1-1加权余量法
加权余量法的基本原理
加权余量法的基本原理
加权余量法是一种常用于工程设计中的计算方法，其基本原理是在设计时考虑各种偏差因素，通过对这些因素进行加权，得出可靠的设计参数。
加权余量法的主要思想是在设计时加入一定的安全余量，以应对可能存在的各种不确定因素，如材料强度、加工精度、负荷变化等。
这样，在实际使用时，即使存在一些误差或者随机因素，也能保证设计的可靠性和安全性。
在具体的计算中，加权余量法通常采用统计学方法，对各种偏差因素进行量化，并按照其权重进行加权。
这样，可以得到一个综合的设计余量，即在各种偏差因素都存在的情况下，仍能保证设计的可靠性和安全性。
总之，加权余量法是一种在工程设计中广泛应用的计算方法，其基本原理是考虑各种偏差因素，通过加权计算得出可靠的设计参数，以保证工程的可靠性和安全性。
- 1 -。
有限元原理(加权余量法和变分法)
3. 加权余量法－－例1
该静态电场问题的真解（解析解：）
真解与近似解相同是由于尝试 函数选择的刚好，通常是有差 别的，如选用三角函数，但求 解过程会复杂，可见尝试函数 的选取是有技巧的。
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
一般化偏微分方程： 线性微分算子
( ) q ( ) s
3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设 法使其最小的方法。 加权余量法误差（即余数）的定义：
2 2 场域 内 : R R （） （） 边界上：
问题的自 由度
i 1 * j i 1
n
n
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
* * {[ w ( ) d ] C } {[ w ( ) d ] C } w q d w j i j i i i j j s d i 1 i 1 n
5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化
通过尝试函数，简化加权余数后：
F j ( R ) w j ( 2 q ) d w * j(
i 1 i 1
2.结合问题，写出余数表达式：
2 2 2 i 2 1 2 2 ( C x ) ( C x ) ( C x ) i 1 2 i 1 0 2C2 2 0
: R 2 2
2C2
其中： C i i
i 1 n
R ( ) ( ) ( ) q 则其余数为：
令加权余数为0，构建代数方程：
有限元第2讲：加权余量法
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
有限元分析理论基础
有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
釆用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
4.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。
(Weighted residual method WRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。
设问题的控制微分方程为：在V域内厶(")-八0 (5.1.1)在S 边界上〃(“)-& = 0 (5.1.2)式中：L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g ——为与未知函数u无关的己知函数域值；u——为问题待求的未知函数当弄!J用力u权余•肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数H 一般兵升如下形式:仁土CN=NC(5.1.3)T M式中：c{----------- 彳寺定系数. 也可称为广义坐标；N：--- 取白完备函冬攵*S线.性无关的基函孕攵°由于〃一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂因u匕将式(5 1.3) 代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃•不誉斯兄，昔迅:| R] = L(flb— f在V域内\R B =B(^~g在S 边界上("14)城然 & 、尽反映了r式函竽攵与实解之问的偏差. 它丁门分另U称做内召卩牙口边界余覺。
若在域\'内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数W B 则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：L兀W B1R B dS = 0 (/ = L2.L ,〃) (51-5)• V • S不同的权函数幵；和jr R反映了不同的消除余•眩的准则。
加权余量法 ppt课件
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• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求 多元（ a~1 ....）..a~函n 数的极值问题。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
