新版,人教版,数学,八年级上册第十五章《分式》教案
新人教版数学八年级上册教案:第15章分式及其复习教案

第十五章分式 §15.1.1从分数到分式一、 教学目标1.了解分式概念.2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、教学过程1.让学生填写[思考],学生自己依次填出:,,,.2.问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为小时,逆流航行60千米所用时间小时,所以=.3. 以上的式子,,,,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不同点?可以发现,这些式子都像分数一样都是 (即A ÷B )的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数,而这些式子中的A 、B 都是整式,并且B 中都含有字母.[思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件,分式才有意义?由分数的分母不能为零,用类比的方法归纳出:分式的分母也不能为零.注意只有满足了分式的分母不能为零这个条件,分式才有意义.即当B ≠0时,分式才有意义. 3、例题讲解P5例1. 当x 为何值时,分式 有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解出字母x 的取值范围.(补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0?(1) (2) (3)710as 33200sv v+20100v-2060v +20100v-2060v+20100v-2060ass v BA1-m m 32+-m m 112+-m m 2312-+x x[分析] 分式的值为0时,必须同时..满足两个条件:(1)分母不能为零;(2)分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. 4、随堂练习1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, , , , ,2. 当x 取何值时,下列分式有意义?(1) (2) (3) 3. 当x 为何值时,分式的值为0?(1) (2) (3) 5、小结: 谈谈你的收获 6、布置作业P133习题15.12、3、4、题7四、教学反思:1).关于教材处理:认真处理教材,目的只有一个——为我的学生尽可能多地提供参与活动的机会,在本节课中主要体现在以下几点:(1)通过“合成代数式”、“赋予分式实际意义”两个活动,激发兴趣,吸引学生参与活动;(2)通过“互举例子”、“填表探究”两个活动,鼓励学生主动参与活动;(3)通过“应用新知”这个环节,促进学生参与活动。
最新人教版八年级数学上册 第十五章《分式方程》教案

《分式方程》教案2
【活动1】(情景图片)
教学反思
1.在本课的教学过程中,我大胆放手让学生走进文本.在教学中我根据学生的实际情况进行了适当调整.因势利导提出一些质疑问题激发了学生学习兴趣.整节课我安排四个活动,活动一,通过实际中的行程问题,引导学生从分析入手,列出含未知数的式子表示有关量,并列出方程,引发学生学习兴趣,提出问题引发思考,为探索分式方程及分式方程的解法作准备,引出学习课题.活动二,让学生运用“转化思想”探讨解分式方程的方法,鼓励学生从多角度思考问题,解释所获得结果的合理性.活动三,让学生通过自己探索实践,找出分式方程无解的原因及验根的必要性.学生在教学活动中通过积极参与和有效参与,来达到知识与能力、过程和方法、情感态度与价值观的全面落实,设计思考性、探索性的习题,激发学生的学习兴趣,培养学生的创新意识和实践能力.活动四,让不同层次同学发表意见培养学生语言表达和总结知识能力.
2.本节课的教学采用“问题情境—建立模型—探究总结与拓展”的模式展开,整节课为学生提供开放式、互动的、自主探究的学习方式,注重合作意识以及探究力的培养,最大限度地调动学生全员参与,关注每一位学生个体,关注学习过程中的团队精神,合作意识,为教学目标的有效实现打下坚实基础.
3.不足之处:由于操作电脑水平有限,板书设计应设计成思维导图的形式,便于学生及时对知识梳理,掌握重难点,归纳题型.如果在课堂上我会用思维导图进行板书设计.。
人教版八年级数学第十五章《分式》全章教案

人教版八年级数学第十五章《分式》全章教案第十五章分式15.1.1从分数到分式教学目标1.了解分式的概念,能用分式表示实际问题中的数量关系.2.能确定分式有意义的条件.教学重、难点分式的概念教学过程设计一、创设问题,激发兴趣XXX:一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它沿江以最大航速顺流航行90km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相等,江水的流速为多少?问题1顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系?顺流航行的速度=轮船在静水中的速度+水流速度;逆流航行的速度=轮船在静水中的速度-水流速度.问题2这个问题的等量关系是什么?顺流航行90 km所用时间=逆流航行60 km所用时间.问题3应怎样设未知数?如何根据等量干系列出方程?解:设江水的流速为XXX.依题意得:追问式子与分数有甚么相同点和分歧点?它们与你学过的整式有甚么分歧?问题4填空:(1)长方形的面积为10 cm2,长为7 cm,宽应为cm;长方形的面积为S,长为a,宽应为cm.问题4填空:(2)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱描述器中,水面高度为cm;把体积为V的水倒入底面积为S 的圆柱描述器中,水面高度为.追问1上面问题中得到的式子,,,哪些不是我们学过的整式?追问2式子的特性?二、常识使用,巩固提高分式的定义:,,与以前学过的整式分歧,这些代数式有甚么配合一般地,如果A,B表示两个整式,并且B中含有字母,那末式子叫做分式(fraction).分式中,A叫做分子,B叫做分母.问题5我们知道,要使分数有意义,分数中的分母不能为.要使分式有意义,分式中的分母应满足什么条件?为什么?例1下列分式中的字母满足甚么条件时分式成心义?三、使用提高、拓展创新讲义128页操演1、2、3四、归纳小结(1)本节课研究了哪些主要内容?(2)你能举例说明什么是分式吗?(3)如何确定分式有意义的条件?五、布置作业:教科书题15.1第1、2、3题.教后反思:15.1.2分式的基本性质(1)教学目标1.了解分式的基本性质,体会类比的思想方法.2.掌握分式的约分,了解最简分式的概念.教学重、难点分式的基本性质和分式的约分教学过程设计一、创设问题,激起兴趣问题1下列分数是否相等?追问这些分数相等的依据是什么?问题2你能叙述分数的基本性质吗?分数的根本性质:一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为的数,分数的值不变.问题3你能用字母的形式表示分数的基本性质吗?问题4类比分数的根本性质,你能想出分式有甚么性质吗?分式的根本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于的整式,分式的值不变.追问1如何用式子表示分式的基本性质?二、常识使用,巩固提高追问2应用分式的基本性质时需要注意什么?(1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算;(2)所乘(或除以)的必须是同一个整式;(3)所乘(或除以)的整式应该不等于零.例2填空:问题5观察上例中(1)中的两个分式在变形前后的分子、分母有甚么变化?类比分数的相应变形,你联想到甚么?像这样,根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.经过约分后的分式,其分子与分母没有公因式.像这样分子与分母没有公因式的式子,叫做最简分式.例3约分:追问1由上例你能归纳出在分式中,找分子和分母的公因式的方法是什么吗?追问2如果分式的分子或分母是多项式,那么该如何思考呢?三、应用提高、拓展创新教科书132页操演1四、归结小结(1)本节课研究了哪些主要内容?(2)运用分式的根本性质时应注意甚么?(3)分式约分的关键是甚么?如何找公因式?(4)探究分式的基本性质和分式的约分的过程,你认为体现了哪些数学思想方法?五、布置作业:教科书题15.1第4、6题.教后反思:15.1.2分式的基本性质(2)教学目标1.了解最简公分母的概念,会确定最简公分母.2.经由进程类比分数的通分来探究分式的通分,能进行分式的通分,体会数式通性和类比的思想.教学重、难点正确确定分式的最简公分母教学过程设计一、创设问题,激起兴趣问题1通分:追问1分数通分的依据是什么?追问2如何确定异分母分数的最小公分母?问题2填空:像这样,根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.追问1你认为分式通分的关键是什么?分式通分的关键是找出分式各分母的公分母.追问2上面问题中的两个分式的公分母是甚么?为通分要先确定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫做最简公分母.追问3两个分式的最简公分母是如何确定的?最简公分母的确定方法:取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积.分母是多项式时,最简公分母的确定方法是:先因式分解,再将每一个因式算作一个团体,最后确定最简公分母.二、知识应用,巩固提高例通分:三、应用提高、拓展创新教科书132页练1四、归结小结(1)本节课研究了哪些首要内容?(2)分式通分的关键是什么?(3)分式通分时,确定最简公分母的办法是甚么?五、布置作业:教科书题15.1第7题教后反思:15.2.1分式的乘除(1)教学目标1.理解分式的乘除法法则,体会类比的思想.2.会根据分式的乘除法法则进行简单的运算,并理解其算理教学重、难点分式的乘除法法则的运用教学过程设计一、创设问题,激发兴趣问题1一个水平放置的长方体,其容积为V,底面的长为a,宽为b,当内的水占容积的m时,水面的高度为多少?n(1)这个长方体的高怎么表示?(2)内水面的高与内的水所占容积间有何关系?内水面的高与高的比和内的水所占容积的比相等.问题2大拖拉机m天耕地ahm2,小拖拉机n天耕地bhm2,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?(1)本题中出现的“工作效率”的含义是什么?(2)大拖沓机和小拖沓机的事情效率怎样表示?观察上述两个问题中所列出的式子中,其中涉及到分式的有哪些运算?你能用学过的运算法则求出结果吗?问题3计较:在计算的过程中,你运用了分数的什么法则?你能叙述这个法则吗?如果将分数换成分式,那末你能类比分数的乘除法法则,说出分式的乘除法法则吗?怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢?二、知识应用,巩固提高分式的乘除法法则如何用笔墨语言来描述?乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积为积的分母.除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.例1计算:三、应用提高、拓展创新教科书138页练2四、归纳小结(1)本节课研究了哪些首要内容?(2)分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有甚么区别和联系?五、布置作业:讲义第144页第1题;第145页第10、11题.教后反思:15.2.1分式的乘除(2)教学目标1.能运用分式的乘除法法则进行复杂计算.2.能运用分式的乘除法解决一些简单的实际问题.教学重、难点用分式的乘除法法则进行计较,并解决一些实践问题.教学过程设计一、创设问题,激起兴趣问题1约分:分子与分母分别是多项式的分式如何约分?问题2计较:分子与分母都是单项式的两个分式如何乘除?二、知识应用,巩固提高例1计较:分子或分母是多项式的两个分式如何乘除呢?解题战略:对于分子与分母都是单项式的两个分式乘除,可直接利用分式的乘除法法则,再根据分式的基本性质进行约分,将最后的结果化成最简分式.而对于分子或分母中含有多项式的两个分式相乘,为了使算式简洁,也便于找出分子与分母中的公因式,需要先将多项式因式分解,把多项式化成整式的积的形式,然后利用分式的乘除法法则进行运算,利用分式的基本性质进行约分,并把最后的结果化成最简分式.例2“丰收1号”小麦的试验田是边长为am(a>1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500 XXX.(1)哪种小麦的单位面积产量高?(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?考虑以下问题:①你能说出小麦的“单位产量”的含义吗?②如何表示这两块试验田的单位产量?③怎样确定哪类小麦的单位产量高?④你能列式表示(2)的问题吗?归结解题步调:(1)先根据题意分别列出表示两个量的代数式;(2)再根据题意列出相应的算式;(3)最后经由进程计较解决问题.三、使用提高、拓展创新教科书138页练3四、归纳小结运用分式的乘除法法则计算分子或分母含有多项式的分式主要步骤是什么?五、布置作业:教材第144页第2题.教后反思:15.2.1分式的乘方教学目标1.理解分式乘方的运算法则,能根据法则进行乘方运算,体会数式通性.2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算.教学重、难点分式的乘方及分式乘除、乘方夹杂运算教学过程设计一、创设问题,激起兴趣例1计算:2x3x.5x-325x2-95x+3练1计算:2m2n5p2q5mnp()1;223q3pq4mn2m2-n2(n-m)m+n(2);222m(m-n)mn16-a2a-4a-2(3)2.2a+8a+2a+8a+16考虑你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗?(a2a3a10)=?()=?()=?bbba猜测:n为正整数时?b你能写出推导过程吗?试试看.你能用笔墨语言叙述得到的结论吗?分式的乘方法则:一般地,当n是正整数时,n这就是说,分式乘方要把分子、分母分别乘方.二、常识使用,巩固提高例2计较:例3计算:分式的乘除、乘方混合运算与分数的乘除、乘方混合运算有什么联系和区别吗?练2计算:三、应用提高、拓展创新教科书139页练2四、归纳小结(1)本节课研究了哪些主要内容?(2)运用分式乘办法则计较的步调是甚么?它与整式的乘方运算有甚么区别和联系?(3)分式的乘方与乘除夹杂运算的运算顺序是甚么?五、布置作业:教科书题15.2第3(3)(4)题.教后反思:15.2.2分式的加减教学目标1.理解分式的加减法法则,体会类比思想.2.会运用法则进行分式的加减运算,体会化归思想.教学重、难点分式的加减法法则教学过程设计一、创设问题,激发兴趣问题1甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲队多用3天才干完成这项工程,两队配合事情一天完成这项工程的几分之几?(1)甲工程队一天完成这项工程的几分之几?(2)乙工程队一天完成这项工程的几分之几?(3)甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?问题年、2010年、2011年某地的森林面积(单位:km2)分别是S1,S2,S3,2011年与2010年比拟,丛林面积增长率提高了多少?(1)甚么是增长率?(2)2010年、2011年的丛林面积增长率分别是多少?(3)2011年与2010年相比,森林面积增长率提高了多少?分式的加减法与分数的加减法类似,它们实质相同.观察下列分数加减运算的式子,你能将它们推广,得出分式的加减法法则吗?分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.二、常识使用,巩固提高例计算:11(2)+.2p+3q2p-3q三、应用提高、拓展创新讲义141页操演1、操演2练:你能应用本节课所学知识解决“问题1”和“问题2”吗?四、归结小结(1)本节课研究了哪些主要内容?(2)我们是怎么引出分式加减法法则的?(3)在进行分式的加减运算时要注意哪些问题?五、布置作业:教科书题15.2第4、5题.教后反思:15.2.2分式的夹杂运算教学目标1.理解分式混合运算的顺序.2.会正确进行分式的混合运算.3.体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值.教学重、难点分式的混合运算.教学过程设计一、创设问题,激起兴趣问题数的混合运算的顺序是什么?你能将它们推广,得出分式的混合运算顺序吗?分式的混合运算顺序:“从高到低、从左到右、括号从小到大”.例1计算:这道题的运算顺序是怎样的?经由进程对例1的解答,同学们有何播种?对于不带括号的分式混合运算:(1)运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减;(2)计算结果要化为最简分式.二、常识使用,巩固提高例2计算:52m-4() 1m+2+3-m;2-mx+2x-1x-4(2)-.x2-2xx2-4x+4x通过对例2的解答,同学们有何收获?对于带括号的分式夹杂运算:(1)将各分式的分子、分母分解因式后,再进行计较;(2)注意处理好每一步运算中遇到的符号;(3)计算结果要化为最简分式.三、应用提高、拓展创新练1计算:四、归结小结(1)本节课研究了哪些主要内容?(2)分式混合运算的顺序是什么?我们是怎么得到它的?(3)在进行分式混合运算时要注意哪些问题?五、布置作业:教科书题15.2第6题.教后反思:15.2.3整数指数幂教学目标1.了解负整数指数幂的意义.2.了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算.3.会利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些小于1的正数.教学重、难点幂的性质(指数为全体整数),并会用于计算,以及用科学记数法表示一些小于1的正数.教学过程设计一、创设问题,激发兴趣问题1你们还记得正整数指数幂的意义吗?正整数指数幂有哪些运算性质呢?将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整数”,这些性质还适用吗?问题2am中指数m可以是负整数吗?如果可以,那末负整数指数幂am表示甚么?(1)根据分式的约分,当a≠时,如何计较a(2)如果把正整数指数幂的运算性质中的条件m >n去掉,即假设这本性质对于像a数学中规定:当n是正整数时,a这就是说,XXXXXX33a5?(a≠,m,n是正整数,m >n)a5景遇也能使用,如何计较?1aaa是an的倒数.问题3引入负整数指数和指数后,am an am n(m,n是正整数)这条性质能否推广到m,n是任意整数的情形?问题4类似地,你可以用负整数指数幂或指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验,看看这些性质在整数范围内是不是还适用?(1)am an am n(m,n是整数);n(am)amn(m,n是整数)(2);(ab)ab(n是整数)(3);mnm n(4)a a a(m,n是整数);XXXa(5)bnann(n是整数).b二、知识应用,巩固提高例1计算:三、应用提高、拓展创新问题5能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并?这样,整数指数幂的运算性质可以归结为:(1)am an am n(m,n是整数);n(am)amn(m,n是整数)(2);(ab)ab(n是整数)(3);探索:XXX110 1101.0110 21001.00110 310001.000110 40.1归纳:如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢?规律:对于一个小于1的正小数,从小数点前的第一个算起至小数点后第一个非数字前有几个,用科学记数法表示这个数时,10的指数就是负几.例2用科学记数法表示下列各数:(1)0.3;(2)-0.000 78;(3)0.000 020 09.例3纳米(nm)是非常小的长度单位,1 nm =10-9m.把1 nm3的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上.1mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)?四、归结小结(1)本节课研究了哪些首要内容?(2)整数指数幂的运算性质与正整数指数幂的运算性质有什么区别和联系?五、布置作业:教科书题15.2第7、8、9题教后反思:15.3分式方程(1)教学目标1.了解分式方程的概念.2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程,体会化归思想和程序化思想.3.了解解分式方程根需要进行检验的原因.教学重、难点利用去分母的方法解分式方程教学过程设计一、创设问题,激发兴趣问题1为了解决弁言中的问题,我们得到了方程程,未知数的位置有甚么特点?追问1方程9060.仔细观察这个XXX30v30vx2x;2;1与上面的方程有甚么共2xx3x5x25x13x 3同特征?分母中含有未知数.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.追问2你能再写出几个分式方程吗?注意:我们以前研究的方程都是整式方程,它们的未知数不在分母中.9060吗?30v30v问题3这些解法有什么共同特点?总结:这些解法的共同特点是先去分母,将分式方程转化为整式方程,再解整式方程.思考:(1)如何把分式方程转化为整式方程呢?问题2你能试着解分式方程(2)怎样去分母?(3)在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢?(4)这样做的依据是什么?总结:(1)分母中含有未知数的方程,通过去分母就化为整式方程了.(2)利用等式的性质2可以在方程双方都乘同一个式子——各分母的最简公分母.追问你得到的解v=6是分式方程二、常识使用,巩固提高问题4解分式方程:9060的解吗?30v30v110=2.x-5x-25110的解吗?该如何验证呢?x=5是原2x5x25分式方程变形后的整式方程的解,但不是原分式方程的解.追问2上面两个分式方程的求解进程当中,同样是去分母将分式方程化为整式方程,为追问1你得到的解x=5是分式方程(30-v)=60(30+v)甚么整式方程90的解v=6是分式方程整式方程x+5=10的解x=5却不是分式方程9060的解,而30v30v110的解?2x5x25原因:在去分母的过程中,对原分式方程进行了变形,而这种变形是否引起分式方程解的变化,主要取决于所乘的最简公分母是否为.检验的方法主要有两种:(1)将整式方程的解代入原分式方程,看左右双方是不是相等;(2)将整式方程的解代入最简公分母,看是否为.显然,第2种方法比较简便!问题5你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗?解分式方程应该注意什么?根本思绪将分式方程化为整式方程一般步调:(1)去分母;(2)解整式方程;(3)检验.注意:因为去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解,以是需要检修.三、使用提高、拓展创新例解下列方程:四、归纳小结(1)本节课研究了哪些主要内容?(2)解分式方程的基本思路和一般步骤是什么?解分式方程应该注意什么?五、布置作业:教科书题15.3第1(1)~(4)题.教后反思:15.3分式方程(2)教学目标1.会解较复杂的分式方程和较简朴的含有字母系数的分式方程.2.能够列分式方程解决简朴的实践问题.3.经由进程研究分式方程的解法,体会转化的数学思想.教学重、难点分式方程的解法教学过程设计一、创设问题,激发兴趣例1解方程x3-1=.x-1(x-1)(x+2)解分式方程的步骤:(1)去分母,将分式方程转化为整式方程;(2)解这个整式方程;(3)检验.用框图的方式总结为:二、知识应用,巩固提高例2解关于x的方程a+b=1(b1).x-a例3两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成,哪个队的施工速度快?三、应用提高、拓展创新某车间有甲、乙两个小组,甲组的工作效率比乙组工作效率高25%,因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1 800个零件所用的时间少半小时,问甲、乙两组每小时各加工多少个零件?四、归结小结(1)本节课研究了哪些主要内容?(2)解分式方程的一般步调有哪些?关键是甚么?解方程的进程当中要注意的问题有哪些?(3)列分式方程解使用题的步调是甚么?与列整式方程解使用题的进程有甚么区别和联系?五、布置作业:教科书题15.3第1(2)(4)(6)(8)、4、5题.教后反思:。
人教版八年级上册数学第十五章 《分式》全章教学设计

