稳态温度场求解
ANSYS稳态和瞬态分析步骤简述..
ANSYS稳态和瞬态热模拟基本步骤
基于ANSYS 9。0
一、稳态分析
从温度场是否是时间的函数即是否随时间变化上，热分析包括稳态和瞬态热分析。其中，稳态指的是系统的温度场不随时间变化，系统的净热流率为0，即流入系统的热量加上系统自身产生的热量等于流出系统的热量：
（3-1）
=0
+-
q q q
流入生成流出
在稳态分析中，任一节点的温度不随时间变化.
基本步骤:（为简单起见，按照软件的菜单逐级介绍）
1、选择分析类型
点击Preferences菜单,出现对话框1。
对话框1
我们主要针对的是热分析的模拟，所以选择Thermal.这样做的目的是为了使后面的菜单中只有热分析相关的选项.
2、定义单元类型
GUI：Preprocessor>Element Type〉Add/Edit/Delete 出现对话框2
对话框2
点击Add，出现对话框3
对话框3
在ANSYS中能够用来热分析的单元大约有40种，根据所建立的模型选择合适的热分析单元。对于三维模型，多选择SLOID87:六节点四面体单元。
3、选择温度单位
默认一般都是国际单位制，温度为开尔文(K）.如要改为℃，如下操作
GUI：Preprocessor>Material Props>Temperature Units
选择需要的温度单位。
4、定义材料属性
对于稳态分析,一般只需要定义导热系数，他可以是恒定的，也可以随温度变化。
GUI: Preprocessor〉Material Props> Material Models 出现对话框4
对话框4
一般热分析，材料的热导率都是各向同性的，热导率设定如对话框5.
二维稳态温度场控制方程
二维稳态温度场控制方程
二维稳态温度场控制方程是描述二维空间内物体温度分布的方程，它是热传导定律的数学表达形式。稳态温度场意味着物体内部的温度
分布不随时间变化，只与空间位置有关。此外，控制方程还考虑了边
界条件和材料性质。
二维稳态温度场的控制方程可以用偏微分方程形式表示，对于矩
形区域内的二维空间来说，控制方程如下：
【注】用户在问题陈述中可能会给出具体的条件，如热源和边界
条件，因此，参考以下方程时可以结合具体情况适当添加这些条件。
热传导方程：
∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = 0
热传导方程是一个椭圆型偏微分方程，它描述了温度分布在空间
中的流动和变化。其中T表示温度，x和y分别表示空间坐标。
边界条件：
1.第一类边界条件：指定边界上的温度值。可以是恒定的温度，
如T(x,y)=T0，表示边界上的温度值为常量T0。
2.第二类边界条件：指定边界上的温度梯度。可以是传热率，如
q_n = -k * ∂T/∂n，表示边界上的传热速率等于热传导率乘以温度梯度，其中q_n是与边界垂直的热通量；k是材料的热传导率；∂T/∂n是温度
沿着边界法向量方向的梯度。
材料性质：
材料性质包括热扩散率和热导率。其中热扩散率表示材料对热的
传递速度的能力，热导率表示材料在单位时间内单位面积的热流量，
两者通常用D和k表示。
通过数值解法，可以求解出二维稳态温度场控制方程的解析解。
数值解法中常用的方法有有限差分法和有限元法。有限差分法将偏微
分方程离散化为差分方程，通过迭代计算得到数值解。有限元法将二
维空间划分为小的有限元单元，并通过插值计算得到节点上的温度值，然后利用元素之间的关系求解整个二维区域内的温度分布。
工程热力学加传热学(10)第九章-导热、稳态导热、非稳态、数值解法
（3）温度梯度(temperature gradient)
在温度场中，温度沿x方
向的变化率(即偏导数)
t lim t
x
x
x 0
很明显, 等温面法线方向
的温度变化率最大，温度变化
最剧烈。
温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量：
gradt t n n
温度梯度是矢量，指 向温度增加的方向。
n—等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。 6
10
3. 热导率（导热系数）
热导率表明物质导热能力的大小。根据傅里叶定
律表达式
q
gradt
绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。
11
物质的热导率在数值上具有下述特点:
(1) 对于同一种物质, 固态的热导率值最大,气态的热 导率值最小； (2)一般金属的热导率大于非金属的热导率 ；
