稳态温度场求解
二维稳态温度场控制方程
二维稳态温度场控制方程二维稳态温度场控制方程是描述二维空间内物体温度分布的方程，它是热传导定律的数学表达形式。
稳态温度场意味着物体内部的温度分布不随时间变化，只与空间位置有关。
此外，控制方程还考虑了边界条件和材料性质。
二维稳态温度场的控制方程可以用偏微分方程形式表示，对于矩形区域内的二维空间来说，控制方程如下：【注】用户在问题陈述中可能会给出具体的条件，如热源和边界条件，因此，参考以下方程时可以结合具体情况适当添加这些条件。
热传导方程：∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = 0热传导方程是一个椭圆型偏微分方程，它描述了温度分布在空间中的流动和变化。
其中T表示温度，x和y分别表示空间坐标。
边界条件：1.第一类边界条件：指定边界上的温度值。
可以是恒定的温度，如T(x,y)=T0，表示边界上的温度值为常量T0。
2.第二类边界条件：指定边界上的温度梯度。
可以是传热率，如q_n = -k * ∂T/∂n，表示边界上的传热速率等于热传导率乘以温度梯度，其中q_n是与边界垂直的热通量；k是材料的热传导率；∂T/∂n是温度沿着边界法向量方向的梯度。
材料性质：材料性质包括热扩散率和热导率。
其中热扩散率表示材料对热的传递速度的能力，热导率表示材料在单位时间内单位面积的热流量，两者通常用D和k表示。
通过数值解法，可以求解出二维稳态温度场控制方程的解析解。
数值解法中常用的方法有有限差分法和有限元法。
有限差分法将偏微分方程离散化为差分方程，通过迭代计算得到数值解。
有限元法将二维空间划分为小的有限元单元，并通过插值计算得到节点上的温度值，然后利用元素之间的关系求解整个二维区域内的温度分布。
在实际应用中，二维稳态温度场控制方程被广泛应用于热传导、传热分析、热工程和工业制造等领域。
例如，它可以用于预测电子设备中的热分布，优化散热系统设计。
也可以用于分析材料加工过程中的温度变化，以便提高生产效率和产品质量。
ANSYS稳态和瞬态分析步骤简述..
ANSYS稳态和瞬态热模拟基本步骤基于ANSYS 9。
0一、稳态分析从温度场是否是时间的函数即是否随时间变化上，热分析包括稳态和瞬态热分析。
其中，稳态指的是系统的温度场不随时间变化，系统的净热流率为0，即流入系统的热量加上系统自身产生的热量等于流出系统的热量：（3-1）=0+-q q q流入生成流出在稳态分析中，任一节点的温度不随时间变化.基本步骤:（为简单起见，按照软件的菜单逐级介绍）1、选择分析类型点击Preferences菜单,出现对话框1。
对话框1我们主要针对的是热分析的模拟，所以选择Thermal.这样做的目的是为了使后面的菜单中只有热分析相关的选项.2、定义单元类型GUI：Preprocessor>Element Type〉Add/Edit/Delete 出现对话框2对话框2点击Add，出现对话框3对话框3在ANSYS中能够用来热分析的单元大约有40种，根据所建立的模型选择合适的热分析单元。
对于三维模型，多选择SLOID87:六节点四面体单元。
3、选择温度单位默认一般都是国际单位制，温度为开尔文(K）.如要改为℃，如下操作GUI：Preprocessor>Material Props>Temperature Units选择需要的温度单位。
4、定义材料属性对于稳态分析,一般只需要定义导热系数，他可以是恒定的，也可以随温度变化。
GUI: Preprocessor〉Material Props> Material Models 出现对话框4对话框4一般热分析，材料的热导率都是各向同性的，热导率设定如对话框5.对话框5若要设定材料的热导率随温度变化,主要针对半导体材料。
则需要点击对话框5中的Add Temperature选项，设置不同温度点对应的热导率，当然温度点越多，模拟结果越准确.设置完毕后,可以点击Graph按钮,软件会生成热导率随温度变化的曲线。
对话框5中，Material菜单，New Model选项，添加多种材料的热参数。
密度锁内无扰动时稳态温度场分析
Ｈ／ ｍ ｍ
图 ２ 不 同温差 下实验段 内温度分 布图
Ｆｉ ． Ｔ ｍｐ ｒ ｔ ｒ ｓｒｂ ｔ ｎ ｉ ｅ ｔ ｅ ｔ ｎ ｗｉ ｇ２ ｅ ｅ ａｕ ｅＤｉ ｉ ｕ ｉ Ｔ ｓ ｃ ｉ ｔ ｔ ｏ ｎ Ｓ ｏ ｈ Ｄｉ ｅ ｅ ｔ ｅ ｅ ａｕ ｅ ｆ ｒ ｎ ｍｐ ｒｔ ｒ Ｔ
用于维持冷源温度 ， 水温为环境温度。实验 中温 度测量采用 ２ 根直径为 Ｏ ｍ 的微细铠装热电 ０ ．ｍ ５ 偶 ，将其布置于密度锁模型径向中心位置 。热 电
