量子力学简介

2 2
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16-7 量子力学简介
第十六章 量子物理
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
d ( x ) 8π m ( E Ep ) ( x) 0 （3） 2 2 dx h
2 2
由于ψ(x)只是 x 的函数，而与时间无关，所以，（3） 式称为在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程。 此方程之所以称为定态，不仅是因为粒子在势场 中的势能只是坐标的函数，与时间无关，而且系统的能 量也为一与时间无关的常量，概率密度 ψψ* 亦不随时 间而改变，这是定态所具有特性。
定态薛定谔方程可写成
8π m 2 ( E Ep ) 0 h 定态波函数 ( x, y, z )
2
2
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第十六章 量子物理
注意：1. 薛定谔方程在量子力学中的地位和作用相当于 牛顿力学方程在经典力学中的地位和作用。是一个基本 方程（如牛顿力学方程、麦克斯韦电磁场方程等）。 薛定谔方程不可能由其他更基本的方程推导出来。 它只能通过某种方式建立起来（薛定谔当初就是“猜” 加“凑”出来的），然后主要看所得的结论应用于微观 粒子时是否与实验相符。
自由粒子平面波函数
Ψ ( x, y ) 0e
i 2 ( vt )
x

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第十六章 量子物理
二
薛定谔方程（1925 年）
自由粒子薛定谔方程的建立 自由粒子平面波函数
Ψ ( x, y ) 0e
2
i 2 ( vt )
x

上式取 x 的二阶偏导数和 t 的一阶偏导数得
2
2
从数学上来说，对于任何能量E，薛定谔方程都有 解，但并非对所有E值的解都能满足物理上的要求。作 为有物理意义的波函数，必须满足
波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . 1）
x, y , z
2
dxdydz 1 可归一化 ;
, , 连续 ; 2）ψ 以及 x y z
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第十六章 量子物理
薛定谔在苏黎世大学时，还有一所更有名的苏黎 世理工学院，那里的德拜教授主持了一个两校人员都 参加的学术讨论会。一次讨论会后，德拜要薛定谔报 告当时深受注意的德布罗意的论文。在下次讨论会上， 薛定谔对德布罗意如何把波与粒子联系起来等作了清 晰而漂亮的说明。报告后，德拜评论说，讨论波动而 没有一个波动方程，太幼稚了。 几星期后，薛定谔又作了一次报告，他开头就说： 我的同事德拜提议要有一个波动方程，好，我已经找 到了一个。 这个波动方程，就是后来在量子力学中著名的 “薛定谔方程”。
* —为 的共轭复数.
在空间某处波函数的二次方跟粒子在该处出现的概 率成正比。
2
Ψ
2
*
正实数
如果在空间某处 Ψ 的值越大，粒子出现在该处的 概率也越大，反之，裤子出现在该处的概率就越小。
然而，无论 Ψ 如何小，只要它不等于零，那么粒 子总有可能出现在该处。 这就是波函数的统计意义。因此，德布罗意波又叫 6 做概率波。
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一
波函数 概率密度
1）经典的波与波函数
机械波
y ( x, t ) A cos 2π(t
x

