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集合的基本概念

一、集合的概念1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； 2．集合的性质：确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；二、集合的表示：表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；1．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；例如：{1,2,3,4,5}，{1,2,3,4,5,} 2．描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．例如：大于3的所有整数表示为：{|3}x x ∈>Z方程2250x x --=的所有实数根表示为：{x ∈R |2250x x --=}具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．3．常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作*N 或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R ．三、集合之间的关系1．若集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 2．简单性质：1）A ⊆A ；2）∅⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；3．真子集关系：对于两个集合A 与B ，若A B ⊆且．A B ≠，则集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ） 4．相等关系：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且B A ⊆ ，那么集合A 与B 相等，记作A B =5． 0，{0}，∅，{}∅之间的区别与联系①0与{0}是不同的，0只是一个数字，而{0}则表示集合，这个集合中含有一个元素0，它们的关系是0{0}∈②∅与{0}是不同的，∅中没有任何元素，{0}则表示含有一个元素0的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（{}0∅）③∅与{}∅是不同的，∅中没有任何元素，{}∅则表示含有一个元素∅的集合，它们的关系是{}∅∈∅或{}∅⊆∅或{}∅∅ ④显然，0∉∅，0{}∉∅集合的概念及其关系6．子集个数问题设集合A 中元素个数为n ，则①子集的个数为2n ，②真子集的个数为21n -，③非空真子集的个数为22n - 一、交集、并集、补集概念1．由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集．记作A B （读作“A 交B ”），即{|,A B x x A =∈且}x B ∈① 数学符号表示：{|,A B x x A =∈且}x B ∈② Venn 图反映：2．由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集{|}A B x x A x B =∈∈或．（读作“A 并B ”）① 数学符号表示： {|,A B x x A =∈或}x B ∈② Venn 图反映：3．补集的概念：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作U A ，即{|,U A x x U =∈且}x A ∉①数学符号表示：{|,U A x x U =∈且}x A ∉②Venn 图反映：二、集合的运算性质B AB A B A B AB A B A B A A UA U 集合的基本运算（1）,,;A A A A A B B A =∅=∅=（2）,;A A A B BA ∅==（3）()();AB A B ⊆ （4）;A B A B A A B A B B ⊆⇔=⊆⇔=；（5）()()(),()()().U U U U U U A B A B A B A B ==三、容斥原理()()()()card A B card A card B card A B =+-．。

集合有关概念和集合间的基本关系

集合有关概念和集合间的基本关系Credit is the best character, there is no one, so people should look at their character first.1. 了解集合的含义及元素与集合的“属于”关系；2. 能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题；3. 理解集合之间包含与相等的含义;能识别给定集合的子集；4. 在具体情境中;了解全集与空集的含义；5. 理解两个集合中的交集的含义;会求两个简单集合的交集.二、重点、难点：1. 重点：集合的表示方法;元素和集合的关系;集合与集合之间的关系2. 难点：有关⊆∈,的理解和应用三、考点分析：本讲的内容是中学数学最基本的内容之一;基础问题往往体现集合的概念、运算及简单的运用;经常作为工具广泛地运用于函数、方程、不等式、三角函数及区间、轨迹等知识中;在高考中占有重要地位.1. 集合1集合的分类⎩⎨⎧----含有无限个元素的集合无限集含有有限个元素的集合有限集2集合的元素特性：确定性、互异性、无序性3集合的表示方法：①列举法—把集合中的元素一一列举出来;写在花括号内表示集合的方法；②描述法—把集合中元素的公共属性描述出来;写在花括号内表示集合的方法.4常见集合的符号表示:2. 集合间的基本关系：一般地;由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合;称为集合A 与集合B 的交集.知识点一：集合的基本概念例1. 在以下六种写法中;错误写法的个数是A . 3B . 4C . 5D . 6思路分析：题意分析：本题主要考查集合中的有关基本概念及集合中的两个符号⊆∈和的区别.对写法1、2、3、5、6考查集合与集合间符号的运用;对写法4考查元素与集合之间符号的运用.解题思路：对写法1是要理解集合的大小;写法2是表示空集与任意集合的关系;写法3表示集合相等的概念;写法4是表示实数0与空集的关系;写法5是集合的表示;写法6是对集合中元素的认识.解答过程：1是两个集合的关系;不能用“∈”；2空集是任何非空集合的真子集;故写法正确；3集合中的元素具有无序性;只要集合中的所有元素相同;两个集合就相等； 4φ表示空集;空集中无任何元素;所以应是φ∉0;故写法不正确；5集合符号“{}”本身就表示全体元素之意;故此“全体”两字不应写；6等式左边集合的元素是平面上的原点;而右边集合的元素是数零;故不相等. 故本题选B题后思考：本题考查集合的有关基本概念;尤其要注意区别⊆∈和两个符号的不同含义.例2. 已知{}33,)1(,222++++=a a a a A ;若A ∈1;求实数a 的值.思路分析：题意分析：本题主要考查元素与集合之间的关系;集合中元素的有关性质. 解题思路：解答过程：{}1,0,1A ,1a 12a =-==+时，当不符合集合性质;舍去；题后思考：本题主要考查元素在集合中的性质;要学会用分类的思想考虑问题;并且要通过集合中元素的唯一性验证集合.例3. 已知集合{}{}012,082222=-++==--=a ax x x B x x x A ;当A B ⊆时;求实数a 的取值范围.思路分析：题意分析：本题考查了子集的有关概念和应用;对于集合{}4,2-=A 中含有确定的两个元素－2;4;如果集合B 是集合A 的子集;则集合B 中的元素应是集合A 中的元素;另外还考查了分类的思想.解题思路：本题应从如何使方程01222=-++a ax x 的解集成为集合A 的子集入手;寻求集合B 可能的情况;但无论如何不能使集合B 中含有集合A 以外的元素;尤其不能忘记集合B 可能是空集.解答过程：由已知得{}4,2-=A ;B 是关于x 的方程01222=-++a ax x 的解集;因为A B ⊆;所以{}{}{}φ,4,2,4,,2--=B1若{},2-=B 则012)2(2(22=-+-+-a a ）;解得24-==a a 或;当04=∆=时，恰有a ；2若{},4=B 则0124422=-++a a ;解得舍去，此时02>∆-=a ；3若{},4,2-=B 则由12知02>∆-=，此时a 符合题意；4若φ=B 时;由0<∆解得44-<>a a 或.综上所述;所求实数a 的取值范围是424≥-=-<a a a 或或.题后思考：①在本题的讨论中;当{}4B =时的真正含义是：集合B 中的一元二次方程有两个相等的实根4x x 21==；②当B 为单元素集时;也可利用韦达定理求出a 的值；③在考虑子集的过程中容易遗漏空集的情况;事实上;我们应首先考虑空集. 知识点二：集合的运算交集例4. 若{}{}==--===B A ,032,122 则x x x B x x AA . {}3B . {}1C . φD . {}1-思路分析：题意分析：本题考查交集的定义和一元二次方程的解.解题思路：先解方程12=x 得出集合A 的元素用列举法表示出来;解0322=--x x ;用列举法把集合B 中的元素表示出来;再求B A .解答过程：由12=x 得{},11A 1-=∴±=，x ; 由0322=--x x 得{}1,3-B 31=∴-=，或x {}1-B A =∴ ;故选D .题后思考：本题主要考查交集的定义;因此;只要对定义的内容清楚应不难写出答案.例5. 设集合{}{}=<<-=<+=B A .23,312x A 则x x B xA . {}13<<-x xB . {}21<<x xC . {}3->x xD . {}1<x x思路分析：题意分析：本题考查集合A 和B 的交集;A 和B 两个集合都是与不等式有关的;则求集合A 和B 的交集时;我们需要借助于数轴;用数形结合的方法来解题更形象.解题思路：先解出A 中元素应满足的范围;再在数轴上表示出A 中元素满足的范围;然后在数轴上表示出B 中元素所满足的范围;由数轴得出最终的结果. 解答过程：由{}1,1312<=∴<<+x x A x x 解得.又由{}23<<-=x x B ;{}1x 3x B A <<-=∴ ;故选A .题后思考：本题是简单的求关于不等式的两个集合的交集的问题.一般步骤是：①先把每个集合中满足不等式的解集解出来；②用数轴表示出来；③根据数轴的图像得出最终的答案.尤其要注意的是有没有“等号”;在数轴上表示为实心点或空心点;以及能否取到该值.例6. 已知{}{}，若或φ=>-<=+≤≤=B A .51,32x A x x x B a x a 求a 的取值范围.思路分析：题意分析：本题考查A 和B 的交集为空集;B 为已知的集合;A 集合中包含的元素随着a 的变化而变化;需要合理的讨论.解题思路：先在数轴上得出B 集合;再由φ=B A ;确定出A 集合的位置;再解关于A 集合的不等式.但不要忘了φ=A 这个特殊情况;在解题过程中很有可能会遗漏.解答过程：1若φ=A ;由φ=B A 知;此时3,32>∴+>a a a ；2若得如图：由,B A ,φφ=≠ A综上所述;a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤≤-3221a a a 或. 题后思考：①出现交集为空集的情况;首先要考虑集合中有没有空集;即分类讨论；②与不等式有关的集合运算中;用数轴分析法直观清晰;应重点考虑； ③对两个集合交集的端点值能否取到的问题也应仔细分析.①关于集合的运算;一般应把各参与运算的集合化简到最简形式;再进行运算；②出现交集为空集的情况;首先考虑集合中有没有空集；③与不等式有关的集合运算中;多注意用数轴法表示；④对于含参数的集合问题;在根据集合的互异性进行处理时;有时需要用到分类讨论、数形结合的思想.答题时间：45分钟一、选择题1. 集合{}5N x <∈x 的另一种表示方法是A . {}4,3,2,1,0B . {}4,3,2,1C . {}5,4,3,2,1,0D . {}5,4,3,2,1 2. 已知集合{}{}10,21x <<=<<-=x x B x A ;则A .B A > B . B A ⊂C . A B ⊂D . B A ⊆3. 下列五个关系式：①{}00⊂；②{}00∈；③{}φ=0；④{}0∈φ；⑤{}0⊂φ其中正确的有A . ①③B . ①⑤C . ②④D . ②⑤ 4. 设集合{}{}=≤≤-∈=<<-∈=N M .31,23Z m M 则n Z n N m A . {}1,0B . {}1,01，-C . {}2,1,0D . {}2,1,01，- 5. 已知{}{}=-==-==N M ,1,1M 22 那么x y y N x y xA . φB . MC . ND . R *6. 设R b a ∈,;集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1;则=-a b A . 1 B . －1 C . 2 D . －27. 集合{}的范围是则实数且a R x a x x x M,,02M 2⊂∈=-+=φA . 1-≤aB . 1≤aC . 1-≥aD . 1≥a 二、填空题8. 已知集合{}{}，且B A ,a x x B ,R x ,2x x A ⊆≤=∈≤=则实数a 的取值范围是____.9. 已知{}{}=∈+-==∈+==N M ,,1,,12M 22 那么R x x y y N R x x y y ______.10. 若{}{}1,x B ,x ,3,1A 2==且}x ,3,1{B A = ;则这样的x 的不同值有________个.11. 已知集合{}{}=⊆=-=m A B B m A 则实数若集合,.4,3,,3,1________.三、解答题*12. 设{}{}，若B B A ,01)1(2,04x 222==-+++==+= a x a x x B x x A 求a 的值.一、选择题1. A 解析：由5<x 且是自然数;得x 为0;1;2;3;42. C 解析：3. D 解析：①{}00⊂应是{}00∈；所以②正确；③{}φ=0;空集不含任何元素;所以{}φ≠0；④{}0∈φ集合与集合之间不能用“∈”;所以⑤{}0⊂φ正确.4. B 解析：{}{}{}{}{}1,0,1N M .3,2,1,0,131,1,0,1,223Z m M -=-=≤≤-∈=--=<<-∈= 则n Z n N m5. C 解析：{}{}{},11,1M 22-≥=-===-==y y x y y N R x y x 则{}N y y N M =-≥=16. C 解析： {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1;∴.1,,0,0-=-=∴=+≠a b b a b a a7. C 解析：由M,⊂φ所以必有根，0a x 2x 2=-+1a 0a 440-≥⇒≥+⇒≥∆∴.二、填空题8. 2≥a .解析：如图：9. {}1解析：{}{},1,12M 2≥=∈+==y y R x x y y{}{},1,12≤=∈+-==y y R x x y y N 所以;{}1N M = . 10. 311. 4三、解答题12. 解析：{}{}，0,404x 2-==+=x x A ①{}0B 1A B 1,1,01B 02=-===±==-∈时，，当时，当，则若a a a a②,17,078B 42或，则若==+-∈-a a a {}A B 4-12-B 7⊄==，，时，当a ③1,0)1(4)14(B 22-<<--+=∆=a a a ，则若φ由①②③得11-≤=a a 或.。

