教育最新K12【高中数学必修五学习】配套练习：3.3一元二次不等式及其解法第1课时

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人教版高二数学必修5练习第三章3.2第3课时一元二次不等式解法(习题课) Word版含答案

第三章不等式
一元二次不等式及其解法
第课时一元二次不等式解法（习题课）
级基础巩固
一、选择题
．不等式≥－的解是( )
．全体实数．∅
．≠．＝
解析：≥－⇒－＋≥⇒(－)≥⇒∈.
答案：
．不等式＞的解集是( )
．(－，) ．(，＋∞)．(－，)∪(，＋∞) ．(－∞，－)∪(，＋∞)
解析：＞⇔(－)(－)＞⇔
(－)(－)(＋)＞，设()＝(－)(－)(＋)，则()的三个零点是－，，.
其示意图为：
故原不等式的解集为{－＜＜或＞}．
答案：
．不等式≥的解集是( )
．{＜}解析：≥⇔－≥⇔≥⇔≤⇔解得：≤＜.
答案：
．已知一元二次不等式()＜的解集为
，则()＞的解集为( )
．{＜－或＞ } ．{－＜＜ }
．{＞－ } ．{＜－ }
解析：由题意知，一元二次不等式()＞的解集为.而()＞，所以－
＜＜，解得＜，即＜－ .
答案：
．设()＝则不等式()＞的解集为( )
．(，)∪(，＋∞) ．(，)∪(，＋∞)
．(，＋∞) ．(，)
解析：因为()＝
所以不等式()＞等价于不等式组
或分别解得＜＜，＞.
答案：
二、填空题
．若∈，不等式＋＋≥－＋恒成立，则实数的范围是．
解析：不等式＋＋≥－＋恒成立，⇔
(＋)＋＋≥恒成立．⇔
⇒≥－，
故所求实数的取值范围是.
答案：．偶函数＝()和奇函数＝()的定义域均为[－，]，()在[－，]，()
在[，]上的图象如图所示，则不等式＜的解集为．
解析：由已知得当∈(－，－)∪(，)时，()＞，当∈(－，)时，()＜，。

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12，作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}．答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0，方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}；当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。

高中数学第三章不等式 3.3 一元二次不等式及其解法同步训练新人教B版必修5-新人教B版高二必

3.3一元二次不等式及其解法5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知2a+1＜0，关于x 的不等式x 2-4ax-5a 2＞0的解集是( ) A.{x|x ＞5a 或x ＜-a} B.{x|x ＜5a 或x ＞-a} C.{x|-a ＜x ＜5a} D.{x|5a ＜x ＜-a} 解析：x 2-4ax-5a 2＞0⇒（x-5a ）（x+a ）＞0.∵a＜21-，∴5a＜-a.∴x＞-a 或x ＜5a.故选B.答案：B2.不等式x 2-x-2＜0的解集是___________.解析：原不等式可以变化为(x+1)(x-2)＜0,可知方程x 2-x-2=0的解为-1和2,所以,解集为:{x|-1＜x ＜2}. 答案：{x|-1＜x ＜2}3.不等式423--x x≤1的解集是___________.解析：423--x x ≤1,即423--x x -1≤0,4237--x x≤0.因为两实数的积与商是同号的,所以上述不等式同解于如下的不等式组:⎩⎨⎧≤--≠-.0)2)(37(,042x x x即⎪⎩⎪⎨⎧≥--≠.0)2)(37(,2x x x 所以,原不等式的解集为{x|x ＜2或x≥37}. 答案：{x|x ＜2或x≥37} 4.)1(-x x ＜0的解集为____________.解析：根据条件有⎩⎨⎧<->.01,0x x 即0＜x ＜1,解集为:{x|0＜x ＜1}.答案：{x|0＜x ＜1}10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|31-＜x ＜2}，则不等式cx 2+bx+a ＜0的解集为( ) A.{x|-3＜x ＜21} B.{x|x ＜-3或x ＞21}C.{x|-2＜x ＜31}D.{x|x ＜-2或x ＞31}解法一：ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|31-＜x ＜2}⇔3x 2-5x-2＜0⇔-3x 2+5x+2＞0.设a=-3k ，b=5k ，c=2k （k ＞0），则cx 2+bx+a ＜0⇔2kx 2+5kx-3k ＜0⇔2x 2+5x-3＜0⇔-3＜x ＜21，故选A.解法二：由题意知a ＜0，且a b -=（31-）+2，a c =（31-）×2，即a b =35-，a c =32-，而cx 2+bx+a ＜0⇔a c x 2+a b x+1＞0⇔32-x 235-x+1＞0⇔2x 2+5x-3＜0⇔-3＜x ＜21，所以应该选A.答案：A2.下列不等式中,解集是R 的是( )A.x 2+2x+1＞0 B.2x ＞0C.(31)x +1＞0 D.xx 121<- 解析：因为x 2+2x+1=(x+1)2≥0,所以A 不正确,又2x =|x|≥0,所以B 也不正确,而(31)x＞0,所以(31)x+1＞1＞0(x∈R ). 答案：C3.不等式21-+x x ＞0的解集是______________. 解析：21-+x x ＞0⇔（x+1）（x-2）＞0⇔x ＜-1或x ＞2.答案：{x|x ＜-1或x ＞2} 4.解下列不等式(1)x 2-x-2＞0(2)-2x 2+x+3＞0解:(1)∵Δ＞0，对应方程x 2-x-2=0的根分别为-1，2.∴不等式x 2-x-2＞0的解集：{x|x ＜-1 或x ＞2};(2)原不等式可以变为2x 2-x-3＜0. ∴对应方程2x 2-x-3=0的根分别为-1，23. ∴原不等式的解集为{x|-1＜x ＜23}. 5.解关于x 的不等式(m+3)x 2+2mx+m-2＞0(m∈R ).解:(1)当m+3=0,即m=-3时,原不等式可化为-6x-3-2＞0,即x ＜65-; (2)当m+3＞0,即m ＞-3时,Δ=4m 2-4(m+3)(m-2)=4(6-m). 当Δ≥0,即-3＜m≤6时,原不等式的解为:x ＜36+---m m m 或x ＞36+-+-m mm ;当Δ＜0,即m ＞6时,原不等式的解集为R ; (3)当m+3＜0,即m ＜-3时,Δ=4(6-m)＞0所以,解为:36+-+-m m m ＜x ＜36+---m mm .综上所述,当m ＜-3时,不等式的解集为:{x|36+-+-m m m ＜x ＜36+---m mm };m=-3时,不等式的解集为{x|x ＜65-};当-3＜m≤6时,不等式的解集为{x|x ＜36+---m m m }或x ＞36+-+-m mm .6.已知a ＞1，P ：a （x-2）+1＞0，Q ：（x-1）2＞a （x-2）+1.试寻求使得P 、Q 都成立的x 的集合.解:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-0)2)((1202)2(121)2()1(01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1＜a ＜2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->,2,12a x x ax 或而a-（2-a 1）=a+a 1-2＞0，所以a ＞2-a 1.故x∈{x|x＞2或2-a1＜x ＜a}. 若a=2，则有x∈{x|x＞21且x≠2}. 若a ＞2，则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或故x∈{x|x＞a 或2-a1＜x ＜2}. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.函数f （x ）=⎩⎨⎧≤->,1,1,1,x x x 则不等式xf （x ）-x≤2的解集为( )A.［-2，2］B.［-2，-1］∪［1，2］C.［1，2］D.［-1，2］解法一：（排除法）∵x=0时，xf （x ）-x=0≤2成立，而B 、C 中均不含有0，故排除B 、C.只需验证x=-2即可，当x=-2时，xf （x ）-x=（-2）·（-1）+2=4＞2，∴排除A 而选D.解法二：（直接法）①当x ＞1时，xf （x ）-x≤2可化为x 2-x≤2，即x 2-x-2≤0，解得-1≤x≤2.又x ＞1，∴1＜x≤2.②当x≤1时，xf （x ）-x≤2可化为-2x≤2，∴x≥-1.此时有-1≤x≤1，故适合原不等式的解集为①②两部分的并集，为［-1，2］. 答案：D2.不等式11-x ＞x+1的解集为( ) A.{x|x ＜-3} B.{x|x ＞1} C.{x|x ＜2-|∪{x|1＜x ＜2}D.{x|34＜x ＜2} 解析：原不等式可以化为11-x -(x+1)＞0,即122--x x ＞0,即(x+2)(x 2-)(x-1)＜0,由高次不等式的标根法可得C 正确.答案：C3.已知集合M={x|x 2-3x-28≤0},N={x|x 2-x-6＞0}，则M∩N 为( ) A.{x|-4≤x＜-2或3＜x≤7} B.{x|-4＜x≤-2或3≤x＜7} C.{x|x≤-2或x ＞3} D.{x|x ＜-2或x≥3}解析：M={x|-4≤x≤7},N={x|x＜-2或x ＞3},再把M 、N 两个集合对应的范围在数轴上表示出来即可看出答案. 答案：A4.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为x=1，图象与x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标x 1∈（2，3），则有( )A.a-b-c ＞0B.a+b+c ＜0C.a+c ＜bD.3b ＜2c解析：由题意知另一交点必在（-1，0）之间，且f （-1）＞0，即a-b+c ＞0（*）.又知ab2-=1，得a=2b -，代入（*）式得21-b-b+c ＞0，即3b ＜2c.故选D. 答案：D5.若x 1、x 2是方程x 2-2kx+1-k 2=0的两个实根，则x 12+x 22的最小值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2解析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-==+≥---=∆)3(1)2(2)1()1(4)2(2212122kx x kx x k k ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=4k 2-2（1-k 2）=6k 2-2.由①式得k 2≥21， ∴6k 2-2≥6×21-2=1.∴x 12+x 22的最小值为1. 答案：C2x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6-4-6-6-46则不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是___________________.解析：根据所给数表中函数的单调性可以看出a ＞0,且方程ax 2+bx+c=0的两个解分别为-2和3.答案：(-∞,-2)∪(3,+∞)7.某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层1人，而电梯只允许停1次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度的和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第_______________层. 解析：设电梯停在第x 层（2≤x≤20），则 S=［1+2+…+（x-3）+（x-2）］×1+［1+2+…+（19-x ）+（20-x ）］×2 =2)20(12)2(2)2(1x x x -+⨯++-+×（20-x ） =)2485421()685(2342128523222-+-=+-x x x .∵x 取正整数，∴取x=14即可. 答案：148.据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都受到影响（见右图）.从现在小时__________后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为__________.解析：设风暴中心坐标为（a ，b ），则a=3002，所以22)2300(b +＜450，即-150＜b ＜150.而20300),122(215201502300-=-=15.所以经过215（22-1）小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时. 答案：215(22-1) 15小时9.已知函数f(x)=bax x +2（a ，b 为常数）且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式： f(x)＜xkx k --+2)1(.解:（1）将x 1=3,x 2=4分别代入方程b ax x +2-x+12=0得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+.8416,939ba ba解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 所以f(x)=x x -22(x≠2).（2）不等式即为x k x k x x --+<-2)1(22,可化为xk x k x -++-2)1(2＜0, 即(x-2)(x-1)(x-k)＞0.①当1＜k ＜2，解集为x∈(1,k)∪(2+∞).②当k=2时，不等式为(x-2)2(x-1)＞0解集为x∈(1,2)∪(2,+∞). ③当k ＞2时，解集为x∈(1,2)∪(k,+∞). 10.若不等式23+>ax x 的解集为（4，b ），求实数a 、b 的值. 解法一：（换元法）设u=x （u≥0），则原不等式可化为u ＞232+au ，即au 2-u+23＜0. ∵原不等式的解集为（4，b ），∴方程au 2-u+23=0的两根分别为2、b . 由韦达定理知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.232,12a b ab解得⎪⎩⎪⎨⎧==.36,81b a解法二：（图象法）设y 1=x ，y 2=23+ax （x≥0），其图象如上图所示，不等式x ＞ax+23的解是当y 1=x 的图象在y 2=ax+23（x≥0）的图象上方时相应的x 的取值范围.由于不等式的解集为（4，b ），故方程x =ax+23有一个解x=4，将x=4代入得2344+=a ，∴a=81，再求方程x =2381+x 的另一个解得x=36，即b=36.。

