高中数学同步题库含详解42平面向量的线性运算

高中数学同步题库含详解42平面向量的线性运算一、选择题（共40小题；共200分）1. 向量 a ⃗=(2,−1)，b ⃗⃗=(−4,x )，若 a ⃗∥b ⃗⃗，则 x 的值是 ( )A. −8B. −2C. 2D. 8 2. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化简后等于 ( ) A. 3AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗3. 已知 λ，μ∈R ，a ⃗≠0⃗⃗，有下列说法： ①当 λ<0 时，λa ⃗ 与 a ⃗ 的方向一定相反； ②当 λ>0 时，λa ⃗ 与 a ⃗ 的方向一定相同； ③当 λ≠0 时，λa ⃗ 与a ⃗ 是共线向量； ④当 λμ>0 时，λa ⃗ 与 μa ⃗ 的方向一定相同； ⑤当 λμ<0 时，λa ⃗ 与 μa ⃗ 的方向一定相反． 其中正确说法的个数是 ( )A. 2B. 3C. 4D. 54. 在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是 ( )A. ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣ 一定成立B. AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 一定成立C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 一定成立 D. BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 一定成立5. 已知 M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点，P 为平面 ABCD 内任意一点，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A. 4PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 3PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 在四边形 ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣，那么四边形 ABCD 为 ( ) A. 平行四边形B. 菱形C. 长方形D. 正方形7. 设 a ⃗ 是任一向量，e ⃗ 是单位向量，且 a ⃗∥e ⃗，则下列表达式中正确的是 ( )A. e ⃗=a⃗⃗∣a ⃗⃗∣ B. a ⃗=∣a ⃗∣e ⃗C. a ⃗=−∣a ⃗∣e ⃗D. a ⃗=±∣a ⃗∣e ⃗8. 如图所示，在 △ABC 中，点 D ，E ，F 分别是边 AB ，BC ，AC 的中点，则下面结论正确的是( )A. AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗≠0⃗⃗D. DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗9. 对于向量 a ⃗，b⃗⃗ 有下列表示：① a ⃗=2e ⃗，b ⃗⃗=−2e ⃗；② a ⃗=e 1⃗⃗⃗⃗−e 2⃗⃗⃗⃗，b ⃗⃗=−2e 1⃗⃗⃗⃗+2e 2⃗⃗⃗⃗；③ a ⃗=4e 1⃗⃗⃗⃗−25e 2⃗⃗⃗⃗，b ⃗⃗=e 1⃗⃗⃗⃗−110e 2⃗⃗⃗⃗；④ a ⃗=e 1⃗⃗⃗⃗+e 2⃗⃗⃗⃗，b ⃗⃗=2e 1⃗⃗⃗⃗−2e 2⃗⃗⃗⃗． 其中，向量 a ⃗，b ⃗⃗ 一定共线的有 ( )A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④10. 在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 M ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( ) A. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 11. 已知 ∣a ⃗∣=5，∣b ⃗⃗∣=1．若 a ⃗=λb ⃗⃗ 且 b ⃗⃗ 与 a ⃗ 的方向相反，则 λ= ( )A. 5B. −5C. 15D. −1512. 当 ∣a ⃗∣=∣b ⃗⃗∣≠0，且 a ⃗，b ⃗⃗ 不共线时，a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗−b⃗⃗ 的关系是 ( ) A. 平行B. 相等C. 相交但不垂直D. 垂直13. 如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，若 AB =1，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣ 等于 ( )A. 1B. 2C. 3D. 2√314. 已知正方形 ABCD 的边长为 1，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣ 为 ( )A. 1B. √2C. 3D. 2√2 15. 若 ∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=8，∣∣BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=5，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣ 的取值范围是 ( )A. [3,8]B. (3,8)C. [3,13]D. (3,13)16. 若向量 a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(1,−1)，c ⃗=(−1,2)，则 c ⃗ 等于 ( )A. c ⃗=−12a ⃗+32b⃗⃗ B. c ⃗=12a ⃗−32b⃗⃗ C. c ⃗=32a ⃗−12b⃗⃗ D. c ⃗=−32a ⃗+12b⃗⃗17. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A. BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 18. 四边形 ABCD 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且 ∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣，则四边形 ABCD 为 ( ) A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形19. 已知 P ，A ，B ，C 是平面内四个不同的点，且 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 ( )A. A ，B ，C 三点共线B. A ，B ，P 三点共线C. A ，C ，P 三点共线D. B ，C ，P 三点共线20. 已知 △ABC 的三个顶点 A ，B ，C 及平面内一点 P 满足 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则点 P 与 △ABC 的关系为 ( ) A. P 在 △ABC 内部 B. P 在 △ABC 外部C. P 在边 AB 所在直线上D. P 是边 AC 的一个三等分点21. 已知向量 a ⃗，b ⃗⃗ 都是非零向量，若向量 p ⃗=a ⃗⃗∣∣a ⃗⃗∣∣+b⃗⃗∣∣b ⃗⃗∣∣，则 ( )A. 0≤∣p ⃗∣≤√2B. 0≤∣p ⃗∣≤2C. 0<∣p ⃗∣≤√2D. 0<∣p ⃗∣≤222. 向量 a ⃗，b⃗⃗ 均为非零向量，下列说法不正确的是 ( ) A. 若向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 同向，则向量 a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗ 的方向相同 B. 若向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 同向，则向量 a ⃗+b⃗⃗ 与 b ⃗⃗ 的方向相同 C. 若向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 反向，且 ∣a ⃗∣>∣∣b ⃗⃗∣∣，则向量 a ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗ 的方向相同 D. 若向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 反向，且 ∣a ⃗∣<∣∣b ⃗⃗∣∣，则向量 a⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗ 的方向相同 23. 已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5a ⃗+6b ⃗⃗，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=7a ⃗−2b⃗⃗，则下列一定共线的三点是 ( ) A. A ，B ，CB. A ，B ，DC. B ，C ，DD. A ，C ，D24. 已知 O 是四边形 ABCD 内一点，若 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则下列结论正确的是 ( )A. 四边形 ABCD 为正方形，点 O 是正方形 ABCD 的中心B. 四边形 ABCD 为一般四边形，点 O 是四边形 ABCD 的对角线的交点C. 四边形 ABCD 为一般四边形，点 O 是四边形 ABCD 的外接圆的圆心D. 四边形 ABCD 为一般四边形，点 O 是四边形 ABCD 的对边中点连线的交点25. 