高三数学《平面解析几何》
高中数学知识点归纳平面解析几何的应用
高中数学知识点归纳平面解析几何的应用高中数学知识点归纳——平面解析几何的应用一. 直线方程在平面直角坐标系中，一条直线可以用不同的方程形式来表示。
其中，常见的直线方程有点斜式方程、斜截式方程和两点式方程。
1. 点斜式方程对于已知直线上一点P和直线的斜率k，点斜式方程可以表示为：y-y₁ = k(x-x₁)。
其中P(x₁, y₁)为直线上的已知点，k为直线的斜率。
2. 斜截式方程已知直线上一点P和与x轴的截距b（直线与x轴的交点的横坐标），斜截式方程可以表示为：y = kx + b。
其中P(x₁, y₁)为直线上的已知点，k为直线的斜率。
3. 两点式方程已知直线上两个不同的点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，两点式方程可以表示为：(y-y₁) / (y₂-y₁) = (x-x₁) / (x₂-x₁)。
其中A、B为直线上的已知点。
二. 直线与线段的关系直线与线段也是平面解析几何中的重要概念。
在直线与线段的关系中，我们将讨论点、直线与线段的位置关系，以及线段的中点等。
1. 点与直线的位置关系给定平面上一点P(x₀, y₀)和直线Ax + By +C=0。
通过计算点的坐标，将其代入直线方程中，得到的结果有三种不同的情况。
a. 当 Ax₀ + By₀ + C = 0 时，点P在直线上。
b. 当 Ax₀ + By₀ + C > 0 时，点P在直线的上方。
c. 当 Ax₀ + By₀ + C < 0 时，点P在直线的下方。
2. 直线与线段的位置关系给定平面上一直线和一线段AB。
通过判断线段的两个端点在直线的哪一侧，可以得到直线与线段的位置关系。
a. 当线段AB的两个端点都在直线的同一侧时，线段AB与直线相交。
b. 当线段AB的两个端点一个在直线的上方，一个在直线的下方时，线段AB与直线不相交。
3. 线段的中点在平面解析几何中，线段的中点是指线段的中心位置。
设线段AB 的两个端点为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则线段的中点C的坐标为[(x₁+ x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2]。
高中数学平面解析几何
高中数学平面解析几何平面解析几何是高中数学中的一门重要的学科，它研究平面上的几何图形和方程的关系。
下面将通过几个小节来详细介绍平面解析几何的相关概念和应用。
第一节：平面直角坐标系在平面解析几何中，我们通常使用平面直角坐标系来表示平面上的点和图形。
平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，分别称为x 轴和y轴。
我们可以用一个有序数对(x, y)表示平面上的一个点，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
第二节：平面几何图形的方程在平面解析几何中，我们通常通过方程来表示平面上的几何图形。
常见的平面几何图形包括直线、曲线、圆等。
我们以直线为例来介绍平面几何图形的方程。
1. 直线的方程在平面直角坐标系中，一条直线可以通过方程Ax + By + C = 0 来表示，其中A、B、C为实数且A、B不同时为零。
这个方程被称为直线的一般方程。
另外，还有直线的截距式方程、点斜式方程等不同形式的表示方法。
2. 曲线的方程除了直线，平面上的曲线也可以通过方程来表示。
常见的曲线包括抛物线、椭圆、双曲线等。
每种曲线都有其特定的方程形式，并且可以通过改变方程中的参数来实现曲线的平移、旋转和缩放等操作。
3. 圆的方程圆在平面解析几何中也是一个重要的概念。
在平面直角坐标系中，圆可以由圆心的坐标和半径来确定。
一个圆的方程可以写成(x-a)² + (y-b)² = r²的形式，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
第三节：平面解析几何的应用平面解析几何不仅是一门理论学科，它也有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景。
1. 几何问题的求解平面解析几何提供了一种直观和简单的方法来解决几何问题。
通过使用坐标系和方程，我们可以精确地描述几何图形并进行计算，从而得到几何问题的解答。
2. 图形的变换平面解析几何也可以用来实现平面图形的变换，如平移、旋转、缩放等。
通过对坐标和方程的变化，我们可以方便地实现图形的操作和变换。
高中数学教案平面解析几何
高中数学教案平面解析几何高中数学教案：平面解析几何引言：平面解析几何是高中数学重要的内容之一。
通过研究二维平面上的点、直线、圆、曲线等几何图形，我们可以建立起几何与代数的联系。
本文将介绍平面解析几何的基本概念、性质和解题方法，帮助学生深入理解和掌握该知识点。
一、直线的方程直线是平面解析几何中最基本的图形之一。
我们通常用方程来表示一条直线。
比如，对于一条过点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)的直线L，其方程可表示为(y-y₁)/(y₂-y₁) = (x-x₁)/(x₂-x₁)。
通过这个方程，我们可以计算直线上的任意点的坐标。
二、直线的性质1. 平行和垂直关系：两条直线平行的条件是它们的斜率相等，而两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
2. 直线的距离和点到直线的距离：通过点到直线的距离公式，我们可以计算直线与点之间的距离，从而解决相关问题。
3. 直线的判定：通过方程的形式以及两点确定直线的方法，可以判定给定的点是否在直线上。
三、圆的方程与性质圆是平面解析几何中另一个重要的图形。
我们通过圆心坐标和半径来表示一个圆。
对于圆心坐标为(h, k)、半径为r的圆，其方程可表示为(x-h)² + (y-k)² = r²。
1. 切线和法线：给定一条圆的方程和一点在圆上，我们可以求出与该圆相切或垂直的直线方程，通过圆的性质进行计算。
2. 圆与直线的位置关系：通过圆的方程和直线的方程，我们可以判断它们的位置关系，包括相离、相切和相交等情况。
四、曲线的方程与性质曲线是平面解析几何的高级内容，包括抛物线、椭圆、双曲线等。
每种曲线都有其特定的方程和性质。
1. 抛物线的方程与性质：抛物线可由一元二次方程表示，其顶点坐标和对称轴方程可以通过方程的形式直接读取。
2. 椭圆与双曲线的方程与性质：通过方程的参数与常数，我们可以得到椭圆和双曲线的离心率、焦点坐标等关键信息。
五、解析几何的应用平面解析几何有广泛的应用，例如在工程、物理、经济学等领域。
平面解析几何
平面解析几何1. 引言平面解析几何是数学中的一个重要分支，研究平面上的点、直线和曲线之间的关系和性质。
它是解析几何的基础，也是许多其他数学学科的基础。
本篇文档将介绍平面解析几何的基本概念、基本性质以及常见的应用。
我们将从平面上的点和直线开始讨论，然后引入曲线的概念，最后介绍椭圆、抛物线和双曲线等特殊曲线。
2. 平面上的点和直线2.1 点的坐标表示在平面上，我们可以使用笛卡尔坐标系来表示一个点的位置。
假设平面上有一个直角坐标系，其中x轴和x轴相交于原点x。
对于任意一个点x，我们可以使用它在x轴上的坐标x x和在x轴上的坐标x x来表示它的位置，记作x(x x,x x)。
2.2 直线的方程直线是平面解析几何中的重要概念，它是由无数个点组成的。
在平面上，一条直线可以由它上面的两个不重合的点确定。
如果我们已知直线上的两个点x1(x1,x1)和x2(x2,x2)，那么直线的方程可以通过以下公式得到：$$\\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$这个公式被称为点斜式方程，其中斜率可以通过两点之间的坐标计算得到。
