江苏省苏州市蓝缨学校高二数学 直线与平面所成的角 教案
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案教学目标:1.理解直线与平面所成角的概念。
2.学会通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
3.能够应用直线与平面所成角的性质解决相关问题。
教学重点:教学难点:通过角的性质计算直线与平面所成角的大小。
教学准备:投影仪、PPT等教具。
教学过程:Step 1:引入1.引导学生回顾直线与直线所成角的概念及性质。
2.提问:直线与平面之间有什么关系?学生回答。
3.引导学生思考,直线与平面所成角有什么特点?学生讨论。
Step 2:定义及性质1.展示PPT,介绍直线与平面所成角的定义:在平面内,以一条线段与平面的法线为边,从线段的其中一端点起,可以画出一个角,称为直线与平面所成角。
2.介绍直线与平面所成角的性质:a.直线与平面所成角的大小只取决于直线与平面的夹角,与直线的长度无关。
b.直线与平面所成的角等于这条直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
c.直线与平面所成角的度数范围是0°~180°。
Step 3:例题讲解1.案例一:已知一条直线与一个平面的夹角为60°,求直线在平面上的投影与这条直线的夹角。
解题思路:根据直线与平面所成角的性质,直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以,所求的角度为60°。
2.案例二:一根竖直的路灯杆上蜘蛛丝斜依在路灯杆上,它与平地成45°的角,它离地面高度为5米,求蜘蛛丝的长度。
解题思路:根据直线与平面所成角的性质,直线与平面所成的角等于直线在平面上的投影与直线的夹角。
所以,设蜘蛛丝的长度为x米,根据三角函数的定义,我们有tan 45°=5/x,解方程得x=5米。
Step 4:让学生自主探究1.将学生分成小组,每个小组选择一个与我们日常生活密切相关的例子,让学生尝试计算直线与平面所成角的大小,并讲解解题思路和方法。
Step 5:归纳总结1.学生回答问题:直线与平面所成角的度数范围是多少?直线与平面所成角的大小只与直线与平面的夹角有关吗?2.引导学生归纳总结直线与平面所成角的定义及性质。
直线与平面所成的角教学设计
9.3.2 直线与平面所成的角【教学目标】1. 了解平面的斜线的定义,理解直线与平面所成角的概念,并会求直线与平面所成的角.2. 注重培养学生的读图、作图的能力,培养学生的空间想象力.【教学重点】直线与平面所成的角.【教学难点】斜线与平面所成的角.【教学方法】本节主要采用讲练结合法.在学生熟悉线面垂直的基础上,讲解平面的斜线及其射影,通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识.【教学过程】1.平面的斜线如果一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,那么这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.斜线上一点与斜足之间的线段叫做斜线段.如图,AB是平面的斜线,B是斜足,AB是斜线段.AB2.直线与平面所成的角从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.斜线和它在平面上的射影的夹角,叫做斜线和平面所成的角(或夹角),如上图所示.如果直线垂直于平面,则规定直线与平面所成的角是直角(90);如果直线和平面平行,或在平面内,则规定直线与平面所成的角是0的角.一条线段与平面所成的角指的是线段所在直线与平面所成的角.如图,设线段AB 在平面内的射影为A B ,且AB 与平面所成的角为 .易证|A B |=|AB | cos .练习设线段AB =l ,且AB 与平面 所成的角为 ,求线段AB 在平面内的射影A B 长:(1)l =6,=3;(2)l =10,=0;(3)l =8,=2.例1 如图长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =1,BC =1,AA 1=2.求对角线A 1C 与平面ABCD 所成的角. 解 连接AC ,由题意知△A 1AC 为直角三角形,且A 1AC =90.又由题意,可知AC =AB 2+BC 2=12+12=2.而AA 1=2,所以ACA 1=45.因此A 1C 与平面ABCD 所成的角为45.例2 如图,已知 P A 是平面的斜线,PO ,a ,a AO . 求证:a P A . P AO a A BC D A 1 B 1C 1D 1 BA B A证明:因为 PO ,a ,所以 PO a .(线面垂直的定义) 又因为AO a ,且PO ∩AO =O ,所以a 平面P AO .(线面垂直的判定)又因为P A 平面 P AO ,所以a P A .(线面垂直的定义)例2中,AO 是斜线P A 在平面内的射影,通常例2的结论也叫做三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.练习1.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,写出对角线B 1D 1 与平面AC ,平面BA 1,平面BC 1所成的角,并求这些角的余弦值.2.如图所示,PA 为平面 的斜线,PO ,a ,a PA .求证:a AO .该结论叫做三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.P A O a。
直线与平面所成的角的教案
直线与平面所成的角教学目标:1. 理解直线与平面所成的角的定义及其性质;2. 学会运用直角三角形的知识求解直线与平面所成的角;3. 能够运用直线与平面所成的角解决实际问题。