已知向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗ 中任意两个都不共线，但 a ⃗+b ⃗⃗ 与 c ⃗ 共线，且 b ⃗⃗+c ⃗ 与 a ⃗ 共线，则向量 a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗ 等于 ( )A. a ⃗B. b⃗⃗ C. c ⃗D. 0⃗⃗26. 设 A 1，A 2，A 3，A 4 是平面上给定的 4 个不同点，则使 MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+MA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+MA 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+MA 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗ 成立的点M 的个数为 ( )．A. 0B. 1C. 2D. 427. 在三角形 ABC 中，D 为底边 BC 的中点，M 为 AD 上的任一点，过 M 点任作一直线 l 分别交边AB ，AC 于 E ，F （E ，F 不与端点重合），且 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=kAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 m ，n ，k 满足的关系是 ( )A. 1m+1n=2kB. 1m+1n=k2C. 1m+1n=1kD. m +n =k28. 在 △ABC 中，若 ∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣，则 △ABC 一定是 ( ) A. 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 不能确定29. 设 M 是 △ABC 所在平面上的一点，且 MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，D 是 AC 中点，则 ∣MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣的值为( )A. 13B. 12C. 1D. 230. 如图所示的方格纸中有定点 O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( )A. OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. FO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. EO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗31. 如图，已知 D ，E ，F 分别是三角形 ABC 的边 BC ，CA ，AB 的中点，且 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗，则① EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12c ⃗−12b ⃗⃗；② BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+12b ；③ CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12a ⃗+12b ⃗⃗；④ a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗ 中正确的等式的个数为 ( )A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个32. 已知圆 O 的半径为 1，A ，B ，C ，D 为该圆上四个点，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 △ABC 的面积最大值为 ( )A. 2B. 1C. √2D. √333. 在平行四边形 ABCD 中，AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CE 与 BF 相交于 G 点．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，则 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=( )A. 27a ⃗+17b ⃗⃗ B. 27a ⃗+37b⃗⃗ C. 37a ⃗+17b ⃗⃗ D. 47a ⃗+27b⃗⃗ 34. 若非零向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足 ∣∣a ⃗+b ⃗⃗∣∣=∣∣b ⃗⃗∣∣，则 ( )A. ∣2a ⃗∣>∣∣2a ⃗+b ⃗⃗∣∣B. ∣2a ⃗∣<∣∣2a ⃗+b ⃗⃗∣∣C. ∣∣2b ⃗⃗∣∣>∣∣a ⃗+2b ⃗⃗∣∣D. ∣∣2b ⃗⃗∣∣<∣∣a ⃗+2b ⃗⃗∣∣35. 若 a ⃗，b ⃗⃗ 是不共线的两个向量，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1a ⃗+b ⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+λ2b⃗⃗(λ1,λ2∈R )，则 A ，B ，C 三点共线的条件为 ( )A. λ1=λ2=−1B. λ1=λ2=1C. λ1λ2+1=0D. λ1λ2−1=036. 已知 △ABC 的外接圆半径为 2，D 为该圆上的一点，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 △ABC 的面积的最大值为 ( )A. 3B. 4C. 3√3D. 4√337. 在 △ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=rAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+sAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 r +s 的值是 ( ) A. 23B. 43C. −3D. 038. 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A. OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 3OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 4OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗39. 如图所示，向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的终点 A ，B ，C 在一条直线上，且 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=p ⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=q ⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=r ⃗，则以下等式中成立的是 ( )A. r ⃗=−12p ⃗+32q ⃗B. r ⃗=−p ⃗+2q ⃗C. r ⃗=32p ⃗−12q ⃗D. r ⃗=−q ⃗+2p ⃗40. 若点 P 是 △ABC 的外心，且 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，∠C =120∘，则实数 λ 的值为 ( )A. 12B. −12C. −1D. 1二、填空题（共40小题；共200分） 41. 若 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则直线 AB 与直线 CD 的位置关系为 ． 42. 在 △ABC 中，若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣，则 △ABC 的形状是 ． 43. “向量 a ⃗，b ⃗⃗ 共线”是“向量 2a ⃗+b ⃗⃗ 与向量 a ⃗−b⃗⃗ 共线”的 条件． 44. 已知向量 a ⃗ 表示“向东航行 3 km ”，b ⃗⃗ 表示“向南航行 3 km ”，则 a ⃗+b ⃗⃗ 表示 ．45. 下列等式： ① a ⃗+b ⃗⃗=b ⃗⃗+a ⃗；② a ⃗+(−a ⃗)=0； ③ a ⃗−b ⃗⃗=a ⃗+(−b ⃗⃗)；④ a ⃗−b ⃗⃗=b ⃗⃗−a ⃗； ⑤ a ⃗=−(−a ⃗)．其中正确的有 个．46. 若 O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ．（填序号）① EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗；② EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗；③ EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗；④ EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．47. 已知 ∣a ⃗∣=2，∣∣b ⃗⃗∣∣=1，a ⃗=λb ⃗⃗(λ<0)，则 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣= ．48. 