.02)5=0.985≈0.904,P(X=6)=1-0.985≈0.096,所以X的分布列为X 1 6P 0.904 0.096所以E(X)=1×0.904+6×0.096=1.48,即方案一检测的总次数的期望为11×1.48=16.28.设方案二中每组的检测次数为Y,则Y的可能取值为1,12,P(Y=1)=(1-0.02)11=0.9811≈0.801,P(Y=12)=1-0.9811≈0.199,所以Y的分布列为Y 1 12P 0.801 0.199所以E(Y)=1×0.801+12×0.199=3.189.即方案二检测的总次数的期望为5×3.189=15.945.因为16.28>15.945,所以方案二的工作量更少.。

条件概率与全概率公式-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练(解析版)

专题30 条件概率与全概率公式一、单选题1．（2020·河南南阳高二二模（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在下雨条件下吹东风的概率为（）A．25B．89C．811D．911【答案】C【解析】分析：在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率÷下雨的概率详解：在下雨条件下吹东风的概率为8830=111130，选C2．（2020·安徽省六安中学高二期中（理））根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为45，连续2天有客人入住的概率为35,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（）A．13B．12C．35D．34【答案】D 【解析】设第二天也有客人入住的概率为P，根据题意有43=55P⋅，解得34P=，故选D.3．（2020·河南开封高三二模（理））已知正方形ABCD，其内切圆I与各边分别切于点E，F，G、H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则()P B A=（）A．2πB．21π-C．12D．π142-【答案】B 【解析】由题意，设正方形ABCD 的边长为2a ，则圆I 的半径为r a =，面积为2a π；正方形EFGH 2a ，面积为22a ；∴所求的概率为22222(|)1a a P B A a πππ-==-．故选：B ．4．（2020·河南高二期末（理））把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则()P B A =（） A ．12B ．14C ．16D ．18【答案】A 【解析】“第一次出现正面”：2(1)P A =, “两次出现正面”: 111()=224P AB =⨯,则()1()14|==1()22P AB P B A P A =故选A5．（2020·陕西临渭高二期末（文））已知()1P B|A 2=，()35P A =，()P AB 等于（） A ．56B ．910C ．310D ．110【答案】C 【解析】根据条件概率的定义和计算公式：()()0(|),()P AB P A P B A P A >=当时，把公式进行变形，就得到()0()(|)()P A P AB P B A P A >=当时，，故选C.6．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二期末（理））从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（） A ．38B ．1340C ．1345D ．34【答案】B 【解析】由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯ 由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B7．（2020·西夏宁夏大学附属中学高二月考（理））将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”，B =“至少出现一个6点”，则概率()|P A B 等于（）A ．1011B ．511C ．518D ．536【答案】A 【解析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=10118．（2020·广东东莞高二期末）一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件A 为“第一次取出白球”，事件B 为“第二次取出黑球”，则概率()P B A =（） A ．56B ．35C ．12D ．25【答案】B 【解析】设事件A 为“第一次取出白球”，事件B 为“第二次取出黑球”，()()31333==，==626510P A P AB ⨯，第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：()()3()5P AB P B A P A ==.故选：B.二、多选题9．（2020·大名中学高二月考）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（） A ．()()()P A P B P C == B ．()()()P BC P AC P AB == C ．1()8P ABC = D ．1()()()8P A P B P C ⋅⋅=【答案】ABD 【解析】由已知22221()44442P A =⨯+⨯=，21()()42P B P C ===，由已知有1()()()4P AB P A P B ==，1()4P AC =，1()4P BC =，所以()()()P A P B P C ==，则A 正确；()()()P BC P AC P AB ==，则B 正确；事件A 、B 、C 不相互独立，故1()8P ABC =错误，即C 错误 1()()()8P A P B P C ⋅⋅=，则D 正确；综上可知正确的为ABD. 故选:ABD ．10.（2020·江苏海安高级中学高二期中）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（） A ．2()5P B =B ．15()11P B A =C ．事件B 与事件1A 相互独立D ．1A 、2A 、3A 两两互斥【答案】BD 【解析】因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确；因为()()()123523,,101010p A p A p A ===，所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确；同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======，所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故AC 错误；故选：BD11．（2020·江苏海安高级中学高一期中）以下对各事件发生的概率判断正确的是（） A ．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为13B ．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115C ．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是536D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12【答案】BCD 【解析】A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现一正一反的概率2142P ==，故A 不正确；B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13，共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含()3,11，则概率为261115P C ==，故B 正确； C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1，共5种，所以点数之和为6的概率536P =，故C 正确； D.由题意可知取出的产品全是正品的概率232412C P C ==，故D 正确.12．（2020·山东昌乐二中高二月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为80243；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627. 则其中正确命题的序号是（） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】ABD 【解析】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，①从中任取3球，恰有一个白球的概率是21423635C C p C ==故正确； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为2163p ==，则恰好有两次白球的概率为4226218033243p C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确； ③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为1143114535C C C C =，故错误； ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为4263p ==：则至少有一次取到红球的概率为3031261327p C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故正确.故选：ABD. 三、填空题13．（2020·全国高三课时练习（理））一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________. 【答案】35【解析】()()235(|)253P AB P B A P A ===故答案为：3514．（2020·邢台市第二中学高二期末）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．【答案】14【解析】设事件A ：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B ：“学生丙第一个出场”，对事件A ，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一个给甲，再将余下的4个人全排列有1444C A ⋅种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有2444A A ⋅种，故总的有()14244444n A C A A A =⋅+⋅.对事件AB ，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有1444C A ⋅种故()()()14441424444414n AB C A P B A n A C A A A ⋅===⋅+⋅. 故答案为：1415．（2020·湖南天心长郡中学高三其他（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是___________． ①()25P B =；②()1511P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件【答案】②④ 【解析】因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故④正确；因为()()()123523,,101010P A P A P A ===，所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故②正确；同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======，所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故①③错误. 故答案为：②④16．（2018·全国高二课时练习）某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()P B A ＝_______， ()P A B ＝__________【答案】3438【解析】由已知()415P A =，()215P B =，()110P AB =， ∴ ()()()3|8P AB P B A P A ==，()()()3|4P AB P A B P B == 故答案为34，38求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝n AB n A （）（），其中n(AB)表示事件AB 包含的基本事件个数，n(A)表示事件A 包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P(B|A)＝p AB p A （）（），特别要注意P(AB)的求法．四、解答题17．（2020·甘肃省静宁县第一中学高二月考（理））有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求：（1）第一次抽到次品的概率；（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率. 【答案】（1）14；（2）119；（3）419.【解析】（1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽一件，有20中可能，所以概率为两者相除．（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能，第一次和第二次都抽到次品有5×4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下的19件中任抽一件，所以有20×19种可能，再令两者相除即可．（3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为41918．（2020·阜新市第二高级中学高二月考）甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少【答案】（1）0.67（2）0.60 【解析】（1）设A = “甲地为雨天”， B = “乙地为雨天”，则根据题意有()0.20P A =，()0.18P B =，()0.12P AB =.所以乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是()()0.12|0.67()0.18P AB P A B P B ==≈. （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是()()0.12|0.60()0.20P AB P B A P A ===.19．（2020·山东平邑高二期中）已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个. （1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 【答案】（1）19（2）35【解析】（1）两次都取得白球的概率221669P =⨯=；（2）记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球，则452()653P A ⨯==⨯， 432()655P AB ⨯==⨯，利用条件概率的计算公式，可得()233(|)()525P AB P B A P A ==⨯=.20．（2019·攀枝花市第十五中学校高二期中（理））先后抛掷一枚骰子两次，将出现的点数分别记为,a b . （1）设向量(,)m a b =，(2,1)n =-，求1m n ⋅=的概率；（2）求在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2的概率. 【答案】（1）112；（2）12【解析】先后抛掷一枚骰子两次，“将出现的点数分别记为,a b ”包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)， (1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个. （1）记“向量(,)m a b =，(2,1)n =-，且1m n ⋅=”为事件A ，由1m n ⋅=得：21a b -=，从而事件B 包含(1,1),(2,3),(3,5)共3个基本事件，故31()3612P A ==. （2）设“点数,a b 之和不大于5”为事件B ，包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件；设“,a b 中至少有一个为2”为事件C ，包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件，故“在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2” 的概率：()51()102n BC P n B ===. 21．（2020·延安市第一中学高二月考（文））10张奖券中有3张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1张，甲先抽，乙后抽.求：（1）甲中奖的概率.（2）乙中奖的概率.（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.【答案】（1）310；（2）310；（3）13 【解析】（1）设“甲中奖”为事件A ，则()310P A = （2）设“乙中奖”为事件B ，则()()()()P B P AB AB P AB P AB =+=+ 又()32110915P AB =⨯=，()73710930P AB =⨯= 所以()()()179315303010P B P AB P AB =+=+== （3）因为()710P A =，()730P AB = 所以()()()7130|7310P AB P B A P A=== 22．（2020·河南南阳高二期中（文））某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.【答案】（1）13；（2）15；（3）12．【解析】（1）记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，从6名成员中挑选2名成员，有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A事件M所包含的基本事件数为AB，AC，AD，Aa，Ab共有5种，故()51 153P M==．（2）记“男生甲被选中”为事件M，“女生乙被选中”为事件N，不妨设女生乙为b，则()1 15P MN=，又由（1）知()13P M=，故()() ()15 P MNP N MP M==．（３）记“挑选的2人一男一女”为事件S，则()8 15P S=，“女生乙被选中”为事件N，()415P SN=，故()() ()12 P SNP N SP S==．。

