第28章能带论基础
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能带理论学习资料课件
Formal Charge High spin;
Automatic Low spin: 0
8: 0.00
eV P: 0.00
eV
0.00
eV
Formal spin
Spin state; Direction
High
Spin:
Help
Help
20
CASTEP Calculation
Setup Electronic] Propeties| Job Control
上面的右图可以发现， Pb 的 6s和 O2p 有态密度共振，也成键；另外 Pb6d 和 Pb6d 在 O2p 态密度处有明显的峰(有贡献),所以O2p 与Pb6s,6d 也是成键的。
15
七.识图
原则 1.能带和DOS一一对应，并相互印证 2.能带是分子轨道按能量大小排列
3.应结合PDOS进行分析
1
7.带宽：能带的最高和最低之间的能量差值。 其数值和几何构型有着密切的关系。
8.Caste和Dmol只能绘制散点图和线形图，并 且很不美观。后续通常需要origin进行处理。
2
二.费米能级
1.费米能级（fermi level ）是绝对零度下的最 高能级。
2.在Castep 中费米能级的默认值是0 。这给我 们带来了很大的方便。（在计算能带宽度 时）。
apha beta
5
四.性质
1.能带是能量关于d(k) 的函数 2.横坐标是布里渊区上的高对称性点（其距
离受到smearing 的影响） 3.在计算过程中只能简单的调节G点
6
4.有多少条线就有多少个轨道，就有多少条
能带。
5.能带的底部主要是成键，中部为非键，上
能带理论-固体物理理论
三 倒格子
基矢+法线取向 周期性的点 米勒指数 倒格子 晶面族 基矢 P点的位矢： 光程差 正格矢
衍射极大值条件 令 则
令 则 倒格矢
若倒格矢写为：
倒格矢和正格矢之间的关系：
反比 倒格矢是电子在市场傅立叶展开的元函数。
四 布里渊区
Wigner-Seitz原胞(WS)：以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平 面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS 原胞。
周期边界条件(Born-Von Karman)
边界上原子的振动对于晶格振动的色散关系的影响是很小的。 1.固定边界条件 即固定两端的原子不动，得到驻波解。 2.周期边界条件 行波解
波矢是量子化的
七一维双原子链
色散关系
色散关系
声学支 光学支
禁带
光学波&声学波
主要依据长波极限下的性质
&
极化波
长光学波可以利用光波的电磁场激发
假定，所有离子产生的势场和其他电子饿 平均场是周期势场，其周期为晶格的周期。 单电子的薛定谔方程为：
Bloch定理： 周期势场的平移对称性
周期势场中粒子波函数的形式为： 即，波函数不再是平面波，而是调幅的平面波，幅度周期性变化。 另外一种形式：
它表明在不同原胞的对应点上，波函数相差一个位相因子 ， 所以不同原胞对应点上，电子出现的几率是相同的，这是晶体周期性的反映。
声子
晶格的振动是一种集体运动形式，表现为不同模式的格波
简正变化，消除交叉项
晶格振动的总Hamiltonian
晶格振动系统的总能量为 能量是量子化的
声子：
特点： 1.准粒子：不是真实的粒子，不能游离于固体之外 2.准动量： 3.Bose子：
能带理论(1)(单电子近似和Bloch定理))
H E T1 1 , T2 2 , T3 3
根据晶格运动的周期性边界条件，
利用 所以 同理
(r (r
) )
(r (r
N1a1 ) N2a2 )
(r) (r N3a3)
(r N1a1) T1N1 (r) 1N1 (r)
2 i l1
1 e , N1
2 i l2
2 e , N2
为了描述晶格的平移对称性，引入平移算符T1, T2, T3.