集合的概念、集合间的基本关系

第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系【考情分析】不同的具体问题.别给定集合的子集.（2）在具体环境中，了解全集与空集的含义. 【知识清单】1. 集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.2. 元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号€醒 €/表示3. 集合的表示法：列举法、描述法、图示法.4. 集合间的基本关系对任意的x€ A,都有x€ B,贝J A Q B （或B 二A ）. 若A 匸B ，且在B 中至少有一个元素X 芒A,则A 訓若A 匸B 且BQA ，贝J A= B.5. 有关数集：自然数集记作 N ，正整数集记作N *或N +，整数集记空真子集.【课前预习】考试要求 1.集合及其表示，A 级要求;2.子集，B 级要求.集合的含义与表示: （1）了解集合的含义、元素与集合的属于” 关系.⑵能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述集合间的基本关系: （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R ，复数集记作C .6•含有n 个元素的集合有 2n个子集，有22丄个真子集，有22个非7.空集是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集1.集合Amx|x2-3x +2=0,x壬R}，贝J A =答案：{1，2} 2.（必修1P 10.4改编）判断下列表示是否准确（1） a 匸{a}; （2）{1}迂{1,2,3 }；（ 3）{a,b}cfo,a} ；（ 4）0匚{讣请将正确判断的序号填在横线答案：（3），（ 4）解析：（1）应为a亡右} ；（ 2）应为{1}g{1,2,3}.3.（必修1P 10.5）已知数集A J O,1,X+2}，则实数x不能取到的值为答案：幺-1解析：根据集合中元素的互异性知：X+2H0, X + 2H^心―1且XH—2，所以，实数X不能取到的值为2 -1 .4._________________ 已知A={X I X2—3X+ 2< 0}, B = {X|1<X< a}，若A? B,则实数 a 的取值范围是.答案：［2,+乂）解析：因为A={X|X2—3X+2V0} = {X|1<XV2}? B,所以 a>2.5.下列关系中：①一4^ R 疋Q;③—20梓N* :④I —Q;⑤—5芒Z;⑥0€ N .其中正确的是解析：③；④；⑤是错误的，相应改成正确的应为：③I —20|€ N*;④—^2|0 Q;⑤—5€ 乙【典型例题】目标1兀素与集合的关系例1 已知集合 A = {1 , a2 + 3a + 3｝，则实数a不能取到的值为•答案：—1 和—2解析：由题设可知，a2+ 3a +3H1 ,解之可得a工―1且a H-2 ,即实数a不能取到的值为一 1 和—2.【借题发挥】变式1 已知集合A= {1 , a + 2, a2 + 3a+ 3｝，则实数a不能取到的值为•答案：—1 和—2解析：由题设可知， a + 2工1且a+3a + 3 H1且a+3a + 3 H a +2 ,解之可得a 1且a H-2 ,即实数a不能取到的值为一 1 和—2.变式2 已知集合 A= {a+ 2, (a + 1)2, a2 + 3a + 3}，且1€ A,则 2017"答案：1解析：当a+2= 1, 即卩a=- 1时,(a+ 1)2= 0, a2 + 3a+ 3 = 1 与 a + 2 = 1 相冋，不符合题意.当(a+ 1)2= 1, 即卩 a = 0 或 a=- 2 时, ①a= 0时，符合要求.②a= — 2时，a 2+ 3a+ 3 = 1与（a+ 1）2= 1相同，不符合题意.当 a 2+3a+ 3= 1, 即卩 a= — 2 或 a=— 1.①当a= — 2时，a 2+3a+ 3 = (a +1)2= 1,不符合题意. ②当a= — 1时，a 2+ 3a+ 3 = a + 2 = 1,不符合题意. 综上所述，a= 0. 所以，2 01尸=1.【规律方法】集合中的元素具有确定性、互异性和无序性等特性 .在元素与集合的关系试题中，用互异性筛除不具备条件的解是解题过程中不可缺少的步骤. 【拓展训练】1 + a数集M 满足条件：若a€ M，则1—a € M （a^±且a^0）已知3€ M , 试把由此确定的集合 M 的元素全部求出来. 解析：因为a= 3 € M,,1 , 1 1—211—3 1 1+2 =—2€ M ，二=—3€ M I =2€ M I 1 + 31 —2=3€ M .以下循环.目标2集合间的基本关系例 2 已知集合 A= {x|x 2— 3x —10<0}，集合 B= {x|m+ 1<x<2m — 1}.若B ^A,求实数m 的取值范围.解析：由 x 2— 3x — 10< 0 得一2< x< 5.所以 A= [ — 2, 5].①当B 老时，即m+ 1<2m — 1,所以，m 》2.由 B G A 得一2< m+ 1 且 2m — 1< 5.得一3< m< 3. 所以2< m< 3.矿门1+ a 1+3所以U即 M=l3,— 2,1 1— —$②当B=0时，即m+ 1>2m— 1,所以mv2, B匸A成立.综上得mW3.【借题发挥】变式1在例2中，将集合B修改为：集合B={x(x —m—1I x —2m+1)E0}解析：解法一：(1)当 m+ 1>2m— 1 时，B = [2m_1,m+1]CA ,j m+ 1>2m— 1,则彳m+1 w 5, 解得—2w m<2;'2m— 1》—2,(2)当 m+1 =2m— 1,即卩 m= 2 时，B={3}, B^A 成立;(3)当 m+ 1<2m— 1 时，B = Im+i,2m-i]匸A,[m+ 1<2m— 1,则 4 m+ 1》—2,解得 2<mW 3.【2m— K 5,1综上：—2= mW 3.解法二：为使B匸A成立，由于集合B ={x|(x-m-1 "-2m+1戶o}中对应的不等式的解集是两根之间，所以只要让两个端点值在区间 [-2,5]之间就可以了: !m F-2=- — mg2mT 兰5 2 变式2:在例2中，若A? B,如何求解?‘m >2 « m <-3= m €0 .m >3m 的取值范围为0.变式3:若将例2中的集合A 改为A={x|xv — 2或x>5}，如何求解? 解析：因为B? A,所以:①当B = 0时，即2m — 1<m + 1时，mv2,符合题意. l m+ 1 < 2m — 1, (m+ 1 < 2m — 1, ②当 B^，l m+ 1>5,或b m —1v —2, r A2 f m>2, 解得$m ‘或{ 1即m>4.I m>4, (mv — 2综上可知，实数m 的取值范围为（—汽2）U （4,+^）.【规律方法】（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题.【拓展训练】 1.设 A ={Xx 2-8x +15=0} , B ={x |ax -1=0}，若 B 匸 A,求实数 a 组成的集合C.解析：A ^g x 2-8x +15=0}= {3,5},由于B G A,所以①若B=0，满足B ",此时a =0;②若B H 0，此时aH0，方程ax-1=0的根为xJa1 1 1 1 又因为BcA ，所以-=3或-=5,所以a =1或-; a a 3 5综上，适合题意的实数a 组成的集合为{o *1}.解析：若A?B,由于集合A 不是空集，则集合B 也不是空集，则:'m +1 <2m -1 *m+1<-2 = I 2m-135所以,2._____________________________________ 已知集合 A={x|x2—3x+ 2 = 0, x€ R} , B= {x|0<x<5, x€ N}，则满足条件A? C? B的集合C的个数为 ______________________________ .答案：4 解析：由题意知：A= {1 , 2} , B= {1 , 2, 3, 4}.又 A? C? B, 解法一：列举法：集合 C可能为{1 , 23}, {1 , 2, 3} , {1 , 2, 4}, {1 , 2, 3, 4}.解法二：等价转化：集合 C中必定含有数字1,2，则数字1,2不影响集合C的个数，所以集合C的个数就在于取不取3, 4与取几个的问题，因此，集合C的个数就相当于集合{3,4}的子集个数，故共有22=4 个•此方法当集合中的元素个数偏多时采用较有优势.目标3以集合为载体的创新问题例3若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可(1)判断集合A={ — 1, 1, 2}是否为可倒数集”；(2)试写出一个含3个元素的可倒数集”.1解析：(1)由于2的倒数为2不在集合A中，故集合A不是可倒数集.1⑵若a€ A,则必有ze A,说明集合中的元素是成对出现的,a1现已知集合A中含有3个元素，故必有一对元素满足：a=-即a = a士 1,故可以取集合A= ｛1 , 2,舟｝或｛— 1, 2,寺或｛1 , 3,£｝等.【规律方法】解决集合创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解.【拓展训练】已知集合A, B,定义集合A与B的一种运算A㊉B,其结果如下表所示:按照上述定义，若 M = { — 2 016, 0, 2 017} , N = { — 2 017, 0, 2 018},解析：由给出的定义知，集合 A㊉B的元素是由所有属于集合 A但不属于集合B和属于集合B但不属于集合A的元素构成的，即并集中去掉交集的部分，故 A㊉B= {x|x€ A且x/ B,或x€ B且x/ A},故 MH N = { — 2 016, 2 017,— 2 017, 2 018}.【归纳分析】1•认清元素的属性：解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.2•注意元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.3.防范空集：在解决有关 AQB = 0, A? B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑0是否成立，以防漏解.【课后作业】 1.设集合 A ={1,2,3} , B ={1,3,9}, X"且X芒B，则x = 答案：2 解析：由于集合A ={1,2,3} , B ={1,3,9} , X"且X艺B，则x在集合A 中,不在集合B中，可知x=2 .2.设集合A={(x, y)|x + 2y= 1, x€ N , y€ N}，用列举法表示集合A答案：{(1 , 0)}解析：集合A= {(1 , 0)}.3.已知集合A={x|x2— 2x+ a>0}，且1 0 A,则实数a的取值范围是 2 3 5.已知集合 M = {1 , m}, N= {n, log?n}，若 M = N,则(m— n)2 018答答案：(―=,1]解析：因为 1/{x|x2— 2x+ a>0}，所以1€ {x|x2— 2x+ a< 0}，即 1-2+ aw0,所以 aw 1.34.已知集合A =4xx0 Z,且0 Z，则集合A中的元素个数2——X答案：43解析：因为2—Z, 2-x的取值有-3，- 1, 1 3'又X0乙所以x值分别为5, 3, 1,- 1,故集合A中的元素个数为4.案：1或0r n= 1, f n = m, f n= 1,解析：由M = N 知，1 或1 所以，[IJ og 2 n = m, IJ og 2 n= 1, [m= 0, F 2、故(m-n)2 018= 1 或 0.I n = 2.--6.已知集合 A= {1 , 2, 3} , B= {1 , 2, 3, 4, 5, 6}.则满足条件 A 呈C? B 的集合C 的个数为 _________ .答案：7 解析: 解法一：列举法解法二：等价转化：集合C 中必定含有数字1,2,3,则数字1,2,3不影响集合C 的个数，所以集合C 的个数就在于取不取4,5,6与取几个的问题，因此，集合C 的个数就相当于集合{4,5,6}的非空子集个数，故共有23-1=7个.7.定义：满足任意元素X %，则4 —x |<^A 的集合称为优集，若集合则实数a 的值为答案：3 解析：依题意，当x=1时，4_x=3壬A ，当x = 7时，|4_X=3壬A ，所以, a =3时符合条件.8. 给定集合A,若对于任意a, b€ A, 有 a + b € A, 且 a-b€ A,贝S 称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合 A={ — 4,- 2, 0,2, 4｝为闭集合；②集合A= ｛n|n= 3k, k€ Z｝为闭集合；③若集合A i ,A 为闭集合，则A 1U A 2为闭集合.其中正确结论的序号是答案：② 解析：①中，一4+ (— 2) = -6/A,所以不正确；②中设n i ,匕€ A, n i = 3k i , n 2=3k 2, k i , k ? € Z ,则 n i + 匕 € A,山一匕 € A,所以②正确; ③令 A i = {n|n = 3k, k€ Z} , A = {n|n = 2k, k€ Z}，贝J A , A 2为闭集合，但A i U A 2不是闭集合，所以③不正确.9. 已知 A={x|x 2 + mx+n = 0}, B= {y|y 2 + (m — 1)y + n-3= 0}，且 A =｛3｝，求集合B.所以，B= {y|y 2 — 7y+ 6 = 0} = {1 , 6}.10. 已知集合 A= {1 , 3, p x} , B= {2 — x, 1}.(1)记集合M = ｛1 , 4, y ｝，若集合A= M,求实数x+ y 的值;请说明理由.y=4,贝J x+ y= 19.x 使得 B? A ，贝J 2 — x= 3, 或 2 — x=依. 若2 — x= 3，则x=— 1, ^/X 没有意乂，舍去;若2 — x=应, 则x+G — 2= 0,解得x= 1,此时集合B 中元素相同，舍去.故不存在实数X,使得B?A. 解析：由题可知jm —Xj 0，解得* m= —6, n=9.(2)是否存在实数 X,使得B? A?若存在，求出x 的值；若不存在, 解析：(1)由题可知, 集合A 和集合M 中元素完全相同，则V x=4且 (2)假设存在实数11.设集合 A = {xx 2+4X =0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2-1=0,a <：R },若 B J A ,求实数a 的值. 解析：若，贝J A =4(a +1)2 —4(a 2 _1) <0,所以 a c —1 . 若 B 辺，贝J B ={0}或 B ={^}或 B ={0, -4},当B =｛0｝时，方程X 2+2(a +1)x +a 2—1 =0有两个相等的根0. 所以賈;1T 解得a=- 1.当B =｛'｝时，方程x 2+2(a +1)x +a 2—1=0有两个相等的根一4. 所以F ：1］；方程组无解. 当B =｛0, 一4｝时，方程X 2+2(a +1)x +a 2一1 =0有两个不相等的根一 4, 0. 所以解得a = 1综上所述，a<- 1或a= 1 .【提优训练】M 为非空的数集，M?｛1 , 2, 3｝，且M 中至少含有一个奇数答案:集合｛1 , 2, 3｝的所有子集共有23= 8个，集合｛2｝的所有子集共有2个，故满足要求的集合 M 共有8-2 = 6个. 2 .集合A=｛x|(a- 12x+次-N 的｝子集有且仅有两个，则实数a 答案：1或-1解析：当a=1时，A={2}，子集有两个；当aHl 时，由—0,所以，a 3 8此时，A={4}，子集有两个，综上，a= 1或」. 3 8 1.设元素，则集合M 共有 ______ 个. 解析:。

集合的概念和基本关系

2、集合中的元素属性具有：（1）（2）（3）
3、集合的表示法常用的有、和三种方法，有限集常用；无限集常用，比如数集（用符号表示）；图示法常用于表示集合之间的相互关系。
二、元素与集合之间的关系
4、元素与集合是属于和的从属关系，若a是集合A中的元素，记作，若a不是集合A中的元素，记作，但要注意元素与集合是相对而言的。
非空真子集个
10、空集是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的，是任何非空集合的，做题时不可忽视
自我检测
自我
纠错
1.下列各组对象（1）接近于0的数的全体；（2）比较小的正整数全体；（3）直角坐标平面内到原点O的距离等于的点的全体；（4）正三角形的全体；（5）的近似值的全体，其中能构成集合的有（）A.2组B.3组C.4组D.5组
2.已知集合A中的三个元素是△ABC的三边长a，b，c，则△ABC一定不是（）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
3.下列表示集合M=N的是（）.
A.M=｛（1，2）｝，N=｛（2，1）｝B.M=｛1，2｝，N=｛2，1｝
C.M=｛y|y=x-1，x∈R｝，N=｛y|y=x-1，x∈N｝D.M=｛（x，y）| =1｝，N=｛（x，y）|y-1=x-2｝
3.集合A=x|y= ，x∈Z，y∈Z的元素个数为（）
A.4B.5C.10D.12
4．设a，b都是非零实数，y＝＋＋可能取的值组成的集合是________
5．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.
6．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．

