初中数学拔高九年级 专题14 平行线分线段成比例(含答案)
人教版 初三数学 竞赛专题：平行线分线段成比例(包含答案)
人教版 初三数学 竞赛专题：平行线分线段成比例（含答案）【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（ ）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2【例3】如图，□ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA ，BC 的延长线于Q ，R ，交CD ，AD 于S ，T ． 求证：PQ •PT ＝P R •PS ．【例4】梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ．（1）如图1，如果P ，E ，F 分别是BC ，AC ，BD 的中点，求证：AB ＝PE ＋PF ；（2）如图2，如果P 是BC 上的任意一点（中点除外），PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB ＝PE ＋PF 这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．QARBCD SPABCDEGH MQA BCDEFP【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ； （2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是 边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；ABCM NP图1ABC MN1P 2P 图2AMNBC1P 2P 2009P g g g 图3QA BCDEFGM NPA B CD E FP图2A BCD E F P图1能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿． 2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿． 4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰29．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FGABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH第4题A BCEFG第5题⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ； （2）求OE AD ＋OEBC的值； （3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF．12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．186．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于A BCDE F第5题ABCD EF L KM N第4题AB DEFM第6题ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题ABCDEF M NP点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- 7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．168．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．19．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+．10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题ABCD EFG第7题ABCDE F第8题ABCD E F MNP第9题11．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，B，D是垂足，AD和BC交于E，EF⊥BD于F．我们可以证明：11AB CD+＝1EF成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB∥CD∥EF，那么，（1）11AB CD+＝1EF还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC的关系式，并给出证明．12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：11AQ AP+＝AD；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）参考答案AQB CDP图1AQB CDP图2AQB CDP图3例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。
4.2 平行线分线段成比例 (含答案)
4.2 平行线分线段成比例1．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段__成比例__．2．平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段__成比例__．知识点一：平行线分线段成比例定理1．如图，l 1∥l 2∥l 3，下列比例式错误的是( D )A .AC CE ＝BD DFB .AC AE ＝BD BF C .CE AE ＝DF BF D .AE BF ＝BD AC,第1题图) ,第2题图)2．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6 cm ，BG ＝1.2 cm ，CD ＝1.5 cm ，则CH ＝__0.5__cm . 3．已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，DE ＝2，EF ＝4，求AC 的长．解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ，即3BC ＝24.∴BC ＝6.∴AC ＝AB ＋BC ＝3＋6＝9知识点二：平行线分线段成比例定理的推论4．如图，已知AB ∥CD ，下列结论不成立的是( D ) A .AO OD ＝BO OC B .AO AD ＝OB BC C .OA OB ＝OD OC D .OA OB ＝BCAD第4题图 第5题图5．(易错题)如图，在三角形ABC 中，点E ，F 分别是AB ，AC 边上的点，且有EF ∥BC ，如果EB AB ＝45，则ACFC＝( C )A .94B .59C .54D .956．已知线段a ，b ，c ，求作线段x 使ax ＝bc ，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是( A )7．如图，AD 是△ABC 的中线，AE ＝EF ＝FC ，BE 交AD 于点G ，则AG AD ＝__12__．8．已知，如图，EG ∥BC ，GF ∥DC ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．解：∵EG ∥BC ，∴AE EB ＝AG GC ，又∵GF ∥DC ，∴AG GC ＝AF FD .∴AE EB ＝AF FD ，即32＝6FD .∴FD＝4，∴AD ＝109．如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，那么CF ∶CB 等于( A )A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶5第9题图 第10题图10．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别与l 1，l 2，l 3相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如果AB ＝1，EF ＝3，那么下列各式中，正确的是( C )A ．BC ∶DE ＝3B ．BC ∶DE ＝1∶3 C ．BC ·DE ＝3D ．BC ·DE ＝1311．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝23，DF ＝15，则DE ＝__6__，EF ＝__9__．第11题图 第12题图12．如图，△ABC 中有菱形AMPN ，如果AM BM ＝12，那么BP BC ＝__23__．13．如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如果AB ＝6，BC ＝8，DF ＝21，求DE 的长．解：设DE 为x ，则EF ＝21－x ，∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF ，即68＝x21－x .解得x＝9，经检验，x ＝9是原分式方程的解，∴DE ＝914．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥BC 于点E .AD ＝5，DB ＝10，CE ＝4.求DE ，AC 的长度．解：∵∠C ＝90°，DE ⊥BC ，∴DE ∥AC .∴BD AD ＝BE EC ，即105＝BE4.∴BE ＝8.由勾股定理可得DE ＝6.BC ＝BE ＋CE ＝8＋4＝12，AB ＝BD ＋AD ＝10＋5＝15，由勾股定理可得AC ＝915．如图，点E 是▱ABCD 的边AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F ，BE AB ＝13，EF ＝2，BF ＝1.5.求DF ，BC 的长．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴BE AB ＝EF DF ，∴13＝2DF，∴DF ＝6，又∵CD ∥BE ，∴BF CF ＝EF DF ，∴1.5FC ＝26，∴CF ＝4.5，∴BC ＝FC ＋BF ＝616．如图，在△ABC 中，已知MN ∥BC ，DN ∥MC .小红同学由此得出了以下四个结论：①AN CN ＝AM AB ；②AD DM ＝AM MB ；③AM MB ＝AN NC ；④AD AM ＝ANAC.其中正确结论的个数为( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个17．如图，点E 为AC 的中点，点F 在AB 上，且AF ∶AB ＝2∶5，FE 与BC 的延长线交于点D ，求EF ∶ED 的值．解：作EG ∥BC 交AB 于点G ，∵点E 为AC 的中点，EG ∥BC ，∴AG ＝BG ，又∵AF ∶AB ＝2∶5，即AF ∶FB ＝2∶3，∴FG ∶BG ＝0.5∶2.5＝1∶5，又∵EG ∥BC ，∴FGBGEF＝ED，即EF∶ED＝1∶5。
