高中数学必修四教材分析

π π 在区间 ，π 的简图是（ 3 2
二.填空题
1.（2009 宁夏海南卷文）已知函数 f ( x) 2sin( x ) 的图像如图所示，则
7 f 12

。
2.（2009 年上海卷）函数 y 2cos x sin 2 x 的最小值是_____________________ .
2
3.（2009 辽宁卷文）已知函数 f ( x) sin( x )( 0) 的图象如图所示,则 ＝
三.解答题
1、 （2008）已知函数 f ( x) A sin( x )(a 0,0 ), x R 的最大值是 1，其图像经 过点 M (
1
y x
图一
分析： 通过单位圆可以将很抽象的角度 转换到直角坐标系中，用坐标来表示。而 三角函数的正负取决于坐标正负。
这里给一个例题：选择①sinθ>0,②sinθ<0,③cosθ>0,④cosθ<0,⑤tanθ>0, ⑥tanθ<0 中适应的关系式的序号填空： （1） 当角θ为第一象限角时，①③⑤是对的 （2） 当角θ为第二象限角时，①④⑥是对的 （3） 当角θ为第三象限角时，②④⑤是对的 （4） 当角θ为第四象限角时，②③⑥是对的 通过对单位圆的认识，课本又引入了三角函数的诱导公式： sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα
6
B.
4
C.
3
D.
2
）
7. （2008 海南、 宁夏文科卷） 函数 f ( x) cos 2 x 2sin x 的最小值和最大值分别为 （ A. －3，1 B. －2，2 C. －3，
3 2
D. －2，
3 2
）
8.（2007 海南、宁夏）函数 y sin 2 x

, )。 3 2
分析：推导公式的运用是学生学习的难点，这需要学生灵活运用，且要能自 己推导，这一章不仅给出二倍角公式，半角公式，还有一个很重要的考点就是辅 助角公式的运用。 掌握推导公式和辅助角公式，对于高考题型也就掌握了大部分 了。 下面是辅助角公式的具体内容： asinα+bcosα= sin(a+φ)，其中 tanφ=b/a，其终边过点（a, b） asinα+bcosα= cos(a-φ)，其中 tanφ=a/b，其终边过点（b,a） 这个公式通常用于特殊角， 下列是一些具体事例，让我们从中体会辅助角公 式。 化简
二：三角函数分析 （一）任意角和弧度制
课本从体操转体以及齿轮转动引出正角和负角的概念， 加上零角就构成了任 意角。 因为同一个角度位置可以用不同角的大小来表示，所以就给出了下列几何 定义： 一般的，我们有： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S={β|β=α+K· 360º,K∈Z},即任一与角α终边相同的角， 都可以表示成为角 α与整数个周期的和。 因为角可以用单位进行度量，1 度=周角的 1/360，这叫角度制，为了方便， 数学上还引用了弧度制。把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角， 用 rad 表示。一般，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度制是一个负数，零角 的弧度数为 0，如果半径为 r 的圆的圆心角α所对弧的长为 l，那么，角α的弧度 数的绝对值是|α|=l/r 分析：通过了解任意角和弧度制来引出三角函数概念，这是最基本的内容。 接下来 就进入更深一步的学习。
1 3 sin x （1） cos x 2 2
（2） 3 sin x cos x =2sin(x+ /3)=2cos( /6-x)
=sin（ /6-x）=cos( /3+x)
分析： 这两个题都是利用特殊角的正弦余弦值以及推导公式化简的， 很灵活， 而且都可以化为两种形式。
四：平面向量
平面向量中包含其线性运算河基本定理及坐标表示，还有数量积，因以三角 函数为主，这里就不详细叙述。
分析：诱导公式的运用很灵活，学生需要多做题，练题，举一反三
（三）三角函数的图像与性质以及 y=Asin(ωx+ψ)的图象
课本通过抽象的了解三角函数的诱导公式等，再给出正弦函数，余弦函数的 图象，使学生更形象的了解三角函数。 下面是函数的图象：
图二
要求：1、能正确画出 y sin x ， y cos x ， y tan x 的图象 2、给定条件，能够求 y sin x ， y cos x ， y tan x 的定义域、值域、单 调区间； 3、给定条件，能够求 y A sin( x ) 中的 A, , 。 4、掌握正弦余弦函数图象平移法则，区分先平移后伸缩与先伸缩后平移 之间的差别。
五：总结
高中必修四的内容里主要就是叙述了三角函数以及平面向量的知识， 我以三 角函数为主展开分析它其中的深意以及内容要求。 课本主要先说明各种新有名词， 比如任意角弧度制，单位圆等这些都不难，学生也能接受，然后先进入诱导公式 的学习，先在代数上使学生熟知如何将任意角转换为锐角三角形： ；再来就进入 图像的学习，使学生更形象的了解三角函数；后面进入三角恒等变换，要求学生 更灵活掌握其运用。但是总体来说，必修四的三角函数内容虽是高考的必考点， 但只要熟练掌握它的公式运用，和每一种常考方法，多加练习，对于学生来说， 高三后期不作为一个难点。