教学重点:直线与平面所成的角的定义及其性质,求解直线与平面所成的角的方法。
教学难点:直线与平面所成的角的求解,将实际问题转化为直线与平面所成的角的问题。
教学准备:直角三角形模型,平面模型,直线模型。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 引入直线与平面所成的角的概念,让学生思考在日常生活中遇到的直线与平面所成的角,如楼梯的扶手与地面的夹角等。
2. 引导学生观察直角三角形,让学生认识到直角三角形中的直角就是直线与平面所成的角。
二、新课讲解(15分钟)1. 讲解直线与平面所成的角的定义:直线与平面相交时,直线与平面内的任意一条直线所成的角,称为直线与平面的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的性质:直线与平面所成的角是直线与平面内的所有角中最小的角。
3. 讲解求解直线与平面所成的角的方法:利用直角三角形,将直线与平面所成的角转化为直角三角形中的角。
三、实例分析(10分钟)1. 分析实例:楼梯的扶手与地面的夹角。
2. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
3. 分析实例:墙角的直角。
4. 引导学生运用直角三角形求解直线与平面所成的角。
四、课堂练习(5分钟)1. 让学生独立完成练习题,巩固所学知识。
2. 引导学生运用直线与平面所成的角的知识解决实际问题。
五、总结与拓展(5分钟)1. 总结直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法。
2. 拓展思维:直线与平面所成的角在现实生活中的应用,如建筑设计、导航等。
教学反思:通过本节课的学习,学生应掌握直线与平面所成的角的定义、性质和求解方法,并能运用所学知识解决实际问题。
在教学过程中,要注意引导学生观察实例,培养学生的空间想象能力。
结合练习题和实际问题,提高学生的运用能力。
六、直线与平面所成的角的测量教学目标:1. 学会使用工具(如量角器)测量直线与平面所成的角;2. 理解测量直线与平面所成角的方法及其原理;3. 能够准确地测量直线与平面所成的角。
高中数学选修2—1直线和平面所成的角教案
直线和平面所成的角(一)学习目标:(1)知道直线和平面所成的角定义生成过程及其合理性.(2)明确定义法求直线和平面所成角的方法和步骤.了解三余弦定理推导过程,并记忆定理内容(3)会在具体几何体中求直线与平面所成的角; 自学指导:1、直线和平面的位置关系有哪几种?(1)直线在平面内 (2)直线和平面平行 (3)直线和平面相交2、平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义:3线所成的角的关系如何?4、如图,怎样刻画不同斜线1l 与2l 相对同一平面α角的概念是什么? 5、重要结论:(1)平面的斜线和它在平面内的 所成的角,是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 .(2)一个平面的斜线和它在这个平面内的 的夹角叫做斜线和平面所成的角 6、规定:(1)如果直线和平面垂直,就说直线和平面所成的角是 .(2)如果直线和平面平行或在平面内,就说直线和平面所成角是 . (3)直线和平面所成的角的范围是 . (4)三余弦公式是自学检测:1、在单位正方体1111ABCD A BC D -中,(1)试求直线1BD 与平面ABCD 所成的角. (2)试求直线1BA 与平面1BC 所成的角.2、在长方体1111ABCD A BC D -中,a AD AA ==1,1与长方体各面所成角的余弦.3、已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角是︒60,这条直线与斜线在平面内的射影的夹角是︒45,求斜线与平面所成角的大小。
合作探究:在单位正方体1111ABCD A BC D -中,求直线11AC 与截面11ABC D 所成的角.小结:定义法就是根据斜线与平面所成角的定义,直接作出斜线在平面内的射影,则斜线与射影所成角就是斜线与平面所成角,这是解题时首先要考虑的方法 (1)求直线和平面所成的角的步骤是先作再证后求.(2)求直线和平面所成的角的关键是作(找)斜线在平面内的射影.A(3)下列结论常作为找斜线在平面内射影的依据。
①定理:一条直线与一个平面内的 直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
高二数学最新教案-9.7直线和平面所成的角与二面角(2) 精品
CA【课 题】直线和平面所成的角与二面角(2) 【教学目标】1、进一步理解直线和平面所成的角的概念;2、掌握求直线与平面所成的角的方法;3、重点要求学会利用平面的法向量求直线和平面的夹角。
【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、复习引入1、最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中最小的角;2、直线和平面所成的角:一个平面的斜线和它在平面内的射影的夹角,叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平面内,就说直线和平面所成的角是0︒的角。
直线和平面所成的角范围:[0,2π] 二、 例题讲解【例1】 如图。
在长方体ABC D -A'B'C'D'中,AB=4,BC=3,AA'=5,试求B'D'与平面A'BCD'所以成的角的正弦值。
解:作B'E ⊥A'B ,又因为A'D'⊥平面ABB'A', 所以A'D'⊥B'E 。
