21.2.3二次函数表达式的确定

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确定二次的函数的表达式

确定二次的函数的表达式知识点1 用一般式确定二次函数表达式1.已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到c b a ,,的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：步骤一：设含有待定系数的二次函数表达式y =ax 2+bx +c (a ≠0)；步骤二：将题设中满足二次函数图象的点代入所设表达式，得到关于待定系数a 、b 、c 的方程组；步骤三：解这个方程组，得到待定系数a 、b 、c 的值；步骤四：将待定系数的值代入表达式，得到所求函数表达式.例1.已知二次函数的图象经过点(0,3)，(−3,0)，(2,−5)，且与x 轴交于A 、B 两点。

(1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点C 的坐标；(3)判断点P (−2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出△P AB 的面积；如果不在，试说明理由。

例2.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，0)，(12，0)，(6，3)三点，则此抛物线的表达式是 .知识点2 用顶点式确定二次函数表达式已知二次函数的顶点坐标为（h ,k ）的话，可以设成顶点式：y =a (x -h )2+k （a 、h 、k 为常数且a ≠0）然后再找一点带入二次函数的顶点式，即可求得a 的值，最后回代到顶点式即可（提示：最后一般要把二次函数的解析式化成一般式）。

例1.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(−2,3)，且过(−1,5)，则抛物线的表达式为______. 例2.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x =2时，y 有最大值4，且过(1，2)点，此抛物线的表达式为 .例3.有一个二次函数，当x ＜-1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞-1时，y 随x 的增大而减小；且当x =-1时，y =3，它的图象经过点（2，0），请用顶点式求这个二次函数的表达式.例4.由表格中的信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ,则下列y 与x 之间的函数表达式正确的（）A . y ＝x 2－x ＋4B . y ＝x 2－x ＋6 C . y ＝x 2＋x ＋4 D . y ＝x 2＋x ＋6例5. 已知函数抛物线的顶点坐标为(-3，-2)，且过点(1，6)，求此抛物线的解析式。

2.3确定二次函数的表达式

§2.3确定二次函数的表达式学习目标：1．掌握已知二次函数图象上两点或三点坐标时，确定函数表达式的方法；2．会用待定系数法灵活的求二次函数的表达式。

学习重点：会求二次函数的表达式学习过程：一、复习旧知，温故知新1、二次函数的一般式为：，其顶点坐标为：。

2、二次函数的顶点式为：，其顶点坐标为：。

3、二次函数的交点式为：，其交点坐标为：。

二、创设情境，引入新知已知二次函数图象上两个点或三个点的坐标，你能否求出该二次函数的表达式呢?三、合作探究，发现新知1、已知二次函数图象上一点坐标确定二次函数表达式例1、已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2），求这个函数的表达式。

练1、已知函数y=a x2＋x－2的图象经过点（1，2），求这个函数的表达式。

2、已知二次函数图象上两点坐标确定二次函数表达式例2、已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）。

（1）求这个函数的表达式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标。

练2、已知一个二次函数，当x=2时，有最小值－4，它的图象与x轴的一个交点的横坐标为1，求此二次函数的表达式。

3、已知二次函数图象上三点坐标确定二次函数表达式例3、已知二次函数的图象如图所示，求此二次函数的表达式。

练3、已知二次函数的图象经过A（0，－1）、B（1，－2）、C（－1，2）三点，求这个函数的表达式。

四、课堂小结，归纳新知用待定系数法确定二次函数的表达式：(1)已知顶点坐标及图象上另一点坐标，可设表达式为顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)；(2)①已知图象上任意三点的坐标，可设表达式为一般式：y=ax2＋bx＋c (a≠0)；②若其中有两点为与x轴的交点坐标时，可设为交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)。

五、当堂检测，巩固新知1.请你写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为–1，且经过点（1，3）的抛物线的表达式。

2.开口向下的抛物线y=(m2－2)x2+2mx+1的对称轴经过点（－1，3），则m=。

确定二次函数的表达式课件

跟踪练习1．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y 轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式
解:因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二此函数的
关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴交于
点(0，1)，可以得到
1＝a(0－1)2－3
解得
a＝4
所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3．
1.通过知识回顾,交流思考,明确待定系数法求二次函数解析式的方法和步骤; 2.通过例题的学习和跟踪练习的训练,熟练得根据条件设顶点式.交点式.一般式(恰当的情势)求二次函数解析式
3.通过一题多变,一题多解等变式训练,培养发散思维
4.通过典例学习,跟踪训练,综合运用和拓展提升等环节,学会用数形结合,方程,转化,优选的数学思想解决数学问题.
1、用待定系数法确定二次函数的关系式的基本步骤是什么？
设
代
解
写
2、如何选择设法？
①已知三点，设y=ax2+bx+c ②已知顶点，设y=a(x-h)2+k
3、求待定系数时需要几个条件？几个待定系数需要几个点
4、体会用到了什么样的数学思想？ ①特殊到一般 ②方程 ③ 数形结合
综合应用
一题多解
例4 已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它y与x 轴的两个交点B、C间的距离为4，求其解析式。
一般式：例3 求经过有三点 A（-2，-3），B（1，0）， C（2，5）的二次函数的解析式.
三个点设一般式代入有先后
y
·5 ·C
·
·
·
·
··
-3 –2
–·1 o
B·
1
·
2
x