人教版八年级上册数学第十五章《分式》全章教学设计第十五章分式15.1.1 从分数到分式在实际问题中,我们常常需要描述不同量之间的关系。
为了更好地描述这种关系,我们引入了分式的概念,并建立了数学模型。
学生需要理解分式的概念,并掌握分式有意义的条件和值为零的条件。
重点:理解分式有意义的条件和值为零的条件。
难点:熟练地求出分式有意义的条件和值为零的条件。
一、复引入1.整式、单项式和多项式的概念。
2.判断下列各式中,哪些是整式,哪些不是整式。
8m + nab + aba + b233x - 4.2①。
1 + x + y。
2/2.2/2^2.33/2x + 2x + 1a + b2x二、探究新知1.分式的定义1) 通过一个实际问题,我们可以得到以下分式:30 + v)/(30 - v) 和 90/(30 + v) = 60/(30 - v)观察这些式子,我们可以发现它们都像分数一样,都是A/B的形式。
分数的分子A和分母B都是整数,而这些式子中的A,B都是整式,并且B中都含有字母。
归纳:一般地,如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式。
2) 为了使分式有意义,分式中的分母应满足B≠0的条件。
例如,对于分式2x/(1x + y),分母1x + y不能为0,即x≠ -y。
学生可以自学教材中的例1和思考题,巩固理解分式有意义的条件。
2.分式的值为零的条件对于分式A/B,当A=0时,分式的值为0.而当B=0时,分式无意义。
学生需要熟练地求出分式有意义的条件和值为零的条件。
巩固练:教材第129页练第2和第3题。
3.补充例题:当分式的分子为零时,分式的值为多少?分析:当分式的分子为零时,分式的值为0,因为分子为零,分式的值就是0/分母,即0.答案:分式的值为0的条件是分子为零。
三、归纳总结1.分式是分数的推广,分式由分子和分母组成。
2.当分式的分母不为零时,分式有意义;当分式的分母为零时,分式无意义。
人教版初中数学八年级上册第十五章:分式(全章教案)

第十五章分式本章的内容包括:分式、分式的运算、分式方程.本章我们将类比分数学习分式,解一些分式方程,并学会解能化为一元一次方程的分式方程及利用分式的知识解决一些实际问题.在中考中,本章重点在考查分式有意义的条件、分式的化简与求值、分式方程及其应用.【本章重点】利用分式的基本性质进行约分和通分、分式的混合运算及列分式方程解决实际问题.【本章难点】分式的混合运算及列分式方程解决实际问题.【本章思想方法】1.掌握类比思想.如:类比分数的概念及性质理解分式的概念及性质,类比分数的运算法则理解分式的运算法则.2.掌握转化思想.如:把除法转化为乘法,把异分母分式加减法转化为同分母分式加减法,把分式方程转化为整式方程.3.体会数学建模思想.如:在利用分式方程解决实际问题时,需根据实际问题建立数学模型,从而列出分式方程求解.15.1分式2课时15.2分式的运算5课时15.3分式方程2课时15.1分式15.1.1从分数到分式(第1课时)一、基本目标【知识与技能】1.理解分式的定义,能够根据定义判断一个式子是否是分式.2.能够确定一个分式有意义、无意义的条件.3.能用分式表示现实情境中的数量关系.【过程与方法】经历类比、探究的过程,理解分式的概念和分式有意义的条件,在此基础上,利用分式有意义的条件求分式中未知数的值.【情感态度与价值观】类比分数的概念理解分式的概念,养成类比思考的习惯,探究分式有意义的条件,形成缜密的思维方式.二、重难点目标【教学重点】分式的概念及分式有意义、无意义的条件.【教学难点】利用分式有意义的条件求未知数的值.环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P127~P128的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】 一、分式的概念1.式子S a 、V S 以及引言中的9030+v ,6030-v ,有什么特点?(1)它们与分数的相同点:形式相同都有分子和分母; (2)不同点:分式中分母含有字母,而分数的分母不含字母.2.一般地,如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子AB 叫做分式,其中A 叫做分子,B 叫做分母.3.下列各式中,是分式的有①②④⑦.①2bs ;②3000300a ;③27;④V S ;⑤S 32;⑥2x 2+15;⑦45bc ;⑧-5. 二、分式AB的相关知识1.当B =0时,分式AB 无意义.2.当B ≠0时,分式AB有意义.3.当A =0且B ≠0时,分式AB 的值为零.4.当x 取何值时,下列分式有意义? (1)3x +2;(2)x +53-2x.解:(1)x ≠-2. (2)x ≠32.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】当x 取何值时,下列分式有意义?当x 取何值时,下列分式无意义?当x 取何值时,下列分式值为零?(1)x +1x -1; (2)x -2x 2-1; (3)x 2-1x 2-x. 【互动探索】(引发学生思考)根据分式有、无意义所满足的条件进行判断.分式的值为0,则分母不为0,且分子等于0.【解答】(1)有意义:x -1≠0,即x ≠1. 无意义:x -1=0,即x =1.值为0:x +1=0且x -1≠0,∴x =-1. (2)有意义:x 2-1≠0,即x ≠±1. 无意义:x 2-1=0即x =±1.值为0:x -2=0且x 2-1≠0,∴x =2. (3)有意义:x 2-x ≠0,即x ≠0且x ≠1; 无意义x 2-x =0,即x =0或x =1; 值为0:x 2-1=0且x 2-x ≠0,即x =-1.【互动总结】(学生总结,老师点评)分式有意义的条件:分式的分母不能为0.分式无意义的条件:分式的分母等于0.分式值为0的条件:分式的分子等于0,但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.活动2 巩固练习(学生独学) 1.下列各式中,是分式的是( C ) A .3x 2+x -1 B .x -23C.2x -3x -1D .14(2x -1)2.分式xx 2+1有意义,则x 的取值范围为( D )A .x ≠1B .x ≠-1C .x ≠1或x ≠-1D .全体实数3.若分式xx 2-16的值为0,则x 的值为0.环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习!15.1.2分式的基本性质(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1.理解和掌握分式的基本性质.2.能运用分式的基本性质约分、通分.【过程与方法】经历观察、对比、猜想的过程,归纳出分式的基本性质,在理解分式基本性质的基础上对分式进行约分和通分,从中了解最简分式和最简公分母.【情感态度与价值观】通过对比归纳分式的基本性质的过程,养成对比的习惯,通过对分式进行约分和通分,加深对分式基本性质的理解.二、重难点目标【教学重点】分式的基本性质,最简分式.【教学难点】运用分式的基本性质对分式进行约分和通分.环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P129~P132的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.分式的基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为A B =A ·C B ·C ,A B =A ÷CB ÷C(C ≠0),其中A 、B 、C 是整式.2.分式的约分:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.3.最简分式:分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.3.分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.4.最简公分母:通分时,要先确定各分式的公分母,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫做最简公分母.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】填空: (1)x y =x 2y ( ); (2)x 2-y 2xy 2+y 3=x -y ( ); (3)x -1y =( )xy2.【互动探索】(引发学生思考)根据分式的基本性质,当分式的分子(分母)乘或除以一个不等于0的整式时,分母(分子)该怎么变化?【分析】(1)因为xy 的分子x 乘xy 才能化为x 2y ,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分母也需乘xy ,即x y =x ·xy y ·xy =x 2yxy 2.(2)因为x 2-y 2xy +y 3的分子x 2-y 2除以x +y 才能化为x -y ,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分母也需除以x +y ,即x 2-y 2xy 2+y 3=(x 2-y 2)÷(x +y )(xy 2+y 3)÷(x +y )=x -yy 2.(3)因为x -1y 的分母y 乘xy 才能化为xy 2,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子也需乘xy ,即x -1y =(x -1)·xy y ·xy =x 2y -xyxy 2.【答案】(1)xy 2 (2)y 2 (3)x 2y -xy【互动总结】(学生总结,老师点评)利用分式的基本性质对分式变形时,注意分子、分母乘(除以)同一个不等于0的整式.【例2】约分:(1)2bcac ; (2)(x +y )y xy 2; (3)x 2+xy (x +y )2. 【互动探索】(引发学生思考)分式的约分步骤→找出分子分母的公因式→化简为最简分式.【解答】(1)2bc ac =2bc ÷c ac ÷c =2b a .(2)(x +y )y xy 2=(x +y )y ÷y xy 2÷y =x +yxy .(3)x 2+xy (x +y )2=x (x +y )(x +y )2=x x +y. 【互动总结】(学生总结,老师点评)如果分子或分母是多项式,先分解因式再约分,约分的结果是最简分式或整式.【例3】通分:(1)x ac 与y bc ; (2)2x x 2-9与x 2x +6. 【互动探索】(引发学生思考)分式的通分步骤→确定各分式的公分母→化为分母相同的分式.【解答】(1)最简公分母是abc . x ac =x ·b ac ·b =bx abc . y bc =y ·a bc ·a =ay abc.(2)最简公分母是2(x +3)(x -3). 2xx 2-9=2x ·22(x +3)(x -3)=4x2x 2-18. x 2x +6=x (x -3)2(x +3)(x -3)=x 2-3x 2x 2-18. 【互动总结】(学生总结,老师点评)确定公分母时,一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母.活动2 巩固练习(学生独学)1.分式3aa 2-b 2的分母经过通分后变成2(a -b )2·(a +b ),那么分子应变为( C )A .6a (a -b )2(a +b )B .2(a -b )C .6a (a -b )D .6a (a +b )2.约分:(1)2-a a 2-4; (2)9-a 2-a 2-3a ; (3)m 2-7m 49-m 2. 解:(1)-1a +2.(2)a -3a .(3)-m m +7. 3.通分: (1)12x 与1y ; (2)a2a +6与a -1a 2-9; (3)a -1a 2+2a -3与1-a 2-4a +2a 2. 解:(1)12x =y 2xy ,1y =2x2xy.(2)a2a +6=a (a -3)2(a +3)(a -3)=a 2-3a 2a 2-18,a -1a 2-9=2(a -1)2(a +3)(a -3)=2a -22a 2-18. (3)a -1a 2+2a -3=2(a -1)2(a +3)(a -1)=2a -22a 2+4a -6,1-a 2-4a +2a 2=1-a 2(a -1)2=-12(a -1)=-(a +3)2(a +3)(a -1)=-a +32a 2+4a -6.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习!15.2分式的运算15.2.1分式的乘除第1课时分式的乘除一、基本目标【知识与技能】理解分式乘除法的运算法则,并能正确进行计算.【过程与方法】经历分析、对比的过程,类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则,利用分式的乘除法法则进行计算,增强对法则的理解与掌握.【情感态度与价值观】通过探索分式的乘除法法则的过程,提高对比、归纳的能力,培养从已学知识中推导新知识的习惯.二、重难点目标【教学重点】分式的乘除法法则.【教学难点】运用分式的乘除法法则进行计算并解决实际问题.环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P135~P137的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.用式子表示为a b ·c d =a ·c b ·d.2.分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用式子表示为a b ÷c d =a b ·d c =a ·db ·c.3.分式的乘除法运算,运算结果应化为最简分式. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算:(1)c 2ab ·a 2b 2c ; (2)y7x ÷⎝⎛⎭⎫-2x . 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘除法法则进行计算时,需要注意什么? 【解答】(1)原式=a 2b 2c 2abc =abc .(2)原式=y 7x ·⎝⎛⎭⎫-x 2=-xy 14x =-y 14. 【互动总结】(学生总结,老师点评)利用分式乘除法法则进行计算,运算结果应化为最简分式.活动2 巩固练习(学生独学)1.计算a 2-1(a +1)2÷a -1a ,结果正确的是( D )A.12 B .a +1a +2C .a +1aD .a a +12.计算: (1)x 2y x 3·⎝⎛⎭⎫-1y ; (2)a 2-4b 23ab 2·ab a -2b ;(3)x 2-x x -1÷(4-x ); (4)42(x 2-y 2)x ·-x 235(y -x )3.解:(1)原式=-x 2y x 3y =-1x.(2)原式=(a +2b )(a -2b )3ab 2·ab a -2b =a +2b3b .(3)原式=x (x -1)x -1·14-x =x4-x.(4)原式=42(x +y )(x -y )x ·x 235(x -y )3=6x (x +y )5(x -y )2.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例2】已知(a +b -2)2+||1-a =0,求4a 2-ab 16a 2-8ab +b 2·2a 的值.【互动探索】利用已知等式求出a 、b 的值→计算分式的乘法,化简所求式子→代入a 、b 值进行计算.【解答】∵(a +b -2)2+||1-a =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a +b -2=0,1-a =0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =1.4a 2-ab 16a 2-8ab +b 2·2a =a (4a -b )(4a -b )2·2a =24a -b. 将a =1,b =1代入上式,得原式=24a -b =24-1=23.【互动总结】(学生总结,老师点评)根据非负数的性质求出a 、b 的值后,要代入化简后的式子进行计算.环节3 课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习!第2课时分式的乘方及乘除混合运算一、基本目标【知识与技能】理解分式的乘方法则,掌握分式乘方与乘除混合运算的运算顺序.【过程与方法】经历计算、思考、归纳的过程,归纳出分式的乘法法则,通过分式的乘除混合运算和乘方运算,加深对分式乘除法法则和乘方法则的记忆,并了解乘方与乘除法混合运算的运算顺序.【情感态度与价值观】通过归纳分式乘方法则的过程,养成归纳意识,通过运用分式的乘除法法则和乘方法则进行混合运算,提高计算能力.二、重难点目标【教学重点】分式的乘方法则和混合运算顺序.【教学难点】运用分式的乘除法法则和乘方法则正确计算.环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P138~P139的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.教材第138页“思考”:⎝⎛⎭⎫a b 2=a 2b 2;⎝⎛⎭⎫a b 3=a 3b 3;⎝⎛⎭⎫a b 10=a10b 10.2.分式的乘方法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方.用字母表示:⎝⎛⎭⎫a b n =a nb n . 3.分式的乘除法和乘方的混合运算,先算乘方,再算乘除法. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】计算:2x -64-4x +x 2÷(x +3)·(x +3)(x -2)3-x.【互动探索】(引发学生思考)类比整式的乘除混合运算顺序进行分式混合运算. 【解答】原式=2x -64-4x +x 2·1x +3·(x +3)(x -2)3-x=2(x -3)(2-x )2·1x +3·(x +3)(x -2)3-x=2(x -3)(x -2)2·1x +3·(x +3)(x -2)-(x -3)=-2x -2【互动总结】(学生总结,老师点评)计算分式的乘除混合运算时,先统一为乘法运算,再依次进行计算.【例2】计算:(1)⎝⎛⎭⎫-2b 2a 33; (2)⎝⎛⎭⎫c 3a 2b 2÷⎝⎛⎭⎫c 4a 3b 2·⎝⎛⎭⎫c a 4. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的乘方法则进行计算时应该注意什么?当式子里同时有乘除法和乘方时,运算顺序是怎样的?【解答】(1)原式=(-2b 2)3(a 3)3=-8b 6a 9.(2)原式=c 6a 4b 2÷c 8a 6b 2·c 4a 4=c 6a 4b 2·a 6b 2c 8·c 4a 4 =c 2a2. 【互动总结】(学生总结,老师点评)分式乘方时,注意分子、分母分别乘方,式子中有乘除法与乘方时,先算乘方,再算乘除法.活动2 巩固练习(学生独学)1.已知⎝⎛⎭⎫x 3y 22÷⎝⎛⎭⎫-x y 32=6,则x 4y 2的值是( A ) A .6 B .36 C .12 D .32.计算:(1)3ab 22x 3y ·⎝⎛⎭⎫-8xy 9a 2b ÷3x(-4b ); (2)3(x -y )2(y -x )3·(x -y )4÷9y -x ; (3)⎝⎛⎭⎫c 3a 2b 2÷⎝⎛⎭⎫c 4a 3b 2÷⎝⎛⎭⎫a c 4; (4)⎝⎛⎭⎫a -b ab 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-a b -a 3·(a 2-b 2). 解:(1)16b 29ax 3.(2)(x -y )43.(3)c 2a 2. (4)a (a +b )b 2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】许老师讲完了分式的乘除一节后,给同学们出了这样一道题,若x =-2018,求代数式x 2-4x 2+x +1÷x 2-2x x 3+x 2+x ·1x +2的值.小明通过计算,发现题目中的x =-2018是多余的.你认为小明的发现是否正确?【互动探索】先计算分式乘除运算的值→验证分式乘除运算的结果与x 的关系. 【解答】x 2-4x 2+x +1÷x 2-2x x 3+x 2+x ·1x +2=(x +2)(x -2)x 2+x +1·x (x 2+x +1)x (x -2)·1x +2=1.∴代数式x 2-4x 2+x +1÷x 2-2x x 3+x 2+x ·1x +2的值是一个定值,与x 的取值无关.故小明的发现是正确的.【互动总结】(学生总结,老师点评)将代数式化简后,如果结果是一个常数,那么该代数式的值与其中字母的取值无关.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习!15.2.2分式的加减第3课时分式的加减一、基本目标【知识与技能】1.