2013数学公式

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数学物理方法_2013_5_5

t 0 t 0
2 ( x), 2 ( x);
1 2 , 1 2
相应的两解
u1 和 u2 的差为
1 1 [1 ( x at ) 2 ( x at )] [1 ( x at ) 2 ( x at )] 2 2 u1 u2 x at 1 x at ( 1 ( )d 2 ( )d ) x at 2a x at
f1 ( x) f 2 ( x) ( x) af1( x) af 2( x) ( x)
由此可得，
f1 ( x) f 2 ( x) ( x) 1 x f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a x0
1 1 x 1 f1 ( x) ( x) ( )d C x 2 2a 0 2 f ( x) 1 ( x) 1 x ( )d 1 C 2 2 2a x0 2
端点的影响表现为反射波，反射波的相位跟入射波相反，即半波损失。
2、三维波动问题的球面对称解—未知函数的代换
utt a 2 u 0 u t 0 (r ) u t t 0 (r )
t 0, r 0
解：令 u u (r , t ) ，球坐标系下的泛定方程为，
假设该瞬时力引起的振动为 u ( x, t ; )，则 u ( x, t ; ) 的定解问题为
{
utt ( x, t ; ) a 2u xx ( x, t ; ) f ( x, ) (t )d u ( x, t ; ) ut ( x, t ; )
t 0
0 0
(I)
t 2b a
1 1 u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) t b 2 2 a b 初始位移引起的波动一分为二，分 t 2a 别向左和向右传播