高中数学第三章函数概念与性质单元测试卷精品练习(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一

第三章单元测试卷一、单项选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．函数f(x)＝x －1x －2的定义域为( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2) D ．[1,2)∪(2，＋∞)2．德国数学家狄利克雷在数学上做出了名垂史册的重大贡献，函数D(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉Q 1，x∈Q是以他名字命名的函数，则D(D(π))＝( )A ．1B ．0C ．πD ．－13．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x 2－2x ＋1，则f(－1)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－24．若函数y ＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1的定义域是( )A ．[－4,0]B ．[－4,0)C ．[－4，－1)∪(－1,0]D ．(－4,0)5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm －2的图象不过原点，则m 的取值X 围为( )A ．1≤m≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝16．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在R 上的解析式是( )A ．f (x )＝－x (x －2)B ．f (x )＝x (|x |－2)C ．f (x )＝|x |(x －2)D ．f (x )＝|x |(|x |－2)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，1，x >0，若f (x －4)>f (2x －3)，则实数x 的取值X 围是( )A ．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)C ．(－1,4)D ．(－∞，1)8．甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度v 1与v 2(v 1<v 2)，甲前一半的路程使用速度v 1，后一半的路程使用速度v 2；乙前一半的时间使用速度v 1，后一半的时间使用速度v 2，关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析(其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点)，则其中可能正确的图示分析为( )二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．关于函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的结论正确的是( )A ．定义域、值域分别是[－1,3]，[0，＋∞) B．单调增区间是(－∞，1] C ．定义域、值域分别是[－1,3]，[0,2] D ．单调增区间是[－1,1] 10．已知f (2x －1)＝4x 2，则下列结论正确的是( ) A ．f (3)＝9 B ．f (－3)＝4 C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝(x ＋1)211．关于定义在R 上的函数f (x )，下列命题正确的是( ) A ．若f (x )满足f (2 018)>f (2 017)，则f (x )在R 上不是减函数 B ．若f (x )满足f (－2)＝f (2)，则函数f (x )不是奇函数C ．若f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间[0，＋∞)也是减函数，则f (x )在R 上是减函数D ．若f (x )满足f (－2 018)≠f (2 018)，则函数f (x )不是偶函数12．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )满足( )A ．f (0)＝0B ．y ＝f (x )是奇函数C ．f (x )在[m ，n ]上有最大值f (n )D ．f (x －1)>0的解集为(－∞，1)三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．14．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．15．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ＋a ，则a ＝________，f (－3)＝________.(本题第一空2分，第二空3分)16．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x >1，3－2a x －1，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值X围为________．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]．(1)判断f (x )在区间[3,5]上的单调性并证明； (2)求f (x )的最大值和最小值．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x，x >1，x 2＋1，－1≤x ≤1，2x ＋3，x <－1.(1)求f (f (－2))的值； (2)若f (a )＝32，求a .19．(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }满足：(1)在区间(0，＋∞)上是增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足条件(1)(2)的幂函数f (x )的解析式，并求当x ∈[0,3]时，f (x )的值域．20．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，某某数k的取值X围．21．(本小题满分12分)如图所示，A、B两城相距100 km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气．已知D地距A城x km，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天然气站D距A城的距离为40 km时，建设费用为1300万元．(供气距离指天然气站到城市的距离)(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设费用最小，最小费用是多少？22．(本小题满分12分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又当x2>x1>0时，f(x2)>f(x1)．(1)求f(1)，f(4)，f(8)的值；(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值X围．第三章单元测试卷1．解析：根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥1且x ≠2.答案：D2．解析：∵函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∉Q 1，x ∈Q，∴D (π)＝0，D (D (π))＝D (0)＝1.故选A.答案：A3．解析：令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，令x ＝－1，得f (－1)＋g (－1)＝5，两式相加得：f (1)＋f (－1)＋g (1)＋g (－1)＝6.又∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)．∴2f (－1)＝6， ∴f (－1)＝3，故选A. 答案：A4．解析：∵y ＝f (x )的定义域是[0,2]，∴要使g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧0≤－x2≤2，x ＋1≠0，∴－4≤x ≤0且x ≠－1.∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2x ＋1的定义域为[－4，－1)∪(－1,0]．答案：C5．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －2≤0，m 2－3m ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m ＝1或m ＝2，∴m ＝1或m ＝2.答案：B6．解析：设x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝x 2－2(－x )＝x 2＋2x .故f (x )＝|x |(|x |－2)．答案：D 7.解析：f (x )的图象如图．由图知，若f (x －4)>f (2x －3)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －4<0，x －4<2x －3，解得－1<x <4.故实数x 的取值X 围是(－1,4)．答案：C8．解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v 1，所以图象是重合的线段，由此排除C ，D.再根据v 1<v 2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示A 分析正确．答案：A9．解析：f (x )＝－x 2＋2x ＋3则定义域满足：－x 2＋2x ＋3≥0解得：－1≤x ≤3 即定义域为[－1,3]考虑函数y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4在－1≤x ≤3上有最大值4，最小值0. 在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减．故f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为[－1,3]，值域为[0,2]，在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减．故选CD. 答案：CD10．解析：f (2x －1)＝(2x －1)2＋2(2x －1)＋1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1，故选项C 错误，选项D 正确；f (3)＝16，f (－3)＝4，故选项A 错误，选项B 正确．故选BD.答案：BD11．解析：由题意，对于A 中，由2 018>2 017，而f (2 018)>f (2 017)，由减函数定义可知，f (x )在R 上一定不是减函数，所以A 正确；对于B 中，若f (x )＝0，定义域关于原点对称，则f (－2)＝f (2)＝－f (2)，则函数f (x )可以是奇函数，所以B 错误；对于C 中，由分段函数的单调性的判定方法，可得选项C 不正确；对于D 中，若f (x )是偶函数，必有f (－2 018)＝f ( 2018)，所以D 正确．故选AD.答案：AD12．解析：令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，故A 正确；再令y ＝－x ，代入原式得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，故B 正确；由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )得f (x ＋y )－f (x )＝f (y )，令x 1<x 2，再令x 1＝x ＋y ，x 2＝x ，则y ＝x 1－x 2<0，结合x <0时，f (x )>0，所以f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以原函数在定义域内是减函数，所以函数f (x )在[m ，n ]上递减，故f (n )是最小值，f (m )是最大值，故C 错误；又f (x －1)>0，即f (x －1)>f (0)，结合原函数在定义域内是减函数可得，x －1<0，解得x <1，故D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：若a >0，则2a ＋2＝0，得a ＝－1，与a >0矛盾，舍去；若a ≤0，则a ＋1＋2＝0，得a ＝－3，所以实数a 的值等于－3.答案：－314．解析：由题意，S ＝(4＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x ＝1时，S 最大．答案：115．解析：由定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ＋a ，可得f (0)＝a ＝0，当x ≥0，f (x )＝x 2－2x ，则f (－3)＝－f (3)＝－(32－2×3)＝－3. 答案：0 －316．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋a －1，x >1，3－2ax －1，x ≤1显然函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a －1≥3－2a ×1－1，解得1≤a <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 17．解析：(1)函数f (x )在[3,5]上为增函数，证明如下：设x 1，x 2是[3,5]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝3x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.∵3≤x 1≤x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知函数f (x )在[3,5]单调递增，所以函数f (x )的最小值为f (x )min ＝f (3)＝2×3－13＋1＝54，函数f (x )的最大值为f (x )max ＝f (5)＝2×5－15＋1＝32.18．解析：(1)因为－2<－1，所以f (－2)＝2×(－2)＋3＝－1，所以f (f (－2))＝f (－1)＝2.(2)当a >1时，f (a )＝1＋1a ＝32，所以a ＝2>1；当－1≤a ≤1时，f (a )＝a 2＋1＝32，所以a ＝±22∈[－1,1]；当a <－1时，f (a )＝2a ＋3＝32，所以a ＝－34>－1(舍去)．综上，a ＝2或a ＝±22. 19．解析：因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，所以m ＝－1,0,1.因为对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当m ＝－1时，f (x )＝x 2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m ＝1时，f (x )＝x 0，条件(1)(2)都不满足；当m ＝0时，f (x )＝x 3，条件(1)(2)都满足．因此m ＝0，且f (x )＝x 3在区间[0,3]上是增函数，所以0≤f (x )≤27，故f (x )的值域为[0,27]． 20．解析：(1)若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x ) ＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －22＋2，x ≥0，－x ＋22＋2，x <0.(2)图象如图所示，(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 的交点情况可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．21．解析：(1)由题意知D 地距B 城(100－x )km ，则⎩⎪⎨⎪⎧100－x ≥10，x ≥10，∴10≤x ≤90.设比例系数为k ，则y ＝k [x 2＋(100－x )2](10≤x ≤90)．又x ＝40时，y ＝1 300，所以1 300＝k (402＋602)，即k ＝14，所以y ＝14[x 2＋(100－x )2]＝12(x 2－100x ＋5 000)(10≤x ≤90)．(2)由于y ＝12(x 2－100x ＋5 000)＝12(x －50)2＋1 250，所以当x ＝50时，y 有最小值为1 250万元．所以当供气站建在距A 城50 km 时，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元． 22．解析：(1)f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝1＋2＝3.(2)因为f (x )＋f (x －2)≤3，所以f [x (x －2)]≤f (8)，又因为对于函数f (x )，当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －2>0，x x －2≤8，解得2<x ≤4.故x 的取值X 围为(2,4]．。