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足等式 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则四边形 ABCD 的形状为 ．49. 已知 △ABC 的三个顶点 A ，B ，C 及平面内一点 P ，且 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则点 P 与 △ABC 的关系为 ．（填序号）① 点 P 在 △ABC 内部；② 点 P 在 △ABC 外部；③ 点 P 在 AB 边上或其延长线上；④ 点 P 在 AC 边上．50. 在四边形 ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣，则四边形的形状为 ．51. 已知 x,y ∈R ，a ⃗ 与 b ⃗⃗ 不共线，若 (x +y −1)a ⃗+(x −y )b⃗⃗=0⃗⃗，则实数 x = ，y = ．52. 在平行四边形 ABCD 中，已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，且 ∣a ⃗+b ⃗⃗∣=∣a ⃗−b⃗⃗∣，则四边形 ABCD 的形状是 ．53. 设 e ⃗ 为非零向量，在四边形 ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3e ⃗，DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=5e ⃗，∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣2e ⃗∣，∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣2e ⃗∣，则四边形 ABCD 的形状是 ．54. 已知 △ABC 是正三角形，给出下列等式，其中正确的是 ．（填序号） ① ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣； ② ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣；③ ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣；④ ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣．55. 在四边形 ABCD 中，如果 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣，那么四边形 ABCD 的形状为 ． 56. 若菱形 ABCD 的边长为 2，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣= ．57. 计算： （1）(−3)×4a ⃗= ；（2）3(a ⃗+b ⃗⃗)−2(a ⃗−b ⃗⃗)−a ⃗= ；（3）(2a ⃗+3b ⃗⃗−c ⃗)−(3a ⃗−2b ⃗⃗+c ⃗)= ．58. 已知向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足 ∣a ⃗∣=3，∣∣b ⃗⃗∣∣=4，则 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣ 的最大值为 ．59. 已知向量 a ⃗，b ⃗⃗，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5a ⃗+6b ⃗⃗，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=7a ⃗−2b⃗⃗，则一定共线的三点是 ．60. 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 61. 设 D ，E ，F 分别为 △ABC 的三边 BC ，CA ，AB 的中点，则 EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ．62. 若 D ，E ，F 分别为 △ABC 的三边 BC ，CA ，AB 的中点，则 EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ．（填序号）① 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗；② BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗；③ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗；④ 12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； 63. 在 △ABC 所在的平面内有一点 P ，已知 2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，那么 △PBC 的面积与 △ABC 的面积之比的值为 ．64. 已知下列四个命题： ①对任意两向量 a ⃗，b ⃗⃗，均有 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣<∣a ⃗∣+∣∣b ⃗⃗∣∣； ②若 AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，则 D 是线段 BC 的中点； ③在四边形中，若 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=0⃗⃗，则 ABCD 为平行四边形；④若 △ABC 中，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣．其中正确命题的序号是 ．65. 设 a ⃗，b ⃗⃗ 不共线，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗+pb ⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+b ⃗⃗，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗−2b⃗⃗，若 A ，B ，D 三点共线，则实数 p 的值是 .66. 若 P 为 △ABC 的外心，且 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 ∠ACB = ． 67. 在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 λ= ．68. 如图，在边长为 1 的正方形ABCD 中，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b,AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ，则 ∣a −b +c ∣=( )．69. 设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√22(a ⃗+5b ⃗⃗)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2a ⃗+8b ⃗⃗，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3(a ⃗−b ⃗⃗)，其中 a ⃗，b⃗⃗ 不共线，则共线的三点是 ．70. 已知点 P 在 △ABC 所在的平面内，若 2PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 △PAB 与 △PBC 的面积的比值为 ．71. 设 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗ 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知 a ⃗+b ⃗⃗ 与 c ⃗ 共线，且 b ⃗⃗+c ⃗ 与 a ⃗ 共线，则b ⃗⃗+a ⃗+c ⃗= ．72. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，且 3aBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4bCA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+5cAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则a:b:c = ．73. 若向量 a ⃗，b ⃗⃗ 不共线，且 a ⃗+mb ⃗⃗ 与 −(b ⃗⃗−2a ⃗) 共线，则实数 m 的值为 ．74. 下列命题中正确的是 ．（填序号） ①如果非零向量 a ⃗，b ⃗⃗ 的方向相反或相同，那么 a ⃗+b ⃗⃗ 的方向必与 a ⃗，b ⃗⃗ 之一的方向相同； ②若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则 A ，B ，C 为三角形的三个顶点；③在 △ABC 中，必有 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗；④若 a ⃗，b ⃗⃗ 均为非零向量，则 ∣a ⃗+b ⃗⃗∣ 与 ∣a ⃗∣+∣b⃗⃗∣ 一定相等．75. 已知平行四边形 ABCD 的中心为 O ，P 为平面上一点，且 ∣PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=12，则 ∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣= ．76. 设 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，若 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=4，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣，则∣∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣= ．77. 已知 O 是 △ABC 所在平面内一点，D 为边 BC 的中点，且 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则实数 m = ．78. 已知 ∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=a ，∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=b (a >b )，∣AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣ 的取值范围是 [5,15]，则实数 a ，b 的值分别为 ．79. 已知 P 为 △ABC 内部一点，且 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 △PAB 与 △PAC 面积的比值为 ．80. 设 e 1⃗⃗⃗⃗，e 2⃗⃗⃗⃗ 是两个不共线的向量，若向量 m ⃗⃗⃗=−e 1⃗⃗⃗⃗+ke 2⃗⃗⃗⃗(k ∈R ) 与向量 n ⃗⃗=e 2⃗⃗⃗⃗−2e 1⃗⃗⃗⃗ 共线，则实数 k = ．三、解答题（共20小题；共260分）81. 如图，已知向量 a ⃗，b ⃗⃗，求作向量 a ⃗+b⃗⃗．82. 如图，在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线上取两点 E ，F ，使 BE =DF ，用向量方法证明：四边形 AECF 是平行四边形．83. 已知点 A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R )． （1）试求 λ 为何值时，点 P 在第一、三象限的角平分线上； （2）试求 λ 为何值时，点 P 在第三象限内．84. 如图，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗，试用 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗ 表示向量 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及 CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．85. 如图所示，在梯形 ABCD 中，若 E ，F 分别为腰 AB ，DC 的三等分点，且 ∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=2，∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=5，求 ∣∣EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣．86. 如图所示，已知一点 O 与平行四边形 ABCD 的三个顶点 A ，B ，C 构成的向量分别为 r 1⃗⃗⃗⃗，r 2⃗⃗⃗⃗，r 3⃗⃗⃗⃗，求 OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．87. 设向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，λ，μ∈R ，化简：（1）λ(μa ⃗+b ⃗⃗−c ⃗)−μ(λa ⃗+b ⃗⃗−c ⃗)+(μ−λ)(b ⃗⃗−c ⃗)； （2）2(λμa ⃗+λb ⃗⃗−μc ⃗)−λ(2μa ⃗+2b ⃗⃗)+2μc ⃗．88. 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面外一点，且向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足等式 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．作图并观察四边形 ABCD 的形状，并证明．89. 如图所示，已知 a ⃗ 、 b ⃗⃗，作 2a ⃗+b⃗⃗．90. 化简下列各式：（1）AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗； （2）AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； （3）AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．91. 在平行四边形 ABCD 中，E 、 F 依次是对角线 AC 上的两个三等分点，设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b⃗⃗，试用 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 表示 DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗．92. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，M ，N 分别为对角线 AC ，BD 的中点，求证：MN ∥AB ．93. 已知 e 1⃗⃗⃗⃗，e 2⃗⃗⃗⃗ 是不共线的向量，a ⃗=3e 1⃗⃗⃗⃗+4e 2⃗⃗⃗⃗，b ⃗⃗=6e 1⃗⃗⃗⃗−8e 2⃗⃗⃗⃗，则 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 是否共线?94. 如图，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，根据图示计算：（1）OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； （2）BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； （3）OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FE⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 95. 如图，已知点 G 是 △ABC 的重心．求证：GA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0．96. 一艘船以 5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际的航行方向与水流方向成 30∘ 角，求水流速度和船的实际速度．97. 如图所示，在 △ABC 中，点 M 是 BC 的中点，N 在边 AC 上，且 AN =2NC ，AM 与 BN 相交于点 P ．求证：AP:PM =4:1．98. 在 △ABC 中，M 是 AB 的中点，E 是 CM 的中点，AE 的延长线交 BC 于点 F ，MH ∥AF ，MH与 BC 交于点 H ．求证：BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=HF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．99. 已知在 △ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，对于平面 ABC 上任意一点 O ，动点 P 满足 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λa ⃗+λb⃗⃗，则动点 P 的轨迹是什么?其轨迹是否过定点，并说明理由． 100. 已知 M 为 △ABC 内一点，且 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+15AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求 △ABM 与 △ABC 的面积的比值．答案第一部分1. C2. B 【解析】AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=0⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．3. D4. A5. A6. B 【解析】由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知四边形 ABCD 为平行四边形，由 ∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣ 知平行四边形 ABCD 的邻边相等，所以四边形 ABCD 为菱形． 7. D 【解析】对于A ，当 a ⃗=0 时，a ⃗⃗∣a ⃗⃗∣没有意义，故A 错误； 对于B ，C ，D ，当 a ⃗=0 时，B ，C ，D 都正确；当 a ⃗≠0 时，由 a ⃗∥e ⃗ 可知，a ⃗ 与 e ⃗ 同向或反向，即 a ⃗=±∣a ⃗∣e ⃗，故B ，C 不全面，选D ．8. D 9. A 【解析】对于①，a ⃗=−b⃗⃗； 对于②，a ⃗=−12b⃗⃗； 对于③，a ⃗=4b⃗⃗； 对于④，若 a ⃗=λb ⃗⃗(λ≠0)，则 e 1⃗⃗⃗⃗+e 2⃗⃗⃗⃗=λ(2e 1⃗⃗⃗⃗−2e 2⃗⃗⃗⃗)，即 (1−2λ)e 1⃗⃗⃗⃗+(1+2λ)e 2⃗⃗⃗⃗=0，所以 1−2λ=1+2λ=0，矛盾，故④中 a ⃗ 与 b⃗⃗ 不共线． 10. A11. B 12. D 13. B 【解析】因为 FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=2．14. D 【解析】∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=2∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=2√2．