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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作3.3 第1课时一元二次不等式及解法基础巩固一、选择题1．若集合A＝{x|x2－x<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B等于() A．{x|0<x<1}B．{x|0<x<3}C．{x|1<x<3} D．∅[答案] A[解析]∵A＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝{x|0<x<1}．2．已知不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为∅，则()A．a<0，Δ>0 B．a<0，Δ≤0C．a>0，Δ≤0 D．a>0，Δ>0[答案] C[解析]根据二次函数图象可知选C.3．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}则M∩N 为()A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7}B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7}C．{x|x≤－2或x>3}D ．{x |x <－2或x ≥3} [答案] A[解析] 由x 2－3x －28≤0，得－4≤x ≤7，由x 2－x －6>0，得x >3或x <－2. ∴M ＝{x |－4≤x ≤7}， N ＝{x |x >3或x <－2}，M ∩N ＝{x |3<x ≤7或－4≤x <－2}． 4．不等式－x 2≥x －2的解集为( ) A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |－2≤x ≤1} D ．∅[答案] C[解析] 原不等式可化为x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0，∴－2≤x ≤1.故选C.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0，的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3}[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0x 2－3x <0，得⎩⎨⎧－1<x <10<x <3，∴0<x <1.6．下列四个不等式： ①－x 2＋x ＋1≥0； ②x 2－25x ＋5>0； ③x 2＋6x ＋10>0； ④2x 2－3x ＋4<1.其中解集为R 的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④[答案] C[解析] ①④显然不可能．②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R.③中Δ＝62－4×10<0.故选C.二、填空题7．方程2x 2＋4mx ＋3m －1＝0有两个不相等的负根，则m 的取值范围是______________．[答案] (13，12)∪(1，＋∞)[解析] 由已知只需⎩⎨⎧f (0)＞0－b2a ＜0△＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3m －1＞0－m ＜016m 2－8(3m －1)＞0，解此不等式即得13<m <12或m >1.8．不等式(1－a )x 2－4x ＋b >0的解集是{x |－3<x <1}，则a ＝______________[答案] 3[解析] 由(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集为{x |－3＜x ＜1}可知1－a ＜0且－3,1是(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，解得a ＝3. 三、解答题9．解下列关于x 的不等式： (1)(5－x )(x ＋1)≥0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－12x 2＋3x －5>0；(4)－2x 2＋3x －2<0.[解析] (1)原不等式化为(x －5)(x ＋1)≤0， ∴－1≤x ≤5.∴故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}． (2)原不等式化为4x 2－18x ＋814≤0，即(2x －92)2≤0，∴x ＝94.故所求不等式的解集为{x |x ＝94}．(3)原不等式化为x 2－6x ＋10<0，即(x －3)2＋1<0，∴x ∈∅. 故所求不等式的解集为∅. (4)原不等式化为2x 2－3x ＋2>0，即2(x －34)2＋78>0∴x ∈R.故所求不等式的解集为R.10．若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2>0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．[解析] 当a ＝0时，不等式2x ＋2>0解集不为R ，故a ＝0不满足题意．当a ≠0时，若不等式的解集为R ，只需⎩⎨⎧a >022－4×2a <0，解得a >12综上，所求实数a 的取值范围为(12，＋∞)．能力提升一、选择题1．如果ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有( )A ．f (5)<f (2)<f (－1)B ．f (2)<f (5)<f (－1)C ．f (2)<f (－1)<f (5)D ．f (－1)<f (2)<f (5)[答案] C[解析] ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为x <－2或x >4. 则a >0且－2和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴－b a ＝2，ca ＝－8.∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为x ＝－b2a＝1，∴f (5)>f (－1)>f (2)，故选C.2．方程mx 2－(1－m )x ＋m ＝0有两个不等实根，则m 的取值范围是( )A ．－1≤m ≤3B ．－1≤m ≤3且m ≠0C ．－1<m <13D ．－1<m <13且m ≠0[答案] D[解析] 解法一：验证排除当m ＝0时，方程有一个实根，排除A 、C ；当m ＝－1时，方程可化为x 2＋2x ＋1＝0，即(x ＋1)2＝0，故方程有两个相等实根，排除B ，故选D.解法二：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0Δ＝(1－m )2－4m 2>0，解得－1<m <13且m ≠0.二、填空题3．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≤－6或a ≥2[解析] ∵x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集， ∴y ＝x 2－ax －a ＋3的图象与x 轴有交点，则Δ＝(－a )2－4×1×(－a ＋3)≥0，解得a ≤－6或a ≥2.4．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N ＋)时，规定[x ]＝n ，则不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．[答案] {x |2≤x <8}[解析] 由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<7.5，即1.5<[x ]<7.5，故2≤[x ]≤7，∴2≤x <8. 三、解答题 5．求函数y ＝6x －x 2－510＋3x －x 2的定义域．[解析] 解法一：要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧6x －x 2－510＋3x －x 2≥0 ①10＋3x －x 2≠0 ②①等价于(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5≥0x 2－3x －10>0，或(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5≤0x 2－3x －10<0.解不等式组(Ⅰ)得：x <－2或x >5，解不等式组(Ⅱ)得：1≤x <5，解②式得x ≠－2且x ≠5，∴原函数的定义域为{x |x <－2或x ≥1且x ≠5}．解法二：接解法一，分解因式得： ⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(x －5)(x －5)(x ＋2)≥0(2＋x )(5－x )≠0，解之得x <－2或x ≥1且x ≠5.∴原函数的定义域为{x |x <－2或x ≥1且x ≠5}．6．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是{x |x <－2或x >－12}，求不等式ax 2－bx ＋c >0的解集． [解析] 由题意可知，－2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0.的两根，且a <0.∴－ba ＝－2－12，∴b ＝52a ，ca ＝－2×(－12)，∴c ＝a ， ∴ax 2－bx ＋c >0，即ax 2－52ax ＋a >0，∴x 2－52x ＋1<0，∴(x －12)(x －2)<0，∴12<x <2，故不等式x 2－bx ＋c >0的解集为{x |12<x <2}．7．金融危机的来临使消费者的购买欲有所下降，为了刺激消费者，甲、乙两家家电商场举行了促销活动．有一批微波炉原销售价为每台800元，甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单位价再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类微波炉，问去哪家商场购买，花费较少？[解析] 设某单位购买x 台此类微波炉，共花费y 元．若去甲商场购买，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧(800－20x )x (800－20x ≥440)440x (800－20x <440)，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－20x 2＋800x (0<x ≤18)440x (x >18)若去乙商场购买，由题意，得y ＝800×75%x ＝600x (x >0)．令－20x 2＋800x >600x ，得0<x <10. 令－20x 2＋800x ＝600x ，得x ＝10. 令－20x 2＋800x <600x ，得10<x ≤18. 又当x >18时，440x <600x ，综上可知，当某单位购买此类微波炉少于10台时，应去甲商场花费较少，当购买10台时，去甲、乙两商场花费相等，当购买多于10台时，去乙商场花费较少.。

