流体力学第二章 证明题

一、证明1．如图所示在油箱底部装有U 形管，汽油的密度为1ρ，形管下部盛有密度为2ρ的液体，右端上部装有汽油，当油箱液面下降1h ，则形管中液面下降2h ，求证：211212h h ρρρ-=2．)如图所示用U 形管水银压力计测量某点A 的静水压强，两管水银柱的高度差为)(mm h ；若将U 形管下降)(mm H ，则水银柱高度差将放大为h h ∆+，取3'/1357m kg =ρ，试证)(07.13mm Hh =∆。

3．当测量微小气体压强时，为了提高测量精度，常采用如图所示的倾斜管微压计进行测量。

试述测压原理并导出所测压强的表达式。

4．两水箱具有不同的水位高程。

箱内水的密度为ρ，用两个压差计连接两水箱如图，试证明：212211h h h h +-=ρρρ。

1ρ和2ρ为压差计内工作液体的密度。

5．如图，一直径为D 的圆球(球重忽略不计)处于平衡状态，试导出D 与ρρ12,，h h 12,的关系式。

6．若高为h ，底为b 的三角形平板是垂直地浸在液体中，它的底边正好与液面齐平。

试推求用水深来表示的作用点的位置。

(即求出作用点到水面的垂直距离为水深h 的几分之一)7．如图所示，一矩形闸门，在闸门上距离水底为a 的位置装一转轴。

闸门可绕轴作顺时针方向旋转。

试求证当h a H 1514+>时，闸门自动打开。

8．涵洞进口，装有矩形闸门AB (如图所示)，闸门宽为b ，EA L =1，AB L =2，D 点为闸门的压力中心，试证:2121323L L L L DB AD ++=。

9．一自动泄水闸门如图所示。

闸门的支承点位于门底以上d米处，支承点以上门高为5d。

试确定H d值，使门顶A点反力为最大。

10．如图所示三角形平板，已知高为h，底为b，试推导作用在平板上的压力作用点的表达式。

11．如图所示，一底边水平的等边三角形位于铅直面内，一侧挡水，今将该三角形分成静水总压力相等的两部分，求水平划分线x-x的位置。

12．试由流体平衡微分方程导出质量力仅为重力时，不可压缩流体静压强的计算公式=+ghPρP。

13．试证明流体静压强与受压面的空间的方位无关。

14．试以浮体为例，用压力体概念证明阿基米德原理。

15．利用浮体平衡测定液体密度（如图所示）。

设水的密度为ρ1，密度计茎管截面积为A，当密度计浸入水中时，测得排开水的体积为V，再将密度计放入另一密度为ρ2的待测液体中，若茎管上升h，试推求确定ρ2的公式。

16．一如图所示直径为D ，高为H ，密度比为k 的圆柱体浮在水中。

如图所示，h 为圆柱的入水深度。

试证当)1(822k h HD -≥时，圆柱体在水中保持稳定平衡。

17．一外径为R 、内径为r 的空心圆球，由密度为ρ1的材料制成。

若要求把球完全淹没在水里时，它所能在任意位置停留，试证该球的内外径之比为811ρρ-=R r ，式中ρ为水的密度。

18．将密度为ρ1的木材，制成直径为D 高为H 的圆柱（如图示），求木材直立浮于水面时，H 与D 的关系如何才能满足稳定性要求。

19涵洞进口，装有矩形闸门AB 如图所示，闸门宽为b ，EA 长2m ，AB 长1m ，D 点为闸门的压力中心，试证明78=DB AD 。

20试根据欧拉平衡微分方程证明液体随容器做等加速直线运动时，液体的等压面为一簇斜面？21试根据欧拉平衡微分方程证明液体随容器做等角速度旋转运动时，液体的等压面为一组旋转抛物面？====================答案==================== 1．[答案]证明：设g g 22;ργργ==当油箱液面未下降时，根据等压面1-1得11212H h H γγγ+= 当油箱液面下降1h ，形管中液面下降2h 后，有以下关系式21122221112)(H h h h h H γγγγγ=-++-将21211H h H γγγ=+代入上式得21211(2)h h γγγ-=11212)2(h h γγγ=- 即112111212)2()2(ρρρρρρ-==-h h h 得证。

2．[答案]证明：设g h '';ργργ== U 形管下降前A 点静压为γγγx h h p A --='U 形管下降后A 点静压为'1()2A p h h h x H hγγγγγ=+∆----∆U 形管下降前后A 点静压相等，得到下列关系式1''()2h h x h h h x H h γγγγγγγγ--=+∆----∆1(')2h H γγγ-∆=9.8mm 1113.07''22HH Hh γγγγγ∆===--3．[答案]将容器与施测流体接通后，在压强p 的作用下，容器内液面下降h 1，斜管液面升高h 2，相应的倾斜距离为l ，θ越小，l 越大，由于测即方便，精度也高。

