淮南五中高二数学选修(2-2)综合测试(二)

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高二数学选修2-2综合测试卷新课标人教版

高二数学选修2-2综合测试卷一、选择题1、设)(x f 为可导函数，且满足12)1()1(lim 0-=--®xx f f x ，则过曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线斜率为（））A 2B -1C 1D -22、若复数i m m m m z )23()232(22+-+--=是纯虚数，则实数m 的值为A 1或2B 21-或2 C 21-D 23、设)(,)(3bx a f x x f -=的导数是（的导数是（））A )(3bx a -B 2)(32bx a b -- C 2)(3bx a b - D 2)(3bx a b --4、点P 在曲线323+-=x x y 上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是（的切线的倾斜角的取值范围是（）） A ],0[p B ),43[)2,0(p p pÈ C ]43,2[]2,0[p ppÈ D ),43[]2,0[p p pÈ 5、已知0,,¹Îb a R b a 且，则在①ab b a ³+222；②2³+ba ab ；③2)2(b a a b +£；④2)2(222b a ba +£+这四个式子中，恒成立的个数是（这四个式子中，恒成立的个数是（））A 1个B 2个C 3个D 4个6、利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n nÎ-´×××´´´=+×××++ ”时，从“k n =”变到”变到 ““1+=k n ”时，左边应增乘的因式是（”时，左边应增乘的因式是（）） A 12+k B112++k k C1)22)(12(+++k k k D132++k k7、若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+¥内是增函数，则实数a 的取值范围是（的取值范围是（）） A ),3(+¥ B ),3[+¥- C ),3(+¥- D )3,(--¥ 8、当n 取遍正整数时，nnii -+表示不同值得个数是A 1B 2C 3D 49、函数12)(2++=ax ax x f 在[-3[-3，，2]2]上有最大值上有最大值4。

(完整版)新课改高二数学选修2-2模块综合测试题(含答案)

新课改高二数学选修2-2模块综合测试题（本科考试时间为120分钟，满分为100分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。

第I 卷一．选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分） 1．在“近似替代”中，函数在区间上的近似值（）)(x f ],[1+i i x x （A ）只能是左端点的函数值（B ）只能是右端点的函数值)(i x f )(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值）（D ）以上答案均正确()∈i i f ξξ(],[1+i i x x 2．已知，其中m 为实数，i 为虚数单位，若，则m 的22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，120z z -=值为（）(A) 4(B)(C) 6(D) 01-3．已知,下列各式成立的是（）1,1x y <<（A ）（B ）（C ）（D ）2x y x y ++->221x y +<1x y +<1xy x y+>+4．设f (x )为可导函数，且满足=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是(1)(1)lim2x f f x x→--（）（A ）2（B ）－1（C ）（D ）－2125．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）必要条件6．函数在处有极值10, 则点为（）223)(a bx ax x x f +--=1=x ),(b a （A ）（B ）（C ）或（D ）不存在)3,3(-)11,4(-)3,3(-)11,4(-7．，则的最小值为（）1x y z ++=22223x y z ++(A)1(B)(C)(D)34611588．曲线，和直线围成的图形面积是（）xy e =xy e -=1x =(A)(B)(C)(D) 1e e --1e e -+12e e ---12e e -+-9．点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（）P x x y ln 2-=P 2y x =-(A) １ (B) (C) ２ (D) 10．设（），当时，的最大值为，则的最小值为2()f x x ax b =++,a b R ∈[]11,x ∈-()f x m m （）(A) (B) １ (C) (D) ２1232第I 卷二．填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）11．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数a b ad bc c d =-z 112z zi-=i．z =12．如图,数表满足:⑴第行首尾两数均为;⑵表中递推关系类似杨辉三角,n n 记第行第2个数为.根据表中上下两行数据关系,(1)n n >()f n 可以求得当时, ．2n …()f n =13．设函数f (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f (x )在［0,1］上的最大值为．14．设，，，且，，则的i a R +∈i x R +∈12,,i n = 222121n a a a ++= 222121n x x x ++= 1212,,,n na a a x x x 值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1三解答题（本大题共5小题，共54分）15（本小题满分10分）(1)求定积分的值；(2)若复数，，1222x dx --⎰12()z a i a R =+∈234z i =-且为纯虚数，求12z z 1z12 234 34 7 7 4… … …16（本小题满分10分）现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，求高为多少？l 17（本小题满分12分）已知函数11()ln()x f x x x =+-+（1）求的单调区间；()f x （2）求曲线在点（1，）处的切线方程；()y f x =1()f （3）求证：对任意的正数与，恒有．a b 1ln ln b a b a-≥-18（本小题满分10分）（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）（1）设，，，且i a R +∈i b R +∈12,,i n = 12122n n a a a b b b ++=++= 求证：2221211221n n na a a ab a b a b +++≥+++ （2）设（）求证：i a R +∈12,,i n = 21212222122334122()()n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++≤++++++++ 19（本小题满分12分）设数列满足{}n a 211123,,,,,n n n a a na n +=-+= （1）当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；12a =234,,a a a {}n a （2）当时，证明对所有，有13a ≥1n ≥ ①2n a n ≥+②1211111112n a a a ++≤+++新课改高二数学选修2-2模块综合测试题参考答案一选择题1 C2 B3 D4 D5 A6 B7 C8 D9 B 10 A二填空题11 1-i 1213 14 ③⑤222n n -+242()n n n ++三解答题15 (1)（2）10316 当高时， h =3max V =17 （1）单调增区间，单调减区间0(,)+∞10(,)- （2）切线方程为 44230ln x y -+-=（3）所证不等式等价为10ln a bb a+-≥而，设则，由（1）结论可得，1111()ln()f x x x =++-+1,t x =+11()ln F t t t=+-由此，所以即011()(,)(,)F t +∞在单调递减，在单调递增，10min ()()F t F ==10()()F t F ≥=，记代入得证。

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高二数学选修2-2 综合测试题f xg ′ x)>0 ，且 g ( 3) 0 ，不等式 f x g x)<0的解集是（）( ) ( ( ) (一、：A. ( －3，0) ∪(3 ，+∞)B. ( －3，0) ∪(0 ， 3)1、 i 是虚数位。

已知复数 Z1 3i (1i )4 ，复数 Z 点落在（）C.( －∞，－ 3) ∪(3 ，+∞)D. (－∞，－ 3) ∪(0 ， 3)3 iA ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限12、在古希腊，达哥拉斯学派把 1， 3， 6， 10，15，21，28，⋯ 些数叫做三角形数， 8、已知函数 f ( x) x 2bx 的象在点 A(1, f (1)) 的切的斜率 3，数列因些数的点可以排成一个正三角形f (n)的前 n 和 S n ,S 2011 的（）200820092010 2011A.B.C .D .200920102011201213610159、函数 f(x) ＝kx 3 ＋3(k －1)x 2 k 2 ＋ 1在区（，）上是减函数， k 的取范是第 n 个三角形数（( )0 4）A ． nB ．n(n 1)C ． n21D ．n( n 1)1B. 0 k1C. 0 k1122A. k3 3D. k333、求由曲 yx ，直 yx 2 及 y 所成的形的面的（）10、函数 yf ( x) 在定域 ( 3内可，其象如所示， yf ( x) 的函数,3)．．24x ) dx B.4xdx C.20 2)dyyf ( x) ，不等式 f ( x)0 的解集（）A.(2 x0 (2 y y 2 )dy D.(4 y 0224、复数 z 的共复数是 z , 且 z1, 又 A( 1,0) 与 B(0,1) 定点 , 函数f ( z)( z1)A ．1 U 2,3,13( z i ) ︱取最大在复平面上以 z ,A,B 三点点的形是C ．3 , 1 U 1,2 A,等三角形B,直角三角形C,等腰直角三角形D,等腰三2 2角形11、已知函数 f (x)5、函数 f(x) 的定义域为 R ，f(-1)=2,对任意 xR ， f ' ( x) 2 , 则 f ( x)2x4 的解集为小是(A)(-1 ， 1)(B)(-1，+∞ )(c)(-∞， -l)(D)(-∞,+ ∞ )A.24n 12 n 14( k1) 12( k 1) 13用数学归纳法证明整除时，当 nk1时，对于 335(n N) 能被 85可变形为6、Ａ． 56·3 4k 14k 152k 1) Ｂ．4 4 k 12 2k4k 12 k 14 k 15 2k 1)12、函数 f ( x)x325(3 3 ·35 ·5 Ｃ． 35Ｄ． 25(3、 f x g x 分是定在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x <0， f ′ x g x ＋的取范（7( ) ，( )( ) ( )A ．（-24,8）B ．1,2 U 4 , 83 3D ．3, 1 U 1 , 4U 8,322 331 x 3 ax2 bx 1( a 、 bR) 在区 [-1,3] 上是减函数， ab 的最3B. 3C.2D. 323x 29x 3, 若函数 g( x) f ( x) m 在 x [ 2,5] 上有 3 个零点， m）B ．（ -24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）高二数学选修2-2 综合测试题（答题卡）三、解答题：（70 分）一、选择题（ 60分）。

