2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略讲义：3.1平面向量 Word版含解析

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2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第30讲平面向量的概念及线性运算含答案

1．平面向量(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．(2)掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(3)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．(4)了解向量线性运算的性质及其几何意义．(5)了解平面向量的基本定理及其意义．(6)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(7)会用坐标表示平面向量的线性运算(加、减与数乘)．(8)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(9)理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(10)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(11)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．(12)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(13)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．2．复数(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件，了解复数的代数表示法及其几何意义．(2)会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况续表2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况第2题复数的乘法运算向量和复数是每年高考的必考内容，从近5年高考全国卷Ⅰ和卷Ⅱ来看，直接考查向量的试题每年1道，占5分，复数每年1道，占5分，本部分共10分．平面向量在高考中，主要考查平面向量的基本定理，向量的基本运算，包括向量的线性运算和数量积运算，计算向量的模，向量的共线、垂直等．重点是向量数量积的运算，试题难度一般是易或偏易，主要分布在填空题第1、2题(全卷第13、14题)的位置，有时也在选择题第2至3题的位置．复数主要考查复数的概念(如实部、虚部、模、共轭等)，复数的几何意义，重点是考查复数的运算(主要是乘法、除法)．试题多为容易题，主要分布在试题的第2至3题的位置．向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学的一个重要交汇点．在高考中，主要考查向量有关的基础知识，突出向量的工具作用．在复习时应注意高考考查的层次，分层次进行复习．第一层次：要充分理解平面向量的相关概念和掌握向量的线性运算(向量的加法、减法及数乘向量的几何意义)、坐标运算、数量积运算，掌握两向量的共线、垂直的充要条件．第二层次：平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示、线性运算、基本定理以及数量积的应用．第三层次：平面向量与平面几何、三角函数、解析几何等知识相联系的综合问题．通过对向量的学习，进一步体会数形结合思想、方程思想在解题中的运用．对复数的复习应掌握好以下几个方面：1．掌握好复数的基本概念和复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件．2．熟练掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则．在运算过程中要注意复数运算与实数运算法则的区别．3．重视复数相等的充要条件，注意利用复数相等将复数问题化归为实数问题进行处理．第30讲平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的大小(叫做向量的模)，有向线段的箭头所指的方向表示向量的方向.(2)两个特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(3)平行向量(或共线向量)①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．②规定0与任一向量平行．③长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．2．向量的线性运算(1)向量的加法①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．②法则：向量的加法有三角形法则和平行四边形法则．③几何意义：如下图所示：④运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).(2)向量的减法①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.②法则：向量的减法符合三角形法则．③几何意义如下图所示．(3)向量的数乘运算①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下：(ⅰ)|λa|＝|λ||a|；(ⅱ)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.②运算律a，b为任意向量，λ，μ为实数．λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.3．向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一实数λ，使b＝λa.1．在平行四边形中，如图：(1)若a ，b 为不共线的两个向量，则a ＋b ，a －b 为以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量． (2)AO →＝12(a ＋b )． (3)|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．2．在△ABC 中：(1)PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)(向量式) ⇔G 是△ABC 的重心．(2)G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0.(3)λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线(即∠BAC 的平分线所在直线)过△ABC 的内心．3．共线的有关结论：①A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．②OA →＝xOB →＋yOC →(x ，y 为实数)，若点A ，B ，C 共线，则x ＋y ＝1.4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连结而成的向量和为零向量．热身练习1．下列命题中：①温度有零上和零下温度，所以温度是向量； ②重力有大小和方向，所以重力是向量； ③若|a|>|b|，则a>b ； ④若|a|＝|b|，则a ＝b. 其中真命题的个数是(A) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①温度的零上和零下只表示数量，但不表示方向，事实上温度没有方向，它只是一个数量，①假； ②重力既有大小又有方向，重力是向量，②真；③向量既有大小又有方向，两个向量不能比较大小，③假； ④大小相等和方向相同的两个向量才相等，④假．由以上分析知，真命题的个数是1. 2．下列命题中：①零向量的长度为0； ②零向量的方向任意； ③单位向量都相等；④与非零向量a 共线的单位向量为±a|a|.其中真命题的个数是(C) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①②④都是真命题，对于单位向量只规定了大小，没有规定方向，所以③是假命题． 3．下列命题中：①平行向量方向一定相同； ②共线向量一定相等；③向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数是(A) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①假，平行向量方向不一定相同． ②假，共线向量即平行向量，不一定相等．③假，AB →与CD →是共线向量，AB 与CD 所在的直线不一定共线，故A ，B ，C ，D 四点不一定共线． ④假，当b ＝0时，a 与c 可以是任意向量．4．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝(A) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →(方法一：向量的加法)CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.(方法二：向量的减法)CD →＝BD →－BC →＝12BA →－BC →.5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝ 12 .因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.向量的线性运算(经典真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →因为D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3CD →，所以B ，C ，D 三点共线，且D 在BC 的延长线上，如图：(方法一)在△ABD 中利用向量的加法： AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD → ＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(方法二)在△ACD 中利用向量的加法： AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(方法三)在△ABD 中利用向量的减法： AD →＝BD →－BA →＝43BC →－BA →＝43(AC →－AB →)＋AB →＝－13AB →＋43AC →.A(1)本题综合考查了向量的共线、向量的加法、减法、数乘等基础知识，难度不是很大．(2)未知向量由已知向量来表示，要注意寻找未知向量与已知向量的联系，一般要用到平行四边形法则、三角形法则、平行(共线)向量的性质．1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝(A) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →作出示意图如图所示，(方法一：在△EBD 中运用向量的加法)EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. (方法二：在△ABE 中运用向量的减法) EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →.共线定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线，又它们有公共点，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 和a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，所以(k －λ)a ＝(λk －1)b ，又a ，b 是不共线的两个非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0，所以k ＝±1.(1)证明三点共线问题，可转化为证明两向量平行，再说明两个向量有公共点． A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．(2)证两向量共线，其基本方法是利用两向量共线定理进行证明，即找到实数λ，使得b ＝λa (a 为非零向量)，则a 与b 共线．(3)三点共线等价关系：A ，B ，P 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0) ⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，B ，P 的任一点，t ∈R ) ⇔OP →＝x ·OA →＋y ·OB →(O 为平面内异于A ，B ，P 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．2．(2018·吉林期中)在△ABC 中，N 是AC 上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为 13.因为B ，P ，N 三点在同一直线上，所以AP →＝λAB →＋μAN →，λ＋μ＝1. 又AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋29×3AN →＝mAB →＋23AN →，所以m ＋23＝1, 所以m ＝13.向量的线性运算的综合问题平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M ，N 分别为DC ，BC 的中点，则有DM →＝12a ，BN →＝12b ，在△ABN 和△ADM 中可得：⎩⎨⎧a ＋12b ＝d ，b ＋12a ＝c ，解得⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，所以AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．本题求解体现了思维的灵活性，考查了方程的思想方法．3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝(B) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以M 是△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．所以AM →＝23AD →，又AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，比较得m ＝3.1．在解决有关向量的概念及性质的判断问题时，要全面地考虑问题，要注意：①零向量、单位向量的特殊性；②向量平行与直线平行的区别和联系．零向量0是长度为0的向量，其方向不确定，它与任一向量平行，要注意零向量0与数0不同，0只是一个实数．2．向量共线的充要条件是由实数与向量的积推导出来的．向量共线也称为向量平行，它与直线平行有区别：直线平行不包括共线(重合)的情况，而向量平行则包括共线(重合)的情况，故用向量法证明AB 与CD 平行，可先证明AB →∥CD →，再证明AB 与CD 不共线．3．向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．。

2020版高考数学大二轮复习3.1平面向量课件理

[例 1] (1)[2019·河北衡水中学摸底]如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，且A→E＝2E→O，则E→D＝( )
A.13A→D－23A→B B.23A→D＋13A→B C.23A→D－13A→B D.13A→D＋23A→B
(2)[2019·四川绵阳联考]如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，且 BD＝2DC.若A→C＝mA→B＋nA→D(m，n∈R)，则 m－n＝( )
b〉＝|aa|··b|b|”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决． 2．求解向量数量积最值问题的两种思路 (1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值． (2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求
函数的最值.
『对接训练』
4．[2019·河北衡水中学三调]在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，B→D
2．向量垂直向量 a，b 是非零向量，a⊥b⇔a·b＝0⇒x1x2＋y1y2＝0.
[例 2] (1)[2018·全国卷Ⅲ]已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则 λ＝________；
(2)[2019·江西南昌二中期末]已知向量A→B＝a＋3b，B→C＝5a＋ 3b，C→D＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线
【解析】 (1)2a＋b＝(4,2)，因为 c∥(2a＋b)，所以 4λ＝2，得
λ＝12.
(2)∵C→D＝－3a＋3b，B→C＝5a＋3b，∴B→D＝C→D＋B→C＝2a＋6b，
又A→B＝a＋3b，∴A→B＝12B→D，∴A→B∥B→D，∴A，B，D 三点共线．故

高考数学(文)二轮复习专题一三角函数和平面向量第2讲平面向量、解三角形 Word版含答案

第2讲平面向量、解三角形【课前热身】第2讲平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0，所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1，即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲平面向量、解三角形一、填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55，所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ，即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ，所以sin(A+C )=3sin B cos B ，所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题一第2讲平面向量与复数课件理

2018 Ⅱ 1,4 复数的除法运算;平面向量的数量积
Ⅲ
2,13
复数的乘法运算;平面向量的坐标运算及几何意义
Ⅰ 3,13 复数概念及运算;平面向量的数量积
Ⅱ 2017
Ⅲ
1,12 复数的除法运算;平面向量的坐标运算
2,12
复数的除法运算及复数的模;平面向量的坐标运算及基本定理
Ⅰ 2,13 复数相等和模;平面向量的模及坐标运算
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+I
解析:z=12+i i
=
2i(1-i) (1+i)(1-i)
=
2+22i=1Ʒ
天津,理
9)i
是虚数单位,则
5-i 1+i
的值为
.
解析:15+-ii
=
(5-i)(1-i) 2
=
4-26i=2-3i.
5-i 1+i
=
4+9 =
∴cos<a,c>=|��|··|��|
=
2 1×3
=
23.
答案:23
11.(2019 天津,理 14)在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2 3,AD=5,∠A=30°,点 E 在线段 CB 的延长线上,且
AE=BE,则�� ·�� =
答案:C
3.(2019全国Ⅱ,理2)设z=-3+2i,则在复平面内 �� 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析:由z=-3+2i,得 �� =-3-2i,则在复平面内 �� 对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C. 答案:C

2022年高考数学(文科)二轮复习名师导学案：专题二第3讲平面向量 Word版含答案

第3讲平面对量高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面对量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式消灭.真题感悟1.(2021·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥bD.|a |>|b |解析由|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2，即a·b ＝0，故a ⊥b . 答案 A2.(2021·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 解析由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，由于a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 73.(2021·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD → ＝2DC → ，AE → ＝λAC → －AB → (λ∈R )，且AD → ·AE →＝－4，则λ的值为________.解析 AB → ·AC → ＝3×2×cos 60°＝3，AD → ＝13AB → ＋23AC → ，则AD → ·AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB → ＋23AC → ·(λAC → －AB → )＝λ－23AB → ·AC → －13AB → 2＋2λ3AC → 2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 答案3114.(2021·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.考点整合1.平面对量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面对量基本定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面对量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的三共性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|A B → |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面对量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP → ＝λ1OA → ＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP → 与向量OA → ，OB → 的关系是OP → ＝12(OA → ＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA → ＋GB → ＋GC → ＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一平面对量的有关运算【例1】 (1)(2022·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. (2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ， BE ＝23BC .若DE → ＝λ1AB → ＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析 (1)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以a ·b ＝m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. (2)DE → ＝DB → ＋BE → ＝12AB → ＋23BC → ＝12AB → ＋23(AC → －AB → )＝－16AB → ＋23AC → ， ∵DE → ＝λ 1AB → ＋λ2AC → ， ∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案 (1)－2 (2)12探究提高对于平面对量的线性运算，首先要选择一组基底，同时留意共线向量定理的机敏运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.【训练1】 (2021·衡阳二模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC → ＝λAM → ＋μBN →，则λ＋μ＝( )A.2B.83C.65D.85解析法一如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二以AB → ，AD →作为基底，∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴AM → ＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋12AD → ， BN → ＝BC → ＋CN → ＝AD → －12AB →，因此AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB → ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC → ＝AB → ＋AD →，因此⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案 D热点二平面对量的数量积命题角度1 平面对量数量积的运算【例2－1】 (1)(2021·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA → ·OB → ，I 2＝OB → ·OC → ，I 3＝OC → ·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE → ·CB → 的值为________；DE → ·DC →的最大值为________.解析 (1)如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，依据题意，I 1－I 2＝OA → ·OB → －OB → ·OC → ＝OB → ·(OA → －OC → )＝OB → ·CA →＝|OB → ||CA →|·cos∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA → ||OB → |<|OC → ||OD →|，而cos∠AOB ＝cos∠COD <0，∴OA → ·OB → >OC → ·OD →，即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.(2)法一如图，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，设E (t ，0)，t ∈[0，1]，则DE → ＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE → ·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.由于DC → ＝(1，0)，所以DE → ·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE → ·DC →的最大值为1. 法二如图，无论E 点在哪个位置，DE → 在CB → 方向上的投影都是CB ＝1，所以DE → ·CB → ＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE → 在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE → ·DC → )max ＝|DC →|·1＝1.答案 (1)C (2)1 1探究提高 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量.其次留意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形. 命题角度2 平面对量数量积的性质【例2－2】 (1)(2022·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A.4 B.－4 C.94D.－94(2)(2021·哈尔滨模拟)平面对量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，a ＋b 在a 上的投影为5，则|a －2b |的模为( ) A.2 B.4 C.8D.16解析 (1)∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.(2)|a ＋b |cos 〈a ＋b ，a 〉＝|a ＋b |·（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a |＝16＋a ·b4＝5；∴a ·b ＝4.又(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－16＋16＝16. ∴|a －2b |＝4. 答案 (1)B (2)B探究提高 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要留意θ∈[0，π].2.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝ |a ＋b |.3.求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝（a ±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.【训练2】 (1)(2021·福建卷)已知AB → ⊥AC → ，|AB → |＝1t ，|AC → |＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP → ＝AB→|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB → ·PC → 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21(2)(2021·郴州二模)已知a ，b 均为单位向量，且(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为________.解析 (1)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC → ＝(0，t )，则AP → ＝AB→ |AB → |＋4AC→|AC →| ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0＋4t(0，t )＝(1，4). ∴点P (1，4)，则PB → ·PC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，故PB → ·PC →的最大值为13. (2)设单位向量a ，b 的夹角为θ，则|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos θ. ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，∴2|a |2－2|b |2－3a ·b ＝－3cos θ＝－332，∴cos θ＝32，∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.答案 (1)A (2)π6热点三平面对量与三角的交汇综合【例3】 (2021·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA → ·BC →的值.解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.∵f (x )的最小正周期为π，∴T ＝2π2|ω|＝π.∵ω＞0，∴ω＝1.(2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . ∵f (B )＝－2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，解得B ＝2π3(B ∈(0，π)).∵BC ＝3，∴a ＝3，∵sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a ，∴b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin2π3，解得sin A ＝12. ∵0＜A ＜π3，∴A ＝π6.∴C ＝π6，∴c ＝a ＝ 3.∴BA → ·BC → ＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32. 探究提高 1.破解平面对量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、帮助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式消灭的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的学问将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关学问进行求解. 【训练3】 (2021·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB → ·AC →＝－6，S △ABC＝3，求A 和a .解由于AB → ·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6，又由于S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1，又0<A <π，所以A ＝3π4.又由于b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29，所以a ＝29.1.平面对量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要留意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不行求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.依据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 相互垂直.3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面对量解决问题时要特殊留意两个向量夹角可能是0或π的状况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、选择题1.(2022·全国Ⅲ卷)已知向量BA → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 |BA → |＝1，|BC → |＝1，cos∠ABC ＝BA → ·BC→|BA → |·|BC → |＝32.∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.答案 A2.(2021·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0，因而是充分条件，反之m ·n <0，不能推出m ，n 方向相反，则不是必要条件.答案 A3.(2021·汉中模拟)已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A.9 B.3 C.109D.310解析向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9. 则|b |＝（－3）2＋92＝310. 答案 D4.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF → ＝2FO → ，则FD → ·FE →等于( )A.－34B.－89C.－14D.－49解析 ∵BF → ＝2FO → ，圆O 的半径为1，∴|FO → |＝13，∴FD → ·FE → ＝(FO → ＋OD → )· (FO → ＋OE → )＝FO → 2＋FO → ·(OE → ＋OD → )＋OD → ·OE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89. 答案 B5.(2021·安徽江淮十校联考)已知平面对量a ，b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b |的最大值为( ) A.2 B.4 C.6D.8解析令OA → ＝a ，OB → ＝b ，则b －a ＝AB → －OA → ＝AB →，如图.∵b 与b －a 的夹角为30°， ∴∠OBA ＝30°. ∵|a |＝|OA →|＝3，∴由正弦定理得|OA → |sin∠OBA ＝|OB → |sin ∠OAB ，|b |＝|OB →|＝6·sin∠OAB ≤6.答案 C 二、填空题6.(2021·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 解析由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2. 答案 27.(2021·德州模拟)已知平面对量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则 |a ＋2b |＝________.解析 ∵〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1， ∴a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×12＝1，又|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12，所以|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案 2 38.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM → ＝AB → ＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________.解析设AB 的中点为D ，由5AM → ＝AB → ＋3AC → ，得3AM → －3AC → ＝2AD → －2AM → ，即3CM → ＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD → ＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比值为35.答案 35三、解答题9.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值. 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.10.(2021·贵阳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x, 3sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求三角形ABC 面积的最大值.解 (1)∵a ＝(－sin x ，cos x )，b ＝(－sin x ，3sin x )，则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )，f (x )取最大值是32.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，∴A ＝π3.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2＝12＋bc ≥2bc ，∴bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立).∴S ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.∴当三角形ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3. 11.已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ).(1)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，由于x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.(2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.由于向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.。

