【四维备课】高中数学 3.1.1第2课时函数的零点课时练案新人教A版必修1

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【四维备课】高中数学 3.1.1第2课时函数的零点课时学案新人教A版必修1

第2课时函数的零点1.了解函数零点的概念，领会方程的根与零点之间的关系.2.掌握函数零点存在性定理.3.培养自主发现、探究实践能力.1.函数零点的定义对于函数y=f(x)，我们把使的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.函数零点的意义方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴⇔函数y=f(x)有零点.3.函数零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间上的图象是的一条曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c也就是方程f(x)=0的根.1.方程-3x-5=0有个根.2.函数y=x－2的零点是 .3.函数－3x+1的零点是 .4.为了求函数－的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值（精确到0.01）如下：x 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0f(x) 1.00 0.68 0.24 -0.24 -0.70 -1.00A. B.C. D.一、方程的根与函数的零点考查下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程－2x－3=0与函数－2x－3;(2)方程－2x+1=0与函数－2x+1;(3)方程－2x+3=0与函数－2x+3.提出问题：1.上述三个一元二次方程的实根是什么？对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标是什么？结论：提出问题：2.方程+bx+c=0(a>0)的根与相应函数+bx+c的图象与x轴的交点有什么关系？结论：提出问题：3.一般地，对于方程f(x)=0与函数y=f(x)上述关系适应吗？结论：提出问题：4.自读教材了解什么是函数的零点，思考函数零点的实际意义是什么？结论：提出问题：5.函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？结论：例1求下列函数的零点：－8;－81.反馈练习1 函数f(x)＝的零点是 .反馈练习2 函数f(x)＝x＋的零点个数为 .二、函数零点存在性定理提出问题：1.函数f(x)=2x－1的零点是什么？函数f(x)=2x－1的图象在零点两侧如何分布？结论：提出问题：2.二次函数－2x－3的零点是什么？函数－2x－3的图象在零点附近如何分布？结论：提出问题：3.如果函数y=f(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，那么在下列哪种情况下，函数y=f(x)在区间内一定有零点？（1）f(1)>0，f(2)>0;（2）f(1)>0，f(2)<0;（3）f(1)<0，f(2)<0;（4）f(1)<0，f(2)>0.结论：提出问题：4.如果函数y=f(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间内一定有零点吗？结论：提出问题：5.如果函数y=f(x)在区间上的图象是间断的一条曲线，上述的定理还适用吗？结论：提出问题：6.如果函数y=f(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)>0，那么，函数y=f(x)在区间内一定没有零点吗？结论：提出问题：7.如果函数y=f(x)在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且函数y=f(x)在区间(a，b)内可能有零点，那么一定有f(a)f(b)<0吗？结论：例2求函数f(x)=ln x+2x－6的零点个数，并确定零点所在的区间.例3函数f(x)＝的零点个数为( ) A.3 B.2 C.7 D.0反馈练习3 函数f(x)＝＋x-3的零点一定在区间( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)1.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x0 1 2 3f(x) 3.1 0.1 －0.9 －3A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，＋∞)2.偶函数f(x)在[0，a](a>0)上是连续的单调函数，且f(0)·f(a)＜0，则函数f(x)在[-a，a]上根的个数是( )A.1B.2C.3D.03.函数y＝-4x-3的零点个数是( )A.0B.1C.2D.不能确定4.函数f(x)＝+3x的零点所在的一个区间是( )A.(-2，-1)B.(-1，0)C.(0，1)D.(1，2)。

必修一高中数学人教版A版必修一第三单元3.1.1方程的根与函数的零点

课前预习
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§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)．
课前预习
课堂互动
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预习教材 P86－P88，完成下面问题：知识点 1 函数的零点
课前预习
课堂互动
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课堂小结
1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．
答案 C
课前预习
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题型三判断函数零点所在的区间
【例3】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间
是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
是 0，－12. 答案 0，－12
课前预习
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题型二确定函数零点的个数
【例 2】判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－34x＋58； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 解 (1)由 f(x)＝0，即 x2－34x＋58＝0，得 Δ＝－342－4×58＝－3116<0，所以方程 x2－34x＋58＝0 没有实数根，即 f(x)零点的个数为 0.

高中数学 2.4.1函数的零点课时作业新人教A版必修1

高中数学 2.4.1函数的零点课时作业新人教A版必修12．4.1 函数的零点课时目标1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．零点的定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即________，则α叫做这个函数的______．2．二次函数零点的个数：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，有(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有__________的实数根，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有________零点；(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有__________的实数根(重根)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有____________零点或者说有______零点；(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，这时说二次函数y＝ax2＋bx ＋c没有零点．3．二次函数零点的性质：(1)当函数的图象通过零点且穿过x轴时，__________________.(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)任意函数，只要它的图象是不间断的，上述性质同样成立．一、选择题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )A．0个 B．1个C．2个 D．无法确定2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0B ．若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0C ．若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0D ．若f (a )f (b )<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝03．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，－12B ．0，12C ．0,2D ．2，－124．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点的个数为( )A ．1 003B ．1 004C ．2 006D ．2 0075．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( ) A ．1 B ．2C ．0D ．不能确定6．函数f (x )＝3ax －2a ＋1在[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ≤1C ．－1≤a ≤15D ．a ≥15或a ≤－1二、填空题7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有__________个零点，这几个零点的和等于______．8．已知一次函数f (x )＝2mx ＋4，若在[－2,0]上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．9．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝________，b ＝________. 三、解答题10．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．能力提升12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图所示，则( )A．b∈(－∞，0) B．b∈(0,1)C．b∈(1,2) D．b∈(2，＋∞)13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．§2.4 函数与方程 2．4.1 函数的零点知识梳理1．f (α)＝0 零点 2.(1)两个不相等两个 (2)两个相等一个二重的二阶 3.(1)函数值符号改变作业设计1．C [方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，∵ac <0，∴a ≠0，∴Δ＝b 2－4ac >0，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个．] 2．C [对于选项A ，可能存在根；对于选项B ，必存在但不一定唯一；选项D 显然不成立．]3．A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0，∴b ≠0，a b ＝－12.令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]4．D [因为f (x )是奇函数，则f (0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f (x )在(－∞，0)内的零点有1 003个．因此f (x )的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007(个)．] 5．B [由f (1)＝0，得a ＋b ＋c ＝0，又a >b >c ，∴a >0，c <0，∴Δ＝b 2－4ac >0.]6．D 7．3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0. 8．m ≥1解析因为一次函数f (x )在[－2,0]上存在x 0使f (x 0)＝0，即函数f (x )在[－2,0]内有一个零点，所以f (－2)f (0)≤0.即(－4m ＋4)(0＋4)≤0，解得m ≥1. 9．2 －8解析 ∵2，－4是函数f (x )的零点，∴f (2)＝0，f (－4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8.10．证明设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线．因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．11．解令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m >0f 4<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0.12．A [方法一从图中可以得f (0)＝0，∴d ＝0，由图可知f (x )有三个零点，故可设函数的解析式是 f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax . 当x >2时，f (x )>0，因此a >0， ∵b ＝－3a ∴b <0.方法二由f (0)＝0，得d ＝0，又∵f (1)＝0， ∴a ＋b ＋c ＝0①又∵f (－1)<0，即－a ＋b －c <0② ①＋②得2b <0，∴b <0.]13．解设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。

新人教A版必修1 3.1.1 方程的根与函数的零点

)
解析：易知 f(x)在其定义域上为增函数． 3 ∵f(6)＝lg 6－ <0， 2 9 f(7)＝lg 7－ <0， 7 9 f(8)＝lg 8－ <0， 8 f(9)＝lg 9－1<0， 9 f(10)＝lg 10－ >0， 10 ∴f(9)· f(10)<0，∴零点在区间(9,10)内．
答案：D
＋1＝0 －2x＋1
Δ＝ 0
(1,0)
x2＝1
方程
对应判别方程函数式的根
函数的图象
图象与x轴交点坐标无交点
x2－ f(x)＝
2x＋
x2－
Δ＝无实
3＝0 2x＋3 2x－4 f(x)＝
－8
数根
x＝ 2
(2,0)
＝0
2x－4
问题2：方程的根与对应函数的图象有何关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．
函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的 f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间一条曲线，并且有 f(a)·
(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．
1．函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．根据函数零点的定义可知，函数f(x)的零
[精解详析]
(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1. (2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1.