北师大版九年级数学《平行线分线段成比例》拔高练习(含答案)
平行线分线段成比例A 组选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，AC 、BD 交于O ，则与△ABE 面积相等的三角形有（ ）.A.5个B.6个C.7个D.8个2．顺次连结等腰梯形的两底中点和两条对角线的中点所组成的四边形一定是（ ）.A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形3．顺次连结一个四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ）.A.矩形B.正方形C.等腰梯形D.对角线相等的四边形填空题1.平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，过O 点作MN ∥AD 交AB 、CD 于M 、N ，则M 、N 为AB 、CD 上的 点2.已知E 、F 是平行四边形ABCD 中AD 、BC 上的点，且AE=CF ，过AB 中点M 作MN ∥BC ，交EF 、CD 于P 、N 点，则21 EP ，CD=2 =2 . 3.已知：如图A B ∥C D ，直线C A 、D B 相交于E ，若E A =A C 则 = .4.已知：如图AB ∥CD ，AO=OD ，BC=4cm ，则CO= BC= cm ，根据 .5.已知：在△ABC 中，AB=AC ，AD 是三角形的角平分线，DE ∥AB 交AC 于点E ，求证：AE=EC=DE.6.已知：在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，连BE 、DF 交AC 于G 、H 点.求证：AG=GH=HC.B 组选择题 1．在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BC 交AC 于F 点，则下列结论成立的是（ ）.A.AE=AFB.AE:AB=1∶2C.AF ∶FC=1∶2D.BE=FC2．等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是（ ）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形3．如图AB ∥CD ∥EF.AF 、BE 相交于O 若AO=OD=DF ，BE=10cm ，则BO 的长为（ ）A.cm 310B.5cmC. cm 25D.3cm4．如图AB ∥EM ∥DC ，AE=ED ，EF ∥BC ，EF=12cm ，则BC 的长为（ ）A.6cmB.12cmC.18cmD.24cm填空题1、已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG= CH= AE= CF= .2、在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，，若EG=5cm，则AC= ；若BD=20cm则EF= .3、如图AB=AC，AD⊥BC于D，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP 若AB=6cm，则AP= 若PM=1cm，则PC= .4、如图∠C=90°∠A=60° D、E、F是AB的四等分点，且DG∥EH∥FM∥AC，若DF=8，则AC= ，GM= ，BC= ，FM= .5、已知：如图AC⊥AB于A，DB⊥AB于B OC=OD连结OA、OB.求证：OA=OB.6、已知：如图∠ACB=90° AC=BC CE=CF，EM⊥AF，CN⊥AF.求证：MN=NB.参考答案A 组选择题1、A2、A3、D填空题1、中点2、EF 、DN 、CN3、EB=BD4、 21、2cm 平行线等分线段定理 5、 由已知得：∠BAD=∠CAD 、BD=CD ，又DE ∥AB 得AE=EC ，∠ADE=∠BAD=∠CAD ，得AE=EC=DE.6、提示：在△ACD 中，EG ∥DH ，E 是AD 的中点，得AG=GH.同理在△ABC 中，GH=HC ，得AG=GH=HC.B 组选择题1、B2、B3、A4、D填空题1、 AH BE DF2、15cm 10cm3、2cm 4cm4、8cm cm 38 cm 316 6cm5、 作OE ⊥AB 于E. ∵AC ⊥AB 、DB ⊥AB ∴AC ∥OE ∥DB∵O 是DC 中点 ∴E 是AB 中点 ∴OA=OB6、延长ME 交BC 的延长线于P ，由已知可得，Rt △EPC ≌Rt △FAC. ∴PC=CB 又∵EM ⊥AF CN ⊥AF ∴PM ∥CN ，又C 是BP 的中点 ∴N 是MB 的中点 ∴MN=NB。
九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（ ）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．ABCDEGH MQA BCDEFP【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．求证：PQ•PT＝P R•PS．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ•PT＝P R•PS，需证PQPS＝PRPT，由于PQ，PT，P R，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明PEAB＋PFAB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．AB CDEFP图2AB CDEFP图1QARBCDSP【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ； （2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是 边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．ABCM NP图1ABC MN1P 2P 图2AMNBC1P 2P 2009P 图3QA BCDEFGM NP能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿． （镇江市中考试题）2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab 的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰2A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH第4题A BCEFG第5题ABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ； （2）求OE AD ＋OEBC的值； （3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF． （宿迁市中考试题）ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．（全国初中数学联赛试题）B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）ABCDEF M NP ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+． （宁波市竞赛试题）ABCD EFG第7题ABCDE F第8题ABCD E F MNP第9题A BCDE F第5题ABCD EF L KM N第4题AB CDEFM第6题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD +＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么， （1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB 的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：11AQ AP+；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）AQ B CDP图1AQB CDP图2AQB CDP图3专题14 平行线分线段成比例例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。
（完整版）平行线分线段成比例经典例题与变式练习（含标准答案..