总结集合知识点

总结集合知识点一、集合的基本概念1. 集合的定义集合就是由一组互不相同的元素组成的。

集合可以用大写字母表示，而其中的元素用小写字母表示。

例如：集合A={a,b,c,d,e}，其中a,b,c,d,e就是A的元素，而{}表示的就是空集。

2. 元素和子集在集合A中，如果a∈A，那么a就是集合A的一个元素；如果B是集合A的一个子集，则A≠B。

如果集合A含有的元素全部属于集合B中，我们就说A是B的子集，此时A⊆B。

而如果A≠B并且A⊆B，则A就是B的真子集，记作A⊂B。

3. 有限集与无限集如果集合中元素的个数是有限个数，就称它是一个有限集；而如果集合中的元素是无限个数，则称它是一个无限集。

二、集合的运算1. 并集集合A和集合B的并集，就是包含集合A和B中所有元素的集合，用符号表示就是A∪B={x|x∈A或者x∈B}，读作“A并B”。

2. 交集集合A和集合B的交集，就是集合A和B中共有的元素的集合，用符号表示就是A∩B={x|x∈A并且x∈B}，读作“A交B”。

3. 差集集合A和集合B的差集，就是在A中而不在B中的元素的集合，用符号表示就是A-B={x|x∈A且x∉B}，读作“A差B”。

4. 补集如果U是一个给定的集合，并且A是U的一个子集，那么A的补集就是在U中而不在A中的元素的集合，用符号表示就是A'={x|x∈U且x∉A}，读作“A的补集”。

以上就是关于集合的基本概念以及常用的集合运算，接下来我们将对集合的一些常用定理和概念进行总结。

三、集合的定理和概念1. 并集、交集和补集的运算律对于任意给定的集合A、B和C，我们有以下性质成立：- 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

- 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。

- 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

- 德摩根律：(A∪B)'=A'∩B'，(A∩B)'=A'∪B'。

集合的基本概念和运算

集合的基本概念和运算集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。

集合的概念在数学中有着广泛的应用，并且在解决实际问题时也发挥着重要的作用。

本文将介绍集合的基本概念以及集合的运算。

一、集合的基本概念集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。

如果一个元素a属于一个集合A，我们可以写作a∈A。

相反地，如果一个元素b不属于一个集合B，我们可以写作b∉B。

集合的元素可以是任何类型的对象，比如数字、字母、符号或者其他集合。

例如，自然数的集合可以表示为N={0,1,2,3,...}，其中0、1、2、3等都是集合N的元素。

二、集合的表示方法集合有多种表示方法，其中最常见的是列举法和描述法。

1. 列举法：通过列举集合的元素来表示一个集合。

例如，集合A={1,2,3}表示由整数1、2、3组成的集合A。

2. 描述法：通过描述集合元素的特征来表示一个集合。

例如，集合B={x|x是大于0且小于10的整数}表示在0和10之间的整数构成的集合B。

值得注意的是，集合中的元素是没有顺序的，且集合中的元素是互不相同的。

这意味着{1,2,3}和{3,2,1}表示的是相同的集合。

三、集合的运算集合的运算有并集、交集、差集和补集等。

1. 并集：如果A和B是两个集合，它们的并集表示为A∪B，包含了属于集合A或者属于集合B的所有元素。

例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的并集为A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集：如果A和B是两个集合，它们的交集表示为A∩B，包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。

例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的交集为A∩B={3}。

3. 差集：如果A和B是两个集合，它们的差集表示为A-B，包含了属于集合A但不属于集合B的所有元素。

例如，集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}的差集为A-B={1,2}。

专题集合的概念与表示、集合间的关系(解析版)

