[k12精品]2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十五导数与函数的单调性北师大版选修1_1

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20172018学年高中数学课时跟踪训练导数的概念及其几何意义北师大版选修11

课时跟踪训练(十二) 导数的概念及其几何意义1．若函数y ＝f (x )在x ＝1处的导数为1，则0lim x ∆→ f 1＋x －f 1x等于( ) A ．2B ．1 C.12 D.142．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)等于( )A ．1B ．2C ．4D ．63.已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定4．已知曲线f (x )＝－2x和点M (1，－2)，则曲线在点M 处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋45．若函数y ＝f (x )在点(4,3)处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则f ′(4)＝________.6．一运动物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，则该物体的初速度是__________m/s.7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ，x ≥0，1＋x 2，x ＜0，求f ′(1)·f ′(－1)的值．8．求曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程．答案1．选B 0lim x ∆→ f 1＋x －f 1x＝f ′(1)＝1. 2．选C 可得f ′(1)＝0lim x ∆→ f 1＋Δx －f 1Δx＝0lim x ∆→ [a 1＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx ＝0lim x ∆→ a Δx Δx＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，故a ＋b ＝2，即b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.3．选B f ′(x A )与f ′(x B )分别为A ，B 处切线的斜率，设A ，B 处切线的倾斜角分别为α，β，则π2<α<β<π.∴tan α<tan β即f ′(x A )<f ′(x B )．4．选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋21Δx ＝21＋Δx， ∴当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.∴直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.5．解析：因为直线x ＋2y －1＝0的斜率k ＝－12，所以f ′(4)＝－12. 答案：－126．解析：物体的初速度即为t ＝0时的瞬时速度，∴s ′(0)＝lim Δt →0s 0＋Δt －s 0Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. 答案：37．解：当x ＝1时，Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1. 由导数的定义，得f ′(1)＝0lim x ∆→ 11＋Δx ＋1＝12. 当x ＝－1时，Δy Δx＝f －1＋Δx －f －1Δx ＝1＋－1＋Δx 2－1－－12Δx ＝Δx －2.由导数的定义，得f ′(－1)＝0lim x ∆→ (Δx －2)＝－2. 所以f ′(1)·f ′(－1)＝12×(－2)＝－1. 8．解：设点(1,1)处的切线斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0 3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3Δx＝lim Δx →0 [3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， ∴点(1,1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.。

(浙江专版)2017_2018学年高中数学课时跟踪检测(九)函数的单调性新人教A版必修1

课时跟踪检测（九）函数的单调性层级一学业水平达标1．如图是函数y ＝f (x )的图象，则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图象，可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A 因为－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减，反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上递减，二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．函数y ＝1x的单调递减区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)解析：选C 函数y ＝1x 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y ＝1x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上分别是减函数．4．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则有( ) A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a >12D ．a <12解析：选D 函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是单调减函数，则2a －1<0，即a <12.故选D.5．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)解析：选C 分别作出f (x ) 与g (x )的图象得：f (x )在[0，＋∞)上递增，g (x )在(－∞，1]上递增，选C.6．若f (x )在R 上是减函数，则f (－1)________f (a 2＋1)(填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．解析：∵f (x )在R 上是减函数，∴对任意x 1，x 2，若x 1<x 2均有f (x 1)>f (x 2)．又∵－1<a 2＋1，∴f (－1)>f (a 2＋1)．答案：>7．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 8．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，∴a －12≤12，即a ≤2.答案：(－∞，2]9．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0，又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0，于是f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．10．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2 2＋3，x >1的图象，并指出函数f (x )的单调区间．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2 2＋3，x >1的图象如图所示．由图可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －2 2＋3，x >1的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．层级二应试能力达标1．若函数f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性解析：选D 函数在区间(a ，b )∪(b ，c )上无法确定单调性．如y ＝－1x在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．2．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( ) ①y ＝|x |＋1；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x|x |.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选C ①y ＝|x |＋1＝－x ＋1(x <0)在(－∞，0)上为减函数；②y ＝|x |x＝－1(x <0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；③y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞，0)上是增函数；④y ＝x ＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞，0)上也是增函数．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －3 x ＋5，x ≤1，2ax ，x >1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]解析：选D 依题意得实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，2a >0，a －3 ＋5≥2a ，解得0<a ≤2.4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (2)<f (1)B ．f (1)<f (2)<f (3)C ．f (2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (2)解析：选A 对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0，则x 2－x 1与f (x 2)－f (x 1)异号，则f (x )在R 上是减函数．又3>2>1，则f (3)<f (2)<f (1)．故选A.5．若函数y ＝－b x在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：设0<x 1<x 2，由题意知f (x 1)－f (x 2)＝－b x 1＋b x 2＝b x 1－x 2x 1x 2>0.∵0<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0， ∴b <0.答案：(－∞，0)6．函数y ＝－(x －3)|x |的单调递增区间是________．解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0，作出其图象如图，观察图象知单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 7．已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围．解：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，解得0<a <1.①又f (x )在(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a >2a －1，即a <23，②由①②可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.8．设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．解：在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝ x 2＋a x 1＋b － x 2＋b x 1＋ax 1＋b x 2＋b＝b －a x 2－x 1x 1＋b x 2＋b.∵a >b >0，x 1<x 2，∴b －a <0，x 2－x 1>0.只有当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，函数才单调．当x 1<x 2<－b 或－b <x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)<0.∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数． ∴y ＝f (x )的单调减区间是(－∞，－b )和(－b ，＋∞)，无单调增区间．。