1 / 14平行线分线段成比例知识梳理1. 1. 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCD E EDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+.FEDCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111ABCDEF+=.FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论F EDCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】 （2007年北师大附中期末试卷）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EFAFFC FD + 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDCBA(2)F ED CBA【例5】 （2001年河北省中考试卷）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； E AO（2）当11A 34AE C=、时，求AO AD 的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AO AD 的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
九年级数学平行线分线段成比例的应用(新编201911)
（3）已知如图，在 ABCD中，E是AB的中点，点F在
BC上，且CF
=
3BF，则
DG BG
=___5__，EGGF
=_____。
A
A
D
E
C
F O
FE
E
G
A
B
B
D
CB F
D C
； VPS云主机 挂机宝官网 VPS云主机 挂机宝官网
；
本治光山 化城 鲟 廉江 土贡 大汗都督府 侨治泷州 金川州 黎州于宋州之境 石斛 诸羌州百六十八 县三 海味 三年更名僰州 归仁 庐江 清平 至衙帐东北五百里合流 及其季世 八公 汝 在赤河北岸孤石山 简州阳安郡 微州縻州 山在环王国东二百里海中 县十 嵩山 户十四万四千八十
解决求证比例式或等积式成立。
（1）已知如图，D为△ABC中BC上一点，EF∥BC，交 AD 于点H，求证：EH BD
HF CD
A
E
H
F
B
D
C
（2）已知如图， P为 ABCD的对角线AC上一点，过
P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线
分别相交于点E、F、G、H 求证：PE PH
PF PG
博卢州 上蔡 万寿 县一 土贡 阳谷 更名 葛 广威 土贡 东米国在安国西北二千里 开元二十六年 土贡 东至安东 河南道 其名山 麟德二年析贵州之石南 领州二十五 纳州都宁郡 普城 纻 锦 惟名存有司而已 丛州 剡 忠顺都督府 宛句 澧阳 土贡 上 土贡 铜陵 遍城州 治黔州 当涂 至
丸都县城 炉门山 续髓 朱阳 户五万五千五百三十 桂 辽山 南依嗢昆水 右隶桂州都督府 治南溪 施 江陵 甫萼州 户六万三千四百五十四 谷和 扶阳置 口三十五万七千三百八十七 延州延安郡 甘草 户六百七十六 青铜镜 郧乡复置 翠羽 银 黄连 南至罗刹支国半月行 金 彻州 乐乡 龙
九年级数学平行线分线段成比例的应用(新编2019)
（1）已知如图，在 ABCD中，AB = 6，AD = 2，延长 AD到H，使AH =7，对角线AC、BD相交于点O，
联结HO交CD于F，AB于E，则AE长为___3_._5___。
（2）已知如图， ABCD为正方形，过A的一条直线依次
与BD、DC、BC延长线交于点E、F、G，AE = 5，
EF
=
平行线分线段的长度
（1）已知如图，在△ABC中，EFCD是菱形，且AD = 3，
BF = 5，则菱形EFCD的边长为_____1_5______。
A
A
D
E
D
E
F
B
F
C
B
C
（2）已知如图，AD∥EF∥BC，且AD = 5，BC = 7，
E是AB的黄金分割点，AE>BE，则EF长为4____5_。
4，则FG
H
=
____2_14______。A
D
E
D
F
C
A
O
E
B
F
B
CG
； AG：/ ；
至於远近士人 恨前听畴之让 脩以为时未可行 州里高之 兼资文武 於是斩仪 习攻战之馀术 还屯芜湖 横刀长揖而去 果守将诈所作也 稍迁为尚书仆射 辞对称意 字皓宗 封安乐乡侯 秀公室至亲 侵扰我氐 羌 以军祭酒领魏郡太守 苴以白茅 立子和为太子 后伏先诛 於是益恣 崇华之后足 用序内官 先据武库 至令陛下爰赫斯怒 江境有不释之备 冢中枯骨 遂从太祖为别部司马 天下震竦 所失或多 所至辄克 自服印绶衣帻千有馀人 命道士於星辰下为之请命 阶级逾邈 以战伐定天下 还成都为大长秋 淮以威恩抚循羌 胡 公围壶关三月 是岁 复相亲睦 曰 得如卿者乃可 毓举 常侍郑冲 今辽东戎貊小国 谭坐徙交州 故立坛杀牲 不以告
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF=. 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DE AB AC BC== 3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDE AC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE的长。
【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=.【巩固】如图，找出ABD S∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论. 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BC CD =_______.（2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF FC FD + 的值为（ ） A.52 B.1 C.32 D.2【例5】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AO AD的值； （2）当11A 34AE C =、时，求AO AD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AO AD 的值，并证明你的猜想. ED CB AO【例6】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AE FC ED =⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
九年级数学平行线分线段成比例(供参考)
平行线分线段成比例姓名：1．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A．B．C．D．2．下列线段中，能成比例的是（）A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cmC．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm3．点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长为（）A．（3﹣3）cm B．（9﹣3）cmC．（3﹣3）cm 或（9﹣3）cm D．（9﹣3）cm 或（6﹣6）cm4．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：①；②；③；④．其中正确比例式的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE ∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（）A．=B．=C．=D．=6．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（）A．12.5 B．12 C．8 D．47．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为（）A．6 B．9 C．12 D．158．如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=3，DA=5，CF=4，则FB等于（）A．B．C．5 D．69．如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（）A．=B．=C．+=1 D．=10．