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高中数学学习材料唐玲出品高二数学选修2-2模块综合测试题（本科考试时间为120分钟，满分为150分）一．选择题（本大题有10小题，每小题5分,共50分）1．在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（）（A ）只能是左端点的函数值)(i x f （B ）只能是右端点的函数值)(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）（D ）以上答案均正确2．已知22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，，其中m 为实数，i 为虚数单位，若120z z -=，则m 的值为 ( ) (A) 4(B) 1-(C) 6(D) 03．已知1,1x y <<,下列各式成立的是（）（A ）2x y x y ++-> （B ）221x y +< （C ）1x y +< （D ）1xy x y +>+ 4．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim2x f f x x→--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是（）（A ）2 （B ）－1 （C ）12（D ）－2 5．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0” 的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）必要条件 6．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为（）（A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ） )3,3(-或)11,4(- （D ）不存在 7．1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为（）(A)1 (B)34 (C)611 (D)588．曲线xy e =，xy e -= 和直线1x =围成的图形面积是（）(A)1e e -- (B) 1e e -+ (C) 12e e --- (D) 12e e -+-9．点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（）(A) １ (B)2 (C) ２ (D) 2210．设2()f x x ax b =++（,a b R ∈），当[]11,x ∈-时，()f x 的最大值为m ，则m 的最小值为（） (A)12 (B) １ (C) 32(D) ２二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 11．定义运算a b ad bc c d=-,若复数z 满足112zzi-=,其中i 为虚数单位,则复数z = ．12．如图,数表满足:⑴第n 行首尾两数均为n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角,记第(1)n n >行第2个数为()f n .根据表中上下两行数据关系, 可以求得当2n …时,()f n = ．13．设函数f (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f (x )在［0,1］上的最大值为． 14．设i a R +∈，i x R +∈，12,,i n =，且222121n a a a ++=，222121n x x x ++=，则1212,,,nna a a x x x 的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1三解答题（本大题共6小题，共80分） 15、（本小题12分）已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ． 1 2 23 4 3 4 7 7 4 … … …16（本小题满分14分） (1) 求定积分1222x dx --⎰的值；(2) (2)若复数12()z a i a R =+∈，234z i =-，且12z z 为纯虚数，求1z17（本小题满分12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。

【高二数学】选修2-2综合测试含答案解析

选修2－2综合测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算：1＋2i－2＝( ) A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD ．1－12i[答案] B [解析]1＋2i －2＝1＋2i 1－2i ＋i 2＝1＋2i－2i ＝＋2＝－1＋12i.2．用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除[答案] B[解析] “至少有一个”的否定为“一个也没有”．3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n n 2＋3，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] [答案] B[解析] 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.4．已知函数f (x )＝1x ＋－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )[答案] B[解析] 当x ＝1时，y ＝1ln 2－1<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近于0时，y 趋近于－∞，排除C.故选B.5．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9[答案] D[解析] 由等差数列的性质知，a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5，故D 成立．6．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1－e －x，则质点从x 1＝0，沿x 轴运动到x 2＝1处，力F (x )所做的功是( )A ．eB ．1e C ．2e D ．12e[答案] B[解析] 由W ＝⎠⎛01(1－e －x )d x ＝⎠⎛011d x －⎠⎛01e －x d x ＝x |10＋e －x |10＝1＋1e －1＝1e .7．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )对应向量的模为3，则y x的最大值是( ) A ．32B ．33C. 3 D ．12[答案] C[解析] 由|(x －2)＋y i|＝3，得(x －2)2＋y 2＝3，此方程表示如图所示的圆C ，则y x的最大值为切线OP 的斜率．由|CP |＝3，|OC |＝2，得∠COP ＝π3，∴切线OP 的斜率为3，故选C.8．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )[答案] C[解析] 本题考查导数的应用，函数的图象．由f (x )在x ＝－2处取极小值知f ′(－2)＝0且在－2的左侧f ′(x )<0，而－2的右侧f ′(x )>0，所以C 项合适．函数、导数、不等式结合命题，对学生应用函数能力提出了较高要求．9.观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形( )A ．28，n ＋n ＋2B ．14，n ＋n ＋2C ．28，n 2D ．12，n 2＋n2[答案] A [解析]根据规律知第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.第n 个图形中有1＋2＋…＋(n ＋1)＝n ＋n ＋2.10.给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1 D ．f (x )＝－x e －x[答案] D[解析] 若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x e －x，则f ″(x )＝2e －x－x e －x＝(2－x )e －x. 在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )>0，故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．(2014·北京理，9)复数(1＋i 1－i )2＝________.[答案] －1 [解析] 复数1＋i1－i ＝＋2－＋＝2i2＝i ，故(1＋i 1－i )2＝i 2＝－1. 12．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1能被14整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1应变形为________． [答案] 34·34k ＋1＋52·52k ＋1[解析] n ＝k 时，34k ＋1＋52k ＋1能被14整除，因此，我们需要将n ＝k ＋1时的式子构造为能利用n ＝k 的假设的形式.34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34·34k ＋1＋52·52k ＋1＋34·52k ＋1－34·52k ＋1＝34(34k ＋1＋52k ＋1)＋(52－34)52k ＋1，便可得证．13．在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)，将命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：____________________________________________________________________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)14．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3ax ＋1在区间(－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a 的取值范围是________________．[答案] (－∞，0)∪(9，＋∞)[解析] 由题意得y ′＝3x 2－2ax ＋3a ＝0有两个不同的实根，故Δ＝(－2a )2－4×3×3a >0，解得a <0或a >9.15.如图为函数f (x )的图像，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式x ·f ′(x )<0的解集为________．[答案] (－3，－1)∪(0,1)[解析] x ·f ′(x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x ，或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x∵(－3，－1)是f (x )的递增区间， ∴f ′(x )>0的解集为(－3，－1)． ∵(0,1)是f (x )的递减区间， ∴f ′(x )<0的解集为(0,1)．故不等式的解集为(－3，－1)∪(0,1)．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．(2015·山东青岛)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|.(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．[解析] (1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|i－1|3＝2 2. (2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆．而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)，所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆的半径)＝22＋1.17．设函数f (x )＝kx 3－3x 2＋1(k ≥0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的极小值大于0，求k 的取值范围． [解析] (1)当k ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)．当k >0时，f ′(x )＝3kx 2－6x ＝3kx (x －2k)．∴f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(2k，＋∞)，单调减区间为(0，2k)．(2)当k ＝0时，函数f (x )不存在极小值．当k >0时，由(1)知f (x )的极小值为f (2k )＝8k 2－12k2＋1>0，即k 2>4，又k >0，∴k 的取值范围为(2，＋∞)．18.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] 解法一： (1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法二： (1)同解法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.19.设a >0且a ≠1，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值点． [解析] (1)由已知得x >0.当a ＝2时，f ′(x )＝x －3＋2x ，f ′(3)＝23，所以曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处切线的斜率为23.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x＝x 2－a ＋x ＋ax＝x －x －ax.由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝A ． ①当0<a <1时，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝a 时f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点． ②当a >1时，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．综上，当0<a <1时，x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点；当a >1时，x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．20.(2014·广东理)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)a 1＝S 1＝2a 2－3×12－4×1＝2a 2－7①a 1＋a 2＝S 2＝4a 3－3×22－4×2＝4(S 3－a 1－a 2)－20＝4(15－a 1－a 2)－20，∴a 1＋a 2＝8②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3a 2＝5，∴a 3＝S 3－a 1－a 2＝15－8＝7，综上a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，以下用数学归纳法证明： ①由(1)知，当n ＝1时，a 1＝3＝2×1＋1，猜想成立； ②假设当n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2k －12k a k ＋6k ＋12k＝2k －12k ·(2k ＋1)＋3＋12k＝4k 2－12k ＋3＋12k＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1这就是说n ＝k ＋1时，猜想也成立，从而对一切n ∈N *，a n ＝2n ＋1.21.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知AB ＝20 km ，CB ＝10 km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km.(1)设∠BAO ＝θrad ，将y 表示成θ的函数关系式； (2)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最小．[解析] (1)延长PO 交AB 于点Q ，则PQ 垂直平分AB .若∠BAO ＝θrad ，则OA ＝AQcos ∠BAO ＝10cos θ，故OB ＝10cos θ. 又OP ＝10－10tan θ，所以y ＝OA ＋OB ＋OP ＝10cos θ＋10cos θ＋10－10tan θ.故所求函数关系式为y ＝20－10sin θcos θ＋10(0≤θ≤π4)．(2)y ′＝－10cos θ·cos θ－－10sin θ－sinθcos 2θ＝θ－cos 2θ.令y ′＝0，得sin θ＝12.因为0≤θ≤π4，所以θ＝π6.当θ∈[0，π6)时，y ′<0，则y 是关于θ的减函数；当θ∈(π6，π4]时，y ′>0，则y 是关于θ的增函数，所以当θ＝π6时，y min ＝20－10×1232＋10＝(103＋10)．故当点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边1033km 处时，三条排污管道的总长度最小．。