新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测十五导

课时跟踪检测(十五) 导数与函数的单调性一、题点全面练1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]D ．[－2,4]解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x，∵函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.4．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x－x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A ∵函数f (x ＋1)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________________．解析：由f (x )图象特征可得，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0, 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上f ′(x )＜0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f x ⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 7．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x－a ＞0，即a ＜2x －e x有解．设g (x )＝2x －e x，则g ′(x )＝2－e x，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2.答案：(－∞，2ln 2－2)8．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x－ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x－e x －1， ∴f ′(x )＝e x－e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x－ax －1，∴f ′(x )＝e x－a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( )A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，又∵f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －1x＜0，得0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－x －x －x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3) (二)素养专练——学会更学通4.[直观想象]已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.5．[逻辑推理]已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)，所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，126．[逻辑推理、数学运算]已知f (x )＝ax －1x，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程； (2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性．解：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)，所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1. (2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x－ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x ＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122－14.①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a2a＞0，且x 2＞x 1，故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，1＋1－4a 2a 上单调递减；④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＜0， F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，＋∞上单调递减． (三)难点专练——适情自主选7．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax＋2x ，其中a ∈R. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝2－1x，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝12处取得极小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋ln 2，无极大值．(2)由题意知，f ′(x )＝a －1x，g ′(x )＝a e ax＋2，①当a ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增，故必存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上单调递增；②当a ＝0时，f ′(x )＝－1x＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；③当a ＜0时，f ′(x )＝a －1x＜0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，＋∞上单调递增，若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上有相同的单调性，则有1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＞0，解得a ＜－2.综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．。

高中数学课时跟踪检测(五)函数的单调性与导数新人教A版选修2_2

课时跟踪检测(五) 函数的单调性与导数一、选择题1．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)和(1，＋∞)D ．(－3,1) 解析：选D y ′＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，令(－x 2－2x ＋3)e x＞0，由于e x ＞0，则－x 2－2x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．2．y ＝x ln x 在(0,5)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上增 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上减解析：选C ∵y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1，∴当0＜x ＜1e时，ln x ＜－1，即y ′＜0， ∴y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上为减函数．当1e＜x ＜5时，ln x ＞－1，即y ′＞0， ∴y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上为增函数． 3．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上的增函数的充要条件是( )A ．b 2－3ac >0B ．b >0，c >0C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0 解析：选D ∵a >0，f (x )为R 上的增函数，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0对x ∈R 恒成立，∴Δ＝(2b )2－4×3a ×c ＝4b 2－12ac ≤0，∴b 2－3ac ≤0.4．已知函数f (x )，g (x )在区间[a ，b ]上均有f ′(x )＜g ′(x )，则下列关系式中正确的是( )A ．f (x )＋f (b )≥g (x )＋g (b )B ．f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )C ．f (x )≥g (x )D ．f (a )－f (b )≥g (b )－g (a )解析：选B 据题意，由f ′(x )＜g ′(x )得f ′(x )－g ′(x )＜0，故F (x )＝f (x )－g (x )在[a ，b ]上为单调递减函数，由单调性知识知，必有F (x )≥F (b )，即f (x )－g (x )≥f (b )－g (b )，移项整理得f (x )－f (b )≥g (x )－g (b )．5．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如下图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0<x <1时，xf ′(x )<0，∴f ′(x )<0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此A 、B 、D 选项错误，故选C.二、填空题6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1＜x ＜2是不等式f ′(x )＜0的解，即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6. 答案：－32－6 7．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0，则cos x ＜12.又∈(0，π)，解得π3＜x ＜π，所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫π3，π. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π 8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)三、解答题9．若函数f (x )＝ax 3＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：f ′(x )＝3ax 2＋1.①当a ＝0时，f (x )＝x －5在R 上是单调递增的；②当a ≠0时，f ′(x )＝0的根为有限个，因此要使函数f (x )在R 上单调递增，只需f ′(x )＝3ax 2＋1≥0在R 上恒成立即可，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0－12a ≤0，所以a >0. 综上可知，实数a 的取值范围是[0，＋∞)．10．设函数f (x )＝x (e x－1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时f (x )≥0，求实数a 的取值范围．解：(1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2， f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f (x )＝x (e x－1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0；若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )<0，即f (x )<0，不符合题意，故实数a 的取值范围为(－∞，1]．。

课时跟踪检测导数与函数的单调性(重点高中)

