牛顿迭代法.
研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法
z
0.612547 0.641384 0.641186
6 求方程 m重根的Newton法 设 s 是方程 f(x)=0 的 m 重根(m≥2), f(x)
在 s 的某邻域内有m阶连续导数 ,这时
f (s) f (s) f (m1) (s) 0, f (m) (s) 0
由Taylor公式,得
设 f '(x) 0 ，上式解为
x
xk
f (xk ) f ' (xk )
于是方程 f(x)=0的新的近似根xk+1，可由牛顿
迭代公式
xk 1
xk
f (xk ) f ' (xk )
k 0,1, 2,
求出
牛顿迭代公式具有明显的几何意义。 方程 y f (xk ) f '(xk )(x xk ) 是曲线 y=f(x)在点 (xk , f (xk )) 处的切线方程，迭代公式就是切线与x轴 交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
这表明牛顿迭代法用于求单根时至少是二阶收敛的。
（2）若 x* 是方程 f (x) 0 的 m(m 2) 重根，
即
f (x) (x x*)m q(x)
(q(x*) 0)
此时有
g ' (x*) lim g ' (x) lim
x x*
x x*
f (x) f '' (x) [ f ' (x)]2
k
xk
k
xk
4 0.635498 8 0.640964
5 0.643719 9 0.641285
6 0.640061 10 0.641142
牛顿迭代法
一 牛顿法及其收敛性
牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方 程 f ( x) 0逐步归结为某种线性方程来求解. 设已知方程 f ( x) 0 有近似根 xk（假定 f ( xk ) 0)， 将函数 f ( x) 在点 xk 展开，有
f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ),
x
表7 5 计算结果 k 0 1 2 3 xk 0.5 0.57102 0.56716 0.56714
5
二 牛顿法应用举例 对于给定的正数 C，应用牛顿法解二次方程
x 2 C 0,
可导出求开方值 C 的计算程序
xk 1 1 C ( xk ). 2 xk
（3.5）
这种迭代公式对于任意初值 x0 0 都是收敛的. 事实上，对（3.5）式施行配方手续，易知
10
在（3.7）中取C
1 ，则称为简化牛顿法，这 f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x 轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2）
牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x* 较远，则牛顿法可能发散.
xk 1 xk 1 1 C ( xk 2 xk C 1 ( xk 2 xk C )2 ; C )2 .
6
以上两式相除得
xk 1 xk 1 xk C x C k C . C
2
据此反复递推有
xk 1 xk 1 x0 C x C 0 C C .
14
x1 17.9，它不满足条件（3.10）.
牛顿迭代法(Newton‘s Method)
牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。
考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。
函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。
迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。
因此使用牛顿法是有问题的。
如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。
这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。
常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。
正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。
牛顿迭代法
牛顿迭代法一、 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。
二、 迭代公式,...2,1,0,)()(1='-=+k x f x f x x k k k k用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式（主要是第一种）：1、设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。
由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。
