10-球函数
第六章——地球重力场模型
第六章 地球重力场模型随着空间技术的进步和发展，现在不但有可能根据卫星轨道根数的变化精确地确定地球动力形状因子2J ，而且有可能结合卫星测高仪、卫星追踪卫星技术、卫星重力梯度仪等空间技术的测量结果以及地面重力测量结果计算出地球大地位球函数展开的高阶项系数。
以一组数值球函数展开系数表示的地球大地位称为地球重力场模型，地球重力场模型一方面支持卫星轨道的精确计算，另一方面可以给出地面上的长波重力异常场，为研究地球内部结构及其动力学过程提供重要的地面约束条件。
6.1 大地位的球函数展开现将第二章已经讨论过的大地位球函数展开中的有关公式汇总如下。
用r 表示地球外部空间任一点P 的径矢，则根据（2.2.18）式，地球在P 点的大地位球函数展开表示为其中kM 为地球的地心引力常数，a 为地球的赤道半径，θ、λ分别为P 点的地心余纬和经度，(cos )mn P θ为cos θ的n 阶m 次伴随勒让德多项式，(cos )cos mn P m θλ、(cos )sin mn P m θλ为归一化的n 阶m 次球面函数，根据（2.2-1.3）式、（2.2-1.6）式和（2.2-1.8）式，()n P x 、()n P x 、()mn P x 、()mn P x 分别为m n c 、m n s 和mn c 、mn s 分别为大地位球函数展开系数和规一化的大地位球函数展开系数，根据（2.2.20）式，有根据（2.3.4）式、（2.3.5）式，大地位二阶球函数展开系数等于其中A 、B 、C 分别为地球绕1Ox 、2Ox 和其旋转轴3Ox 轴的转动惯量，12I 、23I 、13I 分别为地球绕相应轴的惯性积，大地位球函数展开有时写成下面的形式nm J 、nm K 与大地位球函数展开系数m n c 、m n s 之间的关系为2J 称为地球的动力形状因子。
当3n 时，()n P x 、()mn P x 的表达式如表6.1.1所示。
球函数
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
球函数及其性质
(三)勒让得函数
为了解决方程的两个幕级数解在(-1,1)中有界而在x=士1时 均无界的矛盾，令 的值为n(n+1)，其中n为大于等于零 的整数，则系数的递推公式变为:
由这个递推公式,使那两个无穷级数中有一个变为多项式。当n为 偶数时, 变为多项式， 仍为无穷级数，当n为奇数时， 仍为无穷级数， 变为多项式。两个多项式都在[一1,1]中有界， 两个无穷级数则都在(一1,1)中有界，在x=士1时无界。因而勒 让得方程在[一1,1]中有界条件下的特征值是n(n十1)，对应的特 征函数为相应的多项式。
球函数的几何意义
球函数的几何意义
球函数的几何意义
球函数的规格化
Pnk (cos )
2(
2n 1)(
k( n
n k
k )!
)! Pnk (cos
)
Ank
Ank
nk
பைடு நூலகம்
Bnk
Bnk
nk
球函数的规格化
nk qnk ( 2n 1)
qnk
2( n k )!
图 4-1
将
用于该微六面体，得
其中r为微六面体的体积,i=1,2,…,6表示微六面体 的6个面。 表示 在第i个面上的值，i为第i 个面的面积。
在AEHD上，n与p增加的方向反向，所以有
该面的面积为
，所以
所以有，
在AEFB上，n的方向与增加的方向相反，由于沿增加方
向的线元长度为d，所以，
同理有，
所以有，
在ABCD上，n的方向与增加的方向相反，由于沿增加 方向的线元长度为 sin d ，所以
Chap._10 球函数
d l 1 2 d d l -2 2 l l 1 dx l 1 ( x 1) dx dx l-2 ( x 1) dx
分部积分l次
( 1)l N l2 2 l 2 (l! ) 2 ( 1)l 2l 2 (l! ) 2
1
d l 1 2 d l 1 2 ( x 1)l l 1 ( x 1)l dx 1 dx l 1 dx
4
利用
(k 2)(k 1) ak ak 2 (k l )(k l 1)
k (k 1) ak 2 ak , (k l 2)(k l 1)
l (l 1) l (l 1) (2l )! al 2 al l 2 2(2l 1) ( 2)(2l 1) 2 (l! ) 1 (2l )! (2l 2)! 1 l ( 1) l , ( 2)(2l 1) 2 (l 1)!(l 2)!l 2 (l 1)!(l 2)!