2013高考备考-高中数学常用公式及常用结论

高中理科数学知识点与方法总结1.研究集合，一定要抓住集合元素的三种特征：“确定性、互异性、无序性．．．．．．．．．．．”．如：已知集合{}xy xy x A lg ,,=,集合{}y x B ,,0=,且B A =,则=+y x ． 2．元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.3．包含关系A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=4.研究集合,首先必须弄清代表元素．．．．．．．．,才能理解集合的意义．如：集合{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，lg |),(lg |lg |======中元素各表示什么？又如：已知集合{}R x x y y M ∈==,2，{}R x x y y N ∈+==,12，求N M ⋂；与集合(){}R x x y y x M ∈==,,2，(){}R x x y y x N ∈+==,1,2求N M ⋂的区别．5．集合A 、B ，∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集B A ⊆时是否忘记∅.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况．．．．．．．．．．．．．．．．（空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集），要注重借助数轴和韦恩图解集合问题．例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了2=a 的情况了吗？又如：集合{}{}1,0322===--=ax x B x x x A ，若A B ⊆，则实数a 的值构成的集合为____．答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧310,1-，6．注意下列性质：（1）对于含有n 个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n22-n ．（2）；，B B A A B A B A ==⇔⊆ （3）德摩根定律：()()()B C A C B A C U U U ⋂=⋃，()()()B C A C B A C U U U ⋃=⋂．7．你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）a M M M ax ax x ，求实数且，若的解集为的不等式如：已知关于∉∈<--53052的取值范围．解：02555,5,0953,3≥--∴∉<--∴∈a a M a a M 又，得()25,935,1⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈a ． 8．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式 2()(0)f x ax bx c a =++≠；(2)顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)零点式 12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.9.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要非充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k ab k k <-<+. 10.求闭区间上的二次函数的最值基本思路：①对称轴不在区间内时，函数在区间上具有单调性．．．，可由此求得； ②对称轴在区间内时，其中一个最值一定在对称轴处．．．．取到，另一个最值要分成对称轴在区间中点的左侧时，最值在区间右端点处．．．．取到，对称轴在区间中点右侧时，最值在左端点处．．．．取到． 11.一元二次方程02=++c bx ax 的实根分布理论依据．．．．：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根. 方程根的分布无外乎两种情况：①βα,分居两区间时，只需考虑区间端点处函数值的符号；②βα,居同一区间时，不但要考虑区间端点处函数值的符号，还要考虑判别式及对称轴的范围. 12.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L 上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是mi n (,)0()f x t x L ≥∉. (2)在给定区间),(+∞-∞的子区间L 上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉. 13.真值表结论：q p ∧一假必假；q p ∨一真必真；p ⌝与p 真假相反. 14.15.（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.四种命题的相互关系注意：互为逆否关系的命题是等价命题：原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假．17.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 18.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数；如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数，即“同增异减”.如：求()x x y 2log 221+-=的单调区间．答案：()x f 在(]1,0上递减，在[)2,1上递增．19.奇偶函数的图象特征①奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． ②多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零；多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 20．函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（1）()x f 定义域关于原点对称；（2）若()()x f x f =-成立⇔()x f 为偶函数⇔函数图象关于y 轴对称；若()()x f x f -=-成立⇔()x f 为奇函数⇔函数图象关于原点中心对称；注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；（2）奇函数在0=x 处有定义，则()00=f ．如：若()1222+-+=xa ax x f 为奇函数，则实数=a ______．答案：1=a 又如：()x f 是定义上在()1,1-上的奇函数，当()1,0∈x 时，()142+=x xx f ，求()x f 在()1,1-上的解析式．答案：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+=-∈+-=1,0,1420,00,1,142x x x x f x x xx21．对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？一对一，多对一，允许B 中有元素无原象．22．函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？定义域、对应法则、值域．23．函数图象的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或()()x f x a f =-2，那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数．⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=)0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.注意：若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.⑥若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.⑦对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=；两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. ⑧若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称；若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.24．求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数()23lg 4--=x x x y 的定义域为________．答案：()()()4,33,22,0⋃⋃25．如何求复合函数的定义域？如：函数()x f 的定于域是[]()0,>->a b b a ，则函数()()()x f x f x F -+=的定义域为_____．答案：[]a a -, 又如：函数()x f 的定义域是[]1,0,求()x f 5.0log 的定义域. 26．如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）27．如何利用导数判断函数的单调性？在区间()b a ,内，若总有()0≥'x f ，则()x f 为增函数（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对.若总有()0≤'x f 呢？如：已知0>a ，函数()ax x x f -=3在[)+∞,1上是单调增函数，则a 的取值范围为______．答案：3≤a ． 28．你熟悉周期函数的定义吗？①若存在非零常数T ，在定义域内总有()()x f T x f =+，则()x f 为周期函数，()0,≠k kt T 是其周期． ②两种常见函数的周期：（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f 和1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠，则)(x f 的周期T=a 2．如：若()()x f a x f -=+，则()x f 的周期为______．答案：a T 2=又如：若()x f 的图象有两条对称轴()()()()),(,x b f x b f x a f a x f b x a x -=+-=+⇔==，则()x f 是以 ______为周期的函数．答案：b a -2 29．你掌握常用的图象变换了吗？)()()0()0()(a x f y a x f y a a a a x f y -=+=>−−−−−−−−→−>=个单位右移个单位左移图象将上移个单位下移个单位b b b b y f x a b y f x a b()()()()>−→−−−−−−−−>=++=+-00注意如下“翻折”变换：f x f x f x f x ()()()(||)−→−−→−如：作出()()1log 2+=x x f ，()()1log 2+=x x f ，()1log 2+=x x f 的图象． 30．你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？（1）一次函数：()0≠+=k b kx y ；（2）反比例函数：()0≠=k x ky ，推广为()0≠-+=k ax k b y 是中心()b a O ,的双曲线；（3）二次函数：()a b ac a b x a a c bx ax y 4420222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=≠++=的图象为抛物线；顶点坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，，对称轴a b x 2-=；开口方向：0>a ，向上，a b ac y 442min -=；开口方向：0<a ，向下，ab ac y 442max-=．应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程0,02>∆=++c bx ax 时，两根21,x x 为二次函数()c bx ax x f ++=2的图象与x 轴的两个交点，也是()002<>++c bx ax 解集的端点值；②求闭区间],[n m 上的最值；③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题；④一元二次方程根的分布问题：根分居在两个不同区间和根分居在同一区间两种情况；⑤“实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=∆ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当0=a 时，“方程有解”不能转化为042≥-=∆ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？（4）指数函数：()1,0≠>=a a a y x ；由图象记性质，底数大于零且不等于1，字母底数还需要讨论，值域为()∞+，0. （5）对数函数：()10log ≠>=a a x y a ，；由图象记性质，真数大于零，底数大于零且不等于1，字母底数还需讨论. （６）“勾函数”：()0>+=a xax y ；利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？该函数在(]a -∞-,和[)+∞,a 上单调递增；在[)0,a -和(]a ,0上单调递减．这可是一个应用广泛的函数！ 31．几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+. 32．你在基本运算上常出现错误吗？（1）分数指数幂：m na=0,,a m n N *>∈，且1n >）；(2)1mnm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.（2）根式的性质：n a =当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.（3）有理指数幂的运算性质(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈；()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈；()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注：若0>a，p 是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.（4）指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.（5）对数的换底公式log log log m a m N N a =(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).特别地，ab b a log 1log =为倒数公式.推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). （6）对数的四则运算法则若0>a ，，0,0,1>>≠N M a 则(1)log ()log log a a a MN M N =+；(2) log log log a a a MM N N=-；(3)log log ()n a a M n M n R =∈. （7）对数恒等式与指数恒等式对数恒等式：b aba =log ；指数恒等式：Nb N a =log .（8）设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆；若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形则需要单独检验. 33．如何解抽象函数问题？赋值法、结构变换法如：R y x ∈,，()x f 满足()()()y f x f y x f +=+，证明()x f 为奇函数．先令0==y x ；再令x y -=即可得结论．又如：R y x ∈,，()x f 满足()()()y f x f xy f +=，证明()x f 为偶函数．先令t y x -==，再证()()t f t f =-即可得结论．又如证明单调性：可作这样的变形()()[]2122x x x f x f +-=等等．34．掌握求函数值域的常用方法了吗？常用方法：二次函数法，配方法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等．如求下列函数的最值：（）123134y x x =-+-[]()πθθ，，设）（0cos 39442∈=-++=x x x y ；（），，54901y x xx =+∈(]. 35．平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.36．你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？22121R R l S R l αα===扇，． 37如：若⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,8πθ，则θθθtan ,cos ,sin 的大小顺序是_____． 38．你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？yxO-π2 π2π y t g x =对称点为，，k k Z π20⎛⎝ ⎫⎭⎪∈()()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ02=+∈． []()y x k k k Z =+∈cos 的增区间为，22πππ；[]()减区间为，222k k k Z ππππ++∈；()图象的对称点为，，对称轴为k x k k Z πππ+⎛⎝ ⎫⎭⎪=∈20．、y x k k k Z =-+⎛⎝ ⎫⎭⎪∈tan 的增区间为，ππππ22．正切函数在整个定义域内是否为单调函数？别忘了k ∈Z ！39．正弦函数()()φωϕω+=x A y cos (+x Asin =y 的图象与性质．（1）振幅A ，周期ωπ2=T ，相位φω+x ．若()A x f ±=0,则0x x =为对称轴；若()00=x f ，则点()0,0x 为对称点．反之也对．（2）五点作图：利用ππππϕω22320，，，，=+x 得出点()y x ,再描点作图象．（3）根据图象求解析式，关键是求φω,,A ．如图列出ωϕωϕπ()()x x 1202+=+=⎧⎨⎪⎩⎪注意：正切函数()||tan ωπϕω=+=T x A y ，． 40．在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围．如：已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=⎪⎭⎫⎝⎛+23226cos πππ，，x x ．求x 的值． ππππππππ12134563566723==+<+<<<x x x x ∴，∴，∴，∵． 41．在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的定义域和有界性了吗？如：已知x x y sin sin +=的值域是_____．答案：[]2,2-∈y 42．熟练掌握三角函数图象变换了吗？可先后按平移变换、伸缩变换、振幅变换作图如：的才能得到的图象经过怎样的变换函数x y x y sin 142sin 2=-⎪⎭⎫⎝⎛-=π图象？解析：14212sin 2142sin 22-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=−−−−−−−−−→−-⎪⎭⎫⎝⎛-=ππx y x y 倍横坐标伸长到原来的x y sin 21=−−−−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的注意：平移变换时，每次平移量是针对一个字母x 而言的．43．熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？（1）“1”的代换：如： ====+=0cos 2sin4tancos sin 122ππαα称为1的代换．（2）诱导公试：奇变偶不变，符号看象限“奇”、“偶”指k 取奇、偶数．（3）同角关系公式：商的关系，倒数关系，平方关系．22sin cos 1θθ+=（1的代换、沟通θθcos ,sin ），tan θ=θθcos sin （弦切互化）. ()如：costan sin 947621πππ+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+=．44．熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：()sin sin cos cos sin sin sin cos αβαβαβαβααα±=±=−→−−−=令22()c o s c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n αβαβαβαβααα±==−→−−−=- 令222()t a n t a n t a n t a n t a n αβαβαβ±=±1 · =-=-⇒211222c o s s i n ααt a n t a n t a n 2212ααα=-c o s c o s s i n c o s 22122122αααα=+=-45．化一公式：()abb a b a =++=+ϕϕαααtan sin cos sin 22，其中（其中θ角所在的象限由 ()b a ,的符号确定．如：sin cos sin αααπ+=+⎛⎝⎫⎭⎪24；sin cos sin αααπ+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪323． 46．应用以上公式对三角函数式化简．（1）化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值的式子尽可能求出值．（2）解题时本着“三看”的基本原则来进行:看角．．,．看函数．．．,．看特征结构．．．．．．基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次等．恒等变形中要特别注意角的各种变换．如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222；名的变换：弦切互化；次数的变换：升、降幂公式【降幂公式22cos 1sin ,22cos 1cos 22xx x x -=+=】．形的变换：统一函数形式（转化出现特殊角），注意运用代数运算．特殊角的函数值：41518sin ,42615cos 75sin ,42675cos 15sin -=︒+=︒=︒-=︒=︒．其他的象 3,4,6πππ的三角函数值要熟记于心．如：已知()32tan ,12cos 1cos sin -=-=-βαααα，求()αβ2tan -的值．答案：8147.常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<；(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.48．正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化而解斜三角形？（1）正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为三角形外接圆半径）；应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角．（2）余弦定理2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-；（3）面积定理111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. 111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.（4）三角形内角和定理①在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. ②()()2cos 2sin cos cos ,sin sin C B A C B A C B A =+-=+=+，．注意：应用以上定理时要用到内角和定理和边角关系（大边所对的角较大，反之也成立）．如：．中，在12cos 2sin 22=++∆C BA ABC (1)；求角C (2)的值．