2020届高考数学二轮复习全程方略课件：专题二三角函数与平面向量(3)平面向量 Word版含答案

(2)|a＋b|cos〈(a＋b)，a〉＝|a＋b|·
＝
|a＋b||a|
|a|
16＋a·b ＝ 4 ＝5；
所以 a·b＝4.
又(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝16－16＋16＝16.
所以|a－2b|＝4. 答案：(1)B (2)B
第二十一页，编辑于星期日：一点五分。
[规律方法] 1．两向量的夹角 cos θ＝|aa|··b|b|，要注意 θ∈[0，π]． 2．两向量垂直的应用，两非零向量垂直的充要条件是 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. 3．利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．
B．－12
C．1
D．－1
第七页，编辑于星期日：一点五分。
解析：(1)因为 a∥b，所以 2λ＋6＝0，解得 λ＝－3，当 λ＝－3 时，b＝(－1，－3)，a＝－2b，所以 a∥b 成立． (2)因为 E 为 BC 的中点，所以A→C＝A→B＋A→D＝12A→B＋12A→B＋A→D＝12A→B＋A→E，即A→E＝－12A→B＋A→C，
第二十三页，编辑于星期日：一点五分。
解析：(1)向量 a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－ 1)，
所以 2a＋b＝(1，x－8)，由(2a＋b)⊥c，可得 1＋8－x＝0，解得 x＝9. 则|b|＝（－3）2＋92＝3 10.
第二十四页，编辑于星期日：一点五分。
(2)设单位向量 a，b 的夹角为 θ，则|a|＝|b|＝1，a·b＝cos θ. 因为(2a＋b)·(a－2b)＝－3 2 3，所以 2|a|2－2|b|2－3a·b＝－3cos θ＝－323，所以 cos θ＝ 23，
sin A，求B→A·B→C的值．

2020新课标高考数学(文)二轮总复习课件：1-7-3 平面向量+Word版含解析

→→ →→ →→ 8．G 为△ABC 重心⇔GA·GB＝GB·GC＝GC·GA.
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
考点一向量的加、减法
[例 1] 已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量A→C＝(－4，－3)，则向量B→C＝( )
A．(－7，－4)
B.(7,4)
C．(－1,4)
专题七高效解答客观题第三讲平面向量
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
1．向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点共线的充要条件是O→P →→
＝λ1OA＋λ2OB(其中 λ1＋λ2＝1)． 2．如果直线 l 的斜率为 k，则 a＝(1，k)是直线 l 的一个方向向量． 3．向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做 b 在向量 a 方向上的投影．即|b|cos θ＝a|a·b| . 4．若 a 与 b 不共线，且 λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝_0__.
π
π
A.6
B.3
C.23π
D.56π
答案：B
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
解析：∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝
|a||b|cos<a，b>－b2＝0，
∴cos<a，b>＝|a|b|||b2 |＝2|b|b|2|2＝12，∵<a，b>∈[0，π]，
∴<a，b>＝π3.
C.－3
D.－1
答案：D 解析：本题考查向量的坐标运算．依题意得 b＝2a－a－12b＝(－4,2)，2a＋b＝(－
2,6)，(2a＋b)∥c，则 6x＝－2×3＝－6，x＝－1.

2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略讲义：命题二、综合性——着眼题型凸显能力

二、综合性——着眼题型凸显能力数学文化三角与向量解+析几何与向量函数与不等式概率与实际应用直线与圆锥曲线试题的综合性是高考试题的重中之重，其主要特征是多知识点的交汇，条件和结论由紧密相关的知识构成，是知识网的具体体现，该类问题多呈现在向量与三角、向量与解+析几何、概率与应用、直线与圆锥曲线、函数与不等式、数列与方程或函数、平面几何与立体几何等等．解答此类问题必须注意以下三点：(1)理清知识体系；(2)建立知识网络关系；(3)注重目标的达成．依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6{2－x，x≤，x>0，则满足f(x＋时，函数f(x)＝2－x是减函数，则1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(xy2＝a2记为②式，①OF为直径的圆与圆的相交弦所在直线的方程为x高考小题集训(二)1．[2019·河南郑州第二次质量预测]已知全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝ln(1－x 2)}，B ＝{y |y ＝4x －2}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．(－1,0)B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(－1,0]详细分析：A ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{y |y >0}，所以∁U B ＝{y |y ≤0}，所以A ∩(∁U B )＝(－1,0]，故选D.答案：D2．[2019·四川乐山调研]若a ＋b ii (a ，b ∈R )与(1－i)2互为共轭复数，则a －b 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3详细分析：∵a ＋b i i ＝(a ＋b i )(－i )－i 2＝b －a i ，(1－i)2＝－2i. 又a ＋b ii 与(1－i)2互为共轭复数， ∴b ＝0，a ＝－2，则a －b ＝－2，故选A. 答案：A3．[2019·广东广州调研]已知实数a ＝2ln 2，b ＝2＋2ln 2，c ＝(ln 2)2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <c <b详细分析：因为0<ln 2<1，所以a ＝2ln 2∈(1,2)，c ＝(ln 2)2∈(0,1)．又b ＝2＋2ln 2＝2＋ln 4∈(3,4)，故c <a <b .故选B. 答案：B4．[2019·陕西渭南月考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6<0，a 7>0，且a 7>|a 6|，则( )A ．S 11＋S 12<0B ．S 11＋S 12>0C ．S 11·S 12<0D ．S 11·S 12>0详细分析：∵a 6<0，∴S 11＝11a 6<0，又a 6<0，a 7>0，且a 7>|a 6|，∴S 12＝6(a 6＋a 7)>0. ∴S 11·S 12<0，故选C. 答案：C5．[2019·天津七校联考]已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β详细分析：若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交，故A 不正确；若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β或α与β相交，故B 不正确；若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α或n ⊂α，故C 不正确；若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β，故D 正确．故选D.答案：D6．[2019·浙江杭州八中月考]在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，AB ＝4，AD →＝14AC →＋λAB →，则AC 的长为( )A ．3B ．6C ．9D ．12详细分析：∵AD →＝14AC →＋λAB →且B ，C ，D 三点共线，∴λ＝34，∴AD →＝14AC →＋34AB →， ∴BD →－BA →＝14BC →－14BA →－34BA →， ∴BD →＝14BC →.又AD 为∠A 的平分线， ∴AB AC ＝BD DC ＝13，又AB ＝4，∴AC ＝12.故选D.答案：D7．[2019·成都一诊]设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6详细分析：通解作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋y ＝0，平移该直线，可知当直线经过点A (0,1)时z 取得最小值，z min ＝3×0＋1＝1，故选A.优解由⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，此时z ＝1；由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，此时z ＝3；由⎩⎨⎧x ＝1，2x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，此时z ＝6.综上，目标函数z ＝3x＋y 的最小值为1，故选A.答案：A8．[2019·北京第八十中学阶段测试]阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，1]内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2，－1]D ．[－2,0] 详细分析：由程序框图可得分段函数y ＝⎩⎨⎧2x ，x ∈[－2，2]，2，x ∉[－2，2]，令2x∈[14，1]，则x ∈[－2,0]，∴输入的实数x 的取值范围是[－2,0]．故选D.答案：D9．[2019·河北衡水中学调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，若S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°详细分析：∵S ＝12bc sin A ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴12bc sin A ＝12bc cos A ，∴tan A ＝1，∵0°<A <180°，∴A ＝45°，故选C.答案：C10．[2019·河北六校联考]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.64－82π3B.64－42π3C.32－82π3D.32－42π3详细分析：由三视图知，这个几何体是由一个四棱锥S －ABCD 挖去18个球得到的，其直观图放在正方体(正方体是虚拟图，起辅助作用)中如图所示，故该几何体的体积为13×4×4×4－18×4π3×(22)3＝64－82π3，选A.答案：A11．[2019·广东珠海摸底]某班级在一次数学竞赛中设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为一等20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法不正确的是( )A ．获得参与奖的人数最多B ．各个奖项中三等奖的总费用最高C ．购买奖品的平均费用为9.25元D ．购买奖品的费用的中位数为2元详细分析：设全班人数为a ，由扇形统计图可知，一等奖占5%，二等奖占10%，三等奖占30%，参与奖占65%.获得参与奖的人数最多，故A 正确；一等奖的总费用为5%a ×20＝a ，二等奖的总费用为10%a ×10＝a ，三等奖的总费用为30%a ×5＝32a ，参与奖的总费用为65%a ×2＝1310a ，所以各个奖项中三等奖的总费用最高，故B 正确；购买奖品的平均费用为5%×20＋10%×10＋30%×5＋65%×2＝4.8(元)，故C 错误；参与奖占65%，所以购买奖品的费用的中位数为2元，故D 正确．故选C.答案：C12．[2019·全国卷Ⅱ]2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，则r 的近似值为( ) A.M 2M 1R B.M 22M 1RC.33M 2M 1RD.3M 23M 1R详细分析：本题主要考查考生对背景材料的审读能力、逻辑思维能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．由M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，得M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋r R 2＋M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋r R M 1.因为α＝r R ，所以M 1(1＋α)2＋M 2α2＝(1＋α)M 1，得3α3＋3α4＋α5(1＋α)2＝M 2M 1.由3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 3≈M 2M 1，所以r ≈3M 23M 1·R ，故选D.答案：D13．[2019·山西太原一中月考]已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值为________．详细分析：∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，∴tan α＝2，∴sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－16.答案：－1614．[2019·湖南郴州质量检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a log 3x ，x >0，1－x ，x ≤0，若f (f (－2))＝－2，则a ＝________.详细分析：f (f (－2))＝f (3)＝a ＝－2.答案：－215．[2019·河南期末联考]三棱锥P －ABC 的侧棱两两垂直，D 为棱P A 的中点，E ，F 分别为棱PB ，PC 上的点，DE ∥平面ABC ，PF ＝2FC ，若从三棱锥P －ABC 内部随机选取一点，则此点取自三棱锥P －DEF 内部的概率为________．详细分析：因为DE ∥平面ABC ，DE ⊂平面P AB ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，所以DE ∥AB ，所以V P －DEFV P －ABC＝12×12×23＝16，即所求概率为16.答案：16 16．[2019·江西红色七校第一次联考]已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.详细分析：将双曲线的方程x 2－y 2＝2化为x 22－y22＝1，则a ＝b ＝2，c ＝2. 因为|PF 1|＝2|PF 2|①，所以点P 在双曲线的右支上．由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22②. 由①②，得|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 在△PF 1F 2中，根据余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.答案：34。