数学：3.1.1《函数的零点》课件(新人教A版必修1)

∴
函数f(x)在区间（-2，-1）上存在零点.
福建省厦门第六中学
郭祯
例4：已知函数
y x2 ax 2
（1）证明：函数有两个零点。（2）若函数在区间
0,2
有零点，求a的取值范围。
例5：若关于x的方程 3x2 5x a 0的一根在（－2，0）内，另一根在（1，3）内，求a的取值范围。
2
福建省厦门第六中学
郭祯
二、讲授新知
1、函数零点的概念：
对于函数函数
y f (x) ，我们把使 f ( x) 0 y f (x) 的零点。
的实数x叫做
2、函数零点的意义：
函数 y f (x) 的零点就是方程 f ( x) 0 的实数根，也就是函数 y f (x) 的图象与x轴的交点的横坐标。
§3.1.1 函数的零点
福建省厦门第六中学
郭祯
一、问题情境:
问题1：下列二次函数的图象和相应二次方程的根有何关系？
(1)y=x2-2x-3 与 x2-2x-3=0 (2)y=x2-2x+1 与 x2-2x+1=0 (3)y=x2-2x+3 与 x2-2x+3=0 引申:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系?
Байду номын сангаас郭祯
若f(a)· f(b)<0，则二次函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.
y
y a o b x
a
o
b
x
福建省厦门第六中学
郭祯
若f(a)· f(b)<0，则二次函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.

新人教A版必修1高中数学3.1.1-2方程的根与函数的零点导学案

高中数学 3.1.1-2方程的根与函数的零点导学案新人教A 版必修1学习目标：1、理解函数零点存在性定理2、能应用零点存在性定理解决问题学习重点：零点存在性定理的应用学习过程：一、观察分析、探究学习1、判断函数183)(2--=x x x f 在[]8,1∈x 是否存在零点法Ⅰ：法Ⅱ：2、根据法Ⅱ总结零点存在定理___________________________________________ 3、应用1：判断下列函数在给定区间上是否存在零点（1）1)(3--=x x x f []2,1-∈x（2）x x x f -+=)2(log )(2 []3,1∈x应用2：若)(x f y =的最小值为2，则1)(-=x f y 的零点个数为______个应用3：若函数)0(12)(≠++=k k kx x f 在[]1,1-上存在一个零点，求k 的取值范围应用4：若函数m x m x x f 2)1(-)(2+-=在()1,0上有且只有一个零点，求m 的取值范围二、数形结合、深化研究1、研究下列函数零点的个数（1）32)(+-=-x e x f x（2）xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-+=213log )(22、单调性、奇偶性与零点（1）若奇函数)(x f 的定义域为R ，在()∞+，0上是单调递增函数，0)1(=f ，求)(x f 在()2,2-内的零点个数（2）求函数24)(x x x f -=的所有零点之和三、课后感悟1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（） A.4 B.3 C.2 D.12、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D.(1,2) 3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（）A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C.()1x f x e =-D.)21ln()(-=x x f4．（10上海理）若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 . B ．⎪⎭⎫⎝⎛32,21 .C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 D ．⎪⎭⎫⎝⎛31,05．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（） A ．（0，1）. B ．（1，1.25）C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2）6．（10天津理）函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 7．（10天津文）函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,1 8．（10浙江理）设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是（）A ．[]2,4--B ．[]0,2-C ．[]2,0D ．[]4,2 9．（10浙江文）已知0x 是函数()xx f x -+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（）A ．()01<x f ，()02<x fB ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f 10．（07湖南文理）函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．111．（09福建文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（） A.()41f x x =- B.()2(1)f x x =-C.()1x f x e =-D.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21ln x x f12．（09重庆理）已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

高中数学人教A版必修1第三章3、1、1方程的根与函数的零点的近似值 - 教案

3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。

二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。

b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。

②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。

探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。

②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。

你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。

（精度为0.1）课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于（） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。

人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题

3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧借助图象判断方程实数根的个数由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3．故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数．错解错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点．错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)．答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)．若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧研究函数图象性质有技巧对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意；当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-．综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。