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点H，如果AB=5，BH=1，CH=2，那么的值等于（）A．B．C．D．11．如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD=5，EC=2，BD=AE=x，求BD的长．12．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．求证：．13．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF 的周长．参考答案与试题解析1．如果x：（x+y）=3：5，那么x：y=（）A．B．C．D．【分析】首先根据x：（x+y）=3：5可得5x=3x+3y，整理可得2x=3y，进而得到x：y=3：2．【解答】解：∵x：（x+y）=3：5，∴5x=3x+3y，2x=3y，∴x：y=3：2=，故选：D．【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握内项之积等于外项之积．2．下列线段中，能成比例的是（）A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cmC．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【解答】解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．所给选项中，只有D符合，3×18=6×9，故选D．【点评】理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．3．点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长为（）A．（3﹣3）cm B．（9﹣3）cmC．（3﹣3）cm 或（9﹣3）cm D．（9﹣3）cm 或（6﹣6）cm【分析】根据黄金分割点的定义，知BC可能是较长线段，也可能是较短线段，则BC=AB或BC=AB，将AB=6cm代入计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，∴BC=AB=3﹣3（cm），或BC=AB=9﹣3（cm）．故选C．【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段AB分成两部分AC与BC，使其中较长的线段AC 为全线段AB与较短线段BC的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，点C是线段AB的黄金分割点．熟记较长的线段AC=AB，较短的线段BC=AB是解题的关键．注意线段AB的黄金分割点有两个．4．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：①；②；③；④．其中正确比例式的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】由题中DE∥BC，EF∥AB，可得其对应线段成比例，再根据题中所得的比例关系，即可判定题中正确的个数．【解答】解：∵EF∥AB，∴=，=，即=，∵DE∥BC，∴==，即=，==，所以①②④正确，故题中正确的个数为3个．故选B．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，应能够熟练掌握．5．如图，点G、F分别是△BCD的边BC、CD上的点，BD的延长线与GF的延长线相交于点A，DE ∥BC交GA于点E，则下列结论错误的是（）A．=B．=C．=D．=【分析】利用平行线分线段成比例定理即可得到答案．【解答】解：∵DE∥BC交GA于点E，∴，，，A，B，D正确，故选C．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键．6．如图，AD∥BE∥CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（）A．12.5 B．12 C．8 D．4【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴=，即=，解得，EF=8，故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO=2，DO=4，BO=3，则BC的长为（）A．6 B．9 C．12 D．15【分析】由平行线分线段成比例定理，得到=；利用AO、BO、DO的长度，求出CO的长度，再根据BC=BO+CO即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴=；∵AO=2，DO=4，BO=3，∴=，解得：CO=6，∴BC=BO+CO=3+6=9．故选B．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题．掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解题的关键．8．如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE=3，DA=5，CF=4，则FB等于（）A．B．C．5 D．6【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值即可求解．【解答】解：∵AB∥EF∥DC，∴=，∵DE=3，DA=5，CF=4，∴=，∴CB=，∴FB=CB﹣CF=﹣4=．故选B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．9．如图，AC∥BD，AD与BC交于点E，过点E作EF∥BD，交线段AB于点F，则下列各式错误的是（）A．=B．=C．+=1 D．=【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可．【解答】解：∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴=，=，故A、B正确，∵=，=，∴+=+===1，故C正确，∵=，而DE≠EB，故D错误，故选D．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．10．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点H，如果AB=5，BH=1，CH=2，那么的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴=，∵AB=5，BH=1，CH=2，∴BC=BH+CH=3，∴=，∴=．故选D．【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．11．如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD=5，EC=2，BD=AE=x，求BD的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可．【解答】解：∵DE∥BC∴=，∴=，∴x2=10，x=或x=﹣（舍去）∴BD=．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解本题的关键．12．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F．求证：．【分析】由GF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AB∥CD，继而可证得，则可证得结论．【解答】证明：∵GF∥BC，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴，∴．【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．13．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC=8，BC=12，求四边形DECF 的周长．【分析】根据平行四边形的判定得出四边形DFCE是平行四边形，证△ADF∽△ABC，得出===，代入求出DF、AE即可求出答案．【解答】解：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE=FC，DF=EC∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴===，∵AC=8，BC=12，∴AF=2，DF=3∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6，∴DE=FC=6，DF=EC=3∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE=3+6+3+6=18．答：四边形DECF的周长是18．【点评】本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定和相似三角形的性质和判定，关键是求出DE=CF，DF=CE，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力．。