2、 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。
实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。
利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式：)(')(1k k k k x f x f x x -=+。
牛顿迭代法原理
牛顿迭代法原理
牛顿迭代法是一种常用的数值解法，用于求解方程f(x)=0的根。
该方法的原理是利用牛顿近似定理，通过迭代不断逼近方程的根。
具体来说，牛顿迭代法的步骤如下：
1、选取一个初始点x0。
2、计算f(x0)和f'(x0)。
3、计算x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
4、重复步骤2和3，不断迭代，直到满足精度要求为止。
牛顿迭代法具有收敛速度快、计算量少的优点，常用于求解非线性方程的根。
但是，牛顿迭代法也有一些缺点，例如需要计算函数的导数，对于复杂的函数可能较难求解；此外，该方法也存在收敛不保证的情况。
希望这些信息对您有帮助！。
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。
否则。
（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。
（3）解_k k G d g =-得k d 。
（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。
牛顿迭代法的基本原理知识点
牛顿迭代法的基本原理知识点牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值计算方法，通过不断逼近方程的根，以获得方程的解。
它基于牛顿法则和泰勒级数展开，被广泛应用于科学和工程领域。
本文将介绍牛顿迭代法的基本原理和相关知识点。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 假设要求解的方程为 f(x) = 0，给定一个初始近似解 x0。
2. 利用泰勒级数展开，将方程 f(x) = 0 在 x0 处进行二阶近似，得到近似方程：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 1/2 f''(x0)(x - x0)^23. 忽略近似方程中的高阶无穷小，并令f(x) ≈ 0，得到近似解 x1：0 ≈ f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) + 1/2 f''(x0)(x1 - x0)^2求解上述方程，得到近似解 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
4. 通过反复迭代的方式，不断更新近似解，直到满足精度要求或收敛于方程的解。
二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度牛顿迭代法的收敛性与收敛速度与初始近似解 x0 的选择和方程本身的性质有关。
1. 收敛性：对于某些方程，牛顿迭代法可能无法收敛或者收敛到错误的解。
当方程的导数为零或者初始近似解离根太远时，迭代可能会发散。
因此，在应用牛顿迭代法时，需要对方程和初始近似解进行合理的选择和判断。
2. 收敛速度：牛顿迭代法的收敛速度通常较快，二阶收敛的特点使其在数值计算中得到广泛应用。
在满足收敛条件的情况下，经过每一次迭代，近似解的有效数字将至少加倍，迭代次数的增加会大幅提高精度。
三、牛顿迭代法的优点与局限性1. 优点：1) 收敛速度快：牛顿迭代法的二阶收敛特性决定了它在求解方程时的高效性和快速性。
2) 广泛适用：牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、方程组和最优化问题等，具有广泛的应用领域。
牛顿迭代法
4.优缺点 • 优点：收敛速度快，稳定性好，精度高
• 缺点：在重根附近收敛速度会降阶；每次都要计算函
数及其导数值，计算量大。
• 注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值选在解的 附近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计 出一个质量较好的初值！！
5.牛顿迭代法的改进——弦割法
基本思想：牛顿迭代法每一步要计算 f 和 f ，为了避免计算 导数值，现用 f 的差商近似代替微商 f ，从而得到弦割法。
( x) x
1 f ( x*)2 f ( x*) f ( x*) 1 1 | ( x*) | 1 2 n f ( x*)
f ( x) f ( x )
，则
A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 根的重数已知，可将 f 的重根转化为另一函数的单根。
从而可构造出相应的迭代法格式为
xk 1