高中数学必修1全册课时训练含答案

人教A版高中数学必修1 全册课时训练目录1.1.1（第1课时）集合的含义1.1.1（第2课时）集合的表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3（第1课时）并集、交集1.1.3（第2课时）补集及综合应用1.2.1（第1课时）函数的概念1.2.1（第2课时）函数概念的综合应用1.2.2（第1课时）函数的表示法1.2.2（第2课时）分段函数及映射1.3.1（第1课时）函数的单调性1.3.1（第2课时）函数的最大值、最小值1.3.2（第1课时）函数奇偶性的概念1.3.2（第2课时）函数奇偶性的应用集合与函数的概念-单元评估试题2.1.1（第1课时）根式2.1.1（第2课时）指数幂及运算2.1.2（第1课时）指数函数的图象及性质2.1.2（第2课时）指数函数及其性质的应用2.2.1（第1课时）对数2.2.1（第2课时）对数的运算2.2.2（第1课时）对数函数的图象及性质2.2.2（第2课时）对数函数及其性质的应用2.3幂函数基本初等函数-单元评估试题3.1.1方程的根与函数的零点3.1.2用二分法求方程的近似解3.2.1几类不同增长的函数模型3.2.2（第1课时）一次函数、二次函数应用举例3.2.2（第2课时）指数型、对数型函数的应用举例函数的应用-单元评估试题第1-3章-全册综合质量评估试卷课时提升卷(一)集合的含义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列各项中,不能组成集合的是( )A.所有的正整数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数2.(2013·冀州高一检测)若集合M中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是( )A.1B.0C.-2D.24.已知2a∈A,a2-a∈A,若A只含这2个元素,则下列说法中正确的是( )A.a可取全体实数B.a可取除去0以外的所有实数C.a可取除去3以外的所有实数D.a可取除去0和3以外的所有实数5.下列四种说法中正确的个数是( )①集合N中的最小数为1;②若a∈N,则-a∉N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·天津高一检测)设集合A中含有三个元素2x-5,x2-4x,12,若-3∈A,则x的值为.7.(2013·济宁高一检测)若集合P含有两个元素1,2,集合Q含有两个元素1,a2,且P,Q相等,则a= .8.若a,b∈R,且a≠0,b≠0,则+的可能取值所组成的集合中元素的个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.集合A的元素由kx2-3x+2=0的解构成,其中k∈R,若A中的元素只有一个,求k的值.10.数集M满足条件,若a∈M,则∈M(a≠±1且a≠0),已知3∈M,试把由此确定的集合M的元素全部求出来.11.(能力挑战题)设P,Q为两个数集, P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.答案解析1.【解析】选C.怎样才是接近于0的数没有统一的标准,即不满足集合元素的确定性,故选C.2.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,a,b,c三个数一定全不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.3.【解析】选C.∵-1∈M,∴2×(-1)∈M,即-2∈M.4.【解析】选D.由集合元素的互异性可知,2a≠a2-a,解得a≠0且a≠3,故选D.5.【解析】选A.①中最小数应为0;②中a=0时,- a∈N;③中a+b的最小值应为0;④中“小的正数”不确定.因此①②③④均不对.6.【解析】∵-3∈A,∴-3=2x-5或-3=x2-4x.①当-3=2x-5时,解得x=1,此时2x-5=x2-4x=-3,不符合元素的互异性,故x≠1;②当-3=x2-4x时,解得x=1或x=3,由①知x≠1,且x=3时满足元素的互异性.综上可知x=3.答案:37.【解析】由于P,Q相等,故a2=2,从而a=±.答案:±8.【解题指南】对a,b的取值情况分三种情况讨论求值,即同正,一正一负和同负,以确定集合中的元素,同时注意集合元素的互异性.【解析】当a>0,b>0时,+=2;当ab<0时,+=0;当a<0,b<0时,+=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即集合中元素的个数为3.答案:39.【解析】由题知A中元素即方程kx2-3x+2=0(k∈R)的解,若k=0,则x=,知A中有一个元素,符合题意;若k≠0,则方程为一元二次方程.当Δ=9-8k=0即k=时,kx2-3x+2=0有两个相等的实数解,此时A中有一个元素.综上所述,k=0或.10.【解析】∵a=3∈M,∴==-2∈M,∴=-∈M,∴=∈M,∴=3∈M.再把3代入将重复上面的运算过程,由集合中元素的互异性可知M中含有元素3,-2,-,.【拓展提升】集合中元素互异性的应用集合中的元素是互异的,它通常被用作检验所求未知数的值是否符合题意.只要组成两个集合的元素是一样的,这两个集合就是相等的,与两个集合中元素的排列顺序无关.11.【解析】∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P+Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.课时提升卷(二)集合的表示（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·临沂高一检测)设集合M={x∈R|x≤3},a=2,则( )A.a∉MB.a∈MC.{a}∈MD.{a}∉M2.集合{x∈N*|x-3<2}的另一种表示方法是( )A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A.{0}B.{y|y2=0}C.{x|x=0}D.{x=0}4.下列集合的表示法正确的是( )A.第二、四象限内的点集可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,y∈R}B.不等式x-1<4的解集为{x<5}C.整数集可表示为{全体整数}D.实数集可表示为R5.设x=,y=3+π,集合M={m|m=a+b,a∈Q,b∈Q},那么x,y与集合M的关系是( )A.x∈M,y∈MB.x∈M,y∉MC.x∉M,y∈MD. x∉M,y∉M二、填空题(每小题8分,共24分)6.设A={4,a},B={2,ab},若A=B,则a+b= .7.已知集合A={x|∈N,x∈N},则用列举法表示为.8.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},a∈A且a∈B,则a 为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.用适当的方法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数.(2)满足方程x=|x|的所有x的值构成的集合B.10.下面三个集合:A={x|y=x2+1}; B={y|y=x2+1};C={(x,y)|y=x2+1}.问:(1)它们是不是相同的集合?(2)它们各自的含义是什么?11.(能力挑战题)集合P={x|x=2k,k∈Z},M={x|x=2k+1,k∈Z},a∈P,b ∈M,设c=a+b,则c与集合M有什么关系?答案解析1.【解析】选B.(2)2-(3)2=24-27<0,故2<3.所以a∈M.2.【解析】选B.集合中元素满足x<5且x∈N*,所以集合的元素有1,2,3,4.3.【解析】选D.A是列举法,B,C是描述法,而D表示该集合含有一个元素,即“x=0”.4.【解析】选D.选项A中应是xy<0;选项B的本意是想用描述法表示,但不符合描述法的规范格式,缺少了竖线和竖线前面的代表元素x;选项C的“{ }”与“全体”意思重复.5.【解析】选B.∵x==--.y=3+π中π是无理数,而集合M中,b ∈Q,得x∈M,y M.6.【解析】两个集合相等,则两集合的元素完全相同,则有a=2,ab=4,将a=2代入ab=4,得b=2.∴a+b=4.答案:47.【解题指南】结合条件,可按x的取值分别讨论求解.【解析】根据题意,5-x应该是12的正因数,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12,从而可得到对应x的值为4,3,2,1,-1,-7.因为x∈N,所以x 的值为4,3,2,1.答案:{1,2,3,4}8.【解析】∵a∈A且a∈B,∴a是方程组的解,解方程组,得∴a为(2,5).答案:(2,5)9.【解析】(1){x|x=3n,n∈Z}.(2)B={x|x=|x|,x∈R}.【变式备选】集合A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长为20cm的三角形},C={x|x-3<2,x∈Q},D={(x,y) |y=x2-x-1}.其中用描述法表示的集合个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.集合A为列举法表示集合,集合B,C,D均为描述法表示集合,其中B选项省略了代表元素和竖线.10.【解析】(1)在A,B,C三个集合中,虽然代表元素满足的表达式一致,但代表元素互不相同,所以它们是互不相同的集合.(2)集合A的代表元素是x,满足y=x2+1,故A={x|y=x2+1}=R.集合B的代表元素是y,满足y=x2+1,所以y≥1,故B={y|y=x2+1}={y|y≥1}.集合C的代表元素是(x,y),满足条件y=x2+1,即表示满足y=x2+1的实数对(x,y);也可认为是满足条件y=x2+1的坐标平面上的点.【拓展提升】三种集合语言的优点及应用集合语言包括符号语言、图形语言和自然语言三种.(1)符号语言比较简洁、严谨且内涵丰富有利于推理计算.(2)图形语言能够引起直观的视觉感受,便于理清关系,有利于直观地表达概念、定理的本质及相互关系,使得抽象的思维关系明朗化. (3)自然语言往往比较生动,能将问题研究对象的含义更加明白地叙述出来.集合的三种语言之间相互转化,在解决集合问题时,一般是将符号语言转化为图形语言、自然语言,这样有助于弄清集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析问题和解决问题的能力.11.【解析】∵a∈P,b∈M,c=a+b,设a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z,∴c=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1,又k1+k2∈Z,∴c∈M.课时提升卷(三)集合间的基本关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0=∅2.(2013·宝鸡高一检测)如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.0MC.{0}∈MD.{0}⊆M3.(2013·长沙高一检测)已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个4.设A={a,b},B={x|x∈A},则( )A.B∈AB.B AC.A∈BD.A=B5.(2013·潍坊高一检测)设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⊆B,则a的取值范围是( )A.a≤2B.a≤1C.a≥1D.a≥2二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·汕头高一检测)已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m= .7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x<m},且A B,则实数m满足的条件是.8.设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P 的关系为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠ ,B⊆A,求a,b的值.10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A B,求a的取值范围.(2)若B⊆A,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知A={x||x-a|=4},B={1,2,b},是否存在实数a,使得对于任意实数b(b≠1,且b≠2),都有A⊆B?若存在,求出对应的a的值;若不存在,说明理由.答案解析1.【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},∴{0}⊆M.3.【解析】选C.由题意知,x=-2或2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.4.【解析】选D.因为集合B中的元素x∈A,所以x=a或x=b,所以B={a,b},因此A=B.5.【解析】选D.∵A⊆B,∴a≥26.【解析】∵B⊆A,∴m2=2m-1,∴m=1.答案:17.【解析】将数集A标在数轴上,如图所示,要满足A B,表示数m的点必须在表示3的点的右边,故m>3.答案: m>38.【解析】∵xy>0,∴x,y同号,又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P.答案:M=P9.【解析】由B⊆A知,B中的所有元素都属于集合A,又B≠ ,故集合B有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a,b的值为或或10.【解题指南】利用数轴分析法求解.【解析】(1)若A B,由图可知,a>2.(2)若B⊆A,由图可知,1≤a≤2.11.【解析】不存在.要使对任意的实数b都有A⊆B,所以1,2是A中的元素,又∵A={a-4,a+4},∴或这两个方程组均无解,故这样的实数a不存在.课时提升卷(四)并集、交集（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·衡水高一检测)若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C 之间的关系为( )A.C AB.A CC.C⊆AD.A⊆C2.