优秀教案15-双曲线的简单几何性质(2)

2.2.2 双曲线的简单几何性质（2）

教材分析

本节课是在学习了椭圆的简单几何性质之后，又一次按照双曲线标准方程来研究双曲线的简单几何性质，为后面研究抛物线的几何性质奠定了基础，是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容．本节课通过对双曲线标准方程的讨论，一方面使学生掌握双曲线的简单几何性质，掌握标准方程中,a b 以及,c e 的几何意义，,,,a b c e 之间的相互关系．同时，通过对双曲线标准方程的讨论，使学生了解在解析几何中如何用代数方法研究曲线的性质．本节课是围绕着探究双曲线的简单几何性质进行的，将之确定为本节课的重点；又因为利用双曲线方程和图像来研究双曲线的渐近线，学生感到困难，且渐近线的探究过程，学生感到棘手，所以将之确定为本节课的难点．

课时分配

本节内容用2课时的时间完成，本节课是第二课时，主要内容是：在学习完双曲线的标准方程之后，类比椭圆的简单几何性质的研究方法进一步研究双曲线的简单几何性质以及几何性质的简单应用。

教学目标

重点: 双曲线的几何性质及初步运用. 难点：双曲线的渐近线的探究过程．

知识点：能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等，熟练掌握双曲线的几何性质．

能力点：通过掌握双曲线的简单几何性质及应用过程，培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力．

教育点：通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对双曲线对称美的感受，激发学生对美好事物的追求．

自主探究点：双曲线的离心率决定双曲线的开阔程度. 考试点：双曲线的简单几何性质应用。

易错易混点：双曲线标准方程中,,a b c 的关系与椭圆中,,a b c 的关系学生容易混淆。

拓展点：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和数形结合的意识，激励学生今后能自主探究抛物线的简单几何性质．

教具准备 多媒体课件和三角板 课堂模式 学案导学 一、引入新课

复习双曲线的几何性质：

(1)范围：由双曲线的标准方程得，22

2210y x b a

=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲

线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；

(2)对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；

(3)顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

(4)渐近线：直线b

y x a =±叫做双曲线22221x y a b

-=的渐近线；

(5)离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比a

c

e =叫做双曲线的离心率（1e >）．

【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫。

二、探究新知

例1.根据下列条件，求双曲线方程：

（1）与双曲线22

1916x y -=

有共同的渐近线，且过点(-；

（2）与双曲线22

1164

x y -=

有公共焦点，且过点（）

。 分析：先设双曲线的标准方程，然后用待定系数法求出a,b 的值，从而确定双曲线的方程。

解：方法一：（1）设双曲线的标准方程为22

221x y a b -=，

由题意，得22

4

3

(3)1b a a ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩ 解得221944x y -=2

94a =，24b =，所以双曲线的方程为221944

x y -=。

方法二：设所求双曲线方程为2

2

2

2

0c by a x b y λ

=±=-= 22

(0)916

x y λλ-=≠

将点(-代人得14

λ=

， 所以所求双曲线方程为

2219164

x y -=。 （2）方法一：设所求双曲线方程为22

221x y a b

-=

，由题意易求c =

又双曲线过点2)，

24

1b

-=，

又 2

2

2

a b +=， ∴22

12,8a b ==，

故所求双曲线方程为22

1128

x y -=。

方法二：设所求双曲线方程为22

1164x y k k

-=-+，将点2)代人得4k =，

故所求双曲线方程为22

1128

x y -=。

规律总结：若已知双曲线的渐近线方程为0ax by ±=，可设双曲线方程为2

2

2

2

a x

b y λ-=。此方法比较 简洁。

[设计意图] 培养学生发散思维的能力及良好的解题习惯， 同一个题目有不同的解法,我们可以从中选择简捷、自然的解题思路．

三、理解新知

由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，常用待定系数法。首先，根据所给的性质，判断焦点的位置，设出双曲线的标准方程，再利用已知构造关于参数的方程求的。当焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意讨论，有时也可设2

2

1(0)mx ny mn -=>而直接去求，不用讨论。

若已知双曲线的渐近线方程为0ax by ±=，可设双曲线方程为2

2

2

2

a x

b y λ-=(0)λ≠，求出λ即可。

22(0)44x y λ≠-=

四、运用新知

例2 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）．

分析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为

22

22

1x y a b -=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注

意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

变式：如图所示，在P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA 或PB 送到呈矩形的足球场ABCD 中去铺垫，已知150AP m =，100BP m =，