，求若B A c b a 2cos 2cos 2222-+= 解析：(1)()11cos 2cos 12=-++-C B A 由已知式得：，又，∴A B C C C +=-+-=π2102cos cos∴或（舍）cos cos C C ==-121，又，∴03<<=C C ππ(2)得：由正弦定理及22221c b a += 223342222sin sin sin sinA B C -===π， 121234--+=cos cos A B ∴）cos cos 2234A B -=-49．不等式的性质有哪些？（1）bcac c bc ac c b a <⇒<>⇒>>00，；（2）d b c a d c b a +>+⇒>>，；（3）bd ac d c b a >⇒>>>>00，；（4）ba b a b a b a 110110>⇒<<<⇒>>，； (5)n nnnb a b a b a >>⇒>>，0；(6)()a x a x a x a x a a a x >-<⇔><<-⇔><或，||0||．注意：（1）同向不等式不能相减；（2）不等式的解集的规范书写格式一般要写成集合的表达式． 50．常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）二维形式柯西不等式：22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）绝对值三角不等式：b a b a b a +≤+≤-. 51.均值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s .使用时必须满足三个条件：一正、二定、三相等，对等号不成立时可转化为研究单调性求解最值． 52．注意如下结论： ①()+∈+≥≥+≥+R b a ba abab b a b a ，22222，时等号成立当且仅当b a =； ②()a b c ab bc ca a b R 222++≥++∈，，时取等号当且仅当c b a ==；如：已知xx x 320-->，的最大值为______．答案：34-2 又如：y x y x 4212+=+，的最小值为______．答案：2253．一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间．．．．．．．．．．．．．. 121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.54.含有绝对值的不等式当0>a 时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<；22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.55.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>；()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩. (2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<；()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩. 注意：均是利用指数函数、对数函数的单调性求解，不要忘记对数的真数要大于零. 57．不等式证明的基本方法都掌握了吗？常用方法：比较法、分析法、综合法、数学归纳法等，并注意简单放缩法（合理放缩即可）的应用．如：证明：2131211222<++++n…．析：()（…………112131111212311222++++<+⨯+⨯++-n n n ）＝……21211131212111<---++-+-+=n n n ． 58．分式型不等式()0)()(≠>a a x g x f 求解的一般步骤：移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果． 59．用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶围”，从最大根的右上方开始．()()()如：x x x +--<112023．60．解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论（1）特别是指数和对数的底10<<a 或1>a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……．（2）解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 61．对含有两个绝对值的不等式如何去解？找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集．必须注意：．．．．．一般是根据．．．．．绝对值代数．．．．．定义分类讨论．．．．．．．如：解不等式11|3|<+--x x ．答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 解集为 62．会用绝对值不等式||||||||||b a b a b a +≤±≤-求简单的最值问题吗？例如：的取值范围是恒成立，则，若对于一切实数a a x x x >++-23______．答案：5<a 63．不等式恒成立问题常用的处理方式是什么？可优先采用分离参数法或可转化为函数的最值问题，或使用“△”处理，但要注意验证等号成立的条件．的最小值恒成立如：)()(x f a x f a <⇔<；的最大值恒成立)()(x f a x f a >⇔>； a f x a f x >⇔>()()能成立的最小值；的最大值能成立)()(x f a x f a <⇔<．64．数列的通项公式与前n 项的和n S 的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ).一定要验证1=n 的情形. 65.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-()⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(11)1(n 11q qq a q na S n n 项和：前66.等比数列的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q -==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.要注意对公比为字母时的讨论！67.等比差．．．数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11nn n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 68．等差数列的性质（1）等差中项：y x A y A x +=⇔2成等差数列，，．（2）；，则若q p n m a a a a q p n m +=++=+(3){}{}{}仍为等差数列；，，数列b ka a a n n n +-212 S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--(4)；，，可设为若三个数成等差数列，d a a d a +-若为四数则可设为a-d 23、a-d 21、a+d 21、a+d 23；(5) 若n a ,n b 是等差数列,n S ,n T 分别为n a ,n b 的前n 项和,则1m 21m 2m m T S b a --=； (6){}的常数项为为常数，是关于，（为等差数列n b a bn an S a n n +=⇔20的二次函数，公差是a 2）．如：等差数列{}===++=--n S a a a S a n n n n n ，则，，，1318321．答案：27=n13331121==⇒=++----n n n n n a a a a a ∴，由；()31133222313===+=a aa a S ∴，·又()()∴·S a a n a a n nn n n =+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12122131218．27=∴n ．69．等差数列前n 和与最值（1）在等差数列中,求S n 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a 1 >0,d<0,解不等式组a n ≥0 且a n+1 ≤0 可得S n 达最大值时的n 的值；当a 1 <0,d>0,解不等式组 a n ≤0且a n+1 ≥0 可得S n 达最小值时的n 值．（2）从二次函数这个角度求最值，要注意对称轴只能取正整数． 70．等比数列的性质（1）xy G xy G y G x ±==⇒，或成等比数列、、等比中项：2；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅；（3）k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比数列；（4）等比数列的一个求和公式n m m n m S q S S +=+；71．你熟悉求数列通项公式n a 的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法：{}()152212121221+=+++n a a a a n n n ……满足，求n a ．解：1451221111=+⨯==a a n ∴，时，，()2512212121211221+-=+++≥--n a a a n n n ……时， ()()22121=-n n a 得：，∴a n n =+21，∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()．又如：{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534． 4111=-=+++nn n n n S SS S a 代入得：注意到，{}又，∴是等比数列，S S S n n n 144==．11432--==-=≥n n n n S S a n ·……时，．（2）叠乘法()n n na a a n f a a ，求由011,==-，用叠乘法．例如{}n nn n a n na a a a ，求，中，：数列1311+==+ 解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-=，又，∴a a n n 133==．（3）等差型递推公式，，求，由n n n a a a n f a a 011)(==--用叠加法． n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n -=+++123()()()……．)()3()2(0n f f f a a n ++++=……∴．又如：{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--．答案：()1321-=nn a （4）等比型递推公式()0101≠≠≠+=-d c c d c d ca a n n ，，为常数，、()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1 ()⇒=+--a ca c x n n 11，令，∴()c x d x dc -==-11． ∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d c c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111，∴·a d c a d c c nn +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111． ∴a a d c c d c n n =+-⎛⎝ ⎫⎭⎪---1111．如：{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+．答案：13481+⎪⎭⎫⎝⎛-=-n n a ．（5）倒数法例如：，，求a a a a a n nn n 11122==++．由已知得：1221211a a a a n n n n +=+=+，∴11121a a n n +-= ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为()()∴=+-=+11112121a n n n ·，∴a n n =+21． 72．你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项．如：{}∑=+nk k k n a a d a 111的等差数列，求是公差为．解：()()由·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪≠得∑∑=+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=nk k kn k k k a a d a a 11111111 =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎛⎝ ⎫⎭⎪++11111111111223111d a a a a a a d a a n n n ……又如：求和n +++++++++++…………321132112111．答案：112+-=n S n ．（2）错位相减法：一般情况下可以转化为裂项相消法．．．．．．．．．．求解，要简便得多．若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n b a （差比数列）前n 项和，可由n n qS S -求n S ．如：()14321132-+++++=n n nx x x x S ……；()()214321432n n n nx x n x x x x S x +-+++++=-……·()()()nn n nx xxx S x -++++=--12112-1……：：()()x S x x nx xnnn≠=----11112时，；()x S n n n n ==++++=+112312时，……．（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加．⎭⎬⎫++++=++++=--121121a a a a S a a a a S n n n n n n …………相加可得()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-…………．例如：已知=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=41)4(31)3(21)2()1(1)(22f f f f f f f x x x f ，则．答案：27 73．你知道储蓄、贷款问题吗？△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p 元，每期利率为r ，n 期后，本利和为：()()()()S p r p r p nr p n n n r n =++++++=++⎡⎣⎢⎤⎦⎥112112…………等差问题△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n 次还清．如果每期利率为r （按复利），那么每期应还x 元，满足()()()p r x r x r x r x n n n ()111112+=+++++++--……()()()=-+-+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=+-x r r x r rn n111111，()()∴x pr r r nn=++-111．p ——贷款数，r ——利率，n ——还款期数74．若{n a }是等差数列，则{n a a }是等比数列，若{n a }是等比数列且0>n a ，则{n a a log }是等差数列. 75.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ . 76.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯ . 77.排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注：规定1!0=.78.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 79.组合数的两个性质(1)m n C =m n n C - ；(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.注：规定10=n C .80.组合恒等式（1）11m m nn n C C m --=；（2）∑=nr r n C 0=n 2；（3）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ；(4)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ ；(5)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C ； (6)r n m r n m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 ；（7）排列数与组合数的关系是：m nm n C m P ⋅=！． 81.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率．（1）从中任取2件都是次品；答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==152210241C C P（2）从中任取5件恰有2件次品；答案：P C C C 242631051021==⎛⎝ ⎫⎭⎪ （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n ＝103；而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”，∴·m C =+32213464，∴··P C 3322334641044125=+=（4）从中依次取5件恰有2件次品．解析：∵一件一件抽取（有顺序），∴，n A m C A A==105425263，∴P C A A A 44252631051021==．如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为_______．答案：61525410C C C ．分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题． 82．解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题分堆法；选取问题先取后排法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果．以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种；②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.83．二项式定理（1）二项式定理展开式：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(．（2）二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =．注意：rn C 是二项式系数，要区别于二项展开式系数即项的系数．（3）性质：()n r C C r n n r n ，……，，，对称性：210==-；n nn n n C C C 210=+++…系数和：； 14205312-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ……．（4）最值：n 为偶数时，1+n 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第项式为偶数，中间两项的二为奇数时，；项，二项式系数为)1(122+⎪⎭⎫⎝⎛+n n C n nn 212112121+-=+++n n n n C C n n 项，其二项式系数为项及第系数最大即第．()（用数字作答）的项系数为的展开式中，系数最小如：在二项式111-x11n ＝∵，∴共有项，中间两项系数的绝对值最大，且为第或第项1212267= 由，∴取即第项系数为负值为最小：C x r r r r 1111156--=()-=-=-C C 116115426．()()，则……又如：R x x a x a x a a x ∈++++=-200420042210200421()()()()a a a a a a a a 010********++++++++=……（用数字作答）．100==a x ，得：令；令，得：……x a a a =+++=11022004．()200411200320032004100=+⨯=++++=a a a a ……原式∴．此类题型赋值法处理．84．你对随机事件之间的关系熟悉吗？（1）0)(1)==Ω(ΩφφP P ，，不可能事件，必然事件；（2）A B B A B A 包含发生”称发生必导致，“包含关系：⊂；（3）B A B A B A B A 与至少有一个发生”叫做与“或事件的和（并）： +的和（并）；（4）的积与同时发生”叫做与“或·事件的积（交）：B A B A B A B A ；（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与B 不能同时发生”叫做A 、B 互斥，即φ=⋂B A ；（6）对立事件（互逆事件）：A ，记作发生的对立（逆）事件不发生”叫做“A A ；注意：A A A A ==Ω，φ．（7）独立事件：A 发生与否对B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．也相互独立与，与，与独立，与B A B A B A B A ．85．对某一事件概率的求法：有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)，转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率，看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件．等可能性事件的概率()m P A n=. 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).n 个独立事件同时发生的概率P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).kkn kn n P k C P P -=-86.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)i P i ≥= ；（2）121P P ++= .87.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++88.数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. 89.方差与标准差（1）()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+ （2）σξ=ξD . 90.方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. 91.方差与期望的关系()22D E E ξξξ=-.92.正态分布密度函数()()()226,,x f x x μ--=∈-∞+∞，式中的实数）（，0>σσμ是参数，分别表示个体的平均数与标准差．．．．．．．. 特别地：标准正态分布密度函数()()22,,xf x x -=∈-∞+∞.93.回归直线方程y a bx =+，其中()()()1122211nni i i ii i n ni ii i x x y y x y nx yb x x xnx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑.注意：回归直线必过样本中心()y x ,.94.相关系数()()niix x y y r --=∑()()niix x y y --=∑注意：175.0<≤r ，且r 越接近于1，相关程度越大；r 越接近于0，相关程度越小.95．抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性．96．对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差．样本平均值：()n x x x nx +++= (211)；样本方差：()()()[]2222121x x x x x x n S n -++-+-=……．97．要熟悉样本频率直方图的作法：()；）算数据极差（min max 1x x -（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图．其中，频率小长方形的面积组距×频率组距==．。

