高考数学一轮复习第10章第7节离散型随机变量及其分布列

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2019高考数学新课标人教A版：第十章第七节离散型随机变量及分布列课件

1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ,常用字母X，Y，X，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，
xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi) ＝pi，则表
1 30
(3)“一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为 C，则 P(C)＝P(X＝3 或 X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4) ＝125＋310＝16.
从某批产品中，有放回地抽取产品两次，每次随机抽取1 件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品” 的概率P(A)＝0.96. (1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p； (2)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的分布列．
X0
1
4
9
P
1 6
1 3
1 3
1 6
……………………………………………………(11 分)
所以 E(ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝169.……(13 分)
1．离散型随机变量的特点由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2
P
316 495
160 495
19 495
考点三超几何分布
(2019·济南模拟)某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：

离散型随机变量及分布列(一轮复习)

答案：D
离散型随机变量分布列
[例2] 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)求得分X的分布列； (2)求得分大于6分的概率．
[自主解答] (1)从袋中随机取 4 个球的情况为 1 红 3 黑， 2 红 2 黑，3 红 1 黑，4 红四种情况，分别得分为 5 分，6 分， 7 分，8 分，故 X 的可能取值为 5,6,7,8.
[易误辨析] (1)本题由于离散型随机变量ξ的取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误． (2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全而导致解题错误． (3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.
1－2q≥0， q2≥0， 12＋1－2q＋q2＝1，
解得
q＝1－
2 2.
或由 1－2q≥0⇒q≤12，可排除 A、B、C.
(2)由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解
得m＝0.3.首先列表为：
ξ
01234
2ξ＋1 1 3 5 7 9
|ξ－1| 1 0 1 2 3
离散型随机变量分布列的性质
[例1] (1)设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：
ξ －1
0
1
P
1 2
1－2q
q2
则q的值为
()
A．1
B．1±
2 2
C．1＋
2 2
D．1－
2 2
(2)设离散型随机变量ξ的分布列为： ξ0 1 2 34 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：①2ξ＋1的分布列；②|ξ－1|的分布列． [自主解答] (1)由分布列的性质，有

第七节离散型随机变量及其分布列

【解析】由已知得 X 的所有可能取值为 0,1，且 P(X＝1)＝2P(X＝0)， 1 由 P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得 P(X＝0)＝ . 3
离散型随机变量分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
求随机变量η＝|X－1|的分布列．
解
(1)由题意，得 X 取 3,4,5,6， 1 2 C3 5 C · C 10 5 4 5 且 P(X＝3)＝ 3＝，P(X＝4)＝ 3 ＝， C9 42 C9 21 1 3 C2 · C 5 C 1 4 5 4 P(X＝5)＝ 3 ＝，P(X＝6)＝ 3＝， C9 14 C9 21
1 ．利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． 2．若 X是随机变量，则η＝|X－ 1|等仍然是随机变
量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根
据对应的概率写出分布列．
设离散型随机变量X的分布列为
X P 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项．
随机变量X服从二项分布
特点：（1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；（2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。
5．二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？
1．两点分布是特殊的二项分布 (1 p)
(1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列； (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列． (4)由三种分布（两点分布、超几何分布、二项分布）求出离散型随机变量分布列。

第七节离散型随机变量及其分布列-高考状元之路

第七节离散型随机变量及其分布列预习设计基础备考知识梳理1．离散型随机变量的分布列如果随机试验的结果可以用一个来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做2．离散型随机变量的分布列及性质(1)-般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为,1x X x x x n i ,,,,,2 取每一个值),,2,1(n i x i =的概率,)(i i p x X p ===则表称为离散型随机变量X 的，简称为X 的．有时为了表达简单，也用等式表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质;,,2,1,0n i Pi =≥①.11=∑=ni i P ②3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中p= 称为成功概率．(2)超几何分布列：在含有M 件次品数的N 件产品中，任取咒件，其中含有X 件次品数，则事件}{k X =发生的概率为：==)(k X P ),,,2,1,0(m k C C C n Nk n M N k M =--其中=m ，且，则称分布列为超几何分布列．典题热身1．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么4=X 表示的随机试验结果是( )A ．2颗都是4点B ．1颗1点，另1颗3点C ．2颗都是2点D ．1颗是l 点，另l 颗是3点，或者2颗都是2点答案：D2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五4码，不放回地任意抽取两个球，设两个球号码之和为繁X 的所有可能取值个数为 ( )25.A 10.B 7.c 6.D答案：C3．若随机变量X 的分布列为),3,2,1(2)(===i ai i X p 则==)2(X p （） 91.A 61.B 31.c 41.D 答案：C4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所人中女生人数不超过1人的概率是答案：54 5．若ξ是离散型随机变量，31)(,31)(21====x p x p r ξξ且,21x x <又已知,92)(,34)(==ξξD E 则21x x +的值为答案：3课堂设计方法备考题型一利用离散型随机变量的分布列求解概率分布问题【例1】袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各两个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X 的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．题型二离散型随机变量分布列的性质及应用【例2】设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X+1的分布列；(2)︱X-1︱的分布列．题型三超几何分布【例3】某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数，求X 的分布列．技法巧点(1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数，(x)的自变量是实数x ，而在随机变量的概念中，随机变量X 是试验结果．(2)对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．(3)求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率，失误防范掌握离散型随机变量的分布列，需注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的，每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.随堂反馈1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于( )1.A 221.±B 221.-c 221.+D 答案：C2．(2011．烟台模拟)随机变量X 的概率分布规律为=X p ()1()+=n n a n ),4,3,2,1(=n 其中a 是常数，则 )2521(<<X p 的值为( ) 32.A 43.B 54.c 65.D 答案：D3．（2011．安溪模拟）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P(X)，则)4(=X p 的值为( )2201.A 5527.B 22027.c 2521.D 答案：C4．（2011．荆门模拟）由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失（以“x 、y”代替），其表如下：则丢失的两个数据依次为答案：2，55．随机变量X 的分布列为若321,,P P P 成等差数列，则公差d 的取值范围是答案：3131≤≤-d 高效作业技能备考一、选择题1．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于 ( )1.A 221.±B 221.-C 221.+D 答案：C2．已知随机变量X 的分布列为：..,,2,1,21)(⋅===k k X P k则)42(≤<X p 等于 ( ) 163.A 41.B 161.c 165.D 答案：A3．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则)0( =ξP 的值为 ( )1.A 21.B 31.c 51.D 答案：C4．（2011．广州模拟）在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，而X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于.156817C C C 的是 ( ) )2(.=X p A )2(.≤X p B )4(.=X P C )4(.≤X P D答案：C5．某射手射击所得环数X 的分布列为：则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为 ( )28.0.A 88.0.B 79,0.c 51.0.D答案：C6．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为1的概率 ( )3532.A 3512.B 353.c 352.D 答案：B二、填空题7．从装有3个红球，两个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为：答案：0.10.60.38．抛掷2颗骰予，所得点数之和X 是一个随机变量，则=≤)4(X p答案：619．(2011．济宁实验中学模拟)随机变量ξ的分布列如下；若a 、b 、c 成等差数列，则==)1|(|ξp 答案：32 三、解答题10．（2011．广州模拟）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示：(1)从这50名教师中随机选出2名，求两人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，11．(2011．西安五校联考)已知袋子里有红球3个，蓝球两个，黄球1个，其大小和质量都相同，从中任取一球确定颜色后再放回，取到红球后就结束选取，最多可以取三次．(1)求在三次选取中恰有两次取到蓝球的概率；(2)求取球次数的分布列．12．(2010．天津高考)某射手每次射击击中目标的概率是,32且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击五次，求恰有两次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击五次，求有三次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击三次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得O 分．在三次射击中，若有二次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若三次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列，。