专题05 集合的概念与表示、集合间的关系集合的概念我们把能够确切指定的一些对象组成的知识梳理知识结构模块一：集合的概念整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一．比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定．互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素：1，2．无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．典例剖析【例1】下列所给对象不能构成集合的是________．(1)高一数学课本中所有的难题；(2)某一班级16岁以下的学生；(3)某中学的大个子；(4)某学校身高超过1．80米的学生；(5)1，2，3，1．【难度】★【答案】(1)(3)(5)集合与元素的字母表示、元素与集合的关系集合常用大写字母CBA、、…来表示，集合中的元素用c b a、、…表示，如果a是集合A的元素，就记作Aa∈，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作Aa∉，读作“a不属于A”【例2】已知x、y、z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．M∉0B．M∈2 C．M∉-4D．M∈4【难度】★【答案】D常用的数集及记法数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N，不包含零的自然数组成的集合，记作*N全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R常用的集合的特殊表示法：实数集R（正实数集+R）、有理数集Q（负有理数集-Q）、整数集Z（正整数集+Z）、自然数集N（包含零）、不包含零的自然数集*N；【例3】用“∈”或“∉”填空(1)－3______N；(2)3．14______Q；(3)13______Z；(4)－12______R；(5)1______N*；(6)0________N．【难度】★【答案】(1)∉(2)∈(3)∉(4)∈(5)∈(6)∈集合的分类我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集我们引进一个特殊的集合——空集，规定空集不含元素，记作∅，例如，方程012=+x的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集．【例4】已知集合}=A∈x=，且A中只有ax++,0x21{2Rx一个元素，求x的值．【难度】★★【答案】0a或1==a【例5】已知},0,1{2xx∈，求实数x的值．【难度】★【答案】1-【例6】已知集合S的三个元素a．、b、c 是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【难度】★【答案】D【例7】设A为实数集，且满足条件：若a．∈A，则1∈A (a．≠1)．1a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明．【难度】★★【答案】(1)若a ．∈A ，则a -11∈A ，又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A ． ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A ，∵12∈A ，∴11－12＝2∈A ，∴A 中另外两个元素为－1，12． (2)若A 为单元素集，则a ＝a-11，即a ．2－a ．＋1＝0，方程无解．∴a ．≠a -11，∴A 不可能为单元素集【例8】设P、Q为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a ＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？【难度】★★【答案】8对点精练1．下列几组对象可以构成集合的是() A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．某校高一所有聪明的同学D．某单位所有身高在1.7 m以上的人【难度】★★【答案】D2．用符号∈或∉填空：（1）0{0}（2）0φ（3）0N（4）0Z（5（6）2-Z【难度】★【答案】(1)∈(2)∉(3)∈(4)∈(5)∉(6)∈3．下列四个说法中正确的个数是( )①集合N 中最小数为1； ②若a ∈N ，则N a ∉-；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．A ．0B ．1C ．2D ．3 【难度】★★ 【答案】A4．由422、、a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a ．的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D．2【难度】★★【答案】C5．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生．【难度】★★【答案】①④⑤6．已知集合M ＝{－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x ．【难度】★★【答案】x ＝－3或x ＝2．7．设集合},12{},,2{Z k k x x B Z k k x x A ∈+==∈==．若B b A a ∈∈,，试判断b a +与B 、A 的关系．【难度】★★ 【答案】A b a B b a ∉+∈+,8．已知集合},032{2R m x mx R x A ∈=+-∈=，且A 中只有一个元素，求m 的值．【难度】★★ 【答案】31,0集合的表示方法常用列举法和描述法将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程0652=+-x x 的解的集合，可表示为{2,3}，也可表示为{3,2} 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：}{p x x A 满足性质=（集合A 中的元素都具有性质p ，而且凡具有性质p 的元素都在集合A 中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程0652=+-x x 的解的集合可表示为}065{2=+-x x x ．集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限模块二：集合的表示方法集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示．典例剖析【例9】写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是质数又是偶数的整数组成的集合（2）大于10而小于20的合数组成的集合【难度】★【答案】（1）{}2；（2）{}12,14,15,16,18【例10】用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合（3）函数122+-=x x y 的图像上所有的点（4）}75,64,53,42,31{ 【难度】★★【答案】（1）},15{N k k x x ∈+=；（2）},,0),{(R y R x xy y x ∈∈>；（3）},,12),{(2R y R x x x y y x ∈∈+-=；（4）}5,,2{*≤∈+=n N n n nx x【例11】用列举法表示下列集合：（1）},,5),{(N y N x y x y x ∈∈=+（2）},032{2R x x x x ∈=--（3）},032{2R x x x x ∈=+-（4）},512{Z x N xx ∈∈- 【难度】★【答案】（1）()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0；（2）{}3,1-；（3）∅；（4）{}--7,1,1,3,4【例12】用适当的方法表示下列集合（1）大于0且不超过6的全体偶数组成的集合A（2）被3除余2的自然数全体组成的集合B（3）直角坐标平面上第二象限的点组成的集合C【难度】★★【答案】（1）}6,4,2{；（2）}x∈+=；（3）x{N,2n3nyyxx∈>x<∈,0,0,}R)y{(R,【例13】下列表示同一个集合的是（）A．)}3,2{(2,3{==NM},M B．}3,2{2,3{(==N)},C．)}3,2{(=N0{M},M D．φ==N},2,3{=【难度】★【答案】B【例14】已知集合}A∈xxxZ=≤∈==，用-,2},,1B{2A{yxyx列举法分别表示集合BA、【难度】★★【答案】}3,0,1{-=BA-2,1,0,1=,2},{-【例15】设∇是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意A b a∈,，有A∇，则称Aba∈对运算∇封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除法不等于零）四则运算都封闭的是（）A．自然数集B．整数集C ．有理数集D ．无理数集【难度】★★ 【答案】C【例16】设cb a ,,为实数，)1)(1()(),)(()(22+++=+++=bx cx ax x g c bx x a x x f ，记集合},0)({},,0)({R x x g x T R x x f x S ∈==∈==，若T S ,分别为集合T S ,的元素个数，则下列结论不可能的是（）A ．0,1==T S 且B ．1,1==T S 且C ．2,2==T S 且D ．3,2==T S 且【难度】★★★ 【答案】D 【解析】【例17】设集合},,{22Z b a b a x x M ∈-==，求证：（1）奇数属于M （2）偶数)(24Z k k ∈-不属于M（3）属于M 的两个整数，其积属于M 【难度】★★★【答案】（1）M k Z k k k k ∈+∴∈-+=+12),()1(1222；（2）假设M k ∈-24，则可设),,(2422Z b a b a k ∈-=-即ba b a b a b a k +--+=-与 ))((24的奇偶性相同，))((b a b a -+∴是奇数或者是4的倍数，这与24-k 是偶数且不是4的倍数矛盾，故假设不成立，即M k ∉-24 （3）设,,,,22222121d c x b a x M x x -=-=∈且则2222222222222221)()())((bc ad bd ac d b c b d a c a d c b a x x +-+=+--=--=，M x x ∈211．用适当的方法表示下列集合．对点精练(1)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；(2)由所有非负偶数组成的集合；(3)直角坐标系内第三象限的点组成的集合．【难度】★★【答案】(1){3，5，7，11，13，17，19};(2){x|x ＝2n，n★N};(3){(x，y)|x<0且y<0}2．下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y ＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？【难度】★★【答案】(1)不是；(2)①表示的是函数的定义域，x的取值范围；②表示的是函数的值域y的取值范围；③表示的是点集，是坐标平面内的点},{y x构成的集合，且这些点的坐标满足12+=xy3．用列举法表示下列集合：（1）}yxx∈∈+=yx),3,{(NNy,（2）}yyxx∈-≤={(2Z,1,2),xx（3）}xyy∈∈=+x,,3{NyN【难度】★★【答案】（1）)}0,3(),1,2(),2,1(),3,0{(；（2）)}3,2(),3,2(),0,1(),0,1(),1,0{(--；-（3）{0,1,2,3}4．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集．（1）第三象限内所有点组成的集合；（2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合；（3）所有被5除余2的奇数组成的集合．【难度】★★【答案】（1）{(,)|0,0}<<，它是无限集；（2）x y x y-，共有5个元素，是有限集；（3）{2,2,4,6,8}{|107,}=+∈，它是无限集．x x k k Z5．集合{}2=+中实数m的取值集合M=4,3A m m【难度】★★【答案】{}≠-≠且m m m|416．给出下列四种说法①任意一个集合的表示方法都是唯一的；②集合{}-是同一个集合2,1,0,1-与集合{}1,0,1,2③集合{}|21,x x k k Z =-∈与集合{}|21,y y s s Z =+∈表示的是同一个集合；④集合{}|01x x <<是一个无限集．其中正确说法的序号是．（填上所有正确说法的序号）【难度】★★ 【答案】②③④7．设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求【难度】★★【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=91,31M8．用列举法表示集合：},110{Z m Z m m M ∈∈+== 【难度】★★ 【答案】{}9,4,1,0,2,3,6,11----9．