二次函数表达式的确定(原创)

二次函数表达式的确定待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（1）设出适当的二次函数表达式，(2)根据已知信息，构建关于常数的方程（组），(3)解方程(组)，(4)把求出的常数的值代入所设的表达式一般式：顶点式：，其中(h，k)为顶点，交点式：，其中x1，x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标；.1．已知抛物线过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，求二次函数表达式2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－2时，y＝5，当x＝1时，y＝－4，当x＝3时，y＝0，求抛物线的函数表达式3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)．(1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的图象4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；5.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．6.在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，求与的函数关系式为6.已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．7.抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，求此抛物线的表达式8.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；9.如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，求抛物线的表达式10.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9.11.已知二次函数的图象的顶点为A(2，－2)，并且经过B(1，0)，C(3，0)，求这条抛物线的函数表达式．10.已知二次函数图象上部分点的坐标满足下表：求该二次函数的解析式；用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．1. 已知二次函数的图象如图所示求这个二次函数的表达式A. y ＝x 2－2x ＋3B. y ＝x 2－2x －3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋32. 一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标(－1，3)，则该抛物线的表达式为( ) A. y ＝－2(x －1)2＋3 B. y ＝－2(x ＋1)2＋3 C. y ＝－(2x ＋1)2＋3 D. y ＝－(2x －1)2＋33. 抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，则这条抛物线的解析式为( )A. y ＝x 2－2x －3B. y ＝x 2－2x ＋3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋3 4. 由表格中信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ，则下列y 与x 之间的函数表达式正确的是( )A. y ＝x 2－4x ＋3 5. 如果抛物线经过点A (2，0)和B (－1，0)，且与y 轴交于点C ，若OC ＝2，则这条抛物线的表达式是( ) A. y ＝x 2－x －2B. y ＝－x 2－x －2或y ＝x 2＋x ＋2C. y ＝－x 2＋x ＋2D. y ＝x 2－x －2或y ＝－x 2＋x ＋2 7.已知二次函数的图象以A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)，则该函数的表达式为 . 8. 如图，抛物线的表达式为，直线BC 的表达式为，S △ABC ＝ .9. 如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是 .10. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为 .11. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3).(1)求二次函数的解析式；(2)画出二次函数的图象.12. 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t，0)，且t≠0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A，请通过观察图象，指出此y的最小值，并写出t的值；(2)若t＝－4，求a，b的值，并指出此时抛物线的开口方向；(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.15. 如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB.16. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.参考答案1. B2. B3. A4. A5. D6. y ＝－23(x ＋2)2＋1 7. y ＝－(x ＋1)2＋48. y ＝45x 2－165x －4 y ＝45x －4 12 9. y ＝－x 2＋2x ＋3 10. y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x11. 解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (－1，－1)，B (0，2)，C (1，3).∴2(1)(1)1,2,3,a b c c a b c ìï?+?+=-ïïï=íïï++=ïïî解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2，∴y ＝－x 2＋2x ＋2.(2)画图略.12. 解：(1)y 的最小值为－3，t ＝－6.(2)分别把(－4，0)和(－3，－3)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝16a －4b ，－3＝9a －3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴抛物线表达式为y ＝x 2＋4x ，∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上. (3)－1(答案不唯一)13. 解：(1)∵y ＝x 2＋bx ＋c 过原点，∴c ＝0.又∵y ＝x 2＋bx 过点A (2，0)，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x . (2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x ＝1.(3)∵点A 的坐标为(2，0)，∴OA ＝2.∵S △OAB ＝3，∴12OA ·||y B ＝3，∴||y B ＝3.∵抛物线最低点坐标为(1，－1)，∴y B ＝3，∴3＝x 2－2x ，即x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3.∴点B 坐标(－1，3)或(3，3).14. 解：(1)把A (2，0)，B (0，－6)的坐标代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－412()2?＝4，∴点C 的坐标为(4，0).∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2.∴S △ABC＝12·AC ·OB ＝12×2×6＝6. 15. 解：(1)∵抛物线顶点为A (3，1)，设抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝a (x －3)2＋1，将原点坐标(0，0)代入表达式，得a ＝－13.∴抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝－13x 2＋233x .(2)将y ＝0代入y ＝－13x 2＋233x 中，解得x ＝0(舍去)或x ＝23，∴B 点坐标为(23，0)，设直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝kx ，将A (3，1)代入表达式y ＝kx 中，得k ＝33，∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝33x .∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x ＋b ，将B (23，0)代入y ＝33x＋b 中，解得b ＝－2，∴直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x －2.由⎩⎨⎧y ＝33x －2，y ＝－13x 2＋233x ，得交点D的坐标为(－3，－3)，将x ＝0代入y ＝33x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得OD ＝23，又OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝23＝OD .在△OAB 与△OCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC AB ＝CDOB ＝OD，∴△OAB ≌△OCD .(2)如图，过点A 作x 轴的垂线，垂足为D (2，0)，连接CD ，CB ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x )＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2＜x ＜6)，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.。