T f (r) f (r a ), 1, 2, 3
其中a1, a2, a3 为晶格的三个基矢。 平移算符T1, T2, T3是相互对易的。
TT f (r) T f (r a ) f (r a a ) TT f (r)
TT TT 0
的运动 • 单电子近似
多电子单电子
• 如何描写电子之间的相互作用？ • 单电子在所有电子的平均势场作用下运动
* 电子的平均势形式上与原子核势一样，也具有同样的周期性 * 满足Schordinger 方程
2 2 2m
V (r)
E
V 基础 • 针对周期性结构 • 描写晶体（周期性势场）中的单电子运动
固体电子论（II)：能带理论
电子共有化 固体具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。
电子受到周期性势场的作用。
解定态薛定格方程(略）， 可以得出两点重要结论：
１.电子的能量是量子化的; ２.电子的运动有隧道效应。
原子的外层电子(高能级)， 势垒穿透概率 较大， 电子可以在整个固体中运动, 称为 共有化电子。
• 常数因子k的物理意义就与波矢联系起来
推论二
• 如果k改变一个倒格矢Km ，
那么
K m h1b1 h2b2 h3b3
适合初学者看的能带理论
03
分子能带理论
分子能级与电子排布
分子能级
分子中的原子在相互振动时，会形成 不同的能级，这些能级决定了分子的 稳定性和化学反应能力。
电子排布
分子中的电子按照能量高低在不同轨 道上排布，形成不同的电子构型，对 分子的化学性质产生影响。
分子光谱与电子跃迁
分子光谱
通过分析分子吸收或发射的光谱，可以了解分子内部能级结 构和电子排布。
量子计算与量子通信的能带理论基础
量子计算
量子计算利用量子力学的特性进行信息处理，能带理论在理解量子比特和量子门操作等 方面发挥了重要作用。
量子通信
量子通信利用量子态的传输进行信息传递，能带理论在量子密钥分发和量子隐形传态等 方面提供了理论基础。
能带理论与其他物理理论的交叉研究
凝聚态物理
能带理论与凝聚态物理密切相关，通过研究 不同材料的能带结构和物理性质，可以深入 理解物质的微观结构和宏观性质。
光子禁带
在光子晶体的能带结构中，某些频率的光不能在其中传播，这种现象被称为光子禁带。光子禁带的存在可以用来 控制光的传播和光与物质的相互作用。
光子在介质中的传播与散射
传播
当光子在介质中传播时，会受到介质的折射和反射。折射和反射的性质取决于光子的波长和介质的性 质。
散射
当光子与介质中的原子或分子相互作用时，可能会发生散射。散射会导致光的方向改变和能量的损失 。散射的性质取决于介质的微观结构和光子的波长。
太阳能电池原理与应用
01
02
03
光吸收与能带结构
太阳能电池利用半导体材 料的能带结构，通过光吸 收产生光生载流子，从而 实现光电转换。
光电转换效率
能带理论有助于理解光电 转换效率的限制因素，为 提高太阳能电池效率提供 理论指导。
能带理论课件
n
Vn
2
2 2 n 2 k (k 2 ) 2m a
9
微扰下的电子能量就可写成：
E
2Tn E Vn Tn ( 1) Vn 2Tn 0 2 Ek Vn Tn ( 1) Vn
0 k 2
i：原来较低的 E 0 k ii：原来较高的
子链是在nπ/a 处）分裂成一个个能带，能
带间隔为 带1： k
2Vn
a a 3 2 2 3 带3： k , a a a a
2 2 , 带2： k a a a a
11
三、紧束缚近似（TBA）模型
和近自由电子近似认为原子实对电子的作用很弱相反，我
是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动。
4
二、近自由电子近似（Nearly Free Electron）模型
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较 小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子
的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是
它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。 （也称为弱周期场近似）。势场V(x)可用平均势 V 代替， V ( x) V 周期起伏 看作微扰处理。
m
通过解上述方程得：
E k i J 0
Rs 近邻
J R exp ik R