由B'E ⊥A'B 及B'E ⊥A'B 可得B E A BCD '''⊥平面 所以D E '就是D B ''在平面A BCD ''上的射影, 从而B D E ''∠就是D B ''与平面A BCD ''所成的角; 在直角B D E ''∆中,有sin EB B D E D B '''∠=''但是,5D B ''==,又1122A BB SA B EB A B BB ''∆'''''==A B '=EB '∴==sin B D E ''∴∠==解法2:如图建立空间直角坐标系,则(3,4,0),(0,4,0),(3,0,5),(0,0,5),(3,4,5)B C A D B ''',()()()3,4,0,0,4,5,3,0,0B D A B A D '''''∴=-=-=-,设平面A BCD ''的法向量为(),,1n x y =则045050,,13040n A B y n x n A D ⎧'⋅=-=⎧⎪⎛⎫⇒⇒=⎨⎨ ⎪-=⎝⎭''⋅=⎩⎪⎩。
江苏省苏州市蓝缨学校高二数学 平面与平面的位置关系(2)教案
教学重点、难点:重点:两个平面垂直的判定定理与性质定理。
难点:两个平面垂直的判定定理与性质定理的灵活应用。
教学过程:一、复习回顾:1.在平面几何中“角”是怎样定义的?2.在立体几何中,“异面直线所成的角”是怎样定义的?3.在立体几何中,“直线和平面所成的角”是怎样定义的?思考:异面直线所成的角、直线和平面所成的角与有什么共同的特征?二、问题情境:情境:发射人造地球卫星时,要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度;使用手提电脑时,为了便于操作,需将显示屏打开成一定的角度;问题:如何刻画两个平面形成的这种“角”呢?三、建构数学1、____________________________________________________________________叫做半平面。
2、____________________________________________________________叫做二面角,___________________ 叫做二面角的棱, _______________________叫做二面角的面。
3、二面角的表示方法:________________________________________4、二面角的画法:___________ ____________5、______________________________________________________________________________________________________________________________叫做二面角的平面角。
6、二面角的平面角的三个特征:1._______________2.________ _______ 3._______________7、二面角的范围:___________________8、______________________________________叫做直二面角。
直线与平面所成角教案
专题探究 直线与平面所成角教学目标:1. 明确直线与平面的各种位置关系,会求直线与平面所成角的大小;2.在探索、计算直线与平面所成角的过程中,提高空间想像力与几何演绎推理能力, 增强空间问题转化为平面问题的能力;3.引导学生经历数学学习的过程,体验探索的乐趣,增强学习立体几何的积极性。
重点:作出并计算线面角; 难点:作出线面角。
设计说明立体几何是高中数学的重点内容,它是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科。
线面关系是立体几何教材的一个重要部分,也是近年高考中的一个重要内容。
在本课的设计中力求体现以学生发展为本的理念。
比如,课前有预学单,一方面以提高学生的自学能力;另一方面,为本节课对线面关系的进一步研究打基础。
在选题时,充分考虑了问题的曲型性。
现在设计的四个问题都有其代表性:问题1,已知两平面的二面角前提下,求线面角大小;问题2,正三棱锥中求侧棱与底面所成的大小;问题3,是动直线与直三棱柱侧面的线面角问题;问题4,是线面垂直的问题。
问题3与问题4又是两个结论不定的开放式题目。
这样的选题会提高课堂教学的效率。
教案设中我十分重视数学思想。
比如,转化思想是立体几何解题中的一种十分重要的数学思想,只有把线面问题转化为线线问题,问题才能得以解决。
在问题设计中我充分考虑了线面角转化为线线角的三个步骤:一作,二证,三算。
其中作是在猜测到垂足位置基础上才能完成的,这一步很重要。
问题中既有用比较常规的思维就能找到垂足的问题,也有要化一些周折才能找到垂足的问题,这对提高学生的学习积极性很有帮助。
:立体几何是学生第一次接触到的需要严格论证的空间问题,学生的空间想象力与演绎推理能力还比较弱,设计中要充分考虑到学生的学情。
另外,从近年高考情况年,立体几何的要求不是太高。
因此,我们设计的问题的目的是重在理清概念,提高学生观察问题、分析问题的能力,掌握操作的关键步骤,题目的难度不宜太高。
预学交流:一、直线与平面的位置关系 ; 二、直线与平面所成角的范围 ; 三、直线a 与平面α所成的角为3π,则直线a 与平面α内所有直线所成角的取值范围是 ;四、由点P 引出三条射线PA PB PC 、、,若2,3ππ=∠=∠=∠APB CPB CPA ,求PC与平面PAB 所成角的大小。
直线与平面所成的角教案
直线与平面所成的角教案
【教学目标】
1. 知识与技能:了解平面的斜线的定义,理解直线与平面所成角的概念,并会求直线与平面所成的角.
2.过程与方法:注重培养学生的读图、作图的能力,培养学生的空间想象力.
3.情感态度与价值观:激发学生的学习兴趣,培养学生勤于思考、勤于动手的良好品质。
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”的过程中获取新知。
【教学重点】
直线与平面所成的角.
【教学难点】
斜线与平面所成角的求法.