(3)导电性能好的金属, 其导热性能也好 ；
内热源的分布规律，给出热物性参数(、、c、a等)的
数值及其特点等。
3)时间条件 说明导热过程时间上的特点, 是稳态导热还是非稳
态导热。对于非稳态导热, 应该给出过程开始时物体内 部的温度分布规律（称为初始条件）：
t f (x, y, z) 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu25
4)边界条件
说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的 相互作用。例如,边界上的温度、热流密度分布以及边界 与周围环境之间的热量交换情况等。
第7章 稳态热传导问题的有限元法
e 3
Ni hT f d 0
换热边界条件代入后，在(8-19)式内相应出现了第二
类换热边界项
e
Γ2 Ni qs d
第三类换热边界项
e 3
Ni h[N ]{T}e d
e 3
Ni hT f d
但没有出现与第一类换热边界对应的项。这是因
为。，写采成用矩阵N形i 作式为，权有函数，第一类换热边界被自动满15 足
T y
Q
0
第一类换热边界为
T s Ts
第二类换热边界条件为
第三类边界条件为
x
T x
nx
y
T y
ny
qs
x
T x
nx
y
T y
ny
h(T f
Ts )
在一个单元内的加权积分公式为
13
e
w1[
x
(
x
T~ x
)
y
(
y
T~ ) Q ]d 0 y
由分部积分，得
x
( w1 x
T~ ) x
w1 x
或
T s Ts
（8-4)
T s Ts (x, y, z,t)
2）给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类 边界条件。
已知物体表面上热流密度，
(x
T x
nx
y
稳态导热分析与计算
辐射 吸收
辐射换热特征
传热方式：非接触 能量的转移中伴随着能量形式的转换
影响因素：温度以及物体的属性和表面状况。
6
黑体是指能吸收投入到其表面上的所有热辐射能的物体。
斯蒂芬-玻尔兹曼（Stefan-Boltzmann）定律：
Q = As T 4
经验修正
四次方定律
Q = e As T 4
s = 5.67? 10- 8 w/(m2 gK4 ) 斯蒂芬-玻尔兹曼系数
dt r r
r
r
微元体热力学能(内能)增量： 微元体内热源的生成热: 可逆膨胀功：
r c ¶ t dxdydz = de m
¶t
dt
Q&dxdydz = q&m
r
r
P (? • ur ) 0
r
摩擦耗散功：
mf = 0 r
r
c
抖t 抖t
=
x (k 抖 抖xt ) +
y
(k
抖t 抖y
)
+
z
(k
?t ?z
2
3.1.1 传热的基本方式与热流速率的基本方程
热力学第二定律：热量总是自发地、不可逆地从高温处流向低 温处。 即：有温差存在，就会出现热量的传递。
机理
热传导
传热
稳态
禩
非稳态
第二章 稳态热传导(导热理论基础)
6.隔热保温材料（热绝缘材料）：室温条件下（20℃时） 值小于 0.12W/m·℃的材料。如：岩棉、膨胀珍珠岩等。特点是：a.多为多 孔体或纤维体材料；b.间隙中多充满气体；c.严格讲不能视为连续介 质；d.间隙的无限加大并不能提高保温能力；e.湿度的增加使其保 温能力大大下降。
水/空≈23 而： 水=1.43×10-7m2/s，
2
4
空= 2.14×10-5m精2选/完s，整ppt课件空/ 水≈160
11
导热理论基础
五、导热微分方程的单值性条件（定解条件）
使导热微分方程有唯一解的条件即为单值性条件。
1.时间条件（又称初始条件）：
①稳态导热：过程与时间无关，即t/=0，无此条件。
C部：C=c·t/· d精x选d完y整dppzt课件
9
导热理论基础
四、导热微分方程
据A+B=C，整理消去dxdydz有： c q t t t t x x y y z z
上式即为一般的导热微分方程式。
若材料为常物性，即、、c均为常数，且令 =/c有：
a t
2 t 2 t 2 t q
忽略高阶无穷小量，仅取级数前两项有：
qxdxqxqxx dx
代入x+dx截面有：x+dx=qx·dydz+qx/x·dxdydz
第二章导热基本定律及稳态导热
物体的温度场通常用等温面或等温线表示
等温线图的物理意义： 若每条等温线间的温度间隔相等时，等温线
的疏密可反映出不同区域导热热流密度的大 小。如图所示是用等温线图表示温度场的实 例。
二 、导热基本定律
