二次函数解题思路.docx

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解决二次函数难题的新思路

解决二次函数难题的新思路解决二次函数难题的新思路1. 引言二次函数是高中数学中的基本概念，许多学生在学习这一部分时常常感到困惑。

本文将提供一种新的思路，帮助学生更好地解决二次函数难题。

2. 二次函数的基本定义二次函数是指具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在解决二次函数难题时，可以从以下几个方面入手。

3. 分析二次函数的图像可以通过分析二次函数的图像来解决难题。

学生可以观察二次函数的顶点、开口方向以及对称轴等特征，从而得到一些有用的信息。

当a > 0时，函数图像开口向上，顶点为最小值点；当a < 0时，函数图像开口向下，顶点为最大值点。

这些特征对于理解和解决难题都非常重要。

4. 利用求解公式学生可以利用二次函数的求解公式来解决难题。

即通过求解方程ax^2 + bx + c = 0来求得二次函数的零点。

求解公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / (2a)。

通过代入a、b、c的值，可以求得二次函数的零点，并进一步分析二次函数的性质。

5. 利用完全平方公式另一种解决二次函数难题的新思路是利用完全平方公式。

完全平方公式的形式为a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

通过利用完全平方公式，可以将二次函数表示为完全平方形式，进一步简化计算过程。

对于二次函数f(x) = x^2 + 4x + 4，可以将其化简为(x + 2)^2，从而得到函数的顶点和其他重要信息。

6. 利用因式分解法还可以通过因式分解的方法解决二次函数难题。

对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，可以尝试将其进行因式分解，从而求得方程的解。

因式分解的方法可以更好地理解二次函数的性质，并在解题过程中提供指导。

7. 解决实际问题学生可以通过解决实际问题来应用二次函数的知识。

可以利用二次函数来求解物体的抛射运动问题，或者通过建立二次函数模型解决其他实际问题。

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)(可编辑修改word版)

所以 S 2S△ADN ．
所以，四边形 MDNA 的面积 S (8 2t)(1 2t) 4t2 14t 8 ．因为运动至点 A 与点 D 重合为止，据题意可知 0 ≤ t 4 ．所以，所求关系式是 S 4t2 14t 8 ， t 的取值范围是 0 ≤ t 4 ．
单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，
点 M ，点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点 A 与点 D 重合为止．求出四边形 MDNA 的面积 S 与运动时间 t 之间的关系式，并写出自变量 t 的取值范围；（3）当 t 为何值时，四边形 MDNA 的面积 S 有最大值，
函数解题思路方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 ax²+bx+c=0 中 a,b,c 的符号，或由二次函
数中 a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的
二次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线 C1 与坐标轴的交点依次是 A(4，0) ， B(2，0) ， E(0，8) ．
（1）求抛物线 C1 关于原点对称的抛物线 C2 的解析式；
（2）设抛物线 C1 的顶点为 M ，抛物线 C2 与 x 轴分别交
于 C， D 两点（点 C 在点 D 的左侧），顶点为 N ，四边形 MDNA 的面积为 S ．若点 A ，点 D 同时以每秒 1 个
并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形 MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时 t 的值；若不能，请说明理由．

二次函数解题思路十大技巧

二次函数解题思路十大技巧二次函数解题技巧：二次函数有点难，求点坐标是关键。

一求函数解析式，再求面积带线段。

动点问题难解决，坐标垂线走在前。

三角相似莫相忘，勾股方程解疑难。

二次函数解题思路技巧1.平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。

顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。

2.轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。

二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。

顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。

但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 + k 、 y=a ( x + h ) 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式。

.2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右”。

“y=ax2 → y=a ( x + h ) 2 + k ”“加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的。

.总之，如果两个二次函数的“二次项系数”相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般“形式”，应先化为顶点式再平移。