【教学方法】
问题探索法及启发式讲授法。
直线与平面所成的角教学设计
【课题】9.3 直线与平面所成的角【教学目标】知识目标:理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念.能力目标:培养学生的空间想象能力和数学思维能力.【教学重点】直线与平面所成的角的概念【教学难点】直线与平面所成的角的求解【教学设计】斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一,是理解直线与平面所成的角的基础.要讲清这一概念,可采取“一边演示,一边讲解,一边画图”的方法,结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影.要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别.【教学备品】教学课件.【课时安排】1课时.(40分钟)【教学过程】过 程 行为 行为 意图图9−33*动脑思考 探索新知如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直,那么就称直线l 与平面α垂直,记作α⊥l .直线l 叫做平面α的垂线,垂线l 与平面α的交点叫做垂足. 画表示直线l 和平面α垂直的图形时,要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直(如图9−34所示),其中交点A 是垂足.图9−34提问 指导思考 解答领会知识*创设情境 兴趣导入将一根木棍P A 直立在地面α上,用细绳依次度量点P 与地面上的点A 、B 、C 、D 的距离(图9−35),发现P A 最短.质疑 引导 分析思考启发 学生思考*动脑思考 探索新知如图9−35所示,PA α⊥,线段P A 叫做垂线段,垂足A 叫做点P 在平面α内的射影.直线PB 与平面α相交但不垂直,则称直线PB 与平面α斜交,直线PB 叫做平面α的斜线,斜线和平面的交点叫做斜讲解 说明思考图9−35过程行为行为意图足.点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段.过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.如图9−35中,直线AB是斜线PB在平面α内的射影.从上面的实验中可以看到,从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段,垂线段最短.因此,将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离.引领分析理解带领学生分析*创设情境兴趣导入如图9−36所示,科学家用什么来衡量比萨斜塔的倾斜程度呢?图9−36质疑思考带领学生分析*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角,叫做直线l与平面α所成的角.如图9−37所示,PBA∠就是直线PB与平面α所成的角.规定:当直线与平面垂直时,所成的角是直角;当直线与平面平行或直线在平面内时,所成的角是零角.显然,直线与平面所成角的取值范围是[0,90].【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等,那么这两条直线一定平行吗?图9−37讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析*巩固知识典型例题例2如图9−38所示,等腰∆ABC的顶点A在平面α外,底边BC在质疑思考带领学生过 程行为 行为 意图平面α内,已知底边长BC =16,腰长AB =17,又知点A 到平面α的垂线段AD =10.求(1)等腰∆ABC 的高AE 的长; (2)斜线AE 和平面α所成的角的大小(精确到1º).分析 三角形AEB 是直角三角形,知道斜边和一条直角边,利用勾股定理可以求出AE 的长;AED ∠是AE 和平面α所成的角,三角形ADE 是直角三角形,求出AED ∠的正弦值即可求出斜线AE 和平面α所成的角. 解 (1) 在等腰∆ABC 中,AE BC ⊥,故由BC =16可得BE =8.在Rt ∆AEB 中,∠AEB =90°,因此 222217815AE AB BE =-=-=.(2)联结DE .因为AD 是平面α的垂线,AE 是α的斜线,所以DE 是AE 在α内的射影.因此AED ∠是AE 和平面α所成的角. 在Rt ∆ADE 中,102sin 153AD AED AE ∠===,所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】 为什么这三条连线都画成虚线?分析*运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中,高DD 1=4cm ,底面是边长为3cm 的正方形,求对角线D 1B 与底面ABCD 所成角的大小(精确到1′).练习9.3.2图讲解 说明 引领 分析 仔细 分析 讲解 关键 词语 思考 理解 记忆带领 学生 分析 *归纳小结 强化思提问 巡视 思考 求解及时了解图9−38过 程行为 行为 意图本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?指导学生知识掌握情况 *自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的?你的学习效果如何? 自我测评 1、判断:(1)若直线和平面相交,则直线与平面所成的角小于等于90度。
江苏省苏州市蓝缨学校高二数学 直线与平面的位置关系(1) 教案
江苏省苏州市蓝缨学校高二数学 直线与平面的位置关系(1) 教案教学重点、难点:重点:直线与平面平行的判定定理及性质定理。
难点:直线与平面平行的判定定理及性质定理的应用。
教学过程: 一.问题情境把桌面作为平面,笔作为直线,摆一摆,观察直线与平面有哪几种位置关系? 二、学生活动位置关系 直线a 在平面α内直线a 与平面相交直线a 与平面平行公共点 符号表示图形表示11 aα问题:(1)你能从中抽象出一般图形吗?(2)由上面的问题你能得到一个什么命题? 三、建构数学归纳1:直线与平面的判定定理: 。
上面的定理用符号语言如何表示?思考:如果直线和平面平行,那么这条直线是否与这个平面内的任意一条直线都平行? 如图,已知直线l ∥α,l ⊂β,m =βαI ,则直线l 与m 的位置关系如何?为什么?aαααaaB B 1A D C D 1 C 1A 1 bαβ ml问题:你能得到一个什么样的命题?归纳2:直线与平面的性质定理:。
上面的定理用符号语言如何表示?四、数学运用1.例题例3、求证:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行.分析:要求学生画出图形,写出已知、求证并证明。
思考:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中两条直线相交,那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系呢?2.练习:练习1、如图,已知P 为ABCD Y 所在平面外一点,M 为PB 的中点,求证:PD ∥平面MAC 。
练习3、下列命题:(1)直线l 平行于平面α内的无数条直线,则l ∥α;(2)若直线a 不在平面α内,则a ∥α;(3)若直线a ∥b ,直线b ⊄α,则a ⊄α;(4)若直线a ∥b ,b ⊄α,那么直线a 就平行于平面α内的无数条直线;(5)若直线a ∥b ,b ∥α,则a ∥α;(6)过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行;(7)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行;(8)如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行。
江苏省苏州市蓝缨学校高二数学 直线与平面位置关系(2) 教案
思考:为什么轴SO垂直于底面内的所有半径,就有SO垂直于底面内的所有直线?二、建构数学1、直线与平面垂直:如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a垂直于平面α,记作________。
直线a叫做平面α的_______,平面α叫做直线a的______,垂线和平面的交点叫做______。
思考:在平面中,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,那么,在空间:(1)过一点有几条直线与已知平面垂直?(2)过一点有几个平面与已知直线垂直?小结:_________________________________________________________________________. 问:你能证明这个结论吗?2、点到平面的距离:_________________________________________________________________________________________________________.3、问题:(1)将一张矩形纸片对折后略微展开,竖立在桌面上,观察折痕与桌面的位置关系?(2)学校的旗杆与地面的位置关系?归纳:直线与平面垂直的判定定理:______________________________________________________ ______________________________________________.上面的定理用符号语言如何表示?两根旗杆垂直于地面,给我们以旗杆平行的形象。