新版高中数学人教A版必修3习题：第三章概率 3.1.2(1)

3.1.2概率的意义课时过关·能力提升一、基础巩固1.概率是指()A.事件发生的可能性大小B.事件发生的频率C.事件发生的次数D.无任何意义2.若某篮球运动员的投篮命中率为98%,则估计该运动员投篮1 000次命中的次数为()A.20B.98C.980D.9981000次命中的次数约为1000×98%=980.3.天气预报中预报某地明天降雨的概率为90%,则()A.降雨的可能性是90%B.90%太大,一定降雨C.该地有90%的区域降雨D.降雨概率为90%没有什么意义90%说明明天降雨的可能性是90%.4.已知某学校有教职工400名,从中选举40名教职工组成教职工代表大会,每名教职工当选的概率是110,则下列说法正确的是()A.10名教职工中,必有1人当选B.每名教职工当选的可能性是1 10C.数学教研组共有50人,该组当选教工代表的人数一定是5D.以上说法都不正确5.从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查,其中有1台是次品.若用C表示抽到次品这一事件,则下列说法正确的是()A.事件C发生的概率为1 10B.事件C发生的频率为1 10C.事件C发生的概率接近1 10D.每抽10台电视机,必有1台次品6.某医院治疗一种疾病的治愈率为15,若前4位病人都未治愈,则第5位病人的治愈率为()A.1B.4 5C.15D.015,表明每位病人被治愈的可能性均为15,并不是5人中必有1人治愈.故选C.7.在乒乓球、足球等比赛中,裁判员经常用掷硬币或抽签法决定谁先发球,这种方法.(填“公平”或“不公平”),这两种方法都是公平的.因为采用掷硬币得正面、反面的概率相等;采用抽签法,抽到某一签的概率相等.8.某市运动会前夕,质检部门对这次运动会所用的某种产品进行抽检,得知其合格率为99%.若该运动会所需该产品共20 000件,则其中的不合格产品约有件.1-99%=1%,则不合格产品约有20000×1%=200(件).9.某射击教练评价一名运动员时说:“你射中的概率是90%.”则下面两个解释中能代表教练的观点的为.①该射击运动员射击了100次,恰有90次击中目标②该射击运动员射击一次,中靶的机会是90%90%说明中靶的可能性是90%,所以①不正确,②正确.10.为了估计水库中鱼的尾数,使用以下的方法:先从水库中捕出2 000尾鱼,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕出500尾,查看其中有记号的鱼,有40尾.试根据上述数据,估计水库中鱼的尾数.n(n∈N*),每尾鱼被捕到的可能性相等,给2000尾鱼做上记号后,从水库中任捕一尾鱼,带记号的概率为2000n.又从水库中捕500尾鱼,有40尾带记号,于是带记号的频率为40500.则有2000n≈40500,解得n≈25000.所以估计水库中有25000尾鱼.二、能力提升1.在给病人动手术之前,外科医生会告知病人或家属一些情况,其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%.下列解释正确的是()A.100个手术有99个手术成功,有1个手术失败B.这个手术一定成功C.99%的医生能做这个手术,另外1%的医生不能做这个手术D.这个手术成功的可能性是99%99%,说明手术成功的可能性是99%.2.根据山东省教育研究机构的统计资料,今在校学生近视率约为37.4%.某眼镜商要到一中学给学生配眼镜,若已知该校学生总数为600人,则该眼镜商应带眼镜的数目为()A.374副B.224.4副C.不少于225副D.不多于225副,该校近视生人数约为37.4%×600=224.4,结合实际情况,眼镜商应带眼镜数不少于225副.3.某套数学试题中,有12道选择题,每道选择题有4个选项,其中只有1个选项是正确的,则随机选择其中一个选项正确的概率是14.某家长说:“要是都不会做,每题都随机选择其中一个选项,则一定有3道题答对.”这句话() A.正确 B.错误C.不一定D.无法解释,答对的概率是14说明了对的可能性大小是14.做12道选择题,即进行了12次试验,每个结果都是随机的,那么答对3道题的可能性较大,但是并不一定答对3道题.也可能都选错,或有1,2,4,…,甚至12个题都选择正确.4.玲玲和倩倩下象棋,为了确定谁先走第一步,玲玲对倩倩说:“拿一个飞镖射向如图所示的靶中,若射中区域所标的数字大于3,则我先走第一步,否则你先走第一步”.你认为这个游戏规则公平吗?.(填“公平”或“不公平”),所标的数字大于3的区域有5个,而小于或等于3的区域只有3个,所以玲玲先走的概率是58,倩倩先走的概率是38.所以不公平.★5.某地区牛患某种病的概率为0.25,且每头牛患病与否是互不影响的,今研制一种新的预防药,任选12头牛做试验,结果这12头牛服用这种药后均未患病,则此药.(填“有效”或“无效”)头牛都在服药后未患病,由极大似然法,可得此药有效.6.试解释下列情况的概率的意义:(1)某商场为促进销售,实行有奖销售活动,凡购买其商品的顾客中奖率是0.20;(2)一生产厂家称:我们厂生产的产品合格率是0.98.解::(1)“中奖率是0.20”是指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%.(2)“产品的合格率是0.98”是指该厂生产的产品合格的可能性是98%.★7.某种彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个.有人统计了过去中特等奖的号码,声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多,它是一个幸运号码,人们应该买这一号码;也有人说,若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少,由于每个号码出现的机会相等,则应该买这一号码.你认为他们的说法对吗?36个号码的36个球大小、质量是一致的,严格地说,为了保证公平,每次用的36个球, ,除非能保证用过一次后,球没有磨损、变形.因此,当把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时,不难看出,以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响,他们的说法都是错误的.。