已知M={0,1,2, 4,5,7},N={1,4,6,8,9},P={4,7,9},则(M∩N)∪(M ∩P)等于( )A.{1,4}B.{1,7}C.{1, 4,7}D.{4,7}3.(2013·本溪高一检测)A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}4.(2013·德州高一检测)设集合A={x|x≤1},B={x|x>p},要使A∩B=∅,则p应满足的条件是( )A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤15.(2012·新课标全国卷)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m=( )A.0或B.0或3C.1或D.1或3二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N= .7.(2013·清远高一检测)已知集合A={x|x≤1},集合B={x|a≤x},且A∪B=R,则实数a的取值范围是.8.(2013·西安高一检测)设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A ∩B.10.已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=∅,求a的取值范围.11.(能力挑战题)已知:A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若A∪B=B,求a的值.(2)若A∩B=B,求a的值.答案解析1.【解析】选D.∵A∩B=A,B∪C=C,∴A⊆B,B⊆C,∴A⊆C.2.【解析】选C.M∩N={1,4},M∩P={4,7},故(M∩N)∪(M∩P)={1,4,7}.3.【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.4.【解析】选B.∵A∩B= ,∴结合数轴分析可知应满足的条件是p≥1. 【误区警示】本题易漏掉p=1的情况而误选A.5.【解析】选B.由A∪B=A得B⊆A,所以有m=3或m=.由m=得m=0或1,经检验,m=1时B={1,1}不符合集合元素的互异性,m=0或3时符合.6.【解析】由题意联立方程组得x=3,y=-1,故M∩N={(3,-1)}.答案:{(3,-1)}7.【解析】∵A∪B=R,∴a≤1.答案:a≤18.【解析】∵A∩B={2},∴2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,∴b=2,即B={1,2},∴A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}9.【解析】∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B.∴x2-1=3或x2-1=5.解得x=±2或x=±.若x2-1=3,则A∩B={1,3}.若x2-1=5,则A∩B={1,5}.10.【解题指南】通过数轴直观表示,并结合A∩B=∅分析列不等式(组)求解.【解析】A∩B=∅,A={x|2a≤x≤a+3}.(1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3.(2)若A≠∅,如图所示.则有解得-≤a≤2.综上所述,a的取值范围是-≤a≤2或a>3.【拓展提升】数轴在解含参不等式(组)中的作用数轴是解不等式(组)的重要工具,它是实现数形结合解决数学问题的桥梁,在求解不等式(组)待定字母值或范围时,借助数轴的直观性,很轻松地将各变量间的关系表示出来,进而列出不等式(组),更能显示出它的优越性.11.【解析】(1)A={-4,0},若A∪B=B,则B=A={-4,0},解得a=1.(2)若A∩B=B,则①若B为空集,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8<0,则a<-1;②若B为单元素集合,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8=0, 解得a=-1,将a=-1代入方程x2+2(a+1)x+a2-1=0,得x2=0得,x=0,即B={0},符合要求;③若B=A={-4,0},则a=1,综上所述,a≤-1或a=1.课时提升卷(五)补集及综合应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则ð(A∪B)=( )UA.{1,4}B.{1,5}C.{2,4}D.{2,5}2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<1},则A∩(ðB)=( )RA.{x|x>1}B.{x|x≥1}C.{x|1<x≤2}D.{x|1≤x≤2}3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={1,3,5,7},B={3,5},则下列式子一定成立的是( )A.ðB⊆UðA B.(UðA)∪(UðB)=UUC.A∩ðB=∅ D.B∩UðA=∅U4.设全集U(U≠∅)和集合M,N,P,且M=UðN,N=UðP,则M与P的关系是( )A.M=ðP B.M=PUC.M PD.M P5.(2013·广州高一检测)如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(ðA∩B)∩C B.(IðB∪A)∩CIC.(A∩B)∩ðC D.(A∩IðB)∩CI二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9, 12},则A∩(ðB)= .N7.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2},P={x|x≥a},并且M⊆ðP,则Ra的取值范围是.8.设集合A,B都是U={1,2,3,4}的子集,已知(ðA)∩(UðB)={2},(UðA)U∩B={1},且A∩B=∅,则A= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·济南高一检测)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤2},若B∪ðA=R,RB∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},求集合B.R10.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|1<x<2},且AðB,求a的取值范R围.11.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(ðA)∩B=∅,求m的值.U答案解析1.【解析】选C.由题知U={1,2,3,4,5},A∪B={1,3,5},故ð(A∪B)={2,4}.U2.【解析】选D.∵B={x|x<1},∴ðB={x|x≥1},R∴A∩ðB={x|1≤x≤2}.R3.【解析】选D.逐一进行验证.ðB={1,2,4,6,7},UðA={2,4, 6},显然UðAU⊆ðB,显然A,B错误;A∩UðB={1,7},故C错误,所以只有D正确.U4.【解析】选B.利用补集的性质:M=ðN=Uð(UðP)=P,所以M=P.U【拓展提升】一个集合与它的补集的关系集合与它的补集是一组相对的概念,即如果集合A是B相对于全集U 的补集,那么,集合B也是A相对于全集U的补集.同时A与B没有公共元素,且它们的并集正好是全集,即A∪B=U,A∩B= .5.【解析】选D.由图可知阴影部分是A的元素,且是C的元素,但不属于B,故所表示的集合是(A∩ðB)∩C.I6.【解析】∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},∴ðB={1,2,4,5,7,8,…}.N∴A∩ðB={1,5,7}.N答案:{1,5,7}7.【解析】M={x|-2<x<2},ðP={x|x<a}.R∵M⊆ðP,∴由数轴知a≥2.R答案:a≥28.【解析】根据题意画出Venn图,得A={3,4}.答案:{3,4}9.【解析】∵A={x|1≤x≤2},∴ðA={x|x<1或x>2}.R又B∪ðA=R,A∪RðA=R,可得A⊆B.R而B∩ðA={x|0<x<1或2<x<3},R∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B=A∪{x|0<x<1或2<x<3}={x|0<x<3}.10.【解题指南】解答本题的关键是利用AðB,对A=∅与A≠∅进行R分类讨论,转化为等价不等式(组)求解,同时要注意区域端点的问题. 【解析】ðB={x|x≤1或x≥2}≠∅,R∵AðB.R∴分A=∅和A≠∅两种情况讨论.(1)若A=∅,则有2a-2≥a,∴a≥2.(2)若A≠∅,则有或∴a≤1.综上所述,a≤1或a≥2.11.【解题指南】本题中的集合A,B均是一元二次方程的解集,其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(ðA)∩B=∅对集合A,B的关系进行转化.U【解析】A={-2,-1},由(ðA)∩B=∅,得B⊆A,U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或m=2.【变式备选】已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|ax-6=0}且ðA⊆RðB,R求实数a的取值集合.【解析】∵A={x|x2-5x+6=0},∴A={2,3}.又ðA⊆RðB,R∴B⊆A,∴有B=∅,B={2},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,∴a=2;当B={2}时,有2a-6=0,∴a=3; 当B= 时,有a=0,∴实数a的取值集合为{0,2,3}.课时提升卷(六)函数的概念（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则ð(A∩B)=( )RA.[3,7)B.(-∞,3)∪[7,+∞)C.(-∞,2)∪[10,+∞)D.2.(2013·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是( )A.x=y2+1B.y=2x2+1C.x-2y=6D.x=3.(2013·红河州高一检测)四个函数:(1)y=x+1.(2)y=x3.(3)y=x2-1.(4)y=.其中定义域相同的函数有( )A.(1),(2)和(3)B.(1)和(2)C.(2)和(3)D.(2),(3)和(4)4.下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值5.(2013·盘锦高一检测)函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=( )A.[-2,+∞)B.[-2,2)C.(-2,2)D.(-∞,2)二、填空题(每小题8分,共24分)6.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.7.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是;其中只与x的一个值对应的y值的范围是.8.函数f(x)定义在区间[-2,3]上,则y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·烟台高一检测)求下列函数的定义域.(1)y=+.(2)y=.10.已知函数f(x)=,(1)求f(x)的定义域.(2)若f(a)=2,求a的值.(3)求证:f()=-f(x).11.(能力挑战题)已知函数y=(a<0且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.∵A∩B=[3,7),∴ð(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).R2.【解析】选A.一个x对应的y值不唯一.3.【解析】选A.(1),(2)和(3)的定义域都是R,(4)的定义域是{x∈R|x≠0}.4.【解析】选A.按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D中,集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A符合函数定义.5.【解析】选B.由题意得M=(-∞,2),N=[-2,+∞),所以M∩N=(-∞,2)∩[-2,+∞)=[-2,2).6.【解析】由题意3a-1>a,则a>.答案:(,+∞)【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.7.【解析】观察函数图象可知f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]【举一反三】本题中求与x的两个值对应的y值的范围.【解析】由函数图象可知y值的范围是[2,4].8.【解题指南】根据函数的定义,对应定义域中的任意一个自变量x 都有唯一的函数值与之对应.利用此知识可以结合函数图象分析. 【解析】当a∈[-2,3]时,由函数定义知,y=f(x)的图象与直线x=a只有一个交点;当a [-2,3]时,y=f(x)的图象与直线x=a没有交点.答案:0或19.【解析】(1)由已知得∴函数的定义域为[-,].(2)由已知得:∵|x+2|-1≠0,∴|x+2|≠1,得x≠-3,x≠-1.∴函数的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞).10.【解析】(1)要使函数f(x)=有意义,只需1-x2≠0,解得x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.(2)因为f(x)=,且f(a)=2,所以f(a)==2,即a2=,解得a=±.(3)由已知得f()==,-f(x)=-=,∴f()=-f(x).11.【解题指南】由题意得,(-∞,1]是函数y=的定义域的子集. 【解析】函数y=(a<0且a为常数).∵ax+1≥0,a<0,∴x≤-,即函数的定义域为(-∞,-].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1] (-∞,-],∴-≥1,而a<0,∴-1≤a<0.即a的取值范围是[-1,0).关闭Word文档返回原板块。