课时跟踪检测（十四）导数与函数的单调性(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－43，0 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(0，＋∞) 解析：选C ∵f ′(x )＝3x 2－2mx ，∴f ′(－1)＝3＋2m ＝－1，解得m ＝－2，由f ′(x )＝3x 2＋4x ＞0，解得x ＜－43或x ＞0，即f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞)，故选C. 2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．3.定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，已知函数y ＝2f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的单调递减区间为( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞) 解析：选D 结合图象可知，当x ∈(－∞，2]时，2f′(x )≥1，即f ′(x )≥0；当x ∈(2，＋∞)时，2f ′(x )＜1，即f ′(x )＜0；故函数y ＝f (x )的单调递减区间为(2，＋∞)．4．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A f ′(x )＝32x 2＋a ，当a >0时，f ′(x )>0，即a >0时，f (x )在R 上单调递增，由f (x )在R 上单调递增，可得a ≥0.故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．5.(2017·四川乐山一中期末)f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(－∞，2)D ．(－∞，2]解析：选D 由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x ，∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －a x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，∵x ∈(1，＋∞)时，2x 2＞2，∴a ≤2.故选D.6.函数f (x )＝x 4＋54x－ln x 的单调递减区间是________．解析：因为f (x )＝x 4＋54x －ln x ，所以函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜5，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,5)．答案：(0,5)7．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，则当a ＜0时，f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＜0时，因为f ′(x )＝a ＋1x ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1a x ，所以当x ≥－1a 时，f ′(x )≤0，当0＜x ＜－1a时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫0，－1a ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞ 8．若f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫π2，f (2)的大小关系为______________________．解析：函数f (x )为偶函数，因此f (－3)＝f (3)．又f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，f ′(x )≤0.所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (2)＞f (3)＝f (－3)．答案：f (－3)＜f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫π29.设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x .令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x.令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．10.已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1，∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1.(2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．B 级——拔高题目稳做准做1.(2018·张掖一诊)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )＞1，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )＞32－2sin 2x 2的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 B.⎝⎛⎭⎫－π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫0，π3 D.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12＞0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0， ∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )， ∴f (2cos x )＞32－2sin 2x 2，即g (2cos x )＞0，∴2cos x ＞1. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3. 2．定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( )A ．8<f (2)f (1)<16 B ．4<f (2)f (1)<8 C ．3<f (2)f (1)<4 D ．2<f (2)f (1)<3 解析：选B ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0， ∴y ＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (2)22>f (1)12，即f (2)f (1)>4. ∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0， ∴y ＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8. 综上，4<f (2)f (1)<8. 3.已知定义在R 上的可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0的解集为________．解析：由题图可知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x )<0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)4.已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x (a >0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1. 答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) 5.(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1.∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数，∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0，即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立．∴a ≥－1－ln x .令h (x )＝－ln x －1，∴a ≥h (x )max ，当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)，∴h (x )∈(－∞，－3]，∴a ≥－3，即实数a 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)∵2f (x )≥－x 2＋mx －3，即mx ≤2x ln x ＋x 2＋3，又x ＞0，∴m ≤2x ln x ＋x 2＋3x在x ∈(0，＋∞)上恒成立．记t (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x ＝2ln x ＋x ＋3x. ∴m ≤t (x )min .∵t ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2，令t ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－3(舍去)．当x ∈(0,1)时，t ′(x )＜0，函数t (x )在(0,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )＞0，函数t (x )在(1，＋∞)上单调递增．∴t (x )min ＝t (1)＝4.∴m ≤t (x )min ＝4，即m 的最大值为4.6.已知x ＝1是f (x )＝2x ＋b x ＋ln x 的一个极值点．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)设函数g (x )＝f (x )－3＋a x，若函数g (x )在区间[1,2]内单调递增，求a 的取值范围．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2－b x 2＋1x. ∵x ＝1是f (x )＝2x ＋b x ＋ln x 的一个极值点，∴f ′(1)＝0，即2－b ＋1＝0.解得b ＝3，经检验，适合题意，∴b ＝3.∵f ′(x )＝2－3x 2＋1x ＝2x 2＋x －3x 2，解f ′(x )≤0，得0＜x ≤1.∴函数f (x )的单调递减区间为(0,1]．(2)g (x )＝f (x )－3＋a x ＝2x ＋ln x －a x (x ＞0)，g ′(x )＝2＋1x ＋a x 2(x ＞0)． ∵函数g (x )在[1,2]上单调递增，∴g ′(x )≥0在[1,2]上恒成立，即2＋1x ＋a x 2≥0在[1,2]上恒成立， ∴a ≥－2x 2－x 在[1,2]上恒成立，∴a ≥(－2x 2－x )max ，x ∈[1,2]．∵在[1,2]上，(－2x 2－x )max ＝－3，∴a ≥－3，即a 的取值范围为[－3，＋∞)．。

学年高中数学课时跟踪训练十五导数与函数的单调性北师大版选修_

课时跟踪训练(十五) 导数与函数的单调性1．在以下命题中，正确的选项是( )A ．假设f (x )在(a ，b )内是增加的，那么对任意x ∈(a ，b )都有f ′(x )＞0B ．假设在(a ，b )内对任意x 都有f ′(x )＞0，那么f (x )在(a ，b )内是增加的C ．假设在(a ，b )内f (x )为单调函数，那么f ′(x )也为单调函数D ．假设可导函数在(a ，b )内有f ′(x )＜0，那么在(a ，b )内有f (x )＜02．y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上分别是( ) A ．增加的，增加的B ．增加的，减少的C ．减少的，增加的D ．减少的，减少的3．函数f (x )＝x ＋ln x ，那么有( )A ．f (2)＜f (e)＜f (3)B ．f (e)＜f (2)＜f (3)C ．f (3)＜f (e)＜f (2)D ．f (e)＜f (3)＜f (2)4.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图像如右图所示，那么y ＝f (x )的图像最有可能是( )5．函数f (x )＝(3－x 2)e x的单调递增区间是____________．6．假设函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，那么a 的值为________．7．向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，假设函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增加的，求t 的取值范围．8．函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0，求f (x )的单调区间．答案1．选B 由函数的单调性与导数间的关系可知选项B 正确．2．选C y ′＝16x －1x ＝16x 2－1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′<0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上是减少的，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，y ′>0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增加的． 3．选A ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝12x ＋1x＞0， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增加的，∴f (2)＜f (e)＜f (3)．4．选C 由y ＝f ′(x )的图像可知，当x <0或x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0， ∴函数y ＝f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．5．解析：∵f (x )＝(3－x 2)e x ，∴f ′(x )＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x.令f ′(x )＞0，那么－x 2－2x ＋3＞0，解得－3 ＜x ＜1.∴函数f (x )的单调递增区间是(－3,1)．答案：(－3,1)6．解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5，∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75.答案：－757．解：由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .假设f (x )在(－1,1)上是增加的，那么在(－1,1)上f ′(x )≥0恒成立．即t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立．考虑函数g (x )＝3x 2－2x ＝3(x －13)2－13，x ∈(－1,1)显然g (x )<g (－1)，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ＝5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增加的．故t 的取值范围是[5，＋∞)．8．解：f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a ＜0时，对任意x ∈R ，都有f ′(x )＞0，即a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＞0时，解得x ＞a 或x ＜－a ，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，f ′(x )＜0时，解得－a ＜x ＜a ，所以f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．即a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．。