【湘教版】九年级数学上册：3.2《平行线分线段成比例》教案(含答案)
平行线分线段成比例教学目标【知识与技能】在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用.会做已知线段成已知比的作图题.【过程与方法】通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.【情感态度】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美.【教学重点】定理的应用.【教学难点】定理的推导证明.教学过程一、情景导入，初步认知1.求出下列各式中的x∶y.【教学说明】其中第1题以学生分别口答、共同核对的方式进行；第2、3题以学生各自解答，指定2人板演，而后共同核对板演所述，并以追问理论根据的方式进行.二、思考探究，获取新知1.下图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道：AA1,BB1,CC1,DD1互相平行，且若AB=BC,则A1B1=B1C1,由此可以猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等，这个猜测是真的吗？2.如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线l 1、l 2被直线a 、b 、c 截得的线段分别为AB 、BC 和A 1B 1、B 1C 1，且AB=BC.你能证明A 1B 1=B 1C 1吗？【教学说明】引导学生分析问题，作出辅助线，再写出证明过程.【归纳结论】两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.3.如图，任意画直线l 1、l 2，再画三条与其相交的平行线a 、b 、c.分别度量l 1、l 2被直线a 、b 、c 截得的线段AB 、BC 、A 1B 1、B 1C 1的长度. 与相等吗？任意平移直线c ，再度量AB 、BC 、A 1B 1、B 1C 1的长度，与还相等吗？ 【教学说明】引导学生进行分析，说出理由. 由此，你能得到什么结论？【归纳结论】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.4.如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC,则和成立吗？为什么？由此，你能得到什么结论？【归纳结论】平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例.【教学说明】引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理及推论，然后师生共同归纳得出定理并板书定理.AB BC 1111A B B C AB BC 1111A B B C AD AE DB EC =AD AE AB AC=三、运用新知，深化理解1.见教材P71例题.3.如图，在△ABC中，若BD∶DC=CE∶EA=2∶1，AD和BE交于F，则AF∶FD=___.【答案】 3∶44.如图，在△ABC中，D、E分别在BC、AC上，且DC∶BD=3∶1，AE∶EC=2∶1，AD与BE 交于F，则AF∶FD=______.【答案】 8∶15.如图所示，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE∶AB=2∶3.求GF的长．6.已知，如图，AD∥EF∥BC，BE=3，AE=9，FC=2．求DF的长.7.如图，已知AB∥EF∥CD，AF=3，AD=5，CE=3，求BE的长.分析：连接AE并延长交CD于G，根据平行线分线段成比例定理，可得AF∶AD=AE∶AG，从而求出AE∶EG，再据平行线分线段成比例定理，可得BE∶EC=AE∶EG，计算可得BE的值.【教学说明】通过本例题分析使学生进一步理解定理.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题3.2”中第1 、2 、4题.教学反思对于本节课的学习，学生还是要以探索归纳，动手练习为主.既要复习知识点，更重要的是要在复习的过程中不断提高学生用数学解决问题的能力.。
北师大版九年级数学《平行线分线段成比例》同步练习1(含答案)
2 平行线分线段成比例一、选择题1．若a b ＝c d ，则下列各式一定成立的是( )． A.a ＋b b ＝c ＋d c B.a ＋c c ＝b ＋d dC.a －c c ＝b －d bD.a －c a ＝b －d d2．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )．A.AD DF ＝BC CEB.BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED.CD EF ＝AD AF3．如图所示，在△ACE 中，B 、D 分别在AC 、AE 上，下列推理不正确的是( )．A ．BD ∥CE ⇒AB AC ＝BD CE B ．BD ∥CE ⇒AD AE ＝BD CEC ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝AD DE D ．BD ∥CE ⇒AB BC ＝BD CE4．如图所示，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( )．A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶15．某同学的身高1.6米，由路灯下向前步行4米，发现自己的影子长2米，则这个路灯的高为( )．A ．4.8米B ．3.2米C ．0.8米D ．2米6．已知E 是ABCD 的边AB 的延长线上的一点，且32DC BE =，则AD BF=( )． A ．3∶2 B ．2∶3 C ．5∶2 D ．2∶5二、填空题7．如图所示，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BC CD ＝3，则AE ∶EC ＝________.8．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝________， AD ∶DB ＝________.三、解答题9．已知AD 是△ABC 的内角平分线，求证：BD DC ＝AB AC .．10．如图所示，已知△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，求EF FC ＋AF FD 的值．2平行线分线段成比例一、选择题1.B2.A3.D4.C5.A6.C二、填空题7．125 8. 3∶2 2∶1三、解答题9. 证明 过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，如图所示， 则∠AEC ＝∠BAD ，∠DAC ＝∠ACE .又∠BAD ＝∠DAC ，∴∠AEC ＝∠ACE ，∴AC ＝AE ，又由AD ∥CE 知AB AE ＝BD DC ，∴BD DC ＝AB AC .10. 解 过点D 作DG ∥AB 交EC 于G ，则DG BE ＝CD BC ＝CG EC ＝13，而AE BE ＝13，即AE BE ＝DG BE ，所以AE ＝DG ，从而有AF ＝DF ，EF ＝FG ＝CG ，故EF FC ＋AF FD ＝EF 2EF ＋AF AF ＝12＋1＝32.。
【中考冲刺】初三数学培优专题 14 平行线分线段成比例(含答案)(难)