高中数学人教a版高二选修2-2章末综合测评2 含解析

高中数学人教a版高二选修2-2章末综合测评2 含解析章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C 项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．下列几种推理是演绎推理的是()A．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n－1＋1a n－1(n≥2)，由此归纳出{a n}的通项公式B．某校高三共有12个班，其中(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人C．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质D．两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝π【解析】A，B为归纳推理，C为类比推理．【答案】 D3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B. 【答案】 B4．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( ) A ．完全正确 B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致【解析】大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．【答案】 A5．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将5k ＋1－2k ＋1变形为( )A ．(5k －2k )＋4×5k －2kB ．5(5k －2k )＋3×2kC ．(5－2)(5k －2k )D ．2(5k －2k )－3×5k【解析】 5k ＋1－2k ＋1＝5k ·5－2k ·2＝5k ·5－2k ·5＋2k ·5－2k ·2＝5(5k －2k )＋3·2k . 【答案】 B6．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n ＝k＋2，故选B.【答案】 B7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199【解析】利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．【答案】 C8．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”最终的索因应是()A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【解析】因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3c<a＋b＋c<3a，即a>0，c<0.要证明b2－ac<3a，只需证明b2－ac<3a2，只需证明(－a－c)2－ac<3a2，只需证明2a2－ac－c2>0，只需证明2a＋c>0(a>0，c<0，则a－c>0)，只需证明a＋c＋(－b－c)>0，即证明a－b>0，这显然成立，故选A.【答案】 A9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有() A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n【解析】令n＝10时，验证即知选B.【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a2 016－5＝()图1A．2 018×2 014 B．2 018×2 013C．1 010×2 012 D．1 011×2 013【解析】a n－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．∴a n－5＝(n－1)(n＋6)2，∴a2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011.【答案】 D11．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图2中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 015＋a2 016＋a2 017＝()图2A．1 006 B．1 007C．1 008 D．1 009【解析】依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2 015＋a2 017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2 016＝12×2 016＝1 008，a2 015＋a2 016＋a2 017＝1 008.故选C.【答案】 C 12．记集合T＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104 B.510＋5102＋7103＋2104 C.510＋5102＋7103＋3104 D.710＋9102＋9103＋1104 【解析】因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1类似的性质为__________．【解析】圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.【答案】经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝114．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________ .【解析】依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有n(n＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．【答案】(5,7)15．当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，你能得到的结论是__________．【解析】根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a －b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，左边第二个因式可知为a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n，那么对应的表达式为(a－b)·(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1.【答案】(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋116．如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N*)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋n(n－3)2＝n(n＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋n(n－3)2·(n－2)＝n(n－1)(n－2)2.【答案】n(n＋1)212n(n－1)(n－2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lg a＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3 4，sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝3 4，sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝3 4.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3 4.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α ＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34. 19．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．20．(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】(1)因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A.又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .22．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)．(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1，求证：对任意的n ∈N *，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3. 【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N *. 下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N *)时，结论也成立，即 a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知： a k ＋1＝(k －1)a kk －a k＝(k －1)×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k＋1＝13(k＋1)－2.即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N*，a n＝13n－2成立．(2)b n＝a n·a n＋1 a n＋a n＋1＝13n－2·13n＋1 13n－2＋13n＋1＝13n＋1＋3n－2＝13(3n＋1－3n－2)，所以b1＋b2＋…＋b n＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n＋1－3n－2)]＝13(3n＋1－1)，所以只需要证明13(3n＋1－1)<n3⇔3n＋1<3n＋1⇔3n＋1<3n＋23n＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n∈N*，都有b1＋b2＋…＋b n<n 3.第11页共11页。

求是高中高二理科数学选修2-2综合测试(二)(含答案)

求是高中高二理科数学选修2-2综合测试（二）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应为（）Ａ．9(1)109n n n ++=+Ｂ．9(1)109n n n -+=- Ｃ．9(1)101n n n +-=- Ｄ．9(1)(1)1010n n n -+-=-2.曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是（）A. 230x y ++=B. 032=--y xC. 210x y ++=D. 012=--y x3.定义运算a bad bc c d =- ，则符合条件1142i i z z -=+ 的复数z 为（）Ａ．3i - Ｂ．13i + Ｃ．3i + Ｄ．13i -4.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A.假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角Ｃ．假设没有一个钝角Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角5.曲线3πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（）Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．52 Ｄ．36.平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）7.复数z=534+i,则z 是（） A ．25 B ．5 C ．1 D ．78.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为1个单位长度）．令()P n 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记(0)0P =，则下列结论中错误的是（）Ａ．(3)3P =Ｂ．(5)1P = Ｃ．(2007)(2006)P P > Ｄ．(2003)(2006)P P <9.如图是导函数/()y f x =的图象，那么函数()y f x =在下面哪个区间是减函数A. 13(,)x xB. 24(,)x xC.46(,)x xD.56(,)x x10.设*211111()()123S n n n n n n n =+++++∈+++N ，当2n =时，(2)S =（）Ａ．12 Ｂ．1123+ Ｃ．111234++ Ｄ．11112345+++ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在题中横线上． 11.=---⎰dx x x )2)1(1(10212.设12541...i i i Z +++=，12542...i i i Z ⋅⋅⋅=，则1Z ，2Z 关系为13.已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是 ______________14.已知223+,338+,4415+,5524+,…,由此你猜想出第n 个数为_______________ 15.关于x 的不等式20()mx nx p m n p R -+>∈、、的解集为(1 2)-，，则复数m pi +所对应的点位于复平面内的第________象限．16、函数x x x f cos 2)(+= )20(π，∈x 的单调递减区间为 17．仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.（本小题14分）已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ．19.（本小题14分） 20()(28)(0)xF x t t dt x =+->⎰．（1）求()F x 的单调区间；（2）求函数()F x 在[13]，上的最值．20．（本小题15分）设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．21.（本小题14分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。