2.3 直线的性质平面解析几何中，直线有很多重要的性质，包括平行、垂直和相交等。
下面是一些直线的性质：•平行线的性质：如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行线。
•垂直线的性质：如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直线。
•直线的方程变形：直线的方程也可以写成其他形式，如一般式方程、斜截式方程等。
3. 曲线的方程除了直线，平面上还存在着各种各样的曲线。
在平面解析几何中，我们经常需要研究曲线的方程。
3.1 二次曲线的方程在平面解析几何中，二次曲线是一类非常重要的曲线。
它的方程可以写成二次多项式的形式。
常见的二次曲线有椭圆、抛物线和双曲线等。
•椭圆的方程：椭圆是平面上一类特殊的曲线，其方程可以写成如下的标准方程：$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1$$其中x和x分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法在高中数学学习中，平面解析几何是一个重要的内容，也是考试中的重点。
平面解析几何主要研究平面上的点、直线、圆等几何图形的性质和关系，通过坐标系和代数方法进行分析和解决问题。
下面我们将介绍一些常见的平面解析几何题型及解答方法，希望能给同学们提供一些帮助。
一、直线方程的求解直线方程的求解是平面解析几何中的基础内容。
常见的题型有已知直线上的两点，求直线方程；已知直线的斜率和一点，求直线方程等。
这里我们以已知直线上的两点，求直线方程为例进行说明。
例如，已知直线上的两点为A(2,3)和B(4,5)，求直线方程。
解题思路：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
根据已知条件，我们可以列出方程组：3 = 2k + b5 = 4k + b解方程组，得到k和b的值，从而得到直线方程。
解题步骤：1.将方程组改写为矩阵形式：| 2 1 | | k | | 3 || 4 1 | | b | = | 5 |2.利用矩阵的逆运算，求出k和b的值。
3.将k和b的值代入直线方程y = kx + b，即可得到直线方程。
通过这个例子，我们可以看到求解直线方程的方法是通过已知条件列方程组，然后通过矩阵运算求解出未知数的值，最后将值代入直线方程得到结果。
二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容。
常见的题型有直线与圆的切线问题、直线与圆的交点问题等。
这里我们以直线与圆的切线问题为例进行说明。
例如，已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，直线的方程为y = 2x - 1，求直线与圆的切点坐标。
解题思路：首先，我们需要确定直线与圆是否有交点。
当直线与圆有交点时，我们可以通过求解方程组得到交点坐标。
当直线与圆没有交点时，我们需要判断直线与圆的位置关系，进而确定是否有切点。
解题步骤：1.将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
2.求解二次方程，得到x的值。
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结平面解析几何是高中数学的重要组成部分，它将代数与几何巧妙地结合在一起，通过建立坐标系，用代数方法研究几何图形的性质。
下面我们来详细总结一下这部分的重要知识点。
一、直线1、直线的倾斜角直线倾斜角的范围是0, π)，倾斜角α的正切值叫做直线的斜率，记为 k ＝tanα。
当倾斜角为 90°时，直线的斜率不存在。
2、直线的方程（1）点斜式：y y₁＝ k(x x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k 是直线的斜率。
（2）斜截式：y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
（3）两点式：（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁)，其中(x₁, y₁)，（x₂, y₂)是直线上的两点。
（4）截距式：x/a ＋ y/b ＝ 1，其中 a 是直线在 x 轴上的截距，b 是直线在 y 轴上的截距。
（5）一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）3、两条直线的位置关系（1）平行：两条直线斜率相等且截距不相等，即 k₁＝ k₂且 b₁ ≠ b₂。
（2）垂直：两条直线斜率的乘积为－1，即 k₁k₂＝－1（当一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时也垂直）。
4、点到直线的距离公式点 P(x₀, y₀)到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²)二、圆1、圆的方程（1）标准方程：（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径。
（2）一般方程：x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0（D²＋ E² 4F ＞ 0），圆心坐标为(D/2, E/2)，半径 r ＝√（D²＋ E² 4F) ／ 22、直线与圆的位置关系（1）相交：圆心到直线的距离小于半径，d ＜ r。
平面解析几何
怎样避免这种情况发生呢？解决办法是加上“重 合”两字。即，圆的切线是与圆有两个重合交点 的直线。这个定义可以推广到一般圆锥曲线。
6、如何看待解析几何成为教学难点？
在“平面解析几何初步”模块中，学生将在平面 直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代 数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系， 并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想， 初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
在“圆锥曲线与方程”模块中，学生将学习圆锥 曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系， 掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在 刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已 学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的 对应关系，进一步体会数形结合的思想。
以二次曲线为例。二次曲线的方程之所以复杂， 是由于坐标系的任意选取所产生的。如果选取适 当的坐标系，那么曲线方程就可以大为简化，这 也就是通常所说的标准方程。我们就是通过标准 方程来研究相应曲线的性质的。
4、如何理解圆锥曲线的统一性
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是解析几何基 本思想和基本方法的具体运用。高中学习三种圆 锥曲线是单独展开的，对它们统一性的揭示不够 充分。理解圆锥曲线的统一性至少有三个角度： 统一的来源、统一的定义、统一的方程。
◎统一的来源(圆锥截线的观点)
设圆锥面母线、截平面与轴线的夹角分别为α,θ
☆截面不过圆锥顶点(非退化圆锥曲线)