理解分式的加减法法则,并能正确计算分式加减法.2.掌握异分母分式加减法的计算步骤,并能正确计算.【过程与方法】经历思考、类比、归纳的过程,理解分式的加减法法则,在掌握分式通分的基础上,掌握异分母分式加减法的计算方法.【情感态度与价值观】类比分数的加减法法则理解分式的加减法法则,养成类比思考的习惯,通过运用分式的加减法法则进行加减法运算,提高运算能力.二、重难点目标【教学重点】分式的加减法法则.【教学难点】异分母分式的加减法的计算步骤.环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P139~P140的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】 1.观察填空: (1)15+25=35; (2)15-25=-15; (3)12+13=36+26=56; (4)12-13=36-26=16. 同分母分数相加减,分母不变,把分子相加减. 异分母分数相加减,先通分,再把分子相加减. 2.类比分数的加减,你能说出分式的加减法则吗? (1)同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减. 用字母表示为a c ±b c =a ±bc.(2)异分母分式相加减,先先通分,变为同分母的分式,再加减. 用字母表示为a b ±c d =ad bd ±bc bd =ad ±bcbd .环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算:x 2-y 2x 2-y 2(2)1a +3+6a 2-9; (3)m +2n n -m -n m -n +2m n -m ; (4)1x -3+1-x 6+2x -6x 2-9. 【互动探索】(引发学生思考)利用分式的加减法法则进行计算,异分母分式相加减时,应该注意什么?【解答】(1)原式=x +3y -(x +2y )x 2-y 2=5yx 2-y 2. (2)原式=a -3(a +3)(a -3)+6(a +3)(a -3)=a +3(a +3)(a -3)=1a -3. (3)原式=m +2n n -m +n n -m +2mn -m=3m +3nn -m. (4)原式=2(x +3)2(x +3)(x -3)+(1-x )(x -3)2(x +3)(x -3)-122(x +3)(x -3)=-(x 2-6x +9)2(x +3)(x -3) =-x -32x +6.【互动总结】(学生总结,老师点评)异分母分式相加减时,首先要通分,变为同分母分式再加减.活动2 巩固练习(学生独学) 1.下列运算中正确的是( C ) A.a a -b -b b -a=1 B .m a -n b =m -n a -bC.a 2a -b -b 2a -b =a +b D .b a -b +1a =1a3.计算:5a b 5a b (2)b 2a -b +a 2b -a; (3)3b -a a 2-b 2-a +2b a 2-b 2-3a -4b b 2-a 2; (4)x x -y +x x +y -x 2x 2-y 2. 解:(1)4a +3b5a 2b .(2)-a -b .(3)a -3b a 2-b 2. (4)x 2(x +y )(x -y ). 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知3x +4x 2-x -2=A x -2-B x +1,其中A 、B 为常数,求4A -B 的值.【互动探索】要求4A -B 的值,需要先求出A 与B 的值.通过化简等式右边,再对比可求出A 、B 的值.【解答】A x -2-Bx +1=A (x +1)(x +1)(x -2)-B (x -2)(x +1)(x -2)=(A -B )x +(A +2B )(x +1)(x -2).因为3x +4x 2-x -2=A x -2-Bx +1=(A -B )x +(A +2B )(x +1)(x -2),所以⎩⎪⎨⎪⎧A -B =3,A +2B =4.解得⎩⎨⎧A =103,B =13.故4A -B =4×103-13=13.【互动总结】(学生总结,老师点评)通过对比等式中等号两边的分式,得出关于A 、B 的二元一次方程,求出A 、B 的值,从而求解.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习!第4课时分式的混合运算一、基本目标【知识与技能】1.明确分式混合运算的运算顺序.2.运用分式的运算法则正确计算分式的混合运算.【过程与方法】经历计算、对比、归纳的过程,明确分式混合运算的运算顺序,在明确运算顺序的基础上,正确计算分数的混合运算.【情感态度与价值观】类比分数的混合运算的运算顺序得出分式的混合运算顺序,养成类比思考的习惯,通过运用分式的运算法则进行混合运算,提高运算能力.二、重难点目标【教学重点】分式混合运算的运算顺序.【教学难点】正确计算分式的混合运算.环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P141~P142的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.分式的混合运算,关键是弄清运算顺序,与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里面的,在运算过程中要注意正确地运用运算法则,灵活地运用运算律,使运算尽量简便.2.分式运算与分数运算一样,结果必须化为最简,能约分的要约分,保证结果是最简分式或整式.活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算:(1)x x -y ·y 2x +y -x 4y x 4-y 4÷x 2x 2+y 2; (2)⎝⎛⎭⎫2a b 2·1a -b -a b ÷b 4; (3)⎝⎛⎭⎪⎫x +2x 2-2x -x -1x 2-4x +4÷4-x x.【互动探索】(引发学生思考)利用分式的混合运算运算顺序计算. 【解答】(1)原式=x x -y ·y 2x +y -x 4y(x 2+y 2)(x 2-y 2)·x 2+y 2x 2=xy 2(x -y )(x +y )·-x 2y x 2-y 2 =xy (y -x )(x -y )(x +y )=-xy x +y .(2)原式=4a 2b 2·1a -b -a b ÷b 4 =4a 2b 2(a -b )-4a b 2 =4a 2-4a (a -b )b 2(a -b )=4abb 2(a -b )=4ab (a -b ).(3)原式=[x +2x (x -2)-x -1(x -2)2]·x -(x -4) =[(x +2)(x -2)x (x -2)2-x (x -1)x (x -2)2]·x -(x -4)=x 2-4-x 2+x x (x -2)2·x -(x -4)=-1x 2-4x +4.【互动总结】(学生总结,老师点评)分式混合运算,先乘方,再乘除,最后加减,注意结果化成最简分式或整式.活动2 巩固练习(学生独学)1.若代数式⎝⎛⎭⎫A -3a -1·2a -2a +2的化简结果为2a -4,则整式A =( A ) A .a +1 B .a -1 C .-a -1 D .-a +12.计算:(1)⎝⎛⎭⎫x 2x -2+42-x ÷x +22x ; (2)⎝⎛⎭⎫a a -b -b b -a ÷⎝⎛⎭⎫1a -1b ;(3)⎝⎛⎭⎫1+y x -y ⎝⎛⎭⎫1-xx +y ;(4)⎝⎛⎭⎫x 2y 2·y 2x -x y 2·2y 2x .解:(1)2x .(2)-ab (a +b )(a -b )2.(3)xy x 2-y 2. (4)x -16y 8y.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】先化简⎝⎛⎭⎫1-1x -1÷x 2-4x +4x 2-1,再从不等式2x -1<6的正整数解中选择一个适当的数代入求值.【互动探索】先化简代数式→解一元一次不等式→从解集中选择一个数代入求值. 【解答】原式=x -2x -1÷(x -2)2(x +1)(x -1)=x +1x -2.由2x -1<6,得x <72.故不等式的正整数解为1,2,3.当x =3时,原式=x +1x -2=3+13-2=4.【互动总结】(学生总结,老师点评)选择x 的值时,要使每个分式都有意义. 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习!15.2.3整数指数幂(第5课时)一、基本目标【知识与技能】1.理解负整数指数幂的意义,掌握整数指数幂的运算性质.2.掌握利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些小于1的正数.【过程与方法】经历思考、计算、对比的过程,理解负整数指数幂的意义,在此基础上,将正整数指数幂的性质推广到任意整数,从而掌握整数指数幂的性质.【情感态度与价值观】类比正整数幂的性质,结合负整数指数幂的意义,推导出整数指数幂的性质,养成类比思考的习惯,通过运用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些小于1的正数,提高运用所学知识的能力.二、重难点目标【教学重点】负整数指数幂的意义,整数指数幂的运算性质.【教学难点】用科学记数法表示一些小于1的正数.环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P142~P145的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】 一、负整数指数幂1.正整数指数幂的运算有:(a ≠0,m 、n 为正整数) (1)a m ·a n =a m +n ; (2)(a m )n =a mn ; (3)(ab )n =a n b n ; (4)a m ÷a n =a m -n ; (5)⎝⎛⎭⎫a b n =a nb ; (6)a 0=1.2.负整数幂:一般地,当n 是正整数时,a -n =1a n(a ≠0),这就是说,a -n (a ≠0)是a n 的倒数. 二、科学记数法1.绝对值大于10的数记成a ×10n 的形式,其中1≤︱a ︱<10,n 是正整数.n 等于原数的整数数位减去1.(2)用科学记数法表示:100=102;2000=2.0×103;33000=3.3×104.2.类似地,我们可以利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些绝对值小于1的数,即将它们表示成a ×10-n的形式.(其中n 是正整数,1≤|a |<10)3.用科学记数法表示:0.01=1×10-2;0.001=1×10-3;0.0033=3.3×10-3.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】计算: (1)x 2y -3(x -1y )3; (2)(2ab 2c -3)-2÷(a -2b )3; (3)3a -2b ·(2ab -2)-2; (4)4xy 2z ÷(-2x -2yz -1).【互动探索】(引发学生思考)利用整数指数幂的运算性质进行计算时应该注意些什么? 【解答】(1)原式=x 2y -3x -3y 3=x -1y 0=1x .(2)原式=14a -2b -4c 6÷(a -6b 3)=14a 4b -7c 6=a 4c 64b 7.(3)原式=3a -2b ·14a -2b 4=34a -4b 5=3b 54a4.(4)原式=-2x 3yz 2.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用整数指数幂的运算性质进行计算,结果负整数指数幂写成分数的形式.【例2】用科学记数法表示下列各数: (1)0.0000001; (2)0.00024; (3)0.0000000035.【互动探索】(引发学生思考)用科学记数法表示小于1的正数,一般形式是怎样的? 【解答】(1)0.0000001=1×10-7. (2)0.00024=2.4×10-4. (3)0.0000000035=3.5×10-9.【互动总结】(学生总结,老师点评)小于1的正数可以用科学记数法表示为a ×10-n 的形式,其中1≤a <10,n 是正整数.【例3】计算:(1)(2×10-6)2·(3×10-4); (2)(3×10-5)3÷(10-3)-2.【互动探索】(学生总结,老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算应该注意些什么?【解答】(1)(2×10-6)2·(3×10-4)=(4×10-12)·(3×10-4)=12×10-16=1.2×10-15.(2)(3×10-5)3÷(10-3)-2=(27×10-15)÷106=27×10-21=2.7×10-20.【互动总结】(学生总结,老师点评)用科学记数法表示的数的有关计算,结果应符合科学记数法.活动2 巩固练习(学生独学)1.计算(-π )0÷⎝⎛⎭⎫-13-2的结果是( D ) A .-16B .0C .6D .192.计算:(1)(m 3n )-2·(2m -2n -3)-2; (2)(2xy -1)2·xy ÷(-2x -2y ); (3)⎝⎛⎭⎫b a -2·⎝⎛⎭⎫a b 2; (4)(2m 2n -1)2÷3m 3n -5.解:(1)n 44m 2.(2)-2x 5y 2.(3)a 4b 4.(4)43mn 3.3.用科学记数法表示下列各数:(1)0.000021; (2)0.00000034; (3)0.00102. 解:(1)2.1×10-5. (2)3.4×10-7. (3)1.02×10-3.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习!15.3分式方程第1课时分式方程及其解法一、基本目标【知识与技能】1.理解分式方程的定义,能确定一个方程是不是分式方程.2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,了解分式方程验根的必要性.【过程与方法】经历分析、观察的过程,理解分式方程的定义,通过思考、归纳,得出可化为一元一次方程的分式方程的解法,在解分式方程的过程中,了解分式方程的增根产生的原因,从而得出验根的必要性.【情感态度与价值观】通过将分式方程转化为一元一次方程求解,培养转化思想的应用意识,通过对增根的认识和分式方程验根的必要性的了解,培养严谨的学习态度.二、重难点目标【教学重点】分式方程的定义,分式方程的解法及判断一个数是不是分式方程的增根.【教学难点】正确求解可化为一元一次方程的分式方程.环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P149~P151的内容,完成下面练习. 【3 min 反馈】1.分式方程的定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母.这是分式方程的一般解法.3.分式方程的验根方法:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.4下列方程中,哪些是关于x 的分式方程?. ①x -13=5; ②1x =4x -1; ③3-x 3=x -1; ④x a =1b -1; ⑤1x 2-9=3x +3. 解:②⑤是关于x 的分式方程. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】解方程: (1)3x =2x -6; (2)3x x +2+1=82x +4; (3)x +1x -1-4x 2-1=1. 【互动探索】(引发学生思考)怎么解分式方程?解分式方程应该注意些什么? 【解答】(1)方程两边乘x (x -6),得3x -18=2x .解得x =18.检验:当x =18时,x (x -6)≠0.故原分式方程的解为x =18. (2)方程两边乘2(x +2),得6x +2(x +2)=8.解得x =12.检验:当x =12时,2(x +2)≠0,故原分式方程的解为x =12.(3)方程两边乘(x +1)(x -1),得(x +1)2-4=(x +1)(x -1).解得x =1. 检验:当x =1时,(x +1)(x -1)=0,因此x =1不是原分式方程的解. 故原分式方程无解.【互动总结】(学生总结,老师点评)解分式方程的一般方法是将分式方程通过“去分母”转化为整式方程求解,注意要验根.活动2 巩固练习(学生独学)1.下列关于x 的方程,是分式方程的是( D ) A.2+x 5-3=3+x6B .x -17+a =3-xC.x 2-m n =x m D .3xx 2+1=4 2.解方程: (1)2x x -3=1; (2)25+x -11+x =0; (3)2x +1+3x -1=6x 2-1; (4)2x 2+x +3x 2-x -4x 2-1=0. 解:(1)x =-3.(2)x =3.(3)无解.(4)无解. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】当m 为何值时,关于x 的方程2x +1+51-x =mx 2-1会产生增根?【互动探索】分式方程的增根是怎么产生的?怎样确定分式方程的增根? 【解答】方程两边乘(x +1)(x -1),得2(x -1)-5(x +1)=m . 化简,得m =-3x -7.由(x +1)(x -1)=0,得方程的增根为x =1或x =-1. 当x =1时,m =-3-7=-10; 当x =-1时,m =3-7=-4.故当m =-10或-4时,关于x 的方程2x +1+51-x =mx 2-1会产生增根.【互动总结】(学生总结,老师点评)去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有未知数的式子,这个式子有可能为0,对于整式方程来说求出的解成立,而对于分式方程来说,当分母为零时,分式无意义,所以这个解不是分式方程的解,称为分式方程的增根.环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)请完成本课时对应练习!第2课时分式方程的应用一、基本目标【知识与技能】1.理解列分式方程解应用题的基本思路和方法.2.能根据题意正确列出分式方程,并解决问题.【过程与方法】经历思考、分析、归纳的过程,掌握列分式方程解决实际问题的方法,通过列分式方程解决实际问题,加深对分式方程解法的理解,并了解列分式方程解决实际问题的重要性.【情感态度与价值观】通过归纳列分式方程解应用题的步骤的过程,养成归纳意识,通过列分式方程解决实际问题,提高运用所学知识解决实际问题的能力.二、重难点目标【教学重点】列分式方程解实际问题的步骤.【教学难点】根据题意正确列出分式方程并求解.环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P152~P153的内容,完成下面练习.【3 min 反馈】1.列方程解应用题的一般步骤是(1)审题设未知数;(2)找等量关系列方程;(3)解方程;(4)检验根是否符合实际意义;(5)作答.2.类比一般方程,列分式方程解应用题的一般步骤是(1)审题设未知数;(2)找等量关系列方程;(3)去分母化分式方程为整式方程;(4)解整式方程;(5)检验根是否符合实际意义;(6)作答.3.施工队要铺设一段全长2000米的管道,因在中考期间需停工两天,实际每天施工需比原来计划多50米,才能按时完成任务,求原计划每天施工多少米.设原计划每天施工x米,则根据题意x 满足的方程为2000x -2=2000x +50. 环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】甲、乙两地相距19千米,某人从甲地去乙地,先步行7千米,然后改骑自行车,共用了2小时到达乙地,已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍,求步行的速度和骑自行车的速度.【互动探索】(引发学生思考)如果设步行速度为x 千米/时,则骑自行车的速度怎么表示?可以根据哪个等量关系来列方程?【解答】设步行速度为x 千米/时,则骑自行车的速度为4x 千米/时.由题意,得7x +19-74x=2.解得x =5. 检验:当x =5时,4x ≠0.故原分式方程的解为x =5,且符合题意.4x =20.故步行的速度为5千米/时,骑自行车的速度为20千米/时.【互动总结】(学生总结,老师点评)行程问题中,最基本的等量关系是路程=速度×时间,根据路程、速度、时间之间的关系列出方程是解题的关键.1.甲、乙两人分别从相距36千米的A ,B 两地相向而行,甲从A 出发到1千米时发现有东西遗忘在A 地,立即返回,取过东西后又立即从A 向B 行进,这样两人恰好在AB 中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米,求二人的速度各是多少?【互动探索】(引发学生思考)等量关系:t 甲=乙.【解答】设乙的速度为x 千米/小时,则甲的速度为(x +0.5)千米/小时.根据题意,列方程得。
数学八年级上册第15章分式 教案 新人教版