2
2 i i( ) 2
x x 1e
将此代入积分表式
x x 1e
2
i
13
1 1 Pl ( x ) 2i 2l 1 2 1 2 1 2
2
x x 2 1ei 1
2
x 1
2 2 i
l
l 1
2 N l Pl ( x) dx , (l 0,1,2,) 1 2l 1
1 2
18
用
l 1 dl 2 x 1 Pl ( x ) l l 2 l! dx
1 2 N l 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2
第四讲下球坐标中的分离变量法
一、球坐标系中拉普拉斯方程旳分离变量
2u 0
1 r2
r 2 r
u r
1
r 2 sin
sin
u
1
r 2 sin 2
2u
2
0
2024/10/1
1
z
z
z
r
O
y
O
y
x
x
柱坐标系
球坐标系
2024/10/1
2
分离变量
ur, , RrY ,
1 R
x2 1 l
l 0,1,2,; m 0,1,2,,l
假如问题具有轴对称，可选z轴为对称 轴，则问题与无关，本征函数简化为 勒让德函数：
2024/10/1
Pl
x
1 2l l!
dl dxl
x2 1 l
l=0,1,2,…
7
二、球函数
Y ,
Clm Pl m cos eim
l 0,1,2,; m 0,1,2,,l
29
2、根据对称性得通解形式
u2 Alrl Blr l1 Pl cos
l
3、根据边界条件求系数
u0, 有限
Bl 0
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30
利用勒让德函数旳正交归一性，递 推公式，最终得解
ur ,
u0 2
5u0 8r02
P2 cos
u0
1 n!
4n
1
2n 2n
3! ! 2! !
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23
z
r
O
x
球坐标系
cos有关点=/2为点对称， 故cos恰好是从[0, /2]到[0, ]旳奇延拓
第16讲球函数-勒让德函数
数学物理方法第十章球函数参考教材：梁昆淼《数学物理方法》（第四版）球函数♦轴对称问题和勒让德多项式♦转动对称问题和连带勒让德函数♦一般问题和球函数♦本章小结轴对称问题和勒让德多项式♦轴对称拉普拉斯方程的求解♦勒让德多项式♦勒让德多项式的母函数和递推公式♦勒让德多项式的性质♦勒让德多项式的应用轴对称拉普拉斯方程的求解0=∆u 0)1()''(2=+−R l l R r 0)1('2"2=+−+R l l rR R rΘΘ=Θ++Θ有界)(),0(0sin )1()''(sin πθθl l±Θ=Θ++Θ−有界)1(0)1(]'')1[(2l l x θcos =x )(|θf u a r ==1−−+=l l l l rB r A R )(x P l =Θ∑∞==)(cos )(l l l P r R u θ∑∞==)(cos )()(l l l P a R f θθ勒让德多项式♦定义♦一般表示♦具体形式♦级数表示♦微分表示♦积分表示的本征函数有界刘问题—斯±Θ=Θ++Θ−)1(0)1(]'')1[(2l l x ∑−−−−−=kl l k l xk l k l k k l x P 2)!2()!(!2)!22()1()(l lll lx dx d l x P )1(!21)(2−=∫+−−=dz x z z i x P l lll 12)()1(2121)(π♦代数表达式♦图象勒让德多项式的代数表达式)92cos 204cos 35()33035()()cos 33cos 5()35()()12cos 3()13()(cos )(1)(6412481481321341221210++=+−=+=−=+=−====θθθθθθx x x P x x x P x x P x x P x P llll k l l kl x dxd l x k l k l k k l x P )1(!21)!2()!(!2)!22()1()(22−=−−−−=∑−勒让德多项式的图象勒让德多项式的图象母函数和递推公式♦母函数–定义：u(x, r) =∑ P l (x) r l–形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2–推导–应用♦递推公式–基本递推公式–证明–应用母函数的推导∑∞=)(),(ll rx P r x u ∑∫∞+−−=12)()1(2121),(lCl l lrdz x z z i r x u π∑∫∞−−−=2)(2)1(21ll l l Cx z r z xz dz iπ)(2)1(11221x z r z Cxz dz i−−−∫−=πr z x z dziC)1()(21221−−−=∫π2211|11221r xr zri i z z +−=−=−=ππ)211(12r xr rz +−±=±奇点：母函数的应用2211)(),(r rx r x P r x u ll +−==∑∞1)1(11)1(),1(00=⇒=−==∑∑∞∞l l ll P r rr P r u ll l l ll P r rr P r u )1()1()1(11)1(),1(00−=−⇒−=+=−=−∑∑∞∞∑∑∞∞−−=+==22!)!2(!)!12()1(11)0(),0(kkll rk k rr P r u+===⇒−−12,02,)0(!)!2(!)!12()1(k l k l P k k l k 1!)!1(!!0)12(531!)!12()2(642!)