αAnma归纳:直线与平面垂直的性质定理:_____________________________________________________。
(写出已知、求证,并证明)已知: 求证:证明:三、数学运用1.例题例1、求证:如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。
(要求画出图形,写出已知、求证)分析:只要证明b 与平面α内任意一条直线都垂直。
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【课 题】直线和平面所成的角与二面角(1) 【教学目标】1、理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2、学会作斜线在平面上的射影,正确找出直线和平面所成的角;3、正确理解最小角定理的含义,会灵活运用公式12cos cos cos θθθ=⋅;【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】一、复习引入1、斜线,垂线,射影⑴垂线:自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。
这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。
⑵斜线:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。
斜线和平面的交点叫斜足;斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。
⑶射影:过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。
直线与平面平行,直线在平面由射影是一条直线。
直线与平面垂直射影是点。
斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
二、讲解新课(一)最小角定理如图,AO 是平面α的斜线,A 是斜足,OB 垂直于平面α,B 为垂足,则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
设AC 是平面α内的任意一条直线,且BC ⊥AC ,垂足为C ,又设AO 与AB 所成的角为1θ,AB 与AC 所成的角为2θ,AO 与AC 所成的角为θ。
下面我们来研究12,,θθθ之间的关系。
不妨设AO 为单位长,则11||||cos cos AB AO θθ==, 212||||cos cos cos AC AB θθθ==但||||cos cos AC AB θθ==,所以在上述公式中,由于20cos 1θ<<,所以1cos cos θθ<,而余弦函数在()0,π内为减函数,所以1θθ<。
最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成的角中最小的角;(二)直线和平面所成的角定义:一个平面的斜线和它在平面内的射影的夹角,叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平面内,就说直线和平面所成的角是0︒的角。
高中数学9.3.2直线与平面所成的角教案
9.3.2直线与平面所成的角(2)2018、12、18 (第72课时)【教学目标】知识与技能:(1)了解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念;(2)理解直线与平面所成的角的概念,重点理解直线与平面垂直(3)培养学生的空间想象能力和数学思维能力已及动手操作能力.过程与方法:经历相关内容的实验、观察、归纳、总结,加深学生对两条异面直线所成的角的概念理解情感、态度与价值观:在探索知识之间的相互联系及应用一系列的过程中,体验推理的意义、获取学习的经验、学习数学的价值、培养学生积极参予、合作探究、互相学习的意识。
【教学重点】直线与平面所成的角的概念、直线与平面所成的角的确定.【教学难点】直线与平面所成的角的概念.【教学设计】斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一,是理解直线与平面所成的角的基础.要讲清这一概念,可采取“一边演示,一边讲解,一边画图”的方法,结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影.要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别.【教学过程】过程行为行为意图图9−33*动脑思考探索新知如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直,那么就称直线l与平面α垂直,记作α⊥l.直线l叫做平面α的垂线,垂线l与平面α的交点叫做垂足.画表示直线l和平面α垂直的图形时,要把直线l画成与平行四边形的横边垂直(如图9−34所示),其中交点A是垂足.图9−34讲解说明引领分析思考理解带领学生分析*创设情境兴趣导入将一根木棍P A直立在地面α上,用细绳依次度量点P与地面上的点A、B、C、D的距离(图9−35),发现P A最短.质疑思考带领学生分析*动脑思考探索新知图9−35过程行为行为意图如图9−35所示,PAα⊥,线段P A叫做垂线段,垂足A 叫做点P在平面α内的射影.直线PB与平面α相交但不垂直,则称直线PB与平面α斜交,直线PB叫做平面α的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.点P与斜足B之间的线段叫做点P到这个平面的斜线段.过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.如图9−35中,直线AB是斜线PB在平面α内的射影.从上面的实验中可以看到,从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段,垂线段最短.因此,将从平面外一点P到平面α的垂线段的长叫做点P到平面α的距离.讲解说明引领分析仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析*创设情境兴趣导入如图9−36所示,炮兵在发射炮弹时,为了击中目标,需要调整好炮筒与地面的角度.图9−36质疑思考带领学生分析*动脑思考探索新知斜线l与它在平面α内的射影l'的夹角,叫做直线l与平面α所成的角.如图9−37所示,PBA∠就是直线PB与平面α所成的角.规定:当直线与平面垂直时,所成的角是直角;当直线与平面平行或直线在平面内时,所成的角是零角.显然,直线与平面所成角的取值范围是[0,90].【想一想】如果两条直线与一个平面所成的角相等,那么这两条直线一定平行吗?讲解说明引领分析仔细分析思考理解记忆带领学生分析过 程行为 行为 意图图9−37讲解 关键 词语*巩固知识 典型例题例2 如图9−38所示,等腰∆ABC 的顶点A 在平面α外,底边BC 在平面α内,已知底边长BC =16,腰长AB =17,又知点A 到平面α的垂线段AD =10.求(1)等腰∆ABC 的高AE 的长;(2)斜线AE 和平面α所成的角的大小(精确到1º).分析 三角形AEB 是直角三角形,知道斜边和一条直角边,利用勾股定理可以求出AE 的长;AED ∠是AE 和平面α所成的角,三角形ADE 是直角三角形,求出AED ∠的正弦值即可求出斜线AE 和平面α所成的角.解 (1) 在等腰∆ABC 中,AE BC ⊥,故由BC =16可得BE =8.在Rt ∆AEB 中,∠AEB =90°,因此222217815AE AB BE =-=-=.(2)联结DE .因为AD 是平面α的垂线,AE 是α的斜线,所以DE 是AE 在α内的射影.因此AED ∠是AE 和平面α所成的角. 在Rt ∆ADE 中, 102sin 153AD AED AE ∠===,所以42AED ∠≈︒.即斜线AE 和平面α所成的角约为42︒. 【想一想】为什么这三条连线都画成虚线?说明强调引领讲解 说明 观察 思考 主动 求解 思考 通过例题进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 *运用知识 强化练习长方体ABCD −1111A B C D 中,高DD 1=4cm ,底面是边长为3cm及时图9−38过程行为行为意图的正方形,求对角线D1B与底面ABCD所成角的大小(精确到1′).练习9.3.2图提问巡视指导思考求解了解学生知识掌握得情况*理论升华整体建构思考并回答下面的问题:异面直线所成的角、二面角的平面角的概念?结论:经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线,这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.过棱上的一点,分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线,以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角.质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的?你的学习效果如何?提问巡视指导反思动手求解检验学习效果*继续探索活动探究(1)读书部分:教材(2)书面作业:教材习题9.1 说明记录分层次要求。
苏教版数学高二-数学选修2-1学案 3.2 直线与平面所成的角的计算(教师案)
课
题
新课型
教学目标:利用空间向量求直线与平面所成的角
教学重、难点:用空间向量求直线与平面所成的角
教学方法:讲练结合 教学内容 一 复习 1 直线与平面所成的角?
