整除与余数

基本知识

一．整数的性质

1．整数的离散性

任何两个不同整数,a b 间的距离至少为1。于是有1a b a b <⇔+≤。 2．整数的奇偶性

能被2整除的数称为偶数，可表为()2m m Z ∈的形式；

不能被2整除的数称为奇数，可表为()2121m m m Z +-∈或的形式；

（1）奇数与奇数的和或差为偶数；偶数与偶数的和或差为偶数；奇数与偶数的和或差为奇数

（2）奇数与奇数的积为奇数；奇数与偶数的积为偶数；偶数与偶数的积为偶数

（3）奇数的平方可表为81()m m Z +∈的形式；偶数的平方可表为884()m m m Z +∈或的形式

（4）任意正整数n 均可表为2m

n l =的形式，其中0m ≥，l 为奇数 3．整数的整除性 （1）,a b b c a c ⇒

（2）()1

,1,2,

,n

i i i

i

i a b a

c b c Z i n =⇒∈=∑

（3）,0a c b ab cb ≠⇔

（4）a b a b ⇒≤；,a b b a a b ⇒=±

（5）() ,1a c

b c ab c a b ⎫

⎪

⇒⎬⎪=⎭

（6）若p 为质数，且12n p a a a ，则p 必能整除()1,2,,i a i n =中的某一个

（7）若等式

1

1

n m

i j

i j a b

===∑∑中除某项外其余各项均能被c 整除，则此项也能被c 整除

（8）n 个连续整数中有且仅有一个能被n 整除

（9）任意n 个连续整数之积必能被!n 整除 二．带余除法

设,,0a b Z b ∈>，则,q r Z ∃∈，使得()0a bq r r b =+≤< ，且,q r 唯一。 事实上，取不超过a 的b 的最大倍数bq ，即q 满足()1bq a b q ≤<+，令r a bq =-，则有0r b ≤<。存在性得证。

下证唯一性：

设另11,q r Z ∃∈，使得()1110a bq r r b =+≤<，则有()()11a a b q q r r -=-+-，即()11b q q r r -=-，从而()1b r r -，但10r r b ≤-<，故10r r -=，即1r r =，于是1q q =。唯一性得证。

三．整数尾数函数的性质

a Z ∈的个位数称为a 的尾数，记为()G a ，()G a 称为尾数函数。

（1）()()

()G G a G a = （2）()()()()()1212n n G a a a G G a G a G a +++=+++

（3）()()()()()1212n n G a a a G G a G a G a ⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅，特别地，()()()n n G a G G a =

（4）()()()100,10G a G a b G b =+= （5）()()10a b c G a G b -=⇒=

（6）()()

44,,k G a G a a k N +=∈，即方幂的尾数是指数呈现以4为周期的循环。 （7）(

)()

4,0,04,,,k r r G a G a k r a k r N ++=≥<<∈

（8）()()()()()() (21)

1

124121212b n b b

b

G a b b G a

G a b b b b G a b b ⎧⎪⎛⎫⎪= ⎪⎨ ⎪⎝

⎭⎪⎪⎩

当为奇数,为偶数时当为偶数,为奇数或和均为偶数时当和均为奇数时 典型例题

例1求满足不等式2

2

2

332a b c ab b c +++<++的,,a b c Z ∈。 解析 由2

2

2332a b c ab b c +++<++且,,a b c Z ∈，则

()2222

22

222

24320

3121044311022a b c ab b c b b a ab b c c b b a c +++---≤⎛⎫-++-++-+≤ ⎪⎝⎭

⎛⎫⎛⎫

-+-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

于是有 11022

b b

a c -

=-=-= 从而得 1,2,1a b c ===

点评：本题充分利用整数的离散性和配方法进行变形。 例2设221,0k

k F k =+≥。证明：若,m n >则()2n m F F -。

解析 整理易知，所证结果为(

)(

)

2221

21n

m

+-。联想证明(

)(

)

1

222121n m

+--，再利用

()

(

)()

12

2222

222121212121n n

n

n

n

+⋅-=-=-=+-即可得证。

点评：此题关键在于利用因式分解()()121k k k k k a b a b a a b b ----=-+++。

例3求证：当n 为奇数时，()1

111!n k n n k

-=-⋅

∑。 解析 由n 为奇数可知，

1

1

1k k =∑为偶数项和。注意到11,11n n n +=--()1

1,2222n n n +=-- 的分子均为n ，分母均能整除()1!n -，故可利用配对法解决。 例4设,,m n N +∈且2m >，证明：()()21

2

1m n

-+。

解析 按,m n 的大小关系分三种情形讨论：

（1）当()2n m m <>时，2121m

n

->+，显然()()21

2

1m n

-+。

（2）当n m =时，由于1

2122n

m ++<-，故21

1221

n m

+<<-，即()()212

1m n

-+。

（3）当n m >时，

设,0,0n mq r r m q =+≤<≥，于是()212

121221n mq r

mq r r ++=+=-++，因为

0r m ≤<，所以()()212

1m r

-+，而()()2121m mq --，故()()212

1m n

-+。

由上述（1）（2）（3）得结论成立。

例5设00ax by +为形如ax by +（,a b 不全为零）的整数中最小的正数，证明：,x y Z ∀∈，