2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第10章排列、组合

3.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_1_6__种.(用数字填写答案)
解析方法一按参加的女生人数可分两类：只有 1 位女生参加有 C12C24 种，有 2 位女生参加有 C22C14种. 故所求选法共有 C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种). 方法二间接法：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，共有 C36种情况，没有女生参加的情况有 C34种，故所求选法共有 C36－C34＝20－4＝16(种).
题型突破核心探究
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一排列问题
自主演练
1.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3
的没有重复数字的五位数，共有
A.96个
√B.78个
C.72个
D.64个
解析根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A44 ＝24(个)；当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有 3×(A44－A33)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.
表示
微思考
1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合. 2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？提示 (1)排列数与组合数之间的联系为 CnmAmm＝Anm. (2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式. 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.
思维升华

高考理科第一轮课件(10.7离散型随机变量及其分布列)

5.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3道抢答题，比赛规
定：对于每一道题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答
正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是
甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是＿＿＿＿＿．【解析】甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一道题并回答错误，乙抢到两道题并且都回答错误，此时甲得－1分，故X的所有可能取值为－1,0,1,2,3. 答案：－1,0,1,2,3
(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )
(5)如果随机变量X的分布列由下表给出， X P 2 0.3 ) 5 0.7
则它服从超几何分布.(
【解析】(1)正确.离散型随机变量的分布列是所有离散型随机变量的概率分布情况，因此该说法是正确的. (2)错误.有些离散型随机变量的概率可以用公式表示出来，但分布列不能. (3)错误.由概率分布列的性质可知：在分布列中随机变量的概率之和为1.
a1
a2 p2
p1
.
(2)离散型随机变量分布列的性质
> 1 ①pi__0(i=1,2,„);②p1+p2+„=__.
3.超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取 n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么，
C k C n kM M N Cn P(X=k)=＿＿＿＿(其中k为非负整数).如果一个随机变量的分布 N
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( (A)0.28 (B)0.88 (C)0.79 (D)0.51
)
(2)一个均匀的正四面体的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x1，x2，记X ＝(x1－3)2＋(x2－3)2. ①分别求出X取得最大值和最小值时的概率； ②求X的分布列．