【四维备课】高中数学 1.2.1 函数的概念课时练案新人教A版必修1

1.2.1 函数的概念1.下列说法中不正确的是（）A.函数定义域中的每一个数都有值域中的一个数与之对应B.函数的定义域和值域一定是无限集合C.定义域和对应关系确定以后，函数的值域也就随之确定D.若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素2.函数f(x)=+的定义域是( )A. B.C. D.3.设f(x)=|x-1|-|x|，则f等于( )A.-B.0C.D.14.函数f(x)定义在区间［-2,3］上，则y=f(x)的图象与直线x=2的交点个数为（）A.0B.1C.2D.不确定5.若函数y=f(x)的定义域是，则函数g(x)=的定义域是( )A. B.C.∪D.6.若函数-3x-4的定义域为［0,m］，值域为，则m的取值范围是（）A.［0,4］B.C. D.7.已知函数f(x)=-的定义域为(16,25)，则它的值域为 .8.下列四组函数：①；g(x) = 1 ;②f(x)=x；g(x)=；③；；④f(x)=|x| ；g (x)=.其中f(x)与g(x)表示同一个函数的序号是 .9.判断下列对应是否为集合A到集合B的函数：（1）A为正实数集，B=R，对于任意的x∈A，x→x的算术平方根；（2）A＝{1，2，3，4，5}，B={0,2,4,6,8},对于任意的x∈A,x→2x.10.已知f(x)=(x∈R且x≠-1),+2(x∈R).(1)求f(2),g(2)的值；（2）求f（g(2)）的值；（3）求f（g(x)）.参考答案1.B 解析：函数的定义域和值域可能是有限集，也可能是无限集，但不能是空集，故选B.2.D 解析：要使函数有意义，需解得≤x≤7，所以函数f(x)=+的定义域为.3.D 解析：f==0，=f(0)=1.4.B 解析：由函数定义,知函数在定义域内具有单值对应，所以，当x=2时f(x)有唯一值与之对应.故选B.5.B 解析：由题意，知解得0≤x<1.6.C 解析：-3x-4=.当x=时，y=；当x=0或x=3时，y=-4.结合函数图象可得m∈.7.(-5，-4) 解析：由题意知16<x<25，则4<<5，所以-5<-<-4.8.④解析：①的定义域为｛x︱x≠1｝,g(x) = 1的定义域为R, 它们的定义域不同；②f(x)=x的值域是R，g(x)=的值域是［0,+∞)，它们的值域不同；③与的对应关系不同；④f(x)=|x|与g(x)=的定义域都为R，值域都为［0,+∞)，对应关系相同，所以它们是同一函数.9.解：（1）不是函数，因为对于A中每个正实数a，在B中都有两个数，-与之对应.（2）不是函数，因为A中元素5在给定的对应关系下，在B中没有元素10和它对应.10.解：（1）f(2)= =,=6;（2）f（g(2)）=f(6)=；==.。

【四维备课】高中数学 1.3.1 第1课时函数的单调性课时练案新人教A版必修1

第1课时函数的单调性1.设函数f(x)=(a-1)x+b是R上的增函数，则有（）A.a>1B.a<1C.a≥1D.a≤12.已知函数y=f(x)定义在［-2,1］上，且有f(-1)>f(0)，则下列判断正确的是( )A.y=f(x)必为［-2,1］上的增函数B.y=f(x)不是［-2,1］上的增函数C.y=f (x)必为［-2,1］上的减函数D.y=f(x)不是［-2,1］上的减函数3.函数+1(a<0,-1≤x≤2)的单调递减区间是( )A.（-∞，0]B.[0，+∞）C.[-1，0]D.（0，2]4.下列函数中，在区间(0,+∞)上是增函数的是( )A.y=B.y=-2xC.y=5D.y=5.函数-2a在区间(-∞,3］上单调递减，则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-3］B.［-3,+∞)C.(-∞,3］D.［3,+∞)6.如图所示为函数y=f(x)在区间上的图象，则它的单调增区间是 .7.设f(x)是定义在区间U上的增函数，且f(x)>0，则下列函数：①y=1-f(x)；②y=；③(x)；④y=-中为增函数的序号是 .8.函数y=的递减区间为 .9.已知函数f(x)=x+.（1）画出函数的图象，并求其单调区间；（2）用定义法证明函数在（０，１）上的单调性.10.函数f(x)在（0，＋∞）上是减函数，比较与f的大小关系.参考答案1.A 解析：由结论：一次函数y =kx +b ，当k >0时单调递增；当k <0时单调递减.可知a -1>0，即a >1.2.B3.D 解析：抛物线的开口向下，对称轴为y 轴.数形结合可知，增区间为[-1，0]，减区间为（0，2].4.A 解析：B 、D 两函数在区间(0,+∞)上是减函数，C 项是常数函数.5.A 解析：函数图象开口向上，它的对称轴是直线x =-a ，若f (x )在区间(-∞,3］上单调递减，需-a ≥3，即a ≤-3.6.，解析：观察图象可得单调增区间是［-1，0］，［1，2］.注意区间端点可以不包含在内，但两个区间中间不能用“∪”连接.7.③ 解析：由于y =1-t ，y =，y =-均在(0,+∞)上递减，而f (x )递增，且f (x )>0，∴ 函数y =1-f (x )，y =，y =-均在U 上递减.又在(0,+∞)上递增，∴(x )为增函数.8. 解析：由于y =在(0,+∞)上递减，故只需求出的递增的且函数值大于零的x 的取值区间即可.9.(1)解：列表如下： --描点，并连线，可得图形如图.由图可知，增区间：,;减区间：,. （2）证明：设,是区间(0,1)上任意的两个值，且. ∴ <1. +.∵<1,∴<0,<1,∴>1.∴ 1-<0,∴,∴.∴f(x)=x+在区间(0,1)上是减函数.10.解：设-a+1=，∵≥0，∴+≥.又∵f(x)在（0，＋∞）上是减函数，且-a+1∈(0, +∞)，∈(0,+∞)，∴≤f.。

