《机械优化设计》习题及答案1#(精选.)
《机械优化设计》试卷及答案 新 全
《机械优化设计》复习题及答案
一、选择题
1、下面 方法需要求海赛矩阵。
A 、最速下降法
B 、共轭梯度法
C 、牛顿型法
D 、DFP 法
2、对于约束问题
()()()()2212221122132min 44
g 10
g 30
g 0f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥
根据目标函数等值线和约束曲线，判断()1[1,1]T X =为 ，()251[,]22
T
X =为 。
A ．内点；内点
B. 外点；外点
C. 内点；外点
D. 外点；内点
3、内点惩罚函数法可用于求解__________优化问题。
A 无约束优化问题
B 只含有不等式约束的优化问题
C 只含有等式的优化问题
D 含有不等式和等式约束的优化问题
4、对于一维搜索，搜索区间为[a ，b]，中间插入两个点a 1、b 1，a 1
A [a 1，b 1]
B [ b 1，b]
C [a1，b]
D [a，b1]
5、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。
A设计变量
B约束条件
C目标函数
D 最佳步长
6、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽f(x k)，下列不属于H k必须满足的条件的是
________。
A. H k之间有简单的迭代形式
B.拟牛顿条件
C.与海塞矩阵正交
D.对称正定
7、函数)
(X
f在某点的梯度方向为函数在该点的。
A、最速上升方向
B、上升方向
C、最速下降方向
D、下降方向
8、下面四种无约束优化方法中，__________在构成搜索方向时没有使用到目标函数的
一阶或二阶导数。
A 梯度法
B 牛顿法
机械优化设计课后习题答案
而约束最优解应在由约束线 g1(X)=0，
4
g2(X)=0，g3(X)=0，g4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线
x x2 5 0 g1(X)=0 与某一等值线的一个切点 X2*，可以联立方程： 1 ，解得 x1 x 2 1 0
X2*=[2，3] 。
x12 + 2 x1 x2
考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为： minf(X) = x12 + 2 x1 x2 X=[x1,x2] ∈R s.t.
T 2
g1(X) = -x1 ≤0 g2(X) = -x2 ≤0 h1(X) = 8000 3
x12 x2 = 0
1-4 要建造一个容积为 1500 m 的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造 价分别为 4 元、6 元和 12 元。基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。现欲使其造价最 低，试导出相应优化问题的数学模型。 解： （1）确定设计变量；
X( k ) ( k )S( k ) 的几何意义。
2-2 已知两向量 P 1 [1 2
2 0]T , P 2 1]T ,求该两向量之间的夹角 。 2 [2 0
2-3 求四维空间内两点 (1,3,1,2) 和 (2,6,5,0) 之间的距离。 2-4 计 算 二 元 函 数 f (X) x13 x1 x22 5x1 6 在 X(0) [1 1]T 处 ， 沿 方 向
《机械优化设计》复习题-答案
《机械优化设计》复习题解答
一、填空题
1、用最速下降法求f （X)=100（x 2— x 12) 2+(1— x 1） 2的最优解时，设X （0）＝[—0。5，0。5］T ，第一步迭代的搜索方向为 ［—47，-50]T 。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解.
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高－低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数
C X B HX X T T
++2
1的梯度为B 。 7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足（d 0）T
Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在共轭关系.
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素.