已知集合},2{},,2{22R x x x y y B R x x x y x A ∈-==∈-==，描述集合B A 与之间的区别【难度】★★【答案】集合A 表示的是函数的定义域，集合B 表示函数值的取值范围子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作:A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B 或B 包含A ”．模块三：集合之间的关系典例剖析【例17】已知A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则A与B的关系正确的是()A．A⊆B B．A B=C．B A⊆D．A∈B【难度】★【答案】D相等的集合：对于两个集合A和B，若A B⊆且B A⊆则称集合A 与集合B 相等，记作A B =．也就是说，集合A 和集合B 含有完全相同的元素．【例18】已知集合}2,,{b a b a a A ++=，集合},,{2ac ac a B =，若B A =，求实数c 的值【难度】★★ 【答案】21-=c真子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A叫做集合B 的真子集，记作B ≠⊂A 或A ≠⊃B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”．【例19】已知集合}01{},06{2=+==-+=ax x B x x x A 且A ≠⊂B ，求a 的值．【难度】★★【答案】21,31,0-子集的个数：若集合A 中有n 个元素，则有2n个子集，21n-个非空子集，21n-个真子集．【例20】定义A *B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{1，3，4，6}，B ＝{2，4，5，6}，则A *B 的子集个数为【难度】★★ 【答案】4空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．图示法（文氏图）：用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图．（1）A B ⊆有两种可能：①A 中所有元素是B 中的一部分元素；②A 与B 是中的所有元素都相同；（2）空集∅是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；（3）判定A 是B 的子集，即判定“任意x A x B ∈⇒∈”；（4）判定A B =，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且任意x B x A ∈⇒∈”；（5）判定B ≠⊂A ，即判定“任意x A x B ∈⇒∈，且存在0x B x A ∈⇒∉”；（6）易混符号：①“∈”与“⊆”②{}0与∅；（7）R Q Z N ≠≠≠⊂⊂⊂．【例21】已知集合A Z k k x x B Z k k x x A 则},,21{},,21{∈==∈+==________B ．【难度】★★【答案】A B ⊆【解析】方法一 (列举法)对于集合A ，取k ＝…，0，1，2，3，…，得A ＝},27,25,23,21{⋯⋯ 对于集合B ，取k ＝…，0，1，2，3，4，5，…，得B ＝},252,231,21{⋯⋯，，，故A B ⊆．方法二 (通分法)集合A ：x ＝2k ＋12 (k ∈Z )，分子为奇数．集合B ：x ＝k 2 (k ∈Z )，分子为整数，∴A B ⊆．【例22】设}2,1{B }4,3,2,1{A ==，，试求集合C ，使A C ≠⊂且C B ⊆ 【难度】★★【答案】}4,2,1{}3,2,1{}2,1{===C C C 或或【例23】设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋2a －1＝0}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【难度】★★【答案】1≤aa或-,1=【例24】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m 的取值范围．【难度】★★【答案】{m|m≤3}【例25】若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．【难度】★★【答案】32-，【例26】已知(){}(){}1,||1|0,,|1y A x y y B x y x =-=+===或，则A 与B 之间的包含关系为；【难度】★★【答案】B ≠⊂A【例27】已知()2f x x px q =++，集合(){}|,A x f x x x R ==∈，(){}|B x f f x x ==⎡⎤⎣⎦，（1）求证：A B ⊆；（2）如果{}3,1A =-，用列举法表示集合B ．【难度】★★★【答案】（1）略；（2）{1,B =-【例28】已知集合}3{>=x x A ，集合}1{m x x B >+=，若A B ≠⊂，实数m 的取值范围是，若A B ⊆，实数m的取值范围是【难度】★★【答案】4m;4≤>m对点精练1．下列五个关系式：（1）{}∅=0；（2）0=∅；（3）0；（4）{}∅⊇0；（5）{}0≠∅；其中正确的个数∈∅是（）A．2 B．3 C．4 D．5【难度】★【答案】A2．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值【难度】★★【答案】x＝y＝－13．若B＝{0，1，2，3，4，7，8}，C＝{0，3，4，7，9}，则满足A⊆B，A⊆C的集合A 有________个．【难度】★★【答案】164．若{x|2x－a＝0，a∈N}⊆{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为__________【难度】★★【答案】{0，1，2，3，4，5}5．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a的值．【难度】★★【答案】26．已知，（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围【难度】★★【答案】（1）空集；（2）7．已知集合B A,,},=若{,},,1{2，则实数b a,分别baab=aBA=a是【难度】★★【答案】0,1-8．设集合},421{},,412{Z k k x x N Z k kx x M ∈+==∈+==，则 (A 与B 的包含关系)【难度】★★【答案】N M ≠⊂9．设集合}0,,{},,,{2222y x y x Q xy y x y x P -+=+-=，若Q P =，求y x ,的值及集合Q P ,【难度】★★【答案】}0,1,1{-10．已知}0{},21{<-=<<=a x x B x x A ，若B A ≠⊂，求实数a 的取值范围【难度】★★【答案】}2{≥a a模块四：集合的概念和集合间的关系的能力拓展典例剖析【例29】集合，且、、恰有一个成立，若且，则下列选项正确的是( )A ．，B ．，C ．，D ．，【难度】★★★【答案】B【解析】【例30】若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符()*{,,S x y z x y z N =∈、、x y z <<y z x <<z x y <<}(),,x y z S ∈(),,z w x S ∈(),,y z w S ∈(),,x y w S ∉(),,y z w S ∈(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∈(),,y z w S ∉(),,x y w S ∉合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．【难度】★★【答案】6【解析】【例31】设P 是一个数集，且至少含两个数，若对任意,a b P ∈，都有)0(,,,≠∈-+b P b a ab b a b a ，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集Q},|2{∈+=b a b a F 也是数域．给出下列命题：①整数集是数域；②若有理数集M Q ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域．其中正确的命题是．(填序号) 【难度】★★★ 【答案】③④【例32】已知},2{},,,3614{Z k k x x B Z n m n m x x A ∈==∈+==，求证BA =【难度】★★★【答案】（1）先证B A ⊆，设A a ∈，则存在Z m m ∈21,，满足)187(236141111n m n m a +=+=，B A B a Z n m ⊆∈∴∈+即,,18711（2）再证A B ⊆，设B b ∈，则存在Z k ∈1，满足)2(36)5(142111k k k a +-==，A B A b Z k k ⊆∈∴∈-即,,2,511【例33】已知集合M 是满足下列性质的函数)(x f 的全体，对任意R x ∈，存在非零的常数t 使)()(x f t t x f ⋅≥+成立，其中非零常数t 叫做函数)(x f 的一个特征参数（1）函数x x f =)(是否属于集合M ？说明理由（2）试证明：函数2)(x x f =是集合M 中的一个元素，并求出2)(x x f =的所有特征参数组成的集合【难度】★★★ 【答案】（1）1=t 即可；（2）,02)1(,)(2222<≥++-≥+t t tx x t tx t x 可求得即1．已知},64{},,2{*2*2N b b b x x P N a a x x M ∈+-==∈+==，确定M与P 的关系【难度】★★★ 【答案】P M ≠⊂2．已知集合},,14{},,12{Z m m x x B Z n n x x A ∈±==∈+==求证B A =对点精练【难度】★★★ 【答案】略 3．集合{}12|,,,M x x m m n Z x x M ==+∈∈、、下列元素中哪些一定属于M ?（1）12x x +；（2）12x x ⋅；（3）122(0)x x x ≠【难度】★★ 【答案】（1），（2）4．设集合{}1,2,3,...,10,A =求集合A 的所有非空子集元素和的和【难度】★★★【答案】含有1的子集有92个；含有2的子集有92个；含有3的子集有92个；…，含有10的子集有92个，∴9(123...10)228160++++⨯=集合元素具有三个特征：确定性、互异性、无序性；确定性用来判断符合什么条件的研究对象可组成集合；互异性是相同元素只写一次，在解决集合的关系或运算时，要注意验证互异性；无序性，即只要元素完全相同的两个集合是相等集合，与元素的顺序无关；集合中的元素的确定性和互异性，一是可以作为解题的依据;二可以检验所求结果是否正确．用描述法表示集合时，一定要明确研究的代表元素是什么，如；表示的是由二次函数的自变量组成的集合，即的定义域；表示的是由二次函数的{}4|2-=x y x 42-=x y 42-=x y {}4|2-=xy y 42-=xy 反思总结函数值组成的集合，即的值域；表示的是由二次函数的图像上的点组成的集合，即的图像．要注意空集的特殊性，空集不含任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为n2，真子集个数为12-n，非空真子集有．22-n．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关42-=x y {}4|),(2-=x y y x 42-=x y 42-=x y系．在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示．1．选择适当的方法表示下列集合． (1)Welcome 中的所有字母组成的集合； (2)所有正偶数组成的集合；(3)二元二次方程组⎩⎨⎧==2xy xy 的解集； (4)所有正三角形组成的集合．【知识点】集合的表示【难度】★★ 【题型】填空题【答案】(1)列举法：},,,,,{m o c l e W ．课后练习(2)描述法：}xx∈=．kk,{*2N(3)列举法：)}1,1(),0,0{((4)描述法：}xx{是正三角形2．由实数x x x、、-所组成的集合，其元素最多有几个？【知识点】集合的概念【难度】★【题型】填空题【答案】23．若集合}01xA是空集，则实数a的值为=ax+{=【知识点】集合的概念【难度】★【题型】填空题【答案】04．已知集合}14{2有唯一解=+-=a x x a A ，用列举法表示集合A【知识点】集合的表示【难度】★★ 【题型】解答题【答案】}2,2,417{--=A5．集合},023{2R a x ax x A ∈=+-=（1）若A 是空集，求a 的取值范围（2）若A 中只有一个元素，求a 的值并把这个元素写出来（3）若A 中至多一个元素，求a 的范围【知识点】集合的概念【难度】★★ 【题型】解答题【答案】（1）89>a ；（2）890==a a 或；（3）890≥=a a 或6．已知集合}044{2<+-=a x x x M ，且M ∉2，则实数a 的取值范围是【知识点】集合的概念【难度】★★ 【题型】填空题【答案】}1{≥a a7．用适当的符号填空：（1）∅}01{2=-x x ；（2）{1，2，3} N ；（3）{1}}{2x x x =；（4）0}2{2x x x =．【知识点】集合间的关系【难度】★【题型】填空题【答案】，，，8．定义集合运算：，，．设集合，则集合的所有元素之和为_______________【知识点】集合的概念【难度】★★【题型】填空题【答案】189．已知{25}=+≤≤-，B A⊆，求m的B x m x mA x x=-≤≤，{121}取值范围。