θ=π/2时，曲线是圆； α<θ<π/2时，曲线是椭圆； θ=α时，曲线是抛物线； 0≤θ<α时，曲线是双曲线． 上述曲线离心率均为cosθ/cosα
高中数学--平面解析几何课件ppt
目录
3．直线方程的几种形式
名称
方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
_y_－__y_1＝__k_(_x－__x_1_)
(x1，y1)为直线上 一定点，k为斜 率
不包括垂直于x轴的 直线
斜截式
___y_＝__k_x_＋_b____
k为斜率，b是直 线在y轴上的截 距
不包括垂直于x轴的 直线
目录
名 方程的形式
目录
法二：由题意，所求直线的斜率存在且 k≠0， 设直线方程为 y－2＝k(x－3)， 令 y＝0，得 x＝3－2k，令 x＝0，得 y＝2－3k， 由已知 3－2k＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝23， ∴直线 l 的方程为： y－2＝－(x－3)或 y－2＝23(x－3)， 即直线 l 的方程为 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0.
目录
【解】 (1)法一：设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)(k＜0)，
则 A(2－1k，0)，B(0,1－2k)， ∴S△AOB＝12(2－1k)(1－2k)＝2＋12(－4k－1k)
≥2＋12×2
－4k－1k＝4，
当且仅当－4k＝－1k，即 k＝±12时取等号．
∵k＜0，∴k＝－12，
故所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)， 即 x＋2y－4＝0.
第八章 平面解析几何
第1课时 直线及其方程
考纲展示
2016高考导航
备考指南
1.在平面直角坐标系中，结合具体图
形，掌握确定直线位置的几何要素． 1.基本公式、直线的斜率、方程以
2.掌握确定直线位置的几何要素，掌 及两直线的位置关系是高考的重
握直线方程的三种形式(点斜式、两 点．
高中数学必修二平面解析几何
高中数学必修二平面解析几何
本文从知识点梳理、圆的方程、两个经典的解题和圆的方程的解释过程三个方面，分享了高中数学必修课《二平面解析几何》中圆的方程的介绍。
一、知识梳理
1．圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
二、平面解析几何——圆的方程两个易误点
三、经典考题
1、求圆的方程
(1)(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
(2)(2016·高考浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x ＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是
________．
解题方法：求圆的方程的两种方法
2、与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
与圆有关的最值问题解题方法
3、与圆有关的轨迹问题
(2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B．
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
求与圆有关的轨迹方程的方法
(2017·湖南箴言中学三模)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．。
平面解析几何
平面解析几何解析几何是数学中的一个重要分支，它通过使用代数和几何的方法来研究图形在平面上的性质和关系。
本文将介绍平面解析几何的基本概念和原理，并探讨一些相关的应用。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是平面解析几何的基础，它由两条互相垂直的坐标轴组成，通常称为$x$轴和$y$轴，它们的交点称为原点$O$。
平面上的任意一点$P$可以通过它相对于原点的横纵坐标来确定，记作$(x,y)$，其中$x$称为横坐标，$y$称为纵坐标。
二、向量向量是平面解析几何中的另一个重要概念，它表示平面上的一条有方向的线段。
向量$\overrightarrow{AB}$由起点$A$和终点$B$唯一确定，记作$\overrightarrow{AB}$或$\overrightarrow{AB}$。
向量的长度称为模，记作$|\overrightarrow{AB}|$。
向量的方向可以用一个有向角来表示，有向角的起边是$x$轴正半轴，终边是向量$\overrightarrow{AB}$。
如果一个向量的终点与另一个向量的起点重合，这两个向量可以相加，称为向量的加法。
三、直线方程在平面解析几何中，直线方程的表达形式有多种，常见的有一般式、点斜式和截距式。
一般式方程$Ax+By+C=0$表示一条直线的所有点$(x,y)$满足这个方程。
点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$表示一条直线通过点$(x_1,y_1)$且斜率为$m$。
截距式方程$y=mx+b$表示一条直线在$y$轴和$x$轴上的截距分别为$b$和$m$。
四、圆的方程圆是平面解析几何中的一个重要几何图形，它由到圆心距离相等的所有点构成。
圆的方程有多种形式，常见的有标准方程和一般方程。
标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$表示圆心坐标为$(a,b)$，半径为$r$的圆。
一般方程$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$表示一个圆。
五、距离公式平面解析几何中经常涉及到线段或两点之间的距离，距离公式可以用来计算它们之间的距离。
平面解析几何
平面解析几何一、引言平面解析几何是解析几何的一个重要分支，研究平面上各种几何图形和关系的数学理论。
它通过代数方法来研究平面几何问题，既可以从代数的角度分析几何图形的性质，也可以从几何的角度推导出代数方程式。
平面解析几何的发展既受到古希腊几何学的影响，也得益于近代代数学的发展。
本文将介绍平面解析几何的基本概念、方程与性质，并以一些例题加以说明。
二、坐标系在平面解析几何中，我们引入了坐标系的概念。
坐标系可以通过两个互相垂直的坐标轴来确定平面上的一个点的位置。
我们将水平轴称为x轴，垂直轴称为y轴，它们的交点为原点O，以O为起点，沿着x 轴为正向，沿着y轴为负向。
对于平面上的任意一点P(x, y)，x称为横坐标，y称为纵坐标。
这样，平面上的每个点都可以通过一个有序数对(x, y)来表示。
三、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何图形之一。
一条直线可以用方程来表示。
如果直线与x轴的交点为A(a, 0)，与y轴的交点为B(0, b)。
根据相似三角形的性质，我们可以得到直线的斜率k=b/a。
斜率表示了直线上两个不同点之间的“斜率”，即两个点沿着横轴的变化与纵轴的变化之间的比值。
直线的方程可以表示为y=kx+b，其中b是直线与y轴的交点。
四、直线的性质直线的性质在平面解析几何中是非常重要的。
首先，两条垂直的直线的斜率之积等于-1。
这是因为斜率是两个坐标变量之间的比值，对于两条垂直的直线来说，斜率之积为-1。
其次，两条平行直线的斜率相等。
这是因为两条平行直线的斜率都是沿着横轴的变化与纵轴的变化之间的比值，所以它们相等。
最后，两条直线相交于一点的充分必要条件是它们的方程组有唯一解。