高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布列7离散型随机变量及其分布列数字特征练习含解析

离散型随机变量及其分布列、数字特征考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．知识梳理1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X (ω)与之对应，我们称X 为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，…，x n ，称X 取每一个值x i 的概率P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 为X 的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )； ②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.4．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x n Pp 1p 2…p n(1)均值则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ＝ i ＝1nx i p i 为随机变量X 的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝i ＝1n (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，并称D X 为随机变量X 的标准差，记为σ(X )，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 5．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)．常用结论均值与方差的四个常用性质(1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数． (2)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)． (3)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.(4)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1X 2)＝E (X 1)·E (X 2)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面的次数是随机变量．( √ )(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ ) (4)方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．( √ ) 教材改编题1．设随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 4 5P112161316p则p 为( ) A.16B.13C.14D.112 答案 C解析由分布列的性质知， 112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.2．若随机变量X 满足P (X ＝c )＝1，其中c 为常数，则D (X )的值为________．答案 0解析因为P (X ＝c )＝1，所以E (X )＝c ×1＝c ，所以D (X )＝(c －c )2×1＝0. 3．已知随机变量X 的分布列如下：X －1 0 1P12 13 16若Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为________．答案 73解析 E (X )＝－12＋16＝－13，则E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.题型一分布列的性质例1 (1)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X －1 0 1P121－qq －q 2则q 等于( ) A ．1 B.22或－22 C ．1＋22D.22答案 D解析由离散型随机变量分布列的性质得⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－q ＋q －q 2＝1，0≤1－q ≤12，0≤q －q 2≤12，解得q ＝22. (2)(多选)设随机变量ξ的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则( )A ．a ＝115B ．P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<45＝15C ．P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<12＝215D ．P (ξ＝1)＝310答案 AB解析对于选项A ， ∵随机变量ξ的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P (ξ＝1) ＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝15a ＝1，解得a ＝115，故A 正确；对于B ，易知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<45＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35＝3×115＝15，故B 正确；对于C ，易知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<ξ<12＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＝115＋2×115＝15，故C 错误；对于D ，易知P (ξ＝1)＝5×115＝13，故D 错误．教师备选1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为X 0 1 P9a 2－a3－8a则常数a 的值为( ) A.13B.23C.13或23 D ．－13或－23答案 A解析由分布列的性质可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤9a 2－a ≤1，0≤3－8a ≤1，9a 2－a ＋3－8a ＝1，解得a ＝13.2．离散型随机变量X 的概率分布列为P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( ) A.23B.34C.45D.56 答案 D解析因为P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.思维升华离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．跟踪训练1 (1)若随机变量X 的分布列如下表，则mn 的最大值是( )X 0 2 4Pm 0.5nA.116 B.18 C.14 D.12答案 A解析由分布列的性质，得m ＋n ＝12，m ≥0，n ≥0，所以mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝116，当且仅当m ＝n ＝14时，等号成立．(2)随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______，公差d 的取值范围是______．答案 23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13解析因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d ≤13.题型二离散型随机变量的分布列及数字特征例2 (1)(多选)设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1，则下列结果正确的有( ) A ．q ＝0.1B ．E (X )＝2，D (X )＝1.4C ．E (X )＝2，D (X )＝1.8 D ．E (Y )＝5，D (Y )＝7.2 答案 ACD解析因为q ＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q ＝0.1，故A 正确；由已知可得E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y ＝2X ＋1，所以E (Y )＝2E (X )＋1＝5，D (Y )＝4D (X )＝7.2，故D 正确．(2)(2022·昆明模拟)从1,2,3,4,5这组数据中，随机取出三个不同的数，用X 表示取出的数字的最小数，则随机变量X 的均值E (X )等于( ) A.32B.53C.74D.95 答案 A解析由题意知，X 的可能取值为1,2,3，而随机取3个数的取法有C 35种，当X ＝1时，取法有C 24种，即P (X ＝1)＝C 24C 35＝35；当X ＝2时，取法有C 23种，即P (X ＝2)＝C 23C 35＝310；当X ＝3时，取法有C 22种，即P (X ＝3)＝C 22C 35＝110；∴E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.教师备选1．已知随机变量X ，Y 满足Y ＝2X ＋1，且随机变量X 的分布列如下：X 0 1 2P1613a则随机变量Y 的方差D (Y )等于( ) A.59 B.209 C.43 D.299答案 B解析由分布列的性质，得a ＝1－16－13＝12，所以E (X )＝0×16＋1×13＋2×12＝43，所以D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－432×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－432×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－432×12＝59，又Y ＝2X ＋1，所以D (Y )＝4D (X )＝209.2．已知m ，n 为正常数，离散型随机变量X 的分布列如表：若随机变量X 的均值E (X )＝712，则mn ＝________，P (X ≤0)＝________. 答案118 13解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＋14＝1，n －m ＝712，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝112，n ＝23，所以mn ＝118，P (X ≤0)＝m ＋14＝13.思维升华求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值． (2)求ξ取每个值的概率． (3)写出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定义求E (ξ)，D (ξ)．跟踪训练2 (2022·邯郸模拟)小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．表1表2(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率； (2)求小张一个月积分不低于8分的概率；(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X 的分布列与均值．解 (1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为12＋14＝34，购买虚拟商品不低于100元的概率为16，因此所求概率为34×16＝18.(2)根据条件，积分不低于8分有两种情况：①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分； ②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，故小张一个月积分不低于8分的概率为 14×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12×16＝14.(3)由条件可知X 的可能取值为3,4,5. P (X ＝3)＝1313＋14＋14＝25，P (X ＝4)＝P (X ＝5)＝1413＋14＋14＝310，即X 的分布列如下：E (X )＝3×25＋4×310＋5×310＝3910.题型三均值与方差中的决策问题例3 (12分)(2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；[切入点：X 的取值情况] (2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.[关键点：均值大小比较]高考改编某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上篮两个项目．每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否则得0分．现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核．已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关．(1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由．解(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,4,10，则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝4)＝0.8×(1－0.7)＝0.24，P(X＝10)＝0.8×0.7＝0.56，所以X的分布列为(2)小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：由(1)可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的均值为E(X)＝0×0.2＋4×0.24＋10×0.56＝6.56，若小明先进行三步上篮考核，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,6,10，P(Y＝0)＝1－0.7＝0.3，P(Y＝6)＝0.7×(1－0.8)＝0.14，P(Y＝10)＝0.7×0.8＝0.56，则Y的均值为E(Y)＝0×0.3＋6×0.14＋10×0.56＝6.44，因为E(X)>E(Y)，所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先进行定点投篮考核．思维升华随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．跟踪训练3 (2021·北京)为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为111，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和均值E(X)；(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的均值为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．解(1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的一组每个人进行检测，需要10次，所以总检测次数为20.②由题意，X可以取20,30，P(X＝20)＝111，P(X＝30)＝1－111＝1011，则X 的分布列为X 20 30 P1111011所以E (X )＝20×111＋30×1011＝32011.(2)由题意，Y 可以取25,30，两名感染者在同一组的概率为P 1＝C 120C 22C 398C 5100＝499，不在同一组的概率为P 1＝9599，则E (Y )＝25×499＋30×9599＝295099>E (X )．课时精练1．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X 的最大可能取值为( ) A ．6B ．5C ．4D ．2 答案 B解析由于是逐次试验，可能最后一枚钥匙才能打开锁，即前5次都打不开锁，所以试验次数X 的最大可能取值为5. 2．若随机变量X 的分布列为X 1 2 3Pa b a则X 的均值E (X )等于( ) A ．2a ＋b B ．a ＋2b C ．2D ．3 答案 C解析 E (X )＝1×a ＋2×b ＋3×a ＝2(2a ＋b )，由分布列的性质可知2a ＋b ＝1，所以E (X )＝2. 3．已知随机变量X 的分布列是X 1 2 3P1213a则E (2X ＋a )等于( ) A.53B.73C.72D.236 答案 C解析由分布列的性质可得12＋13＋a ＝1，解得a ＝16，所以E (X )＝1×12＋2×13＋3×16＝53，因此E (2X ＋a )＝E ⎝⎛⎭⎪⎫2X ＋16＝2E (X )＋16＝2×53＋16＝72.4．(2022·南平模拟)某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A 品牌设备需投入60万元，B 品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析( ) A ．不更换设备 B ．更换为A 设备 C ．更换为B 设备 D ．