1 、导热基本定律（傅立叶定律） 1 ）定义：在导热现象中，单位时间内通过给 定截面所传递的热量，正比例于垂直于该截 面方向上的温度变化率，而热量传递的方 向与温度升高的方向相反，即 ~ t
A x
2 ）数学表达式： At
x
3 ）傅里叶定律用热流密度表示：
q t
x
（负号表示热量传递方向与温度升高方向相反）
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和 其它变截面物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源 情况，考察平板和圆柱内的导热。
直角坐标系：
c t x( x t) y( y t) z( z t) Φ
1 单层平壁的导热 a 几何条件：单层平板；
b 物理条件：、c、 已知；无内热源
c 时间条件： 稳 态 导 热 : t 0
其中 q——热流密度(单位时间内通过单位面
积的热流量) — t —物体温度沿 x 轴方向的变化率 x
当物体的温度是三个坐标的函数时，其形
第二章导热基本定律及稳态导热
一 、导热微分方程 1 、定义：根据能量守恒定律与傅立叶定律 ，建立导热物体中的温度场应满足的数学表 达式，称为导热微分方程。
2 、导热微分方程的数学表达式 导热微分方程的推导方法，假定导热物体是 各向同性的。
1 ）针对笛卡儿坐标系中微元平行六面体 由前可知，空间任一点的热流密度矢量
可以分解为三个坐标方向的矢量。 同理，通过空间任一点任一方向的热流
gradt
t
n
n
式中： gradt是空间某点的温度梯度；
n 是通过该点等温线上的法向
单位矢量，指向温度升高的
方向； q 是该处的热流密度矢量。
2 、温度梯度与热流密度矢量的关系 如图 2-2 （ a ）所示，表示了微元面
积 dA 附近的温度分布及垂直于该微元面积 的热流密度矢量的关系。 1 ）热流线
c t
1 r2
(r2
r
t
1
r ) r2 sin2
(
t
)
r
2
1
sin
( sin
t · )
综上说明： （ 1 ）导热问题仍然服从能量守恒定律； （ 2 ）等号左边是单位时间内微元体热力学能的 增量（非稳态项）； （ 3 ）等号右边前三项之和是通过界面的导热使 微分元体在单位时间内 增加的能量 ( 扩散 项)； （ 4 ）等号右边最后项是源项； （ 5 ）若某坐标方向上温度不变，该方向的净导 热量为零，则相应的扩散项即从导热微分方程中消 失。
计算材料学-第六章
T
m
i
a
2T x2
m i
用微商代替微分：
T
m
i
Ti m1 Ti m
2T x2
m
i
Tm i 1
2Ti m
Tm i 1
(x) 2
有：
Tim1 Tim
a(Tim1
2Ti m
Ti
m 1
)
(x) 2
整理可得：
T m1 i
Tim
a
(x) 2
(Tim1
2Ti m
Ti
m 1
)
取：
F0
( CT)
2 T a( x2
2 T y 2
2 T z 2
)
T
,
a C
a－等温系数或热扩散率。
稳态扩散时：
2 T x2
2 T y2
2 T z2
0
如果内部有热源时：
T
2 T a( x2
2 T y2
2 T z2 )
qi
C
qi－单位时间，单位体积导热物体生成热。 稳态导热方程为：
2 T x2
，密度r=7840Kg/m3, Cp=465J/Kg.K, 导热系数l＝49.8W/m.K, 假定r，Cp, l不随温度变化，求任意时刻的温度场。
根据收敛条件，知：
F0
a
热稳态分析实例
分析人员：培训王兴旺专用教程――晓光够意思吧☺
院校专业：哈尔滨理工大学
使用软件：Ansys10.0 版本
比较熟悉：热、应力、疲劳等综合场机械方面的计算
GUI：图形菜单操作方式，命令流：输入命令操作方式，将综合这两种操作方式。现画的图，难免不够美观，见凉！
一、热稳态分析
实例工作分析：有一双层板（层1与层2），其几何形状与边界条件如图1所示。其中层1中间有一个边长为1.5cm的正方形孔。层1与层2的几何尺寸分别为6*6，6*10；热传导率分别为20W/m·K，50W/m·K；方孔中的热流密度为100W/m2。双层板左右两侧的温度分别为220℃，60℃。板周围流体介质的对流介质的对流换热系数为150W/m2·K，温度25℃。最下面绝热。求稳态条件下，双层板内的温度分布。
2
T=220℃
问题求解步骤：
1、将Ansys系统单位制变成国际单位制
命令流：/units,si
2、设置本题的标题为“Steady state slab problem”
GUI：Utility Menu>File>Change Title
在弹出的对话框中键入“Steady state slab problem”，如图2所示.