15. C【解析】因为 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以当 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向共线时，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣−∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=3，当 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 反向共线时，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣+∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=13，当 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线时，由于 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 能组成三角形，故 3<∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣<13．综上得 3≤∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣≤13．16. B 【解析】设 c ⃗=xa ⃗+yb⃗⃗(x,y ∈R )， 因为 a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(1,−1)，c ⃗=(−1,2)，所以 (−1,2)=x (1,1)+y (1,−1)，即 (−1,2)＝(x +y,x −y )，所以 {x +y =−1,x −y =2. 解得 {x =12,y =−32.故 c ⃗=12a ⃗−32b ⃗⃗． 17. C 【解析】由向量的加法法则知 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 18. C 【解析】因为四边形 ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以四边形 ABCD 是平行四边形．因为 ∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−19. B 【解析】因为 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 故 PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，从而 P ，B ，A 三点共线． 20. D21. B 22. D 23. B 【解析】因为 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3a ⃗+6b ⃗⃗=3(a ⃗+2b⃗⃗)=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，又 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点 A ，所以 A ，B ，D 三点共线．24. D 25. D【解析】依题意，设 a ⃗+b ⃗⃗=mc ⃗，b ⃗⃗+c ⃗=na ⃗，则有 (a ⃗+b ⃗⃗)−(b ⃗⃗+c ⃗)=mc ⃗−na ⃗，即 a ⃗−c ⃗=mc ⃗−na ⃗，又 a ⃗ 与 c ⃗ 不共线，于是有 m =−1，n =−1，a ⃗+b ⃗⃗=−c ⃗，a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗．26. B 27. A 【解析】由题意，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=kAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=k 2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=k 2m ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+k 2n⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 因为 E ，M ，F 三点共线，所以 k 2m +k 2n =1，所以 1m +1n =2k ． 28. C 29. A 【解析】如图所示，因为 D 是 AC 的中点，延长 MD 至 E ，使得 DE =MD ，连接 AE ，EC ，所以四边形 MAEC 为平行四边形，所以 MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)． 又因为 MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，所以 MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−32(MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=−3MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 所以 ∣MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣−3MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=13．30. C 31. C 【解析】因为 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−a ⃗⃗2，又 a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗， 所以 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−a ⃗⃗2=12c ⃗+12b ⃗⃗， 即①是错误的；由于 BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+12b ⃗⃗， 即②是正确的；则 c ⃗=−a ⃗−b⃗⃗， 所以 CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12a ⃗+12b ⃗⃗， 即③是正确的．32. B 【解析】如图所示，由 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知，ABDC 为平行四边形， 又 A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ABDC 为矩形，即 BC 为圆的直径，所以当 AB =AC 时，△ABC 的面积取得最大值为 12×(√2)2=1．33. C 【解析】连接 AC ．因为 B ，G ，F 三点共线，所以 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14λb ⃗⃗+(1−λ)a ⃗． 因为 E ，G ，C 三点共线，所以 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μAE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1−μ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13μa ⃗+(1−μ)(a ⃗+b ⃗⃗)． 由平面向量基本定理得，{λ4=1−μ,1−λ=1−23μ,所以 {λ=47,μ=67,所以 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=37a ⃗+17b ⃗⃗． 34. C 35. D【解析】A ，B ，C共线⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⇔λ1a ⃗+b ⃗⃗=ma ⃗+mλ2b⃗⃗⇔{m =λ1,mλ2=1,⇔λ1λ2=1⇔λ1λ2−1=0.36. B 【解析】由题设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可知四边形 ABDC 是平行四边形，由圆内接四边形的性质可知∠BAC =90∘，且当 AB =AC 时，四边形 ABDC 的面积最大，此时 AB =AC =2√2，则 (S △ABC )max =12AB ×ACsin90∘=12×(2√2)2=4． 37. D 【解析】因为 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 r +s =0． 38. D 【解析】依题意知，点 M 是线段 AC 的中点，也是线段 BD 的中点，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 39. A 【解析】因为 OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13(OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 所以 r ⃗=q ⃗+13(r ⃗−p ⃗)，所以 r ⃗=−12p ⃗+32q ⃗． 40. C【解析】设 AB 中点为 D ，则 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 因为 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，所以 2PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，所以向量 PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 又 P 是 △ABC 的外心，所以 PA =PB ，所以 PD ⊥AB ，所以 CD ⊥AB ．