更换为A 或B 设备均可答案 C解析设更换为A 品牌设备使用年限为X ，则E (X )＝2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＋5×0.1＝3，更换为A 品牌设备年均收益为3×100－60＝240(万元)；设更换为B 品牌设备使用年限为Y ，则E (Y )＝2×0.1＋3×0.3＋4×0.4＋5×0.2＝3.7，更换为B 品牌设备年均收益为3.7×100－90＝280(万元).280>240，所以更换为B 品牌设备．5．(多选)(2022·烟台模拟)中华人民共和国第十四届运动会于2021年9月在陕西省举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，第十四届全国运动会组织委员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的有( )A ．设事件A ：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P (A )＝67B ．设事件A ：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B ：“抽取的3人中全是男志愿者”，则P (B |A )＝217C ．用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数，则E (X )＝127D ．用Y 表示抽取的三人中男志愿者的人数，则D (Y )＝2449答案 ABD解析对于A ，所有可能的情况有C 37＝35(种)，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有C 14C 23＋C 24C 13＝30(种)，故P (A )＝3035＝67，故A 正确；对于B ，P (AB )＝C 34C 37＝435，P (A )＝C 14C 23＋C 24C 13＋C 34C 37＝3435，所以P (B |A )＝P AB P A ＝434＝217，故B 正确；对于C ，X 的所有可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 13C 24C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 23C 14C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，所以E (X )＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97，故C 错误；对于D ，Y 的所有可能取值为0,1,2,3，则P (Y ＝0)＝C 33C 37＝135，P (Y ＝1)＝C 23C 14C 37＝1235，P (Y ＝2)＝C 13C 24C 37＝1835，P (Y ＝3)＝C 34C 37＝435，则E (Y 2)＝0×135＋1×1235＋4×1835＋9×435＝247，E (Y )＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127，则D (Y )＝E (Y 2)－(E (Y ))2＝247－⎝ ⎛⎭⎪⎫1272＝2449，故D 正确．6．(多选)(2022·永州模拟)已知14<p <1，随机变量X 的分布列如下，则下列结论正确的有( )A ．P (X ＝2)的值最大B ．P (X ＝0)<P (X ＝1)C ．E (X )随着p 的增大而减小D ．E (X )随着p 的增大而增大答案 BD解析当p ＝12时，P (X ＝2)＝14，P (X ＝1)＝1－12＝12>14，A 错误；因为14<p <1，所以p －p 2＝p (1－p )<1－p ，即P (X ＝0)<P (X ＝1)，B 正确；E (X )＝1－p ＋2p 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫p －142＋78，因为14<p <1，所以E (X )随着p 的增大而增大，C 错误，D 正确．7．(2022·无锡质检)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则X 的均值为__________．答案 1＋22解析由12＋1－q ＋q －q 2＝1得，q 2＝12，q ＝22， ∴E (X )＝12＋2－2q ＋3q －3q 2＝52＋q －3q 2 ＝52＋22－32 ＝1＋22. 8．某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为34，乙、丙科目合格的概率相等，且3个科目是否合格相互独立．设小张3科中合格的科目数为X ，若P (X ＝3)＝316，则E (X )＝__________.答案 74解析乙、丙科目合格的概率相等，可设乙、丙科目合格的概率均为p ，则P (X ＝3)＝34p 2＝316，解得p ＝12，故P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝116，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12×34＝516，P (X ＝2)＝12×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×34＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×12×34＝716，故X 的分布列为E (X )＝0×116＋1×516＋2×716＋3×316＝74.9．2021年，“十四五”开启全面建设社会主义现代化国家新征程，这一年，中国共产党迎来建党100周年．某企业开展“学党史，颂党恩，跟党走”的知识问答活动，该企业收集了参与此次知识问答活动的员工得分情况，得到如下频率分布表：其中样本的平均数是73.6.(假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替) (1)求a ，b 的值；(2)根据此次知识问答活动的得分，评出四个等级，并根据等级给予如下的奖励：每次抽奖的中奖率均为12，每次中奖的奖金都为100元，求参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X 的均值．解 (1)因为样本的平均数是73.6，所以45×0.04＋55×0.10＋65a ＋75b ＋85×0.20＋95×0.12＝73.6，即65a ＋75b ＝37.9，①又a ＋b ＝1－0.04－0.10－0.20－0.12＝0.54，② 由①②解得a ＝0.26，b ＝0.28.(2)当该员工的评定等级为优秀时，奖金的均值为12×4×100＝200，当该员工的评定等级为良好时，奖金的均值为12×2×100＝100，当该员工的评定等级为合格时，奖金的均值为12×1×100＝50，当该员工的评定等级为不合格时，奖金的均值为12×0×100＝0，E (X )＝0×0.14＋50×0.26＋100×0.28＋200×0.32＝105，故参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X 的均值为105元．10．(2022·广州模拟)已知袋中装有大小、形状都相同的小球共5个，其中3个红球，2个白球．(1)若从袋中任意摸出4个球，求恰有2个红球的概率；(2)若每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球即停止摸球，这样的摸球最多四次，η1表示停止时的摸球次数；又若每次随机地摸出一个球，记下颜色后不放回，摸到白球即停止摸球，η2表示停止时的摸球次数．分别求出η1和η2的分布列，并计算η1≠η2的概率．解 (1)设事件A 为“从袋中任意摸4个球，恰有2个红球”，则P (A )＝C 23C 45＝35.(2)η1的所有可能取值为1,2,3,4，则P (η1＝1)＝C 12C 15＝25，P (η1＝2)＝3×25×5＝625， P (η1＝3)＝3×3×25×5×5＝18125，P (η1＝4)＝3×3×3×55×5×5×5＝27125，η1的分布列为η2的所有可能取值为1,2,3,4，则P (η2＝1)＝C 12C 15＝25，P (η2＝2)＝3×25×4＝310， P (η2＝3)＝3×2×25×4×3＝15，P (η2＝4)＝3×2×1×25×4×3×2＝110，η2的分布列为从而P (η1≠η2)＝1－P (η1＝η2)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫25×25＋625×310＋18125×15＋27125×110 ＝8971 250.11．某公司圆满完成年初制定的生产目标，为答谢各位员工一年来的辛勤工作，公司决定召开年终总结联欢晚会，在联欢晚会上准备举行一个抽奖游戏，规定每位员工从一个装有4张奖券的箱子中，一次性随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元，其余3张面值均为40元，则每位员工所获得的奖励额的均值是( ) A ．80元 B ．100元 C ．120元 D ．140元答案 B解析设每位员工所获得的奖励额为X 元，则X 所有可能的取值为80,120，且P (X ＝80)＝C 23C 24＝12，P (X ＝120)＝C 13C 11C 24＝12，所以每位员工所获得的奖励额的均值E (X )＝80×12＋120×12＝100.12．(2022·榆林模拟)设0<a <12，0<b <12，随机变量的分布列为ξ －1 0 1P12a b则当a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内增大时，( ) A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)增大，D (ξ)减小 C ．E (ξ)减小，D (ξ)增大 D ．E (ξ)减小，D (ξ)减小答案 D解析由分布列中概率之和为1，可得a ＋b ＝12，∴E (ξ)＝－12＋b ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＝－a ，∴当a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内增大时，E (ξ)减小，又由D (ξ)＝(－1＋a )2×12＋(0＋a )2×a ＋(1＋a )2×b ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋54，可知当a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内增大时，D (ξ)减小．13．(多选)(2022·烟台质检)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是( ) A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为518B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为11296C ．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为25216D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为23答案 ACD解析四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A 46种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为A 4664＝518，故A 正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为664＝1216，故B 错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为C 24×5264＝25216，故C 正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3,4.则P (ξ＝0)＝5464，P (ξ＝1)＝C 145364，P (ξ＝2)＝C 245264，P (ξ＝3)＝C 34×564，P (ξ＝4)＝164，则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值E (ξ)＝0×5464＋1×C 145364＋2×C 245264＋3×C 34×564＋4×164＝23，故D 正确． 14．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝______. 答案310解析由题意可知， P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝310.15．(多选)设随机变量ξ的分布列如表：ξ 1 2 3 … 2021 2022Pa 1 a 2 a 3 …a 2021 a 2022则下列说法正确的是( )A ．当{a n }为等差数列时，a 2＋a 2021＝11011B ．数列{a n }的通项公式可能为a n ＝20232022n n ＋1C ．当数列{a n }满足a n ＝12n (n ＝1,2，…，2021)时，a 2022＝122022D ．当数列{a n }满足P (ξ≤k )＝k 2a k (k ＝1,2，…，2022)时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2) 答案 ABD解析对于A ，因为{a n }为等差数列，所以S 2022＝2022a 1＋a 20222＝1，则有a 2＋a 2021＝a 1＋a 2022＝11011，故A 正确；对于B ，若数列{a n }的通项公式为a n ＝20232022n n ＋1＝20232022⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，则S 2022＝20232022⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12022－12023＝20232022⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12023＝1，故B 正确；对于C ，因为a n ＝12n ，所以S 2022＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1220211－12＋a 2022＝1－122021＋a 2022＝1，则有a 2022＝122021，故C 错误；对于D ，令S k ＝P (ξ≤k )＝k 2a k ，则a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)2a k ＋1－k 2a k ，故a k ＋1a k ＝k k ＋2，所以a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，即(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2)，故D 正确．16．(2022·莆田质检)某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A ，B 两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为A 级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为A 级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为B 级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为A 级的概率如表一所示，一件产品的利润(单位：万元)如表二所示：表一表二(1)用η表示一件产品的利润，求η的分布列和均值；(2)因第一工序加工结果为A 级的概率较低，工厂计划通过增加检测成本对第一工序进行改良，假如改良过程中，每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元(即每件产品利润相应减少x 万元)时，第一工序加工结果为A 级的概率增加19x .问该改良方案对一件产品利润的均值是否会产生影响？并说明理由．解 (1)由题意可知，η的所有可能取值为23,8,5，产品为一等品的概率为0.5×0.75×0.8＝0.3，产品为二等品的概率为(1－0.5×0.75)×0.8＝0.5，产品为三等品的概率为1－0.3－0.5＝0.2，所以η的分布列为E (η)＝23×0.3＋8×0.5＋5×0.2＝11.9.(2)改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响，理由如下：在改良过程中，每件产品检测成本增加x (0≤x ≤4)万元，第一工序加工结果为A 级的概率增加19x ，设改良后一件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为23－x,8－x,5－x ，所以一等品的概率为⎝⎛⎭⎪⎫0.5＋19x ×0.75×0.8＝0.3＋x 15，二等品的概率为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.5＋x 9×0.75×0.8＝0.5－x 15，三等品的概率为1－⎝⎛⎭⎪⎫0.3＋x 15－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.5－x 15＝0.2，所以E (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.3＋x 15(23－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0.5－x 15(8－x )＋0.2×(5－x ) ＝6.9－0.3x ＋2315x －115x 2＋4－0.5x －815x ＋115x 2＋1－0.2x ＝11.9，因为E (ξ)＝E (η)，所以改良方案对一件产品的利润的均值不会产生影响．。