图2 输入标题对话框
3、进入模块创建处理器：
命令流：/prep7
本题中，由于给定的是二维几何中的条件，且只涉及温度分布的求解，故可采用二维平面单元PLAN55。
点击Preprocessor>Element Type,将出现Element Type菜单,点击Element Type>Add/Edit/Delet…,将出现如图3所示，提示添加单元。
稳态温度场求解
• 式中，ρ为材料的密度（kg/m3）；c为材料 的比热容（J/(kg•K)）；t为时间（s）；λx、 λy、λz分别是材料沿x，y，z方向的热导率 （W/(m•K)）；Q是物体内部的热源密度 （W/kg）。
• 对于二维问题，瞬态热传导方程为：
T T y Q 0 c x t x x y y T
T T y Q 0 x x x y y
• 初始条件和边界条件 • 瞬态温度场：初始条件，t = 0的温度场分布。
T Leabharlann Baidu T0
T T x, y, z
• 瞬态温度场和稳态温度场：边界条件
t0
t0
• 第一类边界条件： • 指物体边界上的温度或温度分布函数已知。
• 第三类边界条件： • 又称对流边界条件，指物体与其周围环境介 质间的对流传热系数k和介质的温度Tf为已 知。
q
s
T n
s
k T T f
• 式中，k和Tf可以是 已知的常数，也可以 是某种已知的分布函 数。
• 例题：对于各向同性二维稳态导热方程，如 果物体内部热源密度为0，方程可写成如下 形式： 2 T 2 T
• 瞬态温度场： 温度场随时间变化。 • 稳态温度场：温度场不随时间变化。
• 三维稳态热传导方程为：
ANSYS导体热生成计算——稳态温度场和瞬态温度场
ANSYS 导体热生成计算——稳态温度场和瞬态温度场
APDL 命令流含注释
目录
简介： (1)
附件1 稳态温度场APDL 命令流 (2)
附件2 瞬态温度场APDL 命令流 (5)
简介：
导热热生成计算，分为稳态温度场和瞬态温度场计算。稳态温度场就是无限长时间后导体的温度场分布，瞬态温度场则可以模拟通电后的温度变化。ANSYS 施加的载荷的是生热率载荷。
MN
MX X
Y
Z 5082.138315.0511********.918013.821246.724479.727712.6
附件1 稳态温度场APDL命令流
!注1：本例温度单位为℃，其余物理量采取国际单位制。
!注2：导热系数、比热等物性参数是假定的，请根据实际情况更改! ***************环境设置************************
finish
/clear
/filn,Heat_generation
/title,
!基本参数
h1=160e-3 !导体块体长，本例为块体X轴方向尺寸
h2=100e-3 !导体块体宽，本例为块体Z轴方向尺寸
h3=100e-3 !导体块体高，本例为块体Y轴方向尺寸
d1=5e-3 !PC壳体厚度
temp_1=0 !第一个温度点温度
temp_2=50 !第二个温度点温度
temp_3=100 !第三个温度点温度
kxx_1_1=0.5 !导体块体在第一个温度点的导热系数
kxx_1_2=0.6 !导体块体在第二个温度点的导热系数
kxx_1_3=0.7 !导体块体在第三个温度点的导热系数
kxx_2_1=0.21 !PC壳体在第一个温度点的导热系数
ANSYS workbench稳态及瞬态热分析
1
稳态热分析实例
划分网格 e. 网格信息：网格质量及网格统计信息
mesh metric：网格度量，默认选择None 选择Element Quality，便会弹出mesh metric窗口。 Statistics：统计
1
稳态热分析实例
创建内表面命名组 1. 首先选择一个内表面，利用Extent to
A1为辐射面1的面积； F12为由辐射面1到辐射面 2的形状系数；
T1为辐射面1的绝对温度； T2为辐射面 2的绝对温度；
从方程可以看出热辐射为高度非线性。
4. 相变（Phase Change） 物体相变过程中也会产生热传递，如物体凝聚、物体蒸发、凝固或熔化等。
1
流程简介
几何模型 •Mechanical热分析支持所有体素类型（实体、面和线体），不支持Point Mass ➢对于线体，不考虑界面厚度上的温度变化 ➢对于壳，不考虑沿壳厚度方向的温度梯度 材料属性 •稳态热分析中，需要定义材料的导热系数（传热系数） ➢可以在Engineering Data中定义导热系数，在Thermal Materials下选择相关材 料 ➢温度相关的导热系数可以用表格的方式输入（见下页）