!2(=−=−⋅⋅=−⋅⋅=k k k k基本递推公式)()()12()()1(11x kP x xP k x P k k k k −+−+=+)(')()1()('1x xP x P k x P k k k ++=+)(')(')(1x P x xP x kP k k k −−=)()()(')1(12x kP x kxP x P x k k k −−=−0)(0=<x P k递推公式的证明20211)(),(rrx r x P r x u ll +−==∑∞2/3201)21()(),(r rx r x rl x P r x u l l r +−−==∑∞−∑∑∞−∞+−=+−+−−=−0122/3220)()21()21()21)()()(l l ll r l x P r rx r rx r rx r x r x P r x （[][]∑∑∞+−∞++−=−01112l l l l l ll l llr P l r lxP rP l rP rxP 111)1(2)1(−+−−+−+=−k k k k k P k kxP P k P xP 0)12()1(11=++−+−+k k k P k xP k P k递推公式的应用)()()12()()1(11x kP x xP k x P k k k k −+−+=+xx xP x P k =−=⇒=0)()(00113)()(3)(212012−=−=⇒=x x P x xP x P k x x x P x xP x P k 293215123)(2)(5)(32−=−=⇒=勒让德多项式的性质♦奇偶性P l(-x) = (-1)l P l(x)♦零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。
chapt10-_球谐函数(4学时)解析
x cos 和 y( x) ( x)
把自变数从 换为
x ，则方程（10.1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
2018/10/16 Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
2 2 d y d y m 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y0 2 dx dx 1 x
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
3.勒让德多项式的积分表示 根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
f
(l )
l! ( z) 2πi
f ( ) C ( z)l 1 d
( 2 1)l C ( x)l 1 dx
l 2n l 2n 1 ( n 0,1,2, )
l 2, 式中 [l 2] (l 1) 2,
上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x ) 为 l 阶勒让德多项式． 也称为第一类勒让德函数．
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
2018/10/16
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
2 d R dR （10.1.1） 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr R( r ) Ar l Br ( l 1)
Pn ( x) 的零点互相分离．
Pl ( x) (1)l Pl ( x)
数学物理方法--球函数
23
由边界条件知:解为一般的球函数
u(r,,)
rl[ Alm cos m Blm sin m]Plm (cos )
m0 lm
m0
lm
1 r (l1)
[Cl m
cos
m
Dl m
sin
m ]Pl m
(cos
)
1 由于解在内部有限,所以含
xl 2k
4
微分表示
Pl ( x)
1 2l l!
dl dxl
(x2
1)l
展开 1
2l l
!
(
x
2
1)l
1 2l l !
l k 0
(l
l! k )!k
( x2 )(l k ) (1)k !
再求导L次可得
积分表示
Pl ( x)
1
2i
1 2l
( z 2 1)l ( z x)l 1
R Al rl Bl rl1
f ( ) l0 Rl (a)Pl (cos )
u l0 Rl (r)Pl (cos )
11
例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 u0 cos， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
u 0, r a, / 2
任取其一,
表示线性独立,l称为函数的阶Y
二. 球函数的性质
正交性
S
Yl mYknd
n,m l ,k
(
N
m l
)2
d S
2
d
chapt10- 球谐函数(4学时)
(n l ) (n l )
当 n l 时满足
1
1
Pn ( x)Pl ( x) dx 0 ，
(10.2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl
1
1
Pl ( x)dx
2
2 2l 1
(l 0,1, 2,)
(10.2.4)
2012-6-3
Chang-Kui Duan, Institute of Modern Physics, CUPT
例10.2.3 以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把
f ( x) 2 x 3x 4
3
展开为广义傅里叶级数．
【解】 本例不必应用一般公式 ，事实上， f ( x) 是三次多项式（注意 设它表示为
2 x 3 x 4 Cn Pn ( x)
3 n 0 3
f ( x) 既非奇函数，也非偶函数），
（10.1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
2012-6-3
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3.勒让德多项式的积分表示 根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
f
(l )
( z)
2πi
C1
C3 7
3
2
1 1
1
1
x P1 ( x)dx
3
3
2
1 1
1
1
x xdx
3
3 5
2 5
2
3
x P3 ( x)dx
3
7
球体的函数
球体的函数什么是球体？它是一种拥有六个平面的立体几何形状，并且它的每一条边都相等。
它是一个完美的立体形状，由于它的六个面都是完全相同的，所以它又称为“正六面体”。
在数学中，我们用函数来描述球体的特征，这就是我们今天要介绍的。
首先，我们介绍球面的参数方程。