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选修 2-2 综合测试题2一、选择题1．在数学归纳法证明“1 a a2an 1 a n 1(a，N ) ”时，验证当 n1时，等式的左1 n1 a边为（）Ａ． 1Ｂ． 1aＣ． 1 aＤ． 1 a22．已知三次函数f ( x)1 x 3 (4 m 1)x 2(15m22m7) x 2 在 x ( ∞ ， ∞ ) 上是增函数，则 m 的3取值范围为（）Ａ． m 2 或 m4Ｂ． 4 m2Ｃ． 2 m 4 Ｄ．以上皆不正确3．设 f ( x)( axb)sin x(cxd )cos x ，若 f ( x) x cosx ，则 a ， b ， c ， d 的值分别为（）Ａ． 1，1，0， 0Ｂ． 1，0，1，0Ｃ． 0，1，0，1Ｄ． 1，0，0，14．已知抛物线 y ax2 bx c 通过点 P(11)，，且在点 Q(2， 1) 处的切线平行于直线 yx 3，则抛物线方程为（）Ａ． y 3x211x 9Ｂ． y3x211x9Ｃ． y 3x211x 9Ｄ． y3x 2 11x92a n ，0≤ a n ≤1，26，则 a 2004 的值为（5．数列 a n满足 a n 11若 a 1）2a ≤ a n，7n，112Ａ．6Ｂ． 5Ｃ．3Ｄ．177776．已知 a ， b 是不相等的正数，x a b， ya b ，则 x ， y 的关系是（）2Ａ． x yＢ． yxＣ． x2 yＤ．不确定7．复数 zm 2i( m R) 不可能在（）1 2iＡ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限8．定义A B，B C， C D， D A 的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（）的运算的结果Ａ． B D，A DＢ．B D，A CＣ．B C，A DＤ．C D，A D- 1 -9．用反证法证明命题“a， b N ，如果 ab 可被5整除，那么 a ， b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）Ａ． a ， b 都能被5整除Ｂ． a ， b 都不能被 5 整除Ｃ． a 不能被5整除Ｄ． a ， b 有 1 个不能被 5 整除10．下列说法正确的是（）Ａ．函数Ｃ．函数y x 有极大值，但无极小值Ｂ．函数y x 既有极大值又有极小值Ｄ．函数y x 有极小值，但无极大值y x 无极值11．对于两个复数 1 3 i ， 1 3 i，有下列四个结论：① 1 ；② 1 ；③ 1 ；2 2 2 2④33 1）．其中正确的个数为（Ａ． 1 Ｂ． 2 Ｃ． 3 Ｄ． 412．设f ( x)在[ a，b]上连续，则 f ( x)在[ a，b]上的平均值是（）Ａ． f ( a) Ｂ． b Ｃ．1Ｄ．f (b) f (x)dx b f ( x) dx 1 b f ( x)dx2 a 2 a b a a二、填空题13．若复数z log2( x23x 3) i log 2 ( x 3) 为实数，则x 的值为．14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）○●○○●○○○●○○○○●若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006 年圆中有实心圆的个数为．15．函数f ( x) ax36ax 2b(a0) 在区间 [ 1，2] 上的最大值为，最小值为29 ，则 a ， b 的值分3别为．16．由y2 4 x 与直线 y 2 x 4 所围成图形的面积为．三、解答题n n17．设n N且sin x cos x 1 ，求 sin x cos x 的值．（先观察 n 1，2，3，4 时的值，归纳猜测sin n x cos n x 的值．）18．设关于x的方程x2(tan i ) x (2 i)0 ，（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；- 2 -（2）证明：对任意πkπ (k Z ) ，方程无纯虚数根．219．设t0 ，点 P(t，0) 是函数 f (x) x 3ax 与 g( x) bx 2 c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线．（1）用t表示a，b，c；（ 2）若函数y f (x) g ( x)在( 1，3)上单调递减，求 t 的取值范围．20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若 a b c，且 a b c0 ，则 b 2 ac3 ．a21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为k(k0) ，且知当利率为0.012 时，存款量为 1.44 亿；又贷款的利率为 4.8% 时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x ， x (0 ，0.048) ，则当 x 为多少时，银行可获得最大收益？22．已知函数 f ( x)x，数列 a n 满足 a1 f ( x) ， a n 1f (a n ) ．( x 0)1 x2（1）求a2，a3，a4；（2）猜想数列an的通项，并予以证明．参考答案一、选择题： CCDAC,BABBBD二、填空题： 13、4， 14 、61， 15 、 2,3 16、917、解：当n 1 时， sin x cosx 1 ；当 n 2 时，有 sin 2 x cos 2 x 1 ；当 n 3 时，有 sin 3 x cos 3 x (sin x cos x)(sin 2 x cos 2 x sin xcos x) ，而 sin x cos x 1 ，∴1 2sin x cos x 1 ， sin xcos x 0 ．∴ sin3 x cos 3 x1 ．当 n 4 时，有 sin 4 x cos 4 x (sin 2 x cos2 x) 2 2sin 2 xcos 2 x 1 ．由以上可以猜测，当n N时，可能有sin n x cos n x( 1) n成立．18、解：（ 1）设实数根为a，则a2(tan i )a (2 i ) 0 ，即(a2a tan2) (a1)i 0 ．R ，那么a 2 ，a ， a 1，由于 a ， tan a tan tan 2 0 ．又 0 π，得πa 1 1 tan 1 2 ．4- 3 -（2）若有纯虚数根i(R ) ，使 ( i) 2 (tan)(i ) i (2 ) i 0 ，即 ( 2 2) ( tan 1) i0 ，22 ，由， tan R ，那么，0 由于2 2 0 无实数解．tan 1 0故对任意πZ ) ，方程无纯虚数根kπ (k219、解：（ 1）因为函数 f ( x) ， g (x) 的图象都过点 (t，0) ，所以 f (t ) 0 ，即 t 3 at 0 ．因为 t 0 ，所以 a t 2．g (t ) 0 ，即 bt 2 c 0 ，所以 c ab ．又因为 f ( x) ， g (x) 在点 (t，0) 处有相同的切线，所以 f (t )g (t ) ，而 f ( x) 3x 2 a ， g (x)2bx ，所以 3t 2 a 2bt ．将 a t 2代入上式得 b t ．因此c ab t 3．故a t2， b t ， c t 3．（2）y f (x)g (x) x3t 2 x tx 2t 3， y3x22tx t 2(3 x t )( x t ) ．当 y(3x t )( x t) 0 时，函数 y f ( x) g (x) 单调递减．由 y 0 ，若 t 0 ，则tt ；x3若 t 0 ，则 t x t ．3，t( 1，3) t ，( 13)，由题意，函数 y f ( x) g (x) 在 ( 1，3) 上单调递减，则 3 t或t 3．所以 t ≤9 或 t ≥ 3 ．又当 9 t 3时，函数y f (x) g( x)在( 1，3)上不是单调递减的．所以 t 的取值范围为∞， 9 3，∞．20、解：此命题是真命题．∵ a b c 0 ， a b c ，∴ a0 ， c 0 ．b 2ac 2 2 2 2 2要证a3 成立，只需证bac 3a ，即证 b ac 3a ，也就是证 ( a c) ac 3a ，即证 ( a c)(2 a c) 0 ．∵ a c 0 ， 2a c ( a c)a b a 0 ，∴ (a c)(2 ac) 0 成立，故原不等式成立．21、解：由题意，存款量 f (x) kx2，又当利率为0.012 时，存款量为 1.44 亿，即x 0.012 时，；由2，得，那么 2 ，银行应支付的利息y 1.44 1 . 4 4 k ·(0.012) k 10000 f ( x)1 0 0 0x 0g (x) x·f (x) 10000x 3 ，- 4 -设银行可获收益为 y ，则 y480x 2 10000x 3，由于 y960x 30000x 2，则 y0 ，即 960x30000x20 ，得 x 0 或 x 0.032 ．因为， x(0，0.032) 时， y0 ，此时，函数y480x 2 10000x 3递增；x (0.032 ， 0.048) 时， y 0 ，此时，函数y480x 2 10000x 3递减；故当 x 0.032 时， y 有最大值，其值约为0.164亿．axx22、解：（ 1）由 a 12， f (x) ，得 a 2f (a 1 )1a21 x1 2 x 2 1211xx21x a 3 f (a 2 )a 2 a 21 2 x21221x2x 21xa 3 1 3x2a 4 f (a 3 )a 21231x3x 21x13x 2 x14x2，．（2）猜想： a nxN ) ，(n1 nx2证明：（ 1）当 n 1 时，结论显然成立；（2）假设当 nk 时，结论成立，即 a kx ；kx 21x那么，当 n k 1 时，由 a k 1f (a k )1 kx2x，1x 2 1 (k1)x2kx 21这就是说，当 nk1 时，结论成立；由（ 1），（ 2）可知， a nx 对于一切自然数 n( nN ) 都成立．1 nx 2- 5 -。

(人教A版)高中数学【选修2-2】：本册综合测试试卷(含答案)