确定二次函数的表达式

【知识总结】1．抛物线c bx ax y ++=2，与x 轴的两个交点)0,(),0,(21x B x A ，则线段AB 的长为：aac b x x AB 4221-=-=． 2．二次函数解析式的三种形式：一般式：c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）交点式：()()21x x x x a y --=（0≠a ，21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）顶点式：()k h x a y +-=2（k h a ,,为常数，0≠a ）3．抛物线c bx ax y ++=2与直线b kx y +=的交点的求法就是解方程组 ⎩⎨⎧+=++=bkx y c bx ax y 2的解y x ,的值分别作为交点的横纵坐标．4．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2（3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=25．c b a ,,符号的确定a 的符号：由开口方向决定：开口向上，0>a ；开口向下，0<a ． a 决定抛物线开口大小：a 越大开口越小，a 越小开口越大；a 相等则形状相同．b 的符号：b 与a 共同决定对称轴的位置，“左同右异”c 的符号：由抛物线与y 轴交点决定：交点在y 轴正半轴0>c ；交点在y 轴负半轴0<c ；抛物线过原点0=c ．且抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ）6. 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点个数由ac b 42-决定：⇔>-042ac b 抛物线与x 轴有两个交点；⇔=-042ac b 抛物线与x 轴有一个交点；⇔<-042ac b 抛物线与x 轴有无交点；例1、求解析式（1）二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式．（2）已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点（－l ，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式．（3）已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．例2、已知抛物线y＝x2－2x－8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP 的面积．例3、已知二次函数2=-+，求分别满足下列条件的二次函数关系式365y x x（1）图像与抛物线2=-+关于x轴对称；365y x x（2）图像与抛物线2365=-+关于y轴对称；y x x（3）图像与抛物线2y x x=-+关于经过其顶点且平行于x轴的直线l对称。

21.2.3 二次函数表达式的确定1

*3.二次函数表达式的确定1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法；(重点)2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．(难点)一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究探究点：用待定系数法求二次函数解析式【类型一】用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的关系式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解：设这个二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的关系式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．【类型二】用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的关系式．解：设二次函数关系式为y ＝a (x ＋h )2＋k ，∵图象顶点是(－2，3)， ∴h ＝2，k ＝3.依题意得5＝a (－1＋2)2＋3，解得a ＝2.∴二次函数的关系式为y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设y ＝a (x ＋h )2＋k .顶点坐标为(－h ，k )，对称轴为x ＝－h ，极值为当x ＝－h 时，y 极值＝k .【类型三】用交点式确定二次函数解析式已知抛物线与x 轴相交于点A (－1，0)，B (1，0)，且过点M (0，1)，求此函数的解析式．解析：由于已知图象与x 轴的两个交点，所以可设y ＝a (x －x 1)(x －x 2)求解．解：因为点A (－1，0)，B (1，0)是图象与x 轴的交点，所以设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －1)．又因为抛物线过点M (0，1)，所以1＝a (0＋1)(0－1)，解得a ＝－1，所以所求抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －1)，即y ＝－x 2＋1.方法总结：此题也可设y ＝a (x ＋h )2＋k ，因为与x 轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为y 轴．三、板书设计二次函数表达式的确定⎩⎪⎨⎪⎧设y ＝ax 2＋bx ＋c 设y ＝a （x ＋h ）2＋k 设y ＝a （x －x 1）（x －x 2）教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．。