f ( xk ) f ( xk ) xk [ f ( xk )]2 f ( xk ) f ( xk )
f ( xk ) f ( xk )
若已知根的重数为 n，可将迭代格式改为，
xk 1 xk n k 0,1, 2,
* 则 ( x ) 0 ，所以上述格式是平方收敛的。
割线 切线 收敛比牛顿迭代法慢，且对 初值要求同样高。 x2 x1 x0
切线斜率
割Hale Waihona Puke 斜率f ( xk )( xk xk 1 ) f ( xk ) f ( xk 1 )
f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
xk 1 xk
需要2个初值 x0 和 x1。
数值分析3-牛顿迭代法
§3 牛顿迭代法Newton Iteration————切线法牛顿迭代法是最著名的方程求根方法。
已经通过各种方式把它推广到解其他更为困难的非线性问题。
【例如】非线性方程组、非线性积分方程和非线性微分方程。
虽然牛顿法对于给定的问题不一定总是最好的方法，但它的简单形式和快的收敛速度常常使得解非线性问题的人优先考虑它。
迭代一般理论告诉我们，构造好的迭代函数可使收敛速度提高。
然而迭代函数的构造方法又各不相同，方法多样。
牛顿法是受几何直观启发，给出构造迭代函数的一条重要途径。
牛顿迭代的基本思想:方程f(x)=0的根，几何意义是曲线y=f(x)与ox轴y=0的交点。
求曲线与y=0的交点没有普遍的公式，但直接与0x 轴的交点容易计算。
用直线近似曲线y=f(x)，从而用直线方程的根逐步代替f(x)=0的根。
即把非线性方程逐步线性化。
方法：设x k是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在x k处作一阶Taylor 展开，得到))(()()(k k k x x x f x f x f -'+≈ （19）设)(k x f '≠0，由于0)())(()(=≈-'+x f x x x f x f k k k所以求得解记为1+k x ，有牛顿迭代公式：（20） 按牛顿迭代计算称为牛顿迭代法。
牛顿法的几何意义：选初值x k 以后，过))(,(k k x f x p 点，作曲线y=f(x)的切线，其切线方程为))(()()(k k k x x x f x f x f -'+= (21)切线与ox 轴的交点，为1+k x ，则)(/)(1k k k k x f x f x x '-=+（22）牛顿迭代法也称为切线法。
迭代法的收敛性：如果取)(/)()(k k x f x f x x g '-=，则有x=g(x)，从而牛顿迭代公式就是)(1k k x g x =+因此就可以由考察g(x)的性质，来讨论迭代法的收敛性及收敛速度。
牛顿迭代法
一 .牛顿迭代法简介1.牛顿迭代法的产生背景牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
利用牛顿迭代法来解决问题需要做好的工作：（1）确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
（2）建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
（3）对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
2.牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。
牛顿迭代法
牛顿迭代法目录产生背景牛顿迭代公式C语言代码C++代码matlab代码产生背景牛顿迭代公式C语言代码C++代码matlab代码展开编辑本段产生背景牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
编辑本段牛顿迭代公式设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。
过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。
重复以上过程，得r 的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。
把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。
第七章：牛顿迭代法,弦截法
一、牛顿迭代法(切线法)
3. 牛顿迭代法的计算步骤
(1)给出x0 , ε；
f ( x0 ) x x (2)计算 1 0 f ( x0 )
(3)若 x1 x0 , 则转(4)；否则 x0 x1 ，转(2);
(4)输出x1 , 结束.
例 用牛顿迭代法求方程 xex-1=0 在x=0.5
附近的根(取5位小数计算), 精度要求为ε=10–3. 答案: f ( x) xe x 1
f ( x) e x xe x
相应的牛顿迭代公式为 x k e xk 1 x k e xk xk 1 xk xk xk xk 1 xk e xk e 取x0=0.5，经计算可得
T
出 输出 x 2
结束
二、弦截法(割线法)
研究目的：在牛顿法基础上，构造既有 较高的收敛速度，又不须导数的迭代公式.