球面是一种几何特征，它可以用一种简洁的方法表示：f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2=R^2其中，R是球心到表面的距离，也就是球半径，x，y，z分别是坐标轴上的三个坐标值。
这个方程也可以表示为：g(x,y,z)=(x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=p^2其中，h，k，l分别是球心的坐标值，p是球半径。
把这两个方程结合在一起，就可以得出球面的参数方程：(x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=R^2接下来，我们介绍球面的积分形式。
任何空间图形都可以用曲面积分的方式表示，即在图形的上面绕行若干路线，然后把每条路线上的面积加起来，就可以得出这个图形的整体面积（或者说体积）。
在数学中，球面的上面有无数条轨道，我们用极坐标的方式来描述这些轨道：φ=arctan(y/x),θ=arccos(z/R)把这两个极坐标带入到球面的参数方程中，可以得出积分形式： F=∫∫θ=0~2π,φ=0~π((h+Rcosφcosθ)^2+(k+Rsinφcosθ)^2+(l+Rsinθ)^2)dφdθ这个积分式表示了球面上所有路线的面积之和，也就是球面的整体面积。
最后，我们来介绍一下球面上的距离函数。
球面上任意两点之间的距离是球面上最重要的一个概念，它可以用以下方程表示：L=Rarccos((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z3-z1)^2)其中，r是球半径，x1，y1，z1分别是两点的三维坐标，可以用它来计算球面上任意两点之间的距离。
通过以上的介绍，我们已经了解了球体的函数。
从球面的参数方程到距离函数，它们均可以用数学的方式表达出来。
球体是一种完美的几何形状，由于它的完美和平衡，如此简单的几个函数就能够描述它的全部特征。
第10章_球函数
2
球坐标系中
u 0
1 Y 1 Y (sin ) 2 l (l 1)Y 0 球函数方程 2 sin sin
Y ( , ) [ A cos(m ) B sin(m )] ( )
式中 x cos
2 2 m d d 连带勒让德 (1 x 2 ) 2 2 x ] 0 [l (l 1) 方程 dx dx 1 x2
(2l 4)! (l 2)(l 3) 2 al 2 (1) l 2!2 (l 2)!(l 4)! (4)(2l 3)
al 4
al 6
(2l 6)! (l 4)(l 5) 3 al 4 (1) l 3!2 (l 3)!(l 6)! (6)(2l 5)
(一) 勒让德多项式 (1) 勒让德多项式的具体表达式 勒让德方程的级数解： y ( x)
a x
k 0 k
k
[l (l 1) 2] l (l 1) a3 a1 a2 a0 3 2 2 1 l (l 1) k (k 1) ak 2 ak (k 2)(k 1)
l n 0,1, 2, ,[ ] 2
[l/2]表示不超过 l/2的最大整数
l [ ] 2
l
l/2
(l 1) / 2
k
[ l /2]
(l 为偶数) (l 为奇数)
k
(2l 2k )! l 2 k x Pl ( x) ak x (1) l 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0 k 0
l
11
1 d 1 d l 2 ( x 1) l l l l 2 l ! dx 2 l ! dx
数学物理方法课件 第十二章-球函数 -2
§12.3 勒让德多项式的应用举例勒让德多项式在物理学领域中的应用：电磁学：计算静电场分布；热学：计算温度场分布；量子力学：计算粒子的波函数；量子力学计算粒子的波函数原子分子物理：计算原子分子的碰撞截面；等离子体物理：计算电子的能量分布函数；等离子体物理计算电子的能量分布函数核物理：计算中子输运；……如下仅讨论勒让德函数在计算静电场分布中的应用。
思考题：一个半径为r=a 的导体球壳，球面上的电势分布：0 0/2(,)u u a θπθ<<⎧=⎨−求球壳内任一点的电势分布。
0 /2u πθπ<<⎩例3 设一个半径为a 的均匀介质球，其介电常数为ε 。
在离球心为 b 的地方放置个电量为求在介质球内外的电势分布方放置一个电量为q 的点电荷( b>a )。
求在介质球内外的电势分布。
rθ分析：（1）取介质球的球心为坐标原点，z 轴通过点电荷所在的位置见右图显然该问ozbq a通过点电荷所在的位置，见右图。
显然该问题具有轴对称性，与方位角度无关，即具有轴对称性。
（2）点电荷的存在将在球面上产生极化电荷，但这种极化电荷只存在球面上，因此极化电荷产生的电势满足拉普拉斯方程：)()()∞⎧2(,)0p u r θ∇=01(,(cos l p l l l l u r A r P r a θθ=∞−−=<⎪⎪⎨⎪=∑0(,)(cos )()p l ll u r D r P r a θθ=>⎪⎩∑1. 球函数的定义：实数形式的球函数：⎧cos (,)(cos ) (0,1,2,3,...,;0,1,2,3,...)sin mml l m Y P m l l m ϕθϕθϕ⎫===⎨⎬⎩⎭记号{}表示列举的函数式是线性独立的，可以任取其一。
记号{ } 表示列举的函数式是线性独立的，可以任取其。
||(,)(cos ) (0,1,2,3,...,;0,1,2,3,...)m m im l l Y P e m l l ϕθϕθ==±±±±=复数形式的球函数：可见：对于给定的l 值，共有2l+1个线性无关的球函数。
10.3球函数
m
（2）复数形式的球函数： 线性独立的l阶球函数共有2l＋1个， 对应m 0, 有一个球函数Pl (cos ) Pl m (cos ) sin m m 1, 2,...l , 有2个球函数： m P l (cos ) cos m cos m i sin m eim 由欧拉公式， cos m i sin m e im m l , l 1,...0,1, 2,...l 可重新组合为：Yl m ( , ) Pl |m| (cos )eim , l 0,1, 2,3... | m | 表示m既可取正整数，也可取负整数
[Clm cos m Dlm sin m ]Pl m (cos )
m l ,当m l的项为零 l m，l m, m 1, m 2,...