3 、通过描点“画图”、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；。

二次函数知识点总结[1].docx

二次函数考查重点与常见题型
1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以x为自变量的二次函数y( m2 ) x2m2m2的图像经过原点，则m的值是
2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大致是（）
3
当b
0
时，
b
0
，即抛物线的对称轴在
y轴右侧；
2 a
当b
0
时，
b
0
，即抛物线的对称轴就是
y轴；
2 a
当b
0
时，
b
0
，即抛物线对称轴在y轴的左侧．
2 a
总结起来，在a确定的前提下，
b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：对称轴
x
b
0，在y轴的右侧则ab
0，概括的说就是
在y轴左边则ab
2a
“左同右异”
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
bx c（a，b，c为常数，a
0）；
2
k（a，h，k为常数，a
0）；
h )
x )( x
x
)（a
0，x
，x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

(完整word版)中考二次函数压轴题解题技巧

(完整word版)中考二次函数压轴题解题技巧二次函数是中考数学中的重要内容之一，其中压轴题更是考察学生对二次函数掌握程度的重要指标。

解题技巧的掌握能够帮助学生更好地应对这类问题，今天我们就来讨论一下中考二次函数压轴题的解题技巧。

首先，我们需要明确二次函数的一般形式。

一般来说，二次函数可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，并且a不等于0。

这是解题的基础，我们需要根据题目中给出的条件，确定出a、b、c的值。

其次，我们需要确定二次函数的图像特征。

二次函数的图像形状是一个抛物线，具体形状取决于a的正负情况。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

这个特点在解题时非常重要，可以帮助我们快速确定函数的大致图像。

根据二次函数的特征，我们可以通过一些已知条件来确定函数的具体形状和特点。

常见的已知条件有：顶点坐标、过定点的直线、与坐标轴的交点等。

这些条件可以通过构建方程来解决。

对于顶点坐标已知的情况，我们可以利用顶点坐标的表示形式(x,y)和二次函数的一般形式来构建方程。

比如，已知函数的顶点为(2,3)，我们可以得到方程y=a(x-2)^2+3。

然后，根据题目中给出的其他条件继续建立方程，例如过点(-1,4)等。

如果已知过定点的直线，我们可以利用直线的一般方程和二次函数的一般形式来建立方程。

通过求解二次方程，我们可以得到与直线交点的横坐标，从而确定函数的特点。

此外，还有一种常见的已知条件是二次函数与坐标轴的交点。

当二次函数与x轴交点时，y=0；当二次函数与y轴交点时，x=0。

根据这个特点，我们可以得到一些有用的信息，比如方程y=ax^2+bx+c中，当x=0时，y=c，因此函数与y轴的交点为(0,c)。

类似地，当y=0时，我们可以求解二次方程得到交点的横坐标，从而确定函数的其他特点。

要解题成功，我们需要把握好几个关键点。

首先，仔细阅读题目，理解题目所给条件和要求。

其次，根据已知条件确定二次函数的一般形式。

二次函数题型解题思路

二次函数题型解题思路1.求二次函数表达式（1）利用待定系数法求函数解析式例题1：二次函数y=-x2+b x+4中有只有一个未知数，实际上有一个完整点的数据，就可以求出b的值，给出两个不完整的点，也包含一个未知数n，因此需要列出两个方程就能就出n和b的值解方程得n=-4（2）利用函数平移法求函数解析式例题2其顶点从原点O移动到y=x直线上的A处，则移动后的抛物线表达式是？解：2.图像的性质与图像的平移,（1）例题3：1）知识点：因为关于y轴对称，所以这两个二次函数的对称轴也关于y轴对设第一个函数的对称轴为h1,另一个的对称轴为h2,则有:h1+h2=0因为关于y轴对称，他们的图像与y轴交于同一点解：由第一个知识点有：h1+h2=01-2m+3m+n=0m+n+1=0由第二个知识点有：2m-4=n解方程：m=1,n=-23.系数与函数的关系例题4：知识点和解题思路：二次函数和系数的关系，结合特殊点，进行运算解①：由图像开口向下可知a<0由图像可知，x=0时图像与y轴的交点在x轴上方，因此c>0所以①a b c>0正确解②：由函数与x轴交于(-3,0)，因此有9a-3b+c=0由对称轴关系可知b=a9a-3a+c=0,6a+c=0所以3a+3a+c=03a+c=-3a又因为a<0所以3a+c=-3a>0,因此②正确解③因此③错误解④：因为：6a+c=0,有c=-6a又有b=a因此④正确解⑤解⑥二次函数a(x+3)(x-2)+3=0，写成a(x+3)(x-2)=-3，看做函数与直线y=-3的交点由a(x+3)(x-2)可知，其与x轴的交点分别为(-3,0)和(2,0)，a<0所以抛物线开口向下，a(x+3)(x-2)与y=-3的交点在x轴下方，配合二次函数的增减性可知m<-3,n>2。