2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略讲义：命题三、创新性——立足求变变中出新

三、创新性——立足求变变中出新迁移与交汇开放与探究新立意与常规求解高考数学试题的创新性是数学试题具有较高生命力和价值的体现，每年的高考试题的特点都呈现稳中求新，具有开放性、新颖性、灵活性等特点，“年年考题都相似，考题年年有创新”，解决创新性问题注重以下三点：(1)知识的迁移与交汇，将知识的迁移与交汇有机结合．(2)做好“翻译”工作，将创新点“翻译”为数学基础知识．(3)将开放性、探究性问题转化为常规性问题．A.33B.23C.32D.3答案：118.8高考小题集训(三)1．[2019·河北九校第二次联考]已知集合M ＝{x |x <2}，N ＝{x |x 2－x <0}，则下列选项正确的是( )A ．M ∪N ＝RB ．M ∪∁R N ＝RC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝M详细分析：因为N ＝{x |x 2－x <0}＝{x |0<x <1}，所以∁R N ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以M ∪∁R N ＝R .故选B.答案：B2．[2019·广东汕头金山中学期中]设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，若z 1＝1＋3i1－i，则z 1＋z 2等于( )A ．4iB ．－4iC ．2D ．－2详细分析：z 1＝1＋3i 1－i ＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i2＝－1＋2i ，∵复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴z 2＝－1－2i ，则z 1＋z 2＝－2，故选D.答案：D3．[2019·黑龙江大庆模拟]若一系列函数的解+析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解+析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个详细分析：由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．故选C.答案：C4．[2019·广东佛山一中期中]已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q详细分析：∃x 0＝0∈R ，x 20－x 0＋1≥0，故命题p 为真命题；当a ＝1，b ＝－2时，a 2<b 2成立，但a <b 不成立，故命题q 为假命题．所以命题p ∧q ，綈p ∧q ，綈p ∧綈q 均为假命题，命题p ∧綈q 为真命题．故选B. 答案：B5．[2019·五省六校(K12联盟)联考]某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n ＝( )A ．12B ．18C ．24D ．36详细分析：由分层抽样知n 960＋480＝24960，解得n ＝36，故选D.答案：D6．[2019·河北保定摸底]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12π＋1，前n 项和为S n ，则S 2 017＝( ) A ．1 232 B ．3 019 C ．3 025 D ．4 321详细分析：∵a n ＝n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋12π＋1，∴a 1＝1×0＋1，a 2＝2×(－1)＋1，a 3＝3×0＋1，a 4＝4×1＋1，…，a 2 017＝2 017×0＋1，∴S 2 017＝2 017×1＋(－2＋4－6＋8＋…＋2 016)＝2 017＋504×2＝3 025.故选C.答案：C7．[2019·浙江杭州一中月考]若α是第四象限角，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( ) A.15 B ．±513 C.513 D ．－513详细分析：∵α是第四象限角，∴2k π－π2<α<2k π(k ∈Z )，∴2k π－π6<π3＋α<2k π＋π3(k ∈Z )，∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α为第四象限角， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－513，故选D. 答案：D8．[2019·北京八十中学月考]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，若∀(x ，y )∈D ，则( )A ．x ＋2y ≥－2B ．x ＋2y ≥2C ．x －2y ≥－2D ．x －2y ≥2详细分析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，作直线l 0：x ＋2y ＝0，易知z 的最小值为0，无最大值．所以根据题意知，∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥0恒成立，故x ＋2y ≥－2恒成立．故选A.答案：A9．[2019·湖南五市十校联考]已知E ，F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP ，BC 的中点，AB ＝6，PC ＝6，EF ＝33，则异面直线AB 与PC 所成的角为( )A ．120°B ．45°C ．30°D ．60°详细分析：设AC 的中点为G ，连接GF ，EG ，∵E ，F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP ，BC 的中点，PC ＝6，AB ＝6，∴EG ∥PC ，GF ∥AB ，EG ＝3，GF ＝3.∴∠EGF 为异面直线AB 与PC 所成的角(或其补角)．在△EFG 中，EF ＝33， ∴cos ∠EGF ＝9＋9－272×3×3＝－12，∴∠EGF ＝120°，∴异面直线AB 与PC 所成的角均为60°. 答案：D10．[2019·北京昌平区期末]《九章算术》是我国古代的数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图如图所示，一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有( )A ．21斛B ．34斛C ．55斛D ．63斛详细分析：设圆锥的底面14圆的半径为r ，则π2r ＝8，解得r ＝16π，故米堆的体积为14×13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5＝3203π(立方尺)．∵1斛米的体积约为1.62立方尺，∴3203π÷1.62≈21(斛)，故选A.答案：A11．[2019·山西太原期末]平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a |＝|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝( )A ．1B ．2 C. 5 D ．5详细分析：∵a ，b ，c 不共线且两两所成的角相等， ∴a ，b ，c 两两所成的角均为120°，又|a |＝|b |＝2，|c |＝1， ∴a ·b ＝－2，b ·c ＝a ·c ＝－1， ∴|a ＋b ＋c |2＝4＋4＋1－4－2－2＝1. ∴|a ＋b ＋c |＝1.故选A.优解一设a ＋b ＝d ，∵a ，b ，c 不共线且两两所成的角相等， ∴a ，b ，c 两两所成的角均为120°， ∴d ＝λc (λ<0)．又|a |＝|b |＝2，∴|d |＝2，又|c |＝1，∴d ＝－2c ， ∴|a ＋b ＋c |＝|－c |＝1.故选A.优解二如图，建立平面直角坐标系，∵a ，b ，c 不共线且两两所成的角相等，∴a ，b ，c 两两所成的角均为120°. 又|a |＝|b |＝2，|c |＝1，∴a ＝(－1，3)，b ＝(－1，－3)，c ＝(1,0)， ∴a ＋b ＋c ＝(－1,0)， ∴|a ＋b ＋c |＝1.故选A. 答案：A12．[2019·全国卷Ⅱ]设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83 详细分析：本题主要考查函数的解+析式、函数的图象、不等式恒成立问题，意在考查考生的逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算．当－1<x ≤0时，0<x ＋1≤1，则f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时，0<x －1≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时，0<x －2≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3)，……由此可得f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧…12(x ＋1)x ，－1<x ≤0，x (x －1)，0<x ≤1，2(x －1)(x －2)，1<x ≤2，22(x －2)(x －3)，2<x ≤3，…由此作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知当2<x ≤3时，令22(x －2)(x －3)＝－89，整理，得(3x －7)(3x－8)＝0，解得x ＝73或x ＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73，故选B.答案：B13．[2019·东北三省四市教研联合体高考模拟试卷(一)]为了解天气转冷时期居民电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出的回归方程为y^＝－2.11x ＋61.13，现表中一个数据被污损，则被污损的数据为________详细分析：x －＝18＋13＋10－14＝10，代入回归方程y ^＝－2.11x ＋61.13得y －＝40.03，设污损的数据为a ，则24＋34＋a ＋64＝4×40.03，得a ＝38.12≈38.答案：3814．[2019·山东夏津一中月考]过直线2x ＋y －1＝0和直线x －2y ＋2＝0的交点，且与直线3x ＋y ＋1＝0垂直的直线方程为________．详细分析：由⎩⎨⎧2x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0得交点坐标为(0,1)．因为直线3x＋y ＋1＝0的斜率为－3，所求直线与直线3x ＋y ＋1＝0垂直，所以所求直线的斜率为13，则所求直线的方程为y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.答案：x －3y ＋3＝0 15．[2019·广东东莞二调]已知|x |≤2，|y |≤2，点P 的坐标为(x ，y )，当x ，y ∈R 时，点P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率为________．详细分析：如图，点P 所在的区域为正方形ABCD 上及其内部，(x －2)2＋(y －2)2≤4表示的是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆上的点及其内部，故所求概率为14×π×224×4＝π16.答案：π1616．[2019·甘肃六校联考期中]若函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－w x sin w x ＋cos(2π－2w x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上单调递增，则正数w 的最大值为________．详细分析：函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－w x sin w x ＋cos(2π－2w x ) ＝(23cos w x ＋2sin w x )sin w x ＋cos 2w x＝3sin 2w x ＋2sin 2w x ＋cos 2w x ＝3sin2w x ＋1，∵－3π2≤x ≤π2，w >0，∴－3w π≤2w x ≤w π，又函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3w π≥－π2，w π≤π2，解得0<w ≤16，∴正数w 的最大值为16.答案：16。

2020高考文科数学二轮考前复习方略练习：第一部分第3讲平面向量与算法 Word版含解析

第3讲平面向量与算法考点1 平面向量的线性运算[考法全练]1．(一题多解)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A.25 B ．－25C.35D ．－35解析：选B.法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65λ＝－25.法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，由a ＋λb 与c 共线可知2－λ2＝4＋λ3，解得λ＝－25. 2．(一题多解)(2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC 中，BD →＝13BC →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.23a ＋13bB.13a ＋23bC.13a －23bD.23a －13b 解析：选A.通解：如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点E ，F ，则四边形AEDF 为平行四边形，所以AD →＝AE →＋AF →.因为BD →＝13BC →，所以AE →＝23AB →，AF →＝13AC →，所以AD→＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b ，故选A. 优解一：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b ，故选A.优解二：由BD →＝13BC →，得AD →－AB →＝13(AC →－AB →)，所以AD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC→＝23a ＋13b ，故选A. 3．直线l 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC →(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( )A ．－12B ．1 C.32D ．－3解析：选A.AM →＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →，因为E 、M 、F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以52μ－λ＝－12，故选A.4．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3D ．4 3解析：选B.由|PB →|＝|PC →|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点为D ，则PD ⊥BC ，又AB →＋PB →＋PC →＝0，所以AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB →|＝2，|PD →|＝1可得|BD →|＝3，则|BC →|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝23，故选B.■ 规律方法平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．考点2 平面向量的数量积[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3解析：选C.因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选B.设a 与b 的夹角为α，因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3.故选B.3．已知a ＝(1，2)，b ＝(－1，1)，c ＝2a －b ，则|c |＝( ) A.26 B ．3 2 C.10D. 6解析：选B.法一：因为c ＝2a －b ＝2(1，2)－(－1，1)＝(3，3)，所以|c |＝32＋32＝3 2.故选B.法二：由题设知|a |2＝1＋4＝5，|b |2＝1＋1＝2，a ·b ＝1×(－1)＋2×1＝1，所以|c |2＝|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝4×5＋2－4×1＝18，所以|c |＝3 2.故选B.4．(一题多解)(2019·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AB ＝4，AC ＝2，若AD →＝32AB →，则CD →·CB →＝( )A ．－18B ．－6 3C ．18D ．6 3解析：选C.通解：由∠C ＝π2，AB ＝4，AC ＝2，得CB ＝23，CA →·CB →＝0.CD →·CB →＝(CA →＋AD →)·CB →＝CA →·CB →＋32AB →·CB →＝32(CB →－CA →)·CB →＝32CB →2＝18，故选C.优解一：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (2，0)，B (0，23)．由题意得∠CBA ＝π6，又AD →＝32AB →，所以D ＝(－1，33)，则CD →·CB →＝(－1，33)·(0，23)＝18，故选C.优解二：因为∠C ＝π2，AB ＝4，AC ＝2，所以CB ＝23，所以AB →在CB →上的投影为23，又AD →＝32AB →，所以AD →在CB →上的投影为32×23＝33，则CD →在CB →上的投影为33，所以CD →·CB →＝|CB →|·|CD →|cosCD →，CB →＝23×33＝18，故选C.5．(一题多解)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则a 在b 方向上的投影等于________．解析：法一：因为|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，所以(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝3，所以a ·b ＝－1，所以a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－12.法二：记a ＝OA →，a ＋b ＝OB →，则b ＝AB →，由题意知|OA →|＝1，|OB →|＝3，|AB →|＝2，则|OA →|2＋|OB →|2＝|AB →|2，△AOB是直角三角形，且∠OAB ＝π3，所以a 在b 方向上的投影为|OA→|cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. 答案：－12■ 规律方法求向量a ，b 的数量积a ·b 有三种方法：①若两向量的夹角直接可得，则根据定义即可求得数量积；②根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解；③若图形适合建立平面直角坐标系，则可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解．[注意] 求解两个非零向量的夹角问题时，要注意两向量夹角的范围是[0，π]，不是(0，π)，其中θ＝0表示两向量同向共线，θ＝π表示两向量反向共线．考点3 程序框图[考法全练]1．(2019·济南市模拟考试)执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2 019，则输出的y 值为( )A.18B.14C.12D ．1解析：选C.运行程序，输入的x ＝2 019，则x ＝2 019－4＝2 015，满足x ≥0，2 015－4＝2 011，满足x ≥0；…；x ＝3，满足x ≥0；x ＝－1，不满足x ≥0.故输出y ＝2－1＝12.2．(2019·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.k ＝1，s ＝1；第一次循环：s ＝2，判断k <3，k ＝2；第二次循环：s ＝2，判断k <3，k ＝3；第三次循环：s ＝2，判断k ＝3，故输出2.故选B.3．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入()A ．A ＝12＋AB ．A ＝2＋1AC ．A ＝11＋2AD ．A ＝1＋12A解析：选A.法一：依次检验四个选项．第一次循环：A.A ＝12＋12；B.A ＝2＋2；C.A ＝12；D.A ＝2.分析知只有A 符合题意．故选A.法二：分析知，12＋12＋12与12＋12一致的结构为12＋A ，故可设A ＝12＋A ，检验知符合题意，故选A.4．(2019·武汉部分学校调研)执行如图所示的程序框图，若输入的n 的值为6，则输出的S 的值为( )A ．21B ．23C ．37D ．44解析：选C.第1次循环得到t ＝1，S ＝1，i ＝2；第2次循环得到t ＝4，S ＝5，i ＝3；第3次循环得到t ＝3，S ＝8，i ＝4；第4次循环得到t ＝8，S ＝16，i ＝5；第5次循环得到t ＝5，S ＝21，i ＝6；第6次循环得到t ＝16，S ＝37，i ＝7，7>6，跳出循环．故S ＝37，选C.■ 求解策略程序框图的解题策略(1)要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体． (2)要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化．(3)要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．[注意] 要注意各个框的顺序，在给出程序框图，求解输出结果的试题中要按照程序框图规定的运算顺序逐次计算，直到达到输出条件．[练典型习题·提数学素养] 一、选择题1．(一题多解)(2019·贵州省适应性考试)设向量a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，向量λa ＋b 与向量a ＋3b 垂直，则实数λ＝( )A.12 B ．1 C ．－1D ．－12解析：选B.法一：因为a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，所以λa ＋b ＝(λ，－2λ＋1)，a ＋3b ＝(1，1)，由已知得(λ，－2λ＋1)·(1，1)＝0，所以λ－2λ＋1＝0，解得λ＝1，故选B.法二：因为向量λa ＋b 与向量a ＋3b 垂直，所以(λa ＋b )·(a ＋3b )＝0，所以λ|a |2＋(3λ＋1)a ·b ＋3|b |2＝0，因为a ＝(1，－2)，b ＝(0，1)，所以|a |2＝5，|b |2＝1，a ·b ＝－2，所以5λ－2(3λ＋1)＋3×1＝0，解得λ＝1，故选B. 2．(2019·湖南省湘东六校联考)已知向量AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，2)，则△ABC 的面积为( )A.35 B ．4 C.32D ．2解析：选D.由题意，得|AB →|＝5，|AC →|＝ 5.设向量AB →，AC →的夹角为θ，则cos θ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1×（－1）＋2×25×5＝35，所以sin θ＝45，所以S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin θ＝12×5×5×45＝2，故选D.3．(2019·高考天津卷)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．29解析：选B.i ＝1，S ＝0，i 不是偶数；第一次循环：S ＝1，i ＝2<4；第二次循环：i 是偶数，j ＝1，S ＝5，i ＝3<4；第三次循环：i 不是偶数，S ＝8，i ＝4，满足i ≥4，输出S ，结果为8.故选B.4．(一题多解)(2019·合肥市第一次质检)设向量a ＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－65，85 B ．(－6，8) C.⎝⎛⎭⎫65，－85 D ．(6，－8)解析：选D.法一：因为a 与b 的方向相反，所以可设b ＝(3t ，－4t )(t >0)，又|b |＝10，则9t 2＋16t 2＝100，解得t ＝2，或t ＝－2(舍去)，所以b ＝(6，－8)，故选D.法二：与a 方向相反的单位向量为⎝⎛⎭⎫35，－45，令b ＝t ⎝⎛⎭⎫35，－45(t >0)，由|b |＝10，得t ＝10，所以b ＝(6，－8)，故选D.5．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，条件框内应填写( )A ．i >3?B ．i <5?C ．i >4?D ．i <4?解析：选 D.由程序框图可知，S ＝10，i ＝1；S ＝8，i ＝2；S ＝4，i ＝3；S ＝－4，i ＝4.由于输出的S ＝－4.故应跳出循环，故选D.6．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，若AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝( )A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD.13a －23b 解析：选C.BF →＝BC →＋CF →＝BC →－13AC →＝AD →－13(AB →＋AD →)＝－13a ＋23b .7．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝－1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－3xC ．y ＝－4xD ．y ＝－8x解析：选C.初始值x ＝0，y ＝－1，n ＝1，x ＝0，y ＝－1，x 2＋y 2<36，n ＝2，x ＝12，y ＝－2，x 2＋y 2<36，n ＝3，x ＝32，y ＝－6，x 2＋y 2>36，退出循环，输出x ＝32，y ＝－6，此时x ，y 满足y ＝－4x ，故选C.8．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．0B ．4C ．8D ．－4解析：选B.因为AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，所以AD ＝4sin 30°＝2.所以AD →·AC →＝AD →·(AB →＋BC →)＝AD →·AB →＋AD →·BC →＝AD →·AB →＝2×4×12＝4.9．在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，CA ＝8，且O 是△ABC 的外心，则CA →·AO →＝( ) A ．16 B ．32 C ．－16D ．－32解析：选D.通解：由题意得AB 2＝BC 2＋CA 2，所以△ABC 为直角三角形，则点O 为斜边AB 的中点，所以CA →·AO →＝－AC →·AO →＝－|AC →|·|AO →|cos ∠BAC ＝－|AC →|·12|AB →|·|AC →||AB →|＝－12|AC →|2＝－32，故选D.优解：由题意得AB 2＝BC 2＋CA 2，所以△ABC 为直角三角形，则点O 为斜边AB 的中点，所以AO →在AC →上的投影为4，则CA →·AO →＝－AC →·AO →＝－4|AC →|＝－32，故选D.10．已知a >1，b >1，且log a b ＋log b a ＝103，a b ＝b a ，则执行如图所示的程序框图，输出的S ＝( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3解析：选C.由log a b ＋log b a ＝103，得(log a b )2－103log a b ＋1＝0，即3(log a b )2－10log a b ＋3＝0，解得log a b ＝3或log a b ＝13.由a b ＝b a ，两边同时取以a 为底的对数，得b ＝a log a b ，log a b＝b a .当log a b ＝3时，得a 3＝b ，且b a ＝3.解得a ＝3，b ＝33；当log a b ＝13时，得a ＝b 3，且b a ＝13，解得a ＝33，b ＝ 3.又程序框图的功能是“取较小值”，即输出a 与b 中较小的那一个，所以输出的S ＝ 3.11．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →＝( ) A ．3 B ．－3 C.92D ．－92解析：选C.对|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方，得AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2－2AB →·AC →)，即8AB →·AC →＝2AB →2＋2AC →2＝2×32＋2×32＝36，所以AB →·AC →＝92.所以CB →·CA →＝(CA →＋AB →)·CA →＝CA →2＋AB →·CA →＝CA →2－AB →·AC →＝9－92＝92，故选C.12．(一题多解)(2019·郑州市第二次质量预测)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP →·BP →的最小值为( )A ．－12B ．0C ．4D ．－1解析：选A.通解：因为BC ＝2，AC ＝4，∠C ＝90°，所以AC 的中线BD ＝22，且∠CBD ＝45°.因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以设BP →＝λBD →(0≤λ≤1)，如图所示，所以CP →·BP →＝(CB →＋BP →)·BP →＝(CB →＋λBD →)·λBD →＝λCB →·BD →＋λ2·BD →2＝λ|CB →|·|BD →|cos 135°＋λ2×(22)2＝8λ2－4λ＝8(λ－14)2－12，当λ＝14时，CP →·BP →取得最小值－12，故选A.优解：依题意，以C 为坐标原点，分别以AC ，BC 所在的直线为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (0，2)，D (2，0)，所以直线BD 的方程为y ＝－x ＋2，因为点P 在边AC 的中线BD 上，所以可设P (t ，2－t )(0≤t ≤2)，所以CP →＝(t ，2－t )，BP →＝(t ，－t )，所以CP →·BP →＝t 2－t (2－t )＝2t 2－2t ＝2(t －12)2－12，当t ＝12时，CP →·BP →取得最小值－12，故选A.二、填空题13．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．解析：2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12.答案：1214．若输入n ＝4，执行如图所示的程序框图，则输出的s ＝________．解析：第一次循环，s ＝4，i ＝2，第二次循环，s ＝10，i ＝3，第三次循环，s ＝16，i ＝4，第四次循环，s ＝20，i ＝5，结束循环，输出s ＝20.答案：2015．(2019·郑州市第一次质量预测)已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b 方向上的投影为________．解析：因为a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，所以a ·b ＝(3e 1＋2e 2)·3e 2＝9e 1·e 2＋6e 22＝9×1×1×cos 2π3＋6＝32，又|b |＝3，所以a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝323＝12. 答案：1216．(一题多解)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．→＝(2，0)，令P(cos α，sin α)，则AP→＝(cos α＋2，sin α)，AO→·AP→解析：法一：由题意知，AO＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故AO→·AP→的最大值为6.→＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则AO→·AP→＝(2，0)·(x＋2，y)法二：由题意知，AO＝2x＋4≤6，故AO→·AP→的最大值为6.答案：6。