~
(u ) ~ 0
a ~
Ka F ~~ ~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
讨论： 1）此方法的优点是不增加最后的线性方程组阶数
2）
K ~
2为奇异阵
K ~
2
0
K ~
1
相对 K~可2 以忽略。
1 K~2~aP ~
0
而 ~a ，0 必K~须2 是奇异，才有非零解。
加权余量法
§1.3.2 修正泛函变分原理
从实例中可见， K~为2 奇异的。 实例计算中需证明 K~的2 奇异性。
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
Байду номын сангаас~~~
伽辽金加权余量法
伽辽金加权余量法伽辽金加权余量法是一种用于估计地球大气层中的物质含量的方法。
它基于光的散射和吸收现象，通过测量不同波长下的光强度，推断出大气层中某种物质的浓度。
本文将详细介绍伽辽金加权余量法的原理、应用、优缺点以及未来发展方向。
一、原理1.1 光的散射和吸收在大气层中，光线会发生散射和吸收现象。
当光线经过空气分子或云雾等微粒时，会被这些微粒所散射，使得原本直线传播的光线变得弯曲或偏转。
同时，不同波长的光线受到不同程度的散射影响，因此在大气层中观察到的太阳光谱会出现一定程度上的变化。
此外，在大气层中还存在着各种化学物质，如臭氧、水蒸汽、二氧化碳等。
这些物质对不同波长的光线也会发生吸收作用，使得通过大气层传播的太阳光谱再次发生变化。
1.2 伽辽金加权余量法的原理伽辽金加权余量法利用了光的散射和吸收现象，通过测量大气层中不同波长的光线强度，推断出大气层中某种物质的浓度。
具体来说，该方法将太阳光谱分为若干个波段，在每个波段内测量透过大气层后的光线强度，并计算出各波段内的平均强度值。
然后，根据不同波长下的平均强度值之间的比较关系，推断出大气层中某种物质的含量。
这里需要注意一点，即不同波长下的光线强度受到多种因素影响，如大气湍流、云雾遮挡等。
因此，在进行估算时需要对这些因素进行修正，并考虑它们对结果精度的影响。
二、应用2.1 大气成分测量伽辽金加权余量法是一种常用于大气成分测量的方法。
通过对太阳光谱进行分析，可以获得大气层中各种化学物质（如臭氧、水蒸汽、二氧化碳等）的浓度信息。
这对于研究大气层的结构和变化、预测气候变化等具有重要意义。
2.2 空间探测伽辽金加权余量法还可以应用于空间探测领域。
在行星探测任务中，该方法可以通过对太阳光谱的分析，获取目标行星大气层中的成分信息。
这对于了解行星环境、寻找适合生命存在的地方等都具有重要意义。
三、优缺点3.1 优点（1）非侵入性：伽辽金加权余量法不需要直接接触大气层，因此不会对大气层产生影响。
元分析理论基础 大全 超详细
非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类： 1）材料非线性问题
材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移 呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普 遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试 验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们 的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分 段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
的平均值作为此两个单元合成的较大四边形单元形心处的应力。 如 2 单元的情况下，取平均应力可以采用算术平均， 即平均应力=（单元 1 的应力+单元 2 的应力）/2。 也可以采用精确一些的面积加权平均，
即平均应力=[单元 1 应力× 单元 1 的面积+单元 2 应力× 单元 2 面积]（/ 单 元 1 面积+单元 2 面积）
有限元分析概念
有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构 成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成 各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特 性和复杂的边界条件
有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成， 单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插
值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数
加权余量法简介
