第三章：三角恒等变形(学生版汇总)
专题07 三角恒等变换学生版
专题07 三角恒等变换
一、三角恒等变换问题知识框架
【一】公式顺用、逆用及其变形用
1.例题 【例1】计算：
(1)cos(－15°)； (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
【例2】(1)计算：cos 2
π12－sin 2π12
； (2)计算：1－tan 275°
tan 75°；
(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.
【例3】(1)1＋tan 15°
1－tan 15°
＝________.
(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. （3）已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ
2.
2.巩固提升综合练习
【练习1】化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为( )
A.12
B.32 C ．－12 D ．－3
2
【练习2】1－3tan 75°
3＋tan 75°
＝________.
【练习3】在△ABC 中，A ＋B ≠π
2
，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )
A.π3
B.2π3
C.π6
D.π4
【练习4】若sin α＋cos α＝1
3，则sin 2α= .
1.例题
【例1】已知31)3sin(=-
π
α，则)6
cos(πα+ 的值为( ) A ．－13 B.13 C.223 D ．－22
3
【例2】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点⎪⎭
⎫
⎝⎛--54,53P . 若角β满足sin(α＋β)＝5
13，则cos β的值为________．
人教版高数必修四第10讲：简单的三角恒等变换(学生版)
简单的三角恒等变换
1、会利用已有的十一个公式进行简单的包等变换；
2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方
法.
2 2 . 2
1、公式推导：试以cos a 表布sin — ,cos — ,tan 一.
2 2 2
二、积化和差、和差化积公式:
一
.
1 .
1、公式推导：
(1 ) sina cosP =3 sin (« + s ) + sin(a - B )］；
日+甲 e
(2)
sin&+sin 中=2sin --------- cos ----- .
2 2
2
1 c o 2： cos ：= -----------
2 . 2 tan ： 1 - c 。2
二
二、本章节公式汇编:
2 tan a tan 2a = ------ 2—
1 —tan a a=P口tan o(± tan
P
tan(a ± P)=七------------ -
1 + tana tan P
相除
I相除S oH3
cos2 1
___ 2 _._2
= cos : -sin
2
= 2cos「.—1
2
=1 -2 sin :
sin 2 : - 2sin 二
cos ; S:-- C:：
移项:■ ■■ 2 :■
2 :.
1 cos： =2cos 2
2 ：■1 —cos： - 2sin
2
变形
e 1 r n …
sin ot cos P = 3 b in(ot +P) + sin(ot -P)]口1 r . 口口1 cosasin ^ =~ fe in(a+ P)-sin(a - B)]
D 1 r口口i cos a cos P = ? cos(a+ P)+ cos°t -
第三章 3.2 简单的三角恒等变换
§3.2 简单的三角恒等变换
学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．
知识点一 半角公式
思考 半角公式对任意角都适用吗？ 答案 不是，要使得式子有意义的角才适用． 知识点二 辅助角公式 辅助角公式：
a sin x ＋
b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝
⎛⎭⎫其中tan θ＝b
a
1．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α
1＋cos α＝1－cos αsin α
恒成立．( √ )
2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ与点(a ，b )同象限．( √ )
3．sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π
6.( × ) 提示 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭
⎫12sin x ＋3
2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.
题型一 应用半角公式求值
例1 已知sin θ＝45，5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ
2
.
考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值
解 ∵sin θ＝45，且5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－3
5.
∵5π4<θ2<3π2，∴cos θ
2＝－1＋cos θ2＝－5
专题07 三角恒等变换(学生版)
.
13
2.巩固提升综合练习
【练习 1】已知
，sin cos t ，则 tan t（ ）
A． 或
B．
C．
D．
【练习 2】已知 2sin cos 0 ，则 sin cos cos2 的值为（ ）
A． 6 5
【四】辅助角公式
B．- 3 5
3
C．
5
6
D．
5
y＝asin ωx＋bcos ωx＝ a2＋b2sin(ωx＋θ)．其中 cos a ， sin b
π t ， 则 cos
π t（ ）
A.
B.
C.
【练习
4】若
sin（
x ）=
2
，则
cos（
2x ）=（
）
3
3
3
7
A．
9
1
B．
9
C． 1 9
【练习
5】已知
sin
4
2x
3 5
，则 sin 4x 的值为（
）
A． 18 25
B． 18 25
C． 7 25
D.