这是因为两条直线相交于一点，意味着它们有且只有一个公共点。
五、圆的方程圆是另一个重要的几何图形，在平面解析几何中也有其特殊的方程。
一个圆可以用(x-a)²+(y-b)²=r²表示，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。
2024高考数学平面解析几何知识点
2024高考数学平面解析几何知识点
在2024年高考数学中，平面解析几何是一个重要的知识点，主要包括以下几个部分：
1. 有向线段和直线：了解有向线段和直线的概念，掌握直线的方程式和参数方程，理解直线的倾斜角、截距等概念。
2. 圆：掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆心、半径、弦、直径等概念，会求圆的方程和圆心、半径等。
3. 椭圆、双曲线和抛物线：掌握椭圆、双曲线和抛物线的标准方程和性质，理解焦点、准线、离心率等概念，会求这些曲线的方程和相关性质。
4. 参数方程和极坐标：了解参数方程和极坐标的概念，掌握参数方程和极坐标的转换关系，会求参数方程和极坐标的方程。
5. 平面几何的基本概念：理解平面几何中的点、线、面的概念，掌握基本性质和定理，如平行线、垂直线、角等概念和性质。
6. 解析几何的基本方法：掌握解析几何中的基本方法，如向量法、解析法等，理解这些方法的几何意义和代数表示，能够运用这些方法解决一些平面几何问题。
7. 圆锥曲线的应用：理解圆锥曲线的应用，如椭圆用于卫星轨道、双曲线用于光学等，了解圆锥曲线在日常生活和科学研究中的应用。
以上是2024年高考数学平面解析几何的主要知识点，考生需要熟练掌握并能够灵活运用。
同时，也需要注重理解和应用，不要死记硬背。
高中数学中的平面解析几何
高中数学中的平面解析几何平面解析几何是高中数学中的重要内容之一，它是研究平面上的几何图形和几何关系的一门学科。
通过数学分析和计算方法，我们可以揭示平面上的几何规律，并解决相应的几何问题。
本文将介绍平面解析几何的基本概念、常见定理和应用。
一、平面坐标系在平面解析几何中，我们通常引入平面坐标系来描述平面上的点和图形。
平面坐标系由横坐标轴x和纵坐标轴y所构成，它们相互垂直，并将平面分为四个象限。
设平面上一点P的坐标为(x,y)，其中x表示横坐标的值，y表示纵坐标的值。
二、平面上的点和向量在平面解析几何中，点是最基本的要素。
点P(x,y)表示平面上的一个具体位置。
而向量则表示平面上的一个有方向和大小的量。
向量由起点和终点确定，可以用箭头表示，例如向量AB。
向量的大小表示为|AB|，方向则由指向终点的箭头确定。
三、平面上的直线平面解析几何中研究的另一个重要对象是直线。
平面上的直线可以通过一般式方程、点斜式方程或两点式方程来表示。
一般式方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为实数且A和B不同时为0；点斜式方程为y-y₁=k(x-x₁)，其中(x₁,y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率；两点式方程为(y-y₁)/(x-x₁)=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)为直线上的两点。
四、平面上的曲线除了直线外，平面解析几何还研究了各种曲线，如抛物线、圆、双曲线等。
这些曲线可以通过特定的函数方程来描述。
例如，抛物线的标准方程为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
五、平面上的距离和中点在平面解析几何中，我们可以计算两点之间的距离和直线段的中点。
设平面上两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则两点之间的距离为|AB| =√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。
若直线段AB的中点为M(xₘ,yₘ)，则中点的坐标可以通过求取x和y的平均值得到。
平面解析几何高考复习知识点
平面解析几何高考复习知识点平面解析几何是数学中的一个分支，主要研究平面上的点、直线、圆、曲线等几何图形的性质和运算。
在高考中，平面解析几何通常是在数学试卷中占有一定的比重。
本文将介绍平面解析几何的高考复习知识点，包括坐标系、点的坐标、线的方程、圆的方程等内容。
一、坐标系1.笛卡尔坐标系：平面上的点可以用两个有序实数来表示，称为点的坐标。
一个点的坐标用有序对(x,y)表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
横纵坐标轴相互垂直，且原点的坐标为(0,0)。
2.极坐标系：平面上的点可以用极径和极角来表示。
极径为点到原点的距离，极角为点到横轴的角度。
极坐标系转换为直角坐标系的公式为：x = rcosθy = rsinθ3.参数方程：平面上的点可以用一个参数来表示。
参数方程为：x=x(t)y=y(t)4.直角坐标系与极坐标系的转换：r²=x²+y²tanθ = y/x二、点的坐标1.两点间的距离：设两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则两点之间的距离d 为：d=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]2.中点：设两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则两点连线的中点M的坐标为：x=(x₁+x₂)/2y=(y₁+y₂)/2三、线的方程1.一般式方程：形如Ax+By+C=0的线的方程。
其中A、B、C为实数，且A和B不同时为0。
2.点斜式方程：已知线上一点A(x₁,y₁)和该线的斜率k，线的方程可以表示为：y-y₁=k(x-x₁)3.斜截式方程：已知直线与y轴的交点为(0,b)，直线的斜率为k，则直线的方程可以表示为：y = kx + b4.两点式方程：已知直线上两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，直线的方程可以表示为：(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)5.截距式方程：已知直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，直线的方程可以表示为：x/a+y/b=1四、圆的方程1.标准方程：圆心为(h,k)、半径为r的圆的方程可以表示为：(x-h)²+(y-k)²=r²2.参数方程：圆心为(h,k)、半径为r的圆的参数方程为：x = h + rcosθy = k + rsinθ3.一般方程：圆心为(h,k)、半径为r的圆的一般方程可以表示为：x²+y²+Dx+Ey+F=0五、其他知识点1.直线与圆的位置关系：直线与圆相交、相切或相离。
高中数学中的平面解析几何
高中数学中的平面解析几何平面解析几何是高中数学中的重要内容之一，它研究了平面上点的坐标和直线的方程，是帮助我们研究几何图形的一种重要工具。
本文将从基本概念、坐标系、直线的方程和相关定理等方面，介绍高中数学中的平面解析几何。
基本概念在平面上，我们通常使用直角坐标系来描述点的位置。
直角坐标系由x轴和y轴组成，其中x轴和y轴的交点称为原点O。
通过在x轴和y轴上取单位长度，并在平面上描述的点与原点之间的距离，我们可以得到点的坐标。
例如，点A的坐标可以表示为(x,y)。
坐标系在平面解析几何中，我们使用笛卡尔坐标系。
笛卡尔坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，通常表示为x轴和y轴。
x轴水平，y轴垂直于x轴。
原点O位于坐标系的交点处。