s s
16
叫共振积分，是近邻格点的相互作用，也是能带出 现的重要原因，是能带形成的根源。
Rs ＝近邻格矢，一般只需保留到近邻项，而略去其他影
响小的项
显然共振积分值只有当它们有一定相互重叠时，才不为零。 当 Rs ＝0时，两波函数完全重叠。
能带论2
＝
{0
Un
当 k’＝k+2πn/a 当 k’≠ k+2πn/a
于是，求得电子的能量为
Ek = E
(0) k
2
+E
(2) k
H k′′k hk = + ∑ (0) 2m k ′≠k Ek − Ek(0) ′
2 2 2
hk = +∑ 2m n ≠ 0
电子波函数为
2
2m U n
2 2
ψ k = ψ k(0) + ψ k(1)
Ek(0) = Ek(0) = Ek(0)2π n / a 时， ′ +
h2k 2 h2 2π n = k + 2m 2 m a
2
即
散射波中，这种成分的振幅变得无限大，一级修正项
太大，微扰不适用了。由上式可求得
nπ 或 nλ = 2 a k=− a 这实际上是 Bragg 反射条件 2asinθ＝nλ 在正入射情况
将以上各展开式代入Schrödinger方程中，得
H 0ψ k(0) = Ek(0)ψ k(0) H 0ψ k(1) + H ′ψ k(0) = Ek(0)ψ k(1) + Ek(1)ψ k(0)
H 0ψ k(2) + H ′ψ k(1) = Ek(0)ψ k(2) + Ek(1)ψ k(1) + Ek(2)ψ k(0)
当 k’ ≠ k 时，
a
(1) k′
H k′′k = (0) Ek − Ek(0) ′
由于一级微扰能量 Ek(1)＝0，所以还需用二级微扰方程来 一级微扰能量 ， 求出二级微扰能量，方法同上。
令
ψ k(2) = ∑ al(2)ψ l(0)
{0
Un
当 k’＝k+2πn/a 当 k’≠ k+2πn/a
于是，求得电子的能量为
Ek = E
(0) k
2
+E
(2) k
H k′′k hk = + ∑ (0) 2m k ′≠k Ek − Ek(0) ′
2 2 2
hk = +∑ 2m n ≠ 0
电子波函数为
2
2m U n
2 2
ψ k = ψ k(0) + ψ k(1)
Ek(0) = Ek(0) = Ek(0)2π n / a 时， ′ +
h2k 2 h2 2π n = k + 2m 2 m a
2
即
散射波中，这种成分的振幅变得无限大，一级修正项
太大，微扰不适用了。由上式可求得
nπ 或 nλ = 2 a k=− a 这实际上是 Bragg 反射条件 2asinθ＝nλ 在正入射情况
将以上各展开式代入Schrödinger方程中，得
H 0ψ k(0) = Ek(0)ψ k(0) H 0ψ k(1) + H ′ψ k(0) = Ek(0)ψ k(1) + Ek(1)ψ k(0)
H 0ψ k(2) + H ′ψ k(1) = Ek(0)ψ k(2) + Ek(1)ψ k(1) + Ek(2)ψ k(0)
当 k’ ≠ k 时，
a
(1) k′
H k′′k = (0) Ek − Ek(0) ′
由于一级微扰能量 Ek(1)＝0，所以还需用二级微扰方程来 一级微扰能量 ， 求出二级微扰能量，方法同上。
令
ψ k(2) = ∑ al(2)ψ l(0)
高二物理竞赛能带论基础课件
3
六、En(k)函数的三种布里渊区图象
❖ 简约布里渊区图象 ❖ 扩展布里渊区图象 ❖ 周期布里渊区图象
七、电子能带的对称性
对同一能带:
En k En k + G En k En k En k En k
4
八、简约区中自由电子能带的表示法
自由电子能量：
E(0) n
k
E(0) n
紧束缚模型
结果：
r k
1 N
R
eikR j
rR
E k j J0
J Rs eikRs
Rs 近邻格矢
J Rs 近邻原子间电子波函数的重叠积分，其大小 决定所形成能带的宽度
适用范围：原子的内层电子所形成的能带；过渡金属 的d电子能带；绝缘体、化合物和某些半导 体的价带。
基本原理： 应用：测量半导体导带底附近的电子和价带顶附近的
空穴的有效质量，研究其能带结构。
能脱离晶体而单独存在，只是一种准粒子 ❖ 电子导电性：导带底有一些电子所产生的导电性
空穴导电性：价带顶缺少一些电子所产生的导电性 ❖ 金属中的载流子既可以是电子也可以是空穴
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导体、绝缘体和半导体 ❖ 导带、满带和近满带的导电能力 ❖ 导体、绝缘体和半导体能带结构及其对导电性的影响 ❖ 半导体的本征导电性与非本征导电性 ❖ 金属导体和半导体的本征导电率（或电阻率）随温度