9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是
，充分条件是
（
正定 。
10、 K —T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 ［—2.36 10] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
13、牛顿法的搜索方向d k = ,其计算量大 ,且要求初始点在极小点 附近 位置。
《机械优化设计》习题及答案1
机械优化设计习题及参考答案
1-1。简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T
n x x x x =使 ()min f x →
且满足约束条件
()0
(1,2,)k h x k l == ()0
(1,2,
)j g x j m ≤=
2-1。何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？
答:二元函数f （x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=
∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f
令xo T
x f x f x f x f
x f ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(, 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
(1)梯度方向是函数值变化最快方向,梯度模是函数变化率的最大值。 (2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向,也就是最速上升方向。负梯度—)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2—2。求二元函数f （x 1,x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最
大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p
表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。求f(x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：
《机械优化设计》试题及答案解析
《机械优化设计》复习题及答案
一、填空题
1、用最速下降法求f(X)=100(X2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X(°)=[-0.5,0.5]T，第一
步迭代的搜索方向为卜47;-50] ______________ 。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因
子 ________ 。
3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和
终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。
5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。
1
6、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。
2
7、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d°, d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。
8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为
零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。
10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作
用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数f (xHx2 -10x 36的极小点，初始搜索区间
机械优化设计习题参考答案--孙靖民-第四版第6章习题解答-1教学内容
第六章习题解答
1．已知约束优化问题：
2)(0)()1()2()(min 21222112
221≤-+=≤-=⋅-+-=x x x g x x x g t
s x x x f
试从第k 次的迭代点[]T k x
21)
(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254
所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)
1(+k x 。并作图画出目标函数
的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。 [解] 1）确定本次迭代的随机方向：
[]T T
R
S 0.4120.911
0.2540.5620.254
0.2540.5620.5622222-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣
⎡++=
2) 用公式：R k k S x x
α+=+)()
1( 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界
上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则：
176
.1)412.0(22822.0911.021221
2111
=-⨯+=+==⨯+-=+=++R k
k R k k S x x S x x
αα
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=+176.1822.01
k X
即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。
2．已知约束优化问题：
)(0)(0
25)(124)(m in 2312222112
21≤-=≤-=≤-+=⋅--=x x g x x g x x x g t
s x x x f
试以[][][]T T T x x x 33
,14
,120
30
20
1===为复合形的初始顶点，用复合形法进行
两次迭代计算。
[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：
-机械优化设计复习试题与答案
机械优化设计复习题
一.单项选择题
1．一个多元函数()F X 在X *
附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ）
A ．()
*0F X ∇= B. ()*0F X ∇=,()
*H X 为正定 C ．()
*0H X = D. ()*0F X ∇=,()
*H X 为负定
2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ）
A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2
1+5x 2
2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函数的极小值为（ ）
A ．1
B ． 19.05
C ．0.25
D ．0.1
4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解
时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k)
)为( )。
A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)
为递增正数序列
B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)
为递减正数序列
C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)
为递增正数序列hn
D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)
为递减正数序列
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.B
7.D
8.B
9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B
(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
1）桥梁
2）等强度梁，铁塔
3）飞机、航天器
4）其他领域（控制、化工）
3.发展史:牛顿，计算机，钱令希；MATLAB—优化工具箱；遗传算法
MATLAB—面向工程的高级语言
Optimization Toolbox主要功能：
1）线性规划 ——
2）二次规划 ——
一、概述（入门实例）
一、举例
其中
第l行 ， ，
非l行 ，
例2
不是基本可行解（因系数是负的）；
是基本可行解，但不一定是最优解。
2.基本可行解的转换
已选好一组基本变量（ ），想转换到另一组，用 代换某一个 ，有
时才能做转轴元素；
将 （入基）代替 （出基）后得
，（ ）
因 是出基元素，应有
得
θ法则—取l行中[ ]里最小的定为入基元素 。
2.3次曲线插值方法
已知： ； ； 。
设：近似曲线