第三讲集合概念及集合间基本关系(教师版)

有理数集：全体有理数的集合。记作 Q ．
实数集：全体实数的集合。记作 R ．
6．集合的分类：
①按集合中所含元素的个数分类
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
空集：不含任何元素的集合。记作，如：{x | x2 1 0, x R} 。
②按集合中元素的性质分类
数集：集合中元素是数值。如{x | y x2 1} ，{y | y x2 4}
问题 2：一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、衬衣、闹钟共计 4 个品种，第二批进货
是 MP4、皮鞋、水杯、衬衣、台灯共计 5 个品种，问一共进了多少个品种的货？是不是 4+5=9(种)
呢？
【答案】7 种，集合中元素的互异性问题 3：我们这个班重新调整座次之后，是否还是原来的班集体？
2
【答案】是，集合中元素的无序性
（4）所有的正方形；
（5）到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点;
（6）方程 x2 3x 2 0 的所有实数根；（7）新华中学 2013 年 9 月入学的高一学生的全体.
这些例子都能组成集合吗？它们有什么共同的特征？
问题 1：“我们班中高个子的同学”“接近 0 的数”“咱们必修 1 教材中所有的难题”能否分别组成一个集合？为什么？【答案】不能，不满足集合中元素的确定性
(2)不正确，不满足集合中元素的互异性
(3)正确，集合中元素满足无序性
二．元素与集合的关系
【例 2】（1）用符号“ ”或“”填空：已知 A {2，7,12,17} ， B {-1, 5,11,17, 23} ，则有：
17
A ；－5
A ； 17
B.
（2）若 3 a 3, 2a 1, a2 1 ，求实数 a 的值.

集合的概念与集合间的基本关系课件(共17张PPT)

则 A B ____, A C _____
题型二：子集的个数问题：
例1：A x Z 6 x 1，B 3,2,1,0,1,2
则A B的子集有 ____ 个
真子集有 _____ 个
变式： 1,2 Q 1,2,3,4,5
则符合条件的Q 有_____个。
结论：（1）A a1,a2, a3 an
（2）相等关系
(2)若A B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x A，
称集合A为集合B的真子集，
记作：______（或______）.
(3)规定：空集在是任何集合的子集, 是任何非空集合的真子集。
2.相等关系：如果集合A是集合B的子集(A B),且集合B是集合A的子集(B A)，称集合A是集合B相等。记作：A=B
B : x a2 2a 3 (a 1)2 2 2
B x x
1 4
,k
Z ，N
x
x
k 4
1,k 2
Z ，
P
x
x
k 4
1 4
,k
Z ，
则M , N, P的关系为______
反思回顾：解答集合题目,认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件.
则A的子集有2n 个，真子集有2n 1
（2）a1,a2, a3 am A a1,a2, a3 an
则满足条件的A有2n-m 个
题型三：集合与集合的基本关系：
A例1：y y x2 1, x R ，
B x x a2 2a 3, a R
则A与B的关系为____ B A
解析： A y y 1
集合的概念与集合间的基本关系
代兵
高中数学必修1同步辅导课程——集合及其间的关系

集合的含义及集合间的基本关系-讲义(学生版)

点的集合叫做点集．其表示方法形如
．
，其中的
描述法的三个关键词解读：
4
①“代表元素”，是表示这个集合元素的一般符号，如表示数集时，我们可以选用
作为代表
元素；表示点集时，可以选用有序实数对
作为代表元素．
②“取值范围”，一般来说集合元素的取值范围需写明确，但若从上下文的关系或者所研究问题的大
环境下看，
B. 无限接近零的数
D. 方程
的实数解
8. 下列四组对象中，能构成集合的是（）．
A. 很薄的纸
B. 高个子的人
C. 与接近的数
D. 所有的正方形
9. 已知 A.
，则实数的值为（）．
B.
C. 或
D. 无解
10. 已知
，则实数
．
2. 集合的分类
按照集合中元素的特性可将集合划分为数集和点集；按照集合中元素的数量可将集合划分为有限集和无限集．
25. 用描述法表示下列各集合：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
26. 在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为( )．
A.
且
B.
C.
D.
或不同时为零
27. 集合
的另一种表示法是（）．
A.
B.
C.
D.
28. 已知集合
A.
B.
，则必有（）．
C.
D.
29. 已知集合 A.
，则的元素个数为（）．
B.
个点都表示一个实数．在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而且直观，例如，
可用数轴表示，如下图所示：
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法；图在之后集合的基本运算学习与应用，此处作为集合的表示方法归类

集合的概念与相互关系

分配律
定义
分配律是指集合运算中，一个集合与括号内另一个集合的运算结果与该集合分别与括号内每个集合的运算结果相同。
例子
设A、B和C是三个集合，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)和A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)都是分配律的例子。
04
集合的基数
定义与性质
集合的基数
确定性
集合中元素的个数称为该集合的基数。
性质
空集是任何集合的子集，任何集合都包含空集作为其子集。
02
集合之间的关系
子集
子集是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合，但不要求所有元素都相同。
子集关系不具有对称性，即如果集合 A是集合B的子集，则集合B不一定是集合A的子集。
子集关系具有传递性，即如果集合A 是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A也是集合C的子集。
集合的元素
确定性
集合中的元素是确定的，没有模糊性。例如，“大于3的实数”是
一个模糊的描述，而“{4,5,6}” 是一个确定的集合。
无序性
集合中的元素没有顺序，即集合 {1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合。
互异性
集合中的元素互不相同，即集合中不会有重复的元素。
空集
定义
不含任何元素的集合称为空集，记作∅。
子集关系不具有排他性，即一个集合可以同时是多个不同集合的子集。
超集
超集是指一个集合的所有元素都属于另一个集合，包括相同
的元素。
超集关系具有传递性，即如果集合A是集合B的超集，且集合 B是集合C的超集，则集合A也
是集合C的超集。
超集关系不具有对称性，即如果集合A是集合B的超集，则集合B不一定是集合A的超集。