特性进行 了研究 。研究结果表 明，密度锁工作时 上方存在一定扰动 ，使得密度锁上方存在一混合 层 ，混合层 内传热主要 以对流为主；但在扰动作 用消失后 ， 工质问的传热方式转变为导热【引 ４ 。因 ， 此 ，研究混合层以下工质 即无扰动条件下工质 的 传热特性 ，对于密度锁的传热特性研究有着重要 的意义。本文通过实验研究了密度锁内无扰动时 稳态温度场分布 ，并对密度锁结构进行合理的简 化 ，用肋片导热模型 、Ｆｕｎ 流体计算软件和半 ｌ ｔ ｅ 无限大平板导热模型对其进行 了理论分析 ，为分 析密度锁 内传热性 能及设计密度锁结构奠定 了
第 ３ 卷 第 １期 ｌ
２ Ｏ Ｏ １
核 动 力 工 程
Ｎｕ ｌａ ｏ ｒ ｇ ｎ ｅ ｉｇ ｃ ｅ ｒ ｗｅ Ｐ Ｅｎ ｉ ｅ ｒ ｎ
Ｖ １ ｏ ＿ ．３１ ．ＮＯ １ ． Ｆ ｂ ｌ ｅ ．２ ０ Ｏ
年 ２ 月
文章编号 ：０ ５ －９ ６２ １） １ ０ ８０ ２ ８０ ２ （０ ００ － ３ －５ ０
６０ ｍ。圆筒上方为不锈钢筒盖 ， ０ ｍ 筒盖上安装了
收稿 日期 ：２０ —２２ ；修 回 日期 ：２ ０－４２ ０８１—９ ０９０ —８
汽车轮胎二维稳态温度场的数值分析
汽车轮胎二维稳态温度场的数值分析李杰魏建华赵旗(吉林大学汽车动态模拟国家重点实验室)摘要: 通过对滚动轮胎进行合理假设，在MSC.Patran系统中建立了国产9.00-2012PR尼龙斜交轮胎二维稳态温度场有限元分析模型，用MSC.Nastran热分析求解器计算了轮胎的温度场分布，计算结果反映了轮胎的温度分布。
通过拟合得到最高温升与车速的基本线性关系，该公式可以用来简单预测轮胎不同车速稳态的最高稳升，对轮胎结构设计与使用有一定的指导意义。
1 前言对轮胎生热及其温度场的研究有试验法和数值计算法[1-3]。
试验法是通过试验直接测量轮胎温度场的分布，这种方法有一定的局限性。
随着有限元技术和计算机技术的发展，越来越多的研究者采用数值计算法获得轮胎温度场的分布，以便在设计之初就能优化轮胎结构和进行配方设计，提高轮胎的使用寿命。
本文应用MSC.Patran系统对汽车轮胎二维稳态温度场进行数值分析，通过计算得到轮胎达到生热与散热平衡时的温度场，以便为轮胎寿命预测提供依据。
2 汽车轮胎二维稳态温度场的有限元建模2.1 汽车轮胎二维稳态温度场的基本假设汽车轮胎温度场分析是一个非常复杂的课题，为了简化计算，对轮胎温度场模型提出如下假设：（1）轮胎形状是轴对称，不计花纹的影响。
（2）轮胎滚动过程中，其周向方向不存在温度梯度，任一微元体从地面所吸收的功，被均匀分配到整个圆周上，即周向无温度梯度假设。
（3）轮胎在定载和定压状态下工作，由橡胶组成，且材料为各向同性。
（4）轮胎在连续行驶一段时间后，达到热平衡状态，可看作稳态热传导问题。
（5）忽略接触摩擦生热和辐射换热。
根据上述假设，可将汽车轮胎温度场分析问题简化为通过对称轴的一个子午线平面来计算模拟轮胎内部温度分布的二维平面问题。
2.2 MSC.Nastran的热分析功能MSC.Patran系统中链接的求解器MSC.Nastran具有较强的传热分析能力，提供了一维、二维、三维、轴对称等传热分析单元，可求解各种形式的传热问题：传导、对流和辐射，可以进行稳态或瞬态传热分析，线性和非线性传热分析。
传热学-稳态导热例题
专题二 稳态热传导
【解】
专题二 稳态热传导
【名校真题解析】29 （北京科技大学2012） 【计算题】考察一管长6m, 内、外径分别为7.4cm、
8.0cm，导热系数为14W/(m·℃)的压缩空气管道。管的外表 面由总功率为300W的电阻带均匀加热，外包绝热层，通过 绝热层的散热损失为15％。管内空气的平均温度为−10℃ ， 管道内表面的对流换热系数为30 W/(m2·℃)。试：
专题二 稳态热传导
温度场分布：
r=r2 处有最高温度：
t2
tf
q h
t2
150 ℃ 1.05105 3 500
q 2 (t1 t2 ) 2
t1
q 2 2
t2
186.30C
燃料层控制方程： 料层边界条件：
燃料层温度分布：
t
Φ
21
1
2
2
x2
t1
燃料层最高温度：
t0
t1
1 22
21
196.8℃
【计算题】一长为L的长圆柱内热源为 ，常物性，导 热系数为λ，左端面和侧面都绝热，右端与流体接触，温 度为tf，表面传热系数为 h，求
①写出微分方程和边界条件 ②温度分布 ③最大温度tmax
【解】 控制方程:
边界条件:
第一次积分:
第二次积分:
x L,
tL
Φ 2λ
L2
c2
tf
L ; h
c2 =t f
L h
Φ 2λ
L2
温度分布: 当x=0时，取得最大温度:
专题二 稳态热传导
【名校真题解析】 25（北京科技大学2011） 【计算题】考察一功率为800W的家用电熨斗
第二章导热基本定律及稳态导热
o x
控制
根据上面的条件可得：
方程
c t x( x t)Φ ddx2
t
2
0
第一类边条：
边界 条件
t
x
t1
x 0,
x
,
t t1 t t2
t2
o
直接积分，得：
ddxtc1 tc1xc2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1
线性
t
t2t1
xt1
分布
dt
t2t1