2020年高考文科数学二轮专题复习五：平面向量(附解析)

2020年高考文科数学二轮专题复习五：平面向量（附解析）平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．一、平面向量及其线性运算1．向量的有关概念三角形法则平行四边形法则三角形法则（1）向量0()≠a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得λ=b a．二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示1．平面向量基本定理如果1e，2e是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1λ，2λ，使12λλ=+a e e．其中，不共线的非零向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设11(,)x y=a，22(,)x y=b，则1212(,)x x y y+=++a b，1212(,)x x y y-=--a b，11(,)x yλλλ=a，||=a3．平面向量共线的坐标表示设11(,)x y=a，22(,)x y=b，其中0≠b．1221//0x y x y=-=a b．三、平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos θa b 叫做向量a 和b 的数量积，记作||||cos θ⋅=a b a b ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．2．投影：||cos ,<>a a b 叫做向量a 在b 方向上的投影．3．数量积的坐标运算：设向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则（1）1212x x y y ⋅=+a b（2）121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b （3）cos ,<>=a b1．在△ABC 中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ，若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r等于（）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 2．已知点(1,2)A -，若向量||AB uuu r 与(2,3)=a同向，||AB =u u u rB 的坐标为________．3．已知非零向量a ，b 满足||4||=b a ，且(2)⊥+a a b ，则a 与b 的夹角是（）A ．3π B ．2π C ．23π D ．56π4．已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点满足OP OA λ=+u u u r u u u r()(0)||sin ||sin AB AC AB B AC Cλ+≥u u u r u u u r u u u r u u u r ，则动点P 的轨迹一定通过三角形ABC 的（）P 经典常规题（45分钟）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心1．在△ABC中，AB =u u u r ，(3,0)BC =u u u r，则角B 的大小为．2．已知||=a ||3=b ，a ，b 的夹角为45︒，当向量λ+a b 与+a b 的夹角为锐角时，求实数的取值范围．1．已知平面向量2(3,)3=a ，(,2)m =b ，且//a b ，则32-=a b （） A ． (2,9)-- B ．(9,2)-- C ．(9,2) D ．(2,9)2．已知向量(AB =u u u r，AC =u u u r，则BAC ∠=（）A ．45︒B ．120︒C ．30︒D ．60︒3．已知等边△ABC 内接于O e ，D 为线段OA 的靠近点A 的三等分点，则BD =u u u r（）A ． 2136BA BC +u u u r u u u r B ．2139BA BC +u u u r u u u r C ．7196BA BC +u u u r u u u r D ．7199BA BC +u uu r u u u r4．已知向量a 与b 的夹角为45︒，且||=a ，|2|2-=a b ，则||b 等于（）A．4 C ．2 D．5．给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 与OB uuu r，它们的夹角为120︒，如图所示，已知OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，其中,x y ∈R ，且满足12x y +=，则||OC u u u r 的最小值为（） λ精准预测题高频易错题A ．14 B ．12 C．2 D ．16．已知e 为单位向量，||2=a ，a 与e 的夹角为56π，则a 在e 方向上的投影为．7．已知(1,2)=a，=b ，若λ+a b 与λ-a b 垂直，则λ= ． 8．如图所示，若四边形ABCD 为正方形，且边长为2，E 为AB 边上的动点．（1）若2AE EB =u u u r u u u r ，设AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，试用a ，b 表示CE u u u r ，DE u u u r，并求出CE DE ⋅u u u r u u u r的值；（2）求DE CB ⋅u u u r u u u r的值；（3）求DE DC ⋅u u u r u u u r的最大值．2020年高考文科数学二轮专题复习五：平面向量（解析）平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数学思想，在解答题中常常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．一、平面向量及其线性运算1．向量的有关概念三角形法则平行四边形法则三角形法则（1）向量0()≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得λ=b a ．二、平面向量基本定理和平面向量的坐标表示1．平面向量基本定理如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使12λλ=+a e e ．其中，不共线的非零向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则1212(,)x x y y +=++a b ，1212(,)x x y y -=--a b ，11(,)x y λλλ=a，||=a3．平面向量共线的坐标表示设11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，其中0≠b ．1221//0x y x y =-=a b ．三、平面向量的数量积1．定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos θa b 叫做向量a 和b 的数量积，记作||||cos θ⋅=a b a b ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．2．投影：||cos ,<>a a b 叫做向量a 在b 方向上的投影．3．数量积的坐标运算：设向量11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则（1）1212x x y y ⋅=+a b（2）121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b(3)cos ,<>=a b1．在△ABC 中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ，若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD u u u r等于（）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 【答案】A【解析】如图，2221()3333AD AB BD BC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r c c b c b c ．经典常规题2．已知点(1,2)A -，若向量||AB uuu r 与(2,3)=a同向，||AB =u u u rB 的坐标为________．【答案】(5,4)【解析】∵向量||AB uuu r 与a 同向，∴设(2,3)(0)AB t t t =>u u u r，由||AB =u u u r，∴2249413t t +=⨯，∴24t =．∵0t >，∴2t =，∴(4,6)AB =u u u r．设B 为(,)x y ，∴1426x y -=⎧⎨+=⎩，∴54x y =⎧⎨=⎩，故B 的坐标为(5,4)．3．已知非零向量a ，b 满足||4||=b a ，且(2)⊥+a a b ，则a 与b 的夹角是（）A ． 3πB ．2πC ．23πD ．56π【答案】C【解析】因为(2)⊥+a a b ，所以2(2)20⋅+=+⋅=a a b a a b ，所以2||||cos 2||θ=-a b a ，又||4||=b a ，所以1cos 2θ=-，∴23πθ=，故选C ． 4．已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点满足OP OA λ=+u u u r u u u r()(0)||sin ||sin AB AC AB B AC Cλ+≥u u u r u u u r u u u r u u u r ，则动点P 的轨迹一定通过三角形ABC 的（） A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心【答案】DP【解析】作出如图所示的图形，AD BC ⊥，由于||sin ||sin ||AB B AC C AD ==u u u r u u u r u u u r，∴()()||sin ||sin ||AB AC OP OA OA AB AC AB B AC C AD λλ=++=++u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()OP OA AP AB AC λ-==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，因此P 在三角形的中线上，故动点P 的轨迹一定过△ABC 的重心，故答案为D ．1．在△ABC中，AB =u u u r ，(3,0)BC =u u u r，则角B 的大小为．【答案】23π 【解析】根据向量夹角的定义，向量AB u u u r 与BC uuur 的夹角应是角B 补角，所以31cos()232||||AB BC B AB BC π⋅-===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，又(0,)B ππ-∈，所以3B ππ-=，从而23B π=． 2．已知||=a ||3=b ，a ，b 的夹角为45︒，当向量λ+a b 与+a b 的夹角为锐角时，求实数的取值范围．【答案】5(,1)(1,)12-+∞Uλ高频易错题（45分钟）【解析】||||cos 453⋅=︒=a b a b ，因为向量λ+a b 与+a b 的夹角为锐角，所以()()0λ+⋅+>a b a b ，由22()()(1)1250λλλλ+⋅+=++⋅+=+>a b a b a a b b ，得512λ>-，当向量λ+a b 与λ+a b 方向相同时，1λ=，即当1λ=时，虽然()()0λ+⋅+>a b a b ，但向量λ+a b 与+a b 夹角为0︒，所以λ的取值范围是5(,1)(1,)12-+∞U ．1．已知平面向量2(3,)3=a ，(,2)m =b ，且//a b ，则32-=a b （） A ． (2,9)-- B ．(9,2)-- C ．(9,2) D ．(2,9) 【答案】B【解析】∵//a b ，∴2323m ⨯=，得9m =， ∴(9,2)=b ，3(9,2)=a ，2(18,4)=b ，∴32(9,2)-=--a b ．2．已知向量(AB =u u u r，AC =u u u r，则BAC ∠=（）A ．45︒B ．120︒C ．30︒D ．60︒ 【答案】D【解析】由题意得1cos 2||||AB AC BAC AB AC ⋅∠===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴60BAC ∠=︒．精准预测题3．已知等边△ABC 内接于O e ，D 为线段OA 的靠近点A 的三等分点，则BD =u u u r（）A ． 2136BA BC +u u u r u u u r B ．2139BA BC +u u u r u u u r C ．7196BA BC +u u u r u u u r D ．7199BA BC +u uu r u u u r【答案】D【解析】如图所示，延长AO 交线段BC 于E ，可知E 为BC 中点，则112333BD BA AD BA AO BA AE=+=+=+⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r222171()999299BA AB BE BA BA BC BA BC =++=-+⨯=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选D ．4．已知向量a 与b 的夹角为45︒，且||=a ，|2|2-=a b ，则||b 等于（）A ．4 C ．2 D ．【答案】C【解析】∵向量a 与b 的夹角为45︒，且||=a |2|2-=a b ，∴2|2|4-=a b ，即224||||44+-⋅=a b a b ，∴242||4||cos 454⨯+-⋅︒=b b ，28||4||4+-=b b ，即2||4||40-+=b b ，解得||2=b ．5．给定两个长度为2的平面向量OA u u u r 与OB uuu r，它们的夹角为120︒，如图所示，已知OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，其中,x y ∈R ，且满足12x y +=，则||OC u u u r 的最小值为（）A ． 14B ．12 C．2 D ．1【答案】B【解析】如下图所示，以O 为平面直角坐标原点，OA 方向为x 的正方向，与OA 垂直方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则(2,0)A，(B -，(2)OC xOA yOB x y =+=-u u u r u u u r u u u r． ∵12x y +=，∴1(3,)22OC x =-u u u r ，222213||9333126144OC x x x x x x =-+++-=-+u u u r ，当14x =时，2||OC u u u r 有最小值为11112611644⨯-⨯+=，∴||OC u u u r 的最小值为12．6．已知e 为单位向量，||2=a ，a 与e 的夹角为56π，则a 在e 方向上的投影为．【答案】【解析】依题意有a 在e 方向上的投影为5||cos ,2cos 6π⋅<>==a a e ．7．已知(1,2)=a ，=b ，若λ+a b 与λ-a b 垂直，则λ= ．或【解析】(2λλλ+=-a b ，(1,2)λ-=a b ，∵λ+a b 与λ-a b 垂直，∴()(2)0λλ+++=，20λ+=，解得2λ=或 8．如图所示，若四边形ABCD 为正方形，且边长为2，E 为AB 边上的动点．（1）若2AE EB =u u u r u u u r ，设AB =u u u r a ，AD =u u u r b ，试用a ，b 表示CE u u u r ，DE u u u r，并求出CE DE ⋅u u u r u u u r的值；（2）求DE CB ⋅u u u r u u u r的值；（3）求DE DC ⋅u u u r u u u r的最大值．【答案】（1）13CE =--u u u r b a ，23DE =-+u u u r b a ，289CE DE ⋅=u u u r u u u r ；（2）4；（3）4．【解析】（1）1133CE CB BE AD EB AD AB =+=--=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b a ，DE DA AE AD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r 2233AE AD AB =-+=-+u u u r u u u r u u u rb a ，221212828()()||||4333999CE DE ⋅=--⋅-+=-⋅-=-=u u u r u u u r b a b a b a b a ．（2）设AE AB λ=u u u r u u u r，则2()()()()||4DE CB AE AD AD AB AD AD AB AD AD λλ⋅=-⋅-=-⋅-=-⋅+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（3）设AE AB λ=u u u r u u u r，则22()()||||4DE DC AE AD AB AB AD AB AB AB AD AB λλλλ⋅=-⋅=-⋅=-⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∵E 在线段AB 上，∴01λ≤≤，故当1λ=时，DE DC ⋅u u u r u u u r的最大值为4．。