高中数学人教A版必修第一册学案与练习函数的零点与方程的解

4.5 函数的应用(二)4.5.1 函数的零点与方程的解学习目标1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系，培养直观想象的核心素养.2.了解零点的存在定理，会判断零点的个数及零点所在的大致区间，培养逻辑推理和数学运算的核心素养.1.函数零点与方程的解(1)函数的零点①定义:对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.②性质a.当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号.b.两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号.(2)方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y=f(x)有零点.2.函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.3.二次函数零点的分布设x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根，则函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)零点x1，x2的分布情况与一元二次方程系数之间的关系如下表续表注意:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有以下特殊根的条件①两个正根{x1+x2>0,x1·x2>0,Δ≥0,②两个负根{x1+x2<0,x1·x2>0,Δ≥0,③一个正根，一个负根:x1·x2<0.函数的零点类型一根据函数解析式求函数的零点[例1] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)=-x2-4x-4;(2)f(x)=(x-1)(x2-4x+3)x-3;(3)f(x)=4x+5;(4)f(x)=log 3(x+1).解:(1)令-x 2-4x-4=0，解得x=-2，所以函数f(x)的零点为-2. (2)令(x -1)(x 2-4x+3)x -3=0，解得x=1，检验得x=1符合题意，所以函数f(x)的零点为1.(3)令4x +5=0，则4x =-5<0，而4x >0，所以方程4x +5=0无实数根，所以函数f(x)不存在零点.(4)令log 3(x+1)=0，解得x=0，所以函数f(x)的零点为0.根据函数解析式求函数零点的两种方法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根.(2)几何法:对于不易求根的方程f(x)=0，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 注意:几何法常用来判断函数零点个数.针对训练1:求下列函数的零点. (1)f(x)=2x-1-3; (2)f(x)=x 2+4x -12x -2;(3)f(x)={lnx ,x >0,e x+1-1,x ≤0.解:(1)令2x-1-3=0，得x=log 26，所以函数的零点是log 26. (2)令x 2+4x -12x -2=0，得x=-6，检验得x=-6符合题意，所以函数的零点为-6.(3)当x>0时，由f(x)=0，即ln x=0，解得x=1;当x≤0时，由f(x)=0，即e x+1-1=0，解得x=-1.综上，该函数有两个零点1和-1.类型二确定函数零点所在区间[例2] (1)设f(x)=ln x+x-2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)(2)若a<b<c，则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(a，b)和(b，c)内B.(-∞，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，+∞)内D.(-∞，a)和(c，+∞)内解析:(1)因为f(1)=ln 1+1-2=-1<0，f(2)=ln 2>0，所以f(1)·f(2)<0.因为函数f(x)=ln x+x-2的图象是连续的，且单调递增，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2).故选B.(2)因为a<b<c，所以f(a)=(a-b)(a-c)>0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0，由函数零点存在定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.故选A.判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入.将区间端点值代入函数求出函数的值; (2)判断.把所得的函数值相乘，并进行符号判断;(3)结论.若符号为正，且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点;若符号为负，且函数图象在该区间内连续，则在该区间内至少有一个零点.针对训练2:(1)(2022·山东青岛期中)方程2x +3x-4=0的实数根所在的区间为( ) A.( 12，1) B.(-1，0)C.(0，12) D.(1，43)(2)下列区间中，包含函数f(x)=lo g 12x+1x的零点的是( )A.(3，4)B.(2，3)C.(1，2)D.(0，1) 解析:(1)令f(x)=2x +3x-4，因为f(1)=21+3-4=1>0，f(12)=√2-52<0，所以f(1)f(12)<0，则函数f(x)的零点在(12，1)内，所以方程2x +3x-4=0的实数根所在的区间为(12，1).故选A.(2)因为函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，f(1)=1>0，f(2)=-1+12=-12<0，所以f(x)的零点在(1，2)内.故选C. 类型三判断函数零点的个数[例3] (1)函数y=x-4x 的零点个数为( )A.0B.1C.2D.无数(2)函数f(x)=x-lo g12x的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.无数解析:(1)函数y=x-4x 的零点个数是方程x-4x=0的解的个数，可得x2-4=0，解得x=±2.经检验，符合题意，所以函数的零点有2个.故选C.(2)函数f(x)=x-lo g12x的零点个数，就是函数y=x与y=lo g12x的图象的交点个数，如图，可知函数的图象只有一个交点，因此函数f(x)=x-lo g12x的零点个数为1.故选B.判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数y=f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y=f(x)在(a，b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.针对训练3:(1)设函数f(x)={x2-2x-2,x≤0,lgx,x>0,则函数y=f(x)-1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.0(2)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x +x-3，则f(x)的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4(3)函数y=x 3-(12) x 的零点的个数为 .解析:(1)f(x)-1=0等价于x 2-2x-2=1(x ≤0)或lg x=1(x>0)，解得x=-1或x=10，所以函数y=f(x)-1的零点个数为2.故选B.(2)因为函数f(x)是定义域为R 的奇函数，所以f(0)=0，所以0是函数f(x)的一个零点.当x>0时，令f(x)=e x +x-3=0，则e x =-x+3.分别画出函数y=e x 和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，+∞)上有一个零点;又根据对称性知，当x<0时，函数f(x)也有一个零点. 综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C. (3)根据题意，令x 3-(12) x =0，则x 3=(12) x ，作出函数y 1=x 3与y 2=(12)x 的图象，由图可知y 1=x 3与y 2=(12)x 的图象只有一个交点，即方程x 3=(12)x 只有一个解，故函数y=x 3-(12)x 的零点个数为1.答案:(1)B (2)C (3)1根据零点个数求参数范围[例4] 已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a，求实数a取何值时函数f(x)(1)有两个零点;(2)有三个零点.解:令h(x)=|x2-2x-3|，g(x)=a，画出图象如图所示，它们的交点个数即函数 f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.(1)a=0或a>4时，函数有两个零点.(2)a=4时，函数有三个零点.已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法.直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法.先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法.先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.针对训练4:(1)已知函数f(x)=2ax-a+3，若∃x 0∈(-1，1)，f(x 0)=0，则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞，-3)∪(1，+∞) B.(-∞，-3) C.(-3，1) D.(1，+∞)(2)已知函数f(x)={ln (-x ),x <0,e -x ,x ≥0,若关于x 的方程m-f(x)=0有两个不同的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A.(0，+∞)B.(-∞，0]∪(1，+∞)C.(-∞，0]D.(0，1]解析:(1)当a=0时，f(x)=3，不合题意;当a ≠0时，由题意知f(-1)·f(1)<0，即(-3a+3)(a+3)<0，解得a<-3或a>1.故选A. (2)由题意画出函数图象如图所示，关于x 的方程m-f(x)=0有两个不同的实数根，说明函数y=m 和y=f(x)的图象有两个不同的交点，由图可知，m ∈(0，1].故选D.二次函数零点的分布[例5] 已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两实数根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围;(2)若方程两不相等的实数根均在区间(0，1)内，求m 的取值范围. 解:(1)令f(x)=x 2+2mx+2m+1，依题意得函数f(x)=x 2+2mx+2m+1的图象与x 轴的交点分别在区间(-1，0)和(1，2)内，画出图象如图所示.由图象得{ f (-1)=2>0,f (0)=2m +1<0,f (1)=4m +2<0,f (2)=6m +5>0,即{m <-12,m <-12,m >-56,所以-56<m<-12.(2)根据函数f(x)的图象与x 轴的两个交点均在区间(0，1)内，画出图象如图所示.由图象得{Δ>0,0<-m <1,f (0)>0,f (1)>0,即{4m 2-4(2m +1)>0,0<-m <1,2m +1>0,4m +2>0,解得{ m >1+√2或m <1-√2,-1<m <0,m >-12,m >-12,所以-12<m<1-√2.一元二次方程在给定区间上根的分布问题(1)若一元二次方程的根在两个区间上，则结合题意画出函数图象，只研究函数端点函数值的符号;(2)若一元二次方程的根在一个区间上，则要考虑判别式的符号，端点函数值的符号以及对称轴与区间的关系.针对训练5:方程x 2-2ax+1=0的两根分别在(0，1)与(1，3)内，则实数a 的取值范围为( ) A.{a|1<a<53} B.{a|a<1或a>53}C.{a|-1<a<53} D .{a|-53<a<-1}解析:令f(x)=x 2-2ax+1，因为方程x 2-2ax+1=0的两根分别在(0，1)与(1，3)内，则{f (0)>0,f (1)<0,f (3)>0,所以{1>0,2-2a <0,10-6a >0,所以1<a<53.故选A.典例探究:设f(x)和g(x)是定义在同一个区间[a ，b]上的两个函数，若函数y=f(x)-g(x)在x ∈[a ，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a ，b]上是“集团关联函数”，区间[a ，b]称为“集团关联区间”.若f(x)=x 2-2x+m 与g(x)=-x 2-x-m 在[0，3]上是“集团关联函数”，则m 的取值范围是 .