高中数学第一章算法初步1.3.3进位制练习(含解析)新人教A版必修3

高中数学第一章算法初步1.3.3进位制练习（含解析）新人教A版必修3知识点一进位制的概念1．关于进制的说法，正确的个数为( )①“几进制”的数，其基数就是几，就“满几进一”；②计算机采用的进制一般都是二进制；③各种进制的数之间可以相互转化；④任何进制的数都必须在右下角标明基数．A．2 B．3 C．4 D．1答案 B解析①②③都是正确的，④中说法不对，因为十进制数一般省略基数．2．以下给出的各数中不可能是八进制数的是( )A．312 B．10110 C．82 D．7457答案 C解析八进制数只用到数字0，1，2，…，7，不会出现数字8．知识点二不同进位制间的转化3．将数30012(4)转化为十进制数为( )A．524 B．774 C．256 D．260答案 B解析30012(4)＝3×44＋0×43＋0×42＋1×41＋2×40＝774．4．已知10b1(2)＝a02(3)，则a＋b的值为________．答案 2解析10b1(2)＝1×20＋b×21＋0×22＋1×23＝9＋2b．a02(3)＝2×30＋0×31＋a×32＝9a＋2，因为10b1(2)＝a02(3)，b∈{0，1}，a∈{0，1，2}，且9＋2b＝9a＋2，所以a＝b＝1，所以a＋b＝2．5．把下列各数转换成十进制数．(1)101101(2)；(2)2102(3)；(3)4301(6)．解(1)101101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×2＋1＝45．(2)2102(3)＝2×33＋1×32＋2＝65．(3)4301(6)＝4×63＋3×62＋1＝973．易错点对进位制转换的方法掌握不牢致错6．把十进制数48化为二进制数．易错分析由于基础知识，基本方法掌握不牢而错将结果写成11(2)．正解如下图所示，得48＝110000(2)．一、选择题1．将二进制数110101(2)转换成十进制数是( )A．105 B．54 C．53 D．29答案 C解析按照二进制数转换成十进制数的方法，可得十进制数是53．2．已知k进制数132与十进制数30相等，则k的值为( )A．－7或4 B．－7C．4 D．以上都不对答案 C解析132(k)＝1×k2＋3×k＋2＝k2＋3k＋2，所以k2＋3k＋2＝30，解得k＝4或k＝－7(舍去)，所以k＝4．3．如图是把二进制的数11111(2)化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A．i≤4? B．i≤5? C．i＞4? D．i＞5?答案 A解析11111(2)＝1×20＋1×21＋1×22＋1×23＋1×24＝2×(2×(2×(2×1＋1)＋1)＋1)＋1．(秦九韶算法)11111(2)＝31＝2×15＋1＝2×(2×7＋1)＋1＝2×(2×(2×3＋1)＋1)＋1＝2×(2×(2×(2×1＋1)＋1)＋1)＋1．故选A．4．下列各数中最小的数是( )A．101010(2) B．210(8)C．1001(16) D．81答案 A解析101010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42，210(8)＝2×82＋1×81＋0×80＝136，1001(16)＝1×163＋0×162＋0×16＋1×160＝4097，故选A．5．计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，与十进制的对应关系如下表：例如用十六进制表示D＋E＝1B，则(2×F＋1)×4＝( )A．6E B．7C C．5F D．B0答案B解析(2×F＋1)×4用十进制可以表示为(2×15＋1)×4＝124，而124＝16×7＋12，所以用十六进制表示为7C，故选B．二、填空题6．若六进制数13m502(6)化为十进制数为12710，则m＝________．答案 4解析根据将k 进制数转化为十进制数的方法有13m502(6)＝1×65＋3×64＋m×63＋5×62＋0×61＋2＝12710，解得m ＝4．7．(1)三位四进制数中的最大数等于十进制数的是________；(2)把389化为四进制数，则该数的末位是________．答案 (1)63 (2)1解析 (1)本题主要考查算法案例中进位制的原理．三位四进制数中的最大数为333(4)，则333(4)＝3×42＋3×41＋3＝63．(2)解法一：由389＝4×97＋1，97＝4×24＋1，24＝4×6＋0，6＝4×1＋2，1＝4×0＋1，389化为四进制数的末位是第一个除法代数式中的余数1．解法二：以4作为除数，相应的除法算式如图所示，所以389＝12011(4)．显然该数的末位是1．8．已知三个数12(16)，25(7)，33(4)，则它们按由小到大的顺序排列为________．答案 33(4)<12(16)<25(7)解析将三个数都化为十进制数，则12(16)＝1×16＋2＝18，25(7)＝2×7＋5＝19，33(4)＝3×4＋3＝15，∴33(4)<12(16)<25(7)．三、解答题9．若二进制数100y011(2)(y ＝0或1)和八进制数x03(8)(0≤x≤8，x ∈N )相等，求x ＋y 的值．解 ∵100y 011(2)＝1×26＋y ×23＋1×21＋1＝67＋8y ，x 03(8)＝x ×82＋3＝64x ＋3，∴8y ＋67＝64x ＋3， y 可取0或1，x 可取1，2，3，4，5，6，7，当y ＝0时，x ＝1；当y ＝1时，64x ＋3＝75，x ＝98，不符合题意，∴x ＋y ＝1． 10．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上点火向境内报告，如下图所示，烽火台上点火表示数字1，未点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制数的单位是1000，请你计算一下，这组烽火台表示有多少敌人入侵？解由题图可知这组烽火台表示的二进制数为11011(2)，它表示的十进制数为1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝27，由于二进制数对应的十进制数的单位是1000，所以入侵的敌人的数目为27×1000＝27000．。

06-专项拓展训练1 二次函数的最值问题高中数学必修一人教A版

2
类型2 动轴定区间
4.已知函数 = 2 − 2 + 1在[2,5]上单调，且的最大值为8，则实
9
数的值为__.
5
【解析】 = 2 − 2 + 1 = − 2 + 1 − 2 ,函数的图象开口
向上,对称轴为直线 = .因为在[2,5]上单调,所以 ≤ 2或 ≥ 5.当
与 ≥
9
5矛盾,故舍去.综上,实数的值为 .
5
3
,
4
【归纳总结】解决动轴定区间的二次函数最值问题时,可以让轴沿轴正方
向移动,分析移动到不同位置时对函数最值有什么影响.
5.[2024重庆八中期中]已知函数 = − 2 + 2 + .当 ∈ [−1,1]时，
设的最大值为，求的最小值.
所给区间内.
1
即
4
+2
2
−
1
2
+
+2 +
1
4
= −5,
化简得2 + 2 − 7 = 0,解得 = −1 + 2 2或 = −1 − 2 2（舍去）.
综上,存在实数，使得函数 = − 在区间[, + 2]上有最小
值−5，此时 = −3或 = −1 + 2 2.
9.已知函数 = 2 − 2 + 5 > 1 .
3.（多选）已知函数 = 2 − 2 + 4,则( BCD
A. 在区间[−1,0]上的最小值为1
B. 在区间[−1,2]上的最小值为3，最大值为7
C. 在区间[2,3]上的最小值为4，最大值为7
D. 在区间 2, +∞ 上无最值

人教A版高中数学必修第二册强化练习题 7.1.1数系的扩充和复数的概念(含答案)

人教A 版高中数学必修第二册第七章　复数7.1　复数的概念7.1.1　数系的扩充和复数的概念基础过关练题组一　复数的概念1.(2024湖南常德津市第一中学月考)复数1-5i 的虚部是( )A.5B.-5C.5iD.-5i2.(2023湖南株洲期中)已知复数x+y+(2-x)i 的实部和虚部分别为3和 4,则实数x 和y 的值分别是( )A.2,-4B.2,5C.-2,4D.-2,53.下列命题中,正确的个数是( )①-1没有平方根;②复数5i-1的虚部是5i;③复数2i 没有实部;④i 表示虚数单位,所以它不是一个复数;⑤若x,y ∈C,且x 2+y 2=0,则x=y=0.A.0B.1C.3D.5题组二　复数的分类4.(2024重庆部分学校月考)若复数a 2-a-2+(|a-1|-1)i(a ∈R)是纯虚数,则( )A.a=-1B.a≠-1且a≠2C.a≠-1D.a≠25.(2023河北唐山月考)设集合A={实数},B={纯虚数},C={复数},则下列结论正确的是( )A.A ∪B=CB.A=BC.A∩(∁C B)=⌀D.(∁C A)∪(∁C B)=C6.(多选题)(2024江苏泰州兴化期中)对于复数z=a+bi(a,b ∈R),下列说法中错误的是( )A.若a=0,则a+bi 为纯虚数B.若z=3-2i,则a=3,b=2C.若b=0,则a+bi 为实数D.若a=b=0,则z 不是复数7.已知z 1=-4a+1+(2a 2+3a)i,z 2=2a+(a 2+a)i,其中a ∈R,若z 1>z 2,则a=( )A.0B.-1C.-32D.168.(教材习题改编)已知复数z=x 2-x-6x +3+(x 2-2x-15)i,则实数x 取什么值时,z 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?题组三　复数相等的充要条件及其应用9.(2024河南驻马店联考)已知复数z1=2-ai,z2=b-1+2i(a,b∈R,i为虚数单位),且z1=z2,则( )A位答案与分层梯度式解析第七章　复数7.1　复数的概念7.1.1　数系的扩充和复数的概念基础过关练1.B2.D3.A4.A5.D6.ABD7.A9.D10.D1.B　2.D　由复数x+y+(2-x)i的实部和虚部分别为3和4,x,y∈R,可得x+y=3,2−x=4,解得x=−2, y=5.故选D.3.A　i2=-1,所以-1的平方根为±i,①错误;5i-1的虚部为5,②错误;2i的实部为0,③错误;④显然错误;当x=i,y=1时,x2+y2=i2+12=0,但x,y都不为0,⑤错误.4.A　由题意得a2-a-2=0,且|a-1|-1≠0,解得a=-1.5.D　集合A,B,C的关系如下图,由图可知,只有(∁C A)∪(∁C B)=C正确.故选D.6.ABD　对于A,当且仅当a=0,b≠0时,a+bi为纯虚数,故A中说法错误;对于B,若z=3-2i,则a=3,b=-2,故B中说法错误;对于C,若b=0,则a+bi为实数,故C中说法正确;对于D,若a=b=0,则z=0,是复数,故D中说法错误.故选ABD.7.A　由z1>z2知z1,z2是实数,则2a2+3a=0,a2+a=0,-4a+1>2a,解得a=0.8.解析　(1)当x满足x 2-2x-15=0,x+3≠0,即x=5时,z是实数.(2)当x满足x 2-2x-15≠0,x+3≠0,即x≠-3且x≠5时,z是虚数.(3)当x =0,≠0,即x=-2或x=3时,z是纯虚数.9.D　因为z1=z2,所以2-ai=b-1+2i(a,b∈R),所以2=b-1,-a=2,解得a=−2,b=3.故选D.10.D　因为2+ai=b-i,a,b∈R,所以a=-1,b=2,故复数z=a+bi=-1+2i,其虚部为2,故选D.11.答案　1解析　由A⊆B,得2m+(m-1)i=-2i①或2m+(m-1)i=2②,易知①无解,由②可得m=1.故m=1.12.答案　-2;[2,6]解析　若z1为纯虚数,则4−m2=0,m-2≠0,解得m=-2.若z1=z2,则4−m2=λ+2sinθ, m-2=cosθ-2,∴λ=4-cos2θ-2sinθ=sin2θ-2sinθ+3=(sinθ-1)2+2.∵-1≤sinθ≤1,∴当sin θ=1时,λmin=2,当sin θ=-1时,λmax=6,∴实数λ的取值范围为[2,6].。