2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-理数(经典版)文档：第二编专题二第3讲平面向量 Word版含解析

第3讲平面向量「考情研析」1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档． 2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.核心知识回顾1.平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a ·b ＝□01|a ||b |·cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝□02x 1x 2＋y 1y 2. 2．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔□01a ＝λb (b ≠0)⇔□02x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔□03a ·b ＝0⇔□04x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝□01a ·a ＝□02 x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →| ＝□03 (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.4．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝□01a ·b |a ||b |＝□02x1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 5．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔□01|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔□02OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔□03OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔□04aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.热点考向探究考向1 平面向量的概念及运算例1 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中m ，n ∈R 且n ≠0)，则mn ＝( )A ．－2B ．2C ．－12 D.12答案 A解析因为m a －n b ＝(m ＋2n,2m －3n )，2a ＋b ＝(0,7)，m a －n b 与2a ＋b 共线，所以m ＋2n ＝0，即mn ＝－2.故选A.(2)(2019·云南第二次统考)已知点O (0,0)，A (－1,3)，B (2，－4)，OP →＝OA →＋mAB →.若点P 在y 轴上，则实数m 的值为( )A.13B.14C.15D.16 答案 A解析由题意，可得OA →＝(－1,3)，AB →＝(3，－7)，所以OP →＝OA →＋mAB →＝(3m －1,3－7m )，点P 在y 轴上，即3m －1＝0，m ＝13.故选A.(3)(2019·贵州南白中学(遵义县一中)高一联考)已知D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )A.BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D ．－BC →＋12BA →答案 D解析 ∵D 是△ABC 的边AB 的中点，∴CD →＝12(CA →＋CB →)，CA →＝BA →－BC →，CD →＝12(BA →－BC →－BC →)＝－BC →＋12BA →.故选D.平面向量的线性运算有几何运算和坐标运算两种形式，几何运算主要是利用三角形法则和平面向量的基本定理，坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．1．(2019·四川巴中高三诊断)向量AB →＝(2,3)，AC →＝(4,7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(－6，－10)答案 B解析 BC →＝AC →－AB →＝(2,4)．故选B.2．(2019·四川宜宾高三二诊)在平行四边形ABCD 中，M 是DC 的中点，向量DN →＝2NB →，设AB →＝a ，AD →＝b ，则MN →＝( )A.16a －23b B ．－16a ＋13b C.16a ＋76b D.16a －13b 答案 A解析根据题意画图，如图所示，则DM →＝12DC →＝12AB →＝12a ，DN →＝23DB →＝23(AB →－AD →)＝23AB →－23AD →＝23a －23b ，∴MN →＝DN →－DM →＝23a －23b －12a ＝16a －23b ，故选A.3．(2019·陕西高三一模)如图，在▱OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 上的一点，且BC ＝3BF ，若OC →＝mOE →＋nOF →，其中m ，n ∈R ，则m ＋n 的值为( )A ．1 B.32 C.75 D.73 答案 C解析在平行四边形中OA →＝BC →，OB →＝AC →，OC →＝OA →＋OB →，因为E 是AC 的中点，所以AE →＝12AC →＝12OB →，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋12OB →，因为BC ＝3BF ，所以BF →＝13BC →＝13OA →，所以OF →＝OB →＋BF →＝OB →＋13OA →，因为OC →＝mOE →＋nOF →，所以OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋13n OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋n OB →，在▱OACB 中，OC →＝OA →＋OB →，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋13n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45，n ＝35，所以m ＋n ＝75.故选C.考向2 平面向量的数量积例2 (1)(2019·辽宁鞍山一中三模)设a ，b 是夹角为60°的单位向量，则2a ＋b 和3a －2b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 B解析由题意，因为a ，b 是夹角为60°的单位向量，∴a ·b ＝|a ||b |cos60°＝12，则(2a ＋b )·(3a －2b )＝6a 2－2b 2－a ·b ＝6－2－12＝72，|2a ＋b |＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋2＋1＝7，|3a －2b |＝(3a －2b )2＝9a 2－12a ·b ＋4b 2＝9－12×12＋4＝13－6＝7，设2a ＋b 和3a －2b 的夹角为α，则cos α＝(2a ＋b )·(3a －2b )|2a ＋b ||3a －2b |＝727×7＝12，即α＝60°.故选B.(2)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC边上的高，则AD →·AC →＝( )A ．0B ．4C ．8D ．－4答案 B解析因为AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC 边上的高，所以AD ＝4sin30°＝2，所以AD →·AC →＝AD →·(AB →＋BC →)＝AD →·AB →＋AD →·BC →＝AD →·AB →＝2×4×12＝4.故选B.(3)(2019·安徽黄山高三二模)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝2，且a ⊥(a ＋2b )，则b 在a 方向上的投影为( )A ．1B ．－ 2 C. 2 D ．－1 答案 D解析因为a ⊥(a ＋2b )，所以a ·(a ＋2b )＝0，∴4＋2a ·b ＝0，a ·b ＝－2，因此b 在a方向上的投影为a ·b|a |＝－1.选D.(1)向量数量积有两种不同形式的计算公式：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)用数量积求长度的方法：|a |＝a ·a ；|a ±b |＝a 2±2a ·b ＋b 2；若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(3)用数量积公式求夹角：cosθ＝a ·b |a ||b |.1．已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝2，|2a －b |＝2，则|b |＝( ) A ．2 3 B. 3 C. 2 D ．3 2答案 A解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos30°＝3|b |，|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝16－43|b |＋|b |2＝4，∴|b |＝2 3.故选A.2．(2019·贵州省南白中学(遵义县一中)高二联考)已知|AB →|＝1，|BC →|＝2，若AB →·BC →＝0，AD →·DC →＝0，则|BD →|的最大值为( )A.255 B ．2 C. 5 D ．2 5 答案 C解析由题意可知，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，故四边形ABCD 为圆内接四边形，且圆的直径为AC ，由勾股定理可得AC ＝AB 2＋BC 2＝5，因为BD 为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故|BD →|的最大值为 5.故选C.3．如图，在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝4，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案212解析因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos60°＝1×4×12＝2.又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14×(1＋4＋16)＝214，所以|OA →|＝212.考向3 平面向量与三角函数例3 (1)(2019·贵州遵义航天高级中学四模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π4，cos A ＝35，BA →·BC →＝28，则b 的值为( )A ．3 B.52 C ．4 D ．5答案 D解析由题意可知，BA →·BC →＝28，∴ac ＝282，在△ABC 中，∵cos A ＝35，∴sin A ＝1－cos 2A ＝45，sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝7210，由正弦定理可得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，即a 45＝b 22＝c 7210，∴a ＝425b ，c ＝75b ，代入ac ＝282中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫425b·⎝ ⎛⎭⎪⎫75b ＝282，得b 2＝25， ∴b ＝5.故选D.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ，cos2A －cos2B ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，且m ∥n . ①求角B 的值；②若△ABC 为锐角三角形，且A ＝π4，外接圆半径R ＝2，求△ABC 的周长．解 ①由m ∥n ，得cos2A －cos2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，即2sin 2B －2sin 2A＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2A －14sin 2A ，化简得sin B ＝32，故B ＝π3或2π3.②易知B ＝π3，则由A ＝π4，得C ＝π－(A ＋B )＝5π12.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得a ＝4sin π4＝22，b ＝4sin π3＝23，c ＝4sin 5π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32＋12×22＝6＋2，所以△ABC 的周长为6＋23＋3 2.平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件，通常利用向量的平行与垂直进行转化．1．(2019·安徽宣城二调)在直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，P 在△ABC 斜边BC 的中线AD 上，则AP →·(PB →＋PC →)的最大值为( )A.258B.52C.254D.252 答案 B解析以A 为坐标原点，以AB →，AC →方向分别为x 轴、y 轴正方向建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (0,4)，中点D (1,2)，设P (x,2x )，所以AP →＝(x,2x )，PD →＝(1－x,2－2x )，AP →·(PB →＋PC →)＝AP →·(2PD →)＝2[x (1－x )＋2x ·(2－2x )]＝－10(x 2－x )，当x ＝12时，AP →·(PB →＋PC →)的最大值为52.故选B.2．(2019·贵州南白中学(遵义县一中)高一下学期第一次联考)已知在△ABC 中，C ＝2A ，cos A ＝34，且2BA →·CB →＝－27.(1)求cos B 的值； (2)求△ABC 的周长．解 (1)∵C ＝2A ，∴cos C ＝cos2A ＝2cos 2A －1＝18， ∴sin C ＝378，sin A ＝74，∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C ＝916. (2)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴AB ＝32BC ， ∵2BA →·CB →＝－27，cos B ＝916， ∴BC ·AB ＝24，∴BC ＝4，AB ＝6， ∴AC ＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB ·cos B ＝16＋36－2×4×6×916＝5，∴C △ABC ＝AB ＋AC ＋BC ＝15， ∴△ABC 的周长为15.真题押题『真题模拟』1. (2019·山西吕梁模拟)如图，|OA →|＝2，|OB →|＝2，|OC →|＝4，OA →与OB →的夹角为135°，若OC →＝λOA →＋4OB →，则λ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ∵|OA →|＝2，|OB →|＝2，|OC →|＝4，OA →与OB →的夹角为135°，∴OA →·OB →＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，若OC →＝λOA →＋4OB →，则OC →2＝λ2OA →2＋16OB→2＋8λOA →·OB →∴16＝4λ2＋16×2＋8λ×(－2)，∴λ＝2，故选B.2．(2019·厦门模拟)已知△ABC 是正三角形，O 是△ABC 的中心，D 和E 分别为边AB 和AC 的中点，若OA →＝xOD →＋yOE →，则x ＋y ＝( )A ．－4B ．4C ．2D ．－2答案 B解析 ∵O 是△ABC 的中心，D 和E 分别是边AB ，AC 的中点，∴OA →＝OD →＋DA →＝OD →＋12BA →＝OD →＋12(OA →－OB →)，∴OA →＝2OD →－OB →，同理可得：OA →＝2OE →－OC →.∴2OA →＝2OD →＋2OE →－(OB →＋OC →)，∵O A →＋O B →＋O C →＝0，∴OA →＝2OD →＋2OE →－(OB →＋OC →＋OA →)＝2OD →＋2OE →，∴x ＝y ＝2，∴x ＋y ＝4.3．(2019·贵州遵义航天高级中学四模)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,7)，则下列结论正确的是( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．a ⊥(a －b )D ．a ⊥(a ＋b ) 答案 D解析 a ·b ＝－5≠0，A 不正确；a ＝(2，－1)，b ＝(1,7)，2×7＋1＝15≠0，B 不正确；a ·(a －b )＝(2，－1)·(1，－8)＝10≠0，C 不正确；a ＋b ＝(3,6)，a ·(a ＋b )＝6－6＝0，即a ⊥(a ＋b )．故选D.4．(2019·安徽宣城二调)已知平面向量a ，b ，满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，若(a ＋λb )⊥b ，则实数λ的值为________．答案－1解析 ∵|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，∴a ·b ＝|a ||b |cos60°＝1.∵(a ＋λb )⊥b ，∴b ·(a ＋λb )＝0，∴λ|b |2＋a ·b ＝0，即λ＋1＝0，解得λ＝－1.5．(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________.答案 23解析由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·(2a －5b )|a |·|2a －5b |＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23.6．(2019·浙江高考)已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是_______，最大值是_______．答案 0 2 5解析如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则AB →＝(1,0)，AD →＝(0,1)．设a ＝λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5(AB →＋AD →)＋λ6(AD →－AB →) ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)．故|a |＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)2＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)2.∵λi (i ＝1,2,3,4,5,6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时， |λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0.考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4或λ1－λ3＋λ5－λ6＝4，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝2时可取到最大值，∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最大值为4＋16＝2 5.『金版押题』7．已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC→|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21答案 A解析建立如图所示的直角坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，即P (1,4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13，当且仅当t ＝12时取“＝”．8．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于E ，F 两点，若AB →＝λAE →(λ>0)，AC →＝μAF →(μ>0)，则1λ＋4μ的最小值是________．答案 92解析由题意得，AB →＋AC →＝2AD →＝λAE →＋μAF →，所以AD →＝λ2AE →＋μ2AF →，又D ，E ，F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋4μ＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号．配套作业一、选择题1.(2019·安徽毛坦厂中学高三校区4月联考)如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD →＝－2AB →，点E 是AD 的中点，若AB →＝a ，CE →＝b ，则BE →＝( )A ．－3a －bB ．2a －bC ．－3a －2bD ．2a －2b答案 A解析 ∵CD →＝－2AB →，∴DC →＝2AB →，∵点E 是AD 的中点，∴AE →＝ED →.∴BE →＝AE →－AB →＝ED →－AB →＝CD →－CE →－AB →＝－2a －b －a ＝－3a －b .故选A.2．(2019·陕西榆林三模)已知向量a 与向量b 的模均为2，若|a －3b |＝27，则向量a 与向量b 的夹角是( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°答案 A解析 ∵|a －3b |2＝|a |2－6a ·b ＋9|b |2＝40－24cos 〈a ，b 〉＝28，∴cos 〈a ，b 〉＝12，∴〈a ，b 〉＝60°，故选A.3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13 B ．x ＝13，y ＝23 C ．x ＝14，y ＝34 D ．x ＝34，y ＝14 答案 A解析由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，易知x ＝23，y ＝13.4．(2019·新疆维吾尔族自治区二模)O 是△ABC 的外接圆圆心，且OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|＝1，则CA →在BC →方向上的投影为( )A ．－12B ．－32 C.12D.32答案 B解析由OA →＋AB →＋AC →＝0，得OB →＝CA →，所以四边形ABOC 是平行四边形．又O 是△ABC 的外接圆圆心，所以OA ＝OB ＝OC ，所以四边形ABOC 是菱形，且∠ACO ＝60°，CB 平分∠ACO ，所以∠ACB ＝30°，即CA →与BC →的夹角为150°，因为|OA →|＝|AB →|＝1，所以CA →在BC →方向上的投影为|CA →|cos150°＝－32.故选B.5．已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A ．－3 5 B ．－355 C.322 D ．3 5答案 C解析 ∵点C (－1,0)，D (4,5)，∴CD →＝(5,5)．又AB →＝(2,1)，∴向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.6．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，∴AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →.∴∠A ＝90°，选C.7．(2019·山东师范大学附属中学五模)已知O 是△ABC 所在平面上的一定点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB |sin B ＋AC →|AC |sin C ，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心答案 C解析 ∵|AB |sin B ＝|AC |sin C ，设它们等于t ，∴OP →＝OA →＋λ·1t (AB →＋AC →)，如图，设BC 的中点为D ，则AB →＋AC →＝2AD →，λ·1t (AB →＋AC →)表示与AD →共线的向量AP →，而点D 是BC 的中点，即AD 是△ABC 的中线，所以点P 的轨迹一定通过三角形的重心．故选C.8．平面向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，a ＋b 在a 上的投影为5，则|a －2b |为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 B解析根据条件，|a ＋b |cos 〈(a ＋b )，a 〉＝|a ＋b |·(a ＋b )·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a |＝16＋a ·b 4＝5，所以a ·b ＝4，所以(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－16＋16＝16，所以|a －2b |＝4.故选B.二、填空题9．(2019·辽宁沈阳郊联体高三一模)若平面向量e 1，e 2满足|e 1|＝|3e 1＋e 2|＝2，则e 1在e 2方向上的投影的最大值为________．答案－423解析因为|e 1|＝|3e 1＋e 2|＝2，所以|e 1|2＝4,9|e 1|2＋|e 2|2＋6e 1·e 2＝4， e 1在e 2方向上的投影为e 1·e 2|e 2|＝2cos θ，其中θ为e 1，e 2的夹角．又36＋|e 2|2＋12|e 2|cos θ＝4，故|e 2|2＋12|e 2|cos θ＋32＝0. 设t ＝|e 2|，则t 2＋12t cos θ＋32＝0有非负解，故⎩⎨⎧cos θ<0，144cos 2θ－128≥0，故cos θ≤－223，故e 1·e 2|e 2|≤－423，即e 1在e 2方向上的投影的最大值为－423.10．向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|a －2b |∈(2，23]，则a ，b 的夹角θ的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，2π3解析 ∵|a －2b |∈(2,23]，∴(a －2b )2∈(4,12]，即a 2＋4b 2－4a ·b ＝4＋4－8cos θ∈(4,12]， ∴cos θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，12，故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，2π3.11．(2019·四川成都外国语学校高三一模)如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，点F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋4y ＋1的最小值为_______，此时x ＝________.答案 3＋222－1解析 AF →＝x a ＋y b ＝2xAD →＋yAC →. ∵C ，F ，D 三点共线，∴2x ＋y ＝1.即y ＝1－2x .由图可知x >0. ∴1x ＋4y ＋1＝1x ＋21－x ＝x ＋1x －x 2.令f (x )＝x ＋1x －x 2，得f ′(x )＝x 2＋2x －1(x －x 2)2，令f ′(x )＝0，得x ＝2－1或x ＝－2－1(舍去)．当0<x <2－1时，f ′(x )<0，当x >2－1时，f ′(x )>0. ∴当x ＝2－1时，f (x )取得最小值 f (2－1)＝2(2－1)－(2－1)2＝3＋2 2.三、解答题12．已知向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin x ，cos x ，函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，求f (α)．解 (1)f (x )＝sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝32sin x cos x －12sin 2x ＋1＝34sin2x ＋14cos2x ＋34＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋34.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)f (α)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＋34＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋34，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝223，∴f (α)＝229＋34.13．已知△ABC 的面积为S ，且BA →·BC →＝S . (1)求tan2B 的值；(2)若cos A ＝35，且|CA →－CB →|＝2，求BC 边上的中线AD 的长．解 (1)由已知BA →·BC →＝S 有ac cos B ＝12ac sin B ，可得tan B ＝2，所以tan2B ＝2tan B 1－tan 2B＝－43. (2)由|CA →－CB →|＝2可得|BA →|＝2，由(1)知tan B ＝2，解得sin B ＝255，cos B ＝55，又cos A ＝35，所以sin A ＝45，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255.因为sin B ＝sin C ，所以B ＝C ，所以AB ＝AC ＝2，所以中线AD 也为BC 边上的高，所以AD ＝AB sin B ＝2×255＝455.14．(2019·湘赣十四校高三第二次联考)在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝32，b ＝3，cos A ＝cos2B .(1)求边c 的长；(2)若D 为直线BC 上的一点，且|CD →|＝2|BD →|，求|AD →|. 解 (1)解法一：∵a ＝32，b ＝3， ∴sin A ＝2sin B . ① 又cos A ＝cos2B ， ②所以①与②平方相加得2sin 2B ＋cos 22B ＝1，即cos 22B －cos2B ＝0，∴cos2B ＝0或cos2B ＝1. 又a >b ，∴B 为锐角，∴0°<2B <180°， ∴cos2B ＝0，B ＝45°.∴sin A ＝2sin B ＝1，∴A ＝90°，所以△ABC 为等腰直角三角形，∴c ＝b ＝3. 解法二：∵a >b ，∴B 为锐角，∴0°<2B <180°， ∵cos A ＝cos2B ，∴A ＝2B . ∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理与余弦定理得，a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac ，又∵a ＝32，b ＝3，∴c 2－6c ＋9＝0，即c ＝3. (2)解法一：①当CD →＝－2BD →时，AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋23CB →＝AC →＋23AB →－23AC →＝23AB →＋13AC →， ∴|AD →|＝49AB →2＋2·23AB →·13AC →＋19AC →2＝5；②当CD →＝2BD →时，AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋2CB →＝AC →＋2AB →－2AC →＝2AB →－AC →， ∴|AD →|＝4AB →2－2·2AB →·AC →＋AC →2＝3 5.解法二：①当CD →＝－2BD →时，在△ACD 中，AC ＝3，CD ＝22，∠ACD ＝45°，∴AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos45°＝5，∴|AD →|＝5；②当CD →＝2BD →时，在△ACD 中，AC ＝3，CD ＝62，∠ACD ＝45°，∴AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos45°＝45，|AD →|＝3 5.15．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ωx 2，3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos ωx 2，sin ωx ，ω>0，设函数f (x )＝a ·b－3的部分图象如图所示，A 为图象的最低点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为等边三角形，其高为2 3.(1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值．解 (1)由已知可得f (x )＝a ·b －3＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由正△ABC 的高为23，可得BC ＝4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，得ω＝π4，故f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4＋π3，所以函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3，又f (x 0)＝835，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45，由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，得πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23×22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋35＝765.。