课时跟踪检测(十四) 导数与函数的单调性

课时跟踪检测（十四）导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )<0，得0<x <1.答案：(0,1)2．(2016·启东中学检测)已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底数，则满足f (e x )＜0的x 的取值范围为________．解析：由f ′(x )＝1－e －1x＝0(x >0)，得x ＝e －1. 当x ∈(0，e －1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(e －1，＋∞)时，函数f (x )单调递增．又f (1)＝f (e)＝0,1<e －1<e ，所以由f (e x )<0得1<e x <e ，解得0<x <1.答案：(0,1)3．f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －a x，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以2x －a x≥0，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，因为2x 2>2，所以a ≤2.答案：(－∞，2]4．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)5．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增．答案：单调递增6．(2016·海门中学检测)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是______．解析：因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，所以，a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.答案：(1,2]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·南通调研)已知函数f (x )＝－12x 2＋b ln x 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析：由题意，知f ′(x )＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在[2，＋∞)上恒成立，所以b ≤(x 2)min ＝4.答案：(－∞，4]2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·姜偃二中测试)若f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋(m －3)，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x 2＋2mx ＋(m －3)≥0在R 上恒成立，所以Δ＝(2m )2－48(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．(2017·襄阳模拟)函数f (x )的定义域为R.f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为________．解析：由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2.因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1.答案：(－1，＋∞)5．(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间为________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2.答案：(2，＋∞)7．函数f (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝2x －a ，因为f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以2x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a ≤2x ，所以a ≤2.答案：(－∞，2]8．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，所以F ′(x )＝f ′(x )－12，因为f ′(x )<12，所以F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．因为f (x 2)<x 22＋12，所以f (x 2)－x 22<f (1)－12，所以F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，所以x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54. (2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．10．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x，由f ′(x )<0得0<x <1，故f (x )的单调递减区间是(0,1)．(2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x 2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数． ①若g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x－2x 2，因为φ(x )在[1，＋∞)上单调递减，所以φ(x )max ＝φ(1)＝0，所以a ≥0.②若g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能．所以实数a 的取值范围为[0，＋∞)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝3x a －2x 2＋ln x (a >0)．若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x在[1,2]上恒成立．令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，又a >0，所以0<a ≤25或a ≥1. 答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) 2．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x .当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，所以f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .所以g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ，所以g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.因为g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，即m ＞－373. 所以－373＜m ＜－9. 即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.。

[K12学习]2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十导数与函数的单调性北师大版选修2_2

课时跟踪训练(十) 导数与函数的单调性1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)D ．(0,2) 2．当x >0时，f (x )＝x ＋2x的单调递减区间是( ) A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)3．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] 4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)5．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．6．函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间为________．7．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围．8．设函数f (x )＝ln(x ＋a )＋x 2，若f ′(－1)＝0，求a 的值，并讨论f (x )的单调性．答案1．选D f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )<0，得0<x <2，所以f (x )的单调递减区间为(0,2)．2．选D f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝x －2x ＋2x 2. 由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2.3．选A 根据条件得h ′(x )＝2＋k x ＝2x 2＋k x≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．4．选A 因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．5．解析：令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12. 又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数在(0，π)上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π 6．解析：令f ′(x )＝1x －1>0，解不等式得0<x <1.注意定义域为(0，＋∞)．答案：(0,1)7．解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞内，导函数大于零有解，令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间． 8．解：f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，依题意，有f ′(－1)＝0，故a ＝32. 从而f ′(x )＝2x 2＋3x ＋1x ＋32＝x ＋x ＋x ＋32.则f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞. 当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0. 从而f (x )分别在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上是增加的，在区间⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12上是减少的．。

2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十导数与函数的单调性北师大版选修2_2

因此有f(2)<f(e)<f(3)．
5．解析：令f′(x)＝1－2cosx>0，那么cosx< .
又x∈(0，π)，解得 <x<π，ห้องสมุดไป่ตู้
因此函数在(0，π)上的单调递增区间为 .
答案：
6．解析：令f′(x)＝－1>0，解不等式得0<x<1.注意概念域为(0，＋∞)．
答案：(0,1)
7．解：f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－ 2＋＋2a，
当－1<x<－时，f′(x)<0；
当x>－时，f′(x)>0.
从而f(x)别离在区间，上是增加的，在区间上是减少的．
当x∈ 时f′(x)的最大值为f′ ＝＋2a.
函数有单调递增区间，即在内，导函数大于零有解，令＋2a>0，得a>－ .
因此当a∈ 时，f(x)在上存在单调递增区间．
8．解：f′(x)＝＋2x，
依题意，有f′(－1)＝0，故a＝ .
从而f′(x)＝＝ .
则f(x)的概念域为 .
当－ <x<－1时，f′(x)>0；
2．选Df′(x)＝1－＝＝ .
由f′(x)<0且x>0得0<x< .
3．选A 依照条件得h′(x)＝2＋＝ ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，因此k∈[－2，＋∞)．
4．选A 因为在概念域(0，＋∞)上f′(x)＝＋ >0，
因此f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
6．函数f(x)＝lnx－x的单调递增区间为________．
7．设f(x)＝－ x3＋ x2＋2ax.假设f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围．

2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十五瞬时速度与导数新人教B版选修1_1

8．已知函数f(x)＝13－8x＋ x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．
答案
1．选Cy＝x2在x＝1处的导数为
f′(1)＝＝2.
2．选A li ＝li ＝f′(1)．
3．选Bv＝li ＝li
＝li ＝8.
4．选C 因为s′(t)＝li ＝9.8 (m/s)，
因此9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速度．
C．54D．81
4．物体的运动方程为：s(t)＝ gt2，g＝9.8 m/s2，假设v＝li ＝9.8 m/s，那么以下说法中正确的选项是( )
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时刻内的速度．
B．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt) s这段时刻内的速度．
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速度．
＝v0－gt0－ gΔt.
当Δt趋近于0时，趋近于v0－gt0.
∴物体在时刻t0时的瞬时速度为v0－gt0.
8．解：∵f′(x0)＝li
＝li
＝li
＝li (－8＋2 x0＋ Δx)
＝－8＋2 x0，
∴－8＋2 x0＝4.∴x0＝3 .
5．解析：＝
＝7Δt＋14t0，
当li (7Δt＋14t0)＝1时，t0＝ .
答案：
6．解析：f′(1)＝li ＝li
＝li
＝li ＝li (2a＋a·Δx)＝2a＝2.
∴a＝1，即a的值为1.
答案：1
7．解：由已知得：
Δs＝v0(t0＋Δt)－ g(t0＋Δt)2－
＝(v0－gt0)Δt－ g(Δt)2，
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt) s这段时刻内的平均速度．
5．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，那么其在t＝________时的瞬时速度为1.