解析:因为f(x)=x 2-2x+m ，g(x)=-x 2-x-m ，所以y=f(x)-g(x)=(x 2-2x+m)-(-x 2-x-m)=2x 2-x+2m ，由题意可知函数y=f(x)-g(x)在x ∈[0，3]上有两个不同的零点，得2x 2-x+2m=0在[0，3]上有两个不同的根，则y=2x 2-x 与y=-2m 的图象在[0，3]上有两个不同的交点，作出y=2x 2-x ，x ∈[0，3]的图象如图所示，当x=14时，y=-18，由图象可知，-18<-2m ≤0，解得0≤m<116.答案:[0，1)16-2，则下列结论正确的是应用探究:(多选题)已知函数f(x)=x+ax( )A.当a>1时，f(x)无零点B.当a=1时，f(x)只有一个零点C.当a<1时，f(x)有两个零点D.若f(x)有两个零点x1，x2，则x1+x2=2-2=0，解析:令f(x)=0，则x+ax即x2-2x+a=0(x≠0)，得a=-x2+2x(x≠0).考查直线y=a和抛物线y=-x2+2x(x≠0)的位置关系，由图可知，当a>1时，f(x)无零点，故A正确;当a=1或a=0时，f(x)只有一个零点，故B正确;当a<1，且a≠0时，f(x)有两个零点，故C错误;若f(x)有两个零点x1，x2，则x1，x2是方程x2-2x+a=0的两根，由根与系数的关系，得x1+x2=2，故D正确.故选ABD.1.函数f(x)=2x -1x的零点所在的区间是( B )A.(1，+∞)B.(12，1)C.(13，12) D.(14，13)解析:由f(x)=2x -1x ，得f(12)=√2-2<0，f(1)=2-1=1>0，所以f(12)·f(1)<0.因为函数f(x)的图象是连续的，且在(0，+∞)上单调递增，所以零点所在区间为(12，1).故选B.2.函数f(x)={x +1,x ≤0,log 2x ,x >0的所有零点组成的集合为( C )A.{1}B.{-1}C.{-1，1}D.{-1，0，1}解析:当x ≤0时，由f(x)=x+1=0得x=-1;当x>0时，由f(x)=log 2x=0得x=1，所以函数f(x)的所有零点组成的集合为{-1，1}.故选C. 3.函数y=x 2-bx+1只有一个零点，则b 的值为( C ) A.2 B.-2 C.±2 D.3解析:因为函数只有一个零点，所以Δ=b 2-4=0，所以b=±2.故选C. 4.若方程3x+m=0的根在(-1，0)内，则m 的取值范围是 . 解析:设f(x)=3x+m ，则f(-1)·f(0)=m(m-3)<0，解得0<m<3，即m 的取值范围为(0，3). 答案:(0，3)[例1] (多选题)下列说法中正确的是( ) A.函数f(x)=x+1，x ∈[-2，0]的零点为(-1，0)B.函数f(x)=2x-1的零点为0C.函数f(x)的零点即函数f(x)的图象与x轴的交点D.函数f(x)的零点即方程f(x)=0的实数根解析:函数f(x)的零点是方程f(x)=0的实数根，是一个数，是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，故D正确，A，C错误;由2x-1=0，得x=0，故B正确.故选BD.[例2] 判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点的个数.解:法一(图象法) 函数对应的方程为ln x+x2-3=0，所以原函数零点的个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数.在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点，从而lnx+x2-3=0有一个根，即函数y=ln x+x2-3有一个零点.法二(判定定理法) 由于f(1)=ln 1+12-3=-2<0，f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1，2)上是连续的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以零点只有一个.[例3] 若函数f(x)=ax 2-x-1有且仅有一个负零点，求实数a 的取值范围.解:①当a=0时，由f(x)=-x-1=0，得x=-1，符合题意;②当a>0时，函数f(x)=ax 2-x-1的图象为开口向上的抛物线，且f(0)=-1<0，对称轴x=12a >0，所以f(x)必有一个负实根，符合题意;③当a<0时，x=12a<0，f(0)=-1<0，所以Δ=1+4a=0，即a=-14，此时f(x)=-14x 2-x-1=-(x2+1) 2=0，所以x=-2，符合题意.综上所述，a 的取值范围是{a|a ≥0或a=-14}.[例4] 已知二次函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x. (1)求函数f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)-(m-2)x ，x ∈[-1，2]，求: ①g(x)的最小值h(m);②讨论关于m 的方程|h(m)+5|=k 的解的个数. 解:(1)设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，因为f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x ，所以2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x ，则{2a =2,2b =-4,2a +2c =0,得{a =1,b =-2,c =-1, 所以f(x)=x 2-2x-1.(2)①g(x)=f(x)-(m-2)x=x 2-mx-1，x ∈[-1，2]，对称轴方程为x=m2.当m2≤-1，即m ≤-2时，g(x)在[-1，2]上单调递增，g(x)min =g(-1)=m;当-1<m2<2，即-2<m<4时，g(x)min =g(m2) =-m 24-1;当m 2≥2，即m ≥4时，g(x)在[-1，2]上单调递减，g(x)min =g(2)=3-2m.综上所述，g(x)min =h(m)={m ,m ≤-2,-m 24-1,-2<m <4,3-2m ,m ≥4.②画出函数t(m)=|h(m)+5|的图象如图，由图可知，当k<0时，方程无解;当0<k<4时，方程有4个解;当k=0或k>4时，方程有2个解;当k=4时，方程有3个解.选题明细表基础巩固1.函数y=1+1x 的零点是( B )A.(-1，0)B.x=-1C.(0，1)D.x=0解析:令y=1+1x =0，解得x=-1，所以函数y=1+1x的零点是x=-1.故选B.2.函数f(x)=e x-2-2的零点所在的区间是( C )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)解析:因为f(x)为连续函数，f(2)=1-2=-1<0，f(3)=e-2>0，f(2)f(3)<0，所以f(x)零点所在区间为(2，3).故选C.3.已知函数f(x)的图象是连续的，根据如下对应值表:函数在区间[1，6]上的零点至少有( C )A.5个B.4个C.3个D.2个解析:函数f(x)的图象是连续的，f(2)f(3)=-63<0，f(3)f(4)=-77<0，f(4)f(5)=-55<0，所以f(x)在(2，3)，(3，4)，(4，5)之间一定有零点，即函数在区间[1，6]上的零点至少有3个.故选C.4.若函数y=ax+b(a≠0)经过点(2，0)，则函数y=bx2-ax的零点是( C )A.0，2B.0，12C.0，-12 D.2，-12解析:因为函数y=ax+b经过点(2，0)，所以2a+b=0，所以b=-2a，所以y=bx2-ax=-2ax2-ax，令-2ax 2-ax=0，得x 1=0，x 2=-12，所以函数y=bx 2-ax 的零点是0和-12.故选C.5.设x 0是方程ln x+x=4的根，且x 0∈(k ，k+1)，k ∈Z ，则k= . 解析:令f(x)=ln x+x-4，且f(x)在(0，+∞)上单调递增，因为f(2)=ln 2+2-4<0，f(3)=ln 3-1>0，所以f(x)在(2，3)内有解，所以k=2. 答案:26.(2021·山东临沂期中)函数f(x)=x+2x -m 在(-1，1)上存在零点，则m 的取值范围是 .解析:因为函数f(x)=x+2x -m 是连续增函数，在(-1，1)上存在零点，所以f(-1)·f(1)<0，即(-1+12-m)(1+2-m)<0，可得-12<m<3，即m ∈(-12，3).答案:( -12，3)能力提升7.(多选题)若函数y=f(x)在区间[a ，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有( ABD )A.若f(a)f(b)>0，则不存在实数c ∈(a ，b)，使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0，则存在且只存在一个实数c ∈(a ，b)，使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0，则有可能存在实数c ∈(a ，b)，使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0，则有可能不存在实数c ∈(a ，b)，使得f(c)=0 解析:对函数f(x)=x 2，f(-1)f(1)>0，但f(0)=0，故A 错误;对于函数f(x)=x 3-x ，f(-2)f(2)<0，但f(0)=f(-1)=f(1)=0，故B 错误;函数f(x)=x 2满足C ，故C 正确;由函数零点存在定理知D 错误.故选ABD.8.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( B )A.1B.2C.3D.4解析:函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数⇔方程|log0.5x|=12x =(12) x的根的个数⇔函数y=|log0.5x|与y=(12) x的图象的交点个数，作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点.故选B.9.已知函数f(x)=ax-a-1，g(x)=x2-ax+1(a为实数).若f(x)在区间(2，3)内有零点，则a的取值范围是;若关于x的方程f(x)=g(x)有两个大于1的相异实根，则a的取值范围是. 解析:f(x)在区间(2，3)内有零点，当a=0时，不满足题意;当a≠0时，f(x)在R上为单调函数.因为f(x)在区间(2，3)内有零点，所以由零点存在定理有f(2)f(3)<0，即(2a-a-1)(3a-a-1)<0，解得12<a<1.综上，a的取值范围为(12，1);方程f(x)=g(x)有两个大于1的相异实根，即方程x2-2ax+a+2=0有两个大于1的相异实根.设 h(x)=x2-2ax+a+2，则函数h(x)的对称轴x=a>1，且Δ=4a2-4(a+2)>0，且h(1)=1-2a+a+2>0，解得2<a<3，故a 的取值范围为(2，3).答案:( 12，1) (2，3) 10.已知函数f(x)=ax 2-2x+8.(1)当a=-3时，求不等式f(x)<0的解集;(2)若函数f(x)在(0，3]上有零点，求实数a 的取值范围. 解:(1)当a=-3时，不等式f(x)<0即为-3x 2-2x+8<0，得3x 2+2x-8>0，解得x<-2或x>43，所以不等式f(x)<0的解集为(-∞，-2)∪(43，+∞). (2)函数f(x)=ax 2-2x+8在(0，3]上有零点，即方程ax 2-2x+8=0在(0，3]上有实根，等价于求a=2x -8x 2=-8x 2+2x =-8(1x -18)2+18在(0，3]上的值域. 令1x =t ∈[13，+∞)，则g(t)=-8(t-18)2+18. 因为g(t)在[13，+∞)上单调递减，所以g(t)max =g(13)=-29，得a ≤-29. 所以实数a 的取值范围是(-∞，-29]. 11.已知函数f(x)={2x +2,-3≤x <0,-3x +3,0≤x <1,log 2x ,1≤x ≤8.(1)画出函数的图象，写出函数的单调区间;(2)求函数g(x)=f(x)-52的零点; (3)如果方程f(x)=m 有3个解，求实数m 的范围.解:(1)函数f(x)={2x +2,-3≤x <0,-3x +3,0≤x <1,log 2x ,1≤x ≤8的图象如图所示，由图象可得，f(x)的单调递增区间为[-3，0)，[1，8]，单调递减区间为[0，1).(2)函数g(x)=f(x)-52的零点即方程f(x)=52的解，当x ∈[-3，0)时，f(x)=2x +2=52，解得x=-1;当x ∈[0，1)时，f(x)=-3x+3=52，解得x=16; 当x ∈[1，8]时，f(x)=log 2x=52，解得x=4√2，所以函数g(x)的零点为-1，16，4√2. (3)因为方程f(x)=m 有3个解，则函数y=f(x)的图象与y=m 的图象有3个不同的交点，当x=-3时，f(-3)=2-3+2=178，由图象可得，实数m 的取值范围为[178，3). 应用创新12.(2022·山东青岛高一期中)已知函数f(x)={-x +1,x ≤0,-x 2+2x ,x >0,则方程f 2(x)-bf(x)=0，b ∈(0，1)的根的个数是( B )A.2B.3C.4D.5解析:f2(x)-bf(x)=0⇒f(x)[f(x)-b]=0，方程的根有两种情况f(x)=0和f(x)=b.当x=2时，f(x)=0.可令h(x)=b，画出如图所示的分段函数图象，要求f(x)=b解的个数，等价于判断f(x)与h(x)交点的个数，由图可知交点个数有2个.综上所述，f2(x)-bf(x)=0的根的个数为3.故选B.。