例：半径为r0的球形区域内部没有电荷，球面上的电势为 u0 sin 2 cos sin , u0为常数，求球形区域内部的电势分布。 解：这是静电场电势分布问题
m
u 0在球坐标下的解为：ul ,m (Cl r l Dl
1
l 1
)Y ( , )
l 称为球函数的阶。
一般情况下，球函数方程的分离变数形式的解为 sin m m 0,1, 2,...l Y ( , ) Pl (cos ) ， cos m l 0,1, 2,3...
10. 球函数
∫+1
−1 Pk (x)Pl (x)dx = 0,
(k ≠ l)
∫π 0
Pk (cosθ )Pl (cosθ ) sinθdθ
=
0.
带权的正交
(k ≠ l)
• （三）勒让德多项式的模：
∫ Nl2 =
+1
[
−1
Pl
(x)]2 dx
=
2. 2l +1
• 利用罗德里格斯公式，并采用分部积分的办法可 以证明上式成立。p280
我们发现对于奇数和偶数次幂的级数解只有一个能满足自然边界条件的解它要求?必须为整数从而使无穷级数截断为有限阶称作?阶勒让德多项式
第十章 球函数
• §10.1 轴对称球函数 • §10.2 连带勒让德函数 • §10.3 球谐函数
• 球函数方程：
1
sin θ
∂
∂θ
⎜⎛ sin θ
⎝
∂Y
∂θ
⎟⎞ + ⎠
§10.2 连带勒让德函数
• （一）连带勒让德的函数满足的方程(m≠0)：
(1
−
x2
)
d 2Θ dx 2
−
2x
dΘ dx
+
[l(l
+
1)
−
m2 1− x2
]Θ
=
0.
• A. x0=0是方程的常点，可以用常点的级数解法。首先做变 换Θ=(1-x2)m/2y(x)，方程变为：
(1-x2)y’’-2(m+1)xy’+[ℓ(ℓ+1)-m(m+1)]y=0.
1
sin2 θ
∂ 2Y
∂ϕ 2
+ l(l
数学物理方法课件-11 球函数
2
2
又
f ( ,) Am ( ) cosm Bm ( ) sin m m＝0
Am
(
)
1
m
2
f ( ,) cosmd
0
Bm
(
)
1
2 0
f ( ,) sin md
易判断，Bm ( ) 0，且m 0或2.
