恒定磁场3-1_7515_341_20100402104807

２磁感应强度
电流之间相互作用力通过磁场传递。
μ0 I ' dl '× eR = ∫ Idl × B F = ∫ Idl × ∫ l R2 l l 4π μ0 I ' dl '×eR 单位 T（wb/m2）特斯拉。 B= ∫ 2 l 4π R
'
毕奥——沙伐定律（Biot — Savart
类比：电荷之间相互作用力通过电场传递。
2
I ' d l '× eR = Idz ' ez × eR
L
= Idz 'sin α = Idz ' eφ R
ρ
μ0 I ρ B = eφ ∫ dz ' 3 − L 4π R μ0 L Iρ = eφ ∫−L (ρ2 + (z − z ')2 )3 2 dz ' 4π μ0 I z+L z−L = eφ [ + ] 4πρ ρ 2 + (z + L)2 ρ 2 + (z − L)2
eρ = cos α ex + sin α ey
μ0 K 0 dx dB1x = −ex ⋅ ⋅ sin α 2π x2 + y2
(sin α =
y (x + y )
2 2
)
由于是无限大电流平面，所以选P点在 y 轴 上。根据对称性 , 整个面电流所产生的磁感应 强度为
⎡ +∞ μ K sin α ⎤ 0 0 B = Bx ex = ⎢−∫ dx⎥ ex 2 2 −∞ ⎢ 2π ( x + y ) ⎥ ⎣ ⎦
例3.1.1
试求有限长（2L）导线产生的磁感应强度。
解:采用圆柱坐标系，导线与z轴重合，坐标原点放在 导线中点，直导线产生的磁场与φ角无关，P点的磁感 应强度为
Z
α
L
P(ρ, z)
R
μ0 B= 4π
dl'
O
式中，
I ' dl '× eR ∫L R2 I ' dl ' = Idz ' ez
2
ρ
R= ρ +(z −z')
dB =
( Idl er )
μ 0 Idl sin
π
2
4π ( R 2 + x 2 )
根据圆环磁场对 P 点的对称性， 图3.1.3 圆形载流回路
dBx = dB sinθ
⎡ ⎤ μ0 I B = Bx ex = ⎢ sin θ ∫ dl ⎥ ex 2 2 l 4π ( R + x ) ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ μ0 I R =⎢ ⋅ ⋅ 2π R ⎥ ex 2 2 4π ( R + x ) R 2 + x 2 ⎣ ⎦
第 3 章
•
恒定磁场
实验表明，导体中有恒定电流通过时，在导体
内部和它周围的媒质中 ，不仅有恒定电场 ，同时 还有不随时间变化的磁场 ，简称 恒定磁场 （Static Magnetic Field）。 • 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，但
在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，注 意类比法的应用。 • 恒定磁场的知识结构框图。
L
当
L→∞ 时，
μ0 I B= eφ 2πρ
在无限长导线产生的磁场中，磁感应强度线 是中心在导线轴上而与导线垂直的一些圆。
例 3.1.2 真空中有一载流为I，半径为R的圆 形回路，求其轴线上P点的磁感应强度。
解：元电流 Idl 在其轴线上P 点产生的磁感应强度为
μ 0 Id l × e r dB = 4π r 2
⎡ μ 0 K 0 y +∞ dx ⎤ B = ⎢− ∫ −∞ ( x 2 + y 2 ) ⎥ ex 2π ⎣ ⎦
⎡ μ0 K0 x +∞⎤ arctg = ⎢− ⎥ ex y −∞ ⎦ ⎣ 2π
⎧ μ0K0 ⎪ − 2 ex y > 0 ⎪ =⎨ ⎪ μ0 K0 y<0 ⎪ + 2 ex ⎩
图3.1.5 无限大电流片及 B 的分布
F =q 1 4 πε 0
Law )
∫
ρ dV
R
2
V
eR
= qE
恒定磁场中，B线的微分方程为
B × dl = 0
Bx By Bz = = dx dy dz
应用毕奥-萨伐尔定律计算磁场中各点磁感强度的具 体步骤为：
1. 首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一段电流 元Idl，并标出Idl 到场点 P 的位矢r，确定两者的夹角（Idl ，r ） 2. 根据毕奥-萨伐尔定律的公式，求出电流元Idl 在场点P所 激发的磁感强度dB的大小，并由右手螺旋法则决定dB的方向 3. 建立坐标系，将dB在坐标系中分解，并用磁场叠加原理做 对称性分析，以简化计算步骤； 4. 最后，就整个载流导线对dB的各个分量分别积分，对积分 结果进行矢量合成，求出磁感强度B
基本实验定律 (安培力定律） 磁感应强度（B）（毕奥—沙伐定律）
H 的旋度
磁位( ϕ m ) （J=0） 数值法 有限差分法 电感的计算 图3.0
基本方程
B 的散度
磁矢位（A）
分界面上衔接条件 边值问题
解析法 分离变量法 镜像法
有限元法
磁场能量及力
磁路及其计算
恒定磁场知识结构框图
3.1
1安培力定律
=
2( R + x )
2
μ0 IR 2
2 3/ 2
ex
图3.1.4
圆形载流回路轴线上的磁场分布
例 3.1.3 图示一无限大导体平面上有恒定面电 流 K = K0ez ,求其所产生的磁感应强度。
解：在电流片上取宽度为 dx 它在空间引起的磁感应强度为
的一条无限长线电流，
μ0 K0 dxez × eρ dB1 = ⋅ 2820年, 法国物理学家安 培从实验中总结出电流回 路之间的相互作用力的规 律,称为安培力定律 (Ampere’s force Law )。
图3.1.1 两载流回路间的相互作用力
电流I’的回路对电流I回路的作用力 F
μ0 F= 4π
Idl × (I 'dl ' × eR ) μ 0 = 4π × 10−7 H/m ∫ l ∫ l' 真空中的磁导率 R2