性变化
1
四、近自由电子近似（微扰计算不要求） 近自由电子模型 主要结果
• 离布里渊区边界面较远处，周期场的影响很小； • 在布里渊区边界附近，电子的能量会偏离自由电子
能量，而在布里渊区边界处电子的能量发生突变：
E 2 Un
主要适用于处理金属价电子所形成的能带
第5章-能带理论基础
深能级杂质，是有害的杂质。金属杂质，特别是过度金属 杂质，基本上都是深能级杂质。
中性杂质：硅晶体中有C，（Ge）等杂质，在晶格 位置上，不改变价电子数，不提供电子，也不提供空穴， 呈电中性，在禁带中不引入能级。
杂质的补偿作用
半导体中，同时存在施主杂质（Donor）和受主 （Acceptor）杂质时，施主和受主之间有相互抵消的作 用。
f
(E)
1
1 exp( E
EF
)
k0T
或写成：
f E
1
E EF
e k0T 1
f(E)---费米分布函数；k0—波耳兹曼常数（k = 1.38 × 10−23 J/K）； T—热力学温度（K）EF---费米能级（具有能量量纲），E：电子的能量（eV)
费米分布函数中，若E-EF>>k0T，则分母中的1可 以忽略，上式化为电子的玻耳兹曼分布函数：
直接带隙半导体：导带最小值（导带底）和满带最大值在 k空间中同一位置。电子要跃迁到导带上产生导电的电 子和空穴（形成半满能带）只需要吸收能量。(GaAs、 InP)
直接带隙半导体的重要性质：
当价带电子往导带跃迁时，电子波矢不变，在能带 图上即是竖直地跃迁，这就意味着电子在跃迁过程中， 动量可保持不变——满足动量守恒定律。相反，如果导 带电子下落到价带（即电子与空穴复合）时，也可以保 持动量不变——直接复合，即电子与空穴只要一相遇就 会发生复合（不需要声子来接受或提供动量）。
级升高而逐渐减少，而比EF大的能级，被 电子占据的概率随能级降低而逐渐增大。
随温度升高，电子吸收能量，从低能级跃 迁到高能级，空穴从高能级跃迁到低能级， 电子占据的能级越高，空穴占据的能级就越 低，体系能量升高。
例如： 当E比EF高5k0T有：
中性杂质：硅晶体中有C，（Ge）等杂质，在晶格 位置上，不改变价电子数，不提供电子，也不提供空穴， 呈电中性，在禁带中不引入能级。
杂质的补偿作用
半导体中，同时存在施主杂质（Donor）和受主 （Acceptor）杂质时，施主和受主之间有相互抵消的作 用。
f
(E)
1
1 exp( E
EF
)
k0T
或写成：
f E
1
E EF
e k0T 1
f(E)---费米分布函数；k0—波耳兹曼常数（k = 1.38 × 10−23 J/K）； T—热力学温度（K）EF---费米能级（具有能量量纲），E：电子的能量（eV)
费米分布函数中，若E-EF>>k0T，则分母中的1可 以忽略，上式化为电子的玻耳兹曼分布函数：
直接带隙半导体：导带最小值（导带底）和满带最大值在 k空间中同一位置。电子要跃迁到导带上产生导电的电 子和空穴（形成半满能带）只需要吸收能量。(GaAs、 InP)
直接带隙半导体的重要性质：
当价带电子往导带跃迁时，电子波矢不变，在能带 图上即是竖直地跃迁，这就意味着电子在跃迁过程中， 动量可保持不变——满足动量守恒定律。相反，如果导 带电子下落到价带（即电子与空穴复合）时，也可以保 持动量不变——直接复合，即电子与空穴只要一相遇就 会发生复合（不需要声子来接受或提供动量）。
级升高而逐渐减少，而比EF大的能级，被 电子占据的概率随能级降低而逐渐增大。
随温度升高，电子吸收能量，从低能级跃 迁到高能级，空穴从高能级跃迁到低能级， 电子占据的能级越高，空穴占据的能级就越 低，体系能量升高。
例如： 当E比EF高5k0T有：
能带理论基础
§2 Bloch定理
1、周期场模型 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静 止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外 其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期 场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型 称为周期场模型。
2、Bloch定理 ① 表述： 在周期场中，描述电子运动的Schrödinger方程为