中考数学二次函数解题技巧.docx

1、(10广东茂名25题)(本题满分10分)2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=~- x 2+b x+c^.过A (0, —4)、B(X],O)、C ( x 2 , 0)三点，且x2 -x ,=5.(1)求方、c的值；(4分)(2)在抛物线上求一点D,使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；(3分)(3)在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由・(3分)解：2、(08广东肇庆25题)(本小题满分10分)己知点A (a,)、B (2a, y2)、C (3a, y3)都在抛物线y = 5x2 + 12x 上.(1)求抛物线与兀轴的交点坐标；(2)当a二1时，求△ABC的面积；(3)是否存在含有乳、)，2、〉'3,且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.3、(08辽宁沈阳26题)(本题14分)26.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边在兀轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB = \, OB = &>,矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转6(T后得到矩形EFOD•点力的对应点为点E,点B的对应点为点F,点C的对应点为点D,抛物线y = ax1 + /?% + c il点A, E, D .(1)判断点E是否在y轴上，并说明理由；(2)求抛物线的函数表达式；(3)在兀轴的上方是否存在点P,点Q,使以点O, B, P, Q为顶第26题图点的平行四边形的而积是矩形ABOC面积的2倍，II点P在抛物线上, 若存在，请求出点P,点Q的坐标；若不存在，请说明理Ftl.4、(08辽宁12市26题)(本题14分)26.如图16,在平面直角坐标系中，直线y =-区-爲与兀轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y = ax2-^x + c(a^0)经过A, B, C三点.3(1)求过A, B, C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；(2)在抛物线上是否存在点P,使为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)试探究在直线AC上是否存在一点M ,使得AMBF的周长最小, 若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.图165、(08青海西宁28题)如图14,已知半径为1的口q与兀轴交于A, B两点,为口q的切线，切点为M,圆心q的坐标为(2,0),二次函数『=—F+加+ c的图象经过A, B两点.(1)求二次函数的解析式；(2)求切线OM的函数解析式；(3)线段OM上是否存在一点P,使得以P, O, A为顶点的三角形与△ 相似.若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标; 若不存在，请说明理由.6、(08山东济宁26题)(12分)△ABC 屮，ZC = 90°, ZA = 60°, AC = 2 cm.长为lcm 的线段曲在厶ABC的边ABh沿AB方向以lcm/s的速度向点B运动(运动前点M与点A重合).过M, N分别作AB的垂线交直角边于P, 0两点，线段MN运动的时间为ts・(1)若AAMP的面积为y ,写出y与r的函数关系式(写出自变量/的取值范I韦I)；(2)线段MV运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时r的值；若不可能，说明理由;(3)/为何值时，以C, P, Q为顶点的三角形与△ABC相似?(第26题图)7. （08四川巴中30题）（12分）30.已知：如图14,抛物线y = --X2+3与兀轴交于点A,点B,与直线・ 4y = -l x^b相交于点3,点C,直线y = --x + b与y4 4轴交于点E.（1）写出直线BC的解析式.（2）求AABC的面积.（3）若点M在线段AB±以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A, B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动.设运动时间为『秒，请写出△MNB的面积S与/的函数关系式, 并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？149、（08广东梅州23题）23・本题满分11分.如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB//CD, AD丄DB, AD=DC=CB, AB二4・以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.