故
f ( ,) Am ( ) cosm
m0，2
比较知
m
0时，A0 (
)
3 2
sin 2
Pl
(x)
1
2
2 3
xi
2
l
1 x2 cos d ( )
1 2
3
2
xi
2
l
1 x2 cos d
1
2
0
2
0
3
2
1
2
0
1
2
0
2
1
3 2
2
1
xi
1 x2 cos
l
d
1
l
2 x i 1 x2 cos d
2 0
2 0
1
l
2 x i 1 x2 cos d ( )
x2)
(m
2) x 2
v
代入连带勒让德方程得
(1
x
2
)
m 2
1
v
2mx(1
m
x2) 2
v
m(1
x
2
)
m 2
1
(1
x2)
(m
2) x 2
v
2 x(1
x2
)
m 2
v
2010弹性力学-第十章
εr = εr (r, z); εθ = εθ (r, z); εz = εz (r, z);
γ rθ = 0;
σr = σr (r, z); σθ = σθ (r, z); σ z = σz (r, z);
z
O θ
r
y
（3）剪应变： ）剪应变：
γ zθ = 0;
τ zθ = 0;
γ zr ≠ 0
τ zr ≠ 0
§10-2 位移场的势函数分解式 10根据Helmholtz定理，一个任意的位移场可以分解为一部分 没有转动的无旋位移场，另一部分为没有体积变化的等容 位移场
U = U1 + U 2
无旋位移场
等容位移场
∇ × U1 = 0 U1 = ∇ Φ
标量势函数
θ = ∇ ⋅ U2 = 0
U2 = ∇ × ψ
—— 切向位移 O ϕ x
θ
M R y
∂uR duR εR = = ∂R dR
uR εT = R
所有剪应变均为零。 所有剪应变均为零。 应力： 应力： 径向应力
—— 切向应变
球坐标系
σR =σR (R) 所有剪应力均为零。 所有剪应力均为零。 切向应力 σ = σ (R) T T 球对称问题的未知量： 球对称问题的未知量： σ R ,σT , εR , εT , uR
σr τrz
P
C Z
r
τ zr
∂τrz σzτrz + ∂r dr dr
A
Kr
∂σr σr + dr ∂r
r
∑F = 0,
z
∂τ rz ∂σ z rdrdθdz rdrdzdθ + ∂r ∂z +τrzdrdzdθ + Zrdrdzdθ = 0
球体函数公式
探索球体函数的奥秘
球体函数是描述三维球体上每一点属性的函数，它在数学、物
理、计算机图形学等领域中广泛应用。
球体函数最常用的公式为：f(x, y,z)=r，其中r为常数，表示球体的半径。
不同的球体函数需要满足不同的性质，下面我们就来探索一下球体函数的奥秘。
首先，球体函数与球面坐标系有密切关系，经常被用于描述球面
上的点的坐标。
例如，我们可以通过球体函数f(x,y,z)=x^2+y^2 +z^2的值来确定球面上每一点的距离R。
又如，我们可以通过球体函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1的零点，来确定单位球面上的
点的坐标。
其次，球体函数在物理学中也有广泛的应用，例如在描述天体的
引力场、地球的地质构造等方面。
在计算机图形学中，球体函数可以
被用来生成三维模型。
我们可以通过球体函数f(x,y,z)=max(1-R^2, 0)来实现球体的形状变换，例如对球体进行挤压、拉伸等变形操作。
最后，掌握了球体函数的知识，我们可以通过计算机编程语言来
实现球体函数的绘制、变换、切割等操作。
我们可以通过OpenGL、Unity等开发工具，来实现球体函数的可视化效果。
唯有掌握了球体函数的奥秘，我们才能在各个领域都发挥出它的重要作用。
保龄球函数表格
保龄球函数表格
保龄球函数表格是用来记录保龄球比赛中的得分和统计数据的表格。
它通常包括以下列：
1. 球员编号：每位球员在比赛中被分配的唯一编号。
2. 球员姓名：每位球员的姓名。
3. 比赛轮次：比赛中的轮次编号，通常从第一轮开始。
4. 第一球得分：每轮比赛中第一球击倒的瓶数。
5. 第二球得分：每轮比赛中第二球击倒的瓶数。
6. 第三球得分：（仅限于第十轮）第十轮比赛中第三球击倒的瓶数。
7. 总得分：每轮比赛结束时球员的总得分。
保龄球函数表格可以帮助球员和观众追踪比赛进展，了解每位球员的得分情况，并进行统计分析。
同时，它也有助于记录历史比赛数据，用于参考和比较不同比赛之间的成绩。
球汉克尔函数
球汉克尔函数球汉克尔函数（球谐函数）是一类重要的数学函数，广泛应用于物理学和数学领域。
它们在描述球对称问题和球面上的各向同性问题中起着重要作用。
球汉克尔函数不仅具有丰富的数学性质，还具有深远的物理意义。
球汉克尔函数的定义是通过解球面拉普拉斯方程得出的。