【预习速填】
第十五章 分式
15.1 分式
1.分式的概念.分式有三个要素:①形如 的式子;②A,B 都是 ;③分母 B 中含有 .满足 这三个条件的式子即为分式.区别整式和分式的唯一标准是看分母中是否含有字母,若分母 中含有字母,则式子就是分式,若分母中字母,则分子是整式.此外,在列分式表示实际问题中 的某个量时,一定要注量关系的转化. 2.分式有(无)意义及分式值为 0 的条件.理解时注意以下几点:①分式的分母表示除数,由于
a,则宽为 (2)把体积为 200 cm3的水倒入底面积为 33 cm2的圆柱形容器中,则水面的高度为
cm;把体积为 V 的水倒入底面积为 S 的圆柱形容器中,则水面的高度为 学生举手回答,教师与学生一起及时纠正学生出现的错误,并将正确答案填入横线中. 然后教师引入本节课题,并板书.
探究 1:分式的定义 让学生观察刚才的四个式子,看它们有什么相同点和不同点?
教师板书(1)(2)的解答过程,学生独立完成(3)(4).
解:(1)要使分式 有意义,则分母 3x≠0,即 x≠0.因此,当 x≠0 时,分式 有意 义.
(2)要使分式
有意义,则分母 x-1≠0,即 x≠1.因此,当 x≠1 时,分式
有
意义.
(3)要使分式 有意义.
有意义,则分母 5-3b≠0,即 b≠53.因此,当 b≠53 时,分式
教师引导学生总结:①定符号:只把负号留给分式;②定分子与分母的公因式:各项系 数的最大公因数和相同因式的最低次幂的积;③分式约分的最后结果应为最简分式或整式, 即分子、分母没有公因式.
学生先练习,教师再根据情况指导.
教师总结方法:如果分子或分母是多项式,要先分解因式,再找出分子、分母的公因式, 最后根据分式的基本性质进行约分.
人教版八年级数学上册第十五章《分式》教案