带入Fourier 定律
4 、保温材料热量转移机理 ( 高效保温材料 ) 高温时：
（ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热
更高温度时： （ 1 ）蜂窝固体结构的导热 （ 2 ）穿过微小气孔的导热和辐射
5 、超级保温材料
采取的方法： （ 1 ）夹层中抽真空（减少通过导热而造成
热损失） （ 2 ）采用多层间隔结构（ 1cm 达十几层）
由此可见ɑ物理意义： ① ɑ越大，表示物体受热时，其内部各点温 度扯平的能力越大。 ② ɑ越大，表示物体中温度变化传播的越快。 所以，ɑ也是材料传播温度变化能力大小的指 标，亦称导温系数。
2 、导热微分方程的适用范围 1 ）适用于 q 不很高，而作用时间长。同时 傅立叶定律也适用该条件。 2 ）若时间极短，而且热流密度极大时，则 不适用。 3 ）若属极底温度（ -273 ℃ ）时的导热不 适用。
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和 其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源 情况，考察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
第二章--稳态热传导(导热理论基础)
2021/3/10
2
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
2>.等温面与等温线：（温度场习惯上用等温面图或等温线图来表 示，如图2-1）
等温线
a.等温面：同一时刻温度场中所有 温度相同的点构成的面。
第二章 稳态热传导（导热理论 基础）
一、概述 二、傅里叶（J.Fourier）定律 三、导热系数 四、导热微分方程 五、导热微分方程的单值性条件 六、解决一具体导热问题的一般步骤
2021/3/10
1
导热理论基础
一、概述：
一般我们认为：导热是发生在物体中的宏观现象，故将物质看作是 连续介质。
导热基础理论的主要任务：
3
导热理论基础
二、傅里叶（J.Fourier）定律：
1.基本概念：
3>.温度梯度gradt:两等温面间的温差△t与其法线方向
的距离△n比值的极限。在单位距离内温度沿法线方
向上的变化值最大、最显著，此时的温度变化率称
之为温度梯度。即： gr a lid m n ttn n n t
n 0
t+△t t t-△t
2.傅里叶（J.Fourier）定律：
在导热现象中，单位时间内通过给定面积的传热量，正比例于该处 垂直导热方向的截面面积及此处的温度梯度，其数学表达式为：
q g A g rrW a a / W m 2 d dtt
几点问题：
1>.负号表示热量传递指向温度降低的方向，与温度梯度方向相反。
2>.温度梯度是引起物体内热量传递的根本原因。
ANSYS导体热生成计算——稳态温度场和瞬态温度场
ANSYS 导体热生成计算——稳态温度场和瞬态温度场APDL 命令流含注释目录简介： (1)附件1 稳态温度场APDL 命令流 (2)附件2 瞬态温度场APDL 命令流 (5)简介：导热热生成计算，分为稳态温度场和瞬态温度场计算。
稳态温度场就是无限长时间后导体的温度场分布，瞬态温度场则可以模拟通电后的温度变化。
ANSYS 施加的载荷的是生热率载荷。
MNMX XYZ 5082.138315.0511********.918013.821246.724479.727712.6附件1 稳态温度场APDL命令流!注1：本例温度单位为℃，其余物理量采取国际单位制。
!注2：导热系数、比热等物性参数是假定的，请根据实际情况更改! ***************环境设置************************finish/clear/filn,Heat_generation/title,!基本参数h1=160e-3 !导体块体长，本例为块体X轴方向尺寸h2=100e-3 !导体块体宽，本例为块体Z轴方向尺寸h3=100e-3 !导体块体高，本例为块体Y轴方向尺寸d1=5e-3 !PC壳体厚度temp_1=0 !第一个温度点温度temp_2=50 !第二个温度点温度temp_3=100 !第三个温度点温度kxx_1_1=0.5 !导体块体在第一个温度点的导热系数kxx_1_2=0.6 !导体块体在第二个温度点的导热系数kxx_1_3=0.7 !导体块体在第三个温度点的导热系数kxx_2_1=0.21 !PC壳体在第一个温度点的导热系数kxx_2_2=0.22 !PC壳体在第二个温度点的导热系数kxx_2_3=0.23 !PC壳体在第三个温度点的导热系数C_1_1=4e3 !导体块体在第一个温度点的比热容C_1_2=4e3 !导体块体在第二个温度点的比热容C_1_3=4e3 !导体块体在第三个温度点的比热容C_2_1=1.2e3 !PC壳体在第一个温度点的比热容C_2_2=1.2e3 !PC壳体在第二个温度点的比热容C_2_3=1.2e3 !PC壳体在第三个温度点的比热容U=36 !