D． 7 9
D． 7 25
【三】常值代换
变形 1：降幂公式: cos2α＝1＋cos α， sin 2 1 sin
2
2
2
2
变形 2：半角公式：（1＋cos 2α＝2cos2α， 1－cos 2α＝2sin2α）
高中数学-第三章 三角恒等变形章末整合课件 北师大版必修4
1+cos2
2
,sin2α=
1-cos2
2
2
2
.
2
④配方与平方,如 1+sin θ= sin 2 + cos 2 .
⑤辅助角公式 asin θ+bcos θ= 2 + 2 sin(θ+φ) 其中 sin =
2 +
,cos =
2
2 + 2
.
专题一
专题三
分析:所求式中含有切函数和弦函数,应先切化弦通分,然后根据角之
间的关系求解.
解:原式=
=
=
=
3sin10 °+4sin10 °cos10 °
cos10 °
3sin10 °+2sin20 °
3sin (30°-20°)+2sin20 °
=
cos10 °
cos10 °
3sin30 °cos20 °- 3cos30 °sin20 °+2sin20 °
π
3
5π
6
5π
12
2π
当 0≤2x- ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递增,
π
3
π
2
3
2
当 ≤2x- ≤π,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减.
第三章 第六节 简单的三角恒等变换
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来自百度文库
考点一 考点二
2．(教材改编)已知 cos θ＝－15，52π<θ<3π，那么 sin θ2＝( )
A．
10 5
B．－
10 5
C．
15 5
D．－
15 5
答案：D
6
回顾教材夯实基础 考点分类深度剖析 课时规范练
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考点一 考点二
3．若
sinα2＝
3，则 3
cos
8
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考点一 考点二
考点一 利用变换的“主角”——角变 ◄考能力——知法
[例 1] (1)(求值)若 cosπ4－α＝35，则 sin 2α＝(
)
A．275
B．15
C．－15
D．－275
9
回顾教材夯实基础 考点分类深度剖析 课时规范练
三角恒等变换 -学生版
三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；
(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β
. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；
(3)tan 2α＝2tan α1－tan α
. [常用结论]
1．公式T (α±β)的变形：
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．
2．公式C 2α的变形：
(1)sin 2α＝12(1－cos 2α)； (2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．
3．公式逆用： (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4∓α； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6∓α； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6±α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3∓α. 4．辅助角公式 a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a )，
特别的sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4； sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3； 3sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α±π6.
题型一：三角函数式的化简
复习课(三) 三角恒等变形
2π y＝cosx＋ 3 ， 经检验在
A、
B、C、D 四个选项中，只有选项 D 中横坐标使已知函数 取得最值，故选 D.
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结
束
2．设函数 f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的最小正周期为 π，将 π y＝f(x)的图像向左平移 个单位得函数 y＝g(x)的图像， 8 则 ( ) π A．g(x)在0，2 上单调递减
故
π π β β cosα＋2＝cos4＋α－4－2
π π β π π β ＝cos4＋αcos4－2＋sin4＋αsin4 －2
5 3 ＝ . 9 [答案] 2 (1) 5 (2)C
因此
π π 4＋3 3 2θcos －cos 2θsin ＝ . 3 3 10
4＋3 3 答案： 10
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结
π π 3．已知 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan12＋α＝ 2，tanβ－3 ＝2 2， π 求：(1)tanα＋β－4 ； (2)tan(α＋β)． π π π 解：(1)tanα＋β－4 ＝tanα＋12＋β－ 3 π π tanα＋12＋tanβ－3 2＋2 2 ＝ ＝ ＝－ 2. π π 1－ 2×2 2 1－tanα＋12×tanβ－3 π π (2)tan(α＋β)＝tan α＋β－4＋ 4 π π tanα＋β－4 ＋tan － 2＋1 4 ＝ ＝ ＝2 2－3. π π 1－－ 2×1 1－tanα＋β－4 ×tan 4
三角恒等变换及解三角形-2021届新高考数学知识点总结与题型归纳(解析版)
第12讲：三角恒等变换及解三角形
考点1：三角恒等变形
一、三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β; (3)tan(α±β)=
tan α±tan β1∓tan αtan β
(α，β，α+β≠kπ+π
2
，k ∈Z );
变形式tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)（α，β，α+β≠kπ+π
2
，k ∈Z ）．
2. 二倍角公式
(1)sin 2α=2sin αcos α; 变形式sin αcos α=1
2sin 2α．
(2)cos 2α=cos 2α−sin 2α=1−2sin 2α=2cos 2α−1; 变形式cos 2α=
cos 2α+1
2；sin 2x =
1−cos 2α
2
．
(3)tan 2α=2tan α
1−tan 2α． 3. 辅助角公式
y =a sin α+b cos α=√a 2+b 2(
√a 2+b 2
α+
√a 2+b 2
α)=√a 2+b 2sin (α+φ)，
其中φ所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=b
a 确定． 4. 化简中常用1的技巧
“1”的代换1=sin 2α+cos 2α；1=2cos 2α−cos 2α，1=cos 2α+sin 2α，1=tan π
4．
典例精讲
【典例1】已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2＝6，则z＝x2+4y2的取值范围为（）A．[4，12] B．[4，+∞）C．[0，6] D．[4，6]
1. 三角恒等变换(学生版) (1)
班级__________姓名____________ _______年____月____日 一、知识梳理
1. 和差倍角公式的变形与应用
（1）两角和与差的正切公式的变形
βαtan tan += ；βαtan tan -= .