2.3确定二次函数的表达式

【跟踪训练】
1.（西安· 中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点. 求该抛物线的表达式. 【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, 解之得 c 1.
4a 2b 1 13,
解得：a=2,b=-2. ∴这个二次函数关系式为
y 2x2 2x 1 .
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13由题意可解：设抛物线关系式为分析：设二次函数式为y=ax²+bx+c，确定这个二次函数需要三个条件来确定系数a,b,c的值，由于这个二次函数图象与 y轴交点的纵坐标为知，图象经过点（ 0，1），(2,5) 和(-2,13) 1，所以过点（0 ），因此可把三点坐标代入关系式 ,求出a,b，c的值即可。 c1 1 ， ∴
1 a , 3 2 b , 3 c 1.
y
A
C
O
B
x
∴所求抛物线的表达式为 y
1 2 2 x x 1. 3 3
2.某高尔夫球手击出高尔夫球的运动路线是一条抛物线，当球水平运动了24m时，达到最高点。落球点比击球点的海拔低1m，水平距离为50m。（1）建立适当的直角坐标系,求球的高度h(m)关于水平距离x(m) 的二次函数表达式. （2）与击球点相比，球运动到最高点时有多高？
2.3 确定二次函数的表达式
1
复习引入 1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax² +bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)

二次函数解析式的确定

二次函数解析式的确定待定系数法（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠如果已知二次函数的图像上的三点坐标（或称函数的三对对应值）()11x y ，、()22x y ，、()33x y ，，那么方程组211122222333y ax bx cy ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩就可以唯一确定a 、b 、c ，从而求得函数解析式2y ax bx c =++．温馨提示：已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式．（2）顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠由于222424b ac b y ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，所以当已知二次函数图像的顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，时，就可以设二次函数形如22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线2bx a=-又称为二次函数图像的对称轴．温馨提示：已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式．（3）交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠我们知道，()()22212424b ac b y ax bx c a x a x x x x a a -⎛⎫=++=++=-- ⎪⎝⎭，这里12x x ，分别是方程20ax bx c ++=的两根．当已知二次函数的图像与x 轴有交点（或者说方程20ax bx c ++=有实根）时，就可以令函数解析式为()()12y a x x x x =--，从而求得此函数的解析式．温馨提示：已知抛物线与x 的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．（4）对称式：12()()(0)y a x x x x k a =--+≠温馨提示：当抛物线经过点1(,)x k 、2(,)x k 时，可以用对称式来求二次函数的解析式．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化【例1】已知二次函数图象经过点()13A ，、()02B ，、()53C ，三点，求此二次函数解析式．【巩固】已知一个二次函数过()00，、()111-，、()19，三点，求二次函数的解析式．已知抛物线经过三点A （0，2），B （1，0），C （-2，3），求二次函数的解析式。