人教a版必修5学案：3.2一元二次不等式及其解法(含答案)

3.2 一元二次不等式及其解法材拓展1．一元一次不等式通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax >b .若a >0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >b a .若a <0，则其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 0或ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)．不妨设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1、x 2且x 1<x 2.从函数观点来看，一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴上方部分的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在x 轴下方部分的点的横坐标x 的集合．从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0.我们可以列表如下：x 的区间x <1 1<x <2 2<x <3 x >3 x －1 －＋＋＋ x －2 －－＋＋ x －3 －－－＋(x －3)(x －2)·(x －1) －＋－＋把表格的信息“浓缩”在数轴得：据此，可写出不等式(x －1)(x －2)(x －3)>0的解集是{x |1<x <2或x >3}．一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：(1)化成形如p (x )＝(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0 (或<0)的标准形式； (2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线； (3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；(4)根据曲线显现出的p (x )的符号变化规律，标出p (x )的正值区间和负值区间； (5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内． 4．分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0. (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0g (x )≠0. (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0. 注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．例如：解不等式：2x ＋1x －3>2x ＋13x －2.解原不等式⇔2x ＋1x －3－2x ＋13x －2>0⇔(2x ＋1)2(x －3)(3x －2)>0⇔⎝⎛⎭⎫x ＋122(x －3)⎝⎛⎭⎫x －23>0⇔x <－12或－12<x <23或x >3.∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，23∪(3，＋∞)．5．恒成立问题(1)f (x )≥a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )min ≥a ，x ∈D 恒成立； f (x )≤a ，x ∈D 恒成立⇔f (x )max ≤a ，x ∈D 恒成立；(2)ax 2＋bx ＋c >0恒成立⇔⎩⎨⎧ a >0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c >0ax 2＋bx ＋c <0恒成立⇔⎩⎨⎧ a <0Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0. 6．一元二次方程根的分布我们以ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.根的分布二次函数的图象充要条件x 1<k <x 2f (k )<0x 1<x 2<k⎩⎨⎧ f (k )>0－b2a <k Δ>0k <x 1<x 2⎩⎨⎧f (k )>0－b 2a >k Δ>0k 1<x 1 <x 2<k 2⎩⎨⎧f (k 1)>0f (k 2)>0k 1<－b 2a <k 2Δ>0k 1<x 1<k 2 <x 2<k 3⎩⎪⎨⎪⎧f (k 1)>0f (k 2)<0f (k 3)>0法突破一、分式不等式的解法方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．例1 解不等式：x 2＋2x －23＋2x －x 2≥x .解原不等式⇔x 2＋2x －23＋2x －x 2－x ≥0⇔x 3－x 2－x －23＋2x －x 2≥0⇔(x 3－2x 2)＋(x 2－x －2)3＋2x －x 2≥0⇔(x －2)x 2＋(x －2)(x ＋1)x 2－2x －3≤0⇔(x －2)(x 2＋x ＋1)(x －3)(x ＋1)≤0⇔x －2(x ＋1)(x －3)≤0. 由图可知，原不等式的解集为{x |x <－1或2≤x <3}．二、含参数不等式的解法方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．例2 解不等式：(x －k )(x ＋3)x ＋2<x ＋1 (k ∈R )．解原不等式⇔kx ＋3k ＋2x ＋2>0⇔(x ＋2)(kx ＋3k ＋2)>0当k ＝0时，原不等式解集为{x |x >－2}；当k >0时，(kx ＋3k ＋2)(x ＋2)>0，变形为⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k (x ＋2)>0.∵3k ＋2k ＝3＋2k >3>2，∴－3k ＋2k<－2.∴x <－3k ＋2k 或x >－2.故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－2或x <－3k ＋2k . 当k <0时，原不等式⇔(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x ＋3k ＋2k <0由(－2)－⎝⎛⎭⎫－3k ＋2k ＝k ＋2k .∴当－2<k <0时，k ＋2k <0，－2<－3k ＋2k ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，－3k ＋2k＝－2，原不等式⇔(x ＋2)2<0不等式的解集为∅；当k <－2时，k ＋2k >0，－2>－3k ＋2k .不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x >－2}；当k >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3k ＋2k 或x >－2；当－2<k <0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－3k ＋2k ；当k ＝－2时，不等式的解集为∅；当k <－2时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3k ＋2k <x <－2.三、恒成立问题的解法方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a (“客”)的取值范围，反过来求x (“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a 为“主”，未知数x 为“客”，则关于x 的一元二次不等式就立即转化为关于a 的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．例3 已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．分析题中不等式含有两个字母x ，p ，由(1)的条件可知，应视p 为变量，x 为常量，再求x 的范围；由(2)的条件可知，应视x 为变量，p 为常量，再求p 的范围．解 (1)不等式化为：(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又因为|p |≤2，所以－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立，所以p >(1－x )max .而2≤x ≤4，所以(1－x )max ＝－1，于是p >－1.故p 的取值范围是p >－1. 四、一元二次方程根的分布方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．例4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．解设f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m 满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1<0f (－1)＝2>0f (1)＝4m ＋2<0f (2)＝6m ＋5>0解得：－56<m <－12.五、一元二次不等式的实际应用方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．例5 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.分析对比项调整前调整后税率 8% (8－x )%收购量 m (吨) (1＋2x %)m (吨)税收总收入 2 400m ×8%2 400(1＋2x %)m×(8－x)%解设税率调低后的“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400) (0<x ≤8)．依题意，y ≥2 400m ×8%×78%即：－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%整理得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知0<x ≤8，所以0<x ≤2为所求．区突破1．忽略判别式的适用范围而致错例1 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． [错解] 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对x ∈R 恒成立．⇔{ a －Δ<0 ⇔{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0 ⇔－2<a <2.[点拨] 当a －2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0，所以a ＝2时成立．当a －2≠0时，由题意得{ a －Δ<0，即{ a(a －2)2－4(a －2)(－4)<0，解得－2<a <2.综上所述，可知－2<a ≤2. 温馨点评在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax 2＋bx ＋c 的问题时，要注意对x 2系数的讨论．2．混淆“定义域为R ”与“值域为R ”的区别而致错例2 若函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，求a 的取值范围． [错解1] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴ax 2－2x ＋a >0对x ∈R 恒成立．∴{ aΔ<0，即{ a－4a 2<0，∴a >1. [错解2] ∵函数y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R . ∴代数式ax 2－2x ＋a 能取遍一切正值． ∴Δ＝4－4a 2≥0， ∴－1≤a ≤1.[点拨] 上述解法1把值域为R 误解为定义域为R ；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a <0时，代数式ax 2－2x ＋a 不可能取到所有正数，从而也是错误的．[正解] 当a ＝0时，y ＝lg(－2x )值域为R ， a ＝0适合．当a ≠0时，ax 2－2x ＋a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋⎝⎛⎭⎫a －1a 为使y ＝lg(ax 2－2x ＋a )的值域为R ，代数式ax 2－2x ＋a 应取到所有正数．所以a 应满足⎩⎨⎧a a －1a ≤0，解得0<a ≤1. 综上所述，0≤a ≤1.题多解例解不等式：lg x －1≤3－lg x . 解方法一 lg x －1≤3－lg x⇔{ lg x －1≥－lg x ≥x －1≤(3－lg x )2 ⇔{ 1≤lg x ≤2x －7lg x ＋10≥0 ⇔{ 1≤lg x ≤x ≤2或lg x ≥5 ⇔1≤lg x ≤2⇔10≤x ≤100. 方法二设lg x －1＝t ，则lg x ＝t 2＋1 (t ≥0)．∴lg x －1≤3－lg x⇔{ t ≥t ≤2－t 2⇔0≤t ≤1⇔0≤lg x －1≤1 ⇔1≤lg x ≤2 ⇔10≤x ≤100.方法三解方程lg x －1＝3－lg x ，解得：x ＝100. 令f (x )＝lg x －1，易知f (x )在[10，＋∞)为增函数，g (x )＝3－lg x 在[10，＋∞)为减函数．且f (100)＝g (100)＝1.为使f (x )≤g (x )，则10≤x ≤100.方法四令lg x ＝t ，f (t )＝t －1，g (t )＝3－t .在同一坐标系中画出它们的图象如图所示：易知交点为(2,1)．当1≤t ≤2时，f (t )≤g (t )．即lg x －1≤3－lg x 成立．由1≤t ≤2，即1≤lg x ≤2，解得：10≤x ≤100.题赏析1．(2009·江西)若不等式9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________.解析令y 1＝9－x 2，y 2＝k (x ＋2)－2，在同一个坐标系中作出其图象，因9－x 2≤k (x ＋2)－2的解集为[a ，b ]且b －a ＝2.结合图象知b ＝3，a ＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,22)．∴k ＝22＋21＋2＝ 2.答案 2赏析本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法． 2．(2009·天津)设0(ax )2的解集中的整数恰有3个，则( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6解析 (x －b )2>(ax )2，(a 2－1)x 2＋2bx －b 2<0，要使x 的解集中恰有3个整数，必须有a 2－1>0.又a ＋1>0，∴a >1.不等式变形为[(a －1)x ＋b ][(a ＋1)x －b ]<0.∵a >1，b >0，∴b a －1>0,0<ba ＋1<1，∴b 1－a <x 0，a －21，a <3，∴1<a <3. 答案 C赏析本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．。