2020高考文科数学二轮考前复习方略练习：第三部分回顾4平面向量Word版含解析

回首 4平面向量[ 必记知识 ]1. 平面向量共线的坐标表示的两种形式(1)若 a ＝ (x 1 ，y 1)， b ＝ (x 2，y 2)，则 a ∥ b? x 1y 2＝ x 2y 1，此形式对随意愿量a ， b(b ≠ 0)都合用．x 1 y 1(2)若 a ＝ (x 1， y 1) ，b ＝ (x 2， y 2)，且 x 2y 2 ≠0，则 a ∥b? ＝. x 2 y 2x 1y 1 需要注意的是能够利用＝来判断 a ∥b ，可是反过来不必定建立．2. 向量法证明三点共线→ → →(1)关于 OA ＝ λOB ＋ μ OC(λ， μ 为实数 )，若 A ，B ， C 三点共线，则 λ＋μ＝ 1，反之，也建立．(2)若 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)三点共线，则 (x 2－ x 1)(y 3－ y 2)＝ (x 3－x 2)(y 2－ y 1)或( x 2－ x 1)(y 3－ y 1)＝ (x 3－ x 1)(y 2 －y 1)或(x 3－ x 1)(y 3－ y 2)＝ (x 3－ x 2) ·(y 3－ y 1)．相同地，当这些条件中有一个建即刻， A ，B ， C 三点共线．3. 平面向量的数目积已知非零向量a ＝ ( x 1， y 1)，b ＝(x 2， y 2)， θ为向量结论几何表示模 |a|＝ a ·a数目积 a ·b ＝|a||b|cos θ 夹角cos θ＝a ·b|a||b|⊥a ·b ＝0a b 的充要条件≤|a b|· |a||b| |a b|·与 |a||b|的关系(当且仅当 a ∥b时等号建立 )4. 两向量的夹角与数目积设两个非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则当θ＝0°时， cos θ＝ 1，a ·b ＝ |a||b|；当 θ为锐角时， cos θ>0，a ·b>0；当 θ为直角时， cos θ＝ 0， a ·b ＝ 0；a ，b 的夹角．坐标表示|a|＝ 22x 1＋ y 1a ·b ＝ x 1x 2＋y 1y 2x 1x 2＋ y 1y 2cos θ＝2222 x 1＋ y 1·x 2＋ y 2x 1x 2＋ y 1y 2＝ 02 2|x 1x 2＋ y 1y 2|≤ x 1＋ y 1·x 22＋ y 22当 θ为钝角时， cos θ<0，a ·b<0；当 θ＝180°时， cos θ＝－ 1， a ·b ＝－ |a||b|.[ 必会结论 ]1. 三点共线的判断→ →A ，B ，C 三点共线 ? AB ， AC 共线； → → →→→→向量 PA ， PB ， PC 中三终点 A ， B ， C 共线 ? 存在实数 α， β 使得 PA ＝ αPB ＋ βPC ，且 α＋β＝ 1.2. 三角形 “ 四心 ” 向量形式的充要条件设 O 为△ ABC 所在平面上一点，角 A ，B ， C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则→ → → a(1)O 为△ ABC 的外心 ? |OA|＝ |OB|＝ |OC|＝ 2sin A .→ → →(2)O 为△ ABC 的重心 ? OA ＋ OB ＋ OC ＝0.→→ →→ → → (3)O 为△ ABC 的垂心 ? OA ·OB ＝ OB ·OC ＝ OC ·OA .(4)O 为△ ABC 的心里 ? → → →aOA ＋ bOB ＋ cOC ＝0.[ 必练习题 ]1．已知向量 a ＝ (2 ，1)， b ＝ (－ 1，m)，且 (a ＋b) ∥(a － b)，则实数 m 的值为 ( )A ． 2B ．－ 211C.2D ．－ 2分析：选 D. 由于 a ＝ (2，1)，b ＝ (－ 1，m) ，所以 a ＋ b ＝(1 ，1＋m)，a － b ＝(3 ，1－ m)．又1由于 (a ＋ b)∥ (a － b)，所以 1× (1－ m)＝ (1＋ m)×3，解得 m ＝－ 2.应选 D.2．△ ABC 的外接圆的圆心为 O ，半径为 → → → → → →1，2AO ＝AB ＋AC ，且 |OA|＝ |AB|，则向量 CA在 → ) 向量 CB 方向上的投影为 (13A. 2B ．－ 2 13 C ．－ 2D.2分析：选 D. 依题意知，圆心 O 为 BC 的中点，即 BC 是 △ ABC 的外接圆的直径， AC ⊥→ → →AB.又 AO ＝ OB ＝ AB ＝ 1，所以 ∠ ABC ＝ 60°，∠ACB ＝30°，|CA|＝ 3，CA 在 CB 方向上的投影→33，应选 D.为|CA|cos 30°＝ 3×2 ＝ 23．若两个非零向量 a ， b 知足 |a ＋ b|＝ |a － b|＝ 2|b|，则向量 a ＋ b 与 a 的夹角为 ()π π A. 6B. 32π5πC. 3D. 6分析：选 A. 由于 |a＋ b|＝ |a－ b|，所以 |a＋ b|2＝ |a－b|2，所以 a·b＝ 0.又 |a＋ b|＝ 2|b|，所以|a＋ b|2＝ 4|b|2， |a|2＝ 3|b|2，所以 |a|＝3|b|，cos〈 a＋ b，a〉＝（ a＋ b）·a a2＋ a·b 2＝＝|a| ＝|a＋ b||a| |a＋ b||a| 2|b||a||a|π3，故 a＋ b 与 a 的夹角为2|b|＝2 6.4．已知单位向量 e1， e2，且〈 e1， e2〉＝π，若向量 a＝ e1－ 2e2，则 |a|＝ ________．3分析：由于 |e1|＝ |e2 |＝ 1，〈 e1， e2〉＝ππ，所以 |a|2＝ |e1－ 2e2|2＝ 1－ 4|e1|·|e2|cos ＋ 4|e2|2＝ 13 3－4× 1× 1×1＋ 4＝ 3，即 |a|＝ 3. 2答案： 3。