电压伏R=60e-3 !电阻欧姆e_size=10e-3 !单元边长，此变量可以调整模型规模temp_air=20 !空气温度conv_air=25 !空气自然对流换热系数!导出参数h4=h1+2*d1 !PC壳体外部尺寸,长h5=h2+2*d1 !PC壳体外部尺寸,宽h6=h3+2*d1 !PC壳体外部尺寸,高QR=U**2/R/(h1*h2*h3) !热生成率!****************前处理*************************** /prep7et,1,70 ! 定义1号单元类型tref,20 !基准温度mptemp,1,temp_1,temp_2,temp_3 !一个温度序列mpdata,Kxx,1,1,kxx_1_1,kxx_1_2,kxx_1_3 mpdata,C,1,1,C_1_1,C_1_2,C_1_3mpdata,Kxx,2,1,kxx_2_1,kxx_2_2,kxx_2_3 mpdata,C,2,1,C_2_1,C_2_2,C_2_3!*******************建模************************** block,-h4/2,h4/2,-h6/2,h6/2,0,-h5/2wpoff,,,-h2/2vsbw,allwpcsys,-1,0wprota,,,90wpoff,,,h1/2vsbw,allwpcsys,-1,0wprota,,,90wpoff,,,-h1/2vsbw,allwpcsys,-1,0wprota,,90wpoff,,,h3/2vsbw,allwpcsys,-1,0wprota,,90wpoff,,,-h3/2vsbw,allwpcsys,-1,0nummrg,allnumcmp,all!*******************分网************************** vsel,s,,,18vatt,1allsel,allvsel,u,,,18vatt,2allsel,alllesize,all,e_size !设定单元尺寸vsweep,14vsweep,2vsweep,10vsweep,5vsweep,6vsweep,1vsweep,18vsweep,13vsweep,12vsweep,11vsweep,17vsweep,7vsweep,3vsweep,15vsweep,8vsweep,9vsweep,16vsweep,4!*******************边界条件************************** asel,s,loc,x,-h4/2 !选择PC壳体外壁asel,a,loc,x,h4/2asel,a,loc,y,-h6/2asel,a,loc,y,h6/2asel,a,loc,z,-h5/2sfa,all,,conv,conv_air,temp_airallsel,allvsel,s,mat,,1bfv,all,hgen,QRallsel,all!*******************求解**************************/soluANTYPE,STATIC !稳态热分析solve附件2 瞬态温度场APDL命令流!注1：本例温度单位为℃，其余物理量采取国际单位制。
稳态温度场求解
• 式中，ρ为材料的密度（kg/m3）；c为材料 的比热容（J/(kg•K)）；t为时间（s）；λx、 λy、λz分别是材料沿x，y，z方向的热导率 （W/(m•K)）；Q是物体内部的热源密度 （W/kg）。
• 对于二维问题，瞬态热传导方程为：
T T y Q 0 c x t x x y y T
• 第三类边界条件： • 又称对流边界条件，指物体与其周围环境介 质间的对流传热系数k和介质的温度Tf为已 知。
q
s
T n
s
k T T f
• 式中，k和Tf可以是 已知的常数，也可以 是某种已知的分布函 数。
• 例题：对于各向同性二维稳态导热方程，如 果物体内部热源密度为0，方程可写成如下 形式： 2 T 2 T
T
T
s
TW
TW x , y , z , t
s
• 第二类边界条件： • 又称为传导边界条件，指物体边界上的热 流密度已知。 • q T q
s
n
s
W
q s
T n
s
qW x , y , z , t
• 式中，n为物体边 界的外法线方向，并 规定热流密度的方向 与边界的外法线方向相同。
0??????????????????????????????????qztzyttzyx??0???????????????????????????????????qqttyyxx??yyxx?初始条件和边界条件?瞬态温度场
稳态温度场求解
• 傅立叶导热方程 • 在稳态条件下，
qx T x
• 瞬态温度场： 温度场随时间变化。 • 稳态温度场：温度场不随时间变化。
东南大学传热学名词解释分析题整理笔记.