晶体中电子： ψ k ( r ) = eik⋅r uk ( r ) 自由电子： 孤立原子：
ψ k ( r ) = Ae ik ⋅r
ψ ( r ) = Cu ( r )
可以看出，在晶体中运动电子的波函数介于自由电子 与孤立原子之间，是两者的组合。如果晶体中电子的 运动完全自由，则 uk ( r ) = A = const. ；若电子完全 被束缚在某个原子周围，则 eik⋅r = C = const. 。 但实际上晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完 全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有 ψ k ( r ) = eik⋅r uk ( r ) 的形式。周期函数的性质 uk ( r ) 就反映了电子与晶格相互作用的强弱。
∴ψ ( r + Rl ) = eik⋅Rlψ ( r )
（4）定义一个新函数：
= exp ⎡ik ⋅ ( l1a1 + l 2 a2 + l 3a3 )⎤ψ ( r ) ⎣ ⎦
l1 l 2 l 3 1 2 3
l1 1
l2 2
l3 3
uk ( r ) = e
− ik ⋅r
ψ k (r )
uk ( r + Rl ) = e
− ik ⋅( r + Rl )
ψ k ( r + Rl )
=e
能带论计算方法简介共24页
能带论计算方法简介
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
能带理论基础1
在本章中将进一步分析和研究晶体中电子的运动规律。 在本章中讨论电子的运动规律时，与上一章的最大区别就 是：讨论中已经具体地考虑了晶格上的原子对电子运动状态的 影响。 把晶体中电子系统的哈密顿量可写为：
ˆ H Le
2 1 2 i V ( ri Rn ) 2m i 80 i n
Bloch (1905-1983)
1952因核磁共振方面的研究获诺奖
能带论虽比自由电子论有所严格，但仍是一近似理论。
一、布洛赫定理的内容：
布洛赫定理：
方程为：
当势场 V ( r )具有晶格周期性时电子的波函数满足薛定谔
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
固体物理中这个最重要的定理是由一个青年人首先提出的， 1928年 23岁的 Bloch 在他的博士论文“论晶格中的量子力学” 中，最早提出了解释金属电导的能带概念，接着1931年Wilson 用能带观点说明了绝缘体与金属的区别在于能带是否填满，从 而奠定了半导体物理的理论基础，在其后的几十年里能带论在 众多一流科学家的努力中得到完善。
（2）平移对称操作算符的本征值与本征函数：
其中 是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本 征值，引入周期性边界条件。 设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2 和N3分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为 N＝N1N2N3 。 周期性边界条件： r r N a 而
固体能带结构的两种理解:
(1)自由电子图像 + 周期势场的微扰 (近自由电子近似) (2) 原子能级图像 + 晶体场展宽
自由电子 近自由电子近似
(紧束缚近似) Two atoms Six atoms Solid of N atoms
能带论计算方法简介
a
8
3、哈特利-福克近似
通过绝热近似，把电子的运动和原子核的运动分开，得到了多电子薛定谔方程：
引入哈特利波函数 ： 通过哈特利-福克自洽场近似方法，将多电子的薛定谔方程简化为单电子有效势方程：
在哈特利-福克近似中，已包含了电子与电子的交换相互作用，但自旋反平行电子间的排 斥相互作用没有被考虑：在 r 处已占据了一个电子，那么在r’处的电子数密度就不再是 p(r’) 而 应该减去一点；或者说，再加上一点带正电的关联空穴，即还需考虑电子关联相互作用。
在弱周期场近似中，波函数由平面波叠加而成，要使波函数在离子实附近有振荡的特 点，平面波的展开式中要有较多的频率成分，因而收敛很慢，所以平面波方法计算固体能 带实际计算难以进行。
1940年 Herring 提出了OPW方法，取波函数为平面波和紧束缚波函数的线性组合， 并要求与离子实不同壳层紧束缚波函数正交，从而自然地兼顾了波函数在离子实附近以及 在离子之间应有的特征，求解时，往往只需要取几个正交平 面波，结果就很好了。