在笛卡尔坐标系中，我们可以通过给定点的x坐标和y坐标来唯一描述一个点的位置。
直线的方程在平面解析几何中，我们经常遇到直线。
直线的方程可以使用不同的形式来表示，如一般式、斜截式和点斜式等。
下面将介绍几种常见的直线方程。
1. 一般式：一般式的直线方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
A和B不同时为0。
2. 斜截式：斜截式的直线方程可以表示为y = mx + c，其中m是斜率，c是截距。
3. 点斜式：点斜式的直线方程可以表示为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是斜率，(x₁, y₁)是直线上的一点。
相关定理在平面解析几何中，有一些重要的定理和性质。
下面将介绍其中的一些。
1. 平行和垂直的直线：如果两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。
如果两条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线垂直。
2. 距离公式：两点之间的距离可以使用距离公式来计算，即d = √((x₂-x₁)² +(y₂-y₁)²)。
3. 直线的夹角：两条直线的夹角可以使用斜率公式来计算，即tanθ = |(m₁-m₂)/(1+m₁m₂)|，其中θ是两条直线的夹角，m₁和m₂是两条直线的斜率。
数学中的平面解析几何
数学中的平面解析几何平面解析几何是一门集代数、几何和分析于一体的高等数学分支，它研究的是平面上的几何形体及其坐标系，从而建立起一种几何与代数之间的联系。
本文将简要介绍平面解析几何的基本概念、性质、公式及其应用。
一、基本概念1. 二维平面直角坐标系：平面解析几何基于平面直角坐标系，平面直角坐标系由两个互相垂直的数轴组成，横轴为x轴，纵轴为y轴，它们的交点为坐标原点O。
2. 点：平面表示的一个位置，用大写字母表示，如点A、点B 等。
3. 直线：一条无限延伸的线段，由两个点确定，用小写字母表示，如直线l、直线m等。
4. 与坐标轴的交点：与x轴相交的点的y坐标为0；与y轴相交的点的x坐标为0。
5. 点的坐标：用有序数对(x,y)表示，其中，x表示该点到y轴的距离，y表示该点到x轴的距离。
例如，点A的坐标为(x1,y1)。
二、性质1. 距离公式：若点A(x1,y1)、点B(x2,y2)在平面直角坐标系中，那么点A和点B之间的距离为：d=√[(x2−x1)^2+(y2−y1)^2]2. 斜率公式：若直线l过点A(x1,y1)、点B(x2,y2)，那么直线l的斜率为：k=(y2−y1)/(x2−x1)3. 中点公式：若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在平面直角坐标系中，那么点A和点B连线的中点M的坐标为：[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]4. 垂线公式：若点A(x1,y1)到直线l的垂足为D(x0,y0)，直线l的斜率为k，那么点A到直线l的距离为：d=|kx1-y1+kx0-y0|/√[k^2+1]三、应用1. 判断两条直线是否互相垂直：直线l1与直线l2互相垂直的条件是它们的斜率积k1*k2=-1。
2. 判断两条直线是否平行：直线l1与直线l2平行的条件是它们的斜率相等k1=k2。
3. 求解直线方程：已知直线上的一点和该直线的斜率，使用斜率公式即可求出直线方程。
4. 求解两直线的交点：若直线l1、直线l2的方程已知，则直接代入求解出交点坐标。
高三平面解析几何知识点
高三平面解析几何知识点解析几何是数学中的重要分支之一，它研究了点、线、面等几何元素在坐标平面上的几何性质和关系。
在高三学习过程中，平面解析几何是一个重要的知识点。
本文将介绍高三平面解析几何的基本概念和常见问题。
一、二维坐标系在平面解析几何中，我们首先要了解二维坐标系。
二维坐标系由平面上的两条互相垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。
它们的交点称为坐标原点O。
我们可以在坐标系上标出各个点的坐标，用有序数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影。
二、点的坐标在平面解析几何中，点的坐标表示了点在坐标系上的位置关系。
给定一个点A，在坐标系上，可以通过测量A点到x轴和y轴的距离来确定它的坐标。
设A点到x轴的距离为x，到y轴的距离为y，则A点的坐标为(x, y)。
三、向量的表示在平面解析几何中，向量是一个有方向和大小的量。
向量可以用有序数对(x, y)来表示，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。
向量的大小可以用向量的模长表示，即√(x² + y²)。
四、直线的方程在平面解析几何中，直线可以用不同的方式表示。
一种常见的表示方式是使用直线的一般方程Ax + By + C = 0，其中A、B、C 是实常数，并且A和B不同时为0。
另一种表示方式是使用截距式方程x/a + y/b = 1，其中a和b分别为直线在x轴和y轴上的截距。
五、直线的性质在平面解析几何中，直线有许多重要的性质。
其中一些常见的性质包括：1. 平行和垂直关系：两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
2. 相交关系：两条直线相交于一点的条件是它们的方程组有唯一解。
3. 距离公式：点到直线的距离可以用点到直线的垂线长来表示，即d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)。
4. 中点公式：两点A(x1, y1)和B(x2, y2)的中点坐标为[(x1+x2)/2, (y1+y2)/2]。
高三文科数学第十单元平面解析几何
高三文科数学第十单元：《平面解析几何》课型：复习课课时数： 21 讲学时间： 2021年 12月4日班级：学号：姓名：【本章知识体系】直线的倾斜角直线的斜率两条直线平行与垂直的判定点斜式斜截式直线与方程直线的方程两点式截距式平一般式面两条直线的交点坐标交点坐标与距离公式两点间的距离直点到直线的距离两条平行线间的距离角圆的标准方程圆的一般方程坐圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系标直线与圆的方程的应用系椭圆定义标准方程几何性质应用圆锥曲线双曲线定义标准方程几何性质应用抛物线定义标准方程几何性质应用【本章备考建议】1、本单元知识特点（1）直线与方程、圆与方程是解析几何的基础，圆锥曲线是解析几何的核心，也是高考重点考查的内容之一。
（2）概念、公式较多，用坐标法研究平面几何的思想在解题中显得内容多、难度大、综合性较强。
（3）注重常规题型及常规方式在解决问题中的感化。
2、在复习过程中应分外注意：（1）与直线有关的各种题型解题方式的熟练应用。
（2）与圆锥曲线有关的定义、方程、图像、几何性质及应用。
（3）重视直线与直线位置关系的灵活应用，在解决直线与圆锥曲线有关问题中，注意与“距离”、“中点”、“弦长”相关的问题的解法。
（4）注意数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类整合思想在解题中的渗透。
第十单元（一）：直线与方程（3课时）一、【学习方针】：1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
2、能在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素。
3、掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系。