创建分析项目
启动ANSYS Workbench，
1
Toolbox→Analysis System →双击
导热基本方程和稳态导热理论
Q
Qd
0
qdFd
0F
2 导热基本定律－－Fourier’s Law
导热的热流密度与温度梯度成正比，即：
q gradt t n
n
—导热系数，物性值。单位为W/(m·K)。
负号是因为热流密度与温度梯度的方向相反。
热流密度为矢量，其在x、y、z轴上的投影用 傅立叶定律表示为：
qx
t x
qy
保温材料：国家标准规定，温度低于350℃时热导率小 于0.12w/(m.k)的材料（绝热材料）
金属的导热系数
导热系数对温度的依变关系
(4)变导热系数
当导热系数随温度变化较大时，必须考虑温度的影响， 一般可表示为：
0 (1 bt) 0 : 0℃的导热系数
b：温度系数
平均导热系数
T2 (t)dt
导热微分方程式
假设: (1)所研究的物体是各项同性的(isotropic)连续介质；
(2)热导率λ、比热容ср和密度ρ皆为已知；
(3)物体内具有均匀分布内热源，热源强度 qv W / m3 ；
qv —单位体积的导热体在单位时间内放出的热量。
在导热体内任意取出一微元体，根据能量守恒定律，在 d
t y
qz
t z
对于一维导热问题：
q dt
dx
3 导热系数
导热系数的定义式可由傅立叶定律的表达式得出
第三讲 温度场的有限元分析
qx
温度场基本方程推导
• • • 设微元在dt内，温度升高为： 相应所积蓄的热量为： 同一时间内，微元体沿x方向传入 和传出的热量之差，即净热量为：
T T T dt t T dt c dxdydz t
qx qx dx)dydzdt dxdydzdt qx dydzdt (qx x x
为函数y的函数称0j?为y的的?的曲线很多要求一条曲线使重物?间直线路径最短但重物运动的速度增长并不是最大xyvpba设设ab间有每条曲线对应一个时间即即t是是yx函数即泛函求变分的极值则可得最速下降曲线则可得最速下降曲线间有n条曲线条曲线每条曲线对应一个时间函数即泛函求变分的极值niyxiniti平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法?1泛函与变分泛函与变分平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法?1泛函与变分泛函与变分平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法?1泛函与变分泛函与变分平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法?1泛函与变分泛函与变分平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法?1泛函与变分泛函与变分平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法?1泛函与变分泛函与变分平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法?1泛函与变分泛函与变分平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法?1泛函与变分泛函与变分平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法?2平面稳态温度场的泛函第一类边界条件平面稳态温度场第一类边界条件平面稳态温度场kjtxy?平面稳态温度场的泛函txyfxy??部分边界上的温度为已知部分边界上的温度为已知22220txty??????222txtydxdy????????txyfxy??平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法?2平面稳态温度场的泛函第二类边界条件平面稳态温度场第二类边界条件平面稳态温度场kjtxy?边界面上的热流密度qwm2为已知平面稳态温度场的泛函1222txtydxdyqtds????????????10tn??kq???边界面上的热流密度为已知22220txty??????平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法?2平面稳态温度场的泛函第三类边界条件平面稳态温度场第三类边界条件平面稳态温度场kjtxy?平面稳态温度场的泛函式中介质温度ta换热系数a固体导热系数k均为常数1222122atxtydxdytttds???????????????222210attx??ytnktt???????????在内在上平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法?2平面稳态温度场的泛函具有内热源的平面稳态温度场具有内热源的平面稳态温度场平面稳态温度场的泛函1222jtxy2212aktxktyqtdxdytt