因为 ∠ACB =120∘，所以 ∠APB =120∘，所以四边形 APBC 是菱形，从而 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 2PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，所以 λ=−1．第二部分41. 共线或平行42. 等边三角形【解析】由 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，知三角形的三边相等， 所以 △ABC 是等边三角形．43. 充要44. 向东南航行 3√2 km【解析】只有④不正确．46. ②【解析】由减法的三角形法则知 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．47. 3【解析】因为 a ⃗=λb⃗⃗， 所以 ∣a ⃗∣=∣λ∣∣∣b ⃗⃗∣∣，解得 λ=−2，所以 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣=∣∣a⃗+12a ⃗∣∣=32∣a ⃗∣=3． 48. 平行四边形【解析】由 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 所以四边形 ABCD 为平行四边形．49. ④【解析】因为 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以点 P 在 AC 边上． 50. 等腰梯形51. 12，12 52. 矩形【解析】由平行四边形法则知 ∣a ⃗+b ⃗⃗∣ 及 ∣a ⃗−b⃗⃗∣ 分别为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的长．因为 ∣a ⃗+b ⃗⃗∣=∣a ⃗−b⃗⃗∣，所以平行四边形 ABCD 为矩形． 53. 等腰梯形【解析】由题知 AB 与 DC 平行，两腰 AD 与 BC 相等，所以四边形 ABCD 是等腰梯形．54. ①③④【解析】AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 又 ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣，故①正确；∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣≠∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣，故②不正确；画图可知③④正确．55. 菱形【解析】由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可得四边形 ABCD 是平行四边形， 由 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣ 得四边形 ABCD 的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形．56. 2【解析】∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=2．57. （1）−12a ⃗，（2）5b ⃗⃗，（3）−a ⃗+5b ⃗⃗−2c ⃗【解析】（1）原式=(−3×4)a ⃗=−12a ⃗;原式=3a ⃗+3b ⃗⃗−2a ⃗+2b ⃗⃗−a ⃗=5b ⃗⃗;； （3）原式=2a ⃗+3b ⃗⃗−c ⃗−3a ⃗+2b ⃗⃗−c ⃗=−a ⃗+5b ⃗⃗−2c ⃗.58. 7【解析】当 a ⃗，b ⃗⃗ 反向时得 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣ 的最大值为 7．59. A ，B ，D【解析】因为 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗+4b⃗⃗=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 又 B 为 BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的公共点， 所以 A ，B ，D 三点共线．60. 4【解析】OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 61. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗【解析】EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=−12(BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.62. ③【解析】EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12×2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.63. 34 【解析】2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即 2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即 PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即点 P 在边 AC 上且 PC =34AC ，即 △PBC 与 △ABC 在 BC 边上的高的比是 34，两三角形有相同的底 BC ，故其面积之比为 34． 64. ②③【解析】若两向量 a ⃗，b⃗⃗ 方向相反，则①不对；由向量平行四边形法则可知②对；③中向量等式化简后为 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，说明 CB 平行 AD 且 CB 等于 AD ，所以③对；由向量平行四边形法则可知④不对．【解析】因为 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+b ⃗⃗，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗−2b⃗⃗， 所以 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−b⃗⃗． 又因为 A ，B ，D 三点共线，所以 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线． 设 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 2a ⃗+pb ⃗⃗=λ(2a ⃗−b⃗⃗)， 因为 a ⃗，b⃗⃗ 不共线， 所以 2=2λ，p =−λ，所以 λ=1，p =−1．66. 120∘【解析】因为 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则四边形 APBC 是平行四边形． 又 P 为 △ABC 的外心，所以 ∣PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣，因此 ∠ACB =120∘． 67. 2【解析】根据向量加法的平行四边形法则及向量数乘的几何意义求解．由向量加法的平行四边形法则，得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 又 O 是 AC 的中点，所以 AC =2AO ，所以 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 又 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAO⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 λ=2．68. 2【解析】先利用向量加减运算律及有关知识将 a −b +c 化简为用有向线段表示的向量，便于求模．a −b =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，过 B 作 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c （图），则 DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a −b +c ． 因为 AC ⊥BD ，且 ∣AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=√2， 所以 DB ⊥BM ，∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=√2所以 ∣DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=2，即 ∣a −b +c ∣=2．69. A ，B ，D【解析】AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√22(a ⃗+5b ⃗⃗)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2a ⃗+8b ⃗⃗，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3(a ⃗−b ⃗⃗)，则 BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2a ⃗+8b ⃗⃗+3(a ⃗−b ⃗⃗)=a ⃗+5b ⃗⃗所以共线的三点是 A ，B ，D ．