在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1
有限元分析理论基础
有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。
由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。
并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。
在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。
如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。
由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。
研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。
它包括大位移大应变及大位移小应变问题。
第四章加权余量法
微分方程的等效积分形式可以通过不同途径给出。与微分方程等价的泛函极值问题，就是其一
种 等 效 的 积 分 形 式 ， 如 对 于 对 称 、 正 定 的 算 子 方 程 L(u) f ， 其 等 价 的 泛 函 极 值 问 题 J[u] L(u),u 2 f ,u 就是其等效的积分形式。
（4.2.1-4）
其中i 是待定参数；{i } (i 1, 2,, n) 是一组基函数(或试探函数、形函数)，为已知函数，它取
自完全的函数序列，是线性独立的。另外，近似解通常要满足强制边界条件（4.2.1-3b）和连续性的 要求。
由于近似解是不能精确满足微分方程（4.2.1-3a），它将产生余量或残差（Residual），即
1
1
[
x
0
1
(2
x
x2
)](2
x
x2
)dx
0
积分后，得到
105 5
1
11 2
0
由此求得
1
55 202
0.2723 ，
故一级近似解：
u1 0.2723x(1 x)
● 在（4.2.2-10）式中取两项，得到二级近似解
代入微分方程，余量为
u2 1x(1 x) 2 x2 (1 x)
一点都得到满足，也存在余量（或残差） R T (u) g ，这时，积分形式（4.1.2-4）及（4.1.2-5）
不能对任何 v 、 v 都精确成立。
为获得微分方程的近似解 u ，我们取有限个给定函数
v wi ， v wi （ i 1, 2,）
(完整版)有限元法的基本原理
第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。
有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。
2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。
在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。
2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。
同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。
A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。
微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。
所以在以上两式中采用了矩阵形式。
以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。
加权余量法和变分法建立有限元方程
加权余量法和变分法建立有限元方程 分片定义试函数和有限元法直接法只能用来推导比较简单的有限元方程。
例如假设温度、位移是线性变化的，因此在单元边界上热流、应力、表面力是常数，容易化成等效的节点热流和端点力。
直接法形式上把连续区域化为有限元网格，对每个有限元用直接法分析得到单元刚度矩阵再组合成总体刚度矩阵。
这种方法对计算结果的收敛性、误差和试函数选取的要求没有进行讨论。
0=+p ϕL 在D 内0=+γϕM 在Γ 上用加权余量方法，选取近似函数m Mm m a N ∑=+=≅1ˆψϕϕ建立加权余量公式()∫∫=+++ΓDl lW dD p W 0ˆ(ˆ)M L γϕϕ该方法在整个区域定义试函数和建立加权余量公式，只能求解比较简单的问题。
可以设想把整个求解区域 D 划分为若干个互相既不重合，也不分离的子区域e D 之和。
这些子区域叫做有限元。
然后在每个有限元内部分别构造近似函数e ϕˆ、选取加权函数。
当然在不同的有限元内部可用不同的方法构造近似函数，对整个区域建立的加权余量公式，就可以写成各个子区域公式之和，即()∑∫∫∑∫==+==Ee D eel DE e D eDel D l eedD p W dD R W dD R W 11ˆϕL()∑∫∫∑∫=ΓΓ=ΓΓΓΓ+=Γ=ΓEe e el Ee e el l eed W d R W d R W 11ˆγϕM 由于上式把全域的积分写成子域积分之和，所以对被积函数提出了一定的要求，要求被积函数在子域之间的边界上满足一定的连续性。