2017_2018学年高中数学课时跟踪训练十九利用导数判定函数的单调性新人教B版选修1_1

课时跟踪训练(十九) 利用导数判定函数的单调性1．函数f (x )＝－x 3＋x 在(1，＋∞)上为( )A ．减函数B ．增函数C ．常数函数D ．不能确定 2．y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上别离为( ) A ．增函数，增函数 B ．增函数，减函数C ．减函数，增函数D ．减函数，减函数 3．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)4．已知函数y ＝xf ′(x )的图像如下图(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，y ＝f (x )的图像大致是以下图中的( )5．设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，那么f (x )的单调递增区间是________________，单调递减区间是________． 6．已知f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在区间(6，＋∞)内单调递增，那么a 的取值范围是________．7．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．8．已知f (x )＝e x－ax －1.(1)假设f (x )在概念域R 内单调递增，求a 的取值范围；(2)是不是存在a 使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由．答案1．选A 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝－3x 2＋1＜0.2．选C y ′＝16x －1x ＝4x －14x ＋1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′<0，y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，y ′>0，y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数． 3．选B 函数y ＝12x 2－ln x 的概念域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x＝x －1x ＋1x ，令y ′≤0，那么可得0<x ≤1.4．选C 由y ＝xf ′(x )的图像，知当x >1时，f ′(x )>0，这时f (x )是增函数．同理，当0<x <1时，f ′(x )<0，这时f (x )是减函数，只有C 知足题意．5．解析：∵f (x )＝x (e x －1)－12x 2，∴f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x－1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x ) 在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)6．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令g (x )＝f ′(x )，要知足函数f (x )在(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)内单调递增，需有⎩⎪⎨⎪⎧ g 1≤0，g 4≤0，g 6≥0，解之得5≤a ≤7.答案：[5,7] 7．解：(1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，因此f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3.(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数，当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数，当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．8．解：(1)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立．∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0.(2)f ′(x )＝e x －a .若f (x )在(－∞，0]上是单调递减函数⇒e x －a ≤0在x ∈(－∞，0]上恒成立⇒a ≥(e x )max ，当x ∈(－∞，0]时，e x ∈(0,1]，∴a ≥1.①若f (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数⇒e x －a ≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立⇒a ≤(e x )min ，当x∈[0，＋∞)时，e x∈[1，＋∞)，∴a≤1.②由①②知a＝1，故存在a＝1知足条件．。

20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测(五) 函数单调性与导数 Word版含解析

课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数层级一学业水平达标1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B B 中，y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y ′＜0的情况．2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，13C.⎣⎡⎭⎫13，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，13 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13. 3．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( )A ．(－∞，－1)和(0,1)B ．[－1,0]和[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)解析：选A y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.4．函数y ＝x ln x 在(0,5)上的单调性是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．在⎝⎛⎭⎫0， 1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ， 5上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0， 1e 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1e ， 5上单调递减解析：选C 由已知得函数的定义域为(0，＋∞)．∵y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e. 令y ′＜0，得x ＜1e. ∴函数 y ＝x ln x 在⎝⎛⎭⎫0， 1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ， 5上单调递增． 5．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1) 解析：选A y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33. 当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33＜0，要使y ＝a (x 3－x )在⎝⎛⎭⎫－33， 33上单调递减，只需y ′＜0，即a ＞0. 6．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数．答案：(－∞，＋∞)7．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a ∈________. 解析：y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0，∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0，∴a <0.答案：(－∞，0)8．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 . 解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.答案：(0，＋∞)9．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0. (1)求a 和b ；(2)试确定函数f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ， ∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0. 解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x . f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )>0得x >1或x <－3；由f ′(x )<0得－3<x <1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2，令f ′(x )＞0，得x ＞x 2或x ＜x 1，令f ′(x )＜0，得x 1＜x ＜x 2.∵a ≥0，∴x 1<－1，x 2≥0.由此可得f (x )在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34. 故所求a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.层级二应试能力达标1.已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 在(0，＋∞)内，f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )解析：选C 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C.3．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.4．设函数F (x )＝f (x )e x是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)解析：选C ∵函数F (x )＝f (x )e x 的导数F ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x <0， ∴函数F (x )＝f (x )e x是定义在R 上的减函数， ∴F (2)<F (0)，即f (2)e 2<f (0)e 0，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2 016)<e 2 016f (0)．故选C.5．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________．解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.∵对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，∴g ′(x )＞0. ∴g (x )在R 上为增函数．又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，∴x ＞－1时，g (x )＞0.∴由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1.答案：(－1，＋∞)6．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．解析：∵f (x )在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋b x ＋2≤0， ∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，∴g(x)min＝－1，∴b≤－1. 答案：(－∞，－1]7．已知x＞0，证明不等式ln(1＋x)＞x－12x2成立．证明：设f(x)＝ln(1＋x)－x＋12x 2，其定义域为(－1，＋∞)，则f′(x)＝11＋x－1＋x＝x21＋x.当x＞－1时，f′(x)＞0，则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数．∴当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0.∴当x＞0时，不等式ln(1＋x)＞x－12x2成立．8．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．解：(1)已知函数f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由题意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．但当x∈(－1,1)时，0＜3x2＜3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．(2)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a，即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．。