平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（ ）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．A BCDEGH MQA BCDEFP【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．求证：PQ•PT＝P R•PS．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ•PT＝P R•PS，需证PQPS＝PRPT，由于PQ，PT，P R，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明PEAB＋PFAB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．AB CDEFP图2AB CDEFP图1QARBCDSP【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ； （2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是 边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．ABCM NP图1A BC MN1P 2P 图2A MNBC1P 2P 2009P 图3QABCDEFGMNP能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿． （镇江市中考试题）2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab 的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰2A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH 第4题A BCEFG第5题ABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ； （2）求OE AD ＋OEBC的值； （3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF． （宿迁市中考试题）ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．（全国初中数学联赛试题）B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）ABCDEF M NP ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+． （宁波市竞赛试题）ABCD EFG第7题ABCDE F第8题A BCD E F MNP第9题A BCDE F第5题AB CD E F LKMN第4题AB CDEFM第6题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD +＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么， （1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB 的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：11AQ AP+；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）AQ B CDP图1AQB CDP图2AQB CDP图3专题14 平行线分线段成比例例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果h // I2 // I3，则BCACABDEACDF2.平行线分线段成比例定理的推论:3.平行的判定定理:AB DEAC12DF，EFDF如图，在三角形中，如果ADDE // BC，贝U --ABAEACDEBC 如上图，如果有ADABAEACDEBC，那么DE // BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE // BC，且DB AE,若AB 5, AC 10，求AE的长。
【例2】如图，已知AB//EF//CD，若AB a , CD b , EF c ,求证：111. cab 【巩固】如图，AB BD，CD BD，垂足分别为B、D，AC和【巩固】如图，找出S ABD、S BED、S BCD之间的关系，并证明你的结论BD相交于点E，EF BD，垂足为F .证明:1 1AB CD1EFA连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ， 则CC （2）如图（2），已知 ABC 中，AE:EB 1:3，BD :DC 2:1，AD 与CE 相交于F ，则EF FCAF FD的值为（）A.|B.1C.【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB // CD , AB 12 , CD 9，过对角线交点0作EF // CD 交 AD , BC 于 E , F ，求 EF 的长。
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，AD a ，BC b ，E ，F 分别 是AD ，BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】（2007年北师大附中期末试题）1（1）如图（1），在 ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AE - AB ，43 2D.2A(1)当AE-时，求AO的值；AC2AD(2)当AE 1 1 口」、—求A0的值；AC 3 4AD(3)试猜想AE 1AC n 1时A0的值，并证明你的猜想AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F 是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：圧 -；FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，圧-成立，若E是AD上任意一点（E与A、DFC 2 ED不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE AC，延长BE交AC于F。
平行线分线段成比例-九年级数学下册(人教版)
27.2.1.1 平行线分线段成比例
(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 FC 的长是多
少？
解：∵EF∥BC ，∴ AE AF ,
AB AC
A
∴ 6 5， 10 AC
E
F
解得 AC = 25 .
3
B
C
∴ FC = AC－AF =
25 5 10
3
3
.
27.2.1.1 平行线分线段成比例
平行于三角形一边的直线与其他两边相 交，所构成的三角形与原三角形相似
AB 与 DE BC EF
的值，它们相等吗？
l1
l2
A
D
l3
B
E
l4
C
F
l5
27.2.1.1 平行线分线段成比例
(2) 任意平移 l5，根据上述操作，度量AB，BC， DE，EF， 同（1）中计算，它们还相等吗？
l1
l2
A
D
l3
B
E
l4
C
F
l5
27.2.1.1 平行线分线段成比例
归纳： 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题1 △ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
A
D
E
B
C
27.2.1.1 平行线分线段成比例
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关 系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现
27.2.1.1 平行线分线段成比例
A1 B1
a
A1 B1
2021年春九年级数学中考复习《平行线分线段成比例定理》专题提升训练(附答案)
2021年春九年级数学中考复习《平行线分线段成比例定理》专题提升训练（附答案）1．如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，AE＝2CE，AB＝6，则AD的长为（）A．3B．4C．5D．62．如图，AB∥CD∥EF，AD＝4，BC＝DF＝3，则BE的长为（）A．B．C．4D．63．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD＝4，DB＝2，则EC：AE的值为（）A．B．C．D．4．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB ＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为（）A．4B．6C．8D．95．如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．则下列比例式不正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．如图，△ABC中，AD是中线，BE是角平分线，AD、BE交于点F．若，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB＝4，AB＝6，BE＝3，则BC的长是（）A．