有限元法分片选取试函数，它们在各自的子区域中一般都具有足够的连续性，使被积函数满足要求，关键是在子区域之间的交界面上能否满足要求。
分片选取的试函数需要满足：1 如果在积分中只含未知数本身，不含导数，在有限元之间试函数本身可存在有限间断；2 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是一阶，在有限元之间试函数本身连续，一阶导数可存在有限间断，称为C0阶问题；3 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是二阶，在有限元之间试函数本身及其一阶导数连续，二阶导数可存在有限间断，称为C1阶问题；4 如果在积分中对未知函数的最高阶导数是 n 阶，在有限元之间试函数本身及直至其 (n-1) 阶导数连续，n 阶导数可存在有限间断，称为C n−1阶问题。
1 有限元法的理论基础 加权余量法和变分原理
∂σ x
∂x
+
∂τ yx
∂y
+
∂τ zx
∂z
+
fx
= 0
∂τ xy
∂x
+
∂σ y
∂y
+
∂τ zy
∂z
+
fy
= 0
∂τ xz
∂x
+
∂τ yz
∂y
+
∂σ z
∂z
+
fz
= 0
弹性力学预备知识
2. 弹性力学问题的矩阵表示 (2) 平衡方程
Aσ + f =0 (在V内)
∂
∂x
0
0
0
∂ ∂y 0
0
0 ∂ ∂z
∂ ∂y ∂ ∂x
0
0
∂ ∂z ∂ ∂y
∂ σ x
∂z 0
∂ ∂x
σ y
τσxzy
τ τ
yz zx
+
f f f
x y z
0 = 0
0
弹性力学预备知识
ν 1−ν
ν 1−ν
1
称
0
0 0
1 − 2ν
2(1−ν )
0
0 0 0
1 − 2ν
2 (1−ν )
D-弹性矩阵
0
0 0 0
0
εx
ε
y
γεxzy
γ γ
yz zx
有限元分析简介
有限元软件ansys简介有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
ANSYS是一种广泛的商业套装工程分析软件。
所谓工程分析软件，主要是在机械结构系统受到外力负载所出现的反应，例如应力、位移、温度等，根据该反应可知道机械结构系统受到外力负载后的状态，进而判断是否符合设计要求。
一般机械结构系统的几何结构相当复杂，受的负载也相当多，理论分析往往无法进行。
想要解答，必须先简化结构，采用数值模拟方法分析。
由于计算机行业的发展，相应的软件也应运而生，ANSYS 软件在工程上应用相当广泛，在机械、电机、土木、电子及航空等领域的使用，都能达到某种程度的可信度，颇获各界好评。
使用该软件，能够降低设计成本，缩短设计时间。
ANSYS 软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元软件，可广泛的用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、生物医学、水利、日用家电等一般工业及科学研究。
该软件提供了不断改进的功能清单，具体包括：结构高度非线性分析、电磁分析、计算流体力学分析、设计优化、接触分析、自适应网格划分及利用ANSYS 参数设计语言扩展宏命令功能。
有限元分析有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
紧支试函数加权余量法_865603298
MLS近似可以精确地重构包含在基底中的任何 函数pi(x)，即
∑ N ( x) p ( x ) = p ( x)
I =1 I i I i
n
对于线弹性断裂问题，基函数可以取为
pT ( x ) = [1, x, y, r cos θ , r sin θ , r sin θ sin θ , r cos θ sin θ ] = [1, x, y, r ]
| 有限元法
16/40
近似函数
u h ( x, x ) = ∑ pi ( x )ai ( x ) = p T ( x )a ( x )
i =1 m
pi ( x ) — 基函数（多项式或其它已知函数） ai ( x ) — 待定系数
线性基： p T ( x ) = [1, x , y , z ], m = 4 二次基： p T ( x ) = [1, x , y , z , x 2 , xy , y 2 , yz , z 2 , xz ], m = 10
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移动最小二乘近似
移动最小二乘近似
N N 2 ⎡m ⎤ h J = ∑ wI ( x ) ⎡ ⎣u ( x , x I ) − u ( x I ) ⎤ ⎦ = ∑ wI ( x) ⎢∑ pi ( xI ) ⋅ ai ( x) − uI ⎥ I =1 I =1 ⎣ i =1 ⎦ 2
有限元
I
I
I
i =1 I =1 I i I j I i I =1 I j I
m
⎡
N
⎤
N
I
3
移动最小二乘近似
a ( x) = ∑ w ( x) p ( x )u ∑⎢ ∑ w ( x) p ( x ) p ( x ) ⎥ ⎣ ⎦