第十五章分式15.1 分式15.1.1 从分数到分式1.理解分式的意义,掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系.2.在经历探索、思考、类比的过程中,体会分式的意义,感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型.3.进一步增强从特殊到一般的认知过程,发展学生的数学思维能力.【教学重点】理解分式的意义,掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法.【教学难点】在分式有意义的条件下,分式值为0的字母的取值情况.一、情境导入,初步认识问题一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/小时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?【教学说明】章前画面和上述问题可用多媒体展示,让学生感受生活,感受数学.对所提出的问题让学生相互交流,探索解决问题的过程、方法,教师巡视,适时参与学生的讨论,最后选取学生代表展示成果,教师及时提出新问题.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知问题1刚才大家通过探讨,获得到100602020v v+-,这样的式子,它们是整式吗?如果不是,区别在哪里?思考1(1)长方形的面积为10cm2,长为7cm,宽为;若长方形的面积为S,长为a,则宽应为;(2)把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱的容器中,水面高度为cm;把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面高度应为.思考2 式子S/a、V/S与10/7,200/33有什么区别?它们与10060 2020v v+-,有什么共同点?谈谈你的看法.【教学说明】教师应引导学生对上述三个问题进行积极思考,感受整式与分式、分式与分数之间的联系和区别,初步形成对分式的概念的理解.教师在学生交流过程中,巡视全场,引导学生关注所给式子的分子,分母的特征,此时可类比分数分子、分母进行描述.分式:一般地如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子AB 叫做分式.问题2(1)使分式11x-有意义,则x的取值有什么要求?(2)使分式A/B有意义,所需要的条件是什么?【教学说明】让学生自主探究,获得结论,然后相互交流,教师再予以总结.【归纳结论】使分式A/B有意义时,必有B≠0.三、典例精析,掌握新知例1指出下列各式中的整式与分式:【教学说明】教师总结判断分式的依据:看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.然后让学生自主探索,获得结论,这里要注意:π不是字母,是常数,所以x/π是整式.例2填空:(1)当x时,分式23x有意义?(2)当b时,分式153b-有意义?(3)当x ,y 满足关系 时,分式x y x y +-有意义? (4)当x 时,分式231x x + 有意义? 解:(1)由题意有:3x ≠0,故x ≠0,所以当x ≠0时,分式23x 有意义;(2)由题意有:5-3b ≠0,故b ≠5/3,所以当b ≠5/3时,分式153b -有意义;(3)由题意有x-y ≠0,故x ≠y ,所以当x ≠y 时,分式x y x y+-有意义;(4)由题意有x 2+1≠0,因为x 2≥0,x 2+1≥1,故x 为任何数时,分式231x x +有意义. 【教学说明】让学生自主探索,获得结论,选取一、两名同学汇报自己的结论,师生共同评论.评析时,教师应注意引导学生对(3)、(4)小题进行反思,巩固对分式有意义的条件和认识.例3什么条件下,下列分式的值为0?(1)1x x - ;(2)23m n m n-+ ;(3)()236x x x x --- . 解:(1)由题意有:x-1=0,∴x=1.当x=1时,分母x ≠0,所以当x=1时,分式1x x-的值为0; (2)由题意有:2m-3n=0,∴m=32n ,∴m+n=52n ,又m+n ≠0,即52n ≠0,∴n ≠0,从而在m=32n ≠0时,分式23m n m n-+的值为0; (3)由题意有:x(x-3)=0,∴x=0或x=3,当x=0时,分母x 2-x-6=-6≠0,当x=3时,x 2-x-6=9-3-6=0,故使分式()236x x x x ---的值为0时,x 的值为x=0. 【教学说明】教学时,教师应讲清楚使分式=0时所必须的条件是:分子=0且分母≠0,这样让学生自己通过探讨三个问题的结论时,感知分式有意义是确定分式的值的前提条件,然后给一定时间让学生自己尝试解决所提出的问题,再由老师给予完整解答,让学生在比较、分析与反思中巩固所学知识.在完成上述例题后,教师可引导学生做教材P4练习,以巩固知识.四、师生互动,课堂小结1.这节课你有哪些收获?2.通过这节课的学习,你还有哪些疑问?与同伴交流.【教学说明】问题都可由学生自己总结,选取代表发表自己的看法,从而系统地对本节知识进行回顾与思考,针对学生的疑问,可当堂予以解释,帮助学生掌握所学的知识.1.布置作业:从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课的内容较少,比较贴近实际生活,要求学生知道什么是分式,能区分整式与分式,对保证分式有意义、分子分母要同时满足什么条件能很准确地指出来.此外,分式的值为0时分子分母也要满足一定的条件.教学中可以多出具一些实例,让学生在实际问题中去感知.15.1.2分式的基本性质1.掌握分式的基本性质,能依据分式的性质进行约分和通分运算.2.通过归纳、类比等方法得出分式的基本性质,通过观察、实验、推理等活动,发现并总结出运用分式基本性质进行分式的约分和通分.3.进一步增强学生的创新思维能力.【教学重点】理解并掌握分式的基本性质,能用分式的性质进行分式的约分和通分.【教学难点】在分式通分时找几个分母的公分母是关键,在分式的约分时应注意将分子、分母中的多项式进行分解因式.一、情境导入,初步认识分数的基本性质:一个分数的分子、分母同乘以(或除以)一个不为0的数,分数的值不变.思考下列从左到右的变形成立吗?为什么?【教学说明】教师应引导学生用类比分数的基本性质来解决上述问题,加深对分式性质的初步认识.教学时,让学生相互交流,感受新知.二、思考探究,获取新知(一)分式的基本性质分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.即··A A C A A CB BC B B C÷==÷,(A、B、C均为整式,且C≠0)试一试【教学说明】让学生自主探究,教师巡视,针对学生可能出现的问题及时给予指导,最后师生共同分析,完善答案.教学重点在于让学生明白通过分子(或分母)的变化特征,来获得分母(或分子)的变化思路,为后面的分式约分和通分作好铺垫.2.不改变分式的值,使下列分式的分子或分母都不含有“-”号:3.不改变分式的值,将下列分式中分子或分母的系数化为整数:【教学说明】2、3两道小题均由学生自主完成,相互交流.教师在学生处理第2题时应引导学生运用分数除法法则得到商的符号来完成分式中分子(或分母)的符号的处理办法,第3题应引导学生运用分式性质在分子、分母同乘以一个合适倍数来达到目的,边巡视,边指导,让学生在练习过程中加深对性质的理解和运用.(二)分式的约分分式的约分:把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分,如由2122x x x x =--,就是分式的约分. 最简分式:分子与分母中没有公因式的分式叫做最简分式.分式的约分,一般要约去分子和分母中所有公因式,使所得结果成为最简分式或整式.【教学说明】上述定义或结论,在教学时,教师可结合分数的约分和前面的1(1)小题进行说明,让学生通过感性认识获得理性思考,体验由特殊到一般的辨证思维方法.试一试4.约分:【教学说明】在学生自主探究,探索问题结论过程中,教师应关注学生以下几个方面:(1)找分式的分子、分母中的公因式是否彻底,是否考虑了分子、分母中各项的系数;(2)是否注意到分式的符号的变化;(3)约分是否彻底等,对所出现的问题一定要做好个别指导,最后师生共同讨论,给出正确答案,让学生对比自己的解答,进行必要的反思.(三)分式的通分思考:联想分数的约分,如何进行分式的通分呢?试一试5.将下列分式通分:【分析】(1)把分式化成分母相同的分式的过程叫做分式的通分;(2)通分的关键是确定几个分式的最简公分母,而确定最简公分母通常按以下三个步骤进行:①取各分母系数的最小公倍数作为公分母系数;②各个分母中所有不同的因式均作为公分母中的一个因式;③所有因式的指数以它的最高次幂作为公因式中该因式的指数.【教学说明】教学时,给几分钟时间先让学生尝试着解决问题,在学生出现思维盲区时,教师给予详细分析,边讲边演示,在思维的激烈碰撞过程中,逐渐形成对分式通分的认识.三、师生互动,课堂小结1.通过本节课的学习,你有哪些收获?2.通过这节课的学习,你觉得有哪些知识是难以把握的?你有何想法?【教学说明】通过对问题的思考,让学生回顾本节学过的知识点有哪些,怎样利用分式的性质来化简分式中分子(或分母)的符号,怎样将分子、分母中的系数化成整数,如何进行分式的约分和通分,在约分和通分时最关键的问题有哪些,如何解决等等,进一步深化对本节知识的理解.在这里,教师可引导学生做教材P8练习以及习题14.1中的题,以帮助学生进一步掌握.1.布置作业:从教材“习题15.1”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.“分式的基本性质”在分式教学中占有重要的地位,它是约分、通分的依据.这部分知识比较容易理解,教师在设计这节课时,可利用“猜想和验证”的方法,留给学生足够的探索时间和广阔的思维空间,让学生得到的不仅是数学知识,更主要的是数学学习的方法,从而激励学生进一步地主动学习,产生我会学的成就感.教师应注重提高在验证、交流环节中学生的参与率,尤其是一些后进生可能普遍会感觉无从下手,在交流时不主动,从而停留在一知半解的状态.在巩固练习环节上,教师要注意学生的练习密度,最好给每位学生准备一份练习纸,这样能确保达到一定的练习量.15.2 分式的运算15.2.1 分式的乘除第1课时分式的乘除1.掌握分式的乘除法运算法则,能进行分式的乘除法运算.2.在经历探索、类比、归纳的过程中,理解并掌握分式的乘除法运算法则.3.在类比分数乘除法运算法则获得分式乘除法法则中,让学生体验由数到式的数学发展过程,激发学生学习兴趣,增强求知欲.【教学重点】理解并掌握分式乘除法运算法则,能用它来进行分式乘除法运算.【教学难点】运用分式乘除法运算法则解决一些实际应用问题,进一步增强数学应用能力.一、情境导入,初步认识观察下列算式:由上述算式,我们知道,分数的乘法法则是;分数的除法法则是.思考类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则吗?【教学说明】让学生直接由分数的乘除法运算法则感知分式的乘除法法则,可激发学生的学习兴趣,增强求知欲.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知类比分数的乘除法运算,可以发现分式的乘除法也有相同的运算法则.乘法法则:分式乘分式,把分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母,用式子可表示为:···a d a db c b c=.除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用式子可表示为:···a d a c a cb c b d b d÷==.【教学说明】分式的乘除法则可由学生类比分数得到结论,让学生在合作交流中感受新知;教师不必直接给出结论.在教学时,教师可进一步地展示下面的一些问题,帮助学生加深理解.问题【教学说明】在教学时,上述三个问题教师可延时展示给学生,让学生逐一思考,获得结论.教师巡视,对有困难的学生适时给予指导,同时分别选派2~3名学生上黑板演示,师生共同评析.在问题1中,着重于除式是整式情形,这时应引导学生先将整式看作分母为1的式子来参与计算;问题中侧重于运算结果应予以约分化简,必须是最简分式时才算运算结束;问题3侧重于分式的分母、分子是多项式情形,此时应注重于分解因式,以便于约分化简,整个过程都应是学生自主探究,合作交流来完成的.三、典例精析,掌握新知【分析】本题是分式乘除法,分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则,而分式乘除法实质就是约分.【教学说明】本例仍由学生自主探究,抽学生回答,教师适时点拨,师生共同寻求解题方法,完成解题过程.在完成之后,教师可引导学生做P138练习第2、3题,在这个过程中,仍可让学生举手回答,教师予以点评.四、运用新知,深化理解1.一个水平放置的长方体容器,其容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的m、n时,水面的高为多少?2.大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?【教学说明】这两个题可由学生自主探究,获得结论,教师应关注学生将实际问题转化成分式模型的能力及是否能正确运用分式乘除法法则来完成解答.【答案】可参见教材P135问题1、问题2的解答.五、师生互动,课堂小结运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题?谈谈你的看法,与同伴交流.1.布置作业:从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.分式的乘除不是特别难上的课,主要是要让学生掌握方法.拿乘法来说,其方法有两种:一种是先约分再乘;另一种是先乘再约分.一般应这样处理:如果分子分母全是单项式,就用先乘后约分的方法;如果分子分母含有可分解因式的多项式,就先约分后相乘.当然两种方法并不一定非得有固定的模式,你觉得哪种容易接受就选择哪种.并且在约分时应教给学生一个不容易错的方法,就是约分后把每个约好的式子写在原来的上(分子)下(分母)方,不约的照抄,最后就看写着结果再相乘,既不容易漏乘,也不容易多乘.分式除法可转变为分式乘法后再按上述方法进行.在教学方法上,教师应努力结合现实的问题情境,引导学生理解分式乘除的意义.由于练习计算是比较单调和枯燥的,为了避免单纯的机械计算,将计算学习与解决问题有机结合,创设学生喜欢的实际情境,引导学生根据实际问题的数量关系,列出算式.第2课时分式的乘除混合运算与分式的乘方1.掌握分式的乘除法法则,能用它们进行分式的乘除混合运算.2.理解分式乘方的意义,能进行有关分式乘方的运算.3.通过对具体问题的探究思考,感受分式乘除混合运算、分式乘方运算方法,进一步增强类比的数学思想方法的理解.4.进一步增强学生的数学计算能力,发展严密的数学思维能力,增强数学学习兴趣.【教学重点】分式乘除、乘方混合运算能力.【教学难点】分式乘方法则的理解和运用.一、情境导入,初步认识问题分式乘除法运算法则是什么?如何进行分式乘除法混合运算呢?试一试参见教材P138例4.想一想小明同学在计算xy÷yx·xy时,其过程如下:原式=xy÷1=xy,你认为他的计算正确吗?说说你的理由,与同伴交流.【教学说明】教师延时展示上述三个问题,让学生自主探究,加深对分式乘除法法则的理解,体会分式乘除法混合运算方法.教师对学生的结论给予恰当评析,肯定学生的成绩,对出现的疑问给予鼓励,帮助他们形成正确认知.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知思考参见教材P138“思考”.【归纳结论】参见教材P138最后一段.【教学说明】教师提出问题,由学生自主探究,发现规律,形成认知,从而感受分式乘方的意义.试一试计算:【教学说明】选派两名同学上黑板计算,其余同学在座位上自主探究.教师巡视,最后全班同学一道对两位同学的演示结果进行评析,教师应对学生的解答进行详细讲解,帮助学生完善认知.【归纳结论】分式的乘方,就是把分式的分子、分母各自乘方.三、典例精析,掌握新知例计算:(1)参见教材P139例5第(2)小题;(2)参见教材P139练习第2题第(2)小题.【分析】分式的乘除、乘方混合运算,应先算乘方,再算乘除,能约分的一定要约分.【教学说明】教学时,教师应对一些学生易出现错误的地方予以强调,如(-c2d)2=-c4d2或c2d2,(-3c)3=-9c3等错误,引起学生注意.四、运用新知,深化理解1.参见教材P139“练习”第1题.2.计算:(1)参见教材P139“练习”第2题第(1)小题;(2)参见教材P146第3题第(4)小题.【教学说明】学生独立完成这些小题,然后相互交流,有时间的话,教师予以评价,让学生查漏补缺,巩固新知.五、师生互动,课堂小结本节课所学习的主要知识是什么?有哪些需要特别注意的地方?谈谈你的看法,并与同伴交流.1.布置作业:从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.由于前面学生已对分式的乘除法有一定的了解,所以本课时的教学可采用类比的方法进行,一方面类比整式的乘除混合运算,另一方面类比前面分式的乘除.教学时,教师要起引导作用,引导学生自主发现和解决问题.15.2.2 分式的加减第1课时 分式的加减1.理解并掌握分式的加减法法则,能用它进行简单的分式加减.2.经历探究实际问题中数量关系的过程,感受分式的加减法也是实际需要,进而掌握分式的加减方法.3.进一步增强用类比的思想方法解决数学问题的能力,锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力,体验数学的应用价值.【教学重点】分式的加减法运算方法.【教学难点】异分母分式的加减法即化异分母分式为同分母分式的方法.一、情境导入,初步认识问题1参见教材P139“问题3”.问题2参见教材P139“问题4”.【教学说明】让学生对上述两个问题的思考,得出算式分别为11)3(n n ++ 和322121()s s s s s s --- ,教师巡视,对不能尽快得出算式的学生给予个别指导,让学生能自主分析问题,并探寻解决问题的方法.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知思考参见教材P140“思考”.【归纳结论】同分母分式相加减,分母不变,分子相加减;异分母分式相加减,先通分,化为同分母分式,再加减.【教学说明】在师生共同探讨获得分式加减法法则后,教师应强调以下两个问题:①分式加减的最后结果能约分的一定要约分,化为最简分式;②异分母分式加减时,一定要先确定各分式的最简公分母,化为同分母分式后再进行加减法运算.三、典例精析,掌握新知例 参见教材P140例6.解:参见教材P140例6“解”部分.四、运用新知,深化理解参见教材P141“练习”.【教学说明】第1题只须与学生核对答案即可,而第2题建议选三名中等成绩同学上黑板演示,其它同学独立探究,然后师生共同评析三位同学的演算过程,在评讲过程中教师应有针对性地强调一些需注意的问题:如(1)中的最简公分母;(2)中化为同分母分式后分子应适时添加括号,(3)中应先将22a a b- 化为()()a a b a b +- ,再通分等.五、师生互动,课堂小结1.在进行异分母分式的加减法运算时,应关注哪些问题?2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑,与同伴交流.【教学说明】用问题形式对本节知识进行归纳总结,让学生对知识进行梳理,形成知识体系.1.布置作业:从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.这节课教师可采用探究与自主学习相结合的模式来完成.探究的目的是让学生经历类比分数加减运算的过程,通过将分式中的字母赋值,从而把分数的加减运算法则推及到分式的加减运算.整个过程中既有从特殊到一般的归纳,也有从一般到特殊的演绎.此外还可以通过把例题的再加工,使学生把错误暴露出来,引起他们的共鸣,而这些课堂内学生的差错会成为学生自己可贵的复习资料.接着可出些不同类型的题,让学生再次经历分式的加减运算过程,强化技能,以达到熟练的程度.第2课时分式的混合运算1.进一步掌握分式的加减法运算方法,能用它解决实际问题.2.能进行分式的乘除、加减、乘方混合运算.3.在具体问题情境的探索思考过程中,进一步增强学生的数学应用意识,锻炼分析问题、解决问题的能力.4.进一步培养学生严密的科学态度和良好的学习习惯.【教学重点】掌握分式乘除、加减、乘方混合运算.【教学难点】运用分式乘除、加减、乘方等解决实际问题.一、情境导入,初步认识问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些?在运算过程中有哪些需要注意的问题?问题2在进行分式的乘除、加减,乘方混合运算时,你认为应该怎样做?谈谈你的想法.【教学说明】问题1的设置在于巩固上节课学过知识,并能用它解决本节问题,起承上启下作用;问题2则是让学生联想到分式乘除、分式加减法则是类比分数而得到的,因而可类比得到分式混合运算法则.在教学时,可让学生自主探究,相互交流,在探讨中形成认知.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.二、思考探究,获取新知【教学说明】上述两个例题都应先让学生独立完成试试,然后教师再予以评讲,例1的(1)题侧重于展示分式的混合运算方法;先算乘方,再算乘除,最后算加减;而第(2)题进一步强调混合运算中的运算顺序:“先算乘方,再算乘除,最后算加减.有括号应先做括号内的运算,再算括号外的运算”.三、典例精析,掌握新知【教学说明】教学时,可让学生自主探索,获得结论,教师再行讲解.例1中计算(x2+xy+y2)(x-y)时,若已掌握公式(a2+ab+b2)(a-b)=a3-b3,可直接写出结果x3-y3,如果不知道此公式,可利用多项式乘多项式的法则计算.例2中含有一个开放性问题,这里教师应该强调:选择一个值代入时,一定要使原代数式有意义,即不能选x为0,1这两个值.四、运用新知,深化理解2.在一块a公顷的稻田上插秧,如果10个人插秧,要用m天完成;如果一台插秧机工作,需比10个人插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍?【教学说明】学生独立探究,教师巡视时,对有困难同学给予指导,最后予以评讲,让学生在自查中反思,积累解题经验和方法.五、师生互动,课堂小结1.通过这节课的学习,你有哪些收获?2.你还有哪些疑问?与同伴交流.【教学说明】让学生对照上述两个问题自我反思,既系统回顾本节所学知识,又查找问题所在,在与同伴交流中加深认识.1.布置作业:从教材“习题15.2”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时要求学生理解并掌握分式的乘除、加减和乘方混合运算,为达到教学目标,本课时通过问题的提出,让学生类比前面不含乘方的混合运算.例题的讲解旨在引导学生把实际问题数学化.当然,无论是例题的分析还是练习题的落实,都以学生为中心,给予充分的时间让学生去演算并暴露问题,再指出问题所在,为后面的教学提供较好的对比分析材料.此外,教师还应引导学生发现并总结多。
新版-人教版-数学-八年级上册第十五章《分式》教案