离散数学重要公式定理汇总

⑴ 交换律对任何集合A、B，有AB=BA。 ⑵ 结合律对任何集合A、B、C，有 (AB)C=A(BC)。教材里有证明。 ⑶ 同一律对任何集合A，有AΦ=A。 ⑷ 对任何集合A，有AA=Φ。 ⑸ ∩对可分配 A∩(BC)=(A∩B)(A∩C)
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如：在实数集合中,“”是自反关系，因
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
2013-12-16
8
conjunction
一、全功能真值表
2013-12-16 10
normal form
主析取范式定义析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？主析取范式的写法方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。

2013届高三数学知识点及公式整理

第1讲集合1．集合的有关概念：（1）集合：某些指定对象的全体．（2）集合中元素三大特征：①元素的互异性；②元素的无序性；③元素的确定性．（3）集合的分类：①有限集；②无限集．（4）集合的表示：①列举法；②描述法；③图象法；④韦恩图法．2．元素与集合、集合与集合之间的关系（1）元素与集合：∈或∉．（2）集合与集合之间的关系①、包含关系Ⅰ、子集：如果B x A x ∈⇒∈，则A 是B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇ 性质：，A ⊆Φ．子集个数：如果一个集合中含有n 个元素，那么它的子集个数为n 2个；真子集个数为n 2一1个；非空真子集个数为n 2一2个．Ⅱ、全集：如果集合S 含有所研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示．②、相等关系：对于两个集合A 、B ，如果B A ⊆，且A B ⊆，那么就说集合A 和集合B 相等，记作B A =．③、真子集关系：对于两个集合A 、B ，如果B A ⊆，且B A ≠就集合A 是集合B 的真子集．④、运算关系Ⅰ、交集： =B A {}B x A x x ∈∈且,；Ⅱ、并集{}B x A x x B A ∈∈=或, Ⅲ、补集{}A x S x x A C S ∉∈=且,3．集合与集合之间的逻辑关系（1）交集的运算性质①,A B B A =,A A A = φφ= A ，②A B A ⊆ ，B B A ⊆ ，③B A A B A ⊆⇔= ．（2）并集的运算性质①A B B A =，A A A = ，Φ=Φ A ； ②A B A ⊇ ，B B A ⊇ ； ③A B A B A ⊆⇔= ．（3）补集的运算性质：A A C C U U =)(，U A C A U = ，φ=A C A U（4）分配律，结合律：C B A C B A )()(=，)()(C B A C B A =； )()()(C A B A C B A =，)()()(C A B A C B A =．（5）反演律（摩根法则）B C A C B A C U U U =)(，B C A C B A C U U U =)(．（6）传递性：若集合B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆（7）并集、交集中元素个数公式：()()()()B A B A B A card card card card -+=第2讲常用逻辑用语1．命题的概念：（1）定义：可以判断真假的语句叫做命题；用语言、符号或式子表达的而且能够判断其真假的语句叫做命题．关于数学内容的命题叫做数学命题．（2）构成：一个命题是由题设（条件）和结论两部分构成的．（3）真假命题：命题从正确与否来分，可分为真命题与假命题．2．命题与数学中的定义、公理、公式、定理和关系数学中定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：（1）命题有真假之分，而定理都是真的；（2）命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．3．逻辑联结词“或”、“且”、“非”“或”、“且”、“非”的含义在集合中分别相当于“并集”、“交集”、“补集”．4．简单命题与复合命题：（1）简单命题：不含逻辑联结词（“或”、“且”、“非”）的命题叫做简单命题．（2）复合命题：由简单命题与逻辑联结词（“或”、“且”、“非”）构成的命题叫做复合命题5．真值表6．命题的四种形式及相互关系（1）命题的四种形式原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若p ⌝则q ⌝；逆否命题：若q ⌝则．注意：一个命题，一定要准确找出其条件和结论．交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．否定命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题．否命题不是对原命题的否定（如命题p 的否定是非p ，只是对否定命题的结论．）．交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题．（2）四种命题的关系注意：①两个命题是条件与结论换位的，称为互逆命题；两个命题是条件与结论换质的，称为互否命题；两个命题是条件与结论既换位又换质的，称为互为否逆命题．②原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．③注意区分“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念．命题的否定p 的否定是非p ，记作p ⌝，一般只是否定命题p 的结论；否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否定它的结论．④一个命题的真假与其它三个命题的真假关系：（ⅰ）原命题为真，它的逆命题不一定为真；（ⅱ）原命题为真，它的否命题不一定为真；（ⅲ）原命题为真，它的逆否命题一定为真；（ⅳ）逆命题为真；否命题一定为真．7．充分条件与必要条件如果A 成立，那么B 成立，即A ⇒B ，这时就说条件A 是B 成立的充分条件，B 叫做A 的必要条件．如果A 既是B 的充分条件，又是B 的必要条件，即A ⇒B ，且B ⇒A ，可记作A ⇔B ，那么A 叫做B 成立的充分而且必要条件，简称充要条件．8．充分条件与必要条件的判断充分条件、必要条件、充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题中条件与结论之间关系的．（1）从逻辑推理观点看，对于命题“若p 则q ”：若p ⇒q ，且q ≠>p ，则p 是q 的充分而不必要条件；若q ⇒p ，且p ≠>q ，则p 是q 的必要而不充分条件；若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 充要条件；若p ≠>q ，且q ≠>p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．注意：①充要条件的同义语：“等价于”、“当且仅当”、“必需且只需”、 “……反过来也好”等；②数学中的每一个数学概念都是用充要条件来定义的，反过来，每个数学概念都可以看成充要条件，当作判断依据或概念所具有的性质．（2）从集合观点看，建立命题p 、q 相应的集合．p ：)(|{x p x A =成立}，q ： )(|{x q x B =成立}，那么：若B A ⊆，则p 是q 的充分条件；若B A ⊂（⊂表示真子集），则p 是q 的充分而不必要条件；若A B ⊆，则p 是q 的必要条件；若A B ⊂，则p 是q 的必要而不充分条件；若B A =，则p 是q 充要条件；若B A ⊄，且A B ⊄（⊄表示不是子集），则p 是q 的既不充分也不必要条件．（3）判断充要条件的方法：①定义法；②逆否法；③集合法．逆否法：若B A ⌝⇒⌝，则A 是B 的必要条件，B 是A 的充分条件；若B A ⌝⇒⌝，且B ⌝A ≠〉⌝，则A 是B 的必要非充分条件；若B A ⌝⇔⌝，则A 与B 互为充要条件；若B A ≠〉⌝⌝且B ⌝A ≠〉⌝，则A 既不是B 的充分条件，也不是B 的必要条件．（3）一些常用下面叙述的词语及它的否定词语：9．全称量词与存在量词：（1）定义：（2）常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“都”、“任给”、“所有的”等．（3）常见的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”．（4）全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题.第3讲函数的概念与解析式1．函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某个对应关系f ，使对于集合A 中的（每一个元素x ），在集合B 中都有（惟一元素y ）和它对应，那么就称f ：B A →为从A 到B 的一个（函数），记作．（))((A x x f y ∈=）2．对于函数))((A x x f y ∈=，其中叫做自变量，x 的取值范围A 叫做（函数的定义域）；与x 的值相对应的y 值叫做（函数值），函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的（值域）．3．函数的三要素：、、．（定义域；对应法则；值域）．4．函数的三种表示：、、．（列表法、解析法和图象法；分段函数）．5．在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫（分段函数）．6．分段函数的定义域是各段定义域的（并集），其值域是各段值域的（并集）．7．映射的概念：设A 、B 是两个非空数集，如果按照某个对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有（惟一的确定元素）与之对应，那么，这样单值对应叫做从A 到B 的（映射）记作（f ：B A →）．8．由映射的定义可以看出，映射是（对应）概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A 、B 必须是（非空数集）．注意：（1）函数的解析式=对应法则+定义域；（2）不管用什么方法求解析式一定要注意的它的取值范围；（3）研究函数必须具有“定义域意识”即不论研究什么函数，首先要研究其定义域（解题亦如此）第4讲函数的值域与最值1．函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域，都应考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可直接由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域．（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里是一次式时用代数换元，当根式里是二项式时，用三角换元．（3）反函数法：利用函数)(x f 与其反函数)(1x f -的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形为)0()(≠++=a bax d cx x f 的函数值域可采用此法求得．（4）配方法：对于二次函数或与二次函数有关的函数的值域可考虑用配方法．（5）不等式法求值域：利用基本不等式),0(,(2+∞∈≥+b a ab b a 可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”，有时需用到平方等技巧．（6）判别式法：把)(x f y =变形为关于x 的方程，利用“0≥∆”求值域．其题型特征是解析式中含有根式或分式．其中是分式时分母恒不为零．（7）利用函数的单调性求值域：当能够确定函数在其定义域（或某个定义域的子集上）的单调性时可采用单调性法求值域．（8）数形结合法求函数值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域．第5讲函数的奇偶性与周期性1、奇偶性的定义：对于函数)(x f ：（1）如果对于函数定义域内任意一个x 都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就叫做奇函数；（2）如果对于函数定义域内任意一个x 都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数．2、判断函数奇偶性的步骤：（1）确定函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则可下结论为非奇非偶函数；如果定义域关于原点对称；（2）看)()(x f x f -=或)()(x f x f =-是否成立而定．注：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件；（2）)()(x f x f -=-或)()(x f x f =-是定义域上的恒等式；（3）奇偶性的定义是判断函数奇偶性的主要依据；（4）判断函数奇偶性的等价形式：)()(x f x f -=-、)(2)()(x f x f x f =--、)(2)()(x f x f x f -=--、1)()(-=-x f x f （0)(≠x f ）；)()(x f x f =- 0)()(=--⇔x f x f 、)(2)()(x f x f x f =-+、1)()(=-x f x f （0)(≠x f ）． 3、奇偶函数的图象性质：奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之亦真；偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形，反之亦真．4、如果)(x f 是偶函数，那么|)(|)(x f x f =|)|(x f -=，反之亦真．第6讲函数的单调性1．单调性的定义：一般地，对于给定区间上的函数：（1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值21,x x ，当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ，那么，就说)(x f 在这个区间上是增函数；（2）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值21x x 、，当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，那么，就说)(x f 在这个区间上是减函数．2．单调区间：如果函数)(x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说)(x f 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间就叫做)(x f 的单调区间．3．单调函数定义的两种等价形式：设21,x x []b a ,∈，那么（1）2121)()(x x x f x f -->0⇔)(x f 在[]b a ,上是增函数； 2121)()(x x x f x f --<0⇔)(x f 在[]b a ,上是减函数；（2）)]()()[(2121x f x f x x -->0⇔)(x f 在[]b a ,上是增函数；)]()()[(2121x f x f x x --<0⇔)(x f 在[]b a ,上是减函数．注：（1）的几何意义是：增（减）函数图象上任意两点))(,(11x f x 和))(,(22x f x 连线的斜率都大于（或小于）零．4．判断函数单调性的常用方法：（1）定义法；（2）导数法；（3）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数和一个减（增）函数的差仍为增（减）函数；（4）奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；（6）复合函数的单调性：如果函数)(x f 和)(x g 的单调性相同，那么函数)]([x g f 是单调增函数；如果函数)(x f 和)(x g 的单调性相反．第7讲函数的图象1．作图的步骤：（1）求给出函数的定义域；（2）将给出函数（或方程）化为标准型式；（3）作图（要特别注意标出特殊的点与线，如与坐标轴的交点、顶点、端点等；界线、对称轴、渐近线等．）（4）结论．2．图象变换：（1）平移变换：函数)0)((≠+=a a x f y 的图象可以由)(x f y =的图象向左a (＞)0或向右a (＜)0平移||a 个单位而得到；函数b x f y +=)(的图象可以由)(x f y =的图象向上b (＞)0或向下b (＜)0平移||b 个单位而得到．（2）伸缩变换： ①函数A x Af y )((=＞0，且)0≠A 的图象可由)(x f y =的图象上各点的纵坐标伸长)1(>A 或缩短)10(<<A 到原来的A 倍，横坐标不变而得到； ②)0)((>=a ax f y 的图象可由)(x f y =的图象上各点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍，纵坐标不变而得到．（3）对称变换：①)(x f y -=的图象与)(x f y =的图象关于x 轴对称；②)(x f y -=的图象与)(x f y =的图象关于y 轴对称；③)(x f y --=的图象与)(x f y =的图象关于原点对称；④)(1x f y -=的图象与)(x f y =的图象关于直线x y =对称；⑤|)(|x f y =的图象可将)(x f y =的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方，其余部分不变而得到；⑥|)(|x f y =的图象可将)0)((≥=x x f y 部分作出，再利用偶函数图象关于y 轴对称，便得其在y 轴左侧的图象．（4）关于函数图象的对称性，常见的结论：①)(x f y =的图象关于原点对称)()(x f x f -=-⇔；②)(x f y =的图象关于y 轴对称)()(x f x f =-⇔；③)(x f y =的图象关于直线x y =对称)()(1x f x f =⇔-；例如：x y a =与log a y x =； ④)(x f y =的图象关于直线m x = )()2(x f x m f =-⇔；⑤)(x f y =的图象关于点),(n m 对称n x f x m f 2)()2(=+-⇔；⑥)(x f y =的图象关于直线2b a x +=对称)()(x b f x a f -=+⇔．