2022版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式专题强化练1利用基本不等式求最值新人教A版必修第一册

专题强化练1 利用基本不等式求最值一、选择题1.(2020山东聊城文苑中学高二月考,)将一根铁丝切割成三段,做一个面积为2m 2,形状为直角三角形的框架,在下列4种长度的铁丝中,选用最合适(够用且浪费最少)的是 ( )A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m2.()若正数a ,b 满足1a +1a=1,则1a -1+4a -1的最小值为 ( )A.3B.4C.5D.6 3.()设a >b >0,则a 2+1aa +1a (a -a )的最小值是( )A.1B.2C.3D.44.(2020陕西吴起高中高二期末,)设x ,y 都是正数,且xy -(x +y )=1,则 ( )A.x +y ≥2(√2+1)B.xy ≤√2+1C.x +y ≤(√2+1)2D.xy ≥2(√2+1) 5.(2021江苏苏州新草桥中学高二月考,)正数a ,b 满足9a +b =ab ,若不等式a +b ≥-x 2+2x +18-m 对任意实数x恒成立,则实数m 的取值范围是 ( ) A.m ≥3 B.m <3 C.m <6 D.m ≥66.(2021山东新高考联盟高一联考,)已知1<m <43,则2a -1+34-3a 的最小值是( )A.3√2+9B.√3+6C.6√2+9D.12 7.()已知x >0,y >0,2x -1a =8a -y ,则2x +y 的最小值为 ( ) A.√2B.2√2C.3√2D.48.(2019广东茂名化州高三第一次模拟,)若正数x ,y 满足x +3y =5xy ,当3x +4y 取得最小值时,x +2y 的值为( )A.245 B.2C.285 D.59.(多选)(2020山东莒县第一中学高一月考,)已知x +y =1,y >0,x ≠0,则12|a |+|a |a +1的值可能是 ( )A.12 B.14 C.34 D.54 二、填空题10.(2021山东济宁兖州高一上期中,)已知a >b >0,且ab =4,则a 2+a 2a -a 的最小值为.11.(2021湖南长沙长郡中学高二上入学考试,)已知a ,b 为正实数,且a +b +ab =3,则2a +b 的最小值为 .12.(2020浙江浙南名校联盟高一期末,)若实数a >1,b >2,且满足2a +b -6=0,则1a -1+2a -2的最小值为 .三、解答题13.(2021安徽安庆一中高一上期中,)已知实数x >0,y >0,且2xy =x +y +a (x 2+y 2)(a ∈R).(1)当a =0时,求x +4y 的最小值,并指出取最小值时x ,y 的值; (2)当a =12时,求x +y 的最小值,并指出取最小值时x ,y 的值. 14.()(1)设a >b >c ,且1a -a +1a -a ≥aa -a 恒成立,求m 的取值范围;(2)记F =x +y -a (x +2√2aa ),x >0,y >0,若对任意的x >0,y >0,恒有F ≥0,请求出a 的取值范围.答案全解全析一、选择题1.C 设直角三角形的框架的两条直角边长分别为x m,y m(x >0,y >0),则xy =4,设三角形框架的周长为C ,则C =x +y +√a 2+a 2=x +y +√(a +a )2-8,∵x +y ≥2√aa =4,∴C =x +y +√a 2+a 2≥4+2√2≈6.83,当且仅当x =y =2时,等号成立,故用7m 长的铁丝最合适.故选C .2.B ∵a >0,b >0,1a +1a =1,∴a >1,b >1,a +b =ab , ∴1a -1>0,4a -1>0,∴1a -1+4a -1≥2√4(a -1)(a -1)=2√4aa -(a +a )+1=4, 当且仅当1a -1=4a -1,即a =32,b =3时,等号成立.故选B .3. D ∵a >b >0,∴a -b >0,∴a 2+1aa +1a (a -a )=a 2-ab +ab +1aa +1a (a -a )=a (a -b )+1a (a -a )+ab +1aa ≥2√a (a -a )·1a (a -a )+2√aa ·1aa=4,当且仅当a (a -b )=1a (a -a )且ab =1aa,即a =2b =√2时,等号成立.故选D .4.A ∵x >0,y >0,且xy -(x +y )=1,∴xy =1+(x +y )≥1+2√aa (当且仅当x =y =1+√2时,等号成立), 即(√aa )2-2√aa -1≥0, 解得√aa ≥1+√2, 即xy ≥(1+√2)2.xy =1+(x +y )≤(a +a )24(当且仅当x =y =1+√2时,等号成立),即(x +y )2-4(x +y )-4≥0, 解得x +y ≥2(√2+1).故选A .5.A 因为9a +b =ab ,所以1a +9a =1,且a ,b 均为正数,所以a +b =(a +b )(1a +9a )=10+a a +9a a ≥10+2√a a ·9aa=16,当且仅当a a =9aa ,即a =4,b =12时取等号,所以(a +b )min =16, 若不等式a +b ≥-x 2+2x +18-m 对任意实数x 恒成立, 则16≥-x 2+2x +18-m 对任意实数x 恒成立,即m ≥-x 2+2x +2对任意实数x 恒成立,因为-x 2+2x +2=-(x -1)2+3≤3,所以m ≥3,故选A . 6.C ∵1<m <43,∴m -1>0,4-3m >0,∴2a -1+34-3a =(63a -3+34-3a )[(3m -3)+(4-3m )]=9+6(4-3a )3a -3+3(3a -3)4-3a≥9+6√2,当且仅当6(4-3a )3a -3=3(3a -3)4-3a,且1<m <43,即m =5-√23时取等号.故选C .7.C 2x -1a =8a -y ⇒2x +y =1a +8a ,要求2x +y 的最小值可以先求(2x +y )2的最小值.(2x +y )2=(2x +y )(2x +y )=(2x +y )·(1a +8a )=2+16a a+aa+8=10+16a a+aa≥2√16aa·a a +10=18当且仅当16a a=aa ,即y =4x =2√2时等号成立,则2x +y ≥√18=3√2.8.B ∵x +3y =5xy ,x >0,y >0, ∴15a +35a=1,∴3x +4y =(3x +4y )(15a+35a)=135+3a 5a +12a 5a ≥135+2√3a 5a ·12a 5a=5,当且仅当3a 5a =12a 5a,即x =2y =1时等号成立,此时x +2y =2.故选B.9.CD 由x +y =1,y >0,x ≠0,得y =1-x >0,则x <1且x ≠0. 当0<x <1时,12|a |+|a |a +1=12a +a2-a =a +2-a 4a +a 2-a =14+2-a 4a +a 2-a ≥14+2√2-a 4a ·a 2-a =54, 当且仅当2-a4a =a 2-a ,即x =23时取等号. 当x <0时,12|a |+|a |a +1=1-2a +-a 2-a =2-a +a -4a+-a2-a =-14+2-a -4a +-a 2-a ≥-14+2√2-a -4a ·-a 2-a =34,当且仅当2-a -4a =-a2-a ,即x =-2时取等号. 综上,12|a |+|a |a +1≥34.故选CD . 二、填空题 10.答案 4√2解析 ∵a >b >0,∴a -b >0,又ab =4,∴a 2+a 2a -a =(a -a )2+2aa a -a =a -b +2aa a -a =a -b +8a -a ≥2√(a -a )·8a -a =4√2, 即a 2+a 2a -a ≥4√2,当且仅当a -b =8a -a ,即a =√6+√2,b =√6-√2时取等号.故答案为4√2.11.答案 4√2-3解析由a +b +ab =3可得(a +1)(b +1)=4,则2a +b =2(a +1)+(b +1)-3≥2√2(a +1)(a +1)-3=4√2-3, 当且仅当{(a +1)(a +1)=4,2(a +1)=a +1,即{a =√2-1,a =2√2-1时等号成立.故答案为4√2-3. 12.答案 4解析 ∵a >1,b >2,且满足2a +b -6=0, ∴2(a -1)+b -2=2,a -1>0,b -2>0,则1a -1+2a -2=(1a -1+2a -2)[2(a -1)+b -2]×12=12[4+a -2a -1+4(a -1)a -2]≥12[4+2√a -2a -1·4(a -1)a -2] =12×(4+4)=4, 当且仅当a -2a -1=4(a -1)a -2,且2a +b -6=0,即a =32,b =3时,等号成立,则1a -1+2a -2的最小值为4.故答案为4. 三、解答题13.解析 (1)当a =0时,2xy =x +y ,∴1a +1a =2,∴x +4y =(x +4y )(1a +1a )×12=12×(5+4a a+a a )≥125+2√4a a ·a a =92,当且仅当4a a =aa 且1a +1a =2,即y =34,x =32时取等号, 故x +4y 的最小值为92,此时x =32,y =34.(2)当a =12时,2xy =x +y +12(x 2+y 2)=x +y +12(x +y )2-xy , ∴3xy =x +y +12(x +y )2≤3(a +a 2)2,解得x +y ≥4,当且仅当x =y 且2xy =x +y +12(x 2+y 2),即x =y =2时取等号, 故x +y 的最小值为4,此时x =2,y =2.14.解析 (1)由a >b >c ,知a -b >0,b -c >0,a -c >0, 所以原不等式等价于a -a a -a +a -aa -a ≥m.要使原不等式恒成立,只需a -a a -a +a -aa -a 的最小值不小于m 即可.因为a -a a -a +a -a a -a =(a -a )+(a -a )a -a +(a -a )+(a -a )a -a =2+a -a a -a +a -aa -a≥2+2√a -a a -a ·a -aa -a =4, 当且仅当a -a a -a =a -aa -a ,即2b =a +c 时,等号成立, 所以m ≤4.(2)由F ≥0,得x +y ≥a (x +2√2aa ). 因为x >0,y >0,所以a ≤a +2√2aa恒成立, 所以a 小于或等于a +2√2aa的最小值.又a +2√2aa ≥a +a a +(a +2a )=12,当且仅当x =2y 时,等号成立,所以a ≤12.。