)
电磁波
E ( x, t ) E0 cos 2π (t )
x

H ( x, t ) H 0 cos 2π (t )
x

经典波为实函数
y ( x, t ) Ae
i 2 π (t
x

)
问: 微观粒子具有波粒二像性, 它的波函数是什么?波函 4 数的物理意义是什么?
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2）量子力学波函数（复函数）
描述微观粒子运动的波函数 微观粒子的波粒二象性
意频率和波长均不变 ， 可认为它是一平面单色波 . 平面单色波波列无限长 ，根据不确定原理 ，粒子在 x方向上的位置完全不确定 .
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在三维势场中运动粒子的定态薛定谔方程
8π m 2 2 2 ( E Ep ) 0 2 x y z h
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 引入拉普拉斯算子 2 x y z
2 2
若粒子只在恒定势场（与时间无关）中运动
Ψ ( x, t ) ( x) (t ) 0 ( x)e
将（2）代入（1）式，得
i 2 πEt / h
（ 2）
在势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
d ( x ) 8π m ( E Ep ) ( x) 0 2 2 dx h
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3）波函数的统计意义 前面学习德wk.baidu.com罗意波的统计解释时指出：在某处德 布罗义波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比 的.
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子的概 率为 2
Ψ dV dV
*
归一化条件：某一时刻在整个空间内发现粒子的概率 为
2 8 π m 2 2. 定态薛定谔方程 ( E Ep ) 0 2 h
不仅可以解得在给定势场中运动的粒子的波函数，从而 知道粒子处于空间某一体积内的概率，而且还可以得到 14 定态时系统的能量。
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8π m 2 ( E Ep ) 0 h
一维运动粒子的含时薛定谔方程
h 2 2Ψ h Ψ （ 1） 2 Ep ( x, t )Ψ i 2 8π m x 2π t 质量为 m 的粒子在势场中运动的波函数 Ψ Ψ( x, t )
若粒子只在恒定势场（与时间无关）中运动
Ep Ep ( x)
则波函数可以分成坐标函数与时间函数的乘积
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薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887~1961）奥地利物理学家. 1906年－1910年，他就学于维 也纳大学物理系。1910年获得博士 学位；1920年到耶拿大学协助维恩 工作；1921年受聘到瑞士的苏黎世 大学作数学物理教授，在那里工作 6年期间提出了薛定谔方程。 1933年，薛定谔与英国物理学家狄拉克分享诺贝 尔奖。 此后，薛定谔还进行了科学哲学、生物物理研究， 出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传 1 结构的稳定性。
本节 结束
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Ψ
2
dV 1
( 束缚态 )
7
满足上式的波函数，称为归一化波函数。
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二
薛定谔方程（1925 年）
在经典力学中，如果知道质点的受力情况，以及质 点在起始时刻的坐标和速度，则由牛顿运动方程可求得 质点在任何时刻的运动状态。
在量子力学中，微观粒子的状态是由波函数描述的， 如果知道了波函数（运动方程），由起始状态和能量， 就可以求解粒子的状态。 自由粒子薛定谔方程的建立
3）ψ（x，y，z）为有限的、单值函数。
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第十六章 量子物理
8π m 2 ( E Ep ) 0 h
2
2
波函数的标准条件：单值的，有限的和连续的 . 令有惊奇的是，根据这些条件，由薛定谔方程 “自然地”、“顺理成章地”就能得出微观粒子的重 要特征——量子化条件。这些量子化条件在普朗克和 波尔那里都是“强加”给微观系统的。
Ψ ( x, t ) ( x) (t ) 0 ( x)e i 2 πpx / h 其中 ( x) e 0
i 2 πEt / h
（ 2）
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一维运动粒子的含时薛定谔方程
h Ψ h Ψ （ 1） 2 Ep ( x, t )Ψ i 2 8π m x 2π t Ψ Ψ( x, t )
2
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薛定谔方程是量子力学的基 本方程，在量子力学中地位和作 用相当于牛顿方程在经典力学中 的地位和作用。 但薛定谔方程也象牛顿方程 一样不能从更基本的方程推导出 来，薛定谔当初中“猜”加“凑” 出来的。其正确与否只能靠实践 来检验。 自量子力学建立以来，大量实践表明，在现代 科学领域中薛定谔方程是正确的。
Ψ 4π p Ψ 2 2 x h
2 2
Ψ i 2π EΨ t h
E Ek
2 2
自由粒子
(v c)
p 2mEk
2
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
h Ψ h Ψ 2 i 2 8π m x 2π t
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第十六章 量子物理
若粒子在势能为Ep 的势场中运动 E Ek Ep
自由粒子平面波函数
自由粒子能量 E 和动量 p 是确定的，其德布罗
Ψ( x, y, z, t ) h E p h
Ψ ( x, y ) 0e
i 2 ( vt )
x

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第十六章 量子物理
3）波函数的统计意义 概率密度 ：表示在某处单位体积内粒子出现的概率.