取正号得极小值
方程：
解出A,B
3.牛顿法（已知导数）
作业：
推导3次曲线插值法
四无约束优化方法(unconstrained optimization methods)
（一）引言
1.必要性：存在少量无约束问题；有约束问题可以变为无约束问题。
2.策略：多维问题变为多个一维问题
4. DFP (Davidon—Fletcher--Powell)算法
《机械优化设计》复习题-答案
机械优化设计复习题解答
一、填空题
1、用最速下降法求fX=100x 2- x 12 2+1- x 1 2的最优解时,设X 0＝,T ,第一步迭代的搜索方向为 -47,-50T ;
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是寻找搜索方向,二是计算最优步长;
3、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解;
4、应用进退法来确定搜索区间时,最后得到的三点,即为搜索区间的始点、中间点和终点,它们的函数值形成 高－低－高 趋势;
5、包含n 个设计变量的优化问题,称为 n 维优化问题;
6、函数
C X B HX X T T
++2
1的梯度为HX+B ; 7、设G 为n×n 对称正定矩阵,若n 维空间中有两个非零向量d 0,d 1,满足d 0T Gd 1=0,则d 0、d 1之间存在共轭关系;
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素;
9、对于无约束二元函数),(21x x f ,若在),(x 20100x x 点处取得极小值,其必要条件是
,充分条件是
正定 ;
10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合; 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点,初始搜索区间]10,10[],[-=b a ,经第一次区间消去后得到的新区间为 10 ; 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件;
13、牛顿法的搜索方向d k
= ,
其计算量大 ,且要求初始点在极小点 附近 位置; 14、将函数fX=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成
《机械优化设计》试卷及答案
《机械优化设计》复习题及答案
一、填空题
1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，
第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因
子 。
3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间
点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数 C X B HX X T T ++21的梯度为 HX+B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，
则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。
8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条
件是 梯度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。
10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯
度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间
]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、
机械优化设计试题及答案
计算题
1．试用牛顿法求()221285f X x x =+的最优解，设()[]01010T
X =。
初始点为()[]01010T
X =，则初始点处的函数值和梯度分别为
()()0120
121700164200410140f X x x f X x x =+⎡⎤⎡⎤∇==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
，沿梯度方向进行一维搜索，有
()010000010200102001014010140X X f X αααα-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∇=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件
()
()[]
()()()(){
}
()
αϕαααααα
αα
min 14010514010200104200108min min 2
0002
00
01=-⨯+-⨯-⨯+-⨯=∇-=X f X f X f
()001060000596000ϕαα'=-=， 从而算出一维搜索最佳步长 059600
0.05622641060000
α=
=
则第一次迭代设计点位置和函数值01010200 1.245283010140 2.1283019X αα--⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦
⎣⎦ ()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可
求得最优解。
2、试用黄金分割法求函数()20
f ααα
=+
的极小点和极小值，设搜索区间
[][],0.2,1a b =（迭代一次即可）
解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式 ()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--= ()2()0.20.61810.20.6944a b a αλ=+-=+⨯-=
机械优化设计复习题及答案
机械优化设计复习题
一.单项选择题
1．一个多元函数()F X 在X *
附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ）
A ．()
*0F X ∇= B. ()*0F X ∇=,()
*H X 为正定 C ．()
*0H X = D. ()*0F X ∇=,()
*H X 为负定
2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ）
A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2
1+5x 2
2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函数的极小值为（ ）
A ．1
B ． 19.05
C ．0.25
D ．0.1
4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解
时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k)
)为( )。
A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)
为递增正数序列
B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)
为递减正数序列
C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)
为递增正数序列hn
D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)
为递减正数序列
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.B
7.D
8.B
9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B
《机械优化设计》复习题-答案讲解
《机械优化设计》复习题解答
一、填空题
1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]T 。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高－低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数 C X B HX X T T ++2
1的梯度为HX+B 。 7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 错误!未找到引用源。 ，充分条件是 错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。正定 。
10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间
]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36 10] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
《机械优化设计》复习题答案
《机械优化设计》复习题解答
一、填空题
1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]T 。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高－低－高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数