f ( x k ) f ( x k 1 ) 代替导数 f ( xk ) 思想： 用差商 x k x k 1
弦截迭代公式
f ( xk ) xk 1 xk ( xk xk 1 ), f ( xk ) f ( xk 1 ) k 1, 2,
1 x
例 用牛顿迭代法计算 3 .
答案:
令 x 3 , 则x2-3=0, 求 3 等价于求方程 f ( x) x 2 3 0 的正实根. 因为 f´(x)=2x , 由牛顿迭代公式得
2 xk 3 1 3 xk 1 xk ( xk ) 2 xk 2 xk
k 0,1,2,
Newton迭代公式
0 xk 1 xk
x
xk 1
f ( xk ) xk , k 0,1, 2, f ( xk )
牛顿迭代法
定理(牛顿局部收敛定理)设有方程f ( x) = 0
(1)设f ( x)在根x*邻域内有连续二阶导数； (2)且设f ( x* ) = 0, 但f ′( x* ) ≠ 0. 则存在x*的一个领域S={x x* − x ≤ δ },使得∀x0 ∈ S , 由牛顿法产生的序列{ xn } 收敛于x*，且有 x* − xn−1 f ′′( x* ) lim * =− 2 n →∞ ( x − x ) 2 f '( x* ) n
误差关系式
xn+1 − x
*
=
f ′′(ξ ) * 2 ( x − xn ) 2 f '( xn )
4.2 牛顿法的局部收敛性
定义 若存在ϕ x)的不动点x*的一个邻域S={x x* − x ≤ δ }， （
∀x0 ∈ S，不动点迭代法xn+1 =ϕ xn )产生的序列{ xn } 收敛于x*， （ 就称x*的迭代法xn+1 =ϕ xn )局部收敛. （
f ( x) = 0
近似于 f ( x n ) + f ' ( xn ) ( x − x n ) = 0
解出 x 记为 xn+1，则
xn+1 = xn −
f ( xn ) f ' ( xn )
xn + 1
(n = 0,1,2,L)
(2.1)
2.Newton迭代法的几何意义 2.Newton迭代法的几何意义
t的 选 取 方 式
1 1 1 按 t = 1， ， 2 ， 3 ， 的 顺 序 L 2 2 2
直到 | f ( xk + 1 )| | f ( xk )|成立为止 <
4.5重根情形 重根情形
通俗理解牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton's method），又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
这种方法的核心思想是利用泰勒级数展开式去近似地代替非线性函数，通过不断迭代，多次修正方程的解，使解不断逼近非线性方程的真实解，最后使原方程的残差平方和达到最小。
具体来说，假设要求解的函数为F(x)=0，我们可以先选取一个初始的近似值x0，然后计算F(x0)和F'(x0)（F'(x)是F(x)的导数）。
根据泰勒级数展开式，F(x)可以近似地表示为F(x0)+F'(x0)*(x-x0)。
令这个近似式等于0，解出x，就得到了一个新的近似值x1。
然后，用x1重复上述过程，得到x2，x3，……，直到收敛到某个值。
这个值就是F(x)=0的一个近似解。
牛顿迭代法的优点是在方程的单根附近具有平方收敛，也就是说，每迭代一次，解的精度大致会提高两倍。
这使得牛顿迭代法在求解高精度解时非常有效。
但是，如果初始值选取不当，或者函数在某些点没有定义（即导数不存在），那么牛顿迭代法可能无法收敛到正确的解，甚至可能发散。
因此，使用牛顿迭代法时需要谨慎选择初始值，并检查函数的定义域和导数是否存在。
此外，牛顿迭代法在计算机编程中也有广泛的应用。
许多编程语言都提供了实现牛顿迭代法的库函数或工具，使得求解非线性方程的近似解变得非常方便。
以上就是对牛顿迭代法的一种通俗理解。
希望这个解释能帮助你更好地理解这个方法。
2.3.1 Newton迭代方法的计算公式
§3 牛顿（Newton ）迭代方法一、Newton 迭代方法的计算公式牛顿迭代法计算公式的推导过程本节所讨论的是：0)(=x f 。
设*x 是0)(=x f 的根，)(x f 在*x 的邻域内具有二阶连续导数，在*x 的邻域内取一点0x ，使0)(0≠'x f ，将它在0x 点二阶Taylor 展开得：()2()()()()()00002!f f x f x f x x x x x ξ'''≈+-+-))(()(000x x x f x f -'+≈又0)(=x f ，则有：0))(()(000≈-'+x x x f x f⇒0)(=x f 的近似解)()(000x f x f x x '-≈，记)()(0001x f x f x x '-=类似，在点1x 处Taylor 展开，可得：)()(111x f x f x x '-≈，记：)()(1112x f x f x x '-=依次往下做，可得一般的迭代格式：),1,0(,)()(1Λ='-=+n x f x f x x n n n n上述迭代格式称为求0)(=x f 的解的牛顿迭代法。
几何意义在点))(,(00x f x 处作)(x f 的切线，交x轴于一点，求该点的横坐标。