高中数学必修五同步练习题库：一元二次不等式及其解法(选择题：一般)

一元二次不等式及其解法（选择题：一般）1、不等式组的解集是（）A． B． C． D．或2、关于的不等式的解集为，且，则（）A． B． C． D．3、已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．4、若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合为（）A． B． C． D．5、已知不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A． B．C． D．6、已知集合则 ( )A． B． C． D．7、关于的不等式()的解集为,且,则（）A． B． C． D．8、已知不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9、不等式对于恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．10、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D．11、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B．(-∞,2］ C． D．12、若关于的不等式的解集为，则实数的值是（）A．1 B．2 C．3 D．413、若二次不等式在区间[2,5]上有解，则的取值范围是A． B． C． D．14、不等式的解集是（）A． B．C． D．15、不等式的解为（）A． B． C． D．16、已知不等式的解集是，则的值为（）A． B． C． D．17、不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A． B． C． D．18、关于的不等式的解集为，则不等式的解为（）A． B． C． D．19、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．20、不等式的解集是（）A． B． C． D．21、对于任意实数x，不等式（ a-2）x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(-∞,2) B．(-∞,2］C．(-2,2) D．（-2,2］22、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．23、设集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x成立，则下列关系中成立的是（）A．P Q B．Q P C．P=Q D．P∩Q=φ24、若实数，且，满足，，则代数式的值为（）A．－20 B．2 C．2或－20 D．2或2025、若实数，且满足，，则代数式的值为（）A．-20 B．2 C．2或-20 D．2或2026、已知关于的不等式对任意恒成立，则有( )A． B． C． D．27、若为的解集，则的解集为()A．或 B．C． D．或28、若对任意实数x∈R，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[2，6] B．[-6，-2] C．（2，6） D．（-6，-2）29、用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，且，则的取值范围是( ) A．或 B．或C．或 D．或30、已知集合，，则（）A． B． C． D．31、已知方程组的解为非正数，为非负数，则的取值范围是（）A． B． C． D．32、已知集合，，则A． B． C． D．33、已知集合，，则A． B． C． D．34、已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为( )A．6 B．7 C．9 D．1035、不等式组的解集是（）A． B． C． D．或36、若“”是“不等式成立”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．37、不等式的解集是（）A． B． C． D．38、已知，则（）A． B． C． D．39、若关于x的不等式ax2+bx+2＜0的解集为，则a﹣b的值是（）A．﹣14 B．﹣12 C．12 D．1440、对任意实数x，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．41、若不等式的解集为，则的值为 ( )A． B． C． D．42、不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a-b等于（）A．-10 B．10 C．-14 D．1443、当时，不等式恒成立，则k之的取值范围是（）A． B． C． D．（0，4）44、若不等式和不等式的解集相同，则、的值为（）A．=﹣8 =﹣10 B．=﹣4 =﹣9C．=﹣1 =9 D．=﹣1 =245、若{x|2<x<3}为x2＋ax＋b<0的解集，则bx2＋ax＋1>0的解集为()A．{x|x<2或x>3} B．{x|2<x<3}C． D．46、当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B．C． D．47、若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1,2)恒成立,则实数k的取值范围是()A．(-∞,2] B．(1,+∞) C．(-∞,2) D．[1,+∞)48、函数的定义域是()A．{x|x<－4或x>3} B．{x|－4<x<3}C．{x|x≤－4或x≥3} D．{x|－4≤x≤3}49、当|x|≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()A．a≥－ B．a≤－1C．－1<a<－ D．－1≤a≤－50、不等式的解集为（）A．或 B． C． D．或51、当x∈R时，不等式kx2－kx＋1>0恒成立，则k的取值范围是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．[0,4) D．(0,4)52、已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A．[-1，2] B．[-1， ] C．[-，1] D．[-1，-]53、若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是( )A．[2，＋∞) B．(－∞，－6] C．[－6,2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)54、已知不等式的解集为,则不等式的解集为( ) A． B．C． D．55、若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．56、不等式的解集为A． B． C．R D．57、当|x|≤1时，函数y＝ax＋2a＋1的值有正也有负，则实数a的取值范围是()A．a≥－ B．a≤－1C．－1<a<－ D．－1≤a≤－58、二次函数的部分对应值如下表：则一元二次不等式的解集是A. B.C. D.59、对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．60、若关于的不等式的解集为，且，则（）A． B． C． D．61、已知关于x的不等式ax2-x+b≥0的解集为[-2，1]，则关于x的不等式bx2-x+a≤0的解集为（）A．[-1，2] B．[-1， ] C．[-，1] D．[-1，-]62、不等式的解集是 ( )A． B．C． D．63、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．64、设，=,C U A=,则m的取值范围是（）A．[0， ) B．{0} (，+)C．(-，0] D．( -，0] (，+)65、关于x的不等式ax-b>0的解集是（1，+），则关于x的不等式（ax+b）（x-2）>0的解集是（）A．（1，2） B．（-1，2）C．（-，-1）（2，+） D．（-，1）（2，+）66、当x>0时，若不等式x2+ax+4≥0恒成立，则a的最小值为（）A．-2 B．2 C．-4 D．467、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．68、若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．69、函数的定义域为_______________．70、关于x的不等式的解集中，恰有个整数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案1、C2、A3、B4、D5、B6、C．7、A8、B9、A10、C11、D12、A13、A14、D15、C16、A17、B18、C19、B20、A21、D22、B23、C24、A25、A26、A27、D28、A29、D30、B31、D32、A33、A34、C35、C36、D37、D38、B39、A40、A41、B42、A43、C44、B45、D46、C47、A48、C49、C50、C51、C52、C53、D54、B55、A56、A57、C58、C59、A60、D61、C62、B63、A64、A65、C66、C67、A68、A69、70、D【解析】1、求解不等式：可得：；求解不等式：可得：；据此可得不等式组的解集是.本题选择C选项.点睛：解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.2、试题分析：原不等式等价于，，所以不等式的解集为：，所以，解得，故选A.考点：一元二次不等式3、由题意可知的两个根为，不等式即为，解不等式得解集为.考点：三个二次之间的关系.4、当时，恒成立；当时，有解得，所以.考点：不等式恒成立问题.5、试题分析：由已知可得是方程的两根．由根与系数的关系可知，，．代入不等式解得．考点：本题考查一元二次不等式的解法．6、试题分析：解得，，故选C．考点：1．一元二次不等式的解法；2．集合的运算．7、试题分析：由得，，所以.所以选A. 考点：1.含参的二次不等式的解法.8、不等式等价于，令，由得在上是减函数，时，取最大值，故选B.9、不等式对于恒成立，(1)时，不等式成立；当时，，；综上可知：的取值范围是.10、，即时，恒成立，时，则有，解得，故选C.11、首先讨论当二次项系数为0时，即a=2时，原不等式为-4<0,恒成立；当时，该函数是二次函数，则要求开口向下，判别式小于零，，且两种情况并到一起，得到a的范围为。