第十五章 分式15.1分式15.1.1从分数到分式一、 教学目标1. 了解分式、有理式的概念.2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:710,as ,33200,sv .2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为v+20100小时,逆流航行60千米所用时间v-2060小时,所以v+20100=v-2060.3. 以上的式子v+20100,v-2060,as ,sv ,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不同点?五、例题讲解P5例1. 当x 为何值时,分式有意义.[分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x 的取值范围.[提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.(补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时..满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,91-x2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3)3. 当x 为何值时,分式的值为0?(1) (2) (3) 1-m m32+-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+23+x x x 57+xx 3217-x x x --21七、课后练习1.列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是正是?哪些是分式?(1)甲每小时做x 个零件,则他8小时做零件 个,做80个零件需 小时. (2)轮船在静水中每小时走a 千米,水流的速度是b 千米/时,轮船的顺流速度是 千米/时,轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 .2.当x 取何值时,分式 无意义?3. 当x 为何值时,分式的值为0? 八、答案:六、1.整式:9x+4, 209y +, 54-m 分式: x 7 , 238y y -,91-x2.(1)x ≠-2 (2)x ≠ (3)x ≠±2 3.(1)x=-7 (2)x=0 (3)x=-1七、1.18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式:8x, a+b, 4y x -;分式:x80, b a s + 2. X = 3. x=-1课后反思:15.1.2分式的基本性质一、教学目标1.理解分式的基本性质.2.会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点1.重点: 理解分式的基本性质.2.难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析1.P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母(或分子),乘以或除以了什么整式,然后应用分式的基本性质,相应地把分子(或分母)乘以或除以了这个整式,填到括号里作为答案,使分式的值不变.2.P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是:约分是要找准分子和分母的公因式,最后的结果要是最简分式;通分是要正确地确定各个分母的最简公分母,一般的取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母.教师要讲清方法,还要及时地纠正学生做题时出现的错误,使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.3.P11习题16.1的第5题是:不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题,但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号,x 802332xx x --212312-+x x改变其中任何两个,分式的值不变.“不改变分式的值,使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一,所以补充例5. 四、课堂引入1.请同学们考虑: 与 相等吗? 与 相等吗?为什么?2.说出 与 之间变形的过程, 与 之间变形的过程,并说出变形依据?3.提问分数的基本性质,让学生类比猜想出分式的基本性质. 五、例题讲解P7例2.填空:[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式,使分式的值不变.P11例3.约分:[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式,使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式,约分的结果要是最简分式.P11例4.通分:[分析] 通分要想确定各分式的公分母,一般的取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母.(补充)例5.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.a b 56--, yx 3-, n m --2, nm 67--, yx 43---。
数学人教版八年级上册第15章第一节分式(教案)

在今天的教学中,我发现学生们对分式的概念和性质掌握得还算不错,但在具体的运算和应用上,部分学生还是显得有些吃力。我意识到,分式的运算规则和实际应用是本节课的难点,需要在今后的教学中进一步强化。
在导入新课环节,通过提问的方式激发学生的兴趣,这个方法效果不错,大家都能积极参与进来。但在新课讲授过程中,我发现理论介绍部分可能过于枯燥,有些学生的注意力开始分散。下次我可以尝试结合更多的实际案例,让理论知识更加生动有趣。
举例:通过实际例题,引导学生掌握求解分式方程的步骤和技巧。
2.教学难点
(1)分式的概念理解:学生可能难以理解分式中字母的含义和作用。
解决方法:通过具体实例和图形说明,帮助学生建立起分式的直观认识。
(2)分式的通分:在具体运算中,学生可能会在寻找最简公分母时遇到困难。
解决方法:提供寻找最简公分母的策略,如分解质因数、使用公共因子等,并进行大量练习。
此外,我还发现部分学生对分式方程的求解感到困惑,特别是对分母为零的情况处理不当。在今后的教学中,我要着重强调这一点,并通过更多的练习题来巩固学生的掌握情况。
最后,我也要肯定学生们的努力和进步。虽然分式的学习对大家来说是一个挑战,但我相信只要我们共同努力,一定能够克服困难,掌握好这一章的知识。教学相长,我也将在反思中不断成长,为学生们提供更好的教学。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调分式的定义和分式运算这两个重点解。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与分式相关的实际问题,如如何分配物品、计算速度等。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,比如用分式来计算不同物体的平均速度。
(3)分式的运算:熟练进行分式的加减乘除运算,掌握运算规则。
人教版八年级数学第十五章《分式的除法运算》全章教案

人教版八年级数学第十五章《分式的除法运算》全章教案一、教学目标1. 掌握分式的除法运算的基本概念和方法;2. 能够正确使用分式的除法运算解决实际问题;3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点:分式的除法运算的步骤和注意事项;2. 教学难点:将实际问题转化为分式的除法运算。
三、教学准备1. 教材:人教版八年级数学教材;2. 教具:黑板、粉笔、教学PPT。
四、教学过程1. 导入(5分钟)通过一个简单的例子引起学生对分式的除法运算的兴趣,并让学生回顾上一章节研究的内容。
2. 基础知识讲解(15分钟)- 讲解什么是分式的除法运算;- 分式的除法运算的步骤和注意事项。
3. 练与讨论(25分钟)布置一些练题,让学生进行个人或小组练,并进行讨论。
4. 错题讲解(10分钟)根据学生练的情况,选择一些典型的错题进行讲解,帮助学生理解和掌握分式的除法运算。
5. 拓展应用(15分钟)通过一些实际问题,让学生将问题转化为分式的除法运算,并进行求解。
6. 小结与反思(5分钟)对本节课的内容进行小结,让学生总结分式的除法运算的要点,并反思自己在研究过程中的收获和不足。
五、课后作业布置一些练题,巩固学生对分式的除法运算的理解和应用能力。
六、教学反思本节课通过导入、知识讲解、练习与讨论、错题讲解、拓展应用等环节,全面培养学生对分式的除法运算的理解和应用能力。
通过实际问题的拓展应用环节,能够更好地激发学生的学习兴趣和思维能力。
在教学过程中,学生的参与度较高,积极性较好,但还需加强对知识的理解和运用能力的培养。
在布置课后作业时,需要根据学生的实际情况进行分层设计,以帮助学生巩固所学知识。
2023八年级数学上册第十五章分式15.1分式15.1.2分式的基本性质教案(新版)新人教版

- 分式的分子与分母同时乘以或除以同一个数,分式的值也不变。
3. 分式的运算
- 加减法:XXX
- 乘除法:XXX
4. 分式的应用
- 实际问题:XXX
- 解题步骤:XXX
5. 总结
- 分式的概念和性质
- 分式的运算方法
- 分式的应用实例
2. 调整教学方法:采用多种教学方法,如案例教学、小组讨论、实验法等,提高学生的学习兴趣和参与度。
3. 多元化评价:采用多元化评价方式,如过程性评价、学生互评、自我评价等,全面了解学生的学习情况,促进学生的全面发展。
八、板书设计
1. 分式的概念
- 分子:XXX
- 分母:XXX
- 分式:XXX
2. 分式的基本性质
强调分式的重点和难点,帮助学生形成完整的知识体系。
(四)巩固练习(预计用时:5分钟)
随堂练习:
随堂练习题,让学生在课堂上完成,检查学生对分式知识的掌握情况。
鼓励学生相互讨论、互相帮助,共同解决分式问题。
错题订正:
针对学生在随堂练习中出现的错误,进行及时订正和讲解。
引导学生分析错误原因,避免类似错误再次发生。
学生预习:
发放预习材料,引导学生提前了解分式的学习内容,标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题,激发学生思考,为课堂学习分式内容做好准备。
教师备课:
深入研究教材,明确分式教学目标和分式重难点。
准备教学用具和多媒体资源,确保分式教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节,提高学生学习分式的积极性。
(二)课堂导入(预计用时:3分钟)
(五)拓展延伸(预计用时:3分钟)
八上数学第15章分式全章教案(最新整理)

【知识与技能】理解分式的意义,一、情境导入,初步认识问题一艘轮船在静水中的最大航速为【教学说明】教师总结判断分式的依据:看分母中是否含有字1.布置作业:从教材“习题2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分【知识与技能】掌握分式的基本性质,能依据分式性质进行约分和通分运算一、情境导入,初步认识分数的基本性质二、思考探究,获取新知(一)分式的基本性质分式的基本性质:的整式,分式的值不变即··A A C AB BC B B ==,试一试不改变分式的值,使下列分式的分子或分母都不含有3.不改变分式的值,将下列分式中分子或分母的系数化为整数(二)分式的约分分式的约分:把分式的分子、分母中的公因式约去的过程叫做分式的约分,如由,就是分式的约分2122x x x x =--(三)分式的通分思考:联想分数的约分,如何进行分式的通分呢?试一试5.将下列分式通分:【分析】(1)把分式化成分母相同的分式的过程叫做分式的通1.布置作业:从教材“习题2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分【知识与技能】掌握分式的乘除法运算法则,能进行分式的乘除法运算一、情境导入,初步认识观察下列算式:由上述算式,我们知道,分数的乘法法则;分数的除法法则三、典例精析,掌握新知【分析】本题是分式乘除法,分子、分母是多项式的应先把多项式分解因式再运用法则,而分式乘除法实质就是约分四、运用新知,深化理解1.一个水平放置的长方体容器,其容积为b,当容器内的水占容积的m、n时,水面的高为多少?2.大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?五、师生互动,课堂小结运用分式乘除法法则解决具体问题时有哪些需要注意的问题?谈谈你的看法,与同伴交流.1.布置作业:从教材“习题2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分【知识与技能】1.掌握分式的乘除法法则,能用它们进行分式的乘除混合运算一、情境导入,初步认识问题分式乘除法运算法则是什么?如何进行分式乘除法混合【教学说明】选派两名同学上黑板计算,主探究.教师巡视,最后全班同学一道对两位同学的演示结果进行1.布置作业:从教材“习题2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分【知识与技能】理解并掌握分式的加减法法则,能用它进行简单的分式加减一、情境导入,初步认识问题1参见教材1.布置作业:从教材“习题2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分【知识与技能】1.进一步掌握分式的加减法运算方法,能用它解决实际问题一、情境导入,初步认识问题1异分母分式的加减法的一般步骤有哪些?在运算过程三、典例精析,掌握新知四、运用新知,深化理解2.在一块a公顷的稻田上插秧,如果10个人插秧,要用完成;如果一台插秧机工作,需比10个人插秧提前3天完成插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍?五、师生互动,课堂小结1.通过这节课的学习,你有哪些收获?2.你还有哪些疑问?与同伴交流.1.布置作业:从教材“习题2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分【知识与技能】理解并掌握整数指数幂的意义,一、情境导入,初步认识(1)当n为正整数时,你有何发现?与同伴交流.三、典例精析,掌握新知【教学说明】以上两例均可由学生自主完成,教师巡视,予以简评即可.四、运用新知,深化理解【教学说明】以上两题由学生独立探究,教师巡视时,对有困难的同学给予指导,再予以评讲,让学生在自查中反思,积累解题经验.在这两题中,第1题的第(1)、(2)、(3)题都是负整数指数幂的运算,解答这类题一般要先把负整数指数化为正整数指数,然后再按正整数指数幂的运算性质进行计算;第(4)题要注意负整数指数幂和零指数幂的运算.1.布置作业:从教材“习题2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分【知识与技能】理解并掌握用科学记数法来表示较小的数的方法一、情境导入,初步认识观察下列算式:【教学说明】通过对上述问题的思考,让学生在具体问题中初步感受绝对值小于1的任何小数都可以写成a×10n的形式,形成感性认识,为后继学习作好铺垫.教师讲课前,先让学生完成“名师导学”.二、思考探究,获取新知1.布置作业:从教材“习题2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分本课时可类比七年级上册所学科学记数法和前一课时的负整数指数幂的教学思路【知识与技能】1.理解分式方程的意义;一、情境导入,初步认识问题一艘轮船在静水中的最大航速为【教学说明】学生独立完成,选三名同学上黑板解答,对有困难同学给予帮助,鼓励他们努力完成解答,学评析三位上黑板同学的解答,吸取经验,善认知.若有时间,教师可引导学生做教材P1501.布置作业:从教材“习题2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分【知识与技能】能构建分式方程解决实际应用问题一、情境导入,初步认识问题解分式方程的一般步骤是怎样的?为什么解分式方程过1.布置作业:从教材“习题2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分【知识与技能】1.进一步了解本章学过的主要知识,能用它们解决具体问题;一、知识框图,整体把握【教学说明】二、释疑解惑,加深理解如何用式子表示分式的基本性质和运算法则?通过类比分数的基本性质和运算法则,你有什么认识?类比的方法在本章学习中起什么作用?怎样进行分式的约分和通分?表示什么意思?如何用科学记数法表示绝对值小于解分式方程的思路和一般步骤是什么?为什么解分式方程【教学说明】教师提出问题,学生思考,交流得到结论,教师再予以解析,帮助学生加深理解.三、典例精析,复习新知(1)关于甲醛污染问题一直困扰人们.我国质检总局规定针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的制品,每千克的衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下,将0.000075用科学记数法表)A.0.75×10-4B.7.5×10-4【教学说明】这里的四道小题可由学生自己给出答案,示答案供学生自查即可.【教学说明】本例有3小题,教师可选取一题讲题,剩下两题让学生试着自己探索.本例的3个小题需要注意的是:(1)题将已知条件变换成适合化简所需形式,从而达到整体代入化简求值的目的;(2)题要注意完全平方公式的灵活运用;(3)题完全平方公1.布置作业:从教材“复习题2.完成创优作业中“本章热点专题训练”“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
人教版八年级数学上册第15章《分式》教学设计(共12课时)

人教版八年级数学上册第15章《分式》教学设计(共12课时)一. 教材分析人教版八年级数学上册第15章《分式》是学生在学习了实数、代数式、方程等知识后,进一步拓展数学知识的一个章节。
分式作为数学中的一个重要概念,不仅在初中数学中占有重要地位,而且在高中乃至大学的数学学习中也会经常用到。
本章主要内容有分式的概念、分式的运算、分式的性质等。
通过本章的学习,使学生能理解分式的概念,掌握分式的运算方法,了解分式的性质,为后续学习函数、不等式等知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的代数基础,对实数、代数式、方程等知识有了初步的认识。
但是,学生对分式的理解还比较模糊,分式的运算和性质对于他们来说是一个新的挑战。
因此,在教学过程中,需要引导学生从实际问题中抽象出分式的概念,通过对比、归纳等方法,让学生自己发现并总结分式的性质,从而提高他们的学习兴趣和自主学习能力。
三. 教学目标1.知识与技能:使学生理解分式的概念,掌握分式的基本运算方法,了解分式的性质。
2.过程与方法:通过自主学习、合作交流等方法,培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观:激发学生学习分式的兴趣,培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点:分式的概念、分式的运算、分式的性质。
2.难点:分式的运算规律、分式的性质的推导和应用。
五. 教学方法1.启发式教学:通过提问、引导、讨论等方式,激发学生的思维,培养他们的抽象思维能力。
2.自主学习:鼓励学生自主探究,发现问题、解决问题,提高他们的自主学习能力。
3.合作交流:引导学生进行小组讨论,分享学习心得,互相帮助,共同提高。
六. 教学准备1.教学PPT:制作清晰、简洁的教学PPT,便于学生理解和记忆。
2.教学素材:准备一些与分式相关的实际问题,用于引导学生从实际问题中抽象出分式的概念。
3.练习题:准备一些分式的练习题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题,引导学生从实际问题中抽象出分式的概念。
最新人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》精品教案

本题源自《教材帮》
随堂练习 1
分子乘以a
(1)
a-b ab
(a2 - ab) a2b
分母乘以a
分子除以x
(2)x2 xy x2
x
x
y
分母除以x
本题源自《教材帮》
随堂练习 1
分子乘以(x+y)
(3)
xx
y y
(x2 (x
y2) y)2
分母乘以(x+y)
分子乘以(m-n)
m-n
(4)
mn
(m - n)2 m2 - n2
本题源自《教材帮》
随堂练习 3
不改变分式的值,使下列分式的分子、分母都不含“-”号.
(1) - 3a - 7b
(2) y - 3x
(3) - 2m 5n
解析:(1) - 3a (-1) 3a 3a - 7b (-1) 7b 7b
(2)
y - 3x
y (-1) 3x
- y 3x
(3) - 2m (-1) 2m - 2m
2 x A. x - y
2y B. x2
2y3 C. 3x2
2y2
D. (x - y)2
解析:先按照题目的要求计算出变化后的分式,然后与原分式进行比较, 看结果是否等于原来的分式即可解答.
本题源自《教材帮》
拓展提升 1
若x,y的值均扩大为原来的3倍,则下列分式的值保持不变的是( D )
2 x A. x - y
B
③分母B中含有字母. 三个条件缺一不可.
判断一个式子是否为分式,不能将其化简后再判断,只需看 原式的本来“面目”是否符合分式的概念.
知识回顾
分式有意义的条件:分式的分母表示除数,由于除数不能为0, 所以分式的分母不能为0,即当B≠0时,分式 A 才有意义.
人教版八年级上册第十五章分式课程设计

人教版八年级上册第十五章分式课程设计课程概述本节课程主要介绍分式的基本概念、分数的四则运算以及与实际生活中的应用。
教学目标1.理解分式的含义以及其计算规则;2.能够进行分式的四则运算;3.通过实际生活中的例子,深入认识分式的应用;4.能够运用分式解决实际问题。
教学内容及时间安排时间教学内容10min 导入:从生活中的例子引出分式20min 基本概念:分式的定义及性质25min 四则运算:加、减、乘、除10min 分式的应用:实际问题的解决15min 练习5min 总结回顾教学步骤及具体方法1. 导入:从生活中的例子引出分式通过生活中的例子引入分式,如:一块蛋糕被分成四份后,每份就是 $\\frac{1}{4}$,如果要分成八份呢?这时就需要用到分式。
引导学生思考,帮助学生认识到分式的重要性,激发学生的学习兴趣。
2. 基本概念:分式的定义及性质简单介绍分式的定义,即分数可以表示成 $\\frac{a}{b}$ 的形式,其中 a 和 b 都是整数。
引导学生通过例子理解分式的性质,如:$\\frac{a}{b} = \\frac{ka}{kb}$,其中 k 是任意非零整数,即分子和分母同时乘上一个非零整数,分式的值不变。
3. 四则运算:加、减、乘、除3.1 加减首先介绍同分母的加减法,然后引入异分母的加减法,通过实际例子进行讲解和练习。
3.2 乘除介绍分式的乘法和除法,通过实际例子进行讲解和练习。
重点讲解除法时,需要特别注意分母不能为 0,需要引导学生注意这一点。
4. 分式的应用:实际问题的解决介绍分式在实际问题中的应用,如:计算时间、距离、速度等。
让学生理解分式在实际问题中的重要性,并通过实例让学生自己解决问题。
5. 练习通过题目来巩固学生对分式的理解和掌握程度。
练习题目可以设计为填空、计算练习和应用题。
6. 总结回顾通过总结回顾,让学生对本节课程的内容有更深入的认识和理解。
同时,引导学生明确本节课程的重点和难点,提高学生的学习效果。
八年级数学上册 第15章 分式教案 (新版)新人教版

分式课题:15.1.1从分数到分式教学目标:知识与技能:1、理解分式的概念,分式有意义或无意义的条件,分式的值为零的条件。
2、能熟练地求出分式有意义、无意义、分式的值为零时字母的取值范围。
3、能用分式表示数量关系,会判别分式何时有意义,分式的值为零的条件。
过程与方法: 经历分式概念的自我建构过程及用分式描述数量关系的过程,学会数学学习的一些常用方法:类比转化、合情推理、抽象概括等。
情感、态度与价值观:在学习过程中,通过丰富的数学活动,获得成功的经验,体验数学活动充满着探索和创造,体会分式的模型思想。
教学重点:分式的概念,分式有意义或无意义的条件,分式的值为零的条件.教学难点:熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.教学过程:一、情景导入(2分钟)1、复习提问:什么是整式?什么是单项式?什么是多项式?2.问题导入:学生看P 126引言的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它以最大航速顺流航行90千米所用时间 与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?请同学们跟着教师一起设未知数,列方程.设江水的流速为v 千米/时,则轮船顺流航行90千米所用的时间为 小时,逆流航行60千米所用时间为 小时,所以,列方程为 。
设疑:你所填的两个代数式是整式吗?今天我们再认识代数式家族中新的一员——分式。
二、自学指导(8分钟)1、熟读课本第127——128页,让学生填写[思考],学生自己依次填出:710,a s ,33200,s v .(完成思考内容:式子有什么共同点? a s ,s v 与分数有什么相同点和不同点?小组合作后归纳小结,一人发言)2.填空:形如 的形式,A,B 表示两个整式,并且B 中 ,那么式子 叫做分式。
A 叫 ,B 叫做 。
3、默读例题后思考:由分数有意义和无意义的条件类比得出:当分式有意义时,分母B 0,;当分式无意义时,分母B 0,;当分式的值为0时,分子A 0且分母B 0。
八年级上册数学(人教):第十五章 分式教案.DOC