相对压强sin p gl ρθ=微压计读数的放大倍数为1sin l n h θ==上式表明θ越小，则放大倍数越大。

可见微压计能使测读值更加精确。

4．[答案] 设1z 、2z 如图示，作等压面1－1，则()11111gz gh g z z gh ρρρρ-=+∆-()11h z ρρρ-∆=(1)作等压面2－2，则()22222g z z h gz gh ρρρ+∆+=+()22h z ρρρ-∆=(2)(1)、(2)式相等，得112212h h h h ρρρ+=+5．[答案]由于液体的密度不同，压力体不能抵消。

压力体ABCEFA 的重量等于压力体GHCJFG 的重量时，球体处于平衡状态，即有以下关系式：[][]ππρππρ4126412622322131D h D g D h D g -⨯=+⨯整理后得：D h h =-+3221112()ρρρρ6．[答案]设g γρ=211326c h P h A bh bh γγγ==⋅⋅= 2sin D AQy P y dA γα⋅=⎰而sin 1α=22AAh yy dA y bdy h-⋅⎰⎰(如图Q ∆ABC ~∆DEC 则即,h y DE h yDE b h b h--==⋅) 有223112hh Ay dA by dy dy bh =-=⎰⎰⎰ 321112126D bhh y bh γγ⋅⋅∴==即作用点到水面的垂直距离为2h 。

A B DECyh7．[答案]解法一：当D y H a <-时，闸门自动打开3()5210c c h hy h H a h H a ==-++=--311210()10c D c c bh J h y y H a h y A H a b h =+=--+--⋅21012()10D h h y H a h H a =--+--代入D y H a <-，即21012()10h h H a H a h H a --+<---21012()10h hhH a <--，即1415H a h >+，证毕。

解法二(图数混合法)：213()215510h hgh g H a h h ρρ⨯<--⨯⨯ 335h H a h <--1415H a h >+/10/15h γ( - - 3/5 )h H a8．[答案]Q y y J y A D c c c =+∴=CD J y A ccy L L c =+122A bL J bL c ==22312,CD bL L L bL L L L =+=+231222212122122()()AD L CD L L L L L BD L CD L L L L L AD BDL L L L =+=++=-=++∴=++U V ||||W |||||()()()()()2212122212121212232322332323得证。

9．[答案]设γρ＝g 静压力：P Hb=⋅⋅γ22(b −门宽〕作用点：y HbHHbHHD =+=2122233设反力为RM 00=∑R d P d H y D ⋅---=50[()]R bdH d H =-γ101323()把H 看为变量，求R 的最大值d d (),d d ()RHbdHd H R Hbdd H =-=-γγ1021022222极大值要求d d 22RH<，即d H <，在d H <的情况下，求R R =max 时的H d 值当d d R H =0时，R 只能取到极大值，所以202Hd H -=∴=H d2时，R 最大。

10．[答案] 设γρ=g 总压力P h A h bh bhc ==⋅⨯=γγγ2312132设作用点为D x y D D (,)£由合力矩定律∴===y bhPbhbhhD γγγ33343434又P x y xx y y bh y y D hh⋅=⋅=⋅zzγγ2120222d d ；因x b h y b h ==1822γ∴===x b h Pb h bhb D 18383822222γγγ11．[答案]设γρ＝g ,设x -x 线将三角形分成上下两部分，上面部分的高为'h 的静水压力为'='⋅'P p A c，形心点压强'='P h c 23γ'=''=''='A b h h h h 121260332(sin )'='⨯'='P h h h 233323923γγ而原三角形的静水压力为P p A h h hc =⋅=⋅=233323923γγ根据已给条件知'=P P12∴'=2391223933γγh h ()'=h h3312'=h h123故水平划分线x -x 距水面的距离'=h h123。

P y y x yx bhyP y b h y y b D h D h⋅ == ∴ ⋅ = = zzγ γ γ 2 03 30 4d d12．[答案]由题意ρ=常数0X Y == Z g =-代入 d (d d d )p X x Y y Z z ρ=++得d d p g z ρ=- 积分得p gz c ρ=-+若xoy 平面为自由面，其上表面压强为0p ，代入上式 得0c p =再将z 以水深坐标h ()z h =-表示，则有0p p gh ρ=+13．[答案]如图，在O 点附近取一微元直角四面体OABC ，四面体的三个直角边长分别为d ,d ,d x y z 。

表面力：只有垂直并指向各表面的总压力x y z P ,P ,P 和n P 设各面上的平均压强分别为x y z p ,p ,p 和n p ，则：1d d 2x x P p y z =，1d d 2y y P p z x =，1d d 2z z P p x y =，n n P p ABC =∆ 质量力：1d d d 6x F x y z X ρ=⋅，1d d d 6y F x y z Y ρ=⋅，1d d d 6z F x y zZ =其中,,X Y Z 为单位质量力的分量当d d d 0x y z →时，建立各坐标轴方向上的力平衡（忽略高阶微量〕有：x 方向 x n p p =；y 方向 y n p p =；z 方向 z n p p = 即x y z n p p p p ===，即静压强与受压面在空间的方位无关。