2019-2020学年中考数学深度复习讲义 一元二次方程(教案+中考真题+模拟试题+单元测试).doc

2019-2020学年中考数学深度复习讲义 一元二次方程（教案+中考真

题+模拟试题+单元测试）

◆知识讲解

1．一元二次方程的一般形式ax 2

+bx+c=0（a ，b ，c 是常数，a ≠0） 2．一元二次方程的解法

（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．一元二次方程的求根公式是

b 2－4a

c ≥0）．

3．二元三项式ax 2

+bx+c=a （x －x 1）（x －x 2）．其中x 1，x 2是关于x 的方程ax 2

+bx+c=0•的两个实数根．

4．一元二次方程ax 2

+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2

－4ac ．当△>0时，•方程有两

个不相等的实数根x 1=2b a -+，x 2=2b a

-；当△=0时，方程有两个相等

实数根x 1=x 2=－

2b

a

；当△<0时，方程没有实数根． 5．若一元二次方程ax 2

+bx+c=0（a ≠0）的两个实数根为x 1，x 2，则x 1+x 2=－b a ，x 1x 2=c

a

． 6．以x 1，x 2为根的一元二次方程可写成x 2

－（x 1+x 2）x+x 1x 2=0．

7．使用一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2

－4ac•解题的前提是二次项系数a ≠0．

8．若x 1，x 2是关于x 的方程ax 2

+bx+c=0的两根，则ax 12

+bx 1+c=0，ax 22

+bx 2+c=0．反之，若ax 12

+bx 1+c=0，ax 22

+bx 2+c=0，且x 1≠x 2，则x 1，x 2是关于x 的一元二次方程ax 2

+bx+c=0的两根．

9．一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．

◆例题解析

例1 （2011安徽芜湖，20，8分）如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（2

17x +）cm ，正六边形的边长为

（2

2x x +）cm (0)x >其中.求这两段铁丝的总长.

【答案】

解: 由已知得，正五边形周长为5（217x +）cm ，正六边形周长为6（2

2x x +）cm.…2分

因为正五边形和正六边形的周长相等，所以22

517=2x x x ++（）6（）. ………………3分

整理得212850x x +-=, 配方得

2

+6=121x （），解得12=5=x x ，-17(舍去).………6分 故正五边形的周长为2

5517=⨯

+（）210(cm). …………………………………………7分 又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.

答：这两段铁丝的总长为420cm. ……………………………………………8分

例2已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程： x 2

－1=0 （1） x 2+x －2=0 （2） x 2+2x －3=0 （3） ……

x 2+（n －1）x －n=0 （n ）

（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n ）； （2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 【分析】由具体到一般进行探究．

【解答】（1）<1>（x+1）（x －1）=0，所以x 1=－1，x 2=1． <2>（x+2）（x －1）=0，所以x 1=－2，x 2=1． <3>（x+3）（x －1）=0，所以x 1=－3，x 2=1． ……

（x+n ）（x －1）=0，所以x 1=－n ，x 2=1．

（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根都是整数根等．

【点评】本例从教材要求的基本知识出发，探索具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查．

例3张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，•他将此矩形铁片的四个角各剪去一个边长为1m 的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱．且此长方体运输箱底面的长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

【分析】首先化无形为有形，画出示意图，分清底面、侧面，底面的长与宽和长方体的高各用什么数或式子表示，然后利用体积相等列出方程求解．

【解答】设这种运输箱底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意，

有x（x+2）×1=15化简，得x2+2x－15=0．

∴x1=－5（舍去） x2=2．

所求铁皮的面积为：（3+2）（5+2）m2=35m2．

所购矩形铁皮所需金额为：35×20元=700元．

答：张大频购回这张矩形铁皮花了700元钱．

【点评】画出示意图是解题的关键．另外本题所采用的是间接设未知数的方法．若直接设出购买铁皮所需金额就困难了．

2011年真题

一、选择题

1. （2011湖北鄂州，11，3分）下列说法中

①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等

②数据5，2，7，1，2，4的中位数是3，众数是2

③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形

④Rt△ABC中，∠C=90°，两直角边a，b分别是方程x2－7x＋7=0的两个根，则AB边

正确命题有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个