[广东理数一轮]10.7离散型随机变量及其分布列

解析： (1)设乙厂生产的产品数量为 x 件， 98 x 由分层抽样得，＝，∴x＝35， 14 5 因此，乙厂生产的产品数量为 35 件， (2)由题中表格提供的数据可知，乙厂抽取的 5 件产品中有 2 件 2 优等品，分别是 2 号和 5 号，样品中优等品的频率为， 5 由(1)知乙厂共有产品 35 件， 2 所以估计乙厂优等品的数量为 35× ＝14(件)． 5
注意随机变量的本质所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数 fx的自变量是实数 x，而在随机变量的概念中，随机变量 X 的自变量是试验结果.
例题与练习：
考点一离散型随机变量分布列的性质 1.设 X 是一个离散型随机变量，其分布列为：－1 X 0 1 1 1－2q P q2 2 则 q 等于( ) 2 A．1 B．1± 2 2 2 C．1－ D．1＋ 2 2
[答案]
1 4
4.随机变量 X 的分布列如下： X －1 0 1 2 p a b c 答案： 3 其中，a，b，c 成等差数列，则 P(|X|＝1)＝________.
考点二离散型随机变量的分布列 5.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 50 辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故 0＜x 1＜ x 0＜x x＞ x＞2 障时间 x(年) ≤1 ≤2 ≤2 2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9
8.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件，测量产品中微量元素 x，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的 5 件产品的测量数据： 1 2 3 4 5 编号 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 (1)已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量； (2)当产品中的微量元素 x， y 满足 x≥175 且 y≥75 时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 ξ 的分布列及其均值(即数学期望)．