沪科版九年级数学教案-二次函数表达式的确定

21.2.3 二次函數運算式的確定教學目標【知識與技能】使學生掌握用待定係數法由已知圖象上三個點的座標求二次函數的關係式的方法;使學生掌握已知拋物線的頂點座標或對稱軸等條件求出函數的關係式的方法.【過程與方法】體會數學在生活中的作用,培養學生的動手操作能力.【情感、態度與價值觀】讓學生體驗二次函數的關係式的應用,提高學生對數學重要性的意識.重點難點【重點】已知二次函數圖象上一個點的座標或三個點的座標,分別求二次函數y=ax2+bx+c的關係式.【難點】已知圖象上三個點的座標求二次函數的關係式.根據不同條件選擇不同的方法求二次函數的關係式.教學過程一、問題引入1.一次函數的運算式是什麼?如何求出它的運算式?(一次函數的運算式y=kx+b,只需知道一次函數圖象上兩個點的座標,利用待定係數法求出係數k、b.)2.已知二次函數圖象上的幾個點的座標,可以求出這個二次函數的運算式?本節課我們來研究用待定係數法求二次函數的運算式.(板書)二、新課教授問題1.如果一個二次函數的圖象經過(-1,10),(1,4),(2,7)三點,能求出這個二次函數的運算式嗎?如果能,求出這個二次函數的運算式.解:y=ax2+bx+c.由已知函數圖象經過(-1,10),(1,4),(2,7)三點,得到關於a、b、c a-b+c=10，a+b+c=4, 4a+2b+c=7.解這個方程組,所求二次函數的運算式是y=2x2-3x+5.歸納1:求二次函數y=ax 2+bx+c 的運算式,關鍵是求出a 、b、c 的值.由已知條件(如二次函數圖象上的三個點的座標)可以列出關於a 、b 、c 的三元一次方程組,求出三個待定係數a 、b 、c 就可以寫出二次函數的運算式.問題 2.已知一個二次函數的圖象過點(0,1),它的頂點座標是(8,9),求這個二次函數的關係式.分析:二次函數y=ax 2+bx+c 通過配方可得y=a(x-h)2+k 的形式稱為頂點式,(h,k)為拋物線的頂點座標,因為這個二次函數的圖象頂點座標是(8,9),因此,可以設函數關係式為:y=a(x-8)2+9,由於二次函數的圖象過點(0,1),將(0,1)代入所設函數關係式,即可求出a 的值.歸納2:如果知道拋物線的頂點座標(h,k),可設函數關係式為y=a(x-h)2+k,只需要再找一個條件求出a 的值即可.三、典型例題【例1】有一個二次函數,當x=0時,y=-1;當x=-2時,y=0;當x=12時,y=0.求這個二次函數的運算式.解:設所求二次函數的運算式為y=ax 2+bx+c,根據題意,得a=2, b=-3， c=5.c=-1， 4a-2b+c=0, 14a+12b+c=0.a=1,b=12，解方程組,得答:所求二次函數的運算式為y=x 2+12x-1.【例2】已知拋物線的對稱軸是直線x=2,且經過(3,1)和(0,-5)兩點,求二次函數的關係式. 解：方法1:設所求二次函數的運算式是y=ax 2+bx+c,因為二次函數的圖象過點(0,-5),可求得c=-5.由於二次函數的圖象過點(3,1),且對稱軸是直線x=2,解這個方程組,得所以所求的二次函數的關係式為y=-2x2+8x-5.方法2:設所求二次函數的關係式為y=a(x-h)2+k,(3,1)和(0,-5)兩點,對稱軸是直線x=2，解這個方程組, a(3-h)²+k=1，a(0-h)²+k=-2,h=2. 2b a=2，9a+3b-5=1. a=-2, b=8. a=-2,h=2，k=3.所以所求二次函數的關係式為y=-2(x-2)2+3,即y=-2x 2+8x-5.【例3】拋物線y=x 2-4x+8與直線y=x+1交於B 、C 兩點.(1)在同一平面直角坐標系中畫出直線與拋物線;(2)記拋物線的頂點為A,求△ABC 的面積.解:(1)如圖,畫出直線y=x+1與拋物線y=x 2-4x+8.(2)由y=x 2-4x+8=(x-4)2,得點A 的座標為(4,0).解方程組得B 、C 兩點的座標分別為B(2,2)、C(7,4.5).過B 、C 兩點分別作x 軸的垂線,垂足分別為B 1、C 1,則S △ABC =11BB C C S 梯形-1ABB S ∆-1ACC S ∆=(BB 1+CC 1)B 1C 1-AB 1·BB 1-AC 1·CC 1=(2+4.5)×5-×2×2-×3×4.5 =7.5.小結:讓學生討論、交流、歸納得到:已知二次函數的最大值或最小值,就是已知該函數的頂點座標,應用頂點式求解方便,用一般式求解計算量較大.四、鞏固練習1.已知二次函數當x=-3時,有最大值-1,且當x=0時,y=3,求二次函數的關係式.【答案】解法一:設所求二次函數的關係式為y=ax2+bx+c,因為圖象過點(0,3),所以c=3.又由於二次函數當x=-3時,有最大值-1,可以得到:解這個方程組,得所以,所求二次函數的關係式為y=x2+x+3.解法二:設所求二次函數的關係式為y=a(x-h)2+k,依題意,得y=a(x+3)2-1.因為二次函數的圖象過點(0,3),所以有3=a(0+3)2-1,解得a=,所以,所求二次函數的關係式為y=(x+3)2-1,即y=x2+x+3.2.已知二次函數y=x2+px+q的圖象的頂點座標是(5,-2),求二次函數的關係式.【答案】依題意,得解得:p=-10,q=23,所以,所求二次函數的關係式是y=x2-10x+23.五、課堂小結1.求二次函數的關係式,常見的有幾種類型?兩種類型:(1)一般式:y=ax2+bx+c;(2)頂點式:y=a(x-h)2+k,其頂點座標是(h,k).2.如何確定二次函數的關係式?讓學生回顧、思考、交流,得出:關鍵是確定上述兩個式子中的待定係數,通常需要三個已知條件.在具體解題時,應根據具體的已知條件靈活選用合適的形式,運用待定係數法求解.教學反思本節課研究了二次函數y=ax2+bx+c運算式的求法:歸納1:求二次函數y=ax2+bx+c的運算式,關鍵是求出a、b、c的值.由已知條件(如二次函數圖象上的三個點的座標)可以列出關於a、b、c的三元一次方程組,求出三個待定係數a、b、c就可以寫出二次函數的運算式.歸納2:如果知道拋物線的頂點座標(h,k),可設方程為y=a(x-h)2+k,只需要再找一個條件求出a的值即可.要根據不同條件選擇不同的方法求二次函數的關係式,體會一題多解的樂趣,激發學生的學習欲望.本節課的處理仍然是在教師的引導下,讓學生探索、歸納,得到新知.。