第一章1. 热传导物体各部分之间不发生相对位移，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热能传递。
2. 热流量单位时间内通过某一给定面积的热量。
3. 热对流指由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移，冷、热流体相互掺混所导致的热量传递过程。
4. 导热系数表征材料导热性能优劣的参数，数值上等于在单位温度梯度作用下物体内热流密度矢量的模。
取决于物质的种类和热力状态（温度和压力等）5. 对流换热流体流过固体表面时，对流和导热的联合作用，使流体与固体壁面之间产生热量传递的过程。
6. 辐射物体通过电磁波来传递能量的方式。
7. 热辐射物体因热的原因而发出辐射能的现象。
8. 辐射传热物体不断向空间发出热辐射，又不断吸收其他物体的热辐射，辐射与吸收过程的综合结果就造成了以辐射方式进行的物体间的热量传递。
9. 传热过程热量由壁面一侧的流体通过壁面传到另一侧流体中去的过程。
10. 传热系数表征传热过程强烈尺度的标尺，数值上等于冷热流体间温差1℃、传热面积 1 ㎡时的热流量的值。
11. 传热过程热阻面积热阻（见P14）第二章1. 温度场各个时刻物体中各点温度所组成的集合。
2. 稳态温度场物体中各点温度不随时间变化的温度场。
3. 非稳态温度场物体中各点温度随时间变化的温度场。
4. 均匀温度场物体中各点温度相同的温度场。
5. 一维温度场物体中各点温度只在一个坐标方向变化的温度场。
6. 二维温度场物体中各点温度只在二个坐标方向变化的温度场。
7. 等温面温度场中同一瞬间相同温度各点连成的面。
8. 等温线在任何一个二维截面上等温面表现为等温线。
9. 导热基本定律在导热过程中，单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。
（傅里叶定律）10. 热流线一组与等温线处处垂直的曲线，通过平面上任一点的热流线与该点的热流密度矢量相切。
11. 热流通道相邻两条热流线之间所传递的热流量处处相等，相当于构成一个热流通道。
《冶金传输原理》5 稳态导热及导热微分方程
5、热流量、热通量
热流量 单位时间内通过某一给定面积F的热量叫热流量.
用Q来表示, 单位为W。
热通量 是指在单位时间内通过单位面积的热量,
亦称热流密度, 用q表示, 单位为: W/㎡
热流量与热通量的关系：Q=qF. 热流量是表现热量传输速率的一个物理量.
5. 稳态导热及导热微分方程
5.1.2 傅立叶定律
5. 稳态导热及导热微分方程
3、等温面（线）
– 在温度场中的某一瞬间,所有温度相同的各点组成的 一个空间曲面叫等温面.在该面上,各点都具有同一个 温度值.
– 任意一平面与等温面相交的交线叫等温线,或定义为: 在温度场中某一瞬间,所有温度相同的点组成的一条 空间曲线叫等温线.
– 由于空间任意一点在同一时刻不可能同时具有两个温 度值,故同一时刻两条数值不同的等温面(线),不可能 相交的。此即为等温面(线)的一个重要性质.根据此 性质可用一组等温面(线)来表示一个温度场.
单位时间内通过单位截面积的 热通量与温度梯度成正比。
q Q gradT T
F
n
gradT
i
T
j
T
k
T
x y z
负号表示 导热方 向与温度梯度方向相反 q i qx jqy kqz
qx
T x
qy
T y
Q qF T F
n
qz
T z
5. 稳态导热及导热微分方程
导热系数/热导率
q
温度场
导热速率
5. 稳态导热及导热微分方程
1、温度场
物体温度随空间坐标的分布和随时间的变化规律
在某一瞬间物体内部各点的
温度分布 T f x, y, z,
连续介质
导热基本方程和稳态导热理论
温度梯度和热流密度
•温度梯度是向量，垂直于等温面， 正向朝着温度增加的方向； •温度梯度的方向是温度变化率最大的方向。
t t n m
温度梯度的解析定义： 温度场
t f ( x, y, z ) 中点( x, y, z ) 处的温度梯度：
t t t grad t i j k x y z
t 0 非稳态温度场： 三维非稳态温度场： t f ( x, y, z, ) 三维稳态温度场： t f ( x, y, z )
二维稳态温度场： t f ( x, y) 一维稳态温度场： t f ( x)
t 0 稳态温度场：
（2） 等温面和等温线
将温度场中某一时刻温度 相同 的点连接起来所形成的面 或线 称为等温面或等温线。 等温面和等温线的特点：
2 2 2
球坐标下的拉普拉斯方程：
1 2 1 t 1 2t (rt ) 2 (sin ) 2 0 2 2 r r r sin r sin
常物性、无内热源、一维稳态导热微分方程：
d 2t 0 2 dx
3 定解条件（单值性条件）
导热微分方程+定解条件+求解方法=确定的温度场 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界 ⑴几何条件：说明导热体的几何形状和大小，它确定了研究问 题的空间区域，如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等；