第1章有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理复习题练习题
第1章 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 复习题1.1已知一个数学微分方程，如何建立它的等效积分形式？如何证明两者是等效的？ 1.2 等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在？为什么后者在数值分析中得到更多的应用？1.3 不同形式的加权余量法之间饿区别何在？除书中已列举的几种方法以外，你还能提出其他形式的加权余量法吗？如能，分析新方法有什么特点。
1.4什么是加权余量的伽辽金方法？它有什么特点？ 1.5如何识别一个微分算子是线性、自伴随的？识别它的意义何在？ 1.6 如何建立与线性、自伴随微分方程相等效的泛函和变分原理？如何证明它和加权余量的伽辽金方法之间的等效性？练习题1.1 一维热传导问题微分方程由（1.2.26）式给出，按1.2.2节例1.4给定的近似解及权函数用加权余量的配点法、子域法及伽辽金法求解并用图1.3进行校核。
1.2 某问题的微分方程是22220c Q x y φφφ∂∂+++=∂∂ 在Ω内 边界条件是 _φφ= （在1Γ上）_q n φ∂=∂ （在2Γ上） 其中和Q 仅是坐标的函数，试证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。
c第2章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 复习题2.1 选择位移模式的原则是什么？以８结点四边形单元为例，如何选择体现所述原则的位移模式？2.2 单元刚度矩阵每一个元素的力学意义是什么？矩阵具有什么性质？这些性质的力学意义是什么？2.3 什么是单元结点自由度和结构结点自由度之间的转换矩阵？它在实际计算执行中有什么作用？2.4结构刚度矩阵和载荷列阵的集成实际是如何进行的？ 2.5结构刚度矩阵有什么性质和特点？在计算中如何利用它们？ 2.6 什么是有限元解的收敛性？什么是解的收敛准则？为什么必须满足这些准则，有限元解才能收敛于微分方程的精确解？2.7为什么位移元解具有下限性？力学上如何解释？ 2.8 为什么位移有限元的应力结果精度低于位移结果？应力结果表现出哪些特点？有什么能改进应力结果的方法？2.9 和平面问题有限元分析相比较，轴对称问题有限元分析有什么相同点和不同点？ 练习题2.1 如图2.1所示的3结点三角形单元，厚度=1cm ，弹性模量t E =2.0×MPa ，泊桑比510ν=0.3。
加权余量法的基本原理
加权余量法的基本原理
加权余量法是一种常用的风险控制方法，其基本原理为在投资决策时考虑一个适当的余量，以应对不确定性因素带来的风险。
具体来说，加权余量法的应用步骤如下：
1. 确定投资目标和预期收益率。
2. 评估投资组合中的风险，并计算出组合的标准差。
3. 根据投资者的偏好和风险承受能力，确定适当的加权余量。
这个余量通常是投资者的风险承受能力的一个百分比。
4. 通过将余量与标准差相乘，得出组合的最大净亏损额。
如果该净亏损额超过了投资者能够承受的最大亏损额，就需要对组合进行调整。
5. 确定投资组合中每个资产的权重，并根据加权余量的原则，对其进行调整。
加权余量法的基本原理是在保证投资者的收益率目标的同时，尽可能地降低风险。
通过合理的加权余量设置，投资者可以在保证收益的前提下，有效地控制风险，从而获得更加稳健的投资回报。
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连续性假设 —— 变形体内部处处连续 均匀性假设 —— 变形体内部物质分布均匀 各向同性假设 —— 物质在各方向上特性相同 线弹性假设 —— 变形与外力作用的关系为线性 小变形假设 —— 变形量远小于物体本身尺寸
1.1 加权余量法
Weighted Residual Methods
1. 配点法
R1 (0, a1 ) = -a1 - 5a a1 + 1 = 0 24 -1 a1 = æ 1 + 5a ö è 24 ø
解
2. 子域法
a1 R1 ( x, a1 ) = -a1 - a (5 - x 2 )(1 - x 2 ) + 1 24 1 4 1 R1dx 2a1 15 a1 2 0
2014年8月29日
线弹性动力学的控制方程
运动方程 应变-位移关系 应力-应变关系 边界条件 初始条件
s ij , j + fi = rui
i 1, 2,3 j 1, 2,3
eij = 1 (ui , j + u j ,i ) 2 s ij = Dijkle kl
ij n j Ti on S
V
RiI dV 0
例
利用各种加权余量法求解弹性基础梁的挠度
微分方程及边界条件
d4w x [1,1] dx 4 w 1 0 w x 1 0 w 0 x 1 4 2x 16 EI kl x w w 4 l pl 16 EI
u(1) 0 (2)
u ai Ni x(1 x)(a1 a2 x )
基函数 N1 x(1 x ),
i
N
(3)
N 2 x(1 x ) x, ...