本册综合测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.1＋2i (1－i )2＝( ) A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12iD ．1－12i解析 1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i －2i ·i ＝－1＋12i .答案 B2．若f(x)＝e x ，则lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx＝( ) A ．e B ．－e C ．2eD ．－2e解析 ∵f(x)＝e x ，∴f ′(x)＝e x ，f ′(1)＝e . ∴lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－2lim Δx →0f (1－2Δx )－f (1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－2e .答案 D3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x 的值为( ) A ．29 B ．31 C ．32D ．33解析观察前几项知，5＝2＋3，11＝5＋2×3,20＝11＋3×3， x ＝20＋4×3＝32,47＝32＋5×3. 答案 C4．函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若m ＝M ，则f ′(x)( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能答案 A5．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)B ．[－3， 3 ]C ．(－∞，－ 3 )∪(3，＋∞)D ．(－3， 3 )解析 f ′(x)＝－3x 2＋2ax －1，若f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数只有f ′(x)≤0， ∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0，解得－3≤a ≤ 3. 答案 B6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<n(n ∈N *且n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3答案 B7．对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )＞0，则x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )<0，g ′(x )>0C ．f ′(x )<0，g ′(x )<0D ．f ′(x )>0，g ′(x )<0解析由f (－x )＝－f (x )及g (－x )＝g (x )知，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，由函数奇偶性的性质得f ′(x )>0，g ′(x )<0.答案 D8．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪21＝13(23－13)＝73，S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x ⎪⎪⎪ 21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e .∵e 2－e >4，ln 2<lne ＝1,2<73<3， ∴S 3>S 1>S 2. 答案 B9．曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T(1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A .4918B .4936C .4972D .49144解析 y ′＝x 2＋x ，y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －56＝2(x －1)，与坐标轴的交点分别为(0，－76)，(712，0)，故切线与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×76×712＝49144.答案 D10．在平面直角坐标系中，直线x －y ＝0与曲线y ＝x 2－2x 所围成的面积为( )A ．1B .52C .92D ．9解析如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝x ，得交点(0,0)，(3,3)． ∴阴影部分的面积为S ＝⎠⎛03(x －x 2＋2x)d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x)d x ＝(－13x 3＋32x 2)⎪⎪⎪ 30＝－9＋272＝92.答案 C11．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 有一个能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除答案 B12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是( )①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．关于x 的不等式mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，则复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第________象限．解析因为mx 2－nx ＋p >0(m ，n ，p ∈R )的解集为(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0，(－1)＋2＝n m ，(－1)×2＝p m ，解得m <0，p >0.故复数m ＋p i 所对应的点位于复平面内的第二象限．答案第二14．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ，若⎠⎛1－1f(x)d x ＝2f(a)成立，则a ＝________.解析 ∵⎠⎛1－1(3x 2＋2x)d x ＝(x 3＋x 2)⎪⎪⎪ 1－1＝2， ∴2(3a 2＋2a)＝2.即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－1，或a ＝13. 答案－1或13 15．观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， …照此规律，第n 个等式可为________________．解析观察上列等式可得第4个等式为(4＋1)(4＋2)(4＋3)(4＋4)＝24×1×3×5×7，…，第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．答案 (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1) 16．若函数f(x)＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析 f ′(x)＝4(x 2＋1)－4x·2x (x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令f ′(x)>0，得(1＋x)(1－x)>0，解得－1<x<1.若在区间(m,2m ＋1)上是单调增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧m>－1，2m ＋1<1，解得－1<m<0.但m ＝0时，也适合，故－1<m ≤0.答案 (－1,0]三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)用反证法证明：在△ABC 中，若sin A>sin B ，则∠B 必为锐角．证明假设B 不是锐角，则0°<∠A<∠A ＋∠C ＝180°－∠B ≤90°， ∴sin A<sin (180°－B)，即sin A<sin B ，这与已知sin A>sin B 矛盾，故∠B 必为锐角．18．(12分)已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，∫10f(x)d x＝－2.(1)求f(x)的表达式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．解 (1)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.由f(－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0.∴f(x)＝ax 2＋2－a.又∵⎠⎛01f(x)d x ＝⎠⎛01(ax 2＋2－a)d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪10＝13a ＋2－a ＝－2，∴a ＝6.从而c ＝－4.故f(x)＝6x 2－4.(2)∵f(x)＝6x 2－4，x ∈[－1,1]，∴f(x)min ＝－4.f(x)max ＝f(－1)＝f(1)＝2.故f(x)在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－4.19．(12分)已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 在点x 0处取得极小值－7，其导函数y ＝f ′(x)的图象经过点(－1,0)，(2,0)，如图所示，试求x 0，a ，b ，c 的值．解由y ＝f ′(x)的图象可知，在(－∞，－1)上f ′(x)<0，在(－1,2)上f ′(x)>0，在(2，＋∞)上f ′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减．因此，f(x)在x ＝－1处取得极小值，所以x 0＝－1.∵f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ， ∴f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.故由f ′(－1)＝0，f ′(2)＝0，f(－1)＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，－a ＋b －c ＝－7，解得a ＝－2，b ＝3，c ＝12.20．(12分)设f(x)＝a(x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)∵f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ＝ax 2－10ax ＋25a ＋6ln x ， ∴f ′(x )＝2ax －10a ＋6x ＝2a (x －5)＋6x . 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝－8a ＋6.故曲线在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)．又点(0,6)在切线上，得6－16a ＝8a －6，∴a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x ，(x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x . 令f ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )的增区间为(0,2)，(3，＋∞)；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )的减区间为(2,3)．由此可知，当x ＝2时，f (x )取得极大值f (2)＝92＋6ln2. 当x ＝3时，f (x )取得极小值f (3)＝2＋6ln3.21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．(1)写出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式．解 (1)易求得S 1＝1＝22，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.(2)①当n ＝1时，S 1＝2×11＋1＝1，猜想成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，S k ＝2kk ＋1，则当n ＝k ＋1时， S k ＋1＝(k ＋1)2a k ＋1 ＝(k ＋1)2(S k ＋1－S k )，∴S k ＋1＝(k ＋1)2k 2＋2k ·2k k ＋1＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，这表明当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据①，②可知，对n ∈N *， S n ＝2n n ＋1，从而a n ＝S n n 2＝2n (n ＋1).22．(12分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k 2x 2(k ≥0)． (1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)，当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x，所以在区间(－1,0)上f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上f ′(x )<0，故f (x )的单调增区间为(－1,0)，单调减区间为(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk >0.匠心文档，专属精品。

【试卷】高二数学选修模块(选修2-1、2-2)综合测试题及答案

高二数学（选修2-1、2-2）综合测试题数学试卷(理科)姓名：班级：学号：一、选择题：（每题5分，共60分）1．复数i iz +-=22（i 是虚数单位）的虚部是（） A ．i 54 B ．i 54- C ．54 D ．54-2．曲线2-=x xy 在点)1,1(-处的切线方程为( )A ．2-=x y B. 23+-=x y C. 32-=x y D. 12+-=x y3. 已知0),2,4(),3,5,2(=⋅-=-=b a x b a 且，则=x ( )A ．-4 B. -6 C. -8 D. 6 4．过抛物线x y 42=的焦点作直线l ，交抛物线于B A ,两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则||AB 等于( )A ．10 B. 8 C. 6 D. 4 5. 设)('x f 是函数)(x f 的导函数，)('x f y =则)(x f y =图象可能为( )A B C D6．ax x y +=331在]1,0[上是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．0>a B ．0<a C ．0≥a D ．0≤aD 1CG D E A 1B 1C 17．动点到点)3,0(距离比它到直线2-=x 的距离大1，则动点轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线一支D ．抛物线 8. 如图长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角的大小是( )A.600B.300C.450D.9009．若函数b bx x x f 33)(3+-=在),(+∞-∞内存在极值，则( ) A.0<b B. 1<b C. 0>b D. 1>b 10．0)4(,0)()(,0,)(=-<'⋅+<f x f x x f x x f 且时当上的偶函数是定义在R ，则不等式0)(>x xf 的解集为( ) A ．),4()0,4(+∞- B ．)4,0()0,4( - C ．),4()4,(+∞--∞D ．)4,0()4,( --∞二、填空题：（每题5分，共20分） 13．抛物线241x y =的焦点坐标是 .14．函数x x x f 12)(3-=在区间]3,3[-上的最大值是16．若直线l 的方向向量为)2,0,1(=→a ，平面α则直线l 与平面α的关系为__________. 16. 下列正确结论的序号是①命题.01,:01,22<++∃>++∀x x x x x x 的否定是②命题“若0,0,0===b a ab 或则”的否命题是“00,0≠≠≠b a ab 且则若”③已知线性回归方程是,23ˆx y+=则当自变量的值为2时，因变量的精确值为7;④若]1,0[,∈b a ，则不等式4122<+b a 成立的概率是4π.15．若,a b 是正常数，a b ≠，,(0,)x y ∈+∞，则222()a b a b x y x y++≥+，当且仅当a bxy=时上式取等号. 利用以上结论，可以得到函数29()12f x x x=+-（1(0,)2x ∈）的最小值为．三、解答题：16．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=1。