（5）关于函数图象的对称性，“演绎法”转化为“坐标法”的常见的结论：（6）几种容易错的知识点：1）注意区分两种相似形式的函数：①若函数)(x f 对任意的R x ∈，都有)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称； ②若由函数)(x f 经过变换得到的两个函数)(x a f y +=和)(x b f y -=，则所得的两个函数的图象关于直线2a b x -=对称． 2）①函数|)(|x f y =是偶函数，它的图象是把)(x f y =在y 轴右侧部分的图象保持不变，并以y 轴为对称轴将其翻转0180，得到|)(|x f y =在y 轴左侧部分的图象；②函数|)(|x f y =的图象是将)(x f y =的位于x 轴下方部分的图象翻折到x 轴上方；3）若函数)(x f y =的图象关于直线m x =和n x =对称，则)(x f 是以||2n m -为周期的周期函数．第8讲指数与对数1．N b N a a b log =⇔=（0>a 且1≠a ，下同）2．指数性质及运算法则：n m a a ⋅= ；n m a a ÷= ；n m a )(= ；m ab )(= ．（m n a +，m n a -，mn a ，m m a b ）3．对数性质及运算法则：1log a = ；a a log = ；M a a log = ；)(log N M a ∙= ；NM a log = ；n a M log = ；M n a log = ； b a log =（换底公式）．（0，1，M ，log log a a m n +，log log a a m n -，log a n M ，log a M n ，log (0,1,0,0)log c c b c c a b a>≠>>）第9讲指数与对数函数1．指数函数：指数函数的图象和性质：注意：①应根据图象记忆和应用性质；②性质（4）即函数值的分布情况，可表述为以下的等价形式：若01>-x a ）（，则1>x a ；若0)1(<-x a ，则10<<x a ．利用1-a 与x 同号或异号，借助指数函数的增减性极易证明．2．对数函数的图象特征和性质：3．指、对数函数的性质比较（1）x a y =恒过定点)1,0(，x y a log =恒过定点)0,1(；（2）当1>a 时，x a y =与均为增函数，10<<a 时，均为减函数．（3）x a y =与xay )1(=的函数图象关于y 轴对称； x y a log =与x y a1log =的函数图象关于x 轴对称．（4）对于对数函数值的正负情况有下列关系：),(0)1)(1(0log +∈>--⇔>=R b a b a b y a ；),(0)1)(1(0log +∈>--⇔>=R b a b a b y a ．对于该结论要熟记．4．指、对数函数的图象比较（1）对于指数函数x a y =：当1>a 时，底数越大，图象越贴近y 轴，当10<<a 时，底数越小，图象越贴近y 轴．对于对数函数x y a log =：当1>a 时，底数越大，图象越贴近x 轴，当10<<a 时，底数越小，图象越贴近x 轴．（2）指数函数与对数函数的关系：二者互为反函数，因此图象关于直线x y =对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的，即底数1>a 都是增函数，10<<a 时都是减函数．第10讲幂函数1．幂函数的定义：一般地，形如=y （a x ）的函数称为幂函数，其中α为常数．2．画幂函数图象的方法：（1）列表、描点、连线法，（2）先画出第一象限的图形，再利用幂函数的性质作用其余的图象．3．幂函数x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ，21x y =的图象的研究用描点法画出图象．4．幂函数x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ，21x y =的性质5.幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α 时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（4）α为偶数时，则=y a x 为偶函数；若α为偶数时，则=y ax 为偶函数．第11讲二次函数1．二次函数解析式：（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ；（2）顶点式：设抛物线的顶点坐标为),(n m ，则它的方程为：n m x a y +-=2)()0(≠a ；（3）两点式：设抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(1x ，)0,(2x ，则它的方程为：)0)()((21≠--=a x x x x a y2．一元二次函数在给定区间上的值域（最值）： 3．一元二次方程的实根分布：0)0(2=≠++a c bx ax（1）二次方程0)(=x f 的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔0)(<r af ．（2）二次方程0)(=x f 的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>-≥-=∆0)(2042r f a r a bac b（3）二次方程0)(=x f 在区间),(q p 内有两根⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<≥-=∆0)(0)(2042p f a q f a q ab p ac b（4）二次方程0)(=x f 在区间),(q p 内只有一根⇔0)()(<⋅q f p f ，或0)(=p f 、另一根在),(q p 内，或0)(=q f 、另一根在),(q p 内．（5）二次方程0)(=x f 的两根中一根小于p ，另一根大于p 且小于q )(q p <⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a ．第12讲函数与方程1．函数零点的概念：对于函数)(x f y =，我们把（方程y 的实数根）叫做函数)(x f y =的零点． 2．函数零点与方程根的关系：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与（x 轴）有交点⇔函数)(x f y =有．（零点）3．函数零点的判断：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有（0)()(<b f a f ，其中b a <）．那么，函数)(x f y =在区间（],[b a ）内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根． 4．二分法：对于在区间],[b a 上连续不断，且（0)()(<b f a f ）的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的（零点）所在区间（一分为二），使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5．用二分法来求函数)(x f 零点近似值的步骤：（1）确定区间],[b a ，验证；（0)()(<b f a f ，给定精确度ε）（2）求区间),(b a 的中点值1x （3）计算；（)(1x f ）①若，（0)(1=x f ）则1x 就是函数零点；②若，（0)()(1<x f a f ）则令1x b =，（此时零点),(10x a x ∈③若，（0)()(1<x f b f ）则令1x a =，（此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精确度ε,即若ε<-||b a ，则得到零点近似值a （或b ），否则重复（2）~（4）．注（1）：函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．注（2）：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．第13讲函数模型及其应用1．常用的函数模型有：（一次函数），二次函数，（指数函数），（对数函数），（幂函数），（三角函数）等．2．指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间），（∞+0上，尽管函数)1(>=a a y x ，)1(log >=a x y a 和)0(>=n x y n 都是增函数，但是它们的（增长速度）不同，而且不在同一个“档次上”．随着x 的增大，)1(>=a a y x 增长速度（越来越快），会越过并且远远大于)0(>=n x y n 的；（增长速度）而)1(log a >a x 的增长速度会，（越来越慢）因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，有．（x n a x x <<a log ）．3．函数模型的应用实例的基本题型：（1）给定函数模型解决实际问题；（2）建立（确定性）的函数模型解决实际问题；（3）建立拟合函数模型解决实际问题． 4．解应用题的基本步骤：审题、设量、建模、解模、还原．第14讲导数概概念及导数的运算1．平均变化率：一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为．（1212)()(x x x f x f --）2．函数)(x f 在0x x =的导数：设函数)(x f 在区间),(b a 上有定义， ),(0b a x ∈，当x ∆无限趋近于0时，=∆∆x y （xx f x x f ∆-∆+)()(）无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在点0x x =处可导，并称该常数为函数)(x f 在0x x =处的（导数），记作．（0|x x y ='或)(0x f '） 3．导数的几何意义导数)(0x f '的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的（切线的斜率）． 4．导函数（导数）：若函数)(x f 在区间),(b a 内任一都可导，则)(x f 在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为（导数），记作．)(x f ' 5．基本初等函数的导数（0,1a a >≠）（1）0='C （C 为常数）；（2）=')(n x )(*∈Q n ；（1-n nx ）（3）=')(sin x ；（x c o s）（4）=')(cos x ；（x sin -）（5）=')(x a ；（a a xln ）（6）=')(x e ；（xe ）（7）=')(log x a ；（a x ln 1）（8）=')(ln x ；（x1） 6．两个函数的四则运算的导数：若)(x u 、)(x v 的导数都存在，则：（1）='±)(v u ；（v u '±'）（2）='⋅)(v u ；（v u v u '⋅+⋅'）（3）=')(v u；)0(2≠'⋅-⋅'v vv u v u （4）=')(mu ；（m 为常数）u m '⋅ 7．复合函数的导数（理科使用）设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x处可导，且)()()]([x u f x f θθ'⋅'='，即x u x u y y '⋅'='．第15讲导数应用1．函数的的单调性函数)(x f 在某个区间),(b a 内：若()0f x '≤，则)(x f 为；（减函数）若0)(>'x f ，则)(x f 为；（增函数）若0)(='x f ，则)(x f 为．（常数函数）2．如果一个函数在某一范围内导数的绝对值（越大），那么函数在这个范围内变化（越快），这时函数的图象就越“ ”（陡峭）． 3．（1）函数极值的概念函数)(x f y =在点a x =的函数值)(a f 比它附近其它点的函数值都小，0)(='a f ；而且在点a x =的左侧（0)(<'x f ），右侧（0)(>'x f ），则点a 叫做函数)(x f y =的（极小值点），)(a f 叫做函数)(x f y =的（极小值）．函数)(x f y =在点b x =的函数值)(b f 比它附近其它点的函数值都大，0)(='b f ；而且在点b x =的左侧（0)(>'x f ），右侧（0)(<'x f ），则点b 叫做函数)(x f y =的（极大值点），)(b f 叫做函数)(x f y =的（极大值）．极小值点，极大值点统称为（极值点），极大值和极小值统称为（极值）（2）求函数极值的步骤： ①求导数)(x f '； ②求方程0)(='x f 的根；③检查)(x f '在方程根左、右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值．注：（1）因为函数的极值)(0x f 是与点0x 附近各点处的函数值比较而来的，所以： ① 函数)(x f 在0x 及其附近要有定义，从而极大（小）值只能在区间内的某点处取得，不能在区间的端点处取得；② 函数的极大值未必比极小值大，函数的极小值未必比极大值小； ③ 一个函数可以有多个数值不同的极大（小）值．（2）0)(='x f 只是可导函数)(x f 在0x 处取得极值的必要条件，而不是充分条件．如函数3)(x x f =，在原点0=x 点处的导数是0，但原点0=x 的函数值0)0(=f 不是函数3)(x x f =的极值．（3）如果函数)(x f 在0x 处取得极值)(0x f ，则0)(0='x f 或)(0x f '不存在，如函数||)(x x f =，0)0(=f 是此函数的一个极小值，但)(0x f '不存在．4．函数的最大值和最小值在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导的函数)(x f 必有最大值与最小值．其求法为： ①求函数在),(b a 内极值；②将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．第16讲三角函数的概念1．角的概念的推广：（1）角：角可以看成平面内（一条射线）绕着端点从一个位置（旋转）到另一个位置所成的（图形）．旋转开始时的射线叫做角的（始边），旋转终止时的射线叫做角的（终边），旋转过的平面部分叫做角的（内部），射线的端点叫做角的（顶点）．（2）角的分类：角分为、、．（按角的旋转方向）（正角、负角、零角．）（3）在直角坐标系内讨论角①象限角：使角α的顶点与原点重合，始边（与x 轴正半轴重合），终边落在第几象限，则称α为（第几象限角）；．②象限界角：若角的终边（落在坐标轴上时），就说这个角不属于任何限角，它叫做（象限界角）． ③与角α终边相同的角的集合为．},360|{0Z k k S ∈+⋅==αββ．（4）弧度制①1弧度的角：（长度等于半径的弧所对的圆心角）叫做１弧度的角． ②规定：正角的弧度数是（正数）；负数的弧度数是（负数）；零角的弧度数是（零）．角α弧度数的绝对值=||α （lr），l 是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r 是圆的半径．③用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小，（无关）仅与．（角的大小有关）④弧度与角度的换算：=0360 弧度，=0180 弧度，１弧度≈0)180(π，（057.30）= （81570'）⑤弧长公式：，（r l ||α=）扇形面积公式：=扇形S ．（2||2121r lr α=） 2．任意角的三角函数定义（1）任意角的三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离是r r (>0)，那么α的四个三角函数定义为：=αsin ，（ry）=αcos ，（r x ）=αtan ，（xy ）它们都是以角为，（自变量）以比值为（函数值）的函数．（2）三角函数在各个象限内的符号口诀是一全正，二正弦，三正切，四余弦 3．三角函数线：设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P ，过P 作垂直x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的，（正射影）由三角函数的定义知，点P 的坐标为．)sin ,(cos αα，即P ，（)s i n ,(c o s αα）其中=αcos ，（OM ）=αsin ，（MP ）单位圆与x 轴正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T （T '），则=αtan ．（AT ）我们把有向线段OM 、MP 、AT （或T A '）叫做α的、、．（余弦线、正弦线、正切线）．第17讲同角三角函数基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：；1cos sin 22=+x x（2）商的关系：；),2(cos sin tan Z k k ∈+≠=ππαααα （3）倒数关系：．),2(1cot tan Z k k ∈≠=⋅πααα 2．诱导公式：R ∈α注：记忆口诀：（1）函数名不变，符号看象限；（2）函数名改变，符号看象限． 3．α角的终边与απ+角的终边关于对称，（原点）α角的终边与α-角的终边关于对称．（x 轴）4．注：同角三角函数关系的具体应用及应用时应注意的问题（1）同角三角函数的关系式的基本用途 ①已知一个角的某一个三角函数值，求该角的其他三角函数值，有时用三角函数定义更方便； ②化简同角的三角函数式； ③证明同角的三角恒等式．（2）注意问题①已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，注意公式的合理选择； ②运用平方关系时，要合理地进行分类，不能漏掉任一情况． 5．对诱导公式的几点说明（1）公式的记忆记忆口决“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说Z k k ∈±,2απ的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号．” （2）公式的作用①将求任意的三角函数值问题，转化为求锐角的三角函数值问题．要认真体会这若干组公式时的化归思想，并在学习过程中能自觉地使用．②从另一个角度讲，这若干组公式还起着“变名、变角、变号”的作用，这在三角函数式的化简、求值、证明中经常用到．第18讲三角函数的图象与性质。