取一或两项近似，令余量加权积分为零：
W R dx 00 j Nhomakorabea1
余量
配点法
子域法
子域法
最小二乘法
最小二乘法
两项近似解：
伽辽金法
伽辽金法
Ss I =1
I =1
WI : Test function
ò
V
RiWI dV + ò RiWI d S = 0
Ss
æ R W dV + ö =0 b R W d S å iI è òV i I ò Ss i I ø I =1
加权余量法不要求余量在各点均为零，而要求余量的 加权积分为零 — 平均意义上满足方程 加权余量法的物理意义：选取合适的待定参数强迫余 量在某种平均意义下为零
V
s ij , j vi dV = ò [(vis ij ), j - vi , js ij ]dV V
= ò vis ij n j d S - ò vi , js ij dV
S V
连续性要求： C0
加权余量法－积分形式的近似
对于复杂问题，只能求近似解
ui = å f I aiI 近似解： I =1 (离散化)
0.11% 0.70% 5.56% 23.12%
2.46% 5.97% 413.05% 492.0%
配点法结果不稳定 伽辽金法精度高、稳定性好
例
利用各种加权余量法求解下列二阶常微分方程 d 2u u x 0 (0 x 1) (1) 2 dx
边界条件 u(0) 0, 取近似解
N
i = 1, 2, 3
f I —试探函数(线性无关)
trial function aiI —待定参数
N I =1 N
ò
V
Ri vi dV + ò Ri vi d S = 0
ò R åW b
V i N I =1
N
Ss
取： vi = å WI biI , vi = å WI biI
N
I iI
dV + ò Ri åWI biI d S = 0
等效积分形式
近似满足：加权积分为零 等效积分形式
ò
V
Ri vi dV + ò Ri vi d S = 0
Ss
vi , vi —权函数(与方程的个数相同)
Test functions
连续性要求： Cn连续性：在域内函数以及直至 其n阶导数连续，其n＋1导数具 有有限个不连续点但在域内可积
C0连续性函数
4. 伽辽金法
f1 ( x ) = - 1 (5 - x 2 )(1 - x 2 ) 24 -1 æ 1 + 31a ö a = 1 ò V R1f1 d x = 0 è 189 ø
解
结果比较
-3.58% -13.77% -15.87% -2.93%
2.80% 13.95% 28.13% 51.32%
强迫余量在域内及边界上的N个离散点上为零!
2. 子域法
ì 1 x ÎV ï I WI = í , I = 1,2, , N 0 x ÏVI ï î ò Ri dV = 0 or ò Ri d S = 0 i = 1, 2,3; I = 1, 2,
VI SI
,N
强迫余量在N个子域VI上的积分为零!
加权余量法
ò
V
RiWI dV + ò RiWI d S = 0, i = 1, 2,3; I = 1, 2,
Ss
,N
3. 最小二乘法
aiI
Ri V R dV 2V Ri aiI dV 0 (i不求和)
2 i
WI
Ri aiI
强迫余量的均方和为最小！ 4. 伽辽金法
WI I
在有限元法中主要采用伽辽金法； 求解方程系数矩阵有对称性
解
d 4 w w 1 0 1 x 1 dx 4 w( 1) 0 无量纲方程 w(1) 0 a1 2 2 w ( x ) a (5 x )(1 x ) 取近似解： 1 1 1 24 a1 (5 - x 2 )(1 - x 2 ) + 1 方程余量： R1 ( x, a1 ) = -a1 - a 24
加权余量法
ò
V
RiWI dV + ò RiWI d S = 0, i = 1, 2,3; I = 1, 2,
Ss
,N
选择不同的权函数，得到不同的加权余量法 1. 配点法
WI = d ( x - xI ), I = 1,2, , N
Ri ( xI ) = 0 or Ri ( xI ) = 0 i = 1,2,3; I = 1,2, , N
a1 = æ 1 + 2a ö è 15 ø
-1
3. 最小二乘法 ¶ R1 = -1 - a (5 - x 2 )(1 - x 2 ) ¶ a1 24 -1 2 ¶R1 æ 4a 62a ö æ ö 2 a 1+ + ò V R1 ¶a d x = 0 a1 = è 1 + 15 ø ç ÷ è 15 2835 ø 1
等效积分“弱”形式
V
Ri vi dV Ri vi dS 0
S
Ri = s ij , j + f i - rui ¹ 0 in V Ri = s ij n j - Ti ¹ 0 on Ss
分部积分
ò
ò
V
A(ui ) B( vi ) dV + ò C (ui ) D( vi ) d S = 0 等效积分“弱”形式 Ss (weak form) A,B,C,D为微分算子
ui = ui
ui ui
t 0 t 0
on Su
ui0 ui0
如何求解？
• Approximation solution to an exact problem Finite difference technique • Solution to an approximate problem Finite element technique
特点
问题的精确解
变形体域内任意一点在任意时刻均满足运动微分方程。 变形体边界上任意一点在任意时刻均满足边界条件。
加权余量法
变形体域内和边界上任意一点在任意时刻均近似满足运动 微分方程和边界条件。
Ri = s ij , j + f i - rui = 0, i = 1, 2,3 in V Ri = s ij n j - Ti = 0 on Ss