高中数学学期综合测评(二)(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

学期综合测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列说法正确的是( ) A ．2＞2i B ．2＞(3i)2C ．2＋3i ＜3＋3iD ．2＋2i ＞2＋i 答案 B解析本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A ，C ，D ；而B 中(3i)2＝－9＜2，故选B.2．用反证法证明命题“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程分为三步：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线．则正确的顺序为( ) A ．①→②→③ B ．③→①→② C ．①→③→② D ．②→③→① 答案 B解析本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B .3．用反证法证明“若a ＋b ＋c<3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，应( ) A ．假设a ，b ，c 至少有一个大于1 B ．假设a ，b ，c 都大于1 C ．假设a ，b ，c 至少有两个大于1 D ．假设a ，b ，c 都不小于1 答案 D解析假设a ，b ，c 中至少有一个小于1不成立，即a ，b ，c 都不小于1，故选D . 4．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]答案 B解析 n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.5．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(0,1)D ．(1,2) 答案 B解析由题中图象知ef ′(x )≥1，即f ′(x )≥0时，x ≤2，∴y ＝f (x )的增区间为(－∞，2)．6．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，则a的值为( )A ．n 2B ．n nC ．2nD ．22n －2答案 B解析由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x3≥4，…，可推广为x ＋n n xn ≥n ＋1，故a ＝n n.7．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C.3D ．2 答案 B解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.故所求面积S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x＋1)d x －⎠⎛021d x ＝(－13x 3＋x 2＋x )||20－x 20＝43.故选B .8．设f(x)＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列各点一定在y 轴上的是( )A ．(b ，a )B ．(a ，c )C ．(c ，b )D ．(a ＋b ，c ) 答案 A解析 f′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b3a＝0，所以b ＝0.故选A.9．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1＜0，则不等式f (x 2)＜x 2＋1的解集为( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2) 答案 C解析令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1＜0，∴g (x )在R 上单调递减．由f (x 2)＜x 2＋1，得f (x 2)－x 2＜1，即g (x 2)＜1.又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)＜g (2)，∴x 2＞2，解得x ＞2或x ＜－ 2.故选C.10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤ 答案 C解析若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，若a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1.可用反证法证明：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.故选C.11．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*z的最小值为( )A.92B.322C.32D.94答案 B解析z*z＝|z|＋|z|2＝2a2＋b22＝a2＋b2＝a＋b2－2ab，又∵ab≤⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝9 4，∴－ab≥－94，z*z≥ 9－2×94＝92＝322.12．若0<x<π2，则2x与3sin x的大小关系( )A．2x>3sin x B．2x<3sin xC．2x＝3sin x D．与x的取值有关答案 D解析令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x.当cos x<23时，f′(x)>0，当cos x＝23时，f′(x)＝0，当cos x>23时，f′(x)<0.即当0<x<π2时，f(x)先递减再递增，而f(0)＝0，f⎝⎛⎭⎪⎫π2＝π－3>0.故f(x)的值与x取值有关，即2x与sin x的大小关系与x取值有关．故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．i是虚数单位，复数1－3i1－i的共轭复数是________．答案2＋i解析∵1－3i1－i＝1－3i1＋i1－i1＋i＝4－2i2＝2－i，∴1－3i1－i的共轭复数是2＋i.14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l216”，可猜想关于长方体的相应命题为________．答案表面积为定值S的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝⎛⎭⎪⎫S632解析正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 6 12，通过类比可知，表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫S 632.15．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调递减区间是________．答案 (0,2)解析由f ′(x )＝x 2－4x ＋3＜0得1＜x ＜3，即函数f (x )的单调递减区间为(1,3)．又∵函数f (1＋x )的图象是由f (x )的图象向左平移1个单位长度得到的，∴函数f (1＋x )的单调递减区间为(0,2)．16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．答案1191解析设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知复数z 满足|z |＝2，z 的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限．(1)求复数z ；(2)若m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，某某数m 的值．解 (1)设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝2，b ＝1.因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a ＜0，所以a ＝－1，b ＝1，所以z ＝－1＋i. (2)由(1)得z ＝－1＋i ，所以z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，所以m 2＋m ＋mz 2＝m 2＋m －2m i. 又因为m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，－2m ≠0，所以m ＝－1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，∴f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×49＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，∴a ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ， ∴f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＞0得x ＜－13或x ＞1，令f ′(x )＜0得－13＜x ＜1，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13和(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 19．(本小题满分12分)求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成的平面图形的面积．解作出曲线xy ＝1，直线x ＝y ，y ＝3的草图，如图：所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)．20．(本小题满分12分)若函数f(x)＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，某某数k 的取值X 围．解 f′(x )＝3ax 2－b . (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f′2＝12a －b ＝0，f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4，故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)283－43因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43<k <283.21．(本小题满分12分)水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．解设容器中水的体积在t 分钟时为V ，水深为h ，则V ＝20t ，又V ＝13πr 2h ，由图知r h ＝630，所以r ＝15h ，所以V ＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫152·h 3＝π75h 3，所以20t ＝π75h 3，所以h ＝31500πt ，于是h ′＝31500π·13·t － 23.当h ＝10时，t ＝23π，此时h ′＝5π，所以当h ＝10米时，水面上升速度为5π米/分．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n ＞0，n∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1± 3.又因为a n ＞0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *. 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k 2＋1a k －1＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，所以a k ＋1＝2k ＋1＋1－2k ＋1－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．。

高中数学综合检测(二)新人教版选修2-2-新人教版高二选修2-2数学试题

综合检测(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( ) A．完全归纳推理 B．归纳推理C．类比推理 D．演绎推理答案 B解析由特殊到一般的推理为归纳推理．故选B.2．复数21－i等于( ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－I 答案 A解析21－i＝2(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2(1＋i)2＝1＋i，故选A.3．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于( ) A．10 B．10ln 10＋lg eC.10ln 10＋ln 10 D．11ln 10答案 B解析∵f′(x)＝10x ln 10＋1x ln 10，∴f′(1)＝10ln 10＋lg e，故选B.4．若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理出错在( )A．大前提 B．小前提C．推理形式 D．没有出错答案 A5．观察下列数表规律则数2 007的箭头方向是( )答案 D解析因上行奇数是首项为3，公差为4的等差数列，若2 007在上行，则2 007＝3＋(n －1)·4⇒n ＝502∈N *.故2 007在上行，又因为在上行奇数的箭头为→a n ，故选D. ↓6．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5D ．以上都不对答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a －b ＝01－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11.经检验a ＝3，b ＝－3不合题意，应舍去． 7．给出下列命题：①ʃa b d x ＝ʃba d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )； ②ʃ0－1x 2d x ＝ʃ10x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2，其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ʃb a d t ＝b －a ≠ʃa b d x ＝a －b ，故①错．y ＝x 2是偶函数，其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②对．对于③有S ＝2ʃπ0sin x d x ＝4.故③错．故选B. 8．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >12(n >1，n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增加的代数式是( )A.12k ＋2B.12k ＋1－12k ＋2 C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋1答案 B解析从n ＝k 到n ＝k ＋1左边增加了12k ＋1＋12k ＋2减少了1k ＋1，∴需增加的代数式为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12k ＋2.9．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A —BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AG GD ＝2类比AOOM＝3，故选C. 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值X 围为( )A ．(－1,2)B ．(－1，12)C ．(12，2) D ．(－2,1)答案 A11．设x ，y ，z 都是正数，则三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x的值( )A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2 答案 C解析假设这三个数都小于2，即x ＋1y <2，y ＋1z <2，z ＋1x<2，则(x ＋1y )＋(y ＋1z )＋(z ＋1x)<6，又由基本不等式x >0，y >0，z >0时，(x ＋1y )＋(y ＋1z )＋(z ＋1x)≥2x ·1x＋2y ·1y＋2z ·1z＝6，与假设矛盾．故选C.12．下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( )A ．(π2，3π2) B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2) D ．(2π，3π)答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝________. 答案 i解析设z ＝a ＋b i ，则(a ＋b i)(1＋i)＝1－i ，即a －b ＋(a ＋b )i ＝1－i.由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.所以z ＝－i ，z ＝i.14．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216”，可猜想关于长方体的相应命题为________________________________________________________________________.答案表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为(S 6)32解析正方形有4条边，正方体有6个面，正方形的面积为边长的平方，正方体的体积为边长的立方．由正方体的边长为(S 6)12，通过类比可知，表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为(S 6)32.15.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示．则下列说法中不正确的编号是________．(写出所有不正确说法的编号)①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③c ＝6；④当x ＝1时函数取得极大值．答案 ①解析由y ＝f ′(x )的图象可知，x <1时，f ′(x )>0,1<x <2时f ′(x )<0，x >2时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)及(2，＋∞)上为增函数，在(1,2)上为减函数，因此f (x )有两个极值点，一个极小值点x ＝2，一个极大值点x ＝1，故①错误，②④正确．又因为f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根为1和2. 所以c3＝1×2⇒c ＝6，故③正确．16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．1 1212 131413 14171714 1511111111115答案1191解析设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n ＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i )2.求：(1)z 1＋z 2；(2)z 1·z 2；(3)z 1z 2. 解 z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝5(3－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i ) ＝5－15i5＝1－3i. (1)z 1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i. (3)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i.18．(12分)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，试求π21-⎰f (x )d x .解π21-⎰f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋π20⎰f (x )d x＝ʃ0－1x 2d x ＋π20⎰(cos x －1)d x＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|π20 ＝13＋1－π2＝43－π2. 19．(12分)已知a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴(a 2＋19)＋(b 2＋19)＋(c 2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132，c ·13≤c ＋132，三式相加得a3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3.20．(12分)如图，已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a . 求证：b 与c 是异面直线．证明假设b ，c 不是异面直线，即b 与c 共面，设b 与c 确定的平面为γ，则γ∩α＝b ，γ∩β＝c .∵a ∥c ，∴a ∥γ.又∵a ⊂α，且α∩γ＝b ，∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾．因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线．21．(12分)已知函数f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－(m ＋2)x ＋32－m (m 为常数)，(1)当m ＝4时，求函数的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )有两个极值点，某某数m 的取值X 围．解依题意得，函数的定义域为(1，＋∞)． (1)当m ＝4时，f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－6x －52.f ′(x )＝4x －1＋x －6＝x 2－7x ＋10x －1＝(x －2)(x －5)x －1.令f ′(x )>0，解得x >5，或1<x <2. 令f ′(x )<0，解得2<x <5.可知函数f (x )的单调递增区间为(1,2)和(5，＋∞)，单调递减区间为(2,5)． (2)f ′(x )＝4x －1＋x －(m ＋2) ＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6x －1若函数y ＝f (x )有两个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m ＋3)]2－4(m ＋6)>0，1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1.解得m >3.22．(12分)是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对一切n ∈N*都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明．解若存在常数a ，b 使等式成立，则将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2.得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2对于一切n ∈N *都成立．证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k 2＋k 4k ＋2，当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k ＋12k ＋1·(k 2＋k ＋12k ＋3) ＝k ＋12k ＋1·2k 2＋5k ＋22(2k ＋3)＝k ＋12k ＋1·(2k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)4k ＋6＝(k ＋1)2＋(k ＋1)4(k ＋1)＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立，综上所述，等式对任何n ∈N *都成立．。