人教A版高中数学必修3一课一练全册汇编含答案

人教A版高中数学必修3《一课一练》全册汇编含答案目录《1.1 算法与程序框图》一课一练1《1.1 算法与程序框图》一课一练2《1.2 基本算法语句》一课一练1《1.2 基本算法语句》一课一练2《1.3 算法案例》一课一练1《1.3 算法案例》一课一练2《2.1 随机抽样》一课一练1《2.1 随机抽样》一课一练2《2.2 用样本估计总体》一课一练1《2.2 用样本估计总体》一课一练2《2.3 变量间的相关关系》一课一练1《2.3 变量间的相关关系》一课一练2《3.1 随机事件的概率》一课一练1《3.1 随机事件的概率》一课一练2《3.2 古典概型》一课一练1《3.2 古典概型》一课一练2《3.3 几何概型》一课一练1《3.3 几何概型》一课一练21.1 算法与程序框图一、选择题1、在程序框图中，算法中间要处理的数据或者计算，可分别写在不同的( ) A 、处理框内 B 、判断框内 C 、输入输出框内 D 、循环框内2、在程序框图中，一个算法的步骤到另一个算法的步骤地联结用( ) A 、连接点 B 、判断框 C 、流程线 D 、处理框3、在画程序框图时，如果一个框图要分开画，要在断开出画上（） A 、流程线 B 、注释框 C 、判断框 D 、连接点4、下图给出的是计算0101614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A 、i>100B 、i<＝100C 、i>50D 、i<＝50二、填空题5、在程序框图中，图形符号的名称是___________表示的意义____________第4题6、在程序框图中，图形符号的名称是___________表示的意义____________7、在画程序框图时，框图一般按_________、________的方向画。

8、求a 、b 、c 中最大值的算法最多要有___________次赋值过程，才能输出最大值。

三、解答题9、设y 为年份，按照历法的规定，如果y 为闰年，那么或者y 能被4整除不能被100整除，或者y 能被400整除。

高中数学专题1.11 古典概型练习(含解析)新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学试题

古典概型1．下列试验中，属于古典概型的是( )A ．种下一粒种子，观察它是否发芽B ．从规格直径为250 mm ±0．6 mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC ．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面D ．某人射击中靶或不中靶【答案】 C【解析】依据古典概型的特点判断，只有C 项满足：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相同．2．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( )A.38B.23C.13D.143．四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．25【答案】A 【解析】从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的基本事件只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P ＝14． 4．集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A 、B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B.12 C.13 D.165．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．6、现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2．5，2．6，2．7，2．8，2．9．若从中一次抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0．3 m的概率为________．答案1 5解析基本事件共有(2．5，2．6)，(2．5，2．7)，(2．5，2．8)，(2．5，2．9)，(2．6，2．7)，(2．6，2．8)，(2．6，2．9)，(2．7，2．8)，(2．7，2．9)，(2．8，2．9)10种情况．相差0．3 m的共有(2．5，2．8)，(2．6，2．9)两种情况，所以P＝210＝1 5．7．有100X卡片(从1号到100号)，从中任取1X，取到的卡号是7的倍数的概率为________．8．在不大于100的自然数中任取一个数．(1)求所取的数为偶数的概率；(2)求所取的数是3的倍数的概率；(3)求所取的数是被3除余1的数的概率．。

高中数学(人教A版)必修3能力强化提升及单元测试3-1-3

一个奇数和一个偶数，故选 C.
答案 C
4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为
0.03，出现丙级品的概率为 0.01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为________．
解析记事件 A＝{甲级品}，B＝{乙级品}，C＝{丙级品}，事件 A、B、C 彼此互斥，
且 A 与(B∪C)是对立事件，所以 P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝
3．从 1,2,3，…，9 中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇
数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一
个偶数．
在上述事件中，是对立事件的是
( )．
A．①
B．②④
C．③
D．①③
解析从 1～9 中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)
45
5
＝1－＝ .故至少有一个 5 点或 6 点的概率为 .
99
9
5 答案
9
6．经统计某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下：
排队人数 0 1
2
3
4 5 人及 5 人以上
概率
t 0.3 0.16 0.3 0.1
0.04
(1)t 是多少？
(2)至少 3 人排队等候的概率是多少？
解 (1)∵t＋0.3＋0.16＋0.3＋0.1＋0.04＝1，∴t＝0.1.
解析用 Venn 图解决此类问题较为直观，如右图所示，A∪B是
必然事件，故选 B. 答案 B 9．某战士射击一次中靶的概率为 0.95，中靶环数大于 5 的概率为 0.75，则中靶环数大于 0 且小于 6 的概率为________．(只考虑整数环数) 解析因为某战士射击一次“中靶的环数大于 5”事件 A 与“中靶的环数大于 0 且小于 6”事件 B 是互斥事件，P(A＋B)＝0.95. ∴P(A)＋P(B)＝0.95，∴P(B)＝0.95－0.75＝0.2. 答案 0.2 10．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为 0.1，响第二声时被接的概率为 0.3，响第三声时被接的概率为 0.4，响第四声时被接的概率为 0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是________．解析记“响第 1 声时被接”为事件 A，“响第 2 声时被接”为事件 B，“响第 3 声时被接”为事件 C，“响第 4 声时被接”为事件 D.“响前 4 声内被接”为事件 E，则易知 A、B、C、D 互斥，且 E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率的加法公式得 P(E)＝P(A∪B∪C∪D) ＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D) ＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9. 答案 0.9 11．在数学考试中，小明的成绩在 90 分以上的概率是 0.18，在 80～89 分的概率是 0.51，在 70～79 分的概率是 0.15，在 60～69 分的概率是 0.09,60 分以下的概率是 0.07，计算： (1)小明在数学考试中取得 80 分以上的概率； (2)小明考试及格的概率．解分别记小明的成绩“在 90 分以上”“在 80～89 分”“在 70～79 分”“在 60～69 分”为事件 B、C、D、E，这四个事件彼此互斥． (1)小明的成绩在 80 分以上的概率是 P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69. (2)法一小明考试及格的概率是 P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E) ＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 法二小明考试不及格的概率是 0.07，所以小明考试及格的概率是 P(A)＝1－0.07＝0.93. 所以小明在数学考试中取得 80 分以上的概率是 0.69，考试及格的概率是 0.93. 12．(创新拓展)袋中有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只，从中每次任取 1 只，有放回地抽