高中数学必修五同步练习题库：一元二次不等式及其解法(填空题：一般)

一元二次不等式及其解法（填空题：一般）1、设的解集为，则实数的取值范围是______.2、已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为___________.3、已知关于的不等式的解集为，则等于．4、设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是 .5、不等式组的解集是 .6、若关于的不等式的解集，则的值为_________．7、已知关于的方程有两根，且，求实数的取值范围__________．8、在，三个内角、、所对的边分别为、、，若内角、、依次成等差数列，且不等式的解集为，则__________9、关于x的方程x2－2tx＋t－1＝0的两个根中的一个根在(－2,0)内，另一根在(1,2)内，则实数t的取值范围是________.10、不等式的解集为________.11、设关于的不等式的解集为，已知，则实数的取值范围是________.12、已知，，若，则的值是___________13、下列命题正确命题的序号是：___________.①三角形中，若,则；②的解集是；③是数列的前项和，若，则；④是数列的前项和，若,则数列是等比数列.14、不等式的解集为__________．15、若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_______.16、若关于的不等式的解集为，则的值为__________．17、不等式的解集为________.18、若不等式的解集为｛x|2<x<3｝，则不等式的解集为________。

19、若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．20、关于的不等式的解集是，则的取值范围是__________.21、已知不等式的解是，则=________，=________。

22、关于的不等式的解集，则的值为_________.23、已知函数（）的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为__________．24、已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为___________.25、若关于的不等式的解集为，则的取值范围为__________．26、已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为___________.27、在中，三内角所对的边分别是，若依次成等比，则的取值范围是________.28、已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有( )A．B．C．D．29、若不等式0＜ax2+bx+c＜1的解集为(0,1)，则实数a的取值范围是_________。

高中数学必修五同步练习题库：一元二次不等式及其解法(填空题：较易)

一元二次不等式及其解法（填空题：较易）1、已知关于x的不等式x2－（4a+2）x+3a2+2a≤0（a＞－1）的解集中恰好含有3个整数解，则a的取值范围是．2、不等式的解集是_________．3、已知关于的不等式的解集为（2，），则的解集为．4、函数的定义域为___________.5、若关于x的不等式x2+ax-2＜0的解集{x|-2＜x＜1}，则a =_____．6、已知函数，则不等式的解集是__________．7、已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.8、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________。

9、若函数的两个零点是－2和3，则不等式的解集是________．10、已知不等式的解集为，则_______．11、不等式的解集是_______________12、若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．13、若方程的两根分别为和1，则不等式的解集为__________．14、若关于x的不等式ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），则m= ．15、不等式的解集为________16、不等式的解集为_____17、不等式的解为_____________18、不等式的解集是_____________.19、如果关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___.20、集合，，则___________．21、不等式的解集是______．22、不等式的解集是___________.23、已知不等式组的解集是不等式的解集的子集，则实数的取值范围是．24、不等式的解集是 .25、若关于的不等式解集不是空集，则实数的取值范围是________．26、设关于的一元二次不等式的解集为，则．27、二次不等式的解集是全体实数，则的取值范围是 .28、已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 .29、若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．30、不等式的解集是 .31、若对任意实数恒成立，求x的取值范围_________32、不等式＜a的解集是{x|a＜x＜0}，则a＝____．33、若不等式的解集为，则__________ .34、已知不等式的解集为,则不等式的解集为 .35、对任意不等式恒成立, 则实数的取值范围是．36、不等式的解集为______.37、不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．38、（1）的解集是；（2）的解集是 .39、关于的不等式的解集为，则的取值范围为_________.40、二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为_________.41、关于的不等式的解集是，则的取值范围是______．42、已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为________．43、关于的不等式的解集为，则．44、若不等式的解集为，则_______.45、已知，不等式恒成立，则的取值范围为__________.46、已知函数，如果不等式的解集是，则不等式的解集是 .47、已知函数,如果不等式的解集是则不等式的解集是___________48、不等式的解集为．49、不等式的解集为，则。