2如果一条直线与一个平面平行或在平面内,
我们规定这条直线与平面所成的角为?
3 如果一条直线与一个平面垂直,我们规定这
条直线与平面所成的角是?
【例题精讲】
例 1 已知正方体ABCD-1111A B C D 中,求
111A B A B CD 与平面所成的角.
教学流程:
变式2 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,求PA与平面DEF所成角的正弦值。
高二数学 直线与平面所成的角 教案
江苏省苏州市蓝缨学校高二数学 直线与平面所成的角教案2、如图,在棱长为a 正方体中, (1)A 到面BCC 1B 1的距离为______(2)A 到平面BDD 1B 1的距离为____________(3)AD 到平面BCC 1B 1的距离为___________ (4)AA 1到平面BDD 1B 1的距离为__________ (5)AA 1与BC 1所成的角为_______ 二、问题情境观察如图所示的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 1、直线AA 1和平面ABCD 是什么关系? 2、直线A 1B 、A 1C 、A 1D 和平面ABCD 的位置关系?3、直线A 1B 、A 1C 、A 1D 与点B 、C 、D 它们又如何命名呢? 三、建构数学1、__________________________________________________这条直线叫做这个平面的斜线 ________________________叫斜足.____________________________________叫斜线段. ______________________________________叫做斜线在这个平面上的正投影(简称射影)2、______________________________________________叫做这条直线与这个平面所成的角。
3、____________________________________________,我们说它们所成的角是直角; ____________________________________________,我们说它们所成的角是00的角。
4、斜线与平面所成角的范围:_____________。
直线与平面所成角的范围:______________。
B B 1 AD C D 1 C 1 A 1 B B 1 A D CD 1 C 1 A 1四、数学运用1.例题例1、如图,已知AC 、AB 分别是平面的垂线和斜线,C 、B 分别是垂足和斜足,a ⊂,a ⊥BC 。
苏教版高中数学必修2直线与平面所成角
α P Q 1P (图1) 直线与平面所成角教学目标(1)理解斜线在平面内的射影、直线与平面所成角的概念;(2)掌握求直线与平面所成角的基本方法;(3)掌握空间与平面“线线垂直”相互转化的方法.教学重点教学目标(1)(2)(3)教学难点求直线与平面所成角的基本方法及空间与平面“线线垂直”相互转化的方法. 教学过程一、问题情境1.情境:(1)复习:空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面.2.问题:前面我们学习了直线与平面垂直,这其实是直线和平面相交的一种特殊情况,更多时候,直线和平面是相交时,直线与平面是不垂直的,即是“斜交”的,倾斜的程度有大有小,那么我们用什么来刻画直线与平面斜交的倾斜程度呢?二、建构数学 1.斜线的有关概念一条直线与一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线;斜线与平面的交点叫做斜足,斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.如图(1)所示.2.射影如图(1),过平面外一点P 向平面α引斜线和垂线,则过斜足Q 和垂足1P 的直线就是斜线在平面α内的正投影(简称射影),线段1PQ 就是斜线段PQ 在平面α内的射影. 3.直线和平面所成角平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的角,叫做这条直线与这个平面所成的角.如图(1)中,1PQP ∠就是PQ 与平面α所成的角.说明:(1)若直线垂直于平面,我们说它们所成角为90;(2)若直线平行于平面或在平面内,我们说它们所成角为0;(3)直线和平面所成角的范围为:090θ≤≤;(4)可以证明:PQ 与平面α内经过点Q 的直线所成的所有角中,1PQP ∠最小.四、数学运用1.例题:例1.如图,已知,AC AB 分别是平面α的垂线和斜线,,C B 分别是垂足和斜足,,a a BC α⊂⊥,求证:a AB ⊥.分析:∵AB ⊂平面ABC ,∴只要证明a ⊥平面ABC 即可. 证明:∵,AC a αα⊥⊂,∴a AC ⊥, 又∵a BC ⊥,且,AC BC 交于C ,∴a ⊥平面ABC ,又∵AB ⊂平面ABC ,∴a AB ⊥. 例2.如图,已知BAC ∠在平面α内,P α∉,PAB PAC ∠=∠, 求证:点P 在平面α上的射影在BAC ∠的平分线上. 证明:作PO α⊥,,PE AB PF AC ⊥⊥,垂足分别为,,O E F ,连结,,OE OF OA ,∵ ,PE AB PF AC PAE PAF Rt PAE Rt PAF AE AF PA PA ⊥⊥⎧⎪∠=∠⇒∆≅∆⇒=⎨⎪=⎩, PO AB PO AB αα⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩, 又∵AB PE ⊥,∴AB ⊥平面PEO ,∴AB OE ⊥.同理AC OF ⊥. 在Rt AOE ∆和Rt AOF ∆,,AE AF OA OA ==,∴Rt AOE ∆≅Rt AOF ∆,∴EAO FAO ∠=∠,即点P 在平面α上的射影在BAC ∠的平分线上.2.练习:请设计一个四个面都是直角三角形的四面体;五、回顾小结:1.直线与平面所成角的有关概念;2.直线与平面所成角的作法及求解的基本方法.α A BCaA P α BE F C O。
高二数学教案:直线和平面所成角与二面角(3)