此切线方程为：))(()(000x x x f x f y -'=-，当0=y 时，得：)()(000x f x f x x '-=，正是1x 的值。
依次类推，在点))(,(n n x f x 作函数)(x f 的切线，交x 轴于一点，切线方程为：))(()(n n n x x x f x f y -'=-，当0=y 时，得：)()(n n n x f x f x x '-=，正是1+n x 的值。
∴ 牛顿迭代法又称为切线求根法。
迭代法收敛的条件与收敛速度（针对单根而言）定理：设**()0,()0f x f x '=≠，且)(x f 在*x 的邻域内具有二阶连续导数，则由牛顿迭代法产生的迭代序列),1,0(,)()(1Λ='-=+n x f x f x x n n n n局部收敛于*x ，且为平方收敛。
牛顿迭代法：介绍、原理与运用
⽜顿迭代法：介绍、原理与运⽤⽜顿迭代法：介绍、原理与运⽤介绍⽜顿迭代法是⼀个可以求⼀个任意函数的零点的⼯具。
它⽐⼆分法快得多。
公式是：x=a-f(a)/f'(a)。
其中a是猜测值，x是新的猜测值。
不断迭代，f(x)就越来越接近0。
原理我们将f(x)做泰勒⼀阶展开：f(x)∼f(a)+(x-a)f'(a)。
令f(x)=0∴f(a)+(x-a)f'(a)=0∴f(a)+xf'(a)-af'(a)=0∴xf'(a)=af'(a)-f(a)∴x=a-f(a)/f'(a)实例：⽜顿迭代法求√2的近似值∵x = √2∴x2 = 2∴x2 -2 = 0令f(x)=⽅程左边，则f(x)∼0↔x∼√2。
f'(x) = 2x。
于是可以得到迭代公式：x=a-f(a)/f'(a)=a-(a2-2)/(2a)=a-a/2+1/a=a/2+1/a代码如下（要求误差⼩于1e-6）：#include <stdio.h>#include <math.h>int main(int argc, char const *argv[]){double a = 2.0;double expect_error = 0.000001;double x;double actual_error;unsigned iteration_count = 0;do {if (a == 0.0) a = 0.1; /* 避免0做分母 */x = a/2 + 1/a;actual_error = fabs(2 - x*x);a = x;++iteration_count;printf("%d\t%.9f\t%.9f\n", iteration_count, a, actual_error);} while (actual_error >= expect_error);return 0;}输出：1 1.500000000 0.2500000002 1.416666667 0.0069444443 1.414215686 0.0000060074 1.414213562 0.000000000迭代了4次。
牛顿法和牛顿迭代法
⽜顿法和⽜顿迭代法⽜顿法，⼤致的思想是⽤泰勒公式的前⼏项来代替原来的函数，然后对函数进⾏求解和优化。
和稍微有些差别。
⽜顿法⽜顿法⽤来迭代的求解⼀个⽅程的解，原理如下：对于⼀个函数f(x),它的泰勒级数展开式是这样的f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+12f″(x0)(x−x0)2+...+1n!f n(x0)(x−x0)n当使⽤⽜顿法来求⼀个⽅程解的时候，它使⽤泰勒级数前两项来代替这个函数，即⽤ϕ(x)代替f(x),其中:ϕ(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)令ϕ(x)=0，则x=x0−f(x0) f′(x0)。
所以，⽜顿法的迭代公式是x n+1=x n−f(x n) f′(x n)⽜顿法求解n的平⽅根求解n的平⽅根，其实是求⽅程x2−n=0的解利⽤上⾯的公式可以得到：x i+1=x i−x2i−n2x i=(xi+nx i)/2编程的时候核⼼的代码是：x = (x + n/x)/2应⽤于最优化的⽜顿法应⽤于最优化的⽜顿法是以迭代的⽅式来求解⼀个函数的最优解，常⽤的优化⽅法还有梯度下降法。
取泰勒展开式的⼆次项,即⽤ϕ(x)来代替f(x)：ϕ(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+12f″(x0)(x−x0)2最优点的选择是ϕ′(x)=0的点，对上式求导ϕ′(x)=f′(x0)+f″(x0)(x−x0)令ϕ′(x)=0，则x=x0−f′(x0) f″(x0)所以，最优化的⽜顿迭代公式是x n+1=x n−f′(x n) f″(x n)⾼维下的⽜顿优化⽅法在⾼维下ϕ(x)=f(x0)+∇f(x0)T(x−x0)+12(x−x0)T∇2f(x0)(x−x0)求∇ϕ(x),并令它等于0，则公式变为了∇f(x0)+∇2f(x0)(x−x0)=0即x=x0−∇2f(x0)−1∇f(x0)所以，迭代公式变为x n+1=x n−∇2f(x n)−1∇f(x n)其中：x n+1,x n都是N*1维的⽮量。
牛顿迭代法——精选推荐
⽜顿迭代法⽜顿（Newton's method）⼜称为⽜顿-拉夫逊（拉弗森）⽅法（Newton-Raphson method），它是在17世纪提出的⼀种在域和域上近似求解⽅程的⽅法。