ANSYS热应力分析实例
23
双击“Thermal Expansion、Secant Coefficient、Isotropic”。
24
输入热膨胀系数为15e-6，参考温度20。
25
施加载荷
1.施加温度载荷。 Main Menu>Preprocessor>Loads>Define Loads>Apply>Structural>Temperature>From Therm Analy
17
转换分析类型
1.退出后处理器。 Main Menu>Finish 2. 修改分析名称为thermal-stress Utility Menu>File>Change Jobname
18
3.转换单元类型 。 Main Menu>Preprocessor>Element Type>Switch Elem Type
7
建立实体模型（国际单位制）
1. 创建矩形A1：x1,y1(0,0)、x2,y2(0.01,0.07) MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimensions 2. 创建矩形A2：x1,y1(0,0.05)、x2,y2(0.08,0.07) 3.显示面的编号 Utility Menu>PlotCtrls>Numbering 4. 对面A1和A2进行overlap操作 Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Booleans> Overlap>Areas
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• 瞬态温度场： 温度场随时间变化。 • 稳态温度场：温度场不随时间变化。
• 三维稳态热传导方程为：
T T T y x z Q 0 x x y y z z
• 二维稳态热传导方程为：
稳态温度场求解
• 傅立叶导热方程 • 在稳态条件下，
qx T x
• 式中qx是x方向的热流密度（W/m2）, λ是材 料的热导率（W/(m• K)）。 • T x 是x方向上的温度梯度，负号表示传 热的方向与温度梯度的方向相反。
• 在一般三维问题中，瞬态温度场满足方程：
T T T y c x z Q 0 t x x y y z z T
• 式中，ρ为材料的密度（kg/m3）；c为材料 的比热容（J/(kg•K)）；t为时间（s）；λx、 λy、λz分别是材料沿x，y，z方向的热导率 （W/(m•K)）；Q是物体内部的热源密度 （W/kg）。
• 对于二维问题，瞬态热传导方程为：
T T y Q 0 c x t x x y y T
T T y Q 0 x x x y y
• 初始条件和边界条件 • 瞬态温度场：初始条件，t = 0的温度场分布。
T T0
T T x, y, z
• 瞬态温度场和稳态温度场：边界条件
t0
t0
• 第一类边界条件： • 指物体边界上的温度或温度分布函数已知。
T
T
s
TW
TW x , y , z , t
s
• 第二类边界条件： • 又称为传导边界条件，指物体边界上的热 流密度已知。 • q T q
s
n
s
W
q s
T n
s
qW x , y , z , t
• 式中，n为物体边 界的外法线方向，并 规定热流密度的方向 与边界的外法线方向相同。
பைடு நூலகம்
• 第三类边界条件： • 又称对流边界条件，指物体与其周围环境介 质间的对流传热系数k和介质的温度Tf为已 知。
q
s
T n
s
k T T f
• 式中，k和Tf可以是 已知的常数，也可以 是某种已知的分布函 数。
• 例题：对于各向同性二维稳态导热方程，如 果物体内部热源密度为0，方程可写成如下 形式： 2 T 2 T
x
2
y
2
0
• 如方程和边界条件如下，请按等步长0.25， 求解各节点的温度。方程及边界条件如下：
2 2T T 0 , 0 x 1, 0 y 1 2 2 x y T ( 0 , y ) T ( x ,0 ) 0 T ( x ,1) 100 x , x 0 T (1, y ) 100 y , y 0