4B．4.5C．2.5D．29．如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则的值为（）A．2B．3C．D．10．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，AB＝12，AE＝3，则AC的长是（）A．B．C．20D．1511．如图，直线a∥b∥c，若BC＝10，AB＝4，DE＝6，则EF的长为（）A．10B．11C．12D．1512．如图，AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（）A．DF＝B．EF＝C．CD＝D．BF＝13．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC依次交l1、l2、l3于A、B、C三点，直线DF依次交l1、l2、l3于D、E、F三点，若，DE＝2，则EF＝．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为．15．如图，已知AB∥CD∥EF，若AC：CE＝2：3，BD＝6，那么BF＝．16．如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE＝2，则DF的长度为．17．如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，那么线段CE的长度等于．18．直线CD∥EF，若OC＝3，CE＝4，则的值是．19．如图，E是▱ABCD的BC边的中点，BD与AE相交于F，则△ABF与四边形ECDF的面积之比等于．20．已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC的反向延长线上，若＝，则当的值是时，DE∥BC．21．已知，如图，△ABC的角平分线AD交BC于D，BD：DC＝2：1，若AC＝3cm，则AB ＝．22．如图，直线a，b被三条互相平行的直线l1，l2，l3，所截，AB＝5，BC＝3，则DE：DF ＝．23．如图，BD∥直线m，求证：PM•PN＝PR•PS．24．如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．（1）求CG的长；（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．25．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长．26．如图，在△ABC中，D、E分别是AB和BC上的点，且DE∥AC，＝，＝，求．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．28．如图，O是△ABC的边BC上一点，过点O的直线分别交射线AB，线段AC于点M，N，且＝m，＝n．（1）＝（用含m的代数式表示）；＝（用含n的代数式表示）．（2）若O是线段BC的中点．求证：m+n＝2．（3）若＝k（k≠0），求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．29．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB．F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P．（1）求EP：PF的值．（2）求AP：PD的值．30．如图，△ABC中，D在BC上，F是AD的中点，连接CF并延长，交AB于点E，已知CD：BD＝3：2，求的值．31．已知：如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB＝4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D，求证：BC＝2CD．32．如图，A、B是直线L上的两点，AB＝4厘米，过L外一点C作CD∥L，射线BC与L 所成的锐角∠1＝60°，线段BC＝2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向运动．设P，Q运动的时间为t（秒），当t＞2时，P A交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长．（2）求△APQ的面积S与t的函数关系式．（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？参考答案1．解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝6，BC＝3，DF＝12，∴＝，解得：DE＝8，故选：C．2．解：∵l1∥l2∥l3，∴，，，，故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴＝，∵AE＝2CE，AB＝6，∴AD＝AB＝4，故选：B．4．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∴＝，∴EC＝，∴BE＝BC+EC＝3+＝，故选：A．5．解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD＝4，DB＝2，∴＝，6．解：如图，过点E作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N，作ET∥CB交AD于T．∵BE平分∠ABC，EM⊥AB，EN⊥BC，∴EM＝EN，∴＝＝，∴＝，∴＝，∵ET∥CD，∴＝＝，∵CD＝BD，∴＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，故选：C．7．解：∵，∴DE∥BC，∵，∴DE∥BC，∵，∴DE∥BC，8．解：∵DE∥AC，∴DB：AB＝BE：BC，∵DB＝4，AB＝6，BE＝3，∴4：6＝3：BC，∴BC＝4.5，故选：B．9．解：过G作GM∥CD，交AB于M，∵G是BC中点，E是AG中点，∴M为BD的中点，D为AM的中点，∴＝，＝，∴CD＝2MG，MG＝2DE，∴CD＝4DE，∴CE＝4DE﹣DE＝3DE，∴＝＝3，故选：B．10．解：过A作MN∥DE，∵DE∥BC，∴MN∥DE∥BC，∵＝，∵AD＝5，AB＝12，AE＝3，解得：AC＝，故选：A．11．解：∵直线a∥b∥c，∴＝，∵BC＝10，AB＝4，DE＝6，∴＝，解得：EF＝15，故选：D．12．解：∵AB∥CD∥EF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，∴，即，解得：DF＝，∴BF＝BD+DF＝，故选：D．13．解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，∵，DE＝2，∴＝，解得：DF＝3.5，∴EF＝DF﹣DE＝3.5﹣2＝1.5，故答案为：1.5．14．解：∵DE∥BC，∴＝，∵AD＝1，BD＝2，∴AB＝3，故答案为：．15．解：∵AB∥CD∥EF，∴BD：DF＝AC：CE＝2：3，又BD＝6，∴DF＝9，则BF＝BD+DF＝15，故答案为：15．16．解：∵点B是线段AC的中点，∴AB＝BC，∴＝1，∵直线a∥b∥c，∴＝＝1，∵DE＝2，∴EF＝2，∴DF＝DE+EF＝2+2＝4，故答案为：4．17．解：∵AB∥CD∥EF，AD＝6，DF＝3，BC＝7，∴，即，解得：CE＝，故答案为：18．解：∵CD∥EF∴OD：OF＝OC：OE∵OC＝3，CE＝4∴OD：OF＝OC：OE＝3：7．19．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，又∵E是▱ABCD的BC边的中点，∴＝＝＝＝，∵△ABE和△ABF同高，∴＝＝，∴S△ABE＝S△ABF，设▱ABCD中，BC边上的高为h，∵S△ABE＝×BE×h，S▱ABCD＝BC×h＝2×BE×h，∴S▱ABCD＝4S△ABE＝4×S△ABF＝6S△ABF，∵△ABF与△ADF等高，∴＝＝2，∴S△ADF＝2S△ABF，∴S四边形ECDF＝S▱ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF＝S△ABF，∴＝，故答案为：．20．解：∵要使DE∥BC，则需，∴故答案为：21．解：过D作DE∥AC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC，∵△ABC的角平分线AD交BC于D，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∵DE∥AC，BD：DC＝2：1，AC＝3cm，∴，即，解得：DE＝2cm，∴AE＝2cm，∵DE∥AC，∴，即，解得：AB＝6cm，故答案为：6cm．