C X B HX X T T
++2
1的梯度为B 。 7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在共轭关系。
8、 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是
，充分条件是
(
正定 。
10、 K-T 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36 10] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、 目标函数 、 约束条件。
13、牛顿法的搜索方向d k
机械优化设计复习题及答案
机械优化设计复习题
一.单项选择题
1．一个多元函数()F X 在X *
附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ）
A ．()
*0F X ∇= B. ()*0F X ∇=,()
*H X 为正定 C ．()
*0H X = D. ()*0F X ∇=,()
*H X 为负定
2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ）
A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2
1+5x 2
2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目标函数的极小值为（ ）
A ．1
B ． 19.05
C ．0.25
D ．0.1
4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解
时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k)
)为( )。
A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)
为递增正数序列
B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)
为递减正数序列
C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)
为递增正数序列hn
D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)
为递减正数序列
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.B
7.D
8.B
9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B
机械优化设计复习题及答案
机
械优化设计复习题
一.单项选择题
1．一个多元函数()F X 在X
附近偏导数连续;则该点位极小值点的充要条件为
A ．()*0F X ∇= B. ()*0F X ∇=;()*H X 为正定 C ．()*0H X = D. ()*0F X ∇=;()*H X 为负定
2.为克服复合形法容易产生退化的缺点;对于n 维问题来说;复合形的顶点数K 应
A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数Fx=4x 21+5x 22;具有等式约束;其等式约束条件为hx=2x 1+3x 2-6=0;则
目标函数的极小值为
A ．1
B ． 19.05
C ．0.25
D ．0.1
4.对于目标函数FX=ax+b 受约束于gX=c+x ≤0的最优化设计问题;用外点罚函数法求解时;其惩罚函数表达式ΦX;M k 为 .. A. ax+b+M k {min0;c+x}2;M k 为递增正数序列 B. ax+b+M k {min0;c+x}2;M k 为递减正数序列 C. ax+b+M k {maxc+x;0}2;M k 为递增正数序列hn D. ax+b+M k {maxc+x;0}2;M k 为递减正数序列
1.B
2.C
3.B
4.B
5.A
6.B
7.D
8.B
9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 0.186 C
6.FX 在区间x 1;x 3上为单峰函数;x 2为区间中一点;x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点..如x 4-x 2>0;且Fx 4>Fx 2;那么为求FX 的极小值;x 4点在下一次
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机械优化设计习题及参考答案
1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T
n x x x x =使 ()min f x →
且满足约束条件
()0
(1,2,)k h x k l == ()0
(1,2,
)j g x j m ≤=
2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？
答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=
∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f
令xo T
x f x f x f x f
x f ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最
大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。求f （x1，x2）在
x0点处的梯度方向和数值，计算如下：
()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f
x f x f 2
221)0(⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p
2-3.试求目标函数()2
221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降
方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解：求目标函数的偏导数
212
21124,46x x x f x x x f +-=∂∂-=∂∂ 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向是
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂-=-∇=====462446)(0
121
210
1210
2121x x x x
x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量是：
13]2,3[4
)6(]4,6[T
22T -=+--==P P e 新点是
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-=+=132133101e X X 新点的目标函数值
13213
94
)(1-=
X f
2-4.何谓凸集、凸函数、凸规划？（要求配图）
答：一个点集（或区域），如果连接其中任意两点x1、x2的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。
函数f(x ）为凸集定义域内的函数，若对任何的01α≤≤及凸集域内的任意两点x1、x2，存在如下不等式：
称f （x ）是定义在图集上的一个凸函数。
对于约束优化问题
()()()1212
11f x x f x x αααα+-≤+-⎡⎤⎣⎦
若()j=j f x g x 、（） 1,2,...,m 都是凸函数，则称此问题为凸规划。
3-1.简述一维搜索区间消去法原理。（要配图）
答：搜索区间（a ，b ）确定之后，采用区间逐步缩短搜索区间，从而找到极小点的数值近似解。假设搜索区间（a ，b ）内任取两点a1，b1 ，a 1《b 1，并计算函数值f （a 1），f （b 1）。将有下列三种可能情形； 1）f （a 1）《f （b 1）由于函数为单谷，所以极小点必在区间（a ，b 1）内 2）f （a 1）》f （b 1），同理，极小点应在区间（a 1，b ）内 3）f （a 1）=f （b 1），这是极小点应在（a 1，b 1）内
3-2.简述黄金分割法搜索过程及程序框图。
1()b b a αλ=-- 2()a b a αλ=+-
其中，λ为待定常数。
3-3.对函数ααα2)(2+=f ，当给定搜索区间55≤≤-α时，写出用黄金
分割法求极小点*α的前三次搜索过程。（要列表）
序号 a a 1 a 2 b Y 1 比较 Y 2 0 -5 -1.18 1.18 5 -0.9676 < 3.7524 1 -5 -2.639 -1.181 ？ 1.686 > -0.967 2 ？ -1.18 -0.279 1.18 -0.9676 < -0.48 3 -2.639 -1.737 -1.181 ？ -0.457 > -0.482
3-4.使用二次插值法求f (x )=sin(x )在区间[2,6]的极小点，写出计算步骤和迭代公式，给定初始点x 1=2，x 2=4，x 3=6， ε=10-4。
迭代次数K= 4 ，极小点为 4.71236 ，最小值为 -1
13131x x y y c --=，12122x x y y c --=，32123x x c
c c --= )(213
131c c x x x p -+=
收敛的条件：
ε<-2
2y y y p