2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题一第二讲向量运算与复数运算、算法、推理与证明

[解析]圆心为O(0,0).则 .∠OPA＝∠OPB＝ .则∠APB＝ .所以 cos∠APB＝ · ·cos ＝ .
2．已知向量a＝(3,1).b＝(x.－2).c＝(0,2).若a⊥(b－c).则实数x的值为( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析]因为b－c＝(x.－4).又a⊥(b－c).所以a·(b－c)＝3x－4＝0.所以x＝ .
A．1B．
C． D．2
[解析]|z|＝＝＝ .
『规律总结』
1．解决复数的概念与运算问题.一般都是直接用运算法则求或用复数相等的条件求解．一般是先变形分离出实部和虚部.把复数的非代数形式化为代数形式．然后再根据条件.列方程或方程组．
2．熟记复数表示实数、纯虚数的条件.复数相等的条件、共轭复数及复数的几何意义是解决复数问题的关键．
(2)掌握复数的基本概念及运算法则.在备考时注意将复数化为代数形式再进行求解.同时注意“分母实数化”的运用．
(3)关注程序框图和基本算法语句的应用与判别.尤其是含循环结构的程序框图要高度重视．
(4)掌握各种推理的特点和推理过程.同时要区分不同的推理形式.对归纳推理要做到归纳到位、准确；对类比推理要找到事物的相同点.做到类比合.对演绎推理要做到过程严密．
(2)已知＝λ ＋μ (λ.μ为常数).则A.B.C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1..
(3)平面向量的三个性质
①若a＝(x.y).则|a|＝＝ .
②若A(x1.y1).B(x2.y2).则| |＝ .
③设θ为a与b(a≠0.b≠0)的夹角.且a＝(x1.y1).b＝(x2.y2).则cosθ＝＝ .
3．直接利用数量积运算公式进行运算.求向量的夹角、模或判断向量的垂直关系

2020年高考数学(文)二轮专项复习专题06 平面向量

3bc ，所以cos A
3 2
又 A∈(0，)，因此 A π 6
由 3 | AB | | AC | 3BC2 得 bc
3a2 ，于是sin C sin B
3 sin2 A
3 4
所以 sin C sin(5π C)
6
3 4
,
sin
C
(
1 2
cos
C
3 2
sin
C)
3 4 ，因此
2 sin C cos C 2 3 sin2 C 3, sin 2C 3 cos 2C 0 ，即 sin(2C π ) 0
则：a∥b x1y 2－x2y1＝0，a⊥b x1x2＋y1 y2＝0
(4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a
b
x1 x2
y1
y2
【复习要求】 1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用； 2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题； 3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．【例题分析】例 1 向量 a、b、c 是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个 (1)(b·c)a－(c·a)b 与 c 垂直， (2)若 a·c＝b·c，则 a＝b， (3)(a·b)c＝a(b·c)，
(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则． (2)减法：三角形法则． (3)数乘：记作：a．它的长度是：｜a｜＝｜｜·｜a｜它的方向：①当＞0 时，a 与 a 同向 ②当＜0 时，a 与 a 反向 ③当＝0 时，a＝0 (4)数量积： ①定义：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉其物理背景是力在位移方向所做的功． ②运算律：1．(交换律)a·b＝b·a 2．(实数的结合律)(a·b)＝(a)·b＝a·(b) 3．(分配律)(a＋b)·c＝a·c＋b·c ③性质：设 a，b 是非零向量，则：

平面向量(教学案)-2020年高考文数二轮复习精品资料Word版含解析

高考侧重考查正、余弦定文与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．高考仍将以正、余弦定文的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量． (2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0. (3)长度等于1的向量叫单位向量． (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行． 2．共线向量定文向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3．平面向量基本定文如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4．两向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角．5．向量的坐标表示及运算 (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 6．平面向量共线的坐标表示已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 与b 共线． 7．平面向量的数量积设θ为a 与b 的夹角． (1)定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)投影：a ·b|b |＝|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影．8．数量积的性质 (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a |·|b |；特别地，a ·a ＝|a |2； (3)|a ·b |≤|a |·|b |； (4)cos θ＝a ·b |a |·|b |.9．数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；(2)|a |＝x 21＋y 21；(3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]，a ·b >0与〈a ，b 〉为锐角不等价；a ·b <0与〈a ，b 〉为钝角不等价． 2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别． 3．a 在b 方向上的投影为a ·b |b |，而不是a ·b|a |.【解析】因为，，因此，【2015高考福建，文9】已知，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且，则PB PC ⋅u u u r u u u r的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，，即1P（，4)，所以，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r，因为，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．【2015高考湖北，文11】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r，则OA OB •=u u u r u u u r .【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r，所以OA OB •=u u u r u u u r .【2015高考山东，文4】已知菱形ABCD 的边长为a ， ,则BD CD ⋅=u u u r u u u r（）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a 【答案】D 【解析】因为故选D.【2015高考陕西，文7】对任意向量,a b r r，下列关系式中不恒成立的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【2015高考四川，文7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =u u u r ，4AD =u u u r.若点M ，N 满足3BM MC =u u u u r u u u u r ，2DN NC =u u u r u u u r ，则AM NM ⋅=u u u u r u u u u r（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C 【解析】，所以，选C.【2015高考安徽，文8】C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r满足2a AB =u u u r r ，，则下列结论正确的是（）（A ）1b =r （B ）a b ⊥r r （C ）1a b ⋅=rr （D ）【答案】D 【解析】如图，由题意，，则||2b =r ，故A 错误；，所以||1a =r，又，所以1a b ⋅=-r r ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则，且AD BC ⊥u u u r u u u r，而，所以，故选D.【2015高考福建，文9】已知，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且，则PB PC ⋅u u u r u u u r的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，，即1P （，4)，所以，，因此PB PC ⋅u u u r u u u r，因为，所以PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．【2015高考天津，文14】在等腰梯形ABCD 中,已知,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且, 则AE AF ⋅u u u r u u u r的最小值为 .【答案】2918【解析】因为12DC AB =u u u r u u u r，，，，当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为2918.1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（） A. B . C. D. 【答案】B【解析】由于平面向量的基本定文可得,不共线的向量都可与作为基底.只有成立.故选B. 【考点定位】平面向量的基本定文.2. 【2014高考广东卷文第5题】已知向量，则下列向量中与a r 成60o的是（）A.()1,1,0-B.()1,1,0-C.()0,1,1-D.()1,0,1- 【答案】B【考点定位】空间向量数量积与空间向量的坐标运算3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,动点D 满足CD u u u r=1，则的最大值是_________.【答案】17+【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程 (θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为为,则,因为的最大值为,所以的最大值为,故填17+. 【考点定位】参数方程、三角函数4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知，，则AB AD ⋅u u u v u u u v的值是 .【答案】22【考点定位】向量的线性运算与数量积． 5. 【2014陕西高考文第13题】设20πθ<<，向量，若b a ρρ//，则=θtan _______.【答案】12【解析】因为b a ρρ//，所以，即，所以，因为20πθ<<，所以cos 0θ≠，所以，所以，故答案为12【考点定位】共线定文；三角恒等变换.6. 【2014高考安徽卷文第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量点Q 满足.曲线，区域.若C ΩI 为两段分离的曲线，则( )A. B. C. D. 【答案】AA D CBP【解析】设，则，，区域Ω表示的是平面上的点到点(2,2)Q 的距离从r 到R 之间，如下图中的阴影部分圆环，要使C ΩI 为两段分离的曲线，则，故选A.【考点定位】平面向量的应用、线性规划.7. 【2014高考北京卷文第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .【答案】5【解析】当0=+b a λ，则a b λ-=，于是，因为)1,2(=b ，所以5||=b ，又因为1||=a ，所以5||=λ. 【考点定位】平面向量的模8. 【2014高考湖北卷文第11题】设向量(3,3)a =r ，(1,1)b =-r，若，则实数λ= .【答案】3± 【解析】因为，，因为，所以，解得3±=λ.【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积10. 【2014江西高考文第15题】已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，向量与123b e e =-r u r u u r 的夹角为β，则cos β= .【答案】223【解析】因为所以【考点定位】向量数量积及夹角11. 【2014辽宁高考文第5题】设,,a b c r r r是非零向量，已知命题P ：若0a b •=r r ，0b c •=r r ，则0a c •=r r ；命题q ：若//,//a b b c r r r r，则//a c r r ，则下列命题中真命题是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．D ．()p q ∨⌝【答案】A【解析】由题意可知，命题P 是假命题；命题q 是真命题，故p q ∨为真命题. 【考点定位】命题的真假12. 【2014全国1高考文第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若，则AB 与AC 的夹角为_______．【答案】090．【解析】由，故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而，因此AB 与AC 的夹角为090【考点定位】平面向量基本定文13. 【2014全国2高考文第3题】设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A【解析】因为=10，，两式相加得：228a b +=r r ，所以1a b ⋅=r r ，故选A.【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量14. 【2014高考安徽卷文第15题】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量和均由2个a 和3个b 排列而成.记，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值. ②若,b a ⊥则min S 与a 无关.③若,b a ∥则min S 与b 无关. ④若a b 4>，则0min >S . ⑤若，则a 与b 的夹角为4π，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以正确的编号为②④【考点定位】平面向量的运算、平面向量的数量积.15. 【2014四川高考文第7题】平面向量(1,2)a =r ，(4,2)b =r，c ma b =+r r r （m R ∈），且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r的夹角，则m =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】 D.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA ，OB 关于直线y x =对称，故点C 必在直线y x =上，由此可得2m = 【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.16. 【2014浙江高考文第8题】记，，设,a b r r 为平面向量，则（）A. B. C. D. 【答案】Ｄ【考点定位】向量运算的几何意义.17. 【2014重庆高考文第4题】已知向量，且，则实数k =（）9.2A - .0B .C 3 D.152【答案】C 【解析】因为所以又因为，所以，，所以，，解得：3k = 故选C.【考点定位】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积.19. 【2014大纲高考文第4题】若向量,a b r r 满足：则b =r（）A ．2B 2C ．1D ．22【答案】B ．【解析】把①代入②得故选B ．【考点定位】1.向量垂直的充要条件；2. 平面向量的数量积运算．20. 【2014高考陕西第18题】在直角坐标系xOy 中，已知点，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上（1）若，求OP ；（2）设，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值. 【答案】（1）22；（2），1.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【考点定位】平面向量的线性运算、线性规划.21.【2014高考上海文科第16题】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】A【解析】如图，AB 与上底面垂直，因此i AB BP ⊥(1,2,)i =L ，．【考点定位】数量积的定义与几何意义．22.【2014高考上海文科第14题】已知曲线C ：，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3]【解析】由知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．【考点定位】向量的坐标运算．。