（1）求ZDAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴厶.（3）若P是抛物线的对称轴厶上的点，那么使APDe为等腰三角形的点P有几个？（不必求点P的坐标，只需说明理由）1110、(08广东中山22题)将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB二8, BC二AD二4, AC与BD相交于点E,连结CD.(1)填空：如图9, AC二_______ , BD二 _______ :四边形ABCD是 ______ 梯形.(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).(3)如图10,若以AB所在直线为兀轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图10的平面直角坐标系，保持AABD不动，将A ABC向无轴的正方向平移到A FGH的位置，FH与BD相交于点P,设AF=t, AFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.11、(08湖北十堰25题)已知抛物线y = -ax2 + 2ax + b与兀轴的一个交点为A(-l, 0),与y轴的正半轴交于点C.⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与兀轴的另一个交点B的坐标;⑵当点C在以AB为直径的OP上吋，求抛物线的解析式；⑶坐标平而内是否存在点M ,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形若不存在，请说明理由.B图1012、(08四川达州23题)如图，将AAOB置于平面直角坐标系屮，其屮点O为坐标原点, 点A 的坐标为(3,0), ZABO = 60°.(1)若△A03的外接圆与y轴交于点求D点坐标.(2)若点C的坐标为(-1,0),试猜想过D, C的直线与厶AOB的外接圆的位置关系，并加以说明.(3)二次函数的图象经过点O和All顶点在圆上, 求此函数的解析式.13、(08湖北仙桃等4市25题)如图，直角梯形OABC中，AB//OC f O为坐标原点, 点A在y轴正半轴上，点C在兀轴正半轴上，点B坐标为(2, 2^3 ), ZBCO= 60° ,OH丄BC于点H •动点P从点H出发,沿线段向点O运动，动点0从点O出发，沿线段04向点A运动，两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.设点P运动的时间为(秒.(1)求OH的长；(2)若AOPO的面积为S (平方单位).求S与f之问的函数关系式.并求f为何值时，卜OPQ的面积最大，最大值是多少？(3)设PQ与交于点M.①当△OPM为等腰三角形时，求(2)中S的值.②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论.14、(08甘肃兰州28题)(本题满分12分)如图19-1, OABC是一张放在平面直角坐标系屮的矩形纸片，O为原点，点A在兀轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，04 = 5,OC = 4.(1)在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求£>, E 两点的坐标；(2)如图19-2,若AE上有一动点P (不与A, E重合)自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为(秒(0</<5),过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S 与时间/之间的函数关系式；当/取何值时，S有最大值？最大值是多少？(3)在(2)的条件下，当/为何值时，以A, M, E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标.15、(08天津市卷26题)(本小题10分)已知抛物线y = 3ax2 + 2加+ c ,(I )若a = b = \ , c = -l,求该抛物线与兀轴公共点的坐标；(II)若a = b = \,且当-1<X<1时，抛物线与兀轴有且只有一个公共点，求c的取值范围; (III)若a + b + c = 0,且州=0时，对应的x >0；七=1时，对应的乃>0,试判断当0 vxvl 时，抛物线与兀轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由.16、(08江苏镇江28题)(本小题满分8分)探索研究如图，在直角坐标系xOy屮，点P为函数y = -x2在第一象限内的图象上的任一点，点A * 4的坐标为(0,1),直线/过3(0,-1)且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交兀轴，/于C, 2,连结AQ交x轴于直线交y轴于/?・(1)求证：H点为线段AQ的中点；(2)求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR为菱形；(3)除P点外，直线PH与抛物线y = -x2有无其它公共点？并说明理由. 一4。