直线和平面所成的角与二面角(3)——面面垂直一、课题:直线和平面所成角与二面角(3)——面面垂直 二、教学目标:1.进一步巩固二面角的概念;2.掌握两个平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用.三、教学重点、难点:两个平面垂直的判定定理及性质定理并能加以运用. 四、教学过程: (一)复习:1.二面角的平面角的范围和二面角平面角的作法; 2.求二面角的步骤:作——证——算——答; (二)新课讲解:1.两个平面垂直的定义:两个相交成直二面角的两个平面互相垂直;相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平 面.2.两平面垂直的判定定理:(线面垂直⇒面面垂直)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 已知:直线AB ⊂平面α,AB ⊥平面β,垂足为B ,求证:αβ⊥.证明:如图所示,令CD αβ=I ,则B CD ∈,在β内过B 作BE CD ⊥,∵,AB CD ββ⊥⊂,∴AB CD ⊥, ∴ABE ∠是二面角CD αβ--的平面角, 又∵AB BE ⊥,∴ABE ∠是直角,所以,α与β所成的二面角是直角,即αβ⊥.实例:建筑工地在砌墙时,常用铅垂的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直. 3.两平面垂直的性质定理:(面面垂直⇒线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面. 已知:,,,CD AB AB CD αβαβα⊥=⊂⊥I 于点B ,求证:AB β⊥. 证明:在β内过B 作BE CD ⊥,则由题意得ABE ∠是CD αβ--的平面角,ED CBAβα∵αβ⊥知AB BE ⊥,又∵AB CD ⊥,∴AB β⊥.4.例题分析:例1.如图,已知AB 是圆O 的直径,PA 垂直于O e 所在的平面,C 是圆周上不同于,A B 的任一点,求证:平面PAC ⊥平面PBC .分析:根据“面面垂直”的判定定理,要证明两平面互相垂直,只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可。
《直线与平面所成的角》教学设计
想一想:(小组讨论)
如果两条直线与一个平面所成的角相等,那么这两条直线一定平行吗?(不一定!)
(三)学以致用,提升能力(约20分钟)
1.小试身手
练一练:找到正方体中的线面夹角
量一量:正确的握笔姿势
笔杆和桌面成60-70度角,握笔高度约3厘米,能清楚书写视野,处于放松的姿势和角度。
1.生活实例
几何画板动态演示
(识角)定义:直线 与它在平面 内的射影 的夹角,叫做直线 与平面 所成的角。
探究二:直线与平面所成的角的取值范围
1.动手演示:一支笔所在的直线与桌面所在的平面可能有几个交点(公共点)?
总结:直线与平面有哪几种位置关系?
角的取值范围:
规定:当直线与平面垂直时,所成的角是直角;当直线与平面平行或直线在平面内时,所成的角是零角。
通过几何画板的动态演示,深刻理解直线与平面所成的角的定义。通过多媒体教学的使用,突出了重点。
通过理解直线与平面所成的角的范围,更深刻的理解直线与平面所成的角的定义。
进一步理解强化线面夹角概念
为例题的解答做好铺垫,同时信息化手段可以更加形象、直观,体现出了对传统教学的传承和创新。
活跃气氛、提高发散性思维能力,体会数学的应用价值。
小组代表到黑板板演,
教师规范解题的步骤。
学生:自主探究
教师:简要提示
学生:小组合作交流,完成解题,教师:巡视指导,并加以强调。
教师:引导
学生:总结
教师:作业布置
通过观看微课视频,回顾电焊专业课上对焊炬焊丝倾角的要求。
专业任务导入既能迅速集中注意力又能唤起探究的欲望。
从生活实际出发,能极大地激发学习数学的兴趣,让课堂更加的灵活多样。
〖2021年整理〗《直线与平面、平面与平面所成的角》参考优秀教案
直线与平面、平面与平面所成的角教学目标1. 掌握利用向量运算解几何题的方法,并能解简单的立体几何问题;2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.教学过程 一、课前准备 复习1:已知1a b •=,1,2a b ==,且2m a b =+,求m .复习2:什么叫二面角?二面角的大小如何度量?二面角的范围是什么?二、新课导学()()()1////()2(10]23()a b O a a b b a b a b a b πθ''''∈定义:直线、是异面直线,经过空间一点,分别作,,相交直线,所成的锐角或直角叫做异面直线,所成的角.范围:,.方法:①平移法:在图中选一个恰当的点通.常是线段端点或中点作,的平行线,构造一个三角形两条异面直线所,并解三成的角角形求角.()()—2.12P ABC PC ABC PC AC AB BC D PB CD PAB AB PCB AP BC ⊥===⊥⊥如图,三棱锥中,平面,,,是上一点,且平面求证:平面;求异面直线与所成角的大小.2.直线与平面所成的角斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。
求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影,即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足。
通常是解由斜线段,垂线段,斜线在平面内的射影所组成的直角三角形。
例:如图,在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角.A DC 1D 1A 1B 1CB()()13.2CD O AO BO AOB CD αβ∠--定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形;二面角的大小用它的平面角来度量.方法:①定义法:在棱上找一点,在两个面内分别作棱的垂线,,则为二面角 二面角的平面角.11111111903221___ABC A B C BAC A A ABC A A AB AC AC A C C B ∠=︒⊥====--例:三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示,截面为,,平面,,,,,则二面角的正切值为.传统的求空间角的方法主要是找到或作出所求的夹角,然后在所作的三角形中进行计算。