你觉得最经典的数学公式是什么？

你觉得最经典的数学公式是什么？这个问题其实也说过挺多次了，不过也不差这一次。

2013年，英国著名科普作家艾恩·史都华 (Ian Stewart) 发表了他的著作——《改变世界的17个方程 17 Equations That Changed The World》，向大家诠释了人类历史上最伟大的17个方程。

这17个方程是：17个方程中有2个来自牛顿，2个来自欧拉。

有人会认为没有把欧拉恒等式e^iπ+ 1 = 0 纳入是一大疏忽，欧拉把数学中最基本的5个常数——0、1、圆周率π、自然对数的底e和虚数单位i，以及数学中最基本的两个符号，等号和加号，通过一个简单的恒等式联系在了一起，实在是让人叹服，欧拉恒等式被誉为世界上最美丽的公式。

史都华选中了i^2= -1，可能在《改变世界》和《美》之间他更注重前者。

如果把《改变世界》和《美》折中一下，并且只选择100年前的数学方程，同时抛开在物理、信息论等方面应用的话，可以得到以下10个方程或等式:人类花了千万年来从数量转向数字，数字概念的诞生是一个漫长的思维抽象的过程。

至少3万年以前，人类就已经会计数了，这是人之所以为人的重要转折点，是人类与动物的根本区别之一。

公元前8千年左右，算术诞生了，人类渐渐走上了科学之路，虽然路漫漫其修远兮，但上下求索，一发不可收拾。

1+ 1 = 2 对世界的改变是巨大的，故把它选入放于首位。

至于《爱情曲线》，它源于一个传说：法国数学家笛卡尔在1649年欧洲大陆爆发黑死病时流浪到瑞典，在斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。

几天后，他意外的接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。

跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，他见到了在街头偶遇的女孩子。

从此，他当上了小公主的数学老师。

小公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，笛卡尔向她介绍了自己研究的新领域——直角坐标系。

每天形影不离的相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道了后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，小公主克里斯汀苦苦哀求后，国王将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。

2013最新初中数学常用公式大全

1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形x =ab+c48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85 (3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA)92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS)95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

【全程复习方略】2013版高中数学 3.6倍角公式和半角公式、积化和差与和差化积课件理新人教B版

③等号右边分子上应该是“-”，可以化简验证，故错.
答案：①〓 ②〓 ③〓
(3)填空：①2sin15°cos15°=______. ② cos 215 sin 215 =_______. ③ 2sin 215 -1=_______. 【解析】①2sin15°cos15°=sin30°= 1 ; ② cos 215 sin 215 = cos30°= ③ 2sin 215 -1= -cos30°= 3 . 答案：①
2
二倍角的正切
2tan 1 tan 2 tan2 __________
【即时应用】
(1)思考：二倍角公式tan2α = 2tan 中对任意的α 都成立吗？提示：不一定,当α≠kπ+ , 2α≠kπ+
2 1 tan 2
(k∈Z)时，公式成立. 2
1 (2) sin15°cos15°的值等于＿＿＿＿＿. 2 1 sin15°cos15°= 1 〓2sin15°cos15° 【解析】 4 2 1 1 = sin30°= . 8 4 1 答案： 8
2
三角函数式的化简
【方法点睛】
三角函数式化简的原则、要求及方法 (1)三角函数式的化简原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.
(2)
三角
①能求出值的应求出值；
函数
式化简的

②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数.
1 2
2 3 ; 2
2
②
3 2
③ 3
2
3.三角函数的积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 ①sinα cosβ ②cosα sinβ

2013年北坪小学六年级数学公式必背

【长度单位换算】1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米1米=100厘米1米=1000毫米【面积单位换算】1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米【体积单位换算】1立方米=1000立方分米1立方分米（升）=1000立方厘米（毫升）1升=1000毫升【重量单位换算】1吨=1000 千克; 1千克=1000克1千克=1公斤1斤=500克【人民币单位换算】1元=10角1角=10分1元=100分【时间单位换算】1世纪=100年1年=12月大月(31天)有: 1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有: 4\6\9\11月平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天1日=24小时 1小时=60分1分=60秒 1小时=3600秒（大单位化小单位乘以进率；小单位化大单位除以进率）【常用公式】1、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度2、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价3、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率4、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数5、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数6、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数7、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数8、加交:a+b=b+a 加结:a+b+c=a+(b+c)9、乘交: ab=ba 乘结:abc=a(bc)乘分:(a+b)c=ac+bc10、减法的性质:a-b-c=a-(b+c)11、除法的性质:a÷b÷c=a÷(b×c) 【小学数学图形计算公式】1、正方形C周长 S面积 a边长周长＝边长×4 C=4a面积=边长×边长S=a22、正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=6a2 体积=棱长×棱长×棱长V=a3 3、长方形C周长 S面积 a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)面积=长×宽S=ab4、长方体V:体积S:面积 a:长 b: 宽h:高(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高V=abh V=SH 5、三角形S面积a底h高面积=底×高÷2 S=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6、平行四边形S面积a底h高面积=底×高S=ah 7、梯形S面积a上底b下底 h高面积=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)×h÷28、圆形S面积 C周长πd=直径r=半径(1)C=πd=2πr (2)面积=r2π9、圆柱体v:体积 h:高S;底面积r:底面半径c:底面周长(1)侧面积=底面周长×高(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)V=Sh(4)体积＝侧面积÷2×半径10、圆锥体v:体积 h:高 S;底面积 r:底面半径211=33V sh r hπ=【相遇问题追及问题】。

【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)5.1数列(含递推公式)课件理新人教B版

【即时应用】(1)数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an= (2)数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,Sn=nan,则an= 【解析】 (1)当n=1时，a1=S1=2; 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+1)-［(n-1)2+1］ =n2-(n-1)2=2n-1, 将n=1代入an=2n-1得a1=1≠2. ∴an=
2.“累乘法”求an 已知a1且 a n =f(n)(n≥2),可以用“累乘法”，
a n 1
即 a n =f(n), a n 1 =f(n-1),„, a 3 =f(3),
a n 1 a n 2
a2
a 2 =f(2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a 得a . 1 n a1
【提醒】在求解出通项公式后，记得验证a1是否满足公式.
2 4
8
16
32
64
【解题指南】(1)从各项符号和各项绝对值的关系两方面考虑. (2)从考虑数列0.8,0.88,0.888,„和数列0.9,0.99,0.999,„ 的关系着手. (3)分子规律不明显，从考虑分子与分母的关系着手.
【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示，后面的数的绝对值总
比前面的数的绝对值大6，故通项公式为
＝
.
(2)数列{an}满足a1=1,an+1=an+1，则{an}的通项公式为_______.
【解析】(1)a1＝1，a2＝ a1
2a1 3 a a4 a4＝ 3 ＝ 1 ，a5＝＝ 1 . 2a 3 3 2a 4 3 161 53
＝
1 ，a3＝ a 2 ＝ 1 , 5 17 2a 2 3
【解析】由数列的定义可知①、②错误；数列{

2013考研数学线性代数必背公式知识点

+ b2 a12 + b2 a 22 + b2 a 32 + b3 a13 ⎞ ⎟ + b3 a 23 ⎟ + b3 a33 ⎟ ⎠
α 1 ,α 2 ,Λ ,α n 的线性组合，组合系数是 B 的第 i 个列向量
的各分量。类似地： AB 的第 i 个行向量是 B 的行向量组的线性组合，组合系数是 A 的第 i 个行向量的各分量。
即 (c1 , c 2 , Λ , c n ) 就是解。
(− 1)τ ( j j Λ j )
1 2 n
⎧ x1 = c1 , ⎪x = c , ⎪ 2 2 其方程为 ⎨ ⎪ Μ ⎪ ⎩ xn = cn ,
第二讲行列式
τ ( j1 j 2 Λ j n ) 的逆序数
1,2, Λ , n
=
j1 j2 Λ jn
(
) 化出的简单阶梯形矩阵应为
a1 j1 a 2 j2 Λ a njn
其中 j1 j 2 Λ j n 是 1,2, Λ , n 的一个全排列。 ③ a1 j1 Λ a njn 前面乘的应为
⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
0 0 1 0 0 Ο 0 0
0 c1 ⎞ ⎟ 0 c2 ⎟ 0 Μ⎟ ⎟ 1 cn ⎟ ⎠
A+ B ≠ A + B
A = 0 时，解如何？
即唯一解 ⇒ ? A ≠ 0？改进： A ≠ 0 ⇔ 唯一解
A + B = (α 1 + β 1 ,α 2 + β 2 ,α 3 + β 3 )
A + B = α1 + β1 ,α 2 + β 2 ,α 3 + β 3 = α1 , α 2 + β 2 , α 3 + β 3 + β1 , α 2 + β 2 , α 3 + β 3

2013高一数学必修1教师用书：第三章 §4 对数 4.2 换底公式(北师大版)