1 是 4
B．最小正周期为 的偶函数 D．最小正周期为
2
的奇函数 2
的偶函数 2
）
2、 （2008）已知函数 f ( x) (1 cos 2 x)sin x, x R ，则 f ( x) 是（ A、最小正周期为 的奇函数 C、最小正周期为 的偶函数
3.（2009 浙江文）已知 a 是实数，则函数 f ( x) 1 a sin ax 的图象不可能 是（ ．．．
一：内容简括
（一）三角函数
1：任意角，弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
2：三角函数
（1） 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义。 （2） 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图像，了解三角函数的周期性。 （3） 借助图像理解正弦函数，余弦函数，正切函数的性质（如单调性，最大和 最小值，图像与 x 轴交点等） 。 （4） 理解同角三角函数的基本关系式。 eg： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α) ＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) （5） 结合实例，了解 y=Asin(ωx+ψ)的实际意义，能借助计算器或计算机画出 y=Asin(ωx+ψ)的图像，观察参数 A，ω，ψ对函数图像变化的影响。 （6） 会用三角函数解决一些简单的实际问题， 体会三角函数的描述周期变化现 象的重要函数模型。
1 3 5、结合图象，会求诸如 sin x 的取值范围。 2 2
6、 会作出含有绝对值的正弦、 余弦、 正切函数图象。 如 y sin x ，y sin x 分析：此两章节详细的叙述出三角函数的具体性质，这是高中学习的重点，也是 高考的重点。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，学 习三角函数及其基本性质， 体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作 用。
的奇函数 2 D、最小正周期为 的偶函数 2
B、最小正周期为
）
4.(2009 山东卷文)将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 得图象的函数解析式是( A. y 2cos x
2
个单位, 再向上平移 1 个单位,所 4
). B. y 2sin x
2
C. y 1 sin( 2 x

4
)
D. y cos 2 x
5.（2009 江西卷文）函数 f ( x) (1 3 tan x) cos x 的最小正周期为
A． 2
B．
3 2
C．
D．
2
6. （2009 全国卷Ⅰ文） 如果函数 y 3cos(2 x ) 的图像关于点 ( 的最小值为 A.
4 那么 , 0) 中心对称， 3
sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA
来自百度文库
tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα
分析： 三角函数的诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般 可按下面步骤进行：
【解析】 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， ∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴sinα＝－2cosα，且 cosα≠0. sin＋5cos －2cos＋5cos 3cos 3 ∴原式＝ ＝ ＝ ＝－ －2cos＋sin －2cos－2cos －4cos 4
三：三角恒等变换
两角和与差的正弦，余弦和正切公式
从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，余弦，正切公式，二倍角的正 弦余弦，正切公式，了解它们的内在联系。数学课程标准上说明要求学生能运用 上述公式进行简单的恒等变换。 下面是三角函数的推导公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ tan(α+β)=(tanβ+tanα)/(1-tanαtanβ) sin2α=2sinαcosα cos2α=(cosα)^2-(sina)^2=2(cosα)^2-1=1-(sinα)^2 tan2α=(2tanα)/(1-(tanα)^2)
参考文献
[1]章建越.数学必修 4（普通高中课程标准实验教科书）[M].北京：人民教育出版 社，2011 [2]中华人民共和国教育部.数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2012
附录：
三角函数高考真题
一.选择题 1、 （2009）函数 y 2cos 2 x A．最小正周期为 的奇函数 C．最小正周期为
任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数
锐角三角函 数
0~2 的角 的三角函数
上述步骤体现了由未知转化为已知的化归思想。这也是接下来要掌握的内 容的基础。 接下来给出一个关于诱导公式的例题： 已知 sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求
sin （－）＋5cos （2－） 的值． 3 2sin － －sin （－） 2
（二）任意角的三角函数以及其诱导公式
引进弧度制时我们看到， 在半径长为单位长的圆中，角α的弧度制的绝对值 等于圆心角α所对的弧长，在直角坐标系中，我们称以原点Ο为圆心，以单位长 度为半径的圆为单位圆， 这样我们锐角三角形可以用单位圆定义任意角的三角函 数。 如图是对于单位圆的认识
sinα＝y cosα＝x tanα＝
教育科学与管理学院《教育研究方法》课程
期末研究报告
学 学 姓 期： 号： 名： 2016-2017 学年第一学期 1443201000046 李秋霖
高中数学必修四教材分析
——以三角函数为主
摘要：三角函数在高中是很重要的一块内容，此教材分析主要针对必修四的 三角函数和三角恒等变换。 从任意三角形推广到周期函数， 特殊化到锐角三角形， 然后又联系到解三角形，类比了指数函数对数函数，幂函数，联系了物理生物， 自然界中的周期现象。 第三章从差角余弦公式到和角公式再到倍角公式，最后掌 握简单三角恒等变换。 关键词：正弦函数；余弦函数；正弦余弦正切公式
3：三角恒等变换
（1） 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程， 进一步体会向量方 法的作用。 （2） 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，余弦，正切公式，二倍角 的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系。
（3） 能运用公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差，和差化积，半 角公式） 。