(新课标)高三数学一轮复习第10篇离散型随机变量及其分布列学案理-人教版高三全册数学学案

第六十五课时离散型随机变量及其分布列课前预习案1.会求与现实生活有密切关系的离散型随机变量的分布列；2.掌握二点分布与超几何分布的特点，并会应用．1．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能出来，则称X为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率为p1，p2，…，p n，则表称为离散型随机变量X(2)离散型随机变量分布列的性质：①p i 0 ， (i＝1,2,3，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝；③P(x i≤x≤x j)＝p i＋p i＋1＋…＋p j.3．常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，q＝，则称离散型随机变量p的二点分布．(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M 中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n 的超几何分布．1．设随机变量X 的分布列如下：则p ＝________.2．设某运动员投篮投中的概率为0.3，则一次投篮时投中次数X 的分布列是________．3．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为_____________．4．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.5165．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于 ( )A.16 B.13C.12D.23课堂探究案考点1 离散型随机变量的分布列的性质【典例1】设随机变量ξ的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则常数a 的值为________，P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝________.【变式1】若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________.考点2 离散型随机变量的分布列的求法及应用【典例2】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ. (1)求ξ的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；【变式2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货．．．的概率； (2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的概率分布列和数学期望．考点3 超几何分步【典例3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．【变式3】2013年10月1日，为庆祝中华人民共和国成立64周年，来自北京大学和清华大学的6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名北京大学志愿者的概率是35.(1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率；(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ξ的分布列．1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为( )A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋222．某射手射击所得环数X 的分布列为)A ．0.28B ．0.88C ．0.79D ．0.513．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B.12 C.13 D.234．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)5．设随机变量X 等可能取值为1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，那么n ＝______.课后拓展案组全员必做题1．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1) (n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52的值为( )A.23B.34C.45D.562．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是( )A．ξ＝4 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤53．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X 01 2P a 1316F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于 ( )A.13B.16C.12D.564．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝12k－1，k＝1,2,3，…，n，则P(2<ξ≤5)＝________. 5．设随机变量X的概率分布列为X 123 4P 13m1416则P(|X－3|＝1)＝________.6.已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．7.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为X 01 2P8.从一批含有13件正品与2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数的分布列．B组提高选做题1．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝_______.2.某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人.力为中等或中等以上的概率为25.(1)试确定a ，b 的值；(2)从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率； (3)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．参考答案1．【答案】 13【解析】由分布列的性质知：所有概率之和为1，所以p ＝13.2．【答案】30,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为4．【答案】 A【解析】 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.5．【答案】 D【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.【典例1】【答案】115 45【解析】随机变量ξ的分布列为由a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，解得a ＝15.P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝35＋P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ＝45＋P (ξ＝1)＝3a ＋4a ＋5a ＝12a ＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫或P ⎝⎛⎭⎪⎫ξ≥35＝1－P (ξ≤25)＝1－3a ＝45.【变式1】【答案】 13 13【解析】由离散型随机变量分布列的性质可知： ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝10≤9c 2－c ≤10≤3－8c ≤1，解得c ＝13.P (X ＝1)＝3－8×13＝13.【典例2】【解析】 (1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P (ξ＝6)＝126200＝0.63，P (ξ＝2)＝50200＝0.25，P (ξ＝1)＝20200＝0.1，P (ξ＝－2)＝4200＝0.02.故ξ的分布列为(2)1件产品的平均利润为E 4.34(万元)．【变式2】【解析】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34. 所以X 的概率分布列为故X 的数学期望为E (X )＝2×14＋3×34＝114.【典例3】【解析】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，其中P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0,1,2,3.于是可得其分布列为【变式3】【解析】(1)A ，则事件A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有北京大学志愿者x 名，1≤x <6，那么P (A )＝1－C 26－x C 26＝35，解得x ＝2，即来自北京大学的志愿者有2名，来自清华大学的志愿者有4名．记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名”为事件B ，则P (B )＝C 12C 14C 26＝815，所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各1名的概率是815.(2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数ξ服从超几何分布，其中N ＝6，M ＝2，n ＝2，于是 P (ξ＝k )＝C k 2C 2－k4C 26，k ＝0,1,2，∴P (ξ＝0)＝C 02C 24C 26＝25，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (ξ＝2)＝C 22C 04C 26＝115.所以ξ的分布列为1．【答案】 C【解析】由分布列的性质得： 2211212112010q q q q ⎧+-+=⎪⎪>-≥⎨⎪-≥⎪⎩，∴q ＝1－22.故选C.2．【答案】C【解析】P (X >7)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 3．【答案】 C 4．【答案】 C【解析】X 服从超几何分布P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4.5．【答案】 10【解析】由于随机变量X 等可能取值为1,2,3，…，n .所以取到每个数的概率均为1n.∴P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n＝0.3，∴n ＝10.组全员必做题1．【答案】 D 【解析】 ∵P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.2．【答案】C【解析】“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，第6次摸到红球，故ξ＝6. 3．【答案】D【解析】∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12，∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.4．【答案】716【解析】P (2<ξ≤5)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＋P (ξ＝5) ＝14＋18＋116＝716. 5．【答案】512【解析】由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.6.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 【解析】设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0得－13≤d ≤13.7.【答案】0.1 0.6 0.3【解析】 P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13·C 12C 25＝610＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.8.【解析】设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，它的可能取值为0,1,2，其相应的概率为P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝2235，P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝135.所以ξ的分布列为组提高选做题1．【答案】 45【解析】方法一由已知，ξ的取值为7,8,9,10， ∵P (ξ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (ξ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (ξ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25，P (ξ＝10)＝C 22C 11C 35＝110，∴ξ的分布列为∴P (ξ≥8)＝P (ξ＝8)＋P (ξ＝310＋25＋110＝45.方法二 P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝7)＝1－C 22C 12C 35＝45.2.【解析】(1)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10＋a )人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则P (A )＝10＋a 40＝25，解得a ＝6.所以b ＝40－(32＋a )＝40－38＝2. 答 a 的值为6，b 的值为2.(2)由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人．方法一记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以P (B )＝1－P (B )＝1－C 332C 340＝1－124247＝123247.答从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247.方法二记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以P (B )＝C 18C 232＋C 28C 132＋C 38C 340＝123247. 答从这40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为123247.(3)由于从40位学生中任意抽取3人的结果数为C 340，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3人，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C k 24C 3－k16，所以从40位学生中任意抽取3人，其中恰有k 人具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P (ξ＝k )＝C k24C 3－k16C 340(k ＝0,1,2,3)，ξ的可能取值为0,1,2,3，因为P (ξ＝0)＝C 024C 316C 340＝14247，P (ξ＝1)＝C 124C 216C 340＝72247，P (ξ＝2)＝C 224C 116C 340＝5521 235，P (ξ＝3)＝C 324C 016C 340＝2531 235，所以ξ的分布列为。

2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5讲离散型随机变量的分布列均值与方

3．(选择性必修3P69例6)A、B两种股票，每股收益分布列如表股票A收益分布列
收益X/元－1 0 2 概率 a 0.3 0.6
股票B收益分布列收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 b
则投资___A____股票期望大，投资___A____股票风险高．
[解析] 由分布列的性质易知a＝0.1，b＝0.3，从而E(X)＝1.1，E(Y)＝1，D(X)＝1.29，D(Y)＝0.6， ∴E(X)>E(Y)，投资A股票期望大， D(X)>D(Y)投资A股票风险高．
a 2
A．D(X)增大
B．D(X)减小
C．D(X)先减小后增大
D．D(X)先增大后减小
[解析] 由题意： E(X)＝0×1－2 a＋1×12＋2×a2＝a＋12，所以 D(X)＝1－2 a0－a－122＋121－a－122＋a22－a－122＝－a2＋a＋14 ＝－a－122＋12，因为12∈0，23，所以 D(X)先增后减，故选 D．
X0 2 4 P 0.4 0.3 0.3
[解析] 由题意知E(X)＝2×0.3＋4×0.3＝1.8，∴E(5X＋4)＝5E(X) ＋4＝13.
2．(角度 2)(2023·广东深圳调研)设 0<a<1，离散型随机变量 X 的分
布列如下，则当 a 在0，23内增大时( D )
X 0 12
P
1－a 2
1 2
1．均值：称 E(X)＝__x_1_p_1＋__x_2_p_2_＋__…__＋__x_ip_i＋__…__＋__x_n_p_n_＝__i∑＝_1_x_ip_i__为随
机变量 X 的均值或数学期望．
n
2．方差：称 D(X)＝∑i＝1 (xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的方差，其算术平方根 DX为随机变量 X 的__标__准__差____.

高中数学高考高三理科一轮复习资料第10章 10.11 离散型随机变量

2．离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，„，n； (2) pi＝1.
i＝1 n
三、常见离散列为 X 0 1 P 1－p p ，其中 p＝⑥__________称为成功概率．
2．超几何分布列：在含有 M 件次品数的 N 件产品中，任取 n 件，其中含有 X k n －k CM CN－M 件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝ Cn (k N ＝ 0,1,2 ， „ ， m) ，其中 m ＝ ⑦ ____________ ，且 ⑧ ______________，则称分布列为超几何分布列． X 0 1 m „ n－0 1 n－1 m n－m C0 · C C C C M N－M M N－M MCN－M P „ n Cn C Cn N N N
二、离散型随机变量的分布列及性质 1．一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2，„，xi，„，xn，X 取每一个值 xi(i＝1,2，„，n)的概率 P ＝(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 „ xi „ xn P p1 p2 „ pi „ pn 称为离散型随机变量 X 的③____________，简称为 X 的④ ________.有时为了表达简单，也用等式⑤____________表示 X 的分布列．
解析：由于抛掷 1 颗骰子，可能出现的点数是 1,2,3,4,5,6 这 6 种情况之一，而 X 表示抛掷 2 颗骰子所得到的点数之和，所以 X＝4＝1＋3＝2＋2 表示的随机试验结果是：1 颗是 1 点，另 1 颗是 3 点，或者 2 颗都是 2 点，故选 D. 答案：D
2．袋中有大小相同的 5 只钢球，分别标有 1,2,3,4,5 五个号码，不放回地任意抽取两个球，设两个球号码之和为 X，则 X 的所有可能取值个数为( ) A．25 B．10 C．7 D．6