人教A版高中数学必修五同步练测：3.2一元二次不等式及其解法(含答案详解).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作3.2 一元二次不等式及其解法（数学人教实验A 版必修5）一、选择题（每小题5分，共20分）1.设集合P ={m |-1＜m ＜0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx-4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（）A.P QB.Q PC.P ＝QD.P ∩Q =∅2.设U =R ，M ={x |x 2-2x ＞0}，则ðU M =（） A.[0，2] B.（0，2）C.（-∞，0）∪（2，+∞）D.（-∞，0]∪[2，+∞）3.不等式2x 2-x-1>0的解集是（）A.112⎛⎫- ⎪⎝⎭， B.（1，+∞）C.（-∞，1）∪（2，+∞）D.12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，∪（1，+∞） 4.设f (x )＝ +bx +1,且f (-1)＝f (3)，则f (x )＞0的解集是（）A.（-∞，-1）∪（3，+∞）B.RC.{x |x ≠1}D.{x |x =1}二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知函数f （x ）=21,0,1,0,x x x ⎧+≥⎨<⎩则满足不等式f （1-x 2）＞f （2x ）的x 的取值范围是.6．若 m 1 x 2 m 13 m 1 ＜0对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是.三、解答题(共70分)7．（15分）已知不等式2x-1＞m （x 2-1）.若对于m ∈［-2，2］不等式恒成立，求实数x 的取值范围.8.（15分）已知当0≤x ≤1时，不等式恒成立，求实数a 的取值范围.3.2 一元二次不等式及其解法（数学人教实验A版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题5．6．三、解答题7.8.9.10.3.2 一元二次不等式及其解法（数学人教实验A版必修5）参考答案一、选择题1.A 解析：（1）当m=0时，不等式mx2+4mx-4＜0化为-4＜0，对任意实数x恒成立，适合题意.当m≠0时，不等式mx2+4mx-4＜0为一元二次不等式，若使不等式mx2+4mx-4＜0对任意实数x恒成立，需满足m＜0，Δ=（4m）2+16m＜0，解得-1＜m＜0.综上可知，Q={m∈R|-1＜m≤0}，所以P Q，故选A.2.A 解析：由x2-2x＞0得x＞2或x＜0，∴ðU M =[0，2].3.D 解析：∵2x2-x-1=（2x+1）（x-1），∴由2x2-x-1>0得（2x+1）（x-1）>0，解得x>1或x<12-，∴不等式的解集为12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，∪（1，+∞）.4.C解析：由f(-1)＝f(3)知对称轴为直线x=1，则b=-2，∴f(x)＝221，∴f(x)＞0的解集是{x|x≠1}.二、填空题5.（-1-1）解析：当x=-1时，无解.当-1<x≤0时，1-x2＞0，f（1-x2）>f（2x）化为（1-x2）2+1>1，恒成立.当0<x≤1时，1-x2≥0，2x>0，f（1-x2）>f（2x）化为（1-x2）2+1>（2x）2+1，即1-x2>2x，（x+1）2<2，∴0<x-1.当1-x2<0时，无解.综上可知，-1<x-1.6.(-∞，-1311) 解析：(1)当m=-1时，不等式为2x-6＜0，即x＜3，不合题意.(2)当m≠-1时，m1＜0，Δ＜0，即m＜1，m124 m13 m1＜0，∴m＜1，m＞1或m＜1311，∴m＜-1311.三、解答题7.解：设f（m）=（x2-1）m-（2x-1）.由于m∈［-2，2］时，f（m）＜0恒成立，当且仅当(2)0,(2)0,ff<⎧⎨-<⎩即222210,2230,x xx x⎧--<⎨--+<⎩①②＜x ，解②得x x∴12-+＜x ＜12+，即所求x 的取值范围是{x |12-+＜x ＜12+}.8．解：设f (x ) ， ∵f (x )= 4224 ，∴函数f (x )图象的对称轴为直线x =2.(1)当2>1，即a >2时，f (x )在区间［0，1］上为增函数，∴f (x )在x =1处取得最大值 4 2，∴ 42≤-5，∴a ≤-1或a ≥1.又a >2，∴a >2. (2)当2<0，即a <0时，f (x )在区间［0，1］上为减函数，∴f (x )在x =0处取得最大值 4 2，∴ 42≤-5，∴a ≤-5或a ≥1.又a <0，∴a ≤-5.(3)当0≤ 2≤1，即0≤a ≤2时，f (x )在x = 2处取得最大值-4a ，∴ -4a ≤-5，∴a ≥ 54.又0≤a ≤2，∴ 54≤a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围是a ≤-5或a ≥ 54.9.解：原不等式可变形为（x-a ）（x-a 2）＞0，方程（x-a ）（x-a 2）=0的两个根为x 1=a ，x 2=a 2. 当a ＜0时，有a ＜a 2，∴x ＜a 或x ＞a 2，此时原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}；当0＜a ＜1时，有a ＞a 2，∴x ＜a 2或x ＞a ，此时原不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }；当a ＞1时，有a 2＞a ，∴x ＜a 或x ＞a 2，此时原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}；当a =0时，有x ≠0，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a =1时，有x ≠1，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}. 综上可知：当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为{x |x ＜a 或x ＞a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |x ＜a 2或x ＞a }；当a =0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}；当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.10. 解：（1）当a=0时，原不等式可化为-x+1<0，即x>1；（2）当a≠0时，原不等式可化为a（x-1）1⎛⎫-⎪⎝⎭xa<0，①若a<0，则原不等式可化为（x-1）1⎛⎫-⎪⎝⎭xa>0，由于1a<0，则有1a<1，故解得x<1a或x>1；②若a>0，则原不等式可化为（x-1）1⎛⎫-⎪⎝⎭xa<0，则有ⅰ.当a>1时，则有1a<1，故解得1a<x<1；ⅱ.当a=1时，则有1a=1，故此时不等式无解；ⅲ.当0<a<1时，则有1a>1，故解得1<x<1a.综上分析，得原不等式的解集为：当a<0时，解集为{x|x<1a或x>1}；当a=0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<1a }；当a=1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|1a<x<1}.。

高中数学第三章不等式 3.3 一元二次不等式及其解法练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高

3.3 一元二次不等式及其解法课时过关·能力提升1下列不等式中,解集是R的是()A.x2+2x+1>0B.√x2>0C.(13)x+1>0D.1x -2<1xx2+2x+1=(x+1)2≥0,所以选项A不正确;因为√x2=|x|≥0,所以选项B不正确;选项D中x≠0;因为(13)x>0,所以(13)x+1>1>0,x∈R,故选C.2已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}2-4ax-5a2>0⇒(x-5a)(x+a)>0.∵a<-12,∴5a<-a.∴x>-a或x<5a.故选B.3已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2},则不等式cx2+bx+a<0的解集为()A.{x|-3<x<12} B.{x|x<-3或x>12}C.{x|-2<x<13} D.{x|x<-2或x>13}:ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2}⇔3x2-5x-2<0⇔-3x2+5x+2>0.设a=-3k,b=5k,c=2k(k>0),则cx2+bx+a<0⇔2kx2+5kx-3k<0⇔2x2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A.方法二:由题意知a<0,且-x x =(-13)+2,x x =(-13)×2,即x x =-53,x x =-23,而cx 2+bx+a<0⇔x x x 2+x x x+1>0⇔-23x 2-53x+1>0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A .4设f (x )={2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f (x )>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(√10,+∞)C.(1,2)∪(√10,+∞)D.(1,2)x<2时,令2e x-1>2,解得1<x<2.当x ≥2时,令log 3(x 2-1)>2,解得x ∈(√10,+∞).故x ∈(1,2)∪(√10,+∞).★5关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1小,且另一根比1大的充要条件是()A.-1<a<1 B .a<-1或a>1 C.-2<a<1D.a<-2或a>1f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x 轴的交点的横坐标,因此只需f (1)<0,即1+a 2-1+a-2<0,故-2<a<1.6已知函数f (x )=√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R ,则实数k 的取值X 围为.2-6kx+(k+8)≥0恒成立,当k=0时,满足. 当k ≠0时,{x >0,x =(-6x )2-4x (x +8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.7已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 都满足③,则实数m 的取值X 围是.:由{x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0,解得2<x<3.③对于2<x<3恒成立,即m<-2x 2+9x 对x ∈(2,3)恒成立,所以m 只需满足小于函数-2x 2+9x 在区间(2,3)上的最小值,即当x=3时,最小值为9,但取不到最小值.所以m ≤9.方法二:{x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0⇒{1<x <32<x <4⇒2<x<3.设f (x )=2x 2-9x+m.当x ∈(2,3)时,f (x )<0恒成立. 由二次函数的图象与性质,得{x (2)≤0,x (3)≤0,即{8-18+x ≤0,18-27+x ≤0,解得m ≤9.-∞,9]8已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为.f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2-4x ,所以f (x )={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,所以原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x 或{x <0,-x 2-4x >x .由此可解得x>5或-5<x<0. 用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).-5,0)∪(5,+∞) ★9定义在(-3,3)内的奇函数f (x ),已知f (x )在其定义域内单调递减,且f (2-a )+f (1-a-a 2)>0,则实数a 的取值X 围是.f (x )为奇函数,∴f (2-a )>-f (1-a-a 2)=f (a 2+a-1). 又f (x )在(-3,3)上单调递减,∴{-3<2-x <3,-3<1-x -x 2<3,2-x <x 2+x -1,即{-1<x <5,-1-√172<x <-1+√172,x >1或x <-3.解得1<a<√17-12, 故实数a 的取值X 围为1<a<√17-12.1,√17-12) 10解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以不等式的解集是{x|x>1}.(2)当a ≠0时,原不等式可化为a (x-1)(x -1x )<0. 若a<0,则(x-1)(x -1x )>0. 因为1x <1,所以原不等式的解集为{x |x <1x 或x >1};若a>0,原不等式化为(x-1)(x -1x )<0.①当1x <1,即a>1时,不等式的解集为{x |1x<x <1}.②当1x =1,即a=1时,不等式即为(x-1)2<0,显然不等式的解集为⌀. ③当1x>1,即0<a<1时,不等式的解集为{x |1<x <1x}.综上,原不等式的解集如下:当a<0时,解集为{x |x <1x 或x >1}; 当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1x};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1x<x<1}.11设0<α<β,已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集.,得a<0,α+β=-xx >0,αβ=xx>0.∴a<0,c<0,b>0,从而a+c-b<0.设(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为α',β',则有α'+β'=2x-xx+x-x =2x+x(x+x)x+xxx+x(x+x)=(x+1)+(x+1) (x+1)(x+1)=1x+1+1x+1,α'β'=xx+x-x =xx+xxx+x(x+x)=1x+1·1x+1.∴(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为1x+1,1 x+1.∵0<α<β,∴1x+1>1x+1>0.∴不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集为(1x+1,1x+1).★12若关于x的不等式4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,某某数m的取值X围.:因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式4x+xx2-2x+3<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0对任意实数x恒成立.所以需要Δ<0,即64-8(6-m)<0.整理并解得m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).方法二:由方法一,知要使4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0恒成立即可.变形为m<2x2-8x+6.设h(x)=2x2-8x+6,要使m<2x2-8x+6恒成立,只要m<h(x)min.而h(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2, 所以h(x)min=-2.所以m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).。