2017-2018学年高中数学课时跟踪训练(十九)单调性苏教版选修1-1

课时跟踪训练(十九) 单调性1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________． 2．函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是________． 3．(浙江高考改编)已知函数y ＝f (x )的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则该函数的图像是________．4．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________． 5．已知函数f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )．则不等式x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －f (x )<0的解集为________．6．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax .讨论f (x )的单调性．7．已知函数f (x )＝2ax －1x 2，x ∈(0,1]．若f (x )在(0,1]上是增函数，求实数a 的取值范围．8．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0， (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．答案课时跟踪训练(十九)1．解析：y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝x －x ＋x ，令y ′≤0，∵x >0，∴0<x ≤1，∴函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间是(0,1]．答案：(0,1] 2．解析：令f ′(x )＝ln x －1ln 2x<0，解得0<x <e ，又因为函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，所以函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是(0,1)，(1，e)．答案：(0,1)，(1，e)3．解析：由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图像的切线的斜率自左至右先增大后减小．答案：②4．解析：h ′(x )＝2＋k x 2，由h (x )在(1，＋∞)上是增函数，知h ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立．h ′(x )＝2x 2＋k x 2，当k ≥0时，显然h ′(x )≥0成立．当k <0时，由h ′(x )≥0⇒－k ≤2x 2，而2x 2>2，即－k ≤2，∴k ≥－2，∴－2≤k <0.答案：[－2，＋∞)5．解析：令φ(x )＝f x x ，则φ′(x )＝xf x －f x x 2<0.∴φ(x )在(0，＋∞)上单调递减，又x 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <f (x )，∴xf ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <f x x .即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1x<f x x ，∴φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x <φ(x )．故1x>x .又∵x >0，∴0<x <1.答案：(0,1)6．解：f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1.①当a ≥1时，f ′(x )≥0，当且仅当a ＝1，x ＝－1时，f ′(x )＝0，所以f (x )是R 上的增函数．②当a <1时，f ′(x )＝0有两根x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a .当x ∈(－∞，－1－1－a )时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x ∈(－1－1－a ，－1＋1－a )时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；当x ∈(－1＋1－a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．7．解：由已知得f ′(x )＝2a ＋2x 3，∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x 3在x ∈(0,1]上恒成立．令g (x )＝－1x 3，而g (x )＝－1x 3在(0,1]上单调递增，∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴a ≥－1.当a ＝－1时，f ′(x )＝－2＋2x 3.对x ∈(0,1]也有f ′(x )≥0.∴a ＝－1时，f (x )在(0,1]上为增函数．∴综上，f (x )在(0,1]上为增函数，实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．8．解：(1)由函数f (x )的图像在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，知f ′(－1)＝－12，且－1＋2f (－1)＋5＝0，即f (－1)＝－2，－a －61＋b＝－2，① 又f ′(x )＝a x 2＋b －2x ax －x 2＋b 2，所以a ＋b ＋－a －＋b 2＝－12.② 由①②得a ＝2，b ＝3.(因为b ＋1≠0, 所以b ＝－1舍去)所以所求函数解析式是f (x )＝2x －6x 2＋3. (2)由(1)可得f ′(x )＝－2x 2＋12x ＋6x 2＋2. 令－2x 2＋12x ＋6＝0，解得x 1＝3－23，x 2＝3＋23，则当x <3－23或x >3＋23时，f ′(x )<0，当3－23<x <3＋23时，f ′(x )>0，所以f (x )＝2x －6x 2＋3的单调递增区间是(3－23，3＋23)；单调递减区间是(－∞，3－23)和(3＋23，＋∞)．。

高中数学课时跟踪检测五函数的单调性与导数新人教A版选修3

课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数层级一学业水平达标1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B B 中，y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y ′＜0的情况．2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.3．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )＞0，解得x ＞2，故选D.4.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数，排除A ，B.当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，排除D ，故选C.5．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：选A y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33. 当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33＜0，要使y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33上单调递减，只需y ′＜0，即a ＞0.6．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数．答案：(－∞，＋∞)7．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a ∈________.解析：y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0，∴a <0. 答案：(－∞，0)8．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 .解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)9．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3.(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞3；又令f ′(x )＜0，解得－1＜x ＜3.所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数．10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x.设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0. 解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2，令f ′(x )＞0，得x ＞x 2或x ＜x 1，令f ′(x )＜0，得x 1＜x ＜x 2. ∵a ≥0，∴x 1<－1，x 2≥0.由此可得f (x )在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 层级二应试能力达标1.已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 在(0，＋∞)内，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )解析：选C 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C.3．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：选A y ′＝x cos x ，当－π＜x ＜－π2时，cos x ＜0，∴y ′＝x cos x ＞0，当0＜x ＜π2时，cos x ＞0，∴y ′＝x cos x ＞0.4．设函数F (x )＝f xex是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e2 016f (0) 解析：选C ∵函数F (x )＝f xex的导数F ′(x )＝f xx－f xxx2＝f x －f xex<0，∴函数F (x )＝f xex是定义在R 上的减函数， ∴F (2)<F (0)，即fe2<fe，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2 016)<e2 016f (0)．故选C.5．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则实数b 的取值范围为________________．解析：若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意知，b ＜－1或b ＞2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)6．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．解析：∵f (x )在(－1，＋∞)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立， ∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋bx ＋2≤0，∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，∴g (x )min ＝－1，∴b ≤－1. 答案：(－∞，－1]7．设函数f (x )＝x (e x－1)－ax 2. (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)a ＝12时，f (x )＝x (e x－1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )的单调增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)；单调减区间为(－1,0)． (2)f (x )＝x (e x－1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x－a .①若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时，g (x )≥0，即f (x )≥0.②当a ＞1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时，g (x )＜0，即f (x )＜0，不符合题意，综上得a 的取值范围为(－∞，1]．8．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)证明：f (x )＝x 3－ax －1的图象不可能总在直线y ＝a 的上方．解：(1)已知函数f (x )＝x 3－ax －1， ∴f ′(x )＝3x 2－a ，由题意知3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， ∴a ≥3x 2在x ∈(－1,1)上恒成立．但当x ∈(－1,1)时，0＜3x 2＜3，∴a ≥3，即当a ≥3时，f (x )在(－1,1)上单调递减． (2)证明：取x ＝－1，得f (－1)＝a －2＜a ，即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．。