[一点通] 解决对数应用题的一般步骤：
5．测量地震级别的里氏级是地震强度(地震释放的能量)的
常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日本1923年地震是8.9级，旧金山1906年地震是8.3级， 1989年地震是7.1级，试计算一下日本1923年地震强度是 8.3级的几倍？7.1级的几倍？(lg2＝0.3)
1．换底公式主要用于计算、化简求值，化简时，
有两种思路：①根据题目特点，先换部分对数的底
进行运算．②直接把题中对数全换成统一底的对数
进行运算．
2．换底公式常用推论： loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)； n logamb ＝mlogab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)；
3 log464 提示：log864＝2，log464＝3, log48＝2， log864＝ log 8 . 4 问题 3：经过问题 1,2 你能得出什么结论？ logMb 提示：logab＝log a(a，M>0，a，M≠1，b>0)． M
logaN 对数的换底公式：logbN＝ logab
故8.9级地震强度是8.3级地震强度的4倍，是7.1级地震强度的64倍．
6．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声
压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5
帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．
a＋b a＋b ＝＝ . 2－2log189＋log189 2－a
[一点通] 用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：

【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)3.5和角公式课件理新人教B版

b a b
2 2
,cosφ=
a a b
2 2
)
【即时应用】 (1)把下列三角函数式化成 a 2 b2 sin(x+φ)的形式： ①sinα+ 3cosα=________; ②sinα+cosα=_________; ③5sinα+12cosα=________.
(2)计算： cos10 3 sin10 =________.
化简、求值是高考的常考点.
2.公式逆用、变形应用是高考热点.
3.在选择题、填空题、解答题中都有所考查.
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
公式名
两角和与差的正弦
公式
sincos cossin sin( ) ___________________ coscos sinsin cos( ) ___________________
【解析】 (1)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°·sin30°,
故①错误；sin15°=sin(45°-30°)=sin45°·cos30°cos45°sin30°，故②错误;③正确，cos15°=cos(60°-
45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°,故④错误.
tan tan 1 tantan tan( ) ___________________
两角和与差的余弦
两角和与差的正切
【即时应用】
(1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“√”或“×”) ①cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30° ( ) ) ) )
【反思·感悟】利用三角函数公式进行三角恒等变形，要求熟练掌握公式和变换技巧，强化运算能力.以基本三角函数的性质为基础求y=Asin(ωx+φ)的性质，有时给出角的范围时要注意 ωx+φ 的范围的变化.

【全程复习方略】2013版高中数学 3.2同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件理新人教B版

【规范解答】(1)∵sin(α+ )= 5 , „„„„„„2分
1.同角三角函数基本关系式
sin cos 1 (1)平方关系:_________________.
2 2
sin cos (2)商数关系:_________________. tan
【即时应用】
(1)已知α 是第三象限角,且sinα = 3 , 则cosα =______.
1 5 平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= 1 ， 25 即2sinxcosx= 24 ， 25 ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= 49 . 25 又∵ ＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，sinx-cosx＜0，故 2 7 sinx-cosx= . 5
sin =2,得sinα =2cosα 代入sin2α +cos2α =1,解得 cos sinα = 2 5 . 5 答案： 2 5 5
由tanα =
3 sin( )cos( )tan( ) 2 2 (2)①f(α)= tan( ) ) sin( = (cos)sin(tan) ( tan) sin
利用诱导公式化简证明【方法点睛】 1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 (1)思路方法：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化
成单角三角函数；③整理得最简形式.
(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能
少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.
2.三角恒等式证明的常用方法 (1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则). (2)两边向中间证. (3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.

2013届高三文科数学公式复习(1)

2013届高三文科数学公式复习（1）.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.（1）角度与弧度的互化: 1°=180π弧度←→1弧度 =π180（2）弧长公式:l = │α│r ;扇形面积公式: s =21l r =21│α│r 221.三角形面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.26. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 27.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 28.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).29.平面两点间的距离公式,A B d =||AB ==(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).30.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.[2011·东城模拟] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛A ＞0，ω＞0，||φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos 2x ，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．11. 多面体ABCDE 中，1====AE AC BC AB ，2=CD ，ABC AE 面⊥，CD AE //。

2013高考数学总复习讲义1：三角公式

高三数学总复习讲义——三角函数公式知识清单：（一）基本关系公式组二 (k Z ∈)sin(2)sin ,cos(2)cos tan(2)tan ,cot(2)cot k x x k x x k x x k x xππππ+=+=+=+=公式组三sin()sin tan()tan cos()cos cot()cot x x x x x xx x-=--=--=-=-公式组四公式组五xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππxx x x x x xx c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ公式组六sin()sin tan()tan cos()cos cot()cot x xx xx x x xππππ-=-=--=--=-(二)两角和与差公式公式组一βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-公式组二:αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan1tan 22tan -=2c o s 12s i n αα-±=2cos 12cosαα+±=,1cos sin 1cos tan21cos 1cos sin ααααααα--=±==++公式组三1cos()sin 2παα-=,1cos()sin 2παα+=-1sin()cos 2παα-= 1s i n ()c o s2παα+=,1tan()cot 2παα-=,1tan()cot 2παα+=-常用数据: 30456090、、、的三角函数值62sin 15cos 754-==,42615cos 75sin+==3275cot 15tan -==,3215cot 75tan +==注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+221cos 1cos cos ,sin2222αααα+-==等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。

初中物理公式大全(2013最新整理版)

初中物理公式大全物理量主要公式主要单位长度（L）(1)用刻度尺测（2）路程vts=(3) 力的方向上通过的距离：s=FW(4) 力臂1l=122.FlF（5）液体深度gph⋅=ρ(6)物体厚度h=SVa=3VKm 、m、dm、cm 、mm等1km=1000m1m=100cm面积（S）(1) 面积公式S＝ab S=a2 S=πR2 =41πD2(2) 体积公式hVs=(3) 压强公式Fps=1m2=102dm21dm2=102cm21cm2=102mm2体积（V）(1) 数学公式V正=a3V长=Sh=abh V柱＝Sh V球＝34πR3(2) 密度公式ρmV=(3)用量筒或量杯V=V2－V1 (4) 阿基米德原理浸没时V＝V排＝F浮/ρ液g部分露出时V排＝V物－V露1m3=103dm31dm3=103cm31cm3=103mm3时间（t）（1）速度定义vst=（2）功率PWt=（3）用钟表测量1h=60min1min=60s速度（v）（1）tsv=（2）FvtFstWP===则FPv=声速υ= 340m / s光速C = 3×108 m /s1m/s=3.6km/h质量（m）(1)重力公式gGm=（2）功的公式mghGhW==ghWm=(3)密度公式Vmρ=（4）用天平测量1t=1000kg1kg=1000g1g=1000mg密度（ρ）(1)Vm=ρgGm=有gVG=ρ(2)压强公式ghpρ=ghp=ρ(3)阿基米德原理F浮＝ρ液gV排则ρ液＝排浮gVF1g/cm3=1000kg/m3合力（F）(1)同方向F=F1＋F2（2）反方向F= F1－F2（F1＞F2）N压强（p）(1)SFp=（适用于一切固体和液体）⑵ghpρ=适用于一切液体和侧面与底面垂直的固体（长方体、正方体、圆柱体）【注意】1标准大气压= 76 cmHg柱=1.01×105 Pa = 10.3 m水柱1Pa=1N/m2浮力（F浮）(1) 称重法F浮＝G－F示(2) 压力差法F浮＝F向上－F向下(3) 阿基米德原理法F浮＝ρ液gV排(4) 漂浮或悬浮法F浮＝G动力、阻力2211lFlF=则122 1l lFF=211 2l lFF=1l与2l单位相同即可功（W）(1)定义W=Fs 重力做功W=Gh=mgh摩擦力做功W=fs(2)总功W总=F动s W总＝W有＋W额有用功＝Gh W有＝W总－W额(3)η=总有WWW有=ηW总W总=η有W（4）tWP=W=Pt1J=1N.m=1w.s机械效率（η）(1)η=总有WW=有额额有有WWWWW+=+11(2)η=总有WW=总有总有PPtPtP=(3) 对于滑轮组η=nFG（n为在动滑轮上的绳子股数）由于有用功总小于总功，所以η总小于1(4) η=总有W W =动动G G G hG Gh Gh +=+拉力（F ） (1)不计动滑轮和绳重及摩擦时，F ＝Gn1（2）不计绳重及摩擦时)(1动物G G nF+=（3）一般用nGFη=（n 为在动滑轮上的绳子股数）（4）物体匀速运动，一般F ＝f (f 一般为摩擦力)功率(P)(1)P=tW (2) P=tW =FvtFs = (3)从机器的铭牌上读出1w=1J/s =1N.m/s比热（c ） (1) Q 吸＝cm(t －t 0) Q 放＝cm(t 0－t) 可统一为Q=cm △t则tm Qc ∆= (2) Q 放＝qm （q 为J/kg m 用kg ）(3) Q 放＝qV (q 为J/ m 3 V 用m 3)(4) 不计热量的损失时 Q 吸＝Q 放（热平衡方程）C 的单位为 J/(Kg.℃),水的比热为4.2×103J/（Kg. ℃）物理意义为1kg 水温度升高1℃吸收的热量为4.2×103J电荷量（Q ）(1)定义tQ I= 则Q ＝It (2) W=UIt=UQ 则Q ＝UW （Q 为电荷量）Q 的单位为C电流（I ）(1) 定义tQ I =（Q 为电荷量）（2）RU I=（3）W=UIt 则UtW I=(4)P ＝UI 则UP I=（P 为电功率）(5) 焦耳定律Q ＝I 2Rt 则RtQ I=1A=1000mA(6) 纯电阻电路W=UIt ＝I 2Rt 则RtW I=(7)P ＝UI ＝I 2R 则RP I=(8)串联：I ＝I 1＝I 2 并联：I ＝I 1＋I 2 （9）从电流表上读出电压（U ） (1)QW U =（Q 为电荷量）（2）U ＝IR （3）ItW U=（4）IPU = (5)焦耳定律tQRU t R U Q ==则2（Q 为产生的热量）RUP 2=则PR U =(6 )串联：U ＝U 1＋U 2 并联：U＝U 1＝U 2（7）从电压表上读出 1KV=1000V,1V=1000mV 。

2013五年级上册数学书答案人教版

2013五年级上册数学书答案人教版第一单元《小数乘法》知识点一、小数乘整数(利用因数的变化引起积的变化规律来计算小数乘法)知识点一：1、计算小数加法先把小数点对齐，再把相同数位上的数相加2、计算小数乘法末尾对齐，按整数乘法法则进行计算。