高中数学(人教A版)必修3能力强化提升及单元测试2-2-2

名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家总共丢弃塑料袋的数量约为( )
A．900 个
B．1 080 个
C．1 260 个
D．1 800 个
1 解析 (33＋25＋28＋26＋25＋31)×45＝1 260(个)．故选 C.
6
答案 C
4．已知样本 9,10,11，x，y 的平均数是 10，标准差是 2，则 xy＝________.
频数
5
17
33
37
6
2
100
频率
0.05 0.17 0.33 0.37 0.06 0.02 1
解法一日平均睡眠时间为
1 x＝ ×(6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2)＝7.39(h)．
100
法二求组中值与对应频率之积的和 x＝6.25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝ 7.39(h)．所以，估计该校学生的日平均睡眠时间约为 7.39 h. 12．(创新拓展)随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图． (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差．
1 解析因为样本平均数x＝ (125＋124＋121＋123＋127)＝124(克)，
5
1 则样本方差 s2＝ (12＋02＋32＋12＋32)＝4(克 2)，所以 s＝2(克)．
5
答案 2
11．下表是某校学生的睡眠时间抽样的频率分布表(单位：h)，试估计该校学生的日平均睡
眠时间.
睡眠时间 [6,6.5) [6.5,7) [7,7.5) [7.5,8) [8,8.5) [8.5,9] 合计

高中数学(人教A版)必修3能力强化提升及单元测试2-1-2

是
( )
．
A．5,10,15,20,25
B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5
D．2,4,6,16,32
解析用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该是 k，k＋d，k＋2d，k＋3d，k＋4d，其
50 中 d＝＝10，k 是从 1 到 10 中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项 B 满足
5
要求，故选 B.
答案 B
9．为了了解参加知识竞赛的 1 252 名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量
为 50 的样本，那么总体中应随机剔除个体的数目是________．
解析 1 252＝25×50＋2. 答案 2 10．一个总体中有 100 个个体，随机编号为 00,01,02，…，99，依编号顺序平均分成 10 个小组，组号分别为 1,2,3，…，10.现抽取一个容量为 10 的样本，规定如果在第 1 组中随机抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m＋k 的个位数字相同．若 m＝6，则在第 7 组中抽取的号码是________．解析由题意知第 7 组中的数为“60～69”10 个数．由题意知 m＝6，k＝7，故 m＋k ＝13，其个位数字为 3，即第 7 组中抽取的号码的个位数是 3，综上知第 7 组中抽取的号码为 63. 答案 63 11．某校有 2 008 名学生，从中抽取 20 人参加体检，试用系统抽样进行具体实施．解 (1)将每个人随机编一个号由 0001 至 2008； (2)利用随机数表法找到 8 个号将这 8 名学生剔除； (3)将剩余的 2 000 名学生重新随机编号 0001 至 2000；
1 200 抽样间隔＝40；
30 确定随机数字：取一张人民币，编码的后两位数为 12；确定第一样本户：编码为 12 的户为第一样本户；确定第二样本户：12＋40＝52,52 号为第二样本户； …… (1)该村委会采用了何种抽样方法？ (2)抽样过程中存在哪些问题，并修改． (3)何处是用简单随机抽样？解 (1)系统抽样．

高中数学课后强化训练(含详解)3.3.2新人教版必修3

S4 表示随机试验次数的记数器 n 的值加 1，即 n＝ n＋ 1，如果还需要继续试验，则返回
步骤 S2，否则，程序结束．
程序结束后，飞镖投在小正方形内发生的频率
m n表示概率的近似值，全班同学一块试验，
1 看频率是否在 4附近波动，次数越多，越有可能稳定在
1 4附近．
13．已知地铁列车每 10min 一班，在车站停 1min. 用随机模拟方法估计乘客到达站台立即乘上车的概率．
S1 用计数器 n 记录做了多少次试验，用计数器 m记录其中有多少次 ( x，y) 满足 y< x( 所
投的点落在阴影部分 ) ．首先置 n＝0， m＝ 0； S2 用变换 rand( )*2 产生 0～ 2 之间的均匀随机数
x 表示所投点的横坐标；用变换
rand( )*2 产生 0～ 2 之间的均匀随机数 y 表示所投点的纵坐标；
换 rand()*2 产生 0～ 2 之间的均匀随机数 y 表示所投的点的纵坐标；
S3：判断点是否落在阴影部分，即是否满足
y<2x，如果是，则计数器 m的值加 1，即 m＝m
＋ 1，如果不是， m的值保持不变；
S4：表示随机试验次数的计数器 n 的值加 1，即 n＝ n＋ 1，如果还要继续试验，则返回步
S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足 y< x. 如果是，则计数器 m的值加 1，即 m＝m
＋ 1. 如果不是， m的值保持不变；
S4 表示随机试验次数的计数器 n 的值加 1，即 n＝n＋ 1. 如果还要继续试验，则返回步骤
S2 继续执行，否则，程序结束．
m 程序结束后，事件 A发生的频率 n作为事件 A概率的近似值．
29
P＝

高中数学(人教A版)必修3能力强化提升及单元测试 1-2-2

1．2基本算法语句1.2.2条件语句双基达标(限时20分钟)1．给出下列四个问题：①输入一个数x，输出它的绝对值；②求函数f(x)＝{x2－1，x≥0x＋2，x<0的函数值；③求面积为6的正方形的周长；④求三个数a，b，c中的最大数．其中需要用条件语句来描述其算法的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4解析在算法中需要逻辑判断的都要用到条件语句，其中①②④都需要进行逻辑判断，故都要用到条件语句，③只需用顺序结构就能描述算法．答案 C2．当输入x＝－3.2时，程序INPUT xIF x<0THENx＝－xEND IFPRINT xEND()．A．－3.2 B．3.2 C．3 D．－3答案 B3．给出下列程序：INPUT x1，x2IF x1＝x2THENx1＝x1＋x2END IFy＝x1＋x2PRINT yEND如果输入x 1＝2，x 2＝3，那么执行此程序后，输出的结果是 ( )． A ．7 B ．10 C ．5 D ．8 解析 ∵x 1＝2，x 2＝3， ∴x 1≠x 2，∴y ＝x 1＋x 2＝2＋3＝5. 答案 C 4．给出下列程序：，那么输出的是________．解析由题知，输出的将是最小的数．答案－26 5．已知程序如下：________．解析因为9≥0，所以输出9. 答案 96.函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，x >8，写出求函数的函数值的程序．解程序：综合提高(限时25分钟)7．阅读下列程序，则该程序运行后，变量y的值为()．A．4 B．16 C．6 D．8 解析因x＝4满足“x＞3”的条件，所以执行的是THEN后面的y＝4×4＝16.答案 B8．阅读下列程序：如果输入x＝－2，则输出结果为()．A．2 B．－12 C．10 D．－4解析输入x＝－2，则x＜0，执行“y＝7]答案 D9．阅读下面的程序：INPUT“x＝”；xIF x＜0THENy＝x＋3ELSEIF x＞0THENy＝x＋5ELSEy＝0END IFEND IFPRINT yENDy为________．解析本程序是求分段函数y＝{x＋3，x＜0，0，x＝0，x＋5，x＞0的值．输入x＝－2，输出y＝－2＋3＝1.答案 110．为了在运行下面的程序之后输出y＝25，键盘输入x应该是________．解析程序对应的函数是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ＜0，(x －1)2，x ≥0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜0，(x ＋1)2＝25，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，(x －1)2＝25，得x ＝－6或x ＝6.答案－6或611．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 (x ≤2.5)，x 2－1 (x ＞2.5)，根据输入x 的值，计算y 的值，设计一个算法并写出相应程序．解算法分析：第一步，输入x 的值．第二步，判断x 的范围：若x ＞2.5，则用y ＝x 2－1求函数值．若x ≤2.5，则用y ＝x 2＋1求函数值．第三步，输出y 的值．程序如下：12．(创新拓展)读下面的程序，并回答问题．该程序的作用是输入x的值，输出y的值．(1)画出该程序对应的程序框图；(2)若要使输入的x值与输出的y值相等，问这样的x值有几个？解(1)程序对应的程序框图如图所示．(2)若x＝x2，则x＝0或x＝1.此时均满足x≤2；若2x－3＝x，则x＝3，满足2＜x≤5；若1x＝x，则x＝±1，不满足x＞5.综上可知，满足题设条件的x值有3个．即x＝0，或x＝1或x＝3.。