70. 45 【解析】因为 2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+3PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−3PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即 5PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，所以 △PAB 与 △PBC 的面积的比为 PA:PC =4:5．71. 0⃗⃗72. 20:15:12【解析】在 △ABC 中，有 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，又 3aBC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4bCA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+5cAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，消去 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得 (3a −5c )BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(4b −5c )CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，从而 3a −5c =0，4b −5c =0，故 a:b:c =20:15:12． 73. −12 【解析】因为 a ⃗+mb ⃗⃗ 与 −(b ⃗⃗−2a ⃗) 共线，所以存在实数 λ(λ≠0) 使得 −(b ⃗⃗−2a ⃗)=λ(a ⃗+mb ⃗⃗) 成立，即 (2−λ)a ⃗=(λm +1)b⃗⃗． 因为向量 a ⃗，b⃗⃗ 不共线， 所以 {2−λ=0,λm +1=0,所以 m =−12．74. ③75. 2【解析】由向量加法的平行四边形法则知 PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 76. 2【解析】由 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=4，以 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣ 为邻边作平行四边形，∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣ 和 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣ 恰为其两对角线，又由 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣ 知这个平行四边形为矩形，所以 ∣∣AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=12∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=2．77. 1【解析】因为 D 为 BC 的中点，所以 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．又 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 m =1． 78. 10，5【解析】因为a −b=∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣−∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣≤∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=∣BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣≤∣OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣+∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=a +b,所以 {a +b =15,a −b =5, 解得 {a =10,b =5.79. 1 【解析】设 D 为 AC 边的中点，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 −PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，即 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 S △PAB =2S △PAD ．又 S △PAC =2S △PAD ，所以 S △PAB =S △PAC ．80. 12【解析】由题意得 −e 1⃗⃗⃗⃗+ke 2⃗⃗⃗⃗=λ(e 2⃗⃗⃗⃗−2e 1⃗⃗⃗⃗)，因为 e 1⃗⃗⃗⃗，e 2⃗⃗⃗⃗ 不共线，所以 {−1=−2λ,k =λ,解得 k =λ=12．第三部分81. （1）作 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+b⃗⃗，如图．（2）作 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+b ⃗⃗，如图．（3）作 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，则 OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗+b⃗⃗，如图．82. 如图，AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，又 BE =DF ， 所以 BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，从而 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 即 AE 与 FC 平行且相等，所以四边形 AECF 是平行四边形．83. （1） 因为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(5,4)+λ(5,7)=(5+5λ,4+7λ)(O 为坐标原点).根据题意，得 5+5λ=4+7λ，解得 λ=12，所以当 λ=12 时，点 P 在第一、三象限的角平分线上． （2） 根据题意，得 {5+5λ<0,4+7λ<0,解得 {λ<−1,λ<−47. 所以 λ<−1．所以当 λ<−1 时，点 P 在第三象限内．84. 因为四边形 ACDE 是平行四边形，所以 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗−a ⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗−a ⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗−b⃗⃗ ， 所以 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗−a ⃗+c ⃗．85. 如图，过 D 作 DH ∥AB ，分别交 EF ，BC 于点 G ，H ，因为 ∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=2，所以 ∣∣EG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=2．因为 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=5，所以 ∣∣HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=3．又 E ，F 分别为腰 AB ，DC 的三等分点，所以 G 为 DH 的三等分点，所以 GF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∣∣GF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=13∣∣HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣， 所以 ∣∣GF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=1，所以 ∣∣EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣EG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣+∣∣GF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=2+1=3．86. 因为 OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=r 3⃗⃗⃗⃗+r 1⃗⃗⃗⃗−r 2⃗⃗⃗⃗．87. （1） 原式=(λμ−μλ)a ⃗+(λ−μ)(b ⃗⃗−c ⃗)+(μ−λ)(b ⃗⃗−c ⃗)=0⃗⃗．（2） 原式=(2λμa ⃗−2λμa ⃗)+(2λb ⃗⃗−2λb ⃗⃗)−2μc ⃗+2μc ⃗=0⃗⃗．因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 AB ∥CD 且 AB =CD ，所以四边形 ABCD 为平行四边形．89. 