知识点二：积中小数末尾有0的乘法。

先计算出小数乘整数的乘积后，积的小数末尾出现0，要再根据小数的性质去掉小数末尾的0。

如：3.60“0”应划去知识点三：如果乘得的积的小数位数不够要在前面用0补足，再点上小数点。

如0.02×2=0.04知识点四：计算整数因数末尾有0的小数乘法时，要把整数数位中不是0的最右侧数字与小数的末尾对齐。

思考：小数乘整数与整数乘整数有什么不同?1、小数乘整数中有一个因数是小数，所以积一般来说也是小数。

2小数乘法中积的小暑部分末尾如有0可以根据小数的基本性质去掉小数末尾的0而整数乘法中是不能去掉的。

二、小数乘小数知识点一：因数与积的小数位数的关系：因数中共有几位小数，积中就有几位小数。

知识点二：小数乘法的一般计算方法：先按整数乘法算出积，再给积点上小数点(看因数中一共有几位小数，就从积的右边起输出几位，点上小数点。

)乘得的积的小数位数不够要在积的前面用0补足，在点小数点。

知识点三：小数乘法的验算方法1、把因数的位置交换相乘2、用计算器来验算三、积的近似数知识点一：先算出积，然后看要保留数位的下一位，再按四舍五入法求出结果，用约等号表示。

知识点二：如果求得的近似数所求数位的数字是9而后一位数字又大于5需要进1，这是就要依次进一用0占位。

如6.597保留两位为6.60四、连乘、乘加、乘减知识点一：小数乘法要按照从左到右的顺序计算知识点二：小数的乘加运算与整数的乘加运算顺序相同。

先乘法，后加法整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也适用。

五、简便运算整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于小数乘法也适用计算连乘法时可应用乘法交换律、结合律将几位整数的两个数先乘，再乘另一个数，计算一步乘法时，可将接近整十、整百的数拆成整十整百的数和一位数相加减的算式，再应用乘法分配律简算。

初中数学定理及图示说明

初中数学公式大全张运旺于2013年1月16日星期三几何定理及图示说明点、线、角、平行与垂直经过两点有且只有一条直线（两点决定一条直线）.两条直线相交，只有一个交点.两点之间线段最短.1周角＝2平角，1平角＝2直角，直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″.同角或等角的补角（180°－∠A）相等.同角或等角的余角（90°－∠A）相等. 对顶角相等.经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（垂线段最短）.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行.平行线的性质：两直线平行，同位角相等.两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.平行线的判定：同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.等量公理：1.等量加等量，和相等(a=b,c=d,∴a+c=b+d).2.等量减等量，差相等（a=b,c=d,∴a-c=b-d）.3.等量的同倍量相等(a=b,∴na=nb).4.等量的同分量相等(a=b,∴a/n=b/n).5.在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替（等量代换）.不等量公理：1.不等量加上或者减去等量，原来大的仍大(a>b,∴a-c>b-c).2.不等量乘以或者除以同一个正数，原来大的仍大(a>b, n>0,∴an>bn).3.不等量加不等量，大量的和大于小量的和(a>b,c>d,∴a+c>b+d).4.等量减不等量，减去大的，差反而小(a=b,c>d,∴a-c<b-d).5.第一量大于第二量，第二量大于第三量，则第一量大于第三量(a>b,b>c,∴a>c).6.全量大于它的任一部分.如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直.如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行.三角形定理：三角形两边的和大于第三边.a+b>c,推论：三角形两边的差小于第三边. a-b<c三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.∠A+∠B+∠C=180°推论1：直角三角形的两个锐角互余（∠B＝90°－∠A）.推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形的面积是它的底和高的积的一半（S＝ah/2）.等底等高的三角形面积相等.全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.全等三角形的判定：边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.角边角公理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.推论 (角角边定理AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等.斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.三角形具有稳定性.角平分线定理1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理2：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.等腰三角形等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角）推论2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一）.推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.B等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.B等边三角形的判定2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大（大边对大角）. 在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大（大角对大边）.直角三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，它所对的直角边等于斜边的一半.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，c所对的角是直角.垂直平分线线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合.轴对称定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形.定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 四边形定理：四边形的内角和等于360°.四边形的外角和等于360°.多边形内角和定理：n边形的内角的和等于（n-2）·180°.推论：任意多边的外角和等于360°.平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等.平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等.推论1：夹在两条平行线间的平行线段相等.推论2：平行线间的距离处处相等.平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分.平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形.矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形性质定理2：矩形的对角线相等.矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.菱形性质定理1：菱形的四条边都相等.菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.菱形面积=对角线乘积的一半，即S=ab/2.菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形.菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.中心对称定理1：关于中心对称的两个图形是全等的.ICA定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.C逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称. 等腰梯形等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等.等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等.等腰梯形判定定理1：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形.如果一个角的两边分别平行于（或垂直于）另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.平行线分线段平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.S=Lh.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=（a+b）/2，S=Lh.比例和相似三角形比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a:b=c:d.如果a:b=b:c,那么b2=ac.b是a，c的比例中项.合比性质：如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d.等比性质：如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例.m:n=o:p推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的对应线段成比例.AD:AB=AE:AC=DE:BC, AB:AF= AC:AG=BC:FG定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.AD:AB=AE:AC=DE:BC定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.⊿ABC∽⊿ADE∽⊿AFG相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似（AA）.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.⊿ABC∽⊿CBD∽⊿ACD相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）.相似三角形判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似（SSS）.定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（HL）.相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比k.相似三角形性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方k2.三角函数sinA=对边/斜边，cosA=邻边/斜边，tanA=对边/邻边，cotA=邻边/对边.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值sinA=cos(90°-A)，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值cosA=sin(90°-A).任意锐角的正切值等于它的余角的余切值tanA=cot(90°-A)，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值cotA=tan(90°-A).圆圆是定点的距离等于定长的点的集合.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.同圆或等圆的半径相等.圆的直径是半径的2倍.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线.定理：不在同一直线上的三点确定一个圆（圆心是三点所构成的三角形的外心）.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧.推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等.定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.BA定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.直线与圆直线与圆的位置关系：①直线L和⊙O相交，d＜r.②直线L和⊙O相切，d=r.③直线L和⊙O相离，d＞r.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.圆的外切四边形的两组对边的和相等.推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.圆与圆如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.圆与圆的位置关系：①两圆外离，d＞R+r②两圆外切，d=R+r.③两圆相交，R-r＜d＜R+r(R＞r).④两圆内切，d=R-r(R＞r)⑤两圆内含，d＜R-r(R＞r).定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.定理：把圆分成n(n≥3) ：①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n.定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.正n边形的面积Sn=prn／2，p表示正n边形的周长.表示边长.正三角形面积3a2／4，a弧长计算公式：l=nπR／180.扇形面积公式：S扇形=nπR2／360=lR／2.两圆内公切线长l2=d2-(R+r)2，外公切线长l2=d2-(R-r)2.常用数学公式平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：(a+b)2= a2+2ab+b2 ,(a-b)2= a2-2ab+b2二次三项式x2-(p+q)x+pq=(x-p)(x-q),或x2 +bx+c=(x-x1)(x-x2), x1,x2是方程x2+bx+c=0的两根.非负数的和为0，则它们都为0：如果a2+|b|+√c=0,那么a=0,b=0且c=0. 指数：a m*a n=a(m+n),a m/a n=a(m-n),a-n=1/a n,(a m)n=a mn常用对数：lgA=log10A,10lgA=A,自然对数lnA=logeA,e=2.71828……lg(A*B)=lgA+lgB,lg(A/B)=lgA-lgB,lgA m=mlgA，lgA1/m=1/nlgA.二次根式ab =a *b, ba=a/b2a＝|a|=:a(a>0),0(a=0),-a(a<0)方程一元一次方程ax=b,x=b/a(a≠0).一元二次方程ax2+bx+c=0的解 x1=[-b+ (b2-4ac)1/2]/2a ，x2=[-b- (b2-4ac)1/2]/2a根与系数的关系：如果ax2+bx+c=0, x1+x2= - b/a ，x1x2=c/a .如果x2+px+q=0，x1+x2= - p ，x1x2=q.（韦达定理）判别式⊿＝b2-4ac，⊿=0：方程有两个相等的实根，⊿>0：方程有两个不等的实根，⊿<0：方程没有实根（有共轭复数根）.二元一次方程组的解法：1.代入消元法，2.加减消元法.分式方程：检验是否有增根，可能无解.函数正比例函数y=kx的性质：过O点，如果k>0,在一，三象限，如果k<0, 在二，四象限，过（1，k）和（－1，－k）点.一次函数y=kx+b（它由y=kx平移得到）的性质：如果k>0,是增函数，如果k<0, 是减函数，过（0，b）点.反比例函数y=k/x是双曲线，如果k>0,在一，三象限，如果k<0, 在二，四象限，过（1，k）和（－1，－k）点...抛物线y=ax 2+bx+c 性质：y=ax 2+bx+c=（x+b/2a ）2+(4ac-b 2)/4a ，它由y=ax 2平移得到，a>0,开口向上，a<0,开口向下.对称轴在x= -b/2a,极值y=(4ac-b 2)/4a ，顶点为（-b/2a, (4ac-b 2)/4a ）.与x 轴的交点即ax 2+bx+c ＝0方程的根，在⊿>0时有两个，在⊿＝0时有一个，在⊿<0时没有交点.。

两直线的交点坐标与距离公式

的
实数解．
名师大讲堂·2013 高考总复习《数学》（理科）
(2)当两直线 l1∥l2 时，
A B －A B ＝0， 1 2 2 1 即 A1C2－A2C1≠0 A B －A B ＝0 1 2 2 1 或 B1C2－B2C1≠0
时，方程组无解，两
直线无交点；当 A1B2－A2B1≠0 时，两直线相交，方程组只有唯一实数解；
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【解法二】设所求直线方程为 3x＋2y＋m＝0，由平行线的距离
|－6－m| 公式得 2 2 ＝4， 3 ＋2 解得 m＝－6＋4 13或 m＝－6－4 13，所求直线方程为：3x＋2y－6＋4 13＝0 或 3x＋2y－6－4 13＝0 【解法三】设所求直线上任意一点为(x，y)，则由点到直线的距
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两直线的交点问题
1 四条直线 y＝3x，y＝4x－3，x＋y－4＝0，x－4y＋11＝0 的交点共有多少个？ 1 【思路分析】由题目可以看出 y＝4x－3 与 x－4y＋11＝0 平行．
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【解析】
y＝3x，由 x＋y－4＝0，
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两条平行线之间的距离问题
求与直线 3x＋2y－6＝0 平行且距离为 4 的直线方程. 【思路分析】要求与直线 3x＋2y－6＝0 平行且距离为 4 的直线方程 l，可设 l 的方程为 3x＋2y＋m＝0，利用两条平行线之间的距离公式求出 m 即可；也可用直线 l 上任一点(x， y)到直线 3x＋2y－6＝0 的距离等于 4 求解．