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江苏省苏州市蓝缨学校高二数学 直线与平面所成的角
教案
2、如图,在棱长为a 正方体中, (1)A 到面BCC 1B 1的距离为______
(2)A 到平面BDD 1B 1的距离为____________
(3)AD 到平面BCC 1B 1的距离为___________ (4)AA 1到平面BDD 1B 1的距离为__________ (5)AA 1与BC 1所成的角为_______ 二、问题情境
观察如图所示的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 1、直线AA 1和平面ABCD 是什么关系? 2、直线A 1B 、A 1C 、A 1D 和平面ABCD 的位置关系?
3、直线A 1B 、A 1C 、A 1D 与点B 、C 、D 它们又如何命名呢? 三、建构数学
1、__________________________________________________这条直线叫做这个平面的斜线 ________________________叫斜足.____________________________________叫斜线段. ______________________________________叫做斜线在这个平面上的正投影(简称射影)
2、______________________________________________叫做这条直线与这个平面所成的角。
3、____________________________________________,我们说它们所成的角是直角; ____________________________________________,我们说它们所成的角是00
的角。
4、斜线与平面所成角的范围:_____________。
直线与平面所成角的范围:______________。
B B 1
A
D C D 1 C 1 A 1 B B 1 A D C
D 1 C 1 A 1
四、数学运用
1.例题
例1、如图,已知AC 、AB 分别是平面的垂线和斜线,C 、B 分别是垂足和斜足,a ⊂,a ⊥BC 。
求证:a ⊥AB
[变]:上图,已知AC 、AB 分别是平面的垂线和斜线,C 、B 分别是垂足和斜足,a ⊂,a ⊥AB 。
求证:a ⊥BC
例2、如图,已知AP 是∠ABC 所在平面的斜线,PO 是∠ABC 所在平面的垂线,垂足为O 。
(1)若P 到∠BAC 两边的垂线段PE 、PF 的长相等,求证:AO 是∠BAC 的平分线。
(2)若∠PAB=∠PAC ,求证:AO 是∠BAC 的平分线.
a C B A
A B C E F O
P
例3、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,找出A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角,并证明之。
2.练习: 1、如图,∠BCA =900,PC ⊥平面ABC ,则在△ABC ,△PAC 的边所在的直线中:
(1)与PC 垂直的直线_________________________;
(2)与PA 垂直的直线_________________________;
2、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线AD 1与平面ABCD 所成的角_________。
3、若直线与平面不垂直,那么在平面内与直线垂直的直线( ) A.只有一条 B.有无数条
C.是平面内的所有直线
D.不存在
4、判断下列说法是否正确
(1)两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线( )
(2)两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线( )
(3)两条异面直线在同一平面内的射影要么是平行直线,要么是相交直线 ( )
(4)若斜线段长相等,则它们在平面内的射影长也相等( )
(5)两条平行直线和一个平面所成的角一定相等( )
(6)若两条直线和一个平面所成的角相等,则两直线平行( )
(7)若平面外的直线上有两点到平面的距离相等,则直线平行于平面()
5、已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍,则斜线和平面β所成的角为_________.
6、点P 是△ABC 所在平面外一点,且PA ⊥PB ,PB ⊥PC ,PC ⊥PA ,则P 点在△ABC 所在平面上的射影是△ABC 的 心。
[变1]点P 是△ABC 所在平面外一点,且PA ⊥BC ,PB ⊥AC ,则P 点在△ABC 所在平面上的射影是△ABC 的 心。
[变2]点P 是△ABC 所在平面外一点,且P 点到△ABC 三个顶点距离相等,则P 点在△ABC 所在平面上的射影是△ABC 的 心。
[变3]点P 是△ABC 所在平面外一点,且P 点到△ABC 三条边距离相等,则P 点在△ABC 所在平面上的射影是△ABC 的 心。
五、回顾小结
六、课外作业:教材第38页第6题。
B B 1 A D
C
D 1 C 1 A 1 C B A P
补充1、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求证:A 1C⊥平面BC 1D
补充2、如图,已知ABCD 是矩形,AB=a ,AD= b ,PA 平面ABCD ,PA=2c ,Q 是PA 的中点.求
(1)Q 到BD 的距离;(2)P 到平面BQD 的距离
E Q P
D C
B A B B 1 A D
C
D 1 C 1 A 1。