（2）升幂公式
αcos 1+= ；αcos 1-= ；
αsin 1+= ；αsin 1-= .
（3）降幂公式
ααcos sin = ；α2sin = ；α2cos = .
2. 辅助角公式
)sin(cos sin 22ϕαβα++=+b a b a ，其中2
2
sin b
a b +=
ϕ，2
2
cos b
a a +=
ϕ.
特别地：
ααcos sin += ； ααcos sin -= ；
ααcos sin 3+= ；ααcos sin 3-= ； ααcos 3sin += ；ααcos 3sin -= .
二、基础训练 1. tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ .
2. 已知2
1
cos sin =+αα，则α2sin = .
3. 若tan θ＝－1
3
，则cos 2θ＝ .
4. sin15°－3cos15°= .
5. 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝1
7，则tan β的值为 .
小结提炼：
班级：__________学号：__________姓名：__________等第：__________
1. 已知α∈(0，π)，cos α＝－45，则tan(α＋π
4)＝ .
2.
2cos 10°－sin 20°
sin 70°
的值是 .
3. 计算： 40cos 30sin 20cos 10sin = .
三角恒等变换知识点总结
)sin(cos sin 22ϕωωω++=+=x x b x a y b a ；的取值范围为；其中22-tan πϕπϕϕ≤≤=a b 一、知识点总结
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；
⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ
--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=
- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos
sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ⑶22tan tan 21tan ααα
=-． 3、辅助角公式：把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 b
x a y ++=)sin(ϕω形式。 4、 5、（1）升幂公式 1+cos α=2cos 22α
1-cos α=2sin 22α
1±sin α=(2cos 2sin α
三角恒等变换(学生版)
三角恒等变换练习卷
一、选择题
1.cos70°sin50°−cos200°sin40°的值为()
A. −√3
2B. −1
2
C. 1
2
D. √3
2
2.cos215°−sin215°的值为()
A. 1
2B. √2
2
C. √3
2
D. √6
2
3.已知sin(π
5−α)=1
4
，则cos(2α+3π
5
)=()
A. −7
8B. 7
8
C. 1
8
D. −1
8
4.若cosα=3
5，α是第四象限角，则sin(α+π
4
)=()
A. −3√2
10B. 3√2
10
C. −√2
10
D. √2
10
5.若θ∈[π
4,π
2
]，sin2θ=3√7
8
，则sinθ=()
A. 3
5B. 4
5
C. √7
4
D. 3
4
6.计算1−2sin222.5°的结果等于()
A. 1
2B. √2
2
C. √3
3
D. √3
2
7.设θ为第四象限的角，cosθ=4
5
，则sin2θ=()
A. 7
25B. 24
25
C. −7
25
D. −24
25
8.函数f(x)=cos2x+6cos(π
2
−x)的最大值为()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
二、填空题
9.已知tanα=−2，tan(α+β)=1
7
，则tanβ的值为______．
10.已知锐角α，β满足sinα=√5
5,sin(α−β)=−√10
10
，则β等于______．
11.若锐角α、β满足(1+√3tanα)(1+√3tanβ)=4，则α+β=______．
12.已知cos(π
6−α)=2
3
，则sin(α−2π
3
)=______．
13.在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P(1,−2)，则sin2α=______．
3.2-简单的三角恒等变换-课件(人教A版必修4)
法
二
：
左
边
＝
cos2α 1＋sincoαsα－1－sincoαsα
＝
cos2αsinα 2cosα
＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边．
∴原等式成立．
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
α
α
法三：左边＝cos2αtanα2
1－tan2 2
＝12cos2α·1－2tatann22α2
＝12cos2α·tanα＝12cosαsinα＝14sin2α＝右
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(4)cos2α ＝ cos2α － sin2α ＝ 2cos2α － 1 ＝ 1 －
2sin2α；
tanα＋tanβ
(5)tan(α＋β)＝__1_－__t_a_n_α_t_a_n_β___；
tan(α－β)＝1t＋antαa－nαttaannββ； 2tanα
(6)tan2α＝___1_－__ta_n_2_α___.