高中数学新人教版A版精品教案《习题3.1》

《函数的零点》教学设计一、教材内容分析高中数学教材必修一第三章《函数应用》的第二节为《方程的根与函数的零点》，介绍了方程的根、函数的零点与函数图像交点横坐标之间的联系，并介绍了判断零点存在的一种方法：零点的存在性定理，为零点问题提供了比较详尽的解决方法。

后续高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》为画出函数图象提供新的方法和依据，进一步强化了零点问题“形”的解题方法。

零点主要有三个问题角度：有没有？有几个？是谁？有三个思考问题的维度：函数、零点、和图像。

纵观近三年来，各地的考察情况，零点主要考察：（1）零点所在的大致区间（2）零点的个数，以选择题为主，中档难度。

（3）已知函数零点个数，求参数范围（4）零点之和（5）工具作用：导数中的零点问题，选择题、填空题、解答题皆有可能，以中高档难度为主。

其中，高考压轴解答题21题为导数，主要考察最值问题，而寻找最值得关键便是寻找函数的极值，可导函数的极值点出现在导函数的零点处。

所以，往往对导函数零点的讨论是解决导数问题的关键。

本节内容也能充分体现数学的思想方法：转化与化归思想、方程与函数思想、数形结合思想。

二、教学目标分析结合王尚志教授“关于普通高中课程标准修订”专题报告中，所提出的在数学学习中应培养好数学抽象、、、数学运算、直观想象、六大，制定了如下教学目标：1巩固复习函数的零点、方程的根与函数图像与轴交点的横坐标的关系。

并会利用零点存在性定理判断零点的存在性。

2通过函数零点、方程的根与函数图像与轴交点的横坐标的关系，探究零点问题的三个解题方向：零点存在性定理、解方程和画图象考察交点，形成规律性结论。

并能初步求解含有参数的零点问题。

3在函数与方程的联系中体验数学中的数形结合思想、转化思想、近似思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。

重点：函数的零点、方程的根与函数图像与轴交点的横坐标的关系及三个解题方向难点：含有参数的零点问题探究三、学情分析学生已经完成了高中全部课程的学习，对函数的零点有了一定的了解与认识，对于简单问题，如：求零点问题，不含参数判断零点存在问题等有一定的解题能力。