集合的基本概念、基本关系、基本运算

第1讲集合的基本概念、基本关系、基本运算考点1集合的含义与表示考法1元素与集合的相关概念（集合的三个特性）①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都是描述性的说明；②整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此，一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体；③广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.判断一个“全体”是否构成一个集合，关键是看组成这个“全体”的对象是否确定.1.下列对象能够构成集合的有 CA ．著名的艺术家B ．一切很厚的书C ．倒数等于它本身的实数D ．地球上的小河流2.下列对象不能够构成集合的有 CA ．绝对值等于1实数B ．平面直角坐标系内第一象限的点C ．高一数学课本中难题D ．所有直角梯形考法2元素与集合的关系（集合中元素的性质①确定性；②互异性；③无序性）1.用符号“∈”或“∉”填空： ①23 N *； ②23 N ； ③23 Z ； ④23 Q ； ⑤23R ；1 N *1 N 1 Z 1 Q 1 R ；2.设集合{31}A x x m =-<，若1A ∈，2A ∉，则实数m 的取值范围是 CA.25m <<B.25m ≤<C.25m <≤D.25m ≤≤3.已知集合2{210,}A x ax x a R =-+=∈.①若1A ∈，求a 的值；②若A 是单元素集合，求a 的值；③若是双元素集合，求a 的取值范围.4．下列命题正确的是 CA ．2{20}x x +=在实数范围内无意义 B ．{(1,2)}与{(2,1)}表示同一个集合C ．{4,5}与{5,4}表示相同的集合D ．{4,5}与{5,4}表示不同的集合考法3集合的表示（列举法、描述法、Venn 图法）1.用列举法表示下列集合①满足42x -≤≤且x Z ∈；②平方等于本身的实数；③满足4x y +=且x N ∈，y N ∈的有序实数对(,)x y ；④方程2230x x --=的解.2.用适当的方法表示下列集合①所有的偶数组成的集合；②所有被3除余1的正整数组成的集合；③平面直角坐标系中第二象限内的点；④所有菱形组成的集合.3.用描述法表示函数21y x =+图像上的点的是 CA ．{21}x y x =+B ．{21}y y x =+C ．{(,)21}x y y x =+D ．{21}y x =+4.（2012·全国卷）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为 DA.3B.6C.8D.10考点2集合的基本关系考法1子集一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合由包含关系，称集合A 为集合B 的子集.显然①A A ⊆；②若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆.1.已知集合{A =，{1,}B m =，若B A ⊆，则m = . 0m =或3m =2.（2011·全国卷·文科）已知集合{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5}N =，P M N =，则P 的子集共有 BA.2个B.4个C.6个D.8个4.（2012·湖北卷·文科）已知集合2{320,}A x x x x R =-+=∈，{05,B x x =<< }x N ∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为 A A.4个 B.3个 C.2个 D.1个考法2集合相等一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，同时集合B 中的任意一个元素都是集合A 中的元素，我们就说这集合A 与集合B 相等.1.已知集合{,,2}M a a d a d =++，2{,,}N a aq aq =，其中0a ≠，且M N =，则q = . 12q =- 考法3真子集对于两个集合A ，B ，如果A B ⊆，且A B ≠，我们就说集合集合A 是集合B 的真子集. 1.（2002·全国卷）集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈，1{|,}42k N x x k Z ==+∈，则 A.N M = B.M N C.N M D.M N =∅ C2.下列两个集合表示相等的是 DA.{}A π=，{3.14}B =B.{2,3}A =，{(2,3)}B =C.{0}A =，B =∅D.2{1}A x x ==，{1,1}B =- 考法4理解与提高1.两个规定：①空集是任何集合的子集；②空集是任何非空集合的真子集.2.下列关于集合的说法中，正确的是 .①空集是任何集合的真子集； ②若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆； ③任何一个集合必有两个或两个以上的子集； ④若A B =，则A B ⊆.3.给出下面结论，其中正确的是 . ①②①{}∅⊆∅ ②{}∅∈∅ ③{}∅=∅ ④∅{0} 考点3集合的基本运算考法1交集：{}A B x x A x B =∈∈且.1.（2010·四川卷·文科）设集合{3,5,6,8}A =，集合{4,5,7,8}B =，则A B =A.{3,4,5,6,7,8}B.{3,6}C.{4,7}D.{5,8} D2.（2014·北京卷·文科）若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B = CA.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}33.（2019·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{1}A x x =>-,{2}B x x =<，则A B =A ．(1,)-+∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．∅ C4.（2014·全国卷Ⅰ·文科）已知集合{13}M x x =-<<，{21}N x x =-≤≤，则M N = BA.(2,1)-B.(1,1]-C.(1,3)D.(2,3)-5.（2020·北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = DA.{1,0,1}-B.{0,1}C.{1,1,2}-D.{1,2}6.（2019·江苏卷）已知集合{1,0,1,6}A =-，{0,}B x x x R =>∈，则A B = .7.（2014·全国卷Ⅱ·文科）已知集合{2,0,2}A =-，2{|20}B x x x =--=，则 A B = BA ．∅ B.{2} C.{0} D.{2}-8.（2014·北京卷·理科）已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B =A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2} C9.（2014·全国卷Ⅱ·理科）设集合{0,1,2}M =，2{|320}N x x x =-+≤，则 M N = DA.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}10.（2020·全国卷Ⅰ·文科）设集合2{340}A x x x =--<，{4,1,3,5}B =-，则A B = DA ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}11.交集的性质：①A B B A =；②A A = ；③A ∅= ；④A B A . ⑤若A B A =，则A B ⊆；⑥若A B ⊆，则A B A =.12.已知集合2{320}A x x x =-+=，{10}B x mx =-=，A B B =，则m = .0m =，1，12. 考法2并集：{}A B x x A x B =∈∈或1．（2010·广东卷·文科）若集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，则集合A B =A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2}D ．{0} A2.（2013·广东卷·理科）设集合2{20,}M x x x x R =+=∈，2{20,N x x x =-= }x R ∈，则M N = DA.{0}B.{0,2}C.{2,0}-D.{2,0,2}-3.（2015·四川卷·文科）设集合{|12}A x x =-<<，集合{|13}B x x =<<，则A B = AA.{|13}x x -<<B.{|11}x x -<<C.{|12}x x <<D.{|23}x x <<4.（2019·北京卷·文科）已知集合{12}A x x =-<<，{1}B x x =>，则A B =A.(1,1)-B.(1,2)C.(1,)-+∞D.(1,)+∞ C 5.并集的性质：①A B B A =；②A A = ；③A ∅= ；④A A B . ⑤若A B B =；则A B ⊆；⑥若A B ⊆；则A B B =.6.已知集合2{20}A x x x =--=，2{0}B x x x a =-+=，A B A =，则实数a 的取值范围为 . 2a =-或14a >. 考法3补集：{}U C A x x U x A =∈∉且1.（2011·四川卷·文科）若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则M C N = BA.∅B.{1,3,5}C.{2,4}D.{1,2,3,4,5}2.（2010·重庆卷·理科）设{0,1,2,3}U =，2{0}A x U x mx =∈+=，若{1,2}U C A = ，则实数m = . 3m =-3.（2010·全国卷Ⅱ·文科）设全集{6}U x N x *=∈<，{1,3}A =，{3,5}B =，则()U C A B = CA ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,4}D ．{2,5}4.（2011·大纲全国卷·文科）设集合{1,2,3,4}U =,{1,2,3}M =，{2,3,4}N =，则()U C M N = DA.{1,2}B.{2,3}C.{2,4}D.{1,4}6.（2011·江西卷·文科）若全集{1,2,3,4,5,6}U =，{2,3}M =，{1,4}N =,则集合{5,6}等于 DA.M NB.M NC.()()U U C M C ND.()()U U C M C N7.（2012·山东卷·文理）已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则()U C A B = C.A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}8.（2012·浙江卷·文科）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，设集合{}1,2,3,4P =，{}3,4,5Q =，则()R P C Q = DA.{}1,2,3,4,5,6B.{}1,2,3,4,5C.{}1,2,5D.{}1,2。

数学的集合概念

数学的集合概念集合是数学中一个基本且重要的概念。

它是一种将一组元素汇集在一起的方式，可以用来表示一个整体的概念。

本文将从集合本身的概念和性质、集合的分类、集合之间的关系、集合的基本运算、集合的函数和映射、集合的逻辑和推理以及集合的应用等方面来介绍数学的集合概念。

1. 集合本身的概念和性质集合是由一组特定元素组成的整体。

这些元素可以是任何东西，例如数字、点、图形等。

集合中的元素可以是任意的，既可以是有限的，也可以是无限的。

集合本身具有一些性质，例如封闭性、结合性、交换性等。

2. 集合的分类根据集合中元素的特点，可以将其分为不同的类型。

例如，空集是不包含任何元素的集合；单元集只包含一个元素的集合；自然数集是包含所有自然数的集合；实数集是包含所有实数的集合等。

此外，还可以根据集合的其他性质对其进行分类，例如基数、序数、域、单调性、完备性等。

3. 集合之间的关系集合之间存在一定的关系，这些关系可以通过集合的基本运算得到。

例如，两个集合的交集是由两个集合中共有的元素组成的集合；两个集合的并集是由两个集合中所有元素组成的集合；补集是一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合；差集是一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合等。

4. 集合的基本运算集合的基本运算是数学集合中重要的概念之一。

常见的集合基本运算包括交集、并集、补集、差集等。

这些运算可以用于获取两个或多个集合之间的关系，或者用于对集合进行操作和变换。

在集合的基本运算中，需要注意一些特殊的规则和约定，例如空集和任意集合的交集都是空集，空集和任意集合的并集都是该任意集合等。

5. 集合的函数和映射函数和映射是数学中重要的概念之一，它们可以用于描述两个集合之间的关系。

在数学集合中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合中的元素的工具。

而映射则是一种将一个集合的元素与另一个集合的元素建立对应关系的方式。

通过函数和映射，我们可以对集合进行各种操作和变换，例如映射可以将一个集合中的每个元素映射为一个平方数，从而得到一个新的集合。

集合间的基本关系说课稿

集合间的基本关系说课稿摘要：1.集合间的基本关系概述2.集合间的包含关系3.集合间的相等关系4.集合间的互异性关系5.集合间的空集关系6.集合间的并集和交集关系7.集合间的补集关系正文：一、集合间的基本关系概述在数学中，集合是一个基本的概念，它可以帮助我们更好地理解和描述问题。