因此 0≤ 2sin(2x－π6)＋1≤3.
即 f(x)在[0，23π]上的值域为[0，3]．
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
方法感悟
方法技巧 1.化简的方法： (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角． (2)降幂或升幂． 2.进行恒等变形时，既要注意分析角之间的 差异，寻求角的变换方法，还要观察三角函 数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的 方法，明确变形的目的．
人教A版高中数学必修四第三章 三角恒等变换
[解析] (1)f(x)＝6·1＋c2os2x－ 3sin2x ＝3cos2x－ 3sin2x＋3 ＝2 3( 23cos2x－12sin2x)＋3 ＝2 3cos(2x＋6π)＋3， 故f(x)的最大值为2 3＋3； 最小正周期T＝22π＝π.
(2)由f(α)＝3－2 3，得2 3cos(2α＋π6)＋3＝3－2 3， 故cos(2α＋6π)＝－1. 又由0<α<2π，得π6<2α＋6π<π＋π6， 故2α＋6π＝π，解得α＝152π. 从而tan45α＝tanπ3＝ 3.
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
故cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝(－1114)×17＋5143×4 7 3＝12.
专题三 三角恒等式的证明 1．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件 的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明． 就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这 是三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简， 如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过 渡．
高中数学必修四第三章三角恒等变换
必修四 第三章：三角恒等变换
【知识点梳理】：
考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式
两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ++=
-
两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+
注意：对于正切,,()2
2
2
k k k k z π
π
π
αβπαπβπ+≠+≠
+≠
+∈．
【典型例题讲解】：
例题1.已知3sin ,5
αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭的值.
例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。
例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求β
αtan tan 的值。
例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）
A ．
1
2
B ．
33
C ．
22
D ．
32
例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.
例题6.已知2tan()5
αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4π
α+的值是_____
例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分
第3讲 三角恒等变换(学生版)
第三讲 三角恒等变换（1）
【知识梳理】
一、内容提示： 1、和（差）角公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 2、倍角公式：
sin2α＝2sin cos αα；cos2α＝ ＝ ＝ ；
tan2α＝2
2tan 1tan α
α
- 3、公式变形：
21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；降次：21cos 2cos 2
α
α+=，
21cos 2sin 2α
α-=
tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan α tan β)； 1－tan α tan β＝
4、常见的角的变换：
2＝(α＋β)＋(α－β)； α＝＋； α＝(α＋β)－β ＝(α
－β)＋β；
＝(α－)－(－β)； ＝
【典型例题】
【例1】求sin 20cos110cos160sin70︒︒+︒︒的值
【例2】已知1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，(0,)2πα∈ ，(,)2
π
αβπ+∈，求β的
值．
【例3】已知cos(π4+x)= 35，17π12＜x ＜ 7π4，求sin2x ＋sin2xtanx
1-tanx 的值．
)
tan(tan tan βαβα++α2
βα+2
β
α-2
βα+2
β2
α)4
(
)4
(
x x ++-π
π
2
π
【课堂练习】
1、化简
1tan15
1tan15
+-等于（
）
A
B 、3 D 、1 2、已知∈(
,)，sin =,则tan()等于（ ）
A. B.7 C.－ D.－7 3、(cos sin )(cos sin )12121212