高中数学课时跟踪训练(十)导数与函数的单调性北师大版选修22

课时跟踪训练(十) 导数与函数的单调性1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)D ．(0,2) 2．当x >0时，f (x )＝x ＋2x的单调递减区间是( ) A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)3．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] 4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)5．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________．6．函数f (x )＝ln x －x 的单调递增区间为________．7．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围．8．设函数f (x )＝ln(x ＋a )＋x 2，若f ′(－1)＝0，求a 的值，并讨论f (x )的单调性．答案1．选D f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )<0，得0<x <2，所以f (x )的单调递减区间为(0,2)．2．选D f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝x －2x ＋2x 2. 由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2.3．选A 根据条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．4．选A 因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．5．解析：令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12. 又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数在(0，π)上的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π 6．解析：令f ′(x )＝1x －1>0，解不等式得0<x <1.注意定义域为(0，＋∞)．答案：(0,1)7．解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞内，导函数大于零有解，令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间． 8．解：f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，依题意，有f ′(－1)＝0，故a ＝32. 从而f ′(x )＝2x 2＋3x ＋1x ＋32＝x ＋x ＋x ＋32.则f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞. 当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0. 从而f (x )分别在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上是增加的，在区间⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12上是减少的．。

高考数学总复习课时跟踪检测15导数的应用(一)