高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法课后训练新人教B版必修5(2021学年)

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3。

３一元二次不等式及其解法课后训练１.下列四个不等式：①－x 2＋x+1≥０;②20x +>-;③ｘ2＋６x +１０＞0;④2x 2-3x +４<１.其中解集为R 的是______．A ．① B.② C.③ Ｄ.④2．若{ｘ｜2＜x <3}为x 2+ax ＋b <0的解集，则bx ２＋ax +１>0的解集为( ).A ．｛ｘ|x <2或x ＞３}B ．{x |２＜ｘ<3}C ．1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1132x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 3.已知不等式x 2＋ｐx +ｑ＜0的解集为｛x ｜1<x <2｝，则不等式22>056x px q x x ++--的解集是( )．A ．(1，2)Ｂ．(-∞，－1）∪(１,２)∪（6,＋∞)C ．(-1,1)∪（2，6)Ｄ．（－∞,-1）∪（6，＋∞)4．不等式f (x )=a ｘ２-x -ｃ>0的解集为｛ｘ｜-2＜x ＜1｝,则函数ｙ=f （－x )的图象为图中的( )．5.设()1232<2=log 12x e x f x x x -⎧⎨(-)≥⎩，，，，则不等式ｆ（ｘ)>2的解集为（）. A ．（1，2)∪(3，＋∞) B ．(Ｃ．D ．(1，２)６.函数1()=f x x的定义域为＿_＿_＿_． 7.设x 满足不等式组2130,5622,3x x x x (-)(-)>⎧⎪+⎨(+)<⎪⎩则点P （x ＋2,x -2）在第__＿___象限．． 8.求函数y =的定义域. 9．已知ｆ(x ）＝x -2ａｘ＋2,当x ∈［-1,＋∞)时，ｆ(x ）≥a 恒成立，求a 的取值范围．设集合A 为函数y ＝ln （-x 2－2ｘ+8)的定义域，集合B 为函数1=1y x x ++的值域，集合C 为不等式1ax a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x +4)≤0的解集，（１)求A ∩Ｂ;（２)要使C A ⊆R ,求a 的取值范围.参考答案1. 答案：C解析:①④显然不可能；②中△＝2(-->0,解集不是Ｒ;③中△=６２－４×１0＜0,∴选C ．2. 答案：D解析:由题意知，2，3是方程x 2＋ax ＋b ＝０的两根,由韦达定理，得23=23=a b +-⎧⎨⨯⎩，，解得a ＝－５,b ＝6。

数学人教B版必修5同步练习：3.3一元二次不等式及其解

3.3 一元二次不等式及其解法1．不等式x(2－x)>3的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|－3<x<1}C ．{x|x<－3或x>1}D ．∅2．不等式14x2＋2x ＋4≥0的解集为( )A ．{x|x<－4或x>4}B ．∅C ．{x|x≠－4}D ．R3．不等式ax2＋4x ＋a>1－2x2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．4．下面哪些不等式是关于x 的一元二次不等式？(1)x2>0；(2)－x －x2≤5；(3)ax2>2；(4)x3＋5x －6>0；(5)mx2－5x<0；(6)ax2＋bx ＋c>0.答案：1．D 原不等式可化为x2－2x ＋3<0.因为方程x2－2x ＋3＝0无实数解，函数y ＝x2－2x ＋3的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点，所以不等式的解集为∅.2．D 方程14x2＋2x ＋4＝0有两个相同实数解：x1＝x2＝－4.因为函数y ＝14x2＋2x ＋4的图象是开口向上的抛物线，与x 轴仅有一个公共点(－4,0)，所以不等式的解集为R.3．a>2 ax2＋4x ＋a>1－2x2对一切x ∈R 恒成立，即(a ＋2)x2＋4x ＋a －1>0对一切x ∈R 恒成立．若a ＋2＝0，显然不成立．若a ＋2≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，Δ<0. ∴a>2.4．解：(1)是；(2)是；(3)不是，因a ＝0时，不符合定义；(4)不是，因为x 的最高次数为3次，不符合定义；(5)不是，因为当m ＝0时，它为一元一次不等式；(6)不是，因为a ＝0时，不符合一元二次不等式的定义．课堂巩固1．函数y ＝x2＋x －12的定义域是( )A ．{x|x<－4或x>3}B ．{x|－4<x<3}C ．{x|x≤－4或x≥3}D ．{x|－4≤x≤3}2．(山东高考，文5)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)3．不等式x(x －1)(1－2x)>0的解集是__________．4．已知三个不等式x2－4x ＋3<0①，x2－6x ＋8<0②，2x2－9x ＋m<0③，要使同时满足①和②的所有x 都满足③，则实数m 的取值范围是__________．5．m 是什么实数时，关于x 的一元二次方程mx2－(1－m)x ＋m ＝0没有实数根？6．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝－3x2＋2x －1；(2)f(x)＝log2(x2－x ＋14)＋x2－1；(3)f(x)＝lg(x ＋4)2x2－x －1. 答案：1．C 要使函数有意义，只需x2＋x －12≥0.方程x2＋x －12＝0的解为x1＝－4，x2＝3.函数y ＝x2＋x －12的开口向上且与x 轴有两交点(－4,0)，(3,0)．∴原不等式的解集为{x|x ≤－4或x ≥3}．2.B x ⊙(x －2)＝x(x －2)＋2x ＋x －2<0⇒x2＋x －2<0⇒－2<x<1.3．{x|x<0或12<x<1} 原不等式可化为x(x －1)(x －12)<0，其解集为{x|x<0或12<x<1}．4．m ≤9 方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ＋3<0，x2－6x ＋8<0，得2<x<3.③对于2<x<3恒成立，即m<－2x2＋9x 对x ∈(2,3)恒成立，∴m 只需满足小于函数－2x2＋9x 在区间(2,3)上的最小值，即当x ＝3时，最小值为9，但取不到最小值．∴m ≤9.方法二：⎩⎪⎨⎪⎧ x2－4x ＋3<0x2－6x ＋8<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<x<32<x<4⇒2<x<3. 设f(x)＝2x2－9x ＋m ，当x ∈(2,3)时，f(x)<0恒成立．由二次函数图象与性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ f(2)≤0，f(3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋m ≤0，18－27＋m ≤0，解得m ≤9. 5．解：由Δ＝(1－m)2－4m2<0，整理，得3m2＋2m －1>0.因为方程3m2＋2m －1＝0有两个实数根－1和13，所以m<－1或m>13.所以m 的取值范围是{m|m<－1或m>13}．6．解：(1)由函数的解析式有意义，得－3x2＋2x －1≥0.因为Δ＝22－4×(－3)×(－1)＝－8<0，所以不等式的解集为∅，即函数的定义域为∅.(2)由函数的解析式有意义，得⎩⎪⎨⎪⎧ x2－x ＋14>0，x2－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠12，x ≤－1或x ≥1.因此x ≤－1或x ≥1.所以所求函数的定义域为{x|x ≤－1或x ≥1}．(3)由函数的解析式有意义，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4>0，2x2－x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x>－4，x<－12或x>1.因此－4<x<－12或x>1.故所求函数的定义域为{x|－4<x<－12或x>1}．1．不等式f(x)＝ax2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图象为()1．答案：C 由已知⎩⎨⎧ －2＋1＝1a －2×1＝－c a⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，y ＝f(－x)＝ax2＋x －c ，即y ＝－x2＋x ＋2，其图象为C. 2．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集为( ) A ．[－3，12] B ．[－12，3] C ．[12，1)∪(1,3] D ．[－12，1)∪(1,3]2．答案：D x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋5≥2(x －1)2x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2x2－5x －3≤0x ≠1⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1， ∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．3．不等式2x2＋mx ＋n>0的解集是x>3或x<－2，则二次函数y ＝2x2＋mx ＋n 的表达式是( )A ．y ＝2x2＋2x ＋12B ．y ＝2x2－2x ＋12C ．y ＝2x2＋2x －12D ．y ＝2x2－2x －123．答案：D 依题意知x ＝3或x ＝－2是方程2x2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以⎩⎨⎧3－2＝－m 2，3×(－2)＝n 2.解之，得m ＝－2，n ＝－12.故二次函数的表达式为y ＝2x2－2x －12.4．(天津高考，文8)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ＋6，x≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f(x)＞f(1)的解集是( ) A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)4．答案：A 由题意知f(1)＝3，则当x ≥0时，f(x)＞f(1)＝3，即x2－4x ＋6＞3，可解得x ＞3或0≤x ＜1；当x ＜0时，f(x)＞f(1)＝3，即x ＋6＞3，解得－3＜x ＜0.故原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A.5.不等式x2＋(a ＋b)x ＋ab<0(a<b)的解集是__________．5．答案：{x|－b<x<－a} －b ，－a 是方程x2＋(a ＋b)x ＋ab ＝0的解，又∵a－b.从而不等式的解集为－b<x<－a.6．函数f(x)＝lg 1－x x －4的定义域为__________． 6．答案：1<x<4 要使函数有意义，只需1－x x －4>0，即(1－x)(x －4)>0⇔(x －1)(x －4)<0⇔1<x<4.7．解下列不等式：(1)14－4x2≥x ；(2)(2x －1)2－(3x ＋2)2>11.7．答案：解：(1)原不等式化为4x2＋x －14≤0.因为Δ>0，方程4x2＋x －14＝0的根是x1＝－2，x2＝74，所以不等式的解集为{x|－2≤x ≤74}．(2)原不等式化为5x2＋16x ＋14<0.因为Δ<0，方程5x2＋16x ＋14＝0无实根，所以不等式的解集为∅.点评：解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)结合二次函数的图象得出不等式的解集．8．若关于x 的不等式4x ＋m x2－2x ＋3<2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 8．答案：解法一：∵x2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴不等式4x ＋m x2－2x ＋3<2同解于4x ＋m<2x2－4x ＋6，即2x2－8x ＋6－m>0.要使原不等式对任意实数x 恒成立，只要2x2－8x ＋6－m>0对任意实数x 恒成立． ∴Δ<0，即64－8(6－m)<0.整理并解得m<－2.∴实数m 的取值范围是(－∞，－2)．解法二：承接解法一，要使4x ＋m x2－2x ＋3<2对任意实数x 恒成立，只要2x2－8x ＋6－m>0恒成立即可．变形为m<2x2－8x ＋6.设h(x)＝2x2－8x ＋6，要使m<2x2－8x ＋6恒成立，只要m<h(x)min.而h(x)＝2x2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2，∴h(x)min ＝－2.∴m<－2.∴实数m 的取值范围是m<－2.点评：本题是关于含参数不等式恒成立的题目，有两种解法．解法一是针对含参数的一元二次不等式的特殊解法．解法二是分离变量法，是通法，通过分离变量，反客为主，使不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．以后做题过程中常用到两个结论：m>f(x)恒成立⇔m>f(x)max ；m<f(x)恒成立⇔m<f(x)min.9．有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满．然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，问桶的容积最大为多少？9．答案：解：设桶的容积为x 升，显然x>0，依题意，得(x －8)－4(x －8)x ≤28%·x.由于x>0，因而原不等式化简为9x2－150x ＋400≤0，即(3x －10)(3x －40)≤0.因此103≤x ≤403.所以桶的最大容积为403升．。