21.2.3二次函数表达式的确定

*3.二次函数表达式的确定1.与x轴有唯一的交点(2,0),且经过(-1,9)的抛物线对应的函数表达式为()A.y=(x+2)2B.y=(x-2)2C.y=-(x+2)2D.y=-(x-2)22.抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线对应的函数表达式可能是()A.y=x2-x-2B.y=-12x2+12xC.y=-12x2-12x+1D.y=-x2+x+23.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-2,7),(6,7),(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是.4.将抛物线y=ax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,平移后的抛物线经过点(3,-1),那么平移后的抛物线对应的函数表达式为.5.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1,0),(1,-2),当y随x的增大而增大时,x的取值范围是.6.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6m,底部宽度OM为12 m.现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;(2)求这条抛物线对应的函数表达式.7.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C,P的坐标分别为(0,2),(3,2),(2,3),(1,1).(1)请在图中画出△A'B'C',使得△A'B'C'与△ABC关于点P成中心对称;(2)若一个二次函数的图象经过(1)中△A'B'C'的三个顶点,求此二次函数的表达式.8.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,二次函数y=-x2+(k-1)x+4的图象与y 轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,且S△OAB=6.(1)求点A与点B的坐标;(2)求此二次函数的表达式.9.如图,▱ABCD中,AB=4,点D的坐标是(0,8),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 经过x轴上的点A,B.(1)求点A,B,C的坐标;(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线对应的函数表达式.10.(创新应用)阅读下面的文字后,解答问题.:“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a),B(1,-求证:这个二次函数图象的对称轴是直线x=2.”题目中的矩形框部.(1)根据现有的信息,你能否求出题目中二次函数的表达式?若能,写出求解过程;若不能,说明理由.(2)请你根据已有信息,在原题中的矩形框内,添加一个适当的条件,把原题补充完整.课后演练·能力提升答案：1.B由题意可设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-2)2(a≠0),将点(-1,9)代入函数表达式可得9=9a,所以a=1,所以抛物线对应的函数表达式为y=(x-2)2.2.D将(-1,0),(2,0)代入各选项验证,结合开口方向可知选D.3.(1,-8)由题意可知4a-2b+c=7,36a+6b+c=7,9a+3b+c=-8,解得a=1,b=-4,c=-5,故抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x-5.由x2-4x-5=-8,即x2-4x+3=0,解得x=3或x=1.故另一点为(1,-8).4.y=-4x2+16x-135.x>12将点(-1,0),(1,-2)代入y=x2+bx+c,可得b=-1,c=-2,因此二次函数的对称轴为x=12.6.解:(1)M(12,0),P(6,6).(2)设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-6)2+6(a≠0).∵抛物线y=a(x-6)2+6经过点(0,0),∴0=a(0-6)2+6,即a=-16.∴抛物线对应的函数表达式为y=-16(x-6)2+6.7.解:(1)画出△A'B'C'如图所示.(2)由(1)知,点A',B',C'的坐标分别为(2,0),(-1,0),(0,-1).因为二次函数图象与y轴的交点C'的坐标为(0,-1),故可设所求二次函数表达式为y=ax2+bx-1(a≠0).将A'(2,0),B'(-1,0)的坐标代入,得4a+2b-1=0, a-b-1=0,解得a=12,b=-12.故所求二次函数表达式为y=12x2-12x-1.8.解:(1)由函数表达式可知,当x=0时,y=4,∴点A的坐标为(0,4).∵S △OAB =12×BO×4=6, ∴BO=3.∴点B 的坐标为(-3,0).(2)把点B 的坐标(-3,0)代入y=-x 2+(k-1)x+4,得-(-3)2+(k-1)×(-3)+4=0. 解得k-1=-53.∴所求二次函数的表达式为y=-x 2-53x+4.9.解:(1)∵在▱ABCD 中,CD ∥AB 且CD=AB=4,∴点C 的坐标为(4,8).设抛物线的对称轴与x 轴相交于点H ,则AH=BH=2.∴点A ,B 的坐标分别为A (2,0),B (6,0).(2)由抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为C (4,8),设抛物线对应的函数表达式为y=a (x-4)2+8(a ≠0),把A (2,0)代入上式,并解得a=-2.∴y=-2(x-4)2+8.设平移后抛物线对应的函数表达式为y=-2(x-4)2+8+k ,把(0,8)代入上式,并解得k=32.∴平移后抛物线对应的函数表达式为y=-2(x-4)2+40,即y=-2x 2+16x+8. 10.解:(1)∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A (0,a ),B (1,-2),∴ a =c ,a +b +c =-2.又二次函数图象的对称轴为直线x=2,∴-b2a=2.解方程组 a =c ,a +b +c =-2,-b 2a=2,得 a =1,b =-4,c =1,∴能求出题目中二次函数的表达式,且所求表达式为y=x 2-4x+1. (2)可供补充的内容有(选其一即可): ①满足函数表达式的任意一点的坐标; ②a=1或b=-4或c=1; ③与y 轴的交点坐标为(0,1); ④顶点坐标为(2,-3)等等.。