高中课标数学选修22综合测试题3 试题(共7页)

高中新课标数学(shùxué)选修〔2-2〕综合测试题一、选择题1．假设函数在内有极小值，那么〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ａ2．理想状态下，质量为5千克的物体按规律作直线运动，其中以厘米为单位，以秒为单位，那么物体受到的作用力为〔〕Ａ．30牛Ｂ．牛Ｃ．牛Ｄ．6牛答案：Ｃ3．，，那么实数，的大小关系为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．大小关系无法确定答案：Ｂ4．计算的结果是〔〕Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．答案：Ｃ5．一共轭的两个复数之和大于2的一个充要条件为〔〕Ａ．两复数(fùshù)的实部都大于1Ｂ．两复数的实部都大于2Ｃ．两复数的虚部都大于1Ｄ．两复数的虚部都大于2答案：Ａ6．是一个关于自然数的命题，假设真，那么真，现不真，那么：①不真；②不真；③(21)FF真；④不真；⑤(18)真．其中正确的结论为〔〕Ａ．②④Ｂ．①②Ｃ．③⑤Ｄ．①⑤答案：Ａ7．假设函数在区间上的最大值为2，那么它在该区间上的最小值为〔〕Ａ．Ｂ．7 Ｃ．10 Ｄ．答案：Ａ8．集合，，且，那么实数的值是〔〕Ａ．Ｂ．2-或者4Ｃ．2-或者Ｄ．2-或者5答案(dáàn)：Ｃ9．假设函数的递减区间为，那么a的取值范围是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．(01)，答案：Ａ10．以下四条曲线〔直线〕所围成的区域的面积是〔〕Ａ．；Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．．答案：Ａ11．抛物线在点处的切线与其平行直线间的间隔是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ12．对于任意正整数n，定义“n〞如下：当n是偶数时，，当n是奇数时，如今有如下四个命题：①；②；③的个位数是0；④的个位数是5．其中正确(zhèngquè)的命题有〔〕Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个答案：Ｄ二、填空题13．在等差数列中，我们有，类比等差数列，在等比数列{}a中与之间的关系为．n答案：14．周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，那么圆柱体积的最大值为．答案：15.假如复数z满足|z+i|+|z i|=2，那么|z+i+1|的最小值是．答案：116.设是可导函数，那么的导数为．答案：三、解答题：本大题一一共(y īg òng)5小题，一共74分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 17.用数学归纳法证明：．证明：用数学归纳法证明：2222121(1)1234(1)(1)2n n n n n --+-+-++-=-··．〔1〕当时，左边，右边，等式成立．〔2〕假设当时，等式成立，即．那么，即当时，等式也成立．根据〔1〕和〔2〕可知等式对任何都成立．18.如图，直线分抛物线与x 轴所围图形为面积相等的两局部，求k 的值.．解：抛物线2y x x =-与轴两交点的横坐标，，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积．又由此可得，抛物线2y x x =-与y kx =两交点的横坐标为，，所以，，又知，所以(suǒyǐ)，，于是，．9km 处，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站中，假如送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸可以使抵达渔站的时间是最？解：如图，设渔艇停泊在处，海岸线〔为渔站〕，于．，．设此人在处登岸，，那么，，，送信所需时间是，．令时，解得．，〔舍去〕．答：此人在距渔站3km处登岸可使抵达渔站的时间是最短．z 满足，且(3+4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，假设，求z和m的值.．解：设，由5z ，得，，又因为在复平面上对应的点在第二、四象限平分线上，所以，，得，由或者(hu òzh ě)即或者．当27222z i =+时，由，即，得或者．当27222z i =--时，由252z m -=，即，得0m =或者．，一个粒子在第一象限及坐标轴上运动，在第一秒内它从原点运动到(01)，，然后它接着按图示在x 轴、y 轴的平行方向来回运动，且每秒挪动一个单位长度，求2021秒时，这个粒子所处的位置.解：第一层有三个整点〔除原点〕一共用3秒；第二层有五个整点一共用5秒；第三层有七个整点一共用7秒，，第n 层一共有个整点，一共用21n +秒；假设第2021秒时粒子运动在第层，那么前n 层一共用秒数，由此得最大，且当43n =时，，于是，第2021秒时，粒子在第44层，且在第71个出现，根据规律我们知道第44层将从点开场，那么一共71个．因此，第2021秒时，这个粒子所处的位置为．内容总结（1）第二层有五个整点一共用5秒。

高中二年级数学选修2-2、2-3综合测试题二

高二数学选修2-2、2-3测试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．过函数x y sin =图象上点O （0，0），作切线，则切线方程为（）A ．x y =B ．0=yC ．1+=x yD ．1+-=x y 2．设()121222104321x a x a x a a x x x ++++=+++ ,则=0a ( )A ．256B ．0C ．1-D ．13．定义运算a cad bc b d =-，则i i 12(i 是虚数单位)为 ( ) A ．3 B ．3- C ．12-i D ．22+i 4．任何进制数均可转换为十进制数,如八进制()8507413转换成十进制数，是这样转换的：()1676913818487808550741323458=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,十六进制数1444706165164163162)6,5,4,3,2(23416=+⨯+⨯+⨯+⨯=,那么将二进制数()21101转换成十进制数，这个十进制数是（）A ．12B ．13C ．14D ．155．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n 条直线把平面分为)(n f 部分，则2)1(1)(++=n n n f 。

”在证明第二步归纳递推的过程中，用到)()1(k f k f =++。

( ) A ．1-k B ．k C ．1+k D ．2)1(+k k6.记函数)()2(x f y =表示对函数)(x f y =连续两次求导,即先对)(x f y =求导得)('x f y =,再对)('x f y =求导得)()2(x fy =,下列函数中满足)()()2(x f x f=的是（）A.x x f =)(B.x x f sin )(=C.x e x f =)(D.x x f ln )(=7．甲、乙速度v 与时间t 的关系如下图，)(b a 是b t =时的加速度，)(b S 是从0=t 到b t =的路程，则)(b a 甲与)(b a 乙，)(b S 甲与)(b S 乙的大小关系是 ( ) A ．)()(b a b a 乙甲>，)()(b S b S 乙甲>B ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲< C ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲>D ．)()(b a b a 乙甲<，)()(b S b S 乙甲<8．如图，蚂蚁从A 沿着长方体的棱以的方向行走至B ，不同的行走路线有( )A ．6条B ．7条C ．8条D ．9条')(x f y =的图象是（）B第8题图10.设{}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=M ，由M 到M 上的一一映射中，有7个数字和自身对应的映射个数是 ( )A.120B.240C.710D.360第Ⅱ卷（非选择题共100分）二.填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）11．公式揭示了微积分学中导数和定积分之间的在联系;提供了求定积分的一种有效方法。

人教版数学高二A版选修2-2练习模块综合评价(二)