二次函数压轴题解题思路[含答案解析]

二次函数压轴题解题思路一．基础知识1会求解析式2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。

图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。

一些方法：如相似、三角函数、解方程。

一些转换：如轴对称、平移、旋转二．典型例题（一）面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；转化思想．分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M 到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．（二）周长类3．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P 点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M 点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c 即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN 的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．（三）平行四边形类4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.专题：压轴题；存在型．分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P 在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．5．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）6．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．（四）等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．（五）综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x 轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD为直角三角形．（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P的坐标为：．三．对应练习13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A 点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直线BC的解析式为：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．15．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；。

二次函数题型及解题思路

二次函数题型转化1求函数曲线（直线）表达式（以各项系数为未知数，解方程）二次函数表达式确定：● 任意三点，利用一般型c bx ax y ++=2，求解三元一次方程 ● 顶点+任意一点，利用顶点式()k h x a y +-=2，直接带入顶点左边()k h ,，求解一元一次方程● 与x 轴交点+任意一点，利用双根式()()21x x x x a y --= 特别的：● 对于一般形⏹ c=曲线与y 轴交点的纵坐标 ⏹ 对称轴为y 轴时，b=0 ⏹ 顶点为原点时，b=0，c=0 ● 对于双根式⏹ 前提：曲线与x 轴有交点⏹ 顶点在x 轴上，双根式可简化为()21x x a y -=一次函数表达式确定：● 直线上任意两点，利用b kx y +=，求解二元一次方程● b=直线与y 轴交点的纵坐标1（2016大连）如图，抛物线453-2+=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 相交于点E（1）求直线BC 的解析式；（2）当线段DE 的长度最大时，求点D 的坐标．2证明点在曲线上（求动点方程）题型特点：满足特定条件或具有特定性质的所有点的集合曲线的确定。

解题思路：● 明确所求动点（确定对象）● 设该动点的坐标为()11,x y● 根据已知条件确定1y 与1x 的关系（将1y 转化为1x 的表达式） ● 将该表达式的1y 与1x 替换为y 与x ，即可获得该动点方程2（2016大连）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线412+=x y 与y 轴相交于点A ，点B 与点O 关于点A 对称（1）填空：点B 的坐标是（2）过点B 的直线y=kx+b （其中k ＜0）与x 轴相交于点C ，过点C 作直线l 平行于y 轴，P 是直线l 上一点，且PB=PC ，求线段PB 的长（用含k 的式子表示），并判断点P 是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C 关于直线BP 的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P 的坐标．3特定的已知条件转化● ()11,y x A 与()22,y x B 距离()()221212y y x xd -+-=⏹ 两点可能都是定点 ⏹ 其中一点是定点，另一点为曲线上的点，将动点的y 用其对应的x 表示 ● 两曲线（直线）在垂直方向的距离12y y d -=，注意区分曲线的上下位置关系（交点）3（2015大连）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（2m,m ），翻折矩形OABC,使点A 与点C 重合，得到折痕DE.设点B 的对应点为F,折痕DE 所在直线与y 轴相交于点G ，经过点C 、F 、D 的抛物线为c bx ax y ++=2（1）求点D 的坐标（用含m 的式子表示）（2）若点G 的坐标为（0，-3），求该抛物线的解析式。

初中数学文档：二次函数应用的解题思路

二次函数应用的解题思路二次函数是一类最优化问题的数学模型，能指导我们解决生活中的实际问题，因为数学来源于生活，更能优化我们的生活。

这种题型的解题思路是：1.理解问题；2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系；3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 设未知数(确定自变量和函数)；找等量关系,列出函数关系式;化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等)；求自变量取值范围；利用函数知识，求解（通常是最值问题）；4.检验结果的合理性,拓展等,写出结论。

类型一经济利润问题例1．（2010山东青岛）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）（2010 河北）某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =1001-x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是24(,)24b ac b a a --．（2010 山东省德州）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y 1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y 2元.（1）分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？类型二几何图形问题例1．（2010湖南郴州）如图，已知∆ABC 中，90A ∠=，6,8AB AC ==，D 是AB 上一动点，DE ∥BC ，交AC 于E ，将四边形BDEC 沿DE 向上翻折，得四边形B DEC ''，与AB 、AC 分别交于点M 、N.（1）证明：∆ADE ABC ∽△；（2）设AD 为x ，梯形MDEN 的面积为y ，试求y 与x 的函数关系式. 当x 为何值时y 有最大值？（2010江苏扬州）在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；（3）若F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．（2010 山东东营）如图，在锐角三角形ABC 中，12 BC ，△ABC 的面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC 上的两个动点（D 不与，重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点的异侧作正方形DEFG .（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；A BCD A B C D备用图第25题 C 'B 'N ME DC B A（2）设DE = x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.类型三抛物线型问题例1．（2010山东日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o ，O 、A 两点相距8米．（1）求出点A 的坐标及直线OA 的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点．（2010 四川南充）如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC B （第24题图） ADE F GC B （备用图（1）） A C B （备用图（2）） A C＝3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？练习2. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。