2020版高三数学新课标大二轮专题辅导第二篇第四讲平面向量

第四讲平面向量[高考导航]1．平面向量的基本定理及基本运算，即向量的有关概念，加、减法的几何意义，线性表示以及坐标运算等．2．平面向量的数量积的基本运算及其应用，这也是历年高考命题的热点．3．向量的工具性作用，在三角函数、不等式、解析几何解答题中用来描述题目的条件和结论．考点一平面向量的概念与线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．1．(2019·泉州模拟)下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝bB．若|a|>|b|，则a>bC．若a＝b，则a∥bD．若|a|＝0，则a＝0[解析]对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，故a＝b不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B不正确；C显然正确；对于D，若|a|＝0，则a ＝0，故D 不正确，故选C.[答案] C2．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB→＝( ) A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →[解析] ∵E 是AD 的中点，∴EA →＝－12AD →，∴EB →＝EA →＋AB →＝－12AD →＋AB →，又∵D 为BC 的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，因此EB →＝－14(AB →＋AC →)＋AB →＝34AB →－14AC →，故选A.[答案] A3．(2019·河北三市联考)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2 [解析] ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎨⎧λn ＝m ，－λ＝2，故mn ＝－2.[答案] C4．(2019·泉州四校第二次联考)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1[解析] 由题图可设CG→＝xCE →(x >0)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB→.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.[答案] B5．(2019·河南郑州质检)已知P 为△ABC 所在平面内一点，D 为AB 的中点，若2PD →＋PC →＝(λ＋1)P A →＋PB →，且△PBA 与△PBC 的面积相等，则实数λ的值为________．[解析] ∵D 为AB 的中点，∴2PD →＝P A →＋PB →，又∵2PD →＋PC →＝(λ＋1)P A →＋PB →. ∴P A →＋PB →＋PC →＝(λ＋1)P A →＋PB→ ∴PC →＝λP A →，又△PBA 与△PBC 的面积相等， ∴P 为AC 的中点，∴λ＝－1. [答案] －16．(2019·江苏盐城一模)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为________．[解析]因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3.[答案] 33平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．考点二平面向量的数量积1．平面向量的数量积有两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)． (2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.2．投影向量a 在向量b 方向上的投影为a ·b|b |＝|a |cos θ(θ为向量a ，b 的夹角)．1．(2019·安徽黄山一模)已知|a |＝1，b ＝(－1,1)且a ⊥(a ＋b )，则向量a 与向量b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.3π4[解析] 设向量a 与向量b 的夹角为θ，因为a ⊥(a ＋b )，所以a ·(a ＋b )＝0，即|a |2＋a ·b ＝1＋|a ||b |cos θ＝1＋2cos θ＝0，cos θ＝－22，θ＝3π4，故选D.[答案] D2．(2019·陕西西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD→在BA →方向上的投影是( ) A ．－3 5 B ．－322 C ．3 5 D.322[解析] 依题意得，BA →＝(－2，－1)，CD →＝(5,5)，BA →·CD →＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA →|＝5，因此向量CD →在BA →方向上的投影是BA →·CD →|BA →|＝－155＝－35，选A.[答案] A3．(2019·河南平顶山一模)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，－6)，若向量c 满足c 与b 的夹角为120°，c ·(4a ＋b )＝5，则|c |＝( )A ．1 B. 5 C ．2 D ．25[解析] 依题意可得|a |＝5，|b |＝35，a ∥b .由c ·(4a ＋b )＝5，可得4a ·c ＋b ·c ＝5.由c 与b 的夹角为120°，可得c 与a 的夹角为60°，则有b ·c ＝|b ||c |cos120°＝|c |×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－352|c |，a ·c ＝|a ||c |cos60°＝|c |×5×12＝52|c |，所以4×52|c |－352|c |＝5，解得|c |＝25，故选D.[答案] D4．(2019·青岛二模)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB →|＝2，OC →＝53OA →－23OB →.若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A ．3B ．2 3C ．2D ．－3[解析] 因为A ，B 是圆x 2＋y 2＝4上的两个动点，且|AB →|＝2，所以|AB→|＝|OA →|＝|OB →|＝2，即△OAB 是等边三角形．点M 是线段AB 的中点，所以OM ⊥AB ，|OM→|＝ 3. 所以OC →·OM →＝⎝⎛⎭⎪⎫53OA →－23OB →·OM →＝53OA →·OM →－23OB →·OM →＝53×2×3cos30°－23×2×3cos30°＝3.[答案] A5．(2019·武汉调研)已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，若t b －a 与a 垂直，则实数t ＝________.[解析] 由已知可得a ·b ＝1×2×22＝1.因为t b －a 与a 垂直，所以(t b －a )·a ＝0，得t a ·b －a 2＝0，即t －2＝0，故t ＝2.[答案] 26．(2019·太原二模)如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD＝2，∠BAD ＝π4，若AB→·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC →＝________.[解析] 因为AB →·AC →＝2AB →·AD →，所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →，所以AB→·DC →＝AB →·AD →. 因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，所以2|AB →|＝|AB →||AD →|cos π4，化简得|AD→|＝2 2. 故AD→·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →＝ (22)2＋22×2cos π4＝12.[答案] 12平面向量数量积的2种运算方法(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化．(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化．考点三平面向量的应用1．基本原理及公式(1)向量平行(共线)的充要条件 a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)向量的夹角公式： cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22 (4)向量的模|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2或|AB |＝|AB →| ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)22．用向量法解决平面(解析)几何问题的两种方法(1)基向量法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．1．(2019·赣州五校协作体期中)已知向量a ＝(－3cos α，2)与向量b ＝(3，－4sin α)平行，则锐角α＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6[解析] ∵a ∥b ，∴(－3cos α)·(－4sin α)－6＝0，即sin2α＝1.∵α为锐角，∴0<2α<π，∴2α＝π2，α＝π4.[答案] C2．(2019·河北邯郸联考)已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在△COD 的内部(不含边界)．若AP →＝xAB →＋yAD →，则实数对(x ，y )可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎝⎛⎭⎪⎫14，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，15 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫37，57 [解析] 点P 在△COD 的内部(不含边界)，且AP →＝xAB →＋yAD →，所以当点P 在OD 上时，x ＋y ＝1是最小值；当点P 在点C 处时，x ＋y ＝2是最大值．所以x ＋y 的取值范围为(1,2)，且x <y ，故选D.[答案] D3．(2019·贵阳一模)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，则(AB →－2BC→)·(3BC →＋4CA →)＝( ) A ．－132 B ．－112 C ．－6－32D ．－6＋32[解析] (AB→－2BC →)·(3BC →＋4CA →)＝3AB →·BC →－6BC →2＋4AB →·CA →－8BC→·CA →＝3|AB →|·|BC →|·cos120°－6|BC →|2＋4|AB →|·|CA →|cos120°－8|BC →|·|CA →|·cos120°＝3×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－6×12＋4×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－8×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32－6－2＋4＝－112，故选B. [答案] B4．(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D ．3[解析] 如图，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，C (0，3)，令E (0，t )，t ∈[0，3]，∴AE →·BE →＝(－1，t )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，t －32＝t 2－32t ＋32，∵t ∈[0，3]，∴当t ＝－－322×1＝34时，AE →·BE →取得最小值，(AE →·BE →)min ＝316－32×34＋32＝2116.故选A.[答案] A5．(2019·天津六校联考)已知正方形ABCD ，点E 在边BC 上，且满足2BE→＝BC →，设向量AE →，BD →的夹角为θ，则cos θ＝________. [解析] 解法一：因为2BE→＝BC →，所以E 为BC 中点．设正方形的边长为2，则|AE→|＝5， |BD →|＝22，AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →·(AD →－AB →)＝12|AD →|2－|AB →|2＋12AD →·AB →＝12×22－22＝－2，所以cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.解法二：因为2BE →＝BC →，所以E 为BC 中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则点A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (2,1)，所以AE →＝(2,1)，BD →＝(－2,2)，所以AE →·BD →＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝AE →·BD →|AE →||BD →|＝－25×22＝－1010.[答案] －10106．(2019·河南开封质检)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－32，则λ的值为________．[解析] 如图，以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0,0)，B (2,0)，C (1，3)，则AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)，∴P (2λ，0)，Q (1－λ，3(1－λ))．∵BQ →·CP →＝－32，∴(－1－λ，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－32，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝12. [答案] 12平面向量的应用技巧(1)平面向量的综合题常把角度与长度结合在一起考查，在解题时注意运用向量的运算法则，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化．(2)要注意数形结合，要掌握依据模、数量积设向量坐标的方法，模的问题往往可以从平方入手．(3)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0[解析] 因为|a |＝1，a ·b ＝－1，所以a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.故选B.[答案] B2．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．22 C. 5D ．2[解析] 分别以CB 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A (2,1)，B (2,0)，D (0,1)．∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，∴可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ.则AB→＝(0，－1)，AD →＝(－2,0)， AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ－2，25sin θ－1.又AP→＝λAB →＋μAD →， ∴λ＝－25sin θ＋1，μ＝－15cos θ＋1，∴λ＋μ＝2－25sin θ－15cos θ＝2－sin(θ＋φ)，其中tan φ＝12，∴(λ＋μ)max ＝3. [答案] A3．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.[解析] 由已知得2a ＋b ＝(4,2)．又c ＝(1，λ)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，解得λ＝12.[答案] 124．(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)、B (2,0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE→·BF →的最小值为________． [解析] 设E (0，m )，F (0，n )，又A (－1,0)，B (2,0)，∴AE→＝(1，m )，BF →＝(－2，n )． ∴AE→·BF →＝－2＋mn ，又知|EF→|＝2，∴|m －n |＝2. ①当m ＝n ＋2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n ＋2)n －2＝n 2＋2n －2＝(n ＋1)2－3.∴当n ＝－1，即E 的坐标为(0,1)，F 的坐标为(0，－1)时，AE →·BF →取得最小值－3.②当m ＝n －2时，AE →·BF →＝mn －2＝(n －2)n －2＝n 2－2n －2＝(n －1)2－3.∴当n ＝1，即E 的坐标为(0，－1)，F 的坐标为(0,1)时，AE →·BF →取得最小值－3.综上可知，AE →·BF →的最小值为－3. [答案] －35．(2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．[解析] 解法一：如图，由BD →＝2DC →得AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝13λAB →·AC →－13AB →2＋23λAC →2－23AB →·AC →，又AB→·AC →＝3×2×cos60°＝3，AB →2＝9，AC →2＝4，所以AD →·AE →＝λ－3＋83λ－2＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.解法二：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB ＝3，AC ＝2，∠A ＝60°，所以B (3,0)，C (1，3)，又BD →＝2DC →，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，而AE →＝λAC →－AB →＝λ(1，3)－(3,0)＝(λ－3，3λ)，因此AD →·AE →＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.[答案] 3111.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．2．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．专题强化训练(十)一、选择题1．(2019·福建漳州一中月考)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由a ·b >0，可得到θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，不能得到θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2；而由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，可以得到a ·b >0.故选B.[答案] B2．(2019·山东日照期中)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |＝( )A.15B.17 C ．2 2D ．25[解析] 由已知得(a －b )2＝5，∴a ·b ＝0，∴(2a －b )2＝4a 2＋b 2＝8，|2a －b |＝22，故选C.[答案] C3．(2019·广东省六校联考)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB→＝4EC →，则ED →＝( ) A.56AB →－43AC → B.43AB →－56AC → C.56AB →＋43AC →D.43AB →＋56AC →[解析] 因为D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，所以BD →＝12BA →，EB →＝43CB →，所以ED →＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →，故选A.[答案] A4．(2019·南昌测试)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且向量a ，b 的夹角为π4，若a －λb 与b 垂直，则实数λ的值为( )A ．－12 B.12 C ．－24D.24[解析] 因为a ·b ＝1×2×cos π4＝2，所以(a －λb )·b ＝2－λ·4＝0⇒λ＝24，故选D.[答案] D5．(2019·江南十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足向量OP →在向量OA →上的投影为－5，则点P 的轨迹方程是( )A ．x －2y ＋5＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．x ＋2y ＋5＝0D ．x －2y －5＝0[解析] 由投影的定义知－5＝OP →·OA →|OA →|＝x ＋2y 5，化简得x ＋2y＋5＝0，所以点P 的轨迹方程为x ＋2y ＋5＝0，故选C.[答案] C6．(2019·黄冈一模)在平面直角坐标系中，A (－2,0)，B (1,3)，O 为坐标原点，且OM →＝αOA →＋βOB →(α＋β＝1)，N (1,0)，则|MN →|的最小值为( )A.22B.322C.92D.32[解析] ∵OM→＝αOA →＋βOB →(α＋β＝1)，∴A ，B ，M 三点共线，∵A (－2,0)，B (1,3)，∴直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，∵N (1,0)，设点N到直线AB 的距离为d ，∴d ＝|1－0＋2|1＋1＝322，∴|MN →|的最小值为N 到直线AB 的距离322，故选B.[答案] B7．(2019·合肥调研)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，则下列说法正确的是( )A ．a ·b ＝－2B ．(a ＋b )⊥(a －b )C ．a 与b 的夹角为π3D ．|a －b |＝7[解析] 解法一：因为|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝1－4＝－3，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3，所以a ·b ＝－1.又a ·b ＝1×2×cos 〈a ，b 〉＝－1，所以〈a ，b 〉＝2π3，故|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋2＋4＝7，所以|a －b |＝7.故选D.解法二：因为|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝3，所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝1－4＝－3，以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线与a 垂直，且a ，b 的夹角为2π3，所以a ·b ＝1×2×cos 〈a ，b 〉＝－1，故|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝7.故选D.[答案] D8．(2019·湖南省五校联考)已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点A ，B ，C ，其中OA→·OB →＝0，存在实数λ，μ满足OC →＋λOA →＋μOB→＝0，则实数λ，μ的关系为( ) A ．λ2＋μ2＝1 B.1λ＋1μ＝1 C ．λμ＝1D ．λ＋μ＝1[解析] 解法一：取特殊点，取C 点为优弧AB 的中点，此时易得λ＝μ＝22，只有A 符合．故选A.解法二：依题意得|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，－OC →＝λOA →＋μOB →，两边平方得1＝λ2＋μ2.故选A.[答案] A9．(2019·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1 B.12 C.34D.32[解析] ∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ， ∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)a ·b ＋t 2b 2. ∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12， ∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，故选D. [答案] D10．(2019·山西四校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF→＝( )A.23AB →－13AD →B.13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →[解析] 解法一：如图，取AB 的中点G ，连接DG 、CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB →，∴AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝23AB →＋23AD →，于是BF→＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12⎝⎛⎭⎪⎫23AB →＋23AD →－AB →＝－23AB →＋13AD →，故选C.解法二：BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE → ＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →) ＝－23AB →＋13AD →. [答案] C11．(2019·东北三校联考)已知△ABC 中，AB ＝6，AC ＝3，N 是边BC 上的点，且BN →＝2NC →，O 为△ABC 的外心，则AN→·AO →的值为( ) A ．8 B ．10 C ．18D ．9[解析] 由于BN →＝2NC →，则AN →＝13AB →＋23AC →，取AB 的中点为E ，连接OE ，由于O 为△ABC 的外心，则EO→⊥AB →，∴AO →·AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋EO →·AB →＝12AB →2＝12×62＝18，同理可得AC→·AO →＝12AC →2＝12×32＝92，所以AN →·AO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·AO →＝13AB →·AO →＋23AC →·AO →＝13×18＋23×92＝6＋3＝9，故选D.[答案] D12．(2019·南宁调研)如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 上的动点(与点C ，D 不重合)，CE→＝λCD →(0<λ<1)，过点E 作EF ⊥BE 交∠ADC 的外角平分线于点F ，若ED →·DF →≤316，则实数λ的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 [解析] 以C 为坐标原点，BC→，CD →的方向分别为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则C (0,0)，B (－1,0)，D (0,1)，因为CE→＝λCD →，所以E (0，λ)．设点F 的横坐标为－t ，因为射线DF 为∠ADC 的外角平分线，所以F (－t ，t ＋1)．由EF ⊥BE ，得EF→·BE →＝0，即(－t ，t ＋1－λ)·(1，λ)＝0，得t ＝λ.所以ED →·DF →＝(0,1－λ)·(－λ，λ)＝λ－λ2≤316，解得λ≤14或λ≥34.又0<λ<1.所以0<λ≤14或34≤λ<1.故选B.[答案] B 二、填空题13．(2019·开封模拟)设点A (1,2)，B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到的向量A ′B ′→＝________.[解析] 因为A (1,2)，B (3,5)，所以AB →＝(2,3)，向量平移后向量的坐标不变，故A ′B ′→＝AB→＝(2,3)． [答案] (2,3)14．(2019·湖南长郡中学4月月考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．[解析] ∵(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)＝3e 21＋3λe 1·e 2－e 1·e 2－λe 22＝3－λ，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝2，|e 1＋λe 2|＝(e 1＋λe 2)2＝e 21＋2λe 1·e 2＋λ2e 22＝1＋λ2，∴3－λ＝2×1＋λ2×cos60°＝1＋λ2，解得λ＝33.[答案] 3315．(2019·郑州模拟)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC→＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC→，则x 的取值范围是________．[解析] 依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有 AO →＝AB →＋BO →＝AB→＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →. 又AO→＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，43，知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 16．(2019·河北衡水二中模拟)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD→|的最小值为________．[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系．则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，设AM→＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)，故MD→＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)，则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)，|MB→＋MD →|＝(2－2λ)2＋(2－4λ)2＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255.[答案] 255。

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