略90. （1） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0． （2） AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 或者 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗． （3） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 或者 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0． 91. DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−b ⃗⃗+23(a ⃗+b ⃗⃗)=23a ⃗−13b ⃗⃗． BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−a ⃗+13(a ⃗+b ⃗⃗)=−23a ⃗+13b ⃗⃗． 92. 设 AD 的中点为 P ，连接 PM ，PN ．因为 PM 为 △ACD 的中位线，所以 PM ∥CD ．又 CD ∥AB ，所以 PM ∥AB ，则可设 PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 因为 PN 为 △ABD 的中位线，所以 PN ∥AB ，由三角形中位线定理得 PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，故 MN ∥AB ． 93. 因为 e 1⃗⃗⃗⃗，e 2⃗⃗⃗⃗ 不共线，所以 a⃗≠0⃗⃗，b ⃗⃗≠0⃗⃗． 若 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 共线，则存在 λ∈R ，使 a ⃗=λb ⃗⃗，即 3e 1⃗⃗⃗⃗+4e 2⃗⃗⃗⃗=λ(6e 1⃗⃗⃗⃗−8e 2⃗⃗⃗⃗)，所以 (3−6λ)e 1⃗⃗⃗⃗+(4+8λ)e 2⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，所以 {3−6λ=0,4+8λ=0,方程组无解，故 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 不共线． 94. （1） 因为四边形 OABC 是以 OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗． （2） 因为 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相等，所以 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是相等向量，故 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向同，长度为 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 长度的 2 倍，因此 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可用 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方表示．所以 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗．（3） 因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗．95. 因为点 G 是 △ABC 的重心，所以 GA =2GD ，GB =2GE ，GC =2GF ．延长 BG 到 H ，使 EH =EG ，连接 HC ，HA ，如图．显然，四边形 AGCH 是平行四边形，于是 GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=GH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 GH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 GA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 故 GA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0． 96. 如图所示，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示水流速度，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船垂直于对岸方向行驶的速度，OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示船实际航行的速度，∠AOC =30∘，∣∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=5．所以四边形 OACB 为矩形，所以 ∣∣OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣tan30∘=5√3，∣∣OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣sin30∘=10， 所以水流速度为 5√3 km/h ，船的实际速度为 10 km/h ．97. 设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12b ⃗⃗+12c ⃗，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23c ⃗， 所以 BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23c ⃗−b ⃗⃗． 因为 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以存在 λ，μ∈R ，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 λAM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−μBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 λ(12b ⃗⃗+12c ⃗)−μ(23c ⃗−b ⃗⃗)=b ⃗⃗， 所以 (12λ+μ)b ⃗⃗+(12λ−23μ)c ⃗=b ⃗⃗． 又因为 b ⃗⃗ 与 c ⃗ 不共线，所以 {12λ+μ=1,12λ−23μ=0, 解得 {λ=45,μ=35. 所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 AP:PM =4:1．98. 如图，设 BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b⃗⃗， 则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2b ⃗⃗，MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗−b⃗⃗， 所以 AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2MH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−2b ⃗⃗，BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗−2b ⃗⃗+2b ⃗⃗=2a ⃗，所以 HF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，所以 BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=HF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 因为 E 是 CM 的中点，EF ∥MH ，所在 F 是 CH 的中点，所以 FC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=HF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以 BH⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=HF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 99. 依题意，由 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λa ⃗+λb⃗⃗， 得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(a ⃗+b⃗⃗)， 即 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)． 如图所示，以 AB ，AC 为邻边作平行四边形 ABDC ，对角线交于点 O ，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以 A ，P ，D 三点共线，即点 P 的轨迹是 AD 所在的直线．由图可知，点 P 的轨迹必过 △ABC 的边 BC 的中点．100. 作 AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=15AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 连接 SM ，TM ，则四边形 ASMT 为平行四边形，SM ∥AB ，所以 S △ABM S △ABC =∣∣AS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣∣=15．。