该方程是一个二阶偏微分方程，描述了球对称问题中的波动现象。
球汉克尔函数的解具有球对称性，即在球面上的取值只与球心到该点的距离有关，与方向无关。
这使得球汉克尔函数在描述球对称问题时非常方便。
球汉克尔函数的性质非常丰富。
它们是一组正交归一的函数集合，可以用来展开任意球面上的函数。
这种展开形式在物理学中有广泛的应用，例如在电磁学中描述球对称电场、磁场分布，以及在量子力学中描述球对称势场中的粒子行为等。
球汉克尔函数还具有良好的连续性和可微性，这使得它们在数学计算中非常方便。
球汉克尔函数的数学性质也使其在实际问题中具有广泛的应用价值。
例如，在球面上的热传导问题中，可以利用球汉克尔函数的展开形式，将问题转化为一系列一维热传导问题的求解。
在地球物理学中，球汉克尔函数可以用来描述地球内部的地震波传播现象。
此外，球汉克尔函数还在图像处理、信号处理、声学等领域中有重要的应用。
球汉克尔函数的计算通常需要使用数值方法，例如级数展开、递推关系等。
由于球汉克尔函数的性质较复杂，计算过程相对繁琐。
因此，研究人员一直在探索更高效的计算方法，以提高计算效率和精度。
球汉克尔函数作为一类重要的数学函数，应用广泛，具有丰富的数学性质和物理意义。
它们在描述球对称问题和球面上的各向同性问题中起着重要作用，并在物理学、数学和工程学等领域中有着广泛的应用。
通过深入研究和应用球汉克尔函数，我们可以更好地理解和解决现实生活中的问题，推动科学技术的发展。
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1
π
l
0
即：
Pl ( x) =
1
π
1
[cos θ + i sin θ cosψ ] l dψ ∫0
π
——Laplace 积分
| Pl ( x) |≤ = 1
π
0
∫ (cos π
(cos θ + i sin θ cosψ ) l dψ π ∫0
2 2 2 l/2
π
θ + sin θ cos ψ ) dψ ≤ 1
[l / 2 ]
e 多项式的积分表示 ） 由柯西公式p30(2.4.7) 由柯西公式 n! f (ξ ) (n) f ( z) = ∫l (ξ − z ) n+1 dξ 2πi (10.1.7)可表为路积分 可表为路积分
1 dl 2 1 l! ( z 2 − 1) l Pl ( x) = l ( x − 1) l = l l ∫C ( z − x) l +1 dz 2 l! dx 2 l! 2πi
z = x + 1 − x 2 eiϕ = x + x 2 − 1e = x + x − 1e
2 iψ
1− x
i(ϕ + ) 2
2
y
z=x+ρeiϕ z •x •1 c
π
o
( z − 1) ∫C ( z − x )l +1 dz
2 l
θ
ϕ
x
代入积分 P ( x ) = 1 1 l 表示式 2πi 2 l
7
1
Legendre多项式曲线 多项式曲线
P0(x)
0 .6
P 3(x) P3 (x)
P 4 (x) P4(x)
0 .2 Legendre
-0 .2
-0 .6
P1(x) P 1 (x)
-1 -1
P (x) P22 (x )
P5(x)) P 5 (x
-0 .5
0 x
0 .5
1
对称性关系:
P (−x) = (−1)l P (x) l l
求导l次 求导 次, 2l-2k<l 的 项在求导l 项在求导 次后零, 次后零 只需保留 2l-2k ≥l即 即 k ≤ l/2 的 项
1 dl 2 Pl ( x) = l x −1 l 2 l! dx
(
)
l
(10.1.7)
∑ (−1) x k!(l − k )! 2 l! dx 2 l! dx k =0 [l / 2 ] (−1) k (2l − 2k )(2l − 2k − 1) ⋯[2l − 2k − (l − 1)] 2l − 2 k −l =∑ x l 2 k!(l − k )! k =0
一般形式： 一般形式：
Ql ( x) = 1 1+ x Pl ( x) ln + 2 1− x [ l −1 ] l −1− 2 k 1 2 k (−1) n +1 (2l − 2n)! ⋅ x l ∑ ∑ 2 k =0 n =0 (2k − 2n + 1) n!(l − n)!(l − 2n)!
l l
( x − 1) =
l
l
(−1) k (2l − 2k )(2l − 2k − 1) ⋯[l − 2k + 1] l − 2 k =∑ x l 2 k!(l − k )! k =0 (−1) k (2l − 2k )! =∑ l x l − 2 k = Pl ( x) k = 0 2 k!(l − k )!(l − 2k )!