根据上面的条件可得：
t t t ( ) ( ) ( ) qv (c p t ) x x y y z z
d 2t 2 0 dx
第一类边界条件：
x 0, t t1 x , t t2
dy
dx
dz
Q xdx
y
Qy
传热学-第二章导热基本定律及稳态传热
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
传热学基础知识
T −绝 温 ， ; 对 度 K c1 − 普 克 律 一 数 c1 = 3.743×108W ⋅ µm4 / m2; 朗 定 第 常 ， c2 − 普 克 律 二 数 c2 =1.439×104 µm⋅ K. 朗 定 第 常 ，
维恩（位移）定律 λmax ⋅ T = 2897.6µm ⋅ K 斯蒂芬-波尔兹曼定律表达了黑体的辐射力和绝对温度之间的关系。其函 数关系式为： Eb = σ bT 4
J = E + ρG 式中 J − 有效辐射， E − 灰体表面的辐射力； W / m 2;
式中σ b — 黑体辐射常数，σ b = 5.67 × 10 −8 W （m 2 ⋅ K 4 ). /
该定律表明,黑体辐射力仅是温度的函数,黑体的辐射力和绝对温度的4次方 成正比.故斯蒂芬-波尔兹曼定律又称四次方定律。 为了计算方便，斯蒂芬-波尔兹曼定律还可以表示为
T 4 ) 100 式中Cb − 黑体辐射系数，Cb = 5.67W /(m 2 ⋅ K 4 )。 Eb = Cb (
黑体：如果物体能完全吸收外来的投射能量，即α=1，这样的物体称为绝对黑体， 简称黑体。 白体：如果物体能完全反射外来的透射能量，即ρ=1，这样的物体称为绝对白体， 简称白体。 透明体：如果物体能完全透射外来的透射能量，即τ=1，这样的物体称为透明体， 或称透热体。 必须指出的是上述的黑体、白体和透明体都是对全波长而言的。因此在一般 温度条件下，物体对外来射线的吸收和反射能力，并不能简单地按照物体颜色来 判断。
∆t ∂t =n ∆n→0 ∆ n ∂x 式 n −法 方 上 单 向 ； 中 线 向 的 位 量 ∂t 示 发 方 温 的 向 数 −表 沿 现 向 度 方 倒 。 ∂n gradt = n lim gradt = i ∂t ∂t ∂t + j +k ∂x ∂y ∂z
《热工基础》第九章
13
温度对热导率的影响：
一般地说, 所有物质的热 导率都是温度的函数,不同 物质的热导率随温度的变化 规律不同。
纯金属的热导率随温度的 升高而减小。
等温面上任何一条线都是 等温线。如果用一个平面和一组 等温面相交, 就会得到一组等温 线。温度场可以用一组等温面或 等温线表示。
等温面与等温线的特征：
同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能 相交；在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线） 或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于 物体的边界，不可能在物体中中断。
常见的边界条件分为以下三类:
(a) 第一类边界条件 Dirichlet boundary 给出边界上的温度分布及其随时间的变化规律：
tw f , x, y, z
(b) 第二类边界条件 Neumann boundary
给出边界上的热流密度分布及
其随时间的变化规律：
t
qw
qw
t n
w
t n w
qw
定律和牛顿冷却公式可得
t n
w
h tw
tf
h, tf
第三类边界条件建立了物体内部温度在边界处的变
化率与边界处对流换热之间的关系，也称为对流换热边
界条件。 28
上式描述的第三类边界条件是线性的, 所以也称为 线性边界条件，反映了导热问题的大部分实际情况。
其数值与物质的种类有关。
15
多孔材料的热导率
绝大多数建筑材料和保温材料（或称绝热材料）都 具有多孔或纤维结构(如砖、混凝土、石棉、炉渣等), 不是均匀介质,统称多孔材料。
采空区稳态流场及温度场的数学模型
采空区稳态流场及温度场的数学模型采空区稳态流场及温度场的数学模型是指在采空区内的流场中求解稳态流场和温度场的数学模型。
稳态流场及温度场的模拟是建立矿山安全防护工作的一个重要基础，在这里我们将深入探讨采空区稳态流场及温度场的数学模型。
首先，对采空区稳态流场和温度场的数学模型进行讨论。
采空区稳态流场及温度场的数学模型是由质量守恒方程和能量守恒方程构成的。
稳态流场模型通过考虑涡流阻力、压力阻力、喷流损失、湍流损失等因素，从几何形式上，用解析法或数值法求解流场的流动情况。
另外，稳态温度场模型主要是通过考虑对流换热、辐射换热、潜热换热等方式，从物理形式上，用解析法或数值法求解温度场的温度分布情况。
接着，我们来看看采空区内稳态流场及温度场模型的应用。