⽜顿迭代公式设r是\(f(x)=0\)的根，选取\(x_0\)作为r的初始近似值，过点\((x_0,f(x_0))\) ,做曲线 \(y=f(x)\)的切线L，L的⽅程为\(y=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)\) ，求出L与x轴交点的横坐标\[x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f’(x_0)}\]称\(x_1\)为r的⼀次近似值。
过点\((x_1,f(x_1))\) 做曲线 \(y=f(x)\)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标\[x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f’(x_1)}\]称\(x_2\)为r的⼆次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，其中，\[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f’(x_n)}\]称为r的\(n+1\)次近似值，上式称为⽜顿迭代公式。
⽤⽜顿迭代法解⾮线性⽅程，是把⾮线性⽅程\(f(x)=0\)线性化的⼀种近似⽅法。
把 \(f(x)\)在点 \(x_0\)的某邻域内展开成泰勒级数\[f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\frac{f’’(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+…+\frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+R_n(x)\]取其线性部分（即泰勒展开的前两项），并令其等于0，即 \(f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)=0\)，以此作为⾮线性⽅程 \(f(x)=0\)的近似⽅程，若\ (f’(x_0)\neq0\)，则其解为\[x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f’(x_0)}\]这样，得到⽜顿迭代法的⼀个迭代关系式：\[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f’(x_n)}\]从下⾯的图中，我们可以看到⽜顿迭代的⼏何意义，每次迭代，都会更加逼近\(f(x)=0\)的解。
迭代法-牛顿迭代法
迭代法-⽜顿迭代法迭代法在程序设计中也是⼀种常见的递推⽅法，即：给定⼀个原始值，按照某个规则计算⼀个新的值，然后将这个计算出的新值作为新的变量值带⼊规则中进⾏下⼀步计算，在满⾜某种条件后返回最后的计算结果；⽜顿迭代法是⽤于多项式⽅程求解根的⽅法，在只有笔和纸的年代，这个⽅法给了⼈们⼀个⽆限逼近多项式⽅程真实解的重要思路，⽜顿也太⽜了.....求解f(x)=0的解，⽤⽜顿迭代法步骤如下：1、在y=f(x)这个函数上任取⼀点(x0,f(x0)),在这个点上做曲线y=f(x)的切线L,可以计算出切线L的表达式为y=f(x0)+f~(x0)(x-x0),这⾥f~(x0)表⽰L在点(x0,f(x0))处的斜率2、得出了切线L的表达式，我们就可以计算出L与X轴相交点的值x1=x0-f(x0)/f~(x0),此时x1要⽐x0更接近f(x)曲线与x轴相交点的真实值3、将刚才得出的x1带⼊到f(x)函数中，得到点(x1,f(x1)),再在点(x1,f(x1))出做曲线f(x)的切线，同样会得到新的切线的表达式：y=f(x1)+f~(x1)(x-x1),将得出的切线与X周相交,同样会得到相交点的值x2=x1-f(x1)/f~(x1)4、重复以上计算，会得出⼀个计算规则：,这个是真实值的n+1次近似值。
可以如下图近似表⽰。
根据以上描述，设计⼀个求解X~2-C=0的正根的⽅程，X~2表⽰X的平⽅，先得出迭代公式：；设计代码如下：public static void main(String[] args){System.out.println(calculate(2.0,2.0,0,1e-15));System.out.println(calculate(2.0,1e-15));}public static double calculate(double c,double x,double y,double precision){y=(x+c/x)/2;if(Math.abs(x-y)>precision){x=y;y=(x+c/x)/2;return calculate(c,x,y,precision);}return x;}public static double calculate(double c,double precision){double x=c,y=(x+c/x)/2;while(Math.abs(x-y)>precision){x=y;y=(x+c/x)/2;}return x;}从以上代码可以看出，迭代⽤法是⾸先给定⼀个初始值，然后按照某种规则进⾏计算，将得出的计算结果重新带⼊规则进⾏再次计算，直到满⾜某个条件退出程序。