集合间的基本关系是研究集合之间联系和关系的基础，主要包括包含关系、相等关系、互异性关系、空集关系、并集和交集关系以及补集关系。

二、集合间的包含关系包含关系是指一个集合中的所有元素都属于另一个集合。

可以用符号AB 表示集合A 是集合B 的子集。

例如，{1, 2, 3}是{1, 2, 3, 4, 5}的子集，因为{1, 2, 3}中的所有元素都属于{1, 2, 3, 4, 5}。

三、集合间的相等关系相等关系是指两个集合具有相同的元素。

可以用符号A=B 表示集合A 与集合B 相等。

例如，{1, 2, 3}与{1, 2, 3}相等，因为它们具有相同的元素。

四、集合间的互异性关系互异性关系是指两个集合之间没有相同的元素。

可以用符号AB 表示集合A 与集合B 互异。

例如，{1, 2, 3}与{4, 5, 6}互异，因为它们之间没有相同的元素。

五、集合间的空集关系空集关系是指一个集合中没有元素。

可以用符号表示空集。

例如，集合A = {x | x = 0}是空集，因为方程x = 0 的解只有0，而集合A 中没有0 这个元素。

六、集合间的并集和交集关系并集关系是指两个集合中所有元素的集合。

可以用符号A∪B 表示集合A 与集合B 的并集。

例如，{1, 2, 3}与{4, 5, 6}的并集是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。

交集关系是指两个集合中共同拥有的元素的集合。

可以用符号A∩B 表示集合A 与集合B 的交集。

例如，{1, 2, 3}与{4, 5, 6}的交集是{}（空集）。

七、集合间的补集关系补集关系是指一个集合与另一个集合的并集等于全集。

集合的概念摘要

集合的概念摘要集合是数学中常见的一个概念，它是一种无序的集合对象。

它可以包含各种类型的元素，例如数字、字母、图形等。

在集合论中，集合是数学研究和描述对象的基本工具之一。

1. 集合的定义:集合是一种无序的容器，它包含一组特定的元素。

集合中的元素可以是任何类型的对象，但每个元素在集合中只能出现一次。

集合可以用大写字母表示，例如A，B，C等。

如果元素a属于集合A，我们可以用a∈A来表示。

2. 集合的表示方法:有两种常见的表示方法来描述集合：- 列举法：将集合中的元素一一列举出来，并使用大括号{}括起来。

例如，集合A={1,2,3,4}表示包含元素1,2,3,4的集合A。

- 描述法：使用一定的条件来描述集合中的元素。

例如，集合B={x x是大于0且小于10的整数}，表示B是由大于0且小于10的整数组成的集合。

3. 集合元素的特性:- 互异性：集合中的元素是互不相同的，即每个元素在集合中只能出现一次。

- 无序性：集合中的元素没有顺序，即元素的排列是无关紧要的。

- 确定性：对于任何给定的元素，它要么属于集合，要么不属于集合，不存在中间情况。

4. 集合的基本运算:集合论中有几个常见的基本运算，可以用来操作集合：- 并集：给定两个集合A和B，它们的并集是包含A和B中所有元素的集合，用符号∪表示。

即A∪B={x x∈A或x∈B}。

- 交集：给定两个集合A和B，它们的交集是包含A和B中共有元素的集合，用符号∩表示。

即A∩B={x x∈A且x∈B}。

- 差集：给定两个集合A和B，它们的差集是包含所有属于A但不属于B的元素的集合，用符号\表示。

即A\B={x x∈A且x∉B}。

- 补集：给定一个集合U和其中的一个子集合A，A的补集是包含在U中但不属于A的所有元素的集合，用符号A'或A^c来表示。

即A'={x x∈U且x∉A}。

5. 集合间的关系:集合间的关系可以通过比较它们的元素来确定：- 包含关系：如果集合A中的每个元素都属于集合B，则称A是B的子集，用符号表示为A⊆B；反之，如果B的元素也都属于A，则称A是B的超集，用符号表示为B⊇A。

1集合的概念及集合间的基本关系

4. 若集合}044|{2=++=x kx x A 中有且仅有一个元素，则实数k 的值为（）A.{0}k ∈B.{1}k ∈C.{1,0}k ∈D.{1,1}k ∈-二、填空题5．用“∈”或“∉”填空.(1)－3 ______N ； (2)3.14 ______Q ； (3)13 ______Z ； (4)－12 ______R ； (5)1 ______N *； (6)0 _______N .6．定义集合运算A *B ＝{M |M ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为________．三、解答题7．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x8．下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}； B ＝{y |y ＝x 2＋1}； C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？9．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则a-11∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集一般地，对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作B A ⊆或，读作“A 含于B ”，或者“B 包含A ”。

注意：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，（2）A 与B 是同一集合。

⊆/B或B⊇/A反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2 “相等”关系：A=BA⊆），且集合B是集合A的子集（B A),此时，集合A和集合B的如果集合A是集合B的子集（B元素是相相同的，因此，集合A与集合B相等，记作:A=B。

实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

集合的含义与基本关系

集合的含义，表示与基本关系【知识精讲】1.集合的概念：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…2.元素与集合的关系a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作 a∈A ，a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a A3. 集合中元素的特征（1）元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

（2）元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

比如：book中的字母构成的集合（3）元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

4、数的集简称数集，下面是一些常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或 N+整数集Z 有理数集Q 实数集R5、集合的分类原则：集合中所含元素的多少①有限集含有限个元素，如A={-2，3}②无限集含无限个元素，如自然数集N，有理数③空集不含任何元素，如方程x2+1=0实数解集。

专用标记：Φ6、集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x∈A| P（x）}（3）、图示法：文氏图(Venn图)：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

7、子集的概念一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A ⊆B （或B ⊇A ）这时我们也说集合A 是集合B 的子集.注：（1）任何集合都是它本身的子集A⊆（2）B A ⊆有两种可能：（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。

集合的概念与基本关系讲义

集合的概念与基本关系一、考纲要求：一、考纲要求：1、集合的含义与表示、集合的含义与表示（1）了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法和描述法）描述不同的具体问题的具体问题2、集合间的基本关系、集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等关系，能识别给定集合的子集（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义二、命题趋势二、命题趋势1.理解、掌握集合的表示法，能够判断元素与集合，集合与集合之间的关系，能够判断集合是否相等，注意venn 图的使用以及分类讨论和数形结合的思想研究集合问题集合问题2.这部分知识常以选择题和填空题出现，属容易或中等题，有时也有一块创新的“试验田”，但一般难度不大，但一般难度不大三、考点知识梳理：（板书）（板书）题型一：概念性问题1. 已知集合A={}x x 4£，B={}x x a <，求a 的取值范围。

的取值范围。

2. 已知集合A={}x N x +Î1-1<<<4，写出集合A 的所有子集。

的所有子集。

3. 已知集合A={}2x x 2x+a ->0且1A Ï，求a 的取值范围。

的取值范围。

4. 设集合M=1x x=,24k k Z üì+Îíýîþ，N=1x x=,42k k Z üì+Îíýîþ,判断集合M 与N 的关系。

系。

5. 已知集合A={}1,3,21m --，B={}23,m ，若B A Í,求m 的值. 6. 已知A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R ,x ∈R }只有一个元素，求a 的值的值题型二：自定义问题1. 定义集合运算：A*B={},,z z xy x A y B =ÎÎ,设A={}1,2,B={}0,2,求集合A*B的所有元素之和。

《1_1-1_2集合的概念及集合间的基本关系》知识拓展课件

提示常用数集的关系如图所示.
整数集: 有理数集: 实数集:

自然数集:
正整数集:∗ 或+

∗ (或+ )
比∗ (或+)只多一个元素0
问题5如何选择适当的方法表示集合?
提示列举法可以看清集合的元素,集合含元素较少或所含元素不易表述,
可选用列举法,如集合 , − , + .
就称集合为集合的子集,记作 ⊆ (或 ⊇ ),读作“包含于”(戓“包含”).
(2)集合相等:一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任
何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作 = .也就是说,若 ⊆
,且 ⊆ ,则 = ,
(3)真子集:如果集合 ⊆ ,但存在元素 ∈ ,且 ∉ ,就称集合是集合的直子集,
“不是”集合的元素,这个集合有什么特征,而不定义集合具体是什么.
判断一个“全体”是否能构成一个集合,关键是看组成这个“全体”的对象是否确
定.例如,“我国著名的演员”不能构成一个集合,因为“著名”很难界定,但是“获得过百
花奖的演员”能构成一个集合.
问题2集合中元素的特性是什么？如何理解？
提示 (1)确定性.集合中的元素必须是确定的,一个元素要么属于这一集合,要么不属
要注意检验,排除与集合元素的互异性或与已知相矛盾的情形.若 ⊆ ,同时 ⊆
,则 = ,判断集合相等时可通过判断是的子集,并且是的子集得到.
问题7如何理解空集?∅与{}, , |∅|有什么关系?
提示空集是不含任何元素的集合,且规定∅ ⊆ ∅,任何时侯 ∈ ∅都不成立, ∉
(2)真子集:如果是的真子集,即 ⫋ ,那么必须符合以下条件:中的元素必

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