模块综合评价(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．在复平面内，复数z ＝2i 1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以z 在复平面内对应的点位于第四象限．答案：D2．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i解析：法一设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则2z ＋z ＝2a ＋2b i ＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i.由复数相等的定义，得3a ＝3，b ＝－2，解得a ＝1，b ＝－2，所以z ＝1－2i.法二由已知条件2z ＋z ＝3－2i ①，得2z ＋z ＝3＋2i ②，解①②组成的关于z ，z 的方程组，得z ＝1－2i.故选B.答案：B3．设f (x )＝10x ＋lg x ，则f ′(1)等于( )A ．10B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10解析：f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e.答案：B4．已知函数f (x )＝x 2＋2f ′(1)ln x ，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′（1）x，令x ＝1得f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝－2.即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率k ＝－2，故选D.答案：D5．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．答案：B6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值，所以a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.答案：D7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( )A ．10B ．14C ．13D ．100解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B 8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为( )A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.答案：D9．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax解析：设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝x 2－2ax ，得交点坐标为(0，0)，(2a ＋k ，2ak ＋k 2)，图形面积S ＝∫2a ＋k 0[kx －(x 2－2ax )]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33|2a ＋k 0＝（k ＋2a ）32－（k ＋2a ）33＝（k ＋2a ）36＝92a 3，所以k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax ，故应选B.答案：B10．证明不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝ k 2＋3k ＋2≤k 2＋3k ＋2＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1时验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.答案：D11.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43 C ．2 D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2.故所求面积S ＝－∫0－2(x 2＋2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2|0－2＝43. 答案：B12．已知函数f (x )＝x ln x ，若对任意的x ≥1都有f (x )≥ax －1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．不能确定解析：由f (x )≥ax －1在区间[1，＋∞]上恒成立，得不等式a ≤ln x ＋1x 在区间[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x .当x ≥1时，g ′(x )＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ≥0，所以g (x )在区间[1，＋∞]上单调递增，所以g (x )的最小值是g (1)＝1，故a 的取值范围是(－∞，1]．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．解析：因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.答案：514．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AO →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．解析：将“△ABC ”类比为“四面体A -BCD ”，将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”，于是有类比结论：在四面体A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)．答案：在四面体A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)15．由抛物线y ＝12x 2，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积是________．解析：如图所示，S ＝∫3112x 2d x ＝ ⎪⎪⎪16x 331＝16(33－13)＝133.答案：13316．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)，在[－3，3]上有最小值3，那么在[－3，3]上f (x )的最大值是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)，当x ∈[－3，－2)和x ∈(0，3]时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(－2，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以极大值为f (－2)＝a ＋4，极小值为f (0)＝a ，又f (－3)＝a ，f (3)＝54＋a ，由条件知a ＝3，所以最大值为f (3)＝54＋3＝57.答案：57三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3.－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.知z 的实部为正数，虚部为负数，所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎨⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2），因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1，所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)，所以复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23； (2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12. 证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，只需证明1a b ＋2＋1b a＋2≤23，只需证明b a ＋2b ＋a b ＋2a ≤23，即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23，即证(a －b )2≥0，这显然成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23. (2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤12，所以2a ≤b ＋2，2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4，这与a ＋b >4矛盾，所以af (b )，bf (a )中至少有一个大于12. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x ＋2(x 2－3)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )的极值．解：(1)函数f (x )＝e x ＋2(x 2－3)，则f ′(x )＝e x ＋2(x 2＋2x －3)＝e x ＋2(x ＋3)(x －1)，故f ′(0)＝－3e 2，又f (0)＝－3e 2，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＋3e 2＝－3e 2(x －0)，即3e 2x ＋y ＋3e 2＝0.(2)令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－3，如下表：↗ ↘ ↗所以当x ＝－3时，函数取极大值，极大值为f (－3)＝6e，当x ＝1时，函数取极小值，极小值为f (1)＝－2e 3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x . (1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值，最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3图象的下方．解：(1)由f (x )＝12x 2＋ln x 有f ′(x )＝x ＋1x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x )>0，所以f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.f (x )min ＝f (1)＝12. (2)设F (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝（1－x ）（1＋x ＋2x 2）x，当x ∈[1，＋∞)时，F ′(x )<0，且F (1)＝－16<0故x ∈[1，＋∞)时F (x )<0，所以12x 2＋ln x <23x 3，得证． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a ＞0)．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ，所以f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x(x ＞0)，f (1)＝－3，f ′(1)＝0，所以切线方程为y ＝－3.(2)f ′(x )＝2x 2－2（a ＋1）x ＋2a x ＝2（x －1）（x －a ）x(x ＞0)，令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，当0＜a ＜1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，在x ∈(a ，1)时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a ，1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2（x －1）2x≥0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞1时，在x ∈(0，1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，在x ∈(1，a )时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调增区间为(0，1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点，所以f (x )在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，所以f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，解得a ≥e 2－2e 2e －2，所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≥e 2－2e 2e －2. 22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．(1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式．解：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1.所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1，所以a k ＋1＝2（k ＋2）（k ＋1），所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2（k ＋1）k ＋2＝2（k ＋1）（k ＋1）＋1.所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证．所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．由S n ＝n 2a n ，得2n n ＋1＝n 2a n ，所以a n ＝2n （n ＋1）.。

人教版数学高二-人教A版选修2-2模块综合检测(二)

模块综合检测(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(辽宁高考)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A z ＝52－i ＋2i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i.2．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋ab ＝6ab (a ，b 均为正实数)，则a ＋b ＝( )A ．40B ．41C ．43D ．47 解析：选B 观察下列等式2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，第n 个应该是 n ＋1＋n ＋1(n ＋1)2－1＝(n ＋1)n ＋1(n ＋1)2－1，则第5个等式中：a ＝6，b＝a 2－1＝35，a ＋b ＝41.3．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②①解析：选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题(①所有的中国人都坚强不屈)”，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②雅安人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③雅安人一定坚强不屈)”．故选A.4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则∫21f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23D.16解析：选A 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是∫21f (－x )d x ＝∫21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 221＝56. 5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).6．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＋b ，∴f ′(1)＝3＋b ＝4， ∴b ＝1.∴g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2. 7．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析：选B q ＝ ab ＋mad n ＋nbcm ＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .8．在[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝3x 2＋32x 在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是()A.134 B ．4 C ．8D.54解析：选B 因为g (x )＝3x 2＋32x，且x ∈[12，2]，则g (x )≥3，当且仅当x ＝1时，g (x )min ＝3.又f ′(x )＝2x ＋p ， ∴f ′(1)＝0，即2＋p ＝0，得p ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x ＋q .又f (x )min ＝g (1)＝3，∴1－2＋q ＝3，∴q ＝4. ∴f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，x ∈12，2.∴f (x )max ＝f (2)＝4.9．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，32 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0f ′(1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.10．设f (x )＝kx －kx －2ln x ，若f (x )在其定义域内为单调增函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[－1，＋∞)解析：选B 由f ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2－2x ＋kx 2，令h (x )＝kx 2－2x ＋k ，要使f (x )在其定义域(0，＋∞)上单调递增，只需h (x )在(0，＋∞)内满足h (x )≥0恒成立．由h (x )≥0得kx 2－2x ＋k ≥0，即k ≥2x x 2＋1＝2x ＋1x在x ∈(0，＋∞)上恒成立，∵x >0，∴x ＋1x ≥2.∴2x ＋1x ≤1.∴k ≥1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为____________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6<7.∴a <b .答案：a <b12．复数z ＝i1＋i(其中i 为虚数单位)的虚部是________．解析：化简得z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ，则虚部为12.答案：1213．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a (x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.答案：314．已知f (x )＝xe x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.解析：观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，前边是(－1)n ，括号里是x －n ，故f n (x )＝(－1)n (x －n )e x .答案：(－1)n (x －n )e x三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)．则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2－4k )＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2－1] ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]．即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式都成立．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a3x 3＋x 2－2ax －1，f ′(－1)＝0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)如果对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，求b 的取值范围．解：(1)因为f ′(x )＝ax 2＋2x －2a ，因为f ′(－1)＝0，所以a ＝－2.所以f ′(x )＝－2x 2＋2x ＋4＝－2(x 2－x －2)＝－2(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.随着x 的变化，f ′(x )和f (x )的变化情况如下：(2)因为对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，即bx ＋3≥－23x 3＋x 2＋4x －1，所以b ≤－23x 2＋x ＋4－4x .设h (x )＝－23x 2＋x ＋4－4x .则h ′(x )＝－43x ＋1＋4x2，因为x ∈[－2,0)，所以－43x >0，4x 2>0.所以h ′(x )>0.所以h (x )在[－2,0)上单调递增．所以h min (x )＝h (－2)＝43.即b ≤43.故b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，43.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m ·⎝⎛⎭⎫x －1x ＋2ln x (m ∈R)． (1)若m ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)当m ＝1时，函数f (x )＝x －1x ＋2ln x ，函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x 2＋2x ＋1x 2，∴f (1)＝0，f ′(1)＝4，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为4x －y －4＝0.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝mx 2＋2x ＋mx 2，当m ≥0时，f ′(x )>0在x ∈(0，＋∞)时恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当m <0时，①当m ≤－1时，f ′(x )≤0在x ∈(0，＋∞)时恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ②当－1<m <0时，由f ′(x )＝0得x 1＝－1＋1－m 2m ，x 2＝－1－1－m 2m，且0<x 1<x 2， x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )减增减所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1－m 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1－m 2，＋∞，＋∞上单调递减，f (x )在上单调递增．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 3－x －x . (1)判断f (x )x 的单调性；(2)求函数y ＝f (x )的零点的个数；(3)令g (x )＝ax 2＋ax f (x )＋x ＋ln x ，若函数y ＝g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 内有极值，求实数a 的取值范围．解：(1)设φ(x )＝f (x )x ＝x 2－1－1x(x >0)，φ′(x )＝2x ＋12x 3>0，所以y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知φ(1)＝－1，φ(2)＝3－12>0且y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，所以y ＝φ(x )在(1,2)上有一个零点，又f (x )＝x 3－x －x ＝xφ(x )，显然x ＝0是f (x )＝0的一个零点，所以y ＝f (x )在[0，＋∞)上有两个零点．(3)因为g (x )＝ax 2＋axf (x )＋x ＋ln x ＝ax 2＋ax x 3－x ＋ln x ＝ax －1＋ln x ，所以g ′(x )＝－a(x －1)2＋1x ＝x 2－(2＋a )x ＋1(x －1)2x，设h (x )＝x 2－(2＋a )x ＋1，则h (x )＝0有两个不同的根x 1，x 2，且一根在⎝⎛⎭⎫0，1e 内，不妨设0<x 1<1e，由于x 1·x 2＝1，所以，x 2>e ，由于h (0)＝1，则只需h ⎝⎛⎭⎫1e <0，即1e 2－(2＋a )1e ＋1<0，解得a >e ＋1e －2，即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ＋1e －2，＋∞.。