新课标高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布3离散型随机变量及其分布课时作业理

课时作业73 离散型随机变量及其分布一、选择题1．随机变量ξ分布列为：那么ξA．0.7 B．－1C．0 D．1解析：因为P(ξ，P(ξ，P(ξ，所以ξB.答案：B2．某射手射击所得环数X分布列为解析：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案：C3．随机变量X概率分布列如下表：A.239B.2310C.139 D.1310 解析：由题意知：P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋…＋P (X ＝10)＝1⇒23＋232＋…＋239＋m ＝1⇒m ＝1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫23＋232＋…＋239 ＝1－2×13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1391－13＝1－⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－139＝139.答案：C4．带活动门小盒子里有采自同一巢20只工蜂与10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X 表示放出蜂中工蜂只数，那么X ＝2时概率是( )A.C 120C 410C 530B.C 220C 310C 530C.C 320C 210C 530D.C 420C 110C 530解析：X 服从超几何分布，P (X ＝2)＝C 220C 310C 530.答案：B5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新，3个旧，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，那么P (X ＝4)值为( )A.1220B.2755C.27220D.2125解析：由题意取出3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：C6．离散型随机变量X 可能取值为1，2，3，4，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1，2，3，4)，又E (X )＝3，那么3a ＋b ＝( )A ．10B.310 C ．5D.15解析：依题意知：E (X )＝1×(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝a ＋b ＋4a ＋2b ＋9a ＋3b ＋16a ＋4b＝30a ＋10b ＝3，所以3a ＋b ＝310.答案：B 二、填空题7．甲、乙两队在一次对抗赛某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题队伍得0分，抢到题并答复正确得1分，抢到题但答复错误扣1分(即得－1分)．假设X 是甲队在该轮比赛获胜时得分(分数高者胜)，那么X 所有可能取值是________．解析：X ＝－1，甲抢到一题但答错了．X ＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，答复时一对一错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对， X ＝2时，甲抢到2题均答对． X ＝3时，甲抢到3题均答对．答案：－1，0，1，2，38．从4名男生与2名女生中选3人参加演讲比赛，那么所选3人中女生人数不超过1人概率是________．解析：设所选女生人数为X ，那么X 服从超几何分布，其中N＝6，M ＝2，n ＝3，那么P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45. 答案：459．随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，那么公差d 取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，那么(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13，13 三、解答题10．将编号为1，2，3，4四个材质与大小都一样球，随机放入编号为1，2，3，4四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球编号与所放入盒子编号正好一样个数．(1)求1号球恰好落入1号盒子概率． (2)求ξ分布列．解：(1)设事件A 表示“1号球恰好落入1号盒子〞，P (A )＝A 33A 44＝14，所以1号球恰好落入1号盒子概率为14.(2)ξ所有可能取值为0，1，2，4.P (ξ＝0)＝3×3A 44＝38；P (ξ＝1)＝4×2A 44＝13；P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14；P (ξ＝4)＝1A 44＝124.所以随机变量ξ分布列为：11.A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队概率；(2)某场比赛前，从代表队6名队员中随机抽取4人参赛．设X 表示参赛男生人数，求X 分布列与数学期望．解：(1)由题意，参加集训男、女生各有6名．参赛学生全从B 中学抽取概率为C 33C 34C 36C 36＝1100.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队概率为1－1100＝99100.(2)根据题意，X 可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 分布列为因此，XE (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.1．(2021 ·福建卷)某银行规定，一张银行卡假设在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡密码，但可以确认该银行卡正确密码是他常用6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进展尝试，假设密码正确，那么完毕尝试；否那么继续尝试．直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王该银行卡被锁定概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 分布列与数学期望．解：(1)设“当天小王该银行卡被锁定〞事件为A ，那么P (A )＝56×45×34＝12. (2)依题意得，X 所有可能取值是1，2，3.又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.2．为了了解高一学生体能情况，某校随机抽取局部学生进展一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如下图，次数在[100，110)间频数为7，次数在110以下(不含110)视为不达标，次数在[110，130)间视为达标，次数在130以上视为优秀．(1)求此次抽样样本总数为多少人？(2)在样本中，随机抽取一人调查，那么抽中不达标学生、达标学生、优秀学生概率分别是多少？(3)将抽样样本频率视为总体概率，假设优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标成绩记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们分值与记为X ，求X 分布列与期望．解：(1)设样本总数为n ，由频率分布直方图可知：次数在[100，110)间频率为 0．014×10， ∴7n，解得n ＝50. (2)记抽中不达标学生事件为C ，抽中达标学生事件为B ，抽中优秀学生事件为A .P (C )＝0.006×10＋0.014×10＝0.20； P (B )＝0.028×10＋0.022×10＝0.50； P (A )＝1－P (B )－P (C )＝0.30.(3)在高一学生中随机抽取2名学生成绩与X＝10，15，20，25，30.P(X＝10)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝15)＝2×0.2×0.5＝0.2；P(X2＋2×0.2×0.3＝0.37；P(X＝25)＝2×0.3×0.5＝0.3；P(X2＝0.09.X分布列为E(X)＝＋0.3×25＋0.09×30＝21.。