2021-2022年高中数学课后强化训练(含详解)2.2.2 新人教版必修3

2021-2022年高中数学课后强化训练（含详解）2.2.2 新人教版必修3一、选择题1．某市在非典期间一手抓防治非典，一手抓经济发展，下表是利群超市5月份一周的利润情况记录：日期 12日 13日 14日15日 16日 17日 18日当日利润(万元)0.20 0.17 0.23 0.21 0.23 0.18 0.25A C ．1.47万元D ．5.88万元[答案] A[解析] 从表中一周的利润可得一天的平均利润为x ＝0.20＋0.17＋0.23＋0.21＋0.23＋0.18＋0.257＝0.21.又五月份共有31天，∴五月份的总利润约是0.21×31＝6.51(万元)．2．某赛季，甲、乙两名运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的茎叶图如下图所示，则甲、乙两名运动员比赛得分的中位数之和是( )A.32 B ．30 C ．36D ．41[答案] A[解析] 甲得分的中位数为19，乙得分的中位数为13，∴和为32，故选A.3．已知一个样本x,1，y,5.其中x ，y 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x 2＋y 2＝10的解，则这个样本的标准差是( )A ．2 B. 2 C. 5D ．5[答案] C[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2x 2＋y 2＝10得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝－1，∴这个样本为－1,1,3,5,11其平均数为x ＝14(－1＋1＋3＋5)＝2，∴s ＝14[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x －)2＋(x 4－x )2] ＝14[(－1－2)2＋(1－2)2＋(3－2)2＋(5－2)2] ＝ 5.因此选择答案C.4．一组数据中的每一个数都减去80得到一组新的数据，如果求得新数据的平均数为1.2，方差为4.4，则原来数据的平均数和方差分别为( )A ．81.2,84.4B ．78.8,4.4C ．81.2,4.4D ．78.8,75.6[答案] C[解析] 一般地，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －，方差为S 2，则x 1＋k ，x 2＋k ，…，x n ＋k 的平均数为x －＋k ，方差仍为S 2，故选C.5．某校学生体检中检查视力的结果如下表，从表中可以看出，全班视力数据的众数是( )C ．20%D ．65%[答案] B[解析] 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，从上表可以看出，视力以1.0的人数占的百分比最大，所以众数应为1.0.6．某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：A ．0,1.1B ．0,1C ．4,1D ．0.5,2[答案] A[解析] 数据x i 出现的频率为p i (i ＝1,2，…，n )，则x 1，x 2，…，x n 的平均数为x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n .7．若有样本容量为8的样本平均数为5，方差为2，现样本中又加入一新数据为4，现样本容量为9，则样本平均数和方差分别为( )A.449，15281 B ．5,2 C.359，179D.449，29681[答案] A[解析] 设原8个数据为x 1，x 2，…，x 8，其平均数为x －，方差为s 2；新加入的数据为x 9，平均数为x －′，方差为s ′2，则x －＝18(x 1＋x 2＋…＋x 8)，∴x 1＋x 2＋…＋x 8＝8x －＝40，s 2＝18(x 21＋x 22＋…＋x 28)－x －2，∴x 21＋x 22＋…＋x 28＝8(s 2＋x －2)＝216，∴x －2＝19(x 1＋x 2＋…＋x 8＋x 9)＝19(40＋4)＝449，s ′2＝19(x 21＋x 22＋…＋x 28＋x 29)－x －′2＝19(216＋16)－⎝ ⎛⎭⎪⎫4492＝15281. 8．某班有50名学生，某次数学考试的成绩经计算得到的平均分数是70分，标准差是s ，后来发现登录有误，某甲得70分却记为40分，某乙得50分误记为80分，更正后重新计算得标准差为s 1，则s 与s 1之间的大小关系是( )A ．s ＝s 1B ．s <s 1C ．s >s 1D ．不能确定[答案] C[解析] 两次误记，分别少记、多记了30分，故更正后平均成绩不变误记时，s 2＝150[(40－70)2＋(80－70)2＋(x 3－70)2＋…＋(x 50－70)2]＝150[900＋100＋(x 3－70)2＋…＋(x 50－70)2]；更正后，s 21＝150[(70－70)2＋(50－70)2＋(x 3－70)2＋…＋(x 50－70)2]＝150[0＋400＋(x 3－70)2＋…＋(x 50－70)2]，故s 2>s 21，∴s >s 1.9．(xx·陕西文，4)如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x －A 和x －B ，样本标准差分别为S A 和S B ，则( )A.x －A >x －B ，S A >S B B.x －A <x －B ，S A >S B C.x －A >x －B ，S A <S BD.x －A <x －B ，S A <S B[答案] B[解析] x A ＝16(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，x B ＝16(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝353≈11.67，S 2A ＝16[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90S 2B ＝(15－353)2＋(10－353)2＋(252－353)2＋(10－353)2＋(252－353)2＋(10－353)2＝3.47 故x A <x B ，S A >S B .[点评] 由上面计算过程可见，计算量很大，作为选择题，这样解答显然不合适，应充分利用图形提供的信息作出选择．首先A 数据x 的最大值为10，B 数据x 的最小值为10，已知x －A <x －B ，排除A 、C ；其次B 组数据集中分布在10～12.5之间，只有一个数据为15，A 数据散布在2.5～10之间，波动较大，可知S A >S B ，排除D ，故选B.10．某地教育部门为了了解学生在数学答卷中的有关信息，从上次考试的xx0名考生的数学试卷中，用分层抽样的方法抽取500人，并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图如图．则这xx0人中数学成绩在[120,150]分数段的人数约是( )A ．10400B ．9600C ．13600D ．6400[答案] A[解析] [120,150]所对应的三个长方形的面积和是(0.024＋0.02＋0.008)×10＝0.52，在样本500人中，频数是0.52×500＝260人；用样本500人估计总体xx0人数学成绩在[120,150]段的人数约是260×20000500＝10400人．二、填空题11．已知样本101,100,99，a ，b 的平均数为100，方差为2，这个样本中的数据a 与b 的取值为________．[答案] 102,98或98,102[解析] 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2002＋(a －100)2＋(b －100)2＝10∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝102b ＝98或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝98b ＝102.12．若k 1，k 2，…，k 6的方差为3，则2(k 1－3),2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的方差为________． [答案] 12[解析] 设k 1，k 2，…，k 6的平均数为k ，则16[(k 1－k )2＋(k 2－k )2＋…＋(k 6－k )2]＝3，而2(k 1－3),2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的平均数为2(k －3)，则所求方差为： 16[4(k 1－k )2＋4(k 2－k )2＋…＋4(k 6－k )2]＝4×3＝12. 13．(08·上海文)已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a ，b,12,13.7,18.3,20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________．[答案] a ＝10.5，b ＝10.5 [解析] 由题设知，a ＋b ＝21.平均数x ＝2＋3＋3＋7＋a ＋b ＋12＋13.7＋18.3＋2010＝10，由方差公式知，要使方差最小，应使(a －10)2＋(b －10)2最小，令y ＝(a －10)2＋(b －10)2， ∵a ＋b ＝21，∴b ＝21－a ，∴y ＝(a －10)2＋(11－a )2＝2(a －10.5)2＋12∴当a ＝10.5时，(a －10)2＋(b －10)2取最小值，此时b ＝10.5.14．(09·辽宁理)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为121，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h,1020h,1032h ，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________h.[答案] 1013[解析] ∵用分层抽样的方法取100件产品，则一、二、三分厂分别抽取25、50、25件，则平均值为980×25＋1020×50＋1032×25100＝1013.三、解答题15．某单位工作时间的抽样频数分布如下：(单位：h)[6,6.5),5人；[6.5,7),17人；[7,7.5),33人；[7.5,8),37人；[8,8.5),6人；[8.5,9),2人．试估计该单位的平均工作时间．[解析] 由于每组中的个体都是一个范围，可以用各组区间的中值近似地表示．平均工作时间约为：(6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2)÷100＝739÷100＝7.39(h)．16．有甲、乙两个球队，甲队有6名队员，乙队有20名队员，他们的身高数据如下(单位：cm)：甲队：187 181 175 185 173 179乙队：180 179 182 184 183 183 183 176 176 181 177 177 178 180 177 184 177 183 177 183(1)求两队队员的平均身高；(2)比较甲、乙两队哪一队的身高更整齐些？[解析] (1)x 甲＝16(7＋1－5＋5－7－1)＋180＝180(cm)，x 乙＝120(0－1＋2＋4＋3＋3＋3－4－4＋1－3－3－2＋0－3＋4－3＋3－3＋3)＋180＝180(cm)．(2)s 2甲＝25，s 2乙＝8.2，s 2乙<s 2甲，这说明乙队队员的身高更整齐． 17．假定下述数据是甲、乙两个供货商的交货天数：甲：10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 乙：8 10 14 7 10 11 10 8 15 12估计两个供货商的交货情况，并问哪个供货商交货时间短一些，哪个供货商交货时间较具一致性与可靠性．[解析] x －甲＝110(10＋9＋…＋10)＝10.1，s 2甲＝110(102＋92＋…＋102)－10.12＝0.49； x －乙＝110(8＋10＋…＋12)＝10.5，s 2乙＝110(82＋…＋122)－10.52＝6.05>s 2甲. 从交货天数的平均值来看，甲供货商的交货天数短一些；从方差来看，甲供货商的交货天数较稳定，因此甲供货商是较具一致性与可靠性的供货商．备选题(09·安徽文)某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B 进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A ：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405， 412,414,415,421,423,423,427,430,430,434， 443,445,445,451,454品种B ：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394， 395,397,397,400,401,401,403,406,407,410， 412,415,416,422,430 (1)完成所附的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种A 与B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论． [解析] (1)(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图很方便；此时茎叶图不仅清晰明了的展示了数据的分布情况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录新的数据．(3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；②品种A 的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．24089 5E19 帙T 26322 66D2 曒 21326 534E 华38208 9540 镀38293 9595 閕329363 72B3 犳32488 7EE8 绨39717 9B25 鬥。