二、【回归教材】：1、阅读必修2第三章《直线与方程》10182P P -,熟悉教材中的基本概念，基本题型以及基本方式。
2、应试策略：通过近十年的高考试题统计分析可以得出：在高考中主要考查基本概念和求在分歧条件下的直线方程，此类考题大都属于中，低档题，以选择题和填空题形式泛起。
高中数学平面解析几何的应用
高中数学平面解析几何的应用数学是一门追求准确性和精确性的学科，而平面解析几何则是数学中的一个重要分支。
它通过利用坐标系统和代数方法来研究几何问题，并应用于各种实际情境中。
在高中数学课程中，学生将接触到平面解析几何的基本概念和方法，并学习如何将其运用于实际问题中。
一、平面解析几何的基本概念平面解析几何的核心概念包括点、直线和曲线。
在二维坐标系中，我们可以用有序对 (x, y) 来表示平面上的点，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
直线可以通过一元一次方程的形式来表示，即 y = kx + b，其中 k 为斜率，b 为截距。
曲线则可以通过高次方程的形式来表示，例如二次曲线的方程为 y = ax^2 + bx + c。
这些基本概念为平面解析几何的应用打下了坚实的基础。
二、平面解析几何在几何图形的性质研究中的应用平面解析几何的方法可以应用于研究几何图形的性质。
例如，我们可以利用解析几何的方法证明平行线的性质。
假设有两条直线 L1 和L2，通过选择相应的坐标系并运用直线方程，我们可以得到 L1 和 L2的方程分别为 y = k1x + b1 和 y = k2x + b2。
若 k1 = k2，则两条直线平行。
这种方法可以推广到研究其他几何图形的性质，如垂直线、角的性质等。
三、平面解析几何在直线与曲线的交点求解中的应用求解直线与曲线的交点是平面解析几何的一个重要应用领域。
通过给定的直线和曲线方程，我们可以将直线方程代入曲线方程中，从而得到交点的坐标。
例如，假设有直线 L: y = 2x + 1 和曲线 C: y = x^2，我们可以将直线方程代入曲线方程得到 x^2 = 2x + 1。
进一步解方程可得到 x = -1 和 x = 3。
将 x 值代入直线方程可以得到相应的 y 值，从而得到交点的坐标。
四、平面解析几何在三角形和圆的性质研究中的应用平面解析几何可以应用于研究三角形和圆的性质。
例如，我们可以利用解析几何的方法证明三角形的垂心、重心和外心的性质。
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高三数学《平面解析几何》单元练习七（考试时间120分 分值160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确答案填在题中横线上)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______．2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则AB ＝________.3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为________．4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为______．5．若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________．6．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，则曲线的方程为________．7．(2010·淮安质检)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．8．已知点A 、B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐OA 标原点，且满足OA ·OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于________．9．(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.10．(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则12PF PF ⋅＝________.11．(2009·天津高考改编)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.12．(2010·南京模拟)已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则 (x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________．13．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2 ＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为 ___________________________________________________________．14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，,AF FB BA BC =⋅＝48，则抛物线的方程为______________．单元练习七答题纸班级姓名学号成绩一、填空题：1．______________2.______________3._____________4.________________5._______________6._______________7._____________8.________________9._______________10.______________11.____________12._______________13.____________________ 14.____________________二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切？(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．16．(本小题满分14分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．17．(本小题满分14分)设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．18．(本小题满分16分)已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝203，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．19．(本小题满分16分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，记O为坐标原点．(1)求OA OB⋅的值；(2)设AF FBλ⋅，当△OAB的面积S∈[2，5]时，求λ的取值范围．20．(本小题满分16分)(2010·苏北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝35PB ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．平面解析几何(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确答案填在题中横线上)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______． 