采空区稳态流场及温度场模型应用于分析采空区内空气对灰尘的传输，对污染物的传输，维护采空区内空气质量的稳定，预测和模拟火灾的发生及发展，以及其他研究。
此外，采空区内稳态流场及温度场模型也可以应用于节能优化，空调系统的设计，采空区内气象条件的监测等。
最后，我们来看看采空区稳态流场及温度场模型的研究前景。
随着采空区稳态流场及温度场的数学模型在实际应用中的日益深入，为研究工作带来的挑战也在增加。
为了满足采空区安全监督和节能优化的要求，研究者们正不断尝试更丰富的模型，并为模型的参数匹配、计算的性能及实际应用上的适应性等领域提出新的模型。
此外，研究人员还运用采空区稳态流场及温度场模型，在研究过程中将其与新兴技术如无人机、虚拟现实等相结合，探索更深层次的应用场景和可能性。
以上就是关于采空区稳态流场及温度场的数学模型的介绍，希望能够对大家有所帮助。
由于采空区从地质学，物理学，化学，机械，数学等方面都复杂且深刻，所以研究采空区稳态流场及温度场的数学模型要更加深入，以达到更好的研究成果。
cfd计算中的稳态结果的中间过程
在 cfd 计算中，稳态结果的中间过程是指在计算过程中所产生的各种中间变量、中间结果以及对流动和传热特性的影响。
这个主题虽然听起来有些抽象，但是却是cfd 计算中不容忽视的重要部分。
在本文中，我们将深入探讨 cfd 计算中稳态结果的中间过程，从而帮助你更全面地理解这一主题。
1.计算域的离散化在 cfd 计算中，首先需要对计算域进行离散化处理，将其分割成若干个网格单元。
这一过程中，不仅需要考虑网格尺寸的选择，还要进行网格质量的评估，以确保计算结果的准确性和稳定性。
随着计算域的复杂性增加，离散化过程中需要考虑的问题也变得更加繁杂。
2.流场和温度场的解算在 cfd 计算中，对流动和传热问题的求解是其中的核心部分。
通过对navier-stokes 方程和能量方程的离散化处理，可以得到流场和温度场的解算结果。
在这一过程中，需要考虑流动的湍流特性、流场的速度分布、压力分布以及温度场的分布情况，通过对这些中间结果的分析，可以更好地理解流动和传热特性。
3.网格独立性和收敛性分析为了验证 cfd 计算结果的准确性和可靠性，需要进行网格独立性和收敛性分析。
通过对不同网格尺寸下的计算结果进行比较，可以得到计算结果的收敛性情况，从而评估计算结果的稳定性。
这一过程中，需要不断调整网格尺寸，进行多次计算，以确保最终得到的稳态结果具有良好的收敛性。
4.边界条件和物性参数的选择在 cfd 计算中，边界条件和物性参数的选择对计算结果有着重要的影响。
通过对不同边界条件和物性参数的设定，可以得到不同的计算结果，从而进一步分析稳态结果的中间过程。
在这一过程中，需要考虑流场和温度场的边界情况、物性参数的变化对计算结果的影响，以及不同边界条件下的流动和传热特性。
总结回顾在本文中，我们深入探讨了 cfd 计算中稳态结果的中间过程。
通过对计算域的离散化、流场和温度场的解算、网格独立性和收敛性分析、边界条件和物性参数的选择等多个方面进行分析，可以更全面地理解cfd 计算中稳态结果的形成过程。
稳态温度场中,固体的热流密度与温度梯度呈正比,称为 热导率 ,即满足关系
稳态温度场中,固体的热流密度与温度梯度呈正比,称为热导率,即满足关系1.引言1.1 概述概述热传导是热学中的一项重要研究内容，它描述了固体中热量传输的过程。
在稳态温度场中，固体的热流密度与温度梯度呈正比的关系，这个比例关系称为热导率。
热导率是描述固体导热性能的物理量，对于我们理解和应用热传导过程具有重要意义。
本文将首先介绍稳态温度场中的热流密度的定义以及它所描述的物理原理，然后深入探讨温度梯度与热导率之间的关系。
热导率的定义将会被详细解释，并且我们将看到热导率如何与温度梯度形成正比关系。
通过本文的研究，我们可以更好地理解固体中热传导的机制，并且能够更准确地描述和预测热传导的过程。
这对于工程领域的热设计、材料科学以及能源利用等方面具有重要意义。
本文将按照上述大纲的结构进行展开，接下来将首先详细介绍稳态温度场中的热流密度的定义和物理原理。
然后我们将探讨热导率的定义以及它与温度梯度的正比关系。
最后在结论部分，我们将对本文的内容进行总结，并得出一些结论。
随着社会的不断发展和科学技术的进步，对于热传导过程的研究变得越来越重要。
通过对热导率和温度梯度之间关系的深入研究，我们可以更好地掌握热传导的规律，为解决能源转换和热管等热学问题提供更有效的解决方案。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以如下所示：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行论述和分析。
第一部分是引言部分，主要包括以下内容：- 概述：对稳态温度场中固体的热流密度与温度梯度的关系进行简要介绍，并指出其重要性。
- 文章结构：介绍整篇文章的组织结构和各个部分的内容安排，以帮助读者了解整体框架。
- 目的：明确文章的研究目的和意义，阐述为什么对该热导率与温度梯度的正比关系进行研究和分析很重要。