第十五章 分式 15.1 分 式 15.1.1 从分数到分式1.以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念,建立数学模型,并理解分式的概念.2.能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件.重点理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件. 难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件.一、复习引入1.什么是整式?什么是单项式?什么是多项式? 2.判断下列各式中,哪些是整式?哪些不是整式?①8m +n 3;②1+x +y 2;③a 2b +ab 23;④a +b 2;⑤2x 2+2x +1;⑥3a 2+b 2;⑦3x 2-42x .二、探究新知 1.分式的定义(1)学生看教材的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?分析:设江水的流速为v 千米/时.轮船顺流航行90千米所用的时间为9030+v 小时,逆流航行60千米所用时间为6030-v 小时,所以9030+v =6030-v.(2)学生完成教材第127页“思考”中的题.观察:以上的式子9030+v ,6030-v ,S a ,Vs ,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不同点?可以发现,这些式子都像分数一样都是AB (即A÷B)的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数,而这些式子中的A ,B 都是整式,并且B 中都含有字母.归纳:一般地,如果A ,B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子AB 叫做分式.巩固练习:教材第129页练习第2题.2.自学教材第128页思考:要使分式有意义,分式中的分母应满足什么条件?分式的分母表示除数,由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B ≠0时,分式AB才有意义.学生自学例1.例1下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义?(1)23x;(2)xx-1;(3)15-3b;(4)x+yx-y.解:(1)要使分式23x有意义,则分母3x≠0,即x≠0;(2)要使分式xx-1有意义,则分母x-1≠0,即x≠1;(3)要使分式15-3b有意义,则分母5-3b≠0,即b≠53;(4)要使分式x+yx-y有意义,则分母x-y≠0,即x≠y.思考:如果题目为:当x为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?巩固练习:教材第129页练习第3题.3.补充例题:当m为何值时,分式的值为0?(1)mm-1;(2)m-2m+3;(3)m2-1m+1.思考:当分式为0时,分式的分子、分母各满足什么条件?分析:分式的值为0时,必须同时满足两个条件:(1)分母不能为零;(2)分子为零.答案:(1)m=0;(2)m=2;(3)m=1.三、归纳总结1.分式的概念.2.分式的分母不为0时,分式有意义;分式的分母为0时,分式无意义.3.分式的值为零的条件:(1)分母不能为零;(2)分子为零.四、布置作业教材第133页习题15.1第2,3题.在引入分式这个概念之前先复习分数的概念,通过类比来自主探究分式的概念,分式有意义的条件,分式值为零的条件,从而更好更快地掌握这些知识点,同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力.15.1.2分式的基本性质(2课时)第1课时分式的基本性质1.了解分式的基本性质,灵活运用分式的基本性质进行分式的变形.2.会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则.重点理解并掌握分式的基本性质.难点灵活运用分式的基本性质进行分式变形.一、类比引新 1.计算: (1)56×215;(2)45÷815. 思考:在运算过程中运用了什么性质?教师出示问题.学生独立计算后回答:运用了分数的基本性质. 2.你能说出分数的基本性质吗?分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数,分数的值不变. 3.尝试用字母表示分数的基本性质:小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质,然后写出分数的基本性质的字母表达式. a b =a·c b·c ,a b =a÷cb÷c.(其中a ,b ,c 是实数,且c ≠0) 二、探究新知1.分式与分数也有类似的性质,你能说出分式的基本性质吗?分式的基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变. 你能用式子表示这个性质吗?A B =A·C B·C ,A B =A÷C B÷C .(其中A ,B ,C 是整式,且C ≠0) 如x 2x =12,b a =aba2,你还能举几个例子吗? 回顾分数的基本性质,让学生类比写出分式的基本性质,这是从具体到抽象的过程. 学生尝试着用式子表示分式的性质,加强对学生的抽象表达能力的培养. 2.想一想下列等式成立吗?为什么? -a -b =a b ;-a b =a -b=-a b .教师出示问题.学生小组讨论、交流、总结.例1 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母都不含“-”号: (1)-2a -3a;(2)-3x 2y ;(3)--x 2y .例2 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数: (1)x +1-2x -1;(2)2-x -x 2+3;(3)-x -1x +1. 引导学生在完成习题的基础上进行归纳,使学生掌握分式的变号法则. 例3 填空:(1)x 3xy =( )y ,3x 2+3xy6x 2=x +y ( ); (2)1ab =( )a 2b ,2a -b a 2=( )a 2b.(b ≠0) 解:(1)因为x 3xy 的分母xy 除以x 才能化为y ,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子也需除以x ,即x 3xy =x 3÷x xy ÷x =x 2y. 同样地,因为3x 2+3xy6x 2的分子3x 2+3xy 除以3x 才能化为x +y ,所以分母也需除以3x ,即3x 2+3xy 6x 2=(3x 2+3xy )÷(3x )6x 2÷(3x )=x +y2x . 所以,括号中应分别填入x 2和2x.(2)因为1ab 的分母ab 乘a 才能化为a 2b ,为保证分式的值不变,根据分式的基本性质,分子也需乘a ,即1ab =1·a ab·a =a a 2b. 同样地,因为2a -ba 2的分母a 2乘b 才能化为a 2b ,所以分子也需乘b ,即2a -b a 2=(2a -b )·b a 2·b=2ab -b 2a 2b . 所以,括号中应分别填a 和2ab -b 2.在解决例题1,2的第(2)小题时,教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化,再思考分式的分子如何变化;在解决例2的第(1)小题时,教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化,再思考分式的分母随之应该如何变化.三、课堂小结1.分式的基本性质是什么? 2.分式的变号法则是什么?3.如何利用分式的基本性质进行分式的变形? 学生在教师的引导下整理知识、理顺思维. 四、布置作业教材第133页习题15.1第4,5题.通过算数中分数的基本性质,用类比的方法给出分式的基本性质,学生接受起来并不感到困难,但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零,让学生养成严谨的态度和习惯.第2课时 分式的约分、通分1.类比分数的约分、通分,理解分式约分、通分的意义,理解最简公分母的概念. 2.类比分数的约分、通分,掌握分式约分、通分的方法与步骤.重点运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分. 难点通分时最简分分母的确定;运用通分法则将分式进行变形.一、类比引新1.在计算56×215时,我们采用了“约分”的方法,分数的约分约去的是什么?分式a 2+ab a 2b ,a +bab相等吗?为什么? 利用分式的基本性质,分式a 2+aba 2b 约去分子与分母的公因式a ,并不改变分式的值,可以得到a +b ab.教师点拨:分式a 2+ab a 2b 可以化为a +bab ,我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__.2.怎样计算45+67?怎样把45,67通分?类似的,你能把分式a b ,cd变成同分母的分式吗?利用分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__.二、探究新知1.约分:(1)-25a 2bc 315ab 2c ;(2)x 2-9x 2+6x +9;(3)6x 2-12xy +6y 23x -3y.分析:为约分,要先找出分子和分母的公因式. 解:(1)-25a 2bc 315ab 2c =-5abc ·5ac 25abc ·3b =-5ac 23b ;(2)x 2-9x 2+6x +9=(x +3)(x -3)(x +3)2=x -3x +3; (3)6x 2-12xy +6y 23x -3y =6(x -y )23(x -y )=2(x -y ).若分子和分母都是多项式,则往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式),然后才能进行约分.约分后,分子与分母没有公因式,我们把这样的分式称为__最简分式__.(不能再化简的分式)2.练习:约分:2ax 2y 3axy 2;-2a (a +b )3b (a +b );(a -x )2(x -a )3;x 2-4xy +2y ;m 2-3m 9-m 2;992-198.学生先独立完成,再小组交流,集体订正.3.讨论:分式12x 3y 2z ,14x 2y 3,16xy4的最简公分母是什么?提出最简公分母概念.一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫做最简公分母.学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤: (1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数; (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到; (3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的;(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母.4.通分:(1)32a 2b 与a -b ab 2c ;(2)2x x -5与3xx +5 .分析:为通分,要先确定各分式的公分母. 解:(1)最简公分母是2a 2b 2c . 32a 2b =3·bc 2a 2b ·bc =3bc 2a 2b 2c , a -b ab 2c =(a -b )·2a ab 2c ·2a =2a 2-2ab2a 2b 2c . (2)最简公分母是(x -5)(x +5). 2xx -5=2x (x +5)(x -5)(x +5)=2x 2+10x x 2-25, 3x x +5=3x (x -5)(x +5)(x -5)=3x 2-15x x 2-25. 5.练习: 通分:(1)13x 2与512xy ;(2)1x 2+x 与1x 2-x ;(3)1(2-x )2与xx 2-4. 教师引导:通分的关键是先确定最简公分母;如果分式的分母是多项式则应先将分母分解因式,再按上述的方法确定分式的最简公分母.学生板演并互批及时纠错.6.思考:分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点?这些做法的根据是什么? 教师让学生讨论、交流,师生共同作以小结. 三、课堂小结1.什么是分式的约分? 怎样进行分式的约分? 什么是最简分式?2.什么是分式的通分? 怎样进行分式的通分? 什么是最简公分母?3.本节课你还有哪些疑惑? 四、布置作业教材第133页习题15.1第6,7题.本节课是在学习了分式的基本性质后学的,重点是运用分式的基本性质正确的约分和通分,约分时要注意一定要约成最简分式,熟练运用因式分解;通分时要将分式变形后再确定最简公分母.15.2 分式的运算 15.2.1 分式的乘除(2课时) 第1课时 分式的乘除法1.理解并掌握分式的乘除法则.2.运用法则进行运算,能解决一些与分式有关的实际问题.重点掌握分式的乘除运算. 难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算.一、复习导入1.分数的乘除法的法则是什么? 2.计算:35×1512;35÷152.由分数的运算法则知35×1512=3×155×12;35÷152=35×215=3×25×15.3.什么是倒数?我们在小学学习了分数的乘除法,对于分式如何进行计算呢?这就是我们这节要学习的内容.二、探究新知问题1:一个水平放置的长方体容器,其容积为V ,底面的长为a ,宽为b 时,当容器的水占容积的mn时,水面的高度是多少?问题2:大拖拉机m 天耕地a hm 2,小拖拉机n 天耕地b hm 2,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?问题1求容积的高V ab ·m n ,问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a m ÷bn 倍.根据上面的计算,请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什么?分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母. 分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. a b ·c d =a·c b·d ;a b ÷c d =a b ·d c =a·d b·c . 三、举例分析 例1 计算:(1)4x 3y ·y 2x 3;(2)ab 32c 2÷-5a 2b 24cd. 分析:这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简,还应注意在计算时跟整式运算一样,先判断运算符号,再计算结果.解:(1)4x 3y ·y 2x 3=4xy 6x 3y =23x2;(2)ab 32c 2÷-5a 2b 24cd =ab 32c 2·4cd -5a 2b 2=-4ab 3cd 10a 2b 2c 2=-2bd 5ac . 例2 计算: (1)a 2-4a +4a 2-2a +1·a -1a 2-4; (2)149-m 2÷1m 2-7m.分析:这两题是分子与分母是多项式的情况,首先要因式分解,然后运用法则. 解:(1)原式(a -2)2(a -1)2·a -1(a +2)(a -2)=a -2(a -1)(a +2); (2)原式1(7-m )(7+m )÷1m (m -7)=1(7-m )(7+m )·m (m -7)1=-m m +7.例3 “丰收1号”小麦试验田边长为a 米(a >1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a -1)米的正方形,两块试验田的小麦都收获了500千克.(1)哪种小麦的单位面积产量高?(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍? 分析:本题的实质是分式的乘除法的运用. 解:(1)略.(2)500(a -1)2÷500a 2-1=500(a -1)2·a 2-1500=a +1a -1. “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a +1a -1倍.四、随堂练习1.计算:(1)c 2ab ·a 2b 2c ;(2)-n 22m ·4m 25n 3;(3)y 7x ÷(-2x );(4)-8xy÷2y5x ;(5)-a 2-4a 2-2a +1·a 2-1a 2+4a +4;(6)y 2-6y +9y +2÷(3-y).答案:(1)abc ;(2)-2m 5n ;(3)-y14;(4)-20x 2;(5)-(a +1)(a -2)(a -1)(a +2);(6)3-y y +2.2.教材第137页练习1,2,3题.五、课堂小结(1)分式的乘除法法则;(2)运用法则时注意符号的变化; (3)因式分解在分式乘除法中的应用;(4)步骤要完整,结果要最简.最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式,也可以写成一个多项式,如(a -1)2a 或a 2-2a +1a.六、布置作业教材第146页习题15.2第1,2题.本节课从两个具有实际背景的问题出发,使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的,进而激发他们学习的兴趣,接着,从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法则.有利于学生接受新知识,而且能体现由数到式的发展过程.第2课时 分式的乘方及乘方与乘除的混合运算1.进一步熟练分式的乘除法法则,会进行分式的乘、除法的混合运算.2.理解分式乘方的原理,掌握乘方的规律,并能运用乘方规律进行分式的乘方运算.重点分式的乘方运算,分式的乘除法、乘方混合运算.难点分式的乘除法、乘方混合运算,以及分式乘法、除法、乘方运算中符号的确定.一、复习引入1.分式的乘除法法则.分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,用分母的积作为积的分母. 分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 2.乘方的意义:a n =a·a·a·…·a(n 为正整数). 二、探究新知例1(教材例4) 计算2x 5x -3÷325x 2-9·x5x +3.解:2x 5x -3÷325x 2-9·x 5x +3=2x 5x -3·25x 2-93·x 5x +3(先把除法统一成乘法运算)=2x 23.(约分到最简公式) 分式乘除运算的一般步骤: (1)先把除法统一成乘法运算;(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式; (3)确定分式的符号,然后约分;(4)结果应是最简分式.1.由整式的乘方引出分式的乘方,并由特殊到一般地引导学生进行归纳. (1)(a b )2=a b ·a b =a 2b2; ↑ ↑由乘方的意义 由分式的乘法法则 (2)同理: (a b )3=a b ·a b ·a b =a 3b3; (a b )n =a b ·a b ·…·a b n 个=a ·a ·…·an 个b ·b ·…·bn 个 =a n b n . 2.分式乘方法则: 分式:(a b )n =a nbn .(n 为正整数)文字叙述:分式乘方是把分子、分母分别乘方.3.目前为止,正整数指数幂的运算法则都有什么?(1)a n ·a n =a m +n ;(2)a m ÷a n =a m -n ; (3)(a m )n =a mn ;(4)(ab)n =a n b n ;(5)(a b )n =a n b n . 三、举例分析 例2 计算: (1)(-2a 2b 3c )2;(2)(a 2b -cd 3)3÷2a d 3·(c 2a )2. (3)(-x 2y )2·(-y 2x )3÷(-y x )4;(4)a 2-b 2a 2+b 2÷(a -b a +b)2. 解:(1)原式=(-2a 2b )2(3c )2=4a 4b 29c 2;(2)原式=a 6b 3-c 3d 9·d 32a ·c 24a 2=-a 3b 38cd 6;(3)原式=x 4y 2·(-y 6x 3)·x 4y4=-x 5;(4)原式=(a +b )(a -b )a 2+b 2·(a +b )2(a -b )2=(a +b )3(a -b )(a 2+b 2).学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方:①对于乘、除和乘方的混合运算,应注意运算顺序,但在做乘方运算的同时,可将除变乘;②做乘方运算要先确定符号.例3 计算: (1)b 3n -1c 2a 2n +1·a 2n -1b3n -2;(2)(xy -x 2)÷x 2-2xy +y 2xy ·x -y x2;(3)(a 2-b 2ab )2÷(a -b a)2.解:(1)原式=b 3n -2·b ·c 2a 2n -1·a 2·a 2n -1b3n -2=bc 2a 2;(2)原式=-x (x -y )1·xy(x -y )2·x -y x 2=-y ; (3)原式=(a +b )2(a -b )2a 2b 2·a 2(a -b )2=a 2+2ab +b 2b 2.本例题是本节课运算题目的拓展,对于(1)指数为字母,不过方法不变;(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算,要进一步让学生熟悉运算顺序,注意做题步骤.四、巩固练习教材第139页练习第1,2题. 五、课堂小结1.分式的乘方法则. 2.运算中的注意事项.六、布置作业教材第146页习题15.2第3题.分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法,然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法则.在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性,使大家都参与进来,提高学习效率.15.2.2 分式的加减(2课时)第1课时 分式的加减理解并掌握分式的加减法则,并会运用它们进行分式的加减运算.重点运用分式的加减运算法则进行运算. 难点异分母分式的加减运算.一、复习提问 1.什么叫通分?2.通分的关键是什么? 3.什么叫最简公分母?4.通分的作用是什么?(引出新课) 二、探究新知1.出示教材第139页问题3和问题4. 教材第140页“思考”.分式的加减法与分数的加减法类似,它们的实质相同.观察下列分数加减运算的式子:15+25=35,15-25=-15,12+13=36+26=56,12-13=36-26=16.你能将它们推广,得出分式的加减法法则吗?教师提出问题,让学生列出算式,得到分式的加减法法则. 学生讨论:组内交流,教师点拨. 2.同分母的分式加减法.公式:a c ±b c =a±b c.文字叙述:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.3.异分母的分式加减法. 分式:a b ±c d =ad bd ±bc bd =ad±bcbd.文字叙述:异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减. 三、典型例题例1(教材例6) 计算:(1)5x +3y x 2-y 2-2x x 2-y 2;(2)12p +3q +12p -3q.解:(1)5x +3y x 2-y 2-2xx 2-y2=5x +3y -2x x 2-y 2=3x +3y x 2-y 2=3x -y ; (2)12p +3q +12p -3q=2p -3q (2p +3q )(2p -3q )+2p +3q(2p +3q )(2p -3q )=2p -3q +2p +3q (2p +3q )(2p -3q )=4p4p 2-9q 2.小结:(1)注意分数线有括号的作用,分子相加减时,要注意添括号. (2)把分子相加减后,如果所得结果不是最简分式,要约分. 例2 计算: m +2n n -m +n m -n -2mn -m. 分析:(1)分母是否相同?(2)如何把分母化为相同的?(3)注意符号问题. 解:原式=m +2n n -m -n n -m -2mn -m=m +2n -n -2m n -m=n -m n -m=1.四、课堂练习1.教材第141页练习1,2题. 2.计算:(1)56ab -23ac +34abc ;(2)12m 2-9+23-m ; (3)a +2-42-a ;(4)a 2-b 2ab -ab -b 2ab -ab 2.五、课堂小结1.同分母分式相加减,分母不变,只需将分子作加减运算,但注意每个分子是个整体,要适时添上括号.2.对于整式和分式之间的加减运算,则把整式看成一个整体,即看成是分母为1的分式,以便通分.3.异分母分式的加减运算,首先观察每个公式是否为最简分式,能约分的先约分,使分式简化,然后再通分,这样可使运算简化.4.作为最后结果,如果是分式则应该是最简分式.六、布置作业教材第146页习题15.2第4,5题.从直观的分数加减运算开始,先介绍同分母分式的加减运算的具体方法,通过类比的思想方法,由数的运算引出式的运算规律,体现了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系.而后,利用同样的类比方法,安排学习异分母的分式加减运算,这样由简到繁、由易到难,符合学生认知的发展规律,有助于知识的层层落实与掌握.第2课时 分式的混合运算1.明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算. 2.能灵活运用运算律简便运算.重点熟练地进行分式的混合运算. 难点熟练地进行分式的混合运算.一、复习引入回忆:我们已经学习了分式的哪些运算? 1.分式的乘除运算主要是通过( )进行的,分式的加减运算主要是通过( )进行的.2.分数的混合运算法则是( ),类似的,分式的混合运算法则是先算( ),再算( ),最后算( ),有括号的先算( )里面的.二、探究新知 1.典型例题 例1 计算:(x +2x -2+4x 2-4x +4)÷x x -2. 分析:应先算括号里的. 例2 计算:x +2y +4y 2x -2y -4x 2yx 2-4y 2.分析:(1)本题应采用逐步通分的方法依次进行; (2)x +2y 可以看作x +2y1.例3 计算:12x -1x +y ·(x +y 2x-x -y). 分析:本题可用分配律简便计算.例4 [1(a +b )2-1(a -b )2]÷(1a +b -1a -b). 分析:可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分. 例5(教材例7) 计算(2a b )2·1a -b -a b ÷b 4.解:(2a b )2·1a -b -a b ÷b 4=4a 2b 2·1a -b -a b ·4b=4a 2b 2(a -b )-4a b 2=4a 2b 2(a -b )-4a (a -b )b 2(a -b ) =4a 2-4a 2+4ab b 2(a -b )=4ab b 2(a -b )=4aab -b 2. 点拨:式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减. 例6(教材例8) 计算: (1)(m +2+52-m )·2m -43-m; (2)(x +2x 2-2x -x -1x 2-4x +4)÷x -4x .解:(1)(m +2+52-m )·2m -43-m=(m +2)(2-m )+52-m ·2m -43-m=9-m 22-m ·2(m -2)3-m =(3-m )(3+m )2-m ·-2(2-m )3-m=-2(m +3);(2)(x +2x 2-2x -x -1x 2-4x +4)÷x -4x=[x +2x (x -2)-x -1(x -2)2]·xx -4 =(x +2)(x -2)-(x -1)x x (x -2)2·xx -4=x 2-4-x 2+x(x -2)2(x -4) =1(x -2)2.分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点:(1)一般按分式的运算顺序法则进行计算,但恰当地使用运算律会使运算简便.(2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子,以备约分或通分时用,可避免运算烦琐.(3)注意括号的“添”或“去”、“变大”与“变小”. (4)结果要化为最简分式.强化练习,引导学生及时纠正在例题中出现的错误,进一步提高运算能力.三、巩固练习1.(1)x 2x -1-x -1;(2)(1-2x +1)2÷x -1x +1;(3)2ab (a -b )(a -c )+2bc (a -b )(c -a ); (4)(1x -y +1x +y )÷xy x 2-y 2.2.教材第142页第1,2题.四、课堂小结1.分式的混合运算法则是先算( ),再算( ),最后算( ),有括号先算( )里的.2.一些题应用运算律、公式能简便运算.五、布置作业1.教材第146页习题15.2第6题.2.先化简再求值1x +1-1x 2-1·x 2-2x +1x +1,其中x =2-1.分式的混合运算是分式这一章的重点和难点,涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点,可根据学生的具体情况,适当增加例题、习题,让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力.15.2.3 整数指数幂1.知道负整数指数幂a -n =1a n .(a ≠0,n 是正整数)2.掌握整数指数幂的运算性质.3.会用科学记数法表示绝对值小于1的数.重点掌握整数指数幂的运算性质,会有科学记数法表示绝对值小于1的数. 难点负整数指数幂的性质的理解和应用.一、复习引入1.回忆正整数指数幂的运算性质:(1)同底数的幂的乘法:a m ·a n =a m +n (m ,n 是正整数); (2)幂的乘方:(a m )n =a mn (m ,n 是正整数);(3)积的乘方:(ab)n =a n b n (n 是正整数);(4)同底数的幂的除法:a m ÷a n =a m -n (a ≠0,m ,n 是正整数,m >n); (5)分式的乘方:(a b )n =a nbn (n 是正整数).2.回忆0指数幂的规定,即当a ≠0时,a 0=1. 二、探究新知(一)1.计算当a ≠0时,a 3÷a 5=a 3a 5=a 3a 3·a 2=1a2,再假设正整数指数幂的运算性质a m ÷a n=a m -n (a ≠0,m ,n 是正整数,m >n)中的m >n 这个条件去掉,那么a 3÷a 5=a 3-5=a -2.于是得到a -2=1a2(a ≠0).总结:负整数指数幂的运算性质:一般的,我们规定:当n 是正整数时,a -n =1a n (a ≠0).2.练习巩固:填空:(1)-22=________, (2)(-2)2=________, (3)(-2)0=________, (4)20=________,(5)2-3=________, (5)(-2)-3=________. 3.例1 (教材例9) 计算:(1)a -2÷a 5;(2)(b 3a2)-2;(3)(a -1b 2)3;(4)a -2b 2·(a 2b -2)-3.解:(1)a -2÷a 5=a-2-5=a -7=1a7;(2)(b 3a 2)-2=b -6a-4=a 4b -6=a 4b 6;(3)(a -1b 2)3=a -3b 6=b 6a3;(4)a -2b 2·(a 2b -2)-3=a -2b 2·a -6b 6=a -8b 8=b 8a8.[分析] 本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算,与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样,但计算结果有负指数幂时,要写成分式形式.4.练习:计算:(1)(x 3y -2)2;(2)x 2y -2·(x -2y)3;(3)(3x 2y -2)2÷(x -2y)3.5.例2 判断下列等式是否正确?(1)a m ÷a n =a m ·a -n ;(2)(a b)n =a n b -n .[分析] 类比负数的引入使减法转化为加法,得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论,从而使分式的运算与整式的运算统一起来,然后再判断等式是否正确.(二)1.用科学记数法表示值较小的数因为0.1=110=10-1;0.01=________=________;0.001=________=________……所以0.000 025=2.5×0.000 01=2.5×10-5. 我们可以利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些绝对值较小的数,即将它们表示成a ×10-n 的形式,其中n 是正整数,1≤|a|<10.2.例3(教材例10) 纳米是非常小的长度单位,1纳米=10-9米,把1纳米的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体?(物体之间的间隙忽略不计)[分析] 这是一个介绍纳米的应用题,是应用科学记数法表示小于1的数. 3.用科学记数法表示下列各数:0.00 04,-0.034,0.000 000 45,0.003 009. 4.计算:(1)(3×10-8)×(4×103);(2)(2×10-3)2÷(10-3)3. 三、课堂小结1.引进了零指数幂和负整数幂,指数的范围扩大到了全体整数,幂的性质仍然成立. 2.科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数,也可以表示一些绝对值较小的数,在应用中,要注意a 必须满足1≤|a|<10,其中n 是正整数.四、布置作业教材第147页习题15.2第7,8,9题.本节课教学的主要内容是整数指数幂,将以前所学的有关知识进行了扩充.在本节的教学设计上,教师重点挖掘学生的潜在能力,让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动,加深对新知识的理解.15.3 分式方程(2课时) 第1课时 分式方程的解法1.理解分式方程的意义.2.理解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法.重点解分式方程的基本思路和解法. 难点理解解分式方程时可能无解的原因.一、复习引入问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ,它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间,与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等,江水的流速为多少?[分析]设江水的流速为x 千米/时,根据题意,得9030+v =6030-v.① 方程①有何特点?[概括]方程①中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程. 提问:你还能举出一个分式方程的例子吗? 辨析:判断下列各式哪个是分式方程.(1)x +y =5;(2)x +25=2y -z 3;(3)1x ;(4)y x +5=0;(5)1x +2x =5.根据定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)是分式,(4)(5)是分式方程. 二、探究新知1.思考:怎样解分式方程呢?为了解决本问题,请同学们先思考并回答以下问题:(1)回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的,从中能否得到一点启发? (2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢? [可先放手让学生自主探索,合作学习并进行总结]方程①可以解答如下:方程两边同乘以(30+v)(30-v),约去分母,得90(30-v)=60(30+v). 解这个整式方程,得v =6.所以江水的流度为6千米/时.[概括]上述解分式方程的过程,实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.2.例1 解方程:1x -5=10x 2-25.②解:方程两边同乘(x 2-25),约去分母,得x +5=10. 解这个整式方程,得x =5.事实上,当x =5时,原分式方程左边和右边的分母(x -5)与(x 2-25)都是0,方程中出现的两个分式都没有意义,因此,x =5不是分式方程的根,应当舍去,所以原分式方程无解.解分式方程的步骤:在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘一个含未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为增根.因此,在解分式方程时必须进行检验.3.那么,可能产生“增根”的原因在哪里呢?解分式方程去分母时,方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母).方程①两边乘(30+v)(30-v),得到整式方程,它的解v =6.当v =6时,(30+v)(30-v)≠0,这就是说,去分母时,①两边乘了同一个不为0的式子,因此所得整式方程的解与①的解相同.方程②两边乘(x -5)(x +5),得到整式方程,它的解x =5.当x =5时,(x -5)(x +5)=0,这就是说,去分母时,②两边乘了同一个等于0的式子,这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象,因此这样的解不是②的解.4.验根的方法: 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见,也可将它代入所乘的整式(即最简公分母),看它的值是否为零.如果为零,即为增根.如例1中的x =5,代入x 2-25=0,可知x =5是原分式方程的增根.三、举例分析 例2(教材例1) 解方程2x -3=3x. 解:方程两边乘x(x -3),得2x =3x -9. 解得x =9.检验:当x =9时,x(x -3)≠0. 所以,原分式方程的解为x =9. 例3(教材例2) 解方程x x -1-1=3(x -1)(x +2).。
_八级数学上册第十五章分式15.3分式方程教案新版新人教版09033124