解析：由已知焦点到准线的距离为p ＝|a |2. 答案：|a |22．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则AB ＝________. 解析：由题知b －a5－4＝1，∴b －a ＝1. ∴AB ＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.答案： 23．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为________．解析：依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12p x ，故18p ＝2，得p ＝116.答案：1164．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为______．解析：由(x －2)2＋(y －1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心．∴a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即a ＝2－1，b ＝2－2时取等号，∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 答案：3＋2 25．若双曲线x 2a 2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________．解析：由a 2＋1＝4，∴a ＝3，∴e ＝23＝233. 答案：2336．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，则曲线的方程为________．解析：设曲线上任意一点的坐标是(x ，y )，依题意得x 2＋(y －2)2－|y |＝2， 即x 2＋(y －2)2＝|y |＋2.① 当y ≥0时，化简①式得y ＝18x 2；当y ＜0时，化简①式得x ＝0，所以曲线的方程是y ＝18x 2(y ≥0)和x ＝0(y ＜0)．答案：y ＝18x 2(y ≥0)和x ＝0(y ＜0)7．(2010·淮安质检)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________．解析：准线方程为y ＝116由定义知116－y M ＝1 ⇒y M ＝－1516.答案：－15168．已知点A 、B 是双曲线x 2－y 22＝1上的两点，O 为坐OA 标原点，且满足OA ·OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于________． 解析：由OA ·OA ＝0⇒OA ⊥OB ，由于双曲线为中心对称图形，为此可考查特殊情况，令点A 为直线y ＝x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y ＝－x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x 轴垂直，点O 到 AB 的距离就为点A 或点B 的横坐标的值，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，y ＝x⇒x ＝ 2.答案： 29．(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x 即x ±2y ＝0，圆心(3,0)到直线的距离d ＝|3|(2)2＋1＝ 3. 答案： 310．(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则12PF PF ⋅＝________.解析：由渐近线方程y ＝x 得b ＝2， 点P (3，y 0)代入x 22－y 2b 2＝1中得y 0＝±1.不妨设P (3，1)，∵F 1(2,0)，F 2(－2,0)，∴12PF PF ⋅＝(2－3，－1)·(－2－3，－1)＝3－4＋1＝0. 答案：0 11．(2009·天津高考改编)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.解析：如图过A 、B 作准线l ：x ＝－12的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由于F 到直线AB 的距离为定值．∴S △BCF S △ACF ＝BCCA. 又∵△B 1BC ∽△A 1AC . ∴BC CA ＝BB 1AA 1，由拋物线定义BB 1AA 1＝BF AF ＝2AF.由BF ＝BB 1＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴AB ：y －0＝33－32(x －3)．把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴AF ＝AA 1＝52. 故S △BCF S △ACF＝BF AF ＝252＝45. 答案：4512．(2010·南京模拟)已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________．解析：(x 0－a )2＋(y 0－b )2可看作点(x 0，y 0)与点(a ，b )的距离．而点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0上，所以(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为点(a ，b )到直线ax＋by ＝0的距离|a ·a ＋b ·b |a 2＋b2＝a 2＋b 2. 答案：a 2＋b 213．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2 ＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为_____．解析：所求椭圆的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0),2a ＝PF 1＋PF 2.欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P ，使PF 1＋PF 2最小，利用对称性可解．答案：x 25＋y 24＝114．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，,AF FB BA BC =⋅＝48，则抛物线的方程为______________．解析：设抛物线的准线与x 轴的交点为D ，依题意，F 为线段AB 的中点， 故AF ＝AC ＝2FD ＝2p ，AB ＝2AF ＝2AC ＝4p ，∴∠ABC ＝30°，|BC |23p ，BA BC ⋅＝4p ·23p ·cos30°＝48，解得p ＝2， ∴抛物线的方程为y 2＝4x . 答案：y 2＝4x二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切？ (2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2. 解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2. 解得a ＝－7，或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.16．