1．函数 f ( x ) ＝x ＋ eln x 的单一递加区间为 ( )A ． (0 ，＋∞)B ． ( －∞， 0)C ．( －∞， 0) 和(0 ，＋∞ )D ． R2．(2012 ·“江南十校”联考 ) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ，其导函数 f ′(x ) 的大概图象如下图，则以下表达正确的选项是( )A ． f ( b )> f ( c )> f ( d )B ． f ( b )> f ( a )> f ( e )C ． f ( c )> f ( b )> f ( a )D ． f ( c )> f ( e )> f ( d )23．(2012 ·陕西高考 ) 设函数 f ( x ) ＝ x ＋ ln x ，则 ()1A ． x ＝为 f ( x ) 的极大值点21B ． x ＝ 2为 f ( x ) 的极小值点C ． x ＝2 为 f ( x ) 的极大值点D ． x ＝2 为 f ( x ) 的极小值点4．(2012 ·纲领全国卷 ) 已知函数 y ＝ x 3－ 3x ＋ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则 c ＝()A ．－ 2或 2B ．－9或 3C ．－1或 1D ．－3或 1ln x5．若 f ( x ) ＝ x ， e<a <b ，则 ()A ． ( )> ( b )B ． ( ) ＝ f ( b )f a f f a C ． f ( a )< f ( b ) D ． f ( a ) f ( b )>16．函数 f ( x ) ＝ x 31212－ 3x － 1，若关于区间 [ － 3,2] 上的随意 x ，x ，都有 | f ( x ) － f ( x )| ≤ t ，则实数 t 的最小值是 ( )A ．20B ．18C ．3D ．07．已知函数f ( x ) ＝ 3 ＋2＋ ( ＋6) x ＋ 1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取x mxm值范围是 ________．8．已知函数 f ( x ) ＝－ x 3＋ ax 2－ 4 在 x ＝ 2 处获得极值，若 m ∈[ － 1,1] ，则 f ( m ) 的最小值为 ________．1行于直线6x＋ 2y＋ 5＝ 0，则f ( x) 极大值与极小值之差为________ ．2110．已知函数 f ( x)＝ ax ＋b ln x 在 x＝1处有极值2.(1)求 a， b 的值；(2)判断函数 y＝ f ( x)的单一性并求出单一区间．1 311．(2012 ·重庆高考) 设f ( x) ＝a ln x＋2x＋2x＋ 1，此中a∈R，曲线y＝f ( x) 在点 (1 ，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求 a 的值；(2)求函数 f ( x)的极值．12．已知函数 f ( x)＝ x3－ ax2＋3x.(1) 若f (x) 在∈ [1 ，＋∞ ) 上是增函数，务实数a的取值范围；x(2)若 x＝3是 f ( x)的极值点，求 f ( x)在 x∈[1， a]上的最大值和最小值．1．设函数f (x) ＝ax2＋＋ ( ，，∈R) ．若x＝－ 1 为函数f(x)e x的一个极值点，bx c a b c则以下图象不行能为y＝ f ( x)的图象是()2．(2012 ·沈阳实验中学检测) 已知定义在 R 上的奇函数f (x) ，设其导函数为f′()，x当 x∈(－∞，0]时，恒有 xf ′(x)< f (－ x)，令 F( x)＝ xf ( x)，则知足 F(3)>F(2 x－1)的实数x 的取值范围是()1A． ( －1,2) B.－1，21C.2，2 D．( － 2,1) 3．(2012 ·湖北高考 ) 设函数f (x) ＝axn(1 －)＋ ( >0)，n为正整数，，为常数．曲x b x a b线 y＝ f ( x)在(1， f (1))处的切线方程为x＋ y＝1.(1) 求a，b的值；(2) 求函数f ( x) 的最大值．[答题栏]1._________2._________3._________4._________A 级 5._________ 6._________B 级1.______ 2.______7.__________ 8. __________ 9. __________答案课时追踪检测( 十五 )A 级1． A 2.C 3.D 4.A1－ ln x5．选 A f ′(x)＝x2，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f( a)> f ( b) ．6．选 A因为 f ′(x)＝3x2－3＝3( x－1)( x＋1)，令 f ′(x)＝0，得 x＝±1，因此－1,1为函数的极值点．又 f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f(1) ＝－ 3，f (2)＝1，因此在区间 [ － 3,2]上 f ( x)＝ 1，f ( x)min ＝－ 19. 又由题设知在区间 [ － 3,2]上 f ( x)－ f ( x)min≤ t ，进而 t ≥20，max max 因此 t的最小值是 20.22mx＋m＋ 6＝ 0 有两个不等实根，即27．分析：f′(x) ＝ 3x＋＝ 4m－12×(m＋6)>0.因此 m>6或 m<－3.答案： ( －∞，－ 3) ∪ (6 ，＋∞)8．分析：求导得f′()＝－32＋ 2ax，由f(x) 在x＝ 2 处获得极值知f′(2) ＝ 0，即x x－3×4＋ 2a×2＝ 0，故a＝ 3.由此可得 f ( x)＝－ x3＋3x2－4， f ′(x)＝－3x2＋6x.由此可得f ( x)在(－1,0)上单一递减，在(0,1)上单一递加，因此对∈[ －1,1]时，f ( ) min＝f(0)＝－ 4.m m答案：－ 49．分析：∵y′＝ 3x2＋ 6ax＋ 3b，2a＝－1，3×2＋ 6a×2＋ 3b＝ 02?3×1＋6a＋ 3b＝－ 3b＝0.∴y′＝3 x2－6x，令3x2－6x＝0，则 x＝0或 x＝2.∴f ( x)极大值－ f ( x)极小值＝ f (0)－ f (2)＝4.答案： 4b10．解： (1) ∵f′(x) ＝ 2ax＋x.1又 f ( x)在 x＝1处有极值2.11∴ f1＝2，即a＝2，f ′1＝0，2a＋b＝0.1解得 a＝2， b＝－1.(2) 由 (1) 可知f (x) ＝12－ lnx，其定义域是 (0 ，＋∞ ) ，2x1x＋1x－1且 f ′(x)＝ x－x＝x.由 f ′(x)<0，得0<x<1；由 f ′(x)>0，得 x>1.因此函数 y＝ f ( x)的单一减区间是(0,1) ，单一增区间是(1 ，＋∞ ) ．1 311．解： (1) 因f ( x) ＝a ln x＋2x＋2x＋1，a13故 f ′(x)＝x－2x2＋2.因为曲线y＝ f ( x)在点(1， f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f′(1) 13＝0，进而a－2＋2＝0，解得 a＝－1.(2) 由 (1) 知f ( x) ＝－ ln13x＋＋ x＋1( x>0)，2x2113 f′(x)＝－x－2x2＋2＝3x2－ 2x－12x23x＋1x－1＝22.x令 f ′(x)＝121因2＝－1不在定义域内，舍去．0，解得x＝ 1，x＝－3x3当 x∈(0,1)时， f ′(x)<0，故 f ( x)在(0,1)上为减函数；当 x∈(1，＋∞)时， f ′(x)>0，故 f ( x)在(1，＋∞)上为增函数．故 f ( x)在 x＝1处获得极小值 f (1)＝3.12．解： (1) ∵f′(x) ＝ 3x2－ 2ax＋3≥0在 [1 ，＋∞ ) 上恒建立，3 1∴a≤2 x＋x min＝3(当 x＝1时取最小值)．∴a 的取值范围为(－∞，3]．(2)∵ f ′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴ a＝5， f ( x)＝x3－5x2＋3x， x∈[1,5]，f′(x)＝3x2－10x＋3.1令 f ′(x)＝0，得 x1＝3，x2＝(舍去)．3当 1<x<3 时，f′(x)<0 ，当 3<x<5 时，f′(x)>0 ，即当 x ＝ 3 时， f ( x ) 取极小值 f (3) ＝－ 9.又 f (1) ＝－ 1，f (5) ＝ 15，∴ f ( x ) 在 [1,5] 上的最小值是 f (3) ＝－ 9，最大值是 f (5) ＝ 15.B 级1．选D 因为[f ( x )e x ] ′＝ ′( )e x ＋ ( x )(e x ) ′＝ [ f ( x ) ＋ ′ ( x )]e x ，且x ＝－1 为函fx f f数 f ( x )e x 的一个极值点，因此 f (1) ＋f ′(1) ＝ 0；选项 D 中，f (1)>0 ，f ′(1)>0 ，不知足 f ′(1)＋ f (1) ＝ 0.2．选 A 由 F ( x ) ＝ xf ( x ) ，得 F ′(x ) ＝ f ( x ) ＋ xf ′(x ) ＝ xf ′(x ) － f ( － x )<0 ，因此 F ( x )在( －∞， 0) 上单一递减，又可证F ( x ) 为偶函数，进而 F ( x ) 在 [0 ，＋∞ ) 上单一递加，故原不等式可化为－ 3<2x － 1<3，解得－ 1<x <2.3．解： (1) 因为 f (1) ＝ b ，由点 (1 ，b ) 在 x ＋y ＝ 1 上，可得 1＋ b ＝ 1，即 b ＝ 0.因为 f ′(x ) ＝ anx n －1－ a ( n ＋ 1) x n ，因此 f ′(1 ) ＝－ a .又因为切线 x ＋y ＝ 1 的斜率为－ 1，因此－ a ＝－ 1，即 a ＝ 1. 故 a ＝ 1， b ＝ 0.(2 ) 由 (1) 知， f ( x ) ＝ x n (1 － x ) ＝x n － x n ＋1，n － 1nf ′(x ) ＝ ( n ＋ 1) x－ x .n令 f ′(x ) ＝ 0，解得 x ＝＋ 1，n即 ′( ) 在 (0 ，＋∞ ) 上有独一零点x 0＝ n .fxn ＋ 1在 0， n 上， f ′(x )>0 ，故 f ( x ) 单一递加；n ＋ 1n而在 n ＋ 1，＋∞ 上， f ′(x )<0 ，f ′(x ) 单一递减．故 f ( x ) 在 (0 ，＋∞ ) 上的最大值为fnn n1－ n＋ 1＝n ＋ 1n ＋ 1n＝n nn ＋ 1.n ＋ 1。