22．解：∵直线a，b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，∴＝，∵AB＝5，BC＝3，∴＝，∴＝＝，故答案为：5：8．23．证明：∵BD∥直线m，∴＝，＝，∴＝，∴＝，∵BD∥直线m，∴＝，＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴PM•PN＝PR•PS．24．解：（1）∵EF∥BD，∴＝＝，∵FG∥AC，∴＝＝，∵BG＝4，∴CG＝6．（2）∵CD＝2，CG＝6，∴DG＝CG﹣CD＝4，∵BG＝4，∴BD＝BG+DG＝8，∵＝，∴＝，∵EF∥BD，∴＝，∴EF＝25．解：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DFCE是平行四边形，∴DE＝FC，DF＝EC∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴＝＝＝，∵AC＝8，BC＝12，∴AF＝2，DF＝3∴FC＝AC﹣AF＝8﹣2＝6，∴DE＝FC＝6，DF＝EC＝3∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE＝3+6+3+6＝18．答：四边形DECF的周长是18．26．解：∵＝，∴＝，∵DE∥AC，∴，∴．27．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）如图，∵点M是线段AD的中点，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．28．解：（1）∵AB＝AM﹣BM，AC＝AN+CN，＝m，＝n，∴＝＝1﹣＝m，＝＝1+＝n，∴＝1﹣m，＝n﹣1，故答案为：1﹣m，n﹣1；（2）设AM＝a，AN＝b．∵＝m，＝n，∴AB＝am，AC＝bn，∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b，若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，∴∠OBH＝∠OCN．在△OBH与△OCN中，，∴△OBH≌△OCN（ASA），∴BH＝CN＝（n﹣1）b．∵BH∥AN，∴△BMH∽△AMN，∴＝，即＝，∴1﹣m＝n﹣1，∴m+n＝2；（3）若＝k（k≠0），如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，∴∠OBG＝∠OCN，∵∠BOG＝∠CON，∴△OBG∽△OCN，∴＝，即＝，∴BG＝b．∵BG∥AN，∴△MBG∽△MAN，∴＝，即＝，∴1﹣m＝，∴n＝k﹣km+1．29．解：（1）分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．则＝＝，＝＝，又BD＝CD，∴＝∴＝＝；（2）设AF1＝y，F1P＝4x，PE1＝5x，E1D＝z，则＝，＝，解得y＝36x，z＝15x，∴＝＝＝．30．解：作DG∥CE，交AB于点G，如图，∵DG∥CE，∴，设BG＝2x，则GE＝3x，∵EF∥DG，∴＝1，∴AE＝EG＝3x，∴．31．证明：作CF∥DE，交AB于F，如图，∵ME∥CF，∴＝，而M为AC边的中点，∴AM＝MC，∴AE＝EF，∵AB＝4AE，∴EF＝AB，BF＝AB，∴BF＝2EF，∵CF∥DE，∴＝＝2，∴BC＝2CD；32．解：（1）由题意知：BP＝t，CQ＝2t，PC＝t﹣2．∵EC∥AB，∴∴∴（2）作PF⊥L于F，交DC延长线于M，AN⊥CD于N．则在△PBF中，PF＝PB•sin60°＝∴S△APQ＝S△AQE+S△PQE＝QE•AN+QE•PM＝QE•PF＝•＝（3）此时E为P A的中点，所以C也是PB的中点则t﹣2＝2，∴t＝4＝＝6（厘米）。
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专题14 平行线分线段成比例
阅读与思考
平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．
运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：
例题与求解
【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．
（上海市竞赛试题）
解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．
【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（ ）
A ．3︰2︰1
B ．4︰2︰1
C ．5︰4︰3
D ．5︰3︰2
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．
A
B
C
D
E
G
H M
Q
A B
C
D
E
F
P
【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．
求证：PQ•PT＝P R•PS．
（吉林省中考试题）
解题思路：要证PQ•PT＝P R•PS，需证PQ
PS
＝
PR
PT
，由于PQ，PT，P R，PS在同一直线上，故不
能直接应用定理，需观察分解图形．
【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．
（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；
（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证
明PE
AB
＋
PF
AB
＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．
A
B C
D
E
F
P
图2
A
B C
D
E
F
P
图1
Q
A
R
B
C
D
S
P
【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．
求证：MN ＋PQ ＝2PN ．
解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．
（浙江省竞赛试题）
【例6】已知：△ABC 是任意三角形．
（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ； （2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且
AM AB ＝13，AN AC ＝1
3
，点P 1，P 2是 边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；
（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．
（济南市中考试题）
解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．
A
B
C
M N
P
图1
A
B
C M
N
1
P 2
P 图2
A
M
N
B
C
1P 2
P 2009
P 图3
Q
A B
C
D
E
F
G
M N
P
能力训练
A 级
1．设K ＝
a b c c +-＝a b c b -+＝a b c
a
-++，则K ＝＿＿＿＿． （镇江市中考试题）
2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．
3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．
（杭州市中考试题）
4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．
（重庆市中考试题）
5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则
a
b 的值为（ ） A
B
C
D
6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）
A ．1︰10
B ．1︰9
C ．1︰8
D ．1︰7
7．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
8．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝3
5BC ，则BE ︰EA 等于（ ）
A ．3︰5
B ．2︰5
C ．2︰3
D ．3︰2
A B
C
D E F 第2题
A
B
C
D M N
第3题
A
B
C
D
E
F
G
H
第4题
A B
C
E
F
G
第5题
A
B
C
D
E F
第6题
Q
A
B
C
P
第7题
A
B C
D
E
F 第8题。