(本小题满分14分)过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：法一：设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P (2,4)，∴PA ⊥PB ，k PA ·k PB ＝－1.而k PA ＝4－02－2x ，k PB ＝4－2y 2－0，(x ≠1)， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)． 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y )，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连结PM ，∵l 1⊥l 2，∴2PM ＝AB .而PM ＝(x －2)2＋(y －4)2， AB ＝(2x )2＋(2y )2， ∴2(x －2)2＋(y －4)2＝4x 2＋4y 2. 化简，得x ＋2y －5＝0即为所求的轨迹方程．法三：设M 的坐标为(x ，y )，由l 1⊥l 2，BO ⊥OA ，知O 、A 、P 、B 四点共圆，∴MO ＝MP ，即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点．∵k OP ＝4－02－0＝2，线段OP 的中点为(1,2)， ∴y －2＝－12(x －1)， 即x ＋2y －5＝0即为所求．17．(本小题满分14分)设椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么A 、B 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0的解． 由ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，两式相减，得 a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1， 所以y 1＋y 2x 1＋x 2＝a b ， 即2y C 2x C ＝a b ，y C x C ＝a b ＝22，所以b ＝2a .① 再由方程组消去y 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，由AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22，得(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，即(2b a ＋b )2－4·b －1a ＋b＝4.② 由①②解得a ＝13，b ＝23， 故所求的椭圆的方程为x 23＋2y 23＝1.18．(本小题满分16分)已知圆(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的离心率为22，若圆与椭圆相交于A 、B ，且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程．解：∵e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝22，∴a 2＝2b 2. 因此，所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝2b 2，又∵AB 为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB 的中点，设A (2－m,1－n )，B (2＋m,1＋n )，则⎩⎪⎨⎪⎧ (2－m )2＋2(1－n )2＝2b 2，(2＋m )2＋2(1＋n )2＝2b 2，|AB |＝2203⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋2m 2＋4＋4n 2＝4b 2，8m ＋8n ＝0，2m 2＋n 2＝2203⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b 2＝6＋m 2＋2n 2，m 2＝n 2＝103，得2b 2＝16. 故所求椭圆的方程为x 2＋2y 2＝16.19． (本小题满分16分)给定抛物线C ：y 2＝4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，记O 为坐标原点． (1)求OA OB ⋅的值；(2)设AF FB λ⋅，当△OAB 的面积S ∈[2，5]时，求λ的取值范围． 解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F (1,0)，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，将其与C 的方程联立，消去x 可得y 2－4my －4＝0.设A ，B 点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(y 1>0>y 2)， 则y 1y 2＝－4.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 所以x 1x 2＝116y 21y 22＝1，故OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝－3.(2)因为AF FB λ⋅，所以(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＝λx 2－λ， ①－y 1＝λy 2， ②又y 21＝4x 1， ③ y 22＝4x 2， ④由②③④消去y 1，y 2后，得到x 1＝λ2x 2，将其代入①，注意到λ>0，解得x 2＝1λ. 从而可得y 2＝－2λ，y 1＝2λ， 故△OAB 的面积S ＝12OF ·|y 1－y 2|＝λ＋1λ， 因λ＋1λ≥2恒成立，所以只要解λ＋1λ≤5即可，解之得3－52≤λ≤3＋52. 20．(本小题满分16分)(2010·苏北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝35PB ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一点Q .(1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )，则AP ＝(x －a ，y )，PB ＝(－x ，b －y )， ∵AP ＝35PB ，∴⎩⎨⎧ x －a ＝－35x ，y ＝35(b －y ).∴a ＝85x ，b ＝83y . 又AB ＝a 2＋b 2＝8，∴x 225＋y 29＝1. ∴曲线C 的方程为x 225＋y 29＝1. (2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，设直线PM 方程为x ＝my ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 225＋y 29＝1，x ＝my ＋4，消去x 得(9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0，∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25 ＝90m 2＋19m 2＋25. ∴S △OPQ ＝12OM ·|y P －y Q |＝2×90m 2＋19m 2＋25 ＝20m 2＋1m 2＋259＝20m 2＋1m 2＋1＋169 ＝20m 2＋1＋169m 2＋1 ≤2083＝152， 当m 2＋1＝169m 2＋1， 即m ＝±73时，△OPQ 的面积取得最大值为152，此时直线方程为3x ±7y －12＝0.。