2019高考数学(理)一轮复习全套学案

2019高考数学（理）一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A ⊆A . (3)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(5)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y ＝x 2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y ＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．] 5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)－32 [(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠，应分[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助用数轴表示，并注意端点值的取舍以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图111)表示的集合是( )图111A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)(3)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A ∩B ＝{1}， ∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(第3页)[基础知识填充]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”，显然﹁q ：tan α≠1，﹁p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]5．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B [∵2－x ≥0，∴x ≤2. ∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．故选B.](第4页)(1)命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若﹁p ，则﹁q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故﹁p 为a 2≤b 2，﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .(2)对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例[跟踪训练个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )【79140007】A．0 B．1C．2 D．3D[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．故选A.(2)由a 3＞b 3可得a ＞b ，当a ＜0，b ＜0时，ln a ，ln b 无意义；反之，由ln a ＞ln b 可得a ＞b ，故a 3＞b 3.因此“a 3＞b 3”是“ln a ＞ln b ”的必要不充分条件．]定义法：根据集合法：根据断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－12<12”是“sin θ<2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ，即p ⇒q ，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p 是q 的充分不必要条件，故选A.]m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．]1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．2．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．[解] 不存在．理由：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解，∴不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．组求解易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p ：x ≥k ，q ：x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：a ≤x ≤a ＋1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [(1)∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．﹁p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12，﹁q 对应的集合B ＝{}x |x ＞a ＋1或x ＜a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.]第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(第5页) [基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：﹁p 且﹁q ；p 且q 的否定为：﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题﹁p ，﹁q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以﹁p ，﹁q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x 0∈Z,1＜4x 0＜3B ．存在x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．任意x ∈R ，x 2－1＝0 D ．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0D [选项A 中，14＜x 0＜34且x 0∈Z ，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．]4．命题：“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(﹁p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(1)A(2)B[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题．]确定命题的构成形式；判断依据“或”——一真即真，p”等形式命题的真假是y＝|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：2的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有( )【79140013】A．1个B．2个C．3个D．4个C[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中，真命题是( ) A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos βD [因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)>n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合x 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个＝x 0，使x 0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论：对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p ：存在x ∈⎝⎭⎪⎫0，2，使得cos x ≤x ，则﹁p 为( )A ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x＞0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.(2)当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“任意x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x ∈R,2x＞0，故命题“任意x ∈R,2x＞0”是真命题．]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0，＋∞)，x ＋x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＜m ”是真命题，又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以实数m 的取值范围为(2，＋∞)．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(第8页) [基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域：数集A 叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．如图211所示，所给图像是函数图像的有( )图211A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [(1)中，当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．]已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数：①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出；②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域，先求φx 值域[a a ≤h xb ，.[跟踪训练] (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知{ 1－x ＞0，x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴{ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎨⎧fx ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法换元法：已知复合函数gx 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围构造法：已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出x已知f x ＋1)＝，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． [解] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根，所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝{ 1＋log 2－x ，x <1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]。

(全国版)2017版高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量 10.7 离散型随机变量及其

X
0
1
…
m
P
_C__0MC_Cn_NnN_0M__
_C_1_MCC_nN_nN_1M__
…
__C_mMC_C_nNnN_mM__
则称随机变量X服从超几何分布.
【特别提醒】 1.确定随机变量取值时的关注点:每个取值对应的实际结果及各个取值表示的结果是彼此互斥的. 2.某指定范围的概率: 某指定范围的概率等于本范围内所有随机变量的概率和.
【解题导引】(1)由于每个粽子被取到的机会均等,且所有选法是一定的,因此可直接用古典概型的概率计算公式计算. (2)该问题符合超几何分布的定义,利用超几何分布求出分布列即可.
【规范解答】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1
个”，则由古典概型的概率计算公式有
P(2()AX)的=C所12CC有13130C1可5 能14 .值为0,1,2，且
X 则常数c的值为 P(
0 9)c2-c
1 3-8c
A .2或 1 B .2 C .1 D .1 33 3 3
(2)设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 2 34 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求η=|X-1|的分布列.
【解题导引】(1)根据离散型随机变量分布列的性质列出关于c的不等式和方程求解. (2)先利用离散型随机变量分布列的性质求出m的值,再求η=|X-1|的分布列.
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,
有时也用等式_P_(_X_=_x_i_)_=_p_i,_i_=_1_,_2_,_…__,_n_表示X的分布列. (2)性质:
①_________________;② =1.

人教版高中数学高考一轮复习--离散型随机变量及其分布列

增.已知学生甲答题时,若该题会做,则必得满分,若该题不会做,则不作答得
0分,通过对学生甲以往同类模拟考试情况的统计,得到他各题得分的概率
如表所示.
题目
第1题
第2题
代数
0.6
0.5
几何
0.8
0.7
数论
0.7
0.7
组合
0.7
0.6
第3题
第4题
0.4
0.2
0.5
0.3
0.5
0.3
0.3
0.2
假设学生甲考试中各题的得分相互独立.
(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列.
3.求离散型随机变量分布列的关键是求随机变量取每个值的概率,在求解
时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.
对点训练2
(1)已知一批100件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件
进行检查,设抽取的2件产品中不合格品数为X,求X的分布列.
2
1 2 2
1 1 2
2
P(X=1)=3,P(X=2)=3 × 3 = 9,P(X=3)=3 × 3 × 3 = 27.
故 X 的分布列为
X
1
2
3
P
2
3
2
9
2
27
出现这种错误解法的原因是没有明确随机变量X的意义,X=1表示第一次
试验成功;X=2表示第一次试验失败,第二次试验成功;X=3表示前两次试验
X
P
40
0.147
80
0.343
100
0.126
140
0.294
160
0.027

10.7离散型随机变量及其分布列和数字特征课件高三数学一轮复习

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
知识诊断基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有_唯__一__的__实__数__X_(_w_)_ 与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
考点突破题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例1 (1)随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a bc
2 其中 a，b， c成等差数列，则 P(|X|＝ 1) ＝____3____ ，公差 d的取值范围是 __－__13_，__31_ .
解析因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
i＝1
或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的__平__均__水__平__.
(2)方差
称 D(X) ＝ (x1 － E(X))2p1 ＋ (x2 － E(X))2p2 ＋ … ＋ (xn － E(X))2pn ＝
n
_____i∑＝_1_（__x_i_－__E_（__X_）___）__2p_i_____为随机变量 X 的方差，并称____D_（__X__）___为
X 2X＋1
01234 13579
从而2X＋1的分布列为
2X＋1 P
13579 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
②由①知m＝0.3，列表为
X |X－1|
01234 10123
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，

高考数学一轮复习第10章第7讲离散型随机变量及其分布列课件理

B.3
C.4
D.12
答案 C
答案
解析由分布列的性质得，112＋16＋13＋16＋p＝1，解得 p＝14.
解析
(4)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中女
生人数不超过 1 人的概率是________．
答案
4 5
解析设所选女生人数为 x，则 x 服从超几何分布，其中 N＝6，M＝2，n＝3，则 P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝CC20C36 34＋CC21C36 24＝45.
B．P(ξ＞1)＝45
C．P(2＜ξ＜4)＝25 D．P(ξ＜0.5)＝0
答案 C
答案
解析由离散型随机变量 ξ 的概率分布列得， P(ξ＜3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝110＋15＋110＋15＝35，故 A 错误；P(ξ＞1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝15＋25＝35，故 B 错误；P(2＜ξ＜4)＝P(ξ ＝3)＝25，故 C 正确；P(ξ＜0.5)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝110＋15＝130，故 D 错误．
(4)若随机变量 X 的分布列由下表给出， X2 5 P 0.3 0.7
则它服从两点分布．( × )
2．小题热身
(1)已知 8 件产品中有 2 件次品，从中任取 3 件，取到次品的件数为随
机变量 ξ，那么 ξ 的可能取值为( )
A．0,1
B．1,2
C．0,1,2
D．0,1,2,3
答案 C 解析由于只有 2 件次品，所以 ξ 的可能取值为 0,1,2.
□n
②
05 pi＝1
i＝1
.
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为