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牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程•跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较•关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学;九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性0引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代•“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法•迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法•它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值•具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制•（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败•所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1、确定迭代变量•在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）.迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成.3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.1牛顿迭代法：洛阳师范学院本科毕业论文X 0 牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示:牛顿 迭代法(Newton method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newto n-Rapfsonmethod)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方 法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要•方法使用函数f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程f x =0的根•牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f x =0的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根. 另外该方法广泛用于计算机编程中：解非线性方程f x ]=0的牛顿(Newton)法是把非线性的方程线性化的一种近似方法•把f x 的x 点附近展开泰勒(Taylor )级' 2 f x = f x 0 f X - X 0 f x 0 ］亠 ix - X 0取其线性部分作为非线性方程f x =0的近似方程，则有:f X 。
f ' X 。
X - x 0 =0 ；设f ' x 。
=0,则其解为：再把f x 在％附近展开泰勒(Taylor)级数，也取其现行部分作为f x i ； = 0的近似方 程.若f % = 0，则得:这样，得到牛顿(Newton)法的一个迭代序列:当选取初值X o以后，过X o,f X o「|做f X的切线，其切线方程为:y - f X。
= f' & x - X。
；求此切线方程和X轴的交点，即得：x— X。
一f X ' f X牛顿法正因为有这一明显的几何意义，所以也叫切线法例：用牛顿法求下面方程的根f X = X3 2x2 10x - 20 = 0 ；解：因f x]=3x2・4x *10，所以迭代公式为:x n勺.二焉一X32x210x -20 3x24x 10 ；选取X（）=1计算结果列表:从结果可以看出，牛顿法的收敛是很快的，X5误差10」较大，因每次计算迭代除了计算函数值外还要计算微商值•为此我们提出了简化牛顿法：其公式为X n1=X n-f X n「f' X ；用上面的公式计算，不再需要每步重新计算微商值，所以计算量小一些，但收敛也要慢一些•为了避免计算导数还可以采用差商代导数的方案：-5 "X n —f X n -f X n^关于牛顿迭代的收敛有下面结果：如果f X在零点附近存在连续的二阶微商,•是f X的一重零点，且初始X0充分接近于，那么牛顿迭代是收敛的，且有&十仝|十"卩）/0'（匕）卜焉仝2这表明牛顿法是二阶收敛的（平方收敛的）最后考虑f x是多项式的特殊情况，此时f X , f x在某个x值，比如x = c 时的计算可用综合除法•设 f (x )=ax n+ax n半+川a n」x + a n，除以x —c，得商q(x)，余r:f x 二q x x c ; r(1)其中:q x i=b o x n‘ bx n，川b n/ ;r = 0 = f c；比较(1)式两边x k的系数便知这些b k可以按下表进行：这一过程其实就是秦九韶算法，计算多项式值的嵌套算法：f c 二丨|| a o a i c ■ a?c c 川a.」c a n ；每个括号的值就是这里的bollllllbn.