确定二次函数的表达式

讲授新知
小结3：（1）确定二次函数的表达式最多需要3个条件. （2）已知二次函数的图象与x轴的交点坐标时，常常设二次函数表达式为交点式的形式.
讲授新知
➢ 随堂练习已知二次函数的图象经过点（0，2），
（1，0）和（-2，3），求这个二次函数的表达式.
y = - 1 x2 - 3 x + 2 22
答案不唯一，如二次函数y=x2+bx+c的图象经过（0，1）与（-1，3）两点.
讲授新知
➢ 做一做已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为
1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.
y=2x2-2x+1
讲授新知
例3 已知二次函数的图象经过（-1，10），（1， 4），（2， 7）三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 解：设所求的二次函数表达式为y=ax2+bx+c. 将三点（-1，10），（1，4），（2， 7）的坐标
讲授新知
思考1:二次函数表达式中，有几项的系数未知？我们用几个条件确定出了函数表达式？
例1中有两项的系数未知，用两个条件确定出了函数表达式，若二次函数表达式中有三项的系数未知，就需要用三个条件确定出函数表达式.
讲授新知
例2 已知二次函数的图象经过点A（2，3），且其顶点坐标为（-1，-6），求二次函数的表达式.
课堂小结
1.二次函数表达式的三种形式分别是什么？ 2.确定二次函数表达式所需的条件有几个？ 3.如何选择二次函数表达式的形式？
布置作业
1.教材第43页习题2.6第1，2题. 2.教材第45页习题2.7第1，2，3题.
复习提问
二次函数的概念是什么？一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数. 注意：含x项的最高次数是2，且二次项系数不能为0.

3 确定二次函数的表达式

1,
9 2
,
故可设顶点式
y＝a(x－h)2＋k，从而代入得y＝a(x－1)2－ 9 ,
2
再将(－2，0)代入求出a的值．
新课讲解
解：设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k.
∵顶点坐标为
1,
9 2
,
∴y＝a(x－1)2－ 9 .
2
把(－2，0)代入得：0＝a·(－2－1)2－
9,
解得a＝
3 确定二次函数的表达式
学习目标
1.用一般式(三点式)确定二次函数表达式 2.用顶点式确定二次函数表达式 3.用交点式确定二次函数表达式（重点、难点）
新课导入
1. 一次函数的表达式是什么?如何求出它的表达式? 一次函数的表达式y=kx+b,只需知道一次函数图象上两个点的坐标,利用待定系数法求出系数k、b.
a b c 6 9a 3b c 0 c 3
解这个方程组，得a= 0.5，b= – 2.5，c=3 ∴所求得的函数解析式为y=0.5x²– 2.5x+3
当堂小练
已知：二次函数的图像的对称轴为直线x= –3，并且函数有最大值为5，图像经过点(–1,–3)，求这个函数的解析式。
解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是（－3，5），所以设y=a(x+3)²＋5
新课讲解
典例分析
例已知抛物线与 x 轴的交点是 A（ -2，0）， B（1， 0），且抛物线经过点 C（2，8） . 求该抛物线对应的函数表达式.
分析：紧扣交点式的函数表达式以及需要的条件，利用待定系数法求函数表达式 .
新课讲解
解： ∵抛物线与 x 轴的交点是 A（ -2， 0）， B（ 1， 0）， ∴可设抛物线对应的函数表达式为 y=a（ x+2）（ x-1） . 又∵抛物线经过点 C（ 2， 8）， ∴把点 C 的坐标代入 y=a（ x+2）（ x-1）中，得 8=a （ 2+2）×（ 2-1）， ∴ a=2. ∴抛物线对应的函数表达式为 y=2（ x+2）（ x-1），即 y=2x2+2x-4.

21.2.3 二次函数表达式的确定

2
例2
有一个二次函数，当x=0时，y=
–1；当x
=
(–2，0) –2时，y=0；当x
=12时(12，，y0=) 0，
求这个二次函数的表达式？解：∵(–2，0)和(12，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点，
抛物线与x轴的两个交点
∴可设这个二次函数的表达式是y=a(x–x1)(x–x2)(x1、x2为交点的横坐标).
y = 0；当 x = 1 时，y = 0，求这个二次函数的表达式. 2
解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c，则有
c 1，
a 1，
4a 2b c 0， 1 a 1 b c 0. 42
解得
b
3， 2
c 1.
故所求的二次函数的表达式为 y x2 3 x 1.
2
得顶点 A 的坐标为 (4，0)，
解方程组
y
y
1 x 1， 2 1 x2 4x 8， 2
得 B (2，2)，C (7，4.5).
C B
A
过 B，C 两点作 x 轴的垂线，垂足为 B1，C1.
S S S S △ABC
梯形BB1C1C
△ABB1
△ACC1 y
1 2
BB1
CC1
B1C1
1 2
y = -x2 - 4x - 3.
归纳总结顶点法求二次函数的方法
这种根据抛物线的顶点坐标求表达式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ① 设函数表达式是 y = a(x + h)2 + k； ② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 的值； ④ 将 a 用数值换掉，写出函数表达式，然后化为一般式.