第二部分是正文部分，将分为两个小节进行讨论和分析。
- 2.1 稳态温度场中的热流密度：首先给出热流密度的定义，然后介绍稳态温度场中固体的热流密度的特点和测量方法，进一步说明其重要性和应用场景。
稳态温度场与热应力分析算例
稳态温度场与热应力分析算例稳态温度场问题与热应力分析2014年3月5日星期三1 前言最近，本人需要做一个涉及热应力、疲劳分析的综合问题。
之前对热应力分析没有接触，看了几天书后，根据前人的经验，动手做了一个简单的稳态温度场问题与热应力分析算例，小试牛刀一把，现拿出来晒晒，请高手过来拍砖指点。
2 问题描述一块等厚的均质矩形薄板，如下图所示，其长20米，宽16米，厚1米。
板顶面温度为22?，底面温度为176.67 ?，左、右面绝热，并且顶面、底面固定约束。
板的材料是结构钢(系统默认)，材料参数取系统默认，不做任何修改。
图1 问题描述问题:2.1 分析薄板内的温度分布;2.2 分析薄板内的应力分布。
3 稳态温度场分布模拟3.1 创建稳态温度场分析系统进入ansys workbench后，在Project Schematic窗口中，单击右键，在弹出的菜单中，选择“New analysis systems->steady-state thermal(ANSYS)”，创建稳态温度场分析系统，见下图。
图2 创建稳态温度场分析系统图3 创建好的稳态温度场分析系统3.2创建薄板模型在创建的稳态温度场分析系统中，材料采用默认的结构钢，材料参数不做任何修改。
单击“Geometry”，进入MD系统，创建一个简单的等厚均质矩形薄板，几何尺寸见2问题描述。
创建好几何模型后，保存后退出。
图4 创建的薄板几何模型3.3 创建稳态温度场模型单击图3所示的系统中的“Model”，进入“Multiple Systems-Mechanical”系统中，单击“Steady-State Thermal”，在此处定义顶面、底面温度，定义左、右面为完全绝热状态。
单击“Solution”，定义求取结果“Temperature”。
单击右键，选择“solve”，进行分析。
温度场分布云图见下图。
图5 温度场分布云图4 热应力分析稳态温度场分析完成后，退出“Multiple systems-Mechanical”系统，在下图中“steady-state thermal”的“solution”上，单击右键，在弹出的菜单中，选择“New analysis systems->staticstructural(ANSYS)”，创建热应力分析系统。
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T
s
TW
TW x , y , z , t
s
• 第二类边界条件： • 又称为传导边界条件，指物体边界上的热 流密度已知。 • q T q
s
n
s
W
q s
T n
s
qW x , y , z , t
• 式中，n为物体边 界的外法线方向，并 规定热流密度的方向 与边界的外法线方向相同。
x
2
y
2
0
• 如方程和边界条件如下，请按等步长0.25， 求解各节点的温度。方程及边界条件如下：
2 2T T 0 , 0 x 1, 0 y 1 2 2 x y T ( 0 , y ) T ( x ,0 ) 0 T ( x ,1) 100 x , x 0 T (1, y ) 100 y , y 0
• 瞬态温度场： 温度场随时间变化。 • 稳态温度场：温度场不随时间变化。
• 三维稳态热传导方程为：
T T T y x z Q 0 x x y y z z
• 二维稳态热传导方程为：
• 式中，ρ为材料的密度（kg/m3）；c为材料 的比热容（J/(kg•K)）；t为时间（s）；λx、 λy、λz分别是材料沿x，y，z方向的热导率 （W/(m•K)）；Q是物体内部的热源密度 （W/kg）。
• 对于二维问题，瞬态热传导方程为：
T T y Q 0 c x t x x y y T
• 第三类边界条件： • 又称对流边界条件，指物体与其周围环境介 质间的对流传热系数k和介质的温度Tf为已 知。
q
s
T n
s
k T T f
• 式中，k和Tf可以是 已知的常数，也可以 是某种已知的分布函 数。
• 例题：对于各向同性二维稳态导热方程，如 果物体内部热源密度为0，方程可写成如下 形式： 2 T 2 T
稳态温度场求解
• 傅立叶导热方程 • 在稳态条件下，
qx T x
• 式中qx是x方向的热流密度（W/m2）, λ是材 料的热导率（W/(m• K)）。 • T x 是x方向上的温度梯度，负号表示传 热的方向与温度梯度的方向相反。
• 在一般三维问题中，瞬态温度场满足方程：
T T T y c x z Q 0 t x x y y z z T
T T y Q 0 x x x y y
• 初始条件和边Biblioteka 条件 • 瞬态温度场：初始条件，t = 0的温度场分布。
T T0
T T x, y, z
• 瞬态温度场和稳态温度场：边界条件
t0
t0
• 第一类边界条件： • 指物体边界上的温度或温度分布函数已知。