a
9
4、交换关联泛函的简化
在 Hohenberg-Kohn-Sham 方程的框架下，多电子系统基态特性问题能在形式上转化成有效单 电子问题。该计算方案只有在找出交换关联势能泛函的准确的、便于表达的形式才有意义。
在具体计算中常用 W.Kohn 和 L.J.Sham 提出的交换关联泛函局域密度近似是一个简单可行而又 富有实效的近似。其基本思想是在局域密度近似中，可利用均匀电子气密度函数来得到非均匀电 子气的交换关联泛函。
方法上的简化使大分子系统的研究成可能，酶反应机制的理论计算就是其中典型的实例， 如今，密度泛函方法已经成为量子化学中应用最广泛的计算方法，因此沃尔特·科恩获得了 1998年诺贝奖。
能带理论的基础
称为非定域的交换密度。
这样，Hartree-Fork 方程可重新表述为
2 2 (r ') iHF (r, r ') e2 dr ' i Vi (r ) i (r ) 4 0 r r' 2m Ei i (r )
在这个方程中由于存在非定域的交换作用， 带来了两方面的
一个困难，以使多电子方程化为近似的单电子方程。
HF av (r, r ') 2 HF ( r ) (r, r ') i i i 2 ( r ) i i
以此代替 i ，则 Hartree-Fork 方程可近似写为单电子方程
HF
的形式
HF 2 2 (r ') av (r, r ') e2 dr ' i Vi (r ) i (r ) 4 0 r r' 2m Ei i (r )
2 2 s Vs (R ) (R ) ( E Ee ) (R ) s s 2M s
浸渐近似必然要带来一定的误差， 可以证明， 浸渐近似在波
m m 函数上的误差约为 M ，能量上的精确度约为 M
1/ 2
5/ 4
j ,
r r'
dr '
j (r ')
r r'
* j
2
i
* i
(r ') i (r ') (r ) j (r ) dr ' i (r ) * r r ' i (r ) i (r ) j ,
dr '
(r ')
r r'
§5-2能带论基础
§5-2 能带论基础5. 2. 1 三个重要假设晶体是由大量电子及原子核组成的多粒子系统，但晶体的许多电子过程仅与外层电子有关，因此，可以将晶体看作由外层的价电子及离子实（由内部电子与核构成）组成的系统。
系统中粒子的状态由薛定谔方程：ˆHE ψψ=…………………………………（5-2-1） 的解来描述。
式中ˆH是晶体的哈密顿算符，ψ是晶体的波函数，E 是晶体的能量。
这里晶体的哈密顿算符包括电子的动能算符、离子的动能算符、电子与电子的相互作用算符、离子与离子的相互作用算符以及电子与离子的相互作用算符等，如果晶体由N 个原子组成，每个原子都有Z 个电子，那么薛定谔方程（5-2-1）就包含了3（Z+1）N 个变量，这样，方程的变量数就高达1022~1024（或更高）的数量级。
这样多的方程目前是无法求解的，为此需对方程进行特殊处理。
能带理论就利用了下面的三个近似假设，将多粒子问题简化为单电子在周期场中运动的问题。
能带理论的这三个基本假设是：（1）绝热近似由于离子质量远大于电子质量，故离子的运动速度远小于电子的运动速度。
当原子核运动时，电子极易调整它的位置，跟上原子核的运动。
而当电子运动时，可近似认为原子核还来不及跟上，保持不动。
这样，在考虑电子的运动时，可以认为离子实固定在其瞬时新加坡 ，可把电子的运动与离子实的运动分开处理，称玻恩—奥本哈莫近似或绝热近似。
通过绝热近拟，把一个多粒子体系问题简化为一个多电子体系。
（2）单电子近似多电子体系仍然是一个很大的体系，直接求解式（5-2-1）也有困难，需要进一步简化。
认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里（Hartree ）—福克(Fock)自洽场近似，也称为单电子近似。
单电子近似把一个多电子问题转化为一个单元电子问题。
（3）周期场近似单电子近似使得相互作用的电子系统简化为无相互作用的电子系统。
由于晶格的周期性，我们可以合理地假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性，即U (r )=U (r +R n )，其中R =n 1a 1+n 2a 2+n 3a 3中正格矢。
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