15.3分式方程(第1课时)教课目的:1.认识分式方程的观点和产生增根的原由.2.掌握分式方程的解法,会解可化为一元一次方程的分式方程,会查验一个数是否是原方程的增根 .要点难点1.要点:会解可化为一元一次方程的分式方程,会查验一个数是否是原方程的增根.2.难点:会解可化为一元一次方程的分式方程,会查验一个数是否是原方程的增根.教课过程一、例、习题的企图剖析1. P149思虑提出问题,引起学生的思虑,进而引出解分式方程的解法以及产生增根的原由. 2. P149的概括明确地总结认识分式方程的基本思路和做法.3. P150思虑提出问题,为何有的分式方程去分母后获得的整式方程的解就是原方程的解,而有的分式方程去分母后获得的整式方程的解就不是原方程的解,引出剖析产生增根的原由,及P151 的概括出查验增根的方法.4. P150 思虑概括出查验增根的方法的理论依据是什么?5.教材 P154 习题第 2 题是含有字母系数的分式方程,对于学有余力的学生,教师能够点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相像,不过在系数化 1 时,要考虑字母系数不为0, 才能除以这个系数 .这种方程的解一定验根.二、讲堂引入1.回想一元一次方程的解法,而且解方程x 22x3461 .2.提出本章前言的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20 千米 / 时,它沿江以最大航速顺水航行100 千米所用时间,与以最大航速逆流航行60 千米所用时间相等,江水的流速为多少?剖析:设江水的流速为v 千米/时,依据“两次航行所用时间相同”这一等量关系,获得方程10060.20 v20 v像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.三、例题解说( P151)例 1. 解方程2 3 .x3x[ 剖析 ] 找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转变为整式方程,整式方程的解一定验根 . ( P151)例 2. 解方程x 3.11x( x 1)(x2)[ 剖析 ] 找对最简公分母 (x-1)(x+2),方程两边同乘 (x-1)(x+2) 时 , 学生简单把整数 1 漏乘最简公分母 (x-1)(x+2) ,整式方程的解一定验根 .四、随堂练习教材 P152 练习五、课后练习1.教材 P154 习题 15.3 第 1 题 .2.以下方程 , 是分式方程的有 __① __(填序号) .①1 x ② x 1 4 y③ 2x 1 x ;④ 5x 3 x 1 ;2 53 ;43x3.分式方程4 2 的最简公分母是 ____x(x+1)(x-1)___ 2xx 2 xx4.分式方程x x 1解为( D)x3x 1 的A. x 1B.x1 C.x 3D.x 35.解以下分式方程:( 1)2 1 ( 2)3 x1(3)x2x 32x2x 4 x 2 2x 2解:( 1) x=-1.(2)x5 . ( 3)无解 .311 ⑤ 3y 6 y .2 y;.16x 2 x 2 4 x 2课题15.3 分式方程 ( 第 2 课时 )知识与技术进一步认识分式方程的观点和产生增根的原由.教课过程与方法1、掌握含有字母系数的分式方程的解法2、进一步认识分式方程产生增根的原由目标感情态度与理解“增根”和“无解”不是一回事.价值观教课要点会解可化为一元一次方程的分式方程,会查验一个数是否是原方程的根.教课难点掌握“增根”和“无解”不是一回事教课资源【教课流程】教课过程备注【研究一】解分式方程 .⑴11 ;⑵x141 .x 1 2 x 2x 1 x 21【研究二】 x 为何值时,代数式2x91 2的值等于2?x 3x 3 x【研究三】利用增根的性质解题若分式方程x2a有增根,求a 的值.x 4x4【研究四】理解“ 增根”和“无解” .(一)已知分式方程有增根,确立字母系数的值。
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第十五章 分式15.1分式15.1.1从分数到分式一、 教学目标1. 了解分式、有理式的概念.2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:710,as ,33200,sv .2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时.轮船顺流航行100千米所用的时间为v+20100小时,逆流航行60千米所用时间v-2060小时,所以v+20100=v-2060.3. 以上的式子v+20100,v-2060,as ,sv ,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不同点?五、例题讲解P5例1. 当x 为何值时,分式有意义.[分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x 的取值范围.[提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.(补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时..满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -,91-x2. 当x 取何值时,下列分式有意义? (1) (2) (3)3. 当x 为何值时,分式的值为0?(1) (2) (3) 1-m m32+-m m 112+-m m 4522--x x x x 235-+23+x x x 57+xx 3217-x x x --21七、课后练习1.列代数式表示下列数量关系,并指出哪些是正是?哪些是分式?(1)甲每小时做x 个零件,则他8小时做零件 个,做80个零件需 小时. (2)轮船在静水中每小时走a 千米,水流的速度是b 千米/时,轮船的顺流速度是 千米/时,轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 .2.当x 取何值时,分式 无意义?3. 当x 为何值时,分式的值为0? 八、答案:六、1.整式:9x+4, 209y +, 54-m 分式: x 7 , 238y y -,91-x2.(1)x ≠-2 (2)x ≠ (3)x ≠±2 3.(1)x=-7 (2)x=0 (3)x=-1七、1.18x, ,a+b, b a s +,4y x -; 整式:8x, a+b, 4y x -;分式:x80, b a s + 2. X = 3. x=-1课后反思:15.1.2分式的基本性质一、教学目标1.理解分式的基本性质.2.会用分式的基本性质将分式变形. 二、重点、难点1.重点: 理解分式的基本性质.2.难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形. 三、例、习题的意图分析1.P7的例2是使学生观察等式左右的已知的分母(或分子),乘以或除以了什么整式,然后应用分式的基本性质,相应地把分子(或分母)乘以或除以了这个整式,填到括号里作为答案,使分式的值不变.2.P9的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是:约分是要找准分子和分母的公因式,最后的结果要是最简分式;通分是要正确地确定各个分母的最简公分母,一般的取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母.教师要讲清方法,还要及时地纠正学生做题时出现的错误,使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.3.P11习题16.1的第5题是:不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”x 802332xx x --212312-+x x号.这一类题教材里没有例题,但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.“不改变分式的值,使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一,所以补充例5. 四、课堂引入1.请同学们考虑: 与 相等吗? 与 相等吗?为什么?2.说出 与 之间变形的过程, 与 之间变形的过程,并说出变形依据?3.提问分数的基本性质,让学生类比猜想出分式的基本性质. 五、例题讲解P7例2.填空:[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式,使分式的值不变.P11例3.约分:[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式,使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式,约分的结果要是最简分式.P11例4.通分:[分析] 通分要想确定各分式的公分母,一般的取系数的最小公倍数,以及所有因式的最高次幂的积,作为最简公分母.(补充)例5.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.a b 56--, yx 3-, n m --2, nm 67--, yx 43---。
[分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号,其中两个符号同时改变,分式的值不变.解:a b 56--=ab 56,yx 3-=yx 3-,nm --2=nm 2,n m 67--=n m 67 , y x 43---=yx43。
六、随堂练习1.填空:(1) x x x 3222+= ()3+x (2) 32386b b a =()33a (3) c a b ++1=()cn an + (4) ()222y x y x +-=()yx -2.约分:(1)c ab b a 2263 (2)2228m n n m (3)532164xyzyz x - (4)x y y x --3)(23.通分:4320152498343201524983(1)321ab 和c b a 2252 (2)xy a2和23x b (3)223ab c 和28bc a - (4)11-y 和11+y4.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1) 233aby x -- (2) 2317b a --- (3) 2135x a -- (4) m b a 2)(-- 七、课后练习1.判断下列约分是否正确: (1)c b c a ++=b a (2)22y x yx --=y x +1 (3)nm nm ++=0 2.通分: (1)231ab 和b a 272 (2)x x x --21和x x x +-21 3.不改变分式的值,使分子第一项系数为正,分式本身不带“-”号. (1)b a b a +---2 (2)yx yx -+--32八、答案:六、1.(1)2x (2) 4b (3) bn+n (4)x+y2.(1)bc a 2 (2)n m 4 (3)24zx - (4)-2(x-y)23.通分:(1)321ab = cb a ac 32105, c b a 2252= c b a b 32104 (2)xy a 2= y x ax 263, 23x b = yx by262(3)223ab c = 223812c ab c 28bc a -= 228c ab ab(4)11-y =)1)(1(1+-+y y y 11+y =)1)(1(1+--y y y4.(1) 233ab y x (2) 2317b a - (3) 2135xa (4) mb a 2)(--课后反思:15.2分式的运算15.2.1分式的乘除(一)一、教学目标:理解分式乘除法的法则,会进行分式乘除运算. 二、重点、难点1.重点:会用分式乘除的法则进行运算. 2.难点:灵活运用分式乘除的法则进行运算 . 三、例、习题的意图分析1.P13本节的引入还是用问题1求容积的高,问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍,这两个引例所得到的容积的高是nmab v ⋅,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的⎪⎭⎫⎝⎛÷n b m a 倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义,进一步引出P14[观察]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时,不易耽误太多时间.2.P14例1应用分式的乘除法法则进行计算,注意计算的结果如能约分,应化简到最简. 3.P14例2是较复杂的分式乘除,分式的分子、分母是多项式,应先把多项式分解因式,再进行约分.4.P14例3是应用题,题意也比较容易理解,式子也比较容易列出来,但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a 2-2a+1<a 2-2+1,即(a-1)2<a 2-1.这一点要给学生讲清楚,才能分析清楚“丰收2号”单位面积产量高.(或用求差法比较两代数式的大小)四、课堂引入1.出示P13本节的引入的问题1求容积的高nmab v ⋅,问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的⎪⎭⎫⎝⎛÷n b m a 倍. [引入]从上面的问题可知,有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手,类比出分式的乘除法法则.1. P14[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.3.[提问] P14[思考]类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则? 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论. 五、例题讲解P14例1.[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简,还应注意在计算时跟整式运算一样,先判断运算符号,在计算结果.P15例2.[分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式,应先把多项式分解因式,再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式,而是多个多项式相乘是不必把它们展开.P15例.[分析]这道应用题有两问,第一问是:哪一种小麦的单位面积产量最高?先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积,再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量,分别是15002-a 、()21500-a ,还要判断出以上两个分式的值,哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a 2-2a+1<a 2-2+1,即(a-1)2<a 2-1,可得出“丰收2号”单位面积产量高. 六、随堂练习计算(1)ab c 2c b a 22⋅ (2)322542n m m n ⋅- (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷x x y 27 (4)-8xy x y 52÷ (5)4411242222++-⋅+--a a a a a a (6))3(2962y y y y -÷++-七、课后练习计算(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅y xy x 132 (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷a bc ac b 2110352(3)()y x axy 28512-÷ (4)b a ab ab b a 234222-⋅- (5))4(12x x x x -÷-- (6)3222)(35)(42x y x x y x --⋅-八、答案:六、(1)ab (2)n m 52- (3)14y - (4)-20x 2(5))2)(1()2)(1(+--+a a a a(6)23+-y y七、(1)x1- (2)227c b - (3)ax 103- (4)bb a 32+(5)xx -1 (6)2)(5)(6y x y x x -+课后反思:15.2.1分式的乘除(二)一、教学目标:熟练地进行分式乘除法的混合运算. 二、重点、难点1.重点:熟练地进行分式乘除法的混合运算. 2.难点:熟练地进行分式乘除法的混合运算. 三、例、习题的意图分析1. P17页例4是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先把除法统一成乘法运算,再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式,最后进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.教材P17例4只把运算统一乘法,而没有把25x 2-9分解因式,就得出了最后的结果,教师在见解是不要跳步太快,以免学习有困难的学生理解不了,造成新的疑点.2, P17页例4中没有涉及到符号问题,可运算符号问题、变号法则是学生学习中重点,也是难点,故补充例题,突破符号问题. 四、课堂引入计算(1))(x y y x x y -⋅÷ (2) )21()3(43x y x y x -⋅-÷五、例题讲解(P17)例4.计算[分析] 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算,再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式,最后进行约分,注意最后的计算结果要是最简的.(补充)例.计算(1))4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅=x b b a xy y x ab 34)98(23232-⋅-⋅ (先把除法统一成乘法运算) =xb b a xy y x ab 349823232⋅⋅ (判断运算的符号) =32916ax b (约分到最简分式)(2) x x x x x x x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(444622=x x x x x x x --+⋅+⋅+--3)2)(3(31444622 (先把除法统一成乘法运算)=x x x x x x --+⋅+⋅--3)2)(3(31)2()3(22 (分子、分母中的多项式分解因式) =)3()2)(3(31)2()3(22---+⋅+⋅--x x x x x x =22--x六、随堂练习计算(1))2(216322b a a bc a b -⋅÷ (2)103326423020)6(25b a c c ab b a c ÷-÷ (3)x y y x x y y x -÷-⋅--9)()()(3432 (4)22222)(x y x xy y xy x x xy -⋅+-÷-七、课后练习计算(1))6(4382642z yx yx y x -÷⋅- (2)9323496222-⋅+-÷-+-a a b a ba a (3)229612316244y y y y y y --÷+⋅-+- (4)xyy xyy x xy x xy x -÷+÷-+222)(八、答案:六.(1)c a 432- (2)485c - (3)3)(4y x - (4)-y七. (1)336yxz(2) 22-b a (3)122y - (4)x 1-课后反思:15.2.1分式的乘除(三)一、教学目标:理解分式乘方的运算法则,熟练地进行分式乘方的运算. 二、重点、难点1.重点:熟练地进行分式乘方的运算.2.难点:熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 三、例、习题的意图分析1. P17例5第(1)题是分式的乘方运算,它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号,在分别把分子、分母乘方.第(2)题是分式的乘除与乘方的混合运算,应对学生强调运算顺序:先做乘方,再做乘除..2.教材P17例5中象第(1)题这样的分式的乘方运算只有一题,对于初学者来说,练习的量显然少了些,故教师应作适当的补充练习.同样象第(2)题这样的分式的乘除与乘方的混合运算,也应相应的增加几题为好.分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点,也是难点,故补充例题,强调运算顺序,不要盲目地跳步计算,提高正确率,突破这个难点. 四、课堂引入计算下列各题:(1)2)(ba =⋅b ab a =( ) (2) 3)(b a =⋅b a ⋅b a b a=( ) (3)4)(ba =⋅b a ⋅b a b a ba⋅=( ) [提问]由以上计算的结果你能推出nba )((n 为正整数)的结果吗?五、例题讲解 (P17)例5.计算[分析]第(1)题是分式的乘方运算,它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号,再分别把分子、分母乘方.第(2)题是分式的乘除与乘方的混合运算,应对学生强调运算顺序:先做乘方,再做乘除. 六、随堂练习1.判断下列各式是否成立,并改正.(1)23)2(a b =252a b (2)2)23(a b -=2249a b - (3)3)32(x y -=3398xy (4)2)3(b x x -=2229b x x - 2.计算(1) 22)35(y x (2)332)23(c b a - (3)32223)2()3(x ay xy a -÷ (4)23322)()(z x z y x -÷- 5))()()(422xy xy y x -÷-⋅- (6)232)23()23()2(ayx y x x y -÷-⋅-七、课后练习计算(1) 332)2(a b -(2) 212)(+-n ba(3)4234223)()()(c a ba cb ac ÷÷ (4) )()()(2232b a a b a ab b a -⋅--⋅- 八、答案:六、1. (1)不成立,23)2(a b =264a b (2)不成立,2)23(a b -=2249ab (3)不成立,3)32(x y -=33278xy - (4)不成立,2)3(b x x -=22229b bx x x +-2. (1)24925y x (2)936827c b a - (3)24398y x a - (4)43z y -(5)21x (6)2234xy a七、(1) 968a b -- (2) 224+n b a (3)22ac (4)b b a +课后反思:15.2.2分式的加减(一)一、教学目标:(1)熟练地进行同分母的分式加减法的运算.(2)会把异分母的分式通分,转化成同分母的分式相加减. 二、重点、难点1.重点:熟练地进行异分母的分式加减法的运算.2.难点:熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 三、例、习题的意图分析1. P18问题3是一个工程问题,题意比较简单,只是用字母n 天来表示甲工程队完成一项工程的时间,乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天,两队共同工作一天完成这项工程的311++n n .这样引出分式的加减法的实际背景,问题4的目的与问题3一样,从上面两个问题可知,在讨论实际问题的数量关系时,需要进行分式的加减法运算.2. P19[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则,类比分数的加减法,分式的加减法的实质与分数的加减法相同,让学生自己说出分式的加减法法则.3.P20例6计算应用分式的加减法法则.第(1)题是同分母的分式减法的运算,第二个分式的分子式个单项式,不涉及到分子变号的问题,比较简单,所以要补充分子是多项式的例题,教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号;第(2)题是异分母的分式加法的运算,最简公分母就是两个分母的乘积,没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足,题型也过于简单,教师应适当补充一些题,以供学生练习,巩固分式的加减法法则.(4)P21例7是一道物理的电路题,学生首先要有并联电路总电阻R 与各支路电阻R 1, R 2, …, R n 的关系为nR R R R111121+⋅⋅⋅++=.若知道这个公式,就比较容易地用含有R 1的式子表示R 2,列出5011111++=R R R,下面的计算就是异分母的分式加法的运算了,得到)50(5021111++=R R R R ,再利用倒数的概念得到R 的结果.这道题的数学计算并不难,但是物理的知识若不熟悉,就为数学计算设置了难点.鉴于以上分析,教师在讲这道题时要根据学生的物理知识掌握的情况,以及学生的具体掌握异分母的分式加法的运算的情况,可以考虑是否放在例8之后讲.四、课堂堂引入1.出示P18问题3、问题4,教师引导学生列出答案.引语:从上面两个问题可知,在讨论实际问题的数量关系时,需要进行分式的加减法运算.2.下面我们先观察分数的加减法运算,请你说出分数的加减法运算的法则吗? 3. 分式的加减法的实质与分数的加减法相同,你能说出分式的加减法法则? 4.请同学们说出2243291,31,21xyy x y x 的最简公分母是什么?你能说出最简公分母的确定方法吗? 五、例题讲解(P20)例6.计算[分析] 第(1)题是同分母的分式减法的运算,分母不变,只把分子相减,第二个分式的分子式个单项式,不涉及到分子是多项式时,第二个多项式要变号的问题,比较简单;第(2)题是异分母的分式加法的运算,最简公分母就是两个分母的乘积.(补充)例.计算 (1)2222223223y x yx y x y x y x y x --+-+--+[分析] 第(1)题是同分母的分式加减法的运算,强调分子为多项式时,应把多项事看作一个整体加上括号参加运算,结果也要约分化成最简分式. 解:2222223223yx yx y x y x y x y x --+-+--+ =22)32()2()3(yx y x y x y x --++-+ =2222y x yx -- =))(()(2y x y x y x +--=yx +2(2)96261312--+-+-x x x x [分析] 第(2)题是异分母的分式加减法的运算,先把分母进行因式分解,再确定最简公分母,进行通分,结果要化为最简分式. 解:96261312--+-+-x x x x =)3)(3(6)3(2131-+-+-+-x x x x x =)3)(3(212)3)(1()3(2-+---++x x x x x=)3)(3(2)96(2-++--x x x x =)3)(3(2)3(2-+--x x x =623+--x x六、随堂练习计算(1)ba ab b a b a b a b a 22255523--+++ (2)m n mn m n m n n m -+---+22(3)96312-++a a (4)ba ba b a b a b a b a b a b a ---+-----+-87546563七、课后练习计算 (1)22233343365cba ba c ba ab bc a b a +--++ (2)2222224323ab ba b a b a b a a b ----+---(3) 122+++-+-b a a b a b a b (4) 22643461461x y xy x y x ----- 八、答案:四.(1)ba b a 2525+ (2)m n n m -+33 (3)31-a (4)1 五.(1)b a 22 (2) 223b a b a -- (3)1 (4)yx 231-课后反思:15.2.2分式的加减(二)一、教学目标:明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算. 二、重点、难点1.重点:熟练地进行分式的混合运算. 2.难点:熟练地进行分式的混合运算. 三、例、习题的意图分析1. P21例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.例8只有一道题,训练的力度不够,所以应补充一些练习题,使学生熟练掌握分式的混合运算.2. P22页练习1:写出第18页问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应,也解决了本节引言中所列分式的计算,完整地解决了应用问题.四、课堂引入1.说出分数混合运算的顺序.2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 五、例题讲解(P21)例8.计算[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式.(补充)计算 (1)x xx x x x x x -÷+----+4)44122(22 [分析] 这道题先做括号里的减法,再把除法转化成乘法,把分母的“-”号提到分式本身的前边.. 解: x xx x x x x x -÷+----+4)44122(22=)4(])2(1)2(2[2--⋅----+x xx x x x x=)4(])2()1()2()2)(2([22--⋅-----+x xx x x x x x x x =)4()2(4222--⋅-+--x x x x x x x =4412+--x x(2)2224442y x x y x y x y x y y x x +÷--+⋅- [分析] 这道题先做乘除,再做减法,把分子的“-”号提到分式本身的前边.解:2224442yx x y x y x y x y y x x +÷--+⋅- =22222224))((2x y x y x y x y x y x y y x x +⋅-+-+⋅- =2222))((yx y x y x y x xy --⋅+- =))(()(y x y x x y xy +--=yx xy+-六、随堂练习 计算(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- (2))11()(b a a b b b a a -÷--- (3))2122()41223(2+--÷-+-a a a a七、课后练习 1.计算 (1) )1)(1(yx xy x y +--+ (2) 22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3) zxyz xy xy z y x ++⋅++)111(2.计算24)2121(aa a ÷--+,并求出当=a -1的值. 八、答案:六、(1)2x (2)ba ab- (3)3七、1.(1)22y x xy- (2)21-a (3)z 1 2.422--a a ,-31课后反思:15.2.3整数指数幂一、教学目标:1.知道负整数指数幂na-=n a1(a ≠0,n 是正整数). 2.掌握整数指数幂的运算性质. 3.会用科学计数法表示小于1的数. 二、重点、难点1.重点:掌握整数指数幂的运算性质. 2.难点:会用科学计数法表示小于1的数.三、例、习题的意图分析1. P23思考提出问题,引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质. 2. P24观察是为了引出同底数的幂的乘法:nm nma a a +=⋅,这条性质适用于m,n 是任意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质,在整数范围里也都适用.3. P24例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质,教师不要因为这部分知识已经讲过,就认为学生已经掌握,要注意学生计算时的问题,及时矫正,以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.4. P25例10判断下列等式是否正确?是为了类比负数的引入后使减法转化为加法,而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论,从而使分式的运算与整式的运算统一起来.5.P25最后一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数. 用科学计算法表示小于1的数,运用了负整数指数幂的知识. 用科学计数法不仅可以表示小于1的正数,也可以表示一个负数.6.P26思考提出问题,让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数,从而归纳出:对于一个小于1的数,如果小数点后至第一个非0数字前有几个0,用科学计数法表示这个数时,10的指数就是负几.7.P26例11是一个介绍纳米的应用题,使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数. 四、课堂引入1.回忆正整数指数幂的运算性质: (1)同底数的幂的乘法:nm nma a a +=⋅(m,n 是正整数);(2)幂的乘方:mn nm aa =)((m,n 是正整数);(3)积的乘方:nnn b a ab =)((n 是正整数);(4)同底数的幂的除法:nm n m aa a -=÷( a ≠0,m,n 是正整数,m >n);(5)商的乘方:n nn ba b a =)((n 是正整数);2.回忆0指数幂的规定,即当a ≠0时,10=a . 3.你还记得1纳米=10-9米,即1纳米=9101米吗? 4.计算当a ≠0时,53a a ÷=53a a =233aa a ⋅=21a ,再假设正整数指数幂的运算性质n m n m a a a -=÷(a ≠0,m,n 是正整数,m >n)中的m >n 这个条件去掉,那么53a a ÷=53-a =2-a .于是得到2-a =21a (a ≠0),就规定负整数指数幂的运算性质:当n 是正整数时,na -=na1(a ≠0).五、例题讲解(P24)例9.计算[分析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算,与用正整数 指数幂的运算性质进行计算一样,但计算结果有负指数幂时,要写成分式形式.(P25)例10. 判断下列等式是否正确?[分析] 类比负数的引入后使减法转化为加法,而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论,从而使分式的运算与整式的运算统一起来,然后再判断下列等式是否正确.(P26)例11.[分析] 是一个介绍纳米的应用题,是应用科学计数法表示小于1的数. 六、随堂练习 1.填空(1)-22=(2)(-2)2= (3)(-2) 0=(4)20= (5)2 -3= (6)(-2) -3= 2.计算(1) (x 3y -2)2(2)x 2y -2·(x -2y)3(3)(3x 2y -2) 2 ÷(x -2y)3七、课后练习1. 用科学计数法表示下列各数:0.000 04, -0. 034, 0.000 000 45, 0. 003 009 2.计算(1) (3×10-8)×(4×103) (2) (2×10-3)2÷(10-3)3八、答案:六、1.(1)-4 (2)4 (3)1 (4)1(5)81 (6)81- 2.(1)46y x (2)4x y (3) 7109yx七、1.(1) 4×10-5(2) 3.4×10-2(3)4.5×10-7(4)3.009×10-32.(1) 1.2×10-5(2)4×103课后反思:15.3分式方程(一)一、教学目标:1.了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2.掌握分式方程的解法,会解可化为一元一次方程的分式方程,会检 验一个数是不是原方程的增根. 二、重点、难点1.重点:会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是 原方程的增根.2.难点:会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是 原方程的增根.三、例、习题的意图分析1. P31思考提出问题,引发学生的思考,从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因.2.P32的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法.3. P33思考提出问题,为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解,而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解,引出分析产生增根的原因,及P33的归纳出检验增根的方法.4. P34讨论提出P33的归纳出检验增根的方法的理论根据是什么?5. 教材P38习题第2题是含有字母系数的分式方程,对于学有余力的学生,教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似,只是在系数化1时,要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数. 这种方程的解必须验根.四、课堂引入1.回忆一元一次方程的解法,并且解方程163242=--+x x 2.提出本章引言的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?分析:设江水的流速为v 千米/时,根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系,得到方程vv -=+206020100.像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.五、例题讲解(P34)例1.解方程[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化 为整式方程,整式方程的解必须验根这道题还有解法二:利用比例的性质“内项积等于外项积”,这样做也比较简便.(P34)例2.解方程[分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2),整式方程的解必须验根. 六、随堂练习解方程(1)623-=x x (2)1613122-=-++x x x (3)114112=---+x x x (4)22122=-+-x xx x 七、课后练习1.解方程(1) 01152=+-+x x (2) x x x 38741836---=- (3)01432222=---++x x x x x (4) 4322511-=+-+x x 2.X 为何值时,代数式xx x x 231392---++的值等于2? 八、答案:六、(1)x=18 (2)原方程无解 (3)x=1 (4)x=54七、1. (1) x=3 (2) x=3 (3)原方程无解 (4)x=1 2. x=23课后反思:15.3分式方程(二)一、教学目标:1.会分析题意找出等量关系.2.会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题. 二、重点、难点1.重点:利用分式方程组解决实际问题.2.难点:列分式方程表示实际问题中的等量关系. 三、例、习题的意图分析本节的P35例3不同于旧教材的应用题有两点:(1)是一道工程问题应用题,它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快?这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同,需要学生根据题意,寻找未知数,然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外,还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快,才能完成解题的全过程(2)教材的分析是填空的形式,为学生分析题意、设未知数搭好了平台,有助于学生找出题目中等量关系,列出方程.P36例4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同(1)本题中涉及到的列车平均提速v 千米/时,提速前行驶的路程为s 千米,完成. 用字母表示已知数(量)在过去的例题里并不多见,题目的难度也增加了;(2)例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v 、s 和未知数x ,表示提速前列车行驶s 千米所用的时间,提速后列车的平均速度设为未知数x 千米/时,以及提速后列车行驶(x+50)千米所用的时间.这两道例题都设置了带有探究性的分析,应注意鼓励学生积极探究,当学生在探究过程中遇到困难时,教师应启发诱导,让学生经过自己的努力,在克服困难后体会如何探究,教师不要替代他们思考,不要过早给出答案. 四、例题讲解P35例3分析:本题是一道工程问题应用题,基本关系是:工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量,工作量虚拟为1,工作的时间单位为“月”.等量关系是:甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1 P36例4分析:是一道行程问题的应用题, 基本关系是:速度=时间路程.这题用字母表示已知数(量).等量关系是:提速前所用的时间=提速后所用的时间 五、随堂练习1. 学校要举行跳绳比赛,同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间,乙同学可以跳240个;又已知甲每分钟比乙少跳5个,求每人每分钟各跳多少个.2. 一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?3. 甲、乙两地相距19千米,某人从甲地去乙地,先步行7千米,然后改骑自行车,共用了2小时到达乙地,已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍,求步行的速度和骑自行车的速度. 六、课后练习1.某学校学生进行急行军训练,预计行60千米的路程在下午5时到达,后来由于把速度加快51,结果于下午4时到达,求原计划行军的速度。