至于导数的计算，注意到(1)式可得：f'x=qx q'x x-c ；于是：fc =q c；'因此再对b0||||||bn进行上述过程，或者再用一次秦九韶算法即可•2一种修正的牛顿迭代法：给出了牛顿迭代法的一种修正形式，并证明了当r=1/2时修正的牛顿迭代法是二阶收敛的，当参数r =1/2时是三阶收敛的，数值实验表明，与经典牛顿迭代法相比，该修正牛顿迭代法具有一定的优势•众所周知，数值求解非线性方程f x =0的根的方法很多.经典的牛顿迭代法是非线性方程组求根的一个基本方法，它二次收敛到单根，线性收敛到重根•牛顿法因收敛速度快而得到广泛应用，也倍受学者的重视，近年来很多文献中提出各种改进的牛顿方法•文献［8］中利用Newton迭代法和微分中值定理“中值点”的渐进性，提出了一种多点迭代法.设f （x ）满足下述条件:f x 卢 c 2 l.a,b ］, f a f b ：： 0 ；因此，当b 与a 的距离无限接近时有:1:a - b-a .也就是说，在区间（a,b ）不甚大时，中值点 一定在其渐近位置2:a 2 ^a 附近，并随区间变小而趋于其渐近位置.图所示迭代法构造图本方 案基于上述考虑，给出一种通过迭代点选取另一个点，利用两个点进行迭代求近 似根的新方法•这种方法虽然在迭代中又只利用了一个其它点，但其计算精度却相 当高，它的某一种特殊情形恰是通常的 Newt on 迭代法.为了更加直观起见，我们 通过几何直观图来构造这种迭代法•设f x 满足条件（A ），当选定初值x o （仅要求f x o f " x 0），如图所示，作交点的切线交x 轴于B x o -丄旦,0I f （ X 。
）AQ 线段的斜率为:f ' x - 0， f" x 在［a,b ］上保号. 根据微分中值定理，存在• （a,b ），使得:f (沧)一 f x o - (A)=f ，而 12 图1 迭代法构适图f (Xo )f '(x o )」使得:由微分中值定理知，存在f x oX 。
/ ;:应丫。
f r 。
“ "仏）丿重复上述过程，得到多点迭代公式f （X k ） X k 1 =Xk -f （ X k f Xk-Crf^H、、、 f （兀）丿其中 X k [a,b]，k =1,2,3,111.下面我们对上述事实，从理论上加以严格证明.定理 设f X 满足条件（A ），则由多点迭代公式（1）产生的序列｛X n ｝必收敛于 ［a, b ］上的唯一 a ，这里 x n ：= a,b 丨，f a ］=0 .证明函数f X 在上连续，由连续函数根的存在定理，从 f a f b ：：：0知道 f X 在〔a,b 上根存在，又由条件f x =0及f X 保号知道，f X 在〔a,b 1上不 变号，故f x 在l.a,b 1上是单调函数，因此f x 在l.a,b ］上根a 存在且唯一.由定理条件曲线y 二f x 可有如下四种不同情况：（1）f a ：： 0, f b 0, f " x 0，则 f ' x 单调上升，f ' a f ' b0 ； （2） f a <0, f b 0,f " x0，则 f ' x而.：、x 0 - P X 。
- 1 -rf （X 。
），因此，我们取数「V ,在点X 0「1「r b 作切线PC ，图中 AD 平行于PC .即用 点P 的导数门X 。
- 1 - r0）丿代替点A 的导数，而仍用点 A 的迭代格式得到点 D 的坐标x 0 一 Xo -（X 。
） （X 。
单调下降，f' a f' b 0 ；H I I I⑶ fa 0, f b <0, f x 0,则 f x 单调上升，f a f b ：： 0 ；⑷ fa 0, f b ::: 0, f " x ：0,则 f ' x 单调下降，f ' a f ' b ：： 0.通过对自变量的变号或对函数的变号可将四种情况归结为一种情况，所以我 们只需对情况(一)证明迭代过程(1)收敛就可以了 •若初值人：=[a,b],x 0 . a,所以f x o • 0，故有般地，若X n = a ，同样可以证明由式(2)得到的x n *满足ax n 十：：：焉.所以由 式⑴产生的迭代序列｛x n ｝单调下降且有下界.依极限理论必有极限.对式(2)两边取 极限，由极限理论可以求得 f a i=0.再由f ' x =0，x^ ■ l-a,b 1，可知函数方程 f x =0在〔a,b 】上的根是唯一的，因此有a 二a .当r =1时，式⑵即为Newton 迭代公式.f （a ）+f （f x 。
一a ） xf (加-a ) - 、T"鳥f x d J%）丿 一方面, 匚三［a.x ° ，且 f x 0 二 f x°-a .下证 f x < f&_（1_「）吕* . I f （x 。