1 1 Pl ( x) = 2πi 2l 1 = 2π 1 = 2π
π
2
∫π
−
π
x + x 2 − 1eiψ
(
(
x2 −1
iψ
)
)
2
l +1
(e )
2
− 1
l
iψ l +1
[ x − 1e
2
iψ
idψ
] ] dψ
l
x + 2 x x − 1e + x − 1 e ∫−π 2 x 2 − 1eiψ
普遍理论
∫
2x dx 2 1− x
(10.1.12)
—称为 第二类 Legendre 函数 称为 函数(p226)。 。
d 2w dw + p( z ) + q( z ) w = 0 ，若已求出 w1(z) ， 对二阶常微分方程 2 dz dz
1 总可以通过积分 w2 ( z ) = Aw1 ( z ) ∫ exp− ∫ p(ξ )dξ dz 2 [ w1 ( z )] z z
6
注意到 x=cosθ, 由(10.1.4)可方便求出前5个Legendre多项式 前 个 多项式
P0 ( x) = 1 P ( x) = x = cos θ 1 1 2 1 P2 ( x) = (3x − 1) = (3cos 2θ + 1) 2 4 1 3 1 P3 ( x) = (5x − 3x) = (5cos3θ + 3cos θ ) 2 8 1 1 4 2 P4 ( x) = (35x − 30 x + 3) = (35cos 4θ + 20cos 2θ + 9) 8 64 ⋯
显然， 显然，有
Pl ( ±1) = ( ±1)l
13
（二）第二类 Legendre 函数
为零或正整数， 当 l 为零或正整数，Legendre 方程的另一个线性独 立解（利用朗斯基行列式）： 立解（利用朗斯基行列式）：
1 e Ql ( x ) = Pl ( x ) ∫ dx = Pl ( x ) ∫ dx 2 2 2 [Pl ( x )] (1 − x )[Pl ( x )]
（1） Legendre多项式的表达式 ） 多项式的表达式 方程的本征值问题 m=0 时，Legendre 方程的本征值问题
d 2 dy (1− x ) + l (l +1) y = 0 dx dx 自然边界条件 y( x) |x=±1 = 有限 .
本征值： 本征值： l (l + 1), (l = 0,1,2,⋯) 本征函数： 多项式。 本征函数：l 阶Legendre多项式。 多项式 约定l 约定 阶Legendre多项式 多项式 的系数: 最高幂次项 xl 的系数:
λ = m 2 , m = 0,1,2,⋯
方向角部分： 方向角部分：本征值问题
1 d dΘ(θ ) m2 sin θ + l (l + 1) − 2 Θ(θ ) = 0 dθ sin θ sin θ dθ 自然边界条件：Θ(θ ) |0≤θ ≤π = 有限 2
式中本征值m与变量φ的本征值问题有关。 若所研究的问题具有旋转对称性，即定解问题的解与
φ无关，此时m=0（可取Φ(φ)=1 )=1）。则方程转化为熟悉
的勒让德方程，其解为l 阶Legendre 多项式 Pl(0)—— 轴对称球函数 。
3
§10.1 轴对称球函数
Legendre多项式 (一) Legendre多项式
第十章 球函数
球坐标中
∇ 2u ( r , θ , ϕ ) = 0 ∇ 2u ( r , θ , ϕ ) + k 2u ( r , θ , ϕ ) = 0
球函数方程
分离变量
径向方程
1 ∂ ∂Y (θ,ϕ) 1 ∂2Y (θ,ϕ) + l(l +1)Y (θ,ϕ) = 0 sinθ + 2 2 sinθ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
其解Y( 称为球函数。 其解 (θ, ϕ)称为球函数。
(9.1.3) (9.1.37)
1
分离变量： 分离变量： Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ ) 极角部分： 极角部分：本征值问题
Φ ' '+ λ Φ = 0 Φ (ϕ ) = Φ ( 2 π + ϕ )
解为： 解为：
e imϕ cos mϕ Φ (ϕ ) = , or Φ (ϕ ) = −imϕ e sin mϕ
( 2l )! al = l 2 2 (l! )
(10.1.2)
4
利用系数递推公式(9.2.5) 利用系数递推公式
( k + 2)( k + 1) ak = ak + 2 (k − l )( k + l + 1)
al − 2 =
k (k − 1) ak −2 = ak , (k − l − 2)(k + l − 1)
求出线
性独立的第二解 w2(z) (p197) 。
14
前三个函数形式： 前三个函数形式：
dx 1+ x = 1 ln ; 2 2 1− x 1− x dx 1+ x Q1 ( x ) = x ∫ = 1 P ( x ) ln − 1; 2 1 2 2 (1 − x ) x 1− x 1+ x 3 Q2 ( x ) = 1 P2 ( x ) ln − 2 x; 2 1− x Q0 ( x ) = ∫
其中：C 为 z 平面上围绕 z=x 点 的任一闭合回路。 其中： 平面上围绕 的任一闭合回路。 回路 即
1 1 Pl ( x ) = 2πi 2 l
( z 2 − 1) l ∫C ( z − x )l +1 dz
(10.1.8)
——施列夫利积分 施列夫利积分
11
为圆周， 取C为圆周，圆心在 半径为 为圆周 圆心在x,半径为
al − 4 al − 6
( 2l − 4)! = ( −1) , l 2! 2 (l − 2)! (l − 4)! ( 2l − 6)! 3 = ( −1) , l 3! 2 (l − 3)! (l − 6)! ⋅ ⋯⋯