2.3 确定二次函数的表达式

2.3 确定二次函数的表达式学习目标: 经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．学习重点:能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题．学习难点:用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误．学习过程:一、做一做：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式,你能得出什么结论?与同伴交流.二、试一试：两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?三、积累：表示方法优点缺点解析法表格法图像法三者关系【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．【例2】一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B （3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？【例3】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：刹车时车速（km/h）010203040506070刹车距离（m）01．12．43．95．67．59．611．9（1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．【例4】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）五、随堂练习：1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（）A ．0＜－a b 2＜1B ．0＜－a b 2＜2C ．1＜－a b 2＜2D ．－a b 2=1图① 图②2．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是；（2）当x=时，y=3；（3）根据图象回答：当x 时，y ＞0．3．已知抛物线y=－x 2＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是．六、课后练习1．若抛物线y=ax 2＋b 不经过第三、四象限，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c （）A ．开口向上，对称轴是y 轴B ．开口向下，对称轴是y 轴C ．开口向上，对称轴平行于y 轴D ．开口向下，对称轴平行于y 轴2．二次函数y=－x 2＋bx ＋c 图象的最高点是（－1，－3），则b 、c 的值是（）A ．b=2，c=4B ．b=2，c=4C ．b=－2，c=4D ．b=－2，c=－4．3．二次函数y= ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①c ＜0；②b ＞0；③4a ＋2b ＋c ＞0；④（a ＋c ）2＜b 2．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．两个数的和为8，则这两个数的积最大可以为，若设其中一个数为x ，积为y ，则y 与x 的函数表达式为．5．一根长为100m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为．6．若两个数的差为3，若其中较大的数为x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为，它有最值，即当x=时，y=．7．边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y （cm 2）与x （cm ）之间的函数表达式为．8．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为．9．抛物线y=x 2＋kx －2k 通过一个定点，这个定点的坐标为．10．已知抛物线y=x 2＋x ＋b 2经过点（a ，－1/4）和（－a ，y 1），则y 1的值是．11．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数表达式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？。

2.3确定二次函数的表达式-(1)PPT课件

y= -7(x-3)2+4
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3.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5), B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点 ∴ 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k 解得：a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5
转化思想 :
解方程或方程组
3、二次函数解析式的最终形式：
无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。
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活学活用加深理解
1.某抛物线是将抛物线y=ax2 向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到的，且抛物线过点（3,3），求该抛物线表达式。
顶点坐标（1 ，1 ）设 y=a(x-1)2+1 2.已知二次函数的对称轴是直线x=1，图像上最低点P的
析式。
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2
例1 已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，-2 ）
（0，5）三点，求抛物线的解析式
解：由题意可得：
｛4a+2b+c=1 a+b+c=-2
①
c=5
解之得：
｛a=5 b=-12 c=5
所以抛物线的解析式是：y=5x2-12x+5.
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3
练
已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的表达式？
1.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5）,求该抛物线的解析式？

确定二次函数的解析式

确定二次函数的解析式
二次函数是高中数学中重要的一个概念，它可以用来描述很多实际问题，如抛物线的轨迹、物体的运动等等。

今天，我将为大家介绍二次函数的解析式。

二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c都是实数，且a不等于0。

这个式子中，x是自变量，y是因变量，而a、b、c 则是常数。

通过这个式子，我们可以确定二次函数的形状、位置和方向。

我们来看一下二次函数的a的取值对函数的影响。

当a大于0时，函数的图像是一个开口向上的抛物线，称为正向抛物线；当a小于
0时，函数的图像是一个开口向下的抛物线，称为负向抛物线。

a的绝对值越大，抛物线的开口越宽。

接着，我们来看一下二次函数的b的取值对函数的影响。

b决定了抛物线的位置，如果b大于0，则抛物线向左平移；如果b小于0，则抛物线向右平移。

b的绝对值越大，抛物线的平移距离越大。

我们来看一下二次函数的c的取值对函数的影响。

c决定了抛物线与y轴的交点，也就是抛物线的纵截距。

当c大于0时，抛物线在
y轴上方交点；当c小于0时，抛物线在y轴下方交点。

通过确定二次函数的a、b、c的值，我们可以得到二次函数的解析式，进而描绘出它的图像。

二次函数的解析式不仅可以用来解决数
学问题，还可以应用于物理、经济等领域的实际问题。

希望通过这篇文章的介绍，能够帮助大家更好地理解和运用二次函数。