高中数学(人教版必修5)配套练习：3.2一元二次不等式及其解法第2课时

∴不等式的解集为 { x|m＜ x＜m＋ 1} ．解法二：注意到 m2＋m＝m(m＋ 1)，及 m＋ (m＋1)＝ 2m＋ 1，
可先因式分解，化为 (x－m)(x－ m－ 1)＜ 0，
∵m＜m＋ 1，∴ m＜ x＜ m＋ 1.
∴不等式的解集为 { x|m<x<m＋ 1} ． 8．若集合 A＝ { x|ax2－ax＋ 1<0} ＝ ?，则实数 a 的取值范围是 ________． [答案 ] 0<a≤ 4
当 a＝ 0 时，原不等式的解集为 { x|x≠ 0} ；
当 a＝ 1 时，原不等式的解集为 { x|x≠ 1}.
一、选择题
1．若 f (x)＝－ x2＋mx－ 1 的函数值有正值，则 m 的取值范围是 (
)
A ． m＜－ 2 或 m＞2
B ．－ 2＜ m＜ 2
C． m≠ ±2
D ．1＜m＜3
2
(2)当 0<a<1 时， a <a， ∴原不等的解为 x>a 或 x<a2. (3)当 a＝ 0 时，原不等式为 x2>0，∴ x≠ 0. (4)当 a＝ 1 时，原不等式为 ( x－ 1)2>0，∴ x≠ 1.
综上可知：当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为 { x|x<a 或 x>a2} ；当 0< a<1 时，原不等式的解集为 { x|x<a2 或 x>a} ；
)
A ． { x|x<2 或 xБайду номын сангаас3} 11
C． { x|3<x<2}
B ． { x|2<x<3} D ． { x|x<13或 x>12}

人教版高中数学必修5同步练习,一元二次不等式及其解法(二)

人教版高中数学同步练习§3.2 一元二次不等式及其解法(二)【课时目标】1．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式． 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1．一元二次不等式的解集：(1)f (x )g (x )>0⇔f (x )·g (x )>0； (2)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≤0g (x )≠0； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 3．处理不等式恒成立问题的常用方法： (1)一元二次不等式恒成立的情况：ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a >0Δ<0；ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔a >f (x )max ； a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔a <f (x )min .一、选择题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( )A ．(－3,2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 答案 C解析解不等式x －2x ＋3>0得，x >2或x <－3.2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≤－2或x ＝1} 答案 C解析当x ＝－2时，0≥0成立．当x >－2时，原不等式变为x －1≥0，即x ≥1. ∴不等式的解集为{x |x ≥1或x ＝－2}．3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( )A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2. ∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．4．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]答案 D解析 x ＋5(x －1)2≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2(x －1)2x －1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤3，x ≠1，∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析解不等式(x －1)2<3x ＋7，然后求交集．由(x －1)2<3x ＋7，得－1<x <6，∴集合A 为{x |－1<x <6}，∴A ∩Z 的元素有0,1,2,3,4,5，共6个元素．6．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >2 答案 B解析设g (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，g (a )>0恒成立且a ∈[－1,1]⇔⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝x 2－3x ＋2>0g (－1)＝x 2－5x ＋6>0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >2x <2或x >3⇔x <1或x >3. 二、填空题7．若关于x 的不等式x －a x ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________.答案 4解析 x －a x ＋1>0⇔(x ＋1)(x －a )>0⇔(x ＋1)(x －4)>0 ∴a ＝4.8．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥1解析 ∵Δ＝4－4a ≤0，∴a ≥1.9．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )<0的解集可用P 、Q 表示为________．答案 P ∩∁I Q解析 ∵g (x )≥0的解集为Q ，所以g (x )<0的解集为∁I Q ，因此⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )<0的解集为P ∩∁I Q .10．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．答案 0≤a ≤4解析 a ＝0时，A ＝∅；当a ≠0时，A ＝∅⇔ax 2－ax ＋1≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ≤0⇔0<a ≤4，综上所述，实数a 的取值范围为0≤a ≤4. 三、解答题11．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t %征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t 万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t %应在什么范围内变动？解由题意可列不等式如下： ⎝⎛⎭⎫20－52t ·24 000·t %≥9 000⇔3≤t ≤5. 所以t %应控制在3%到5%范围内．12．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．解由x 2－x －2>0，可得x <－1或x >2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的整数解的集合为{－2}，方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52，①若－k <－52，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}；②若－52<－k ，则应有－2<－k ≤3，∴－3≤k <2.综上，所求的k 的取值范围为－3≤k <2. 【能力提升】13．已知x 1、x 2是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0(k ∈R )的两个实数根，则x 21＋x 22的最大值为( )A ．18B ．19 C.509D ．不存在答案 A解析由已知方程有两实数根得，Δ≥0，即(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.解得－4≤k ≤－43，又x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝－(k ＋5)2＋19，∴当k ＝－4时，x 21＋x 22有最大值，最大值为18.14．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．解 (1)不等式化为(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )的图象是一条直线．又∵|p |≤2，∴－2≤p ≤2，于是得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)·(－2)＋x 2－2x ＋1>0，(x －1)·2＋x 2－2x ＋1>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0. ∴x >3或x <－1. 故x 的取值范围是x >3或x <－1.(2)不等式可化为(x －1)p >－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1>0.∴p >－x 2＋2x －1x －1＝1－x .由于不等式当2≤x ≤4时恒成立， ∴p >(1－x )max .而2≤x ≤4， ∴(1－x )max ＝－1，于是p >－1. 故p 的取值范围是p >－1.1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．若不等式含有等号时，分母不为零．2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a >f (x )恒成立⇔a >f (x )max ；(2)a <f (x )恒成立⇔a <f (x )min .。